函数、数列
数列与函数的综合运用练习题
数列与函数的综合运用练习题在数学中，数列和函数是常见且重要的概念。
数列是按照特定的规律排列的一系列数值的集合，而函数是一种对应关系，将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
数列和函数的综合运用能够帮助我们更好地理解数学问题，并提供解决问题的方法。
本文将通过一系列练习题来展示数列与函数的综合运用。
1. 已知数列的通项公式为an = 3n + 1，求该数列的前10项。
解析：根据题目中给出的通项公式，我们可以依次计算出数列的前10项：a1 = 3*1 + 1 = 4，a2 = 3*2 + 1 = 7，以此类推，计算出a3到a10的值。
答案：该数列的前10项分别为4，7，10，13，16，19，22，25，28，31。
2. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 1，求f(2)的值。
解析：对于函数f(x)，要求f(2)的值，只需要将x替换为2，然后计算出f(2)的结果。
答案：f(2) = 2*(2^2) + 3*2 - 1 = 14。
3. 设数列的前n项和为Sn，已知数列的通项公式为an = n^2，求Sn。
解析：由数列的通项公式可知，每一项的值都是n的平方，因此前n项和Sn可以表示为Sn = 1^2 + 2^2 + ... + n^2。
答案：Sn = 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6。
4. 已知函数g(x) = 3x - 2，求满足g(x) = 10的x的值。
解析：要求满足函数g(x) = 10的x的值，即求解方程3x - 2 = 10。
答案：解方程3x - 2 = 10，可以得到x = 4。
通过以上练习题的解答，我们可以看到数列和函数在数学问题中的应用。
数列可以描述一系列数值的排列规律，而函数则提供了一种映射关系，将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
通过运用数列和函数的相关概念和公式，我们可以解决各种数学问题，并获得准确的答案。
需要注意的是，在解决问题时，我们要仔细理解题目中给出的条件和要求，并根据题目类型选择合适的数列或函数的公式进行计算。
数列函数知识点归纳总结
数列函数知识点归纳总结一、数列的概念1.1 数列的定义数列是由一列有序的数按照一定的规律排列形成的。
1.2 数列的常见表示方式数列可以用通项公式、递推公式、列表等方法表示。
1.3 数列的分类根据数列的性质可分为等差数列、等比数列、等差数列等。
二、等差数列2.1 等差数列的定义和通项公式若数列中任意相邻两项的差是一个常数d，那么这个数列就是等差数列。
等差数列的通项公式可以表示为an=a1+(n-1)d。
2.2 等差数列的性质等差数列的通项公式、前n项和公式、公差和首项的关系等。
2.3 等差数列的应用在实际问题中，可以利用等差数列来描述一些数量随时间或次数变化的规律。
三、等比数列3.1 等比数列的定义和通项公式若数列中任意相邻两项的比是一个常数q，那么这个数列就是等比数列。
等比数列的通项公式可以表示为an=a1*q^(n-1)。
3.2 等比数列的性质等比数列的通项公式、前n项和公式等。
3.3 等比数列的应用等比数列在成倍增长或成倍减少的情况下有着广泛的应用。
四、数列的求和4.1 数列求和的概念数列求和就是将数列中的前n项相加，得到一个数列前n项和的公式。
4.2 等差数列的求和等差数列的前n项和公式可以表示为Sn=n*(a1+an)/2。
4.3 等比数列的求和等比数列的前n项和公式可以表示为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。
五、数列的递推5.1 递推数列的概念递推数列就是通过数列中的前一项来定义后一项的一种特殊数列。
5.2 递推数列的通项公式递推数列可以通过已知的初始条件和递推关系求解通项公式。
5.3 递推数列的应用递推数列在描述一些连续变化的规律的问题中有着重要的应用。
六、数列函数6.1 数列函数的定义数列函数是将自然数集合映射到实数集合的函数。
6.2 数列函数的性质数列函数有着和一般函数相似的性质，包括单调性、有界性、周期性等。
6.3 数列函数的应用数列函数可以用来描述一些随时间变化的规律，并在实际问题中有着重要的应用。
高中数学数列与函数关系题
高中数学数列与函数关系题数列与函数是高中数学中的重要概念，它们之间有着密切的关系。
在数学学习中，我们经常会遇到数列与函数的结合题目，这些题目既考察对数列的理解，又考察对函数的掌握。
本文将围绕高中数学数列与函数关系题展开讨论，通过具体例题分析，帮助学生更好地理解与解决这类题目。
一、等差数列与线性函数的关系等差数列是指数列中的每两个连续项之间的差值都相等的数列。
线性函数是指函数的图像是直线的函数。
在等差数列与线性函数的关系题目中，我们常常通过观察数列的规律，找到数列中第一个项与公差，并将其与线性函数中的斜率和截距进行对应，从而建立数列与函数的关系式。
例如，给定数列{-3, 2, 7, 12, 17, ...}，要求找出该数列的通项公式。
观察数列中的规律，可以发现每个项与前一项的差值都是5，因此该数列为等差数列，公差为5。
紧接着，我们可以假设数列的通项公式为an = dn + b，其中d为公差，b为首项。
代入数列中的前两项：-3 = d + b，2 = 2d + b，通过联立这两个方程，可以解得d = 5，b = -8，所以该数列的通项公式为an = 5n - 8。
通过将数列中的项与线性函数中的斜率和截距进行对应，我们成功建立了数列与函数的关系。
二、等比数列与指数函数的关系等比数列是指数列中的每两个连续项之间的比值都相等的数列。
指数函数是以底数为常数的指数形式表示的函数。
在等比数列与指数函数的关系题目中，我们需要通过观察数列的规律，找到数列中的公比，并将其与指数函数中的底数进行对应，从而建立数列与函数的关系式。
例如，给定数列{2, 6, 18, 54, ...}，要求找出该数列的通项公式。
观察数列中的规律，可以发现每个项与前一项的比值都是3，因此该数列为等比数列，公比为3。
紧接着，我们可以假设数列的通项公式为an = ar^(n-1)，其中a为首项，r为公比。
代入数列中的前两项：2 = ar^0，6 = ar^1，通过联立这两个方程，可以解得a = 2，r = 3，所以该数列的通项公式为an = 2 * 3^(n-1)。
数列与函数的综合应用
数列与函数的综合应用数列和函数是数学中两个重要的概念，它们在数学和实际生活中都有广泛的应用。
数列是按照一定规律排列的一组数，而函数则是对数的关系进行抽象和描述的工具。
本文将探讨数列和函数在各个领域中的实际应用，并且展示数列与函数之间的综合应用。
一、经济学领域在经济学中，数列与函数的应用非常广泛。
例如，经济学家通过对经济数据建立数学模型，可以研究经济增长、通货膨胀等问题。
其中，经济增长可以用等差数列来描述，通货膨胀可以用指数函数来表示。
通过分析数列和函数的规律，我们可以预测未来的经济发展趋势，采取相应的政策措施，促进经济的稳定和繁荣。
二、物理学领域物理学是自然科学中的一门重要学科，数列和函数在物理学中有广泛的应用。
例如，物理学家通过对物体运动轨迹的研究可以建立位移、速度和加速度之间的函数关系，用数列和函数来描述和分析物体的运动规律。
另外，电磁场、热传导等也可以用数列和函数来描述和研究。
通过数列和函数的综合应用，我们可以更好地理解和掌握物理学中的各种规律和现象。
三、计算机科学领域计算机科学是现代科学技术中的一项重要学科，数列和函数在计算机科学中有着广泛的应用。
例如，计算机算法中经常会用到数列，如斐波那契数列、调和数列等。
而函数则在计算机程序设计中发挥着重要的作用，可以用来实现各种功能和计算。
通过数列和函数的综合应用，我们可以设计出更高效、更优化的算法和程序，提高计算机的运算速度和性能。
四、生物学领域生物学是研究生命的起源和发展的一门学科，数列和函数在生物学研究中也有广泛的应用。
例如，在基因序列的研究中，可以通过对DNA序列中的基因编码进行数列分析，找出其中的规律和模式。
另外，生物的生长过程也可以用函数来描述和分析，如指数函数可以表示一种生物群体的增长趋势。
通过数列和函数的综合应用，我们可以更好地理解和探索生物世界的奥秘。
总结起来，数列与函数的综合应用不仅在数学中有重要地位，而且在经济学、物理学、计算机科学、生物学等多个领域都发挥着重要的作用。
数学数列与函数的应用
数学数列与函数的应用数学数列与函数是数学学科中的重要内容，广泛应用于各个领域。
数列是由一系列有规律的数字组成的序列，函数是一个或多个变量之间的关系。
本文将介绍数学数列与函数在实际应用中的重要性和具体的应用场景。
一、数学数列的应用1. 财务分析在财务分析中，数学数列可以用来计算复利、投资回报率等。
复利是指根据一定时间间隔计算利息的方式，通过数列的递推关系可以计算出未来的投资回报，对于投资决策具有重要意义。
2. 科学实验科学实验中常常需要对一系列数据进行观察和分析，数列可以将这些数据按顺序排列，方便进行统计和分析。
例如，生物实验中测量时间和生长高度的关系，可以用数列来表示，进而分析出生物的生长规律。
3. 工程设计在工程设计中，数列可以用来表示物理量随时间或空间的变化规律。
例如，建筑物的结构设计需要考虑地震对建筑物的影响。
通过分析地震波的频率和振幅变化，可以得到一个数列表示地震波的波动规律，从而为工程设计提供科学依据。
二、函数的应用1. 经济分析经济学中经常使用函数来表示经济指标之间的关系，帮助经济学家做出决策。
例如，需求函数可以表示市场需求量与价格之间的关系，供给函数可以表示供应量与价格之间的关系。
通过函数的分析，可以找到最优的价格和产量，从而实现经济的有效配置。
2. 自然科学自然科学中的许多现象可以使用函数进行描述和分析。
例如，物理学中的力与位移的关系、生物学中的种群增长模型等。
函数的使用可以帮助科学家预测和解释实验现象，促进科学的发展。
3. 数据处理在数据处理中，函数可以用来处理和分析大量的数据。
例如，利用函数处理气象数据可以预测未来的天气情况，利用函数处理股票市场数据可以预测股价的走势。
函数的使用可以帮助人们快速准确地处理大量的数据，提高效率。
综上所述，数学数列与函数在实际应用中起着重要的作用。
无论是财务分析、科学实验、工程设计，还是经济学、自然科学、数据处理，数列与函数都发挥着关键的作用。
在日常生活和学术研究中，我们可以利用数列与函数的知识，更好地理解和应用数学。
数列与函数的极限公式概念
极限与连续一、数列的极限定义：1、给定数列{x n }，如果当n A ，则称数列{x n }以A 为极限，记作：lim n→∞x n =A 或者x n →A (n →∞)2、当数列{x n }以实数A 为极限时，称数列{x n }收敛于A ，否则称数列{x n }发散。
二、数列极限的性质：1)极限的惟一性：若数列收敛，则其极限惟一，若 lim n→∞x n =a ，则lim n→∞x n+1=a2)有界性：收敛数列必有界. （数列有界是数列收敛的必要非充分条件）3）数列的极限：如数列： ,12,,432,322,212++n n则它的极限为3即：3121lim 2lim )12(lim =+=++=++∞→∞→∞→n nn n n n n三、几个需要记忆的常用数列的极限 01lim =∞→n n 11lim =+∞→n n n 0lim =∞→n n q )1(<q )(lim 为常数a a a n =∞→四、运算法则：如果 A a n =∞→lim B b n =∞→lim则： B A b a n ±=±∞→)(lim B A b a n ⋅=⋅∞→)(lim )0(,lim≠=∞→B BA b a n二、函数极限：▪函数极限lim x→∞f(x)=A 的充分必要条件是lim x→−∞f(x)=lim x→+∞f(x)=A▪函数极限lim x→x 0f(x)=A 的充分必要条件是lim x→x 0−f(x)=lim x→x 0+f(x)=A▪分段函数极限与该点有无定义无关，只与左右极限有关. 即 lim x→x 0f (x )存在⇌ lim x→x 0−f (x )= lim x→x 0+f (x )▪函数极限的性质：1)极限的惟一性：若函数f(x)当x →x 0（或x →∞）时有极限，则其极限惟一.▪极限运算法则： 设limf(x)=A,limg(x)=B,则 1)lim[f(x)±g(x)]=A ±B 2)lim[f(x)g(x)]=AB 3)当B ≠0时，lim f(x)g(x) =AB 4)lim[cf(x)]=climf(x) (c 为常数) 5）lim[f(x)]k = [limf(x)]k (k 为常数)▪小结．．：．当a 0≠0, b 0≠0时，有lim x→∞a 0x n +a 1x n−1+⋯+a nb 0x m +b 1x m−1+⋯+b m= {a 0b 0 当n =m 时 0 当 n <m 时 ∞ 当n >m 时▪复合函数运算法则：lim x→x 0f[φ(x )]=lim u→u 0f (u )▪数列的夹逼准则：设有3个数列{x n }{y n }{z n },满足条件： 1）y n ≤x n ≤z n （n=1,2,…）；2）lim n→∞y n =lim n→∞z n =a ，则数列{x n }收敛，且lim n→∞x n =a▪函数夹逼准则：设函数f(x),g(x),h(x)在点x 0的某去心邻域内有定义，且满足条件： 1）g(x) ≤f(x) ≤h(x);2) lim x→x 0g(x)=A, lim x→x 0h (x )=A . 则极限lim x→x 0f (x )存在且等于A.▪单调有界准则：单调有界数列必有极限.即单调增加有上界的数列必有极限；即单调减少有下界的数列必有极限.▪两个重要的极限： ▪重要极限Ⅰ：lim x→0sinx x=1▪重要极限Ⅱ：lim x→∞(1+1x )x=e , lim x→0(1+x )1x=e▪无穷小的性质：1)有限个无穷小的代数和为无穷小. 2)有界变量与无穷小的乘积为无穷小. 3)常量与无穷小的乘积为无穷小. 4)有极限的量无穷小的乘积为无穷小. 5)有限个无穷小的积为无穷小.▪在某个自变量变化过程中limf(x)=A 的充要条件是f(x)=A+α(x). 其中α(x)是该自变量变化过程中的无穷小量.▪无穷小的比较：设α=α(x) ，β=β(x)都是自变量同一变化过程中的无穷小. 1.若lim βα=c (c ≠0,是常数)，则称β与α是同阶无穷小. 2.若lim βα=1，则称β与α是等价无穷小，记作β~α. 3.若lim βα=0，则称β与α是高阶无穷小，记作β=o(α) 4.若lim βαk =c(c ≠0,k 是正整数), 则称β与α是k 阶无穷小.5.α~β的充要条件为α-β是α(或β)的高阶无穷小,即β−α=o (α)或β=α+o(α)6.α,β, α′,β′,都是自变量同一变化过程中的无穷小,且 α~α′,β~β′,lim β′α′存在，则有lim βα= lim β′α′ ▪常用等价无穷小：[相乘的无穷小因子可用等价无穷小替换，加、减的不能] x →0时，x~ sinx~ tanx~ arcsinx~ arctanx~ ln(1+x)~ e x −1; 1-cosx~x 22；(1+x )a -1~ax(a ≠0) ;a x-1~xlna(a >0,a ≠1);√1+x n- 1~ xn常用等价无穷小：当变量0x →时，21sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,1~,ln(1)~,1cos ~,2x x x x x x x x x e x x x x x -+-√1+x - 1~ 12x~,(1)1~x x x αα+-．▪无穷大：函数无穷大 ⇀↚无界 x ⟶x 0时，若f(x)为无穷大，则1f(x)为无穷小；x⟶x0时，若f(x)为无穷小，且在x0的某去心邻域内f(x) ≠0, 则1为无穷大.f(x)[注：分母极限为0，不能用商的运算法则]▪初等函数：连续函数经过四则运算所得到的函数仍是连续函数.一切初等函数在其定义区间内都是连续的.f(x)=f(x0).如果f(x)是初等函数，x0是其定义区间内的点，则limx→x0最值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上必有最值.有界性定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上有界.介值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a) ≠f(b),则对于f(a)与f(b)之间的任何数μ，在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)= μ.零点定理(根的存在性定理)：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号(f(a)∙f(b)<0)，在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=01、0/0型：方法：将分子分母分解因式（消去公因子）或者将分子有理化（有理化），再求极限。
函数极限和数列极限的关系
函数极限和数列极限的关系在高等数学中，极限是一个非常重要的概念，它是数学分析中的基础，涉及到许多重要的定理和推论。
而函数极限和数列极限是极限中的两个重要分支。
虽然它们有着不同的定义和性质，但是它们之间存在着密切的联系和关系。
本文将从函数极限和数列极限的定义、性质和联系三个方面来探讨它们之间的关系。
一、函数极限和数列极限的定义函数极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值的极限存在，且唯一。
也就是说，如果函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，那么当x趋近于x0时，f(x)的极限存在，且唯一。
数列极限是指当数列的项数n趋近于无穷大时，数列的极限存在，且唯一。
也就是说，如果数列{an}有极限L，那么当n趋近于无穷大时，an的值趋近于L。
二、函数极限和数列极限的性质函数极限和数列极限都有着一些基本的性质。
首先，它们都是唯一的。
其次，它们都有着保号性和夹逼定理。
保号性指的是，如果函数或数列的极限存在且大于0（或小于0），那么它们的邻域内的函数值或数列项都大于0（或小于0）；夹逼定理指的是，如果函数或数列的极限存在且在某个邻域内，那么存在两个函数或数列，一个上界和一个下界，它们的极限都等于该函数或数列的极限。
三、函数极限和数列极限的联系函数极限和数列极限之间有着密切的联系和关系。
首先，函数极限可以用数列极限来表示。
例如，如果函数f(x)在x0的邻域内有定义，那么当x趋近于x0时，可以构造一个数列{an}，其中an=f(x)，那么当n趋近于无穷大时，an的极限就是f(x)的极限。
其次，函数极限和数列极限都有着相同的代数运算法则，例如加法、减法、乘法和除法等，这些运算法则可以用于计算极限。
最后，函数极限和数列极限都有着相同的应用领域，例如微积分、数学分析和物理学等，它们都是这些领域中的基础概念。
结论函数极限和数列极限是极限中的两个重要分支，它们之间存在着密切的联系和关系。
函数极限可以用数列极限来表示，它们都有着相同的代数运算法则，它们都有着相同的应用领域。
数列极限与函数极限
数列极限与函数极限数学中，极限是一个重要的概念，常常出现在数列和函数的研究中。
数列极限和函数极限都是描述数值序列或函数在某个变量趋近于某个特定值时的变化规律。
本文将分别介绍数列极限和函数极限的定义和性质，并举例说明其应用。
一、数列极限数列极限是指当数列的项随着序号无限增加时，数列的值逐渐趋近于一个确定的常数。
数列极限可以通过极限值的存在与否来判断。
设数列${a_n}$中的项为$a_1, a_2, a_3, \ldots$，若存在常数$A$，使得对于任意给定的正数$\varepsilon>0$，都存在正整数$N$，使得当$n>N$时，不等式$|a_n-A|<\varepsilon$成立，那么称$A$为数列${a_n}$的极限，记作$\lim\limits_{n \to \infty} a_n=A$。
对于数列极限，有以下常用性质：1. 极限的唯一性：若数列${a_n}$的极限存在，则极限是唯一的，即极限存在时，极限值是确定的。
2. 夹逼准则：若数列${a_n}$，${b_n}$和${c_n}$满足$a_n\leqb_n\leq c_n$，且$\lim\limits_{n \to \infty} a_n=\lim\limits_{n \to \infty}c_n=A$，那么$\lim\limits_{n \to \infty} b_n=A$。
这一性质可以帮助我们通过构造夹逼数列来求解某些复杂数列的极限。
3. 有界性：若数列${a_n}$的极限存在，则数列${a_n}$是有界的。
即存在正数$M$，使得对于任意的$n$，都有$|a_n|\leq M$。
二、函数极限函数极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值逐渐趋近于一个常数。
与数列极限类似，函数极限也可以用极限值的存在与否来判断。
设函数$f(x)$在$x$趋近于$a$时的取值逐渐趋近于$A$，那么称$A$为函数$f(x)$当$x$趋近于$a$时的极限，记作$\lim\limits_{x \to a} f(x)=A$。
数列极限与函数极限的异同
数列极限与函数极限的异同数列极限与函数极限是数学中两个最常见的概念，它们都是研究数学中的极限问题。
不同之处在于，数列极限是对一个递增的数列进行考察，而函数极限是对某一特定函数在一个点上的极限进行考察。
下面我们将详细探讨数列极限与函数极限的异同。
一、数列极限与函数极限的定义数列极限是指当数列的项数趋于无穷大时，数列呈现出的一种稳定状态，即数列最终的趋势。
用符号表示就是lim(x→+∞)a_n=a，其中a_n是数列的第n项，a是一个常数，当n趋向于无穷大时，数列a_n趋向于a。
函数极限则是指当自变量趋近某一特定值时，函数在该点处的极限值。
用符号表示就是lim(x→a)f(x)=L，其中f(x)是函数，a是极限点，L是极限值。
当自变量x无限接近极限点a时，函数f(x)也无限接近于L。
二、数列极限与函数极限的相同点数列极限与函数极限都是研究极限的概念，其本质是一致的。
数列极限与函数极限都是研究极限的趋向性问题，即研究随着自变量越来越接近极限时函数或数列呈现出的最终趋势。
它们都涉及到极限值的存在性和唯一性，即当极限存在时，极限值是唯一的。
三、数列极限与函数极限的不同点数列极限与函数极限的主要差别在于它们所研究的对象不同。
数列极限是对一个递增的数列进行考察，而函数极限是对某一特定函数在一个点上的极限进行考察。
数列的性质只与下标有关，而函数的性质则与自变量的取值有关。
另外，数列的项难以直观地进行观察，而函数的图像能够更加形象地表示函数的性质。
因此，数列极限的研究往往是从一个数学公式开始进行研究，而函数极限的研究则可以通过函数的图像一目了然地探究函数的性质。
四、数列极限与函数极限的联系虽然数列极限与函数极限的研究对象不同，但它们之间也存在联系。
事实上，数列极限是函数极限的一种特例。
可以将数列看成是区间上的特殊函数，而数列极限可以看成是函数在正无穷时的极限。
因此，可以将函数极限的基本定义拓展至数列极限。
同时，在研究数列极限和函数极限时，我们都需要考虑到极限点的存在性和唯一性、趋势性等问题。
初中数学数列与函数常见问题
初中数学数列与函数常见问题数列与函数是初中数学学习中的重要内容，对于很多初中生而言，数列与函数的概念和应用常常是比较困惑的。
本文将围绕初中数学数列与函数的常见问题展开，为同学们提供清晰的解答和指导。
问题一：数列与函数的基本概念是什么？数列是按照一定的规律排列起来的一串数，其中每个数都有固定的位置，称为项。
我们用a₁, a₂, a₃,…, aₙ表示数列的前n项，a₁为第一项，aₙ为第n项。
函数是两个集合之间的对应关系。
在数学中，我们用f(x)表示函数f中的元素x的像。
其中，x称为自变量，f(x)称为因变量。
问题二：什么是等差数列和等差数列的通项公式是什么？等差数列是指数列中相邻两项之差始终相等的数列。
我们用a₁, a₂, a₃,…, aₙ表示等差数列的前n项，公差用d表示。
等差数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n - 1)d。
问题三：什么是等比数列和等比数列的通项公式是什么？等比数列是指数列中相邻两项之比始终相等的数列。
我们用a₁, a₂, a₃,…, aₙ表示等比数列的前n项，公比用q表示。
等比数列的通项公式为：aₙ = a₁q^(n-1)。
问题四：如何判断一个数列是等差数列或等比数列？对于等差数列，我们可以通过计算相邻项的差是否恒定来判断。
如果相邻项之差恒定，则该数列为等差数列。
对于等比数列，我们可以通过计算相邻项的比是否恒定来判断。
如果相邻项之比恒定，则该数列为等比数列。
问题五：如何求解数列的和？对于等差数列，我们可以通过求解首项和末项的平均值乘以项数来得到数列的和。
即：Sₙ = (a₁ + aₙ) × n ÷ 2。
对于等比数列，我们可以通过最后一项与首项的比例关系来求解。
即：Sₙ = a₁ × (1 - qⁿ) ÷ (1 - q)。
问题六：什么是函数的图像？函数的图像是函数中各个元素所对应的点在平面上的位置的集合。
通常，我们将自变量x作为平面上的横坐标，因变量f(x)作为纵坐标，将这些点连成曲线，便得到了函数的图像。
高三数学数列、函数的极限及函数的连续性知识精讲
高三数学数列、函数的极限及函数的连续性【本讲主要内容】数列、函数的极限及函数的连续性数列与函数的极限定义、极限的四则运算、函数的连续性【知识掌握】【知识点精析】 （一）数列极限 1. 概念考察以下三个数列当n 无限增大时，项a n 的变化趋势：.,101,,101,101,10132 n ① .,1,,43,32,21 +n n ② .,)1(,,31,21,1 nn --- ③（1）随着n 的增大，从数值变化趋势上看，a n 有三种变化方式：数列①是递减的,② 是递增的，③是正负交替地无限趋近于a.（2）随着n 的增大，从数轴上观察项a n 表示的点的变化趋势，也有三种变化方式:① 是从点a 右侧，②是从点a 左侧，③是从点a 两侧交替地无限趋近于a ．（3）随着n 的增大，从差式∣a n －a ∣的变化趋势上看，它们都是无限地接近于0，即a n 无限趋近于a ．这三个数列的共同特性是：不论这些变化趋势如何，“随着项数n 的无限增大，数列项a n 无限地趋近于常数a （即∣a n －a ∣无限地接近于0）”．定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a 时，（即a a n -无限地接近于0），那么就说数列{}n a 以a 为极限，或者说a 是数列{}n a 的极限。
表示为a a lin n n =∞→2. 数列极限的表示方法：① a a n n =∞→lim ②当∞→n 时，a a n →.3. 几个常用极限：①C C n =∞→lim （C 为常数）②),(01lim是常数k N k n kn ∈=∞→③对于任意实常数， 当1||<a 时，0lim =∞→nn a当1=a 时，若a ＝1，则1lim =∞→n n a ；若1-=a ，则nn n n a )1(lim lim -=∞→∞→不存在当1>a 时，nn a ∞→lim 不存在（二）函数极限研究函数的极限，首先考虑自变量x 的变化方式有哪些． 1. x →∞时，函数)(x f 的极限 考察函数f(x)＝1，当x →＋∞和x →－∞时，函数的变化趋势 （1）当x →＋∞时，从图象和表格上看，函数y ＝x的值无限趋近于0．就是说 函数y ＝x1上的极限为0，记作01lim =+∞→x x（2）当-∞→x 时，类似地可得函数xy 1=的值无限趋近于0，就是说，当-∞→x 时，函数xy 1=的极限为0，记作01lim =-∞→x x（3）还可以从差式│y －0│上看，随着x →＋∞ (或x →－∞),差式无限趋近于0，即函数y ＝x1无限趋近于0，这说明01lim =+∞→x x (或01lim =-∞→x x )函数f(x)的变化趋势与极限的关系见下表：几种特殊函数的极限：（1）常数函数f(x)＝C (C 为常数,x ∈R),有C x f x =∞→)(lim（2）函数xx f 1)(=（x ≠0）,有01lim =∞→x x .2. x →x 0时，函数)(x f 的极限例1. 考察函数y ＝x 2，当χ无限趋近于2时，函数的变化趋势．①从表一上看：自变量x<2趋近于2(x →2-)时，y →4． 从表二上看：自变量x>2趋近于2(x →2+)时，y →4．②从图象上看：图象见教科书第79页，自变量x 从左侧趋近于2(即x →2-)和从右侧趋近于2(即x →2+)时，y 都趋近于4．③从差式|y －4|看：差式的值变得任意小(无限接近于0)．从任何一方面看，当x 无限趋近于2时，函数y ＝x 2的极限是4．记作： 2lim →x x 2＝4注意：x →2，包括分别从左、右两侧趋近于2．例2. 考察函数112--=x x y (x ≠1),当x →1时的变化趋势.分析：此例虽然在x ＝1处没有定义，但仍有极限．即：2)1(lim 11lim121=+=--→→x x x x x 定义：一般地，当自变量x 无限趋近于常数0x （但不等于0x ）时，如果函数)(x f 无限趋近于一个常数a ，就是说当x 趋近于0x 时，函数)(x f 的极限为a ．记作a x f x x =→)(lim 0或当0x x →时，a x f →)(.注：当0x x →时，)(x f 是否存在极限与)(x f 在0x 处是否有定义无关，因为0x x →并不要求0x x =．（当然，)(x f 在0x 处是否有定义也与)(x f 在0x 处是否存在极限无关．故函数)(x f 在0x 有定义是)(lim 0x f x x →存在的既不充分又不必要条件．）如⎩⎨⎧<+->-=1111)(x x x x x P 在1=x 处无定义，但)(lim 1x P x →存在，因为在1=x 处左右极限均等于零．3. 函数)(x f 的左、右极限例3 考察函数f(x)＝ ⎪⎩⎪⎨⎧+x x 01).0(),0(),0(时当时当时当<=>x x x 当x →0-时，或x →0+时函数的变化趋势．分析： 此例与上两例不同，x 从原点某一侧无限趋近于0，f(x)也会无限趋近于一个确定的常数．但从不同一侧趋近于0，f(x)趋近的值不同，这时f(x)在x 0处无极限．定义：如果x 从x ＝x 0的单侧无限趋近于x 0时，f(x)无限趋近于一个常数a ，那么a 叫做f(x)单侧的极限．当x →x -0时，f(x)的极限a 1叫做左极限，记作1x x a )x (f lim 0=-→；当x →x +0时，f(x)的极限a 2叫右极限，记作2x x a )x (f lim 0=+→． 只有a 1＝a 2时，a x f x x =→)(lim 0才存在。
函数及数列知识点总结 原创经典
一、求函数定义域的方法：注意：求函数定义域指求使函数表达式有意义的x 的取值集合；定义域用集合或区间表示1、分式的分母不为0 例：求函数3()21f x x =-的定义域 2、偶次根式的被开方数非负例：求函数()f x =3、0次幂的底数不为0 例：函数()1f x =和函数0()f x x =是同一个函数吗？ 4、根据实际意义 例：求教室内窗户的高度x ，应保证0x > 5、几部分数学式子组成，应保证每部分都有意义例求函数3()1f x x =-的定义域6、分段函数的定义域指各部分的区间的并集例：函数223,(,0)()21,[0,)x x f x x x +∈-∞⎧=⎨+∈+∞⎩的定义域7、复合函数的定义域：⑴复合函数定义域指最终变量的取值集合；⑵()f 括号内部分范围一样 例：已知函数(21)y f x =-+为[]2,1--，求函数(1)y f x =+的定义域二、求函数值域的方法：注意：求值域要受到定义域的影响，值域为集合B 的子集 1、 直接法 例：求函数()21f x x =-的值域2、 配方法 例：求函数2()23f x x x =++的值域变式：求[]2()23,2,4f x x x x =++∈-的值域 3、 图像法 例：求函数2()f x x x=+的值域 4、 换元法例：求函数()f x x =+注意：新变量的取值范围的影响5、 判别式法 例：求函数23()4xf x x =+的值域 6、 单调性法 例：求函数[]21(),2,4x f x x x-=∈的值域 7、 分段函数的值域为各部分的并集 例求函数22, (1)(), (12)2, (2)x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥的值域8、 分离常数法： 例：求函数3()21xf x x =+的值域 三、求函数解析式的方法：注意：写解析式时一定要注明定义域1、 待定系数法 例：已知二次函数过（-2，0）（4,0）且最大值为9，求()f x2、 换元法 例：已知2(21)f x x +=，求()f x3、 整体代入法 例：已知2()1f x x =-，求(21)f x + 4、 构造组法 例：已知()2()3f x f x x +-=，求()f x5、 赋值法 （了解）四、函数的单调性：是函数的局部性质，所以说单调增、减时一定要说明在哪个区间上； 单调区间是定义域的子集 常见函数的单调性：1、 一次函数(0)y kx b k =+≠的单调性：k>0时定义域上为增，k<0时定义域上为减 2、 二次函数 的单调性： a>0时对称轴左侧区间为减，右侧为增；a<0时相反。
数列和函数
数列和函数
数列和函数：
1.联系：他们的变量都满足函数定义，都是函数。
可以有an=f(n).
函数和数列的问题可以相互转化。
函数问题转化成数列问题来解决，就是数列法。
如，先认识数列极限，再认识函数极限。
数列的问题转化成函数问题来解决，就是函数法。
如，用求函数最值的方法来求数列的最值。
又如，an=n^2的图象是分布在抛物线y=x^2右支上的点。
2.区别：数列是离散型函数，自变量是正整数。
定义域是正整数集及其子集。
图象是孤立的点。
函数是连续型函数居多，尤其是初等函数。
自变量是实数。
定义域是实数及其子集。
图象是不间断的曲线（有间断点的除外）。
数列与函数的综合
第八讲数列与函数的综合一、重点公式1 •等差数列的有关定义⑴一般地，如果一个数列从第_______ 项起，每一项与它的前一项的___________ 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列•符号表示为_______________ (n N*，d为常数)•⑵数列a,A,b成等差数列的充要条件是________________ ，其中A叫做a,b的 ______________ •2 •等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ___________ , a n a m ____________________________ (m,n N*).⑵前n项和公式：S n_______________ ______________.3 •等差数列的前n项和公式与函数的关系：S n_______________ .数列a n是等差数列的充要条件是其前n项和公式S n__________________ .4 •等差数列的性质(1)若m n p q (m,n, p,q N *),则有_____________________ ，特别地，当m n 2p 时，___________________ .⑵等差数列中，S n, S2n S n , S sn S?n成等差数列.⑶等差数列的单调性：若公差 d 0 ,则数列为_________________ ；若d 0，则数列为____________________ ；若d 0 ,则数列为________________ •5.等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列, 这个常数叫做等比数列的__________ ，通常用字母 ______ 表示(q 0)•6 •等比数列的通项公式设等比数列a n的首项为a1，公比为q，则它的通项a. _________________ .7 .等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a , G , b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.8 •等比数列的常用性质(1) 通项公式的推广：a n a m ____________________ (n,m N ).(2) 若a n为等比数列，且k l m n (k,l,m,n N )，则________________________________ .(3)若a n , b n(项数相同)是等比数列，则a n (0),a n2，a n,a n b n ,an仍是等比b n数列.a10 印0a10a10⑷单调性：或？a n是数列；或q 1 0 q 10q 1q 1q0?a n是数列. ? a n 是一数列：q 1?a n是数列：9 •等比数列的前n 项和公式等比数列a n 的公比为q (q 0),其前n 项和为S n ，当q 1时，S n na i ； 当q 1时，S n 10 •等比数列前n 项和的性质二、典型例题 知识点1 数列的概念4 .设关于x 的不等式x 2 — x <2 nx (n € N *)的解集中整数的个数为 a *,数列a *的前n 项和为S n ，则S 100 的值为 ________ .5.在数列a n 中，若点(n ,a n )在经过点(5,3)的定直线丨上，则数列 a n 的前9项和S 9 ___________________________ .知识点3 综合题型 6 •互不相等的三个正数，X 1,X 2,X 3成等比数列且点P 1(log a X 1,log b y 1), P 2(log a X 2,log b y 2), P 3(log a X 3,log b y 3), (a 0,a 1;b 0,b 1)三点共线，则y 1, y 2, y 3 成()公比不为 1的等比数列a n 的前n 项和为S n ，则S n , S 2nS n,S 3n S 2n 仍成等比数列，其公比1.下列公式可作为数列a n121,2,1,2的通项公式的是 (A • a n 1a nC • a n2 I sinD • a n(1)"322.数列a n 的通项 a n 90，则数列 a n 中的最大值是知识点 3.10B • 191C.—19602 前n 项和 3•已知数列a n 的通项公式n + 1a n = log 2—n + 2(n € N *),设｛a n ｝的前n 项的和为S n ,则使S n < — 5成立的自然数 n ()A .有最大值63B .有最小值63C .有最大值31D .有最小值31X i ,X 2满足X i 1 X 2，则数列｛a n ｝的偶数项之和减去奇数项之和的结果为()(A ) 15( B )10( C )5( D ) 208•已知定义在(0,1)的函数f (x)，对任意的m, n (1,)且m n 时，都有f (m ) f(b m n 、、 f ( )。
数列函数知识点归纳总结
数列函数知识点归纳总结一、定义和性质数列是按照一定规律排列的一系列数，常用表示形式为 {an} 或 (an)，其中 n 代表项的位置，an 代表第 n 项的数值。
数列函数是指将自然数映射到实数集的函数。
1.1 递推公式数列函数常通过递推公式来表达，在递推公式中，每一项都由前一项和其他常数或函数决定。
例如：an = an-1 + 2，表示第 n 项等于前一项加上 2。
1.2 通项公式通项公式是指将数列的第 n 项用 n 表示的公式。
通项公式的存在能够方便计算任意项的值，常见的数列函数有等差数列、等比数列和斐波那契数列。
二、常见数列函数2.1 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列，通常表示为 {an} = a1 + (n-1)d，其中 a1 为首项，d 为公差。
等差数列的递推公式为 an = an-1 + d。
2.2 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列，通常表示为 {an} = a1 * r^(n-1)，其中 a1 为首项，r 为公比。
等比数列的递推公式为 an = an-1 * r。
2.3 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和，通常表示为{an}，其中 a1 = 1，a2 = 1。
斐波那契数列的递推公式为 an = an-1 + an-2。
三、求和公式在数列函数的应用中，我们常常需要计算前 n 项和，以下是常见数列函数的求和公式。
3.1 等差数列的求和公式等差数列的前 n 项和用 Sn 表示，求和公式为 Sn = (n/2) * (a1 + an)，其中 n 为项数，a1 为首项，an 为第 n 项。
3.2 等比数列的求和公式等比数列的前 n 项和用 Sn 表示，求和公式为 Sn = (a1 * (r^n - 1))/(r- 1)，其中 n 为项数，a1 为首项，r 为公比（r ≠ 1）。
3.3 斐波那契数列的求和公式斐波那契数列的前 n 项和用 Fn 表示，求和公式为 Fn = F(n+2) - 1，其中 F 表示斐波那契数列的通项公式。
数列与函数的关系
a p3 : 数列 n 是递增数列；p4 : 数列 n
an 3nd是递增数列；
D. p1, p4
A. p1, p2
B. p3 , p4
C. p2 , p3
{an } 是公比为 q 例3.设 （ ）
A.充分且不必要条件 C.充分必要条件
的等比数列，则 " q 1"
"{an }" 是
n是正整数， Sn 是数列 an 的前n项和，求S n 的最小值。
解：（ 1）已知函数f(x)=ab x (a, b为常数）的图像经过点P, Q则有
5 x 1 x f ( x) 4 (也可以写成 4 2 等不同的形式。 ) 32
4n 2 an log 2 f n log 2 32 因为a n 1 a n 2 n 1 5 2n 5 2 ; 所以a n 是首项为 3，公差为2的等差数列 n(3 2n 5) n 2 4n (n 2) 2 4 2 当n 2时，取最小值 4 所以Sn
知识点三：数列的单调性与最值 解析2：函数y=f(x)为增函数，则其对应的数列为增函数， 函数y=f(x)为减函数，则其对应的数列为减函数 但是，数列 a f (n) 为递增数列其对应的函数不一定是增函数
n
知识点四：等差数列与等比数列的单调性 一、等差数列的单调性 1、等差数列的的通项公式可以变形为an =dn+ a1 - d , 故 当d 0时可看成是关于的一次函数，d 0时数列为递增数列 d 0时数列为递减数列 n(n 1) d 2 d 2、等差数列的前n项和公式为S n = na1 d n (a1 )n 2 2 2 可看出是关于n的不含常数项的二次函数
数列是特殊的函数
数列是特殊的函数
数列可以看作是函数的一种特殊形式，在定义域为自然数集的情况下，数列可以表示
为数域到数域的映射。
数列中的每个元素都对应着一个自然数n，称为该数列的索引。
通
过索引n可以确定数列中的某个元素an。
数列的通项公式可以表示为f(n)=an。
数列有着固定的增长或减少规律，即数列中相邻的两个元素之间存在着确定的关系。
这种关系可以是简单的加减乘除等基本运算，也可以是更复杂的递推公式。
等差数列中相
邻两项之间的差值是固定的，可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，d是公差。
数列的增长或减少规律可以帮助我们预测数列中的任意一项，以及计算数列的和。
根
据数列的增长规律，我们可以通过递推公式来计算数列中的任意一项。
斐波那契数列的递
推公式是an = an-1 + an-2，其中前两项是已知的。
通过递推公式，我们可以计算出数列中任意一项的值。
数列还有其他一些特殊的性质和应用。
数列可以用来表示某个物理过程或实验中的数
据序列，通过分析数列中的规律，可以得出一些有关于物理现象的结论。
在计算机科学中，数列也有着广泛的应用，例如动态规划中的最优解问题，可以通过构建数列来解决。
数列
还可以用来表示排列或组合的方式，例如阶乘数列可以表示排列的方式数，组合数列可以
表示组合的方式数。
数列是特殊的函数
数列是特殊的函数数列是数学中的一个重要概念，它是一种特殊的函数。
在数列中，通常以n表示自变量，而数列的值则用a_n表示。
数列的定义可以用公式、递推关系或者描述性的语句来表达。
数列可以是有穷的，也可以是无穷的。
有穷数列指的是数列中的项数是有限的，而无穷数列则指的是数列中的项数是无限的。
在实际应用中，无穷数列更常见，例如自然数数列1,2,3,4,\ldots，斐波那契数列1,1, 2,3, 5,8, 13,21, \ldots等都是无穷数列。
数列的项之间通常存在某种规律，这种规律可以用数列的递推公式来表示。
递推公式指的是通过已知项求得下一项的公式。
例如斐波那契数列的递推公式是a_n = a_{n-1} +a_{n-2}，其中a_{n-1}和a_{n-2}分别表示已知的前两项。
数列的递推公式可以帮助我们计算出数列中任意位置的项。
斐波那契数列中的第6项可以通过递推公式计算得到：a_6 = a_5 + a_4 = 8 + 5 = 13。
数列的性质和性质研究是数学分析中的一个重要的课题。
在研究数列的性质时，我们通常关注数列的极限、收敛性、敛散性等。
极限是数列的一个重要概念，指的是当n趋向于无穷大时，数列的值是否趋向于一个确定的值。
如果数列的极限存在，我们称该数列是收敛的，否则称为发散的。
数列可以进行各种运算，例如求和、求积等。
如果一个数列的前n项之和存在有限极限，则称该数列是收敛的，否则称为发散的。
求和运算可以用来计算数列中前n项的总和，而求积运算则可以用来计算数列中前n项的乘积。
数列在实际中有着广泛的应用。
例如在物理学中，我们可以通过数列来描述运动的速度、加速度等。
在经济学中，数列可以用来描述物价的变化、经济增长率等。
在计算机科学中，数列可以用来描述算法的时间复杂度、空间复杂度等。
数列是特殊的函数
数列是特殊的函数数列是一种特殊的函数，它是指一组有序的数按特定规律排列而成的序列。
数列是数学中非常重要的一种概念，因为它可以描述许多自然界和人类活动中出现的规律和规律。
在数学中，数列有很多种分类，包括等差数列、等比数列、斐波那契数列等等。
本文将以等差数列和等比数列为例，详细介绍数列的概念、性质和应用。
一、等差数列等差数列是一组数按照固定公差逐项增加（或减少）的数列，其中公差是相邻两项之间的差。
形式化地说，若数列 $a_1, a_2,\cdots, a_n$ 满足 $a_{n+1}-a_n=d$（常数$d$ 为公差），则称该数列为等差数列。
例如，数列 $1, 3, 5, 7, 9,\cdots$ 就是一个公差为 $2$ 的等差数列。
1. 等差数列的通项公式对于等差数列 $a_1, a_2,\cdots, a_n$ ，我们可以使用通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$ 来求出其第 $n$ 项。
其中，$a_1$ 为首项，$d$ 为公差。
通项公式是等差数列的一个重要性质，因为它可以帮助我们快速计算数列的各项值。
等差数列具有以下性质：(1) 任意相邻两项的差都是相同的，即 $a_n-a_{n-1}=d$。
(2) 等差数列的前 $n$ 项和为 $S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$。
等差数列有许多应用，其中包括：(1) 推理数列中的规律，例如计算前 $n$ 项之和；(2) 计算重复增长的数值，例如利率计算、房租涨幅计算等等；(3) 构建等差数列模型，例如计算器中的加法规律、平均数公式等等。
2. 等比数列的性质总之，等差数列和等比数列都是数列中非常重要的两个概念。
它们不仅是数学中的基础知识，而且在计算器和数据处理应用中也有广泛的应用。
因此，我们应该深入掌握这两种类型的数列，并在实际应用中加以灵活运用。
数列是特殊的函数
数列是特殊的函数数列是一种特殊的函数，它在数学中发挥着重要的作用。
数列的概念最早可以追溯到古希腊数学家泰勒斯，他在研究三角形数的时候首次提出了数列的概念。
随着数学的发展，数列的相关理论也得到了完善和丰富，成为了数学教育中不可或缺的一部分。
数列和函数之间存在着密切的联系，实际上，数列可以看作是离散的函数。
数列可以由函数来表示，同样，函数也可以由数列来表示。
通过函数的概念，可以更好地理解和研究数列的性质和规律，而数列的研究也可以促进对函数性质的认识和理解。
数列和函数的关系，丰富了数学的内涵，也为数学教育提供了更为广阔的空间。
数列的研究可以追溯到古希腊的数学，但是在17世纪以后，随着微积分等数学分支的兴起，对数列的研究也得到了更为深入和系统的探讨。
在18世纪，欧拉、泰勒和康德里亚诺等数学家对数列的研究做出了重要贡献，奠定了数列理论的基础。
20世纪以后，数学家们在对数列的研究中不断深入，发现了许多数列的新性质和规律。
数列的研究成果广泛应用于数学的各个领域，为数学科学的发展做出了重要贡献。
在数列的研究中，收敛性是一个重要的问题。
数列的收敛性是指数列中的数随着序号的增加而趋向于一个确定的值。
如果一个数列具有收敛性，那么它称为收敛数列；反之，如果一个数列没有趋向于一个确定的值，那么它称为发散数列。
收敛数列在数学分析中具有重要的地位，它是微积分的基础，也是函数连续性和导数连续性的基础。
数列的收敛性不仅在理论上有重要意义，在实际问题中也有着广泛的应用。
数列的求和是数列理论中的一个重要问题。
在数列的研究中，有时需要对数列中的一部分或全部数进行求和，从而得到一个数列的和。
对于有穷数列而言，求和是简单的；但是对于无穷数列来说，求和却是一个复杂的问题。
数学家们在对数列求和的研究中提出了许多方法和技巧，比如级数的概念、逐项积分法求和等。
数列的求和问题是数学研究中的一个重要问题，它在分析学、代数学等领域都有着广泛的应用。
数列的一些特殊类型也得到了深入的研究。
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NEXT
转化为 A、 B 两点间的距离的最小值问题，实现了数与形的转化，体现了数形结合思想的运用.
4.2.在函数、数列中的应用
（2009· 广东· 8） 理·
已两起发 知车点 甲由同 、同时 乙一出 乙曲 车线 、分 的别 速为 度 下一是 列定 判正 断确 中的 (
,并线直． 沿（线 同假） 一定行 路为驶 甲 如图 那中 图给 么定 所 ． 对 示 ） v甲 和 v乙（于的 )
数， 所以 g x 在 x 的图像可以想象，
1 2
时有极大值， x 2 时有极小值， 在 结合 g x
4.2.在函数、数列中的应用
（2012届伯乐马课标区第一次标准模拟考试· 21）
要使 g x 仅有一个零点， 必有极大值小于零， 或极小值小于零，即 g
1 0 或 g 2 0 ， 2
NEXT
4.2.在函数、数列中的应用
（2010· 新课标· 11） 理·
lg x , 0 x 1 0 , 已知函数 f x 1 若 a , b , c 互不相等， x 6, x 10. 2
且 f a f b f c ，则 abc 的取值范围是 A． 1,10 B． 5, 6 C． 1 0,1 2 D． 2 0, 2 4
2
.点 A
在半圆 x y 2 y 0 上，点 B 是双曲线 xy 9 上的点，所以
2 2
f u, v 的最小值等于半圆 x y 2 y 0 上的点与双曲线
2 2
xy 9 上的点的最短距离的平方，如图
4.2.在函数、数列中的应用
（典型问题）
可先求出双曲线（第一象限内一支） 上的点到圆心即原点 O 的最短距离，
9 2 x 1
k 仅有一个零点， 求实数 k 的
分析：在（Ⅰ）中易得 a 1 ，从而 f x x x ln x ．
4.2.在函数、数列中的应用
（2012届伯乐马课标区第一次标准模拟考试· 21）
（Ⅱ） g x 1 ln x
9 2 x 1
4.2.在函数、数列中的应用
（典型问题）
等差数列前 n 项之和 S n 是关于 n 的二次函数，且 常数项为 0，因为
Sn Sm m n 时 ， 点
m , S m 和 n , S n 关于对
称轴对称，如图. 从图像 中可以看出， S m n 0 .
4.2.在函数、数列中的应用
（2010· 湖南· 8） 理·
解 法
0,0
2：容 易 看 出 因 为 ． 图线 像 关 于 直
f
最 小 值 x 的是
x 1 2
0，低 且点 一是 个 最 对还 称有 ，一 所个 以
最 低 点 是 0, 1
，由
f 2x
xt
过 点 0, 1
，得
t 1 ，故选 D．
NEXT
4.2.在函数、数列中的应用
（典型问题）
已 知 等 差 数 列 an 中 ， 前 n 项 之 和 为 S n ， 若
S n S m m n ，求 S m n 的值.
分析：这是数列中的一个典型问题，可利用数列的不同 方法来加以解决，但若能充分理解数列的函数属性，利 用函数图象加以解决，那真是有神来之笔.
例 题
（2010· 湖南· 8） 理·
用nm, i
f
a b 表 示 a ， b 两 数 中 的 最 小 值 。 若 函 数
m in x , x t 的图像则 t 的值为 A．-2 B．2 C．-1 D．1
解法 1：作函数 f 1 x x 和 f 2 x x t （ t 为参数）的 图像，
4.2.在函数、数列中的应用
函数的表示方法有： 列表法、 图像法、 解析式法． 基 本初等函数都能用图像表示，函数与图像之间存 在对应关系． 函数图像能反映出函数的基本性质，比如定义域、 值域、对称性、单调性、周期性、渐近线等． 导数的几何意义：切线的斜率． 定积分的几何意义：面积． 数列是特殊的函数．
4.2.在函数、数列中的应用
（2010· 湖南· 8） 理·
这函像下部是 两数位方分函 个图于的就数 图得 像 ， f 2 x 的使 能看到 t 的 取 值 为
f
f
图移 像动 x 的，
1 2
x 的图像关于直线 x
D．
对时 称， ， 此
1， 故 选
解 法 二
4.2.在函数、数列中的应用
NEXT
所以 abc c ，故选 C．
4.2.在函数、数列中的应用
（典型问题）
求 f u, v u v
2
2u
2
9 的最小值 v
2
解析： 设出两个点 A u , 2 u
2
9 , B v, ， f v 则 u , v
A B
k x 0
g x
1 x
9 2 x 1
2
2 x
1 x 2
2
2 x x 1
x
0
1 1 可以求得 g x 在 0 , 和 2, 是增函数，在 , 2 上是减函 2 2
x y 2 xy 2 9 18 ，
2 2
∴这个最短距离是 1 8 3 2 . ∴
f u, v
2 2
的 最 小 值 为
2
3
8.
点评：本题外形为代数问题，巧妙地构造出两动点 A u , 2 u
2
9 , B v , 以后，题设问题便 v
故有 k ,
ln 2 4 ln 2 , ． 2 5
点评：这里，函数 g x 的图像作为桥梁把条件“ g x 仅有一个零点”等价转化成不等式
1 g 0 或 g 2 0 ，同时，还要思维缜密，应有极大值小于零，或极小值小于零两种情况． 2
练 习
内的，数 速定即 度积速 函分函 数 度 面图区可 积像域以 ．中的看 根不面到 据同积
所 以 无 论 在 故 答 案 选
t0 0
v甲 d t v乙 d t ， 且
0
t0
t1 0
v甲 d t v乙 d t
0
t1
刻 ， 还 是 t 0 时在 A.
刻驶大驶 ，的于的 甲路乙路 车程车程 t1 时行总行，
NEXT
4.2.在函数、数列中的应用
（2012届伯乐马课标区第一次标准模拟考试· 21）
已知函数 f x a x x ln x 的图像在点 x e（e 为自然对数的底数） 处的切线斜率为 3. （Ⅰ）求实数 a 的值； （Ⅱ） 若函数 g x 取值范围；
f
x
x
t 0 和 t1 ，
（A）在 t1 时在 刻乙 ，车 甲前 车面 （B） t1 时刻后，甲车在乙车后面 （C）在 t 0 时刻，两车的位置相同 （D） t 0 时刻后，乙车在甲车前面
4.2.在函数、数列中的应用
（2009· 广东· 8） 理·
分 析 ：
根 据 定 积 分
的知段驶是 几：时的该 何车间路时 意在内程间 义某行就段 图 像 与 v t 的 以围 及城 时区 间域 t 轴段的
解析：作出函数 f x 的图像.
4.2.在函数、数列中的应用
（2010· 新课标· 11） 理·
不妨令 a b c ，由图知 0 a 1,1 b 10,10 c 12 ， 所以 f a lg a , f b lg b ，由 f a f b 得 ab 1 ，