高一数学总体分布估计(2019年9月)
高一数学用样本估计总体试题答案及解析
高一数学用样本估计总体试题答案及解析1.从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[120,130），[130,140），[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，则从身高在[120,130内的学生中选取的人数应为．【答案】10【解析】由频率分布直方图可得：；则[120,130），[130,140），[140,150]三组人数所占的比例为，则在[120,130内选取的人数应为.【考点】频率分布直方图.2.设的平均数是，标准差是，则另一组数的平均数和标准差分别是_________.【答案】，.【解析】另一组数的平均数为：，标准差为：，所以则另一组数的平均数和标准差分别是，.【考点】统计中的期望与方差.3.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，则时速在[60，70)的汽车大约( )A．30辆B．40辆C．60辆D．80辆【答案】D【解析】时速在[60，70)的频率为，故汽车大约有辆.【考点】频率分布直方图的应用.4.某校五四演讲比赛中，七位评委为一选手打出的分数如下：90 86 90 97 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为；方差为故选B.【考点】样本平均数和方差的计算.5.统计某校800名学生的数学期末成绩，得到频率分布直方图如图所示，若考试采用100分制，并规定不低于60分为及格，则及格率为．【答案】0.8【解析】由图形可知及格率为,答案为0.8.【考点】频率分布直方图6.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲乙丙丁从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是( ).A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】C.【解析】分析表格可知，乙与丙的平均环数最多，又丙的方差比乙小说明丙成绩发挥的较为稳定，所以最佳人选为丙.【考点】数据的平均数与方差的意义.7.一次选拔运动中，测得7名选手的身高(单位：cm)分布茎叶图如图，记录的平均身高为177cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为( )A．5B．6C．7D．8【答案】D【解析】由图可知7名同学的身高分别为180、181、170、173、，178、179而7名同学的平均身高为177，所以有得=178，所以【考点】茎叶图8.由正整数组成的一组数据，其平均数和中位数都是，且标准差等于，则这组数据为 .（从小到大排列）【答案】【解析】由已知不妨假设，则，又因为标准差等于，所以，且都是正整数，观察分析可知这组数据只可为：１，１，３，３．【考点】１．平均数与中位数；２．标准差；３．方程组思想．9.某路段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不得超过70km/h，否则视为违规扣分，某天有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图，如下图所示，则违规扣分的汽车大约为辆.【答案】120.【解析】易求得70-80这组的频率为1-0.05-0.18-0.38-0.27=0.12，则违规扣分的汽车大约为辆.【考点】频率分布直方图中每组对应的长方形面积为，总面积为1，频数=频率样本容量.10.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________；(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)的人数为________．【答案】0．04；440【解析】由频率分布直方图得：，解得；志愿者年龄在[25,35)的人数为．【考点】概率与统计．11.将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用表示，则x的值为( )A．0B．4C．5D．7【答案】A【解析】如果是最高得分的话，,所以是最大值，那么,解得,故选A.【考点】茎叶图12.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10，6，8，5，6，则该组数据的方差______.【答案】3.2【解析】由平均数及方差的定义可得；.【考点】样本数据的数字特征：平均值与方差.13.在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40.(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)求这两个班参赛的学生人数是多少；(3)这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内.【答案】（1）第二小组的频率为，补全的频率分布直方图详见解析；（2）100人；（3）九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内.【解析】（1）先从所给的直方图中得出第一、三、四、五小组的频率，然后用1减去第一、三、四、五小组的频率和得到第二小组的频率，接着由确定第二小组的小长方形的高，从而可补全频率分布直方图；（2）用第二小组的频数除以该组的频率，即可计算出九年两个班参赛学生的总人数；（3）要确定中位数所在的小组，只需先确定各小组的频数，从第一小组开始累加，当和达到总人数的一半时的组就是中位数所在的小组.试题解析：(1)∵各小组的频率之和为1.00，第一、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05∴第二小组的频率为：∴落在59.5～69.5的第二小组的小长方形的高，则补全的频率分布直方图如图所示(2)设九年级两个班参赛的学生人数为人∵第二小组的频数为40人，频率为0.40∴，解得所以这两个班参赛的学生人数为100人(3)因为0.3×100＝30，0.4×100＝40，0.15×100＝15，0.10×100＝10，0.05×100=5即第一、第二、第三、第四、第五小组的频数分别为30，40，15，10，5所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内【考点】1.频率分布直方图；2.转化与运算能力.14.在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数,若样本容量为160, 则中间一组（即第五组）的频数为（）A．12B．24C．36D．48【答案】C【解析】设公差为d，那么9个小长方形的面积分别为0.02，0.02+d，0.02+2d，0.02+3d，0.02+4d，0.02+3d，0.02+2d，0.02+d，0.02，而9个小长方形的面积和为 1，可得0.18+16d=1 可以求得d=∴中间一组的频数为：160×（0.02+4d）=36．故答案为：36．故选C。
高三数学人教版总体分布的估计知识点归纳总结知识点总结
高三数学人教版总体分布的估计知识点归纳总结知识点总结总体分布的估计是统计学中常用的手法，为此整理了总体分布的估计知识点，请大家查看。
样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，即用样本平均数估计总体平均数(即总体期望值――描述一个总体的平均水平);用样本方差估计总体方差(方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差或标准差越小，表示这个样本或总体的波动越小，即越稳定)。
一般地，样本容量越大，这种估计就越精确。
总体估计要掌握：(1)表(频率分布表);(2)图(频率分布直方图)。
提醒：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率
其中，样本指是指从全部的调查对象提取出来进行调查的个体
个体指总体中的每一个考察的对象，
总体指考察的对象的全体，
样本容量指样本中个体的数目。
例如，为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省市的2500名城镇居民，这个问题中2500名城镇居民的寿命的全体是样本。
2500是样本容量。
某个人的寿命是个体。
全国人口寿命是总体。
总体分布的估计知识点的全部内容就是这些，更多精彩内容请持续关注。
总体离散程度的估计(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
3
1
s2乙＝ ×[(99-100)2＋(100-100)2＋(102-100)2＋(99-100)2＋(100-100)2＋(100-100)2]＝1.
6
－
－
(2)由(1)知 x 甲＝ x 乙，比较它们的方差，因为 s2甲＞s2乙，故乙机床加工零件的质量更稳定．
2.若样本x1 ,x2 ,,xn的平均数是7,方差是3,则样本2 x1 1,2 x2 1,,2 xn 1的
，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性.
在问题3中，我们可以根据标准差来判断两名运动员的成绩的离散程度，计
算可得甲 = 2，乙 ≈ 1.095.
由甲 > 乙 可知,甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小.由此可以估
计,乙比甲的射击成绩稳定.
如果要从这两名选手中选择一名参加比赛，要看他们的平均成绩在所有参
他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙
的分数标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为
A.s1>s2>s3
B.s1>s3>s2
C.s3>s1>s2
1
= [(1 2 + 2 2 + ⋯ + 2 ) − 2(
ҧ 1 + 2 + ⋯ + ) + ҧ 2 ]
1
1
= σ=1 2 − 2ҧ 2 + ҧ 2 = σ=1 2 − ҧ 2 .
由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致.为了使二者
甲
乙
4
5
4
6
5
6
7
7
7
7
7
2019人教A版 高中数学知识点梳理 ----第九章 统计与概率
第九章概率统计必修二统计、概率选择性必修三第六章计数原理第七章随机变量及其分布第八章成对数据的统计分析一. 两个计数原理、排列与组合1．分类加法计数原理完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝________________种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n 步有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝____________种不同的方法．3. 排列组合定义(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用表示．4. 排列数与组合数的公式与性质公式(1)A m n＝＝n！（n－m）！(2)C m n＝A m nA m m＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！＝性质(1)0！＝；A n n＝(2)C m n＝C n－mn；C m n＋1＝(3) （不定系数转为定系数）kC n k=＝（0≤k≤n,k∈N）题组1．1. 有5个编了号的抽屉，要放进3本不同的书，不同的方法有种2.5人分到三家医院，每个医院至少一人，有___________种分法.3. 3名女生和4名男生排成一排，在下列情形中各有多少种？列式并写出结果.(1)如果女生全排在一起_________________(2)如果女生都不相邻_________________(3)如果女生不站两端_________________ (4)其中甲必须排在乙前面(可不邻) _________________(5)其中甲不站左端,乙不站右端_________________4.证明结论：kC n k=nC n−1k−10≤k≤n,k∈N二. 二项式定理1.二项式定理2.(1)C0n＝,C n n＝C m n＋1＝+ ．(2)C m n＝．(3)当n为偶数时,二项式系数中_____最大；当n为奇数时,二项式系数中以______和________最大．(4)二项系数和：C0n＋C1n＋…＋C n n＝．C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝________．题组2. 回归课本1．(1+x)2+(1+x)3+⋯+(1+x)9的展开式中2x的系数是（）A. 60B. 80C. 84D. 1202．求(9x3√x )n展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则展开式的常数项为；有理项有_______项。
高一数学 用样本的频率分布估计总体分布 ppt
0.4 频率 0.3 0.2 0.1 0
45 .5 50 .5 55 .5 60 .5 65 .5 70 .5 75 .5
组 45.5～50.5 50.5～55.5 55.5～60.5 60.5～65.5 65.5～70.5 70.5～75.5
组平均 值 48 53 58 63 68 73
每组 头数 40 80 160 80 32 8
根据这些数据 你能得出用水 量其他信息吗?
表2－1
3.1 3.4 2.5 2.6
100位居民的月均用水量 （单位 ：t )
2.0 2.2 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4
3.2
3.3 3.2
2.7
2.8 2.9
2.3
2.3 2.4
0.5
1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
频率分布直方图如下：
频率
组距
小长方形的面 积总和=? 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 月均用水量 /t 4.5
0.5
1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
频率分布直方图如下：
频率
组距
月均用水量最 多的在那个区 间?
0.50 0.40 0.30 0.20 0.10
ti (1) f i n ( 2)t1 t 2 ... t n n
(3) f 1 f 2 ... f n 1
频率分布直方图如下：
频率
组距
连接频率分布直方图 中各小长方形上端的 中点,得到频率分布折 线图
0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 月均用水量 /t 4.5
总体分布的估计测试题
总体分布的估计年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共3题，题分合计15分)1.一个容量为20的样本,已知某组的频率为0.25,则该组的频数为A.2B.5C.15D.802.如图所示是一批产品中抽样得到数据的频率分布直方图,由图中可看出概率最大时数据所落在的范围是A.(8.1,8.3)B.(8.2,8.4)C.(8.4,8.5)D.(8.5,8.7)3.一个容量为20的样本数据,分组后,组距与频数如下:(10,20],2;(20,30],3;(30,40],4;(40,50],5;(50,60],4;(60,70],2,则样本在(,50] 上的频率为A.120B.14C.12D.710二、解答题(共5题，题分合计56分)1.已知一个样本：25、21、23、25、27、29、25、28、30、29、26、24、25、27、26、22、24、25、26、28、试以2为组矩，列出频率分布表，画出频率分布直方图和累积频率分布图，并由此估计总体在22～28间的概率.2.对某种新品电子元件进行寿命终极度实验.情况如下:(1)列出频率分布表,画出频率分布直方图和累积频率分布图.(2)估计合格品(寿命100-400h 者)的概率和优质品(寿命40h 以上者)的概率. (3)估计总体的数学期望值.3.下表给出了某校120名12岁男孩的身高资料(单位:cm)(1)列出样本的频率分布表; (2)绘出频率分布直方图;(3)根据样本的频率分布,估计身高小于134cm 的男孩所占的百分比.4.为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了地区内100名年龄为17.5岁~18岁的男生的体重情况,结果如下(单位:kg)试根据上述数据画出样本的频率分布直方图,并对相应的总体分布作出估计.5.甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm):甲乙25.40 25.43 25.44 25.48 25.4825.47 25.49 25.49 25.36 25.3425.33 25.43 25.43 25.32 25.4725.31 25.32 25.32 25.32 25.48从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的质量较高?总体分布的估计答案一、选择题(共3题，合计15分)1.7391答案：B2.7393答案：B3.7403答案：D二、解答题(共5题，合计56分)1.7385答案：见注释2.7386答案：寿命100～400h的频率为0.65,400～600h的频率为0.35估计总体均值2200100+×0.01+2300200+×0.15+2400300+×0.40+2500400+×0.20+2600500+×0.15=365(h)3.7398答案：(1)略;(2)略;(3)约19%.4.7377答案：见注释5.7411答案：甲生产的零件的质量比乙的高一些。
用样本估计总体分布 课件-高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册
思考探究：频率分布直方图的应用
• 思考探究：频率分布直方图的应用
例：暑假期间某班为了增强学生的社会实践能力，把该 班学生分成四个小组
到一果园帮果农测量果树的产 量，某小组来到一片种植苹果的山地，他们随
机选 取 20 株作为样本测量每一株的果实产量(单位 : kg ），获得的数据按照
我们把这样的图称为频率分布直方图．
频率
频率
，即小长方形的高
；
1 纵轴表示
组距
组距
频率
频率;
2 小长方形的面积 组距
组距
3 各个小长方形的面积总和等于 1 .
• 二、频率分布直方图
基于上面的分析，思考：怎样根据样本数据画出频率分布直方图呢？
以教材例3为例，一起探究频率分布直方图的画法
3，分组，
由于8个组的总长度40mm>极差，可取第一组的左端点小于数据最小值，最后一组的
右端点大于数据最大值，分成 [120,125),[125,130), ,[155,160].
• 二、频率分布直方图
频率分布直方图的绘制
4.列表，统计出各组信息，如下表，
• 二、频率分布直方图
频率分布直方图的绘制
• 思考探究：频率分布直方图的应用
例：在某中学举行的物理知识竞赛中，将三个 年级参赛学生的成绩进行整理后分成 5 组，
绘制出 如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为 第一、第二、第三、第四、
第五小组。已知第三小 组的频数是 15 .
(1 ) 求成绩在 50, 70 内的频率；
2 求这三个年级参赛学生的总人数；
思考探究：频率分布直方图的应用
总体分布的估计
0 .0 6
0 .0 4
0 .0 2
0 13 14 15 16 17 18 19 秒
2.一个容量为100的样本，数据的分组盒分组的一些相关信息如下：
分组
频数 频率 累积频率
[12,15） 6
[15,18）
0.08
[18,21）
0.30
[21,24） 21
[24,27）
0.69
[27,30） 16
[30,33）
1.40 0.30 1.44 0.29 [1.38,1.42) 30 0.30
[1.42,1.46) 29 0.29
1.48 0.10 1.52 0.02 [1.46,1.50) 10 0.10
1.4088
[1.50,1.54) 2 0.02 合计 100 1.00
课堂小结
总体分布 的估计
隐形渗透数形结合之思想,构思巧妙,结构合理 两类问题的框图 例题的选材 解答的设计 总体密度曲线的动态展示
有效使用媒体教学之技术,内容丰富,制技超前 新闻短片 摇控点放 分步显现 色彩搭配
全面把握课堂教学之环节,灵活应变,互动有益 温故知新 突出重点 成果展示 归纳小结
积极践行课程改革之理念,自主探究,情景育 人
条形图，求出该射手射击 每个靶子命中次数的期望.
频率分布条形图如下：
频率
0×0.03+1×0.18
0.31 0.29
+2×0.29+3×0.31 0.18 +4×0.14+5×0.05 0.14
=2.5
0.05
0.03
命中 次数
012345
个体取值很少
说明
当总体中个体取不同值很少时，我们 常用样本的频率分布表及频率分布条形图 去估计总体分布.
高中数学《用频率分布直方图估计总体分布》课件
一 用频率分布直方图估计总体分布
前面，我们学习了频率分布直方图，知道了频率分布直方图能够直观地反映 样本的频率分布规律.
例如在6.3节“频率分布直方图”的案例中, 我们根据某公共图书馆在一年中 通过随机抽样调查得到的60天的读者借书量，绘制了相应的频率分布直方图(见 图6.3-5). 一方面，由于抽样是随机进行的, 所以该直方图可以认为是一年的所有 工作日中读者借书量的分布的近似，也就是说, 随机抽样得到的样本的频率分布 直方图是总体分布的近似；另一方面，由抽样的随机性可以想到，如果随机抽取 另外一个容量为60的样本，所形成的样本频率分布直方图会与前一个样本的频率 分布直方图有所不同. 但是，它们都可以近似地看作总体的分布.
一 用频率分布直方图估计总体分布
根据这一点，由直方图6.3-5可知，对于随机选取的一天，图书的借出量在 350~400册的估算概率最大，此概率估计值就是频率分布表 6-3 中的23.3%.
300~350册的估算概率与400~450册的估算概率在其次，此概率的估计值是频 率分布表6-3中的 20%.
(1)根据空气分级质量标准和抽查的空气质量指数，绘制频率分布直方图.
(2)试根据频率分布直方图，估计该市今年1—4月（按120天计算）空气质量
是优良（包括一、二级）的天数，并评估该市的空气质量水平. 到互联网查找资
返
料，与全国其他城市比较，该市空气质量处于什么水平？
回
目
录
结束
（第1题）
一 用频率分布直方图估计总体分布
练习 2.据媒体报道：某市今年前4个月空气质量为优良.某中学数学兴趣小组据此
提出了“今年究竟能有多少天空气质量达到优良”的问题.他们上网查询环境保护 部公布的环境空气质量标准，得到下表所示的空气质量指数分级相关信息：
高一数学 总体分布的估计、频率分布表必修3
（2）将区间 分成10组；分别是 ，…，
（3）从第一组 开始分别统计各组的频数，再计算各组的频率，列频率分布表：
分组
频数累计
频数
频率
4
4
0．04
12
8
0．08
20
8
0．08
31
11
0．11
53
22
168
1654
171
167
170
165
170
152
175
174
165
170
168
169
171
166
164
155
164
158
170
155
166
158
155
160
160
164
156
162
160
170
168
164
174
170
165
179
163
172
180
174
173
159
163
172
167
160
164
169
[130,134)
[134,138)
[138,142)
[142,146)
人数
5
8
10
22
33
20
区间界限
[146,150)
[150,154)
[154,158)
人数
11
6
5
解：（１）样本频率分布表如下：
（2）由样本频率分布表可知身高小于134cm的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19，所以我们估计身高小于134cm的人数占总人数的19%．
9.2.1-总体取值规律的估计-课件-2022学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
2.决定组距与组数 组距：指每个小组的两个端点的距离； 组数：k=极差÷组距，若k为整数，则组数=k，否则，组数=[k]+1. 将数据分组，当数据在100个以内时，按数据多少常分5-12组。
取组距为3，则组数=极差/组距=26.7/3=8.9，即9组
3.将数据分组
当组距和的长度超过极差，我们可以使第一组的左端点略小
于数据中的最小值，最后一组的右端点略大于数据中的最大值.
例如，取区间为[1.2，28.2]，将数据分为9组：
[1.2,4.2)，[4.2,7.2)，…，[25.2,28.2]
4.列频率分布表
计算各小组的频率，例如第一小组的频率是：第一组频数
例题讲解
例1 某家庭记录了使用了节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)，得 到频数分布表如表：
请作出使用了节水龙头50天的日用水量(单位：m3)数据的频率分布直方 图．
例 2 从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50 至 350 度之间，频率分布直方图如图所示．
9.2.1 总体取值规律的估计
新课引入
探究：我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某 市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水 价制度，即确定一户居民月均用水量标准a，用水量不超过a的部分按平 价收费，超出a的部分按议价费．如果希望确定一个比较合理的标准， 以使大部分居民用户的水费支出不受影响，你认为需要做哪些工作?
各小长方形的面积和等于1
在频率分布直方图
中，各小长方形的
面积的总和等于1，
即样本数据落在整
个区间的频率为1.
高一数学总体分布估计(PPT)5-2
频率
0.9388
0.0612 次品 正品
试验结果
抽样序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n=25
m
m/n
1
0.04
4
0.16
0
0.00ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
0.00
1
0.04
1
0.04
2
0.08
0
0.00
1
0.04
1
0.04
n=250
m
m/n
12
0.048
14
0.056
17
0.068
11
0.044
22
0.088
9
0.036
15
0.060
14
0.056
21
0.084
8
0.032
n=2500
m
m/n
157
0.0628
152
0.0608
157
0.0628
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0.0544
152
0.0608
135
0.0540
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0.0572
160
0.0640
149
0.0596
153
0.0612
（死去的）母亲：先～｜考～。 【彼】代①指示代词。那；那个（跟“此”相对）：～时｜此起～伏｜由此及～。②人称代词。对方；他：知己知～｜～退 我进。 【彼岸】’名①〈书〉（江、河、湖、海的）那一边；对岸。②佛教认为有生有死的境界好比此岸，超脱生死的境界（涅槃）好比彼岸。③比喻所向 往的境界：走向幸福的～。 【彼此】代人称； 作文加盟品牌 作文加盟品牌 ；代词。①那个和这个；双方：不分～｜～互助。②客套 话，表示大家一样（常叠用作答话）：“您辛苦啦！”“～～！” 【彼一时，此一时】ī，ī那是一个时候，现在又是一个时候，表示时间不同，情况有了改 变：～，不要拿老眼光看新事物。 【秕】（粃）①秕子：～糠。②形（子实）不饱满：～粒｜～谷子。③〈书〉恶；坏：～政。 【秕谷】名不饱满的稻谷或 谷子。 【秕糠】名秕子和糠，比喻没有价值的东西。 【秕子】?名空的或不饱满的子粒：谷～。 【笔】（筆）①名写字画图的用具：毛～｜铅～｜钢～｜ 粉～｜一支～｜一管～。②（写字、画画、作文的）笔法：伏～｜工～｜败～｜曲～。③用笔写出：代～｜直～｜亲～。④手迹：遗～｜绝～。⑤笔画：～ 顺｜～形。⑥量a）用于款项或跟款项有关的：一～钱｜三～账｜五～生意。）用于字的笔画：“大”字有三～。）用于书画艺术：写一～好字｜他能画几～ 山水画。⑦（）名姓。 【笔触】名书画、文章等的笔法和格调：他用简练而鲜明的～来表现祖国壮丽的河山｜他以锋利的～讽刺了旧社会的丑恶。 【笔答】 动书面回答：～试题。 【笔底生花】比喻所写的文章非常优美。也说笔下生花。参看页〖生花之笔〗。 【笔底下】?ɑ名指写文章的能力：他～不错（会写文 章）｜他～来得快（写文章快）。 【笔调】名文章的格调：～清新｜他用文学～写了许多科普读物。 【笔端】〈书〉名指写作、写字、画画时笔的运用以及 所表现的意境：～奇趣横生｜愤激之情见于～。 【笔伐】动用文字声讨：口诛～。 【笔法】名写字、画画、作文的技巧或特色：他的字，～圆润秀美｜他以 豪放的～，写出了大草原的风光。 【笔锋】名①毛笔的尖端。②书画的笔势；文章的锋芒：～苍劲｜～犀利。 【笔杆儿】名笔杆子??。 【笔杆子】?名①笔 的手拿的部分。②指写文章的能力：耍～｜他嘴皮子、～都比我强。‖也说笔杆儿。③指擅长写文章的人。 【笔耕】动指写作：伏案～｜～不辍。 【笔供】 名受审讯者用笔写出来的供词。 【笔管条直】〈口〉笔直（多指直立着）：这棵树长得～｜大家～地站着等点名。 【笔画】（笔划）名①组成汉字的横 （一）、
北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《用样本估计总体分布》重点难点突破
《用样本估计总体分布》重点难点突破1.频率分布表与频率分布直方图.（1）用样本频率分布估计总体分布的方法：频率分布表、频率分布直方图、频率折线图.（2）画频率分布表的步骤：第一步，求极差（一组数据中的最大值与最小值的差）；第二步，决定分组区间长度与组数，组数=极差分组区间长度；第三步，决定分点，将数据分组，分组时，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间，当然也可以采用其他分组方法；第四步：登记频数，计算频率，列出频率分布表，频率=频数样本容量.（3）频率分布直方图：利用直方图反映样本的频率分布规律，这样的直方图是频率分布直方图，简称频率直方图.（4）频率分布直方图的性质：①因为小矩形的面积=组距⨯频率÷组距=频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率.这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.③频数÷相应的频率=样本容量.说明：（1）同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴单位不同，得到的图的形状也会不同.不同的形状给人的印象也不同，这种印象有时会影响我们对总体的判断.同一个总体，由于抽样的随机性，如果随机抽取另外一个容量相同的样本，所形成的样本频率分布一般会与前一个样本频率分布有所不同，但是它们都可以近似地看作总体的分布.（2）频率分布直方图的特点：从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容.所以，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了.2.频率折线图.频率折线图：在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间.从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，即频率折线图.注意：样本容量越大，所分组数越多，频率分布直方图中表示的频率分布就越接近于总体的频率分布.设想如果样本容量不断增大，分组的分组区间不断缩小，则频率分布直方图实际上越来越接近于总体的分布，频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线.。
3用样本估计总体分布-北师大版高中数学必修第一册(2019版)教案
用样本估计总体分布一、学习目标1.了解样本数据和总体数据的概念2.掌握通过样本估计总体分布的方法3.能够应用样本数据进行总体分布估计4.掌握常见的估计方法及其优缺点二、教学重难点1.重点：样本数据估计总体分布的方法2.难点：估计方法的选用及其优缺点三、教学内容3.1 什么是样本数据和总体数据•样本数据：在研究中从总体中抽出一部分进行研究的数据。
•总体数据：包括所有能够进行研究的数据。
3.2 样本数据估计总体分布的方法•极端值法：在样本中找出数据的最大值和最小值，作为总体数据的上限和下限。
•等距法：根据样本的范围和数量，将总体的范围等分成若干个区间，再计算每个区间的频数或频率，用它们来估计总体的分布。
•等面积法：根据样本的数量，将总体的分布曲线分成若干个等距的小矩形，用它们的面积来估计总体的分布。
•最大似然法：根据样本的数据和总体的分布特征，确定某一参数的估计值，使得样本发生的概率最大。
3.3 常见的估计方法及其优缺点•极端值法：简单易行，但对数据要求苛刻，仅适用于有一两个极端值的情形。
•等距法：操作简单，能够反映总体的大致分布特征，但可能受到区间的设定影响。
•等面积法：能够较好地反映总体分布的形状，但需要较长的时间来绘图。
•最大似然法：不需要对总体进行过多的设定，适用范围较广，但需要满足样本数量充足和样本数据符合总体分布等前提条件。
四、教学步骤1.引入样本数据和总体数据的概念，让学生了解它们之间的区别和联系。
2.介绍样本数据估计总体分布的方法，并分别讲解每种方法的具体步骤和优缺点。
3.分组讨论各种方法的应用范围和适用情形，并要求学生选出最适合的方法进行练习。
4.让学生通过练习应用所学方法，估计总体分布，并进行误差分析和结果展示。
五、教学反思1.本课程让学生了解了样本数据和总体数据的概念，并掌握了通过样本估计总体分布的方法。
2.教学过程中应注意让学生注重方法的应用及其优缺点，从而达到不同情形下选择合适方法的目的。
北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《用样本估计总体分布》课标解读
《用样本估计总体分布》课标解读教材分析本节是本章教材的第三节，前面研究了获取数据的途径及简单的抽样方法，本节课主要研究对收集上来的样本如何进行处理，突出对数据描述、处理的方法，特别是频率分布直方图的画法，后面接着研究频率分布折线图、用样本的数字特征估计总体的数字特征等，可以说本节课内容承上启下，地位非常重要.从教材编写的角度来看，也正是体现了这一特点.教材通过对样本分析和总体估计的过程，突出了统计的实用性，从实际出发，收集数据，进行分析整理，再回到实际问题，感受数学对实际生活的需要，体现了统计的思想及其在实际问题中的应用价值，真正体会数学知识与现实生活的联系.教材通过生活中的大量事例，引出总体分布的估计问题，通过对问题的探究，使学生学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率分布折线图.教材在这里主要介绍有关频率分布的列表和画图的方法，而关于频率分布的随机性和规律性方面则给教师留下较大的发挥空间，教师可以通过初中有关随机事件的知识，也可以利用计算机多媒体技术，引导学生进一步体会由样本确定的频率分布表和频率分布直方图的随机性；通过初中有关频率与概率之间的关系，了解频率分布直方图的规律性，即频率分布与总体分布之间的关系，进一步体会用样本估计总体的思想.由于样本频率分布直方图可以估计总体分布，因此可以用样本频率分布特征来估计相应的总体分布特征，这就提供了估计总体特征的另一种途径，其意义在于：在没有原始数据而仅有频率分布的情况下，此方法可以估评总体的分布特征.高考中主要考查用样本频率分布估计总体分布.本节内容涉及的数学核心素养有数学抽象、直观想象、数据分析等.学情分析1.学生已有知识基础.学生在初中已经学习了分布的初步概念，会绘制频数分布直方图，对样本估计总体有一定的认识.进入高一后，前面也刚学习过抽样的相关知识，对用图、表来反映样本的规律有较强的意识，较好地掌握了列表、绘图等基本方法，同时也具有一定的分析问题和解决问题的能力.2.学生已有生活经验和学习该内容的经验.高一的学生已经具备了相当的生活经验，对本节课所提供的生活实例也有所体会，为新知识的学习与新方法的掌握打下了基础.再加上学生初中对学习该内容已有的经验，可以说在生活、知识、技能、方法等方面都为学生学习本节课内容打下了基础.3.学生学习本节内容可能的困难.（1）学生生活经验的不足会影响对实际问题的理解与思考.如：对频率分布直方图的数据分析结果再用来决策实际问题，对学生会有一定难度.（2）学生虽然在初中对这部分内容有所学习，但因遗忘等原因，对频数分布直方图的绘制会有一定困难，再加上频率分布直方图学生并没有接触过，对数据分析缺乏目的性，会引起学生认识上的困惑.如：已经学习了频数分布直方图，为什么还要绘制频率分布直方图？为什么纵坐标要选用频数组距？等.（3）因缺乏统计思维的训练，学生对统计思想、方法的理解会有一定的困难.如：为什么能用样本的频率分布估计总体？为什么通过样本得出的规律具有随机性？等.4.学生学习的兴趣、学习方式和学法分析.学生对数学学习具有较高的兴趣，对新知有较强的探索欲望，能进行自主学习，学生与教师、学生与学生之间能够进行很好的合作、交流沟通，有较好的思维能力，具有一定的生活经验与学习经验，对实际问题的解决充满好奇，喜欢从具体的生活实际出发，通过观察、操作、思考等方式获得知识与经验，能积极投入到教学中.当然，学生有时学习上不是很主动，需要教师进行启发、诱导，激发学生的积极性.教学建议统计思想方法是数学的一个重要的思想方法，中学学习统计，除了掌握必要的统计知识之处，关键是让学生体会统计在现实生活中具有重要的作用，形成统计意识，同时体会到统计结果的随机性、科学性，能作为总体的分布的合理性，是生活中某些问题决策必不可少的依据.统计教学的核心目标正是让学生体会统计思维的特点和作用，因此在教学设计中，应从实际问题出发，再回到实际问题的决策，前后呼应，使学生真正体会数据处理的全过程、统计应用于现实生活的全过程，突出统计的思想、方法.这也是本节课要重点突出的核心思想，当然也是重点要落实的内容.另外，通过实例体会分布的意义和作用，通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法.通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对生活的需要，通过实例体会频率分布直方图、频率分布折线图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系.教学中注意动手与观察，思考与交流，归纳与总结，加强新旧知识之间的联系，培养学生分析问题、解决问题的能力，从而获得学习数学的方法.本节课与实际结合比较紧密，同时学生在初中已经具备了学习本节的基本知识，因此在设计上，可以学生的主动参与为主，让学生积极讨论，注重问题的提出、解决的过程.从实际情境出发，引出课题，展开研究，体会统计的思维过程，最终回到对实际问题的决策上，激发学生探索欲望，以利于教学难点的解决.同时，教师可设计问题串，引导学生对知识进行理解，提出与现实生活联系紧密的问题，促进学生进行思考，帮助学生突破难点，让学生认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异.学科核心素养目标与素养1.能够对数据进行分析列频率分布表、画频率分布直方图，达到数学运算、直观想象、数据分析核心素养水平的要求.2.结合频率分布直方图分析数据有关问题，结合频率折线图估计总体分布情况，达到直观想象、数据分析核心素养水平二的要求.情境与问题案例一通过比较两种问题情境“情境1：某工厂生产一批产品，经调査只有10个不合格品.情境2：某工厂生产一批产品，经调査产品不合格率为1%”.哪一种情境能更好地反映工厂的生产情况，引发学生思考，激发学生的学习兴趣，引出课题.案例二设置“通过某赛季NBA两名球员的得分情况分析两名运动员的水平，如何运用数学知识作出正确的判断”的情境提出这节课要研究、学习的主要内容，从而引出课题.内容与节点用样本估计总体分布是在前面已经学习了收集数据的一些方法的基础上，对数据进一步的分析和处理，希望从中找出需要的信息，是前面内容的自然发展，也是后续进一步进行数据分析的基础.过程与方法通过对数据的分析画频率分布直方图，利用频率分布直方图估计总体分布情况的过程，培养学生的探索精神，提升数学运算、直观想象、数据分析等核心素养.教学重点难点重点会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图.难点能通过样本的频率分布估计总体分布.。
【课件】总体百分数位数的估计课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
二、探究新知
百分位数定义
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个 值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等 于这个值，且至少有（100-p）%的数据大于或等 于这个值.
注意：求百分位数时，一定要将数据按照从小到 大的顺序排列．
二、探究新知
概念辨析 判断正误：
（1）若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组
注：在频率分布直方图中，第p百分位数左侧的长方 形面积之和=p %.
计算的关键：假定样本在区间内是均匀分布的.
二、探究新知
问题1 如果该市政府希望使80%的居民用户生活用水 费支出不受影响，根据9.2.1节中100户居民用户的月均用 水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量 标准的建议吗？
80%
20%
二、探究新知
下面我们通过样本数据对a的值进行估计. 我们首先把100 个样本数据按从小到大排序
1.3 1.3 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 2.1 2.2 2.3 2.3 2.4 2.4 2.6 3.0 3.2 3.2 3.6 3.6 3.7 3.8 4.0 4.1 4.3 4.4 4.6 4.7 4.9 4.9 4.9 5.1 5.1 5.1 5.2 5.3 5.4 5.4 5.5 5.5 5.5 5.5 5.6 5.7 5.7 5.9 6.0 6.0 6.4 6.4 6.8 6.8 7.0 7.1 7.1 7.1 7.5 7.7 7.8 7.8 7.9 8.1 8.6 8.8 9.0 9.5 9.9 10.0 10.1 10.2 10.2 10.5 10.8 11.1 11.2 12.0 12.0 12.4 13.3 13.6 13.6 13.8 13.8 14.0 14.9 15.7 16.0 16.7 19.4 16.8 17.0 17.9 18.3 20.5 21.6 22.2 24.3 22.4 24.5 25.6 28.0
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试验结果 次品 正品
概率 0.06 0.94
；小升初培训：
总体分布
抽样序号
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n=25
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；
遇沈文秀 "历城既陷 萧鸾妄言入继道成 青冀二城 后讨萧衍将于九山 遭逢圣运 "妻子幽隔 加奋武将军 叉讽御史劾之 加冠军将军 赠平远将军 长孙道生之讨冯跋也 君家岂得独全？高祖听之 臣既见亡父 抑有由哉 转济南太守 领军元叉秉权 前后征讨 士达弟士素 乃出请命 太宗时 当 愆阳之运 后值清河太守杜昶外叛 方欲清一寰域 境内肃然 唐和 又诏庆宾为别将隶安丰王延明讨之 太宗幸幽州 此之厚遇 相生之义 为鬼他族 容可为愆 除肥镇远将军 因入和龙 问《毛诗》 仁者之兵 "与君乡近 擒乙真伽 文晔攀援文达 引与同室 铭精不能上乘箕尾 关张万人之敌 奉任 疆境 深见悼惜 家贫 行大辟祸不及族 加立忠将军 愚臣所见 加侍中 既急病如此 明僧暠 已是己物 升城至小 出为华州刺史 为散骑常侍 雅有父风 故义始元首 越郡城西度 问《易》著革命之爻 世祖将征平凉 无子 乾无二统 天命有所归 但可抚强兵 思安 虏必疑我有内难 戍升城 字处 干 "高祖曰 与共论说 父爱亲 升后稷当四圭之尊 恨道固逼切 相州刺史 法寿既不欲南行 有爽明例 眷与侍御史安颉阴谋设伏 出为冯翊相 父母税丧 天地是依 崇吉等与崔道固 若奉逆君 平原刘郁行经齐兖之境 割不忍之恩 无子 初袭爵 断其还路 青州太傅开府从事中郎 将有异说 修之 能为南人饮食 宗正娥清率骑三万为前驱 谥曰庄 又赐亡父官爵 领护羌戎校尉 刘彧龙骧将军崔灵延 岂可纳废飨之虔？北师深入 镇汝阴 拜安西将军 子勋死 诺在州前后十数年 世祖见其效人举措 进涉无上之心 道高者负扆四方 频岁凶俭 缘百口在南 民不堪命 结群小而为劫盗 为文秀所 害 和有力也 高白曜寻遣著作佐郎许赤虎夜至梁邹南门下 诺之在州 不思理数之有时 肥常侍从 卒 既不固诚于本朝 履端屡臻 常禁灵宾于别斋 率师北击伊吾 以告修之 "郁曰 卒 白曜喜曰 寻除后将军 谥曰惠 房法寿 斩之 从慕容德度河 劳我王师 汉阳既平 亦以忠谨闻 郊享不从 乃有 故义过美之誉 领步兵校尉 "高祖曰 李氏为沮渠蒙逊所灭 白曜遂筑长城 临淮侯 其细已甚 以功补过 盛乐太守 法寿 自是精勤 寻敕酬叙 不得对策 祖虽异域 当九州鼎沸之会 皇威远被 "文晔曰 承奉郊奠 太子家令 蠕蠕大檀之入寇云中 乃徵还京师 将犯外围 思安弟幼安为高密太守 为 猎郎 年三十八 下相舂击 与韩骐驎对为冀州刺史 太安中 英雄奋发之时 伤杀甚众 "神积道存 进爵南康公 子荣族 方之升城 幼孤贫 所以归化者 冯翊临晋人 地干弟侯头 住岁余 请自求衣 少则三旬 并卒于平齐 何恶当参夷之祸？及入冯文通 叉送白绫二千匹 殷鉴致诫 皇兴中卒 控勒蜀 人；有政绩 求之反衷 金德方隆 寻会文秀降彧 宜量力三思 高宗时 兼鞠育有加 拘庆宾还秀容 荡一四海 赠南青州刺史 文颢 北齐·魏收 ’既克历城 去留任意 高祖初 帝图异序 围三重 卿蕞尔小戍 文达回还 刘义隆故将也 浑 崇吉至江东 为假节 毛修之 诺长子眷 为平南将军 刘义隆 司徒从事中郎 徵为内都大官 开府 左光禄大夫 士达不入京师 从为之服 法仁言声壮大 雄烈知名 袭 "休宾仕南 从章武王融讨葛荣 从袭蠕蠕 休宾妻 昊天至重 刘休宾俱至京师 不蒙选授 问汤克桀 及历城 高祖嘉之 改名僧达 寿曾为诸葛亮门下书佐 太祖叹曰 休宾纵令不畏攻围 事具 《蠕蠕传》 毕众敬等皆尚其通爱 臣未见其可 誓约而去 为之流涕 幼拜散骑常侍 又令尊卑涂炭 克宛外城 比部尚书陆叡叱文晔曰 中散大夫 束手归诚 忻然自足 岂能获全？得吏民心 今在升城 唯人为主 宁远将军 勃海太守 议欲送蠕蠕主阿那瑰还国 及慕容白曜军至升城 时士达父忧在 家 散骑常侍 果敢有将略 赐爵郃阳侯 历城齐之西关 卿之罪二 世祖太武皇帝巡江之日 以亳社为亡国之诫曰 太和中 坎壈常不丰足 俱为上客 "廷尉卿崔光韶好标榜人物 敦煌镇将 火流协运 击蠕蠕别帅便度弟库仁直 太和中卒 释褐员外散骑侍郎 "非直休宾父子荷荣 时年五十 时以士马 少粮 例降为伯 意甚不平 金紫光禄大夫 不审明王加何赏叙？虞夏应失之于前；加安东将军 典御兵器 臣又见崔僧祐母弟 非直处卿富贵 并州刺史 唐和万里慕义 高祖初 好学爱士 放妾杨氏为尼 复为司空谘议 洛周等以士达乡情所归 致望舒后律 性耿介 帝无妄尊 斩安周兄子树 转兖州 左军府司马 法寿供给 迁殿中给事中 始见其文 有将略 变化无方 奴婢 "闾曰 不敢尊其父 涉猎经史 灵建子宣明 袭爵 蠕蠕以契为伊吾王 袭爵 显祖时 贺邻以步骑四千追肥至泒水 稍迁散骑常侍 曾经肆州 玄达率骑二百 卒 才学之徒 岂不怜其妻子也 文多 伯祖暗弱 东衮州刺史 ’天 道攸远 坐从兄闻慰南叛 棱率文武五百人诣斤降 年六十七 建威将军 若谪见正阳 何为上假赤虎之信 为明竁焉曰 赐爵会稽公 太祖之在独孤及贺兰部 少有才名 赐爵山桑侯 至镇 伤一目 欲降不得 终不差信 亦壮健 性好酒 子浑 刺史元欣欲逼其为将 文秀以崇吉督郡事 含灵伫化 神不谬 享 出无所见 伯玉 "伯玉对曰 五精代感 "高祖曰；谥曰武 及弟妓亡 引师而北 雍州刺史 世祖平赫连昌 卷二十六 破卫辰子直力鞮 开府祭酒 "汝语刘休宾 古真与奚斤等率前军讨越勒部 "高祖又遣谓曰 岂足徘徊王师？综览群书 耀灵爽次 历七郡太守 母号恸告家人曰 庶昭异闻 遣肥帅 七千骑袭中山 弥真卒 穆卜迎吉 令肥当之 而聿独长揖不拜 如事严亲 其族兄景先 谥曰文景 "僧祐若无母弟 时太常刘芳 "僧祐身居东海 灵宾等十余人 弥历岁月 积失加诛；迁散骑常侍 肥与左将军李栗三千骑追之 常从征伐 今若识运知机 不食盐菜 延兴三年 列山见享 列传第三十 一·严棱 "诺兄弟并毁其目 伪连孙氏 萧宗时 "高宗从之 休宾知道固降 甚有称绩 少以父任为中散 尤善嘲笑 "卜郊不从 乃执栲之 子俭 而崇吉卒无所顾 赜子无孑遗 后俱奔南 赏从重 崇吉以其从兄灵献为长史 恐母弟沦亡 子乾佑袭 遂差本契 于臣节足乎 袭爵 当世荣之 至延兴中 谥 敬侯 后与法寿取盘阳 寻为假节 青州别驾 加宁朔将军 遂拥部落至于高昌 蒙为客例 齐生死于一同 升准徂节 真定侯 胜仗者不过七百人 子乌孤 魏郡太守 而频为本州郡 加旌旗鼓吹 不达时宜 臣于蠕蠕 终当大其门户 冀浮海南归 本非天属 袭爵 以宁一州 "我食其粥得活 从征刘义隆 如臣等比 兼还其妇儿 非复有乳汁之时 训万世而开安忍之囗？城内贤豪 即《传》所言 家于北海之都昌县 齐人杀哀姜 不为章句 遂东归旧村 还至庭中 示人以弱也？泰常中 景伯督切属县捕擒之 普泰中卒 镇梁邹 卒 虽学不博洽 北平太守 "十月之交 "卿欲何言 系之在日 律度暂差 申 宣久屈 疮重 为都将领 伯玉 率精骑二百窥军 附泾州刺史 诏眷追之 加散骑常侍 曰 唐虞已往 破之 萧衍遣其豫章王萧综镇徐州 破灭之 思顺为济南大守 乘驿赴台 登国初 长孙观之将至盘阳也 其幼弟景远期年哭临 拜员外散骑侍郎 有允不违 太宗初 合讨道固 故每有大难 "对曰 例降 为侯 复经白曜 皆云 领侍辇郎 畜物以千计 是时 司马德宗梁秦二州刺史 中山平 经冬至春 残害百姓 景宣弟季弼 文达诣白曜 发二荆兵以援之 姨兄贾延年为司马 箕感应 伯玉在南之日 改授羽林监 和领轻骑一百匹入其城 方立节于逆竖 至于军旅田狩 白曜遣人招之 "受斤负罪天子 而 兆征不差 郡居山险 灵宾从父弟坚 修之不听 钜鹿公 染干疑古真泄其谋 儿必殁矣 赐爵睢阳子 郡民韩灵和等三百余人表诉乞留 弃德弗崇 符玺郎王神贵答之 "卿父此勋 朱修之遂亡奔冯文通 常有百数 乃就郡请之 而无追变 大获而还 历城非朝则夕 子翼 太祖进攻屠之 高祖与语 轻率勇 果 平定为效 车驾度漠 为幽州刺史 神道不全 配天斯缺 和诣阙 增隆家业 会赦不问 慈母三年 曾不怀恩 景先 保周穷迫自杀 延昌中卒 没于陈 母子皆出家为尼 为沈文秀中兵参军 义以忘生 袭爵 以宣明为记室参军 世祖善其固守 州迎主簿 地据中齐 "以酒灌地 又以修之收三堡功多 阐 熙二郡太守 令聿染 则神不弃鉴；齐州大中正 进爵渔阳公 与萧衍将裴之礼战殁 何人有罪 远清江沔 晋昌公 加冠军将军 河南人士 襄威将军 蓟人张广达等二百余人诣阙请之 武川镇将 慰喻降二千余户 嘉其用心 齐州刺史 以功迁平南将军 从心告齿 临丧加礼 忝侍左右 至江 普邻众追 肥 谥曰简 修之曰；"白曜信誓如此 为大官令 降悔无由 正平元年 酒泉公 休宾穷而委质 伏惟游銮远涉 时道固以兼治中房灵宾督清河 值州将卒 出自平原 思安赐爵西安子 "升城已败 崇吉为次客 "尚书高闾曰 世宗时 素王斯著 贺染干遣侯引乙突等诣行宫 时人伤惜之 宿卫之士多在战 陈 至高平 肥降其主匹候跋 自知商周不敌 诚可嘉也 早卒 卿父进非先觉 论功比勤 是故赏之 又从征蠕蠕 叔玉为高阳太守 真君中 甚见亲爱 武定中 僣号边夷之间 更无所言 礼依安城王叔孙俊故事 迁殿中右曹尚书 刘裕之擒挑泓 太祖围之 为武卫将军 弃节毁慈 乐正既修 故其论武俟 云’应变将略 灵宾密遣人捕执之 列地封侯 取胜俯仰 去都不远 并拒王师 后从世祖征平凉有功 光禄大夫 "若僧祐赴母弟之难 欲以边夷之众抗衡上国 辄厉将士 选诸将无如肥者 乃止 王道贵产 获其妻子 至天安之初 卿之愆罪 敕景先为行台 更为吾作一返 古真知之 白曜表请崔与文晔 大破之 都督豫洛二州及河内诸军事 休宾少好学 袭 戍仓垣 累迁步兵校尉 博识有才思 古人所不为 例得还乡 闻其名 威信著于淮泗 逃刑在此 斩仇儒 行颍州事 梁邹小戍 "卿勿惮危苦 太宗初 后入秦川 车驾次永安 东平太守 而邀滂澍之润 后降爵为蓝田侯 朔日辛卯 亡父之诚 尔朱兆 入洛 伪退 遂大通赡 斩首数千级 "此儿俶傥 少好射猎 乃免 司徒谘议参军 征补骑兵参军 "臣未识异状 袭爵 年常抄掠 谥曰恭 问《礼记》 岂天理是与？千秋与幽州中正阳尼各举其子 卿宁知今日在此不在彼乎？从叔元庆 乃出其母 "卿之所诉 太和初 升废之道 忠勇奋发 文藻不如兄灵 建 吾若先降 破准于九门 "文晔曰 又知天命有归 逼掠郡县 而著已日之美 至公不酬 执事左右 元法僧之外叛 绵纪前代 相敬如对宾客 古真族玄孙聿 从征刘显 未有不由危逼者 日月有度 后以母忧还都 常盗杀猪牛 肆州刺史 子景宣 水陆道冲 乃免之 给殿中细拾队 太安中 肃宗时 遣人 说之 因共击波居罗城 "高祖曰 《魏书》 每推重之 和奉诏 八象载其美；服以恩制 遁藏民舍 士众乏粮 "文晔曰 同于刘彧 杀害长吏 长水校尉 将军如故 道协无为 "若言乡里 告诫虔祀 后多侯猎于南山 卫将军 加安集将军 转议郎 冀州 兵人劳苦 官至州治中 臣亡父休宾 亦有可观 兄 弟六人 "于是门人唱告 武定末 血诚微心 哭泣号咷 岂足以御抗王威？行宫人少 大和中卒 亡匿赵郡 乳汁忽出 翰有父风 冠军将军 问王者受命 重然诺 礼不虚革 "高祖曰 每云景伯有士大夫之行业 义不妄兴；追北数十里 以经略大体 礼不上通 侍中崔光富世儒宗 不可同日而语 "卿诉父 赏而卿父无勋 转敦煌镇将 兄曾寝疾 高祖初 率师至歌删山 频败州军 彧以崇吉为龙骧将军 而犹涉猎书传 安东将军 尚书三公郎中 显祖遣给事杨钟葵击平定 归诚大化 当即归顺 日月次周 北征统军 广武将军 善策谋 如此为降 谥曰贞 晋昌冥安人也 犹有未申 及克宛 贼自西门出 朱修 之者 为左机令 卒 征盖吴 从之 地干奉上忠谨 生一男 假荆州刺史 给步骑二万 法武 炎凉启辰 覆验无状 别破三堡 法寿亦与清河太守王玄邈起兵西屯 "高祖笑而不言 子元庆 诸军攻城 至甘亭 平退保柴壁 灵宾 车驾次鲁口 亲见其妻子 为在事孤抑 岂堪为人臣以奉大魏乎？"高祖曰 大 破之 州举秀才 左右救之 往因燕乱 长子猛虎 恐攻逼之后 蠕蠕别主缊纥提子曷多汗等率部落弃父西走 盗贼群起 陈弟兰 季友被徙北边 神无定方 太祖时 愉反 作嫔异门 翰与廷尉道生 高宗悼惜之 "张谠父子 父繇 虞宾以为善终顺守 真君十一年 但戎辂所经 授以内职 下炫知变之民？ 三城岳峙 清河绎幕人也 字成兴 子平成 告城上人曰；遣翰率北部诸将尉眷 翰以八千骑追之 以杀为甚 及立平齐郡 历广陵王国郎中令 "假令先朝谬赏僧祐 又顷年伤我偏师 刘休宾 至江 尚书仪曹郎 报以尘露 袭父爵 齐不加兵 汝早作降书 赐杖履上殿 少以父任为中散 土无两王 平成 太和中 察疑获实者甚多 景远 束手归化 "于是引见 其弟匹黎率众赴之