1.3.2 相似三角形的性质 课件(人教A选修4-1)
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数学人教A版选修4-1课件:1.3.2 相似三角形的性质
周长的比等于相似比
面积相等
面积的比等于相似比的平方
-7-
2.相似三角形的性质
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D典例透析 IANLI TOUXI
全等三角形 外接(内切)圆 的直径相等 外接(内切)圆 的周长相等 外接(内切)圆 的面积相等
C.
16 9
D. 无法确定
解析:相似比为
������������ ������'������'
=
4 3
,
则BC
和
B'C'上对应中线的比等于相似
比 43.
答案:A
-4-
2.相似三角形的性质
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2.相似三角形的性质
-1-
2.相似三角形的性质
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D典例透析 IANLI TOUXI
1.掌握相似三角形的性质. 2.能利用相似三角形的性质解决有关问题.
-2-
2.相似三角形的性质
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D典例透析 IANLI TOUXI
【做一做 2】
已知△ABC∽△A'B'C',且
������△������������������ ������△������'������'������'
=
高中数学 1.3第2课时 相似三角形的性质课件 新人教A版选修4-1
(2)用来证明线段成比例、角相等,在进行计算时常常结 合方程的思想进行.
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9
►变式训练
2.如图所示,四边形ABCD中,AC为AB,AD的比例 中项,且AC平分∠DAB.求证:
(1)△ABC∽△ACD;
(2)BC2∶CD2=AB∶AD.
栏 目
链
接
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10
证明:(1)∵AB∶AC=AC∶AD,
延长线于点F.
栏 目
求证:EF·AD=EC·BC.
链 接
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8
证明:∵AD∥BC,∴△ADE∽△CBE.
∴ACDB=DBEE.∵BF∥CD,
∴△DCE∽△BFE.
∴DBEE=CFEE.∴ACDB=CFEE.
栏 目 链
∴EF·AD=CE·BC.
接
点评:相似三角形的性质常用于:
(1)计算边长、周长、面积等;
∠1=∠2,∴△ABC∽△ACD.
(2)∵△ABC∽△ACD,
∴S△ABC∶S△ACD=BC2∶CD2=AC2∶AD2,
栏 目
又∵AC2=AB·AD,
链 接
∴BC2∶CD2=AC2∶AD2=AB·AD∶AD2=AB∶AD,
∴BC2∶CD2=AB∶AD.
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11
析疑难
提
能
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6
►变式训练
1.若△ABC∽△A′B′C′,它们的周长相差20 cm,且 它们对应边上的中线比为2∶1,则△ABC与△A′B′C′
栏 目
周长分别为________,________.
链 接
答案:40 cm 20 cm
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数学:1.3.2《相似三角形的性质》课件(新人教版a选修4-1)
2024/11/3
结论:
1.类似三角形外接圆的直径比、周长 比等于类似比,外接圆的面积比等于 类似比的平方.
2.类似三角形内切圆的直径比、周长 比等于类似比,内切圆的面积比等于 类似比的平方.
2024/11/3
作业:1.课本P19-20 习题1.3 2.成才之路P21-22
2024/11/3
类似三角形的性质
2024/11/3
在10倍的放大镜下看到的三 角形与原三角形相比: 三角形的边长,周长,面积,角, 产生什么关系?
2024/11/3
性质定理:
1.类似三角形对应高的比、对应中 线 的比和对应角平分线的比都等于 类似比;
2.类似三角形周长的比等于类似比;
3.类似三角形面积的比等于类似比的 平方;
AD=60cm,延长两腰
BA,CD交于点 O,OF⊥BC,交AD于 E,EF=32cm,则
A D
E
OF=__8_0_c_m__.
B
FF C
2024/11/3
已知△ABC,如果要作与BC 平行的直线把△ABC划分成两 部分,使这两部分(三角形与 四边形)的面积之比为1:1, 该怎么作?如果要使划分成的 面积之比为1:2,又该怎么作? 如果要使划分成的面积之比为 1;n,又该怎么作?
AG (2)△ADE与△ABC的周长比; A (3)△ADE与△ABC的面积比。
D E
F
2024/11/3
B
C
G
如图,△ABC中,DE⁄⁄FG⁄⁄BC AD=DF=FB,则S△ADE:S四 边形DFGE:S四边形FBCG =___1:__3_:__5 _ .
2024/11/3
已知:梯形ABCD中
2024/11/3
结论:
1.类似三角形外接圆的直径比、周长 比等于类似比,外接圆的面积比等于 类似比的平方.
2.类似三角形内切圆的直径比、周长 比等于类似比,内切圆的面积比等于 类似比的平方.
2024/11/3
作业:1.课本P19-20 习题1.3 2.成才之路P21-22
2024/11/3
类似三角形的性质
2024/11/3
在10倍的放大镜下看到的三 角形与原三角形相比: 三角形的边长,周长,面积,角, 产生什么关系?
2024/11/3
性质定理:
1.类似三角形对应高的比、对应中 线 的比和对应角平分线的比都等于 类似比;
2.类似三角形周长的比等于类似比;
3.类似三角形面积的比等于类似比的 平方;
AD=60cm,延长两腰
BA,CD交于点 O,OF⊥BC,交AD于 E,EF=32cm,则
A D
E
OF=__8_0_c_m__.
B
FF C
2024/11/3
已知△ABC,如果要作与BC 平行的直线把△ABC划分成两 部分,使这两部分(三角形与 四边形)的面积之比为1:1, 该怎么作?如果要使划分成的 面积之比为1:2,又该怎么作? 如果要使划分成的面积之比为 1;n,又该怎么作?
AG (2)△ADE与△ABC的周长比; A (3)△ADE与△ABC的面积比。
D E
F
2024/11/3
B
C
G
如图,△ABC中,DE⁄⁄FG⁄⁄BC AD=DF=FB,则S△ADE:S四 边形DFGE:S四边形FBCG =___1:__3_:__5 _ .
2024/11/3
已知:梯形ABCD中
2024/11/3
2019版数学人教A版选修4-1课件:1.3.2 相似三角形的性质
第十九页,编辑于星期日:点 四十六分。
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2.相似三角形的性质
题型一
题型二
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D典例透析
IANLI TOUXI
题型三
解析:根据题意,可得ED=0.5 m,DB=3 m,CD=1.5 m.
根据光线平行的知识可知CE∥AD,
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D典例透析
IANLI TOUXI
题型三
解:∵△ABC∽△A'B'C',
60 5
∴
=
=
=
= .
'' '' '' 72 6
(1)∵AB=15 cm,
∴
15
''
5
= , ∴ ′′ = 18 cm.
6
∵B'C'=24 cm,∴
24
5
1
4
= , = 2,
)
B.4
C.8
1
= ,
4
D.16
△
2
解析: ∵
=
△'''
''
1
∴
= .
'' 2
又 ∵BC=2,∴B'C'=2BC=4.
答案:B
第五页,编辑于星期日:点 四十六分。
-5-
2.相似三角形的性质
【做一做 3】
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1.3.2 相似三角形的性质 课件(人教A选修4-1)
解:设矩形 EFGH 为加工成的矩形零件,边 FG 在 BC 上,则点 E、H 分别在 AB、AC 上,△ABC 的高 AD 与边 EH 相交于点 P,设矩形的边 EH 的长为 x mm. AP EH 因为 EH∥BC,所以△AEH∽△ABC.所以 = . AD BC 300-2x x 600 所以 = ,解得 x= (mm), 300 200 7 1 200 2x= (mm). 7 600 答:加工成的矩形零件的边长分别为 mm 和 7
返回
[悟一法]
相似三角形的性质把相似三角形的高、对应中线、
对应角似三角形的性质可 得到线段的比例,线段的平方比或角相等,有时还可用 来计算三角形的面积、周长和边长.
返回
[通一类] 1.已知:△ABC与△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,
∠A=∠A′,BC=6,AC=8,△A′B′C′的周长
为72.求△A′B′C′各边的长. 解:∵∠C=∠C′=90° ,∠A=∠A′,
∴△ABC∽△A′B′C′. 在 Rt△ABC 中,AB= 62+82=10. ∴△ABC 的周长为 6+8+10=24. A′B′ B′C′ A′C′ 72 ∴ = = = =3. AB BC AC 24 又∵AB=10,BC=6,AC=8, ∴A′B′=30,B′C′=18,A′C′=24.
1 200 mm. 7
返回
[悟一法]
将实际问题转化为平面几何问题是解决此题的关键,
要注意相似三角形的性质在实际问题中的作用.
返回
[通一类]
2.如图,小明欲测量一座古塔的高度,
他站在该塔的影子上前后移动,直 到他本身影子的顶端正好与塔的影 子的顶端重叠,此时他距离该塔18 m,已知小明的身高是1.6 m,他的影长是2 m. (1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么? (2)求古塔的高度.
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.3.2相似三角形的性质课件新人教A版选修4_1
������△������'������'������' ������'������'
4
������������ 1
∴ ������'������' = 2.
又∵BC=2,∴B'C'=2BC=4.
D.16
答案:B
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=
������������ ������������
2
= 49.
������������ 2 ������������ 2 ∴ ������������ = 3 , ������������ = 1 = 2.
(2)如图,过点 D 作 DF⊥AC,垂足为 F,
则
S△ADE=
1 2
������������·AE,S△CDE=
=
������������'������������',
������' 3 ∴ 4 = 2 , ∴ ������′ = 6.
答案:C
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相似三角形性质和全等三角形性质的比较
题型一 题型二 题型三
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D典例透析 IANLI TOUXI
反思利用相似三角形的性质进行有关的计算,往往与相似三角形 对应边的比及对应角相等有关.解决此类问题,要善于联想,变换比 例式,从而达到求解的目的.
人教A版高中数学选修4-1课件:1.3.2相似三角形的性质.pptx
7、如图,△ABC是钝角三角形,AD、BE、
CF分别是△ABC的三条高,
求证:AD BC BE AC
F E
A
B
D
C
2.相似三角形周长的比等于相似比;3.相似三角形面积的比等于相似比的平方;
A
P
EN
B
Q
DM C
2.相似三角形周长的比等于相似比;3.相似三角形面积的比等于相似比的平方;
1.相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比;
如图,D,E分别是AC,AB边上的点, ∠AED=∠B,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于 点F,若AD=3,AB=5,AE=4;
AF
求:(1);A G
B
FCLeabharlann 2.相似三角形周长的比等于相似比;3.相似三角形面积的比等于相似比的平方;
1.相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比;
问题1、两个相似三角形的外接圆的直径比、周长 比、面积比与相似比有什么关系?
A
A/
O/
C/
O C
B/ D/
B D
问题2、两个相似三角形的内切圆的直径比、周长
2.相似三角形周长的比等于相似比;3.相似三角形面积的比等于相似比的平方;
1.相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比;
已知:梯形ABCD中
AD∥BC,AD=36cm,
O
BC=60cm,延长两腰
BA,CD交于点 O,OF⊥BC,交AD于 E,EF=32cm,则
A D
E
OF=__8_0_c_m__.
2.相似三角形周长的比等于相似比;3.相似三角形面积的比等于相似比的平方;
1.3.2 相似三角形的性质 课件(人教A选修4-1)
答:古塔的高度为16 m. 返回
[例3]
[研一题] 如图,已知矩形ABCD的边
长AB=2,BC=3,点P是AD边上的一
动点(P异于A、D),Q是BC边上的任意
一点.连AQ、DQ,过P作PE∥DQ交AQ于E,作PF∥ AQ交DQ于F.
返回
(1)求证:△APE∽△ADQ;
(2)设AP的长为x,试求△PEF的面积S△PEF关于x的函 数关系式,并求当P在何处时,S△PEF取得最大值?最大 值为多少? (3)当Q在何处时,△ADQ的周长最小?(必须给出确
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[悟一法]
相似三角形的性质把相似三角形的高、对应中线、
对应角的平分线,以及周长、面积都与相似三角形的对 应边的比(相似比)联系起来,利用相似三角形的性质可 得到线段的比例,线段的平方比或角相等,有时还可用 来计算三角形的面积、周长和边长.
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[通一类] 1.已知:△ABC与△A′B′C′中,∠C= BD,交 AC 于 O 点, 1 ∵四边形 ABCD 为矩形,∴OA= AC. 2 1 ∵AM= AC,∴AM=OM. 4 在 Rt△ABD 中,AB=1,AD= 3, ∴BD= AB2+AD2=2. ∴BO=OA=AB=1, ∴△AOB 是等边三角形,又 AM=OM, ∴BM⊥AO,∴点 B 在直线 l 上.
解:设矩形 EFGH 为加工成的矩形零件,边 FG 在 BC 上,则点 E、H 分别在 AB、AC 上,△ABC 的高 AD 与边 EH 相交于点 P,设矩形的边 EH 的长为 x mm. AP EH 因为 EH∥BC,所以△AEH∽△ABC.所以 = . AD BC 300-2x x 600 所以 = ,解得 x= (mm), 300 200 7 1 200 2x= (mm). 7 600 答:加工成的矩形零件的边长分别为 mm 和 7
人教A版高中数学选修4-1课件 1.3.2相似三角形的性质课件4
又∵∠AFC=∠BFA, ∴△CFA∽△AFB. ∴FFAC=FABF. ∴FA2=FC·FB. ∴FD2=FB·FC.
规律技巧 由于线段FD、FB、FC在同一直线上,因此需 把FD转化出去(FD=FA),再证△CFA∽△AFB可解.
变式2 如图,在△ABC中,AB=AC,AD是中线,P为 AD上一点,过C作CF∥AB,延长BP交AC于E,交CF于F.
第一讲 相似三角形的判定及有关性质
三 相似三角形的判定及性质
2 相似三角形的性质
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.了解相似三角形性质定理的证明. 2.掌握相似三角形的性质定理,能应用相似三角形的性 质定理进行相关几何题的计算与证明. 3.能综合运用相似三角形的判定定理、性质定理进行相 关几何题的计算与证明.
(3)解有关三角形或其他图形面积的题目时,常用到两个 知识点:一是三角形面积公式S=12×底×高,这里要特别注意 图形中“同高”这一隐含条件;二是相似三角形的面积比等于 相似比的平方.
3.相似三角形性质的运用 (1)可用来证明线段成比例、角相等、线段相等、垂直、 平分等; (2)可用来计算边长、周长、角度、面积、图形的面积比 等. 解题的关键在于利用相似三角形ห้องสมุดไป่ตู้性质求出相似比.
1.对应中线的比 对应角平分线的比 答
相似比的平方 案
2.直径比 周长比 相似比的平方
相似比
思考探究1 相似三角形对应角的外角平分线与对边相交 所得线段的比与相似比有怎样的关系?
提示 相似三角形对应角的外角平分线与对边相交所得线 段的比等于相似比.理由如下:
如图,设△ABC∽△A′B′C′,相似比为k,
高中数学1.3.2相似三角形的性质课件新人教A版选修4-1
所以
因为☉O 的周长为 2π· OD,☉O'的周长为 2π· O'D',
☉������的周长
所以
=k.
☉������'的周长
因为☉O 的面积=π(OD) ,☉O'的面积=π(O'D') ,
2
2
☉������的面积
所以
☉������'的面积
=
������������2 ������'������'
2 =k .
=
4×3 5
=
12 . 5
∵ DE∥AB, ∴ △ CDE∽△CBA.
-x ������������ ������������ 5 ∴ = ,即 12 ������������ ������������
探究一
探究二
探究三
解:如图(1) 所示,设正方形 DEFG 的边长为 x m.
图 (1)
过点 C 作 CM ⊥AB 于 M,交 DE 于 N,因此 S△ABC= AC· BC= AB· CM. ∴ AC· BC=AB· CM.
1 2
1 2
探究一
探究二
探究三
∴ CM=
������������ · ������������ ������������
相似比为 k.
求证 :☉O 和☉O'的直径比为 k,周长比为 k,面积比为 k .
2
证明:连接 O 和切点 D,O'和切点 D', 所以 OD⊥AB,O'D'⊥ A'B'. 连接 OA,OB,O'A',O'B'. 因为△ABC∽△A'B'C',所以∠BAC=∠B'A'C'. 又∠DAO= ∠BAC,∠D'A'O'= ∠B'A'C', 所以∠DAO= ∠D'A'O'.
高中数学人教A版选修4-1课件:1.3.2相似三角形的性质3
∴△ABF∽△CEB.
(2)解∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD.
∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.
1
∵DE=2CD,
△
2
∴
=
△
=
1 △
,
9 △
=
2
1
= 4.
∵S△DEF=2,∴S△CEB=18,S△ABF=8.∴S四边形BCDF=S△CEB-S△DEF=16.
9,S1∶S3=1∶9.
=
1 2
3
=
1 1
,
9 3
=
2
=
=
1 2
3
1
3
1
,故
9
= .
=
S1 ∶ S2=1 ∶
-22-
2.类似三角形的性质
探究一
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探究二
探究三
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思维辨析
正解∵AD∥BC,∴△AOD∽△COB,
-2-
2.类似三角形的性质
1
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2
1.类似三角形的性质定理
(1)类似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都
等于类似比.
(2)类似三角形周长的比等于类似比.
(3)类似三角形面积的比等于类似比的平方.
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探究三利用类似三角形的性质解决综合问题
(2)解∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD.
∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.
1
∵DE=2CD,
△
2
∴
=
△
=
1 △
,
9 △
=
2
1
= 4.
∵S△DEF=2,∴S△CEB=18,S△ABF=8.∴S四边形BCDF=S△CEB-S△DEF=16.
9,S1∶S3=1∶9.
=
1 2
3
=
1 1
,
9 3
=
2
=
=
1 2
3
1
3
1
,故
9
= .
=
S1 ∶ S2=1 ∶
-22-
2.类似三角形的性质
探究一
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探究三
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正解∵AD∥BC,∴△AOD∽△COB,
-2-
2.类似三角形的性质
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2
1.类似三角形的性质定理
(1)类似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都
等于类似比.
(2)类似三角形周长的比等于类似比.
(3)类似三角形面积的比等于类似比的平方.
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思维辨析
探究三利用类似三角形的性质解决综合问题
1.3 第二课时 相似三角形的性质 课件(人教A选修4-1)
2. 如图,在▱ABCD中,AE∶EB=2∶3.
(1)求△AEF与△CDF周长的比;
(2)若S△AEF=8,求S△CDF.
解:(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形, AE 2 ∴AB∥CD 且 AB=CD.∵EB= , 3 AE 2 AE 2 AE 2 ∴ = ,即AB= .∴CD= . 5 5 AE+EB 2+3 又由 AB∥CD 知△AEF∽△CDF, ∴△AEF 的周长∶△CDF 的周长=2∶5. (2)S△AEF∶S△CDF=4∶25, 又 S△AEF=8,∴S△CDF=50.
利用相似三角形的性质进行有关的计算往往与相 似三角形对应边的比及对应角相等有关,解决此类问
题,要善于联想,变换比例式,从而达到目的.
1.如图,在△ABC中,DE∥BC, 在AB上取一点F, 使S△BFC= S△ADE.求证:AD2=AB· BF.
证明:∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, S△ADE AD2 ∴ = 2. S△ABC AB 又∵SADE=S△BFC, S△BFC AD2 ∴ = 2. S△ABC AB S△BFC BF BF AD2 又∵ =AB,∴AB= 2. AB S△ABC ∴AD2=AB· BF.
解得x=55.2(米).
故小张与教学楼的距离至少应有55.2米,才能看到水塔.
此类问题是利用数学模型解实际问题,关键在于
认真分析题意,将实际问题转化成数学问题,构造相
似三角形求解.
3. 如图,△ABC是一块锐角三角形余料,
边BC=200 mm,高AD=300 mm,要 把它加工成长是宽的2倍 的矩形零件, 使矩形较短的边在BC上,其余两个顶 点分别在AB、AC上,求这个矩形零件
[例2]
如图,一天早上,小张正
人A版数学选修4-1课件:第1讲 3 2 相似三角形的性质
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CD BD CD C′D′ ∴ = ,即 = . BD C′D′ B′D′ B′D′ CD+BD C′D′+B′D′ BC B′C′ ∴ = ,即 = . BD BD B′D′ B′D′ BC BD r ∴ = = =k. B′C′ B′D′ r′ 2r ∴ =k,即两个相似三角形内切圆的直径比等于相似比. 2r′
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要证明线段相等、角相等、比例式成立等结论,有时需化归 到相似三角形中加以证明, 若不存在相似三角形, 可添加辅助线, 构造相ຫໍສະໝຸດ 三角形,最终得到结论.上一页
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[ 再练一题] 1.如图 1328,在矩形 ABCD 中,E 是 DC 的中点, BE⊥AC 交 AC 于 F,过 F 作 FG∥AB 交 AE 于 G. 求证:AG2=AF· FC. 【证明】 ∵E 为矩形 ABCD 的边 DC 的中点,
A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′外接圆的直径.连 接 BD,B′D′,则∠ABD=∠A′B′D′=90° . ∵△ABC∽△A′B′C′, ∴∠C=∠C′. 而∠D=∠C,∠D′=∠C′, ∴∠D=∠D′.
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(1)
∴Rt△ABD∽Rt△A′B′D′. AD AB ∴ = =k. A′D′ A′B′ AD ∵⊙O 的周长=2π· =π·AD, 2 A′D′ ⊙O′的周长=2π· =π·A′D′, 2 AD ∴⊙O 的周长:⊙O′的周长= =k . A′D′
阶 段 一
阶 段 三
三
阶 段 二
相似三角形的判定及性质 2.相似三角形的性质
学 业 分 层 测 评
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1.掌握相似三角形的性质.(重点) 2.能利用相似三角形的性质解决有关问题.(难点)
CD BD CD C′D′ ∴ = ,即 = . BD C′D′ B′D′ B′D′ CD+BD C′D′+B′D′ BC B′C′ ∴ = ,即 = . BD BD B′D′ B′D′ BC BD r ∴ = = =k. B′C′ B′D′ r′ 2r ∴ =k,即两个相似三角形内切圆的直径比等于相似比. 2r′
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要证明线段相等、角相等、比例式成立等结论,有时需化归 到相似三角形中加以证明, 若不存在相似三角形, 可添加辅助线, 构造相ຫໍສະໝຸດ 三角形,最终得到结论.上一页
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[ 再练一题] 1.如图 1328,在矩形 ABCD 中,E 是 DC 的中点, BE⊥AC 交 AC 于 F,过 F 作 FG∥AB 交 AE 于 G. 求证:AG2=AF· FC. 【证明】 ∵E 为矩形 ABCD 的边 DC 的中点,
A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′外接圆的直径.连 接 BD,B′D′,则∠ABD=∠A′B′D′=90° . ∵△ABC∽△A′B′C′, ∴∠C=∠C′. 而∠D=∠C,∠D′=∠C′, ∴∠D=∠D′.
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(1)
∴Rt△ABD∽Rt△A′B′D′. AD AB ∴ = =k. A′D′ A′B′ AD ∵⊙O 的周长=2π· =π·AD, 2 A′D′ ⊙O′的周长=2π· =π·A′D′, 2 AD ∴⊙O 的周长:⊙O′的周长= =k . A′D′
阶 段 一
阶 段 三
三
阶 段 二
相似三角形的判定及性质 2.相似三角形的性质
学 业 分 层 测 评
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1.掌握相似三角形的性质.(重点) 2.能利用相似三角形的性质解决有关问题.(难点)
2016-2017学年高中数学人教A版选修4-1课件:1.3.2 相似三角形的性质
I
-12-
2.相似三角形的性质
题型一 题型二 题型三
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
【例3】 如图,一天早上,小张正向着教学楼AB走去,教学楼后面 有一水塔DC,可过了一会抬头一看:“怎么看不到水塔了?”小张心 里很是纳闷 .经 过 了解,教学楼、水塔的高分别是20 m和30 m,它们 之间的距离为30 m,小张身高为1.6 m.小张要想看到水塔,他与教 学楼之间的距离至少应有多少米?
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
【例1】 已知△ABC∽△A'B'C',△ABC的周长为 60 cm,△A'B'C'的 周长为 72 cm,AB=15 cm,B'C'=24 cm,求:
(1)BC,A'B'; (2)AC,A'C'.
分析:先由相似三角形周长的比得到相似比,再利用相似比求解.
-14-
2.相似三角形的性质
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三
【变式训练3】 为 了测量学校操场上旗杆的高度,小明请同学 帮忙,测 得同一时刻自己的影长和旗杆的影长分别为 0.5 m和3 m,
示意图如图.如果小明身高为1.5 m,那么旗杆的高度为
反思利用相似三角形的性质进行有关的计算,往往与相似三角形 对应边的比及对应角相等有关.解决此类问题,要善于联想,变换比 例式,从而达到求解的目的.
-7-
-12-
2.相似三角形的性质
题型一 题型二 题型三
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Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
【例3】 如图,一天早上,小张正向着教学楼AB走去,教学楼后面 有一水塔DC,可过了一会抬头一看:“怎么看不到水塔了?”小张心 里很是纳闷 .经 过 了解,教学楼、水塔的高分别是20 m和30 m,它们 之间的距离为30 m,小张身高为1.6 m.小张要想看到水塔,他与教 学楼之间的距离至少应有多少米?
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D典例透析 IANLI TOUXI
【例1】 已知△ABC∽△A'B'C',△ABC的周长为 60 cm,△A'B'C'的 周长为 72 cm,AB=15 cm,B'C'=24 cm,求:
(1)BC,A'B'; (2)AC,A'C'.
分析:先由相似三角形周长的比得到相似比,再利用相似比求解.
-14-
2.相似三角形的性质
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三
【变式训练3】 为 了测量学校操场上旗杆的高度,小明请同学 帮忙,测 得同一时刻自己的影长和旗杆的影长分别为 0.5 m和3 m,
示意图如图.如果小明身高为1.5 m,那么旗杆的高度为
反思利用相似三角形的性质进行有关的计算,往往与相似三角形 对应边的比及对应角相等有关.解决此类问题,要善于联想,变换比 例式,从而达到求解的目的.
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1 200 mm. 7
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[悟一法]
将实际问题转化为平面几何问题是解决此题的关键,
要注意相似三角形的性质在实际问题中的作用.
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[通一类]
2.如图,小明欲测量一座古塔的高度,
他站在该塔的影子上前后移动,直 到他本身影子的顶端正好与塔的影 子的顶端重叠,此时他距离该塔18 m,已知小明的身高是1.6 m,他的影长是2 m. (1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么? (2)求古塔的高度.
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点击下图进入“创新演练”
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解:设矩形 EFGH 为加工成的矩形零件,边 FG 在 BC 上,则点 E、H 分别在 AB、AC 上,△ABC 的高 AD 与边 EH 相交于点 P,设矩形的边 EH 的长为 x mm. AP EH 因为 EH∥BC,所以△AEH∽△ABC.所以 = . AD BC 300-2x x 600 所以 = ,解得 x= (mm), 300 200 7 1 200 2x= (mm). 7 600 答:加工成的矩形零件的边长分别为 mm 和 7
∠A=∠A′,BC=6,AC=8,△A′B′C′的周长
为72.求△A′B′C′各边的长. 解:∵∠C=∠C′=90° ,∠A=∠A′,
∴△ABC∽△A′B′C′. 在 Rt△ABC 中,AB= 62+82=10. ∴△ABC 的周长为 6+8+10=24. A′B′ B′C′ A′C′ 72 ∴ = = = =3. AB BC AC 24 又∵AB=10,BC=6,AC=8, ∴A′B′=30,B′C′=18,A′C′=24.
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31+a2 a2-3 又 BH=BC-HC=a- = , 4a 4a 1 而 S 梯形 ABHE= (AE+BH)· AB 2
2 2 a2-1 1 1+a a -3 = ( + )· 1= . 2 4a 4a 4a
∵S 梯形 ABHE∶S 梯形 EHCD=2∶7, 2 2 ∴S 梯形 ABHE= S 矩形 ABCD= a, 9 9 a2-1 2 ∴ = a, 4a 9 解得 a=3,即 AD=3.
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(3)如图,设 l 分别交 AD、AC、 AB 于 E、M、G 三点, 则有△AEG∽△DCA, AG AE ∴ = . AD DC AG ∵DC=1,∴AE= . AD S△ AEG 1 1 ∵S△ AEG= AE· AG, = , 2 S多边形 EGBCD 6
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S△ AEG 1 ∴ = , S矩形 ABCD 7 1 AE· AG 2 1 AE· AG 2 ∴ = ,即 = . AD· DC 7 AD 7 2 14 ∴AE = ,AE= . 7 7
AC上,AM=AC,直线l过点M且与AC垂直,与边AD 相交于点E.
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(1)如果 AD= 3,求证点 B 在直线 l 上; (2)如图(2),如果直线 l 与边 BC 相交于点 H,直线 l 把矩形 分成的两部分的面积之比为 2∶7,求 AD 的长; (3)如果直线 l 分别与边 AD,AB 相交于 E,G. 当直线 l 把矩形分成的两部分的面积之比为 1∶6 时, AE 求 的长是多少?
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解:(1)证明:连接 BD,交 AC 于 O 点, 1 ∵四边形 ABCD 为矩形,∴OA= AC. 2 1 ∵AM= AC,∴AM=OM. 4 在 Rt△ABD 中,AB=1,AD= 3, ∴BD= AB2+AD2=2. ∴BO=OA=AB=1, ∴△AOB 是等边三角形,又 AM=OM, ∴BM⊥AO,∴点 B 在直线 l 上.
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[悟一法]
相似三角形的性质把相似三角形的高、对应中线、
对应角的平分线,以及周长、面积都与相似三角形的对 应边的比(相似比)联系起来,利用相似三角形的性质可 得到线段的比例,线段的平方比或角相等,有时还可用 来计算三角形的面积、周长和边长.
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[通一类] 1.已知:△ABC与△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,
S△DEC 求: 的值. S△ABD
分析: 本题考查相似三角形的判定及性质的应用. 解答 DE 本题需要利用相似三角形的性质求得 之比,进而求得 BE S△ ABE S△ DEC 的值,最后求得 的值. S△ ABD S△ ABD
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解:∵S△ DEC∶S△ DBC=1∶3, ∴DE∶DB=1∶3,即 DE∶EB=1∶2. 又∵DC∥AB, ∴△DEC∽△BEA. ∴S△ DEC∶S△BEA=1∶4. 又∵DE∶EB=CE∶EA=1∶2, ∴S△ DEC∶S△DEA=1∶2. ∴S△ DEC∶S△ABD=1∶6. S△ DEC 1 即 = . S△ ABD 6
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解:(1)△ABC∽△ADE. ∵BC⊥AE,DE⊥AE, ∴∠ACB=∠AED=90° . ∵∠A=∠A, ∴△ABC∽△ADE. (2)由(1)得△ABC∽△ADE, AC BC ∴ = . AE DE ∵AC=2 m,AE=2+18=20 m,BC=1.6 m. 2 1.6 ∴ = , 20 DE ∴DE=16 m.
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[小问题·大思维] 两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比、面积比 与相似比之间又有什么关系? 提示:相似三角形内切圆的直径比、周长比等于相似
比,内切圆的面积比等于相似比的平方.
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[研一题] [例 1] 如图,梯形 ABCD,AB∥
CD,E 是对角线 AC 和 BD 的交点,S
△ DEC
∶S△DBC=1∶3,
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解:(1)证明:因为 PE∥DQ, 所以∠APE=∠ADQ,∠AEP=∠AQD, 所以△APE∽△ADQ. S△ APE AP 2 (2)因为△APE∽△ADQ,所以 =( ) . S△ ADQ AD 因为 AD∥BC,所以△ADQ 的高等于 AB. 1 2 所以 S△ ADQ=3.所以 S△ APE= x . 3 同理,由 PF∥AQ,可证得△PDF∽△ADQ, S△ PDF PD 2 所以 =( ) . S△ ADQ AD
2
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相似三角形的判断及其在有关计算问题中的应用是 高考模拟的热点内容.2012年银川模拟以解答题的形式将
相似三角形的判断及性质综合考查,是高考模拟命题的
一个新亮点.
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[考题印证] (2012· 银川模拟)在△ABC中, D是BC边上中点,且AD=AC,DE
⊥BC,DE与BA相交于点E,EC与
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(2)设 AD=a,则 AC= 1+a2. ∵∠EAM=∠CAD,∠AME=∠D=90° , ∴△AEM∽△ACD,∴ 1 1 又 AM= AC= 4 4 AE AM = . AC AD
1+a2,
2 AC· AM 1+a ∴AE= = . AD 4a
由 AE∥HC,得△AEM∽△CHM, AE AM 1 ∴ = = , HC MC 3 ∴HC=3AE.
定Q在何处的过程或方法,不必给出证明)
返回
分析:本题考查相似三角形的判定及性质的综合应 用.解答问题(1)只需证明△APE 和△ADQ 中有两个角对 应相等即可;解答问题(2)要注意△ADQ 的面积为定值, 1 且 S△PEF= (S△ADQ-S△APE-S△PDF);解答问题(3)可作点 A 2 关于直线 BC 的对称点 A′,利用三点共线解决.
AD相交于点F. (1)证明:△ABC∽△FCD; (2)若S△FCD=5,BC=10,求DE的长. [命题立意] 本题主要考查相似三角形的判定及性
质的综合应用.
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解:(1)证明:因为AD=AC, 所以∠ACB=∠ADC.
又因为D为BC的中点,ED⊥BC,
所以EB=EC.所以∠B=∠ECB, 所以△ABC∽△FCD. (2)如图,过A作AH⊥BC,垂足为H, 因为AD=AC, 1 1 所以 DH= DC= BD. 2 2
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[研一题]
[例 2] 如图,△ABC 是一块锐角三角
形余料, BC=200 mm, AD=300 mm, 边 高 要把它加工成长是宽的 2 倍的矩形零件, 使 矩形较短的边在 BC 上,其余两个顶点分别 在 AB、AC 上,求这个矩形零件的边长.
分析:本题考查相似三角形性质的应用.解答本题
需要设出所求矩形零件的某一边长,然后借助△AEH∽ △ABC求解. 返回
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1 因为 PD=3-x,所以 S△PDF= (3-x)2. 3 因为 PE∥DQ,PF∥AQ, 所以四边形 PEQF 是平行四边形. 1 1 所以 S△ PEF= S▱ PEQF= (S△ ADQ-S△APE-S△PDF) 2 2 1 2 1 32 3 =- x +x=- (x- ) + . 3 3 2 4 3 所以当 x= 时,即 P 是 AD 的中点时, 2 3 S△ PEF 取得最大值,最大值为 . 4
又 DE⊥BC, 所以∠BDE=∠BHA=90° ,∠以 DE BD BD BD 2 = = = = . 1 3 HA BH BD+DH BD+ BD 2
因为△ABC∽△FCD, S△ ABC BC 2 所以 = =4. S△ FCD CD 所以 S△ ABC=4S△ FCD=4×5=20. 1 又 S△ ABC= BC· AH 2 1 = ×10×AH=20, 2 所以 AH=4. 2 2 8 所以 DE= AH= ×4= . 3 3 3
2.
相似三角形的性质
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[读教材·填要点] 1.相似三角形的性质定理
(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分
线的比都等于 相似比 . (2)相似三角形周长的比等于 相似比 . (3)相似三角形面积的比等于 相似比的平方 .
返回
2.两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面
积比与相似比的关系 相似三角形外接圆的 直径比 、 周长比 等于相似比, 外接圆的 面积比 等于相似比的平方.
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(3)作 A 关于直线 BC 的对称点 A′,连接 DA′ 交 BC 于 Q,则这个 Q 点就是使△ADQ 周长最小的 点,此时 Q 是 BC 的中点.
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[悟一法]
将实际问题转化为平面几何问题是解决此题的关键,
要注意相似三角形的性质在实际问题中的作用.
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[通一类]
2.如图,小明欲测量一座古塔的高度,
他站在该塔的影子上前后移动,直 到他本身影子的顶端正好与塔的影 子的顶端重叠,此时他距离该塔18 m,已知小明的身高是1.6 m,他的影长是2 m. (1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么? (2)求古塔的高度.
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解:设矩形 EFGH 为加工成的矩形零件,边 FG 在 BC 上,则点 E、H 分别在 AB、AC 上,△ABC 的高 AD 与边 EH 相交于点 P,设矩形的边 EH 的长为 x mm. AP EH 因为 EH∥BC,所以△AEH∽△ABC.所以 = . AD BC 300-2x x 600 所以 = ,解得 x= (mm), 300 200 7 1 200 2x= (mm). 7 600 答:加工成的矩形零件的边长分别为 mm 和 7
∠A=∠A′,BC=6,AC=8,△A′B′C′的周长
为72.求△A′B′C′各边的长. 解:∵∠C=∠C′=90° ,∠A=∠A′,
∴△ABC∽△A′B′C′. 在 Rt△ABC 中,AB= 62+82=10. ∴△ABC 的周长为 6+8+10=24. A′B′ B′C′ A′C′ 72 ∴ = = = =3. AB BC AC 24 又∵AB=10,BC=6,AC=8, ∴A′B′=30,B′C′=18,A′C′=24.
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31+a2 a2-3 又 BH=BC-HC=a- = , 4a 4a 1 而 S 梯形 ABHE= (AE+BH)· AB 2
2 2 a2-1 1 1+a a -3 = ( + )· 1= . 2 4a 4a 4a
∵S 梯形 ABHE∶S 梯形 EHCD=2∶7, 2 2 ∴S 梯形 ABHE= S 矩形 ABCD= a, 9 9 a2-1 2 ∴ = a, 4a 9 解得 a=3,即 AD=3.
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(3)如图,设 l 分别交 AD、AC、 AB 于 E、M、G 三点, 则有△AEG∽△DCA, AG AE ∴ = . AD DC AG ∵DC=1,∴AE= . AD S△ AEG 1 1 ∵S△ AEG= AE· AG, = , 2 S多边形 EGBCD 6
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S△ AEG 1 ∴ = , S矩形 ABCD 7 1 AE· AG 2 1 AE· AG 2 ∴ = ,即 = . AD· DC 7 AD 7 2 14 ∴AE = ,AE= . 7 7
AC上,AM=AC,直线l过点M且与AC垂直,与边AD 相交于点E.
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(1)如果 AD= 3,求证点 B 在直线 l 上; (2)如图(2),如果直线 l 与边 BC 相交于点 H,直线 l 把矩形 分成的两部分的面积之比为 2∶7,求 AD 的长; (3)如果直线 l 分别与边 AD,AB 相交于 E,G. 当直线 l 把矩形分成的两部分的面积之比为 1∶6 时, AE 求 的长是多少?
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解:(1)证明:连接 BD,交 AC 于 O 点, 1 ∵四边形 ABCD 为矩形,∴OA= AC. 2 1 ∵AM= AC,∴AM=OM. 4 在 Rt△ABD 中,AB=1,AD= 3, ∴BD= AB2+AD2=2. ∴BO=OA=AB=1, ∴△AOB 是等边三角形,又 AM=OM, ∴BM⊥AO,∴点 B 在直线 l 上.
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[悟一法]
相似三角形的性质把相似三角形的高、对应中线、
对应角的平分线,以及周长、面积都与相似三角形的对 应边的比(相似比)联系起来,利用相似三角形的性质可 得到线段的比例,线段的平方比或角相等,有时还可用 来计算三角形的面积、周长和边长.
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[通一类] 1.已知:△ABC与△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,
S△DEC 求: 的值. S△ABD
分析: 本题考查相似三角形的判定及性质的应用. 解答 DE 本题需要利用相似三角形的性质求得 之比,进而求得 BE S△ ABE S△ DEC 的值,最后求得 的值. S△ ABD S△ ABD
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解:∵S△ DEC∶S△ DBC=1∶3, ∴DE∶DB=1∶3,即 DE∶EB=1∶2. 又∵DC∥AB, ∴△DEC∽△BEA. ∴S△ DEC∶S△BEA=1∶4. 又∵DE∶EB=CE∶EA=1∶2, ∴S△ DEC∶S△DEA=1∶2. ∴S△ DEC∶S△ABD=1∶6. S△ DEC 1 即 = . S△ ABD 6
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解:(1)△ABC∽△ADE. ∵BC⊥AE,DE⊥AE, ∴∠ACB=∠AED=90° . ∵∠A=∠A, ∴△ABC∽△ADE. (2)由(1)得△ABC∽△ADE, AC BC ∴ = . AE DE ∵AC=2 m,AE=2+18=20 m,BC=1.6 m. 2 1.6 ∴ = , 20 DE ∴DE=16 m.
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[小问题·大思维] 两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比、面积比 与相似比之间又有什么关系? 提示:相似三角形内切圆的直径比、周长比等于相似
比,内切圆的面积比等于相似比的平方.
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[研一题] [例 1] 如图,梯形 ABCD,AB∥
CD,E 是对角线 AC 和 BD 的交点,S
△ DEC
∶S△DBC=1∶3,
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解:(1)证明:因为 PE∥DQ, 所以∠APE=∠ADQ,∠AEP=∠AQD, 所以△APE∽△ADQ. S△ APE AP 2 (2)因为△APE∽△ADQ,所以 =( ) . S△ ADQ AD 因为 AD∥BC,所以△ADQ 的高等于 AB. 1 2 所以 S△ ADQ=3.所以 S△ APE= x . 3 同理,由 PF∥AQ,可证得△PDF∽△ADQ, S△ PDF PD 2 所以 =( ) . S△ ADQ AD
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相似三角形的判断及其在有关计算问题中的应用是 高考模拟的热点内容.2012年银川模拟以解答题的形式将
相似三角形的判断及性质综合考查,是高考模拟命题的
一个新亮点.
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[考题印证] (2012· 银川模拟)在△ABC中, D是BC边上中点,且AD=AC,DE
⊥BC,DE与BA相交于点E,EC与
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(2)设 AD=a,则 AC= 1+a2. ∵∠EAM=∠CAD,∠AME=∠D=90° , ∴△AEM∽△ACD,∴ 1 1 又 AM= AC= 4 4 AE AM = . AC AD
1+a2,
2 AC· AM 1+a ∴AE= = . AD 4a
由 AE∥HC,得△AEM∽△CHM, AE AM 1 ∴ = = , HC MC 3 ∴HC=3AE.
定Q在何处的过程或方法,不必给出证明)
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分析:本题考查相似三角形的判定及性质的综合应 用.解答问题(1)只需证明△APE 和△ADQ 中有两个角对 应相等即可;解答问题(2)要注意△ADQ 的面积为定值, 1 且 S△PEF= (S△ADQ-S△APE-S△PDF);解答问题(3)可作点 A 2 关于直线 BC 的对称点 A′,利用三点共线解决.
AD相交于点F. (1)证明:△ABC∽△FCD; (2)若S△FCD=5,BC=10,求DE的长. [命题立意] 本题主要考查相似三角形的判定及性
质的综合应用.
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解:(1)证明:因为AD=AC, 所以∠ACB=∠ADC.
又因为D为BC的中点,ED⊥BC,
所以EB=EC.所以∠B=∠ECB, 所以△ABC∽△FCD. (2)如图,过A作AH⊥BC,垂足为H, 因为AD=AC, 1 1 所以 DH= DC= BD. 2 2
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[研一题]
[例 2] 如图,△ABC 是一块锐角三角
形余料, BC=200 mm, AD=300 mm, 边 高 要把它加工成长是宽的 2 倍的矩形零件, 使 矩形较短的边在 BC 上,其余两个顶点分别 在 AB、AC 上,求这个矩形零件的边长.
分析:本题考查相似三角形性质的应用.解答本题
需要设出所求矩形零件的某一边长,然后借助△AEH∽ △ABC求解. 返回
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1 因为 PD=3-x,所以 S△PDF= (3-x)2. 3 因为 PE∥DQ,PF∥AQ, 所以四边形 PEQF 是平行四边形. 1 1 所以 S△ PEF= S▱ PEQF= (S△ ADQ-S△APE-S△PDF) 2 2 1 2 1 32 3 =- x +x=- (x- ) + . 3 3 2 4 3 所以当 x= 时,即 P 是 AD 的中点时, 2 3 S△ PEF 取得最大值,最大值为 . 4
又 DE⊥BC, 所以∠BDE=∠BHA=90° ,∠以 DE BD BD BD 2 = = = = . 1 3 HA BH BD+DH BD+ BD 2
因为△ABC∽△FCD, S△ ABC BC 2 所以 = =4. S△ FCD CD 所以 S△ ABC=4S△ FCD=4×5=20. 1 又 S△ ABC= BC· AH 2 1 = ×10×AH=20, 2 所以 AH=4. 2 2 8 所以 DE= AH= ×4= . 3 3 3
2.
相似三角形的性质
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[读教材·填要点] 1.相似三角形的性质定理
(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分
线的比都等于 相似比 . (2)相似三角形周长的比等于 相似比 . (3)相似三角形面积的比等于 相似比的平方 .
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2.两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面
积比与相似比的关系 相似三角形外接圆的 直径比 、 周长比 等于相似比, 外接圆的 面积比 等于相似比的平方.
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(3)作 A 关于直线 BC 的对称点 A′,连接 DA′ 交 BC 于 Q,则这个 Q 点就是使△ADQ 周长最小的 点,此时 Q 是 BC 的中点.