胶州一中2015届高三上学期第一次质量检测各科(数学文)

胶州一中高三第一次检测数学（文）试题一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分．） 1.若集合{},1≥=x x A 且B B A =⋂，则集合B 可能是（ ） A.{}2,1 B.{}1≤x x C.{}1,0,1- D.R2.已知向量(1,3)a =，(2,)b m =-，若a b ⊥，则m 的值为 ( ) A ．1- B. 1 C.32- D. 323.函数1log 1)(21+=x x f 的定义域为（ ）A ．()+∞,2 B.()2,0 C.()2,∞- D.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,04．设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a =（ ） A. 2 B. 4 C.152 D. 1725．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝1，D 为斜边AB 的中点，则AB →·CD →＝( ) A. 1 B -1 C. 2 D. -26. 已知函数f (x )＝sin x －12x (x ∈[0，π])，那么下列结论正确的是( )．A ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数B ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π上是减函数C ．∃x ∈[0，π]，f (x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3D ．∀x ∈[0，π]，f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π37. 函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到xx g 2sin )(=的图像，则只要将()f x 的图像 （ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度8.设非零向量 ,,a b c ，满足 ,a b c a b c ==+=，b 与 c 的夹角为（ ） A. 60 B ．90 C ．120 D 1509.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,1,,1,41)(x a x x a x f x 在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,0 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-41, D.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,4110、设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若对任意的[],x a b ∈，都有|()()|1f x g x -≤，则称()f x 和()g x 在[],a b 上是“密切函数”，[],a b 称为“密切区间”，设2()34f x x x =-+与()23g x x =-在[],a b 上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（ ）A ．[1,4]B ． [2,4]C ． [2,3]D ． [3,4]二、填空题（本大题有5小题，每小题5分，共25分．） 11.曲线ln y x x =在x e =处的切线的斜率k = 12.．若1sin()63πθ-=，则2cos(2)3πθ+的值为____________ 13. 已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2013)(2014)f f -+的值为_____________ 14．已知||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为60，c a b λ=+与2d a b =+的夹角为锐角，求λ的取值范围_______________________15.下列命题正确的是___________(写序号)①命题“ 2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“ 2,13x R x x ∀∈+≤”：②函数 22()cos sin f x ax ax =-的最小正周期为“ π”是“a=1”的必要不充分条件； ③ 22x x ax +≥在 []1,2x ∈上恒成立2min max (2)()x x ax +≥在 []1,2x ∈上恒成立；④“平面向量 a 与 b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“ 0a b ⋅<” 三、解答题(共75分) 16．（本小题满分12分）设命题P ：函数3()1f x x ax =--在区间[-1，1]上单调递减；命题q ：函数2ln(1)y x ax =++的值域是R.如果命题p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求a 的取值范围.17．（本小题满分12分）已知：a R a a x x x f ,.(2sin 3cos 2)(2∈++=为常数） （1）若R x ∈，求)(x f 的最小正周期； （2）若)(x f 在[]6,6ππ-上最大值与最小值之和为3，求a 的值.18．（本小题满分12分）已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列； （2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．19. （本小题满分12分）设f (x )＝ax 3＋bx ＋c 为奇函数，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f ′(x )的最小值为－12. (1)求a ，b ，c 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间，极大值和极小值，并求函数f (x )在[－1,3]上的最大值与最小值．20．（本小题满分13分）已知f (x )＝a ，其中＝(2cos x ，－3sin 2x )，＝(cos x,1)(x ∈R)． (1)求f (x )的周期和单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，AB →·AC →＝3，求边长b 和c 的值(b ＞c )．21. （本小题满分14分）已知函数f (x )＝2x ＋a ln x －2(a >0)．(1)若对于∀x ∈(0，＋∞)都有f (x )>2(a －1)成立，试求a 的取值范围；(2)记g (x )＝f (x )＋x －b (b ∈R)，当a ＝1时，函数g (x )在区间[e －1，e]上有两个零点，求实数b 的取值范围．阶段检测（文数）答案１－５ A D Ｂ Ｃ Ｂ ６－１０ Ｄ A A Ｂ Ｃ 11.2 12.7913.1 14.132λλ>-≠且. 15. ①②16.解： p 为真命题2()30f x x q '⇔=-≤在[]1,1-上恒成立，23a x ⇔≥在[]1,1-上恒成立3a ⇔≥q 为真命题240a ⇔∆=-≥恒成立 22a a ⇔≤-≥或 由题意p 和q 有且只有一个是真命题 P 真q 假3,22a a a ϕ≥⎧⇔⇔∈⎨-⎩ p 假q 真32322a a a a a ⎧⇔⇔≤-≤⎨≤-≥⎩或2或综上所述：(,2][2,3)a ∈-∞-⋃17.解：1)62s i n (22s i n 32c o s1)(+++=+++=a x a x x x f π-----------4分（1）最小正周期ππ==22T ----------------6分 （2）]2,6[62]3,3[2]6,6[πππππππ-∈+⇒-∈⇒-∈x x x----------8分 1)62sin(21≤+≤-∴πx ----------10分 即033211)(12)(min max =⇒=+∴⎩⎨⎧++-=++=a a a x f a x f --------12分19. 解：(1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．即－ax 3－bx ＋c ＝－ax 3－bx －c .∴c ＝0.∵f ′(x )＝3ax 2＋b 的最小值为－12，∴b ＝－12. 又直线x －6y －7＝0的斜率为16，因此f ′(1)＝3a ＋b ＝－6，故a ＝2，b ＝－12，c ＝0. (2)f (x )＝2x 3－12x ，f ′(x )＝6x 2－12＝6(x ＋2)(x －2)， 列表如下f (x )的极大值为f (－2)＝82，极小值为f (2)＝－8 2又f (－1)＝10，f (3)＝18，所以当x ＝2时，f (x )取得最小值为－82，当x ＝3时f (x )取得最大值120.解 (1)由题意知，f (x )＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f (x )的最小正周期T ＝π，∵y ＝cos x 在[2k π，2k π＋π](k ∈Z)上单调递减， ∴令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π，得k π－π6≤x ≤k π＋π3.∴f (x )的单调递减区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z.(2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.又π3＜2A ＋π3＜7π3，∴2A ＋π3＝π.∴A ＝π3. ∵AB →·AC →＝3，即bc ＝6，由余弦定理得 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc, 7＝(b ＋c )2－18，b ＋c ＝5， 又b ＞c ，∴b ＝3，c ＝2.21.解 (1)f ′(x )＝－2x 2＋a x ＝ax －2x 2.由f ′(x )>0，解得x >2a ；由f ′(x )<0，解得0<x <2a .所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递减．所以当x ＝2a 时，函数f (x )取得最小值，y min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a .因为对于∀x ∈(0，＋∞)都有f (x )>2(a －1)成立， 所以只需满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a >2(a －1)即可．中学联盟网则22a＋a ln 2a －2>2(a －1)，即a ln 2a >a . 由a ln 2a >a ，解得0<a <2e .所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2e .(2)依题意得g (x )＝2x ＋ln x ＋x －2－b ，其定义域为(0，＋∞)．则g ′(x )＝x 2＋x －2x 2.由g ′(x )>0解得x >1； 由g ′(x )<0解得0<x <1.所以函数g (x )在区间(0,1)上为减函数，在区间(1，＋∞)上为增函数．又因为函数g (x )在区间[e －1，e]上有两个零点，所以⎩⎨⎧g (e －1)≥0，g (e )≥0，g (1)<0，解得1<b ≤2e＋e －1，。