Hgtkii上海市金山区2010届高三上学期期末考试(数学)

秋风清，秋月明,落叶聚还散,寒鸦栖复惊。

金山区2009学年第一学期期末考试高三数学试卷2010.01考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、座位号填写清楚． 2．本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1、集合A ={(x , y )|y=x+2}，B ={(x , y )|y= –x }，则A ∩B =____________．2、在62)1(xx +的二项展开式中的常数项是第_____项．3、(i1i 1-+)2010= ．(i 为虚数单位)4、若cos α=53，且α∈(0,2π)，则cos(α+3π)= ．5、在△ABC 中，若∠A =120o ，AB =5，BC =7，则AC =________．6、若f (x )=123-+x x (x ≠1)，则f –1(21) =___________．7、已知矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-7513，矩阵B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0112，计算：AB = ． 8、设数列(a n )为等差数列，a 1=1，公差为1，{b n }也是等差数列，b 1=0，公差为2，则nnn a n b b b 321lim⨯+++∞→ = ．9、某小镇对学生进行防火安全教育知晓情况调查，已知该小镇的小学生、初中生、高中生分别有1400人、1600人、800人，按小学生抽取70名作调查，进行分层抽样，则在初中生中的抽样人数应该是 ．10、连续掷两次骰子，出现点数之和等于4的概率是 ．(结果用数值表示)12、下图是某算法的程序框图，该算法可表示分段函数，则其输出结果所表示的分段函数为f (x )= ． 13、已知，在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，分别给出下列四个条件： (1) tan (A –B ) cos C =0； (2) sin(B+C ) cos(B –C )=1； (3) a cos A =b cos B ； (4) sin 2(A –B )+cos 2C =0．若满足条件 ，则△ABC 是等腰直角三角形．(只需填写其中一个序号)14、若f (n )为n 2+1所表示的数字的各位数字之和，(n 为正整数)，例如：因为142+1=197，1+9+7=17，所以f (14)=17，记f 1(n )=f (n )，f 2(n )=f [f 1(n )]，…，f k +1(n )=f [f k (n )]，(k 为正整数)，则f 2010(11)= ．二．选择题(本大题满分16分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．15、已知函数y=2sin(ωx +ϕ) (其中ω>0)在区间[0, 2π]的图像如图所示，那么ω的值等于 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 21 (D)3116、若向量a =(3, 1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a b ⋅=3，则b =( )(A) (23,21) (B) (21,23)(C) (41,433) (D) (1, 0)17、下列说法错误的是 ( ) (A)若z ∈C ，则|z |=1的充要条件是z =z1(B)若z =sin θ+icos θ (其中0<θ<2π)，则(zz +-11)2<0(C)若方程x 2+bx+c =0的系数不都是实数，则此方程必有虚数根 (D)复数(a –b )+(a+b )i 为纯虚数的充要条件是a 、b ∈R ，且a=b18、若函数f (x )、g (x )的定义域和值域都是R ，则“f (x )<g (x )，x ∈R ”成立的充要条件是 ( ) (A)存在x 0∈R ，使得f (x 0)<g (x 0) (B)有无数多个实数x ，使得f (x )<g (x ) (C)对任意x ∈R ，都有f (x )+21<g (x ) (D)不存在实数x ，使得f (x )≥g (x )三．解答题(本大题满分78分)本大量共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区城内写出必要的步骤． 19、(本题满分12分)已知点A (–1, 0)，点B (1, 0)，点P (x+1, y )在x 轴的下方，设a=PB PA ⋅，b=AB AP ⋅，c =BA BP ⋅，d =|AB |，且dcb a =0．(1)求a 、b 、c 关于x 、y 的表达式；(2)求y 关于x 的函数关系式y=f (x )，并求当y 取得最小值时P 点的坐标．20、(本题满分12分)已知函数f (x )=log 4(4x+1)，g (x )=(k –1)x ，记F (x )=f (x )–g (x )，且F (x )为偶函数． (1)求实常数k 的值；(2)求证：当m ≤1时，函数y=f (2x )与函数y =g (2x+m )的图象最多只有一个交点．21、(本题满分16分)已知函数y=f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T =5，又函数y=f (x )在区间[–1, 1]上是奇函数，又知y=f (x ) 在区间[0,1]上的图像是线段、在区间[1,4]上的图像是一个二次函数图像的一部分，且在x =2时，函数取得最小值–5．求： (1) f (1)+f (4)的值；(2)y=f (x )在x ∈[1,4]上的函数解析式； (3) y=f (x )在x ∈[4,9]上的函数解析式。

22、(本题满分18分)已知等差数列{a n }满足：a 1+a 2n –1=2n ，(n ∈N*)，设S n 是是＼数列{na 1}的前n 项和，记f (n )=S 2n –S n ， (1)求a n ；(n ∈N*)(2)比较f (n +1)与f (n )的大小；(n ∈N*)(3)如果函数g (x )=log 2x –12f (n )(其中x ∈[a , b ])对于一切大于1的自然数n ，其函数值都小于零，那么a 、b 应满足什么条件？23、(本题满分20分)已知函数f (x )=log a11--x mx 在定义域D 上是奇函数，(其中a >0且a ≠1)．(1)求出m 的值，并求出定义域D ；(2)判断f (x )在(1, +∞)上的单调性，并加以证明；(3)当x ∈(r , a –2)时，f (x )的值的范围恰为(1, +∞)，求a 及r 的值．201001高三数学高考模拟卷评分参考意见一、填空题：（本题共有14题，每小题4分，满分56分） 1、{(–1, 1)}； 2、5； 3、–1； 4、10343-； 5、3 ；6、–1；7、⎪⎪⎭⎫⎝⎛51735； 8、31； 9、80； 10、121； 11、[1, 19] ；12、y =⎪⎩⎪⎨⎧<-=>010001x x x ； 13、(2)或(4)，(有一个即可) ； 14、11 二、选择题（本题共4题，每小题4分，满分16分） 15、B ；16、B ；17、D ；18、D三、解答题（本题共有5小题，满分78分） 19、(本题12分)解：(1) 因为PA =(–x –2, –y )，PB =(–x , –y )，所以a=PB PA ⋅=x 2+y 2+2x ，……2分 AP =(x+2, y )，AB =(2, 0)，b=AB AP ⋅=2x+4，…………………………………3分 BP =(x , y )，BA =(–2, 0)，c=BA BP ⋅= –2x ，……………………………………4分d=||AB =2，…………………………………………………………………………5分 (2)因为dcb a =0，所以2(x 2+y 2+2x )–(2x+4)( –2x )=0，即：3x 2+y 2+6x =0，……7分由于点P (x+1, y )在x 轴的下方，所以y= –x x 632--，(–2<x <0)y= –x x 632--= –3)1(32++-x ，(–2<x <0)………………………………10分所以当x = –1时，y min = –3，此时P (0, –3)……………………………………12分 20、(本题12分)解：(1)F (x )= log 4(4x +1)–(k –1)x ，因为F (x )为偶函数，所以F (–x )= F (x ) ………………………………………1分 log 4(4x +1)–(k –1)x = log 4(4–x +1)+(k –1)x ………………………………………3分 所以(2k –2)x =x ，………………………………………………………………4分 因为x ∈R ，所以k =23………………………………………………………6分(2)因为 f (2x ) =g (2x+m )， 所以log 4(42x +1)=21(2x+m )，……………………………………………………7分即42x –4x 2m +1=0…………………………………………………………………8分 又m ≤1，所以∆=4m–4≤0，当m =1时，方程有唯一解x =0，当m <1时，方程无解，所以方程最多只有一解，…………………………………………………10分 即两个函数图象最多只有一个交点。

…………………………………………12分21、(本题16分)解 (1)函数y=f (x )是定义在R 上的周期函数，T =5，所以f (4)=f (–1)，……………2分 而函数y=f (x )在区间[–1, 1]上是奇函数，所以f (–1)= –f (1)，………………………3分 所以f (1)+f (4)=0；………………………………………………………………………4分 (2)当x ∈[1,4]时，令f (x )=a (x –2)2–5，…………………………………………………5分 由f (1)+f (4)=0得a =2，………………………………………………………………7分 所以f (x )=2x 2–8x +3(1≤x ≤4)，………………………………………………………8分 (3)函数y=f (x )(–1≤x ≤1)是奇函数，又知y=f (x )在[0,1]上是一次函数，令y=kx ，(k ≠0，–1≤x ≤1)，…………………………………………………………9分 由(2)得：f (1)= –3，可知k = –3，……………………………………………………10分 由0≤x ≤1时，y= –3x ，可推知y= –3x ，–1≤x ≤1，……………………………11分 当4≤x ≤6时，–1≤x –5≤1，所以f (x )=f (x –5)= –3x +15；………………………13分 当6<x ≤9时，1<x –5≤4，所以f (x )=f (x –5)= 2(x –7)2–5.…………………………15分所以f (x )= ⎩⎨⎧≤<+-≤≤+-9693282641532x x x x x …………………………………………16分22、(本题18分)解：(1)设a n =a 1+(n –1)d ，(n ∈N*)，由a 1+a 2n –1=2n ，得a 1+a 1+(2n –1–1)d =2n ，…2分所以a n =n ……………………………………………………………………4分 (2)由S n =11a +21a +…+n a 1=11+21+…+n1……………………………………5分f (n )=S 2n –S n =(11+21+…+n21)–(11+21+…+n1)=11+n +21+n +…+n 21……7分因为f (n +1)–f (n )=(21+n +31+n +…+221+n )–(11+n +21+n +…+n21)=121+n +221+n –11+n ………………………………………9分=)22)(12(1++n n >0…………………………………………10分所以f (n +1)>f (n ) ………………………………………………………………12分 (3)由(2)可知：数列{f (n )}的项的取值是随n 的增大而增大，………………14分 当n ≥2时，f (n )的最小值为f (2)=4131+=127 ………………………………15分由函数y=log 2x 的性质可知，在区间(0, 27)上的函数值恒小于7，…………16分 所以a 、b 应满足条件0<a <b <27．……………………………………………18分 23、(本题20分)解：(1)因为f (x )是奇函数，所以f (x )= –f (x )，所以log a11--x mx = log amxx +--11，………………………………………………2分即1–m 2x 2=1–x 2对一切x ∈D 都成立，…………………………………………3分所以m 2=1，m = ±1，……………………………………………………………4分 由于11--x mx >0，所以m = –1……………………………………………………5分所以f (x )= log a11-+x x ，D=(–∞, –1)∪(1, +∞)…………………………………6分(2)当a >1时，f (x )= log a11-+x x ，任取x 1，x 2∈(1, +∞)，x 1<x 2，……………………7分 则f (x 1)–f (x 2)= log a1111-+x x –log a 1122-+x x = log a (121-x +1) – log a (122-x +1) ………9分由于x 1，x 2∈(1, +∞)，x 1<x 2，所以121-x +1>122-x +1，得f (x 1)>f (x 2)，………10分【注】只要写出x 1，x 2∈(1, +∞)，x 1<x 2，f (x 1)–f (x 2)=……=……，得出f (x 1)>f (x 2)即可。