人教版高数必修四第5讲：三角函数图像变换(学生版)—东直门仉长娜

三角函数y A x =+sin()ωϕ的图像变换1、函数图象的左右平移变换如在同一坐标系下，作出函数)3sin(π+=x y 和)4sin(π-=x y 的简图，并指出它们与y x=sin 图象之间的关系。

解析：函数)3sin(π+=x y 的周期为2π，我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图。

设Z x =+3π，那么Z x sin )3sin(=+π，3π-=Z x当Z 取0、ππππ2232，，，时，x 取-πππππ36237653、、、、。

所对应的五点是函数)3sin(π+=x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈35,3ππx 图象上起关键作用的点。

列表：x-π3π623π76π53π x +π3π2π32π2πsin()x +π31－1类似地，对于函数)4sin(π-=x y ，可列出下表：xπ434π54π 74π94πx -π4π2π32π2πsin()x -π41－1描点作图（如下）利用这类函数的周期性，可把所得到的简图向左、右扩展，得出)3sin(π+=x y ，x R ∈及)4sin(π-=x y ，x R ∈的简图（图略）。

变换规律：__________________________________________________________________________2、函数图象的横向伸缩变换如作函数y x =sin2及y x=sin 12的简图，并指出它们与y x =sin 图象间的关系。

解析：函数y x =sin2的周期T ==22ππ，我们来作x ∈[]0，π时函数的简图。

设2x Z =，那么sin sin 2x Z =，当Z 取0、ππππ2232，，，时，所对应的五点是函数y Z Z =∈sin []，，02π图象上起关键作用的五点，这里x Z =2，所以当x 取0、π4、πππ234、、时，所对应的五点是函数y x x =∈sin []20，，π的图象上起关键作用的五点。

列表：x 0 π4 π2 34π π 2x 0 π2 π 32π2π sin 2x 0 1 0 －1 0函数x y 21sin =的周期ππ4212==T ，我们来作x ∈[]04，π时函数的简图。

列表：x 0 π2π 3π4π 12x 0 π2π32π2πsin 12x 010 －1描点作图，如图：变换规律：__________________________________________________________________________3、函数图象的纵向伸缩变换如在同一坐标系中作出x y sin 2=及x y sin 21=的简图，并指出它们的图象与y x =sin 的关系。

解析：函数y x =2sin 及x y sin 21=的周期T =2π，我们先来作x ∈[]02，π时函数的简图。

列表：x 0 π2π32π2π sinx 0 1 0 －1 0 2sinx0 2－2 0 12sin x 012-12描点作图，如图：变换规律：____________________________________________________________________________4、函数y A x =+sin()ωϕ的图象作函数y A x =+sin()ωϕ的图象主要有以下两种方法：练习：2．试述如何由y =31sin （2x +3π）的图象得到y =sin x 的图象。

例2. 如图是函数y A x =+sin()ωϕ的图象，确定A 、ω、ϕ的值。

例3. 函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)的图象如图2-15，试依图指出(1)f(x)的最小正周期；(2)使f(x)=0的x的取值集合；(3)使f(x)＜0的x的取值集合；(4)f(x)的单调递增区间和递减区间；(5)求使f(x)取最小值的x的集合；(6)图象的对称轴方程；(7)图象的对称中心．练习：1．(13分)已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)如何由函数y＝2sin x的图象通过适当的变换得到函数f(x)的图象，试写出变换过程．2．(14分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．3．(14分)函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．一、选择题1．将函数y ＝sin(x －π3)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π3个单位，得到图象的解析式是( )A ．y ＝sin(2x ＋π3)B ．y ＝sin(12x －π2)C ．y ＝sin(12x －π6)D ．y ＝sin(2x －π6)2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为( )A ．y ＝2sin(2x ＋2π3)B ．y ＝2sin(2x ＋π3)C ．y ＝2sin(x 2－π3)D ．y ＝2sin(2x －π3)3．函数y ＝sin|x |的图象是( )4．为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)B ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)二、填空题5．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的最大值为3，最小正周期是2π7，初相是π6，则这个函数的解析式为________．6．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象为C ，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)． ①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②图象C 关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内是增函数； 三、解答题7．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象的一个最高点为(2,22)，由这个最高点到相邻最低点，图象与x 轴交于点(6,0)，试求这个函数的解析式．8．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1(其中a 为常数)．(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)求出使f (x )取最大值时x 的取值集合． 9．函数f (x )＝3sin(2x ＋π6)的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0、y 0的值； (2)求f (x )在区间[－π2，－π12]上的最大值和最小值．基础巩固一、选择题1．函数y ＝|cos x |的周期为( ) A ．2π B ．π C ．π2D ．π42．(2014·浙江临海市杜桥中学高一月考)要得到函数g (x )＝cos x 的图象，只需将f (x )＝cos(x －π4)的图象( )A ．向右平移π8个单位长度B ．向左平移π8个单位长度C ．向右平移π4个单位长度D ．向左平移π4个单位长度3．(2014·山东济南一中高一月考)函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．关于直线x ＝－π4对称B ．关于直线x ＝－π2对称C ．关于直线x ＝π8对称D ．关于直线x ＝5π4对称4．已知函数y ＝2cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<π2在一个周期内如图所示．设其周期为T ，则有( )A ．T ＝6π5，φ＝π4B ．T ＝3π2，φ＝π4C ．T ＝3π，φ＝－π4D ．T ＝3π，φ＝π45．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位6．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ⎝⎛⎭⎫－π2≤x ≤0sin x (0<x ≤π)，则f ⎝⎛⎭⎫－15π4的值等于( )A ．1B ．22C ．0D ．－22二、填空题7．函数y ＝cos x1＋sin x的定义域为________．8．函数f (x )＝cos(2x －π6)＋1的对称中心坐标为________．三、解答题9．已知函数y ＝a －b cos x 的最大值是32，最小值是－12，求函数y ＝－4b sin ax 的最大值、最小值及最小正周期．能力提升一、选择题1．函数y ＝lncos x (－π2<x <π2)的图象是( )2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象如图所示，则常数A 、ω、φ、b 的取值是( )A ．A ＝6，ω＝12，φ＝π3，b ＝－2 B ．A ＝－4，ω＝12，φ＝π3，b ＝－2 C ．A ＝4，ω＝2，φ＝π3，b ＝2 D ．A ＝4，ω＝12，φ＝π3，b ＝2 3．已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0<x <3时，f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集为( )A ．⎝⎛⎭⎫－3，－π2∪(0,1)∪⎝⎛⎭⎫π2，3 B ．⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪(0,1)∪⎝⎛⎭⎫π2，3 C ．⎝⎛⎭⎫－3，－π2∪(0,1)∪(1,3) D ．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)4．把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3的图象向右平移φ个单位，所得到的函数图象正好关于y 轴对称，则φ的最小值为( )A ．4π3B ．2π3C ．π3D ．5π3二、填空题5．已知f (n )＝cos n π4，n ∈N *，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (100)＝________. 6．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，在同一周期内当x ＝π12时，y max ＝2；当x ＝7π12时，y min ＝－2，那么函数的解析式为________．三、解答题7．求函数y ＝2cos(π6－4x )的单调区间、最大值及取得最大值时x 的集合． 8．判断下列函数的奇偶性，并求它们的最小正周期．(1)y ＝3cos2x ；(2)y ＝cos(34x ＋3π2)．9．设函数f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫kx －π3，g (x )＝b cos ⎝⎛⎭⎫2kx －π6(a >0，b >0，k >0)，若它们的最小正周期之和为3π2，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝g ⎝⎛⎭⎫π2，f ⎝⎛⎭⎫π4＝－3g ⎝⎛⎭⎫π4－1，求这两个函数的解析式．。