证明微积分基本公式

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dx微积分所有公式,微积分24个基本公式

dx微积分所有公式，微积分24个基本公式dx表示x变化无限小的量，其中d表示“微分”，是“derivative(导数)”的第一个字母。

当一个变量x，越来越趋向于一个数值a时，这个趋向的过程无止境的进行，x与a的差值无限趋向于0，就说a是x的极限。

这个差值，称它为“无穷小”，它是一个越来越小的过程，一个无限趋向于0的过程，它不是一个很小的数，而是一个趋向于0的过程。

扩展资料：注意微分的几何意义：设δx是曲线y = f(x)上的点m的在横坐标上的增量，δy是曲线在点m对应δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点m的切线对应δx在纵坐标上的增量。

f(x0)在表示曲线y=f(x)在切点m(x0,f(x0))处切线的斜率。

(1)微积分的基本公式共有四大公式：1.牛顿-莱布尼茨公式,又称为微积分基本公式2.格林公式,把封闭的曲线积分化为区域内的二重积分,它是平面向量场散度的二重积分3.高斯公式,把曲面积分化为区域内的三重积分,它是平面向量场散度的三重积分4.斯托克斯公式,与旋度有关(2)微积分常用公式：dx sin x=cos xcos x = -sin xtan x = sec2 xcot x = -csc2 xsec x = sec x tan xcsc x = -csc x cot xsin x dx = -cos x + ccos x dx = sin x + ctan x dx = ln |sec x | + ccot x dx = ln |sin x | + csec x dx = ln |sec x + tan x | + c csc x dx = ln |csc x - cot x | + c sin-1(-x) = -sin-1 xcos-1(-x) = - cos-1 xtan-1(-x) = -tan-1 xcot-1(-x) = - cot-1 xsec-1(-x) = - sec-1 xcsc-1(-x) = - csc-1 xdx sin-1 ()=cos-1 ()=tan-1 ()=cot-1 ()=sec-1 ()=csc-1 (x/a)=sin-1 x dx = x sin-1 x++ccos-1 x dx = x cos-1 x-+ctan-1 x dx = x tan-1 x- ln (1+x2)+c cot-1 x dx = x cot-1 x+ ln (1+x2)+c sec-1 x dx = x sec-1 x- ln |x+|+c csc-1 x dx = x csc-1 x+ ln |x+|+c sinh-1 ()= ln (x+) xrcosh-1 ()=ln (x+) x≥1tanh-1 ()=ln () |x| 1sech-1()=ln(+)0≤x≤1csch-1 ()=ln(+) |x| 0dx sinh x = cosh xcosh x = sinh xtanh x = sech2 xcoth x = -csch2 xsech x = -sech x tanh xcsch x = -csch x coth xsinh x dx = cosh x + ccosh x dx = sinh x + ctanh x dx = ln | cosh x |+ c coth x dx = ln | sinh x | + c sech x dx = -2tan-1 (e-x) + c csch x dx = 2 ln || + cduv = udv + vduduv = uv = udv + vdu→ udv = uv - vducos2θ-sin2θ=cos2θcos2θ+ sin2θ=1cosh2θ-sinh2θ=1cosh2θ+sinh2θ=cosh2θdx sinh-1()=cosh-1()=tanh-1()=coth-1()=sech-1()=csch-1(x/a)=sinh-1 x dx = x sinh-1 x-+ ccosh-1 x dx = x cosh-1 x-+ ctanh-1 x dx = x tanh-1 x+ ln | 1-x2|+ c coth-1 x dx = x coth-1 x- ln | 1-x2|+ c sech-1 x dx = x sech-1 x- sin-1 x + c csch-1 x dx = x csch-1 x+ sinh-1 x + c sin 3θ=3sinθ-4sin3θcos3θ=4cos3θ-3cosθ→sin3θ= (3sinθ-sin3θ)→cos3θ= (3cosθ+cos3θ)sin x = cos x =sinh x = cosh x =正弦定理:= ==2r余弦定理:a2=b2+c2-2bc cosαb2=a2+c2-2ac cosβc2=a2+b2-2ab cosγsin (α±β)=sin α cos β ± cos α sin βcos (α±β)=cos α cos β sin α sin β2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α-β) 2 cos α sin β = sin (α+β) - sin (α-β) 2 cos α cos β = cos (α-β) + cos (α+β) 2 sin α sin β = cos (α-β) - cos (α+β) sin α + sin β = 2 sin (α+β) cos (α-β) sin α - sin β = 2 cos (α+β) sin (α-β) cos α + cos β = 2 cos (α+β) cos (α-β) cos α - cos β = -2 sin (α+β) sin (α-β) tan (α±β)=,cot (α±β)=ex=1+x+++…++ …sin x = x-+-+…++ …cos x = 1-+-+++ln (1+x) = x-+-+++tan-1 x = x-+-+++(1+x)r =1+rx+x2+x3+ -1= n= n (n+1)= n (n+1)(2n+1)= [ n (n+1)]2γ(x) = x-1e-t dt = 22x-1dt = x-1 dtβ(m,n) =m-1(1-x)n-1 dx=22m-1x cos2n-1x dx = dx转换为 f (ω ) = 解f (t ) = ± jω0t f ( t ) e ? jωt dt f ( t ) e ? j(ω ?ω0 ) t dt = f (ω ? ω0 ) 。

高数同济5.2微积分的基本公式

第二节
第五章
微积分的基本公式
一、引例二、积分上限的函数及其导数三、牛顿 – 莱布尼兹公式
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数之间有关系: 与速度函数
s(t ) v(t )
物体在时间间隔内经过的路程为
T
T2
1
v(t ) d t s (T2 ) s (T1 )
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
刹车, 问从开始刹

)
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
2 2
即
得
5 t2 2
故在这段时间内汽车所走的距离为
s v(t ) d t (10 5t ) d t 10 t
0 0
2 0 10 (m)
练习1 计算 2 1 sin 2 x dx .
0

例3.
证明
只要证
在证:
内为单调递增函数 .
F ( x) 0
x 0
x f ( x) f (t ) d t f ( x) t f (t ) d t
0
x
0 f (t ) d t
x 2
2

f ( x) ( x t ) f (t ) d t
x
0 f (t ) d t
2
2 sin x cos x dx cos x sin x 02 0.
0

?
原式 2 sin x cos x dx
0 4 0
sin x cos x 0 cos x sin x 2

cos x sin x dx 2 sin x cos x dx

选修2-2——微积分基本定理

1．6 微积分基本定理1．问题导航(1)微积分基本定理的内容是什么？ (2)定积分的取值符号有哪些？ 2．例题导读通过P 53例1，学会利用微积分基本定理求简单定积分的步骤和方法，通过P 53例2的学习，理解定积分的几何意义和定积分的取值符号．1．微积分基本定理(1)内容：一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x＝F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式．(2)表示：为了方便，常常把F (b )－F (a )记成F (x )⎪⎪⎪b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )． 2．定积分的符号由定积分的意义与微积分基本定理可知，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0．(1)当对应的曲边梯形位于x 轴上方时(如图1)，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积．(2)当对应的曲边梯形位于x 轴下方时(如图2)，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数．(3)当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时(如图3)，定积分的值为0，且等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积．.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f (x )是原函数F (x )的导数．( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( )答案：(1)√ (2)√ (3)√2．若a ＝⎠⎛01(x －2)d x ，则被积函数的原函数为( )A ．f (x )＝x －2B ．f (x )＝x －2＋C C ．f (x )＝12x 2－2x ＋CD ．f (x )＝x 2－2x答案：C3.⎠⎛0πsin x d x ＝________．解析：⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪π0＝(－cos π)－(－cos 0)＝2.答案：21．应用微积分基本定理求定积分的注意事项(1)微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系，揭示了被积函数与函数的导函数之间的互逆运算关系，为计算定积分提供了一个简单有效的方法——转化为计算函数F (x )在积分区间上的增量．(2)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )再计算F (b )－F (a )．(3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简被积函数，再求定积分． 2．常见函数的定积分公式(1)⎠⎛ab C d x ＝Cx ⎪⎪⎪ba (C 为常数)． (2)⎠⎛ab x n d x ＝1n ＋1x n ＋1⎪⎪⎪ba (n ≠－1)．(3)⎠⎛a b sin x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪ba .(4)⎠⎛ab cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪ba . (5)⎠⎛ab 1xd x ＝ln x ⎪⎪⎪ba (b >a >0)． (6)⎠⎛a b e x d x ＝e x⎪⎪⎪ba. (7)⎠⎛ab a x d x ＝a x ln a ⎪⎪⎪ba(a >0且a ≠1)．利用微积分基本定理求定积分求下列定积分的值． (1)⎠⎛12(x ＋1)(x －2)d x ；(2)⎠⎛14x (1＋x )d x ；(3)∫π20sin 2x d x ；(4)⎠⎛24x 2－x ＋1x －1d x . [解] (1)⎠⎛12(x ＋1)(x －2)d x＝⎠⎛12(x 2－x －2)d x＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 2－2x ⎪⎪⎪21 ＝⎝⎛⎭⎫13×23－12×22－2×2－⎝⎛⎭⎫13×13－12×12－2×1 ＝－76.(2)⎠⎛14x (1＋x )d x＝⎠⎛14(x ＋x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋12x 2⎪⎪⎪41＝⎝⎛⎭⎫23×432＋12×42－⎝⎛⎭⎫23×132＋12×12＝736. (3)∫π2sin 2x d x ＝∫π21－cos 2x2d x ＝12∫π20(1－cos 2x )d x ＝12⎝⎛⎭⎫x －12sin 2x ⎪⎪⎪π2＝π4. (4)⎠⎛24x 2－x ＋1x －1d x ＝⎠⎛24x （x －1）＋1x －1d x ＝⎠⎛24⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋ln （x －1）⎪⎪⎪42 ＝⎝⎛⎭⎫12×42＋ln 3－⎝⎛⎭⎫12×22＋ln 1＝6＋ln 3.(1)当被积函数为两个函数的乘积(分式)时，一般要先化简被积函数将其转化为和的形式，便于求得函数F (x )，再计算定积分，具体步骤如下：第一步：求被积函数f (x )的一个原函数F (x )；第二步：计算函数的增量F (b )－F (a )．(2)利用微积分基本定理求定积分的关键是找出被积函数的原函数，若被积函数的原函扫一扫进入91导学网()微积分基本定理1．(1)若⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝2，则k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪10＝12k ＋1＝2. ∴k ＝2.(2)⎠⎛12x －1x2d x ＝________．解析：⎠⎛12x －1x 2d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫1x －1x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ⎪⎪⎪21＝⎝⎛⎭⎫ln 2＋12－()ln 1＋1＝ln 2－12. 答案：ln 2－12求分段函数的定积分求下列定积分的值． (1)⎠⎛－12|x －1|d x ；(2)⎠⎛－12e |x |d x ；(3)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0cos x －1，x >0求∫π2－1f (x )d x .[解] (1)⎠⎛－12|x －1|d x＝⎠⎛－11|x －1|d x ＋⎠⎛12|x －1|d x＝⎠⎛－11(－x ＋1)d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫－12x 2＋x ⎪⎪⎪1－1＋⎝⎛⎭⎫12x 2－x ⎪⎪⎪21＝2＋12＝52.(2)⎠⎛－12e |x |d x ＝⎠⎛－10e |x |d x ＋⎠⎛02e |x |d x＝⎠⎛－10e －x d x ＋⎠⎛02e x d x＝－e －x ⎪⎪⎪0－1＋e x ⎪⎪⎪2＝e －1＋e 2－1＝e 2＋e －2.(3)∫π2－1f (x )d x ＝⎠⎛－1f (x )d x ＋∫π20f (x )d x ＝⎠⎛－1x 2d x ＋∫π20(cos x －1)d x＝13x 3⎪⎪⎪－1＋(sin x －x )⎪⎪⎪π2＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－π2＝43－π2.求分段函数的定积分(1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常常利用定积分的性质(3)，转化为各区间上定积分的和计算．(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．2．(1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x <1，2－x ，1<x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.23B.34C.45D.56 解析：选D.⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21 ＝13＋12＝56. (2)⎠⎛0π|cos x |d x ＝________．解析：⎠⎛0π|cos x |d x ＝∫π20|cos x |d x ＋∫ππ2|cos x |d x＝∫π20cos x d x ＋∫ππ2(－cos x )d x＝sin x ⎪⎪⎪π20－sin x ⎪⎪⎪⎪ππ2＝1＋1＝2.答案：2(3)计算⎠⎛02|x 2－x |d x .解：∵|x 2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，0≤x ≤1，x 2－x ，1<x ≤2，∴⎠⎛02|x 2－x |d x ＝⎠⎛01(－x 2＋x )d x ＋⎠⎛12(x 2－x )d x＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋12x 2⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 2⎪⎪⎪21 ＝16＋56＝1.微积分基本定理的综合应用(1)已知x ∈(0，1]，f (x )＝⎠⎛01(1－2x ＋2t )d t ，则f (x )的值域是________．[解析] ⎠⎛01(1－2x ＋2t )d t ＝[(1－2x )t ＋t 2]⎪⎪⎪10 ＝2－2x ，即f (x )＝－2x ＋2，因为x ∈(0，1]，所以f (1)≤f (x )<f (0)，即0≤f (x )<2，所以函数f (x )的值域是[0，2)．[答案] [0，2)(2)已知⎠⎛01[(3ax ＋1)(x ＋b )]d x ＝0，a ，b ∈R ，试求ab 的取值范围．[解] ⎠⎛01[(3ax ＋1)(x ＋b )]d x＝⎠⎛01[3ax 2＋(3ab ＋1)x ＋b ]d x＝⎣⎡⎦⎤ax 3＋12（3ab ＋1）x 2＋bx ⎪⎪⎪10 ＝a ＋12(3ab ＋1)＋b ＝0，即3ab ＋2(a ＋b )＋1＝0.法一：由于(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≥4ab .所以⎝⎛⎭⎪⎫－3ab ＋122≥4ab ，即9(ab )2－10ab ＋1≥0，得(ab －1)(9ab －1)≥0，解得ab ≤19或ab ≥1.所以ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，19∪[1，＋∞)．法二：设ab ＝t ，得a ＋b ＝－3t ＋12，故a ，b 为方程x 2＋3t ＋12x ＋t ＝0的两个实数根，所以Δ＝（3t ＋1）24－4t ≥0，整理得9t 2－10t ＋1≥0，即(t －1)(9t －1)≥0，解得t ≤19或t ≥1.所以ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，19∪[1，＋∞)． [互动探究] 本例(1)中原已知条件改为f (t )＝⎠⎛01(1－2x ＋2t )d x ，则f (t )＝________.解析：f (t )＝⎠⎛01(1－2x ＋2t )d x＝[(1＋2t )x －x 2]⎪⎪⎪1＝2t . 答案：2t含有参数的定积分问题的处理办法与注意点 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．3．(1)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0<1，则x 0的值为________．解析：⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10 ＝a 3＋c ＝ax 20＋c ，又0≤x 0<1，∴x 0＝33. 答案：33(2)已知f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．解：∵⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2⎪⎪⎪1＝23a －12a 2， ∴f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29 ＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29.∴当a ＝23时，f (a )有最大值为29.数学思想利用函数的奇偶性巧解定积分问题已知⎠⎛－11(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝2a ＋6，且f (t )＝⎠⎛0为偶函数，求a ，b .[解] ∵f (x )＝x 3＋ax 为奇函数， ∴⎠⎛－11(x 3＋ax )d x ＝0.∴⎠⎛－11(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝⎠⎛－11(x 3＋ax )d x ＋⎠⎛－11(3a －b )d x＝0＋(3a －b )[1－(－1)]＝6a －2b . ∴6a －2b ＝2a ＋6，即2a －b ＝3.① 又f (t )＝⎣⎡⎦⎤x 44＋a 2x 2＋（3a －b ）x ⎪⎪⎪t0 ＝t 44＋at 22＋(3a －b )t 为偶函数， ∴3a －b ＝0.②由①②，得a ＝－3，b ＝－9. [感悟提高](1)在求对称区间上的定积分时，应该首先考虑函数性质与积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便．(2)奇、偶函数在区间[－a ，a ]上的定积分：①若奇函数y ＝f (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛－aaf （x ）d x＝0. ②若偶函数y ＝g (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛－aag （x ）d x ＝2⎠⎛0a g (x )d x ，如本例为偶函数，可用该结论计算．1．下列各式中，正确的是( )A.⎠⎛ab F ′(x )d x ＝F ′(b )－F ′(a )B.⎠⎛a b F ′(x )d x ＝F ′(a )－F ′(b )C.⎠⎛ab F ′(x )d x ＝F (b )－F (a ) D.⎠⎛ab F ′(x )d x ＝F (a )－F (b )答案：C2.⎠⎛12(e x －1)d x ＝________．解析：⎠⎛12(e x－1)d x ＝(e x－x )⎪⎪⎪21＝(e 2－2)－(e 1－1) ＝e 2－e －1.答案：e 2－e －13．求定积分∫π20cos 2xsin x ＋cos xd x 的值．解：∫π20cos 2xsin x ＋cos xd x＝∫π20cos2x －sin 2x cos x ＋sin xd x＝∫π20(cos x －sin x )d x＝()sin x ＋cos x ⎪⎪⎪π2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋cos π2－()sin 0＋cos 0＝0.[A.基础达标]1.⎠⎛1e 1xd x 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．ln 2D ．e 2解析：选A.⎠⎛1e 1x d x ＝ln x ⎪⎪⎪e1＝ln e －ln 1＝1.2.⎠⎛1e x d x 的值为( )A ．eB ．e －1 C.1eD ．1解析：选B.⎠⎛01e x d x ＝e x ⎪⎪⎪10＝e 1－e 0＝e －1. 3．已知⎠⎛1m (2x －1)d x ＝2，则m 的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选D.∵⎠⎛1m (2x －1)d x ＝(x 2－x )⎪⎪⎪m1＝m 2－m ＝2， ∴m 2－m －2＝0，∴m ＝－1(舍去)或m ＝2.4.⎠⎛23x x －1d x ＝( ) A ．5＋ln 2 B ．5－ln 2 C ．1＋ln 2 D ．1－ln 2解析：选C.⎠⎛23xx －1d x ＝⎠⎛23x －1＋1x －1d x＝⎠⎛23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1d x ＝[]x ＋ln （x －1）⎪⎪⎪32 ＝(3＋ln 2)－(2＋ln 1)＝1＋ln 2.5．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：选B.∵⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛01⎣⎡⎦⎤2⎠⎛01f （x ）d x d x＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎠⎛01f （x ）d x x ⎪⎪⎪10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ， ∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13.故选B.6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，（x ≤0）e x ，（x >0）则⎠⎛－12f (x )d x ＝________．解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，（x ≤0）e x ，（x >0）.∴⎠⎛－12f (x )d x ＝⎠⎛－10x d x ＋⎠⎛02e x d x＝12x 2⎪⎪⎪0－1＋e x ⎪⎪⎪2＝－12＋e 2－1＝e 2－32.答案：e 2－327．设f (x )＝kx ＋b ，若⎠⎛01f (x )d x ＝2，⎠⎛12f (x )d x ＝3.则f (x )的解析式为________．解析：由⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝2，得⎝⎛⎭⎫12kx 2＋bx ⎪⎪⎪1＝2，即12k ＋b ＝2，① 由⎠⎛12(kx ＋b )d x ＝3，得⎝⎛⎭⎫12kx 2＋bx ⎪⎪⎪21＝3，即(2k ＋2b )－⎝⎛⎭⎫12k ＋b ＝3.∴32k ＋b ＝3，② 由①②联立得，k ＝1，b ＝32，∴f (x )＝x ＋32.答案：f (x )＝x ＋328.⎠⎛03x 2－4x ＋4d x ＝________．解析：⎠⎛03x 2－4x ＋4d x ＝⎠⎛03（x －2）2d x＝⎠⎛03|x －2|d x＝⎠⎛02|x －2|d x ＋⎠⎛23|x －2|d x＝⎠⎛02(2－x )d x ＋⎠⎛23(x －2)d x＝⎝⎛⎭⎫－12x 2＋2x ⎪⎪⎪20＋⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ⎪⎪⎪32＝2＋12＝52. 答案：529．计算⎠⎛02x1＋x 2d x .解：∵f (x )＝1＋x 2的导函数为f ′(x )＝x 1＋x 2. ∴⎠⎛02x 1＋x 2d x ＝1＋x 2⎪⎪⎪20＝5－1. 10．若f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176.求⎠⎛12f （x ）xd x 的值．解：设f (x )＝kx ＋b ，k ≠0，则⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝⎝⎛⎭⎫k 2x 2＋bx ⎪⎪⎪10＝k 2＋b ＝5.① ⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01(kx 2＋bx )d x ＝⎝⎛⎭⎫kx 33＋bx 22⎪⎪⎪10＝k 3＋b 2＝176，② 联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4.b ＝3. ∴f (x )＝4x ＋3.则⎠⎛12f （x ）x d x ＝⎠⎛124x ＋3x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫4＋3x d x ＝(4x ＋3ln x )⎪⎪⎪21 ＝(8＋3ln 2)－(4＋3ln 1)＝4＋3ln 2.[B.能力提升]1．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析：选B.S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪21＝73， S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2， S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ＝e(e －1)>e>73，所以S 2<S 1<S 3，故选B.2．若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数： ①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2. 其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.对于①，⎠⎛－11sin 12x ·cos 12x d x＝⎠⎛－1112sin x d x ＝12⎠⎛－11sin x d x ＝12(－cos x )⎪⎪⎪1－1＝12(－cos 1＋cos 1)＝0. 故①为区间[－1，1]上的一组正交函数；对于②，⎠⎛－11(x ＋1)(x －1)d x ＝⎠⎛－11(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－x ⎪⎪⎪1－1＝13－1－⎝⎛⎭⎫－13＋1 ＝23－2＝－43≠0，故②不是区间[－1，1]上的一组正交函数；对于③，⎠⎛－11x ·x 2d x ＝⎠⎛－11x 3d x ＝⎝⎛⎭⎫14x 4⎪⎪⎪1－1＝0. 故③为区间[－1，1]上的一组正交函数，故选C.3．若⎠⎛0t cos θd θ＝32，且t ∈(0，2π)，则t 的值为________．解析：∵⎠⎛0t cos θd θ＝sin θ⎪⎪⎪t 0 ＝sin t ＝32， ∵t ∈(0，2π)，∴t ＝π3或23π. 答案：π3或23π 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤11－ln x x 2，x >1，则⎠⎛0e f (x )d x ＝________．解析：∵f (x )＝⎩⎨⎧x －1，x ≤11－ln x x 2，x >1， ∴⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01(x －1)d x ＋⎠⎛1e 1－ln x x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－x ⎪⎪⎪10＋ln x x ⎪⎪⎪e 1＝－12＋1e ＝2－e 2e. 答案：2－e 2e5．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值．解：由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2，①又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0，② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10 ＝13a ＋c ＝－2，③ 联立①②③得a ＝6，c ＝－4.6．设f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝1，求证：⎠⎛01f 2(x )d x >1. 证明：设f (x )＝kx ＋b (k ≠0，b ，k 为常数)．⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝⎝⎛⎭⎫k 2x 2＋bx ⎪⎪⎪10＝k 2＋b ，即k 2＋b ＝1，k ＝2(1－b )． ⎠⎛01f 2(x )d x ＝⎠⎛01(kx ＋b )2d x ＝⎠⎛01(k 2x 2＋2kbx ＋b 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫13k 2x 3＋kbx 2＋b 2x ⎪⎪⎪10＝13k 2＋kb ＋b 2 ＝43(1－b )2＋2b (1－b )＋b 2＝13(b －1)2＋1>1. 即⎠⎛01f 2(x )d x >1得证．。

微积分—基本积分公式

微积分—基本积分公式微积分中的基本积分公式是指一些常见函数的不定积分的规律性表达式，方便我们计算积分。

在这篇文章中，我们将介绍一些常见的基本积分公式，并给出它们的简单证明。

一、常数函数与幂函数的积分1. ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-1这个公式可以通过对积分求导验证。

二、三角函数的积分1. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C这个公式可以通过对积分求导验证。

2. ∫cos(x) dx = sin(x) + C这个公式可以通过对积分求导验证。

三、指数函数与对数函数的积分1. ∫e^x dx = e^x + C这个公式可以通过对积分求导验证。

2. ∫a^x dx = (a^x)/(ln(a)) + C，其中a>0且a≠1这个公式可以通过对积分求导验证。

3. ∫1/x dx = ln，x， + C，其中x≠0这个公式可以通过对积分求导验证。

四、三角函数的一些特殊积分1. ∫sin^2(x) dx = (1/2)(x - sin(x)cos(x)) + C这个公式可以通过对积分求导验证。

2. ∫c os^2(x) dx = (1/2)(x + sin(x)cos(x)) + C这个公式可以通过对积分求导验证。

3. ∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C这个公式可以通过对积分求导验证。

五、一些常见函数的积分1. ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C这个公式可以通过对积分求导验证。

2. ∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C这个公式可以通过对积分求导验证。

3. ∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C这个公式可以通过对积分求导验证。

4. ∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C这个公式可以通过对积分求导验证。

以上是一些常见的基本积分公式，它们在计算积分时非常有用。

但需要注意的是，在实际运用过程中，有时会遇到需要一些代数或三角变换才能使用这些公式的情况。

微积分的基本公式1

只要证
F(x)0
x
x
证:
F(x)
xf
(x)0 f(t)dtf(x)0tf(t)dt 0xf (t)dt 2
x

f(x)0(xt)

x
0
f
(t)dt
f(t)dt
2

f (x) (x)f()x0

x
0
f
(t)dt 2
(0x)
F(x)在（ 0， )内为单调.增函数
于 0 | F ( 是 x ) | |x x f ( t ) d t | x x |f ( t ) |d t M x
x
x
由夹逼 x的定任 ,即理意 F 可及 (x)性 C 得 (点 a [,b ].)
由 F (x x ) F (x )x xf( t)d t, x
如果 f(x)C(a [,b])则 , 由积分,中得值定
x x
F ( x x ) F ( x ) f( t) d t f() x , x (在 x与 xx之) 间
故 liF m (x x ) F (x ) lifm () x
x 0 x
例1. 求 lim
1 et2 dt
cosx
0
x 0
x2
0
解: 原式 limeco2sx(sinx) 1
x0
2x
2e
例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使
xl i0mxlanx1(st2i)nxdtc(c0). b
0 0
解: x 0 时 a x s, x i n 0 ,c0, b0.
取xb, 则得b 到 f( t) d t b f( x ) d x F ( b ) F ( a ).

微积分基本公式和基本定理

x
sec2
xdx
tan
x
C
(9)
d sin
x
2
x
csc 2
xdx
cot
x
C
(10) sec x tan xdx sec x C
(11) csc x cot xdx csc x C
(12) ex dx ex C (13) a xdx a x C
ln a
(14) sh xdx ch x C
2
xdx.
2
2
0
0
例9
证
明2 e
1 4
2 e x2 xdx 2e2 .
0
第二节
第三章
微积分基本公式与基本定理
一、微积分基本公式二、微积分基本定理三、不定积分
一、微积分基本公式
在变速直线运动中, s(t) v(t) 物体在时间间隔
内经过的路程为 vT2 (t)d t s(T2 ) s(T1 ) T1
例10
1 et2 dt
求
lim
x0
cos x
x2
.
解 d 1 et2dt d cos x et2dt,
dx cos x
dx 1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x ,
1 et2 dt
lim
x0
cos x
x2
lim sin x ecos2 x
x0
2x
1. 2e
ln
x
C
x 0时 ( ln x ) [ ln(x) ] 1
(4)
1
dx x
2
arctan
x
C
x
或 arccot x C

牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式
• 牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，[2] 1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。[1] 因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。
原函数存在定理
• 原函数是指已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都举例dF(x)=f(x)dx。则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。
原函数的定义
• 已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有 • 若F'(x)=f(x)，dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。 • 例：sinx是cosx的原函数。
公式应用
• 牛顿-莱布尼茨公式简化了定积分的计算，利用该公式可以计算曲线的弧长，平面曲线围成的面积以及空间曲面围成的立体体积，这在实际问题中有广泛的应用，例如计算坝体的填筑方量。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的应用，计算运动物体的路程，计算变力沿直线所做的功以及物体之间的万有引力。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式促进了其他数学分支的发展，该公式在微分方程，傅里叶变换，概率论，复变函数等数学分支中都有体现。
不等式证明
• 积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当积分区间相同时,先合并同一积分区间上的不同积分,根据被积函数所满足的条件,灵灵活运用积分中值定理,以达到证明不等式成立的目的。 • 在证明定积分不等式时, 常常考虑运用积分中值定理, 以便去掉积分符号, 如果被积函数是两个函数之积时, 可考虑用积分第一或者第二中值定理。对于某些不等式的证明, 运用原积分中值定理只能得到“≥”的结论, 或者不等式根本不能得到证明。而运用改进了的积分中值定理之后, 则可以得到“>”的结论, 或者成功的算中, 如果含有定积分式, 常常可以运用定积分的相关知识, 比如积分中值定理等, 把积分

牛顿布莱尼公式推导

1牛顿布莱尼茨公式牛顿-莱布尼兹公式,又称为微积分基本定理,其内容是：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且从a到b的定积分（积分号下限为a上限为b）：∫f(x)dx=F(b)-F(a)其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.2牛顿布莱尼茨公式证明过程证明：设：F(x)在区间(a,b)上可导,将区间n等分,分点依次是x1,x2,…xi…x(n-1),记a=x0,b=xn,每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n,则F(x)在区间[x(i-1),xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3…)当Δx很小时,F(x1)-F(x0)=F’(x1)*ΔxF(x2)-F(x1)=F’(x2)*Δx……F(xn)-F(x(n-1))=F’(xn)*Δx所以,F(b)-F(a)=F’(x1)*Δx+ F’(x2)*Δx+…+ F’(xn)*Δx当n→+∞时,∫(a,b)F’(x)dx=F(b)-F(a)3牛顿布莱尼茨公式意义牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。

它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。

牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。

它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。

牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。

牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。

16个基本导数公式详解

16个基本导数公式详解在微积分中，导数是指函数在其中一点的切线斜率或变化率。

它在计算斜率、切线和极值时起着重要作用。

以下是16个基本导数公式的详解。

1. 常数函数导数：对于常数函数y=c，导数为dy/dx = 0。

这是因为常数函数在任何点的斜率都是零。

2. 幂函数导数：对于幂函数y=x^n（这里n是常数），其导数为dy/dx = nx^(n-1)。

这个公式可以通过使用极限定义导数来证明。

例如，对于y=x^2，导数为dy/dx = 2x。

3. 指数函数导数：对于指数函数y=a^x（这里a是常数且a>0），其导数为dy/dx = a^x * ln(a)。

这个公式可以通过使用极限定义导数和对数函数的导数来证明。

4. 对数函数导数：对于自然对数函数y=ln(x)，其导数为dy/dx =1/x。

对数函数的导数是指数函数导数的倒数。

这个公式也可以通过使用极限定义导数来证明。

5. 正弦函数导数：对于正弦函数y=sin(x)，其导数为dy/dx =cos(x)。

这个公式可以通过使用极限定义导数和三角函数的定义来证明。

6. 余弦函数导数：对于余弦函数y=cos(x)，其导数为dy/dx = -sin(x)。

这个公式可以通过使用极限定义导数和三角函数的定义来证明。

7. 正切函数导数：对于正切函数y=tan(x)，其导数为dy/dx =sec^2(x)。

这个公式可以通过使用sin(x)和cos(x)的导数公式来证明。

8. 反正弦函数导数：对于反正弦函数y=arcsin(x)，其导数为dy/dx = 1/√(1 - x^2)。

这个公式可以通过使用反三角函数的定义和导数的链式法则来证明。

9. 反余弦函数导数：对于反余弦函数y=arccos(x)，其导数为dy/dx = -1/√(1 - x^2)。

这个公式可以通过使用反三角函数的定义和导数的链式法则来证明。

10. 反正切函数导数：对于反正切函数y=arctan(x)，其导数为dy/dx = 1/(1 + x^2)。

微积分基本公式

d ( x) dx

b x
f ( t )dt

x d f ( t )dt b dx

d dx

x
b
f ( t )dt
f ( x ).
例：已知 ( x) cos(3t 1)dt , 求( x)
x
0
解： ( x)
d ( cos(3t 1)dt )
0 x
x
x
x
x

xf ( x)

x
0
f (t )dt f ( x) tf (t )dt
0
x
( f (t ) dt )
0
x
2
F ( x)
xf ( x)

x
0
f (t )dt f ( x) tf (t )dt
0
x

f ( x) ( x t ) f (t )dt ( f (t )dt ) 2
0 0 x
x
( f (t ) dt ) 2
0
x
由假设, 在[0, x]上, f (t) > 0, (x t) · f (t) 0, 且(x t) · f (t) 0,
则
所以, 当x 0时, F ( x) 0
0 ( x t ) f (t )dt 0
x
即 F(x)在(0, +)内为单调增加函数.
在区间[a, b]上可导, 且
G ( x ) f ( x ) ( x )
例：已知( x) sin(t )dt , 求( x)
2 0
x
解：
( x)

微积分基本定理—牛顿莱布尼茨公式

∑ lim f (ξi )∆xi
而原函数是与导函数互逆的一个概念，本质上属于
微分学，形式上看，与定积分没有关系。 Newton 和 Leibniz 却发现了这两个概念之间的内在联系：
函数在一个区间上的定积分等于它的原函数在该区间上的增量。从此微分学与积分学形成一门完整学科——微积分学。
（2）为定积分的计算提供了一个有效方法. 如果被积函数连续且其原函数易于求得，则只需先求出原函数，再将上限和下限代入原函数后相减：
定理2 如果函数 f (x)在[a,b]上连续, 函数 F ( x)是 f ( x)
的一个原函数，则
∫b f ( x) dx = F (b) − F (a). a
（上式称为牛顿—莱布尼茨公式，也叫微积分基本公式）
证因F ( x)与 Φ ( x) = ∫ x f (t )dt 都是 f ( x) 的原函数， a
证设 F (t ) 是 f (t ) 的原函数，由 N-L 公式，得
∫ϕ(x)
ψ (x)
f
(t ) dt
=
[
F
(t
)]ψϕ
(x) ( x)
=
F
ϕ
( x)
−
F
ψ
( x)
，
于是，
∫ ϕ(x)
ψ ( x)
f
(t)
dt
′
=
F′ ϕ
( x)ϕ′(
x)
−
F′
ψ
(
x)ψ
′(x)
= f ϕ ( x)ϕ′( x) − f ψ ( x)ψ ′( x).
y
y = f (t)
定义了以 x 为自变量的一个
函数，记为Φ ( x), 即
Φ(x)

1.8微积分基本定理

授课主题微积分基本定理教学目标1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的积分．教学内容1. 微积分基本定理：如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a ) .定理中的式子称为“牛顿—莱布尼茨公式”，通常称F (x )是f (x )的一个原函数．在计算定积分时，常常用记号F (x )|b a来表示F (b )－F (a )，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作ʃb a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a ).2. 定积分和曲边梯形面积的关系：设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则 (1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则ʃb a f (x )d x ＝S 上. (2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则ʃb a f (x )d x ＝－S 下.(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则ʃba f (x )d x ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则ʃb a f (x )d x ＝0.题型一利用微积分基本定理求定积分例1 (1)求定积分⎰202x d x 的值；(2)求定积分⎰1－1(2x －x 2)d x 的值；(3)求定积分⎰0－π(sin x ＋2e x )d x 的值．解析：(1) ⎰202x d x ＝2⎰20x d x ＝2×⎪⎪12x 220＝22－02＝4.(2) ⎰1－1(2x －x 2)d x ＝⎰1－12x d x ＋⎰1－1(－x 2)d x ＝x 2|1－1－13x 3|1－1＝－23. (3) ⎰－π(sin x ＋2e x )d x ＝⎰0－πsin x d x ＋2⎰－πe x d x ＝－cos x |0－π＋2e x |0－π＝－cos 0＋cos(－π)＋2(e 0－e －π)＝－2eπ. 点评：应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F (x )的导函数F ′(x )＝f (x )为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果．巩固求下列定积分的值．(1) ⎰10(2x ＋3)d x ； (2) ⎰1－2(1－t 3)d t ；(3) ⎰π02sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ； (4) ⎰31⎣⎡⎦⎤6x ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x . 分析：利用微积分基本定理，关键是求出相应被积函数的一个原函数．解析：(1)∵(x 2＋3x )′＝2x ＋3，∴⎰10(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )|10＝1＋3＝4.(2)∵⎝⎛⎭⎫t －14t 4′＝1－t 3， ∴⎰1－2(1－t 3)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫t －14t 41－2＝1－14－⎣⎡⎦⎤－2－14(－2)4＝7－14＝274. (3)因为2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2⎝⎛⎭⎫sin x ·22＋cos x ·22＝sin x ＋cos x ，又(－cos x ＋sin x )′＝sin x ＋cos x ，所以 ⎰π02sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝⎰π0( sin x ＋cos x ) d x ＝(－cos x ＋sin x )|π0 ＝(－cos π＋sin π)－(－cos 0＋sin 0)＝2. (4) ⎰31⎣⎡⎦⎤6x ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎰31(6x 2+6+12x ) d x ＝(2x 3+6x +6x 2)|31＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)＝112 题型二求分段函数的定积分例2 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3]，求⎰30f (x )d x 的值．解析：由积分的性质，知：⎰30f (x )d x ＝⎰10f (x )d x ＋⎰21f (x )d x ＋⎰32f (x )d x ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2＝－512＋432＋4ln 2. 点评：分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行；带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．巩固 ⎰3-3 (|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .解析：设y＝|2x＋3|＋|3－2x|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x，x≤－32，6，－32<x<32，4x，x≥32.所以⎰3－3(|2x＋3|＋|3－2x|)d x＝323(4)x---⎰d x＋32326-⎰d x＋3324x⎰d x＝＝(－2)×⎝⎛⎭⎫322－(－2)×(－3)2＋6×32－6×⎝⎛⎭⎫－32＋2×32－2×⎝⎛⎭⎫322＝45.题型三利用定积分求参数例3已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，⎰10f(x)d x＝－2，求a，b，c的值．解析：由f(－1)＝2得a－b＋c＝2.①因为f′(x)＝2ax＋b，所以f′(0)＝b＝0.②又⎰10f(x)d x＝⎰10(ax2＋bx＋c)d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax3＋12bx2＋cx10＝13a＋12b＋c，所以13a＋12b＋c＝－2③解①②③组成的方程组得a＝6, b＝0，c＝－4.点评：利用定积分求参数，根据题设条件列出关于参数的方程(组)，解方程(组)得参数的值．巩固f(x)是一次函数，且⎰10f(x)d x＝5，⎰10xf(x)d x＝176，求f(x)的解析式．解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则⎰10(ax＋b)d x＝⎰10ax d x＋⎰10b d x＝12ax2⎰10＋bx⎰10＝12a＋b，⎰10x(ax＋b)d x＝⎰10(ax2＋bx)d x＝13ax3⎰10＋12bx2⎰10＝13a＋12b，由⎩⎨⎧12a＋b＝5，13a＋12b＝176，解得a＝4，b＝3，故f(x)＝4x＋3.A组1．下列各定积分等于1的是()A.⎰10x d xB.⎰10(x＋1)d xC.⎰101d xD.⎰1012d x解析：⎰10x d x ＝12x 2⎰10＝12； ⎰10(x ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ⎰10＝32；⎰101d x ＝x |10＝1； ⎰1012d x ＝12x ⎰10＝12. 答案：C 2． ⎰421xd x 等于( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2 D ．ln 2 解析：⎰421xd x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 答案：D3．函数y ＝⎰x 0cos x d x 的导数是( )A ．cos xB ．－sin xC ．cos x －1D ．sin x 答案：AB 组一、选择题1. ⎰10(e x＋2x )d x ＝( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1 答案：C2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0＜x ≤1，则⎰1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23 D ．－23 答案：B3．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图阴影部分)是( )A. ⎰20(x 2－1)d xB. |⎰20(x 2－1)d x |C. ⎰20|x 2－1|d xD. ⎰20(x 2－1)d x ＋⎰21(x 2－1)d x答案：C4．下列定积分计算正确的是( )A. ⎰π－πsin x d x ＝4 B. ⎰102xd x ＝1C. ⎰21⎝⎛⎭⎫1－1x d x ＝ln e 2D. ⎰1－13x 2d x ＝3解析：⎰π－πsin x d x ＝－cos x|π－π＝0； ⎰102xd x ＝12ln 2x＝log 2e ； ⎰21⎝⎛⎭⎫1－1x d x ＝ |(x －ln x )21＝1－ln 2＝ln e 2； ⎰1－13x 2d x ＝x 3|1－1=2.故选C.答案：C5.若⎰a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则正数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5解析：⎰a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝ |(x 2＋ln x )a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，所以a 2－1＝3，所以a ＝－2(舍去)，a ＝2.故选B. 答案：B 二、填空题6．定积分⎰21x d x ＝__________. 答案：23(22－1)7．若⎰T 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析：因为⎝⎛⎭⎫x 33′＝x 2，所以⎰T 0x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33|T 0＝9，所以T ＝3. 答案：38．计算定积分⎰1－1(x 2＋sin x )d x ＝________. 答案：23三、解答题9．计算下列定积分：(1) ⎰30|2－x |d x ；解析： ⎰30|2－x |d x ＝⎰20(2－x )d x ＋⎰32(x －2)d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －12x 220＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2－2x 32＝2＋12＝52. (2)⎰π2－π2cos 2x d x .解析：10．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，且⎰10f (x )d x ＝1，求证：⎰10[f (x )]2d x >1.证明：由于⎰10f (x )d x ＝⎰10(ax ＋b )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12ax 2＋bx 10＝12a ＋b ，所以12a ＋b ＝1，所以⎰10[f (x )]2d x ＝⎰10(ax ＋b )2d x ＝⎰10(a 2x 2＋2abx ＋b 2)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13a 2x 3＋abx 2＋b 2x 10＝13a 2＋ab ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b 2＋112a 2＝1＋112a 2>1(a ≠0)，故原不等式成立．1．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则ʃ21f (－x )d x 的值等于 ( )A.56 B.12 C.23 D.16答案 A解析由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ，于是ʃ21f (－x )d x ＝ʃ21(x 2－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 2|21＝56. 2．(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－ 3 D. 3 答案 A 解析＝－a ＋1＝2，a ＝－1.3．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为 ( )A.12 B ．1 C.32D. 3答案 D 解析4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈[1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为( )A.43B.54C.65D.76答案 A解析根据定积分的运算法则，由题意，可知ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11x d x ＝13x 3|10＋ln x |e 1＝13＋1＝43. 5． ʃ30(x 2＋1)d x ＝________.答案 12解析 ʃ30(x 2＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |30＝13×33＋3＝12. 6. 如图所示，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．答案 43解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.∴S ＝ʃ20(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝ʃ20(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 33＋x 2|20＝－83＋4＝43.。

微积分基本公式

，
例 8 计算曲线 y sin x 在[0, ]上与 x轴所围
成的平面图形的面积 .
解
面积 A
sin xdx
0
y y sin x
o
x
cos x0 (cos cos0) 2.
例8 一质点以速度v(t) t 2 t 6(m / s)沿直线运动,
计算在时间间隔 [1,4]上的位移 s .
最伟大的科学家”。在60 多年的科学生涯中，牛顿共撰写专著12本，其中科学著作6本，年代学2本，宗教著作4本。作为数学家，牛顿从二项式定理到微积分，从代数和数论到古典几何和解析几何，有限差分、曲线分类、计算方法和逼近论，甚至在概率论等方面，都有创造性的成就和贡献。莱布尼兹曾说：“在从世界开始到牛顿生活的时代的全部数学中，牛顿的工作超过一半。”
牛顿以国葬礼埋在威斯敏斯特大教堂内，参加吊唁的法国大文豪伏尔泰评论说，英国纪念一位数学家就象其他国家纪念国王一样隆重。牛顿墓碑上的拉丁碑铭的最后一句是：“他是人类的真正骄傲，让我们为之欢呼吧！”
莱布尼兹（1646. 7. 1—1716. 11. 14）生平简介
莱布尼兹是德国数学家、哲学家，莱布尼兹出身于书香门第，父亲是莱比锡大学的道德哲学教授，母亲也出身于教授家庭。父母亲自做孩子的启蒙教师，耳濡目染，使莱布尼兹从小就十分好学，并有很高的天赋。不幸的是，父亲在他六岁时去世，却给他留下了比金钱更宝贵的丰富藏书。从此，知书达理的母亲担负起儿子的幼年教育。1661年，15岁的莱布尼兹入莱比锡大学学法律，1663年5 月获学士学位；1664年1月获哲学硕士学位；1667年2月，获法学博士学位。
莱布尼兹是一位百科全书式的杰出学者，他的研究领域及成果
遍及数学、物理学、逻辑学、生物学、地理学、航海学、法学、解

微积分定理和公式

一、函数定义设在某一变化过程中有两个变量x 和y ,若对非空集合D 中的每一点x ,都按照某一对应规则f ,有惟一确定的实数y 与之相对应,则称y 是x 的函数,记作x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为函数的定义域,y 的取值范围即集合{}D x x f y y ∈=),(|称为函数的值域.xoy 平面上点的集合{}D x x f y y x ∈=),(|),(称为函数)(x f y =的图形.定义域D 或记f D 与对应法则f 是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们的定义域与对应法则都相同.二函数的几何特性 1．单调性1定义设函数)(x f 在实数集D 上有定义,对于D 内任意两点21,x x ,当 1x ＜2x 时,若总有)(1x f ≤)(2x f 成立,则称D x f 在)(内单调递增或单增；若总有 )(1x f ＜)(2x f 成立,则称)(x f 在D 内严格单增,严格单增也是单增.当)(x f 在D 内单调递增时,又称D x f 是)(内的单调递增函数.单调递增或单调递减函数统称为单调函数.2．有界性定义设函数内有定义在集合D x f )(,若存在实数M ＞0,使得对任意D x ∈,都有|)(|x f ≤M ,则称)(x f 在D 内有界,或称)(x f 为D 内的有界函数.定义设函数内有定义在集合D x f )(,若对任意的实数M ＞0,总可以找到一D x ∈,使得|)(|x f ＞M ,则称)(x f 在D 内无界,或称)(x f 为D 内的无界函数.定义设函数)(x f 在一个关于原点对称的集合内有定义,若对任意D x ∈,都有))()()(()(x f x f x f x f =--=-或,则称)(x f 为D 内的奇偶函数.奇函数的图形关于原点对称,当)(x f 为连续的函数时,)(x f =0,即)(x f 的图形过原点.偶函数的图形关于y 轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律：设)()(21x f x f ±为奇函数,)(),(21y g x g 为偶函数,则)()(21x f x f ±为奇函数；)()(21x g x g ±为偶函数； )()(11x g x f ±非奇偶函数；)()(11x g x f ⋅为奇函数；)()(),()(2121x g x g x f x f ⋅⋅均为偶函数.常数C 是偶函数,因此,奇函数加非零常数后不再是奇函数了.利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助. 4．周期性定义设函数内有定义在集合D d x f )(,如果存在非零常数T,使得对任意D x ∈,恒有)()(x f T x f =+成立,则称)(x f 为周期函数.满足上式的最小正数T,称为)(x f 的基本周期,简称周期.我们熟知的三角函数为周期函数考纲不要求,除此以外知之甚少.][x x y -=是以1为周期的周期函数.][x y =与][x x y -=的图形分别如图1-1a 和图1-1b 所示.三初等函数 1．基本初等函数1常数函数 C y =,定义域为-∞,+∞,图形为平行于x 轴的直线.在y 轴上的截距为c .2幂函数 αx y =,其定义域随着α的不同而变化.但不论α取何值,总在1,+∞内有定义,且图形过点1,1.当α＞0时,函数图形过原点图1-2a b图1-23指数函数 )1,0(≠=ααα xy ,其定义域为-∞,+∞.当0＜α＜1时,函数严格单调递减.当α＞1时,函数严格单调递增.子数图形过点0,1.微积分中经常用到以e 为底的指数函数,即xe y =图1-34对数函数 )1,0(log ≠=ααα x y ,其定义域为1,+∞,它与xy α=互为反函数.微积分中常用到以e 为底的对数,记作nx y 1=,称为自然对数.对数函数的图形过点1,0图1-4图1-3 图1-4 另有两类基本初等函数：三角函数与反三角函数,不在考纲之内.对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握,这充分条件判断、导数和定积分应用中都很重要.例如,设f b a x b a x f ),,(,),()(∈对任意区间内二阶可导在″)(x ＜0.则 1f ′)(x 在),(b a 内严格单调减少；2)(x f 在),1(b 上为凸弧,均不充分. 此题可以用举例的方法来说明1、2均不充分.由初等函数的图形可知,4x y -=为凸弧.y ′=34x -在－∞,∞＋上严格单调递减,但y ″=-122x ≤0,因此1,2均不充分,故选E.此题若把题干改成f ″)(x ≤0,则1,2均充分,差别就在等于零与不等于零.可见用初等函数图形来判断非常便捷.2．反函数定义设函数)(x f y =的定义域为D ,值域为R ,如果对于每一个R y ∈,都有惟一确定的D x ∈与之对应,且满足)(x f y =x 是一个定义在R 以y 为自变量的函数,记作并称其为)(x f y =反函数.习惯上用x 作自变量,y 作因变量,因此)(x f y =反函数常记为R x x f y ∈=-),(1.函数)(x f y =与反函数)(1x fy -=的图形关于直线x y =对称.严格单调函数必有反函数,且函数与其反函数有相同的单调性.x y a y a xlog ==与互为反函.∈=x x y ,20,+∞的反函数为x y =,而∈=x x y ,2－∞,0的反函数为x y -=图1-2b.3．复合函数定义已知函数f f R y D u u f y ∈∈=,),(.又D x x u ∈=),(ϕϕ,u ≤R ϕ,若ff R D 非空,则称函数为函数)()(x u u f y ϕ==与的复合函数.其中y 称为因变量,x 称为自变量,u 称为中间变量.4．初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的一切函数统称为初等函数,初等函数在其定义域内有统一的表达式.四隐函数若函数的因变量y 明显地表示成)(x f y =的形式,则称其为显然函数.1),13(1,222-=-==x y x n y x y 等.设自变量x 与因变量y 之间的对应法则用一个方程式0),(=y x F 表示,如果存在函数)(x f y =不论这个函数是否能表示成显函数,将其代入所设方程,使方程变为恒等式：其中f D 为非空实数集.则称函数)(x f y =由方程0),(=y x F 所确定的一个隐函数.如方程1=+y x 可以确定一个定义在0,1上的隐函数.此隐函数也可以表示成显函数的形式,即但并不是所有隐函数都可以用x 的显函数形式来表示,如0=++y x exy因为y 我法用初等函数表达,故它不是初等函数.另外还需注意,并不是任何一个方程都能确定隐函数,如0122=++y x .五分段函数有些函数,对于其定义域内的自变量x 的不同值,不能用一个统一的解析式表示,而是要用两个或两个以上的式子表示,这类函数称为分段函数,如都是定义在－∞,＋∞上的分段函数.分段函数不是初等函数,它不符合初等函数的定义.二、极限不在考试大纲内,只需了解即可极限是微积分的基础. 一数列极限按照一定顺序排成一串的数叫做数列,如n n a a a a ⋅ 21,称为通项. 1．极限定义定义设数列{}n a ,当项数n 无限增大时,若通项n a 无限接近某个常数A ,则称数列{}n a 收敛于A ,或称A 为数列{}n a 的极限,记作否则称数列{}n a 发散或n n a ∞→lim 不存在. 2．数列极限性质1四则极限性质设b y a x n n n n ==∞→∞→lim ,lim ,则2a x a x k n n n n =⇔=+∞→∞→lim lim k 为任意正整数.3若a x n n =∞→lim ,则数列{}n x 是有界数列.4夹逼定理设存在正整数0N ,使得0N n ≥时,数列{}{}{}n n n z y x ,,满足不等式n n n y x z ≤≤.若a z y n n n n ==∞→∞→lim lim ,则a x n n =∞→lim .利用此定理可以证明重要极限e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim =,是一个无理数. 5单调有界数列必有极限设数列{}n x 有界,且存在正整数0N ,使得对任意0N n ≥都有n n x x ≤+1或n n x x ≥+1,则数列{}n x 的极限一定存在.利用此定理可以证明重要极限e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim =,是一个无理数. 二函数的极限 1．∞→x 时的极限定义设函数)(x f 在)0(||>≥a ax 上有定义,当∞→x 时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当∞→x 时以A 为极限,记作当+∞→x 或-∞→x 时的极限当x 沿数轴正负方向趋于无穷大,简记+∞→x -∞→x 时,)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当+∞→x -∞→x 时以A 为极限,记作3．0x x →时的极限定义设函数)(x f 在0x 附近可以不包括0x 点有定义,当x 无限接近)(00x x x ≠时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称当0x x →时,)(x f 以A 为极限,记作4．左、右极限若当x 从0x 的左侧0x x <趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的左极限,记作.)(lim 0A x f x x =-→ 或 A x f =-)0(0若当x 从0x 的左侧0x x >趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的右极限,记作.)(lim 0A x f x x =+→ 或 A x f =+)0(0三函数极限的性质 1．惟一性若,B x f A x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0则A=B . 2．局部有界性若A x f x x =→)(lim 0.则在0x 的某邻域内点0x 可以除外,)(x f 是有界的.3．局部保号性若A x f x x =→)(lim 0.且A ＞0或A ＜0＝,则存在0x 的某邻域点0x 可以除外,在该邻域内有)(x f ＞0或)(x f ＜0＝;若A x f x x =→)(lim 0;且在0x 的某邻域点0x 可以除外有)(x f ＞0或)(x f ＜0＝,则必有A≥0或A ≤0;4．不等式性质若A x f x x =→)(lim 0,B x g x x =→)(lim 0,且A>B ,则存在0x 的某邻域点0x 可以除外,使)(x f >)(x g .若A x f x x =→)(lim 0,B x g x x =→)(lim 0.且在0x 的某邻域点0x 可以除外有)(x f <)(x g 或)(x f ≤)(x g ,则A ≤B ;5．四则运算同数列四无穷小量与无穷大量 1．无穷小量的定义定义若0)(lim 0=→x f x x ,则称)(x f 是0x x →时的无穷小量;若,)(lim 0∞=→x g x x 则称)(x f 是0x x →时的无穷大量;2．无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的倒数是无穷大量；无穷大量的倒数是无穷小量; 3．无穷小量的运算性质i 有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量; ii 无穷小量乘有界变量仍为无穷小量; iii 有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量; 4．无穷小量阶的比较设0)(lim,0)(lim 0==→→x x a x x x x β,5．等价无穷小常用的等价无穷小：0→x 是,)0(~1)1(,1~1,~)1(1,~1≠-+-+-ααααaxx n x x x n x e xx等价无穷小具有传递性,即)(~)(x x βα,又)(~)(x x γβ; 等价无穷小在乘除时可以替换,即)(~)(),(~)(**x x x x ββαα,则)()(lim )()(lim **)()(0x x x x x x x x x x βαβα∞→→∞→→=或或第二讲函数的连续性、导数的概念与计算重点：闭区间上连续函数的性质、导数的定义、几何意义、基本初等函数的求导公式、复合函数求导公式、导数的四则运算;三、函数的连续性一函数连续的概念 1．两个定义定义设函数)(x f y =的定义域为D x D ∈0,;若)()(lim 00x f x f x x =→,则称0)(x x f 在点连续；若D x f 在)(中每一点都连续,则称0)(x x f 在点右连续;定义若)()(lim 00x f x f x x =+→,则称0)(x x f 在点右连续; 若)()(lim 00x f x f x x =-→,则称0)(x x f 在点左连续;0)(x x f 在点连续0)(x x f 在⇔点既左连续又右连续;2．连续函数的运算连续函数经过有限次四则运算或复合而得到的函数仍然连续,因而初等函数在其定义区间内处处连续;二间断点1．若)(lim )(lim 00x f x f x x x x -+→→与都存在,且不全等于)(0x f ,则称0x 为)(x f 的第一类间断点; 其中若)(lim 0x f x x →存在,但不等于)(0x f 或)(x f 在0x 无定义,则0x 为)(x f 的可去间断点;若)(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→与都存在,但不相等,则称0x 为)(x f 的跳跃间断点;2．若)(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→与中至少有一个不存在,则称0x 为)(x f 的第二类间断点;三闭区间上连续函数的性质若)(x f 在区间],[b a 内任一点都连续,又)()(lim ),()(lim b f x f f x f bx x ==-+→→αα,则称函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续;1．最值定理设)(x f 在],[b a 上连续,则)(x f 在],[b a 上必有最大值M 和最小值m ,即存在],[,21b a x x ∈,使],[,)(,)(,)(11b a x M x f m m x f M x f ∈≤≤==且;2．价值定理设)(x f 在],[b a 上连续,且m,M 分别是)(x f 在],[b a 上最小值与最大值,则对任意的],[M m k ∈,总存在一点k c f b a c =∈)(],,[使;推论1 设)(x f 在],[b a 上连续,m,M 分别为最小值和最大值,且mM <0,则至少存在一点0)(],,[=∈c f b a c 使;推论1 设)(x f 在],[b a 连续,且0)()(<⋅b f a f ,则一定存在],,[b a c ∈使0)(=c f ; 推论1,推论2又称为零值定理;第二章导数及其应用一、导数的概念1．导数定义定义设y=fx 在x 0的某邻域内有定义,在该邻域内给自变量一个改变量x ∆,函数值有一相应改变量)()(00x f x x f y -∆+=∆,若极限存在,则称此极限值为函数y=fx 在x 0点的导数,此时称y=fx 在x 0点可导,用⎥⎦⎤⎢⎣⎡===''000)(,,)(x x dx x df x x dyx dyx x y x f 或或或表示.若)(x f y =在集合D 内处处可导这时称fx 在D 内可导,则对任意D x ∈0,相应的导数)(0x f '将随0x 的变化而变化,因此它是x 的函数,称其为y=fx 的导函数,记作⎪⎭⎫⎝⎛''dx x df dxdy y x f )(,,)(或或或. 2．导数的几何意义若函数fx 在点x 0处可导,则)(0x f '就是曲线y=fx 在点x 0,y 0处切线的斜率,此时切线方程为))((000x x x f y y -'=-.当)(0x f '=0,曲线y=fx 在点x 0,y 0处的切线平行于x 轴,切线方程为)(00x f y y ==. 若fx 在点x 0处连续,又当0x x →时∞→')(x f ,此时曲线y=fx 在点x 0,y 0处的切线垂直于x 轴,切线方程为x=x 0.3．左、右导数定义设fx 在点x 0点的左侧邻域内有定义,若极限存在,则称此极限值为fx 在点x 0处的左导数,记为)(0x f -')(0x f -'=xx f x x f ∆-∆+-→∆)()(lim 000类似可以定义右导数.fx 在点x 0点处可导的充要条件是fx 在点x 0点处的左、右导数都存在且相等,即)()()(000x f x f x f +-'='⇔'存在存在.若fx 在a,b 内可导,且)(a f +'及)(b f -'都存在,则称fx 在a,b 上可导. 4．可导与连续的关系若函数0)(x x f y 在=点可导,则)(x f 在点0x 处一定连续. 此命题的逆命题不成立.邮导数定义,极限xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在可知,)(x f 在0x 点可导, 必有0→∆y ,故)(x f 在0x 点连续.但)(x f 在0x 点连续只说明当0→∆x 时,也有0→∆y ,而当y ∆的无穷小的阶低于x ∆时,极限即不存在,故)(x f 在0x 点不可导.只有y ∆与x ∆是同阶无穷小,或y ∆是比x ∆高阶的无穷小时,)(x f 在0x 点才可导. 例如,0||,31===x x y x y 在点连续,但不可导.二、导数的运算1．几个基本初等函数的导数 1.0='=y c y 2.,1-='=a aax y x y3x x x x e y e y na a y x y ='=='=,;1,4.1,1;11,log xy nx y na x y x y a ='=='=2．导数的四则运算 1)(])([x u c x u c '⋅='⋅； 2)()(])()([x v x u x v x u '+'='±；3)()()()()]()([x v x u x v x u x v x u '⋅+'⋅'=⋅；4)()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡； 3．复合函数的导数设函数)(x u ϕ=在x 处可导,而函数)(u f y =在相应的点)(x u ϕ=处可导,则复合函数)]([x u f y =在点x 处可导,且dxdudu dy dx dy x x f dxdy⋅='⋅'=或)()]([ϕϕ.4．高阶导数二阶导数若函数区间a,b 内可导,一般说来,其导数)(x f y '='仍然是x 的函数,如果)(x f y '=' 也是可导的,则对其继续求导数,所得的导函数称为)(x f 的二阶导数,记为2222)(,),(,dxx f d dx d x f y y ''''. 注更高阶的导数MBA 大纲不要求,二阶导数主要用来判定极值、函数凹凸区间及拐点.导数的计算要求非常熟练、准确第三讲微分、导数的应用重点：微分的概念及运算、求曲线切线方程的方法、函数单调区间、极值、最值的求法三、微分1．微分的概念定义设)(x f y =在0x 的某邻域内有定义,若在其中给0x 一改变量x ∆,相应的函数值的改变量y ∆可以表示为其中A 与x ∆无关,则称)(x f 在0x 点可微,且称A x ∆为)(x f 在0x 点的微分,记为x A ∆是函数改变量y ∆的线性主部.)(x f y =在0x 可微的充要条件是)(x f 在0x 可导,且)(00x x f x x dy ∆'==.当x x f =)(时,可得x dx ∆=,因此由此可以看出,微分的计算完全可以借助导数的计算来完成.2微分的几何意义当x 由0x 变到x x ∆+0时,函数纵坐标的改变量为y ∆,此时过0x 点的切线的纵坐标的改变量为dy.如图2-1所示.当dy <y ∆时,切线在曲线下方,曲线为凹弧. 当dy >y ∆时,切线在曲线上方,曲线为凸弧.2．微分运算法则设)(),(x v x u 可微,则一阶微分形式不变性：设)]([x f y ϕ=是由可微函数)(u f y =和)(x u ϕ=复合而成,则)]([x f y ϕ=关于x 可微,且由于du u f dy )('=,不管u 是自变量还是中间变量,都具有相同的形式,故称一阶微分形式不变.但导数就不同了：若u 是自变量,)(u f y '='.若u 是中间变量,x u u f y x u u '⋅'='=则),(.四、利用导数的几何意义求曲线的切线方程求切线方程大致有四种情况,最简单的一种是求过曲线)(x f y =上一点))(,(00x f x 的切线方程,此时只需求出)(0x f ',切线方程为))(()(000x x x f x f y -'=-.第二种情况是过曲线)(x f y =外一点a,b ,求曲线的切线方程,此时)(a f b ≠.设切点为))(,(00x f x ,切线方程为))(()(000x x x f x f y -'=-,将点a,b 代入方程中,有))(()(000x a x f x f b -'=-从中求出0x ,化成第一种情况的切线方程,若得到0x 惟一,则切线也不惟一.第三种情况是求两条曲线的公共切线,这两条曲线可能相离,也可能相交.设两曲线为)()(x g y x f y ==与解题方法是设在两条曲线上的切点分别为))(,()),(,(b g b a f a 这两点的切线斜率相等,从而有方程).()(b g a f '=' ①另外过点)(,a f a 的切线方程))(()(a x a f a f y -'=-也过点b,gb ,故有))(()()(a b a f a f b g -'=- ②由①、②求出a,b ,有了切点,切线方程也就可以写出来了. 第四种情况是求两条曲线在某公共点处的公切线.设曲线)()(x g y ax f y ==与在某点处相切,求a 的值与切线方程.则可设切点为))(,(0x g x ,从而有)())(()()(0000x g x x ax f x g ax f '=='=,由两方程联和可得a 的值及切点横坐标0x .即切点))(,(00x g x ,再由第一种情况,写出切线方程.五、函数的增减性、极值、最值1．函数的增减性的判定设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,在a,b 内可导,若)0)((0)(<'>'x f x f 或,则)(x f 在a,b 上单调增加或单调减少.反之,若)(x f 在a,b 上单调增加或单调减少且可导,则)0)((0)(≤'≥'x f x f 或.二者的差异在于有没有等号.2．极值概念与判定定义设)(x f 在0x 的某邻域内有定义,对该邻域内任意点x ,都有)(x f ≥)(0x f 或)(x f ≥)(0x f ,则称)(0x f 为极大值或极小值0x 为极大值点或极小值点.需要注意的是,极值点一定是内点,极值不可能在区间的端点取到.1极值存在的必要条件：若)(x f 在0x 点可导,且0x 为极值点,则)(0x f '=0.因此,极值点只需在)(x f '=0的点驻点或)(x f '不存在的点中去找,也就是说,极值点必定是)(x f '=0或)(x f '不存在的点,但这种点并不一定都是极值点,故应加以判别.2极值存在的充分条件,即极值的判别法,分为第一判别法和第二判别法.第一判别法用一阶导数判定.高)(x f 在0x 点连续,且)(0x f '=0或)(0x f '不存在.若存在0>δ,使得当),(00x x x δ-∈时,有)(x f >0或)(x f 不存在,当),(00δ+∈x x x 时,有)(x f '<0或)(x f '>0,此时0x 为极大极小值点.)(0x f 为极大极小值.若)(x f '在0x 的左右不变号,则0x 不是极值点.第二判别法需用二阶导数判定,只适用于二阶导数存在且不为零的点,因此有局限性. 当)(0x f '=0,若0)(0>''x f ,则0x 为极小值点,若0)(0<''x f ,0x 为极大值点,0)(0=''x f 判别法失效,仍需用第一判别法.3．函数在闭区间a,b 上的最大值与最小值.极值是函数的局部性质.最值是函数的整体性质.求最大值与最小值只需找出极值的可疑点驻点和不可导点,把这些点的函数值与区间的端点函数值比较,找出最大的与最小的即为最大值和最小值,相应的点为最大值点和最小值点.第四讲函数图形的凹凸性、拐点、不定积分重点：函数图形凹凸区间及拐点求法、找原函数的换元积分法和分部积分法六、函数图形的凹凸性、拐点及其判定1．概念定义若在某区间内,曲线弧上任一点处的切线位于曲线的下方,则称曲线在此区间内是上凹的,或称为凹弧简记为；反之,切线位于曲线上方,则称曲线是上凸的,亦称凸弧简记为,曲线凹、凸的分界点称为拐点.2．凹凸的判定设函数)(x f y =在区间a,b 内二阶可导,若在a,b 内恒有)(x f ''>0或)(x f ''<0,则曲线)(x f y =在a,b 内是凹弧或凸弧.3．拐点的求法与判定拐点存在的必要条件是)(0x f ''=0或)(0x f ''不存在请与极值比较其共性.设)(x f 在a,b 内二阶可导,)(0)(),,(000x f x f b a x ''=''∈或不存在,若)(x f ''在0x 点的左右变号,则点))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点,否则就不是拐点.由以上可以看出,要求函数的单调区间和极值点,只要找出其一阶导数等于零和一阶导不存在的点,设这种点一共有k 个,则这个k 个点把整个区间分成k+1个子区间,在每一个子区间内)(x f '不变号,由)(x f '>0或0)(<'x f 判定fx 在该子区间内单调递增或递减,同时也可以将极大值点和极小值点求出.求函数曲线的凹凸区间与拐点.只需求二阶导数等于零或二阶导数不存在的点,然后用上面的方法加以判定.第三章定积分及其应用一、不定积分1．不定积分概念定义原函数若对区间I 上的每一点x ,都有则称Fx 是函数fx 在该区间上的一个原函数.原函数的特性若函数fx 有一个原函数F x ,则它就有无穷多个原函数,且这无穷多个原函数可表示为Fx+C 的形式,其中C 是任意常数.定义不定积分函数fx 的原函数的全体称为fx 的不定积分,记作⎰dx x f )(.若Fx 是fx的一个原函数,则定义原函数的存在性在区间I 上连续的函数在该区间上存在原函数；且原函数在该区间上也必连续.2．不定积分的性质1积分运算与微分运算互为逆运算. 2⎰⎰≠=)0()()(k dx x f k dx x kf 常数3⎰⎰⎰±=±.)()()]()([dx x g dx x f dx x g x f3．基本积分公式4．求不定积分的基本方法和重要公式 1直接积分法所谓直接积分法就是用基本积分公式和不定积分的运算性质,或先将被积函数通过代数或三角恒等变形,再用基本积分公式和不定积分的运算性质可求出不定积分的结果.2换元积分法 I 第一换元积分法公式若⎰+=C u F du u f )()(,则=C u F +)( C x F +))((ϕ. 说明 1°运算较熟练后,可不设中间变量)(x u ϕ=,上式可写作2°第一换元积分法的实质正是复合函数求导公式的逆用.它相当于将基本积分公式中的积分变量x 用x 的可微函数)(x ϕ替换后公式仍然成立.用第一换元积分法的思路不定积分⎰dx x f )(可用第一换元积分法,并用变量替换)(x u ϕ=,其关键是被积函数gx可视为两个因子的乘积且一个因子)())((x x f ϕϕ是的函数是积分变量x 的复合函数,另一个因子)(x ϕ'是)(x ϕ的导数可以相差常数因子.有些不定积分,初看起来,被积函数不具有上述第一换元积分法所要求的特征,在熟记基本积分公式的前提下,注意观察被积函数的特点,将其略加恒等变形：代数或三角变形,便可用第一换元积分法.II 第二换元积分法公式⎰dx x f )( ⎰'dt t t f )())((ϕϕ C t F +)( 说明第二换元积分法与第一换元积分法实际上正是一个公式从两个不同的方向运用用第二换元积分法的思路若所给的积分⎰dx x f )(不易积出时,将原积分变量x 用新变量t 的某一函数)(t ϕ来替换,化成以t 为积分变量的不定积分⎰'dt t t f )())((ϕϕ,若该积分易于积出,便达到目的;被积函数是下述情况,一般要用第二换元积分法：1°被积函数含根式t b ax b a b ax n n =+≠+令时可以是,)0,0(,求其反函数;作替换)(1b t ax n -,可消去根式,化为代数有理式的积分; 变量替换令)(t x ϕ=变量替换令)(t x ϕ=第一换元法令令第一换元法ux x u ==)()(ϕϕ2°被积函数含根式a e x ±时,令t a e x =±,求其反函数,作替换)(12a t n x ±=可消去根式;被积函数含指数函数)(xxe a 或,有时也要作变量替换：令)(t e t a xx==或,设)1(111nt x nt nax ==或,以消去)(x x e a 或; 3分部积分法公式⎰⎰'-='或dx x u x v x v x u dx x v x u )()()()()()(说明分部积分法是两个函数乘积求导数公式的逆用; 用分部积分法的思路 I 公式的意义欲求⎰'dx v u求⎰'.dx u vII 关于选取u 和v '用分部积分法的关键是,当被积函数看作是两个函数乘积时,选取哪一个因子为)(x u u =,哪一个因子为)(x v v '='.一般来说,选取u 和v '应遵循如下原则:1°选取作v '的函数,应易于计算它的原函数;2°所选取的u 和v ',要使积分⎰'dx u v 较积分⎰'dx v u 易于计算;3°有的不定积分需要连续两次或多于两次运用分部积分法,第一次选作v '或u 的函数,第二次不能选由v '或u 所得到的v 或v '.否则,经第二次运用,被积函数又将复原.Ⅲ分部积分法所适用的情况由于分部积分法公式是微分法中两个函数乘积的求导数公式的逆用,因此,被积函数是两个函数乘积时,往往用分部积分法易见效.5.求不定积分需要注意的问题1由于初等函数在其有定义的区间上是连续的,所以每个初等函数在其有定义的区间上都有原函数,但初等函数的原函数并不都是初等函数.例如nxe e e xx x 11,,,122-等的原函数就无法用初等函数表示.2对同一个不定积分,采用不同的计算方法,往往得到形式不同的结果.这些结果至多相差一个常数,这是由于不定积分的表达式中含有一个任意常数所致.第五讲重点：定积分的概念、性质、变限求导、牛顿-菜布尼兹公式、定积分的换元积方法和分部积分法二、定积分1．定积分的定义定义定积分函数)(x f 在区间a,b 上的定积分定义为∑⎰=→∆∆==ni iix baxf dx x f I 1)(lim)(ξ,其中||max 1i ni x x ∆=∆≤≤.由定积分的定义,可推出以下结论:1定积分只与被积函数和积分区间有关; 2定积分的值与积分变量无关,即⎰⎰=babadt t f dx x f )()(;3⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(,特别地,⎰=aadx x f 0)(.定积分的几何意义设)(x f 在a,b 上边续,⎰badx x f )(在几何上表示介于i 轴、曲线y =)(x f 及直线b x a x ==,之间各部分面积的代数和,在x 轴上方取正号,在x 轴下方取负号.利用定积分的几何意义,可以计算平面图形的面积,也是考纲中要求的定义应用内容. 定理可积的必要条件若函数)(x f 在区间a,b 上可积,则)(x f 在a,b 上有界. 定理可积的充分条件若函数)(x f 在区间a,b 上连续,则)(x f 在a,b 上可积.定理可积的充分条件在区间a,b 上只有有限个间断点的有界函数)(x f 在该区间上可积.2.定积分的性质设)(x f ,)(x g 在a,b 上可积 1⎰⎰=baba k dx x f k dx x kf ,)()(为常数;2⎰⎰⎰±=±bababa dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([;3对积分区间的可加性对任意三个数a,b,c,总有 4比较性质设],[),()(b a x x g x f ∈≤,则⎰⎰≤babadx x g dx x f )()(.特别地1°若],[,0)(b a x x f ∈≥,则0)(≥⎰badx x f ;2°⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(|)(5⎰-=baa b dx .定理估值定理若)(x f 在a,b 上的最大值与最小值分别为M 与m ,则)()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰.定理积分中值定理若)(x f 在a,b 上连续,则在a,b 上至少存在一点ξ,使))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ.上式若写成⎰-=ba dx x f ab f )(1)(ξ,该式右端称为函数)(x f 在区间a,b 上的平均值. 3.微积分学基本定理定理原函数存在性定理若函数)(x f 在区间a,b 上连续,则函数是)(x f 在a,b 上的一个原函数,即)()()(x f dt t f dx d x xa =⎪⎭⎫ ⎝⎛=Φ'⎰.设)(),(x x ψϕ可导推论1 设⎰=Φϕadt t f x )()(,则)())(()(x x f x ϕϕ'=Φ'.推论2 设⎰=Φ)()()()(x x dt t f x ϕψ,则)())(()())(()(x x f x x f x ψψϕϕ'-'=Φ'.推论3 ⎰=Φ)()()()(x adt x g t f x ϕ,则)())(()()()()()()()()(x x f x g dt t f x g dt t f x g x x a x a ϕϕϕϕ'+'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Φ'⎰⎰. 定理牛顿-莱布尼茨公式若函数)(x f 在区间a,b 上连续,)(x F 是)(x f 在a,b 上的一个原函数,则)()()()(a F b F abx F dx x f ba-==⎰.上述公式也称为微积分基本定理,是计算定积分的基本公式. 4.计算定积分的方法和重要公式 1直接用牛顿-莱布尼茨公式这时要注意被积函数)(x f 在积分区间a,b 上必须连续. 2换元积分法公式设函数)(x f 在区间a,b 上连续,而函数)(t x ϕ=满足下列条件:1°)(t ϕ在区间],[βα上是单调连续函数; 2°b a ==)(,)(βϕαϕ; 3°],[)(βαϕ在t '上连续, 则⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)())(()(.该公式从右端到左端相当于不定积分的第一换元积分法;从左端到右端相当于不定积分的第二换元积分法,即用定积分的换元积分法与不定积分的换元积分法思路是一致的.作变量替换是,要相应地变换积分上下限.3分部积分法公式设函数)(),(x v x u 在区间a,b 上有连续的导数,则⎰⎰'-='babadx x u x v a b x v x u dx x v x u )()()()()()(. 用该公式时,其思路与不定积分法的分部积分法是相同的.除此此外,当被积函数为变上限的定积分时,一般要用分部积分法.例如,设⎰⎰=xcbadx x f dt t x f )(,)()(求ϕ,这时,应设dx dv x f u ==),(.4计算定积分常用的公式 1°202241a dx x a aπ=-⎰.2°奇偶函数积分设],[)(a a x f -在上连续,则 3°⎰⎰⎰-+=-+=--a aaaadx x f x f dx x f x f dx x f 0)]()([)]()([21)(.计算定积分,当积分区间为-a,a 时,应考虑两种情况:其一是函数的奇偶性;其二是作变量替换u x -=,用上述公式3°,当公式右端的积分易于计算时,便达目的.4°周期函数积分设)(x f 是以T 为周期的周期函数,则⎰⎰=+TTa adx x f dx x f 0)()(.5°若)(x f 以T 为周期且是奇函数,则第六讲重点：广义积分、利用定积分的性质还应平面图形面积直角坐标系下.5.广义积分前面引进的定积分⎰badx x f )(有两个特点:积分区间为有限区间;被积函数)(x f 在a,b 上。

微积分基本公式

1 2 例 3 例 1 计算 x dx . 0
b
解

1 2 1 x3]1 1 13 1 03 1 x dx [ 0 3 0 3 3 3
3
.
dx 例 4 例 2 计算 1 2 . 1 x 3 解 3 dx [arctanx]1 arctan 3 arctan(1) 1 1 x2 7 ( ) . 3 4 12
提示： x t 2 cos x t 2 设 (x) e dt , 则 (cos x) e dt .
1 1
d (cos x) d (u) du eu 2 ( sin x) sin x ecos2 x . dx du dx
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定理2 就是f(x)在[a, b]上的一个原函数.
b
解这是求由曲线ysin x, 直线x0, x及x轴所围成的曲边梯形的的面积.
A 0 sin xdx [ cos x] 0 (1) (1) 2 .

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例7 汽车以每小时36km速度行驶, 到某处需要减速停车. 设汽车以等加速度a5m/s2刹车. 问从开始刹车到停车, 汽车走了多少距离？解汽车刹车时的初速度为
当汽车停止时, 有 v(t)105t 0, t2(s).
于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为
1 1 22 22 [ 10 [ 10 t t 5 5 t t ]] 10 10(( m m )). . ss 0 v v ( ( t t ) ) dt dt ( 10 ( 10 5 5 t t ) ) dt dt 00 0 0 0 2 2
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例7 汽车以每小时36km速度行驶, 到某处需要减速停车. 设汽车以等加速度a5m/s2刹车. 问从开始刹车到停车, 汽车走了多少距离？解汽车刹车时的初速度为

微积分基本定理

a
n1
ab1dxabx0dxba
abxdx12(b2a2)
x b a b 2dx1( 3 3)
a
3
Table of Definite Integrals
微积分基本定理应用例1

计算
2 sin x dx 0
微积分基本定理应用例1

计算 2 sin x d x 0
注意当 a b 时， a b f(x ) d F x ( b ) F ( a ) 仍成立 .
从不定积分到定积分
Table of Indefinite Integrals
x n dx

x n 1 C
n1
e x dx e x C
sin x dx cos x C
数是(x)ddxax f(t)dt f(x)
y
证
x x
(x x)a f(t)dt
(axb)
( x x ) ( x )
(x)
x x
x
a
f(t)d t f(t)dt a
o
a
x xxb x
a xf( t) d t x x xf( t) d a txf( t) dt
b
x
a f (t)dta f (t)dt
变限定积分的性质－连续性
[a,b]上可积函数 f(x) 的变限定积分
Φ(x), ψ(x) 是[a,b]上的连续函数.
变限定积分的性质－可导性
微积分基本定理（微分形式）
定理１如果f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函
数(x)ax f(t)dt在[a,b]上具有导数，且它的导
微积分基本定理－积分形式

微积分基本定理的证明

微积分基本定理的证明证明微积分基本定理主要涉及到两个方面：第一，证明积分在导数中的逆运算；第二，证明求导在积分中的逆运算。

即证明：1.若函数F(x)在[a,b]区间上连续，则F(x)在[a,b]区间上可导，且导函数f(x)满足f(x)=F'(x)，即F(x)是f(x)的一个原函数。

2. 若函数f(x)在[a, b]区间上连续，则函数F(x) = ∫[a,x]f(t)dt 是f(x)的一个原函数。

定理一的证明：设F(x) = ∫[a, x]f(t)dt，我们要证明F(x)是f(x)的一个原函数，即证明F'(x) = f(x)。

令h(x) = ∫[a, x+h]f(t)dt - ∫[a, x]f(t)dt = ∫[x,x+h]f(t)dt。

根据积分的定义，h(x)是x的函数，并且有以下性质：1.h(x)在[a,b]区间上连续；2.h(x)在(x,x+h)区间上的可导，并且导函数为h'(x)=f(x)。

现在，我们考虑以下两个极限：1. 当h趋近于0时，即lim(h→0)h(x) = 0；2. 当h趋近于0时，即lim(h→0)h'(x) = f(x)。

由于h(x)和h'(x)满足以上两个性质，根据极限的性质，我们可以推断出F'(x)存在，并且F'(x)=f(x)。

这就证明了定理一定理二的证明：设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们要证明∫[a,x]f(t)dt =F(x)。

根据定积分的定义：1. ∫[a,x]f(t)dt = lim(n→∞)∑[i=1, n]f(xi)Δxi，Δxi = x - xi，ξi ∈ [xi, xi+1]；2. F(x) = F(a) + ∫[a,x]F'(t)dt = F(a) +lim(n→∞)∑[i=1, n]F'(ξi)Δxi，Δxi = x - xi，ξi ∈ [xi, xi+1]。

我们需要证明通过引入一个分割P = {a = x0 < x1 < ... < xn = x}，并取分割上每个子区间上的任意一点ξi，满足lim(n→∞)∑[i=1, n]f(xi)Δxi = lim(n→∞)∑[i=1, n]F'(ξi)Δxi。

如何理解微积分第一基本定理

如何理解微积分第一基本定理
如何理解微积分第一基本定理
微积分第一基本定理是求导中一个重要的定理，由以下公式形式表示：
$$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x}f(u)du=f(x)$$
在大学的微积分课中，这一定理是一个十分重要的基础，它可以帮助我们完成许多复杂的求导步骤，有助于更好地理解微积分。

我们首先来分析它的定义，可以看到它是由积分和导函数相乘得到的。

对变量$x$进行求导，则可以得到函数
$f(x)$。

接着，我们来看它的证明，证明这一定理涉及到了微元分析，这是一种基于极限的分析方法。

它说明了，当把函数作为参数求导时，$f(x)$是函数$f(x)$的导函数的总和。

因此，当我们把不同的$x$和$a$放入这个式子中时，可以得到最终的结果。

最后我们来看它的意义，它说明了函数的变化率与函数值的关系，换句话说，它表明了函数f(x)的变化值等于f(x)函数的导函数的值。

从而可以把求导问题转化为求积分，从而减少了求导的复杂性。

总而言之，微积分第一基本定理是一个重要的定理，它可以帮助我们更好地理解求导的概念，从而解决许多求导问题。

微积分基本公式__牛顿—莱布尼茨公式

x
a f ( x )dx F (b) F (a )
b
牛顿－莱布尼兹公式沟通了微分学与积分学之间的关系．所以又叫微积分基本公式。
思考题
x f ( u)du 是 x 的函数还是t 与u 的函数？它们
的导数存在吗？如存在等于什么？
b
设 f ( x ) 在[a , b]上连续，则 f ( t )dt 与

x
0
f ( t )( x t )dt
(
0
x
t
0
f ( u )du )dt .
六、求函数 f ( x )

x
0
3t 1 dt 在区间 0 , 1 上的最 2 t t 1
大值与最小值 . 1 sin x , 当0 x 时，七、设 f ( x ) 2 0 ，当x 0或x 时， x 求（x ) 0 f ( t )dt 在( , ) 内的表达式 .
求定积分问题转化为求先求原函数，再求增量的问题.
例1
求
1
2
1 解当 x 0 时，的一个原函数是ln | x | , x 1 1 1 dx 2 x ln | x | 2 ln 1 ln 2 ln 2. 例 2 计算曲线 y sin x 在[0, ]上与 x 轴所围
2、 4、
1 2 1 2
dx 1 x
2
;
2
0
sin x dx .
四、求下列极限： 1、 lim
( e dt ) 2
t2 x 0 x 0
x

e 2 t dt
2
;
2、 lim
x 0
1 x2