证明微积分基本公式

定义（定积分）

设函数f (x )是定义在闭区间[a ，b ]上的连续函数，用n + 1个分点

a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n – 1 < x n = b

把闭区间[a ，b ]划分成n 个小区间

[x 0，x 1]，[x 1，x 2]，…，[x i – 1，x i ]，…，[x n – 1，x n ]

记各小区间[x i – 1，x i ]（i = 1，2，…，n ）的长度为Δx i = x i - x i – 1，在各小区间[x i – 1，x i ]内任取一点ξi ，取函数值f (ξi )与小区间长度Δx i 的乘积f (ξi )Δx i ，作和式

n n i i n i i i

x f x f x f x f x f Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(22111ξξξξξ+++++=∑=

称为函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分和。记各小区间的最大长度为d = max{Δx i }，如果对于区间

[a ，b ]任意的划分和点ξi 在[x i – 1，x i ]上的任意取法，当d → 0时，积分和的极限存在，则称此极限为函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，简称积分，记为

∑⎰=→=n

i i i d b

a x x f x x f 10Δ)(lim d )( 其中⎰为积分号，[a ，

b ]称为积分区间，f (x )称为被积函数，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限。如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分存在，则称f (x )在[a ，b ]上可积。

上述定义中的积分限要求a < b ，实际上这个限制可以解除，补充两条规定：

（1）当a = b 时，规定0d )(=⎰a

a x x f ； （2）当a >

b 时，规定⎰⎰-=a

b b a x x f x x f d )(d )(。 可以看出，这两条规定是合理的，其中第一条规定也可以根据第二条推出。

定理1（可积的必要条件）

如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的可积，则f (x )在[a ，b ]上有界。

定理2（可积的充分条件）

1．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的连续，则f (x )在[a ，b ]上可积。

2．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的单调，则f (x )在[a ，b ]上可积。

3．如果在闭区间[a ，b ]内除去有限个不连续点外，函数f (x )有界，则f (x )在[a ，b ]上可积。 引理（微分中值定理）

设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，在开区间(a ，b )内可导，则至少存在一点ξ∈(a ，b )，成立等式

f (b ) − f (a ) = f'(ξ)(b − a )

以上结论称为微分中值定理，等式称为微分中值公式。

设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，则可以证明f (x )在[a ，b ]上可积，于是存在新的函数F (x )，成立微分关系F'(x ) = f (x )或d F (x ) = f (x )d x ，则称F (x )为f (x )的一个原函数。试利用微分中值定理和定积分的定义证明微积分基本公式

)()()(d )(a F b F x F x x f b

a b

a -==⎰ 这个公式又称为牛顿-莱布尼茨公式。

证明：

因为f (x )在[a ，b ]上可积，f (x )的原函数F (x )存在，即F'(x ) = f (x )，又因为可导函数必定连续，所以F (x )在[a ，b ]内连续，因此F (x )在[a ，b ]内满足微分中值定理的条件。

对于定义中区间[a ，b ]任意的划分，在各小区间[x i – 1，x i ]（i = 1，2，…，n ）上，函数F (x )也满足微分中值定理的条件，于是必定存在ξi ∈[x i – 1，x i ]，成立等式

F (x i ) - F (x i – 1) = F'(ξi )(x i − x i – 1)

即

F (x i ) − F (x i − 1) = f (ξi )Δx i

对于每一个小区间[x i – 1，x i ]（i = 1，2，…，n ），以上等式都成立，将各个小区间内的上述等式左右两边分别相加，可以得到

F (x 1) − F (x 0) + F (x 2) − F (x 1) + … + F (x i ) − F (x i – 1) + … + F (x n – 1) − F (x n – 2) + F (x n ) − F (x n – 1) =

f (ξ1)Δx 1 + f (ξ2)Δx 2 + … + f (ξi )Δx i + … + f (ξn – 1)Δx n – 1 + f (ξn )Δx n

即

i n

i i n x f x F x F Δ)()()(10∑==-ξ

令d = max{Δx i } → 0，以上等式两边分别取极限

i n

i i d n d x f x F x F Δ)(lim )]()([lim 1000∑=→→=-ξ 等式的左边F (x n ) − F (x 0) = F (b ) − F (a )是常数，极限显然存在

)()()]()([lim 00

a F

b F x F x F n d -=-→ 等式的右边正是积分和的极限，因为f (x )在[a ，b ]上可积，所以此极限存在，于是根据定积分的定义，f (x )在[a ，b ]上的定积分存在，即

⎰∑==→b

a n i i i d x x f x x f d )(Δ)(lim 10 于是就得到

)()(d )(a F b F x x f b

a -=⎰

这就是微积分基本公式，表明了定积分与原函数之间的联系。

习惯上将F (b ) − F (a )简写成b

a x F )(，于是微积分基本公式可以写成 )()()(d )(a F

b F x F x x f b

a b

a -==⎰ 此外，利用f (x )的不定积分（C 为任意常数）

C x F x x f +=⎰)(d )(

微积分基本公式还可以表示为

()b a

b

a x x f x x f ⎰⎰=d )(d )( 此式表明了定积分与不定积分之间的联系。