2020届河北省衡中同卷新高考冲刺模拟考试(四)理科数学
2020届河北省衡水中学新高考冲刺模拟考试(一)理科数学
2020届河北省衡水中学新高考冲刺模拟考试（一)理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数22i+1iz=+，其中i是虚数单位，则复数z的模为（）A. B. C. D. 2 【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算将复数化简为a+bi的形式，然后利用复数模的公式计算即可．【详解】复数2z2i1i=++＝2i+()()()21i1i1i-+-＝2i+1﹣i＝1+i,则|z|故选C．【点睛】本题考查复数的乘除运算，复数的模的求法，属于基础题．2.设集合201x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，22{|log (23)}B x y x x ==--，则A B I =( )A. {}21x x -≤<- B. {}11x x -<≤C. {}21x x -≤<D. {}11x x -≤<【答案】A 【解析】 【分析】对集合,A B 分别进行不等式求解，并进行化简，再求交集，即可得答案. 【详解】因为2{|0}{|21}1x A x x x x +=≤=-≤<-， 集合22{|log (23)}{|3B x y x x x x ==--=>或1}x <-，所以{}21A B x x ⋂=-≤<-. 故选：A.【点睛】本题考查不等式的求解及集合的交运算，考查基本运算求解能力. 3.已知等比数列{}n a 满足118a =，243441a a a =-，则2a =( ) A. 14±B. 14C. 116±D.116【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式，将等式243441a a a =-化成关于1,a q 的方程，进而求得2a 的值.【详解】因为243441a a a =-，所以2424211114411162a q a q q q =-⇒=-， 解得：2q =±，所以2111(2)84a a q =⋅=⋅±=±. 故选：A.【点睛】本题考查等比数列的通项公式应用，考查基本运算求解能力.4.若,x y满足111yx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则2x y+的最大值为（）A. 2B. 5C. 6D. 7 【答案】B【解析】画出x，y满足约束条件111yx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，的平面区域，如图示：由11yy x=⎧⎨=-⎩，解得()2,1A，由2z x y=+可知直线过()2,1A时，z最大，得2215z=⨯+=，故选B.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.53π B. 7πC.323πD. 13π【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图的数据，求出球的体积后再减去圆锥的体积，即可得答案. 【详解】如图所示，连接AB 交CD 于D ，设球的半径为R ， 因为2CD AD BD =⋅，所以2(3)31BD BD =⋅⇒=，所以31222AD BD R ++===， 所以34123233333V πππ=⋅⋅-⋅⋅⋅=.故选：C.【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、组合体体积计算，考查空间想象能力和运算求解能力. 6.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目： “一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”下图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行下图的程序框图，则输出的n = ( )A. 25B. 45C. 60D. 75【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图，解方程1003(100)3nn =+-得75n =，即可得到答案. 【详解】根据程序框图，当1003(100)3nn =+-时，解得75n =，此时，100S =终止循环. 故选：D.【点睛】本题考查程序框图语言和数学文化的交会，考查阅读理解能力，求解时注意将问题转化为解方程问题.7.若a 、b 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则a α⊥的一个充分条件是（ ） A. //a β且αβ⊥ B. a β⊂且αβ⊥C. a b ⊥且//b αD. a β⊥且//αβ【答案】D 【解析】考点：平面的基本性质及推论；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：若a ⊥β且α∥β，则有a ⊥α，反之不成立，于是，“a ⊥β且α∥β”是“a ⊥α”成立的充分不必要条件． 解答：解：若a ⊥β且α∥β，则有a ⊥α， 反之不成立，于是，“a ⊥β且α∥β”是“a ⊥α”成立的充分不必要条件， 故选D ．点评：本题考查平面的基本性质和推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 8.若实数x ，y ，z 满足23log log 2z x y ==，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A. x <y <z B. x <z <y C. z <x <y D. z <y <x【答案】C 【解析】 【分析】令23log log 2(0)z x y k k ===>，再利用对数函数与指数函数的图象，可得答案.【详解】令23log log 2(0)z x y k k ===>，则2,3k kx y ==，因为0k >，由2,3xxy y ==的图象可得：32k k >，所以y x >；因为2log y x =与2xy =互为反函数，图象关于y x =对称，因为2log 2(0)z x k k ==>，所以z x <， 综上所述：z x y <<. 故选：C.【点睛】本题考查利用函数的图象研究数的大小，考查数形结合思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意借助函数的图象进行研究.9.已知点(2,1)A -和点B 关于直线:10l x y +-=对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C ，若ABC ∆的面积为2，则k 的值为( ) A. 3或13B. 0C.13D. 3【答案】B 【解析】 【分析】先求出点B 的坐标，再利用ABC ∆的面积为2，得到关于k 的方程，从而求得答案.【详解】设点(,)B x y ，则11,22110,22y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+-=⎪⎩解得：0,3x y ==，则(0,3)B ，设直线m 的方程为：1(2)y k x -=+与方程:10l x y +-=联立， 解得：231,11k k x y k k +=-=++，则231(,)11k k C k k +-++， 因为直线AB 的方程为：3y x =+，且||AB =点C 到直线AB的距离231|3|k k d +--+所以12|1||1|02k k k ⋅=⇒-=+⇒=. 故选：B.【点睛】本题考查点关于直线对称、点到直线距离、三角形面积公式，考查数形结合思想的运用，考查运算求解能力.10.已知斜率为k (0)k >的直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点，又直线l 与圆222304x y py p +--=交于C ，D 两点．若||3||AB CD =，则k 的值为( )A.B. C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】利用弦长公式分别计算||AB 、||CD 关于k 的表达式，再利用||3||AB CD =求得k 的值. 【详解】设直线l 的方程为2p y kx =+代入抛物线2:2(0)C x py p =>消去x ，整理得：222(2)04p y p pk y -++=，则2122y y p pk +=+，所以2212||222AB y y p p pk p p pk =++=++=+，圆22222230()42px y py p x y p +--=⇒+-=， 圆心为(0,)2p，半径为p ， 因为直线过圆心，所以||2CD p =，因为||3||AB CD =，所以2226p pk p k +=⇒=故选：A.【点睛】本题考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、弦长计算，考查转化与化归思想的应用，考查运算求解能力，求解时注意弦CD 的特殊性，即可简化运算.11.已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π，(,0)M m ,(,0)N n 分别是函数()f x 的图像与x 轴相邻的两个交点，点3,()2P a m a n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭在函数()f x 的图像上，且满足212MN PN π⋅=u u u u r u u u r ，则A 的值为( ) A. 3 B. 2C.D.【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可令0ϕ=，点(,0)M m 为坐标原点，再利用212MN PN π⋅=u u u u r u u u r 得到点P 的坐标，代入函数解析式，并求得A 的值.【详解】因为函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π， 所以22ππωω=⇒=，令0ϕ=得()sin 2f x A x =，令0m =，则(0,0)M ，因为212MN PN π⋅=u u u u r u u u r ，所以PN uuu r 在MN u u u u r 方向的投影为2126||2MN PN MN πππ⋅==u u u u r u u u ru u u ur ，所以263a πππ=-=，所以3,32P π⎛⎫⎪⎝⎭，所以3sin(2)32A A π⋅=⇒=故选：C.【点睛】本题考查平面向量数量积与三角函数图象的交会、三角函数的周期及对称性，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解过程利用特值法，令0ϕ=，0m =，能使运算过程更简便. 12.已知函数2()ln cos ()2a f x x x x a R =+-∈，以下四个命题： ①当a e ≤-时，函数()f x 存在零点； ②当0a <时，函数()f x 没有极值点；③当0a =时，函数()f x 在(0,)π上单调递增； ④当2cos1a ≥时，()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立． 其中的真命题为( ) A. ②③ B. ①④C. ①②D. ③④【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导得导数大于0在(0,)π恒成立，可得③正确，从而排除B ，C ，再根据导数方程，可得当0a <时，方程有解，故排除A ，从而得到正确选项.【详解】因为'1(n )si x f x x x a =++， 对③，当0a =时，'1(n )si x f xx =+，因为(0,)x π∈时，'()0f x >恒成立，所以函数()f x 在(0,)π上单调递增，故③正确，故排除B ，C ； 对②，因为'11sin s n (i )ax x ax x f x x x =++⇔+=-，令1y ax x =+，因为0a <，所以函数1y ax x=+在(0,)+∞单调递减，且0x →时，y →+∞；x →+∞时，y →-∞；又因为sin y x =在存在(0,)+∞是连续的函数，且[1,1]y ∈-，所以两个函数一定有交点，所以存在0(0,)x ∈+∞，使得0001sin ax x x +=-，即'0()0f x =有解，且在0x 的两侧导数值异号，所以0a <时，函数()f x 没有极值点是错误，故排除A.故选：D【点睛】本题查利用导数研究函数的性质，考查数形结合思想、函数与方程思想，求解时要注意利用排除法进行求解，可使问题的求解更高效.第II 卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答． 第22、23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知向量(1,2)=-r a ，(,1)b m m =-r ，若//a b r r ，则a b ⋅r r=_______．【答案】5- 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标运算求得m 的值，再利用向量的坐标求数量积.【详解】因为//a b r r，所以1(1)21m m m ⋅-=-⋅⇒=-，所以(1,2)=-r a ，(1,2)b =-r，所以145a b ⋅=--=-r r .故答案为：5-.【点睛】本题考查向量平行与数量积的坐标运算，考查基本概念的理解，属于基础题.14.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-，且2,[0,2),()36,[2,4),2x a x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-+∈⎪⎩则()()1115f f +=_______．【答案】12【解析】 【分析】利用()f x 定义在R 上的奇函数，得a 的值，再由(4)(4)f x f x +=-得到函数的周期，从而利用函数解析式求()11f ，()15f 的值，即可得到答案.【详解】因为()f x 定义在R 上的奇函数，所以(0)101f a a =+=⇒=-， 所以21,[0,2),()36,[2,4),2x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈⎪⎩，因为(4)(4)f x f x +=-，所以()(8)f x f x =+，所以()3311(3)3622f f ==-⋅+=，(15)(1)(1)1f f f =-=-=-， 所以()()1115f f +12=. 故答案为：12. 【点睛】本题考查奇函数的性质、函数的周期性及函数值的计算，考查函数与方程思想和运算求解能力，求解时注意(0)0f =的运用.15.若sin()2cos )4αααπ+=+，则sin 2α=_______． 【答案】35-【解析】【分析】 由两角和的正弦展开并对等式进行化简得tan α的值，再根据同角三角函数的基本关系，求得sin ,cos αα的值，进而利用倍角公式求得sin 2α的值.【详解】因为sin()2cos )4αααπ+=+，αααα+，整理得：tan 3α=-，所以sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以3sin 22sin cos 5ααα=⋅=-. 故答案为：35-【点睛】本题考查两角和正弦公式、同角三角函数基本关系、倍角公式，考查三角恒等变形能力和运算求解能力.16.在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的距离之差为2．设11C D 的中点为E ，则PE 的最小值为_______．【解析】【分析】取CD 的中点M ，连接,EM PM ，建立平面直角坐标系，求出点P 在正方形ABCD 所在平面内的轨迹方程，再将问题转化成求PM 的最小值.【详解】因为正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的距离之差为2，则点P 在平面ABCD 内的轨迹为双曲线，其方程为2213y x -=，则03≤≤y ， 取CD 的中点M ，连接,EM PM ，则222216PE PM ME PM =+=+，当PM 最小时，则PE 最小.设(,)P x y ，(0,4)M ，则22224(4)8173PM x y y y =+-=-+，03≤≤y ， 对称轴3y =，所以函数在03≤≤y 单调递减，所以当3y =时，2min ()1224175PM =-+=，所以PE .21【点睛】本题以立体几何为问题背景与解析几何中的双曲线进行知识交会，考查距离的最值问题，二次函数的性质，求解时注意利用坐标法思想进行求解，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查运算求解能力.三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.已知各项均为正数的数列{}n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且2112n n n S S a +++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）12n a n =；（2）21n n + 【解析】【分析】 （1）利用临差法得到11(2)2n n a a n +-=≥，从而证明数列{}n a 为等差数列，进而求得通项公式； （2）将通项进行改写，再利用裂项相消法进行求和.详解】（1）由2112122(2)n n n nn n S S a S S a n ++-⎧+=⎨+=≥⎩两式相减，得： 1112()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥，又Q 0n a >，∴11(2)2n n a a n +-=≥， 当1n =时，22122S S a +=且112a =， 故222210a a --=，得21a =（2102a =-<舍去）， ∴2111122a a -=-=， ∴数列{}n a 为等差数列，公差为12， 所以12n a n = ． （2）由（1）及题意可得1112()11(1)2n b n n n n ==-++⋅， 所以123n n T b b b b =++++L11111112[(1)()()()223341n n =-+-+-++-+L ] 122(1)11n n n =-=++． 【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式、裂项相消法求和，考查数列中的基本量法，考查运算求解能力.18.如图，矩形ABCD ⊥平面EBC ，1AB =，2π3EBC ?，且M ，N 分别为AB ，CE 的中点．（1）证明：//MN 平面AED ；（2）若2BC BE ==，求二面角E AD B --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）3π 【解析】【分析】（1）取DE 中点F ，分别连结AF ,FN ，证明//AF MN ，再利用线面平行的判定定理证明线面平行； （2）以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，得则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D ，(3,1,0)E -，求出1(1,0,0)n =u u r 为平面ABCD 的一个法向量，2(1,0,3)=u u rn 为平面AED 的法向量，从而求得二面角E AD B --的大小．【详解】（1）证明：取DE 中点F ，分别连结AF ,FN又N 为BC 中点， 所以1//,2FN CD FN CD =,因为矩形ABCD 中，M 为AB 的中点，所以1//,2AM CD AM CD =所以//,AM FN AM FN =，所以四边形AMNF 为平行四边形，所以//AF MN ，又因为AF ⊂平面AED ,MN ⊄平面AED ，所以//MN 平面AED ．（2）因为矩形ABCD ⊥平面EBC ，矩形ABCD I 平面EBC BC =， AB BC ⊥所以AB ⊥平面EBC ．如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D ，(3,1,0)E -，因为x 轴⊥平面ABCD ，所以1(1,0,0)n =u u r为平面ABCD 的一个法向量，设2(,,)n x y z =u u r 为平面AED 的法向量，因为(0,2,0)AD =u u u r ，(3,1,1)AE =--u u u v， 所以2200AD n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u u u v ，得2030y x y z =⎧⎪⎨--=⎪⎩， 故可取2(1,0,3)=u u r n ，则1212121cos ,2⋅<>==⋅u u r u u r u u r u u r u u r u u r n n n n n n ， 由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角E AD B --的大小为3π．【点睛】本题考查线面平行判定定理的运用、向量法求二面角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意找到三条两两互相垂直的直线，才能建立空间直角坐标系. 19.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 22cos b c a C -=⋅，22c = （1）求A ； （2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围． 【答案】（1）4A π=；（2）(5,10) 【解析】 【分析】 （122cos b c a C -=⋅中的边化成角得到2cos A =A 的值； （2）由（1）知4A π=，可得C 的范围，再将b 表示成关于tan C 的函数，从而求得b 的取值范围.【详解】（1cos c C -=⋅sin cos B C A C -=， 又sin sin[()]sin()B A C A C =π-+=+，cos cos sin )sin cos A C A C C A C +-=，sin sin 0A C C -=，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以cos 2A =0A π<<， 所以4A π=.（2）由（1）知4A π=， 根据题意得0242C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，， 解得42C ππ<<. 在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c b C B =，所以)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b C C Cπ++===+， 因为()42C ππ∈，，所以tan (1,)C ∈+∞， 所以(24)b ∈，. 因为D 为BC 中点，所以1()2AD AC AB =+u u u r u u u r u u u r ， 所以221()4AD AC AB =+u u u r u u u r u u u r 21(48)4b b =++21(2)14b =++， 因为(24)b ∈，，所以AD的取值范围为. 【点睛】本题考查正弦定理的应用、利用向量解三角形及二次函数知识应用，考查数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想的综合运用，求解时要有变量思想，即将b 表示成关于角C 的函数.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过1F 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，2ABF ∆的周长为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）问：2ABF ∆的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）916π 【解析】【分析】（1）由离心率得2a c =，再利用2ABF ∆的周长为8得2a =，从而得到,,a b c 的值，进而得到椭圆的方程； （2）将2ABF ∆的内切圆面积的最大值转化为求2ABF S ∆的值最大，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-，从而将面积表示成关于m 的函数，再利用换元法研究函数的最值.【详解】（1）Q 离心率为12c e a ==，∴2a c =， Q 2ABF ∆的周长为8，∴48a =，得2a =，∴1c =，2223b a c =-=，因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）设2ABF ∆的内切圆半径为r ，∴2221(||||||)2ABF S AF AB BF r ∆=++⋅， 又Q 22||||||8AF AB BF ++=，∴24ABF S r ∆=，要使2ABF ∆的内切圆面积最大，只需2ABF S ∆的值最大．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-， 联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得：22(34)690m y my +--=， 易得>0∆，且122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+，所以212121||||2ABF S F F y y ∆=⋅-==，设1t =≥，则2212121313ABF t S t t t∆==++， 设13(1)y t t t =+≥，2130y t '=->，所以13y t t=+在[1,)+∞上单调递增， 所以当1t =，即0m =时，2ABF S ∆的最大值为3， 此时34r =，所以2ABF ∆的内切圆面积最大为916π． 【点睛】本题考查椭圆的离心率、方程的求解、焦点三角形的性质，考查转化与化归思想、函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的灵活运用.21.已知函数21()e ln (,)ax f x x b x ax a b R +=⋅--∈．（1）若0b =，曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线2y x =平行，求a 的值；（2）若2b =，且函数()f x 的值域为[)2,+∞，求a 的最小值．【答案】（1）2a =-；（2）【解析】【分析】（1）对函数进行求导得1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，再利用导数的几何意义得(1)2f '=，从而得到关于a 的方程，解方程即可得到答案；（2）当2b =时，21()2ln ax f x x e x ax +=--，将函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+，则(1)2g =，从而将问题转化为12ln x a x +=-有解，再构造函数12ln ()x h x x +=-，利用导数研究函数的值域，从而得到a 的取值范围.【详解】（1）当0b =时，21()ax f x x e ax +=-，1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，由1(1)(2)2a f ea a +'=+-=， 得1(2)(2)0a e a a ++-+=，即1(1)(2)0a e a +-+=，解得1a =-或2a =-，当1a =-时，0(1)12f e =+=，此时直线2y x =恰为切线，故舍去，所以2a =-.（2）当2b =时，21()2ln ax f x x e x ax +=--，设21ax t x e +=，设21ax t x e +=，则ln 2ln 1t x ax =++，故函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+. 由11()1t g t t t-'=-=,可得 ()g t 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，所以()g t 的最小值为(1)1ln112g =-+=，此时1t =，函数的()f x 的值域为[2,)+∞问题转化为当1t =时，ln 2ln 1t x ax =++有解，即ln12ln 10x ax =++=，得12ln x a x+=-. 设12ln ()x h x x +=-，则22ln 1()x h x x -'=，故()h x 的单调递减区间为，单调递增区间为)+∞，所以()h x 的最小值为h = 故a 的最小值为【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、求参数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对问题进行多次转化，同时注意构造函数法的应用.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．22.在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2πθαα=<<，直线l 交圆C 于,A B 两点，P 为,A B 中点.（1）求点P 轨迹的极坐标方程；（2）若||||AB OP ⋅=，求α的值.【答案】(1) sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．(2) 12πα=或512πα=．【解析】【分析】(1)联立极坐标方程,利用P 为,A B 中点与韦达定理分析求解即可.(2)根据极经的几何意义分别表示||,||AB OP ,再利用韦达定理求关于α的方程求解即可.【详解】解法一：（1）圆C 的极坐标方程为22(sin cos )10ρρθθ-++= 将θα=代入22(sin cos )10ρρθθ-++=得：22(sin cos )10ρραα-++=(0)2πα<<，24(sin cos )40αα∆=+->成立，设点,,A B P 对应的极径分别为120,,ρρρ，所以12122(sin cos ),1,ρρααρρ+=+⎧⎨⋅=⎩， 所以120sin cos 2ρρραα+==+，所以点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．（2）由（1）得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅|sin cos |αα+|sin cos |αα=+=所以4sin 2(1sin 2)3αα+=，(2sin 21)(2sin 23)0αα-+=， 又(0,)2πα∈，所以26πα=或526πα=， 即12πα=或512πα=解法二：（1）因为P 为AB 中点，所以CP AB ⊥于P ，故P 的轨迹是以OC 为直径的圆（在C e 的内部）， 其所在圆方程为：22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即220x y x y +--=.从而点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．（2）由（1）得，1200|||||||||AB OP ρρρρ⋅=-⋅|sin cos |αα+|sin cos |αα=+=令sin cos t αα=+，因为(0,)2πα∈，所以t ∈， 则21sin 2t α-=，所以t 224(1)3t t -⋅=，即424430t t --=，解得232t =（212t =-舍去）， 所以21sin 212t α=-=， 又(0,)2πα∈，2(0,)απ∈， 所以26πα=或526πα=， 即12πα=或512πα=． 【点睛】本题主要考查了极坐标中极经的几何意义,同时根据联立方程的韦达定理方法表达出题中所给的长度,再化简求解.属于中等题型.23.已知11212x x m++-?在R 上恒成立. （1）求m 的最大值M ；（2）若,a b 均为正数，且11a M b +=-,求2a b -的取值范围.【答案】(1)2(2) (,)-∞-⋃+∞．【解析】【分析】(1)分1x ≤-,112x -<<和12x ≥三种情况去绝对值,将绝对值函数写成分段函数.再求最小值即可求m 的最大值M .(2)由(1)得2M =,再利用11a M b +=-将a 转换为关于b 的表达式,再利用基本不等式求解即可.【详解】解：（1）构造()|1||21|f x x x =++-， Q 1()|1||21|2f x x x m =+++≥-在R 上恒成立， ∴min 1()2f x m ≥-， 又3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩， ∴min 3()2f x =，∴2m ≤，∴m 的最大值2M =．（2）由（1）得2M =，故121a b +=-．0,0a b >>Q ，1232011b a b b -∴=-=>--，32b ∴>或01b <<． 故112222(1)11a b b b b b -=--=-+--．当01b <<时，011b <-<，2a b -? 当且仅当12(1)1b b -=-，即1b =-时取“=”； 当32b >时，112b ->，122(1)1a b b b 轾犏-=--+?-犏-臌 当且仅当12(1)1b b -=-，即12b =+时取“=”． 所以2a b -的取值范围是(,)-∞-⋃+∞．【点睛】本题主要考查了绝对值函数的求解以及基本不等式的用法,属于中等题型.。
2020届河北省衡中同卷新高考原创冲刺模拟试卷(二)理科数学
2020届河北省衡中同卷新高考原创冲刺模拟试卷（二）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
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7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷：选择题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-=122|x x x A ，{}821|<<=x x B ，则B A ⋂等于( ) A.()3,2 B. ()3.3- C.()3,0 D.()3,12.已知i 为虚数单位,复数z 满足()i i z +=-11,则z 的共轭复数是( )A.1B.-1C.iD.-i3.已知双曲线 C 的渐近线方程为2y x =±,且经过点()2,2,则 C 的方程为( )A.221312x y -= B.221123x y -= C.221312y x -= D.221123y x -=4.已知n m ,为异面直线，l n m ，直线平面平面βα⊥⊥,满足,,,,βα⊄⊄⊥⊥l l n l m l 则（ ）A.αβα////l 且B.l 相交，且交线垂直于与βαC.ββα⊥⊥l 且D.l 相交，且交线平行于与βα5.在812x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项展开式中3x 的系数为m ，则()12x mx dx +=⎰A.176 B. 206 C. 236 D. 2666.已知某几何体的三视图如右图所示，三个视图都为直角三角形，则该几何体的外接球的体积为（ ）A.7.已知点),(y x 是区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+1124x y x y x 内任意一点，且y ax z +=仅在)1,3(处取得最大值，则a 的范围为（ ）A.)1,(--∞B.),1(+∞C.[)+∞,1D.),1()21,(+∞--∞8.甲、乙、丙三人参加某公司的面试,最终只有一人能够被该公司录用,得到面试结果以后,甲说:丙被录用了;乙说:甲被录用了;丙说:我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误,则下列结论正确的是( ) A.丙被录用了B.乙被录用了C.甲被录用了D.无法确定谁被录9.已知函数)61351sin()(π+=x x f ，把函数)(x f y =的图像向右平移310π个单位长度后得函数)(x g y =的图像，则下面结论正确的是（ ）A.函数)(x g y =的最小正周期为π5B.函数)(x g y =的图像关于直线4π=x 对称C.函数)(x g y =在区间[]ππ2，上是增函数D.函数)(x g y =是奇函数A1F11题2 FBxyA.4B.3C.2D.1的左右两支分别交于点A 、B .若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）12.已知函数()()1ln ,0,0x x x f x x x e--<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，若方程()()()210f x mf x m m +-+=⎡⎤⎣⎦有四个不等的实数根，则m 的取值范围是( )A. 415m -≤<B. 1m ≤-或1m >C. 1m =-或1m >D. 1m =-或01m <<二、填空题（每题5分，满分20分）14.已知函数3()ln f x ax x =+的图象在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，则a 的值等于 ．等于______． ___)20204039()20204038()20202()20201(,23)(.161123=++⋯⋯++-+-=--f f f f e e x x x f x x 则若函数三、解答题17. (本小题满分12分)已知数列}{nb 的前n 项和为nS，2n n S b +=，等差数列}{na 满足123b a=，157b a +=（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）证明：122313n n a b a b a b ++++<.18.(本小题满分12分)某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：（Ⅰ）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）（Ⅱ）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X 表示抽取的是精品果的数量，求X 的分布列及数学期望()E X ．19.(本小题满分12分)在四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD 是直角梯形，,4,,//,=⊥⊥AB ABCD PC CD AB AD AB 底面的中点是PB E CD PC CD AD ,,2>==.（Ⅰ）求证：PBC EAC 平面平面⊥;（Ⅱ）若PB 与平面ACE 所成角的正弦值为322，求二面角E AC P --的余弦值.20.(本小题满分12分) 已知圆()1611:22=-+y x F ，动圆M 与圆F 外切，且与直线43-=y 相切，该动圆圆心M 的轨迹为曲线C（Ⅰ）求曲线C 的方程（Ⅱ）过点F 的直线与抛物线相交于B A ,两点，抛物线在点A 处的切线与1-=y 交于点N ，求ABN ∆面积的最小值21.(本小题满分12分)已知函数2()(3)(2)2xaf x x e x =-++ （Ⅰ）求1a =时()f x 的单调区间;（Ⅱ）若存在0(0,2)x ∈，使得对任意的[]0,2x ∈，都有0()()f x f x ≥，求a 的取值范围，并证明:20()1e f x -≤≤-请考生在第（22），（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上22. (本小题满分10分)在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为是参数）ααα(sin 22cos 2⎩⎨⎧+==y x ，M 为1C 上的动点，P 点满足OM OP 2=，点P 的轨迹为曲线2C . （Ⅰ）求2C 的普通方程；（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB .23.(本小题满分10分)已知函数m x x x f +--+=22)( ).(R m ∈（Ⅰ）若1,()0m f x =≥求不等式的解集；（Ⅱ）若函数x x f x g -=)()(有三个零点，求实数m 的取值范围．理科数学答案选择题：ADADC ABCCC BD填空题：13. 2 14.31 15.512-16.8078-17.（Ⅰ）1n a n =+,112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（Ⅰ）2n n S b += ∴当1n =时，1112b S b ==- 11b ∴=当2n ≥时，1122n n n n n b S S b b --=-=--+，整理得：112n n b b -=∴数列{}n b 是以1为首项，12为公比的等比数列 112n n b -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭设等差数列{}n a 的公差为d123b a =，157b a += 11346a d a d +=⎧∴⎨+=⎩，解得：121a d =⎧⎨=⎩()()112111n a a n d n n ∴=+-=+-⨯=+（Ⅱ）证明：设()212231111231222nn n n T a b a b a b n -⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()23111112312222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减可得：()()23111111111111421111122222212n n n n n T n n ++-⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-+⋅=-+⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-13322n n ++=- 332n n n T +=- 即12231332n n n n a b a b a b -+++⋅⋅⋅+=- 302n n +> 122313n n a b a b a b -∴++⋅⋅⋅+< 18.（1）设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A ，则201()1005P A ==， 现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X ，则1~(4,)5X B ，所以恰好抽到2个礼品果的概率为22244196(2)C ()()55625P X ===， （2）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个，现从中抽取3个，则精品果的数量X 服从超几何分布，所有可能的取值为0,1,2,3，则36310C 1(0)C 6P X ===；2164310C C 1(1)C 2P X ===； 1264310C C 3(2)C 10P X ===；34310C 1(3)C 30P X ===，所以X 的分布列如下：11316()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=20.（1）抛物线的方程为.（2）依题意可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为：，联立消去可得，.设，则.所以.由，得，所以过点的切线方程为，又，所以切线方程可化为.令，可得, 所以点,所以点到直线的距离，所以，当时，等号成立所以面积的最小值为4.21.（1）当1a =时，()()()21322xf x x e x =-++， ()()()'22x f x x e x =-++.()'f x 在R 上为增函数.又因为()'00f =，所以当0x <时()'0f x <；当0x >时()'0f x >， 故()f x 在(),0-∞为减函数，()0,∞+为增函数.(2) ()()()()()2'2222x xx e f x x e a x x a x ⎡⎤-=-++=++⎢⎥+⎣⎦，因为()()0f x f x ≥对任意的()0,2x ∈恒成立，所以()0f x 为()f x 在()0,2的极小值点，故()0'0f x =①.设()()22x x e h x a x -=++，则当()0,2x ∈ 时，()()22'02xx e h x x =>+，所以()h x 在()0,2上为增函数，而()01h a =-，()2h a =.由①可知()()000,0,2h x x =∈，从而100a a -<⎧⎨>⎩，故01a <<.又由()()0000202x x e h x a x -=+=+，即()00022x x e a x -=-+，所以()()()()00200000213222x x x e f x x e x x -=--+⨯+()02001222x e x x =--+.令()()21222t F t e t t =--+，其中()0,2t ∈，则()21'02t F t t e =-<，()F t 为()0,2上的减函数，故()()()20F F t F <<，而()()201,2F F e =-=-，所以()201e f x -≤≤-22.(Ⅰ)设P(x ，y)，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2. 由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α，即 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α ，消去参数α得x 2＋(y －4)2＝16, 即C 2的普通方程为x 2＋(y －4)2＝16.(Ⅱ)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3， 射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3. 所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2 3.23.解：（Ⅰ）321,()21223521()0,42152x m f x x x x f x x x x -<-⎧⎪==+-≤≤⎨⎪>⎩>∴≥-⎧⎫∴≥-⎨⎬⎩⎭当时分分不等式的解集为分（Ⅱ）()(),:42()222742().42,221042g x f x x m x f x x mx y x m x y f x y x m m m =--<-⎧⎪=+-≤≤=⎨⎪+>⎩==-<-⎧∴∴-<<⎨+>⎩若函数有三个零点只须与有三个交点即可分只须的两个分段点位于的两侧即可分。
2020届河北省衡中同卷高三第四次联考数学(理)
2020届河北省衡中同卷高三第四次联考理科数学试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
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6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{31}A x x =-<≤，集合{B x y ==，则A B =A.[B.(C.[-D.(-2.已知命题P ：,(0,1),2x y x y ∀∈+<，则命题P 的否定为A.,(0,1),2x y x y ∀∈+≥B.,(0,1),2x y x y ∀∉+≥C.0000,(0,1),2x y x y ∃∉+≥D.0000,(0,1),2x y x y ∃∈+≥3.已知实数x ，y 满足2210y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≤⎩，则3x ＋2y 的最大值为A.7B.5C.4D.924.某商场开展转转盘抽奖活动，每抽奖一次转动一次转盘(转盘如图)，经测量可知一等奖，二等奖和三等奖所在扇形的圆心角分别为20°，50°和60°，则抽奖一次中奖的概率为A.1336B.1736C.1936D.595.已知P 为圆(x ＋1)2＋y 2＝1上任一点，A ，R 为直线3x ＋4y －7＝0上的两个动点，且3AB =，则△PAB 面积的最大值为A.9B.92C.3D.326.元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹一七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米最为A.1升B.32升C.23升D.43升 7.如图在梯形ABCD 中，BC ＝2AD ，DE ＝EC ，设,BA a BC b ==，则BE =A.1124a b +B.1536a b +C.2233a b +D.1324a b + 8.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为A.3B.2020C.3030D.10109.25210()(21)x x x x +-+的展开式中，含x 7项的系数为A. 100B. 300C. 500D. 11010.已知函数()sin 0)f x x x ωωω=>，在[0，2π]上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是 A.1014(,)33 B.1014[,)33 C.14[4,]3 D.14[4,)311.如图，四棱锥P －ABCD 中，底面为直角梯形，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，23AB CD =，E 为PC 上靠近点C 的三等分点，则三棱锥B －CDE 与四棱锥P 一ABCD 的体积比为A.19B.15C.16D.1312.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，F 1，F 2为其左右焦点，线段F 2A 垂直直线b y x a=，垂足为点A ，与双曲线交于点B ，若2F B BA =，则该双曲线的离心率为B.2C.3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届河北省衡水中学高三上学期四调考试数学(理)试题(解析版)
2020届河北省衡水中学高三上学期四调考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A B A =I ，则实数a的取值范围为（ ） A ．(),0-∞B ．(],0-∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】A【解析】分别求出集合A 集合B 范围，根据A B A =I 得到A 是B 子集，根据范围大小得到答案.【详解】(){}|1001A x x x x =-≤⇒≤≤ (){}|ln B x y x a x a ==-⇒>A B A A B ⋂=⇒⊆所以0a <故答案选A【点睛】本题考查了集合的包含关系求取值范围，属于简单题.2．已知AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，4AB =，则AB 中点C 的横坐标是 ( )A ．2B ．32C ．12D ．52【答案】B【解析】先设A B ，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标.【详解】设()()1122A ,B ,x y x y ，，C 的横坐标为0x ，则1202x x x +=， 因为AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，所以121214AB x x p x x =++=++=，所以123x x +=，故120322x x x +==. 故选B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.3．如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧»BC的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．3 B ．5 C ．30 D ．6 【答案】D【解析】取BC 的中点H ，连接,,?EH AH ED ，则异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，再利用余弦定理求cos EAD ∠得解.【详解】取BC 的中点H ，连接,,90,EH AH EHA ∠=o设2,AB =则1,5,BH HE AH ===所以6,AE =连接,6,ED ED =因为//,BC AD所以异面直线AE 与BC 所成角即为,EAD ∠在EAD V 中6cos ,226EAD ∠==⨯⨯ 故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4．已知α、β都为锐角，且217sin α=、2114cos β=，则α﹣β＝（ ）A ．3π-B ．3πC ．6π-D ．6π【答案】C【解析】由同角三角函数的关系以及两角和与差的公式即可求解.【详解】因为α、β都为锐角，且21sin α=、21cos β=，所以27cos 7α=，57sin 14β= ，由()21212757491sin sin cos cos sin 982αβαβαβ-=-=⋅-⋅=-=-， 且α、β都为锐角， 所以6παβ-=-故选：C【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和与差的正弦公式，属于基础题.5．设，.若对任意实数x 都有，则满足条件的有序实数对（a,b ）的对数为（ ）.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】试题分析：，，又，，注意到，只有这两组．故选B ．【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.6．已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为（ ）A ．32B ．52C ．72D ．92【答案】B【解析】设()00,P x y ，因为=OP OF 再结合双曲线方程可解出0y ，再利用三角形面积公式可求出结果.【详解】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又453OP OF ==+=，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =， 即053y =， 0115532232OPF S OF y ∆∴==⨯⨯=g ， 故选B ．【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅。
2020届河北省衡中同卷新高考预测模拟考试(一)理科数学
2020届河北省衡中同卷新高考预测模拟考试（一)理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若1z i =+，则z zi⋅=（ ） A. 2i B. 2i -C. 2D. 2-【答案】B 【解析】 ∵1z i =+ ∴1z i =- ∴(1)(1)22z z i i i i i i⋅+-===- 故选B2.已知集合{}230,{|17},M x x x N x x =->=≤≤，则()R C M N =I （ ）A. {}37x x <≤ B. {}37x x ≤≤C. {}13x x ≤≤D. {}13x x ≤<【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算即可求解.【详解】由{}{2303M x x x x x =->=>或}0x <，所以{}03R C M x x =≤≤，又{|17}N x x =≤≤，(){}13R C M N x x ∴⋂=≤≤，故选：C【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.3.中国古代用算筹来进行记数,算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示),表示一个多位数时,像阿拉伯记数-样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万...用纵式表示,十位、千位、十万位.--.用横式表示,例如6613用算筹表示就是，则8335可用算筹表示为( )A. B. C.D.【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义直接判断即可.【详解】由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则8335可用算筹表示为.故选：B【点睛】本题考查了合情推理与演绎推理，属于基础题.4.在1,2,3,4,5,6,7这组数据中，随机取出五个不同的数,则数字3是取出的五个不同数的中位数的所有取法为（ ） A. 24种 B. 18种 C. 12种 D. 6种【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由中位数的定义分析可得要使数字3是取出的五个不同数的中位数，则取出的数字中必须有4，5、6、7中的两个，必须有1，2这2个数字，由组合数公式计算可得答案． 【详解】由题得必须有1，2这2个数字，4，5、6、7中必须有两个，所以所有取法为22246C C =.故选：D【点睛】本题主要考查中位数的定义，考查排列组合的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5.若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A.6425B. 4825C. 1D.1625【答案】A 【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． 【此处有视频，请去附件查看】6.()26112x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 的项的系数是（） A. -40 B. -25C. 25D. 55【答案】B 【解析】 【分析】写出二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的通项，然后观察含2x 的项有两种构成，一种是()212x +中的1与61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的二次项相乘得到，一种是()212x +中的22x 与61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的常数项相乘得到，将系数相加即可得出结果．【详解】二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的通项6621661C (1)C kk k k k kk T x xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，含2x 的项的系数为223366(1)2(1)25C C -+⨯-=-，故选B .【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 7.已知,m n 是两条不同的直线,αβ是两个不同的平面,则//m n 的充分条件是（ ） A. ,m n 与平面α所成角相等 B. //,//m n αα C. //,,m m n αβαβ⊂⋂= D. //,m n ααβ=I【答案】C 【解析】 【分析】根据空间线面位置关系的判定或定义进行判断即可.【详解】对于A ，若,m n 与平面α所成角相等，则,m n 可能相交或者异面，故A 错； 对于B ，若//,//m n αα，则,m n 可能相交或者异面，故B 错；对于C ，若//,,m m n αβαβ⊂⋂=，由线面平行的性质定理可得//m n ，故C 正确； 对于D ，若//,m n ααβ=I ，则,m n 可能异面，故D 错；故选：C【点睛】本题主要考查了空间中线面的位置关系，需掌握判断线面位置关系的定理和定义，考查了空间想象能力，属于基础题8.已知AB 是圆心为C 的圆的条弦,且92AB AC =u u u r u u u r g ,则AB =u u u r （ ）A. 3B. 3C. 23D. 9【答案】B 【解析】 【分析】过点C 作CD AB ⊥于D ，可得12AD AB =，在Rt ACD ∆中利用三角函数的定义算出1cos 2AC CAB AD AB ⋅∠==u u u r u u u r u u u r ，再由向量数量积的公式加以计算，结合92AB AC =u u u r u u u r g 即可求解.【详解】过点C 作CD AB ⊥于D ，则D 为AB 的中点，Rt ACD ∆中，12AD AB =，1cos 2AC CAB AD AB ⋅∠==u u u r u u u r u u u r ，291cos 22AB AC AB AC CAB AB ==∠=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g ,解得3AB =u u u r.故选：B【点睛】本题主要考查向量数量积的几何意义以及根据数量积求模，属于基础题. 9.函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A. 0a >，0b >，0c <B. 0a <，0b >，0c >C. 0a <，0b >，0c <D. 0a <，0b <，0c < 【答案】C 【解析】试题分析：函数在P 处无意义，由图像看P 在y 轴右侧，所以0,0c c -><，()200,0bf b c =>∴>，由()0,0,f x ax b =∴+=即b x a =-，即函数的零点000.0,0bx a a b c a=->∴<∴<，故选C ．考点：函数的图像【此处有视频，请去附件查看】10.函数() 2 3 2f x sin x cos x =的图象向右平移6π个单位 长度得到()y g x =的图象.命题()1:p y g x =的图象关于直线2x π=对称;命题2:,04p π⎛⎫-⎪⎝⎭是()y g x =的一个单调增区间.则在命题()()()112212312:,:,:q p p q p p q p p ∨⌝∧⌝⌝∨和()412:q p p ∧⌝中,真命题是( )A. 13,q qB. 14,q qC. 23,q qD. 24,q q【答案】A 【解析】 【分析】首先利用辅助角公式将函数() 2 3 2f x sin x cos x =+化为()223f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由三角函数的图像变化规律求出()g x 的解析式，根据三角函数的性质判断1p 与2p 真假，再由命题的否定以及真假表即可判断.【详解】()13 2 3 22sin 2cos 22sin 2223f x sin x cos x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由()232x k k Z πππ+=+∈，解得()212k x k Z ππ=+∈， 显然2x π=不是()g x 对称轴，故1p 为假命题.由()222232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得()51212k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 故函数()g x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ 当0k =时，51212x ππ-≤≤，又,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故2p 为真命题. 故1p ⌝为真命题，2p ⌝为假命题，故112:q p p ∨为真命题；()()212:q p p ⌝∧⌝为假命题；()312:q p p ⌝∨为真命题；()412:q p p ∧⌝为假命题；故选：A【点睛】本题考查了辅助角公式、三角函数的性质、命题真假的判断以及命题的否定、真假表，需熟记三角函数的性质以及真假表，属于基础题.11.在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥上平面ABC ,记ABC V 和四边形11ACC A 的外接圆圆心分别为12,O O ,若2AC =,且三棱柱外接球体积为323π,则2212O A O A +的值为（ ） A.83B. 3C. 113D. 5【答案】D 【解析】 【分析】如图，设三棱柱的外接球的球心为O,连接1,OO OA .设三棱柱的高为h ，外接球的半径为R,先求出R,再求2212O A O A +的值.【详解】如图，设三棱柱的外接球的球心为O,连接1,OO OA . 设三棱柱的高为h ，外接球的半径为R,由题得3432,233R R π=∴= 在直角三角形1OAO 中，222222114()=424h h OA R O A O A ===+∴-，在直角三角形1CAA 222222422,4h h OA OA ++=∴=,所以2212=5O A O A +.故选：D【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12.已知函数()22ln ,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =的对称点在10kx y +-=的图象上,则实数k 的取值范围是( )A. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭B. 13,24⎛⎫⎪⎝⎭C. 1,13⎛⎫⎪⎝⎭D. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为直线1y kx =+与()f x 在(),0-∞和()0,∞+上各有两个交点，借助函数图像与导数的几何意义求出1y kx =+与()f x 的两段图像相切的斜率即可求出k 的取值范围. 【详解】直线10kx y +-=关于直线1y =的对称直线为10kx y -+-=， 则直线10kx y -+-=与()y f x =的函数图像有4个交点， 当0x >时，()1ln f x x '=-，∴当0x e <<时，()0f x '>，当x e >时，()0f x '<， ∴()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，作出()y f x =与直线10kx y -+-=的函数图像，如图所示：设直线1y kx =+与2ln y x x x =-相切，切点为()11,x y ，则111111ln 2ln 1x kx x x kx -=⎧⎨-=+⎩ ，解得11,1x k ==，设直线1y kx =+与()2302y x x x =--<相切，切点为()22,x y ， 则22222322312x k x x kx ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=+⎪⎩，解得211,2x k =-=，Q 1y kx =+与()y f x =的函数图像有4个交点，∴直线1y kx =+与()f x 在(),0-∞和()0,∞+上各有2个交点，112k ∴<< 故选：A【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，考查了数形结合思想，解题的关键是作出函数图像，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知0,0a b >>，若341log log 2a b ==，则ab=__________．【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化即可求解. 【详解】由341log log 2a b ==，则123a =，124b =，1122123344a b ⎛⎫∴===⎪⎝⎭，【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化、指数幂的运算，属于基础题.14.若,x y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为__________．【答案】4 【解析】当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x －y ＝0与直线x ＋y ＝3的交点(1，2)时，z 取最大值2×1＋2＝4. 15.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x g x g x =--，且()f x 在R 单调递增，对任意的()12,0,x x ∈+∞，恒有()()()1212f x f x f x x =+g ，则使不等式()21202f f m ⎡⎤⎫+->⎪⎢⎥⎭⎣⎦成立的m取值范围是__________．【答案】[)0,9 【解析】 【分析】首先判断出()f x 为奇函数，然后根据题意将()21202f f m ⎡⎤⎫+->⎪⎢⎥⎭⎣⎦化为()()12f f m >-，再由函数的单调性转化为解12m >-即可.【详解】Q 定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x g x g x =--， 则()()()()f x g x g x f x -=--=-，()f x ∴为奇函数， 又对任意的()12,0,x x ∈+∞，恒有()()()1212f x f x f x x =+g ，则()21202f f m ⎡⎤⎫+->⎪⎢⎥⎭⎣⎦，即()()120f f m +->∴()()()122f f m f m >--=-Q ()f x 在R 单调递增，∴12m >-，即300m m ⎧-<⎪⎨≥⎪⎩，解得09m ≤<故答案为：[)0,9【点睛】本题考查了函数的新定义，考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，属于中档题.16.如图,在直四棱柱1111 ABCD A B C D -中,底面ABCD 是菱形,,E F 分别是11,BB DD 的中点, G 为AE 的中点且3FG =,则EFG V 面积的最大值为________．【答案】3 【解析】 【分析】建立坐标系，使用法向量求出E 到直线FG 的距离，代入面积公式，使用不等式的性质求出最值.【详解】连接AC 交BD 于O ，Q 底面ABCD 是菱形,AC BD ∴⊥，以,,0OC OD Z 为坐标轴建立空间直角坐标系o xyz -， 设,OC a OD b ==，棱柱的高为h ， 则(),0,0A a -，0,,2h E b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0,,2h F b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,224a b h G ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，即3,,224a b h FG ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭u u u r ，()0,2,0FE b =-u u u r ，23cos ,322FG FE b b FG FE b FG FE ⋅∴===⋅u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v ， E ∴到直线FG的距离sin ,2d FE FG FE b ===u u u v u u u v u u u v22133432222EFGb b S FG d ∆+-∴=⋅⋅==⨯= 当且仅当224b b =-，即22b =时取等号. 故答案为：3【点睛】本题考查了空间向量在求点到线的距离的应用、基本不等式求最值，注意在应用基本不等式时验证等号成立的条件，属于中档题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.17.已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和,2458,15a a S ⋅==;等比数列{}n b 的前n 项和21nn T =-(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式;(2)当{}n a 各项为正时,设n n n c a b =⋅,求数列{}n c 的前n 项和. 【答案】（1）n a n =或6n a n =-，12n n b -= （2）()121n n T n =-⋅+【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式与求和公式即可求n a ；由n T 与n b 的关系可求n b . （2）利用错位相减法即可求和.【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d则()()()()21111383381115101532a d a d d d d d d a d a d⎧⎧++=-+=⇔⇒=⇒==-⎨⎨+==-⎩⎩或11,1,n d a a n ∴==∴= 11,5,6n d a a n ∴=-=∴=-当2n ≥时，112n n n n b T T --=-=当1n =时，111b T ==也满足上式 所以12n nb -=（2）由题可知，1,2n n n n n a n c a b n -===gg ()01221122232?··122n n n T n n --=++++-+g g g g g ()12312122232?··122n n n T n n -=++++-+g g g g g ()1112?··22121n n n n T n n --=+++-=--g g 故()121nn T n =-+g【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式，已知n S 求n a 以及错位相减法，需熟记公式，属于基础题.18.如图,在四棱锥 P ABCD -中,侧面PAD ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为梯形，//, 90, 2.2ABAB CD ABC BCD BC CD ∠=∠=︒===(1)证明:BD PD ⊥;(2) 若PAD △为正三角形,求二面角A PB C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）105【解析】【分析】（1）先证明BD ⊥平面PAD,再证明BD PD ⊥；（2）如图所示，建立空间直角坐标系 D xyz -，利用向量法求二面角A PB C --的余弦值.【详解】（1）证明：因为 2 4BC CD AB ===，，又底面ABCD 为直角梯形222 AD BD AD BD AB BD AD ∴==+=∴⊥， Q 面PAD ⊥底面 ABCD ，因为面PAD I 底面 ABCD AD =,BD ⊆平面ABCD, 所以BD ⊥平面 .PAD 所以BD PD ⊥.（2）如图所示，建立空间直角坐标系 D xyz -，()()()()0,0,0 , , , ,D A PB C(() , AP AB ==-u u u r u u u u r设平面 PAB 的法向量为() , ,n x y z =r所以0⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1,1,1,3x n ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭r 设平面PCB 的法向量为() , , m x y z =ur( PC =-u u u r，(), BC =u u u u r⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令(1,1,1,x m ==-u r 设二面角A PB C --的平面角为α .由图观察α为钝角cos -35n m n mα⋅∴=-==⋅r u ru u r u u r【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.为了了解居民的家庭收入情况,某社区组织工作人员从该社区的居民中随机抽取了100户家庭进行问卷调查，经调查发现,这些家庭的月收人在3000元到10000元之间,根据统计数据作出:（1）经统计发现,该社区居民的家庭月收人Z (单位:百元)近似地服从正态分布(),196N μ,其中μ近似为样本平均数.若Z 落在区间(2,2)μσμσ-+的左侧,则可认为该家庭属“收入较低家庭" ,社区将联系该家庭,咨询收入过低的原因，并采取相应措施为该家庭提供创收途径.若该社区A 家庭月收入为4100元，试判断A 家庭是否属于“收人较低家庭”,并说明原因; （2）将样本的频率视为总体的概率①从该社区所有家庭中随机抽取n 户家庭,若这n 户家庭月收人均低于8000元的概率不小于50%,求n 的最大值;②在①的条件下,某生活超市赞助了该社区的这次调查活动,并为这次参与调在的家庭制定了贈送购物卡的活动,贈送方式为:家庭月收入低于μ的获赠两次随机购物卡,家庭月收入不低于μ的获赠一次随机购物卡;每次赠送的购物卡金额及对应的概率分别为: 赠送购物卡金额(单位:元) 100200 300 概率 121316则A 家庭预期获得的购物卡金额为多少元?(结果保留整数)【答案】（1）不属于，理由见解析 （2）①3 ②333元 【解析】 【分析】（1）先求出该社区居民的家庭月收入平均值，求出2µσ-的值，再比较该社区A 家庭月收入和2µσ-的大小关系得解；（2）①先求出抽取一户家庭其月收入低于8000元的概率，解不等式0.80.5n ≥得解；②设所获得的购物卡金额为随机变量ξ，则ξ的取值分别为200，300400500600，，，,再求对应的概率和期望.【详解】（1）该社区居民的家庭月收入平均值为：350.0245 0.15 55 0.15 65 0.2 75 0.28 85 0.16 95 0.04 =67.1μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（百元）又知道 14σ=，故 267.12839.1µσ-=-= 该社区A 家庭月收入4100元41=百元9.123μσ=>-，故A 家庭不属于“收入较低家庭”．（2）①将样本的频率视为总体的概率，由频率分布直方图可知，抽取一户家庭其月收入低于8000元的概率为()0.002 0.015 +0.0150.02 +0.02810 =0.8++⨯随机抽取n 户家庭月收入均低于8000元的概率为0.8n ， 由题意知0.80.53n n ≥∴≤，，所以n 的最大值为3.②由①知 67.1µ=百元6710=元，故A 家庭月收入低于μ，可获赠两次随机购物卡，设所获得的购物卡金额为随机变量ξ，则ξ的取值分别为200300400500600，，，，()111200,224P ξ==⨯=()12111300,233P C ξ==⨯⨯=()1211115400+=,263318P C ξ==⨯⨯⨯()12111500=,369P C ξ==⨯⨯()111600,6636P ξ==⨯=则A 家庭预期获得的购物卡金额为()115112003004005006003334318936E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元 【点睛】本题主要考查频率分布直方图中平均数和概率的计算，考查随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴顶点分别为,A B ,且短轴长为2,T 为椭圆上异于,A B 的任意-一点,直线,TA TB 的斜率之积为13- (1)求椭圆C的方程;(2)设O 为坐标原点,圆223:4O x y +=的切线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点,求POQ △面积的最大值. 【答案】（1）2213x y += （2）2【解析】 【分析】（1）根据题意设出点(),T x y ，列出方程化简即可求解.（2）分类讨论当直线斜率不存在时，可求出弦长PQ = y kx m =+与椭圆联立，根据弦长公式求出弦长的最大值，再由面积公式max 12S PQ =⨯. 【详解】解：（1）设(),T x y ，由题意知()()0,1,0,1A B -，设直线TA 的斜率为1k ，直线TB 的斜率为2k ，则1211,y y k k x x +-==，由1213k k =-g ，得1113y y x x +-=-g 整理得椭圆C 的方程为2213x y +=（2）当切线l 垂直x 轴时PQ =当切线l 不垂直 x 轴时，设切线方程为 .y kx m =+2=，得()22314m k=+把.y kx m=+代入椭圆方程2213xy+=，整理得()222316330k x kmx m+++-=设()()1122,,,P x y Q x y，则2121222633,3131km mx x x xk k--+==++PQ======()20k=≤=≠当且仅当2219kk=，即k=时等号成立，当k=时，PQ=综上所述max2PQ=.所以当PQ取最大值时，POQ△面积max12S PQ=⨯=【点睛】本题考查了直接法求轨迹方程，直线与椭圆的位置关系、弦长公式以及基本不等式求最值，属于中档题.21.已知函数()()222ln,2af x ax xg x ax axx=+-=-+(1)若0,a≥讨论()f x的单调性;(2)当0a>时,若函数()f x与()g x的图象有且仅有一个交点()00,x y,求[]0x的值(其中[]x表示不超过x 的最大整数,如[[][0.3710,0.37 1.2.92])=-=-=.参考数据:20.693 ,3 1.099 ,5 1.609,7 1.946ln ln ln ln====【答案】（1）当0a =时， ()f x 在()0,∞+单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递减；()f x 在⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递增． （2）2 【解析】 【分析】（1）对()f x 进行求导，讨论a 的取值范围，令()0f x '>或()0f x '<，解不等式即可求解.（2）两函数有且仅有一个交点 ()00,x y ，则方程222ln 2aax x ax ax x+-=-+ 即方程22ln 0a ax x x +-=在()0,∞+只有一个根, 令()22ln a F x ax x x=+-，研究 ()F x 的单调性，求出()F x 的零点，然后根据零点存在性定理判断零点所在的区间即可.【详解】解：（1）()2222122'2a ax x af x a x x x--=-+-= 对于函数()222,h x ax x a =--21160a ∆=+>当0a =时，则()1'0,f x x=-<()f x ∴在()0,∞+单调递减；当0a >时，令()0f x '<，则2220ax x a --<，解得0x <<∴()f x 在⎛ ⎝⎭单调递减；令()0f x '>，解得14x a >，所以()f x 在1,4a ⎛⎫++∞⎪ ⎪⎝⎭单调递增． （2）0a >Q 且两函数有且仅有一个交点 ()00,x y ，则方程222ln 2aax x ax ax x+-=-+ 即方程22ln 0aax x x+-=在()0,∞+只有一个根 令()22ln a F x ax x x =+-，则()3222'ax x a F x x--= 令()[)322,0,x ax x a x ϕ=--∈+∞，则()2'61x ax ϕ=-()0,a x ϕ>∴Q在⎛ ⎝单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，故()min x ϕϕ= 注意到()()020,a x ϕϕ=-<∴在⎛ ⎝无零点，在⎫+∞⎪⎪⎭仅有一个变号的零点m ()F x ∴在()0.m 单调递减，在(),m +∞单调递增，注意到()130F a =>根据题意m 为 ()F x 的唯一零点即0m x =20003002ln 0220aax x x ax x a ⎧+-=⎪∴⎨⎪--=⎩消去a ，得：3003300232ln 111x x x x +==+--令()332ln 11H x x x =---，可知函数()H x 在()1,+∞上单调递增 ()101022ln 220.693077H =-=⨯-<，()292932ln 32 1.00902626H =-=⨯->()[]002,3,2x x ∴∈∴=【点睛】本题主要考查了导函数在研究函数单调性、最值中的应用，考查了分类讨论的思想以及零点存在性定理，综合性比较强，难度较大.(二)选考题:共10分.请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.平面直角坐标系xOy 中,曲线1C的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数),以坐标原点O 为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=(1)写出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2)若射线()0:0OM θαρ=≥平分曲线1C ，且与曲线2C 交于点A ，曲线2C 上的点B 满足2AOB π∠=，求AB .【答案】（1）1C：2cos ρθθ=+，2C ：24x y =；（2）3【解析】 【分析】（1）根据cos x ρθ=，sin y ρθ=即可求解；（2）曲线1C 是圆，射线OM 过圆心(，所以方程是()03πθρ=≥，将()03πθρ=≥代入2C 的极坐标方程求出A ρ=83B ρ=即可求解.【详解】解：（1）曲线1C 的直角坐标方程是()(2214x y -+=，即2220x x y -+-=化成极坐标方程为：2cos ρθθ=+ 曲线2C 的直角坐标方程是24x y =；（2）曲线1C 是圆，射线OM 过圆心(，所以方程是()03πθρ=≥代入2cos 4sin ρθθ=，得A ρ= 又2AOB π∠=，将56πθ=，代入2cos 4sin ρθθ=，得83B ρ=因此3AB ==【点睛】本题主要考查极坐标方程与普通方程的互化以及利用极坐标求弦长，属于基础题. 23.已知0,0a b >>，且221a b +=（1）证明：()55111a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭（2）若2214211x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围 【答案】（1）证明见解析 （2）99x -≤≤ 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式即可证出. （2）利用基本不等式求出2214a b +最小值，然后再分类讨论解不等式即可求解.详解】解：（1）()()55255444422111b a a b a b a b a b a b a b ⎛⎫++=+++≥++=+= ⎪⎝⎭（2）由221a b +=，得()2222222222141441459b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭所以9211x x ≥---恒成立当1x ≥时，2119x x x ---=≤故19x ≤≤当112x ≤<时，211329x x x ---=-≤解得113x ≤，故112x ≤<当12x <时，解得2119x x x ---=-≤，故9x ≥-，故192x -≤<综上可知：99x -≤≤【点睛】本题考查了基本不等式求最值、解绝对值不等式，属于基础题.。
2020届河北省衡中同卷新高考原创冲刺模拟试卷(一)理科数学
2020届河北省衡中同卷新高考原创冲刺模拟试卷（一）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
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用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一.选择题（本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）1.在等比数列{}n a 中,22a =,43=a ,则=5aA.2B.16C.32 D .64 2.下列函数中,在区间)1,1(-上为减函数的是 A.xy -=11 B.x y cos = C.)1ln(+=x y D.xy -=2 3.已知向量a =)2,1(,b =),1(λ,若λ为实数且a //b ,则λ= A.1 B.1- C.2D.2-4.在ABC ∆中,31=,若=AB a ,＝b ,则AD ＝ A.23a ＋13b B.13a ＋23b C.13a －23b D.23a －13b5.若{}n a 为等差数列,其公差为2-,且4a 是2a 与5a 的等比中项,n S 为{}n a 的前n 和,则10S 的值为A.10-B.9-C.9D.106.若非零向量a ,b 满足=a ,且()(32)-⊥+a b a b ,则a 与b 的夹角为 A.4π B.2πC.34πD.π7.设ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a =1sin 2B =,6C π=,则b =A.3B.1C.21D.238.已知m ()cos ,sin x x =,n )1,3(-=,R x ∈,则||n -m 的最大值是 A.1 B.1-C.3D.3-9.为得到函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32cos πx y 的图象,只需将函数x y 2sin =的图象 A.向右平移125π个单位长度 B.向左平移125π个单位长度 C.向右平移65π个单位长度 D.向左平移65π个单位长度10.在ABC ∆中,已知c b a ,,分别为角C B A ,,的对边且60=A ,若,233=∆ABC SC B sin 3sin 2=,则ABC ∆的周长为A.75+B.12C.710+D.725+11.已知函数x x ax x f ln 2)(+=,12)(23--=x x x g ,如果对任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21,n m ,都有)()(n g m f ≥成立,则实数a 的取值范围是A.),1[+∞-B.),1(+∞-C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21D.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21 12.已知双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若1F A AB =,120FB F B ⋅=,则C 的离心率为 A.2 B.22C.2D.3第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二.填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在答题卡相应的位置上）13.若函数)0(3tan >⎪⎭⎫⎝⎛-=ωπωx y 的最小正周期为2π,则=ω .1 14.等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若11a =,12k a =-,则k =_________. 1 15.在等腰ABC ∆中,底边6=AB ,底边上的高为3.若,D E 分别是边BC 的两个三等分点,则⋅＝ .16.在ABC ∆中,角CB A ,,所对应的边分别为cb a ,,,且abc A b B a c b a =+-+)cos cos )((222,若2=+b a ,则c 的取值范围为________.三.解答题（本题共6小题,第22小题满分10分,第17至21小题每题满分12分,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 满足11=a ,且321+=+n n a a . （1）求{}n a 的通项公式;（2）记)3(+=n n a n b ,求n b 的前n 项和n S .18.某商店试销某种商品20天，获得如下数据:试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变）,设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存货少于2件,则当天进货补充．．至3件,否则不进货．．．,将频率视为概率.（1）求当天商品不进货．．．的概率; （2）记X 为第二天开始营业时该商品的件数,求X 的分布列和数学期望.19.如图,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,已知122DC DD AD AB ===,AD DC ⊥,DC AB //.（1）设E 是DC 的中点,求证://1E D 平面BD A 1; （2）求二面角11A BD C --的余弦值.20.设1F ,2F 分别是椭圆C:12222=+by a x )0(>>b a 的左,右焦点,M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直,直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34,求C 的离心率;（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2,且15MN F N =,求a ,b .21.设函数3()(1)f x x ax b =---,,R x ∈其中.,R b a ∈ （1）求)(x f 的单调区间;（2）若)(x f 存在极值点0x ,且)()(01x f x f =,其中01x x ≠,求证:1023x x +=.22.在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 上两点N M ,的极坐标分别为⎪⎪⎭⎫⎝⎛2,332),0,2(π,圆C 的参数方程为θθθ(sin 23cos 22⎩⎨⎧+-=+=y x 为参数）.（1）设P 为线段MN 的中点,求直线OP 的平面直角坐标方程; （2）判断直线l 与圆C 的位置关系.(理科数学)试题参考答案一、选择题二.填空题13. 2 14. 10 15. 22 16.)2,1[ 三.简答题17.【解析】（1）由321+=+n n a a 得)3(2)3(1+=++n n a a又11=a ，所以431=+a ，故数列{}3+n a 是以4为首项，2为公比的等比数列。
2020届河北省衡中同卷新高考原创冲刺模拟试卷(二十)理科数学
2020届河北省衡中同卷新高考原创冲刺模拟试卷（二十）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B ⋃=（ ）A ．3(1,)2B ．(1,)+∞C ．(1,3)D ．3(,3)22．设曲线ln(1)axy e x =-+在0x =处的切线方程为210x y -+=，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．33．()5(1)12x x ++的展开式中4x 的系数为（ ）A ．100B ．120C ．140D ．1604．已知在圆22:4240M x y x y +-+-=内，过点(0,0)O 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A.6B.8C.10D.12 5．已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<6.已知函数5cos sin ()xx x x f x e-=，则函数()f x 的大致图像为（ ）A B C D 7．函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ）A ．4x π=B ．3x π=C ．56x π=D ．1912x π=8．元代数学家朱世杰在算学启蒙中提及如下问题：今有银一秤一斤十两秤=10斤,1斤=10两,令甲、乙、丙从上作折半差分之,问：各得几何？其意思是：“现有银一秤一斤十两,现将银分给甲、乙、丙三人,他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半”若银的数量不变,按此法将银依次分给5个人,则得银最少的3个人一共得银 A.266127两 B. 889127两 C. 84031两 D. 111131两9．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体'A BCD -，使平面'A BD ⊥平面BCD ，若四面体'A BCD -的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πBC ．4πD 10.已知O 为平面直角坐标系的原点，2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点，E 为2OF 的中点，过双曲线左顶点A 作两渐近线的平行线分别与y 轴交于,C D 两点，B 为双曲线的右顶点，若四边形ACBD 的内切圆经过点E ，则双曲线的离心率为( )A ．211.对于定义域为R 的函数()f x ，若满足① ()00f =；② 当R x ∈，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③ 当120x x <<，且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”．现给出四个函数：()32132f x x x =-+；()21x f x e x =--；()3ln(1),0,2,0.x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩ ()411,0,2120,0.xx x f x x ⎧⎛⎫+≠⎪ ⎪=-⎝⎭⎨⎪=⎩则其中是“偏对称函数”的函数个数为 A.0B.1C.2D.312．已知函数211()(0)42f x x x a x =++<，()ln (0)g x x x =>，其中R a ∈．若()f x 的图象在点()()11,A x f x 处的切线与g x （）的图象在点()()22,B x f x 处的切线重合，则a 的取值范围为（）A ．3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．(1ln 2,)--+∞C ．(1ln 2,)-++∞D ．(ln 2ln3,)-+∞二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．()()2020202011i i +--的值是__________；14．交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在5090km/h -的汽车中抽取600辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km / h 以下的汽车有________辆；15．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160,90A AB A AD DAB ∠=∠=︒∠=︒，1A A AB AD ==，11E F A D DC 、分别是棱和的中点则EF 与AC 所成角为_________；（用弧度表示）16．如图，过抛物线22y px =(0)p >的焦点F 作两条互相垂直的弦AB 、CD ，若ACF与BDF △面积之和的最小值为32，则抛物线的方程为_________.三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)箱中装有4个白球和()*m m N ∈个黑球.规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等.记随机变量X 为取出的3个球所得分数之和.（1）若1(6)5P X ==，求m 的值； （2）当4m =时，求随机变量X 的分布列与数学期望.18．(本小题满分12分)已知函数π())2sin cos 3f x x x x =--. (1)求()f x 的单调递增区间；(2)在ABC 中，3AC =且02B f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求ABC 面积的最大值．19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥S ABC -中，SA ABC ⊥底面，=2AC AB SA ==，AC AB ⊥，D ，E 分别是AC ，BC 的中点，F 在SE 上且2SF FE =.（I ）求证：AF SBC ⊥平面；（II ）在线段DE 上是否存在点G ，使二面角G AF E --的大小为o 30？若存在，求出DG 的长；若不存在，请说明理由.20．(本小题满分12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点(2,0)A ，离心率为2，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设,,P Q R 为椭圆C 上的三点，OQ 与PR 交于点M ，且3OQ OM =uuu r uuu r，当PR 的中点恰为点M 时，判断OPR △的面积是否为常数，并说明理由．21．(本小题满分12分)设数列{}n a ,{}n b ，已知11144,6,2n n b a b a ++===，142nn a b ++=()n N *∈， （1)求数列{}n n b a -的通项公式；（2)设n S 为数列{}n b 的前n 项和,对任意N n *∈,若[](4)1,3n p S n ⋅-∈恒成立，求实数p 的取值范围．22．(本小题满分12分) 设()ln f x a x bx b =+-，()x exg x e=，其中,a b R ∈． (Ⅰ)求()g x 的极大值；(Ⅱ)设1b =，0a >，若()()()()212111f x f xg x g x -<-对任意的1x ，[]()2123,4x x x ∈≠恒成立，求a 的最大值；(Ⅲ)设2a =-，若对任意给定的(]00,x e ∈，在区间(]0,e 上总存在s ，()t s t ≠，使()()()0f s f t g x ==成立，求b 的取值范围．数学（理科）一、选择题二、填空题13．0; 14．300; 15．2π;16．28y x =. 三、解答题17．【答案】（1）由题意得：取出的3个球都是白球时，随机变量6X =()3434165m C C P X +∴===，即：3420m C +=，解得：2m =（2）由题意得：X 所有可能的取值为：3,4,5,6则()34381314C P X C ===；()214438347C P C C X ===；()124438357C P C C X ===；()34381614C C P X ===.X ∴的分布列为：()345614771414E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查服从超几何分布的随机变量的概率及分布列的求解问题，关键是能够明确随机变量所服从的分布类型，从而利用对应的公式来进行求解. 18．【答案】(1)解：π())2sin cos 3f x x x x =--32sin 2sin 22x x x +- 1sin 2sin(2)23x x x π=+=+.-+22+2k ,232k x k Z πππππ≤+≤∈由，5-++k ,1212k x k Z ππππ≤≤∈得5()[-+,+k ],1212f x k k Z ππππ∈所以的单调递增区间为：（2）π()sin(2)3f x x+=由题可得，因为02B f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 03B π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 又0B π<<，所以3B π=．在ABC 中，由余弦定理可得22221922a c ac a c ac ac =+-⋅=+-≥，即9ac ≤．所以11sin 922ABCSac B =≤⨯=3a c ==时等号成立， 故ABC． 19．【答案】I.以A 为坐标原点，分别以AC ，AB.AS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系C-xyz.则A （0，0，0），B （0，2，0），C （2，0，0），S （0，0，2），D （1，0，0），E （1，1，0） 由SF=2FE 得F(23,23,23)()222,,,2,2,0333AF BC ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭()2,0,2SC =-平面0,0AF BC AF SC ⋅=⋅=,AF BC AF SC ∴⊥⊥AF ∴⊥平面SBCⅡ.假设满足条件的点G 存在，并设DG=t .则G （1，t ，0）.所以1,1010AE AG t ==（，），（，，）设平面AFG 的法向量为()2222,,n x y z =，则()()()2222222222222222222,,,,0333333,,1,,00n AF x y z x y z n AG x y z t x ty ⎧⎛⎫⋅=⋅=++=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩取21y =，得22,1x t z t =-=-即()2,1,1n t t =--.（法一）设平面AFE 的法向量为()3333,,n x y z =则()()()3333333333333222222,,,,0333333,,1,1,00n AF x y z x y z n AE x y z x y ⎧⎛⎫⋅=⋅=++=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩取31y =，得331,0x z =-=，即()31,1,0n =- （法二）,AF SBC BC SBC AF BC ⊥⊂∴⊥平面平面.,,,AB AC E BC AE BC AE AF A AE AF AEF BC AEF=∴⊥⋂=⊂∴⊥又为中点，、平面平面所以平面AFE 的法向量为：=-BC （1,1,0）；由得二面角G-AF-E 的大小为30得2323cos3022n n t n n ⋅-⨯===⋅，化简得22520t t -+=， 又01t ≤≤，求得12t =，于是满足条件的点G 存在，且12DG =20．【答案】（1）由已知易得24122a a c c a⎧=⎪=⎧⎪⎪⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪⎩解得∴2222b a c =-=，故椭圆C 的标准方程为：22214x y +=. （2）①若点Q 是椭圆的右顶点（左顶点一样），则()2,0Q ，∵3OQ OM =，M 在线段OQ 上，∴2,03M ⎛⎫⎪⎝⎭，此时PR x ⊥轴，求得83PR =，∴OPR 的面积等于18282339⨯⨯=.②若点Q 不是椭圆的左、右顶点，则设直线PR 的方程为：()0y kx m m =+≠，()11,P x y ，()22,R x y ，由2224x y y kx m⎧+=⎨=+⎩得()222214240k x kmx m +++-=，则122421kmx x k +=-+，21222421m x x k -=+， ∴PR 的中点M 的坐标为222,2121km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，∴点Q 的坐标为2263,2121km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，将其代入椭圆方程，化简得229212k m +=．∴PR ===点O 到直线PR的距离d =OPR的面积1182299OPRSPR d m =⋅=⋅=． 综上可知，OPR 的面积为常数89．21．【答案】(1)11441()2222n n n n n n n n a b a b b a b a ++++--=-==--，又112b a -=， {}n n b a ∴-是以2为首项，12-为公比的等比数列，1122n n n b a -⎛⎫∴-=⋅- ⎪⎝⎭；（2）11444222n n n n n n a b a b b a ++++++=+=+，1118(8)2n n n n a b a b ++∴+-=+- 又111182,82()2n n n a b a b -+-=∴+-=⨯,1122n n n b a -⎛⎫-=⋅- ⎪⎝⎭，两式相加即得：11114()()22n n n b --=+-+，11111212244211112321122n nn n n S n n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭∴=++=+-+--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭841433281413,2nn nn S n n n ⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭∴⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎭⎢⎥⎣⎦⎩为奇数为偶数，()[]41,3n p S n -∈,40n S n ->(o1)当n 为奇数时()[]841134=1,3332841841332332n n n np S n p p ⎡⎤⎛⎫--⨯∈∴≤≤⎢⎥ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎣⎦-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭131928418413323328nnp p ∴≤≤⇔≤<⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时(o2)当n 为偶数时，()[]81134=11,3328181113232n n n n p S n p p ⎡⎤⎛⎫-⨯-∈∴≤≤⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎣⎦⎛⎫-⎢⎥- ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，1319281811132823n n p p ∴≤≤⇔≤<⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦此时综上，所以实数p 的取值范围为19[,)28．22.【答案】 (Ⅰ()()21)'()x x x xe x e e e ex g x e e -⋅-⋅==，当1x >时，()'0g x <，()g x 在()1,+∞递增；当1x <时，()'0g x >，()g x 在(),1-∞递减．则有()g x 的极大值为()11g =； (Ⅱ)当1b =，0a >时，()ln 1f x a x x =+-，0x >，()'10a a x f x x x+=+=>在[]3,4恒成立，()f x 在[]3,4递增；由()()1xe h x g x ex==，()()21'0x e x h x ex -=>在[]3,4恒成立，()h x 在[]3,4递增．设12x x <，原不等式等价为()()()()2121f x f x h x h x -<-，即()()()()2211f x h x f x h x -<-，()()()F x f x h x =-，()F x 在[]3,4递减，又()ln 1x e F x a x x ex=+--，()()21'10x e x a F x x ex -=+-≤在[]3,4恒成立，故()h x 在[]3,4递增，()11x e x a x e x -≤⋅-，令()()11x e x G x x e x -=⋅-，34x ≤≤，∴()()21221111'111x x e x x G x e e x x x -⋅-+⎛⎫=⋅-=-+- ⎪⎝⎭1221133[)110244x e e x -⎛⎤=-+->-> ⎥⎝⎦，()G x 在[]3,4递增，即有2233a e ≤-，即2233max a e =-； (Ⅲ()()111)'1x x x g x e xe x e ---=-=-，当()0,1x ∈时，()'0g x >，函数()g x 单调递增；当(]1,x e ∈时，()'0g x <，函数()g x 单调递减．又因为()00g =，()11g =，()20e g e e -=>，所以，函数()g x 在(]0,e 上的值域为(]0,1．由题意，当()f x 取(]0,1的每一个值时，在区间(]0,e 上存在1t ，()212t t t ≠与该值对应．2a =-时，()()12ln f x b x x =--，()22'bx f x b x x-=-=， 当0b =时，()2'0f x x =-<，()f x 单调递减，不合题意，当0b ≠时，2x b =时，()'0f x =，由题意，()f x 在区间(]0,e 上不单调，所以，20e b <<，当20,x b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，，当2,b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭时，所以，当(]0,x e ∈时，22()22ln min f x f a b b ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭， 由题意，只需满足以下三个条件：22()22ln 0min f x f b b b ⎛⎫==--< ⎪⎝⎭①，()()121f e b e =--≥②，020,x b ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭③使()01f x >． ()210f f b ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以①成立由()()12ln f x b x x =--→+∞②，所以③满足，所以当b 满足2031e b b e ⎧<<⎪⎪⎨⎪≥⎪-⎩即31b e ≥-时，符合题意，故b 的取值范围为3,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭． 【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间和极值，主要考查不等式恒成立和存在性问题，注意运用参数分离和构造函数通过导数判断单调性，求出最值，属于难题．。
衡水中学2020届高三上学期第四次调研考试 理科数学(含答案)
象限．若 BPM 的面积是 BPQ 面积的 2 倍，求 k 的值．
21．（本题满分 12 分）设抛物线 的方程为 y2 2 px ，其中常数 p 0 ， F 是抛物线 的焦点．
（1）设 A 是点 F 关于顶点 O 的对称点， P 是抛物线 上的动点，求 | PA | 的最大值； | PF |
D． 5 2
9.如图，点 P 在正方体 ABCD A1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动，则下列四个结论：
A．
B． C． D．
4．已知 、 都为锐角，且 sin 21 、 cos 21 ，则 ( )
7
14
A． 3
B． 3
C． 6
D． 6
5. 设 a R ， b [0 ， 2 ) ，若对任意实数 x 都有 sin(3x ) sin(ax b) ，则满足条件的有序实数 3
h(x) g(x) 0 在 D 内恒成立，则称 P 点为函数 y h(x) 的“类对称中心点”，则函数 x x0
f
(x)
x2 2e2
lnx 的“类对称中心点”的坐标是
．
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．（本题满分 10 分）在平面四边形 ABCD 中， A C ， AB 1 ， BC 3 ， CD DA 2 ．
由（Ⅰ）知， G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，故 CD 2 CG ． 3
由题设可得 PC 平面 PAB ，DE 平面 PAB ，所以 DE / /PC ，因此 PE 2 PG ，DE 1 PC ．
3
3
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA 6 ，可得 DE 2 ， PG 3 2 ， PE 2 2 ．
2020届河北衡中同卷新高考押题仿真模拟(四)理科数学
2020届河北衡中同卷新高考押题仿真模拟（四）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】先确定集合中的元素，再由交集定义求解．【详解】由题意，∴．故选：B．【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集的定义是解题基础．2.已知为虚数单位，、，，，则（）A. 1B.C.D. 2【答案】C【解析】【分析】等式去分母化简后根据复数的相等求出，再计算．【详解】∵，∴，即，∴，解得，∴．故选：C．【点睛】本题考查复数的运算与复数相等，解题关键是利用复数相等的定义求出实数．3.已知向量与向量共线，则实数的值为（）A. B. 或0 C. 3 D. 3或0【答案】B【解析】【分析】利用向量共线的坐标运算可求得值．【详解】由题意，解得或．故选：C．【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，即，则．4.执行如图所示的程序框图，若输入的，，则输出的结果是（）A. 24B. 28C. 34D. 40 【答案】D【解析】【分析】模拟程序运行，观察变量值的变化情况，判断循环条件，得出结论．【详解】模拟程序运行，，，，判断否；，，判断否；，，判断否；，，判断是；输出．故选：D．【点睛】本题考查程序框图，解题时可模拟程序运行，判断循环条件，确定输出结论．5.已知的展开式中的系数是，则实数a的值为（）A. B. 1 C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出展开式中和的系数，由多项式乘法法则可得结论．【详解】由题意，．故选：A ．【点睛】本题考查二项式定理，考查求二项展开式的系数，注意多项式乘法法则的应用．6.为贯彻执行党中央“不忘初心，牢记使命”主题教育活动，增强企业的凝聚力和竞争力。
2020届河北省衡中同卷高三第四次模拟考试数学(理)试题
2020届河北省衡中同卷高三第四次模拟考试数 学（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
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如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
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第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{|2}A x Z x =∈≥，()(){|130}B x x x =--<，则A B ⋂=（ ）A.∅B.{}2,3C.{}2D.{}|23x x ≤<2. 复数22cossin33z i ππ=+在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 已知向量(1,,2x ⎛⎫==-⎪⎝⎭，若与a b a b 的夹角为60，则x 的值为（ ）A ．0BC ．0D 4. 设{n a }为等差数列，公差2d =-，n S 为其前n 项和，若1011S S =，则1a =（ ）A ．18B ．20C ．22D ．245. 已知二项式261(2)()x a x x+-的展开式中2x 的系数是10-，则a =（ ）A ．1B ．1-C ．12D ．2()的图像是函数⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22cos ln .6ππx x y7．已知函数()3232f x ax x x =+-+在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A.(],3-∞-B.(),3-∞-C.()3,0-D.[)3,0-8. 下列判断正确的是（ ）A ．”“2-<x 是()”“03ln <+x 的充分不必要条件 B ．函数()91922+++=x x x f 的最小值为2C ．当R ∈βα,时，命题“若βα=，则βαsin sin =”的逆否命题为真命题D ．命题“020192019,0>+>∀xx ”的否定是“020192019,000≤+≤∃x x ”9. 已知()παα,0,43tan ∈=，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+6cos πα的值为（ ）A.10334- B. 10334+ C. 10334- D. 10433- 10. 已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是（ ）A ．2()(2)3-∞+∞，，B ．2(2)3， C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，， 11. 已知函数().cos 23x x x f +=若()()()7log,2,322f c f b f a ===，则c b a ,,的大小关系是（ ）A. c b a <<B. a b c <<C. c a b <<D. a c b <<12. 设函数()⎩⎨⎧>-+-≤<-=1,5610,ln 2x x x x x x f .若曲线02=--y kx 与函数()x f 的图像有4个不同的公共点，则实数k 的取值范围是（ ）A.()e ,726-B. ()2,726- C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,32D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e ,32第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置上.13．设函数()x x f lg 1-=的定义域为 ．14. 若实数y x ,满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥+421y x x y y x ，则y x 2+的最大值为 ．15. ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 成等比数列，则cos B 的最小值为 ． 16. 已知函数()()21ln ,e ,22x x f x g x -=+=若()()g m f n =成立，则n m -的最小值为 ．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分。
【精品解析】2020年河北省衡水中学高三模拟(四)数学试题
2020年河北省衡水中学高三模拟（四）数学试题一、单选题1．函数()f x 的图象与函数ln(1)(2)y x x =->的图象关于直线y x =对称，则()f x 为（ ） A ．1()(0)x f x e x +=>B ．1()(1)x f x e x -=>C ．()1()x f x e x R =+∈D ．()1(0)x f x e x =+>2．一条排水管的截面如图．已知排水管的截面圆半径OB 是10，CB 是8，则截面水深CD 是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}0B x x =≤，则AB =（ ） A ．{}1,2B ．{}1,0-C ．{}0,1,2D ．{}1- 4．在中，内角的对边分别为，若，，则的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．5．若复数15i 32iz +=+，则z =（ ）A ．1 BC D ．2 6．5312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为（ ） A ．152 B ．154 C ．52 D ．547．为了研究某班学生的数学成绩x （分）和物理成绩y （分）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101750i i x==∑，101800i i y ==∑，ˆ 1.2b =，该班某学生的物理成绩为86，据此估计其数学成绩约为（ ）A ．81B ．80C ．93D ．948．函数()21ln f x x x x=-+的图象大致是（ ） A ． B ． C ．D ．9．下列四个命题中真命题的个数是（ ）(1)“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件(2)命题“R x ∀∈，sin 1x ≤”的否定是“R x ∃∈，sin 1x >”(3)“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题(4)命题:p [)1,x ∀∈+∞，lg 0x ≥，命题:q R x ∃∈，210x x ++<，则p q ∨为真命题 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 10．中国古代数学著作《算法统综》中有这样的一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问此人第2天走的路程为A ．24里B ．48里C ．72里D ．96里11．已知O 为坐标原点，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F ，以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点O 的两点A 、B ，若()0AO AF OF +⋅=，则双曲线的离心率e 为（ ）A ．2B ．3 CD12．从红、白、黑、黄、绿5双只有颜色不同的手套中随机的取出4只，则恰好有两只成一双的概率为（ ）A ．37B ．514C ．47D ．914二、双空题13．已知两点(34)A -，,()3,2B ，过点()1,0P 的直线l 与线段AB 有公共点，则(1)直线l 的斜率k 的取值范围为______；(2)直线l 的倾斜角α的取值范围为______.三、填空题14．计算2()3a b b →→→-+=________.15．正方体1111ABCD A B C D -中，点Q 是棱1DD 上的动点，则过1,,A Q B 三点的截面的形状为_______________.16．函数()214f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心的坐标是______.四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足3 24n n S a n =+-(1)求证:数列{}2n a -为等比数列;(2)记112123n n n n n b a ---=+,求数列{}n b 的前n 项和n T 18．已知()2f x x a x =-++.（1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若对x R ∀∈，()1f x ≥成立，求a 的取值范围.19．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11A ADD ⊥底面ABCD，11D A D D =面ABCD 为直角梯形，其中//BC AD ，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，O 为AD 中点.（1）求证：1//A O 平面1AB C ；（2）求三棱锥1B ABC -的体积.20．在ABC ∆中，（1）若4sin ,25C B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求()cos A B -的值； （2）若2sin sin cos,2C A B =判断ABC ∆的形状； （3）若sin cos 1sin ,2C C C +=-求cos C 的值. 21．数列{}n a ，定义{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中()*1n n n a a a n N+∆=-∈．（1）若2n a n n =-，试判断{}n a ∆是否是等差数列，并说明理由；（2）若11a =，2n n n a a ∆-=，求数列{}n a 的通项公式；（3）对（2）中的数列{}n a ，是否存在等差数列{}n b ，使得1212n n n n n n b C b C b C a +++=对一切n N ∈*都成立，若存在，求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，请说明理由．22．已知函数f (x )=(2−x )e k (x−1)−x ，（k ∈R,e 为自然对数的底数）（I ）若f (x )在R 上单调递减，求k 的最大值；（Ⅱ）当x ∈(1,2)时，证明：ln x (2x−1)2−x >2(x −1x ).23．给定椭圆2222:1,(0)x y C a b a b+=>>，称圆心在原点O ，C 的“伴椭圆”，若椭圆C 的一个焦点为2F ，其短轴上的一个端点到2F .(1)求椭圆C 的方程及其“伴椭圆”的方程；(2)若倾斜角为45︒的直线与椭圆C 只有一个公共点，且与椭圆C 的“伴椭圆”相交于M 、N 两点，求弦MN 的长.【答案与解析】1．D由互为反函数图像关于直线y x =对称，可知()f x 与ln(1)(2)y x x =->互为反函数，从而可得解. 函数()f x 的图象与函数ln(1)(2)y x x =->的图象关于直线y x =对称，则()f x 与ln(1)(2)y x x =->互为反函数，有()1(0)xf x e x =+>.故选D.本题主要考查了反函数的性质，属于基础题.2．B由题意知OD ⊥AB ，交AB 于点C ，由垂径定理可得出BC 的长，在直角三角形OBC 中，根据勾股定理求出OC 的长，由CD =OD -OC 即可得出结论.由题意知OD ⊥AB ，交AB 于点C ，∴在直角三角形OBC 中，OB 是10，CB 是8，∴6=，∴DC= OD - OC=4,故选：B本题考查的是垂径定理的应用，运用勾股定理列出方程是解答的关键，属于基础题.3．B根据集合交集的定义，即可求出答案.因为{}1,0,1,2A =-，{}0B x x =≤.所以AB ={}1,0- 故选:B.本题考查集合的交集运算，属于基础题.要解本类题型需掌握集合的交集、并集、补集运算及其性质.4．C试题分析：由题；先联系余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，与条件联立；得：22212()6,62a b ab a b ab +-⨯=-+=，则11sin 622ABC S ab C ==⨯= 考点：余弦定理与三角形的面积公式.5．B分析：先应用除法法则求出z ，再根据模的计算公式计算. 详解：15(15)(32)1313132(32)(32)13i i i i z i i i i ++-+====+++-，z == 故选B. 点睛：本题考查求复数的模，也可根据模的性质求解，1212z z z z =,1122z z z z =,因此本题可有如下解法：15153232i i z i i ++====++6．D 求出5312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项，令x 的指数为3，确定项的位置，即可得到答案. 由已知，5312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的通项为351541551()()22r r r r r r r T C x C x x ---+==， 令1543r -=，得3r =，所以3x 的系数为335524C -=. 故选：D本题考查求二项式展开式中特殊项的系数，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.7．B 计算75x =，80y =，故ˆ10a y bx =-=-，代入数据计算得到答案. 1017510ii x x ===∑，1018010ii y y ===∑，故ˆ10a y bx =-=-，即ˆ 1.210yx =-， 当86y =时，86 1.210x =-，解得80x =.故选：B .本题考查了线性回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.8．C当0x >时，()21ln f x x x x =-+，求得()22(1)(221)x x x f x x -++'=，得出函数的单调性，即可求解.由题意，当0x >时，()21ln f x x x x =-+，则()22211(1)(221)2x x x f x x x x x -++'=--=， 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，根据选项，可知只有C 项符合题意.故选：C .本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中利用导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.9．D试题分析：当1x =时，2320x x -+=成立，当2320x x -+=，1x =或2x =，“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，故①正确；命题“R x ∀∈，sin 1x ≤”的否定是“R x ∃∈，sin 1x >”②正确；“若22am bm <，则a b <”的逆命题为“若a b <，则22am bm <”错误，当0m =时，不成立，故③错；当1x ≥时，lg 0x ≥，命题p 是真命题，故p q ∨是真命题，故真命题的个数是3个，故选：D.考点：命题的真假性的判断.10．D 由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由S 6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得a 2的值，即可得该人第2天走的路程里数，可得答案． 根据题意，记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比q=12的等比数列，。
2020届河北衡中同卷新高考押题模拟考试(六)理科数学
2020届河北衡中同卷新高考押题模拟考试（六）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1.已知集合2{|1}, {|320}A x x B x x x =<=++≤，则A B =I （ ） A. ∅B. {|1}<x xC. {|21}x x -≤≤-D.{|211}x x x <--<<或【答案】C 【解析】 【分析】解出集合B={|21}x x -≤≤-，然后画出数轴算出A B ⋂ 【详解】2{|1},{|320}A x x B x x x =<=++≤， 即B {|21}x x =-≤≤- 即A B ⋂= {|21}x x -≤≤-【点睛】本题主要考集合的 运算，属于高考题必考题型之一，需要掌握交并补的运算，及学解决各种不等式的解法2.已知3cos 4x =，则cos2x =（ ） A. 14-B. 14C. 18-D.18【答案】D 【解析】 由3cos 4x =得2231cos22cos 12()148x x =-=⨯-=，故选D ． 3.设函数()ln ,1,1x x xf x e x ≤--⎧⎪=>-⎨⎪⎩，则()()2f f -的值为( )A.1eB.2eC.12D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数，先求()2f -=ln2，然后根据判断范围再由分段函数另一段求出值 【详解】21-≤-，()2f -=ln2， ln21>-，即()()()2ln2ff f -==1 2【点睛】本题主要考察分段函数求函数值，这类题目，需要判断自变量所在范围，然后带入相应的解析式解答即可4.在等腰梯形ABCD 中，2AB CD =-u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则AM =u u u u rA. 1122AB AD +u u ur u u u rB. 3142AB AD +u u ur u u u rC. 3144AB AD +u u ur u u u rD. 1324AB AD +u u ur u u u r【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算及几何意义，表示出AM AB BM =+u u u u v u u u v u u u u v 且AM AD DC CM =++u u u u v u u u v u u u v u u u u v，两式相加求出AM u u u u v的值【详解】如图等腰梯形ABCD 中2AB CD =-u u u v u u u vM 为BC 的中点,0BM CM +=u u u u v u u u u v vAM AB BM =+u u u u v u u u v u u u u v AM AD DC CM =++u u u u v u u u v u u u v u u u u v()()2AM AB BM AD DC CM =++++u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u u v32AB AD =+u u uv u u u v 3142AM AB AD =+u u u u v u u u v u u u v【点睛】本题主要考向量的分解，主要在做题的过程中我们画出图形，数形结合，结合选项，往AB AD u u u v u u u v和 靠拢即可5.在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是( ) A. 15 B. 30C. 31D. 64【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列性质求4,a 进而利用等差中项求得a 12【详解】由a 3＋a 4＋5443331a a a =\=\=，， 又8412122,a a a a =+\=15 故选：A【点睛】本题考查等差数列的基本性质，熟记性质准确计算是关键，是基础题6.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()()0f x f x --=，且当0x >时，()0f x '<，则满足不等式()()21f m f m ≤-的实数m 的取值范围是A. []1,3B. 113⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C. [)1,1,3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦D. (][),13,-∞+∞U【答案】B 【解析】 【分析】根据条件可知()f x 为偶函数，结合单调性和导函数之间的关系判断函数的单调性，然后利用奇偶性和单调性综合解题即可【详解】()()0f x f x --=，即()f x 为R 上的偶函数，0x >时，()0f x '<，即()f x （0，+∞）上单调递减，即在（-∞，0）上单调递增，()()21f m f m ≤-，即21m m ≥-即m 的取值范围为113⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【点睛】本题主要在以抽象函数为大前提下，考察函数的基本性质，单调性，奇偶性的综合应用，属于基础题，熟练掌握函数的性质解决不等式问题，将抽象问题具体化．7.已知平行四边形OABC 中，O 为坐标原点，A(2,2),C(l,-2)，则OA OB •u u u r u u u r=（ ） A. -6 B. -3C. 3D. 6【答案】D 【解析】 【分析】先根据平行四边形法则写出OB uuu v坐标，再根据向量数乘转化坐标即可 【详解】∵四边形OABC 是平行四边形，即OB uuu v =OA OC +u u u v u u u v=(2,2)+ (l,-2)= (3,0) •OA OB =u u u v u u u v(2,2)•(3,0)=6 【点睛】本题属于向量基础题，向量试题在高中中属于必考内容，主要考察形式为选择填空，数量掌握三角形法则和平行四边形法则的区别；熟练掌握向量数量积运算法则处理问题的两种方式8.已知0>ω，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A. 15[,]24B. 13[,]24C. 1(0,]2D. (0,2]【答案】A 【解析】【详解】由题意可得,322,22442k k k Z ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈， ∴1542,24k k k Z ω+≤≤+∈， 0ω>Q ，1524ω∴≤≤．故A 正确．考点：三角函数单调性． 【此处有视频，请去附件查看】9.函数()22xf x x =-的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【详解】当24x <<时()0f x >，所以舍去C,D当02x <<时()()()()22,22ln 2,00,10xxf x x f x x f f '''=-=-<>∴Q 存在0(0,1)x ∈，0()0f x = ，所以舍去A 故选B10.将函数())cos2sin 23cos 30222x x x f x ωωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为增函数，则ω的最大值为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】首先整理函数的解析式，然后结合三角函数的单调性确定ω的最大值即可. 【详解】由三角函数的性质可得：()22sincos222xxxf x ωωω=-1cos sin 2xx ωω+=-+sin x x ωω=2sin 3x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其图象向左平移3πω个单位所得函数的解析式为：()2sin 2sin 33g x x x ππωωω⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数的单调递增区间满足：()2222k x k k Z πππωπ-≤≤+∈，即()2222k k x k Z ππππωω-+≤≤∈，令0k =可得函数的一个单调递增区间为：,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， ()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则：24ππω≥，据此可得：2ω≤，则ω的最大值为2. 本题选择B 选项.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的化简，辅助角公式的应用，三角函数的平移变换，三角函数的周期公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 11.已知()()sin f x ax x a R =+∈，若函数()()()g x f x f x =+'在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，则求实数a 的取值范围为（ ） A. ()2,1- B. (),1-∞C. ()D. ()+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出()()()sin g x f x f x ax x =+=+'+ a +cos x ，再根据()g x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，即()0,22g x ππ=-'在（）上有解4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域即可【详解】()sin f x ax x =+()f x '=a +cos x()()() sin g x f x f x ax x =+=+'+ a +cos x函数()()()g x f x f x =+'在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调 即()0,22g x ππ=-'在（）上有解 ()g x '=a+cos x- sin x 4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭=0即4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭∈()故选C【点睛】本题主要涉及三角函数的单调性，即通过导函数的工具进行解决，同时涉及三角函数给定区间求值域的问题，注意对题干的转化是解答本题的关键．12.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()2f x x =，若方程()()00ax a f x a +-=>恰有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A. 112，⎛⎫ ⎪⎝⎭B. []02，C. ()12，D. [)1+∞， 【答案】A【解析】由题意可得周期为T=2，原方程可变形为()(1)f x a x =+，则为y=f(x)与y=a （x+1）（0a >）曲线交点恰有三个．由图可知斜率k=a 1(,1)2∈,选A.【点睛】若直线求函数零点不好求时，常把函数变形为()()f x g x =，这样就变为求()y f x =与()y g x =交点个数问题．【此处有视频，请去附件查看】二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分．)13.若“[]4,2x ∀∈--,12xm ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥”是真命题，则实数m 的最大值为__________． 【答案】4 【解析】由题意得，函数1()2xy =为单调递减函数， 当[4,2]x ∈--上的最小值为21()42-=，要使得[]14,2,2xx m ≥⎛⎫∀∈-- ⎪⎝⎭为真命题，所以4m ≤，所以实数m 的最大值为4.14.若0x =是函数0y -的极值点，则实数a =_______. 【答案】1- 【解析】分析：求函数的导函数，又由0x =为()y f x =的极值点，故(0)0f '=，由此得到关于a 的方程，解方程即可求得实数a 的值.详解：由题意，函数0y -，则22()6xf x a e x a +'=+，由0x =为()y f x =的极值点，故(0)0f '=，即20a a +=，解得1a =-或0a =， 当0a =时，函数()32f x x =为极值点，故1a =-.点睛：本题考查了函数的导数与函数的极值点之间的关系，以及根据函数的极值点求解参数点取值其中明确函数的极值点与函数的导数之间的关系是解答的关键，同时主语验证，是解答的一个易错点，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 15.已知函数())ln 1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．【答案】2- 【解析】 【分析】发现()()f x f x 2+-=，计算可得结果. 【详解】因为()()))()22f x f x lnx 1lnx 1ln 122x x +-=+++=+-+=，()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现()()f x f x 2+-=是关键，属于中档题. 16.在ABC ∆中，若3B π=，AC =2AB BC +的最大值为__________．【答案】【解析】【详解】设22sin sin 32AB BC A θθπθ====⎛⎫- ⎪⎝⎭Q22sin ,3AB πθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭2sin BC θ=()222sin 4sin 3AB BC πθθθϕ⎛⎫∴+=-+=+ ⎪⎝⎭，最大值为考点：解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理，三角形内角和将边长用一内角表示，转化为三角函数求最值，只需将三角函数化简为()sin cos a b θθθϕ+=+的形式【此处有视频，请去附件查看】三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作角α，角4πα+的终边经过点()2,1P -.（1）求cos α的值； （2）求5cos 26πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值.【答案】(1)；. 【解析】 【分析】（1）由于角4πα+其终边经过点()2,1P -，故cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用两角和与差的正余弦公式即可；（2）直接利用公式即可. 【详解】(1)由于角4πα+其终边经过点()2,1P -，故cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．(2)由题意得sin sin 44ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ sin cos cos sin 444410ππππαα⎛⎫⎛⎫=+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以sin22sin cos ααα== 23cos2cos 5αα-=-， 24sin 5α=-，所以55cos 2cos 66ππα⎛⎫-=⎪⎝⎭ 53cos2sin sin2610παα+=． 【点睛】本题考查角的变换和倍角公式的应用，解题的关键和合理进行角的变换，通过角的“拼、凑”达到求解的目的．18.在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c 且()sin sin sin b B c b C a A +-=. （1）求角A 的大小；（2）若3sin sin 8B C =，且ABC V 的面积为a . 【答案】(1)3π；(2)4. 【解析】分析：（1）利用已知条件，通过正弦定理以及余弦定理转化求角A 的大小； （2）3sin sin 8B C =，利用正弦定理以及三角形的面积转化求解a 即可． 详解：（1）由()sin sin sin b B c b C a A +-=，由正弦定理得()22b c b c a +-=，即222b c bc a +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，∴3A π=.（2）由正弦定理simA sin sin a b c B C ==，可得sin sin a B b A =，sin sin a Cc A=，所以1sin 2ABCS bc A =V 1sin sin sin 2sin sin a B a C A A A =⋅⋅ 2sin sin 2sin a B C A==又3sin sin 8B C =，sin A =2=，解得4a =. 点睛：本题考查正弦定理以及余弦定理三角形的面积的求法，考查计算能力．19.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()(2)e 2x f x x -=+-（其中e 是自然对数的底数，e ＝2.71828…）.(Ⅰ) 当0x >时，求()f x 的解析式；(Ⅱ) 若[02]x ∈，时，方程()f x m =有实数根，求实数m 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)()(2)e 2xf x x =-+；(Ⅱ)[2e 2]-，. 【解析】试题分析：(Ⅰ)设0x >时，则0x -<，然后根据函数为奇函数求解即可；(Ⅱ)首先根据函数的奇偶性求得当0x <时函数的解析式，然后求导分10x -≤<、02x ≤≤讨论函数的单调性，并求得函数的极值点，由此求得实数m 的取值范围.试题解析：(Ⅰ) 当0x ≤时，()(2)e 2xf x x -=+-，当0x >时，则0x -<时，()(2)e 2xf x x -=-+-，由于()f x 奇函数，则()()[(2)e 2]xf x f x x =--=--+-，故当0x >时，()(2)e 2xf x x =-+.6分 (Ⅱ) 当0x =时，(0)0f =.当02x <≤时，()(2)e 2x f x x =-+，()(1)e xf x x =-'，由()0f x '=，得1x =，当01x <<时，()0f x '<，当12x <<时，()0f x '>，则()f x 在(0,1)上单调递减；在(1,2)上单调递增.则()f x 在1x =处取得极小值(1)2e f =-， 10分 又(0)0f =，(2)2f =，故当02x <≤时，.综上，当[02]x ∈，时，，所以实数m 的取值范围是[2e 2]-，.12分 考点：1、函数的奇偶性；2、利用导数研究函数的单调性；3、方程的根.20.已知()2ππsin sin cos 2sin cos 44f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）当2ππ,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域； （2）若函数()f x 的图象向右平移π8个单位后，所得图象恰与函数()g x 的图象关于直线π6x =对称，求函数()g x 的单调递增区间.【答案】（1）210,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）()5πππ,π1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 【解析】 【分析】首先对()f x 进行化简可得()2π1sin 2242f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（1）当ππ,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，得出π24x +的范围，画出正弦图形，得出最小值最大值；（2）平移后的()π1822h x f x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，设点(),P x y 是()g x 图象上任意一点则点P 关于直线π6x =对称的点π,3Q x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在()h x 的图象上，()g x 得出解析式，进而求单调区间 【详解】（1）()2ππsin sin cos 2sin cos 44f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1cos21π11sin2sin 2sin2cos2cos222222x x x x x x -⎛⎫=+++=+-+ ⎪⎝⎭()11π1sin2cos2222242x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，由ππ,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得5ππ52π1244x ≤+≤，所以()π1sin 21,0242x f x ⎛⎫-≤+≤≤≤⎪⎝⎭，即()f x 在ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是⎡⎢⎣⎦.（2）函数()f x 的图象向右平移π8个单位后得到()h x 的图象，则()π1822h x f x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭， 设点(),P x y 是()g x 图象上任意一点，则点P 关于直线π6x =对称的点π,3Q x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在()h x 的图象上，所以()π2π1sin 23232g x h x x ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ π1sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.所以当()πππ2π22π232k x k k Z -+≤+≤+∈，即()5ππππ1212k x k k Z -+≤≤+∈时，()g x 单调递增，所以()g x 的单调递增区间是()5πππ,π1212k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】三角函数为每年高考必考题型，首先利用三角恒等变换化简函数解析式是做题的根本，（1）利用正弦型函数的定义域求得相应区间的值域；根据正弦型图形的平移变换规律求出()g x 的解析式，再利用正弦函数的增区间，得出结论21.已知函数2()ln 2a f x x x x x =--()a R ∈． （1）若曲线()y f x =在e x =处切线的斜率为1-，求此切线方程；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，求a 的取值范围，并证明：1212x x x x >+． 【答案】（1）0x y +=；（2）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,证明见解析. 【解析】 【分析】（1）()y f x =在x e =处切线的斜率为1-，即()'1f e =-，得出2a e=，计算f(e)，即可出结论 （2）①()f x 有两个极值点12,x x ，得()'ln f x x ax =-=0有两个不同的根，即ln xa x=有两个不同的根，令()ln xg x x=，利用导数求其范围，则实数a 的范围可求；()f x 有两个极值点12,x x ，1122ln x -ax =0ln x -ax =0⎧⎨⎩利用()g x 在(e,+∞)递减，()122122ln x +x ln x x +x x <a =()1212ln x x x +x =，即可证明【详解】（1）∵()'ln f x x ax =-，∴()'1f e =-，解得2a e=， ∴，故切点， 所以曲线在处的切线方程为．（2）()'ln f x x ax =-，令()'ln f x x ax =-=0，得ln xa x=． 令()ln x g x x=，则()21ln 'xg x x -=， 且当时，；当时，；时，． 令，得，且当时，；当时，．故在递增，在递减，所以． 所以当时，有一个极值点；时，有两个极值点； 当时，没有极值点．综上，的取值范围是．（方法不同，酌情给分）因为是的两个极值点，所以1122ln x -ax =0ln x -ax =0⎧⎨⎩即1122ln x =ax ln x =ax ⎧⎨⎩…① 不妨设，则，，因为在递减，且，所以()122122ln x +x ln x x +x x <，即()1212ln x +x x +x a <…②． 由①可得()()1212ln x x x +x a =，即()1212ln x x x +x a =，由①，②得()()12121212ln x +x ln x x x +x x +x <，所以1212x x x +x >．【点睛】本题主要考察导数在切线，极值方向的应用，主要理清导数的几何意义，导数和极值之间的关系进行转化，在做题的过程中，适当选取参变分离有时候能简化分类讨论的必要．22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>，过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为22()24.x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数．直线l 与曲线C 分别交于M 、N ．(1)求a 的取值范围；(2)若PM 、MN 、PN 成等比数列，求实数a 的值． 【答案】（1）0.a >（2）1a = 【解析】【详解】试题分析： （Ⅰ）由题意曲线C 的直角坐标方程为()220y ax a =>将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程令0>V 即可；（Ⅱ）设交点M ，N 对应的参数分别为12,t t ，由执行参数方程中12,t t 的几何意义可得()()12122422,2164t t a t t a +==+，然后由PM MN PN 、、成等比数列，可得21212t t t t -=代入求解即可试题解析：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为()220y ax a =>将直线l的参数方程2,2{(4.2x t y =-+=-+为参数） 代入曲线C的直角坐标方程得：()2116402t t a -++= 因为交于两点，所以0>V ，即0 4.a a ><-或又0a > ∴a 的取值范围0a >（Ⅱ）设交点M ，N 对应的参数分别为12,t t .则()()12122,2164t t t t a +==+若PM MN PN 、、成等比数列，则21212t t t t -=解得14a a ==-或（舍）所以满足条件的1a =.考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的几何意义 23.已知函数()|21||23|f x x x =++-. （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若不等式22()log (3)2f x a a <-+解集非空，求实数a 的取值范围.【答案】（1）5722x -≤≤；（2）4a >或1a <- 【解析】 【分析】（1）通过对x 取值的分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f （x ）≤6的解集；（2）由题意可得|a ﹣1|应大于函数f （x ）=|2x+1|+|2x ﹣3|的最小值，而由绝对值的意义可得f （x ）的最小值为4，故有a 2﹣3a ＞4，由此求得实数a 的取值范围 【详解】（1）()21236f x x x =++-≤，5722x ∴-≤≤ （2）因为()()212321234f x x x x x =++-≥+--=，当且仅当13,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时取等 故不等式()()22log 32f x a a <-+解集非空，等价于()222log 3243404a a a a a -+>∴-->∴>或1a <-.【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
2020届河北省衡水中学新高考冲刺模拟考试(十九)理科数学
2020届河北省衡水中学新高考冲刺模拟考试（十九)高三数学试卷（理科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.设集合{|A x y ==，{|(1)(3)0}B x x x =+-<，则()R A B =I ð（ ） A. [1,3) B. (1,3)C. (1,0][1,3)-UD. (1,0](1,3)-U【答案】B 【解析】 【分析】A 是函数的定义域，B 是不等式的解集，分别求出后再由集合的运算法则计算．【详解】由题意{|10}{|1}A x x x x =-≥=≤，{|13}B x x =-<<，{|1}R C A x x =>，∴(){|13}(1,3)R C A B x x =<<=I ． 故选B ．【点睛】本题考查集合的运算，解题时需先确定集合,A B 中的元素，然后才可能利用集合运算法则计算． 2.复数z 满足(1)|2|i z i +=-，则z =（ ）.A. 22i +B. 1i +C. 22i -D. 1i -【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的模与代数形式的运算性质求解即可． 【详解】解：∵(1)|2|2i z i +=-=，∴21i z =+()()()2111i i i -=+-1i =-， 故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的模以及复数代数形式的运算性质，属于基础题． 3.若实数x ，y 满足221x y +=，则x y +的最大值是（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式求x+y 的最大值得解.【详解】由题得22x y +≥=(当且仅当x=y=-1时取等)所以2112,224x y x y +-+≥∴≥∴≥，所以x+y ≤-2.所以x+y 的最大值为-2. 故选B【点睛】本题主要考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.非零向量,a b r r满足a b +=v v v 且0a b a -⋅=v v v （）,,a b r r 的夹角为（ ）A. 30°B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】C 【解析】【分析】运用向量的平方即为模的平方，求得2b a =r r，由向量数量积的夹角公式，计算可得所求值．【详解】由7a b a +=v v v 得，22227a b ab a ++=v v v v v ①又由0a b a -⋅=v v v（）得，2a a b =⋅r r r②将②代入①式，整理得：224b a =v v ，即2b a =r r又因为21cos ,22a a b a b a a a b⋅===⋅⋅v v v v v v v v v ，即,60a b ︒v v 的夹角为故选C .【点睛】本题考查向量数列的定义和夹角的求法，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．5.中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A.3323B.323C.7323D.8323【答案】B 【解析】 【分析】如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度．【详解】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45HB =︒，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=10353v ==/秒）． 故选B ．【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．6.《孙子算经》中曾经记载，中国古代诸侯的等级从高到低分为：公、侯、伯、子、男，共有五级.若给有巨大贡献的甲、乙两人进行封爵，则甲比乙获封等级高的概率为（ ） A.25B.15C.45D.35【答案】A 【解析】 【分析】利用组合数求出基本事件总数以及事件“甲比乙获封等级高”包含的基本事件数，再用古典概型的的概率计算公式求解即可．【详解】解：甲、乙两人进行封爵共有115525C C ⋅=种， “甲比乙获封等级高”有111115432110C C C C C ++++=种，∴所求概率为102255P ==， 故选：A ．【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于基础题． 7.已知()()0.80.8aaππ<，则实数a 的取值范围是（ ）A. (,0)-∞B. ()0,1C. (1,)+∞D. [1,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】 由()()0.80.8aaππ<可得0.80.18aππ⎛⎫< ⎪⎝⎭，再根据指数函数的单调性即可求出答案． 【详解】解：∵0.81.008ππ>>>， ∴0.810.8ππ>，又()()0.80.8aaππ<，∴0.80.18aππ⎛⎫< ⎪⎝⎭，而函数0.80.8xy ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递增， ∴0a <， 故选：A ．【点睛】本题主要考查根据指数函数的单调性求参数的范围，属于基础题．8.已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan2α=（ ）A. -B. -C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得tan 2α=-，再用二倍角公式即可求出结论． 【详解】解：∵sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴11sin 3sin 2222a a a a 琪-=-+琪桫，即2sin αα=，∴tan α=，∴22tan tan21tan ααα=-34314-==--， 故选：A ．【点睛】本题主要考查简单的三角恒等变换和二倍角的正切公式，属于基础题．9.已知符号函数()1,0,sgn {0,0,1,0,x x x x >==-<那么()32sgn 31y x x x =-++的大致图象是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】令()3231f x x x x =-++ ，则()()()()(212111212f x x x x x x x =---=---+ ，()(10,120f f ∴== ，(120f += ，()1,0sgn {0,01,0x x x x >==-<Q ，()()sgn 10f ∴= ，可排除,A B ，又(()sgn 120f += ，(()sgn 120f +=，可排除C ，故选D.10.已知,A B 为椭圆22143x y +=上的两个动点，()M 1,0-,且满足MA MB ⊥,则MA BA ⋅u u u r u u u r 的取值范围为 （ ） A. []3,4 B. 9,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. []1,9D. 9,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】由题可得2()MA BA MA MA MB MA ⋅=⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，设(,)M x y ，由两点间距离公式结合[2,2]x ∈-可得解.【详解】,A B 为椭圆22143x y +=上的两个动点，()M 1,0-为其左焦点.MA MB ⊥，则有0MA MB ⋅=u u u r u u u r.2()MA BA MA MA MB MA ⋅=⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .设(,)M x y ，则223(1)4x y =-.222222211(1)(1)3(1)24(4)444x MA x y x x x x =++=++-=++=+u u u r .由[2,2]x ∈-，得221(4)[1,9]4MA x =+∈u u u r .故选C.【点睛】本题主要考查了椭圆方程的应用及数量积的坐标运算，属于中档题. 11.设数列{}n a 的前项和为n S ，且11a =，()*2(1)nn a n N S n n=+-∈，则22n nS n -的最小值是（ ） A. 1- B. 2C. 23D. 3【答案】A 【解析】 【分析】由题意得当2n ≥时，12(1)n n n S S S n n -+--=，得112n n S Sn n --=-，从而求出22n S n n =-，得232232n nS n n n =--，利用导数得数列{}22n nS n -是一个递增数列，从而可求出答案．【详解】解：∵2(1)nn S a n n=+-， ∴当2n ≥时，12(1)nn n S S S n n-+--=， ∴()12(11)n n n S Sn n-=---，∴()12(1)1n n n S nS n n -=---，∴112n n S S n n --=-， 又1111Sa ==，∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2位公差的等差数列， ∴()12121nn S n n=+-=-， ∴22n S n n =-，∴2322222n n nS n n n ---=3223n n =-，令3223,1y x x x =-≥，则()2'66610y x x x x =-=-≥，∴数列{}22n nS n-是一个递增数列，∴当1n =时，22n nS n -有最小值231-=-，故选：A ．【点睛】本题主要考查地推数列的性质，考查等差数列的证明，属于中档题．12.如图，已知四面体ABCD 的各条棱长均等于4，E ，F 分别是棱AD 、BC 的中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）A .32 B. 4C. 2D. 6【答案】B 【解析】 【分析】将正四面体补成正方体，由此可得截面为平行四边形MNKL ，且4KL KN +=，且KN KL ⊥，利用基本不等式即可求出结论．【详解】解：将正四面体补成正方体如图，可得EF ⊥平面CHBG ，且正方形边长为2由于EF α⊥，故截面为平行四边形MNKL ，且4KL KN +=， 又//KL BC ，//KN AD ，且AD BC ⊥， ∴KN KL ⊥， ∴MNKLS KN KL =⋅Y 242KN KL +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2KL KN ==时取等号， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了面面平行的性质，考查了基本不等式的应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．二、填空题13.设D 为ABC ∆所在平面内一点，1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u r ，若()BC DC R u u u v u u u v λλ=∈，则λ=__________．【答案】-3 【解析】 【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．【详解】∵D 为ABC ∆所在平面内一点, 1433AD AB AC =-+u u u v u u uv u u u v ，∴B ，C ，D 三点共线.若BC DC λ=u u u v u u u v (),R λ∈∴AC AB AC AD λλ-=-u u u v u u u v u u u v u u u v，化为： AD uuu v =1AB λu u u v +1AC λλ-u u u v ，与AD uuu v =−13AB u u u v +43AC u u u v ，比较可得： 113λ=-，解得3λ=-. 即答案为-3.【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算及相关的恒等变换问题．14.若62b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为20，则ab =________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用二项式的展开式的通项公式求解即可．【详解】解：∵62b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()6216rr rr C b ax x T -+⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭61236r r r r C a b x--=⋅⋅， 令1233r -=，得3r =，∴()33620C ab ⋅=，∴1ab =， 故答案为：1．【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数，属于基础题．15.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=＞＞的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线的右支交于点P ，且1245F PF ∠=o．则双曲线的离心率为________________．【解析】【详解】记12PF F θ∠=.则21135PF F θ∠=-o.设切点为M .则在1Rt OF M ∆中，sin a c θ=，(cos bc cθ== 在12PF F ∆中，由正弦定理得()()()12121212sin sin45sin 135********.PF PF F F PF b a aPF c PF PF b a ab θθθθθθ===-⇒=-⎫=+=+⎪⎪⎝⎭⇒==⋅=⇒-=+-=⇒=ooo 故该双曲线的离心率为c e a ====16.为响应国家号召，打赢脱贫致富攻坚战，武汉大学团队带领湖北省大悟县新城镇熊湾村村民建立有机、健康、高端、绿色的蔬菜基地，并策划“生产、运输、销售”一体化的直销供应模式，据统计，当地村民两年时间成功脱贫.蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份10元的价格销售到生鲜超市，每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）.该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量（单位：份），制成如下表格（注：*,x y N ∈，且30x y +=）.若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，若购进17份比购进18份的利润的期望值大，则x 的最小值是________.【答案】25 【解析】 【分析】先根据条件求出分布列和期望，再根据“购进17份比购进18份的利润的期望值大”即可得出答案． 【详解】解：若该超市一天购进17份这种有机蔬菜，1Y 表示当天的利润（单位：元），那么1Y 的分布列为1Y 的数学期望()1106575100100x E Y =⨯+⨯9083001085100100x x --+⨯=， 若该超市一天购进18份这种有机蔬菜，2Y 表示当天的利润（单位：元），那么2Y 的分布列为2Y 的数学期望()2106070100100x E Y =⨯+⨯167480+90100100x -+⨯⨯854020100x -=， ∵购进17份比购进18份的利润的期望值大， ∴830010854020100100x x-->，且30x <，解得2430x <<，又*x ∈N ， ∴x 的最小值为25， 故答案为：25．【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．三、解答题17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*2n n S a n n N =-+∈.（Ⅰ）求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （Ⅱ）求数列{}1n a -的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）111432nn n T ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】（Ⅰ）由112221n n n n n S S a a a ---==-++可以得出1111232n n a a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，进而得出结论. （Ⅱ）由（Ⅰ）可推导出1111232nna ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，再利用分组求和法就能求出数列{}1n a -的前n 项和n T .【详解】（Ⅰ）2n n S a n =-+， 当2n ≥时，1121n n S a n --=-+-， 两式相减，得121n n n a a a -=-++，即11133n n a a -=+. ∴1111232n n a a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列． （Ⅱ）由1121S a =-+，得113a =.由（Ⅰ）知，数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以16-为首项，13为公比的等比数列．所以11111126323n nn a -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴111232nn a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴1111232nn a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，∴111631111243213nnnn n T ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 【点睛】本题考查了等比数列的证明，考查利用分组求和法求数列的前n 项和的求法.18.如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PD AB ==，E 为PC 上一点，当F 为DC 的中点时，EF 平行于平面P AD .（Ⅰ）求证：DE⊥平面PCB；（Ⅱ）求二面角E BD P--的余弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）6【解析】【分析】（Ⅰ）PD⊥平面ABCD可得PD BC⊥，从而证出BC⊥平面PCD，则BC DE⊥，从而可证出DE⊥平面PCB；（Ⅱ）以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，求出平面BDE和平面PDB的的一个法向量，再根据法向量求出二面角．【详解】（Ⅰ）证：PD⊥Q平面ABCD，PD BC∴⊥，又∴正方形ABCD中，CD BC⊥，PD CD D⋂=，BC∴⊥平面PCD，又DE⊂Q平面PCD，BC DE∴⊥，PD CD=Q，当F为DC的中点时，EF平行平面PAD，所以E是PC的中点，DE PC⊥，PC BC C⋂=，DE∴⊥平面PCB；（Ⅱ）解：以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D，(0,0,2)P，(2,2,0)B，(0,1,1)E，(2,2,0)DBu u u r=，(0,1,1)DE=u u u r，设平面BDE的法向量为(,,)n x y z=r，则0n DB⋅=r u u u r，0n DE⋅=r u u u r，220x y y z +=⎧∴⎨+=⎩，令1z =，得到1y =-，1x =，(1,1,1)n ∴=-r ； 又(0,2,0)C Q ，(2,0,0)A ，(2,2,0)=-u u u rAC ，且AC ⊥平面PDB ， ∴平面PDB 的一个法向量为(1,1,0)m =-u r；设二面角E BD P --的平面角为α，由图可知角α为锐角，则cos |cos ,|m n α=<>==u r r ， ∴二面角E BD P --的余弦值为3． 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定和性质，考查二面角的求法，属于中档题．19.已知椭圆:C 2221x y a +=(>1)a（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 过点(1,0)M 且与椭圆C 相交于,A B 两点.过点A 作直线3x =的垂线，垂足为D .证明直线BD 过x 轴上的定点.【答案】（1）2213x y +=；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）由离心率列方程可求得椭圆方程；（2）当直线AB 的斜率不存在时，直线BD 过点（2，0）．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 为y=k （x-1），联立方程组，消去y 整理得：（1+3k 2）x 2-6k 2x+3k 2-3=0．利用韦达定理、直线方程，结合已知条件求出直线BD 过x 轴上的定点．【详解】（1）解：由题意可得2221b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩,解得1a b ==，所以椭圆C 的方程为2213x y += ．（2）直线BD 恒过x 轴上的定点N （2，0）．证明如下 （a ）当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x =1，不妨设A （1），B （1，，D （3）． 此时，直线BD 的方程为：y=3（x -2），所以直线BD 过点（2，0）． （b ）当直线l 斜率存在时，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 为y =k （x -1），D （3，y 1）．由()12233y k x x y =-⎧⎪+=⎨⎪⎩得：（1+3k 2）x 2-6k 2x +3k 2-3=0． 所以x 1+x 2=22631k k +，x 1x 2=223331k k -+．……（*）直线BD ：y -y 1=2123y y x --（x -3），只需证明直线BD 过点（2，0）即可.令y =0，得x -3=()12213y x y y ---，所以x =2112121333y y y x y y y --+-=212213y y x y y --=2122143x x x x x ---即证21221432x x x x x --=-，即证()211223x x x x +-=.将（*）代入可得()222211222212339323313131k k k x x x x k k k -++-=-==+++.所以直线BD 过点（2，0）综上所述，直线BD 恒过x 轴上的定点（2，0）．【点睛】本题考查椭圆方程求法，考查了直线恒过定点，考查推理论证能力、运算求解能力，考查由特殊到一般的思想，是难题． 20.已知函数()ln f x ax x =-. （Ⅰ）求()f x 的极值；（Ⅱ）若1a =-，1b ≥，()()xg x f x be =+，求证：()0g x >.【答案】（Ⅰ）有极小值为1ln a +，无极大值；（Ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）求导求定义域得()()10f x a x x'=->，再分类讨论即可得出结论； （Ⅱ）当1a =-，1b =时，()()ln 0x g x e x x x =-->，()11xg x e x'=--，令()()h x g x '=，根据导数判断得函数()h x 在()0,∞+上单调递增，由零点存在性定理得01,12x ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，使得()000110x h x e x =--=，从而可得函数()g x 的最小值()00000001ln 1ln x g x e x x x x x =--=+--，根据单调性可得()011ln1110g x >+--=>，从而得出结论． 【详解】解：（Ⅰ）()()10f x a x x'=->， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，则()f x 在()0,∞+上单调递减，()f x 无极值； 当0a >时，令()0f x '>，得1x a >；令()0f x '<，得10x a<<， 则()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()f x 有极小值为1ln a +，无极大值； （Ⅱ）当1a =-，1b =时，()()ln 0xg x e x x x =-->，()11xg x e x'=--， 令()()h x g x '=，则()210xh x e x=+>'， 所以()h x 在()0,∞+上单调递增.又1302h ⎛⎫=<⎪⎝⎭，()120h e =->， 所以01,12x ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，使得()000110x h x e x =--=，即0011xe x =+，所以函数()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以函数()g x 的最小值为()00000001ln 1ln x g x e x x x x x =--=+--，又函数11ln y x x x=+--在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是单调减函数，所以()011ln1110g x >+--=>，又1b ≥，()()xxf x be f x e +≥+， 故()0g x >．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 21.在三棱锥A BCD -中，已知BCD ∆、ACD ∆均是边长为2的正三角形，BCD ∆在平面α内，侧棱AB =现对其四个顶点随机贴上写有数字1~8的八个标签中的四个，并记对应的标号为()f η（η取值为A 、B 、C 、D ），E 为侧棱AB 上一点. （1）求事件“()()f C f D +为偶数”的概率1P .（2）若()()f B BE EAf A =，求“二面角E CD A --的平面角θ大于4π”的概率2P . 【答案】（1）37（2）956【解析】【详解】（1）用1M 表示“()f C 、()f D 均为奇数”的事件，用2M 表示“()f C 、()f D 均为偶数”的事件.由题意知()241284338714A P M A ⨯===⨯，()242284338714A P M A ⨯===⨯. 记“()()f C f D +为偶数”为事件Q .则12Q M M =+. 故()()112332147P P M P M =+=⨯=. （2）如图，取边CD 的中点F ，连结BF 、AF 、EF .因为BCD ∆、ACD ∆均是边长为2的正三角形，所以，AF CD ⊥，BF CD ⊥. 因此，CD ⊥平面ABF .从而，AFE ∠是二面角E CD A --的平面角θ.又AF BF AB ===，则3AFB π∠=.故()()sin sin f A AEAFE f B BE BFE ∠==∠sinsin 41sin sin 123πθππθ=>=⎛⎫- ⎪⎝⎭. 当()1f B =时，()3f A ≥，则()f A 可取3，4，…，8共六个值；当()2f B =时，()6f A ≥，则()f A 可取6，7，8共三个值； 当()3f B ≥时，()9f A ≥，则()f A 不存在. 综上，2289956P A ==.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为22x m ty t=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+．（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 上的点，PQ l ⊥，垂足为Q ，若PQ 的最小值为2，求m 的值．【答案】（Ⅰ）22142x y +=,20x m -=；（Ⅱ）2322m =2322m =- 【解析】 【分析】（Ⅰ）消去参数t 可得直线l 的普通方程，利用互化公式即可得曲线C 的直角坐标方程.（Ⅱ）利用曲线C 的参数方程设点P ，根据点到直线距离公式求出˜PO ，再根据三角函数性质求出最小值，利用已知列方程可解得m ．【详解】（Ⅰ）因为曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，即222sin 4ρρθ+=， 将222x y ρ=+，sin y ρθ=代入上式并化简得22142x y +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22142x y +=，消去参数t 可得直线l的普通方程为0x m -=． （Ⅱ）设()2cos P θθ，由点到直线的距离公式得˜PO == 由题意知0m ≠， 当0m >时，˜min2PO==，得m =当0m <时，|˜min2PO==，得m =-所以m =m =-【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及参数方程在最值问题中的应用，属于中档题．对于点线距离问题范围（最值）问题，关键是运用参数法，再结合三角恒等变换以及三角函数的性质即可求解.23.已知函数()2f x x a x a =---，a R ∈． （Ⅰ）若(1)1f >，求a 的取值范围；（Ⅱ）若0a <，对x ∀，(],y a ∈-∞，都有不等式()(2020)f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）(,1)(1,)-∞-+∞U ；（Ⅱ）[)1010,0-. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意不等式化为1211aa --->，利用分类讨论法去掉绝对值求出不等式的解集即可；（Ⅱ）由题意把问题转化为()min max 2020f x y y a ⎡⎤⎡⎤≤++-⎣⎦⎣⎦，分别求出()max f x ⎡⎤⎣⎦和min 2020y y a ⎡⎤++-⎣⎦，列出不等式求解即可．【详解】（Ⅰ）由题意知，()11211f a a =--->，若12a ≤，则不等式化为1211a a --+>，解得1a <-；若112a <<，则不等式化为()2111a a --->，解得1a >，即不等式无解； 若1a ≥，则不等式化为2111a a -+->，解得1a >，综上所述，a 的取值范围是()(),11,-∞-⋃+∞；（Ⅱ）由题意知，要使得不等式()(2020)f x y y a ≤++-恒成立，只需()min max 2020f x y y a ⎡⎤⎡⎤≤++-⎣⎦⎣⎦， 当(,]x a ∈-∞时，2x a x a a ---≤-，()max f x a ⎡⎤=-⎣⎦， 因为20202020y y a a ++-≥+，所以当()()20200y y a +-≤时，min 20202020y y a a ⎡⎤++-=+⎣⎦， 即2020a a -≤+，解得1010a ≥-，结合0a <，所以a 的取值范围是[)1010,0-.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解问题，含有绝对值的不等式恒成立应用问题，以及绝对值三角不等式的应用，考查了分类讨论思想，是中档题．含有绝对值的不等式恒成立应用问题，关键是等价转化为最值问题，再通过绝对值三角不等式求解最值，从而建立不等关系，求出参数范围.。
2020届河北省衡中同卷新高考冲刺模拟考试(四)文科数学
2020届河北省衡中同卷新高考冲刺模拟考试（四)数学试题（文科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷（选择题）一、单选题（每小题5分，总分60分）1.已知集合{{}|1,|20A y y B x x ===-≤，则A B =I ( )A. []1,2B. []0,2C. (],1-∞D. [)2,+∞【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合,A B ，根据交集的定义即可求得结果.【详解】{|1[1,)A y y ==+=+∞，{}|20(,2]B x x =-≤=-∞，所以[1,2]A B =I ， 故选A.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合的运算，属于简单题目.2.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（ ）A. 23B. 12C. 13D. 14【答案】B 【解析】 【分析】先求出基本事件总数，再求《红楼梦》被选中包括的基本事件个数，由此可计算出任取2种进行阅读，取到《红楼梦》的概率．【详解】4本名著选两本共有246C =种，选取的两本中含有《红楼梦》的共有133C =种，所以任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为31=62． 故选B.【点睛】本题考查古典概型，属于基础题． 3.使复数z 为实数的充分而不必要条件的是（ ） A. 2z 为实数 B. z z +为实数C. z z =D. z z =【答案】D 【解析】 【分析】一个复数为实数的充分必要条件是它的虚部为0，根据这个充要条件对各个项加以判别，发现A 、B 都没有充分性，而C 是充分必要条件，由此不难得出正确的选项． 【详解】解：设复数z a bi =+（i 是虚数单位），则 复数z 为实数的充分必要条件为0b = 由此可看出：对于A ，2z 为实数，可能z i =是纯虚数，没有充分性，故不符合题意； 对于B ，同样若z 是纯虚数，则0z z +=为实数，没有充分性，故不符合题意； 对于C ，若,,z a bi z a bi z z =+=-=等价0b =，故是充分必要条件，故不符合题意；对于D ，若0z z =≥，说明z 是实数，反之若z 是负实数，则z z =不成立，符合题意．故选D ．【点睛】本题考查了复数的分类，共轭复数和充分必要条件的判断，属于基础题．熟练掌握复数有关概念，是解决本题的关键．4.已知样本数据12,,...,n x x x 的平均数是5，则新的样本数据1225,25,...25n x x x +++的平均数为( ) A. 5 B. 7C. 10D. 15【答案】D 【解析】 【分析】利用求平均数公式12nx x x x n++⋅⋅⋅+=即可求出．【详解】由题意知，数据的平均数125nx x x x n++⋅⋅⋅+==， 则数据1225,25,...25n x x x +++的平均数()()()1225252525515n x x x n++⋅⋅⋅+=⨯+=+=++故选D【点睛】本题考查求数据的平均数，可以根据平均数利用定义计算，也可以根据结论，若已知数据的平均数为x ，则12,,...n ax b ax b ax b +++的平均数为ax b +解答，属于基础题．5.已知点P 是圆()()22:3cos sin 1C x y θθ--+-=上任意一点，则点P 到直线1x y +=距离的最大值为（ ）B. 12+【答案】D 【解析】 【分析】计算出圆心C 到直线10x y +-=距离的最大值，再加上圆C 的半径可得出点P 到直线10x y +-=的距离的最大值.【详解】圆C 的圆心坐标为()3cos ,sin θθ+，半径为1，点C 到直线10x y +-=的距离为2sin 23cos sin 14sin 212422d πθθθπθ⎛⎫++ ⎪++-⎛⎫⎝⎭===++≤+ ⎪⎝⎭， 因此，点P 到直线1x y +=距离的最大值为12122++=+. 故选D.【点睛】本题考查圆上一点到直线距离的最值问题，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则圆上一点到直线的距离的最大值为d r +，最小值为d r -，解题时要熟悉这个结论的应用，属于中等题.6.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）． A. [2,2]- B. [1,1]-C. [0,4]D. [1,3]【答案】D 【解析】【详解】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为()(1)2f f x -≤-(1)f ≤，再利用单调性继续转化为121x -≤-≤，从而求得正解.7.函数()sin(),0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是图象的最高点和最低点，其中M 点横坐标为12，O 为坐标原点，且0OM ON ⋅=u u u u r u u u r ，则ω，ϕ的值分别是（ ）A.23π，6π B. π，3πC. 2，4π D. 1，3π 【答案】A【解析】【分析】根据条件即可得出1(,1)2M，并设(,1)N x-，然后根据0OM ON=uuu r uuu rg即可得出2x=，这样结合图象即可得出22322ωπϕπωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，从而解出ω，ϕ即可．【详解】解：根据题意知，1(,1)2M，设(,1)N x-，且0OM ON=uuu r uuu rg，∴102x-=，解得2x=，∴结合图象，把两点的坐标代入函数解析式中得，22322ωπϕπωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2,36ππωϕ==．故选：A．【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，根据点的坐标求向量的坐标的方法，五点法画()sin()f x xωϕ=+的图象的方法，考查了计算能力，属于基础题．8.某程序框图如图所示，其中21()g nn n=+，若输出的20192020S=，则判断框内可以填入的条件为（）A. 2020?n <B. 2020?n „C. 2020?n >D. 2020?n …【答案】A 【解析】 【分析】 因为()()2111111g n n n n n n n ===-+++，此程序框图是对函数()g n 求和，利用裂项相消法求和，可知201912020n S n ==+，可知2019满足条件进入循环，2020不满足条件没有进入循环，根据选项得到正确结果.【详解】由2221111111112019(1111222231112020n S n n n n n n ⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+=-+-+⋯+-=-==⎪ ⎪ ⎪++++++⎭⎝⎭⎝⎭，解得2019n =，可得n 的值为2019时.满足判断框内的条件，当n 的值为2020时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值，故判断框内可以填人的条件为“2020n <？”.故选A.【点睛】本题考查根据循环框图的输出结果填写判断框的内容，关键是分析出满足输出结果时的n 值，再根据选项判断结果.9.已知平面向量OA u u u r 、OB uuu r 、OC u u u r 为三个单位向量，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r，若OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r （,x y ∈R ），则x y +的最大值为（ ） A. 1 B.C.D. 2【答案】B 【解析】 【分析】以O 为原点,OA OB u u u r u u u r 方向为,x y 轴建立平面直角坐标系，根据OC u u u r 为单位向量设出OC u u u r 的坐标，利用三角函数的性质求得x y +的最大值.【详解】由于单位向量OA u u u r 、OB uuu r 满足0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，故OA OB ⊥u u u r u u u r，以O 为原点,OA OB u u u r u u u r 方向为,x y 轴建立平面直角坐标系，由于OC u u u r为单位向量，故C 在以O 为圆心，半径为1的圆上，设()[)cos ,sin ,0,2πOC θθθ=∈u u u r ，也即cos ,sin x y θθ==，所以π4x y θ⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，所以x y +的最大值为2. 故选B.【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查三角恒等变换求最值，属于中档题. 10.若曲线()()21x f x ax e -=-在点()()22f ,处的切线过点()3,3，则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A. ()0,∞+B. (),0-∞C. ()2,+∞D. (),2-∞【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解，取切线斜率列方程，求解参数，再求解单调区间． 【详解】2()(1)x f x ax e -=-Q ，0(2)(21)21f a e a =-=-求导222'()(1)1(1)x x x f x aeax e ax a e ---=+-⋅=+-0='(2)(31)31k f a e a =-=-切3(21)=423132a k a a --∴=-=--切解得1a =2222()(1),'()1(1)x x x x f x x e f x e x e xe ----=-∴=⋅+-=20x e ->Q ，则当0x >时，'()0f x >．则()f x 的单调递增区间是(0)+∞，． 故选A【点睛】导数几何意义：函数在某点处的导数等于切线的斜率．已知两点坐标也可求斜率．本题还考察了导数在研究函数性质中的应用．11.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且4PA =，M 是PB 上的一个动点，过点M 作平面//α平面PAD ，截棱锥所得图形面积为y ，若平面α与平面PAD 之间的距离为x ，则函数()y f x =的图象是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】过点M 作MN //PA 交AB 于点N ，点M 作MF//BC 交PC 于点F,过点N 作NE //AD 交CD 于点E ，连接EF.则面MNEF//平面PAD ，MNEF y S =.由PA ⊥平面ABCD ，可得MN ⊥平面ABCD ，平面α与平面PAD 之间的距离为AN x =，且MNEF 为直角梯形.由MN //PA ，MF//BC 得22MN x PA -=，2MF xBC =所以()22,MN x MF x =-=. ()()()22242MNEF MN MF NE y S x x x +===-+=-.故选D.12.已知函数()x xf x e=，若关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++-=恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值集合为（ ） A. (,2)(2,)-∞⋃+∞ B. 11,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C. 11,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 11e ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】 【分析】本题先利用导数法对函数()f x 的单调性进行分析并画出()f x 大致图象，解2[()]()10f x mf x m ++-=可得()1f x =-或()1f x m =-，由图可知存在1个实数使得()1f x =-，要使方程2[()]()10f x mf x m ++-=恰有3个不同的实数解，则需使()1f x m =-要有2个不同的实数解，即函数()f x 与函数y 1m =-有两个交点，结合函数图象与函数最值可得.【详解】解：由题意1()xxf x e -'=． 令1()0xxf x e -'=<，解得1x >； 令1()0xxf x e -'=>，解得1x <； 令1()0xxf x e -'==，解得1x =． ()f x ∴在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，在1x =处取极大值1e．()f x 大致图象如下：2[()]()10f x mf x m ++-=Q ， ()1f x ∴=-或()1f x m =-，由图象可知函数()1f x =-有1个解，要使2[()]()10f x mf x m ++-=恰有3个不同的实数解，即()1f x m =-存在2个不同的实数解，等价于函数()f x 与y 1m =-有两个交点，101m e∴<-< 解得111m e∴-<< 故选：C【点睛】本题主要考查利用导数法对函数()f x 的单调性进行分析，及数形结合思想的应用．本题属较难题．第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共20分）13.若2弧度的圆心角所对的弧长是4 cm ，则这个圆心角所在的扇形面积________2cm . 【答案】4 【解析】 【分析】先由扇形的弧长公式l R θ=可得：422R ==，再结合扇形的面积公式12S lR =求解即可.【详解】解：由扇形的弧长公式l R θ=可得：422R ==， 由扇形的面积公式12S lR =可得：这个圆心角所在的扇形面积为14242S =⨯⨯=2cm ， 故答案为：4.【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，重点考查了扇形的面积公式，属基础题.14.已知向量(2,3)a =--r ，(,1)b λ=r ，若向量a r 与向量b r夹角为钝角，则λ的取值集合为________.【答案】322,,233⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】由题意可得230a b λ=--<r rg ，且a r 与b r 不共线，由此求得λ的取值集合．【详解】解：Q 向量(2,3),(,1)a b λ=--=rr，若向量a r 与向量b r夹角为钝角，∴230a b λ=--<r rg ，且a r 与b r 不共线，即32λ>- 且123λ≠--，即32λ>- 且23λ≠，故答案为：322,,233⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题主要考查两个向量的夹角，两个向量共线的性质，属于基础题． 15.若函数lg(1),(1)()sin ,(0)x x f x x x ⎧->=⎨<⎩，则()y f x =图像上关于原点O 对称的点共有________对.【答案】4 【解析】 【分析】()y f x =图象上关于原点O 对称的点的个数只需观察()|(1)|(1)f x lg x x =->的图象与()sin (0)f x x x =<关于原点对称的函数的图象交点个数即可,再分别画图象可观察得解. 【详解】解：()y f x =图象上关于原点O 对称的点的个数,只需观察()|(1)|(1)f x lg x x =->的图象与()sin (0)f x x x =<关于原点对称的函数的图象交点个数即可，上图可知：两个图象交点个数为4个， 故答案为：4．【点睛】本题考查了作图能力，重点考查了数形结合的思想． 16.设a ，b ，c 分别为ABC V 的内角A ，B ，C 的对边，已知()2223c a b =-，且tan 3C =，则角B 为________. 【答案】4π【解析】 【分析】根据题意得2223c a b -=，且b a <；利用余弦和正弦定理得2sin cos 3sin C B A =，利用三角形内角和定理得tan 2tan A B =，代入tan 3C =求出tan B 和B 的值．【详解】解：ABC ∆中，2223()c a b =-，得2223c a b -=，且b a <，所以B 为锐角；因为22222122sin 3cos 2233sin c c a c b c C B ac ac a A++-====， 即3sin cos 2sin 2sin()A B C A B ==+， 整理得sin cos 2cos sin A B A B =， 则有tan 2tan A B =； 又tan 3C =，所以tan tan 2tan tan tan[()]tan()3tan tan 12tan tan 1A B B BA B A B A B B B π++-+=-+===--g ，化简得22tan tan 10B B --=，解得tan 1B =或1tan 2B =-（不合题意，舍去）；又B 为锐角，所以角4B π=．故答案为：4π． 【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．三、解答题（共70分.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题（共60分）17.在数列{}n a 中，已知()111411,,23log 44n n n n a a b a n N a *+==+=∈． （1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足n n n c a b =+，求{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）1()4nn a =，32n b n =-（2）211133342nn n nS -⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义得数列{}n a 是首项为14，公比为14的等比数列，由等比数列的通项公式得出数列{}n a 的通项公式，再代入1423log n nb a +=中得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）得数列{}n c 是等比数列{}n a 和等差数列{}n b 的每一项求和所得，所以对等比数列{}n a 和等差数列{}n b 分别求前n 项和再相加可得{}n c 的前n 项和n S .【详解】（1）∵114n n a a +=,11,4a = ∴数列{}n a 是首项为14，公比为14的等比数列，∴()1*111444n nn a n N -⎛⎫⎛⎫=⨯=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ∵143log 2n n b a =- ,∴1413log 2324nn b n ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.（2）由（1）知，14nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32n b n =-()*n N ∈，∴1324nn n n c a b n ⎛+⎫=+=- ⎪⎝⎭. 所以()231111147324444n nn S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+++++++++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L L ()21114413211311234214nn n n n n ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭+-⨯-⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=⨯-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- ， 所以211133342nn n nS -⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭，故得解.【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式和分组成等差数列和等比数列求前n 项和的方法，属于基础题. 18.已知函数()()22f x cosx asinx cosx cos x π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭，且()03f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()1求函数()y f x =的最小正周期； ()2求()f x 在52,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【答案】（1）最小正周期T π=（2）()1min f x =-，()2max f x = 【解析】 【分析】()1利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，可得函数的周期；()2由x 的范围，得到相位的范围，进一步求得()f x 在52,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【详解】解：()()()212f x cosx asinx cosx cos x π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭221222asinxcosx cos x sin x asin x cos x =-+=-． ()03f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭Q ，12231sin()cos()1,2332a a ππ---=-+=- 23a ∴=．则()322226f x sin x cos x sin x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭． 所以函数()y f x =的最小正周期T π=；()522,243x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，72,646x πππ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦， 则12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()[]1,2f x ∈-．则当23x π=时，()1min f x =-，当3x π=时，()2max f x =．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查()y Asin x ωϕ=+型函数的图象和性质，是中档题． 19.如图，在四棱锥P ABCD -中PA ⊥底面ABCD ，DAB ∠为直角，AB CD ∥，222AD CD AB PA ====，E ，F 分别为PC ，CD 的中点.（1）试证：CD ⊥平面BEF ； （2）求三棱锥P DBE -体积.【答案】(1)证明见解析 (2) 13【解析】 【分析】（1）先证四边形ABFD 为平行四边形，又DAB ∠为直角，可得DC BF ⊥，再由已知证明DC PD ⊥，可得DC EF ⊥，由线面垂直的判定可得DC ⊥平面BEF ；（2）由（1）知，CD ⊥平面PAD ，则平面PDC ⊥平面PAD ，在Rt PAD ∆中，设A 到PD 的距离为h ，利用等面积法求得h ，得A 到平面PDC 的距离为25，即B 到平面PDC 的距离为25，再利用等体积法求三棱锥P DBE -的体积．【详解】（1）证明：//AB CD Q ，2CD AB =，F 为CD 的中点，∴四边形ABFD 为平行四边形，又DAB ∠为直角，DC BF ∴⊥，又PA ⊥底面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ， DC AD ⊥Q ，故DC ⊥平面PAD ，DC PD ∴⊥，在PCD ∆内，E 、F 分别是PC 、CD 的中点，//EF PD ，DC EF ∴⊥． 由此得DC ⊥平面BEF ；（2）解：由（1）知，CD ⊥平面PAD ，则平面PDC ⊥平面PAD ， 在Rt PAD ∆中，设A 到PD 的距离为h ，则PA AD PD h =g g， 得255PA AD h PD ===g ，A ∴到平面PDC 的距离为25， 即B 到平面PDC 的距离为25， 15512BDE S ∆=⨯⨯=， 1525133P DBE B PDE V V --∴==⨯⨯=．【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题． 20.已知动点M 到定点(1,0)F 的距离比M 到定直线2x =-的距离小1. （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线12l l 和，分别交曲线C 于点,A B 和,K N ．设线段AB ，KN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点. 【答案】(1) 24y x = (2) 见解析 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）先借助抛物线定义确定曲线的形状是抛物线，再确定参数2p =，进而求出标准方程；（Ⅱ）先依据（Ⅰ）的结论分别建立12,l l 两条互相垂直的直线的方程，再分别与抛物线联立方程组，求出弦中点为,P Q 的坐标，最后借助斜率的变化确定直线PQ 经过定点.解：（Ⅰ）由题意可知：动点M 到定点()1,0F 的距离等于M 到定直线1x =-的距离.根据抛物线的定义可知，点M 的轨迹C 是抛物线.∵2p =，∴抛物线方程为：24y x =（Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭. 由题意可设直线1l 的方程为()()10y k x k =-≠.由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得()2222240k x k x k -++=. ()24224416160k k k ∆=+-=+>.因为直线1l 与曲线C 于,A B 两点，所以()1212122442,2x x y y k x x k k+=++=+-=. 所以点P 的坐标为2221,k k ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由题知，直线2l 的斜率为1k-，同理可得点Q 的坐标为()212,2k k +-. 当1k ≠±时，有222112k k +≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k kk k+==-+--. 所以，直线PQ 的方程为()222121ky k x k k+=---，整理得()230yk x k y +--=. 于是，直线PQ 恒过定点()3,0E ；当1k =±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点()3,0E .综上所述，直线PQ 恒过定点()3,0E . 21.已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设2()2x g x e x e =--+，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈使得()()12f x g x <，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）ln 21a >- 【解析】 【分析】(Ⅰ)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的定义域和导函数的符号分类讨论即可确定函数的单调区间； (Ⅱ)首先求得函数()g x 的最大值，然后进行等价转化，结合(Ⅰ)中的结果分类讨论即可确定a 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）()2(1)(2)()21(0)ax x f x ax a x x x--'=-++=>. ①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞. ②当102a <<时，12a>， 在区间(0,2)和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '>；在区间12,a ⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间是12,a ⎛⎫⎪⎝⎭.③当12a =时，2(2)()02x f x x-'=≥，故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞.④当12a >时，102a <<，在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(2,)+∞上，()0f x '>；区间1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(2,)+∞，单调递减区间是1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭. （Ⅱ）设()1xg x e '=-，2(]0,x ∈，()0g x '>，()g x 为增函数，由已知，()max g(2)0g x ==.据此可得max ()0f x <. 由（Ⅰ）可知， ①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2f x f a a ==-++222ln 2a =--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤. ②当12a >时，()f x 在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 故max 11()22ln 2f x f a a a ⎛⎫==--- ⎪⎝⎭.由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<， 所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， 综上所述，ln 21a >-.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点O 为坐标原点，极轴为x 的正半轴建立平面直角坐标系xOy . （1）求1C 和2C 的参数方程； （2）已知射线1:(0)2l πθαα=<<，将1l 逆时针旋转6π得到2:6l πθα=+，且1l 与1C 交于,O P 两点，2l与2C 交于,O Q 两点，求OP OQ ⋅取得最大值时点P 的极坐标.【答案】（Ⅰ）2cos (22sin x y βββ=⎧⎨=+⎩为参数）;（Ⅱ）)6π【解析】试题分析：（Ⅰ）根据坐标方程之间的转化，分别求出C 1和C 2的参数方程即可；（Ⅱ）设出P ，Q 的极坐标，表示出|OP|•|OQ|的表达式，结合三角函数的性质求出P 的极坐标即可． 试题解析：（Ⅰ）在直角坐标系中，曲线1C 的直角坐标方程为()2224x y -+= 所以1C 参数方程为22(2x cos y sin ααα=+⎧⎨=⎩为参数）.曲线2C 的直角坐标方程为()2224x y +-=. 所以2C 参数方程为2(22x cos y sin βββ=⎧⎨=+⎩为参数）（Ⅱ）设点P 极坐标为()1,ρα, 即14cos ρα=, 点Q 极坐标为2,6πρα⎛⎫+⎪⎝⎭, 即24sin 6πρα⎛⎫=+⎪⎝⎭.则124cos 4sin 6OP OQ πρραα⎛⎫⋅==⋅+ ⎪⎝⎭ 116cos cos 22ααα⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭8sin 246πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 70,.2,2666ππππαα⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 当2,626πππαα+==时OP OQ ⋅取最大值，此时P 点的极坐标为6π⎛⎫ ⎪⎝⎭.23.已知函数()214f x x x =++- （1）解不等式()6f x ≤；（2）若不等式2()48f x x a a +-<-有解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）[]1,1-（2）(),1(9,)-∞-+∞U 【解析】 【分析】（1）对()f x 去绝对值符号，然后分别解不等式即可（2）不等式2()48f x x a a +-<-有解，则只需2min (()4)8f x x a a +-<-，求出()4f x x +-的最小值，然后解不等式即可.【详解】（1）由已知得13321()542334x x f x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，，， 当21x <-时，3361x x -+≤⇒≥- 112x ∴-≤<- 当142x -≤≤时，561x x +≤⇒≤ 112x ∴-≤≤ 当4x >时，3363x x -≤⇒≤舍综上得()6f x ≤的解集为[]1,1-（2）()421289f x x x x +-=++-≥2()48f x x a a +-<-Q 有解289a a ∴->，(9)(1)0a a -+>1a ∴<-或9a >a ∴的取值范围是(),1(9,)-∞-+∞U .【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有应用零点分段法解绝对值不等式，根据不等式有解求参数的取值范围，属于简单题目.。
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2020届河北省衡中同卷新高考冲刺模拟考试（四)理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
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写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单选题1.已知集合{{}|1,|20A y y B x x ===-≤，则A B =I ( )A. []1,2B. []0,2C. (],1-∞D. [)2,+∞【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合,A B ，根据交集的定义即可求得结果.【详解】{|1[1,)A y y ==+=+∞，{}|20(,2]B x x =-≤=-∞，所以[1,2]A B =I ， 故选A.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合的运算，属于简单题目.2.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（ ）A.23B.12C.13D.14【答案】B 【解析】 【分析】先求出基本事件总数，再求《红楼梦》被选中包括的基本事件个数，由此可计算出任取2种进行阅读，取到《红楼梦》的概率．【详解】4本名著选两本共有246C =种，选取的两本中含有《红楼梦》的共有133C =种，所以任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为31=62． 故选B.【点睛】本题考查古典概型，属于基础题． 3.使复数z 为实数的充分而不必要条件的是（ ） A. 2z 为实数 B. z z +为实数C. z z =D. z z =【答案】D 【解析】 【分析】一个复数为实数的充分必要条件是它的虚部为0，根据这个充要条件对各个项加以判别，发现A 、B 都没有充分性，而C 是充分必要条件，由此不难得出正确的选项． 【详解】解：设复数z a bi =+（i 是虚数单位），则 复数z 为实数的充分必要条件为0b = 由此可看出：对于A ，2z 为实数，可能z i =是纯虚数，没有充分性，故不符合题意； 对于B ，同样若z 是纯虚数，则0z z +=为实数，没有充分性，故不符合题意； 对于C ，若,,z a bi z a bi z z =+=-=等价0b =，故是充分必要条件，故不符合题意；对于D ，若0z z =≥，说明z 是实数，反之若z 是负实数，则z z =不成立，符合题意． 故选D ．【点睛】本题考查了复数的分类，共轭复数和充分必要条件的判断，属于基础题．熟练掌握复数有关概念，是解决本题的关键．4.已知样本数据12,,...,n x x x 的平均数是5，则新的样本数据1225,25,...25n x x x +++的平均数为( ) A. 5 B. 7C. 10D. 15【答案】D 【解析】 【分析】利用求平均数公式12nx x x x n++⋅⋅⋅+=即可求出．【详解】由题意知，数据的平均数125nx x x x n++⋅⋅⋅+==， 则数据1225,25,...25n x x x +++的平均数()()()1225252525515n x x x n++⋅⋅⋅+=⨯+=+=++故选D【点睛】本题考查求数据的平均数，可以根据平均数利用定义计算，也可以根据结论，若已知数据的平均数为x ，则12,,...n ax b ax b ax b +++的平均数为ax b +解答，属于基础题．5.已知点P 是圆()()22:3cos sin 1C x y θθ--+-=上任意一点，则点P 到直线1x y +=距离的最大值为（ ）B.12+【答案】D 【解析】 【分析】计算出圆心C 到直线10x y +-=距离的最大值，再加上圆C 的半径可得出点P 到直线10x y +-=的距离的最大值.【详解】圆C 的圆心坐标为()3cos ,sin θθ+，半径为1，点C 到直线10x y +-=的距离为sin 14d πθ⎛⎫===+≤ ⎪⎝⎭因此，点P 到直线1x y +=距离的最大值为112=故选D.【点睛】本题考查圆上一点到直线距离的最值问题，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则圆上一点到直线的距离的最大值为d r +，最小值为d r -，解题时要熟悉这个结论的应用，属于中等题.6.4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为（ ）A.6B.13C.23D.43【答案】B 【解析】 【分析】联立2y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，然后对解析式求定积分即可得到曲线2y x =，y =成的面积.【详解】由题意可得：每片叶子的面积为曲线2y x =，y =联立2y xy ⎧=⎪⎨=⎪⎩00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，则曲线2y x =，y =31231200211)()|333S x dx x x ==-=⎰， 故选：B.【点睛】本题考查了定积分的应用，重点考查了运算能力，属基础题. 7.函数()sin(),0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是图象的最高点和最低点，其中M 点横坐标为12，O 为坐标原点，且0OM ON ⋅=u u u u r u u u r ，则ω，ϕ的值分别是（ ）A.23π，6π B. π，3πC. 2，4π D. 1，3π 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件即可得出1(,1)2M ，并设(,1)N x -，然后根据0OM ON =uuu r uuu rg 即可得出2x =，这样结合图象即可得出22322ωπϕπωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，从而解出ω，ϕ即可． 【详解】解：根据题意知，1(,1)2M ，设(,1)N x -，且0OM ON =uuu r uuu r g ，∴102x -=，解得2x =，∴结合图象，把两点的坐标代入函数解析式中得，22322ωπϕπωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2,36ππωϕ==． 故选：A ．【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，根据点的坐标求向量的坐标的方法，五点法画()sin()f x x ωϕ=+的图象的方法，考查了计算能力，属于基础题．8.某程序框图如图所示，其中21()g n n n =+，若输出的20192020S =，则判断框内可以填入的条件为（ ）A. 2020?n <B. 2020?n „C. 2020?n >D. 2020?n …【答案】A 【解析】 【分析】 因为()()2111111g n n n n n n n ===-+++，此程序框图是对函数()g n 求和，利用裂项相消法求和，可知201912020n S n ==+，可知2019满足条件进入循环，2020不满足条件没有进入循环，根据选项得到正确结果.【详解】由2221111111112019(1111222231112020n S n n n n n n ⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+=-+-+⋯+-=-==⎪ ⎪ ⎪++++++⎭⎝⎭⎝⎭，解得2019n =，可得n 的值为2019时.满足判断框内的条件，当n 的值为2020时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值，故判断框内可以填人的条件为“2020n <？”.故选A.【点睛】本题考查根据循环框图的输出结果填写判断框的内容，关键是分析出满足输出结果时的n 值，再根据选项判断结果.9.已知平面向量OA u u u r 、OB uuu r 、OC u u u r 为三个单位向量，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r，若OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r （,x y ∈R ），则x y +的最大值为（ ）A. 1B.2C.3D. 2【答案】B 【解析】 【分析】以O 为原点,OA OB u u u r u u u r 方向为,x y 轴建立平面直角坐标系，根据OC u u u r 为单位向量设出OC u u u r的坐标，利用三角函数的性质求得x y +的最大值.【详解】由于单位向量OA u u u r 、OB uuu r 满足0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，故OA OB ⊥u u u r u u u r，以O 为原点,OA OB u u u r u u u r 方向为,x y 轴建立平面直角坐标系，由于OC u u u r为单位向量，故C 在以O 为圆心，半径为1的圆上，设()[)cos ,sin ,0,2πOC θθθ=∈u u u r ，也即cos ,sin x y θθ==，所以π2sin 2,24x y θ⎛⎫⎡⎤+=+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭，所以x y +的最大值为2. 故选B.【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查三角恒等变换求最值，属于中档题. 10.若曲线()()21x f x ax e-=-在点()()22f ,处的切线过点()3,3，则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A. ()0,∞+B. (),0-∞C. ()2,+∞D. (),2-∞【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解，取切线斜率列方程，求解参数，再求解单调区间． 【详解】2()(1)x f x ax e -=-Q ，0(2)(21)21f a e a =-=-求导222'()(1)1(1)x x x f x aeax e ax a e ---=+-⋅=+-0='(2)(31)31k f a e a =-=-切3(21)=423132a k a a --∴=-=--切解得1a =2222()(1),'()1(1)x x x x f x x e f x e x e xe ----=-∴=⋅+-= 20x e ->Q ，则当0x >时，'()0f x >．则()f x 的单调递增区间是(0)+∞，． 故选A【点睛】导数几何意义：函数在某点处的导数等于切线的斜率．已知两点坐标也可求斜率．本题还考察了导数在研究函数性质中的应用．11.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且4PA =，M 是PB 上的一个动点，过点M 作平面//α平面PAD ，截棱锥所得图形面积为y ，若平面α与平面PAD 之间的距离为x ，则函数()y f x =的图象是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】过点M 作MN //PA 交AB 于点N ，点M 作MF//BC 交PC 于点F,过点N 作NE //AD 交CD 于点E ，连接EF.则面MNEF//平面PAD ，MNEF y S =.由PA ⊥平面ABCD ，可得MN ⊥平面ABCD ，平面α与平面PAD 之间的距离为AN x =，且MNEF 为直角梯形.由MN //PA ，MF//BC 得22MN x PA -=，2MF xBC =所以()22,MN x MF x =-=. ()()()22242MNEF MN MF NE y S x x x +===-+=-.故选D.12.已知函数()1x x f x e=-，若关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++-=恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值集合为（ ） A. (,2)(2,)-∞⋃+∞ B. 12,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C. 12,2e ⎛⎫-⎪⎝⎭D. 12e ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】 【分析】先利用导数求出函数()y f x =在(),1-∞为增函数，在()1,+∞为减函数，又因为关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++-=恰有3个不同的实数解等价于()t f x =的图像与直线1t t =，2tt =的交点个数之和为3个，再作()t f x =的图像与直线1t t =，2t t =，观察交点个数从而求出m 的取值范围即可. 【详解】解：由函数()1x xf x e=-， 则'1()xxf x e -=， 当10x ->，即1x <时，'()0f x >，当10x -<，即1x >时，'()0f x <， 则函数()y f x =在(),1-∞为增函数，在()1,+∞为减函数，max 1()(1)1f x f e==-， 令()t f x =，则关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++-=可化为210t mt m ++-=， 则210t mt m ++-=，则11t =-或21t m =-，则关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++-=恰有3个不同的实数解等价于()t f x =的图像与直线1t t =，2t t =的交点个数之和为3个，又函数()t f x =的图像如图所示：由图可得函数()t f x =的图像与直线1t t =，2t t =的交点个数之和为3个时，1111m e -<-<-，解得 122m e-<<， 故选：C.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，重点考查了方程的解的个数与函数图像的交点个数的相互转化，属中档题.二、填空题13.若2弧度的圆心角所对的弧长是4 cm ，则这个圆心角所在的扇形面积________2cm . 【答案】4 【解析】 【分析】先由扇形的弧长公式l R θ=可得：422R ==，再结合扇形的面积公式12S lR =求解即可.【详解】解：由扇形的弧长公式l R θ=可得：422R ==，由扇形的面积公式12S lR =可得：这个圆心角所在的扇形面积为14242S =⨯⨯=2cm ，故答案为：4.【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，重点考查了扇形的面积公式，属基础题.14.已知向量(2,3)a =--r ，(,1)b λ=r，若向量a r 与向量b r夹角为钝角，则λ的取值集合为________. 【答案】322,,233⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】由题意可得230a b λ=--<r rg ，且a r 与b r 不共线，由此求得λ的取值集合．【详解】解：Q 向量(2,3),(,1)a b λ=--=r r ，若向量a r 与向量b r夹角为钝角，∴230a b λ=--<r rg ，且a r 与b r 不共线，即32λ>- 且123λ≠--，即32λ>- 且23λ≠，故答案为：322,,233⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题主要考查两个向量的夹角，两个向量共线的性质，属于基础题． 15.若函数lg(1),(1)()sin ,(0)x x f x x x ⎧->=⎨<⎩，则()y f x =图像上关于原点O 对称的点共有________对.【答案】4 【解析】 【分析】()y f x =图象上关于原点O 对称的点的个数只需观察()|(1)|(1)f x lg x x =->的图象与()sin (0)f x x x =<关于原点对称的函数的图象交点个数即可,再分别画图象可观察得解. 【详解】解：()y f x =图象上关于原点O 对称的点的个数,只需观察()|(1)|(1)f x lg x x =->的图象与()sin (0)f x x x =<关于原点对称的函数的图象交点个数即可，上图可知：两个图象交点个数为4个， 故答案为：4．【点睛】本题考查了作图能力，重点考查了数形结合的思想．16.设a ，b ，c 分别为ABC V 的内角A ，B ，C 的对边，已知()2223c a b =-，且tan 3C =，则角B 的余弦值为________.【解析】 【分析】由tan 3C =，可得cos C ==，然后结合余弦定理求解即可. 【详解】解：由tan 3C =，可得sin 3cos CC=，又tan 0C >，则cos 0C >， 又22sin cos 1C C +=，所以cos 10C =， 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，又()2223c a b=-，则2210200a b +-=，即)0+-= ，则=，不妨令b =3a c ==，由余弦定理可得222cos 22a c b B ac +-===，故答案为：2. 【点睛】本题考查了余弦定理，重点考查了运算能力，属基础题.三、解答题17.在数列{}n a 中，已知()111411,,23log 44n n n n a a b a n N a *+==+=∈． （1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足n n n c a b =+，求{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）1()4nn a =，32n b n =-（2）211133342nn n nS -⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义得数列{}n a 是首项为14，公比为14的等比数列，由等比数列的通项公式得出数列{}n a 的通项公式，再代入1423log n nb a +=中得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）得数列{}n c 是等比数列{}n a 和等差数列{}n b 的每一项求和所得，所以对等比数列{}n a 和等差数列{}n b 分别求前n 项和再相加可得{}n c 的前n 项和n S .【详解】（1）∵114n n a a +=,11,4a = ∴数列{}n a 是首项为14，公比为14的等比数列， ∴()1*111444n nn a n N -⎛⎫⎛⎫=⨯=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ∵143log 2n n b a =- ,∴1413log 2324nn b n ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.（2）由（1）知，14nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32n b n =-()*n N ∈，∴1324nn n n c a b n ⎛+⎫=+=- ⎪⎝⎭. 所以()231111147324444n nn S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+++++++++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L L ()21114413211311234214nn n n n n ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭+-⨯-⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=⨯-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- ， 所以211133342nn n nS -⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭，故得解.【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式和分组成等差数列和等比数列求前n 项和的方法，属于基础题. 18.已知函数()()22f x cosx asinx cosx cos x π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭，且()03f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()1求函数()y f x =的最小正周期； ()2求()f x 在52,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【答案】（1）最小正周期T π=（2）()1min f x =-，()2max f x = 【解析】 【分析】()1利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，可得函数的周期； ()2由x 的范围，得到相位的范围，进一步求得()f x 在52,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【详解】解：()()()212f x cosx asinx cosx cos x π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭221222asinxcosx cos x sin x asin x cos x =-+=-．()03f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭Q ，1221sin()cos()1,23342a a ππ---=-+=- a ∴=则()22226f x x cos x sin x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭． 所以函数()y f x =的最小正周期T π=；()522,243x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，72,646x πππ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦， 则12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()[]1,2f x ∈-．则当23x π=时，()1min f x =-，当3x π=时，()2max f x =．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查()y Asin x ωϕ=+型函数的图象和性质，是中档题． 19.如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．//AB CD ，AB BC ⊥，22AB CD BC ==，EA EB ⊥.(1) 求证：AB DE ⊥；(2) 求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；(3) 线段EA 上是否存在点F ，使//EC 平面FBD ?若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）33；（3）线段EA 上存在点F ，使得//EC 平面FBD ，且13EF EA =. 【解析】 【分析】（1）取AB 中点O ，连接EO ，DO ．利用等腰三角形的性质，可得EO ⊥AB ，证明边形OBCD 为正方形，可得AB ⊥OD ，利用线面垂直的判定可得AB ⊥平面EOD ，从而可得AB ⊥ED；（2）由平面ABE ⊥平面ABCD ，且EO ⊥AB ，可得EO ⊥平面ABCD ，从而可得EO ⊥OD ．建立空间直角坐标系，确定平面ABE 的一个法向量为()010OD =u u u r ，，，()111EC =-u u u r，，，利用向量的夹角公式，可求直线EC 与平面ABE 所成的角；（3）存在点F ，且13EF EA =时，有EC ∥平面FBD ．确定平面FBD 的法向量，证明EC v ⋅u u u r r =0即可． 【详解】（1）证明：取AB 中点O ，连接EO ，DO ． 因为EB=EA ，所以EO ⊥AB． 因四边形ABCD 为直角梯形，AB=2CD=2BC ，AB ⊥BC，所以四边形OBCD 为正方形，所以AB ⊥OD 因为EO ∩OD=O 所以AB ⊥平面EOD 因为ED ⊂平面EOD 所以AB ⊥ED．（2）解：因为平面ABE ⊥平面ABCD ，且 EO ⊥AB ，平面ABE ∩平面ABCD=AB 所以EO ⊥平面ABCD ，因为OD ⊂平面ABCD ，所以EO ⊥OD．由OB ，OD ，OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O ﹣xyz ．因为△EAB 为等腰直角三角形，所以OA=OB=OD=OE ，设OB=1，所以O （0，0，0），A （﹣1，0，0），B （1，0，0），C （1，1，0），D （0，1，0），E （0，0，1）．所以()111EC =-u u u r ，，，平面ABE 的一个法向量为()010OD =u u u r，，． 设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ，所以3EC OD sin cos EC OD EC ODθ⋅=〈==u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，＞，即直线EC 与平面ABE所成角的正弦值为3． （3）解：存在点F ，且13EF EA =时，有EC ∥平面FBD ．证明如下：由 1110333EF EA ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，，，12033F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，所以42033FB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，，．设平面FBD 的法向量为v r=（a ，b ，c ），则有00v BD v FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r 所以042033a b a c -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩取a=1，得v r =（1，1，2）． 因为EC v ⋅u u u r r=（1，1，﹣1）•（1，1，2）=0，且EC ⊄平面FBD ，所以EC ∥平面FBD ． 即点F 满足13EF EA =时，有EC ∥平面FBD ．【点睛】本题考查线面垂直，考查线面平行，考查线面角，考查利用向量解决线面角问题，确定平面的法向量是关键．20.已知动点M 到定点(1,0)F 的距离比M 到定直线2x =-的距离小1. （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线12l l 和，分别交曲线C 于点,A B 和,K N ．设线段AB ，KN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点. 【答案】(1) 24y x = (2) 见解析 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）先借助抛物线定义确定曲线的形状是抛物线，再确定参数2p =，进而求出标准方程；（Ⅱ）先依据（Ⅰ）的结论分别建立12,l l 两条互相垂直的直线的方程，再分别与抛物线联立方程组，求出弦中点为,P Q 的坐标，最后借助斜率的变化确定直线PQ 经过定点.解：（Ⅰ）由题意可知：动点M 到定点()1,0F 的距离等于M 到定直线1x =-的距离.根据抛物线的定义可知，点M 的轨迹C 是抛物线.∵2p =，∴抛物线方程为：24y x =（Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭. 由题意可设直线1l 的方程为()()10y k x k =-≠.由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得()2222240k x k x k -++=. ()24224416160k k k ∆=+-=+>.因直线1l 与曲线C 于,A B 两点，所以()1212122442,2x x y y k x x k k+=++=+-=. 所以点P 的坐标为2221,k k ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由题知，直线2l 的斜率为1k-，同理可得点Q 的坐标为()212,2k k +-. 当1k ≠±时，有222112k k +≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k k k k+==-+--. 所以，直线PQ 的方程为()222121ky k x k k+=---，整理得()230yk x k y +--=. 于是，直线PQ 恒过定点()3,0E ；当1k =±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点()3,0E . 综上所述，直线PQ 恒过定点()3,0E . 21.已知函数()222xx f x eae ax =--，其中0a >．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()(0)0f ，处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 有唯一零点，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）210x y ++=;（Ⅱ）12【解析】 分析】(Ⅰ)1a =时,求出导函数,求出()f x ',将0x =代入到()f x '中得到曲线()y f x =在点()(0)0f ，处的切线的斜率,求出(0)f ,然后利用点斜式求出曲线()y f x =在点()(0)0f ，处的切线方程.（Ⅱ）先利用导数证明函数()f x '在R 上有唯一零点0x ,且函数()f x 在0(,)x -∞上递,在0(,)x +∞上递增,所以函数()f x 在0x 处取得最小值0()f x ,再根据函数()f x 有唯一零点可得0()0f x =,然后根据0()0f x '=以及0()0f x =联立消去a ,得到00e 210x x +-=,然后构造函数()e 21x h x x =+-,通过导数的方法可得()h x 有唯一零点0x ,且00x ==,最后将00x =代入到0()0f x '=可以解得a 的值.【详解】（Ⅰ）当1a =时，()2e2e 2xx f x x =--.()22e 2e 2x x f x '∴=--. ()0002e 2e 22f '∴=--=-.又()00e 2e 01f =--=-，∴曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()12y x --=-，即210x y ++=.（Ⅱ）()22e2e 2xx f x a a '=--=()22e e x x a a --.令()e 0,xt =∈+∞，则()()()22f x g t t at a '==--.0a >Q ，∴函数()y g t =在()0,∞+仅有一个零点.∴存在()00,t ∈+∞，使得()00g t =.即存在0x 满足00e xt =时，()00f x '=.∴当()00,t t ∈，即()0,x x ∈-∞时，()0f x '<.()f x ∴在()0,x -∞上单调递减；当()0,t t ∈+∞，即()0,x x ∈+∞时，()0f x '>.()f x ∴在()0,x +∞上单调递增.又当x →-∞时，2e 2e 0x x a -→，2ax -→+∞，()f x ∴→+∞； 当0x >时，e x x >，()22e2e 2e xx x f x a ax ∴=-->()2e 2e e e 4x x x x a a a --=-.Q 当x →+∞时，()e e 4x x a -→+∞，∴当x →+∞时，()f x →+∞.∴由题意，函数()f x 有唯一零点时，必有()00200e 2e 20x x f x a ax =--=.①又002e e 0x x a a --=，②由①②消去a ，得00e 210xx +-=.令()e 21xh x x =+-.()e 20xh x '=+>Q ，()h x ∴单调递增.又()00h =，∴方程00e 210x x +-=有唯一解00x =.将00x =代入002e e 0x x a a --=，解得12a =. ∴当函数()f x 有唯一零点时，a 的值为12. 【点睛】本题考查了导数的几何意义,函数的零点,利用导数研究函数的单调性,利用导数求函数的最值,转化化归思想,构造法属于难题.22.在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点O 为坐标原点，极轴为x 的正半轴建立平面直角坐标系xOy .（1）求1C 和2C 的参数方程；（2）已知射线1:(0)2l πθαα=<<，将1l 逆时针旋转6π得到2:6l πθα=+，且1l 与1C 交于,O P 两点，2l与2C 交于,O Q 两点，求OP OQ ⋅取得最大值时点P 的极坐标.【答案】（Ⅰ）2cos (22sin x y βββ=⎧⎨=+⎩为参数）; （Ⅱ）)6π 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据坐标方程之间的转化，分别求出C 1和C 2的参数方程即可；（Ⅱ）设出P ，Q 的极坐标，表示出|OP|•|OQ|的表达式，结合三角函数的性质求出P 的极坐标即可．试题解析：（Ⅰ）在直角坐标系中，曲线1C 的直角坐标方程为()2224x y -+=所以1C 参数方程为22(2x cos y sin ααα=+⎧⎨=⎩为参数）. 曲线2C 的直角坐标方程为()2224x y +-=.所以2C 参数方程为2(22x cos y sin βββ=⎧⎨=+⎩为参数） （Ⅱ）设点P 极坐标为()1,ρα, 即14cos ρα=,点Q 极坐标为2,6πρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 即24sin 6πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.则124cos 4sin 6OP OQ πρραα⎛⎫⋅==⋅+ ⎪⎝⎭ 116cos cos 2ααα⎫=⋅+⎪⎪⎝⎭ 8sin 246πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭70,.2,2666ππππαα⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 当2,626πππαα+==时 OP OQ ⋅取最大值，此时P点的极坐标为6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 23.已知函数()214f x x x =++-（1）解不等式()6f x ≤；（2）若不等式2()48f x x a a +-<-有解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[]1,1-（2）(),1(9,)-∞-+∞U【解析】【分析】（1）对()f x 去绝对值符号，然后分别解不等式即可（2）不等式2()48f x x a a +-<-有解，则只需2min (()4)8f x x a a +-<-，求出()4f x x +-的最小值，然后解不等式即可.【详解】（1）由已知得 13321()542334x x f x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，，， 当21x <-时，3361x x -+≤⇒≥- 112x ∴-≤<- 当142x -≤≤时，561x x +≤⇒≤ 112x ∴-≤≤ 当4x >时，3363x x -≤⇒≤舍综上得()6f x ≤的解集为[]1,1-（2）()421289f x x x x +-=++-≥2()48f x x a a +-<-Q 有解289a a ∴->，(9)(1)0a a -+>1a ∴<-或9a >a ∴的取值范围是(),1(9,)-∞-+∞U .【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有应用零点分段法解绝对值不等式，根据不等式有解求参数的取值范围，属于简单题目.。