概率论与数理统计课后习题答案徐雅静版

(2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是时，情况又如何
解：设 Ai=“第 1 种工艺的第 i 道工序出现合格品”，i=1,2,3； Bi=“第 2 种 工艺的第 i 道工序出现合格品”，i=1,2.
（1）根据题意，P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，P(B1)=,P(B2)=,
第一种工艺加工得到合格品的概率为
事件 A =“两数之和小于 6/5”= {(x，y)
： x + y 6/5}
因此
P(A)
A的面积 的面积
1
1 4 2 2 5
1
17 ．
25
图
11．随机地向半圆 0 y 2ax x2 （ a 为常数）内掷一点，点落在半圆内任何 区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与 x 轴的夹角小于 的概
解：因为 P(A – B) = ，所以 P(A )– P(AB) = , P(AB) = P(A )– ,
又因为 P(A) = ，所以 P(AB) =– =， P(AB) 1 P(AB) 0.6 .
5． 从 5 双不同的鞋子种任取 4 只，问这 4 只鞋子中至少有两只配成一双的概 率是多少
解：显然总取法有 n C140 种，以下求至少有两只配成一双的取法 k ：
所以 P(M )
P(M1
M2)
P(M1) P(M2 )
C52 C82
C32 C82
13 . 28
10． 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于 6/5”的概率．
解：这是一个几何概型问题．以 x 和 y 表示任取两个数，在平面上建立 xOy 直 角坐标系，如图.
任取两个数的所有结果构成样本空间 = {(x，y)：0 x，y 1}
解：由于 A 与 B 相互独立，所以 P(AB)=P(A)P(B),且
P(A∪B)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ PB) = 代入上式解得 P(B) = ，所以
P(B A) 1 P(B A) 1 P( AB) 1 P(A)P(B) 1 P(B) 1 0.5 0.5.
P( A | M ) P( AM ) P( A)P(M | A) 1 0.6 0.75
P(M )
P(M )
0.8
19．某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品 的概率分别为，，；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为，， 试问：
(1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些
P( A)
P( A)
或者,由于 A 与 B 相互独立,所以 A 与 B 相互独立，所以
P(B A) P(B) 1 P(B) 1 0.5 0.5.
18．甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为和，现已知目标被 命中，则它是甲射中的概率是多少
解：设 A=“甲射击目标”，B=“乙射击目标”，M=“命中目标”，
P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)= 0.70.80.9 0.504,
第二种工艺加工得到合格品的概率为
P(B1B2)= P(B1)P(B2)= 0.7 0.8 0.56,
可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。
（2）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为，而 P(B1)=P(B2)=,
|
B)
P( A)P(B P(B)
|
A)
3 5
C51 C91
/
23 45
15 . 23
15．将两信息分别编码为 A 和 B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作 B 的概 率为，而 B 被误收作 A 的概率为，信息 A 与信息 B 传送的频繁程度为 2：1，若接 收站收到的信息是 A，问原发信息是 A 的概率是多少
4
率．
解：这是一个几何概型问题．以 x 和 y 表示随机地向半圆内掷一点的坐标，
表示原点和该点的连线与 x 轴的夹角，在平面上建立 xOy 直角坐标系，如图.
随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间
={(x，y)： 0 x 2a,0 y 2ax x2 }
事件 A =“原点和该点的连线与 x 轴的夹角小于 ”
法一：分两种情况考虑：
k
C51
C
2 4
(C
1 2
)
2
+ C52
其中：
C51C42
(C
1 2
)2
为恰有
1
双配对的方法数
法二：分两种情况考虑： k
C51
C81 C61 2!
+ C52
其中：
C51
C81 C61 2!
为恰有
1
双配对的方法数
法三：分两种情况考虑： k C51(C82 C41 ) + C52
P(M1)
A43 43
3,
8
P(M 2 )
C32 A42 43
9 16
,
P(M 3 )
C41 43
1 16
8．设 5 个产品中有 3 个合格品，2 个不合格品，从中不返回地任取 2 个，求 取出的 2 个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少
解：设 M2, M1, M0 分别事件表示取出的 2 个球全是合格品，仅有一个合格品和没 有合格品，则
2 0.98 ( 2 0.98 1 0.01) 196 .
P(M )P(N | M ) P(M )P(N | M ) 3
3
3
197
16．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为 1 , 1 , 1 ，问三
534
人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少
解：设 Ai=“第 i 个人能破译密码”，i=1,2,3.
习题答案
三、解答题
第1章
1．设 P(AB) = 0，则下列说法哪些是正确的 (1) A 和 B 不相容； (2) A 和 B 相容； (3) AB 是不可能事件； (4) AB 不一定是不可能事件； (5) P(A) = 0 或 P(B) = 0 (6) P(A – B) = P(A) 解：(4) (6)正确. 2．设 A，B 是两事件，且 P(A) = ，P(B) = ，问： (1) 在什么条件下 P(AB)取到最大值，最大值是多少 (2) 在什么条件下 P(AB)取到最小值，最小值是多少 解：因为 P(AB) P(A) P(B) P(A B) ， 又因为 P(B) P(A B) 即 P(B) P(A B) 0. 所以 (1) 当 P(B) P(A B) 时 P(AB)取到最大值，最大值是 P(AB) P(A) =. (2) P(A B) 1时 P(AB)取到最小值，最小值是 P(AB)=+=.
解：设 A=“从第 1 个箱子中取出的 1 个球是白球”，B=“从第 2 个箱子中取出
的
1
个球是白球”，则
P( A)
C21 C51
3 , P(A) 5
2 5
，由全概率公式得
P(B)
P(A)P(B |
A) P(A)P(B |
A)
3 5
C51 C91
2 5
C41 C91
23 , 45
由贝叶斯公式得
P( A
C41
其中： C110 C81 C61 C41 为没有一双配对的方法数
4!
所求概率为
p
k C140
13 . 21
6．在房间里有 10 个人，分别佩戴从 1 号到 10 号的纪念章，任取 3 人记录其 纪念章的号码．求：
(1) 求最小号码为 5 的概率；
(2) 求最大号码为 5 的概率．
解：(1)
设 A=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”；
P(
A)
1
P(
A)
1
C62 C120
2 ， P(B)
3
C42 C120
2，
15
P(B | A) P( AB) P(B) 2 / 2 1 P( A) P( A) 15 3 5
14．有两个箱子，第 1 箱子有 3 个白球 2 个红球，第 2 个箱子有 4 个白球 4 个 红球，现从第 1 个箱子中随机地取 1 个球放到第 2 个箱子里，再从第 2 个箱子中取 出一个球，此球是白球的概率是多少已知上述从第 2 个箱子中取出的球是白球，则 从第 1 个箱子中取出的球是白球的概率是多少
P(M 2
)
C32 C52
0.3, P(M1)
C31C21 C52
0.6
,
P(M1
)
C22 C52
0.1
9．口袋中有 5 个白球，3 个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同 的概率．
解：设 M1=“取到两个球颜色相同”，M1=“取到两个球均为白球”，M2=“取到两 个球均为黑球”，则 M M1 M 2且M1 M 2 .
4
={(x，y)： 0 x 2a,0 y 2ax x2 ,0 }
4
因此
P( A)
A的面积 的面积
1 a 2 1 a 2 24
1 a 2
1
1．
2
2
12．已知 P( A) 1 , P(B A) 1 , P( A B) 1 ，求 P( A B) ．
4
3
2
解： P(AB) P(A)P(B A) 1 1 1 , P(B) P( AB) 1 1 1 ,
解：设 M=“原发信息是 A”，N=“接收到的信息是 A”，
已知
所以
P(N | M ) 0.02, P(N | M ) 0.01, P(M ) 2 . 3
由贝叶斯公式得
P(N | M ) 0.98, P(N | M ) 0.99, P(M ) 1 , 3