概率论Ch2.3

p. j
1
18
例题与解答
例4. 设(X,Y)的联合概率分布表为:
X Y -1 0 1 p.j 0 0.05 0.1 0.1 0.25 1 0.1 0.2 0.2 0.5 2 0.1
pi.
0.25
求X,Y的边际分布列。
0.1 0.4 0.05 0.35 0.25
解:
X P -1 0.25 0 0.4 1 0.35 Y P 0 0.25 1 0.5 2 0.25
X Y
y1 p11 p21 … pi1 …
y2 p12 p22 … pi2 …
… yj … … … … … … p1j … p2j … … … pij … … …
x1 x2 … xi …
联合概率分布列的性质 ① pij≥0；i,j=1,2,… ②
∞ ∞
∑∑ p
i =1 j =1
ij
=1
注： P {( X , Y ) ∈ D } =
二维随机向量与一维随机变量分布函数的比较
二维随机向量联合分布函 数F(x,y)= P(X≤x,Y≤y)是 平面随机点(X,Y) 落在区 域D上的概率
y y D
0
一维随机变量分布函数 F(x)=P(X≤x)是直线上 随机点X落在区间(-∞, x] 上的概率
X ≤x
x
(x, y)
x
x
x
二维随机向量分布函数的性质
例题与解答（续）
(3) P(X≤1,Y≤1) =P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0) +P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)
= 0.75
二维联合概率分布区域图:
y 2
1
P(X≤1,Y≤1} P{X≥0,Y≤1}
-1
0
1
x
课堂练习
设随机变量 X 在 1, 2, 3, 4四个整数中等可能地 取值，另一个随机变量Y在 1至X 中等可能地取 一整数值。试求（X，Y）的联合概率分布。
= 1 2 1 2 14 + + + = 5 5 5 15 15
1 1 P ( X ≤ 1, Y > 1) = P( X = 0, Y = 2) + P( X = 1, Y = 2) = + 0 = 15 15
例题与解答
例3 二维随机向量(X, Y)的联合概率分布为： 求: (1) 常数a的取值; (2) P(X≥0,Y≤1). (3) P(X≤1,Y≤1)
x
(2) X的边缘分布函数：
当x ≤ 0时，FX ( x) = F ( x, +∞) = 0 当x > 0时，FX ( x) = F ( x, +∞) = 1 − e − x
⎧1 − e − x , x > 0 ∴ FX ( x) = ⎨ x≤0 ⎩0,
课堂练习
求例6中随机变量Y 的边缘分布函数。
例题与解答
例5. 袋中有5个蓝球，3个红球，从中每次任取一个， 连续两次。设X为第一次取得的红球数， Y为第二次取 得的红球数。分有放回与无放回两种情况，分别求 (X,Y) 的联合概率分布及边际概率分布列。 解： ①有放回 X 0 1
pi j
边际分布相 同联合分布 未必相同
②无放回 X 0 1
pi j
C32 1 P {( X , Y ) = ( 0 , 0 )} = P { X = 0 , Y = 0} = P{取出两个黑球}＝ 2 = C6 5 2×3 2 P{( X , Y ) = (0,1)} = P{ X = 0, Y = 1} = P{取出一蓝，一黑球}＝ 2 = C6 5 2 C2 1 P{取出两个蓝球}＝ 2 = P{( X , Y ) = (0,2)} = P{ X = 0, Y = 2} = C6 15 1× 3 1 P{( X , Y ) = (1,0)} = P{ X = 1, Y = 0} = P{取出一红，一黑球}＝ 2 = C6 5 1× 2 2 P{( X , Y ) = (1,1)} = P{ X = 1, Y = 1} = P{取出一蓝，一红球}＝ 2 = C6 15 P{( X , Y ) = (1,2)} = P{ X = 1, Y = 2} = P (φ ) = 0
y
P( x1 < X ≤ x2 , y1 < Y ≤ y2 )
y2
(x1, y2)
(x2, y2)
y1 (x1, y1) x1 0
(x2, y1) x2 x
课堂练习 教材P116 #29
联合分布函数与边际分布函数
若随机向量(ξ,η)的联合分布函数为 F(x, y)=P{ξ≤x, η≤y}, ( (x, y)∈R2) 则ξ的分布函数为 Fξ(x)=P{ξ≤x}= P{ξ≤x, -∞<η<+∞} = F{x, +∞} (x∈R) 随机 一般 F1(x)
变量 变量
η的分布函数为 Fη(y)=P{η≤y}= P{-∞ <ξ<+∞, η≤y} = F{+∞, y}
F2(y) (y∈R) 25
例题与解答
例6 二维随机向量(X, Y)的联合分布函数为：
求 (1) P (−1 < X ≤ 2, 0 < Y ≤ 3) (2) 随机变量X的边缘分布函数。 解：(1) P (−1 < X ≤ 2, 0 < Y ≤ 3) = P (0 < X ≤ 2, 0 < Y ≤ 3)
§2.3 随机向量
一、离散型随机向量 二、联合分布函数 三、连续型随机向量
引例
有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，需要用几个随机变量来描述。 •在研究同年龄段人身体状况，需要考虑其身高、体重、血压等多指标。 把每个人看作样本空间中基本事件ω→ 对应三个随机变量X, Y, Z。
身高X 体重Y 血压Z
联合概率分布表为：
ξ2 ξ1
0 1
检查： (1) pij ≥ 0
0 0.1 0.3
1 0.3 0.3
1
( 2 ) ∑∑ pij = 1
i =0 j =0
1
例2 口袋中装有1个红球，2个蓝球和3个黑球。从中随机地取出 2个球。设X和Y分别表示取出的红球数和蓝球数，写出 （X,Y）的联合分布律。 解：（X,Y）可能取值是六种不同数对，即 (0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2)
一、离散型随机向量
定义：若二维随机向量（X,Y）的全部取值(数 对）为有限个或至多可列个，则称随机向量 （X,Y）为离散型的。 显然：二维随机向量(X,Y)为离散型的等价于 它的每个分量 X与Y分别都是一维离散型的。
联合概率分布列
称pij=P(X=xi,Y=yj), (i,j=1,2,...,)为(X,Y)的联合概率分布， 其中E={(xi,yj), i, j==1,2,...}为(X,Y)的取值集合。 表格形式如下：
∑
j
j
p ij
) = ∑ pij (j=1,2,...)
i
一般地，记: P(X=xi) P(Y=yj)
pi . p. j
Y X
y1 y 2 … y j …
p11 p12 p21 p22 pi1 pi 2 p1 j p2 j pij
p i.
.
x1
分 布 表
p1. p2. pi.
x2 xi
p. j
p .1 p .2
⎧1 − e − x − e −2 y + e − x − 2 y , x, y > 0 ⎪ F ( x, y ) = ⎨ ⎪0, 其他 ⎩
y
3 (2,3)
D
-1 0 1 2
= F (2,3) − F (2, 0) − F (0,3) + F (0, 0) = 1 − 2e −2 − e−6 + e −8
若(X,Y)的联合概率分布为P{X=xi, Y=yj), i,j=1,2,..., 则 P(X=xi) = P{(X = xi ) ∩[∑(Y = yj )]} (i=1,2,...)
= ∑ P{(X = xi ) ∩ (Y = y j )} =
j
j
∑ P( X = x ,Y = y
i
j
)
=
同理： P( Y = y j
X Y -1 0 1 0 0.05 0.1 a 1 0.1 0.2 0.2 2 0.1 0.1 0.05
解：(1)由∑∑pij=1得: a=0.1 (2)由P{(X,Y)∈D } =
(x i , y
∑)
j∈ Dp Nhomakorabeaij
P(X≥0,Y≤1) =P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =0.1+0.2+0.1+0.2＝0.6
Y
0
5 5 × 8 8 3 5 × 8 8 5 8
1
5 3 × 8 8 3 3 × 8 8 3 8
pii 5 8 3 8
Y
0
5 4 × 8 7 3 5 × 8 7 5 8
1
5 3 × 8 7 3 2 × 8 7 3 8
pii 5 8 3 8
1
1
二、 联合分布函数
称F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x1, X2≤x2,…, Xn≤ xn}, (x1,x2,…,xn)∈Rn 为n维随机向量(X1, X2,…, Xn)的联合分布函数。 联合分布函数 注意： {X1≤x1, X2≤x2,…, Xn≤ xn} 表示n个事件 {X1≤x1},{X2≤x2},…,{Xn≤ xn}同时发生。 特别：二维随机向量(X, Y)的联合分布函数为 F(x, y)=P{X≤x, Y≤y}, (x, y)∈R2