第8章 假设检验
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第八章假设检验
原假设
H0
6. 假设检验的一般步骤
第一步 提出待检验的原假设H 0和对 立假设 H1 ; 第二步 选择检验统计量,并找出在假设 H0 成立条件下 ,该统计量所服从的概率分布; 第三步 根据所要求的显著性水平α 和所 选取的统计量,查概率分布临界值表,确定临界 值与否定域; 第四步 将样本观察值代入所构造的检验 统计量中,计算出该统计量的值,若该值落入否 定域,则拒绝原假设H 0 ,否则接受原假设H 0 .
2 (4)将样本观测值代入,得 =16.79 >14.449 故拒绝原假设.即认为方差不是0.1122.
i 1
4.未知期望μ，σ2的(单侧)假设检验： (1)提出原假设和备择假设: H0: σ2 ≤σ02; H1: σ2 >σ02
2 ( n 1 ) S 2 (2)选择统计量 2 0
解:由题意得:用简便方法测得有害气体含量X~N(μ,22), 假设 H0: μ=23, 若H0成立,则 若取α=0.05,则 P{|U|>z1-α/2}=α, 即: P{|U|>1.96}=0.05,
X U ~ N(0,1) / n
在假设成立的条件下,|U|>1.96为概率很小事件,一般认为: 小概率事件在一次实验中是不会发生的,
假设检验 μ=23,σ2=22
例8.1.3.用精确方法测量某化工厂排放的气体中有害气 体的
含量服从正态分布N(23,22),现用一简便方法测量6次得一组数据
23,21,19,24,18,18(单位:十万分之一),若用简便方法测得有害气体含量 的方差不变,问用该方法测得有害气体含量的均值是否有在假设检验中,否定原假设的理由是小概率事件在一次试 验中出现了,但小概率事件并不是不会出现,只是出现的可 能性较小,即出现的概率不超过很小的正数 ,
第八章 假设检验
式中r即量表X和Y的相关系数。 Z检验
公式8－6
Z X X S
Z
8-6
( X 1 X 2 ) ( 1 2 ) SEDX
Z
DX SE DX
12 22 1 2 SEDX 2r n n n n
[例8－7] 1、分析 2、假设检验的步骤 1、根据问题要求，提出虚无假设和备择假 设 2、选择适当的检验统计量 3、规定显著性水平 4、计算检验统计量的值 5、做出决策
二、总体正态分布、总体方差未知 由于总体方差未知，要用其无偏估计量 sn 1 来代替σ0。这时临界比率的分布服从t 分布，因而总体方差未知时所进行的检验 称作t检验。
抑郁自评量表分析
实 例 分 析： 请您分析一下男女生 的抑郁状况是否存在差异？
评定标准
评定采用1--4制记分，评定时间为过去一 周内。 把各题的得分相加为粗分，粗分乘以1．25， 四舍五入取整数即得到标准分。抑郁评定 的临界值为T分50，分值越高，抑郁倾向越 明显。
公 式 8-2
X X Z S
8-2
X 0 t s n 1
[例8－4] 1、分析 2、假设检验的步骤 1、根据问题要求，提出虚无假设和备择假 设 2、选择适当的检验统计量 3、规定显著性水平 4、计算检验统计量的值 5、做出决策
Z检验又叫大样本检验，t检验又叫小样本检 验。
分析：增加的5分，可能由于随机抽样引起， 也可能由于抛锚式教学法确实比原来的教 学法好，前者称为随机误差，后者称为系 统误差。
三、假设检验中的小概率原理 假设检验中的小概率原理：小概率事件在一次试 验中几乎是不可能发生的。 为了检验虚无假设，首先假定虚无假设为真。 在虚无假设为真的前提下，如果导致违反逻辑或 违背人们常识和经验的不合理现象出现，则表明 “虚无假设为真”的假定是不正确的，也就不能 接受虚无假设。
第八章 假设检验
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1、原假设与备择假设 H0 2、原理
H1
小概率原理：小概率事件在一次试验中是不太会发生的。 （1）提出假设 H 0 （2）在假设 H 0 成立的条件下，构造一个小概率事件A， （3）根据样本值判断：
若在这一次试验中小概率事件A发生了，则拒绝假设 H 0 ,
若在这一次试验中小概率事件A未发生，则接受假设 H 0 .
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显著性水平 3、接受域与拒绝域
P{ A} P{样本落入区域 } R
拒绝域： R 接受域： R 4、两类错误
第一类错误： 弃真
小概率
样本点落入R：拒绝 H 0
样本点落入 R ： 接受 H 0
犯第一类错误的概率：
H 0 正确，但拒绝了它。
第二类错误： 采伪
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二、假设检验的思想方法 假设检验的基本思想实质上是带有某种概率性质的反证 法。为了检验一个假设是否正确，首先假设该假设正确，然 后根据抽取到的样本对假设作出接受或拒绝的决策。如果样 本观察值导致了不合理的现象发生，就应拒绝假设，否则应 该接受假设。
假设检验中所谓“不合理”，并非逻辑中的绝对矛盾，而 是基于人们的实践活动中广泛采用的原则，即小概率事件在一 次试验中是几乎不发生的。但概率小到什么程度才能算作“小 概率事件”？显然，“小概率事件”的概率越小，否定原假设 就越有说服力。 广
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例1 某砖厂生产的砖其抗拉强度X服从正态分布 N ( ,1.21) ,今从 该厂产品中随机抽取6块，测得其平均抗拉强度为31.13.试检验 这批砖的平均抗拉强度为32.5是否成立,取显著性水平 0.05. 解: 提出原假设 H 0 : 0 32.5 双边检验： 单边检验：
第八章 假设检验
2
(一)问题的提出
例1.1 体重指数BMI是目前国际上常用的衡量人体胖 瘦程度以及是否健康的一个标准. 专家指出, 健康 成年人的BMI 取值应在 18.55- 24.99 之间.某种 减肥药广告宣称, 连续使用该种减肥药一个星期便 可达到减肥的效果.为了检验其说法是否可靠,随机 抽取9位试验者(要求BMI 指数超过25,年龄在20-25 岁女生),
x 0.522 0.465, 依然拒绝H0;
那么，拒绝H0的最小的值 是多少？最小的显 著水平又是多少？
(一)问题的提出
先让每位女生记录没有服用减肥药前的体重, 然后 让每位女生服用该减肥药, 服药期间, 要求每位女 生保持正常的饮食习惯, 连续服用该减肥药1周后, 再次记录各自的体重.测得服减肥药前后的体重差 值X(服药前体重-服药后体重) (单位: kg): 1.5，0.6，-0.3，1.1，-0.8，0，2.2，-1.0，1.4 设X~N(μ,0.36), μ未知，根据目前的样本资料能否 认为该减肥药广告中的宣称是可靠的？
n i1
Xi
~
N(,
1 ), n
H0 : 0, H1 : 1( 0 ), 拒绝域：X c.
P1 (X c)
P0 (X c)
0
c
1
犯两类错误的 概率相互制约
11
例1.1中，犯第I类错误的概率
(c) P{拒绝H0|H0是真的} P{X c| 0}
P{ X c | 0} / n / n
例1.2 一种饼干的包装盒上标注净重200g，假 设包装盒的重量为定值，且设饼干净重服从N (μ,σ2), μ, σ2均未知.现从货架上取来3盒，称 得毛重(单位：g)为 233，215，221，根据这 些数据是否可以认为这种包装饼干的标准差超 过6g？
(一)问题的提出
例1.1 体重指数BMI是目前国际上常用的衡量人体胖 瘦程度以及是否健康的一个标准. 专家指出, 健康 成年人的BMI 取值应在 18.55- 24.99 之间.某种 减肥药广告宣称, 连续使用该种减肥药一个星期便 可达到减肥的效果.为了检验其说法是否可靠,随机 抽取9位试验者(要求BMI 指数超过25,年龄在20-25 岁女生),
x 0.522 0.465, 依然拒绝H0;
那么，拒绝H0的最小的值 是多少？最小的显 著水平又是多少？
(一)问题的提出
先让每位女生记录没有服用减肥药前的体重, 然后 让每位女生服用该减肥药, 服药期间, 要求每位女 生保持正常的饮食习惯, 连续服用该减肥药1周后, 再次记录各自的体重.测得服减肥药前后的体重差 值X(服药前体重-服药后体重) (单位: kg): 1.5，0.6，-0.3，1.1，-0.8，0，2.2，-1.0，1.4 设X~N(μ,0.36), μ未知，根据目前的样本资料能否 认为该减肥药广告中的宣称是可靠的？
n i1
Xi
~
N(,
1 ), n
H0 : 0, H1 : 1( 0 ), 拒绝域：X c.
P1 (X c)
P0 (X c)
0
c
1
犯两类错误的 概率相互制约
11
例1.1中，犯第I类错误的概率
(c) P{拒绝H0|H0是真的} P{X c| 0}
P{ X c | 0} / n / n
例1.2 一种饼干的包装盒上标注净重200g，假 设包装盒的重量为定值，且设饼干净重服从N (μ,σ2), μ, σ2均未知.现从货架上取来3盒，称 得毛重(单位：g)为 233，215，221，根据这 些数据是否可以认为这种包装饼干的标准差超 过6g？
概率论与数理统计第八章假设检验
当总体分布函数完全未知或只知其形式、但 不知其参数的情况，为推断总体的性质，提出 某些关于总体的假设。
为判断所作的假设是否正确, 从总体中抽取 样本, 根据样本的取值, 按一定的原则进行检 验, 然后, 作出接受或拒绝所作假设的决定.
整理课件
2
我们主要讨论的假设检验的内容有
参数检验 总体均值、均值差的检验 总体方差、方差比的检验
H0: Θ0 vs H1: Θ1,
根据样本，构造一个检验统计量T 和检验法则： 若与T的取值有关的一个小概率事件W发生，则 否定H0，否则接受H0，而且要求
P(W|H0)
此时称W为拒绝域，整为理课检件 验水平。
11
例 3. 某厂生产的螺钉,按标准强度为68克/mm2,
而实际生产的螺钉强度 X 服从 N ( ,3.6 2 ). 若 E ( X ) = = 68, 则认为这批螺钉符合要求,否
7
所以我们否定H0, 认为隧道南的路面发生交 通事故的概率比隧道北大.
做出以上结论也有可能犯错误。这是因为 当隧道南北的路面发生交通事故的概率相同, 而3起交通事故又都出现在隧道南时, 我们才犯 错误。这一概率正是P=0.043.
于是, 我们判断正确的概率是1-0.043=95.7%
整理课件
8
假设检验中的基本概念和检验思想 (1) 根据问题的背景, 提出原假设
再作一个备择假设
H1: p> 0.35. 在本问题中,如果判定H0不对,就应当承认H1.
检验: 三起交通事故的发生是相互独立的, 他们
之间没有联系.
如果H0为真, 则每一起事故发生在隧道南的 概率都是0.35, 于是这三起交通事故都发生在隧
道南的概率是
P= 0.353 ≈ 0.043.
为判断所作的假设是否正确, 从总体中抽取 样本, 根据样本的取值, 按一定的原则进行检 验, 然后, 作出接受或拒绝所作假设的决定.
整理课件
2
我们主要讨论的假设检验的内容有
参数检验 总体均值、均值差的检验 总体方差、方差比的检验
H0: Θ0 vs H1: Θ1,
根据样本，构造一个检验统计量T 和检验法则： 若与T的取值有关的一个小概率事件W发生，则 否定H0，否则接受H0，而且要求
P(W|H0)
此时称W为拒绝域，整为理课检件 验水平。
11
例 3. 某厂生产的螺钉,按标准强度为68克/mm2,
而实际生产的螺钉强度 X 服从 N ( ,3.6 2 ). 若 E ( X ) = = 68, 则认为这批螺钉符合要求,否
7
所以我们否定H0, 认为隧道南的路面发生交 通事故的概率比隧道北大.
做出以上结论也有可能犯错误。这是因为 当隧道南北的路面发生交通事故的概率相同, 而3起交通事故又都出现在隧道南时, 我们才犯 错误。这一概率正是P=0.043.
于是, 我们判断正确的概率是1-0.043=95.7%
整理课件
8
假设检验中的基本概念和检验思想 (1) 根据问题的背景, 提出原假设
再作一个备择假设
H1: p> 0.35. 在本问题中,如果判定H0不对,就应当承认H1.
检验: 三起交通事故的发生是相互独立的, 他们
之间没有联系.
如果H0为真, 则每一起事故发生在隧道南的 概率都是0.35, 于是这三起交通事故都发生在隧
道南的概率是
P= 0.353 ≈ 0.043.
统计学-第八章 假设检验
验和单侧检验。以总体均值μ 的检验为例：
假设 原假设
双侧检验
单侧检验
左侧检验 右侧检验
H0 : m =m0 H0 : m m0 H0 : m m0
备择假设 H1 : m ≠m0 H1 : m <m0 H1 : m >m0
三、假设检验的程序---
4.例题分析
[例8.1] 某品牌洗衣粉在它的产品说明书中声称：平 均净含量不少于1250克。从消费者的利益出发，有关研 究人员要通过抽检其中的一批产品来验证该产品制造商 的说明是否属实。试写出用于检验的原假设与备择假设。
2.接受域：概率P＞的区域，为大概率区域，称之 为原假设的接受区域。
3.拒绝域：概率P≤的区域，为小概率区域，称之 为原假设的拒绝区域。
三、假设检验的程序---
1.拒绝原假设H1 原则：临界值
2.接受原假设H0 原则：临界值
检验统计值的绝 对值大于临界值；
检验统计值的绝 对值小于临界值；
假设 H0为真实 H0为不真实
接受H0 判断正确
采伪错误（）
拒绝H0 弃真错误（）
判断正确
四、假设检验中的两类错误
第I类（）错误和第II类（）错误的关系
和的关系就像 翘翘板，小就 大， 大就小。
你要同时减少两类 错误的惟一办法是 增加样本容量!
关乎决策：三个与其
与其，人为地把显著性水平固定按某一水平上，不 如干脆选取检验统计量的P值；
第二节 一个正态总体的假设检验
二、均值m的假设检验
3.给出显著性水平（0.01、0.05或0.1）
4.确定接受域和拒绝域（以双侧检验为例）
2已知：当Z Z 2
，则拒绝原假设，反之则接受H0；
假设 原假设
双侧检验
单侧检验
左侧检验 右侧检验
H0 : m =m0 H0 : m m0 H0 : m m0
备择假设 H1 : m ≠m0 H1 : m <m0 H1 : m >m0
三、假设检验的程序---
4.例题分析
[例8.1] 某品牌洗衣粉在它的产品说明书中声称：平 均净含量不少于1250克。从消费者的利益出发，有关研 究人员要通过抽检其中的一批产品来验证该产品制造商 的说明是否属实。试写出用于检验的原假设与备择假设。
2.接受域：概率P＞的区域，为大概率区域，称之 为原假设的接受区域。
3.拒绝域：概率P≤的区域，为小概率区域，称之 为原假设的拒绝区域。
三、假设检验的程序---
1.拒绝原假设H1 原则：临界值
2.接受原假设H0 原则：临界值
检验统计值的绝 对值大于临界值；
检验统计值的绝 对值小于临界值；
假设 H0为真实 H0为不真实
接受H0 判断正确
采伪错误（）
拒绝H0 弃真错误（）
判断正确
四、假设检验中的两类错误
第I类（）错误和第II类（）错误的关系
和的关系就像 翘翘板，小就 大， 大就小。
你要同时减少两类 错误的惟一办法是 增加样本容量!
关乎决策：三个与其
与其，人为地把显著性水平固定按某一水平上，不 如干脆选取检验统计量的P值；
第二节 一个正态总体的假设检验
二、均值m的假设检验
3.给出显著性水平（0.01、0.05或0.1）
4.确定接受域和拒绝域（以双侧检验为例）
2已知：当Z Z 2
，则拒绝原假设，反之则接受H0；
第八章 假设检验
或 n 若所得的置信区间不包含u0，则拒绝H0， 否则不能拒绝。
x z2
x z2 /
s n
上例，我们用求置信区间的方法，来判断 原假设是否合理。 大样本下满足中心极限定理，样本均值的 抽样分布服从正态分布，从而有置信区间：
x z2 s 24 ＝986 1.96 n 40
假设检验的步骤
1.确定原假设和备选假设 2.选择检验统计量 3.指定检验的显著性水平 4.建立拒绝原假设的规则 5.收集样本数据，计算检验统计量的值 6.将检验统计量的值域拒绝规则的临界值比较， 以决定是否拒绝原假设。或者，由检验统计量 的值计算p值，利用p值确定是否拒绝原假设。
x 2.92 3 z 2.67 / n 0.18 / 6
x z ~ N (0,1) / n
根据显著性水平α=0.01，对应的拒绝域面积为 0.01，临界值为-2.33 Z<-2.33，所以拒绝H0，即可认为没听咖啡的容量 不足3磅。 统计证据支持对HILLTOP咖啡重量不足采取投诉措 施。
（978.56,993.44）该区间不包含u0=1000， 因此我们拒绝原假设H0.检验表明，该包 装机未能正常工作。
总体均值的检验：小样本情形
小样本下，已知总体为正态分布，我们考 虑以下两种情况： 1.总体方差已知 2.总体方差未知 在总体方差已知的情况下，即使样本容量 较小，但样本平均数的抽样分布总是以平 均值 为均值，以 x 为标准差的正态分 布。因此其检验过程和检验统计量同大样 本情形。
拒绝域为α/2 拒绝域为α/2
z / 2
拒绝域
0
z / 2
x z2
x z2 /
s n
上例，我们用求置信区间的方法，来判断 原假设是否合理。 大样本下满足中心极限定理，样本均值的 抽样分布服从正态分布，从而有置信区间：
x z2 s 24 ＝986 1.96 n 40
假设检验的步骤
1.确定原假设和备选假设 2.选择检验统计量 3.指定检验的显著性水平 4.建立拒绝原假设的规则 5.收集样本数据，计算检验统计量的值 6.将检验统计量的值域拒绝规则的临界值比较， 以决定是否拒绝原假设。或者，由检验统计量 的值计算p值，利用p值确定是否拒绝原假设。
x 2.92 3 z 2.67 / n 0.18 / 6
x z ~ N (0,1) / n
根据显著性水平α=0.01，对应的拒绝域面积为 0.01，临界值为-2.33 Z<-2.33，所以拒绝H0，即可认为没听咖啡的容量 不足3磅。 统计证据支持对HILLTOP咖啡重量不足采取投诉措 施。
（978.56,993.44）该区间不包含u0=1000， 因此我们拒绝原假设H0.检验表明，该包 装机未能正常工作。
总体均值的检验：小样本情形
小样本下，已知总体为正态分布，我们考 虑以下两种情况： 1.总体方差已知 2.总体方差未知 在总体方差已知的情况下，即使样本容量 较小，但样本平均数的抽样分布总是以平 均值 为均值，以 x 为标准差的正态分 布。因此其检验过程和检验统计量同大样 本情形。
拒绝域为α/2 拒绝域为α/2
z / 2
拒绝域
0
z / 2
统计学第8章假设检验
市场调查中常用的假设检验方法包括T检验、Z检验和卡方 检验等。选择合适的检验方法需要考虑数据的类型、分布 和调查目的。例如，对于连续变量，T检验更为适用；对于 分类变量，卡方检验更为合适。
医学研究中假设检验的应用
临床试验
在医学研究中，假设检验被广泛应用于临床试验。研究 人员通过设立对照组和实验组，对不同组别的患者进行 不同的治疗，然后收集数据并使用假设检验来分析不同 治疗方法的疗效。
03 假设检验的统计方法
z检验
总结词
z检验是一种常用的参数检验方法，用于检验总体均值的假设。
详细描述
z检验基于正态分布理论，通过计算z分数对总体均值进行检验。它适用于大样本 数据，要求数据服从正态分布。z检验的优点是简单易懂，计算方便，但前提假 设较为严格。
t检验
总结词
t检验是一种常用的参数检验方法，用于检验两组数据之间的差异。
卡方检验
总结词
卡方检验是一种非参数检验方法，用于 比较实际观测频数与期望频数之间的差 异。
VS
详细描述
卡方检验通过计算卡方统计量来比较实际 观测频数与期望频数之间的差异程度。它 适用于分类数据的比较，可以检验不同分 类之间的关联性。卡方检验的优点是不需 要严格的假设前提，但结果解释需谨慎。
04 假设检验的解读与报告
详细描述
t检验分为独立样本t检验和配对样本t检验，分别用于比较两组独立数据和同一组数据在不同条件下的 差异。t检验的前提假设是小样本数据近似服从正态分布。t检验的优点是简单易行，但前提假设需满 足。
方差分析
总结词
方差分析是一种统计方法，用于比较两个或多个总体的差异。
详细描述
方差分析通过分析不同组数据的方差来比较各组之间的差异。它适用于多组数据的比较，可以检验不同因素对总 体均值的影响。方差分析的前提假设是各组数据服从正态分布，且方差齐性。
第8章假设检验
24
6.假设检验的统计结论是根据原假设进行阐述的，
要么拒绝原假设，要么不拒绝原假设 • 当我们不能拒绝原假设时，我们不能说“接受 原假设”，因为我们没有证明原假设是真（如 果用“接受”则意味证明了原假设是正确的）， 只不过我们没有足够的证据拒绝原假设，因此 不能拒绝原假设。当我们拒绝原假设时，得出 结论是清楚的。
拒绝原假设
小概率原理：小概率事件在一次试验中几乎不会发生 小概率的标准：与一个显著性水平a 有关， 0<a <1
13
四、假设检验的过程
提出假设 确定适当的检验统计量 规定显著性水平 计算检验统计量的值 作出统计决策
14
五、 原假设和备则假设
15
五、 原假设和备择假设
（一）原假设(null hypothesis)
我认为这种新药比原有 的药物更有效!
总体参数包括总体均 值、比例、方差等 分析之前必需陈述
如 产品合格率在80%以 上等。
9
二、什么是假设检验?
1.
2.
3.
一个假设的提出总是以一定的理由为基础，但 这些理由是不是完全充分的，要进行检验，即 进行判断。如在某种新药的研发中，研究者要 判断新药是否比原有药物更有效；海关人员对 进口货物进行检验，判断该批货物的属性是否 与申报的相一致。 假设检验就是先对总体的参数提出某种假设(原 假设和备择假设)，然后利用样本信息判断假设 是否成立的过程 逻辑上运用反证法，统计上依据小概率原理
绝的却是一个真实的假设，采取的是错误行为。
31
二、显著性水平a
(significant level)
1.
2.
3.
4.
第8章 假设检验
例 一种摄影药品被其制造商声称其贮藏寿命是均值180天、 标准差不多于10天的正态分布。某位使用者担心标准差可 能超过10天。他随机选取12个样品并测试，得到样本标准 差为14天。根据样本有充分证据证明标准差大于10天吗？
例 孟德尔遗传理论断言，当两个品种的豆杂交时，圆的 和黄的、起皱的和黄的、圆的和绿的、起皱的和绿的豆的 频数将以比例9：3：3：1发生。在检验这个理论时，孟德 尔分别得到频数315、101、108、32、这些数据提供充分 证据拒绝该理论吗？
P PH0 | Z || z0 | 2PH0 Z | z0 | 2(1 (| z0 |))
(即z0代替了拒绝域式中的z 2 )
判断：当P小于显著水平时，拒绝原假设，
否则，接受: 0, H1 : 0 ， 其中0是已知的常数
以X 作为的参考, 若H0为真，X比0大些，但
这个批次清漆的干燥时间构成的总体方差可设 2 0.36 而其均值是要求我们检验的！
经计算，现抽取的9个数据的平均值x 6.4小时,
现在的问题是，我们能否认为 "6.4 6.0 0" ？
即，接受以下哪个假设？
原假设 H0 : 0 6.0， 备择假设 H1 : 0 6.0
4
原假设 H0 : 0 6.0， 备择假设 H1 : 0 6.0
16
*另外方法：若给定显著性水平, 当原假设成立时
( 0)，总体X ~ N (0, 2 )，因此，X ~ N (0, 2 n )
P0 ( X 0
k)
P 0
(
X
0
n
k
设
)
n
k
n z /2
k z/2 n
1
一般，H
的拒绝域写为：
例 孟德尔遗传理论断言，当两个品种的豆杂交时，圆的 和黄的、起皱的和黄的、圆的和绿的、起皱的和绿的豆的 频数将以比例9：3：3：1发生。在检验这个理论时，孟德 尔分别得到频数315、101、108、32、这些数据提供充分 证据拒绝该理论吗？
P PH0 | Z || z0 | 2PH0 Z | z0 | 2(1 (| z0 |))
(即z0代替了拒绝域式中的z 2 )
判断：当P小于显著水平时，拒绝原假设，
否则，接受: 0, H1 : 0 ， 其中0是已知的常数
以X 作为的参考, 若H0为真，X比0大些，但
这个批次清漆的干燥时间构成的总体方差可设 2 0.36 而其均值是要求我们检验的！
经计算，现抽取的9个数据的平均值x 6.4小时,
现在的问题是，我们能否认为 "6.4 6.0 0" ？
即，接受以下哪个假设？
原假设 H0 : 0 6.0， 备择假设 H1 : 0 6.0
4
原假设 H0 : 0 6.0， 备择假设 H1 : 0 6.0
16
*另外方法：若给定显著性水平, 当原假设成立时
( 0)，总体X ~ N (0, 2 )，因此，X ~ N (0, 2 n )
P0 ( X 0
k)
P 0
(
X
0
n
k
设
)
n
k
n z /2
k z/2 n
1
一般，H
的拒绝域写为：
第8章假设检验
完成生产线上某件工作的平均时间为15.5分钟，标准差为3分 钟。对随机抽选的9名职工讲授一种新方法，训练期结束后这9名 职工完成此项工作的平均时间为13.5分钟。这个结果是否说明用 新方法所需时间比老方法所需时间短？设������ = 0.05，并假定完成 这件工作的时间服从正态分布。
①建立假设：������0 : ������ = 15.5, ������1 : ������ < 15.5 ②因为正态总体，方差已知，故可选用������ 检验，选择检验统计 ¯ −������0 √ ；当������0 成立时，������ ∼ ������ (0, 1)。 量������ = ������ ������/ ������ ③根据对立假设及显著性水平������ = 0.05知：拒绝域 为{������ < −������������ } = {������ < −������0.05 } = {������ < −1.64} ¯ = 13.5，������0 = 15.5, ������ = 3, ������ = 9, 因此 ④由样本信息，得到������ ������ = ¯ − ������0 13.5 − 15.5 ������ √ = √ = −2. ������/ ������ 3/ 9
������0 : ������1 = ������2 , ������1 : ������1 < ������2 Excel计算结果如下：
������ = −2.41347279，拒绝域 为{������ < −������0.05 (33) = −1.692360258}。
例3-1-5：“多吃谷物，将有助于减肥。”为了验证这个假设， 随机抽取了35人，询问他们早餐和午餐的通常食谱，根据他们的 食谱，将其分为二类，一类为经常的谷类食用者(总体1)，一类 为非经常谷类食用者(总体2)。然后测度每人午餐的大卡摄取 量。经过一段时间的实验，得到如下结果。假设总体正态，试 以������ = 0.05 的显著性水平进行检验，数据见工作表“3-1-5”。 ������0 : ������1 = ������2 , ������1 : ������1 < ������2
第八章 假设检验
例8-1:某心理学家认为，一般汽车司机视反 应时平均175ms。有人随机抽取36名司机为样本 测定，结果平均视反应时180ms，标准差20ms。 能否根据测试结果否定心理学家的结论？（假定 视反应时符合正态分布） 例8-2:从甲乙两校高一随机抽取学生各 50名进行数学测验，甲校平均分75，标准差6； 乙校平均分70，标准差8。试问两校学生的数 学平均成绩有无显著差异？
II型（）错误
（一）I 型错误（Type I Error）
定义：Ho正确时，因检验值落入拒绝区而 未接受Ho所犯的错误。
Z
Ho: 1=2
错误
1 2
SEDX
Z
-1.96σ
0
1.96σ
（二）II 型错误（Type II Error）
定义：Ho不正确时，因检验值落入接受区
使用：结果或方向不确定时。
意义：只推断有无差异，不断言方向。
|Z|（CR）
＜1.96 ≥1.96 ≥2.58
P值
＞0.05 ≤0.05 ≤0.01
显著性
不显著 显著 极显著
符号
* **
（二）单尾（侧）检验
定义：拒绝性概率置于理论分布一尾。
使用：结果或方向确定时。 意义：既推断有无差异，又断言方向。 类型 右尾检验 左尾检验
解释
直观分析法 理论分析——小概率事件
直观分析
D=.95 接受Ho区域
.025 2
-1.96 σ -1σ
.025 2
1σ
1.96 σ
拒绝Ho区域
0.05
直观分析
接受Ho区域
.005 2
.005 2
-2.58 σ
II型（）错误
（一）I 型错误（Type I Error）
定义：Ho正确时，因检验值落入拒绝区而 未接受Ho所犯的错误。
Z
Ho: 1=2
错误
1 2
SEDX
Z
-1.96σ
0
1.96σ
（二）II 型错误（Type II Error）
定义：Ho不正确时，因检验值落入接受区
使用：结果或方向不确定时。
意义：只推断有无差异，不断言方向。
|Z|（CR）
＜1.96 ≥1.96 ≥2.58
P值
＞0.05 ≤0.05 ≤0.01
显著性
不显著 显著 极显著
符号
* **
（二）单尾（侧）检验
定义：拒绝性概率置于理论分布一尾。
使用：结果或方向确定时。 意义：既推断有无差异，又断言方向。 类型 右尾检验 左尾检验
解释
直观分析法 理论分析——小概率事件
直观分析
D=.95 接受Ho区域
.025 2
-1.96 σ -1σ
.025 2
1σ
1.96 σ
拒绝Ho区域
0.05
直观分析
接受Ho区域
.005 2
.005 2
-2.58 σ
第八章假设检验_0
第八章假设检验作为统计推断的重要组成部分，假设检验也称为显著性检验，就是对所估计的总体先提出一个假设，然后再根据样本信息来检验对总体所做的假设是否成立。
假设检验可分为参数检验和非参数检验，对总体分布中未知参数的假设检验称为参数检验，而对未知分布函数的类型或其某些特征提出的假设称为非参数检验。
第一节假设检验概述在实际生活中，许多事例都可以归结为假设检验问题。
为了便于理解，下面我们结合具体实例来说明假设检验的思想方法。
例8．1 某厂生产中药地黄丸，药丸的重量服从正态分布N( , 2)，按规定每丸的标准重量为10克。
根据以往经验得知，生产药丸的标准差为 3.2克。
现从一批药丸中随机抽取100个，其平均重量为9.6克，试问这批药丸重量是否符合标准？从直观上来看，这批药丸重量不符合标准，两者差异显著。
但能否仅凭100个药丸的平均重量比标准重量小0.4克，而立即得出这批药丸不符合标准的结论呢？从统计学上来看，这样得出的结论是不可靠的。
这是因为，差异可能是这批药丸品质所造成的，也可能是由于抽样的随机性所造成的。
如果我们再随机抽取100个药丸进行检测重量，又可得到一个样本资料。
由于抽样误差的随机性，样本平均数（100个药丸的平均重量）就不一定是9.6克。
那么，我们对样本进行分析时，必须判断样本的差异是抽样误差造成的，还是因本质不同而引起的。
如何区分两类性质的差异？怎样通过样本来推断总体？这正是假设检验要解决的问题。
在假设检验中，先要根据问题的需要建立检验假设，假设有两种，一种是原假设或零假设，用H0表示，通常就是将要进行检验的假设；另一种是备择假设- 1 -或对立假设，用H1表示，是原假设H0相对立的假设。
例8.1中，如果将该批药丸的重量记作总体X，该问题就是检验总体X的均值 的变化情况。
那么，可以设原假设H0： 10( 0)，即认为这批药丸重量是符合标准的；而备择假设，即认为这批药丸重量是符合标准的 10( 0)，即认为这批药丸重量不H1：10( 0)符合标准的。
第八章假设检验
• 4、做出统计判断。
需要考虑因素
1. 总体方差是否已知
2. 总体分布是否正态
3. 样本容量大小
4. 双侧检验还是单侧检验 5. 右侧还是左侧
二、平均数的显著性检验的种类
• （一）总体正态分布，总体方差已知（Z）
• （二）总体正态，总体方差未知（t） • （三）总体非正态分布，大样本（Z′）
（一）总体正态分布，总体方差已知
H：1 0 新的教学法与原来的教学法无显著差异 0 H：1 0 新的教学法比原来的教学法差 0 H：1 0 新的教学法比原来的教学法好 0
假设检验的原理
• 费舍：“可以说，每一实验的存在，仅仅 是为了给事实一个反驳虚无假设的机会。”
二、假设检验中的小概率事件
• 样本统计量的值（随机事件）在其抽样分 布上出现的概率小于或等于事先规定的水 平，这时，就认为小概率事件发生了。
差异原因——误差
• 偶然误差：由于随机抽样引起的差异。
• 系统误差 ：的确存在差异。
如何检验
Z X 0
X
N (0,1)
11 X 2.008 n 30 Z X 0
0
X
84 79 2.49 2.008
2
0.05, Z 0.05 1.96 0.01, Z 0.01 2.58
SE X
0
n
X 0 Z SE X
例1
• 某小学采用一种实验教材，使用一年以后， 随机抽取10名学生进行测试，得到平均成 绩82分。而过去使用旧教材的全体学生的 平均成绩为77分，标准差为5分，问实验教 材与旧教材的效果有无显著性差异？
例2
• 某地区统考数学，假设该统考数学成绩服 从正态分布，已知其总平均分为50分，标 准差为12分。从该地区随机选择一个班作 为样本，该班有学生50人，经计算该班平 均成绩为53分，试问该班成绩与总成绩的 差异是否显著。
需要考虑因素
1. 总体方差是否已知
2. 总体分布是否正态
3. 样本容量大小
4. 双侧检验还是单侧检验 5. 右侧还是左侧
二、平均数的显著性检验的种类
• （一）总体正态分布，总体方差已知（Z）
• （二）总体正态，总体方差未知（t） • （三）总体非正态分布，大样本（Z′）
（一）总体正态分布，总体方差已知
H：1 0 新的教学法与原来的教学法无显著差异 0 H：1 0 新的教学法比原来的教学法差 0 H：1 0 新的教学法比原来的教学法好 0
假设检验的原理
• 费舍：“可以说，每一实验的存在，仅仅 是为了给事实一个反驳虚无假设的机会。”
二、假设检验中的小概率事件
• 样本统计量的值（随机事件）在其抽样分 布上出现的概率小于或等于事先规定的水 平，这时，就认为小概率事件发生了。
差异原因——误差
• 偶然误差：由于随机抽样引起的差异。
• 系统误差 ：的确存在差异。
如何检验
Z X 0
X
N (0,1)
11 X 2.008 n 30 Z X 0
0
X
84 79 2.49 2.008
2
0.05, Z 0.05 1.96 0.01, Z 0.01 2.58
SE X
0
n
X 0 Z SE X
例1
• 某小学采用一种实验教材，使用一年以后， 随机抽取10名学生进行测试，得到平均成 绩82分。而过去使用旧教材的全体学生的 平均成绩为77分，标准差为5分，问实验教 材与旧教材的效果有无显著性差异？
例2
• 某地区统考数学，假设该统考数学成绩服 从正态分布，已知其总平均分为50分，标 准差为12分。从该地区随机选择一个班作 为样本，该班有学生50人，经计算该班平 均成绩为53分，试问该班成绩与总成绩的 差异是否显著。
第8章假设检验
是正确的，也可以是不正确的
定义8.1.1：所谓假设检验，是先对总体的分布函数 形式或分布的某些参数作出某些可能的假设，然后 根据所得的样本数据，对假设的正确性作出判断
假
§8.1 基本概念
设
检
例8.1.1：检验一批产品的废品率是否超过0.03， 验
把“ p 0.03 ”作为一个假设，从这批产品中抽取
若干个样品，记其中所含废品数为 X
➢ 当 X 较小时，认为假设正确，或“接受”假设
➢ 当 X 较大时，则认为假设是不正确，“拒绝”
或“否定”假设
假
§8.1 基本概念
设
检
例8.1.2：判断一个硬币是否均匀，即投掷时出现 验
正面的概率是否为
1
2，
把“ p
1 2
”作为一个假设，
将硬币投掷100次，以 X 记正面出现的次数
原假设，而将新方法优于原方法取为对立假设
假
§8.1 基本概念
设
检
➢ 或者说对立假设可能是我们真正感兴趣的，接受 验
对立假设可能意味着得到某种有特别意义的结论，
或意味着采取某种重要决断
➢ 因此对统计假设作判断前，在处理原假设时总是 偏于保守，在没有充分证据时，不应轻易拒绝原假 设，或者说在没有充分的证据时不能轻易接受对立 假设
➢
例8.1.2的统计假设为：H0
:
p
1 2
H1
:
p
1 2
假
§8.1 基本概念
设
检
注：当根据抽样结果接受或拒绝一个假设时，只 验
是表明我们的一种判断；由于样本的随机性，这
样作出的判断就有可能犯错误
➢ 例如：一批产品的废品率只有0.01，因为0.01<
第8章 假设检验
❖ 解：显然，研究者想证实“家庭汽车拥有量的 比例超过30%”，所以： H0：л≤30%（拥有量的比例不超过30%） H1：л≻30% （拥有量的比例超过30%）
关于建立假设的几点认识：
❖ 1.原假设和备择假设是一个完备事件组，且相互对 立，即必有一个成立，而且只有一个成立。
❖ 2.在假设检验中，通常将符号≤ ≥ =放在原假设上。 ❖ 3. 不同的研究者出于不同的研究目的或角度，可能
根据计算的检验统计 量与临界值进行比较， 得出拒绝或不拒绝原 假设的结论
检验统计量与拒绝域
拒绝原假设的检验统计量的所有可能取 值的集合，称为拒绝域。
若 绝对值Z临界值，拒绝原假设
拒绝域的大小与我们事先选定的显著性 水平有关。
根据选定的显著性水平确定的拒绝域的 边界值，称为临界值。
选定的显著性水平后，查阅书后的附表 就可以得到具体的临界值，将检验统计 量与之比较，就可以作出拒绝或接受原 假设的决策。
H0 H1
研究的问题 双侧检验 左侧检验 右侧检验
= 0
8.1.4 用P 值进行假设检验
❖ P 值是一个概率值（194页） 左侧检验时，P值为曲线左边小于等于检
验统计量部分的面积
右侧检验时，P值为曲线右边大于等于检
验统计量部分的面积
双侧检验时P值为曲线两边大于等于或小于 等于检验统计量部分的面积检验统计量部
什么是原假设？
1. 待检验的假设，又称“0假设”
为什么叫0 假设?
2. 研究者想收集证据予以反对的假设
3. 总是有等号 , 或
4. 表示为 H0 例如, H0： 3190（克）
什么是备择假设？
1. 与原假设对立的假设，也称“研究假设”
2. 研究者想收集证据予以支持的假设，总 是有不等号: , 或
关于建立假设的几点认识：
❖ 1.原假设和备择假设是一个完备事件组，且相互对 立，即必有一个成立，而且只有一个成立。
❖ 2.在假设检验中，通常将符号≤ ≥ =放在原假设上。 ❖ 3. 不同的研究者出于不同的研究目的或角度，可能
根据计算的检验统计 量与临界值进行比较， 得出拒绝或不拒绝原 假设的结论
检验统计量与拒绝域
拒绝原假设的检验统计量的所有可能取 值的集合，称为拒绝域。
若 绝对值Z临界值，拒绝原假设
拒绝域的大小与我们事先选定的显著性 水平有关。
根据选定的显著性水平确定的拒绝域的 边界值，称为临界值。
选定的显著性水平后，查阅书后的附表 就可以得到具体的临界值，将检验统计 量与之比较，就可以作出拒绝或接受原 假设的决策。
H0 H1
研究的问题 双侧检验 左侧检验 右侧检验
= 0
8.1.4 用P 值进行假设检验
❖ P 值是一个概率值（194页） 左侧检验时，P值为曲线左边小于等于检
验统计量部分的面积
右侧检验时，P值为曲线右边大于等于检
验统计量部分的面积
双侧检验时P值为曲线两边大于等于或小于 等于检验统计量部分的面积检验统计量部
什么是原假设？
1. 待检验的假设，又称“0假设”
为什么叫0 假设?
2. 研究者想收集证据予以反对的假设
3. 总是有等号 , 或
4. 表示为 H0 例如, H0： 3190（克）
什么是备择假设？
1. 与原假设对立的假设，也称“研究假设”
2. 研究者想收集证据予以支持的假设，总 是有不等号: , 或
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在小样本的情况下，检验统计量的选择与总体 是否服从正态分布、总体方差是否已知有着密 切的关系。 本节的内容都是以总体服从正态分布为假定前 提的，然后再依照总体方差是否已知来选择合 适的检验统计量。
5 - 22
统计学
STATISTICS
在小样本，正态总体条件下： （1）如果总体方差 2 已知，则总体均值检验的 X 0 统计量为：
5 - 29
统计学
STATISTICS
解题步骤：
1、要求的是哪个参数的检验 2、建立备择假设和原假设 3、判断是单侧还是双侧检验？如果是单侧检 验，是左侧检验还是右侧检验？ 4、根据题目条件，得出是大样本还是小样本？ 总体方差是已知还是未知？ 5、选择检验统计量，并求值，与临界值大小 比较 6、得出结论（进行决策）
统计学
STATISTICS
假设检验的表达式
单侧检验 假设 双侧检验 左侧检验 右侧检验 原假设 H 0 : 0 H 0 : 0 H 0 : 0 备择假设 H1 : 0 H1 : 0H 1 : 0
5-7
STATISTICS 例8.1:
5 - 19
一、总体均值的检验 统计学
STATISTICS
（一）
大样本
大样本情况下，样本均值的抽样分布都可视为正 态分布，那么当 已知时，其抽样标准差 为 。 n
因此，我们只要将样本均值 X 经过标准化后即可 得到检验的统计量。因而可以采用正态分布的检 验统计量，即Z统计量（ Z分布）。
5 - 20
5 - 12
统计学 假设检验中各种可能结果的概率：
STATISTICS
实际情况
决策结果
未拒绝H0 拒绝H0
H0为真
1-α （正确决策） α （弃真错误）
H0为伪
β （取伪错误） 1-β （正确决策）
在假设检验中，有一个对两类错误进行控制的 问题，通常都执行这样一个原则：即首先控制 犯α错误。
5 - 13
H0:μ=10(生产过程正常)
5-8
H1:μ≠10（生产过程不正常）
例8.2 STATISTICS
统计学
:
某品牌洗涤剂在产品说明书中声称：平均净含 量不少于500克。从消费者的利益出发，有关 研究人员要通过抽检中的一批产品来验证该产 品制造商的说明是否属实。试陈述用于检验的 原假设与备择假设。 研究者建立的原假设和备择假设应为： H0:μ ≧500(净含量符合说明书
STATISTICS
1、 陈述原假设H0和备择假设H1； 2、 确定一个适当的检验统计量，并利用样本 数据算出其具体数值； 3、确定一个适当的显著性水平α并计算其临界 值，同时指定拒绝域；
4、 将统计量的值与临界值进行比较，并作出 决策——若统计量的值落入拒绝域内，拒绝原 假设H0，否则不拒绝原假设H0 （也可以直接 利用P值做出决策）
1、p值：指当原假设正确时，得到所观测数据 的概率。 2、用P值进行检验的基本思想是：小的P值表明 在原假设为真时得到目前这样一个样本结果的可 能性很小，所以应该拒绝原假设。
3、利用p值决策的准则：p值<α,拒绝 H 0 p值>α,不拒绝 H 0
5 - 17
七、假设检验的具体步骤（流程）总结如下： 统计学
5 - 25
统计学
STATISTICS
所以不拒绝原假设。检验结果表明：样本提 供的证据不足以推翻原假设，因此不能证明 该天生产的饮料不符合标准要求。
方法二： 此题也可以用P值进行检验。 经过计算机计算，P值=0.312495，远远大 于α =0.05，所以不拒绝H0，得到的结论与前 面相同。
5 - 26
STATISTICS
统计学 五、检验统计量和拒绝域
1、检验统计量 定义：根据样本观测结果计算得到的，并据以对 原假设和备择假设做出决策的某个样本统计量。
对于总体均值和总体比例的检验，检验统计量可 表示为：
点估计量 假设值 检验统计量 点估计量的抽样标准差
5 - 14
统计学
STATISTICS
统计学 利用显著性水平 检验的准则（传统检验法）：
（1）双侧检验：｜检验统计量的值｜ >临界 值，拒绝原假设； （2）左侧检验：检验统计量的值<-临界值， 拒绝原假设； （3）右侧检验：检验统计量的值>临界值，拒 绝原假设。
5 - 16
统计学 六、利用P值进行决策（p值法） STATISTICS
统计学
STATISTICS
例8.5 ： 一种机床加工的零件尺寸绝对平均 误差为1.35mm。生产厂家采用一种新的机床进 行加工以期进一步降低误差。为检验新机床加 工的零件平均误差与旧机床相比是否显著降低， 从某天生产的零件中随即抽取50个进行检验， 通过计算可知 x 1.2152 s 0.3657 ， 通过以上信息，试检验新机床加工的零件尺寸 的平均误差与旧机床相比是否显著降低？ （α =0.01）
5 - 30
统计学
STATISTICS
大样本情况下一个总体均值的检验方法 双侧检验 左侧检验 右侧检验
H 0 : 0
假设形式
H1 : 0
x0 x 0 未知： 检验统计量 已知： s n n z z z z 与拒绝域 z z 2 P值决策准则 P ,拒绝H 0
统计学
STATISTICS
设假设的总体均值为 0 ： 2 （1）当总体方差 已知时，总体均值的检验统 X 0 计量为：
z
（2）当总体方差 未知时，可以用样本方差S 代 替总体方差，此时总体均值检验的统计量为：
2
n
2
5 - 21
0 z S n
X
统计学 （二）小样本 STATISTICS
H1:μ <500（净含量不符合说明书）
5-9
STATISTICS 例8.3
统计学
:
一家研究机构估计，某城市中家庭拥有汽车的 比例超过30%。为验证这一估计是否正确，该 研究机构随即抽取了一个样本进行检验。试陈 述用于检验的原假设与备择假设 研究者建立的原假设和备择假设应为：
H0:π≦ 30%(家庭拥有汽车的比例不超过30%) H1: π >30%(家庭拥有汽车的比例超过30%)
5-2
统计学
STATISTICS
调查了339名50岁以上的人，其中205 名吸烟者中有43个患慢性气管炎，在 134名不吸烟者中有13人患慢性气管 炎。 调查数据能否支持“吸烟者容易患慢 性气管炎”这种观点呢？
回答这些问题我们需要进行假设检验。
5-3
统计学
STATISTICS
§ 8.1假设检验的基本问题
5 - 27
统计学
STATISTICS
例8.6 ： 某小麦品种的平均产量为 2 5200kg/hm 。一家研究机构对小麦品种进行了 改良以期提高产量。为检验改良后的小麦产量 是否有显著提高，随机抽取了36个地块进行试 2 种，得到的样本平均产量为5275kg/hm ，标准 2 差为120kg/hm 。检验改良后的小麦产量是否 有显著提高？ （ 0.05 ）
5 - 18
统计学§8.2 一个总体参数的检验
STATISTICS
假设检验的重要一步是确定适当的检验统计量。 选择什么样的统计量进行检验考虑的主要因素有： 样本量n的大小，总体标准差是否已知。
由于检验的参数不同，所以选择的检验统计量也 有所不同。在一个总体参数的检验中，用到的检 验统计量主要有三个： 统计量， t统计量和 2 统计量。
z
（2）如果总体方差 2 未知，我们需要用样本方 2 差S 代替总体方差 2 ，此时，检验统计量服从 自由度为n-1的t分布。检验的统计量为：
n
5 - 23
0 t S n
X
统计学
STATISTICS
相关例题：
例8.4：一种罐装饮料采用自动生产线 生产，每罐的容量是255ml，标准差 是5ml。为检验每罐容量是否符合要求， 质检人员在某天生产的饮料中随机抽 取40罐进行检验，测得每罐平均容量 是255.8ml。取显著性水平α=0.05，检 验该天生产的饮料容量是否符合标准 要求。
5 - 11 5、假设检验的目的主要是收集证据拒绝原假设。
STATISTICS
统计学 四、两类错误
1、弃真错误——当原假设正确时却拒绝 原假设，所犯的错误称为弃真错误。犯 这种错误的概率通常记为α，所又称为α 错误。（ α又称显著性水平 ）
2、取伪错误——当原假设错误时而没有 拒绝原假设，所犯的错误称为取伪错误。 犯这种错误的概率通常记为β，所以又称 为β错误。
5 - 24
可以判断出本题的原假设和备择假设为（双侧检 验）： 统计学 H0： 255
STATISTICS
H1： 255
大样本情况下，总体方差已知，因此检验统计量 为：
0 255.8 255 z 1.01 n 5 40
X
根据给定的显著性水平α=0.05，查标准正态分布 表可知： Z 2 Z0.025 1.96 由于 Z 1.01 Z 2 1.96
统计学
STATISTICS
第8章 假设检验
§8.1 §8.2
假设检验的基本问题 一个总体参数的检验
实例： 统计学
STATISTICS
一项新的减肥产品在广告中声称：服 用该产品的第一周内，参加者的体重 平均至少可以减轻8磅。现随机抽取 40位服用该减肥产品的样本，结果显 示：样本的体重平均减少7磅，标准 差为3.2磅。 该广告是否是属实的？消费者该不该 信赖它呢？
5 - 10
STATISTICS
统计学 通过以上例子，我们可以得出以下认识：
1、原假设和备择假设要成对出现，二者组成一个完 备事件组，而且相互对立。
5 - 22
统计学
STATISTICS
在小样本，正态总体条件下： （1）如果总体方差 2 已知，则总体均值检验的 X 0 统计量为：
5 - 29
统计学
STATISTICS
解题步骤：
1、要求的是哪个参数的检验 2、建立备择假设和原假设 3、判断是单侧还是双侧检验？如果是单侧检 验，是左侧检验还是右侧检验？ 4、根据题目条件，得出是大样本还是小样本？ 总体方差是已知还是未知？ 5、选择检验统计量，并求值，与临界值大小 比较 6、得出结论（进行决策）
统计学
STATISTICS
假设检验的表达式
单侧检验 假设 双侧检验 左侧检验 右侧检验 原假设 H 0 : 0 H 0 : 0 H 0 : 0 备择假设 H1 : 0 H1 : 0H 1 : 0
5-7
STATISTICS 例8.1:
5 - 19
一、总体均值的检验 统计学
STATISTICS
（一）
大样本
大样本情况下，样本均值的抽样分布都可视为正 态分布，那么当 已知时，其抽样标准差 为 。 n
因此，我们只要将样本均值 X 经过标准化后即可 得到检验的统计量。因而可以采用正态分布的检 验统计量，即Z统计量（ Z分布）。
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统计学 假设检验中各种可能结果的概率：
STATISTICS
实际情况
决策结果
未拒绝H0 拒绝H0
H0为真
1-α （正确决策） α （弃真错误）
H0为伪
β （取伪错误） 1-β （正确决策）
在假设检验中，有一个对两类错误进行控制的 问题，通常都执行这样一个原则：即首先控制 犯α错误。
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H0:μ=10(生产过程正常)
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H1:μ≠10（生产过程不正常）
例8.2 STATISTICS
统计学
:
某品牌洗涤剂在产品说明书中声称：平均净含 量不少于500克。从消费者的利益出发，有关 研究人员要通过抽检中的一批产品来验证该产 品制造商的说明是否属实。试陈述用于检验的 原假设与备择假设。 研究者建立的原假设和备择假设应为： H0:μ ≧500(净含量符合说明书
STATISTICS
1、 陈述原假设H0和备择假设H1； 2、 确定一个适当的检验统计量，并利用样本 数据算出其具体数值； 3、确定一个适当的显著性水平α并计算其临界 值，同时指定拒绝域；
4、 将统计量的值与临界值进行比较，并作出 决策——若统计量的值落入拒绝域内，拒绝原 假设H0，否则不拒绝原假设H0 （也可以直接 利用P值做出决策）
1、p值：指当原假设正确时，得到所观测数据 的概率。 2、用P值进行检验的基本思想是：小的P值表明 在原假设为真时得到目前这样一个样本结果的可 能性很小，所以应该拒绝原假设。
3、利用p值决策的准则：p值<α,拒绝 H 0 p值>α,不拒绝 H 0
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七、假设检验的具体步骤（流程）总结如下： 统计学
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统计学
STATISTICS
所以不拒绝原假设。检验结果表明：样本提 供的证据不足以推翻原假设，因此不能证明 该天生产的饮料不符合标准要求。
方法二： 此题也可以用P值进行检验。 经过计算机计算，P值=0.312495，远远大 于α =0.05，所以不拒绝H0，得到的结论与前 面相同。
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STATISTICS
统计学 五、检验统计量和拒绝域
1、检验统计量 定义：根据样本观测结果计算得到的，并据以对 原假设和备择假设做出决策的某个样本统计量。
对于总体均值和总体比例的检验，检验统计量可 表示为：
点估计量 假设值 检验统计量 点估计量的抽样标准差
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统计学
STATISTICS
统计学 利用显著性水平 检验的准则（传统检验法）：
（1）双侧检验：｜检验统计量的值｜ >临界 值，拒绝原假设； （2）左侧检验：检验统计量的值<-临界值， 拒绝原假设； （3）右侧检验：检验统计量的值>临界值，拒 绝原假设。
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统计学 六、利用P值进行决策（p值法） STATISTICS
统计学
STATISTICS
例8.5 ： 一种机床加工的零件尺寸绝对平均 误差为1.35mm。生产厂家采用一种新的机床进 行加工以期进一步降低误差。为检验新机床加 工的零件平均误差与旧机床相比是否显著降低， 从某天生产的零件中随即抽取50个进行检验， 通过计算可知 x 1.2152 s 0.3657 ， 通过以上信息，试检验新机床加工的零件尺寸 的平均误差与旧机床相比是否显著降低？ （α =0.01）
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统计学
STATISTICS
大样本情况下一个总体均值的检验方法 双侧检验 左侧检验 右侧检验
H 0 : 0
假设形式
H1 : 0
x0 x 0 未知： 检验统计量 已知： s n n z z z z 与拒绝域 z z 2 P值决策准则 P ,拒绝H 0
统计学
STATISTICS
设假设的总体均值为 0 ： 2 （1）当总体方差 已知时，总体均值的检验统 X 0 计量为：
z
（2）当总体方差 未知时，可以用样本方差S 代 替总体方差，此时总体均值检验的统计量为：
2
n
2
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0 z S n
X
统计学 （二）小样本 STATISTICS
H1:μ <500（净含量不符合说明书）
5-9
STATISTICS 例8.3
统计学
:
一家研究机构估计，某城市中家庭拥有汽车的 比例超过30%。为验证这一估计是否正确，该 研究机构随即抽取了一个样本进行检验。试陈 述用于检验的原假设与备择假设 研究者建立的原假设和备择假设应为：
H0:π≦ 30%(家庭拥有汽车的比例不超过30%) H1: π >30%(家庭拥有汽车的比例超过30%)
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统计学
STATISTICS
调查了339名50岁以上的人，其中205 名吸烟者中有43个患慢性气管炎，在 134名不吸烟者中有13人患慢性气管 炎。 调查数据能否支持“吸烟者容易患慢 性气管炎”这种观点呢？
回答这些问题我们需要进行假设检验。
5-3
统计学
STATISTICS
§ 8.1假设检验的基本问题
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统计学
STATISTICS
例8.6 ： 某小麦品种的平均产量为 2 5200kg/hm 。一家研究机构对小麦品种进行了 改良以期提高产量。为检验改良后的小麦产量 是否有显著提高，随机抽取了36个地块进行试 2 种，得到的样本平均产量为5275kg/hm ，标准 2 差为120kg/hm 。检验改良后的小麦产量是否 有显著提高？ （ 0.05 ）
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统计学§8.2 一个总体参数的检验
STATISTICS
假设检验的重要一步是确定适当的检验统计量。 选择什么样的统计量进行检验考虑的主要因素有： 样本量n的大小，总体标准差是否已知。
由于检验的参数不同，所以选择的检验统计量也 有所不同。在一个总体参数的检验中，用到的检 验统计量主要有三个： 统计量， t统计量和 2 统计量。
z
（2）如果总体方差 2 未知，我们需要用样本方 2 差S 代替总体方差 2 ，此时，检验统计量服从 自由度为n-1的t分布。检验的统计量为：
n
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0 t S n
X
统计学
STATISTICS
相关例题：
例8.4：一种罐装饮料采用自动生产线 生产，每罐的容量是255ml，标准差 是5ml。为检验每罐容量是否符合要求， 质检人员在某天生产的饮料中随机抽 取40罐进行检验，测得每罐平均容量 是255.8ml。取显著性水平α=0.05，检 验该天生产的饮料容量是否符合标准 要求。
5 - 11 5、假设检验的目的主要是收集证据拒绝原假设。
STATISTICS
统计学 四、两类错误
1、弃真错误——当原假设正确时却拒绝 原假设，所犯的错误称为弃真错误。犯 这种错误的概率通常记为α，所又称为α 错误。（ α又称显著性水平 ）
2、取伪错误——当原假设错误时而没有 拒绝原假设，所犯的错误称为取伪错误。 犯这种错误的概率通常记为β，所以又称 为β错误。
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可以判断出本题的原假设和备择假设为（双侧检 验）： 统计学 H0： 255
STATISTICS
H1： 255
大样本情况下，总体方差已知，因此检验统计量 为：
0 255.8 255 z 1.01 n 5 40
X
根据给定的显著性水平α=0.05，查标准正态分布 表可知： Z 2 Z0.025 1.96 由于 Z 1.01 Z 2 1.96
统计学
STATISTICS
第8章 假设检验
§8.1 §8.2
假设检验的基本问题 一个总体参数的检验
实例： 统计学
STATISTICS
一项新的减肥产品在广告中声称：服 用该产品的第一周内，参加者的体重 平均至少可以减轻8磅。现随机抽取 40位服用该减肥产品的样本，结果显 示：样本的体重平均减少7磅，标准 差为3.2磅。 该广告是否是属实的？消费者该不该 信赖它呢？
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STATISTICS
统计学 通过以上例子，我们可以得出以下认识：
1、原假设和备择假设要成对出现，二者组成一个完 备事件组，而且相互对立。