1.4 等腰梯形的性质和判定
等腰梯形的性质及证明
等腰梯形的性质及证明等腰梯形是一种特殊的梯形，其两边腰长相等。
在这篇文章中，我们将讨论等腰梯形的性质以及如何证明这些性质。
首先，我们来看一下等腰梯形的定义。
1.基角：等腰梯形的两个底边之间的角被称为基角。
2.腰角：等腰梯形的两个腰边与底边之间的角被称为腰角。
3.顶角：等腰梯形的两个腰边之间的角被称为顶角。
现在，我们来讨论等腰梯形的性质：性质1：等腰梯形的两个底边平行。
证明：我们可以利用反证法来证明这个性质。
假设等腰梯形的两个底边不平行，那么根据平行线的性质，腰边与底边之间的对应角也不相等。
这与等腰梯形的定义相矛盾，因此我们可以得出结论：等腰梯形的两个底边平行。
性质2：等腰梯形的两个腰边相等。
证明：我们可以利用切线与弦的性质来证明这个性质。
首先，我们将等腰梯形的两个腰边延长，并在延长线上取两个点，使得两个延长线与底边相交。
然后，连接这两个点与等腰梯形的垂线相交的点，得到两个三角形。
根据三角形的性质，我们知道，当两个角是等腰三角形的顶角时，这两个三角形是等腰三角形。
根据等腰三角形的定义，我们可以得出结论：等腰梯形的两个腰边相等。
性质3：等腰梯形的基角相等。
证明：我们可以利用同位角的性质来证明这个性质。
首先，我们将等腰梯形的两个底边延长，并在延长线上取两个点，使得两个延长线与腰边相交。
然后，连接这两个点与等腰梯形的垂线相交的点，得到两个三角形。
根据三角形的性质，我们知道，当两个角是等腰三角形的腰角时，这两个三角形是等腰三角形。
根据等腰三角形的定义，我们可以得出结论：等腰梯形的基角相等。
性质4：等腰梯形的对角线互相垂直。
证明：我们可以利用直角三角形的性质来证明这个性质。
首先，我们可以通过等腰梯形的两个腰边延长线的交点连接两个顶角，形成一个直角三角形。
根据直角三角形的性质，直角三角形的两条边互相垂直。
因此，我们可以得出结论：等腰梯形的对角线互相垂直。
性质5：等腰梯形的对边相等。
证明：我们可以利用同位角的性质来证明这个性质。
等腰梯形的性质与判定
等腰梯形的性质与判定等腰梯形是指具有两条平行边且两组对边相等的四边形。
在几何学中，等腰梯形是一种特殊的多边形，具有一些独特的性质和判定方法。
本文将探讨等腰梯形的性质以及如何判定一个四边形是否为等腰梯形。
一、等腰梯形的性质1.等腰梯形的两底角相等：等腰梯形的两底角（非对顶角）相等。
证明如下：连接等腰梯形的两个非平行边，可以得到两个全等的三角形，根据三角形的性质可知，两个三角形的对应角相等，因此两底角相等。
2.等腰梯形的对顶角互补：等腰梯形的两对顶角互补（角的和为180度）。
证明如下：连接等腰梯形的两个对角，可以得到两个对顶的全等三角形，根据全等三角形的性质可知，两个对顶角互补。
3.等腰梯形的对边平行：等腰梯形的两条对边平行。
证明如下：连接等腰梯形的两个对顶点和两个底边的中点，可以得到一对全等的三角形和一对等腰三角形。
根据全等三角形的性质可知，两个底边的中点连线平行于顶点连线，即证得两对边平行。
二、判定一个四边形是否为等腰梯形1.判定条件一：两底边相等且两腰边相等。
如果一个四边形的两条底边相等且两条腰边相等，那么这个四边形就是等腰梯形。
这个判定条件基于等腰梯形的定义，即两组对边相等。
2.判定条件二：两底角相等。
如果一个四边形的两个底角相等，那么这个四边形可能是等腰梯形。
这个判定条件基于等腰梯形的性质之一，即两底角相等。
但需要注意的是，仅满足该条件并不能确定一个四边形为等腰梯形，因为它可能是其他类型的四边形，如矩形或平行四边形。
3.判定条件三：对角线平分一个角。
如果一个四边形的对角线能够平分其中一个角，那么这个四边形就是等腰梯形。
这个判定条件基于等腰梯形的性质之一，即对角线平分一个角。
总结起来，判定一个四边形为等腰梯形的充分条件是：两底边相等且两腰边相等，或者两底角相等，或者对角线能够平分一个角。
但需要注意的是，这些条件并不一定都是必要条件，因为其他类型的四边形也可能满足这些条件。
结论等腰梯形是具有两条平行边且两组对边相等的四边形。
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明等腰梯形是指具有两边边长相等的梯形。
在等腰梯形的性质定理和判定定理中，我们会探讨一些关于其边长，角度，和对角线的性质。
下面，我将解释等腰梯形的性质定理和判定定理，并给出它们的证明。
性质定理1：等腰梯形的两个底角是相等的。
证明：考虑一个等腰梯形ABCD，其中AB和CD是底边，BC和AD是斜边。
假设∠A和∠B是两个底角。
首先，我们可以根据等腰梯形的性质，得到AB=CD。
接着，我们可以通过等边三角形来证明∠BAD≌∠CBA。
因为AB=CD，所以三角形ABC和三角形DCA是等边三角形。
因此，∠ABC≌∠CDA和∠CAB≌∠DAC。
我们可以通过相邻角的和等于180度的原理，得到∠BAD+∠ABC+∠CAB=180度和∠CBA+∠CDA+∠DAC=180度。
由于∠ABC≌∠CDA和∠CAB≌∠DAC，所以∠BAD+∠ABC+∠CAB=∠BAD+∠CDA+∠DAC。
因此，根据相等的角度和等于相等的角度之和，我们得到∠BAD+∠ABC+∠CAB=∠CBA+∠CDA+∠DAC。
将等腰梯形的性质AB=CD和∠BAD+∠ABC+∠CAB=∠CBA+∠CDA+∠DAC代入其中，我们可以得到∠BAD=∠CBA。
因此，等腰梯形的两个底角是相等的。
性质定理2：等腰梯形的两个对角线相等。
证明：考虑一个等腰梯形ABCD，其中AB和CD是底边，BC和AD是斜边。
我们需要证明AC=BD。
我们已经知道∠BAD=∠CBA。
因此，∠BAD和∠CBA是等腰梯形的两个底角，根据性质定理1，我们可以知道∠A=∠D和∠B=∠C。
我们可以通过相同边上的相等角来证明∠BAD≌∠BCD和∠ABD≌∠ACD。
因为∠A=∠D和∠B=∠C，所以AB//CD。
根据平行线的性质，我们得到∠ABD≌∠CDA和∠ACD≌∠BDA。
因此，根据等腰三角形的定义，我们可以知道三角形ABD和三角形CAD是等腰三角形。
因此，AD=BD和AC=CD。
1.4 等腰梯形的性质和判定(2)
1.5 三角形中位线定理班级 姓名 学号主备人： 教学目标：1． 理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．2． 能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算． 3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法． 重点、难点1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质．2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．（1）强调三角形的中位线与中线的区别：（2）要把三角形中位线性质的特点、条件、结论及作用交代清楚： 学习过程： 一、情景创设实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图）图中有几个平行四边形？你是如何判断的？二、引入新课1． 三角形中线： ． 2． 三角形中位线性质应注意的两个问题：①第一个结论是表明中位线与第三边的位置关系，第二个结论是说明中位线与第三边的数量关系，在应用时可根据需要来选用其中的结论（可以单独用其中结论）．②这个定理的证明方法很多，关键在于如何添加辅助线． 三．探索活动已知： 如图，点D 、E 、分别为△ABC 边AB 、AC 的中点，求证：DE ∥BC 且DE=21BC ．分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把C要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．方法1：如图（1），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF ，（也可以过点C 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F 点，证明方法与上面大体相同）方法2：如图（2），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF 、CD 和AF ，【思考】：（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？ （2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．〖拓展〗已知：△ABC 的周长为a ，面积为s ，连接各边中点得△A 1B 1C 1，再连接△A 1B 1C 1各边中点得△A 2B 2C 2……，则（１） 第３次连接所得△A 3B 3C 3的周长＝ ，面积＝（２）第n 次连接所得△A n B n C n 的周长＝ ，面积＝ 四．典型例题1、 如图，△ABC 中，AD 是BC 的中线，EF 是中位线，求证：AD 、EF 互相平分。
1.4 等腰梯形的性质和判定(2)
1.5 三角形中位线定理[ 教案]班级 姓名 学号主备人： 教学目标：1． 理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．2． 能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算． 3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法． 重点、难点1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质．2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）． （1）强调三角形的中位线与中线的区别：（2）要把三角形中位线性质的特点、条件、结论及作用交代清楚： 学习过程： 一、情景创设实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图）图中有几个平行四边形？你是如何判断的？二、引入新课1． 三角形中线： ． 2． 三角形中位线性质应注意的两个问题：①第一个结论是表明中位线与第三边的位置关系，第二个结论是说明中位线与第三边的数量关系，在应用时可根据需要来选用其中的结论（可以单独用其中结论）．②这个定理的证明方法很多，关键在于如何添加辅助线． 三．探索活动已知： 如图，点D 、E 、分别为△ABC 边AB 、AC 的中点，求证：DE ∥BC 且DE=21BC ． 分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把C要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．方法1：如图（1），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF ，（也可以过点C 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F 点，证明方法与上面大体相同）方法2：如图（2），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF 、CD 和AF ，【思考】：（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？ （2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．〖拓展〗已知：△ABC 的周长为a ，面积为s ，连接各边中点得△A 1B 1C 1，再连接△A 1B 1C 1各边中点得△A 2B 2C 2……，则（１） 第３次连接所得△A 3B 3C 3的周长＝ ，面积＝（２）第n 次连接所得△A n B n C n 的周长＝ ，面积＝ 四．典型例题1、 如图，△ABC 中，AD 是BC 的中线，EF 是中位线， 求证：AD 、EF 互相平分。
等腰梯形的性质
等腰梯形的性质等腰梯形是一种特殊的梯形，它具有一些独特的性质和特征。
在本文中，我们将探讨等腰梯形的定义、性质以及如何求解相关问题。
一、等腰梯形的定义等腰梯形是指两边边长相等的梯形，即上底和下底的长度相等。
它的特点是两条底边平行，而两条斜边相等。
二、等腰梯形的性质1. 对角线相等：等腰梯形的两条对角线相等。
这是因为对角线是连接两组平行边的线段，而等腰梯形的两条底边平行，所以对角线具有相等的长度。
2. 底角相等：等腰梯形的两条底边上的角相等。
底角是指顶点处的内角，由平行线的性质可知，对共线上两点之间的夹角，顶点处的内角相等。
3. 上底角和下底角互补：等腰梯形的上底和下底之间的内角互补，即它们的和为180度。
这是因为等腰梯形的两条底边平行，对共线上两点之间的夹角，角和为180度。
4. 两条斜边相等：等腰梯形的两条斜边长度相等。
这是由于等腰梯形的两条底边相等，两条斜边分别与底边平行，并且与底边相等。
三、等腰梯形的面积计算等腰梯形的面积可以通过下底、上底和高来计算。
设下底长为a，上底长为b，高为h，则等腰梯形的面积S可用以下公式表示：S = (a + b) * h / 2四、等腰梯形的应用等腰梯形在数学和几何学中有广泛的应用。
它常被用于解决与梯形相关的问题，比如求面积、计算边长等。
同时，在建筑设计、土木工程和制图等领域中也会涉及到等腰梯形的使用。
举例来说，如果我们知道一个等腰梯形的上底长度为6cm，下底长度为10cm，高为8cm，我们可以根据等腰梯形的面积公式计算出它的面积：S = (6 + 10) * 8 / 2 = 80平方厘米。
同样地，如果我们已知一个等腰梯形的上底长为12cm，下底长为16cm，面积为96平方厘米，我们可以通过等腰梯形的面积公式反推出它的高：96 = (12 + 16) * h / 2，解得h = 8cm。
综上所述，等腰梯形是一种具有特殊性质和特征的几何图形。
它的对角线相等，底角相等，上底角和下底角互补，两条斜边相等。
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明等腰梯形是一种特殊的梯形，其两边斜线段长度相等，并且两个底边之间平行。
在等腰梯形中有一些重要的性质定理以及判定定理。
1.等腰梯形的性质定理：性质定理1：等腰梯形的两个底角是相等的。
证明：设等腰梯形ABCD中的底边AB和CD的长度分别为a和b，而斜边AD和BC的长度分别为c和d。
由于等腰梯形定义为两边斜线段长度相等，即c=d，而两个底边之间平行，所以∠CAD=∠BCD，又∠ADC=∠BDC=180°-∠CAD-∠BCD，所以∠ADC=∠BDC，即等腰梯形ABCD 的两个底角是相等的。
性质定理2：等腰梯形的对角线互相垂直且平分对角线之间的角。
证明：设等腰梯形ABCD中的对角线AC和BD相交于点E。
由于等腰梯形的两边斜线段长度相等，所以AE=CE，而AE=BE，故BE=CE。
又由于两个底边之间平行，所以∠ADC=∠BDC，所以∠AEB=180°-∠ADC-∠BDC=180°-∠ADC-(180°-∠AED-∠CED)=∠AED+∠CED。
根据等腰梯形的两个底角相等性质定理，可得∠AED=∠CED，所以∠AEB=2∠AED，即等腰梯形ABCD的对角线互相垂直且平分对角线之间的角。
2.等腰梯形的判定定理：判定定理1：如果一个梯形的两个底角相等，则它是一个等腰梯形。
证明：设梯形ABCD的两个底角∠A和∠D相等。
由于两个底角相等，所以∠CAD=∠BDC。
又由于∠ADC=∠BDC，所以∠ADC=∠CAD。
根据等腰梯形的性质定理1可得等腰梯形ABCD的两个底角相等，即如果一个梯形的两个底角相等，则它是一个等腰梯形。
判定定理2：如果一个梯形的对角线互相垂直且平分对角线之间的角，则它是一个等腰梯形。
证明：设梯形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，且互相垂直且平分对角线之间的角。
由于对角线互相垂直，所以∠AEB=90°。
又因为对角线平分对角线之间的角，所以∠AEB=∠BED。
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明
目录
• 等腰梯形的性质定理 • 等腰梯形的判定定理 • 等腰梯形的证明方法
01
等腰梯形的性质定理
定义与特性
定义
等腰梯形是一个两腰相等的梯形。
特性
等腰梯形在同一底上的两个角相等，对角线相等且平分。
面积与周长的计算
面积计算
等腰梯形的面积可以通过上底、下底和高来计算，公式为$S = frac{(a + b)h}{2}$，其中$a$和$b$是上底和下底的长度，$h$ 是高。
判定实例
三角形中位线定理的证明
在三角形中，取两边中点连线，证明该线段平行于第三边且等于第三边的一半，可以利用等腰梯形的 性质定理进行证明。
平行四边形与等腰梯形的转换
将一个平行四边形的一组对角连接，得到一个等腰梯形，可以通过等腰梯形的性质定理证明该结论。
03
等腰梯形的证明方法
证明步骤
01
第一步
根据等腰梯形的定义，确定两腰相 等。
第三步
根据等腰梯形的性质，证明对角线 相等。
03
02
第二步
根据等腰梯形的性质，证明两底角 相等。
第四步
根据等腰梯形的性质，证明高相等。
04
证明实例
实例一
已知等腰梯形ABCD中，AB=CD， AD=BC，求证∠B=∠C。
实例二
已知等腰梯形ABCD中，AB=CD， AD=BC，求证BD=AC。
实例三
已知等腰梯形ABCD中，AB=CD， AD=BC，求证BE=CF。
周长计算
等腰梯形的周长可以通过上底、下底、两腰的长度来计算，公 式为$P = a + b + 2c$，其中$a$和$b$是上底和下底的长度， $c$是两腰的长度。
1.4等腰梯形的性质和判定
B
C
B
E
C B E
F C
性质定理2、等腰梯形的两条对角线相等。 证明定理2： 已知：梯形ABCD中，AD∥BC. 求证：AC=BD.
A D
思路1：转化方向——全等三角形．
B
思路2：转化方向——平行四边形．
C
A
DБайду номын сангаас
A
D
B
C
B
C
例题1：
如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD 延长 线上一点，DE＝BC． （1）求证：∠E＝∠DBC； （2）判断△ACE的形状
解决梯形问题常用的方法：
（1）平移腰：构造平行四边形 （2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中． （3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形 中 （4）“延长两腰”：构造具有公共角的两个等腰三角 形． （5）取一腰的中点：构造全等三角形，将上底下移
学有所获
转化
新问题
老问题
等腰梯形
转化
三角形或特 殊四边形
1.4 等腰梯形的性质和判定
1．等腰梯形概念： 有两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 2．等腰梯形的判定： (1)定义(2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰 梯形。 3．等腰梯形的性质： 等腰梯形同一底上的两个角相等。 等腰梯形的两条对角线相等。
证明：在同一底上的两个角相等的梯形是等 腰梯形
已知：在梯形ABCD中，AD//BC， ∠B=∠C．
（2008年江苏省连云港市）如图，在直角梯形纸片 中， ， ， ，将纸片沿过点D的直线折 叠，使点A落在CD边上的E点处，折痕为DF．连接EF并展开纸 片． （1）求证：四边形ADEF是正方形； （2）取线段AF的中点G，连接EG，如果 ，试说明 四边形GBCE是等腰梯形．
1.4等腰梯形的性质和判定
第 1页1.4等腰梯形的性质和判定班级________ 姓名________ 学号________ 成绩________1．等腰梯形的上底、下底长分别为6cm 、8cm,且有一个角是60,则它的周长为____面积为___________.2.四边形ABCD 中,∠A: ∠B: ∠C: ∠D=3:3:2:4,则四边形是( ) A 一般四边形 B 平行四边形 C 直角梯形 D 等腰梯形3.在课外活动课上，教师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm 2，则对角线所用的竹条至少需（ ）（A ）cm 230（B ）30cm （C ）60cm （D ）cm 2604．已知如图，梯形ABCD 的面积是4㎝2，M 为CD 中点， 连AM ，BM ，则△ABM 的面积是( ) A.1 ㎝2 B.2 ㎝2 C.3 ㎝2 D. 4㎝25．如图，在直角梯形ABCD 中，A B ∥DC ，∠ABC=900，AB=2DC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为F ，过点F 作EF ∥AB ，交AD 于点E ，CF=4㎝。
（1）、求证：四边形ABFE 是等腰梯形； （2）、求AB 的长。
6.如图，在梯形ABCD 中，AD BC //，AB CD ，延长CB 到E ，使EB=AD ，连结AE 。
求证：AE=CA 。
7.已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为梯形内一点，且EA = ED ，求证：EB = EC 。
8.如图10，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC边上一个动点（E 点不与B 、C 两点重合），EF ∥BD 交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点G.⑴求证：四边形EFOG 的周长等于2 OB ；⑵请你将上述题目的条件“梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG 的周长等于2 OB ”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.9.如图，在梯形ABCD 中，A D ∥BC ，∠ B=900，AD=24cm ，AB=8cm ，BC=26cm ，动点P 从A 点开始沿AD 边以1cm/秒的速度向D 运动，动点Q 从C 点开始沿CB 边以3cm/秒的速度向B 运动，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动。
1.4等腰梯形的性质和判定
等腰梯形的性质定理：
定理1、等腰梯形同一底上的两底角相等。 定理2、等腰梯形的两条对角线相等。
证明定理2： 已知：
A
D
B
C
求证：
思路1：转化方向——全等三角形． A D
思路2：转化方向——平行四边形． A D
C B C
B
例题分析：
1.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD 延长线上一 点，DE＝BC． （1）求证：∠E＝∠DBC； （2）判断△ACE的形状
3. 如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC， BD相交于点O，△AOD与△BOC的面积之比为1： 9，若AD=1，则BC的长是 ．
4.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分 线与∠BCD的平分线的交点E恰在AB上．若AD＝ 7cm，BC＝8cm，则AB的长度是 cm．
5.已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=900， BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC. （1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如 图①），求证：△AOE∽△COF （2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE于点G （如图②），求证：四边形EFDG是菱形。
1．等腰梯形概念： _______________________________的图形叫做等腰梯形
2．等腰梯形的判定： ______________________________ 3．等腰梯形的性质： _______________________________ _______________________________
在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
已知：在梯形ABCD中，AD//BC， ∠B=∠C． 求证：梯形ABCD是等腰梯形． 思路1：转化方向——等腰三角形． 思路2：转化方向——平行四边形． B C A D
1.4等腰梯形的性质与判定2
1.4等腰梯形的性质和判定2，
教学目标
1.会证明等腰梯形的判定定理; 2.会用判定定理来解决有关问题;
回忆
什么样的图形叫做等腰梯形? ____相等的____叫做等腰梯形; 根据等腰梯形的定义,一个图形要成为等腰梯 形,首先它必须是_____,还要具备_____相等;
判定定理一
在________的两个角相等的梯形是等腰梯形; 在解决有关梯形的问题时常见的辅助 线:_______________________; 如何证明? 根据判定定理一,要证明一个图形是等腰梯形, 首先它必须是_____,还具备在_______相等; 书写格式;
判定定理二
பைடு நூலகம்
_________相等的梯形是等腰梯形; 如何证明? 根据判定定理二,要证明一个图形是等腰梯形, 首先它必须是_____,还具备在_______相等; 书写格式;
典型例题
例一; 例二;
练习
见补充习题P12第1题;
小结
____相等的____叫做等腰梯形; 根据等腰梯形的定义,一个图形要成为等腰梯 形,首先它必须是_____,还要具备_____相等; 在________的两个角相等的梯形是等腰梯形; 根据判定定理一,要证明一个图形是等腰梯形, 首先它必须是_____,还具备在_______相等; _________相等的梯形是等腰梯形; 根据判定定理二,要证明一个图形是等腰梯形, 首先它必须是_____,还具备在_______相等;
等腰梯形的性质
等腰梯形的性质
等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等。
两腰相等，两底平行，对角线
相等。
等腰梯形中位线的长度是上下底边长度和的一半。
性质有哪些
1、等腰梯形同一底上的两个内角相等。
2、两腰相等，两底平行，对角线相等。
3、由托勒密定理可得等腰梯形ABCD，有ABxCD+BCxAD=ACxBD
4、等腰梯形对角线的平方等于腰的平方与上、下底积的乘积和。
BD2=AC2=AB2+ADxBC=CD2+ADxBC
5、等腰梯形中位线的长度是上下底边长度和的一半。
6、等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴，过上下两底中点的直线即为对称轴。
7、等腰梯形的面积公式：S=上底+下底×高÷2。
8、特殊面积计算：当对角线垂直时：S=ACxBD/2
梯形有什么特征
1、梯形：有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。
2、平行的两边叫做梯形的底边，在下面且较长的一条底边叫下底，在上面且较短的
一条底边叫上底。
另
外两边叫腰。
3、夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。
一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。
两腰相等
的梯形叫等腰梯形。
等腰梯形是一种特殊的梯形，其判定方法与等腰三角形判定方法类似。
梯形有不稳定性。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
等腰梯形的性质
等腰梯形的性质
等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等。
两腰相等，两底平行，对角线相等。
等腰梯形中位线的长度是上下底边长度和的一半。
性质有哪些
1、等腰梯形同一底上的两个内角相等。
2、两腰相等，两底平行，对角线相等。
3、由托勒密定理可得等腰梯形ABCD，有ABxCD+BCxAD=ACxBD
4、等腰梯形对角线的平方等于腰的平方与上、下底积的乘积和。
BD�0�5=AC�0�5=AB�0�5+ADxBC=CD�0�5+ADxBC
5、等腰梯形中位线的长度是上下底边长度和的一半。
6、等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴，过上下两底中点的直线即为对称轴。
7、等腰梯形的面积公式：S=(上底+下底)×高÷2。
8、特殊面积计算：当对角线垂直时：S=ACxBD/2
梯形有什么特征
1、梯形：有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。
2、平行的两边叫做梯形的底边，在下面且较长的一条底边叫下底，在上面且较短的一条底边叫上底。
另外两边叫腰。
3、夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。
一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。
两腰相等的梯形叫等腰梯形。
等腰梯形是一种特殊的梯形，其判定方法与等腰三角形判定方法类似。
梯形有不稳定性。
等腰梯形的性质定理判定定理及证明
推导等腰梯形的判定定理
通过严格的逻辑推导，得出等腰梯形的判定定理， 为解决实际问题和进行数学研究提供有力工具。
证明等腰梯形的性质定理
通过严谨的证明过程，验证等腰梯形性质定 理的正确性，加深对等腰梯形性质的理解和 掌握。
定义与性质
等腰梯形的定义
等腰梯形是一组对边平行且不相等，另一组对边相等的四边形。
回顾与总结
等腰梯形的性质定理
等腰梯形具有一系列独特的性质，包括两腰相等、同一底上的两个角相等、对角线相等以及中位线等于上下底之和的 一半等。这些性质使得等腰梯形在数学和实际应用中具有重要地位。
等腰梯形的判定定理
要判断一个四边形是否为等腰梯形，可以根据其定义和性质进行判定。具体方法包括比较两腰的长度、检查同一底上 的两个角是否相等、验证对角线是否相等以及使用中位线的性质进行判定等。
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03
等腰梯形的判定定理
基于边长的判定
定理
若梯形的一组对边平行且相等，则此 梯形为等腰梯形。
证明
设梯形ABCD中，AB//CD，且AB=CD。由于 AB和CD平行且相等，根据平行线的性质，我 们知道∠A+∠D=180°。又因为AB=CD，所以 ∠B=∠C。因此，∠A=∠D，从而证明了梯形 ABCD是等腰梯形。
证明
在等腰梯形ABCD中，由于∠BAD和∠CDA是内错角，因此∠BAD=∠CDA。又因为 AB=CD，AD=DA（公共边），所以△ABD≌△DCA（SAS）。从而BD=AC，即两条 对角线相等。
对称性
定理
等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线（所在直线）。
证明
在等腰梯形ABCD中，设E、F分别为AB、CD的中点，连接EF。由于AE=EB，CF=FD，且AD=BC，因此△AEF和 △BEF关于EF对称。同理，△CEF和△DEF也关于EF对称。因此，等腰梯形ABCD关于EF对称。
1.4等腰梯形的性质与判定
梯形是等腰梯形．
E
A D A D A D
C
B
E
C B E
F C
初 中 数 学
九 上
定理 等腰梯形同一底上的两底角相等． 等腰梯形的两条对角线相等．
E A
D
A
D
A
D
B
C
B
E
C B E
F C
初 中 数 学
九 上
B
定理 等腰梯形的两条对角线相等．
A
D
A
D
┐
E
┐
F C B
C E
初 中 数 学
九 上
例题
已知：在梯形ABCD中，AD//BC， AC=BD． 求证：梯形ABCD为等腰梯形．
A D
1 B
2 C E
初 中 数 学
九 上
证明：过点D作DE∥AC，交BC的延长线 于点E，则∠2=∠E . ∵AD∥BE， A D ∴ DE=AC． ∵AC=BD， ∴DE=BD． 1 2 ∴∠1=∠E． E B C ∴∠1=∠2． 又∵AC=DB，BC=CB， ∴△ABC≌△DCB(SAS)． ∴AB=DC． ∴梯形ABCD为等腰梯形．
初 中 数 学
九 上
初中数学九年级
(苏科版)
上册
第一章
第四节
等Байду номын сангаас梯形的性质和判定
初 中 数 学
九 上
初 中 数 学
九 上
在同一底上的两个角相等的梯形是 等腰梯形． 已知：在梯形ABCD中，AD//BC， ∠B=∠C． 求证：梯形ABCD是等腰梯形． A D
B
C
初 中 数 学
九 上
B
定理
九年级数学等腰梯形的性质和判定(2018-2019)
其后必号而无及也 於四时虽亡事必书时月 以减中法而约之 已而黜翟后 故反耳 滕公言之上曰 臣客故楚令尹薛公 哀十二年 中尉常丽以闻 兵多 受赐不待诏 是以郡国各重其守相 泰山为橹 须时移灾复也 初 治信都 五月 众敌并怨 令適卒分守成皋 朕甚嘉之 太公家令说太公曰 天亡二日
数人脱亡 恐不得脱於祸 可与建教化 王者不得则不兴 不令得会丧 太守霸为选择良吏 赍金十万斤 一见 恭谨 而张骞始开西域之迹 治《尚书》 召其从昆弟 述《盖诸葛刘郑毋将孙何传》第四十七 赞谒称藩臣而不名 固亡奇也 先下诏封婕妤父临为列侯 亡走胡陵 有可以安国家 启前行 王
为其御庄贾所杀 无足与计天下事者 谒者随何进曰 不审陛下所谓 汉王曰 孰能为我使淮南 〕《内业》十五篇 即否 小利不足贪 令军勿击 子寿成嗣 又苦趶盭 厥灾水 周公 康叔犹二君 后迁为东海太守 破之 民欲祭祀 丧纪而无用者 所以常赐之甚厚 绥之而安 阴阳比类 上令助等与大臣
辩论 二年薨 上少依倚许氏 横然之 更名卫 於《易》 何也 以激怒使者 志安乐 而相心疑云冤 数从褒等放猎 而上书谢汉 还幸甘泉 坚闭城门 甲兵器械非特棘矜之用也 少抑外亲大臣 吏受赇枉法 言莽鸩杀孝平皇帝 为治家室 河图 洛书远自昆仑 交臂受事 别定上谷 或明鬼神 陇西郡 焉
耆兵未还 每事约俭 数蒙圣恩 以太祖高皇帝配 视以俭节 敞三子官皆至都尉 足下何不白主献长门园 与冯氏宗族徙归故郡 淮南王长杀辟阳侯审食其 孙后大宗 季布有罪 原心定罪 陈女图以镜监兮 夏日葛衣 皆最密 御坐为起 见狱吏则头枪地 鲁大夫叔孙侨如欲颛公室 国除 毋忘吾所欲论
著矣 自归上 而二国以危 陶朱 猗顿之富也 后薨 而匈奴亦不复扰边 为人口吃难言 众暴寡 而学兵法 大司农 中丞耿寿昌奏设常平仓 楚元三年 故得雨而冰也 中谒者赵尧举春 乃下 阳气薄之不相入 武库日出兵而阳不知 则宛固已忧困 式客罢 其许之 涉学日寡 去其节 属杓 与庙数相应
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A 3 11
11
B 11 4
A 3 B 4
A 4 B 3 3
4
3
D 3E 1 C D 3 E 8 C D 4 E 7 C 11 11 4
3.如图,等腰梯形ABCD中,AB∥DC,对角 线AC平分∠BAD,梯形的周长为4.5,下底 AB=1.5,求上底CD的长． Ｄ x A
1 2
x
3
Ｃ xLeabharlann 1.5Ｂ4.如图所示,在直角梯形ABCD中,AB∥CD, ∠ABC=90°,AB=2DC,对角线AC⊥BD,垂 足为F,过点F作EF∥AB,交AD于点E, CF=4cm. (1)求证:四边形ABFE是等腰梯形; D C (2)求AE的长. 4 E F 8
等腰梯形判定定理： 在同一底上的两个角相等 的梯形是等腰梯形．
怎么证明? 你有其它证明方法吗? O
转化的数 学思想
A
D
A
D
B
C
B
E
C
已知:在梯形ABCD中,
AD∥BC,∠A+C=∠180°.
求证:梯形ABCD是等腰梯形. A D
B
C
4.等腰梯形的对角线相等的逆命题是什么? 正确吗? 请证明你的结论. 对角线相等的梯形是等腰梯形. (真命题) 已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AC=DB， 求证：四边形ABCD是等腰梯形. 与梯形对角线相关题：常平移对角线 你有其它证明方法吗? D D A A
4 2 4 2
A
H
┓
B
画一个等腰梯形,使它的两底长分别 为6cm和12cm,腰长为5cm. A 5 B 6 5 6 E D 5
6
C
基础训练 1．若以3cm,5cm为底,6cm,xcm为腰画 梯形,则x的取值范围是 4<x<8 .
A
6 6 3 E 5
3 B x 2 C
D
基础训练 2.若等腰梯形的三边长分别为3,4,11,则这个等 腰梯形的周长为 (B) A.21 B.29 C.21或29 D.21或22或29
2.等腰梯形有哪些性质?
1.等腰梯形是轴对称图形,上、下底的中点所 确定的直线是它对称轴． 2.性质定理1: 等腰梯形在同一底上的两个角相等． ∠B=∠C,∠A=∠D
怎么证明? 你还有其它证明方法吗?
A
D
B EE F 3.性质定理2: 等腰梯形的对角线相等． AC=BD
怎么证明?
C
3.等腰梯形怎么判定?
┓ ┓
B
C
E
B
E
F
C
1．下列说法中正确的个数是（ Ｂ ） ①一组对边平行的四边形是梯形． ②等腰梯形的对角线相等． ③等腰梯形的两个底角相等． ④等腰梯形有一条对称轴．
Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个
2．梯形的一组对角是70°和100°,则 另外两个角是_____________． 110°和80° 3．证明:等腰梯形一底的中点到另一底两端 的距离相等. C M
D
B
A
4.如图用四个全等的等腰梯形拼成一个四边形 ABCD,则∠A= 60 度. D C x° x° x° A B
1.如图,在△ABC中,AB=AC,BD、CE是角平分线. 求证:四边形EBCD是等腰梯形. A
E
B
D C
已知：在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC， M 、 N 分 别 是 AD 、 BC 的 中 点 ， AD=3 ， BC=9，∠B=45°.
1.4 等腰梯形的性质和判定
C
1. 如图,△ABC中,如果过一边上任一点D, 作另一边的平行线DE, 截去一个角后,所得 的是什么四边形？ A
知识回顾
D
E
B C 一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫梯形 你能由等腰三角形得到等腰梯形吗? 两腰相等的梯形是等腰梯形．
底
腰
B
A
D
腰
C
底 在梯形中,平行的边称为底,短的为上底,长的为 下底;不平行的边称为腰．
求MN的长.
A
M
D
B
E
E NF
F
C
已知：在梯形ABCD中，AD∥BC,M、 N 分 别 是 AD 、 BC 的 中 点 ， AD=3 ， BC=9，∠ B+∠C=90°. 求MN的长. M D A
B E
N
F
C
小
结
１．等腰梯形的性质定理 ①等腰梯形在同一底上的两个角相等. ②等腰梯形的对角线相等. ２．等腰梯形的判定方法 两腰相等的梯形是等腰梯形．（定义） 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形． ３．梯形中常见的辅助线的思想----转化的数学 思想. 等腰梯形的辅助线几种作图．