2019届湖南省郴州市高三第四次教学质量检测理科数学试卷【含答案及解析】
湖南省郴州市2019届高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2019年湖南省郴州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（）A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i2．已知命题p，q，则“￢p为假命题”是“p∧q是真命题”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A．B．C．2 D．34．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为30，则输入的n为（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知函数的图象经过点（0，﹣1），则该函数的一个单调递增区间为（）A．[﹣，]B．[，]C．[﹣，]D．[，]]6．一个三位自然数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b且c＞b时称为“凹数”．若a，b，c∈{4，5，6，7，8}，且a，b，c互不相同，任取一个三位数，则它为“凹数”的概率是（）A．B．C．D．7．要得到函数f （x）=sin2x的导函数f′（x）的图象，只需将f （x）的图象（）A．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）C．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）8．对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上的为一等品，在区间[15，20）和区间[25，30）上的为二等品，在区间[10，15）和[30，35）上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（）aaA．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.459．若双曲线﹣=1的焦距为10，点P（﹣2，1）在其渐近线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=110．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式成立的是（）A．f（1）＜f（a）＜f（b）B．f（a）＜f（b）＜f（1）C．f（a）＜f（1）＜f（b）D．f（b）＜f（1）＜f（a）11．若（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）5=a0+a1（1﹣x）+a2•（1﹣x）2+…+a5（1﹣x）5，则a1+a2+a3+a4+a5等于（）A．5 B．62 C．﹣57 D．﹣5612．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（2）=0；②y=f（x）在[8，10]单调递增；③x=4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8以上命题中不正确命题的序号为（）A．①B．②C．③D．④二、填空題：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设x，y满足约束条件，则z=的最大值为．14．如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．15．已知⊙M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0及圆外一点P（5，5），过P点作⊙M的切线PA，PB，切点分别为A，B，则弦AB的长为．16．对于两个实数a，b，min{a，b}表示a，b中的较小数．设f （x）=min{x，}（x＞0），则不等式f （x）≥log42的解集是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．在数列{a n}中，前n项和为S n，且．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前项和T n．18．已知△ABC的内角为A、B、C，其对边分别为a、b、c，已知B为锐角，向量，且∥．（Ⅰ）求角B的大小及当时，△ABC的外接圆半径R的取值范围；（Ⅱ）如果b=2，求S△ABC的最大值．19．若f（x）=cos2ax﹣sinaxcosax（a＞0）的图象与直线y=m（m＞0）相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列．（1）求a和m的值；（2）△ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．若（，）是函数f（x）图象的一个对称中心，且a=4，求△ABC周长的取值范围．20．如图，在△ABC中，记，∠B=，AB=8，点D在BC边上，且CD=2，cos∠ADC=．（Ⅰ）试用表示；（Ⅱ）若以B点为坐标原点，BC所在的直线为x轴（正方向为向右）建立平面直角坐标系，使得点A落在第一象限．点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，设，求m﹣n的最大值．21．已知数列{a n}中，a1=1，且当x=时，函数f（x）=a n•x2+（2﹣n﹣a n+1）•x取得极值．（1）若b n=2n﹣1•a n，证明数列{b n}为等差数列；（2）设数列c n=，{c n}的前n项和为S n，若不等式mS n＜n+4（﹣1）n对任意的正整数n 恒成立，求m的取值范围．22．已知函数．（Ⅰ）若x=3是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；（Ⅲ）设m，n为正实数，且m＞n，求证：．2019年湖南省郴州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（）A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】设出复数z，代入，它的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．【解答】解：由题意得z=ai．（a∈R且a≠0）．∴==，则a+2=0，∴a=﹣2．有z=﹣2i，故选D【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．2．已知命题p，q，则“￢p为假命题”是“p∧q是真命题”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】复合命题的真假．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据复合命题之间的关系结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若p∧q是真命题，则p，q都是真命题，则￢p是假命题，即必要性成立，若￢p是假命题，则p是真命题，此时p∧q是真命题，不一定成立，即充分性不成立，故“￢p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复合命题真假之间的关系是解决本题的关键．3．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A．B．C．2 D．3【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为四棱锥．【解答】解：该几何体为四棱锥，其底面为直角梯形，面积S=×（1+2）×2=3，则该几何体的体积V=•3•x=，故x=．故选A．【点评】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．4．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为30，则输入的n为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得k=1，S=0，满足条件k≤n，S=2，k=2满足条件k≤n，S=6，k=3满足条件k≤n，S=14，k=4满足条件k≤n，S=30，k=5由题意，此时应该不满足条件5≤n，退出循环，输出S的值为30，则输入的n为4．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5．已知函数的图象经过点（0，﹣1），则该函数的一个单调递增区间为（）A．[﹣，]B．[，]C．[﹣，]D．[，]]【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件求得φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得该函数的单调递增区间．【解答】解：∵函数的图象经过点（0，﹣1），∴2sinφ=﹣1，求得sinφ=﹣，可得φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．6．一个三位自然数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b且c＞b时称为“凹数”．若a，b，c∈{4，5，6，7，8}，且a，b，c互不相同，任取一个三位数，则它为“凹数”的概率是（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】根据题意，分析“凹数”的定义，根据十位数分类讨论即可求出凹数的个数，再利用古典概型概率计算公式即可得到所求概率．【解答】解：根据题意，当且仅当a＞b且c＞b时称为“凹数”，在{4，5，6，7，8}的5个整数中任取3个不同的数组成三位数，有A53=60种取法，在{4，5，6，7，8}的5个整数中任取3个不同的数，将4放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A42=12种情况，将5放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A32=6种情况，将6放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A22=2种情况，根据分类计数原理可得12+6+2=20种，故它为“凹数”的概率是=．故选：C．【点评】本题考查组合数公式的运用，关键在于根据题干中所给的“凹数”的定义，再利用古典概型概率计算公式即得答案．7．要得到函数f （x）=sin2x的导函数f′（x）的图象，只需将f （x）的图象（）A．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）C．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；导数的运算．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；导数的概念及应用；三角函数的图像与性质．【分析】求出导函数的解析式，由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：∵f （x）=sin2x，f′（x）=2cos2x=2sin（2x+）=2sin[2（x+）]，∴将f （x）的图象向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到导函数f′（x）的图象．故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8．对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上的为一等品，在区间[15，20）和区间[25，30）上的为二等品，在区间[10，15）和[30，35）上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（）A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45【考点】频率分布直方图．【分析】在频率分布表中，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，根据频率的和等于1可求得二等品的概率．【解答】解：由频率分布直方图知识可知：在区间[15，20）和[25，30）上的概率为0.04×5+[1﹣（0.02+0.04+0.06+0.03）×5]=0.45．故选：D．【点评】本小题主要考查样本的频率分布直方图的知识和分析问题以及解决问题的能力．统计初步在近两年高考中每年都以小题的形式出现，基本上是低起点题．9．若双曲线﹣=1的焦距为10，点P（﹣2，1）在其渐近线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线C：﹣=1的焦距为10，点P（﹣2，1）在其渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线C：﹣=1的焦距为10，点P（﹣2，1）在其渐近线上，∴a2+b2=25，a=2b，∴b=，a=2∴双曲线的方程为﹣=1．故选：C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式成立的是（）A．f（1）＜f（a）＜f（b）B．f（a）＜f（b）＜f（1）C．f（a）＜f（1）＜f（b）D．f（b）＜f（1）＜f（a）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】首先判断两个函数的单调性，再由定义知f（a）=0，f（1）=e+1﹣2＞0，g（b）=0，g（1）=0+1﹣2＜0，从而可判断0＜a＜1＜b；从而再利用单调性判断大小关系．【解答】解：易知函数f（x）=e x+x﹣2在R上是增函数，g（x）=lnx+x﹣2在（0，+∞）上也是增函数；又∵f（a）=0，f（1）=e+1﹣2＞0，g（b）=0，g（1）=0+1﹣2＜0，∴0＜a＜1＜b；故f（a）＜f（1）＜f（b）；故选C．【点评】本题考查了函数的单调性的判断与应用及函数零点的判定定理的应用，属于基础题．11．若（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）5=a0+a1（1﹣x）+a2•（1﹣x）2+…+a5（1﹣x）5，则a1+a2+a3+a4+a5等于（）A．5 B．62 C．﹣57 D．﹣56【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】在所给的等式中，分别令x=1，可得a0=62；令x=0，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5 =5，从而求得a1+a2+a3+a4+a5 的值．【解答】解：∵（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）5=a0+a1（1﹣x）+a2•（1﹣x）2+…+a5（1﹣x）5，令x=1，可得a0=2+22+23+24+25=62，再令x=0，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5 =5，∴a1+a2+a3+a4+a5 =﹣57，故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题．12．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（2）=0；②y=f（x）在[8，10]单调递增；③x=4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8以上命题中不正确命题的序号为（）A．①B．②C．③D．④【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据条件，令x=﹣2便可得到f（2）=2f（2），从而得出f（2）=0，从而得出f（x）是周期为4的周期函数，而f（x）在[0，2]上单调递减，从而得到f（x）在[8，10]上单调递减．容易得到x=4和x=﹣4为f（x）的对称轴，从而便可以得到，即得到x1+x2=﹣8，这样便可得出不正确命题的序号．【解答】解：f（x）为R上的偶函数，且f（x+4）=f（x）+f（2），令x=﹣2得：f（2）=2f（2）；∴f（2）=0，∴①正确；∴f（x+4）=f（x）；∴f（x）为周期为4的周期函数；f（x）在[0，2]上单调递减，∴f（x）在[0+4×2，2+4×2]=[8，10]上单调递减，∴②错误；f（x）关于y轴对称，即x=0是f（x）的一条对称轴；∴x=4为函数f（x）图象的一条对称轴，∴③正确；x=﹣4为f（x）的一条对称轴，∴；∴x1+x2=﹣8，∴④正确；∴不正确的命题序号为②．故选B．【点评】考查偶函数的定义，周期函数的定义，周期函数的单调性，本题中f（x）的对称轴为x=4n，n∈Z，以及中点坐标公式．二、填空題：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设x，y满足约束条件，则z=的最大值为2．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式．【分析】由约束条件作出可行域，利用z=的几何意义，即可行域内的动点与原点连线的斜率求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），，∴z=的最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14．如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．【考点】几何概型．【专题】综合题；概率与统计．【分析】利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率．【解答】解：由题意，y=lnx与y=e x关于y=x对称，∴阴影部分的面积为2（e﹣e x）dx=2（ex﹣e x）=2，∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，∴落到阴影部分的概率为．故答案为：．【点评】本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．15．已知⊙M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0及圆外一点P（5，5），过P点作⊙M的切线PA，PB，切点分别为A，B，则弦AB的长为3．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】数形结合；数形结合法；直线与圆．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用半径r，圆心M到点P的距离MP以及切线长组成直角三角形，即可求出弦长AB．【解答】解：如图所示，⊙M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0可化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=9，∴圆心为M（2，2），半径为r=3；则圆心M到点P的距离为d=MP==3，∴切线长PA===3，∴弦AB的长为2×=2×=3．故答案为：3．【点评】本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了勾股定理的应用问题，是基础题目．16．对于两个实数a，b，min{a，b}表示a，b中的较小数．设f （x）=min{x，}（x＞0），则不等式f （x）≥log42的解集是[，2]．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】先根据，min{a，b}表示a，b中的较小数求得函数f（x），再按分段函数的图象解得用满足f（x）＜时x的集合．【解答】解：根据，min{a，b}表示a，b中的较小数，得到函数f（x）=min{x，}（x＞0）的图象，如图所示：当x=或2时，y=，由图象可知，f （x）≥log42的解集是[，2]，故答案为：[，2]【点评】本题考查了其他不等式的解法，是一道新定义题，首先要根据新定义求得函数图象，再应用函数图象解决相关问题，这类问题的解决，正确转化是关键．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．在数列{a n}中，前n项和为S n，且．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】综合题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．．【分析】（I）由，可得n=1时，a1=S1=1；n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1（II）=，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．=﹣【解答】解：（I）∵，∴n=1时，a1=S1=1；n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n．n=1时也成立．∴a n=n．（II）=，∴数列{b n}的前项和T n=++…+，=+…++，∴=+…+﹣=﹣=，∴T n=2﹣．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知△ABC的内角为A、B、C，其对边分别为a、b、c，已知B为锐角，向量，且∥．（Ⅰ）求角B的大小及当时，△ABC的外接圆半径R的取值范围；（Ⅱ）如果b=2，求S△ABC的最大值．【考点】余弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；转化思想；解三角形；不等式的解法及应用；平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）由平面向量共线（平行）的坐标表示可得2sinB•（2cos2﹣1）+cos2B=0，利用三角函数恒等变换的应用化简可得2sin（2B+）=0，结合B为锐角可求B，由正弦定理即可得解．（Ⅱ）由余弦定理可得ac=a2+c2﹣4，利用基本不等式可得ac≤4，根据三角形面积公式即可求其最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵∥，⇒2sinB•（2cos2﹣1）+cos2B=0，…⇒sin2B+cos2B=0⇒2sin（2B+）=0（B为锐角）⇒2B=⇒B=，…∴R=[1，2]…（Ⅱ）由cosB==，可得：ac=a2+c2﹣4，…∵a2+c2≥2ac，∴ac≤4，…∴S△ABC=acsinB≤=，即S△ABC的最大值为．…【点评】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．19．若f（x）=cos2ax﹣sinaxcosax（a＞0）的图象与直线y=m（m＞0）相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列．（1）求a和m的值；（2）△ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．若（，）是函数f（x）图象的一个对称中心，且a=4，求△ABC周长的取值范围．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【专题】综合题；解三角形．【分析】（1）由题意，函数f（x）的周期为π，且最大（或最小）值为m，利用三角恒等变换可化简f（x），从而可求结果；（2）由（，）是函数f（x）图象的一个对称中心可求A，利用正弦定理可把周长化为三角函数，进而可求答案；【解答】解：（1）=，由题意，函数f（x）的周期为π，且最大（或最小）值为m，而m＞0，，∴a=1，；（2）∵（是函数f（x）图象的一个对称中心，∴，又∵A为△ABC的内角，∴，△ABC中，则由正弦定理得：，∴，∵，∴b+c+a∈（8，12]．【点评】该题考查正弦定理、两角和与差的正弦函数、倍角公式等知识，考查学生综合运用知识解决问题的能力．20．如图，在△ABC中，记，∠B=，AB=8，点D在BC边上，且CD=2，cos∠ADC=．（Ⅰ）试用表示；（Ⅱ）若以B点为坐标原点，BC所在的直线为x轴（正方向为向右）建立平面直角坐标系，使得点A落在第一象限．点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，设，求m﹣n的最大值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用；不等式．【分析】（Ⅰ）可设（0＜λ＜1），从而，这便可得到，而，根据条件即可得到，从而便可求出，这样便可解出，从而用表示出向量；（Ⅱ）根据题意便可求出点B，A，C三点的坐标，从而求出向量的坐标，这样根据便可求出，从而得到，这样即可求出，从而由线性规划的知识即可求出m﹣n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意不妨设，则；∴；；又；∴；∴==，；∴=；解得；∴；（Ⅱ）由题意知；∴；∴=；又P（x，y），∴；∴；∴；∵点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，由线性规划知识知，当点P处于点A（）位置时m﹣n最大，且最大值为1．【点评】考查向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法：，以及向量夹角的余弦公式，完全平方式的运用，能求平面直角坐标系下点的坐标，根据点的坐标可求向量的坐标，向量坐标的加法和数乘运算，以及线性规划的方法求变量的最值．21．已知数列{a n}中，a1=1，且当x=时，函数f（x）=a n•x2+（2﹣n﹣a n+1）•x取得极值．（1）若b n=2n﹣1•a n，证明数列{b n}为等差数列；（2）设数列c n=，{c n}的前n项和为S n，若不等式mS n＜n+4（﹣1）n对任意的正整数n 恒成立，求m的取值范围．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）通过对f（x）=a n•x2+（2﹣n﹣a n+1）•x求导，利用，计算可知b n+1=b n+1，进而可知数列{b n}是首项、公差均为1的等差数列；（2）通过（1）可知b n=n，裂项可知c n=﹣，并项相加得S n=，进而问题转化为求f（n）=的最小值，进而计算可得结论．【解答】（1）证明：∵f（x）=a n•x2+（2﹣n﹣a n+1）•x，∴f′（x）=，∴，即a n+﹣a n+1=0，∴2n a n+1=2n﹣1a n+1，即b n+1=b n+1，又∵=1，∴数列{b n}是首项、公差均为1的等差数列；（2）解：由（1）可知b n=n，∴c n===﹣，∴S n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，∵不等式mS n＜n+4（﹣1）n对任意的正整数n恒成立，∴m＜=1+n+对任意的正整数n恒成立，记f（n）=1+n+，则f（1）=﹣6，f（2）=9，f（3）=﹣，f（4）=10，…，显然当n=1时f（n）取最小值，∴m＜f（1）=﹣6，∴m的取值范围是（﹣∞，﹣6）．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．22．已知函数．（Ⅰ）若x=3是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；（Ⅲ）设m，n为正实数，且m＞n，求证：．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）求出导数，由题意可得f′（3）=0，代入可得a=，可得切线的斜率和切点，进而得到切线的方程；（Ⅱ）由函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，可得f′（x）≥0在x＞0恒成立，即有x2+（2﹣2a）x+1≥0，当x＞0时，2a﹣2≤x+，求得右边函数的最小值，即可得到a的范围；（Ⅲ）运用分析法证明．要证，只需证＜，即证ln﹣＞0，设h（x）=lnx﹣，求出导数判断单调性，运用单调递增，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的导数为f′（x）=﹣=，由题意可得f′（3）=0，代入可得a=，检验成立．可得切线的斜率为f′（1）=﹣，切点为（1，0），可得切线的方程为x+3y﹣1=0；（Ⅱ）f ′（x ）=，由函数f （x ）在（0，+∞）上为单调增函数，可得f ′（x ）≥0在x ＞0恒成立，即有x 2+（2﹣2a ）x+1≥0，当x ＞0时，2a ﹣2≤x+，由x+≥2=2，当且仅当x=1时，取得最小值2，即有2a ﹣2≤2，可得a ≤2，可得a 的取值范围是（﹣∞，2]；（Ⅲ）证明：要证，只需证＜，即证ln ＞，即证ln ﹣＞0，设h （x ）=lnx ﹣，由（Ⅱ）知，h （x ）在（1，+∞）递增，又＞1，可得h （）＞h （1）=0，即ln ﹣＞0，故．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查不等式的证明，注意运用分析法，以及构造函数，判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。
湖南省郴州市高三第四次教学质量检测理数试题解析(原卷版)Word版无答案
湖南省郴州市2016届高三第四次教学质量检测数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}22|20,|log ,A x x x B x x m =--<=>若A B ⊆,则实数m 的取值范围是（ ）A ．(]0,4B ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦ C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2.已知复数z 满足()()353210z i i i +-=,则复数z 在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,242,14a S == , 则6S 等于 （ ） A ．32 B ．39 C ．42 D ．454.已知直线20x +=过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点, 且与双曲线的一条渐近线垂直, 则双曲线的实轴长为（ ）A ．2B ．C ．．4 5.已知()20,,sin cos 324x x x πππ⎛⎫⎛⎫∈-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则tan x 等于 （ ）A ．12B ．2-C ．2D 6.已知()()()()52501251211...1x a a x a x a x -=+++++++,则01234a a a a a ++++等于（ ）A.31- B ．0 C ．33 D ．34 7.执行如图所示的程序框图, 已知命题[]:4,6p k ∀∈,输出S 的值为30:命题():4,5q k ∃∈,则输出S 的值为14,则下列命题正确的是（ ）A ．qB ．p q ∧C ．()p q ⌝∨D ．()p q ∧⌝ 8.已知函数()()2sin 212f x x πϕϕ⎛⎫=++<⎪⎝⎭, 若()1f x <对,312x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭恒成立, 则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．1 9.已知函数()f x 的定义域为R ,对任意12x x <,有()()1212f x f x x x -<-,且()34f -=-,则不等式1122log 31log 311xxf ⎛⎫->-- ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．()2,+∞B ．(),2-∞C ．()()0,11,2D ．()(),00,2-∞10.一个几何体的三视图如图所示, 在该几何体的体积为（ ）A ．4B ．5C ．112D ． 6 11.已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,点A 是椭圆M 与圆()2224:9C x y m +-=在第一象限的交点, 且点A 到2F 的距离等于13m .若椭圆M 上一动点到点1F 与到点C 的距离之差的最大值为2a m -,则椭圆M 的离心率为（ ） A ．13 B ．12C．2 D．212.已知函数()33f x x x a =-++是奇函数, 且函数()()1g x f x k =--有两个零点, 则实数k 的取值范围是（ ） A ．(),3-∞- B ．()1,+∞ C ．()(),33,-∞-+∞D ．()(),34,-∞-+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如果实数,x y 满足条件022010x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩,则12z y x =-的最大值为 ．14.甲、乙、丙三人将独立参加某项体育达标测试, 根据平时训练的经验, 甲、乙、丙三人能达标的达标的概率分别为323,,435,则三人中有人达标但没有全部达标的概率为 ． 15.在ABC∆中,90,3,1C AB AC ∠=︒==, 若2AC BD CB=-,则CD CB = ．16.已知正项数列{}n a 的前n 项为n S ,当2n ≥时,()211n n n n a S S S ---=, 且11a =,设12log 3n n a b +=，则12...n b b b +++= ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中, 角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且3sin sin b A C =.（1）若3A C π+=,求sin B 的值； （2）若3,c ABC =∆的面积为求a .18.（本小题满分12分）中学阶段是学生身体发育最重要的阶段, 长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康, 某校为了解甲、乙两班每周自我熬夜学习的总时长(单位: 小时), 分别从这两个班中随机抽取6名同学进步调查, 将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字, 叶表示个位数字), 如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过21小时, 则称为“过度熬夜”.（1）请根据样本数据, 估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值； （2）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据, 求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率； （3）从甲、乙两班的样本数据中各随机抽取2名学生的数据, 记“过度熬夜”的学生人数为X ,写X 的分布列和数学期望()E X .19.（本小题满分12分）如图, 在四棱锥P ABCD -中,ABD ∆ 是边长为2的正三角形,PC ⊥ 底面.,ABCD AB BP BC ⊥=（1）求证：PA BD ⊥；（2）若PC BC =,求二面角A BP D --的正弦值.20.（本小题满分12分）焦点为F 的抛物线()2:20C y px p =>上有一动点P ,且点P 抛物线C 的准线与点()0,2D（1）求抛物线C 的方程；（2）过点()1,1Q 作直线交抛物线C 于不同()1,2R 的两点,A B ,若直线,AR BR 分别交直线:22l y x =+于,M N 两点, 求MN 最小值时直线AB 的方程. 21.（本小题满分12分）已知函数(),0ln xf x ax a x=->. （1）若()y f x =在()1,+∞上是减函数, 求实数a 的最小值；（2）若存在21,x e e ⎡⎤∈⎣⎦,使()114f x ≤成立, 求实数a 的取值范围.请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图, 已知AB 为圆O 的直径,C 为圆O 上一点, 连接AC 并延长使AC CP =,连接PB 并延长交圆O 于点D ,过点P 作圆O 的切线, 切点为E .（1）证明：2AB DP EP =；（2）若AB EP ==求BC 的长度. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合, 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合, 设点O 为坐标原点, 直线:22x tl y t=⎧⎨=+⎩(参数t R ∈)与曲线C 的极坐标方程为2c o s 2s i n ρθθ=.（1）求直线l 与曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点, 证明：0OA OB =. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()21,f x x g x x a =+=+.（1）当0a =时, 解不等式()()f x g x ≥；（2）若存在x R ∈,使得()()f x g x ≤成立, 求实数a 的取值范围.。
2019届高三入学调研理科数学试卷(4)含答案.doc
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集_，集合_，_，则_（）
A．_B．_
C．_D．_
【答案】C
【解析】由题意得_，
，
∴_，∴_．故选C．
2．下列命题错误的是（）
A．命题“若_，则方程_有实数根”的逆否命题为：“若方程_无实数根，则_”
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，：，：或_．
因为_为真，所以_，_中至少有一个真命题．
所以_或_或_，所以_或_，
所以实数_的取值范围是．
（2）当时，：，由得：：或，
所以：，
因为是的必要条件，所以，
所以，解得，所以实数的取值范围是．
19．（12分）计算：（1）；
（2）．
【答案】（1）_；（2）_．
（1）若_，_，求实数_的取值范围；
（2）若_，且_，求实数_的取值范围．
【答案】（1）_；（2）_．
【解析】（1）_，__，
①若_，则_，∴_；
②若_，则_∴_；综上_．
（2）_，∴_，∴_．
18．（12分）设_：实数_满足_，_：实数_满足_．
（1）当_时，若_为真，求实数_的取值范围；
（2）当_时，若是的必要条件，求实数的取值范围．
22．（12分）设函数，其中，．
（1）当时，讨论函数_的单调性；
（2）若函数_仅在_处有极值，求_的取值范围；
（3）若对于任意的_，不等式_在_上恒成立，求_的取值范围．
【答案】（1）_在，内是增函数，在，内是减函数；
（2）；（3）．
【解析】（1）．
全国通用-2019年最新数学理科第四次高考模拟检测试题及答案解析
最新高三四模考试数学（理科）试卷一、选择题（每小题只有一个答案符合题意，每小题5分，共60分） 1、设集合A={}2|4,x x > B={}2|230x x x +-< ，则A ∩B=（） A.R B.(2,3) C.(-3,-2) D.(-3,-2)∪(2,+∞) 2、已知i 为虚数单位，（2+i ）z =1+2i ，则z 的共轭复数z =( )A.4355i + B. 4355i - C. 43i + D. 43i - 3、已知1cos()33πα+= ，则cos(2)3πα-=（ ）A. 79B.79- C.19 D.19-4、下列说法正确的是（ ）A ． 在ABC ∆中，AB <是sin sin A B <的充要条件B ． 0a b ⋅< 是 a 与b 夹角为钝角的充要条件 C ． 若直线,a b ，平面,αβ满足,a ααβ⊥⊥，,b b αβ⊄⊄则a b ⊥能推出b β⊥ D. 在相关性检验中，当相关性系数r 满足||0.632r >时，才能求回归直线方程5、设,x y 满足约束条件202400x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则3x+2y的最大值为（ ） A.-1 B.4 C.223D.8 6、若输出的i=5,则k 的最小正整数值为（ ）A.88B.89C.8095D.80967、已知1，2，3，4，5，6， 六个数字，排成2行3列，且要求第一行的最大数比第二行的最大数要大，第一行的最小数要比第二行的最小数也要大，则所有的排列方法种数有（ ）A. 144B.480C.216D.432 8、一个三棱锥的三视图如图所示，主视图和俯视图为全等的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为（ ） A.112B.16C.14D.139、已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，过P 作y 轴的垂线，垂足为M ，若||4,PF = 则PFM ∆的面积为（ ） A.33 B. 43 C. 6 D. 810、已知函数(1)f x +为定义在R 上的偶函数，且当()f x 在[)1,+∞上为增函数，若0.10.1,21,12a b -=-=-，则()f a 与()f b 的大小关系为（）A. ()f a >()f bB. ()f a <()f bC. ()f a =()f bD. ()f a 与()f b 的大小不确定 11、三棱锥S-ABC 中，平面SBC ⊥平面ABC ，若SB=SC ，AB=AC=1且∠BAC=120︒,SA 与底面ABC 所成角为60︒,则三棱锥S-ABC 的外接球的表面积为（）A. 2πB.3πC. 4πD.5π12、已知函数()ln 1xf x e mx ex x =--+，且定义域为(]0,e ，若函数()f x 在定义域内有两个极值点，则m 的取值范围为（）A.0,2ee e ⎡⎤-⎣⎦B. (0,2e e e ⎤-⎦C.()0,2ee e -D. ()2,e e e -+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知等边ABC ∆的边长为2，M 为AC 中点，N 为BC 中点，AN BM ⋅ =___________ 14、已知函数()sin cos f x a x b x =+ ，若()()4f x f π≤对x R ∈恒成立，则()f x 的单调递增区间为_________________ ()k Z ∈15、已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的左右焦点分别记为12,F F ,若P 为双曲线的渐近线上一点，若1212||||PF PF PF PF +=- ,且2||PF a =（a 为实半轴长），求双曲线的离心率____________ 16、在曲线xy=1上，横坐标为1n n +的点为n A ，纵坐标为1nn +的点为n B ，记坐标为 （1，1）的点为M ，n P (,)n n x y 是n n A B M ∆的外心，n T 是{}n x 的前n 项和，则n T =_______________三、解答题（本大题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17、已知{}n a 的前n 项和为n S ,且1321n n S S n +=++ ，11a =， （1）求n a （2）若(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T18、在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等边三角形，且12AA AB =，D 、M 分别为AB ，1CC 的中点，求证：（1）CD 平面1A BM （2）求二面角1A BM D --的大小的余弦值B 1DMC 1BACA 1第18题图19、2015年2月27日，中央全面深化改革小组审议通过了《中国足球改革总体方案》，中国足球的崛起指日可待！已知有甲、乙、丙三支足球队，每两支球队要进行一场比赛，比赛之间相互独立.（1）若甲、乙、丙三支足球队实力相当，每两支球队比赛时，胜、平、负的概率均为13， 求甲队能保持不败的概率（2）若甲、乙两队实力相当，且优于丙，具体数据如下表若获胜一场积3分，平一场积1分，输一场积0分，记X 表示甲队的积分，求X 的分布列和数学期望20、已知椭圆C:22221(0,0)x y a b a b +=>>的离心率为22，左、右焦点分别为12,F F过1F 作不与x 轴重合的直线1l ，与椭圆C 交于,P Q 两点，若2PQF ∆的周长为42. （1） 求椭圆C 的标准方程（2） 过1F 作与直线1l 垂直的直线2l ，且2l 与椭圆C 交于点,N M 两点，求四边形PMQN 面积的取值范围甲胜乙 甲平乙 甲输乙概率 13 13 13甲胜丙 甲平丙 甲输丙 概率23 16 16乙胜丙 乙平丙 乙输丙概率23 16 16事件 概率事件 概率事件概率21、已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+-- ，a R ∈ （1）若0a =时，求()f x 在1x =处的切线（2）若函数()0f x > 对(1,)x ∀∈+∞恒成立. 求a 的取值范围（3）从编号为1到2015的2015个小球中，有放回地连续取16次小球 （每次取一球），记所取得的小球的号码互不相同的概率为p ，求证：12020111e p>请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 ( 22 ) 选修 4- l ：几何证明选讲己知△ABC 中，AB=AC , D 是△ABC 外接圆劣弧AC 上的点（不与点A , C 重合），延长BD 至E 。
2019-2020年高三第四次模拟考试 数学(理) 含答案
绝密★启用前2019-2020年高三第四次模拟考试数学（理）含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，则A． B. C. D.2．已知，则在复平面内，复数所对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量，，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知成等差数列，成等比数列，则等于A. B. C. C. 或5．已知，，则函数为增函数的概率是A. B. C. D.6．已知一个几何体的正视图和俯视图如右图所示,正视图是边长为2a的正三角形,俯视图是边长为a 的正六边形,则该几何体的侧视图的面积为A．B．C．D．7．执行如下图的程序框图，则输出的值P=A．12B．10C．8D．68．过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点. 若|AF|=3，则 AOB的面积为A．B．C．D．9．设，满足约束条件，若目标函数（，）的最小值为，则的最大值是A．B．C．D．10．若函数在是增函数，则的取值范围是A． B. C. D.11．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形。
湖南省郴州市2019-2020学年中考第四次质量检测数学试题含解析
湖南省郴州市2019-2020学年中考第四次质量检测数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E给好落在AB的延长线上，连接AD，下列结论不一定正确的是（）A．AD∥BC B．∠DAC=∠E C．BC⊥DE D．AD+BC=AE2．计算－5x2－3x2的结果是( )A．2x2B．3x2C．－8x2D．8x23．已知：a、b是不等于0的实数，2a=3b，那么下列等式中正确的是（）A．B．C．D．4．如图是一个由4个相同的长方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．5．我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨，用科学记数法表示这个数字是A．6.75×103吨B．67.5×103吨C．6.75×104吨D．6.75×105吨6．某学校组织艺术摄影展，上交的作品要求如下：七寸照片（长7英寸，宽5英寸）；将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（）A．（7+x）（5+x）×3=7×5 B．（7+x）（5+x）=3×7×5C．（7+2x）（5+2x）×3=7×5 D．（7+2x）（5+2x）=3×7×57．下列算式中，结果等于a5的是（）A．a2+a3B．a2•a3C．a5÷a D．（a2）38．一次函数y1＝kx+1﹣2k（k≠0）的图象记作G1，一次函数y2＝2x+3（﹣1＜x＜2）的图象记作G2，对于这两个图象，有以下几种说法：①当G1与G2有公共点时，y1随x增大而减小；②当G1与G2没有公共点时，y1随x增大而增大；③当k＝2时，G1与G2平行，且平行线之间的距离为．下列选项中，描述准确的是（）A．①②正确，③错误B．①③正确，②错误C．②③正确，①错误D．①②③都正确9．若点A(1，a)和点B(4，b)在直线y＝－2x＋m上，则a与b的大小关系是()A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．与m的值有关10．下列计算正确的是（）A．﹣5x﹣2x=﹣3x B．（a+3）2=a2+9 C．（﹣a3）2=a5D．a2p÷a﹣p=a3p11．如果零上2℃记作＋2℃，那么零下3℃记作（）A．－3℃B．－2℃C．＋3℃D．＋2℃12．如图，BD是∠ABC的角平分线，DC∥AB，下列说法正确的是（）A．BC=CD B．AD∥BCC．AD=BC D．点A与点C关于BD对称二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．2018年3月2日，大型记录电影《厉害了，我的国》登陆全国各大院线．某影院针对这一影片推出了特惠活动：票价每人30元，团体购票超过10人，票价可享受八折优惠，学校计划组织全体教师观看此影片．若观影人数为a（a＞10），则应付票价总额为_____元．（用含a的式子表示）141-22_____．15．已知一组数据3 ，x，﹣2，3，1，6的中位数为1，则其方差为____．16．三个小伙伴各出资a元，共同购买了价格为b元的一个篮球，还剩下一点钱，则剩余金额为__元（用含a、b的代数式表示）17．一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球实验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是0.2，则袋中有________个红球．18．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴负半轴上，斜边AC上的中线BD的反向延长线交y轴正半轴于点E，双曲线y=kx（x＜0）的图象经过点A，S△BEC=8，则k=_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨. 请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨？目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计10辆，全部货物一次运完，其中每辆大货车一次运费花费130元，每辆小货车一次运货花费100元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？20．（6分）某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400 m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天.（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用是0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？21．（6分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为»BD的中点.求证：∠ACD=∠DEC；（2）延长DE、CB交于点P，若PB=BO，DE=2，求PE的长22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：△ADE～△ABC；（2）当AC＝8，BC＝6时，求DE的长．23．（8分）已知抛物线y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？24．（10分）如图，PB与⊙O相切于点B，过点B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连结PA，AO，AO的延长线交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若tan∠BAD=23，且OC=4，求BD的长．25．（10分）阅读下面材料，并解答问题．材料：将分式42231x xx--+-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母为﹣x 2+1，可设﹣x 4﹣x 2+3=（﹣x 2+1）（x 2+a ）+b 则﹣x 4﹣x 2+3=（﹣x 2+1）（x 2+a ）+b=﹣x 4﹣ax 2+x 2+a+b=﹣x 4﹣（a ﹣1）x 2+（a+b ）∵对应任意x ，上述等式均成立，∴113a a b -=⎧⎨+=⎩，∴a=2，b=1 ∴42231x x x --+-+=222(1)(2)11x x x -+++-+=222(1)(2)1x x x -++-++211x -+=x 2+2+211x -+这样，分式42231x x x --+-+被拆分成了一个整式x 2+2与一个分式211x -+的和． 解答：将分式422681x x x --+-+ 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．试说明422681x x x --+-+的最小值为1．26．（12分）如图，△DEF 是由△ABC 通过一次旋转得到的，请用直尺和圆规画出旋转中心．27．（12分）一辆汽车，新车购买价30万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同.已知在第三年年末，这辆车折旧后价值为17.34万元，求这辆车第二、三年的年折旧率.参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】利用旋转的性质得BA=BD ，BC=BE ，∠ABD=∠CBE=60°，∠C=∠E ，再通过判断△ABD 为等边三角形得到AD=AB ，∠BAD=60°，则根据平行线的性质可判断AD ∥BC ，从而得到∠DAC=∠C ，于是可判断∠DAC=∠E ，接着利用AD=AB ，BE=BC 可判断AD+BC=AE ，利用∠CBE=60°，由于∠E 的度数不确定，所以不能判定BC ⊥DE ．【详解】∵△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得△DBE ，点C 的对应点E 恰好落在AB 的延长线上，∴BA=BD ，BC=BE ，∠ABD=∠CBE=60°，∠C=∠E ，∴△ABD 为等边三角形，∴AD=AB ，∠BAD=60°，∵∠BAD=∠EBC ，∴AD ∥BC ，∴∠DAC=∠C ，∴∠DAC=∠E ，∵AE=AB+BE ，而AD=AB ，BE=BC ，∴AD+BC=AE ，∵∠CBE=60°，∴只有当∠E=30°时，BC ⊥DE ．故选C ．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质．2．C【解析】【分析】利用合并同类项法则直接合并得出即可．【详解】解：222538.x x x --=-故选C.【点睛】此题主要考查了合并同类项，熟练应用合并同类项法则是解题关键．3．B【解析】∵2a=3b ，∴ ，∴ ，∴A 、C 、D 选项错误，B 选项正确，故选B.4．A【解析】由三视图的定义可知，A是该几何体的三视图，B、C、D不是该几何体的三视图.故选A.点睛:从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，看不到的线画虚线.本题从左面看有两列，左侧一列有两层，右侧一列有一层.5．C【解析】试题分析：根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．67500一共5位，从而67 500=6.75×2．故选C．6．D【解析】试题分析：由题意得；如图知；矩形的长="7+2x" 宽=5+2x ∴矩形衬底的面积=3倍的照片的面积，可得方程为(7+2X)(5+2X)=3×7×5考点：列方程点评：找到题中的等量关系，根据两个矩形的面积3倍的关系得到方程，注意的是矩形的间距都为等量的，从而得到大矩形的长于宽，用未知数x的代数式表示，而列出方程，属于基础题．7．B【解析】试题解析：A、a2与a3不能合并，所以A选项错误；B、原式=a5，所以B选项正确；C、原式=a4，所以C选项错误；D、原式=a6，所以D选项错误．故选B．8．D【解析】【分析】画图，找出G2的临界点，以及G1的临界直线，分析出G1过定点，根据k的正负与函数增减变化的关系，结合函数图象逐个选项分析即可解答．【详解】解：一次函数y2＝2x+3（﹣1＜x＜2）的函数值随x的增大而增大，如图所示，N（﹣1，2），Q（2，7）为G2的两个临界点，易知一次函数y1＝kx+1﹣2k（k≠0）的图象过定点M（2，1），直线MN与直线MQ为G1与G2有公共点的两条临界直线，从而当G1与G2有公共点时，y1随x增大而减小；故①正确；当G1与G2没有公共点时，分三种情况：一是直线MN，但此时k＝0，不符合要求；二是直线MQ，但此时k不存在，与一次函数定义不符，故MQ不符合题意；三是当k＞0时，此时y1随x增大而增大，符合题意，故②正确；当k＝2时，G1与G2平行正确，过点M作MP⊥NQ，则MN＝3，由y2＝2x+3，且MN∥x轴，可知，tan∠PNM ＝2，∴PM＝2PN，由勾股定理得：PN2+PM2＝MN2∴（2PN）2+（PN）2＝9，∴PN＝，∴PM＝.故③正确．综上，故选：D．【点睛】本题是一次函数中两条直线相交或平行的综合问题，需要数形结合，结合一次函数的性质逐条分析解答，难度较大．9．A【解析】=+中，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而【分析】根据一次函数性质：y kx b减小.由-2<0得，当x12时，y1>y2.【详解】因为，点A(1，a)和点B(4，b)在直线y＝－2x＋m上，-2<0,所以，y随x的增大而减小.因为，1<4,所以，a>b.故选A=+中y与x的大小关系，关【点睛】本题考核知识点：一次函数性质. 解题关键点:判断一次函数y kx b键看k的符号.10．D【解析】【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式和整式的乘除运算法则分别计算即可得出答案．【详解】解：A．﹣5x﹣2x=﹣7x，故此选项错误；B．（a+3）2=a2+6a+9，故此选项错误；C．（﹣a3）2=a6，故此选项错误；D．a2p÷a﹣p=a3p，正确．故选D．【点睛】本题主要考查了合并同类项以及完全平方公式和整式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题的关键．11．A【解析】【分析】一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.【详解】∵“正”和“负”相对，∴如果零上2℃记作＋2℃，那么零下3℃记作－3℃.故选A.12．A【解析】【分析】由BD是∠ABC的角平分线，根据角平分线定义得到一对角∠ABD与∠CBD相等，然后由DC∥AB，根据两直线平行，得到一对内错角∠ABD与∠CDB相等，利用等量代换得到∠DBC=∠CDB，再根据等角对等边得到BC=CD，从而得到正确的选项．【详解】∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD，又∵DC∥AB，∴∠ABD=∠CDB，∴∠CBD=∠CDB，∴BC=CD．故选A．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，以及平行线的性质．学生在做题时，若遇到两直线平行，往往要想到用两直线平行得同位角或内错角相等，借助转化的数学思想解决问题．这是一道较易的证明题，锻炼了学生的逻辑思维能力．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．24a【解析】【分析】根据题意列出代数式即可．【详解】根据题意得：30a×0.8=24a，则应付票价总额为24a元，故答案为24a.【点睛】考查了列代数式，弄清题意是解本题的关键．14【解析】试题分析：先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可，==考点：二次根式的加减15．3【解析】试题分析：∵数据﹣3，x，﹣3，3，3，6的中位数为3，∴112x+=，解得x=3，∴数据的平均数=16（﹣3﹣3+3+3+3+6）=3，∴方差=16[（﹣3﹣3）3+（﹣3﹣3）3+（3﹣3）3+（3﹣3）3+（3﹣3）3+（6﹣3）3]=3．故答案为3． 考点：3．方差；3．中位数．16．（3a ﹣b ）【解析】解：由题意可得，剩余金额为：（3a-b ）元，故答案为：（3a-b ）．点睛：本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．17．1【解析】【详解】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设袋中有x 个红球，列出方程30x =20%， 求得x=1. 故答案为1．点睛：此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．18．1【解析】【详解】∵BD 是Rt △ABC 斜边上的中线，∴BD=CD=AD ，∴∠DBC=∠ACB ，又∠DBC=∠OBE ，∠BOE=∠ABC=90°，∴△ABC ∽△EOB ， ∴AB BC OE OB∴AB•OB=BC•OE ，∵S △BEC =12×BC•OE=8， ∴AB•OB=1，∴k=xy=AB•OB=1．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）1辆大货车一次可以运货4吨，1辆小货车一次可以运货32吨；（2）货运公司应安排大货车8辆时，小货车2辆时最节省费用.【解析】（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x 吨和y 吨，根据“3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨、2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17吨”列方程组求解可得；（2）因运输33吨且用10辆车一次运完，故10辆车所运货不低于10吨，所以列不等式，大货车运费高于小货车，故用大货车少费用就小进行安排即可．【详解】（1）解：设1辆大货车一次可以运货x 吨，1辆小货车一次可以运货y 吨，依题可得：34182617x y x y +=⎧⎨+=⎩, 解得：432x y =⎧⎪⎨=⎪⎩. 答：1辆大货车一次可以运货4吨，1辆小货车一次可以运货32吨. （2）解：设大货车有m 辆，则小货车10-m 辆，依题可得：4m+32（10-m ）≥33 m≥010-m≥0解得：365≤m≤10， ∴m=8,9,10；∴当大货车8辆时，则小货车2辆；当大货车9辆时，则小货车1辆；当大货车10辆时，则小货车0辆；设运费为W=130m+100(10-m ）=30m+1000，∵k=30〉0，∴W 随x 的增大而增大，∴当m=8时，运费最少，∴W=130×8+100×2=1240（元），答：货运公司应安排大货车8辆时，小货车2辆时最节省费用.【点睛】考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，体现了数学建模思想，考查了学生用方程解实际问题的能力，解题的关键是根据题意建立方程组，并利用不等式求解大货车的数量，解题时注意题意中一次运完的含义，此类试题常用的方法为建立方程，利用不等式或者一次函数性质确定方案． 20．（1）111，51；（2）11.【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据在独立完成面积为411m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列出方程，求解即可；（2）设应安排甲队工作y天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可．【详解】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据题意得：40040042x x-=解得：x=51，经检验x=51是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是51×2=111（m2），答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是111m2、51m2；（2）设应安排甲队工作y天，根据题意得：1.4y+180010050y-×1．25≤8，解得：y≥11，答：至少应安排甲队工作11天．21．（1）见解析；（2）PE=4.【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ACD=∠B，然后由圆周角定理可得结论；（2）连结OE，根据圆周角定理和等腰三角形的性质证明OE∥CD，然后由△POE∽△PCD列出比例式，求解即可.【详解】解：(1）证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠BCD+∠B=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠B，∵∠DEC=∠B,∴∠ACD=∠DEC （2）证明：连结OE∵E为BD弧的中点. ∴∠DCE=∠BCE∵OC=OE∴∠BCE=∠OEC∴∠DCE=∠OEC∴OE∥CD∴△POE∽△PCD，∴PO PE PC PD=∵PB=BO，DE=2 ∴PB=BO=OC∴23 PO PE PC PD==∴223 PEPE=+∴PE=4【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的性质是解题的关键．22．（1）见解析;（2）154 DE=．【解析】【分析】（1）根据两角对应相等，两三角形相似即可判定；（2）利用相似三角形的性质即可解决问题．【详解】（1）∵DE⊥AB，∴∠AED=∠C=90°．∵∠A=∠A，∴△AED∽△ACB．（2）在Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6，∴AB2268=+=1．∵DE垂直平分AB，∴AE=EB=2．∵△AED∽△ACB，∴DE AEBC AC=，∴568DE=，∴DE154=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．23．（1）y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；（2）（﹣4，﹣）和（﹣6，﹣3）（3）（1，﹣4）．【解析】试题分析：（1）根据二次函数的交点式确定点A、B的坐标，求出直线的解析式，求出点D的坐标，求出抛物线的解析式；（2）作PH⊥x轴于H，设点P的坐标为（m，n），分△BPA∽△ABC和△PBA∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可；（3）作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，根据正切的定义求出Q的运动时间t=BE+EF时，t最小即可．试题解析：（1）∵y=a（x+3）（x﹣1），∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），∵直线y=﹣x+b经过点A，∴b=﹣3，∴y=﹣x﹣3，当x=2时，y=﹣5，则点D的坐标为（2，﹣5），∵点D在抛物线上，∴a（2+3）（2﹣1）=﹣5，解得，a=﹣，则抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；（2）作PH⊥x轴于H，设点P的坐标为（m，n），当△BPA∽△ABC时，∠BAC=∠PBA，∴tan∠BAC=tan∠PBA，即=，∴=，即n=﹣a（m﹣1），∴，解得，m1=﹣4，m2=1（不合题意，舍去），当m=﹣4时，n=5a，∵△BPA∽△ABC，∴=，即AB2=AC•PB，∴42=•，解得，a1=（不合题意，舍去），a2=﹣，则n=5a=﹣，∴点P的坐标为（﹣4，﹣）；当△PBA∽△ABC时，∠CBA=∠PBA，∴tan∠CBA=tan∠PBA，即=，∴=，即n=﹣3a（m﹣1），∴，解得，m1=﹣6，m2=1（不合题意，舍去），当m=﹣6时，n=21a，∵△PBA∽△ABC，∴=，即AB2=BC•PB，∴42=•，解得，a1=（不合题意，舍去），a2=﹣，则点P的坐标为（﹣6，﹣），综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣）和（﹣6，﹣）；（3）作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，则tan∠DAN===，∴∠DAN=60°，∴∠EDF=60°，∴DE==EF，∴Q的运动时间t=+=BE+EF，∴当BE和EF共线时，t最小，则BE⊥DM，E(1,﹣4)．考点：二次函数综合题.24324．（1）证明见解析；（2【解析】试题分析：（1）连接OB，由SSS证明△PAO≌△PBO，得出∠PAO=∠PBO=90°即可；（2）连接BE，证明△PAC∽△AOC，证出OC是△ABE的中位线，由三角形中位线定理得出BE=2OC，由△DBE∽△DPO可求出．试题解析：（1）连结OB，则OA=OB．如图1，∵OP ⊥AB ，∴AC=BC ，∴OP 是AB 的垂直平分线，∴PA=PB ．在△PAO 和△PBO 中，∵PA PB PO PO OA OB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△PAO ≌△PBO （SSS ），∴∠PBO=∠PAO ．∵PB 为⊙O 的切线，B 为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA ⊥OA ，∴PA 是⊙O 的切线；（2）连结BE ．如图2，∵在Rt △AOC 中，tan ∠BAD=tan ∠CAO=23OC AC =，且OC=4， ∴AC=1，则BC=1．在Rt △APO 中，∵AC ⊥OP ，∴△PAC ∽△AOC ，∴AC 2=OC•PC ，解得PC=9，∴OP=PC+OC=2．在Rt △PBC 中，由勾股定理，得22313PC BC +=，∵AC=BC ，OA=OE ，即OC 为△ABE 的中位线．∴OC=12BE ，OC ∥BE ，∴BE=2OC=3． ∵BE ∥OP ，∴△DBE ∽△DPO ， ∴BD BE PD OP =813313BD =+，解得2413． 25． (1) =x 2+7+211x -+ (2) 见解析 【解析】【分析】（1）根据阅读材料中的方法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式即可；（2）原式分子变形后，利用不等式的性质求出最小值即可．【详解】（1）设﹣x 4﹣6x+1=（﹣x 2+1）（x 2+a ）+b=﹣x 4+（1﹣a ）x 2+a+b ，可得168a a b -=-⎧⎨+=⎩， 解得：a=7，b=1，则原式=x 2+7+211x -+；（2）由（1）可知，422681x x x --+-+=x 2+7+211x -+ ． ∵x 2≥0，∴x 2+7≥7；当x=0时，取得最小值0，∴当x=0时，x 2+7+211x -+最小值为1，即原式的最小值为1．26．见解析【解析】试题分析：首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这两组对应点；然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可.解：如图所示，点P 即为所求作的旋转中心．27．这辆车第二、三年的年折旧率为15%.【解析】【分析】设这辆车第二、三年的年折旧率为x ，则第二年这就后的价格为30（1-20%）（1-x ）元，第三年折旧后的而价格为30（1-20%）（1-x ）2元，与第三年折旧后的价格为17.34万元建立方程求出其解即可．【详解】设这辆车第二、三年的年折旧率为x ，依题意，得()()230120%117.34x --=整理得()210.7225x -=，解得1 1.85x =，20.15x =.因为折旧率不可能大于1，所以1 1.85x =不合题意，舍去.所以0.1515%x ==答：这辆车第二、三年的年折旧率为15%.【点睛】本题是一道折旧率问题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答本题时设出折旧率，表示出第三年的折旧后价格并运用价格为11.56万元建立方程是关键．。
湖南省郴州市2019-2020学年中考数学第四次调研试卷含解析
湖南省郴州市2019-2020学年中考数学第四次调研试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．某运动器材的形状如图所示，以箭头所指的方向为左视方向，则它的主视图可以是（）A．B．C．D．2．二次函数ｙ＝（2x－1）2＋2的顶点的坐标是（）A．（1，2）B．（1，－2）C．（12，2）D．（－12，－2）3．2017年我国大学生毕业人数将达到7490000人，这个数据用科学记数法表示为()A．7.49×107B．74.9×106C．7.49×106D．0.749×1074．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm（0.0000025m）的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称为可入肺颗粒物，将25微米用科学记数法可表示为（）米．A．25×10﹣7B．2.5×10﹣6C．0.25×10﹣5D．2.5×10﹣55．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状可能是（）A．B．C．D．6．如果将抛物线向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是A．B．C．D．7．若二次函数y=-x2+bx+c与x轴有两个交点（m，0），（m-6，0）,该函数图像向下平移n个单位长度时与x轴有且只有一个交点，则n的值是（）A．3 B．6 C．9 D．368．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（）A．11910813x yy x x y=⎧⎨+-+=⎩（）（）B．108 91311y x x y x y+=+⎧⎨+=⎩C．91181013x yx y y x （）（）=⎧⎨+-+=⎩D．91110813 x yy x x y=⎧⎨+-+=⎩（）（）9．如图，已知二次函数y=ax2+bx的图象与正比例函数y=kx的图象相交于点A（1，2），有下面四个结论：①ab＞0；②a﹣b＞﹣23；③sinα=213；④不等式kx≤ax2+bx的解集是0≤x≤1．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①④D．③④10．已知：如图四边形OACB是菱形，OB在X轴的正半轴上，sin∠AOB=．反比例函数y=在第一象限图象经过点A，与BC交于点F．S△AOF=，则k=（）A．15 B．13 C．12 D．511．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（）A．对重庆市初中学生每天阅读时间的调查B．对端午节期间市场上粽子质量情况的调查C．对某批次手机的防水功能的调查D．对某校九年级3班学生肺活量情况的调查12．下列美丽的图案中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．某地区的居民用电，按照高峰时段和空闲时段规定了不同的单价．某户5月份高峰时段用电量是空闲时段用电量2倍，6月份高峰时段用电量比5月份高峰时段用电量少50%，结果6月份的用电量和5月份的用电量相等，但6月份的电费却比5月份的电费少25%，求该地区空闲时段民用电的单价比高峰时段的用电单价低的百分率是_____．14．如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y＝kx(k≠0，x＞0)的图象经过顶点C、D，若点C的横坐标为5，BE＝3DE，则k的值为______．15．如果一个正多边形每一个内角都等于144°，那么这个正多边形的边数是____．16．关于x的分式方程721511x mx x-+=--有增根，则m的值为__________．17．一只蚂蚁从数轴上一点A出发，爬了7 个单位长度到了+1，则点A 所表示的数是_____18．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．若AD=2BD，则CFBF的值等于_____三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）计算：33.14 3.1412cos45π⎫-+÷-⎪⎪⎝⎭o)()12009211-++-.20．（6分）如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆AB的高度．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）21．（6分）如图所示，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60︒方向与灯塔Р的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45︒方向上的B处.求此时轮船所在的B处与灯塔Р的距离.（结果保留根号）22．（8分）我们已经知道一些特殊的勾股数，如三连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数．另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派提出的公式：a＝2n+1，b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1(n为正整数)是一组勾股数，请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数．然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的着名数学着作《九章算术》中，书中提到：当a＝12(m2﹣n2)，b＝mn，c＝12(m2+n2)(m、n为正整数，m＞n时，a、b、c构成一组勾股数；利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n＝5，求该直角三角形另两边的长．23．（8分）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝mx的图象交于点A（－3，m＋8），B（n，－6）两点．求一次函数与反比例函数的解析式；求△AOB的面积．24．（10分）已知：如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．求证：AD＝AE．25．（10分）平面直角坐标系xOy 中，横坐标为a 的点A 在反比例函数y 1═k x（x ＞0）的图象上，点A′与点A 关于点O 对称，一次函数y 2=mx+n 的图象经过点A′．（1）设a=2，点B （4，2）在函数y 1、y 2的图象上．①分别求函数y 1、y 2的表达式；②直接写出使y 1＞y 2＞0成立的x 的范围； （2）如图①，设函数y 1、y 2的图象相交于点B ，点B 的横坐标为3a ，△AA'B 的面积为16，求k 的值； （3）设m=12，如图②，过点A 作AD ⊥x 轴，与函数y 2的图象相交于点D ，以AD 为一边向右侧作正方形ADEF ，试说明函数y 2的图象与线段EF 的交点P 一定在函数y 1的图象上．26．（12分）化简：()()2a b a 2b a -+-.27．（12分）如图，M 是平行四边形ABCD 的对角线上的一点，射线AM 与BC 交于点F ，与DC 的延长线交于点H ．（1）求证：AM 2＝MF.MH（2）若BC 2＝BD ．DM ，求证：∠AMB ＝∠ADC ．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】从几何体的正面看可得下图，故选B．2．C【解析】试题分析：二次函数ｙ＝（2ｘ－1）＋2即21222y x⎛⎫=-+⎪⎝⎭的顶点坐标为（，2）考点：二次函数点评：本题考查二次函数的顶点坐标，考生要掌握二次函数的顶点式与其顶点坐标的关系3．C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】7490000=7.49×106.故选C.【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．B【解析】【分析】由科学计数法的概念表示出0.0000025即可.【详解】0.0000025=2.5×10﹣6.故选B.【点睛】本题主要考查科学计数法，熟记相关概念是解题关键.5．D【解析】试题分析：由主视图和左视图可得此几何体上面为台，下面为柱体，由俯视图为圆环可得几何体为．故选D．考点：由三视图判断几何体．视频6．D【解析】【分析】本题主要考查二次函数的解析式【详解】解：根据二次函数的解析式形式可得，设顶点坐标为(h,k)，则二次函数的解析式为.由原抛物线解析式可得a=1，且原抛物线的顶点坐标为(0,0)，向右平移1个单位后的顶点坐标为(1,0)，故平移后的解析式为.故选D.【点睛】本题主要考查二次函数的顶点式，根据顶点的平移可得到二次函数平移后的解析式.7．C【解析】【分析】设交点式为y=-（x-m）（x-m+6），在把它配成顶点式得到y=-[x-（m-3）]2+1，则抛物线的顶点坐标为（m-3，1），然后利用抛物线的平移可确定n的值．【详解】设抛物线解析式为y=-（x-m）（x-m+6），∵y=-[x2-2（m-3）x+（m-3）2-1]=-[x-（m-3）]2+1，∴抛物线的顶点坐标为（m-3，1），∴该函数图象向下平移1个单位长度时顶点落在x轴上，即抛物线与x轴有且只有一个交点，即n=1．故选C．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．8．D【解析】【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．【详解】设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：91110813x yy x x y=⎧⎨+-+=⎩（）（），故选：D．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．9．B【解析】【分析】根据抛物线图象性质确定a、b符号，把点A代入y=ax2+bx得到a与b数量关系，代入②，不等式kx≤ax2+bx 的解集可以转化为函数图象的高低关系．【详解】解：根据图象抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，则a＞0，b＜0，则①错误将A（1，2）代入y=ax2+bx，则2=9a+1b∴b=233a -，∴a﹣b=a﹣（233a-）=4a﹣23＞-23，故②正确；由正弦定义==，则③正确；不等式kx≤ax2+bx从函数图象上可视为抛物线图象不低于直线y=kx的图象则满足条件x范围为x≥1或x≤0，则④错误．故答案为：B．【点睛】二次函数的图像，sinα公式，不等式的解集．10．A【解析】【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，设OA=a，通过解直角三角形找出点A的坐标，再根据四边形OACB是菱形、点F在边BC上，即可得出S△AOF=S菱形OBCA，结合菱形的面积公式即可得出a的值，进而依据点A 的坐标得到k的值．【详解】过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示．设OA=a=OB，则，在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB=，∴AM=OA•sin∠AOB=a，OM=a，∴点A的坐标为（a，a）．∵四边形OACB是菱形，S△AOF=，∴OB×AM=，即×a×a=39，解得a=±，而a＞0，∴a=，即A（，6），∵点A在反比例函数y=的图象上，∴k=×6=1．故选A．【解答】解：【点评】本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用S△AOF=S．菱形OBCA11．D【解析】【分析】【详解】A、对重庆市初中学生每天阅读时间的调查，调查范围广适合抽样调查，故A错误；B、对端午节期间市场上粽子质量情况的调查，调查具有破坏性，适合抽样调查，故B错误；C、对某批次手机的防水功能的调查，调查具有破坏性，适合抽样调查，故C错误；D、对某校九年级3班学生肺活量情况的调查，人数较少，适合普查，故D正确；故选D．12．A【解析】【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选A．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．60%【解析】【分析】设空闲时段民用电的单价为x元/千瓦时，高峰时段民用电的单价为y元/千瓦时，该用户5月份空闲时段用电量为a千瓦时，则5月份高峰时段用电量为2a千瓦时，6月份空闲时段用电量为2a千瓦时，6月份高峰时段用电量为a千瓦时，根据总价＝单价×数量结合6月份的电费却比5月份的电费少25%，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可得出x，y之间的关系，进而即可得出结论．【详解】设空闲时段民用电的单价为x元/千瓦时，高峰时段民用电的单价为y元/千瓦时，该用户5月份空闲时段用电量为a千瓦时，则5月份高峰时段用电量为2a千瓦时，6月份空闲时段用电量为2a千瓦时，6月份高峰时段用电量为a千瓦时，依题意，得：（1﹣25%）（ax+2ay）＝2ax+ay，解得：x＝0.4y，∴该地区空闲时段民用电的单价比高峰时段的用电单价低y xy×100%＝60%．故答案为60%．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．14．15 4【解析】【分析】过点D作DF⊥BC于点F，由菱形的性质可得BC＝CD，AD∥BC，可证四边形DEBF是矩形，可得DF ＝BE，DE＝BF，在Rt△DFC中，由勾股定理可求DE＝1，DF＝3，由反比例函数的性质可求k的值．【详解】如图，过点D作DF⊥BC于点F，∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，AD∥BC，∵∠DEB＝90°，AD∥BC，∴∠EBC＝90°，且∠DEB＝90°，DF⊥BC，∴四边形DEBF是矩形，∴DF＝BE，DE＝BF，∵点C的横坐标为5，BE＝3DE，∴BC＝CD＝5，DF＝3DE，CF＝5﹣DE，∵CD2＝DF2+CF2，∴25＝9DE2+(5﹣DE)2，∴DE＝1，∴DF＝BE＝3，设点C(5，m)，点D(1，m+3)，∵反比例函数y＝kx图象过点C，D，∴5m＝1×(m+3)，∴m＝34，∴点C(5，34 )，∴k＝5×34＝154，故答案为：15 4【点睛】本题考查了反比例函数图象点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，求出DE的长度是本题的关键．15．1【解析】【分析】设正多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和公式列方程求解即可．【详解】解：设正多边形的边数为n，由题意得，()2180nn-︒g=144°，解得n=1．故答案为1．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记公式并准确列出方程是解题的关键．16．1．【解析】去分母得：7x+5(x-1)=2m-1，因为分式方程有增根，所以x-1=0，所以x=1，把x=1代入7x+5(x-1)=2m-1，得：7=2m-1，解得：m=1，故答案为1.17．﹣6 或 8【解析】试题解析：当往右移动时，此时点A 表示的点为﹣6，当往左移动时，此时点A 表示的点为8. 18．12【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【详解】解：∵DE ∥BC ，AD=2BD ， ∴123CE CE BD AC AE BD BD ===+， ∵EF ∥AB ， ∴132CF CE CE CE BF AE AC CE CE CE ====--， 故答案为12. 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．π【解析】【分析】根据绝对值的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质及乘方的定义分别计算后，再合并即可【详解】原式()3.14 3.141π=--+÷ ()21-+-3.14 3.141π=-+-11π=-π=.【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．7.6 m ．【解析】【分析】利用CD 及正切函数的定义求得BC ，AC 长，把这两条线段相减即为AB 长【详解】解：由题意，∠BDC ＝45°，∠ADC ＝50°，∠ACD ＝90°，CD ＝40 m ．∵在Rt △BDC 中，tan ∠BDC ＝．∴BC ＝CD ＝40 m ．∵在Rt △ADC 中，tan ∠ADC ＝． ∴．∴AB≈7.6（m ）．答：旗杆AB 的高度约为7.6 m ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．21．406海里【解析】【分析】过点P 作PC AB ⊥，则在Rt △APC 中易得PC 的长，再在直角△BPC 中求出PB ．【详解】解：如图，过点P 作PC AB ⊥，垂足为点C.∴30APC ︒∠=，45BPC ︒∠=，80AP =海里.在Rt APC ∆中，cos PC APC AP∠=，∴cos 802PC AP APC =⋅∠≡⨯=． 在Rt PCB ∆中，cos PC BPC PB∠=，∴cos cos 45PC PB BPC ︒===∠.∴此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离是【点睛】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．22． (1)证明见解析；(2)当n ＝5时，一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12，1．【解析】【分析】（1）根据题意只需要证明a 2+b 2＝c 2，即可解答（2）根据题意将n ＝5代入得到a ＝12 (m 2﹣52)，b ＝5m ，c ＝12(m 2+25)，再将直角三角形的一边长为37，分别分三种情况代入a ＝12 (m 2﹣52)，b ＝5m ，c ＝12(m 2+25)，即可解答 【详解】 (1)∵a 2+b 2＝(2n+1)2+(2n 2+2n)2＝4n 2+4n+1+4n 4+8n 3+4n 2＝4n 4+8n 3+8n 2+4n+1，c 2＝(2n 2+2n+1)2＝4n 4+8n 3+8n 2+4n+1，∴a 2+b 2＝c 2，∵n 为正整数，∴a 、b 、c 是一组勾股数；(2)解：∵n ＝5∴a ＝12 (m 2﹣52)，b ＝5m ，c ＝12(m 2+25)， ∵直角三角形的一边长为37，∴分三种情况讨论，①当a ＝37时，12(m 2﹣52)＝37，解得m ＝±(不合题意，舍去) ②当y ＝37时，5m ＝37，解得m＝375(不合题意舍去)；③当z＝37时，37＝12(m2+n2)，解得m＝±7，∵m＞n＞0，m、n是互质的奇数，∴m＝7，把m＝7代入①②得，x＝12，y＝1．综上所述：当n＝5时，一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12，1．【点睛】此题考查了勾股数和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键23．（1）y=-6x，y=-2x-1（2）1【解析】试题分析：（1）将点A坐标代入反比例函数求出m的值，从而得到点A的坐标以及反比例函数解析式，再将点B坐标代入反比例函数求出n的值，从而得到点B的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求解；（2）设AB与x轴相交于点C，根据一次函数解析式求出点C的坐标，从而得到点OC的长度，再根据S△AOB=S△AOC+S△BOC列式计算即可得解．试题解析：（1）将A（﹣3，m+8）代入反比例函数y=得，=m+8，解得m=﹣6，m+8=﹣6+8=2，所以，点A的坐标为（﹣3，2），反比例函数解析式为y=﹣，将点B（n，﹣6）代入y=﹣得，﹣=﹣6，解得n=1，所以，点B的坐标为（1，﹣6），将点A（﹣3，2），B（1，﹣6）代入y=kx+b得，，解得，所以，一次函数解析式为y=﹣2x﹣1；（2）设AB与x轴相交于点C，令﹣2x﹣1=0解得x=﹣2，所以，点C的坐标为（﹣2，0），所以，OC=2，S△AOB=S△AOC+S△BOC，=×2×3+×2×1，=3+1，=1．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．24．见解析【解析】试题分析：证明简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，结合本题，证△ADB≌△AEB即可．试题解析：∵AB=AC,点D是BC的中点,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°.∵AE⊥EB,∴∠E=∠ADB=90°.∵AB平分∠DAE,∴∠BAD=∠BAE.在△ADB和△AEB中,∠E=∠ADB,∠BAD=∠BAE,AB=AB,∴△ADB≌△AEB(AAS),∴AD=AE.25．（1）y1=8x，y2=x﹣2；②2＜x＜4；（2）k=6；（3）证明见解析.【解析】分析：（1）由已知代入点坐标即可；（2）面积问题可以转化为△AOB面积，用a、k表示面积问题可解；（3）设出点A、A′坐标，依次表示AD、AF及点P坐标．详解：（1）①由已知，点B（4，2）在y1═kx（x＞0）的图象上∴k=8∴y1=8 x∵a=2∴点A坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4）把B （4，2），A （﹣2，﹣4）代入y 2=mx+n 得，2=42m n m n +⎧⎨-=-+⎩， 解得12m n =⎧⎨=-⎩， ∴y 2=x ﹣2；②当y 1＞y 2＞0时，y 1=8x图象在y 2=x ﹣2图象上方，且两函数图象在x 轴上方， ∴由图象得：2＜x ＜4；（2）分别过点A 、B 作AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，连BO ，∵O 为AA′中点，S △AOB =12S △AOA′=8 ∵点A 、B 在双曲线上∴S △AOC =S △BOD∴S △AOB =S 四边形ACDB =8由已知点A 、B 坐标都表示为（a ，k a ）（3a ，3k a ） ∴1()2823k k a a a ⨯+⨯=， 解得k=6；（3）由已知A （a ，k a ），则A′为（﹣a ，﹣k a ）. 把A′代入到y=12x n +，得：﹣1=2k a n a -+， ∴n=12k a a-， ∴A′B 解析式为y=﹣1122k x a a+-. 当x=a 时，点D 纵坐标为k a a-， ∴AD=2k a a -∴点F 和点P 横坐标为22+=k k a a a a-， ∴点P 纵坐标为1211222k k a a a a ⨯+-=. ∴点P 在y 1═k x （x ＞0）的图象上. 点睛：本题综合考查反比例函数、一次函数图象及其性质，解答过程中，涉及到了面积转化方法、待定系数法和数形结合思想．26．2b【解析】【分析】原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．【详解】解：原式2222a 2ab b 2ab a b =-++-=．27．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由于AD ∥BC ，AB ∥CD ，通过三角形相似，找到分别于AM MF ，MH AM 都相等的比DM MB ，把比例式变形为等积式，问题得证．（2）推出ADM ∆∽BDA ∆，再结合//AB CD ，可证得答案.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，//AB CD ， ∴AM DM MF MB =， DM MH MB AM=， ∴AM MH MF AM =即2AM MF MH =⋅． （2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，又∵2BC BD DM =⋅，∴2AD BD DM =⋅即AD DM DB AD=， 又∵ADM BDA ∠=∠,∴ADM ∆∽BDA ∆，∴AMD BAD ∠=∠，∴180∠+∠=o，BAD ADC∵180∠+∠=，AMB AMD o∠=∠.∴AMB ADC【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质.。
2019年湖南省郴州市高考数学一模试卷(理科)
2019年湖南省郴州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）如果仝集U＝R，M＝{x|﹣1＜x≤2}，N＝{1，3，5}，则M∩（∁U N）＝（）A．（﹣1，1）∪（1，2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，1）∪（1，2]D．（﹣1，2]2．（5分）设z＝i3﹣，则z的虚部是（）A．﹣1B．﹣C．﹣2i D．﹣23．（5分）已知sin2α＞0，则（）A．tanα＞0B．sinα＞0C．cosα＞0D．cos2α＞04．（5分）如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2…，A14．如图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是（）A．7B．8C．9D．105．（5分）已知函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，命题P：总存在c∈（a，b），有f（c）＝0；命题q：若函数f（x）在区间（a，b）上有f（a）•f（b）＜0，则p是q的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中△ABC是边长为1的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（）A．B．C．1D．7．（5分）已知函数f（x）＝1+2sin（cos﹣sin），将f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移φ个单位得到g（x）的图象，若g（x）为偶函数，则φ的一个值为（）A．B．C．D．8．（5分）如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影）设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（大小忽略不计，取≈1.732），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A．134B．67C．200D．2509．（5分）将边长为的正方形ABCD沿对角线BD折起，则三棱锥C﹣ABD的外接球体积为（）A．B．C．D．4π10．（5分）在△ABC中三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2﹣bc＝a2，bc ＝a2，则角C的大小是（）A．或B．C．D．11．（5分）已知椭圆+＝1（0＜b＜2）的左右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1作斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，AB的中点是P，O为坐标原点，若直线OP的斜率为﹣，则b的值是（）A．2B．C．D．12．（5分）若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）二、填空题：木大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）设x、y满约束条件，则z＝2x﹣4y的最小值是．14．（5分）如果（3x﹣）n的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数是．15．（5分）如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别交AB，AC两边于M，N两点，且＝x，＝y，则3x+y的最小值为．16．（5分）已知点F1，F2分别是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左右两焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若△ABF2是以∠ABF2为顶角的等腰三角形，其中∠ABF2∈（0，]，则双曲线离心率e的取值范围为．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17题～21题为必考题每个试题考生都必须作答.22题、23题为选考题，考生根据要求作答17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝30°，三边a，b，c 成等比数列，且△ABC面积为1，在等差数列{a n}中a1＝1，公差为b．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n＝，设T n为数列{b n}的前n项和，求T n的取值范围．18．（12分）我市正在创建全国文明城市，某高中为了解学生的创文知晓率，按分层抽样的方法从“表演社”、“演讲社”、“围棋社”三个活动小组中随机抽取了6人进行问卷调查各活动小组人数统计如图：（Ⅰ）从参加问卷调查的6名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一小组的概率；（Ⅱ）从参加问卷调査的6名学生中随机抽取3名，用X表示抽得“表演社”小组的学生人数，求X的分布列以及数学期望．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，底面是边长为4的正三角形，P A＝2，P A⊥底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点．（Ⅰ）求证：平面BEF⊥平面P AC；（Ⅱ）在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成的角的正弦值为？若存在，确定点C的位置；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，抛物线C上存在一点P，过点P作PM⊥l，垂足为M，使△PMF是等边三角形且面积为4．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若点H是圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与抛物线C的一个交点，点A（﹣1，0），当取得最小值时，求此时圆O的方程．21．（12分）设函数f（x）＝x（lnx﹣a）．（Ⅰ）若f（x）＞﹣1恒成立，求a的取值范围；（Ⅱ）对函数y＝f'（x）图象上任意两个点A（x1，y1），B（x2，y2），（0＜x1＜x2），设直线AB的斜率为k（其中f′（x）为函数f（x）的导函数），证明：（x1+x2）•k＞2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线11的参数方程为（t为参数）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2的极坐标方程为ρ＝，两直线l1和l2相交于点P．（Ⅰ）求点P的直角坐标：；（Ⅱ）若Q为圆C：（θ为参数）上任意一点，试求|PQ|的范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣3|﹣|x+2|（Ⅰ）求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若∃x∈[﹣2，1]，使f（x）≥x2+a成立，求a的取值范围．2019年湖南省郴州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）如果仝集U＝R，M＝{x|﹣1＜x≤2}，N＝{1，3，5}，则M∩（∁U N）＝（）A．（﹣1，1）∪（1，2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，1）∪（1，2]D．（﹣1，2]【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J：集合．【分析】进行补集、交集的运算即可．【解答】解：∁U N＝{x|x≠1，且x≠3，且x≠5}；∴M∩（∁U N）＝（﹣1，1）∪（1，2]．故选：C．【点评】考查描述法、列举法的定义，以及交集和补集的运算．2．（5分）设z＝i3﹣，则z的虚部是（）A．﹣1B．﹣C．﹣2i D．﹣2【考点】A5：复数的运算．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的运算法则进行计算即可．【解答】解：z＝i3﹣＝﹣i﹣＝﹣i﹣＝﹣i﹣i＝﹣2i，则z的虚部为﹣2，故选：D．【点评】本题主要考查复数的运算，结合复数的运算法则是解决本题的关键．3．（5分）已知sin2α＞0，则（）A．tanα＞0B．sinα＞0C．cosα＞0D．cos2α＞0【考点】GC：三角函数值的符号．【专题】33：函数思想；48：分析法；56：三角函数的求值．【分析】由sin2α＝2sinαcosα＞0，即sinαcosα＞0，可知sinα和cosα同号，则答案可求．【解答】解：∵sin2α＝2sinαcosα＞0，即sinαcosα＞0，∴sinα和cosα同号．则．故选：A．【点评】本题考查了三角函数值的符号，是基础题．4．（5分）如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2…，A14．如图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是（）A．7B．8C．9D．10【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5K：算法和程序框图．【分析】该程序的作用是累加14次考试成绩大于等于90分的人数，由此利用茎叶图能求出结果．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用．根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累计14次考试成绩大于等于90分的次数．根据茎叶图可得超过90分的次数为8，故选：B．【点评】本题考查循环结构以及茎叶图，解决此类问题的关键是弄清算法流程图的含义，解题时要认真审题，注意茎叶图性质的合理运用，是基础题．5．（5分）已知函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，命题P：总存在c∈（a，b），有f（c）＝0；命题q：若函数f（x）在区间（a，b）上有f（a）•f（b）＜0，则p是q的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】38：对应思想；48：分析法；5L：简易逻辑．【分析】根据零点存在定理及充要条件的定义即可判断答案．【解答】解：根据零点存在定理，可得在区间[a，b]上的连续不断的函数y＝f（x），存在c∈（a，b），使f（c）＝0时，f（a）f（b）＜0不一定成立；若f（a）f（b）＜0，则函数y＝f（x）在区间（a，b）上存在零点，即存在c∈（a，b），使f（c）＝0．∴p是q的必要不充分条件．故选：C．【点评】本题考查零点存在定理，考查充要条件的判定，是基础题．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中△ABC是边长为1的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（）A．B．C．1D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】由三视图知该几何体正六棱锥，结合图中数据求出该正六棱锥的侧视图的面积．【解答】解：由几何体的三视图知，该几何体正六棱锥，且正六棱锥的底面边长为，高为；∴该几何体的侧视图是△AMN，如图所示；则侧视图的面积为×MN×AP＝××＝．故选：A．【点评】本题考查了几何体三视图的画法与应用问题，是基础题．7．（5分）已知函数f（x）＝1+2sin（cos﹣sin），将f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移φ个单位得到g（x）的图象，若g（x）为偶函数，则φ的一个值为（）A．B．C．D．【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质．【分析】利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再根据三角函数的奇偶性求得φ的值．【解答】解：函数f（x）＝1+2sin（cos﹣sin）＝sin x+cos x＝2sin（x+），将f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得y＝2sin（2x+）的图象，再向右平移φ个单位得到g（x）＝2sin（2x﹣2φ+）的图象，若g（x）为偶函数，则﹣2φ+＝+kπ，k∈Z，则φ的一个值为，故选：B．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题．8．（5分）如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影）设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（大小忽略不计，取≈1.732），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A．134B．67C．200D．250【考点】CF：几何概型．【专题】36：整体思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论．【解答】解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为，，则小正方形的边长为﹣，小正方形的面积S＝（﹣）2＝1﹣则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为×500＝（1﹣）×500≈（1﹣0.866）×500＝0.134×500＝67，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键．9．（5分）将边长为的正方形ABCD沿对角线BD折起，则三棱锥C﹣ABD的外接球体积为（）A．B．C．D．4π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；21：阅读型；35：转化思想；49：综合法；5U：球．【分析】由已知条件得知△ABD和△CBD都是公共斜边BD的两个等腰直角三角形，于是得出BD即为三棱锥C﹣ABD的外接球的直径，可得出球的半径，再利用球体的体积公式可得出答案．【解答】解：易知△ABD和△CBD都是公共斜边BD的两个等腰直角三角形，且，设BD的中点为点O，则，所以，点O为三棱锥C﹣ABD的外接球的球心，BD为该三棱锥外接球的直径，设该球的半径为R，则R＝1．因此，三棱锥C﹣ABD的外接球的体积为．故选：C．【点评】本题考查球的体积的计算，解决本题的关键在于找出三棱锥外接球的直径，考查计算能力，属于中等题．10．（5分）在△ABC中三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2﹣bc＝a2，bc ＝a2，则角C的大小是（）A．或B．C．D．【考点】HR：余弦定理．【专题】35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】由余弦定理先求出A的大小，结合正弦定理以及两角和差的正弦公式进行转化求解即可．【解答】解：由b2+c2﹣bc＝a2，得b2+c2﹣a2＝bc，则cos A＝＝＝，则A＝，由bc＝a2，得sin B sin C＝sin2A＝＝，即4sin（π﹣C﹣A）sin C＝，即4sin（C+A）sin C＝4sin（C+）sin C＝，即4（sin C+cos C）sin C＝2sin2C+2sin C cos C＝，即（1﹣cos2C）+sin2C＝﹣cos2C+sin2C＝，则﹣cos2C+sin2C＝0，则cos2C＝sin2C，则tan2C＝，即2C＝或，即C＝或，故选：A．【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据余弦定理以及正弦定理进行转化求解是解决本题的关键．考查学生的计算能力．11．（5分）已知椭圆+＝1（0＜b＜2）的左右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1作斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，AB的中点是P，O为坐标原点，若直线OP的斜率为﹣，则b的值是（）A．2B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），P（m，n），运用中点坐标公式和椭圆方程，作差，以及直线的斜率公式，解方程即可得到所求值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（m，n），可得+＝1，+＝1，作差可得+＝0，代入x1+x2＝2m，y1+y2＝2n，＝2，可得＝﹣＝﹣，解得b＝．故选：D．【点评】本题考查椭圆的方程和运用，考查点差法注意运用直线的斜率、中点坐标公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12．（5分）若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）【考点】57：函数与方程的综合运用．【专题】31：数形结合；35：转化思想；44：数形结合法；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的表达式，先得到x＝0是f（x）与y＝ax的一个根，利用参数分离法构造函数h（x），得到h（x）与y＝a有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：当x＞0时，由f（x）＝ax得2x2lnx＝ax，得a＝2xlnx，当x≤0时，由f（x）＝ax得﹣x3﹣4x2＝ax，此时x＝0时方程的一个根，当x≠0时，a＝﹣x﹣4x，设h（x）＝，当x＞0时，h′（x）＝2lnx+2x＝2lnx+2＝2（1+lnx），由h′（x）＞0得1+lnx＞0得lnx＞﹣1，得x＞此时函数为增函数，由h′（x）＜0得1+lnx＜0得lnx＜﹣1，得0＜x＜，此时函数为减函数，即当x＝时，h（x）取得极小值h（）＝2×ln＝﹣，当x＜0时，h（x）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，作出h（x）的图象如图：要使f（x）与直线y＝ax有四个不同的公共点，等价为h（x）与y＝a有3个不同的交点，则a满足﹣＜a＜0或0＜a＜4，即实数a的取值范围是（﹣，0）∪（0，4），故选：D．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据参数分离法，结合函数的导数，研究函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．二、填空题：木大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）设x、y满约束条件，则z＝2x﹣4y的最小值是﹣22．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由x、y满约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，6），化目标函数z＝2x﹣4y为y＝x﹣，由图可得，当直线y＝x﹣过点A（1，6）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣22．故答案为：﹣22．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．（5分）如果（3x﹣）n的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数是252．【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】由题意利用二项式系数的性质求得n＝8，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的系数．【解答】解：令x＝1，可得（3x﹣）n的展开式中各项系数之和为2n＝256，∴n＝8，∴（3x﹣）n＝（3x﹣）8，它的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•38﹣r•，令8﹣＝﹣2，可得r＝6，则展开式中的系数为•32＝252，故答案为：252．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15．（5分）如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别交AB，AC两边于M，N两点，且＝x，＝y，则3x+y的最小值为．【考点】9H：平面向量的基本定理．【专题】15：综合题；5A：平面向量及应用．【分析】首先利用M，N，G三点共线得到x，y的关系式，再巧用不等式求最值．【解答】解：∵G是△ABC的重心，∴，又，∴，∵M，G，N三点共线，∴，∴＝1+＝，故答案为：．【点评】此题考查了三点共线，不等式等，难度适中．16．（5分）已知点F1，F2分别是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左右两焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若△ABF2是以∠ABF2为顶角的等腰三角形，其中∠ABF2∈（0，]，则双曲线离心率e的取值范围为（，]．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意设θ＝∠ABF2∈（0，]，可得∠F1AF2＝，设|AB|＝|BF2|＝x，则由双曲线的定义可得|AF1|＝2a，即有|AF2|＝4a，在△AF1F2中，运用余弦定理和诱导公式，以及离心率公式，解不等式即可得到e的范围．【解答】解：△ABF2是以∠ABF2为顶角的等腰三角形，A在左支上，B在右支上，其中设θ＝∠ABF2∈（0，]，可得∠F1AF2＝，设|AB|＝|BF2|＝x，则由双曲线的定义可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，即|AF1|＝2a，即有|AF2|＝4a，在△AF1F2中，由余弦定理可得，cos∠F1AF2＝＝﹣e2＝﹣sin∈[﹣，0），解得＜e≤．故答案为：（，]．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理和诱导公式的运用，以及正弦函数的图象和性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17题～21题为必考题每个试题考生都必须作答.22题、23题为选考题，考生根据要求作答17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝30°，三边a，b，c 成等比数列，且△ABC面积为1，在等差数列{a n}中a1＝1，公差为b．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n＝，设T n为数列{b n}的前n项和，求T n的取值范围．【考点】8E：数列的求和．【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列；58：解三角形．【分析】（Ⅰ）由等比数列的中项性质和三角形的面积公式可得b＝2，再由等差数列的通项公式可得所求；（Ⅱ）求得b n＝＝＝（﹣），由数列的裂项相消求和，以及数列的单调性和不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）B＝30°，三边a，b，c成等比数列，且△ABC面积为1，可得b2＝ac，ac sin B＝ac＝1，即b2＝4，即b＝2，可得数列{a n}的通项公式为a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*；（Ⅱ）b n＝＝＝（﹣），则T n＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣），由数列{1﹣}为递增数列，可得T n≥T1＝，且T n＜，则≤T n＜．【点评】本题考查三角形的面积公式和等差数列的通项公式和等比数列中项性质，考查数列的裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．18．（12分）我市正在创建全国文明城市，某高中为了解学生的创文知晓率，按分层抽样的方法从“表演社”、“演讲社”、“围棋社”三个活动小组中随机抽取了6人进行问卷调查各活动小组人数统计如图：（Ⅰ）从参加问卷调查的6名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一小组的概率；（Ⅱ）从参加问卷调査的6名学生中随机抽取3名，用X表示抽得“表演社”小组的学生人数，求X的分布列以及数学期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）表演社、演讲社、围棋社分别有45人，30人，15人，从中按分层抽样的方法抽取6人，则三个小组分别抽取3人，2人，1人，从中抽取2名，利用互斥事件概率加法公式能求出这2名学生来自同一小组的概率．（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（Ⅰ）由条件得表演社、演讲社、围棋社分别有45人，30人，15人，从中按分层抽样的方法抽取6人，则三个小组分别抽取3人，2人，1人，从中抽取6人，则三个小组分别抽取3人，2 人，1人，从中抽取2名，则这2名学生来自同一小组的概率为P＝＝．（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：X0123P∴E（X）＝＝．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量概率分布列、数学期望的求法，考查分层抽样、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程能力，是中档题．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，底面是边长为4的正三角形，P A＝2，P A⊥底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点．（Ⅰ）求证：平面BEF⊥平面P AC；（Ⅱ）在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成的角的正弦值为？若存在，确定点C的位置；若不存在，请说明理由．【考点】LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（Ⅰ）推导出BE⊥AC，P A⊥BE，从而BE⊥面P AC，由此能证明平面BEF⊥平面P AC．（Ⅱ）分别以EB，EC，EF为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段PB上存在中点G，使得直线AG与平面PBC所成的角的正弦值为．【解答】证明：（Ⅰ）∵AB＝BC，E为AC的中点，∴BE⊥AC，又P A⊥平面ABCP，BE⊂面ABC，∴P A⊥BE，∵P A∩AC＝A，∴BE⊥面P AC，∵BE⊂面BEF，∴平面BEF⊥平面P AC．解：（Ⅱ）如图，由（Ⅰ）知P A⊥BE，P A⊥AC，点E，F分别为AC，PC的中点，∴EF∥P A，∴EF⊥BE，EF⊥AC，又BE⊥AC，∴EB，EC，EF两两垂直，分别以EB，EC，EF为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣2，0），P（0，﹣2，2），B（2，0，0），C（0，2，0），设＝＝（﹣2，﹣2λ，2λ），λ∈[0，1]，∴＝＝（2（1﹣λ），2（1﹣λ），2λ），＝（﹣2，2，0），＝（0，4，﹣2），设面PBC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，），∵直线AG与平面PBC所成的角的正弦值为，∴＝，解得或（舍），∴．∴线段PB上存在中点G，使得直线AG与平面PBC所成的角的正弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面有的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，抛物线C上存在一点P，过点P作PM⊥l，垂足为M，使△PMF是等边三角形且面积为4．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若点H是圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与抛物线C的一个交点，点A（﹣1，0），当取得最小值时，求此时圆O的方程．【考点】KN：直线与抛物线的综合．【专题】11：计算题；21：阅读型；31：数形结合；44：数形结合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由三角形的面积公式得出△PMF的边长为4，再利用锐角三角函数得出p 的值，从而可得出抛物线C的方程；（Ⅱ）解法一是设点，计算出|HF|和|HA|的表达式，利用基本不等式求出的最小值，注意等号成立的条件求出x0的值，可得出点H的坐标，代入圆O的方程可求出圆O的方程；解法二是过点H作HN垂直于抛物线的定义得出|HN|＝|HF|，并设∠HAF＝∠AHN＝θ，利用取到最小值时，θ取到最大值，此时HA与抛物线相切，并设直线HA 的方程为x＝my﹣1，将该直线方程与抛物线的方程联立，由△＝0得出m的值，进而得出点H的坐标，再将点P的坐标代入圆O的方程可得出圆O的方程．【解答】解：（Ⅰ）如图所示，等边△PMF的面积为，设其边长为a．所以，，∴a＝4，则|MF|＝4．∵∠MFO＝60°，∴．所以，抛物线C的方程为y2＝4x；（Ⅱ）解法一：设点H的坐标为．因为抛物线C的焦点为F（1，0）．，A（﹣1，0）．|HF|＝x0+1，＝．所以，＝．当且仅当，即当x0＝1时，取得最小值．此时，点H的坐标为（1，2），则圆O的方程为x2+y2＝5；解法二：如下图所示，过点H作HN垂直于抛物线C的准线，垂足为点N，设∠HAF＝θ，则∠AFN＝θ．由抛物线的定义可得|HF|＝|HN|，所以，．结合图形可知，当θ取得最大值时，取得最小值．此时，直线HA与抛物线C相切，设直线HA的方程为x＝my﹣1．将该直线方程与抛物线C的方程联立得，得y2﹣4my+4＝0．①△＝16m2﹣16＝0，解得m＝±1，代回方程①可得y＝±2．于是得出点H的坐标为（1，2）或（﹣1，﹣2），代入圆O的方程可得出圆O的方程为x2+y2＝5．【点评】本题考查直线与抛物线的综合，考查抛物线的定义，解决本题的关键在于灵活使用数形结合的思想，属于中等题．21．（12分）设函数f（x）＝x（lnx﹣a）．（Ⅰ）若f（x）＞﹣1恒成立，求a的取值范围；（Ⅱ）对函数y＝f'（x）图象上任意两个点A（x1，y1），B（x2，y2），（0＜x1＜x2），设直线AB的斜率为k（其中f′（x）为函数f（x）的导函数），证明：（x1+x2）•k＞2．【考点】6E：利用导数研究函数的最值．【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，得到关于a的不等式，解出即可；（Ⅱ）求出k＝，问题转化为证ln＜2•，令t＝，t∈（0，1），即证﹣lnt＞0，设F（t）＝﹣lnt，t∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝lnx+1﹣a，f′（x）＞0⇔⇔x＞e x﹣1，f′（x）＜0，解得：0＜x＜e a﹣1，f′（x）＞0，解得：x＞e a﹣1，故f（x）在（0，e a﹣1）递减，在（e a﹣1，+∞）递增，故f（x）min＝f（e a﹣1）＝﹣e a﹣1，由已知f（x）min＝﹣e a﹣1＞﹣1，解得：a＜1，故a的范围是（﹣∞，1）；（Ⅱ）∵f′（x）＝lnx+1﹣a，∴k＝，要证（x1+x2）•k＞2，只需证明（x1+x2）•＞2，∵x1﹣x2＜0，只需证明lnx1﹣lnx2＜2•，即证ln＜2•，令t＝，t∈（0，1），即证＞lnt，也即证﹣lnt＞0，设F（t）＝﹣lnt，t∈（0，1），则F′（t）＝﹣＜0，故F（t）在（0，1）递减，故F（t）＞F（1）＝0，即﹣lnt＞0，从而（x1+x2）•k＞2．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，换元思想，是一道综合题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线11的参数方程为（t为参数）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2的极坐标方程为ρ＝，两直线l1和l2相交于点P．（Ⅰ）求点P的直角坐标：；（Ⅱ）若Q为圆C：（θ为参数）上任意一点，试求|PQ|的范围．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）由直线11的参数方程能求出直线l1的直角坐标方程，由直线l2的极坐标方程，能求出直线l2的直角坐标方程，联立方程组能求出点P的直角坐标．（Ⅱ）圆C的普通方程为x2+（y+2）2＝4，圆心C（0，﹣2），其半径r＝2，由此能求出|PQ|的范围．【解答】解：（Ⅰ）∵直线11的参数方程为（t为参数），∴直线l1的直角坐标方程为2x+y+2＝0，∵直线l2的极坐标方程为ρ＝，∴直线l2的直角坐标方程为3x+4y﹣2＝0，联立方程组，得，∴点P的直角坐标（﹣2，2）．（Ⅱ）∵圆C：（θ为参数），∴圆C的普通方程为x2+（y+2）2＝4，∴圆心C（0，﹣2），其半径r＝2，∴|PQ|max＝|PC|+r＝2，|PQ|min＝|PC|﹣r＝﹣2，∴|PQ|的范围是[2﹣2，2+2]．【点评】本题考查点的直角坐标的求法，考查线段长的取值范围的求法，考查两线段积的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣3|﹣|x+2|（Ⅰ）求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若∃x∈[﹣2，1]，使f（x）≥x2+a成立，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】38：对应思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的分段函数的形式，根据x的范围，求出对应的f（x）的范围，求出函数的值域即可；（Ⅱ）问题转化为a≤﹣x2﹣2x+1成立，令g（x）＝﹣x2﹣2x+1，x∈[﹣2，1]，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得f（x）＝，当﹣2＜x＜3时，﹣5＜﹣2x+1＜5，故f（x）的值域是[﹣5，5]；（Ⅱ）∵﹣2≤x≤1，∴f（x）≥x2+a化为﹣2x+1≥x2+a，故存在x∈[﹣2，1]，使得a≤﹣x2﹣2x+1成立，令g（x）＝﹣x2﹣2x+1，x∈[﹣2，1]，得g（x）＝﹣（x+1）2+2，故x＝﹣1时，g（x）max＝2，故a∈（﹣∞，2]．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。
2019年高三第四次模拟考试数学试题含解析
2019年高三第四次模拟考试数学试题含解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1.函数的最小正周期为 .【知识点】三角函数的周期性及其求法. 【答案解析】解析 ：解：函数的最小正周期为. 【思路点拨】根据的周期等于，求得结果．2.已知复数满足（为虚数单位），则的模为 . 【知识点】复数相等的充要条件．【答案解析】解析 ：解：∵复数满足（为虚数单位），∴()()211223i i i z i i i -++=+=+=--，∴，故答案为：．【思路点拨】先解出复数的式子，再利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，进行运算．【典型总结】本题考查复数的模的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数． 3.抛物线的准线方程是 ． 【知识点】抛物线的简单性质．【答案解析】解析 ：解：由题得，所以：所以，故准线方程为：．故答案为. 【思路点拨】先把其转化为标准形式，求出即可得到其准线方程． 4．集合{3,2},{,},{2},aA B a b AB A B ====若则 ．【知识点】集合的交集与并集.【答案解析】解析 ：解：因为,所以，，则. 所以,故答案为.【思路点拨】由已知可确定两个集合中必有2这个元素，所以由可确定，然后就可以确定的值.5.根据如图所示的伪代码,当输入的值为3时,最后输出的S 的值 为 ▲ .【知识点】根据伪代码求输出结果.【答案解析】21解析 ：解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件i ≤3时推出循环． 此时S=3+6+12=21，故输出的S 值为21．故答案为：21．【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件i ≤3时推出循环，得到S 的值即可．6.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为 .()()()()()()222222141817181818181820182118⎡⎤-+-+-+-+-+-+⎣⎦ 7．某单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人中至少有1人被录用的概率是 . 【知识点】古典概型及其计算公式的应用.【答案解析】解析 ：解：某单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，∵这4名应聘者被录用的机会均等，∴A ，B 两人都不被录用的概率为， ∴A ，B 两人中至少有1人被录用的概率． 故答案为：．【思路点拨】先利用排列组织知识求出甲、乙两人都不被录用的概率，再用间接法求出甲、乙两人中至少有1人被录用的概率．8．已知点P (x ，y ) 满足条件3),(02,,0+=⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥x z k k y x x y x 若为常数y 的最大值为8，则 . 【知识点】简单线性规划．【答案解析】-6解析 ：解：画出可行域第5题将变形为，画出直线平移至点时，纵截距最大，最大，联立方程得33k xk y， 代入− +3×(−)＝8，∴． 故答案为.【思路点拨】画出可行域，将目标函数变形，画出相应的直线，将其平移，数学结合当直线移至点时，纵截距最大，最大．9.在平行四边形ABCD 中, AD = 1, , E 为CD 的中点.若, 则AB 的长为 . 【知识点】向量的运算法则;数量积运算法;一元二次方程的解法. 【答案解析】解析 ：解：∵1,,2AC AB AD BEBC CE ADAB ∴221111222AC BEAB AD ADAB ADAD AB AB ， ∴，＞0，解得＝．故答案为：．【思路点拨】利用向量的运算法则和数量积运算法则即可得出． 10.已知正四面体的棱长为，则它的外接球的表面积的值为 ．【知识点】球内接多面体．【答案解析】解析 ：解：正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球， 正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1；对角线长为：， ∴棱长为的正四面体的外接球半径为． 所以外接球的表面积为，故答案为.【思路点拨】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，求出直径即可求出外接球半径,可求外接球的表面积． 11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，则不等式的解集是__________． 【知识点】函数奇偶性的性质．【答案解析】解析 ：解：当x ＞0时，与题意不符， 当时，又∵是定义在上的奇函数，∴1221x x f x f x f x f x ，，，1121<222x x ，＜，不等式的解集是．故答案【思路点拨】是指定义在R 上的函12．如图，在平面直角坐标系x O y 中，点A 为椭圆E ：的左顶点，B 、C 在椭圆E 上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝30°，则椭圆E 的离心率等于 ． 33b 解得为：．33，求13．已知实数满足，则的最大值为 ． 【知识点】基本不等式的应用. 【答案解析】4解析 ：解：∵， ∴41322x y xy x y ,则 解得：∴的最大值为4,故答案为：4【思路点拨】先对等式进行变形化简，然后利用进行求出的范围，即可求出所求． 14．数列满足()112,2n n n a a pa n +==+∈*N ,其中为常数．若实数使得数列为等差数列或等比数列，数列的前项和为，则满足的值为的最小正整数n s n 2014> ． 【知识点】数列的判定；等比数列的前n 项和.【答案解析】10解析 ：解：21232a 2a 22a a 4224p p p p ，，①若数列为等差数列，则得由△=12-4=-3＜0知方程无实根，故不存在实数，（3分）②若数列为等比数列得22222224p p p （）（），解得=1 则,由累加法得：2n1nn1a a 22222解得,显然，当n=1时也适合，故．故存在实数=1，使得数列为等比数列，其通项公式为, 故121222201412n n nS ，解得，则满足的值为的最小正整数n s n 2014 10，故答案为10. 【思路点拨】21232a 2a 22a a 4224p p p p ，，进行分类考虑：①若数列为等差数列，则得由△=12-4=-3＜0知方程无实根，故不存在实数，（3分）②若数列为等比数列得22222224p p p （）（），解得=1则其通项公式为,再由故，解得，可得结论.二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本题满分14分)如图所示⑵若,,弦函数．【答案解析】⑴ ⑵解析 ：解：⑴由三角函数的定义知 ∴.又由三角函数线知,为第一象限角，，24116177tan 224173177. (2) ，∵，ABCFE D∴． ∵sinsin cos cos sin ＝＝．又∵，∴＝．【思路点拨】（Ⅰ）直接根据三角函数的定义，求出，然后再求； （Ⅱ）由，求出的正弦值，根据，求出．16. （本题满分14分）如图， ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， AB =4a ，BC = CF =2a ， P 为AB 的中点. （1）求证：平面PCF ⊥平面PDE ； （2）求四面体PCEF 的体积.【知识点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积.【答案解析】（1）见解析（2）a 3 解析 ：解：（1）因为ABCD 为矩形，AB =2BC , P 为AB 的中点，所以三角形PBC 为等腰直角三角形，∠BPC =45°. …………………………2分 同理可证∠APD =45°.所以∠DPC =90°，即PC ⊥PD . …………………………3分 又DE ⊥平面ABCD ，PC 在平面ABCD 内，所以PC ⊥DE. ………………………4分 因为DE ∩PD =D ，所以PC ⊥PDE . …………………………5分 又因为PC 在平面PCF 内，所以平面PCF ⊥平面PDE . …………………………7分 （2）因为CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， 所以DE ∥CF ．又DC ⊥CF ，所以S △CEF ＝DC •CF ＝×4a ×2a ＝4a 2． 在平面ABCD 内，过P 作PQ ⊥CD 于Q ，则 PQ ∥BC ，PQ=BC=2a ． 因为BC ⊥CD ，BC ⊥CF ，所以BC ⊥平面CEF ，即PQ ⊥平面CEF ， 亦即P 到平面CEF 的距离为PQ=2a V PCEF ＝V P −CEF ＝PQ •S △CEF ＝•4a 2•2a ＝a 3．（注：本题亦可利用V P −CEF ＝V B −CEF ＝V E −BCF ＝V D −BCF ＝DC •BC •CF ＝a 3求得） 【思路点拨】（1）证明平面PCF 内的直线PC ，垂直平面PDE 内的两条相交直线DE ，PD ，就证明了平面PCF ⊥平面PDE ；（2）说明P 到平面PCEF 的距离为PQ=2a ，求出S △CEF ＝DC •CF 的面积，然后求四面体PCEF 的体积．17．(本题满分14分)已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点恰B好是椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到点的最大距离为8. （1）求椭圆的标准方程；（2）已知圆,直线.试证明当点在椭圆上运动时,直线与圆恒相交；并求直线被圆所截得的弦长的取值范围.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；恒过定点的直线；椭圆的标准方程． 【答案解析】（1）（2）解析 ：解：解: （1）由(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈, 得(23)(4312)0x y k x y --++-=,则由, 解得F （3,0）…………… 2分设椭圆的方程为, 则22238c a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩,解得543a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的方程为.…………… 6分（2）因为点在椭圆上运动,所以,…………… 8分 从而圆心到直线的距离.所以直线与圆恒相交, …………… 10分 又直线被圆截得的弦长为L ===分由于,所以,则,即直线被圆截得的弦长的取值范围是…………… 14分【思路点拨】（1）可将直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈改写为(23)(4312)0x y k x y --++-=由于k ∈R 故即F （3，0）然后再根据题中条件即可求出椭圆C 的标准方程．（2）要证明当点在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交只需证明圆心到直线的距离.而要求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围,可利用圆中的弦长公式求出弦长的表达式,再结合参数的取值范围即可得解． 18．（本题满分16分）如图，直角三角形ABC 中，∠B ＝，AB ＝1，BC ＝．点M ,N 分别在边AB 和AC 上(M 点和B 点不重合)，将△AMN 沿MN 翻折，△AMN 变为△MN ，使顶点落 在边BC 上(点和B 点不重合).设∠AMN ＝．(1) 用表示线段的长度，并写出的取值范围；(2) 求线段长度的最小值．【知识点】解三角形的实际应用． 【答案解析】(1) , (2) 解析 ：解：解：（1）设，则．…………2分 在Rt △MB 中，，…………4分∴2111cos22sin MA x ===-θθ．…………5分 ∵点M 在线段AB 上，M 点和B 点不重合，点和B 点不重合，∴…7分 (2) 在△AMN 中，由∠AMN=θ，可得∠ANM= ,∴根据正弦定理得：2sinsin3ANMA ，∴122sin sin3AN令2132sin sin2sinsin cos 322t ，459060230150＜＜，＜＜，当且仅当时，有最大值,则θ=60°时，AN 有最小值为，即线段长度的最小值为．【思路点拨】（1）设，则，在Rt △MBA'中，利用三角函数可求；（2）求线段A'N 长度的最小值，即求线段AN 长度的最小值，再利用三角恒等变换化简，从而求最值．19．设函数（），．(1) 若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；(2) 关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围； (3) 对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在 “分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断． 【答案解析】（1）（2）（3） 解析 ：解：（1）因为，所以，令 得：，此时，…………2分 则点到直线的距离为，即=4分(2)解法一 不等式（x-1）2＞f （x ）的解集中的整数恰有3个， 等价于（1-a 2）x 2-2x+1＞0恰有三个整数解，故1-a 2＜0，令h （x ）=（1-a 2）x 2-2x+1，由h （0）=1＞0且h （1）=-a 2＜0（a ＞0）， 所以函数h （x ）=（1-a 2）x 2-2x+1的一个零点在区间（0，1），则另一个零点一定在区间（-3，-2），这是因为此时不等式解集中有-2，-2，0恰好三个整数解，故h （-2）＞0，h （-3）≤0，解之得． 解法二不等式（x-1）2＞f （x ）的解集中的整数恰有3个，等价于（1-a 2） x 2-2x+1＞0 恰有三个整数解，故 1-a 2＜0，即 a ＞1， ∴（1-a 2） x 2-2x+1=[（（1-a ）x-1][（1+a ）x-1]＞0， 所以 ，又因为 0＜＜1， 所以 −3≤＜−2，解之得．（3）设21()()()ln 2F x f x g x x e x =-=-，则2'(()e x e x x F x x x x x -+=-==．所以当时，；当时，．因此时，取得最小值，则与的图象在处有公共点． …………12分 设与存在 “分界线”，方程为， 由，对x ∈R 恒成立， 则在x ∈R 恒成立．所以成立，因此 k=．…（10分） 下面证明恒成立． 设，则．所以当 时，G ′（x ）＞0；当 x ＞ 时，G ′（x ）＜0． 因此 x= 时，G （x ）取得最大值0，则成立． 故所求“分界线”方程为：．【思路点拨】（1）利用点到直线的距离公式解决即可（2）关于由不等式解集整数的个数，然后求未知量取值范围的题目，可利用恒等变换，把它转化为求函数零点的问题，即可求解；（3）设F (x )＝f (x )−g (x )＝x 2−elnx ，利用导数知识判断单调性，求出时，F （x ） 取得最小值0．设f （x ）与g （x ）存在“分界线”，方程为，由，对x ∈R 恒成立，求得k=．再利用导数证明成立，从而得到所求“分界线”方程． 20．（本小题满分16分）设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（）.（1）求数列的通项公式；（2）试确定的值，使得数列为等差数列；（3）当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列. 设是数列 的前项和，试求满足的所有正整数.【知识点】等比数列的通项公式；数列的应用． 【答案解析】（1）（2） (3) 满足题意的正整数仅有.解析 ：解：（1）………………………………………………………4分 （2）023)(22=++-n n b n b t n 得2322--=n tnn b n ，所以,212,416,42321t b t b t b -=-=-=则由，得……………………………………………………7分 当时，，由，所以数列为等差数列………9分（3）因为，可得不合题意，合题意…………11分当时，若后添入的数，则一定不符合题意，从而必是数列 中的一项，则（2+2+…………+2）+(…………)=即………………………………………………………………13分 记则k k f k212)2(ln 2)('--=，1+2+2+…………+2=，所以当时，=1+2+2+…………+2+1>1+2,又.3)(,0)('）递增，在（故∞+>k f k f则由都不合题意无解，即在知3),3[0)(06)3([≥+∞=>=m k f f …………15分 综上可知，满足题意的正整数仅有.…………………………………………16分25130 622A 截37186 9142 酂31381 7A95 窕F 21112 5278 剸433444 82A4 芤21558 5436 吶25939 6553 敓27809 6CA1 没x}30765 782D 砭q。
湖南省四校2019届高三摸底调研联考试题 理科数学(解析版)
f (x) 2x 1，所以 f (1) 1 ，则 f (1) f (1) 1 ，故 f (16) 1 ．
2
2
2
16．在四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧面 SAD 是以 SD 为斜边的等腰直角三
4 3 8 角形，若四棱锥 S ABCD 体积的取值范围为 , ，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是
（1）求数列 {an } 的通项公式；
（2）若 bn nan ，求数列{bn}的前 n 项和Tn ．
17．解析：（1） Sn 2 2an
① ， Sn1 2 2an1 (n ≥ 2)
②，
① ② 得， Sn Sn1 2an 2an1 an ， an 2an1 (n ≥ 2, n N ) ，
1
1．又
h
e
1 e2
2,
h(e)
e2
2 ，所以 h(e)
h
1
e
，
所以
a
x2
2 ln
x
在
1 e
,
e
上有解等价于1≤
a
≤
e2
2
，所以实数
a
的取值范围是[1,
e2
2]
．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．
13．已知向量 a (1,1) b (3, 2) ，若向量 ka 2b 与 a 垂直，则实数 k
3 A．1,
4
8．答案：C
B． 2,
4
3 C． ,
4
D． 2 ,
4
解析： T
2
5 4
1 4
2
，所以
2 T
湖南省郴州市数学高三理数四月调研考试试卷
湖南省郴州市数学高三理数四月调研考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·山东模拟) ，则共轭复数的虚部为（）A .B .C .D .2. （2分）设集合A={x|x=a2+1，a∈N}，B={y|y=b2﹣4b+5，b∈N}，则下列关系中正确的是（）A . A=BB . B不属于AC . A不属于BD . A∩B=空集3. （2分）(2019·吉林模拟) 已知平面向量满足，，若，则实数m等于（）A .B .C .D .4. （2分）(2019·临沂模拟) 已知双曲线的一个焦点F(2，0)，一条渐近线的斜率为，则该双曲线方程为（）A .B .C .D .5. （2分）已知数列{an}的通项公式an=n2﹣2n﹣8（n∈N*），则a4等于（）A . 1B . 2C . 0D . 36. （2分） (2017高一下·咸阳期末) 我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（）A . 164石B . 178石C . 189石D . 196石7. （2分）(2017·山东模拟) 若一个螺栓的底面是正六边形，它的主视图和俯视图如图所示，则它的表面积是（）A . 27 +7π+36B . +6π+36C . 27 +6π+36D . +7π+368. （2分）在直角坐标平面上的点集，，那么的面积是（）A .B .C .D .9. （2分）已知满足，则目标函数的最小值是（）A .B .C .D .10. （2分）已知e是自然对数的底数，函数f(x)=ex+x-2的零点为a，函数g(x)=lnx+x-2的零点为b，则下列不等式中成立的是（）A . f(a)<f(1)<f(b)B . f(a)<f(b)<f(1)C . f(1)<f(a)<f(b)D . f(b)<f(1)<f(a)11. （2分）如图，正三棱柱中，，则与面所成的角大小是（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二上·福州期中) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ，且a5=5，S5=15，则数列的前2016项和为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·上海期中) 如图，由曲线（其中，常数）、轴、轴及直线所围成图形（阴影部分）的面积等于________14. （1分）展开式中的常数项为________ ．15. （1分） (2016高三上·辽宁期中) 设曲线y= 在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=________．16. （1分）(2020·淮北模拟) 已知圆O：直线：，过直线l上的点P作圆O的切线，，切点分别为A，B，若存在点P使得，则实数a的取值范围是________.三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）有如下图所示的四边形 .（1）在中，三内角为 ,求当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值；（2）若为（1）中所得值， ,记 .（ⅰ）求用含的代数式表示；（ⅱ）求的面积的最小值.18. （10分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=BB1 ， D为AC的中点．（I）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若AC1⊥平面A1BD，求证：B1C1⊥平面ABB1A1；19. （10分） (2019高二下·余姚期中) 一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个.求：（1）连续取两次都是红球的概率；（2）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，取球次数最多不超过4次，求取球次数的概率分布列及期望.20. （10分）已知点是抛物线：的焦点，点是抛物线上的定点，且 .（1）求抛物线的方程；（2）直线与抛物线交于不同两点，，且（为常数），直线与平行，且与抛物线相切，切点为，试问的面积是否是定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.21. （10分）(2018·山东模拟) 已知函数， .（1）讨论函数的单调性；（2）若，对任意恒成立，求实数的取值范围.22. （10分） (2017高三上·綦江期末) 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）= ．（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）若l和C交于A，B两点，且Q（2，3），求|QA|+|QB|．23. （10分）已知函数f（x）=|x﹣a|+2|x+1|．（1）当a=3时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若f（x）≥4对于任意x∈R都恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
湖南省郴州市2019-2020学年中考第四次模拟数学试题含解析
湖南省郴州市2019-2020学年中考第四次模拟数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOD，点P在射线OM上（点P与点O不重合），如果以点P为圆心的圆与直线AB相离，那么圆P与直线CD的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．不确定2．如图，在△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，错误的结论是（）．A．AD AEDB EC=B．AB ACAD AE=C．AC ECAB DB=D．AD DEDB BC=3．估算18的值是在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间4．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP 的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是( )A．10 B．12 C．20 D．245．已知两组数据，2、3、4和3、4、5，那么下列说法正确的是（）A．中位数不相等，方差不相等B．平均数相等，方差不相等C．中位数不相等，平均数相等D．平均数不相等，方差相等6．如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长等于（）7．下列运算正确的是（ ）A ．42=±B ．2525+=C ．a 2•a 3=a 5D ．（2a ）3=2a 3 8．按如下方法，将△ABC 的三边缩小的原来的12，如图，任取一点O ，连AO 、BO 、CO ，并取它们的中点D 、E 、F ，得△DEF ，则下列说法正确的个数是（ ）①△ABC 与△DEF 是位似图形 ②△ABC 与△DEF 是相似图形③△ABC 与△DEF 的周长比为1：2 ④△ABC 与△DEF 的面积比为4：1．A ．1B ．2C ．3D ．49．如图⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，22.5A ∠=︒，4OC =，CD 的长为（ ）A ．B ．4C ．D ．810．如图，点F 是Y ABCD 的边AD 上的三等分点，BF 交AC 于点E ，如果△AEF 的面积为2，那么四边形CDFE 的面积等于( )A ．18B ．22C ．24D ．4611．某班体育委员对本班学生一周锻炼(单位：小时)进行了统计，绘制了如图所示的折线统计图，则该班这些学生一周锻炼时间的中位数是( )12．如图，△ABC 中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A 和点C为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N 作直线MN ，交BC 于点D ，连结AD ，则∠BAD 的度数为（ ）A ．65°B ．60° C ．55° D ．45°二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，PA ，PB 分别为O e 的切线，切点分别为A 、B ，P 80∠=o ，则C ∠=______．14．关于 x 的方程 ax=x+2(a ≠1) 的解是________.15．反比例函数y=1k x与正比例函数y=k 2x 的图象的一个交点为（2，m ），则12k k =____． 16．如图，已知反比例函数y=（x ＞0）的图象经过Rt △OAB 斜边OB 的中点C ，且与直角边AB 交于点D ，连接OD ，若点B 的坐标为（2，3），则△OAD 的面积为_____．17．已知线段a=4，b=1，如果线段c 是线段a 、b 的比例中项，那么c=_____．18．点A(-2,1)在第_______象限.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图1，将长为10的线段OA 绕点O 旋转90°得到OB ，点A 的运动轨迹为¶AB ，P 是半径OB 上一动点，Q 是¶AB 上的一动点，连接PQ ．（2）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求¶BQ的长；（3）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积．20．（6分）计算：﹣（﹣2）2+|﹣3|﹣20180×32721．（6分）如图，△ABC内接于⊙O，过点C作BC的垂线交⊙O于D，点E在BC的延长线上，且∠DEC ＝∠BAC．求证：DE是⊙O的切线；若AC∥DE，当AB＝8，CE＝2时，求⊙O直径的长．22．（8分）解不等式组：()()3x1x382x11x132⎧-+--<⎪⎨+--≤⎪⎩并求它的整数解的和．23．（8分）为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”和“杨辉奖”，根据获奖情况绘制成如图1和图2所示的条形统计图和扇形统计图，并得到了获“祖冲之奖”的学生成绩统计表：“祖冲之奖”的学生成绩统计表：分数/分80 85 90 95人数/人 4 2 10 4(1)这次获得“刘徽奖”的人数是_____，并将条形统计图补充完整；(2)获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是_____分，众数是_____分；(3)在这次数学知识竟赛中有这样一道题：一个不透明的盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字“﹣2”，“﹣1”和“2”，随机摸出一个小球，把小球上的数字记为x放回后再随机摸出一个小球，把小球上的数字记为y，把x作为横坐标，把y作为纵坐标，记作点(x，y)．用列表法或树状图法求这个点在第二象限的概率．24．（10分）发现如图1，在有一个“凹角∠A1A2A3”n边形A1A2A3A4……A n中（n为大于3的整数），∠A1A2A3＝∠A1+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+……+∠A n﹣（n﹣4）×180°．验证如图2，在有一个“凹角∠ABC”的四边形ABCD中，证明：∠ABC＝∠A+∠C+∠D．证明3，在有一个“凹角∠ABC”的六边形ABCDEF中，证明；∠ABC＝∠A+∠C+∠D+∠E+∠F﹣360°．延伸如图4，在有两个连续“凹角A1A2A3和∠A2A3A4”的四边形A1A2A3A4……A n中（n为大于4的整数），∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠A4+∠A5+∠A6……+∠A n﹣（n﹣）×180°．25．（10分）如图，在Rt中，，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连结MN，与AC、BC分别交于点D、E，连结AE．（1）求；（直接写出结果）（2）当AB=3，AC=5时，求的周长．26．（12分）一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的对应关系如图所示：（1）甲乙两地相距千米，慢车速度为千米/小时．（2）求快车速度是多少？（3）求从两车相遇到快车到达甲地时y与x之间的函数关系式．27．（12分）如图， 二次函数23y ax bx =++的图象与 x 轴交于()30A -,和()10B ,两点，与 y 轴交于点 C ，一次函数的图象过点 A 、C ．（1）求二次函数的表达式（2）根据函数图象直接写出使二次函数值大于一次函数值的自变量 x 的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】【分析】根据角平分线的性质和点与直线的位置关系解答即可．【详解】解：如图所示；故选：A ．【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，关键是根据角平分线的性质解答．2．D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质进行分析可得出结论.【详解】由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，并可得：AD AE DB EC =，AB AC AD AE =，AC EC AB DB=，故A ，B ，C 正确；D 错误； 故选D ．【点睛】考点：1.平行线分线段成比例；2.相似三角形的判定与性质．3．C【解析】【分析】，推出45，即可得出答案．【详解】，∴45，4和5之间．故选：C ．【点睛】本题考查了估算无理数的大小和二次根式的性质，，题目比较好，难度不大．4．B【解析】【分析】根据图象可知点P 在BC 上运动时，此时BP 不断增大，而从C 向A 运动时，BP 先变小后变大，从而可求出BC 与AC 的长度．解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为5，即BC=5，由于M是曲线部分的最低点，∴此时BP最小，即BP⊥AC，BP=4，∴由勾股定理可知：PC=3，由于图象的曲线部分是轴对称图形，∴PA=3，∴AC=6，∴△ABC的面积为：12×4×6=12.故选：B.【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题关键是注意结合图象求出BC与AC的长度，本题属于中等题型．5．D【解析】【分析】分别利用平均数以及方差和中位数的定义分析，进而求出答案．【详解】2、3、4的平均数为：13（2+3+4）=3，中位数是3，方差为：13[（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣4）2]=23；3、4、5的平均数为：13（3+4+5）=4，中位数是4，方差为：13[（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2]=23；故中位数不相等，方差相等．故选：D．【点睛】本题考查了平均数、中位数、方差的意义，解答本题的关键是熟练掌握这三种数的计算方法. 6．A【解析】【详解】∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，∴DA=DB，EA=EC，则△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8，故选A．7．C【分析】根据算术平方根的定义、二次根式的加减运算、同底数幂的乘法及积的乘方的运算法则逐一计算即可判断．【详解】解：A，此选项错误；B、2不能进一步计算，此选项错误；C、a2•a3=a5，此选项正确；D、（2a）3=8a3，此选项计算错误；故选：C．【点睛】本题主要考查二次根式的加减和幂的运算，解题的关键是掌握算术平方根的定义、二次根式的加减运算、同底数幂的乘法及积的乘方的运算法则．8．C【解析】【分析】根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．【详解】解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，②△ABC与△DEF是相似图形，∵将△ABC的三边缩小的原来的12，∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，故③选项错误，根据面积比等于相似比的平方，∴④△ABC与△DEF的面积比为4：1．故选C．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，中等难度,熟悉位似图形的性质是解决问题的关键．9．C【解析】【详解】∴CE=DE=12 CD，∵∠A=22.5°，∴∠BOC=45°，∴OE=CE，设OE=CE=x，∵OC=4，∴x2+x2=16，解得：，即：，∴，故选C．10．B【解析】【分析】连接FC，先证明△AEF∽△BEC，得出AE∶EC=1∶3，所以S△EFC=3S△AEF，在根据点F是□ABCD的边AD上的三等分点得出S△FCD=2S△AFC，四边形CDFE的面积=S△FCD+ S△EFC，再代入△AEF的面积为2即可求出四边形CDFE的面积.【详解】解：∵AD∥BC，∴∠EAF=∠ACB,∠AFE=∠FBC；∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴AFBC=AEEC=13，∵△AEF与△EFC高相等，∴S△EFC=3S△AEF，∵点F是□ABCD的边AD上的三等分点，∴S△FCD=2S△AFC，∵△AEF的面积为2，∴四边形CDFE的面积=S△FCD+ S△EFC=16+6=22. 故选B.本题考查了相似三角形的应用与三角形的面积，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用与三角形的面积的相关知识点.11．B【解析】【分析】根据统计图中的数据可以求得本班的学生数，从而可以求得该班这些学生一周锻炼时间的中位数，本题得以解决．【详解】由统计图可得，本班学生有：6+9+10+8+7=40（人），该班这些学生一周锻炼时间的中位数是：11，故选B．【点睛】本题考查折线统计图、中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的中位数．12．A【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．【详解】由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD=DC，故∠C=∠DAC，∵∠C=30°，∴∠DAC=30°，∵∠B=55°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=65°，故选A．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．50°【解析】【分析】由PA 与PB 都为圆O 的切线，利用切线长定理得到PA PB =，再利用等边对等角得到一对角相等，由顶角P ∠的度数求出底角BAP ∠的度数，再利用弦切角等于夹弧所对的圆周角，可得出BAP C ∠∠=，由BAP ∠的度数即可求出C ∠的度数． 【详解】解：PA Q ，PB 分别为O e 的切线，PA PB ∴=，AP CA ⊥，又P 80∠=o ，()1BAP 18080502o o o ∠∴=-=， 则C BAP 50∠∠==o ． 故答案为：50o 【点睛】此题考查了切线长定理，切线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键． 14．2a 1- 【解析】分析：依据等式的基本性质依次移项、合并同类项、系数化为1即可得出答案．详解：移项，得：ax ﹣x=1，合并同类项，得：（a ﹣1）x=1．∵a≠1，∴a ﹣1≠0，方程两边都除以a ﹣1，得：x=21a -．故答案为x=21a -． 点睛：本题主要考查解一元一次方程的能力，熟练掌握等式的基本性质及解一元一次方程的基本步骤是解题的关键． 15．4 【解析】 【分析】利用交点(2，m)同时满足在正比例函数和反比例函数上，分别得出m 和1k 、2k 的关系. 【详解】把点(2,m)代入反比例函数和正比例函数中得，12k m ＝，22mk ＝，则124k k ＝.【点睛】本题主要考查了函数的交点问题和待定系数法，熟练掌握待定系数法是本题的解题关键. 16．．【解析】由点B的坐标为（2，3），而点C为OB的中点,则C点坐标为（1，1.5），利用待定系数法可得到k=1.5，然后利用k的几何意义即可得到△OAD的面积.【详解】∵点B的坐标为（2，3），点C为OB的中点，∴C点坐标为（1，1.5），∴k=1×1.5=1.5，即反比例函数解析式为y=，∴S△OAD=×1.5=．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，k≠0）图像上任一点P，向x轴和y轴作垂线你，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于.17．1【解析】【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【详解】根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．则c1=4×1，c=±1，（线段是正数，负值舍去），故c=1．故答案为1．【点睛】本题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．18．二【解析】【分析】根据点在第二象限的坐标特点解答即可．∵点A 的横坐标-2＜0，纵坐标1＞0， ∴点A 在第二象限内． 故答案为：二． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）90︒；（2）103π；（3）25100π- 【解析】 【分析】（1）先判断出当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合，即可得出结论； （2）先判断出∠POQ ＝60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；（3）先在Rt △B'OP 中，OP 2+210) ＝2( 10 - O P ) ，解得OP ＝10- ，最后用面积的和差即可得出结论． 【详解】解：（1）∵P 是半径OB 上一动点，Q 是¶AB 上的一动点， ∴当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合，此时，∠POQ ＝90°，PQ ＝=，故答案为：90°， ； （2）解：如图，连接OQ ， ∵点P 是OB 的中点， ∴OP ＝12OB ＝12OQ ． ∵QP ⊥OB ， ∴∠OPQ ＝90°在Rt △OPQ 中，cos ∠QOP ＝OP 12=OQ ， ∴∠QOP ＝60°， ∴l BQ 6010101803ππ=⨯= ；（3）由折叠的性质可得，,''===BP B P AB AB ，在Rt △B'OP 中，OP 2+210) ＝2( 10 - O P ) ,解得OP ＝10210-， S 阴影＝S 扇形AOB ﹣2S △AOP ＝290110210(10210)2510021003602ππ⨯-⨯⨯⨯-=-+.【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，弧长公式，扇形的面积公式，熟记公式是解本题的关键． 20．﹣1 【解析】 【分析】根据乘方的意义、绝对值的性质、零指数幂的性质及立方根的定义依次计算各项后，再根据有理数的运算法则进行计算即可. 【详解】原式=﹣1+3﹣1×3=﹣1． 【点睛】本题考查了乘方的意义、绝对值的性质、零指数幂的性质、立方根的定义及有理数的混合运算，熟知乘方的意义、绝对值的性质、零指数幂的性质、立方根的定义及有理数的混合运算顺序是解决问题的关键. 21．（1）见解析；（2）⊙O 直径的长是45． 【解析】 【分析】（1）先判断出BD 是圆O 的直径，再判断出BD ⊥DE ，即可得出结论；（2）先判断出AC ⊥BD ，进而求出BC=AB=8，进而判断出△BDC ∽△BED ，求出BD ，即可得出结论． 【详解】证明：（1）连接BD ，交AC 于F ，∵DC ⊥BE ，∴∠BCD ＝∠DCE ＝90°， ∴BD 是⊙O 的直径，∴∠DEC+∠CDE＝90°，∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC+∠CDE＝90°，∵弧BC=弧BC，∴∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∴BD⊥DE，∴DE是⊙O切线；解：（2）∵AC∥DE，BD⊥DE，∴BD⊥AC．∵BD是⊙O直径，∴AF＝CF，∴AB＝BC＝8，∵BD⊥DE，DC⊥BE，∴∠BCD＝∠BDE＝90°，∠DBC＝∠EBD，∴△BDC∽△BED，∴BDBE＝BCBD，∴BD2＝BC•BE＝8×10＝80，∴BD＝45．即⊙O直径的长是45．【点睛】此题主要考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，第二问中求出BC=8是解本题的关键．22．0【解析】分析：先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可求出不等式组的解集. 详解：，由①去括号得：﹣3x﹣3﹣x+3＜8，解得：x＞﹣2，由②去分母得：4x+2﹣3+3x≤6，解得：x≤1，则不等式组的解集为﹣2＜x≤1．点睛：本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解. 23．（1）刘徽奖的人数为40人，补全统计图见解析；（2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是90分，众数是90分；（3）P（点在第二象限）29 =．【解析】【分析】（1）先根据祖冲之奖的人数及其百分比求得总人数，再根据扇形图求出赵爽奖、杨辉奖的人数，继而根据各奖项的人数之和等于总人数求得刘徽奖的人数，据此可得；（2）根据中位数和众数的定义求解可得；（3）列表得出所有等可能结果，再找到这个点在第二象限的结果，根据概率公式求解可得．【详解】（1）∵获奖的学生人数为20÷10%=200人，∴赵爽奖的人数为200×24%=48人，杨辉奖的人数为200×46%=92人，则刘徽奖的人数为200﹣（20+48+92）=40，补全统计图如下：故答案为40；（2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是90分，众数是90分．故答案为90、90；（3）列表法：∵第二象限的点有（﹣2，2）和（﹣1，2），∴P（点在第二象限）29 =．【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率、频数分布直方图以及利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查列表法或画树状图法求概率．24．（1）见解析；（2）见解析；（3）1．【解析】【分析】（1）如图2，延长AB交CD于E，可知∠ABC＝∠BEC+∠C，∠BEC＝∠A+∠D，即可解答（2）如图3，延长AB交CD于G，可知∠ABC＝∠BGC+∠C，即可解答（3）如图4，延长A2A3交A5A4于C，延长A3A2交A1A n于B，可知∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠2+∠A4+∠4，再找出规律即可解答【详解】（1）如图2，延长AB交CD于E，则∠ABC＝∠BEC+∠C，∠BEC＝∠A+∠D，∴∠ABC＝∠A+∠C+∠D；（2）如图3，延长AB交CD于G，则∠ABC＝∠BGC+∠C，∵∠BGC＝180°﹣∠BGC，∠BGD＝3×180°﹣（∠A+∠D+∠E+∠F），∴∠ABC＝∠A+∠C+∠D+∠E+∠F﹣310°；（3）如图4，延长A2A3交A5A4于C，延长A3A2交A1A n于B，则∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠2+∠A4+∠4，∵∠1+∠3＝（n﹣2﹣2）×180°﹣（∠A5+∠A1……+∠A n），而∠2+∠4＝310°﹣（∠1+∠3）＝310°﹣[（n﹣2﹣2）×180°﹣（∠A5+∠A1……+∠A n）]，∴∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠A4+∠A5+∠A1……+∠A n﹣（n﹣1）×180°．故答案为1．【点睛】此题考查多边形的内角和外角，，解题的关键是熟练掌握三角形的外角的性质，属于中考常考题型25．（1）∠ADE=90°；（2）△ABE的周长=1．【解析】试题分析：（1）是线段垂直平分线的做法，可得∠ADE=90°（2）根据勾股定理可求得BC=4，由垂直平分线的性质可知AE=CE，所以△ABE的周长为AB+BE+AE=AB+BC=1试题解析：（1）∵由题意可知MN是线段AC的垂直平分线，∴∠ADE=90°；（2）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC==4，∵MN是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，∴△ABE的周长=AB+（AE+BE）=AB+BC=3+4=1．考点：1、尺规作图；2、线段垂直平分线的性质；3、勾股定理；4、三角形的周长26．（1）10，1；（2）快车速度是2千米/小时；（3）从两车相遇到快车到达甲地时y与x之间的函数关系式为y=150x﹣10；（4）当x=2小时或x=4小时时，两车相距300千米．【解析】【分析】（1）由当x=0时y=10可得出甲乙两地间距，再利用速度=两地间距÷慢车行驶的时间，即可求出慢车的速度；（2）设快车的速度为a千米/小时，根据两地间距=两车速度之和×相遇时间，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）分别求出快车到达甲地的时间及快车到达甲地时两车之间的间距，根据函数图象上点的坐标，利用待定系数法即可求出该函数关系式；（4）利用待定系数法求出当0≤x≤4时y与x之间的函数关系式，将y=300分别代入0≤x≤4时及4≤x≤20 3时的函数关系式中求出x值，此题得解．【详解】解：（1）∵当x=0时，y=10，∴甲乙两地相距10千米．10÷10=1（千米/小时）． 故答案为10；1．（2）设快车的速度为a 千米/小时， 根据题意得：4（1+a ）=10， 解得：a=2．答：快车速度是2千米/小时．（3）快车到达甲地的时间为10÷2=203（小时）， 当x=203时，两车之间的距离为1×203=400（千米）．设当4≤x≤203时，y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b （k≠0），∵该函数图象经过点（4，0）和（203，400），∴40{204003k b k b +=+=，解得：150{600k b ==-， ∴从两车相遇到快车到达甲地时y 与x 之间的函数关系式为y=150x ﹣10． （4）设当0≤x≤4时，y 与x 之间的函数关系式为y=mx+n （m≠0）， ∵该函数图象经过点（0，10）和（4，0）， ∴600{40n m n =+=，解得：150{600m n =-=，∴y 与x 之间的函数关系式为y=﹣150x+10． 当y=300时，有﹣150x+10=300或150x ﹣10=300， 解得：x=2或x=4．∴当x=2小时或x=4小时时，两车相距300千米． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一元一次方程的应用以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用速度=两地间距÷慢车行驶的时间，求出慢车的速度；（2）根据两地间距=两车速度之和×相遇时间，列出关于a 的一元一次方程；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（4）利用一次函数图象上点的坐标特征求出当y=300时x 的值．27．（1）223y x x =--+；（2）30x -<<．【解析】 【分析】（1）将()30A -,和()10B ,两点代入函数解析式即可； （2）结合二次函数图象即可．【详解】解：(1)∵二次函数23y ax bx =++与x 轴交于(3,0)A -和(1,0)B 两点， 933030a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩解得12a b =-⎧⎨=-⎩ ∴二次函数的表达式为223y x x =--+．(2)由函数图象可知，二次函数值大于一次函数值的自变量x 的取值范围是30x -<<．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数与不等式，解题的关键是熟悉二次函数的性质．。
湖南省郴州市2019届高三第二次教学质量监测数学试题(理科)(解析版)
郴州市2019届高三第二次教学质量监测试卷数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据对数不等式得到集合N的元素，再由集合的补集得到，再根据集合的交集得到结果.【详解】集合，解不等式得到全集，，根据集合的交集得到结果为：.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了集合的交集和补集的计算，题目比较简单.2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算得到，进而得到对应的点坐标.【详解】复数满足，,对应点为，在第一象限.故答案为：A.【点睛】在复平面上，点和复数一一对应，所以复数可以用复平面上的点来表示，这就是复数的几何意义．复数几何化后就可以进一步把复数与向量沟通起来，从而使复数问题可通过画图来解决，即实现了数与形的转化．由此将抽象问题变成了直观的几何图形，更直接明了．3.已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（）A. 240，18B. 200，20C. 240，20D. 200，18【答案】A【解析】【分析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数．【详解】样本容量为：（150+250+400）×30%＝240，∴抽取的户主对四居室满意的人数为：故选：A．【点睛】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用．4.已知函数，则（）A. B. C. 1 D. 7【答案】C【解析】【分析】根据分段函数的解析式得到，将x=1代入解析式第一段即可得到答案.【详解】函数，则故答案为：C.【点睛】解决分段函数求值问题的策略:(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决;(3)求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则。
湖南省郴州市泗洲中学2019年高三数学理月考试卷含解析
湖南省郴州市泗洲中学2019年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y＝x－x的图像大致为__________.参考答案：A略2.过函数f(x)＝x＋cosx－sinx图象上一点的切线的倾斜角是θ，则θ的取值范围是( ) A．[arctan3，] B．[π－arctan3，]C．[，arctan3] D．[0，arctan3]∪[，π)参考答案：答案：D3. 已知函数的部分图像如图，则A．B． C．1 D．0参考答案：D略4. 已知函数f（x）＝x2＋bx的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线3x－y＋2＝0平行，若数列的前n项和为S n，则S2009的值为（）A． B． C．D．参考答案：C5. 抛物线的焦点为,点为该抛物线上的动点,又点,则的最小值是（▲）A． B． C．D．参考答案：C6. 设P为椭圆上的一点，是该双曲线的两个焦点，若则的面积为 ( )A. 2B. 3C. 4D. 5参考答案：C略7. 在实数集上随机取一个数，事件=“,”，事件=“”，则（︱）=（）A． B． C． D．参考答案：C略8. 函数的大致图象为（）A． B．C． D．参考答案：A9. 已知为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，（其中O为坐标原点），则△AFO与△BFO面积之和的最小值是（）A． B． C． D．参考答案：B略10. 已知A. B. C. D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 正方体的体积为8，则其外接球的面积为（）A. 8πB. 12πC. 16πD. 24π参考答案：B【分析】根据题意即可求出正方体的外接球的大圆半径，从而根据圆的表面积公式即可求出外接球的面积．【详解】正方体的体积为8，可得正方体的边长为2，正方体的外接球的大圆半径为：，∴外接球的面积为：S＝4πR2＝4π?3＝12π．【点睛】本题考查了球的表面积公式，知道正方体的体对角线是正方体的外接球的大圆直径是关键，考查了计算能力，属于基础题．12. 若，则“”是“”成立的条件.（）（A）充分非必要（B）必要非充分（C）充要（D）既非充分又非必要参考答案：B【测量目标】逻辑思维能力/能从数学的角度有条理地思考问题.【知识内容】方程与代数/集合与命题/充分条件，必要条件，充分必要条件.【正确选项】B【试题分析】设，则由则，故充分性不成立；由，则，所以，即必要性成立，故答案为B.13. 已知函数，若存在唯一零点，且>0，则a的取值范围.参考答案：略14. 设f（x）是R是的奇函数，且对都有f（x＋2）＝f（x），又当［0,1］时，f（x）＝x2，那么x［2011,2013］时，f（x）的解析式为＿＿＿＿＿参考答案：15. 直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2= ．2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即==cos45°，由此求得a2+b2的值．【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，∴==cos45°=，∴a2+b2=2，故答案为：2．16. 设双曲线的左,右焦点分别为,过的直线交双曲线左支于两点,则的最小值为 .参考答案：11略17. 满足约束条件的目标函数的最小值是参考答案：－2.作出约束条件表示的平面区域可知，当，时，目标函数取最小值，为－2.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
湖南省郴州市高三第四次质量检测数学(理)试题
郴州市2017届高三第四次教学质量监测试卷数学理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|(5)4A x x x =->，{}|B x x a =≤，若A B B =，则a 的值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42.已知复数322a i z i+=-在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(4,)+∞C ．(1,4)-D ．(4,1)--3.为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如图四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（ ）4.已知23cos tan 3θθ=+，且k θπ≠（k Z ∈），则[]sin 2()πθ-等于（ ） A ．13-B ．13C ．23D ．23-5.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的 1.5S =（单位：升），则输入k 的值为（ ）A ．4.5B ．6C ．7.5D ．96.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）过点(2,22)，过点(0,2)-的直线l 与双曲线C 的一条渐进线平行，且这两条平行线间的距离为23，则双曲线C 的实轴长为（ ） A ．2B ．22C ．4D ．427.若()f x 为奇函数，且0x 是()xy f x e =-的一个零点，则下列函数中，0x -一定是其零点的函数是（ ） A ．()1xy f x e-=-⋅-B ．()1xy f x e =⋅+ C ．()1x y f x e =⋅-D ．()1xy f x e =-⋅+8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103B ．113C ．4D ．1439.在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，5AB =，4AC =，D 是AB 上一点，且5AB CD ⋅=，则||BD 等于（ ） A ．6B ．4C ．2D ．110.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为2F ，O 为坐标原点，M 为y 轴上一点，点A 是直线2MF 与椭圆C 的一个交点，且2||||2||OA OF OM ==，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13B ．25C ．55D ．5311.如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆（1A ∉平面ABCD ）．若M 、O 分别为线段1AC 、DE 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A ．与平面1A DE 垂直的直线必与直线BM 垂直B ．异面直线BM 与1A E 所成角是定值C ．一定存在某个位置，使DE MO ⊥D ．三棱锥1A ADE -外接球半径与棱AD 的长之比为定值 12.若曲线1()ln(1)f x a x =+（211e x e -<<-）和32()g x x x =-+（0x <）上分别存在点A 、B ，使得OAB ∆是以原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点在y 轴上，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2(,)e eB ．2(,)2e eC ．2(1,)eD ．[1,)e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数x ，y 满足条件30,240,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则22(1)z x y =++的最小值为 ．14.把3男2女共5名新生分配给甲、乙两个班，每个班分配的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为 ． 15.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移724π个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间,3πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（3πθ>-）上的值域为[]1,2-，则θ= ．16.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，ABC ∆的面积为S ，22()tan 8a b C S +=，且sin cos 2cos sin A B A B =，则cos A = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列{}n a 的前n （*n N ∈）项和为n S ，33a =，且1n n n S a a λ+=，在等比数列{}n b 中，12b λ=，3151b a =+．（Ⅰ）求数列{}n a 及{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 的前n （*n N ∈）项和为n T ，且()12n n nS c +=，求n T ．18.某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中的4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的． （Ⅰ）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；（Ⅱ）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？19.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，90ADC ∠=︒，//AD BC ，AB AC ⊥，2AB AC ==，点E 在AD 上，且2AE ED =．（Ⅰ）已知点F 在BC 上，且2CF FB =，求证：平面PEF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）当二面角A PB E --的余弦值为多少时，直线PC 与平面PAB 所成的角为45︒？20.已知A 是抛物线24y x =上的一点，以点A 和点(2,0)B 为直径的圆C 交直线1x =于M ，N 两点，直线l 与AB 平行，且直线l 交抛物线于P ，Q 两点．（Ⅰ）求线段MN 的长；（Ⅱ）若3OP OQ ⋅=-，且直线PQ 与圆C 相交所得弦长与||MN 相等，求直线l 的方程． 21.设函数2()xf x e =，()1g x kx =+（k R ∈）．（Ⅰ）若直线()y g x =和函数()y f x =的图象相切，求k 的值；（Ⅱ）当0k >时，若存在正实数m ，使对任意(0,)x m ∈，都有|()()|2f x g x x ->恒成立，求k 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos ,2sin x a t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数，0a >）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos()224πρθ+=-．（Ⅰ）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值； （Ⅱ）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||3|f x x x =++-，()|2|g x a x =--．（Ⅰ）若关于x 的不等式()()f x g x <有解，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若关于x 的不等式()()f x g x <的解集为7(,)2b ，求a b +的值．郴州市2017届高三第四次教学质量监测试卷数学理科答案一、选择题1-5:DCDCB 6-10:ABACD 11、12：CB二、填空题13.5 14.16 15.4π16.3015三、解答题17.解：（Ⅰ）∵1n n n S a a λ+=，33a =，∴112a a a λ=，且12232()3a a a a a λ+==，∴2a λ=，1233a a a +==，①∵数列{}n a 是等差数列，∴1322a a a +=，即2123a a -=，② 由①②得11a =，22a =，∴n a n =，2λ=， ∴14b =，316b =，则12n n b +=． （Ⅱ）∵(1)2n n n S +=，∴2(2)n c n n =+， ∴22222132435(1)(1)(2)n T n n n n =+++++⨯⨯⨯-++… 111111111132435112n n n n =-+-+-++-+--++2323232n n n +=-++． 18.解：（Ⅰ）由题意可知，所求概率122111234242333662221()(1)(1)33315C C C C P C C C =⨯-+⨯-=． （Ⅱ）设甲公司正确完成面试的题数为X ，则X 的取值分别为1,2,3．1242361(1)5C C P X C ===，2142363(2)5C C P X C ===，3042361(3)5C C P X C ===． 则X 的分布列为：X 1 2 3P15 35 15∴131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=， 2221312()(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=．设乙公司正确完成面试的题数为Y ，则Y 取值分别为0,1,2,3．1(0)27P Y ==，123212(1)()339P Y C ==⨯⨯=，223214(2)()339P Y C ==⨯⨯=，328(3)()327P Y ===． 则Y 的分布列为：Y 0 1 2 3P127 29 49827∴1248()01232279927E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=，222212482()(02)(12)(22)(32)2799273D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=．由()()E X E Y =，()()D X D Y <可得，甲公司竞标成功的可能性更大．19.（Ⅰ）证明：∵AB AC ⊥，AB AC =，∴45ACB ∠=︒， ∵底面ABCD 是直角梯形，90ADC ∠=︒，//AD BC ， ∴45ACD ∠=︒，即AD CD =， ∴22BC AC AD ==，∵2AE ED =，2CF FB =，∴23AE BF AD ==， ∴四边形ABFE 是平行四边形，则//AB EF ， ∴AC EF ⊥，∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA EF ⊥， ∵PAAC A =，∴EF ⊥平面PAC ，∵EF ⊂平面PEF ， ∴平面PEF ⊥平面PAC ．（Ⅱ）解：∵PA AC ⊥，AC AB ⊥，∴AC ⊥平面PAB ，则APC ∠为直线PC 与平面PAB 所成的角， 若PC 与平面PAB 所成夹角为45︒，则tan 1ACAPC PA∠==，即2PA AC ==， 取BC 的中点为G ，连接AG ，则AG BC ⊥，以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(1,1,0)B -，(1,1,0)C ，2(0,,0)3E ，(0,0,2)P ， ∴5(1,,0)3EB =-，2(0,,2)3EP =-，设平面PBE 的法向量(,,)n x y z =，则0,0,n EB n EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即50,3220,3x y y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩令3y =，则5x =，2z =，∴(5,3,2)n =，∵(1,1,0)AC =是平面PAB 的一个法向量，∴5322cos ,326n AC +<>==⨯， 即当二面角A PB E --的余弦值为223时，直线PC 与平面PAB 所成的角为45︒． 20.解：（Ⅰ）设200(,)4y A y ，圆C 方程为200(2)()()04y x x y y y --+-=，令1x =，得2200104y y y y -+-=，∴0M N y y y +=，2014M N y y y =-，22200||||()44(1)24M N M N M N y MN y y y y y y y =-=+-=--=．（Ⅱ）设直线l 的方程为x my n =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则 由2,4,x my n y x =+⎧⎨=⎩消去x ，得2440y my n --=，124y y m +=，124y y n =-，∵3OP OQ ⋅=-，∴12123x x y y +=-，则21212()316y y y y +=-，∴2430n n -+=，解得1n =或3n =， 当1n =或3n =时，当(2,0)B 到直线l 的距离211d m=+，∵圆心C 到直线l 的距离等于直线1x =的距离，∴202181y m=+， 又20024y m y -=，消去m 得4200646416y y +⋅=，求得208y =，此时，200240y m y -==，直线l 的方程为3x =， 综上，直线l 的方程为1x =或3x =．21. 解：（Ⅰ）设切点的坐标为2(,)tt e ，由2()xf x e =，得2'()2xf x e =， ∴切线方程为222()tty e e x t -=-，即222(12)tty e x t e =+-．由已知222(12)tty e x t e =+-和1y kx =+为同一直线，所以22t e k =，2(12)1tt e -=， 令()(1)xh x x e =-，则'()xh x xe =-，当(,0)x ∈-∞时，'()0h x >，()h x 单调递增，当(0,)x ∈+∞时，'()0h x <，()h x 单调递减， ∴()(0)1h x h ≤=，当且仅当0x =时等号成立，∴0t =，2k =．（Ⅱ）①当2k >时，由（Ⅰ）结合函数的图象知： 存在00x >，使得对于任意0(0,)x x ∈，都有()()f x g x <，则不等式|()()|2f x g x x ->等价于()()2g x f x x ->，即2(2)10x k x e -+->． 设2()(2)1x t x k x e =-+-，2'()22x t x k e =--，由'()0t x >，得12ln22k x -<；由'()0t x <，得12ln 22k x ->． 若24k <≤，12ln 022k -≤，∵012(0,)(ln ,)22k x -⊆+∞，∴()t x 在0(0,)x 上单调递减，∵(0)0t =，∴对任意0(0,)x x ∈，()0t x <，与题设不符．若4k >，12ln 022k ->，1212(0,ln )(,ln )2222k k --⊆-∞，∴()t x 在12(0,ln )22k -上单调递增， ∵(0)0t =，∴对任意12(0,ln )22k x -∈，()0t x >符合题设，此时取0120min ,ln 22k m x -⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭，可得对任意(0,)x m ∈，都有|()()|2f x g x x ->． ②当02k <≤时，由（Ⅰ）结合函数的图象知2(21)0xe x -+≥（0x >），22()()1(21)(2)x x f x g x e kx e x k x -=--=-++-(2)0k x ≥-≥对任意0x >都成立，∴|()()|2f x g x x ->等价于2(2)10xe k x -+->．设2()(2)1xx ek x ϕ=-+-，则2'()2(2)x x e k ϕ=-+w ，由'()0x ϕ>，得12ln 022k x +>>；'()0x ϕ<，得12ln22k x +<， ∴()x ϕ在12(0,ln )22k +上单调递减，注意到(0)0ϕ=，∴对任意12(0,ln )22k x +∈，()0x ϕ<，不符合题设．综上所述，k 的取值范围为(4,)+∞．22.解：（Ⅰ）由cos()224πρθ+=-，得2(cos sin )222ρθρθ-=-， 化成直角坐标方程，得2()222x y -=-，即直线l 的方程为40x y -+=， 依题意，设(2cos ,2sin )P t t ，则P 到直线l 的距离|22cos()4||2cos 2sin 4|4222cos()422t t t d t ππ++-+===++． 当24t k πππ+=+，即324t k ππ=+，k Z ∈时，min 222k =-． 故点P 到直线l 的距离的最小值为222-．（Ⅱ）∵曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，∴t R ∀∈，有cos 2sin 40a t t -+>恒成立， 即24cos()4a t ϕ++>-（其中2tan a ϕ=）恒成立， ∴244a +<，又0a >，解得023a <<，故a 的取值范围为(0,23)．23.解：（Ⅰ）当2x =时，()|2|g x a x =--取最大值为a ，∵()|1||3|f x x x =++-4≥，当且仅当13x -≤≤，()f x 取最小值4， ∵关于x 的不等式()()f x g x <有解，∴4a >，即实数a 的取值范围是(4,)+∞． （Ⅱ）当72x =时，()5f x =， 则77()2522g a =-++=，解得132a =， ∴当2x <时，9()2g x x =+， 令9()42g x x =+=，得12x =-(1,3)∈-， ∴12b =-，则6a b +=．。
全国通用-2019年最新数学理科高三第四次模拟检测试题及答案解析
最新普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学(银川一中第四次模拟考试)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}4,3,2,1=U ，集合{}{}3,2,2,1==B A ，则()=⋃B A C U A ．{}4,3,1 B. {}4,3 C. {}3 D. {}4 2．已知1ii z+=，则在复平面内，复数z 所对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知向量()1,2a x =，()4,b x =-，则“2x =”是“a b ⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知122,,,8a a --成等差数列，1232,,,,8b b b --成等比数列，则212a ab -等于A.14B. 12-C.12C. 12或12- 5．已知{}2,0,1,3,4a ∈-，{}1,2b ∈，则函数2()(2)f x a x b =-+为增函数的概率是A.25 B . 35C.12D.3106．已知一个几何体的正视图和俯视图如右图所示,正视图是边长为 2a 的正三角形,俯视图是边长为a 的正六边形,则该几何体的侧视图的面积为A ．223a B ．223a C ．23a D ．23a7．执行如下图的程序框图，则输出的值P= A ．12 B ．10 C ．8 D ．68．过抛物线x y 42=的焦点F 的直线交该抛物线于 A ，B 两点，O 为坐标原点. 若|AF|=3，则∆AOB 的面积为 A ．22 B ．2 C ．223 D ．22 9．设x ，y 满足约束条件2311x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥+⎩，若目标函数z ax by =+（0a >，0b >）的最小值为2，则ab 的最大值是 A ．1 B ．12 C ．16 D ．1410．若函数xax x x f 1)(2++=在),21(+∞是增函数，则a 的取值范围是A ．[]-1，0 B.[]-∞1， C.[]0，3 D.[]3∞，+理科数学试卷 第1页(共6页)11．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形。
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2019届湖南省郴州市高三第四次教学质量检测理科数
学试卷【含答案及解析】
姓名___________ 班级____________ 分数__________
一、选择题
1. 已知集合若 ,则实数的取值范围是（）
A．______________________________ B．
_________________________________ C．_________________________________ D．
2. 已知复数满足 ,则复数在复平面上对应的点在
（）
A．第一象限____________________________ B．第二象限________________________ C．第三象限______________ D．第四象限
3. 已知为等差数列的前项和, , 则等于
（）
A．___________________________________ B． C．
D．
4. 已知直线过双曲线的一个焦点, 且与
双曲线的一条渐近线垂直, 则双曲线的实轴长为（）
A． B．___________________________________ C．
___________________________________ D．
5. 已知 ,则等于（）
A． B． C．
D．
6. 已知 ,则
等于（）
A. B． C．
D．
7. 执行如图所示的程序框图, 已知命题 ,输出的值为命题
,则输出的值为 ,则下列命题正确的是（）
A． B．_________________________________
C．________________________ D．
8. 已知函数 , 若对
恒成立, 则的最小值是（）
A． B． C．
D．
9. 已知函数的定义域为，对任意，有
,且，则不等式
的解集为（）
A．____________________________ B．
_________________________________ C．______________
D．
10. 一个几何体的三视图如图所示, 在该几何体的体积为（）
A． B． C．
D．
11. 已知椭圆的左、右焦点分别为、 ,点是椭圆与圆在第一象限的交点, 且点到的距离等于 .若椭圆上一动点到点与到点的距离之差的最大值为 ,则椭圆的离心率为（）
A． B． C．
D．
12. 已知函数是奇函数, 且函数有两个零点, 则实数的取值范围是（）
A．______________
B．________________________
C．______________
D．
二、填空题
13. 如果实数满足条件 ,则的最大值为
_________ ．
14. 甲、乙、丙三人将独立参加某项体育达标测试, 根据平时训练的经验, 甲、乙、丙三人能达标的达标的概率分别为 ,则三人中有人达标但没有全部达标的概率为
_________ ．
15. 在中, , 若 ,则
_________ ．
16. 已知正项数列的前项为 ,当时, ,
且 ,设，则 _________ ．
三、解答题
17. 在中, 角的对边分别为 ,且 . （1）若 ,求的值；
（2）若的面积为 ,求 .
18. 中学阶段是学生身体发育最重要的阶段, 长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康, 某校为了解甲、乙两班每周自我熬夜学习的总时长(单位: 小时), 分别从这两
个班中随机抽取名同学进步调查, 将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样
本数据，绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字, 叶表示个位数字), 如果学
生平均每周自我熬夜学习的总时长超过小时, 则称为“过度熬夜”.
（1）请根据样本数据, 估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；（2）从甲班的样本数据中有放回地抽取个数据, 求恰有个数据为“过度熬夜”的概率；
（3）从甲、乙两班的样本数据中各随机抽取名学生的数据, 记“过度熬夜”的学
生人数为 ,写的分布列和数学期望 .
19. 如图,在四棱锥中, 是边长为的正三角形, 底面
.
（1）求证：；
（2）若 ,求二面角的正弦值.
20. 焦点为的抛物线上有一动点 ,且点抛物线
的准线与点的距离之和的最小值为 .
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线交抛物线于不同的两点 ,若直线
分别交直线于两点, 求最小值时直线的方程.
21. 已知函数 .
（1）若在上是减函数, 求实数的最小值；
（2）若存在 ,使成立, 求实数的取值范围.
22. 选修4-1：几何证明选讲
如图, 已知为圆的直径, 为圆上一点, 连接并延长使 ,连接并延长交圆于点 ,过点作圆的切线, 切点为 .
（1）证明：；
（2）若 ,求的长度.
23. 选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合, 极轴与直角坐标系的轴的正半轴重合, 设点为坐标原点, 直线 (参数 )与曲线的极坐
标方程为 .
（1）求直线与曲线的普通方程；
（2）设直线与曲线相交于、两点, 证明： .
24. 选修 4-5 ：不等式选讲
已知函数 .
（ 1 ）当时 , 解不等式；
（ 2 ）若存在 , 使得成立 , 求实数的取值范围 .
参考答案及解析第1题【答案】
第2题【答案】
第3题【答案】
第4题【答案】
第5题【答案】
第6题【答案】
第7题【答案】
第8题【答案】
第9题【答案】
第10题【答案】
第11题【答案】
第12题【答案】
第13题【答案】
第14题【答案】
第15题【答案】
第16题【答案】
第17题【答案】
第18题【答案】
第19题【答案】
第20题【答案】
第21题【答案】
第22题【答案】
第23题【答案】
第24题【答案】。