公钥密码技术理论及应用介绍
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➢RSA是一种分组密码，其理论基础是一种特殊的可逆模幂运算 ，其安全性基于分解大整数的困难性；既可用于加密，又可用于 数字签名，已得到广泛采用；
➢RSA已被许多标准化组织(如ISO、ITU、IETF和SWIFT等)接纳 ；RSA-155(512 bit), RSA-140于1999年分别被分解；
Euler 函数
2. 数字签名问题。信息的电子化对密码学提出了新的要求：电子 报文和电子文件需要一种与书面材料中使用的签名等效的认证 手段。
公钥密码的初始化阶段
加密通信阶段
第三章 公钥密码技术 2
1. 公钥密码的概念 2. 公钥密码学的理论基础 3. 公钥密码算法 4. 密钥交换 5. 公钥密码算法的应用
计算复杂度与公钥密码
• 计算复杂度 • P问题和NP完全问题 • 密码与计算复杂度的关系
单向陷门函数
一个单向陷门函数 f (X ) 要满足下面的条件：它将一
个定义域映射到一个值域，使得每一个函数值都有一个
唯一的原象；同时，函数值计算很容易而逆计算是困难
的，但是如果知道某个陷门 t 后，逆计算是容易的。即
Y f (X)
➢ 因此，公钥 KU={e,n},私钥 KR={d,n},公钥算法必须满足: 1）有可 能找到 e、d、n的值，使得对所有M<n 有Med =
mod n； 2）对于所有M<n，要计算Me和Cd相对简单； 3）给定e和n时，判断出d是不可行的；
RSA算法的描述
➢ 如何找到： M edwk.baidu.com M mod n ？
参考欧拉定理
M k (n)1 M k ( p1)(q1)1 M mod n
可以得到：ed= k×φ(n)+1
也就是说： ed 1mod(n) d e1 mod(n)
RSA算法的实现
➢ 实现的步骤如下：Bob为实现者 (1) Bob寻找出两个大素数p和q (2) Bob计算出n=p×q 和φ(n)=(p-1)(q-1) (3) Bob选择一个随机数e (0<e< φ(n))，满足(e,φ(n))=1 (4) Bob使用辗转相除法计算d=e-1modφ(n) (5) Bob在目录中公开n和e作为公钥
第三章 公钥密码技术
第三章 公钥密码技术 1
1. 公钥密码的概念 2. 公钥密码学的理论基础 3. 公钥密码算法 4. 密钥交换 5. 公钥密码算法的应用
提出公钥密码的动因
1. 密钥分配问题。使用对称加密算法的通信双方要进行加密通信 时，需要通过秘密的安全信道协商加密密钥，而这种安全信道 如何实现呢？机械阶段
➢ 欧拉函数 (Euler’s totient function)，记为φ(n)，表示小 于n而且与n互素的正整数个数；
➢ 对于任一素数p，φ(p)=p-1; ➢ 对于两个不同的素数p和q，若n=p×q，
则φ(n)= φ(p×q)＝ φ(p)×φ(q)＝(p-1)×(q-1)；
Euler 函数举例
公钥算法的种类很多，具有代表性的三种密码： ❖ 基 于 离 散 对 数 难 题 （ DLP） 的 算 法 体 制 ， 例 如 Diffie-
Hellman 密钥交换算法； ❖ 基于整数分解难题（IFP）的算法体制，例如RSA算法；
❖ 基于椭圆曲线离散对数难题（ECDLP）的算法体制；
RSA算法
➢麻省理工学院的Ron Rivest, Adi Shamir和Len Adleman于 1977年研制，并于1978年首次发表；
加密：（19）5 mod 119 = 66 解密：（66）77 mod 119 = 19
RSA算法的安全性分析
➢ 密码分析者攻击RSA体制的关键在于分解n,若分解成功使n=p× 则可以算出φ(n)＝（p-1)×(q-1)，然后由公开的e，解出秘密的d;
➢ 若使RSA安全，p与q必为足够大的素数，使分析者没有办法在 多项式时间内将n分解出来,建议选择p和q大约是100位的十进制 素数,模n的长度要求至少是512比特;
容易
X f 1(Y )
困难
知道陷门 t 后， X ft1(Y )
容易
单向陷门函数的数学问题
1. 分解整数问题。 2. 离散对数问题。 3. RSA问题。
第三章 公钥密码技术 3
1. 公钥密码的概念 2. 公钥密码学的理论基础 3. 公钥密码算法 4. 密钥交换 5. 公钥密码算法的应用
公开密钥算法
设p=3, q=5, 那么 n=p×q=15； 1）小于15而且与15互素的正整数是： {1，2，4，7，8，11，13，14}
因此， φ（15）＝8；
2）φ（15）=（3-1）*（5-1）=8
欧拉定理
➢ 对于任何互素的整数a和n， a(n)(m 1od n)， 或者写作 a(na)(1mod n)
➢ 密码分析者攻击RSA体制的关键点在于如何分解n。若分解成 使n=p×q，则可以算出φ(n)＝（p-1)(q-1)，然后由公开的e 解出秘密的d
RSA算法举例
➢ 设 p=7, q=17, n=7*17=119; 参数T={n=119}; ➢ φ(n)=(7-1)(17-1)=96; ➢ 选择e=5, gcd(5,96)=1; ➢ 计算d, d*e =1 mod 96; d=77; 因为77×5＝385＝4×96＋1 设:明文m=19
RSA算法的安全性分析
➢ EDI攻击标准使用的RSA算法中规定n的长度为512至1024比 特位之间，但必须是128的倍数;
➢ 国际数字签名标准ISO/IEC 9796中规定n的长度位512比特位 ➢ 为了提高加密速度，通常取e为特定的小整数,如EDI国际标准
中规定 e＝216＋1;ISO/IEC9796中甚至允许取e＝3;这时加 密速度一般比解密速度快10倍以上;
➢ 给 定 两 个 素 数 p 和 q， 以 及 整 数 n=p×q， 和 m， 其 中 0<mm<n(n，)1 则 m( p1)(q1)1 m mod n mk (n)1 mk ( p1)(q1)1 mmod n
RSA算法的描述
➢ 对于明文分组M和密文分组C，加密解密形式分别为： C = Me mod n M = Cd mod n = (Me)d mod n = Med mod n
➢RSA已被许多标准化组织(如ISO、ITU、IETF和SWIFT等)接纳 ；RSA-155(512 bit), RSA-140于1999年分别被分解；
Euler 函数
2. 数字签名问题。信息的电子化对密码学提出了新的要求：电子 报文和电子文件需要一种与书面材料中使用的签名等效的认证 手段。
公钥密码的初始化阶段
加密通信阶段
第三章 公钥密码技术 2
1. 公钥密码的概念 2. 公钥密码学的理论基础 3. 公钥密码算法 4. 密钥交换 5. 公钥密码算法的应用
计算复杂度与公钥密码
• 计算复杂度 • P问题和NP完全问题 • 密码与计算复杂度的关系
单向陷门函数
一个单向陷门函数 f (X ) 要满足下面的条件：它将一
个定义域映射到一个值域，使得每一个函数值都有一个
唯一的原象；同时，函数值计算很容易而逆计算是困难
的，但是如果知道某个陷门 t 后，逆计算是容易的。即
Y f (X)
➢ 因此，公钥 KU={e,n},私钥 KR={d,n},公钥算法必须满足: 1）有可 能找到 e、d、n的值，使得对所有M<n 有Med =
mod n； 2）对于所有M<n，要计算Me和Cd相对简单； 3）给定e和n时，判断出d是不可行的；
RSA算法的描述
➢ 如何找到： M edwk.baidu.com M mod n ？
参考欧拉定理
M k (n)1 M k ( p1)(q1)1 M mod n
可以得到：ed= k×φ(n)+1
也就是说： ed 1mod(n) d e1 mod(n)
RSA算法的实现
➢ 实现的步骤如下：Bob为实现者 (1) Bob寻找出两个大素数p和q (2) Bob计算出n=p×q 和φ(n)=(p-1)(q-1) (3) Bob选择一个随机数e (0<e< φ(n))，满足(e,φ(n))=1 (4) Bob使用辗转相除法计算d=e-1modφ(n) (5) Bob在目录中公开n和e作为公钥
第三章 公钥密码技术
第三章 公钥密码技术 1
1. 公钥密码的概念 2. 公钥密码学的理论基础 3. 公钥密码算法 4. 密钥交换 5. 公钥密码算法的应用
提出公钥密码的动因
1. 密钥分配问题。使用对称加密算法的通信双方要进行加密通信 时，需要通过秘密的安全信道协商加密密钥，而这种安全信道 如何实现呢？机械阶段
➢ 欧拉函数 (Euler’s totient function)，记为φ(n)，表示小 于n而且与n互素的正整数个数；
➢ 对于任一素数p，φ(p)=p-1; ➢ 对于两个不同的素数p和q，若n=p×q，
则φ(n)= φ(p×q)＝ φ(p)×φ(q)＝(p-1)×(q-1)；
Euler 函数举例
公钥算法的种类很多，具有代表性的三种密码： ❖ 基 于 离 散 对 数 难 题 （ DLP） 的 算 法 体 制 ， 例 如 Diffie-
Hellman 密钥交换算法； ❖ 基于整数分解难题（IFP）的算法体制，例如RSA算法；
❖ 基于椭圆曲线离散对数难题（ECDLP）的算法体制；
RSA算法
➢麻省理工学院的Ron Rivest, Adi Shamir和Len Adleman于 1977年研制，并于1978年首次发表；
加密：（19）5 mod 119 = 66 解密：（66）77 mod 119 = 19
RSA算法的安全性分析
➢ 密码分析者攻击RSA体制的关键在于分解n,若分解成功使n=p× 则可以算出φ(n)＝（p-1)×(q-1)，然后由公开的e，解出秘密的d;
➢ 若使RSA安全，p与q必为足够大的素数，使分析者没有办法在 多项式时间内将n分解出来,建议选择p和q大约是100位的十进制 素数,模n的长度要求至少是512比特;
容易
X f 1(Y )
困难
知道陷门 t 后， X ft1(Y )
容易
单向陷门函数的数学问题
1. 分解整数问题。 2. 离散对数问题。 3. RSA问题。
第三章 公钥密码技术 3
1. 公钥密码的概念 2. 公钥密码学的理论基础 3. 公钥密码算法 4. 密钥交换 5. 公钥密码算法的应用
公开密钥算法
设p=3, q=5, 那么 n=p×q=15； 1）小于15而且与15互素的正整数是： {1，2，4，7，8，11，13，14}
因此， φ（15）＝8；
2）φ（15）=（3-1）*（5-1）=8
欧拉定理
➢ 对于任何互素的整数a和n， a(n)(m 1od n)， 或者写作 a(na)(1mod n)
➢ 密码分析者攻击RSA体制的关键点在于如何分解n。若分解成 使n=p×q，则可以算出φ(n)＝（p-1)(q-1)，然后由公开的e 解出秘密的d
RSA算法举例
➢ 设 p=7, q=17, n=7*17=119; 参数T={n=119}; ➢ φ(n)=(7-1)(17-1)=96; ➢ 选择e=5, gcd(5,96)=1; ➢ 计算d, d*e =1 mod 96; d=77; 因为77×5＝385＝4×96＋1 设:明文m=19
RSA算法的安全性分析
➢ EDI攻击标准使用的RSA算法中规定n的长度为512至1024比 特位之间，但必须是128的倍数;
➢ 国际数字签名标准ISO/IEC 9796中规定n的长度位512比特位 ➢ 为了提高加密速度，通常取e为特定的小整数,如EDI国际标准
中规定 e＝216＋1;ISO/IEC9796中甚至允许取e＝3;这时加 密速度一般比解密速度快10倍以上;
➢ 给 定 两 个 素 数 p 和 q， 以 及 整 数 n=p×q， 和 m， 其 中 0<mm<n(n，)1 则 m( p1)(q1)1 m mod n mk (n)1 mk ( p1)(q1)1 mmod n
RSA算法的描述
➢ 对于明文分组M和密文分组C，加密解密形式分别为： C = Me mod n M = Cd mod n = (Me)d mod n = Med mod n