2012年中考数学专题突破与强化训练专题4 操作探究型问题(40张)

合集下载

2012年全国中考数学试题分类汇编专题☆开探究型问题(二次函数)

1. （2012浙江衢州12分）如图，把两个全等的Rt △AOB 和Rt △COD 分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB 、OD 在x 轴上．已知点A （1，2），过A 、C 两点的直线分别交x 轴、y 轴于点E 、F ．抛物线y =ax 2+bx +c 经过O 、A 、C 三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P 为线段OC 上一个动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，问是否存在这样的点P ，使得四边形ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若△AOB 沿AC 方向平移（点A 始终在线段AC 上，且不与点C 重合），△AOB 在平移过程中与△COD 重叠部分面积记为S ．试探究S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．2. （2012浙江义乌12分）如图1，已知直线y =kx 与抛物线2422y=x +x 273交于点A （3，6）．（1）求直线y =kx 的解析式和线段OA 的长度；（2）点P 为抛物线第一象限内的动点，过点P 作直线PM ，交x 轴于点M （点M 、O 不重合），交直线OA 于点Q ，再过点Q 作直线PM 的垂线，交y 轴于点N ．试探究：线段QM 与线段QN 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点B 为抛物线上对称轴右侧的点，点E 在线段OA 上（与点O 、A 不重合），点D （m ，0）是x 轴正半轴上的动点，且满足∠BAE =∠BED =∠AOD ．继续探究：m 在什么范围时，符合条件的E 点的个数分别是1个、2个？3.（2012江苏苏州10分）如图，已知抛物线()211by=x b+1x+444-（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C .⑴点B 的坐标为 ▲ ，点C 的坐标为 ▲ （用含b 的代数式表示）；⑵请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由.4.（2012福建龙岩）在平面直角坐标系xoy 中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB 在x 轴上，直角顶点C 在y 轴正半轴上，已知点A （－1，0）．（1）请直接写出点B 、C 的坐标：B （，）、C （，）；并求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF （其中∠EDF =90°，∠DEF =60°），把顶点E 放在线段AB 上（点E 是不与A 、B 两点重合的动点），并使ED 所在直线经过点C ．此时，EF 所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M ．①设AE =x ，当x 为何值时，△OCE ∽△OBC ； ②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P 使△PEM 是等腰三角形，若存在，请求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．xyPOC BA5. （2012湖北荆门）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=13，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．6.（2012湖南永州）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），l为过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH⊥l，H为垂足．（1）求二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的解析式；（2）请直接写出使y＜0的对应的x的取值范围；（3）对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；（4）试问是否存在实数m可使△POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．7. （2012四川广安）如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB ⊥x 轴于点B ，AB =3，tan ∠AOB =34，将△OAB 绕着原点O 逆时针旋转90°，得到△OA 1B 1；再将△OA 1B 1绕着线段OB 1的中点旋转180°，得到△OA 2B 1，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）经过点B 、B 1、A 2．（1）求抛物线的解析式．（2）在第三象限内，抛物线上的点P 在什么位置时，△PBB 1的面积最大？求出这时点P 的坐标．（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q ，使点Q 到线段BB 1的距离为22？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．8. （2012四川德阳）在平面直角坐标xOy 中，（如图）正方形OABC 的边长为4，边OA 在x 轴的正半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，点D 是OC 的中点，BE ⊥DB 交x 轴于点E .⑴求经过点D 、B 、E 的抛物线的解析式；⑵将∠DBE 绕点B 旋转一定的角度后，边BE 交线段OA 于点F ，边BD 交y 轴于点G ，交⑴中的抛物线于M （不与点B 重合），如果点M 的横坐标为512，那么结论OF =21DG 能成立吗？请说明理由. ⑶过⑵中的点F 的直线交射线CB 于点P ，交⑴中的抛物线在第一象限的部分于点Q ，且使△PFE 为等腰三角形，求Q 点的坐标.9. （2012青海西宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，O 在x 轴的正半轴上，已知A (0，4)、C (5，0)．作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接CD ，过点D 作DE ⊥CD 交OA 于点E ． (1)求点D 的坐标； (2)求证：△ADE ≌△BCD ；(3)抛物线y ＝ 4 5x 2－ 245x ＋4经过点A 、C ，连接AC ．探索：若点P 是x 轴下方抛物线上一动点，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点M ．是否存在点P ，使线段MP 的长度有最大值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10. （2012四川绵阳）如图1，在直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，二次函数y =ax 2+16x +c 的图象F 交x 轴于B 、C 两点，交y 轴于M 点，其中B （-3，0），M （0，-1）。

2012年中考数学复习考点解密规律探索性问题(含解析)

2012年中考数学二轮复习考点解密规律探索性问题第一部分讲解部分一．专题诠释规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。

这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。

其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。

所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。

二．解题策略和解法精讲规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律．它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．题型可涉及填空、选择或解答．。

三．考点精讲考点一：数与式变化规律通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式。

例1. 有一组数：13,25579,,101726L ，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n （n 为正整数）个数为．分析：观察式子发现分子变化是奇数，分母是数的平方加1．根据规律求解即可．解答：解：21211211⨯-=+； 23221521⨯-=+； 252311031⨯-=+；272411741⨯-=+； 219251265+⨯-=；…； ∴第n （n 为正整数）个数为2211n n -+．点评：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．此题的规律为：分子变化是奇数，分母是数的平方加1．例2（2010广东汕头）阅读下列材料：1×2 ＝31(1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝ 31(2×3×4－1×2×3)， 3×4 ＝ 31(3×4×5－2×3×4)，由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝31×3×4×5 ＝ 20．读完以上材料，请你计算下列各题：(1) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）；(2) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋n ×(n ＋1) ＝ ______________；(3) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ ______________．分析：仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行简化计算，从而得到公式)1(433221+⨯++⨯+⨯+⨯n n Λ [])1()1()2)(1()321432()210321(31+--++++⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n Λ )2)(1(31++=n n n ；照此方法，同样有公式： )2()1(543432321+⨯+⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n Λ[])2()1()1()3()2()1()43215432()32104321(41+⨯+⨯⨯--+⨯+⨯+⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n n n Λ)3)(2)(1(41+++=n n n n ．解：（1）∵1×2 ＝31(1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝ 31(2×3×4－1×2×3)， 3×4 ＝ 31(3×4×5－2×3×4)，…10×11 ＝31(10×11×12－9×10×11)， ∴1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11＝31×10×11×12＝440．（2）)2)(1(31++n n n ．（3）1260．点评：本题通过材料来探索有规律的数列求和公式，并应用此公式进行相关计算．本题系初、高中知识衔接的过渡题，对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要求．如果学生不掌握这些数列求和的公式，直接硬做，既耽误了考试时间，又容易出错．而这些数列的求和公式的探索，需要认真阅读材料，寻找材料中提供的解题方法与技巧，从而较为轻松地解决问题．例3（2010山东日照，19，8分）我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质？完成下列填空：一般地，如果⎩⎨⎧>>dc b a , 那么a +c b +d ．（用“>”或“<”填空）你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？分析：可以用不等式的基本性质和不等式的传递性进行证明。

2012年中考数学专项突破运动变化型

2012年中考数学专项突破运动变化型一、真题热身1．(2011．河南)如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AD ＝4，连接BD ，BD ⊥CD ，∠ADB ＝∠C ．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为_______．2．（2010．泰州）如图，在8×6的网格图（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中，⊙A 的半径为2个单位长度，⊙B 的半径为1个单位长度，要使运动的⊙B 与静止的⊙A 内切，应将⊙B 由图示位置向左平移_______个单位长度．3．（2011．襄阳）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝6，BC ＝16，E 是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动；点Q 同时以每秒2个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动．当运动时间t ＝_______秒时，以P 、Q 、E 、D 为顶点的四边形是平行四边形．二、要点精讲1．运动型问题是指以几何知识和图形为背景，点或线在其中运动的一类问题，常见的形式：点在线段或弧线上运动，直线、曲线在图形中平移、旋转，抛物线的平移等．2．解决这类问题的基本策略：①“动”中求“静”，“一般”中见 “特殊”，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性；②以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量之间的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．三、典例设计考点一点在图形上运动形成的函数关系与图象例1 （2011．湖州）如图，A 、B 是反比例函数y ＝k x(k>0，x >0)图象上的两点，BC ∥x 轴，交y 轴于点C ．动点P 从坐标原点O 出发，沿O→A →B →C 匀速运动，终点为C ．过点P 作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，垂足分别为M 、N ．设四边形OMPN 的面积为S ，点P 运动的时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为 ( )解析本题应分三种情形来讨论，第一种情形就是点P 在OA 上运动时，其面积随时间增长而增大；当点P 在反比例函数上运动时，根据反比例函数的几何意义，其面积应是不变的；当点P 在BC 上运动时，其面积是逐渐变小的．考点二一个图形整体运动问题例2 （2010．兰州）如图①，矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD ＝2，AB ＝3；抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过坐标原点O 和x 轴上另一点E(4，0)．(1)当x 取何值时，该抛物线有最大值，最大值是多少？(2)将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图①所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度从点A 出发向B 匀速移动，设它们运动的时间为t 秒(0≤t ≤3)，直线AB 与该抛物线的交点为N （如图②所示）．①当t ＝114时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由； ②以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积是否可能为5．若有可能，求出此时N 点的坐标；若无可能，请说明理由．解析 (1)求二次函数解析式，配方或代入公式求出最大值；(2)①当t ＝114时，求点P 的坐标及直线ME 的函数解析式； ②以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形为三角形与梯形两类，假设面积是5，列关于t 的方程，判断方程解的情况并求出t 的值．解题收获本题是矩形和点同时运动的综合问题，每一次思考都要同时考虑两个运动结果．考点三多点运动问题例3 （2011．聊城）如图①，在矩形ABCD 中，AB ＝12 cm ，BC ＝8 cm ，点E 、F 、G 分别从点A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E 、G 的速度均为2 cm ／s ，点F 的速度为4 cm ／s ，当点F 追上点G(即点F 与G 点重合)时，三个点随之停止移动，设移动开始第t 秒时，△EFG 的面积为S(cm 2)．(1)当t ＝1时，S 的值是多少？(2)写出S 和t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围；(3)若点F 在矩形的边BC 上移动时，当t 为何值时，以E 、B 、F 为顶点的三角形与以F 、C 、G 为顶点的三角形相似？请说明理由．解析(1)根据移动时间和移动速度，可以求得BE 、BF 、FC 和CG 的长度，计算出梯形EBCG 和△BEF 、△FCG 的面积，从而求出△EFG 的面积S(cm 2)的值；(2)由题意知移动时间t 的取值范围是0<t ≤4．①当0<t ≤2时，图形如图①，此时可以用含有t 的代数式表示出BE 、BF 、FC 和CG 的长度，进而表示△EFG 的面积S ；②当2<t ≤4时，图形如图②，此时可以用含有t 的代数式表示出FG 的长度，从而表示出△EFG 的面积S 的值；(3)用含有t 的代数式表示出BE 、BF 、FC 和CG 的长度，由于两三角形对应关系的不确定，需要分两种情况进行讨论．解题收获本题涉及三个点的运动，需要综合运用相似等知识以及分类讨论的数学思想，意在考查学生逻辑推理能力、探究发现能力、灵活利用数学知识解决问题的能力．考点四点与直线的协调运动问题例4 （2010．无锡）如图，已知点A（63，0）、B(0，6)，经过A、B的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动，设它们运动的时间为t秒．(1)用含t的代数式表示点P的坐标；(2)过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥x轴于D，问：t为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时⊙P与直线CD的位置关系．解析本题以“动直线、动点”为背景，考查点的坐标与该点到坐标轴的距离的关系、切线的性质、直线与圆的位置关系，涉及数形结合思想、分类讨论思想以及方程思想，综合性强，属难题．解题的关键是将图形静止于题目所要求的特殊情形，找出等量关系列方程求解．解题收获直线l与点P同时运动时，图中点的坐标、线段长度都要用代数式表示，这个体现了“以静制动”的思想．四、反馈训练1．（2011．大庆）如图，已知点A(1，1)、B(3，2)，且P为x轴上一动点，则△ABP周长的最小值为_______．2．（2011．日照）如图，正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM＝_______时，四边形ABCN的面积最大．3．（2010．成都）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2 mm／s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4 mm／s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过_______秒时，四边形APQC的面积最小．五、习题精练1．（2010．惠安）如图，正方形ABCD的边长是3 cm，一个边长为1 cm的小正方形沿着正方形ABCD 的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是下图中的( )2．（2011．大连）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为(0，2)、（－1，0）、(4，0)．P是线段OC上的一动点（点P与点O、C不重合），过点P的直线x＝t与AC相交于点Q．设四边形ABPQ 关于直线x＝t的对称图形与△QPC重叠部分的面积为S．(1)点B关于直线x＝t的对称点B'的坐标为_______；(2)求S与t之间的函数解析式．3．（2011．宿迁）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ ＝t(0≤t≤2)，线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．(1)当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；(2)顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数解析式，并求S 的最小值．4．（2011．无锡）如图，已知O(0，0)、A(4，0)、B(4，3)．动点P从O点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB的边OA、AB、BO作匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动．若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动．(1)当P在线段OA上运动时，求直线l与以点P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围；(2)当P在线段AB上运动时，设直线l分别与OA、OB交于C、D，试问：四边形CPBD是否可能为菱形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，使得四边形CPBD 是菱形．参考答案【真题热身】1．4 2．4或6 3．2或14 3【典例设计】1．A 2．(1)当x＝2时，该抛物线的最大值是4 (2)①点P不在直线ME上②可能(2，4) 3．(1)S＝－8t＋32(2<t≤4) (3)t＝23s或32s4．(1)P（32t，6－32t）(2)相交【反馈训练】1．5＋132．2 3．3 【习题精练】1．A 2．(1)B' (2t＋1，0) (2)S＝14t2－2t＋4 3．(1)S＝12t2－t＋52．S的最小值为24．(1)34<t<54(2)不可能是菱形只要直线l比点P晚出发524秒，则当点P运动4124秒时，四边形CPBD就是菱形。

2012年中考数学复习考点跟踪训练40 探索型问题

考点跟踪训练40 探索型问题一、选择题1．(2010·株洲)如图所示的正方形网络中，网格线的交点称为格点，已知A 、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是( )A．6 B．7 C．8 D．9答案 C解析如图，可知符合题意的点C有8个．2．(2010·重庆)有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是( )A．图①B．图②C．图③D．图④答案 B解析本题考查分析想象能力．由题意可知，45°×8＝360°，当转动的矩形绕中心旋转8次后回到原位置，据此可得第10次旋转后的图形与图②相同．3.若正比例函数的图象经过点(－1,2)，则这个图象必经过点()A．(1,2) B．(－1，－2)C．(2，－1) D．(1，－2)答案 D解析设y＝kx的图象过点(－1,2)，则2＝－k，k＝－2，y ＝－2x，又当x＝1时，y＝－2×1＝－2，选D.4．如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．图中，第1个黑色L形由3个正方形组成，第2个黑色L 形由7个正方形组成，…，那么第6个黑色L形的正方形个数是( )A．22 B．23 C．24 D．25答案 B解析黑色.1234……n371115……4n－1当n＝65．(2011·潜江)如图，已知直线l：y＝3 3x，过点A(0,1)作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为( )A．(0,64) B．(0,128) C．(0,256) D．(0,512)答案 C解析易求A(0,1)，A1(0,4)，A2(0,16)……，而21＝1,22＝4,24＝16……，所以28＝256，点A4的坐标为(0,256)．二、填空题6．(2010·鄂尔多斯)如图，用小棒摆出下面的图形，图形(1)需要3根小棒，图形( 2)需要7根小棒，……，照这样的规律继续摆下去，第n个图形需要__________根小棒(用含n的代数式表示)．答案4n－1解析图形(1)有小棒3＝4×1－1；图形(2)有小棒7＝4×2－1；图形(3)有小棒11＝4×3－1；……；图形(n)有小棒4×n－1，即4n－1.7．(2011·肇庆)如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n(n是大于0的整数)个图形需要黑色棋子的个数是 __________.答案n(n＋2)解析第1个图形需黑色棋子2×3－3个，第2个图形需黑色棋子3×4－4个，……，则第n个图形需黑色棋子个数是(n＋1)(n＋2)－(n＋2)＝n2＋2n＝n(n＋2)．8．(2010·宿迁)如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为________．答案32解析如图，设C′B′与AB交点为G′，与AD交点为H′，FC′与AD交点为W′，则这三个点关于折痕EF对称的点分别为G、H、W，由翻折的性质“对应边相等”，得BE＝EB′，BG＝B′G′，GH＝G′H′，HC＝H′C′，CW＝C′W′，FW ＝FW ′.∴①、②、③、④四个三角形的周长之和等于正方形的周长＝4×8＝32.9．(2011·菏泽)填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值是______．答案 158解析根据左上角0、2、4、6、8、10可知最后一个正方形是第6个正方形，阴影部分应该是12、14，所以m ＝12×14－10＝158.10．(2011·东莞)如图(1) ，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形A FBDCE ，它的面积为1，取△ABC 和△DEF 各边中点，连接成正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1，如图(2)中阴影部分；取△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1各边中点，连接成正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2，如图(3) 中阴影部分；如此下去，则正六角星形A n F n B n D n C n E n 的面积为_______．答案 14n解析正六角星形AFBDCE 与正六角形A 1F 1B 1D 1C 1E 1相似，且相似比为2，所以正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1的面积是1×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，依此类推，正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2的面积是14×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝142，……，所以正六角星形A n F n B n D n E n 的面积是14n .三、解答题11．(2011·成都)设S 1＝1＋112＋122，S 2＝1＋122＋132，S 3＝1＋132＋142，…， S n ＝1＋1n2＋错误!.设S ＝错误!＋S2＋…＋Sn ，求S 的值 (用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．解 S n ＝1＋1n2＋错误!＝1＋错误!2＋2×错误!＝1＋错误!2＋2×错误!＝错误!2.∴S ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋11×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13×4＋…＋错误!＝n ×1＋⎣⎢⎡11×2＋12×3＋13×4＋… 错误!＝n ＋错误!＝n ＋错误!＝错误!＝错误!.12．(2011·鸡西)在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ，作EF ⊥AB 交BD 于点F ，取FD 的中点G ，连接EG 、CG ，如图1，易证EG ＝CG 且EG ⊥CG .(1)将△BEF 绕点B 逆时针旋转90°，如图2，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想；(2)将△BEF 绕点B 逆时针旋转180°，如图3，则线段EG 和C G 又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．解 (1)EG ＝CG ，EG ⊥CG .(2)EG ＝CG ，EG ⊥CG .证明：如图，延长FE 交DC 延长线于M ，连接MG . ∵∠AEM ＝90°，∠EBC ＝90°，∠BCM ＝90°，∴四边形BEMC 是矩形．∴BE ＝CM ，∠EMC ＝90°.又∵BE＝EF，∴EF＝CM.∵∠EMC＝90°，FG＝DG，∴MG＝12FD＝FG.∵BC＝EM，BC＝CD，∴EM＝CD.又∵EF＝CM，∴FM＝DM.∴∠F＝45°.又∵FG＝DG，∴∠CMG＝12∠EMC＝45°.∴∠F＝∠GMC.∴△GFE≌△GMC.∴EG＝CG，∠FGE＝∠MGC.∵∠FMC＝90°，MF＝MD，FG＝DG，∴MG⊥FD，∴∠FGE＋∠EGM＝90°，∴∠MGC＋∠EGM＝90°，即∠EGC＝90°.∴EG⊥CG.13．(2011·苏州)已知二次函数y＝a(x2－6x＋8)(a>0)的图象与x轴分别交于点A 、B，与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点．(1)如图①，连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O′恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；(2)如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是(4,4)、(4,3)，边HG位于边EF的右侧．小林同学经过探索后发现一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段P A、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段不能构成平行四边形)．”若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；(3)如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段P A、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能构成平行四边形)？请说明理由．解(1)令y＝0，由a(x2－6x＋8)＝0解得x1＝2，x2＝4；令x＝0，解得y＝8a.∴点A、B、C的坐标分别是(2,0)、(4,0)、(0,8a)，∴OA＝2，该抛物线对称轴为直线x＝3.如图③，设抛物线对称轴与x轴的交点为M，则AM＝1.由题意得O′A＝OA＝2，∴O′A＝2AM，∴∠O′AM＝60°.∴∠OAC＝∠O′AC＝60°.∴OC＝3·AO＝2 3，即8a＝2 3，∴a＝3 4.(2)若点P是边EF或边FG上的任意一点，结果同样成立．(i)如图④，设P是边EF上的任意一点(不与点E重合)，连接PM.∵点E(4,4)、F(4,3)与点B(4,0)在一直线上，点C在y轴上，∴PB＜4，PC≥4，∴PC＞PB.又∵PD＞PM＞PB，P A＞PM＞PB，∴PB≠P A，PB≠PC，PB≠PD，∴此时线段P A、PB、PC、PD不可能构成平行四边形．(ii)设P是边FG上的任意一点(不与点G重合)，∵点F的坐标是(4,3)，∴点G的坐标是(5,3)．∴FB＝3，GB＝10，∴3≤PB＜10.∵PC≥4，∴PC＞PB.又∵PD＞PM＞PB，P A＞PM＞PB，∴PB≠P A，PB≠PC，PB≠PD，∴此时线段P A、PB、PC、PD不可能构成平行四边形．(3)存在一个正数a，使得四条线段P A、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能够成平行四边形)．如图⑤，∵点A、B是抛物线与x轴的交点，点P在抛物线对称轴上，∴P A＝PB.∴当PC＝PD时，线段P A、PB、PC、PD能构成平行四边形．∵点C的坐标是(0,8a)，点D的坐标是(3，－a)，点P的坐标是(3，t)，∴PC2＝32＋(t－8a)2，PD2＝(t＋a)2，由PC＝PD得PC2＝PD2，∴32＋(t－8a)2＝(t＋a)2，整理得7a2－2ta＋1＝0，∴△＝4t2－28.∵t是大于3的常数，∴△＝4t2－28＞0，∴方程7a2－2ta＋1＝0有两个不相等的实数根a＝2t±4t2－2814＝t±t2－77，显然，a＝t＋t2－77＞0，满足题意．∴当t是一个大于3的常数时，存在一个正数a＝t＋t2－77，使得线段P A、PB、PC、PD能构成平行四边形．。

中考数学模拟试题开放探究型问题

开放探究型问题一、选择题1、（2012年中考数学新编及改编题试卷）图(1)、图(2)、图(3)分别表示甲、乙、丙三人由A 地到B 地的路线图。

已知；甲的路线为：A →C →B 。

乙的路线为：A →D →E →F →B ，其中E 为AB 的中点。

丙的路线为：A →G →H →K →B ，其中H 在AB 上，且AH>HB 。

若符号「→」表示「直线前进」，则根据图(1)、图(2)、图(3)的数据，则三人行进路线长度的大小关系为（）(A) 甲=乙=丙 (B) 甲<乙<丙 (C) 乙<丙<甲 (D )丙<乙<甲二、填空题1. （2012年江苏南通三模）一元二次方程有一根为1，此方程可以是 ▲ （写出一个即可）. 答案：x 2-x=0等.2. （2012年江苏南通三模）小明、小亮各有一段长为40cm 的铁丝，将将铁丝首尾相连围成一个长方形．（1）请问他俩围成长方形一定全等吗？（2）如果围成的长方形一定全等，则长方形的长和宽分别是多少？如果围成的长方形不一定全等，请再添加一个条件，使得他俩围成的长方形全等，并求出长方形的长和宽（写出解题过程）．答案：24．（1）不一定（2）略3、（盐城地区2011～2012学年度适应性训练）如图，已知抛物线y =x 2+bx +c 经过点(0，-3)，请你确定一个b 的值，使该抛物线与x 轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间．你所确定的b 的值是 ▲ （写出一个值即可）．CDG50︒F60︒70︒50︒ 60︒70︒ 50︒ 60︒70︒ 50︒60︒70︒ 50︒ 60︒70︒ K图(1)图(2)图(3)-331O yx答案如-1，0(不惟一，在-2＜b ＜2内取值均可）三、解答题1、(2012年香坊区一模) (本题l0分)已知：在∆ABC 中，AB=AC ，点P 是BC 上一点，PC=2PB,连接AP ，作∠APD=∠B 交AB 于点D 。

2012年中考几何探索(有答案)

数学中考中的几何探索题（教师版）1．（2012江苏盐城，25，10分）如图①所示，已知A、B为直线上两点，点C为直线上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥ 于点D1，过点E作EE1⊥ 于点E1．（1）如图②，当点E恰好在直线的上方时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB（2）在图①中，当D、E两点都在直线的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由．（3）如图③，当点E在直线的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系（不需证明）．【解析】本题考查了正方形和全等三角形的判定和性质．利用两三角形全等后的对应边相等与对应角相等,是解决本题的关键（1）图②是特殊位置，直接证明三角形全等解决；（2）先猜想三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，然后根据图②启示，构造两对全等三角形证明.（3）类比归纳、猜想出结论.【答案】（1）∵四边形CADF和四边形CBEG都是正方形，且DD1⊥ ，∴∠DAC=∠ABC=∠DD1A=900，又∵∠ADD1+∠DAD1=900，而∠DAD1+∠ABC=900，∴∠ADD1=∠ABC，在Rt△DD1A和在Rt△BEE1中，∵∠ABC=∠DD1A，∠ADD1=∠BAC，AD=AC，∴△DD1A≌△BEE1，∴DD1=AB．(2)AB=DD1+EE1．理由如下：过C作CM⊥AB于M，易得：△DD1A≌△ACM，∴DD1=AM，同理：△BCM≌△EBE1，∴EE1=BM，∴AB=AM+BM= DD1+EE1．(3)AB=DD1-EE1．【点评】本题是对平面几何推理证明的考查，证明两条线段相等或两角相等，常用的方法第25题图EMFDCBA就是先证得三角形全等，利用全等形的性质，推出结论，考查了同学们从特殊到一般的推理过程.2. （2012•重庆）已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E ，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC 的长；（2）求证：AM=DF+ME ．考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：综合题．分析：（1）根据菱形的对边平行可得AB ∥CD ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD ，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM ，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE ，然后求出CD 的长度，即为菱形的边长BC 的长度；（2）先利用“边角边”证明△CEM 和△CFM 全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF ，延长AB 交DF 于点G ，然后证明∠1=∠G ，根据等角对等边的性质可得AM=GM ，再利用“角角边”证明△CDF 和△BGF 全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF ，最后结合图形GM=GF+MF 即可得证．解答：（1）解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ， ∴∠1=∠ACD ， ∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD ， ∵ME ⊥CD ， ∴CD=2CE ， ∵CE=1， ∴CD=2， ∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=1 2 BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵ CE=CF ∠ACB=∠ACD CM=CM ，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵∠G=∠2 ∠BFG=∠CFD(对顶角相等) BF=CF ，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形3.( 2012年浙江省宁波市,12,3)勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中，就有“若勾三，股四，则弦五”记载，如图1是由边长相等的小正形和直角三角形构成的可以用其面积关系验证勾股定理。

2012中考数学实验操作题分析

（四）等积变换问题
这是新课标在重视几何变换的前提下与实际问题相结合而形成的问题，它主要体现在以下问题中： • 图形在不改变大小的情况下的移动；
• 图形的分割与组合； • 图形的拼接.
（06年北京市中考22题）请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x＞0）．依题意， 2 割补前后图形的面积相等，有 x 5，得x 5 ．由此可知新正方形的边长等于两个正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形．
A M P Q B C B D A M P Q C
30°
D
N
N
发现图中隐含的轴对称关系是关键！
翻折就出轴对称，折痕就是对称轴，联系特殊三角形，解题方法记心中
4．如题图2-3-1，在2×2的方格纸上，有一个格点△ABC（即顶点均在格点上的三角形，下同），则在图中可以找到个三角形，使其与△ABC成轴对称.
2. 有一张矩形纸片ABCD，AB=2.5，AD=1.5，将纸
片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将 △ADE以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F （如下图），
A B A
求CF 的长.
D
B
D
B F
A
D
C
E
C
E
C
联系翻折变换，作到会看、会计算
3. 边长为1的正方形ABCD中，M、N分别是AD、 BC的中点，将点C折至MN上落在点P的位置，折痕为BQ，连结PQ . （1）求线段MP的长；（2）求线段PQ的长.

2012年中考数学专项突破操作设计题

2012年中考数学专项突破操作设计题一、真题热身1．（2011．滨州）如图，在一张△ABC纸片中，∠C＝90°，∠B＝60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形，以上图形一定能被拼成的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2010．宁德）如图，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形，那么展开后三角形的周长是( )A．2＋10B．2＋210C．12 D．183．（2011．盐城）将两个形状相同的三角尺放置在一张矩形纸片上，按如图所示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是_______．二、要点精讲1．折纸与裁剪得到的图形一般具有轴对称的性质，要根据轴对称的性质解决．2．图案设计一般在网格中进行，根据网格格点与每一个正方形的边长，在网格范围内设计．3．实物测量方案的选择要有利于测量以后的计算．建立一个直角三角形或四边形，利用三角函数解决问题．三、典例设计考点一几何图形分割与拼接例1（2011．荆州）请将含60°顶角的菱形分割成至少含一个等腰梯形且面积相等的六部分，用实线画出分割后的图形．解析从面积上看，菱形的面积为183，所以必须保证每个图形的面积为33；从图形上看，菱形网格一共有六行，可先将整个菱形分成三等份，再根据图形的特点从不同的角度将其分成两等份．解题收获此类问题答案不唯一，画图时一定要满足题目给出的条件．例2 （2011．常州）如图①，AD＝AB，MD＝MB，∠A＝72°，∠M＝144°．图形②与图形①恰好拼成一个菱形（如图③）．记AB的长度为a，BM的长度为b．(1)如图①，∠B＝_______°，图形②中∠E＝_______°；(2)小明有两种纸片各若干张，其中一种纸片的形状及大小与图形①相同，这种纸片称为“风筝一号”；另一种纸片的形状及大小与图形②相同，这种纸片称为“飞镖一号”．①小明仅用“风筝一号”纸片拼成一个边长为b的正十边形，需要这种纸片______张；②小明若用若干张“风筝一号”纸片和“飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”（如图④），其中∠P ＝72°，∠Q＝144°，且PI＝PJ＝a＋b，IQ＝JQ．请你在图④中画出拼接线并保留画图痕迹（本题中均为无重叠、无缝隙拼接）．解析(1) 连接AM，得到两个三角形全等，∠B＝∠D，根据四边形的内角和为360°，由∠DAB和∠DMB 的度数，即可求出∠B的度数；根据菱形的对边平行，∠A＋∠ADM＋∠MDC＝180°，由∠A和∠ADM 的度数即可求出∠FEC的度数；(2)①由题意可知，“风筝一号”纸片中的点A与正十边形的中心重合，由∠DAB为72°，根据周角为360°，利用360°除以72°即可得到需要“风筝一号”纸片的张数；②以P为圆心、a的长为半径画弧，与PI和PJ分别交于两点，然后以两交点为圆心，以6的长为半径在∠IPJ 的内部画弧，两弧交于一点，连接这点与点Q，画出满足题意的拼接线．解题收获此题考查菱形的性质，灵活运用两个三角形的全等得到对应的角相等，掌握密铺地面的秘诀，锻炼学生的动手操作能力，培养学生的发散思维．考点二几何图案的操作与设计例3 （2011．温州）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，用它可以拼出多种图形．请你用七巧板中标号为①②③的三块板（如图①）经过平移、旋转拼成图形．(1)拼成矩形，在图②中画出示意图；(2)拼成等腰直角三角形．在图③中画出示意图．注意：相邻两块板之间无空隙，无重叠；示意图的顶点画在小方格的顶点上．解析进行空间想象或模拟一下进行验证．解题收获图形设计是近几年来考查的热点之一，考查了学生的基本作图能力，以及基础知识的掌握情况，这类题答案不唯一，解题方法灵活．例4（2010．荆州）有这样的8张纸条，用每4张拼成一个正方形图案，拼成的正方形的每一行和每一列中，同色的小正方形仅为2个，且使每个正方形图案都是轴对称图形，在如图所示的网格中画出你拼出的图案（画出的两个图案不能全等）．考点三实物的测量方案与计算例5 坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑，数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有测角仪、皮尺、小镜子．(1)小华利用测角仪和皮尺测量塔高．如图①为小华测量塔高的示意图，他先在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测出看塔顶M的仰角α＝35°，在A点和塔之间选择一点B，测出看塔顶M的仰角β＝45°，然后用皮尺量出A、B两点间的距离为18.6 m，自身的高度为1.6 m．请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（tan 35°≈0.7，结果保留整数）；(2)如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP的长为a m(如图②)，那么你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下面的问题：①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是_______；②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？________________________________________________________解析(1)将实际问题抽象为几何图形，按照解直角三角形的知识解决；(2)测量方法要有利于运用几何知识解直角三角形．四、反馈训练1．（2010．温州）如图，用若干根相同的火柴棒首尾顺次相接围成一个梯形（提供的火柴棒全部用完），下列根数的火柴棒不能围成梯形的是( )A．5 B．6 C．7 D．82．（2010．晋江）将一块正五边形纸片（如图①）做成一个底面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，如图②），需在每一个顶点处剪去一个四边形(如图①中的四边形ABCD)则∠BAD的度数是_______．3．（2011．北京）阅读下面的材料：小伟遇到这样一个问题，如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC、BD、AD＋BC的长度为三边长的三角形的面积．小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题，他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC、BD、AD＋BC的长度为三边长的三角形（如图②）．请你回答：图②中△BDE的面积等于_______．参考小伟同学思考问题的方法，解决下面的问题：如图③，△ABC的三条中线分别为AD、BE、CF．(1)在图③中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；(2)若△ABC的面积为1，则以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于_______．五、习题精练1．（2011．滨州）根据给出的下面两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写作法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？并举例验证猜想所得结论．(1)如图①，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝24°．①作图：②猜想：③验证：(2)如图②，在△ABC中，∠C＝84°，∠A＝24°．①作图：②猜想：③验证：2．（2011．无锡）如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°，正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．(1)请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；(2)求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．3．(2010．宁波)如图①，有一张菱形纸片ABCD，AC＝8，BD＝6．(1)请沿着AC剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四边形，在图②中用实线画出你所拼成的平行四边形；若沿着BD剪开，请在图③中用实线画出拼成的平行四边形，并直接写出这两个平行四边形的周长；(2)沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图④中用实线画出拼成的平行四边形．（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）4．（2011．江津）在“五个重庆”建设中，为了提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形ABCD是矩形，分别以AB、BC、CD、DA边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为628米，设矩形的边长AB＝y米，BC＝x米（π取3.14）．(1)试用含x的代数式表示y；(2)现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元．①设该工程的总造价为w元，求w关于x的函数解析式；②若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由；③若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC的长不超过AB长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，则问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由．参考答案【真题热身】1．C 2．B 3．等腰梯形【典例设计】1．答案不唯一．如图2．(1)72 36 (2)①5 ②如图3．答案不唯一，如图 4．答案不唯一，如图5．(1)45 m (2)①测角仪、皮尺 ②站在P 点看塔顶的仰角、自身的高度（答案不唯一）【反馈训练】1．B 2. 72° 3．△BDF 的面积等于l (1)如图 (2)34【习题精练】1．略 2．(1)如图 (2)723π+3．（1）①如图(2)答案不唯一．如图①4．(1)y＝200－x(2)①w＝200x2－40000x＋12560000 ②仅靠政府投入的1千万不能完成该工程的建设任务③能。

2012年全国各地中考数学解析汇编四十五章开放探索型问题-推荐下载

若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，故 OP=OCtan30°= 3
此时 t 4 3 ………………………………4 分
当点 P 在点 B 左侧时，如图 3，由. ∠BCP=15°得∠PCO=60°
故 PO=OCtan60°=3 3 ，此时 t=4+3 3
∴t 的值为 4+ 3 或 4+3 3 ………………………………6 分
2S△ABD
x

2S△CBD
x
x

1 2 mx ， S△CBD
x
168
= ……………………5 分
x
由于 AC 边上的高为 2S△ABC 2 84 56 ∴x 的取值范围为 56 x 14
∵（m+n）随 x 的增大而减小， 15；……………………7 分
15
15 5
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

江西省南昌市2012年中考数学研讨会资料实践操作题解析

实践操作题解析【命题趋势】从2006年开始，各省市课改实验区的中考试卷中涌现出了一类考查学生实践操作能力的好题——实践操作题，这类试题能较好体现数学课程标准所强调的“倡导学生主动参与、勤于动手、乐于探究”的新理念，为考生创设了动手实验、操作探究的空间，有效地考查了实践、创新能力，为考生提供了展示个体思维及发散创新的平台，是中考命题改革的一道亮丽风景线，实践操作问题主要包括剪纸、折叠、展开、拼图、作图（不包括统计图表的制作）、称重、测量、空间想像等，这类试题题目灵活、新颖，同学们解答这类题目时，如果找不到合适的方法，会有一定的困难．【解题策略】解答操作性试题，关键是审清题意，学会运用图形的平移变换、翻折变换和旋转变换、位似变换，注意运用分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法，在平时的学习中，要注重操作习题解题训练，提高思维的开放性，培养创新能力，要学会运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题.解题时一般有以下三个步骤：第一步：审清题意，找准解题的切入点。

第二步：建立数学模型，运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题。

第三步：按照所建立的数学模型，综合运用相关知识。

如：分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法解决实践操作性问题。

【基础练习】实现目标：此类题目一般比较简单，它主要包括作图、剪拼、折叠、旋转、测量等,它既考查学生的动手能力，又考查学生的空间想象能力。

一、作图问题题1.如图所示，有两个正方形的花坛，•准备把每个花坛都分成形状相同的四块，种不同花草，下面上边的两个图案是设计示例，•请你在下边的两个正方形中再设计两个不同的图案．示例：请你设计选题意图：这是一道动手操作且具有一定开放性的试题，主要考查学生动手实践能力，由于学生生活背景和思考的角度不同，因而思维方式是多种多样的，解决问题的策略也是多种多样的，学生在读懂示例中的画法有关信息后，就能有效地考查出学生获取、应用知识的能力，是展示考生个体思维及发散创新的好平台。

2012年全国中考数学试题分类解析汇编开放探究型问题讲解

2012年全国中考数学试题分类解析汇编专题58：开放探究型问题一、选择题二、填空题1. （2012陕西省3分）在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y=2x+6-的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是▲ （只写出符合条件的一个即可）．【答案】5yx=（答案不唯一）。

【考点】开放型问题，反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系。

【分析】设反比例函数的解析式为：kyx=，联立y=2x+6-和kyx=，得k2x+6x-=，即22x6x+k0-=∵一次函数y=2x+6-与反比例函数kyx=图象无公共点，∴△＜0，即268k0< --（），解得k＞9 2。

∴只要选择一个大于92的k值即可。

如k=5，这个反比例函数的表达式是5yx=（答案不唯一）。

2. （2012广东湛江4分）请写出一个二元一次方程组▲ ，使它的解是x=2y=1⎧⎨-⎩．【答案】x+y=1x+2y=0⎧⎨⎩（答案不唯一）。

【考点】二元一次方程的解。

【分析】根据二元一次方程解的定义，围绕x=2y=1⎧⎨-⎩列一组等式，例如：由x＋y=2＋（－1）=1得方程x＋y=1；由x－y=2－（－1）=3得方程x－y=3；由x＋2y=2＋2（－1）=0得方程x＋2y=0；由2x＋y=4＋（－1）=3得方程2x＋y=3；等等，任取两个组成方程组即可，如x+y=1x+2y=0⎧⎨⎩（答案不唯一）。

3. （2012广东梅州3分）春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光做投影实验，这块正方形木板在地面上形成的投影是可能是▲ （写出符合题意的两个图形即可）【答案】正方形、菱形（答案不唯一）。

【考点】平行投影。

【分析】根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行。

所以，在同一时刻，这块正方形木板在地面上形成的投影是平行四边形或特殊的平行四边形，例如，正方形、菱形（答案不唯一）。

4. （2012浙江衢州4分）试写出图象位于第二、四象限的一个反比例函数的解析式▲ ．【答案】1y=x-（答案不唯一）。

2012中考专题复习：动手操作题(含答案)(5页)

2012 中考动手操作题动手操作题展开与折叠一. 展开与折叠 1．小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图 1 的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧．部分短 1 ㎝；展开后按图 2 的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长 1 ㎝，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是 .左右第一次折叠左右第二次折叠图2图12．小亮拿着一张如图①所示的矩形纸，沿虚线对折一次得图②，再将对角两顶点重合折叠得图③，按图④沿．折痕中点与重合顶点的连线剪开，得到三个图形，这三个图形满足〔〕上折图① 图② 图③ 图④A、都是等腰三角形 B、都是等边三角形 C、两个直角三角形，一个等腰三角形 D、两个直角三角形，一个等腰梯形 3．将一个矩形纸片依次按图(1)、图(2)的方式对折，然后沿图(3)中的虚线裁剪，最后将图(4)的纸再展开铺平，所得到的图案是（）4．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是（） 5. 如图 1 所示，将矩形纸片先沿虚线 AB 按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线 CD 向下对折, ．．然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（ A A C C B B 图1 D B(A) D ）A．B．C．D．16.将一张等边三角形纸片按图 1－①所示的方式对折，再按图 1－②所示的虚线剪去一个小三角形，将余下纸 6. 片展开得到的图案是 ( )A①②ABCD7. 如图，把一张矩形纸片 ABCD 按如图方式折叠，使顶点 B 和顶点 D 重合，折痕为 EF．若 BF=4，FC=2，则∠DEF 的度数是．第6题第7题第8题第9题 8. 如图，将长 8cm，宽 4cm 的矩形纸片 ABCD 折叠，使点 A 与 C 重合，则折痕 EF 的长为_____cm. 9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC =6cm，AC =8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C 落在 AB边的C′点，那么△ADC′的面积是． 10. 如图，四边形 ABCD 为矩形纸片．把纸片 ABCD 折叠，使点 B 恰好落在 CD 边的中点 E 处，折痕为 AF．若CD＝6，则AF等于． 11. 取一张矩形纸片按照图 1、图 2 中的方法对折，并沿图 3 中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，那剪下的① 这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为 .12. 如图，把长为 8cm 的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为 6cm2，则打开后梯形的周长是（3cm）3cm第 12 题 A．（10+2 13 ）cm 13. 长为 1，宽为 a 的矩形纸片（ B．（10+ 13 ）cm C．22cm D．18cm1 < a < 1），如图示那样折一下， 2剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第 n 此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止． . 当 n=3 时，a 的值为第一次操作第二次操作214. 动手操作：在矩形纸片 ABCD 中，AB=3,AD=5.如图 1 所示，折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的 A’处，折痕为 PQ，当点 A’在 BC 边上移动时，折痕的端点 P、 Q 也随之移动.若限定点 P、Q 分别在 AB、AD 边上移动，则点 A’在 BC 边上可移动的最大距离为 .B P AA'CQ图1D15．如图，将矩形纸片 ABCD 按如下顺序进行折叠：对折、展平，得折痕 EF(如图①)；沿 GC 折叠，使点 B 落在 EF 上的点 B’处(如图②)；展平，得折痕 GC(如图③)；沿 GH 折叠，使点 C 落在 DH 上的点 C’处(如图 ④)；沿 GC’折叠(如图⑤)；展平，得折痕 GC’、GH(如图⑥)．（1）求图②中∠BCB’的大小； A （2）图⑥中的△GCC’是正三角形吗？请说明理由．A E D A G B F 图① C B F C 图② E B' D A G F C 图③ E D A G B D A C' H C 图④ G A' B C 图⑤ D A C' H G B 图⑥ D C'E F C GH CBDB16.如图，△ABC 中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC 于 D，BD＝2，DC＝3，求 AD 16. 的长. 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题. 请按照小萍的思路，探究并解答下列问题： (1)分别以 AB、AC 为对称轴，画出△ABD、△ACD 的轴对称图形，D 点的对称点为 E、F，延长 EB、FC 相交于 G 点，证明四边形 AEGF 是正方形； (2)设 AD=x，利用勾股定理，建立关于 x 的方程模型，求出 x 的值. 〖1. C. A. C. D . A. 60° . 2 5 . 6cm2 . 4 3 .3:2.A.3 3 或＝ 2. 60°, 等边三角形 x＝6〗 5 4 .）二. 拼图与画图 1. 如图，把边长为 2 的正方形的局部进行图①～图④的变换，拼成图⑤，则图⑤的面积是（Ａ． 18 ；Ｂ． 16 ；Ｃ． 12 ；Ｄ． 8 .①②③④⑤第 1 题图 2. 如右上图所示，有两个正方形的花坛，准备把每个花坛都分成形状相同的四块，种不同花草，上边的两个图案是设计示例，请你在下边的两个正方形中再设计两个不同的图案． 3. 如图，有一张长为 5 宽为 3 的矩形纸片 ABCD，要通过适当的剪拼，得到一个 A D 与之面积相等的正方形． (1) 该正方形的边长为_________(结果保留根号) (2) 现要求只能用两条裁剪线．请你设计一种裁剪的方法．在图中画出裁剪线，并简要说明剪拼的过程. B C34.（1）如图 1，正方形网格中有一个平行四边形，请在图 1 中画一条直线把平行四边形分成面积相等的两部分；（2）把图 2 中的平行四边形分割成四个全等的四边形（请在图 2 中画出分割线），并把所得的四个全等的四边形在图 3 中拼成一个轴对称图形或中心对称图形，使所得图形与原图形不全等且各个顶点都落在格点上．图1图2图35. 七巧板是我们祖先的一项卓越创造，用它可以拼出多种图形，请你用七巧板中标号为○○○的三块板 1 2 3 （如图 1）经过平移、旋转拼成图形. （1）拼成矩形，在图 2 中画出示意图. （2）拼成等腰直角三角形，在图 3 中画出示意图. 注意：相邻两块板之间无空隙，无重叠；示意图的顶点画在小方格顶点上.6. 如图，把一个等腰直角三角形 ABC 沿斜边上的高 CD（裁剪线）剪一刀，从这个三角形中裁下一部分，与剩下部分能拼成一个平行四边形 A′BCD（见示意图 a）. (以下探究过程中有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明.) 探究一：探究一：（1）想一想：判断四边形 A′BCD 是平行四边形的依据是想一想：；想一想（2）做一做：按上述的裁剪方法，请你拼一个与图（a）位置或形状不同的平行四边形，并在图（b）中做一做：做一做画出示意图. A A A A D B D B (b) B C (c) C (d) BA′ CC(a)探究二：探究二：在直角三角形 ABC 中，请你找出其他的裁剪线，把分割成的两部分拼出不同类型的特殊四边形. （1）试一试：你能拼得不同类型的特殊四边形有试一试：，它们的裁剪线分别是试一试（2）画一画：请在图（c）中画出一个你拼得的特殊四边形示意图. ）画一画：旋转与三. 旋转与平移；41．如图 2，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AB 的长为 6cm，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分面积等于_________cm2．AA B'B′ C′ CA'图2 2. 如图将⊿ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转 20° ,B 点落在 B ' 点的位置，A 点落在 A ' 点的位置，若 AC ⊥ A ' B ' ，则 ∠BAC 的度数是 3. 如图，直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD = 2，将腰 CD 以 D 为中心逆时针旋转 90°至 DE，连接 AE、CE，△ADE 的面积为 3，则 BC 的长为． (5) 4. 如图 1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图 2），量得他们的斜边长为 10cm，较小锐角为 30°，再将这两张三角纸片摆成如图 3 的形状，但点 B、C、F、D 在同一条直线上，且点 C 与点 F 重合（在图 3 至图 6 中统一用 F 表示）BBC（图 1）（图 2）（图 3）（图 4）（图 5）（图 6）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决．（1）将图 3 中的△ABF 沿 BD 向右平移到图 4 的位置，使点 B 与点 F 重合，请你求出平移的距离；（2）将图 3 中的△ABF 绕点 F 顺时针方向旋转 30°到图 5 的位置，A1F 交 DE 于点 G，求线段 FG 的长度；（3）将图 3 中的△ABF 沿直线 AF 翻折到图 6 的位置，AB1 交 DE 于点 H，请证明：AH﹦DH. 5. 在平面直角坐标系中．已知 O 坐标原点．点 A(3．0)，B(0，4)．以点 A 为旋转中心，把△ABO 顺时针旋转，得△ACD．记旋转转角为α．∠ABO 为β． (1) 如图①，当旋转后点 D 恰好落在 AB 边上时．求点 D 的坐标； (2) 如图②，当旋转后满足 BC∥x 轴时．求α与β之闻的数量关系； (3) 当旋转后满足∠AOD=β时．求直线 CD 的解析式(直接写出即如果即可)，6. 在 △ ABC 中， AB = BC = 2，∠ABC = 120° △ ABC 绕点 B 顺时针旋转角 α (0° α < 90° ，将 < ) 得 △ A1 BC1，A1 B 交 AC 于点 E ， A1C1 分别交 AC、BC 于 D、F 两点．（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段 EA1 与 FC 有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，当 α = 30° 时，试判断四边形 BC1 DA 的形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，求 ED 的长． C C D FC1AA1ED FC1A1AE B （图 1）B （图 2）5。

浙江中考数学第一轮复习课件专题突破强化训练专题四几何初步与图形变换

答案：A
知识结构典例精选专题训练
首页
按ESC退出
12.已知，直角坐标系中，点 A(－4，2)，以 O 为旋转中心，把△AOB 旋转 90°，则点 A 的对应点 A′的坐标为( )
A．(2,4)或(－2，－4) C．(2，－4)
B．(4,2)或(－4，－2) D．(－2,4)
解析：当点 A 顺时针旋转时 A′的坐标为(2,4)，当点 A 逆时针旋转时 A′的坐标为(－2，－4)．
∴(a＋b)2＝c2＋4×12ab，a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab， ∴a2＋b2＝c2.
知识结构典例精选专题训练
首页
专题训练
按ESC退出
知识结构典例精选专题训练
首页
按ESC退出
一、选择题 1．如图，点 A，O，B 在一条直线上，∠AOC＝∠BOC，若∠1＝∠2，则图中互余的角共有( )
首页
按ESC退出
【思路点拨】(1) 作CC1和AA1的垂直平分线 →
由图形可知，交点为O → O就是旋转中心连结OC和OC1 → ∠COC1就是旋转角
(2) 分别作出各顶点旋转后的对应点 → 顺次连结即可得到旋转后的图形
(3)
旋转的性质
→
四边形CC1C2C3和四边形 AA1A2B是正方形
→
利用面积法证明勾股定理
答案：D
知识结构典例精选专题训练
首页
按ESC退出
11．如图，若正方形 EFGH 由正方形 ABCD 绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是( )
A．M 或 O 或 N C．E 或 O 或 N
B．E 或 O 或 C D．M 或 O 或 C
解析：若以 M 为旋转中心，把正方形 ABCD 顺时针旋转 90°，A 点对应点为 H，B 点对应点为 E，C 点对应点为 F，D 点对应点为 G，则可得到正方形 EFGH；若以 O 为旋转中心，把正方形 ABCD 旋转 180°，A 点对应点为 G，B 点对应点为 H，C 点对应点为 E，D 点对应点为 F，则可得到正方形 EFGH；若以 N 为旋转中心，把正方形 ABCD 逆时针旋转 90°，A 点对应点为 F，B 点对应点为 G，C 点对应点为 H，D 点对应点为 E，则可得到正方形 EFGH.

2012版中考数学专题复习精品课件(含10 11真题)专题4 阅读理解问题(54张)

∴△NFN′∽△M′EM,∴ MM ME , NN NF
∵M′E=N′F,∴ MM NF tan(或 sin ).
NN NF
cos
①当α=45°时，tanα=1,则MM′=N′N；
②当α≠45°时，MM′≠N′N,则 MM tan(或 sin ).
NN
cos
方法二：在方形环中，∠D=90°,
2
猜想：一般地，当α为锐角时，有cos(180°+α)=-cosα,
由此可知cos240°的值等于______.
【解析】根据归纳的规律，cos240°=cos(180°+60°)= -cos60°= 1 .
2 答案： 1
2
7.(2011·内江中考)阅读理解:同学们,我们曾经研究过n×n
正方形网格,得到网格中正方形总个数的表达式为12+22+32+…
【自主解答】(1) 3 (2)如图：
作点B关于CD的对称点E，则点E正好在圆周上，连接OA、OB、 OE，连接AE交CD于一点P，AP+BP最短，
因为 A»D 的度数为60°,点B是 A»D 的中点，所以∠AEB=15°, 因为点B关于CD的对称点是点E，所以∠BOE=60°, 所以△OBE为等边三角形，所以∠OEB=60°,所以∠OEA=45°，又因为OA=OE，所以△OAE为等腰直角三角形,所以AE= 2 2. 所以图中点P即为所求.BP+AP的最小值为 2 2.
再如题(b)图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点， AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小. 做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE 交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为___.

2012年中考数学二轮复习考点解密开放探索性问题(含解析)

2012年中考数学二轮复习考点解密开放探索性问题第一部分讲解部分一、专题诠释开放探究型问题，可分为开放型问题和探究型问题两类．开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．二、解题策略与解法精讲由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．三、考点精讲（一）开放型问题考点一：条件开放型：条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1：（2011江苏淮安）在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是.(写出一种即可)分析：已知两组对边相等，如果其对角线相等可得到△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD，进而得到，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，使四边形ABCD是矩形．解：若四边形ABCD的对角线相等，则由AB=DC，AD=BC可得．△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD，所以四边形ABCD的四个内角相等分别等于90°即直角，所以四边形ABCD是矩形，故答案为：对角线相等．评注：此题属开放型题，考查的是矩形的判定，根据矩形的判定，关键是是要得到四个内角相等即直角．考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2：（2011天津）已知一次函数的图象经过点（0，1），且满足y随x的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为．分析：先设出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象经过点（0，1）可确定出b的值，再根据y随x的增大而增大确定出k的符号即可．解：设一次函数的解析式为：y=kx+b（k≠0），∵一次函数的图象经过点（0，1），∴b=1，∵y随x的增大而增大，∴k＞0，故答案为y=x+1（答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k＞0的一次函数）．评注：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，k＞0，y随x的增大而增大，与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上．考点三：条件和结论都开放的问题：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断．例3：（2010•玉溪）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，请添加适当条件后，构造出一对全等的三角形，并说明理由．分析：先连接BE，再过D作DF∥BE交BC于F，可构造全等三角形△ABE和△CDF．利用ABCD是平行四边形，可得出两个条件，再结合DE∥BF，BE∥DF，又可得一个平行四边形，那么利用其性质，可得DE=BF，结合AD=BC，等量减等量差相等，可证AE=CF，利用SAS可证三角形全等．解：添加的条件是连接BE，过D作DF∥BE交BC于点F，构造的全等三角形是△ABE与△CDF ．理由：∵平行四边形ABCD ，AE=ED ，∴在△ABE 与△CDF 中，AB=CD ，∠EAB=∠FCD ，又∵DE ∥BF ，DF ∥BE ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴DE=BF ，又AD=BC ，∴AD ﹣DE=BC ﹣BF ，即AE=CF ，∴△ABE ≌△CDF ．（答案不唯一，也可增加其它条件）评注：本题利用了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、以及等量减等量差相等等知识．考点四：编制开放型：此类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，寻求解法的一类题，它更具有开放性．例4：（2010年江苏盐城中考题）某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程．．．．解决的问题，并写出解题过程．分析：本题的等量关系是：两班捐款数之和为1800元；2班捐款数-1班捐款数=4元；1班人数=2班人数×90%，从而提问解答即可．解：解法一：求两个班人均捐款各多少元？设1班人均捐款x 元，则2班人均捐款（x +4）元，根据题意得1800x ·90%=1800x +4解得x=36 经检验x=36是原方程的根∴x+4=40答：1班人均捐36元，2班人均捐40元解法二：求两个班人数各多少人？设1班有x人，则根据题意得1800x+4=180090x%解得x=50 ，经检验x=50是原方程的根∴90x % =45答：1班有50人，2班有45人．评注：对于此类编制开放型问题，是一类新型的开放型问题，它要求学生的思维较发散，写出符合题意的正确答案即可，难度要求不大，但学生容易犯想当然的错误，叙述不够准确，如单位的问题、符合实际等要求，在解题中应该注意防范．（二）探究型问题考点五：动态探索型：此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件的题目．例5：（2011•临沂）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求EFEG的值．分析：（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性质，可利用SAS证得Rt△FED≌Rt△GEB，则问题得证；（2）首先点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，然后利用SAS证得Rt△FEI ≌Rt△GEH，则问题得证；（3）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EM∥AB，EN∥AD，则可证得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GME∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．解：（1）证明：∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，∴∠DEF=∠GEB，又∵ED=BE，∴Rt△FED≌Rt△GEB，∴EF=EG；（2）成立．证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，则EH=EI，∠HEI=90°，∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，∴∠IEF=∠GEH，∴Rt△FEI≌Rt△GEH，∴EF=EG；（3）解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，则∠MEN=90°，∴EM∥AB，EN∥AD．∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，∴,NE CE EM CE AD CA AB CA ==， ∴NE EM AD AB =，即NE AD b EM AB a ==， ∵∠IEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°，∴∠GEM=∠FEN ，∵∠GME=∠FNE=90°，∴△GME ∽△FNE ，∴EF EN EG EM=， ∴EF b EG a =．评注：此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．考点六：结论探究型：此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目．例6：（2011福建省三明市）在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB =2，AP =1．将直角尺的顶点放在P 处，直角尺的两边分别交AB ，BC 于点E ，F ，连接EF （如图①）．（1）当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合（如图②），求PC 的长；（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 和点A 重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：①tan ∠PEF 的值是否发生变化？请说明理由；②直接写出从开始到停止，线段EF 的中点经过的路线长．分析：（1）由勾股定理求PB ，利用互余关系证明△APB ∽△DCP ，利用相似比求PC ；（2）tan∠PEF的值不变．过F作FG⊥AD，垂足为G，同（1）的方法证明△APB∽△DCP，得相似比PF GFPE AP==21=2，再利用锐角三角函数的定义求值；（3）如图3，画出起始位置和终点位置时，线段EF的中点O1，O2，连接O1O2，线段O1O2即为线段EF的中点经过的路线长，也就是△BPC的中位线．解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AP=1，CD=AB=2，则PB=5，∴∠ABP+∠APB=90°，又∵∠BPC=90°，∴∠APB+∠DPC=90°，∴∠ABP=∠DPC，∴△APB∽△DCP，∴AP PBCD PC=即152PC=，∴PC=25；（2）tan∠PEF的值不变．理由：过F作FG⊥AD，垂足为G，则四边形ABFG是矩形，∴∠A=∠PFG=90°，GF=AB=2，∴∠AEP+∠APE=90°，又∵∠EPF=90°，∴∠APE+∠GPF=90°，∴∠AEP=∠GPF，∴△APE∽△GPF，∴PF GFPE AP==21=2，∴Rt △EPF 中，tan ∠PEF =PF PE=2， ∴tan ∠PEF 的值不变；（3）线段EF 的中点经过的路线长为5．评注：本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形．关键是利用互余关系证明相似三角形．考点七：规律探究型：规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用. 例7：（2011四川成都）设12211=112S ++,22211=123S ++,32211=134S ++,…, 2211=1(1)n S n n +++ 设12...n S S S S =S ＝_________ (用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．分析：由222222222222)]1([]1)1([)]1([122)]1([)1()1()1(11+++=+++++=+++++=+=n n n n n n n n n n n n n n n n n S n ，求n S ，得出一般规律．解：∵222222222222)]1([]1)1([)]1([122)]1([)1()1()1(11+++=+++++=+++++=+=n n n n n n n n n n n n n n n n n S n ， ∴1111)1(1)1(+-+=+++=n n n n n n S n ， ∴1111312112111+-+++-++-+=n n S 111+-+=n n 1211)1(22++=+-+=n n n n n 故答案为： 122++n n n 评注：本题考查了二次根式的化简求值．关键是由S n 变形，得出一般规律，寻找抵消规律．考点八：存在探索型：此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目．例8：（2011辽宁大连）如图15，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A （－1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB ．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点Q ，使△QMB 与△PMB 的面积相等，若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ，使△RPM 与△RMB 的面积相等，若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由．分析：（1）利用待定系数法求解；（2）若想求Q 点坐标，Q 到MB 的距离应该等于P 到MB 的距离，所以Q 点应该在经过P 点且平行于BM 的直线上，或者在这条直线关于BM 对称的直线上，因此，求出这两条直线的解析式，其与抛物线的交点即为所求Q 点；（3）设出R 点坐标，分别用其横坐标表示出△RPM 与△RMB 的面积，利用相等列出方程即可求出R 点坐标．解：（1）322++-=x x y（2）∵4)1(2+--=x y ∴P （1，4）BC ：3+-=x y ，M （1，2）P （1，4）；PB ：62+-=x y ，当PQ ∥BC 时：设PQ 1：b x y +-=∵P （1，4）在直线PQ 上b +-=14；5=b∴PQ 1：5+-=x y⎩⎨⎧++-=+-=3252x x y x y 解得⎩⎨⎧==4111y x ，⎩⎨⎧==3222y x ∴1Q ：（2，3）；将PQ 向下平移4个单位得到1+-=x y⎩⎨⎧++-=+-=3212x x y x y解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=2171217311y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=2171217311y x ∴2Q ：（2173-，2171+-）；3Q ：（2173+，2171--）xx ，322++-x x ）∵P （1，4），M （1，2）∴ 224=-=PM()11221-=-⨯⨯=∆x x S PQR x x x x x RN 3)3()32(22+-=+--++-=()11221-=-⨯⨯=∆x x S PQR ∵x x x 312+-=- 解得121+=x ，122+-=x （舍） ∴当12+=x 时，24)121(2=+-+-=y∴R （12+，2）x评注：求面积相等问题通常是利用过顶点的平行线完成；在表示面积问题时，对于边不在特殊线上的通常要分割．四、真题演练1．（2011山东潍坊）一个y 关于x 的函数同时满足两个条件：①图象过(2，1)点；②当0x 时．y 随x 的增大而减小，这个函数解析式为_______________ (写出一个即可)2．（2011山西）如图，四边形ABCD 是平行四边形，添加一．个．条件：___________ _______________________，可使它成为矩形．3．（2011•泰州）“一根弹簧原长10cm ，在弹性限度内最多可挂质量为5kg 的物体，挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，，则弹簧的总长度y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数关系式为y=10+0.5x （0≤x≤5）．”王刚同学在阅读上面材料时发现部分内容被墨迹污染，被污染的部分是确定函数关系式的一个条件，你认为该条件可以是：（只需写出1个）．3．（4．（2011广西百色）已知矩形ABCD 的对角线相交于点O ，M 、N 分别是OD 、OC 上异于O 、C 、D 的点．（1）请你在下列条件①DM =CN ，②OM =ON ，③MN 是△OCD 的中位线，④MN ∥AB 中任选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），使四边形ABNM 为等腰梯形，你添加的条件是．（2）添加条件后，请证明四边形ABNM 是等腰梯形．（第14题） ACDo第二部分练习部分1．（2011•贺州）写出一个正比例函数，使其图象经过第二、四象限：y=﹣x（答案不唯一）．分析：先设出此正比例函数的解析式，再根据正比例函数的图象经过二、四象限确定出k的符号，再写出符合条件的正比例函数即可．解答：解：2．（2011•湖南张家界）在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，要使△ABC 与△DEF相似，则需添加的一个条件是（写出一种情况即可）．分析：解答：解：则需添加的一个条件是：BC：EF=2：1．∵在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，∴AB：DE=2：1，AC：DF=2：1，∵BC：EF=2：1．∴△ABC∽△DEF．故答案为：．3．（2010江苏连云港中考题）若关于x的方程x2－mx＋3＝0有实数根，则m的值可以为___________．(任意给出一个符合条件的值即可)4．（2011广东湛江）如图，点B，C，F，E在同直线上，∠1=∠2，BC=EF，∠1 _______（填“是”或“不是”）∠2的对顶角，要使△ABC ≌△DEF ，还需添加一个条件，可以是 _______（只需写出一个）5．（2011福建省漳州市，19,8分）如图，∠B =∠D ，请在不增加辅助线的情况下，添加一个适当的条件，使△ABC ≌△ADE ，并证明．（1）添加的条件是；（2）证明：6．（2010浙江杭州中考题）给出下列命题：命题1．点(1,1)是直线y ＝ x 与双曲线y ＝x 1的一个交点; 命题2．点(2,4)是直线y ＝ 2x 与双曲线y ＝x 8的一个交点; 命题3．点(3,9)是直线y ＝ 3x 与双曲线y ＝x27的一个交点; … … ．（1）请观察上面命题，猜想出命题n (n 是正整数);（2）证明你猜想的命题n 是正确的．7．（2011•德州）●观察计算当a=5，b=3时，2a b +与ab 的大小关系是2a b +＞ab ．当a=4，b=4时，2a b +与ab 的大小关系是2a b +=ab ．●探究证明如图所示，△ABC 为圆O 的内接三角形，AB 为直径，过C 作CD ⊥AB 于D ，设AD=a ，BD=b ．（1）分别用a ，b 表示线段OC ，CD ；（2）探求OC 与CD 表达式之间存在的关系（用含a ，b 的式子表示）．●归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出2a b +与ab 的大小关系是：2a b +≥ab ． ●实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．8．（2011浙江绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D在CB 的延长线上，且ED=EC ，如图．试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况•探索结论当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与的DB 大小关系．请你直接写出结论：AE = DB （填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答題目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．★“真题演练”参考答案★1．【分析】本题的函数没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数，二次函数三方面考虑，只要符合条件①②即可．【答案】符合题意的函数解析式可以是y= 2x，y=-x+3，y=-x2+5等，（本题答案不唯一）故答案为：y=2x，y=-x+3，y=-x2+5等．2．【分析】：由有一个角是直角的平行四边形是矩形．想到添加∠ABC＝90°；由对角线相等的平行四边形是矩形．想到添加AC＝BD．【答案】∠ABC＝90°（或AC＝BD等）3．解：根据弹簧的总长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式为y=10+0.5x （0≤x≤5）可以得到：当x=1时，弹簧总长为10.5cm，当x=2时，弹簧总长为11cm，…∴每增加1千克重物弹簧伸长0.5cm ，故答案为：每增加1千克重物弹簧伸长0.5cm ．4．解：（1）选择①DM =CN ；（2）证明：∵AD =BC ，∠ADM =∠BCN ，DM =CN∴△AND ≌△BCN ，∴AM =BN ，由OD =OC 知OM =ON ， ∴OCON OD OM = ∴MN ∥CD ∥AB ，且MN ≠AB∴四边形ABNM 是等腰梯形．★“练习部分”参考答案★1．【分析】设此正比例函数的解析式为y=kx （k≠0），∵此正比例函数的图象经过二、四象限，∴k ＜0，∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=﹣x （答案不唯一）．【答案】故答案为：y=﹣x （答案不唯一）．2．【分析】因为两三角形三边对应成比例，那么这两个三角形就相似，从题目知道有两组个对应边的比为2：1，所以第三组也满足这个比例即可．【答案】BC ：EF=2：13．【分析】由于这个方程有实数根，因此⊿＝()22241212b a m m -=--=-≥0，即m 2≥12．【答案】答案不唯一，所填写的数值只要满足m 2≥12即可，如4等4．【分析】根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角．要使△ABC ≌△DEF ，已知∠1=∠2，BC=EF ，则只需补充AC=FD 或∠BAC=∠FED 都可，答案不唯一．【答案】解：根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角故填：不是．添加AC=FD 或∠BAC=∠FED 后可分别根据SAS 、AAS 判定△ABC ≌△DEF ，故答案为：AC=FD ，答案不唯一．5．解：（1）添加的条件是：AB =AD ，答案不唯一；（2）证明：在△ABC 和△ADE 中，∠B =∠D ，AB =AD ，∠A =∠A ，∴△ABC ≌△ADE ．6．(1)命题n ；点(n , n 2)是直线y = nx 与双曲线y =x n 3的一个交点(n 是正整数)． (2)把 ⎩⎨⎧==2n y nx 代入y = nx ，左边= n 2，右边= n ·n = n 2，∵左边=右边，∴点(n ，n 2)在直线上．同理可证：点(n ，n 2)在双曲线上，∴点(n ，n 2)是直线y = nx 与双曲线y =x n 3的一个交点，命题正确．7．解：●观察计算：2a b +2a b + ●探究证明：（1）∵AB=AD+BD=2OC ，∴OC=2a b +. ∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACB=90°．∵∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD ．∴△ACD ∽△CBD ．（4分） ∴AD CD CD BD=．即CD 2=AD•BD=ab ，∴CD=ab ．（5分）（2）当a=b 时，OC=CD ，2a b +=ab ； a≠b 时，OC ＞CD ，2a b +＞ab ． ●结论归纳：2a b +≥ab ． ●实践应用设长方形一边长为x 米，则另一边长为1x米，设镜框周长为l 米，则112()4l x x x x=+≥⋅=4. 当x=1x，即x=1（米）时，镜框周长最小．此时四边形为正方形时，周长最小为4米．8．解：（1）故答案为：=．（2）故答案为：=．证明：在等边△ABC 中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC ，∵EF ∥BC ，∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC ，∴AE=AF=EF ，∴AB ﹣AE=AC ﹣AF ，即BE=CF ，∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，∵ED=EC ，∴∠EDB=∠ECB，∴∠BED=∠FCE，∴△DBE≌△EFC，∴DB=EF，∴AE=BD．（3）答：CD的长是1或3．。

(备战中考)2012年中考数学新题分类汇编(中考真题+模拟新题) 猜想、规律与探索

猜想、规律与探索一选择题1. （2011某某省，10，3分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”（）A.28B.56C.60D. 124【答案】C3. （2011某某某某，15，3分）如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n（n是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是▲．【答案】)2(+nn4. （2011某某乌兰察布，18，4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形有个小圆. （用含 n 的代数式表示）【答案】(1)4n n++或24n n++5. （2011某某某某，16，8分）观察下列算式：第1个图形第 2 个图形第3个图形第 4 个图形第18题图① 1 × 3 - 22= 3 - 4 = -1② 2 × 4 - 32= 8 - 9 = -1③ 3 × 5 - 42= 15 - 16 = -1④（1）请你按以上规律写出第4个算式；（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．【答案】解：⑴246524251⨯-=-=-；()()2211n n n +-+=-；⑶()()221n n n +-+()22221n n n n =+-++22221n n n n =+---1=-.6．（2011某某某某，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.（1）表中第8行的最后一个数是，它是自然数的平方，第8行共有个数；（2）用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是，最后一个数是，第n 行共有个数；（3）求第n 行各数之和．【解】（1）64，8，15；（2）2(1)1n -+，2n ，21n -；（3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的，第n 行各数之和等于2(21)(1)n n n --+=322331n n n -+-.二填空题1. （2011某某某某18，4）观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_____个图形共有120 个。

2012年全国中考数学试题分类解析汇编专题40：尺规作图要点

2012年全国中考数学试题分类解析汇编（159套63专题）专题40:尺规作图一、选择题1. （2012浙江绍兴4分）如图，AD为OO的直径，作OO的内接正三角形ABC甲、乙两人的作法分别是：甲：1、作OD的中垂线，交OO 于B, C两点，2、连接AB, AC, △ ABC即为所求的三角形乙：1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交OO 于B, C两点。

2、连接AB, BC CA.A ABC即为所求的三角形。

对于甲、乙两人的作法，可判断【】A.甲、乙均正确B.甲、乙均错误C.甲正确、乙错误D.甲错误，乙正确【答案】A o【考点】垂径定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，含30度角的直角三角形。

【分析】根据甲的思路，作出图形如下：1 连接OB •/ BC垂直平分OD 为OD的中点，且ODLBC /• OE=DE二OD又•••/ OEB=90，•/ BOE=60 o第1页共19页21又••• OB=OD •••在Rt△ OBE中，OE= OB OBE=30。

2•/ OA=OB •••/ OAB M OBA又•••/BOE AOB 的外角，•/ OAB M OBA=30，•/ABC d ABO # OBE=60。

同理/ C=60。

•/ BAC=60。

•••/ ABC # BAC # C=60 o •△ ABC 为等边三角形。

故甲作法正确。

根据乙的思路，作图如下：C . AASD .角平分线上的点到角两边距离相等【答案】A o【考点】作图（基本作图），全等三角形的判定和性质。

二# OBD # BOD=60。

又••• BC 垂直平分 OD •- OM=DM 「. BM 为/OBD 的平分线。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

(2)如图，由旋转可知 CD＝BA＝2，OD＝OA＝4， ∴点 C 的坐标是(－2,4)． (3)△O′A′B′如图所示．
O′(－2，－4)，A′(2，－4)．
动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5. 如图①所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折
痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也
A．669
B．670
C．671
D．672
【解析】第n次操作可得3n＋1个小正方形，令3n＋1＝2 011，解得n ＝670.
【答案】B
3．(2012中考预测题)在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子(相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点)，在每一种翻动
方式中，骰子不能后退．开始时骰子如图①那样摆放，朝上的点数是2；
DE于点G，请你求出线段FG的长度．
(3)将图③中的△ABF沿直线AF翻折到图⑥的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH＝DH.
答案：(1)图形平移的距离就是线段 BC 的长，为 5 cm. 5 3 (2)FG＝ cm. 2 (3)提示：先证 AE＝DB1，再证△AHE≌△DHB1(AAS)．
操作探究型问题
图形．
类型三：图形分割型动手操作题图形分割型动手操作题就是按照要求把一个图形先分割成若干块，
然后再把它们拼合一个符合条件的图形．类型四：作图型动手操作题
作图型动手操作题，就是通过平移、对称、旋转或位似等变换作出
已知图形的变换图形．
如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形．则展开后三角形的周长是
AB AC AC AC 又∵ ＝，∴ ＝，∴AC″＝A′C′. A′B′ A′C′ AC″ A′C′ ∵AB″＝A′B′，∠C′＝∠AC″B″＝90° .
∴Rt△AB″C″≌Rt△A′B′C′. ∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
6．(2011·山西)如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°. (1)实践与操作利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字
3．动手操作题动手操作题可分为图形折叠型动手操作题、图形拼接型动手操作题、
图形分割型动手操作题和作图型动手操作题等四种类型．
类型一：图形折叠型动手操作题图形折叠型动手操作题,就是通过图形的折叠来研究它的相关结论．类型二：图形拼接型动手操作题图形拼接问题，就是将已知的若干个图形重新拼合成符合条件的新
训练时间：60分钟
分值：100分
一、选择题(每小题6分，共24分) 1．(2012中考预测题)如图，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形，又能拼成三角形和梯形的是( )
【解析】动手操作法．
【答案】D
2．(2010中考变式题)如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；„，根据以上操作，若要得到2 011个小正方形，则需要操作的次数是( )
随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为______．【解答】(1)当P点与B点重合时，此时A′点离B点最远(如图②)，且
BA′＝BA＝3.
(2)Q点与D点重合时，此时A′点离B点最近(如图③)．设BA′＝x，则
CA′＝5－x，又因为A′D＝AD＝5，在Rt△A′CD中，由勾股定理，得(5－
专题四操作探究型问题
考点知识梳理
中考典例精析
专题训练
专题训练
【练习篇】
近年来中考数学试题加强了对学生动手操作能力的考查，这类试题能够有效地考查学生的实践能力、创新意识和直觉思维能力，解决这类问
题需要通过观察、操作、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括等实践活
动和思维过程，灵活运用所学知识和生活经验，探索和发现结论，从而解决问题．
（1）解：所作图形如图所示．
BC 1 (2)①相切【解析】 ∵sin∠BAC＝＝， ∴∠BAC＝30°. AB 2
又△ACD 为等边三角形，∴∠CAD＝60°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠
CAD＝90°，∴AD 与⊙O 相切．
②
4 4 3 21(或 ) 【解析】在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 AC 7 7
母(保留作图痕迹，不写作法)．
①作△ABC的外接圆，圆心为O； ②以线段AC为一边，在AC的右侧作等边△ACD； ③连接BD，交⊙O于点E，连接AE. (2)综合与运用在你所作的图中，若AB＝4，BC＝2，则：①AD与⊙O 的位置关系是________． ②线段AE的长为________．
【答案】
最后翻动到如图②所示的位置，此时骰子朝上的点数不可能是下列数中的 ( )
A．5
B．4
C．3
D．1
【解析】动手操作法．【答案】D
4．(2011·芜湖)如图，从边长为(a＋4) cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a＋1) cm的正方形(a>0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不
重叠无缝隙)，则矩形的面积为(
接成：(1)一个非矩形的平行四边形；(2)一个等腰梯形；(3)一个正
方形．请画出拼接后的三个图形．
答案：如图：
3．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2,3)、B(－6,0)、
C(－1,0)．
(1)请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标；
(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°.画出图形，直接写出点B的对应点的坐标； (3)请直接写出:以A,B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标. 答案：(1)(2,3) (2)图形略,(0,－6) (3,3) 4．如下图，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片如图②，量得它们的斜边长为10 cm，较小锐角为30°，再将这两张三 (3)(－7,3)或(－5，－3)或
)
A．(2a2＋5a)cm2 B．(3a＋15)cm2 C．(6a＋9)cm2 D．(6a＋15)cm2
【解析】所得矩形的长为[(a＋4)＋(a＋1)] cm，宽为[(a＋4)－ (a＋1)] cm，∴S矩形＝(2a＋5)×3＝6a＋15 (cm2)．【答案】D
二、填空题(每小题10分，共20分) 5．(2010中考变式题)学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件．
三、解答题(共56分)
7．(18分)(2012中考预测题)正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角
形FAE的斜边AE＝b(b<2a)，且边AD和AE在同一直线上．小明发现：当b ＝a时，如图①，在BA上选取中点G，连接FG和CG，移动△FAG和△CBG的
位置可构成正方形FGCH.
(1)类比小明的剪拼方法，请你就图②和图③两种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. 证法二：假设 AB>A′B′，在 AB 上截取 AB″＝A′B′，
过点 B″作 B″C″⊥AC，垂足为 C″. ∵∠C＝∠AC″B″，∴BC∥B″C″. ∴Rt△ABC∽Rt△AB″C″，∴ ∵AB″＝A′B′，∴ AC AB ＝ AC″ AB″
AC AB ＝ AC″ A′B′ห้องสมุดไป่ตู้
结合下列所给图形，写出已知，并完成证明过程．
已知：如图，_______________________________________. 试证明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
【答案】(1)一个锐角对应相等两直角边对应成比例
(2)斜边和一条直角边对应成比例
AB 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中， ∠C＝∠C′＝90° ， A′B′ ＝ AC . A′C′
角形纸片摆成如图③的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点
C与点F重合(在图③至图⑥中统一用F表示)．
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决． (1)将图③中的△ABF沿BD向右平移到图④的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离． (2)将图③中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图⑤的位置，A1F交
1．利用图形的变换作图
(1)利用平移：把一个图形沿一定方向平移一定距离． (2)利用旋转：把一个图形沿一个定点旋转一定角度． (3)利用轴对称：作出一个图形的轴对称图形． (4)利用位似：把一个图形放大或缩小．
温馨提示：利用图形的变换作图是近几年中考的热点和重点，关键是掌握各种
变换的特征.
2．设计测量方案题对于较高不能直接测量或有障碍物不能直接进行测量的物体，利用所学数学知识，设计测量方案，得出测量结果．温馨提示：设计与生活密切相关的测量方案，是中考热点，注意平时对实际操作能力的培养.
2 2 2
＝ AB －BC ＝ 4 －2 ＝2 3，∴AD＝AC＝2 3. 在 Rt△BAD 中，BD＝ AB ＋AD ＝ 4 ＋ 2 3 又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB＝90°. ∴AE⊥BD.∴据面积公式可知 AB·AD＝AE·BD.
2 2 2 2
2
＝2 7.
AB·AD 4×2 3 4 3 4 ∴AE＝＝＝＝ 21. BD 2 7 7 7
(1)对于两个直角三角形，满足“一边一锐角对应相等，或两直角边
对应相等，两个直角三角形全等”．类似地，你可以得到“满足 ____________，或____________，两个直角三角形相似”．
(2)满足“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形相等”，类似地，你可以得到“满足________________的两个直角三角形相似”．请
AB AC 证法一：设＝＝ k ，则 AB ＝ kA′B′， AC ＝ A ′B ′ A ′C ′ kA′C′.