1[1].4数列在日常经济生活中的应用222
北师版高中数学选择性必修第二册精品课件 第一章 §4 数列在日常经济生活中的应用
P(1+r)n.( × )
(4)分期付款问题一定可转化为数列问题求解.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
与等差数列有关的应用题
【例1】 从4月1日开始,有一新款服装投入某商场销售.4月1日该款服装售
出10件,第二天售出25件,第三天售出40件,以后每一天售出的服装都比前
一天多15件,直到4月12日销售量达到最大,其后每一天售出的服装都比前
据:1.00711≈1.080,1.00712≈1.087,1.0711≈2.105,1.0712≈2.252.精确到1元)
解:设每期应付款x元,第n期付款后欠款An元,则A1=2 000(1+0.007)-x
=2 000×1.007-x,
A2=(2 000×1.007-x)×1.007-x=2 000×1.0072-1.007x-x,
10%的复利计算,试比较两方案的优劣.(计算时,精确到0.01万元,取
1.110≈2.594,1.310≈13.79)
10
1-1.3
解:甲方案 10 年共获利 1+(1+30%)+…+(1+30%)9=
≈42.63.
1-1.3
到期时,银行贷款本息为10×(1+10%)10≈25.94.
所以按甲方案扣除贷款本息后,净收益为42.63-25.94=16.69(万元).
所以an=166+(n-13)×(-9)=-9n+283(13≤n≤30,且n∈N+).
综上,an=
15-5(1 ≤ ≤ 12,且∈N+),
-9 + 283(13 ≤ ≤ 30,且∈N+).
12(1 +12 )
拓展资料数列在生活中的应用
数列在生活中的应用
在实际生活和经济活动中，很多问题都与数列紧密相关。
如分期付款、个人投资理财和人口问题、资源问题等都可运用所学数列知识进行分析，从而予以解决。
与此同时,数列在艺术创作上也有突出的作用! 数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。
这是对数学与生活关系的出色描述。
第一, 我重点分析等差数列、等比数列在实际生活和经济活动中的应用。
（一）按揭货款中的数列问题
随着中央推行踊跃的财政政策，购买房地产按揭货款（公积金贷款）制度的推出，极大地刺激了人们的消费欲望，扩大了内需，有效地拉动了经济增加。
众所周知，按揭货款（公积金贷款）中都实行按月等额还本付息。
那个等额数是如何得来的，另外假设干月后，还应归还银行多少本金，这些人们往往很难做到心中有数。
下面就来寻求这一问题的解决方法。
假设贷款数额a0元,贷款月利率为p,还款方式每一个月等额还本付息a元.设第n月还款后的本金为an,那么有:
a1=a0(1+p)-a,
a2=a1(1+p)-a,
a3=a2(1+p)-a,
......
an+1=an(1+p)-a,.........................(*)
将（*）变形，得（an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p.
由此可见，{an-a/p}是一个以a1-a/p为首项，1+p为公比的等比数列。
日常生活中一切有关按揭货款的问题，都可依照此式计算。
（二）有关数列的其他经济应用问题。
数列实际应用
数列实际应用
数列是按照一定规律排列的数的集合，它在数学中有广泛的应用，同时也在现实生活中有许多实际应用。
以下是一些数列在实际中的应用：
1.金融和经济学：在金融和经济学中，数列可以用于建模和分析投资回报、股票价格的变化、经济增长等。
例如，等差数列可以用来描述定期投资的增长，而等比数列可以用来建模复利效应。
2.工程：在工程领域，数列可以用于描述周期性变化。
例如，振动和波动的频率可以通过正弦或余弦函数的数列来表示。
这在机械工程、电子工程和声学等领域都有应用。
3.计算机科学：在计算机科学中，数列被广泛用于算法和数据结构。
例如，斐波那契数列常用于递归算法和动态规划，而等差数列和等比数列可以用于表示计算机内存中的数据结构。
4.统计学：在统计学中，数列可以用于建模和分析随机过程。
例如，随机游走模型中的数列描述了随机变量的变化。
这在风险管理、市场分析等方面有应用。
5.物理学：在物理学中，数列可以用于描述时间和空间中的变化。
例如，牛顿的运动定律中的等差数列描述了运动物体的位移随时间的变化。
6.生物学：在生物学中，数列可以用于描述生物体的生长、衰老和其他变化。
例如，菲波那契数列可以用于描述植物的分枝结构。
7.电信和通信：在通信领域，数列可以用于描述信号的变化。
例如，正弦数列可用于表示模拟信号，而二进制数列可用于表示数字信号。
8.交通规划：数列可以用于模拟交通流量的变化。
例如，等差数列可以用于描述车辆在道路上的运动，有助于交通规划和优化。
这些都只是数列在实际中的一些例子，数列的应用领域非常广泛，涵盖了几乎所有科学和工程领域。
数列在日常生活中的应用
运输成本控制
利用数列分析，可以精确 计算运输成本，为企业制 定合理的价格策略提供依 据。
运输安全保障
通过数列分析，可以发现 运输过程中的安全隐患， 采取有效措施保障运输安 全。
04
CATALOGUE
医学与健康
医学研究
疾病预测
药物研发
建筑材料
混凝土的配合比设计
混凝土是建筑工程中常用的建筑材料之一，其配合比设计对工程质量有着至关重要的影响。通过数列 的方法进行配合比设计，可以更加准确地确定各种材料的比例关系，提高混凝土的强度和耐久性。
钢材的规格与数列
在建筑工程中，钢材也是必不可少的建筑材料之一。不同规格的钢材具有不同的力学性能和适用范围 ，通过数列的方法可以对各种规格的钢材进行分类和排列，便于工程中选用合适的钢材规格。
药物副作用监测
通过收集和分析患者的用药数据，可以及时发现 药物的副作用和不良反应，保障患者安全。
05
CATALOGUE
教育与培训
课程设计
数学课程
数列是数学教育中的重要内容，用于教授学生数列的基本概念、 性质和计算方法。
编程课程
在编程中，数列常用于算法设计和数据结构，如数组和链表等。
经济学课程
在经济学中，数列用于描述经济数据的变化趋势和规律，如时间序 列分析。
物流管理
01
02
03
库存管理
利用数列表示不同商品的 销售量，可以预测商品的 库存需求，避免库存积压 和浪费。
配送路线优化
通过数列分析，可以找到 最优的配送路线，降低物 流成本和提高配送效率。
物流数据分析
利用数列分析，可以对物 流数据进行挖掘和可视化 ，帮助企业做出更科学的 决策。
数列在日常经济生活中的应用
元；第 2 期付款以及到最后一次付款时所生利息为 x(1＋0.008)10 元；……；第 12 期付款(无
利息)为 x 元，所以各期付款连同利息之和为 x(1＋0.008)11＋x(1＋0.008)10＋…＋x＝
11.0.0008812－－11x(元)．
又所购电器的现价及其利息之和为
2000×1.00812
元
，
于
是
有
1.00812－1 1.008－1
x
＝
2000×1.00812. 解得 x＝116.0×081.102－08112≈175(元)．即每期应付款 175 元．
递推关系型数列应用题 【例 3】 某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为 a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 d(d>0)，因此，历年所交纳的储备金数目 a1，a2，… 是一个公差为 d 的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而 且计算复利．这就是说，如果固定年利率为 r(r>0)，那么，在第 n 年末，第一年所交纳的储 备金就变为 a1(1＋r)n－1，第二年所交纳的储备金就变为 a2(1＋r)n－2，…，以 Tn 表示到第 n 年 末所累计的储备金总额． (1)写出 Tn 与 Tn－1(n≥2)的递推关系式； (2)求证：Tn＝An＋Bn，其中{An}是一个等比数列，{Bn}是一个等差数列．
链接一：等差数列{an}的通项公式 an＝a1＋(n－1)d 或 an＝am＋(n－m)d；前 n 项和公式 Sn＝a1n＋nn－2 1d 或 Sn＝na1＋ 2 an.
链接二：等比数列{an}的通项公式 an＝a1qn－1 或 an＝amqn－m；当 q＝1 时，前 n 项和 Sn ＝na1，当 q≠1 时，前 n 项和 Sn＝a111－－qqn或 Sn＝a11－－aqnq.
数列在经济生活中的应用
数列在日常经济中的应用 ——定期自动转存模型 定期自动转存模型 定期自动转存：例如，储户某日存入一笔 年期定期存 定期自动转存：例如，储户某日存入一笔1年期定期存 年后， 款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理 年后 如果储户不取出本利和， 转存业务， 年的本金就是第1年的本利和 转存业务，第2年的本金就是第 年的本利和。按照定期 年的本金就是第 年的本利和。 存款自动转存的储蓄业务（暂不考虑利息税）， ），我们讨 存款自动转存的储蓄业务（暂不考虑利息税），我们讨 论： 年的P元存款 （1）如果储户存入定期为 年的 元存款，定期年利 ）如果储户存入定期为1年的 元存款， 率为r，连存n年后 再取出本利和。试求出储户n年后 年后， 率为 ，连存 年后，再取出本利和。试求出储户 年后 所得本利和？ 所得本利和？ 万元定期存款， （2）如果储户存入 万元定期存款，存期为 年，年利 ）如果储户存入1万元定期存款 存期为1年 率为1.98%，那么 年后所得本利和为多少？ 年后所得本利和为多少？ 率为 ，那么5年后所得本利和为多少
5000(1 + 0.008)12 x= 2 10 1 + (1 + 0.008) + ⋅ ⋅ ⋅ + (1 + 0.008)
=880.81
5000(1 + 0.008)12 x= 6 1 + (1 + 0.008)
=2685.10
日借了5000元买电脑，月利率为 元买电脑， 例2：小强通过贷款在 ：小强通过贷款在2004年1月1日借了 年 月 日借了 元买电脑 0.8%，一年内分两次还清（6月后还第一次，12月后再还第二 月后还第一次， 月后再还第二 ，一年内分两次还清（ 月后还第一次 ），每次还款金额相同 每次还款金额相同， 小强每月要付款多少？ 次），每次还款金额相同，问：小强每月要付款多少？ 2004年1月1日 2004年7月1日 年 月 日
数列在日常经济生活中的应用-PPT课件-课件ppt
堂篇02
合作探究
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单利计算问题 【例1】 有一种零存整取的储蓄项目，它是每月 某日存入一笔相同的金额，这是零存；到约定日期，可 以提出全部本金及利息，这是整取．它的本利和公式如 下：
本利和＝每期存入金额 ×存期＋12存期×存期＋1×利率.
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(1)试解释这个本利和公式； (2)若每月初存入100元，月利率5.1‰，到第12个月底 的本利和是多少？ (3)若每月初存入一笔金额，月利率是5.1‰，希望到第 12个月底取得本利和2 000元，那么每月应存入多少金额？
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重点难点 重点：“零存整取”、“定期自动转存”、“分期付
款”等几种模型，利用它们解决实际问题. 难点：利用几种模型解决一些实际问题.
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预习篇01
新知导学
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零存整取模型
(1)单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利
息，对本金所产生的利息 不再计算利息
，其公式
为利息＝ 本金×利率×存期
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数列应用题中常见模型是哪些？ 提示：等差模型和等比模型．
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1．数列实际应用题的解题策略 解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻 理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把 应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题，然后求 解．
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2．处理分期付款问题的注意事项 (1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利 息(注：最后一次付款没有利息)． (2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款 时所生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款 时的利息之和，只有掌握了这一点，才可以顺利建立等量 关系．
规律方法 单利的计算问题，是等差数列模型的应用.
数列在日常经济生活中的应用
濉溪二中2012-2013学年导学案课题：数列在日常经济生活中的应用编制人：姚林审核人：肖亚(1)学习目标1. 了解“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常经济行为的含义．2. 能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题.3、通过具体的问题情境，发现并建立数学模型，会利用它解决一些存款计息问题，感受数列的广泛应用.（2）预备知识①温故知新：等差数列及等比数列定义、通项公式和前n项和公式同学们，你们经历过存款吗？你们知道储蓄有哪些业务种类？存款有利息吗？（3）导学问题。
1．常见储蓄及利息的计算方法（1）银行存款计息方式有两种：单利和复利，它们分别以________和_______为数学模型（2）单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息。
以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和，则有_________________（3）复利：把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是_____________2．三种应用模型（1）零存整取储蓄每期初存入金额A，连存n次，每期利率为p，税率为q，则到第n期末时，应得到全部利息为： ________________（2）定期自动转存模型银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务，第二年的本金就是第一年的本利和.（3）分期付款问题贷款a元，分m个月将款全部付清，月利率为r，各月所付款额到贷款全部付清时也会产生利息，同样按月以复利计算，那么每月付款款额为： _______________________.（4）应用练习探究一:等差数列模型例1、某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并 加付欠款利息，月利率为1％。
高中数学知识点精讲精析 数列在日常经济生活中的应用
1.4 数列在日常经济生活中的应用1. 银行存款计息方式：①单利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息. 其公式为： 利息=本金×利率×存期以符号P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本金和利息和(以下简称本利和)，则有)1(nr p S +=②复利 把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的。
复利的计算公式是n r p S )1(+=2. 零存整取模型银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)，设每月存入金额为x 元,月利率r 保持不变,存期为n 个月,推导出到期整取本利和S 的公式如下：第一个月存入的x 元，到期利息为n r x ⋅⋅元；第二个月存入的x 元，到期利息为)1(-⋅⋅n r x 元；……；第n 个月存入的x 元，到期利息为xr 元。
不难看出，这是一个等差数列求和的问题。
得各月利息之和为：x r n n n xr 2)1()21(+=+++ （元） 而本金为nx 元，这样就得到本利和公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=2)1(r n n n x S （元） )(+∈N n ； 3. 定期自动转存模型银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务，第二年的本金就是第一年的本利和.按照定期存款自动转存的储蓄业务(暂不考虑利息税)。
设储户存入定期为1年的P 元存款，定期年利率为r ，连存n 年后，推导出储户n 年后所得本利和n a 的公式如下： 第1年存入的本金P 元，1年后到期利息为r P ⋅，1年后本利和为)1(1r P r P P a +=⋅+=（元）；2年后到期利息为r r P )1(+元，2年后本利和为22)1()1()1(r P r r P r P a +=+++=（元）； ……各年的本利和是一个以)1(1r P a +=为首项，公比为r q +=1的等比数列{}n a ，故n 年后到期的本利和为：n n n n r P r r P q a a )1()1)(1(111+=++==--（元）4. 分期付款问题①分期付款分若干次付款，每次付款的款额相同，各次付款的时间间隔相同.②分期付款中双方的每月（年）利息均按复利计算，即上月（年）的利息要计入下月（年）的本金.③分期付款中规定：各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息和，等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和，这在市场经济中是相对公平的.④分期付款总额要大于一次性付款总额，二者的差额与分多少次付款有关，且付款的次数越小，差额越大.⑤分期付款是数列知识的一个实际应用，在现实生活中形式很多，要注意在平时的学习生活中，及时发现问题，用数学的方法去分析、解决问题5. 由于数列在现实生活中有着广泛的应用，所以数列应用题在数列中占有一定的地位，而对于这类问题的解决其基本步骤为：①仔细阅读题目，认真审题，将实际问题转化为数列模型;②挖掘题目的条件，分析该数列是等差数列，还是等比数列，分清所求的是项的问题，还是求和问题，然后利用数列的有关知识进行解答，得出结果;③检验结果，写出答案例1: 王师傅在银行开设了每月定额存入，按单利计息的零存整取帐户。
数列在日常经济生活中的应用_PPT课件
[题后感悟] 分期付款问题，其关键是将现实
问题转化为数列问题，化归为等比数列或等差
数列求和．在建立数学模型时，应抓住数量关 系，联想数学方法适当引入参变量，将文字语 言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表 示．
2．某家用电器一件现价2000元，实行分期付 款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一 个月开始付款，每月付款1次，共付12次，购 买后一年还清，约定月利率为0.8%，按复利计 算，那么每期应付款多少？
2．三种应用模型
(1)“零存整取”模型
每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存； 到约定日期，取出全部本利和，这是整取，规 定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)．
(2)“定期自动转存”模型
银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转 存．例如，储户某日存入一笔存期为1年的存 款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行 自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的 本利和．
用分期付款购买价格为25万元的住房一套， 如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上 欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再 过1年又付款一次，直到还完后为止．商定年 利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全
部付清后实际共付多少元？
每次付款数构成数列{an} ―→ 求a1，a2，a3 ―→ 找出规律求an ―→ 判断{an}是等差数列 ―→ 求a5，S10
[题后感悟] 如果容易找到该数列任意一项an 与它的前一项an－1(或前几项)间的递推关系式， 那么我们就可以用递推数列的知识求解问题．
解析： 设2010年1月份产值为a， 则12月份的产值为pa，假设月平均增长率为r，
则a(1＋r)11＝pa，∴r＝11 p－1.
答案： 11 p－1.
数列在生活中的应用共23页
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字使人精确。——培根
数列在生活中的应用
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
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M (1 22 %) (10 P (1 1 %)
10 x )
10
,
依题意列不等式： M (1 22 %) (10 P (1 1 %)
4
10 x )
10
M 10 P
4
(1 10 %)
即
1 . 22 (10
4
10 x )
11000 ,
例5（1996年全国高考试题）某地现有耕地10000公顷， 规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有 量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕 地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷， 设1.0110=1.1045） [分析]这是一个实际应用问题.由于考虑的是人口平均 增长率，因此每年年底的人口总数组成一个等比数列， 而每年年底的耕地数组成一个等差数列.
北师大课标必修5·§1.4
1.4 数列在日常经济 生活中的应用（2）
分期付款问题
分期付款的有关规定
1.分期付款分若干次付款,每次付款额相同, 各次付款的时间间隔相同.
2.分期付款中双方的每月(年)利息均按复利 计算,即上月(年)的利息要计入本金. 3.各期所付的款额连同到最后一次付款时所 产生的利息和,等于商品售价及从购买到最后 一次付款的利息和,这在市场经济中是相对公 平的.
A.511个 B.512个 C.1023个 D.1024个 [分析]由题意，这种细菌原有的个数，经过20分钟， 40分钟，60分钟，…分裂后的个数分别为1，2，22， 23，… .这是一个等比数列，公比为2.因此经过3小时， 这种细菌的个数为a10=1·10-1=29=512.故本题应选B. 2
[说明]此类问题切忌硬套类型、公式.要注重对问题 分析过程的思考（这里即细菌个数随时间变化的规律 的考察），这样即使不套用等比数列的公式，也会得 出29 的结果.
[解] 设耕地每年至多只能减少x公顷，那么10年后耕地面积 为（10000-10x）公顷. 设该地区现有人口为P，那么10年后人口为P· （1+1%）10. 设现在粮食单产为M吨/公顷，那么10年后粮食单产为M （1+22%）吨/公顷.
现在人均粮食占有量为
M 10 P
4
,
4
10 年后人均粮食占有量为
2 4
12
1 1 .0 0 8 1 .0 0 8 1 .0 0 8
10
[ [ 8 8 0 .8( 元 )
答:小华每次付款的金额为880.8元.
例3. 小华准备购买一台售价为5000元的电脑, 采用分期付款的方式,并在一年内将款全部付 清.商场提出的付款方式为:购买后2个月第1 次付款,再过2个月第2次付款……购买后12个 月第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率 为0.8%,每月利息按复利计算.求小华每期付 的金额是多少?
8
同理,购买12个月后第6次付款 x 元,此 x 元当月的
本利和为 x 1 0 .0 0 8 元
0
又,小华一年后应还给商场的总金额增值为:
5 0 0 0 1 0 .0 0 8 元
12
x 1 1 .0 0 8 1 .0 0 8 1 .0 0 8
6
12
1 .0 0 8
4
10
x 1 .0 0 8 x
8 2
[[[[[[ [ 1 .0 0 8 x 1 .0 0 8 x 1 .0 0 8 x x
由题意年底还清,所以 A1 2 0 解得:
x
5 0 0 0 1 .0 0 8
x 4.
x 10
3
1 . 1045 11 11045 4 .1 . 122
付款6次,它们在12个月后的本 利和的累加与一年后付款总额相等.
解:设小华每期还款 x 元,则 购买2个月后第1次付款 x 元,此 x 元到10个月后 本利和为 x 1 0 .0 0 8 元
10
购买4个月后第2次付款 x 元,此 x 元到8个月后 本利和为 x 1 0 .0 0 8 元
2 4
10
5 0 0 0 1 .0 0 8
10
12
x
5 0 0 0 1 .0 0 8
2 4
12
1 1 .0 0 8 1 .0 0 8 1 .0 0 8
[ [ 8 8 0 .8( 元 )
例1.（1994年全国高考试题）某种细菌在培养过程 中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）.经过3 小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ）
设小华每期还款x元,第k个月末还款后的本利欠 2 款数为Ak元,则 A2 5 0 0 0 1 0 .0 0 8 x
A 4 A 2 1 0 .0 0 8 x
2
[ [[ [ 5 0 0 0 1 0 .0 0 8 1 .0 0 8 x x
分期付款模型 例3. 小华准备购买一台售价为5000元的电 脑,采用分期付款的方式,并在一年内将款 全部付清.商场提出的付款方式为:购买后2 个月第1次付款,再过2个月第2次付款…… 购买后12个月第6次付款,每次付款金额相 同,约定月利率为0.8%,每月利息按复利计 算.求小华每期付的金额是多少? 分析1:考虑小华每次还款后,还欠商场的金额.
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A 6 A 4 1 0 .0 0 8 x
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2 A1 2 A1 0 1 0 .0 0 8 x
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