动力学-第一章-质点动力学
质点动力学
a2 b2
可见，质点的运动轨迹是以
a、b 为半轴的椭圆。对运动方
程求二阶导数，得加速度
13
aaxy
x a 2 cost y b 2 sint
2x 2 y
即
a axi ay j 2r
将上式代入公式中，得力在直角坐标轴上的投影
FFxy
max may
m 2x m 2 y
dv dt
积分。
如力是位置的函数，需进行变量置换
d v v d v , 再分离变量积分。 dt ds
16
[例3] 质量为m的质点沿水平x轴运动，加于质点上的水平为
F F0 cos t ，其中 F0， 均是常数，初始时 x0 0，v0 0 。
求质点运动规律。
解 研究质点在水平方向受力作用。建立质点运动微分方程
再积分一次
19
代入初始条件得 :
c1 v0 cos0 , c2 v0 sin 0 , c3 c4 0
则运动方程为:
则轨迹方程为:
xv0tcos0,yv0tsin0
y
xtg
0
1 2
g
v0
2
x02
c os2
0
1 2
gt
2
代入最高点A处值，得： d y dt
v0
sin 0
gt
0,
即
t v0 sin0
即 F Fxi Fy j m 2r
可见，F和点M的位置矢径r方向相反，F始终指向中心，其
大小与r的大小成正比，称之为向心力。
14
第二类问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积 分问题）。
已知的作用力可能是常力，也可能是变力。变力可能是时 间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。 解题步骤如下： ① 正确选择研究对象。 ② 正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力
大学物理第一章-质点运动学和第二章-质点动力学基础
i
k
j
这样：A B ( Ax i Ay j Az k ) ( Bx i B y j Bz k )
矢量的数积（数乘）： mA mAx i mAy j mAz k
z
Δr r ( A)
o
A
B
r ( B) y
x rA x Ai y A j rB xB i yB j 位移 r rB rA ( x x )i ( y y ) j B A B A 三维空间
r ( xB x A )i ( yB y A ) j ( zB z A )k 2 2 2 r x y z 位移的大小为
瞬时加速度 与瞬时速度的定义相类似，瞬时加速速度是一个 极限值 2 v
a lim
t 0
d r d v dt dt2 t
瞬时加速度简称加速度，它是矢量，在直角坐 标系中用分量表示:
2 d vx d x ax 2 dt dt d vy d2 y ay dt dt2 d vz d 2 z az dt dt2
§1-1
参考系与坐标系
时间
要定量描述物体的位臵与运动情况，就要运用 数学手段，采用固定在参考系上的坐标系。
常用的坐标系有直角坐标系 (x,y,z) ，极坐标系 (,)，球坐标系(R,, )，柱坐标系(R, ,z )。 z z
z y x o x
o
R y R
参考方向
2. 空间和时间
切向单位矢量
法向单位矢量 n
et
显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。
第01章质点运动学共45页
dxdv
dt
vdva(x)dt
d v dt a(v)
例1-1 已知某质点的运动方程为： r v [ ( 2 t 2 1 ) i v ( 2 t 3 ) v j ] ( m ) ( t 0 )
求：（1）轨道方程； （2）t=0（s）至 t=2（s）内的平均速度； （3）t=0（ s ）和 t=2（s）时的瞬时速度； （4）t=0（s）至 t =2（s）内的平均加速度; （5）t=0（s）和 t=2（s）时的瞬时加速度。
dx kx dt
x dx t
kdt
x x0
0
dx kdt x ln x kt
x0
x x0ektv=-kx源自ektak2x0ektvv(t) vv(x) a a ( t) ;a a ( x ) ;a a ( v )
adv a(x) dt
a dv a(v) dt
dvdxa(x) dvva(x)
y y(t) z z(t)
消 去 tGF((xx,,
y,z) y,z)
0 0
5．位移 (displacement)
u p u p u r r v (t t) r v (t) r v
P • s
位移矢量反映了物体运动中位置 ( 距离与方位 ) 的变化。
讨论 (1) 位移是矢量（有大小，有方向）
1. 平均速度
v vΔrvrv(tt)rv(t)
t
t
2. 瞬时速度
v vlimrv(t t)rv(t)drv
t 0
t
dt
讨论
(1) 速度的矢量性、瞬时性和相对性。
(2) 注意速度与速率的区别
vv d rv dt
vvvdrvds dr dt dt dt
质点动力学
质点动力学
t t0
Fi
dt
n
mi vi
n
mi vi0
i 1
i 1
其分量式： t t0
Fixdt
mivix
mi
vi
0
x
t t0
Fiydt
miviy
mi
vi
0
y
t t0
Fizdt
miviz
mivi0 z
此式表明，外力矢量和在某一方向的冲量等于 在该方向上质点系动量分量的增量。
1）动量定理说明，质点动量的改变是由外力和 外力作用时间两个因素，即由冲量决定的。
2）冲量的方向不是与动量的方向相同，而是与 动量增量的方向相同。
质点动力学
3） 动量定理 P 是矢量式，其直角坐标
的分量式为：
I Ixi Iy j Izk
I x
t2 t1
Fx
dt
mv2 x
mv1 x
2）若合外力不为 0，但在某个方向上合外力分量 为 0，则在该方向上动量守恒。
ΣFix 0 , ΣFiy 0 , ΣFiz 0 ,
px mi vix C x p y mi viy C y pz mi viz C z
质点动力学
3）自然界中不受外力的物体是没有的，但如果系 统的内力 >> 外力，可近似认为动量守恒。在碰 撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中， 往往可忽略外力。
1、恒A 力F直c线os运 动| 的rr |功：F
Δr
r
r
F
F
θ
位移无限小时：dA
r F
drr
Δr
dA F cos drv F cosds = Fτ ds
大学物理第1章-质点运动学
x2 x1 x2 = l h
(h l)x2 = hx1
h l
解题思路 1. 写出几何长度关系 写出几何长度关系; 2. 确定变量 确定变量; 两边求导： 两边求导： 3. 写出求导关系式 写出求导关系式; 4. 明确求导物理意义 明确求导物理意义;
dx2 dx1 o x1 x2 x (h l) =h dt dt dx2 dx1 hv0 其中： =v , = v0 v = dt dt h l
瞬时速率： 瞬时速率：
s ds v = lim = t dt t →0
v r
B
一般情况： 一般情况： 当t→0时： → 时
v v r ≠ s 因此 v ≠ v
v v v r → dr = ds 则 v = v
1-2-4 加速度
加速度是反映速度变化的物理量 v t1时刻，质点速为 v1 时刻， v t2时刻，质点速度为 v2 时刻， t 时间内，速度增量为： 时间内，速度增量为：
大学物理学教案
第一章
质点运动学
机械运动
一个物体相对于另一个物体的空间位置 随时间发生变化； 随时间发生变化； 或一个物体的某一部分相 对于其另一部分的位置随时间而发生变化的 运动。 运动。
力学
研究物体机械运动及其规律的学科。 研究物体机械运动及其规律的学科。
运动学： 运动学：
研究物体在空间的位置随时间的变化规 律以及运动的轨道问题， 律以及运动的轨道问题，而并不涉及物体发 生机械运动的变化原因。 生机械运动的变化原因。
v tv ∫v dr = ∫ vdt
r0 t0
v0 v r
t0
匀加速运动
dv = adt ,
∫
v
v0
dv = ∫ adt
1.2大学物理(上)——质点动力学
t2
t1
n n t 2 n n 1 n Fi外 dt f ij dt mi vi 2 mi vi1 t1 i 1 i 1 i 1 i 1 j 1
因为内力总成对出现即：
i 1 j 1
x n
2mv cos fn fx 20 N t
[例2.6]: 如图（见书），一辆装矿砂的车厢以v=4ms-1的 速率从漏斗下通过，每秒落入车厢的砂为k=200kg/s， 如欲使车厢的速率下变，须施与车厢多大的牵引力（忽 略车厢与地面的摩擦）。
[分析]：系统的质量m在变化。设t时该已落入车厢 的砂为m，经dt后又有dm=kdt的砂落入车厢。以m 和dm为研究对象。在水平方向的动量定理为：
ra
可见万有引力是保守力。
③ 、弹力的功
F kx
1 1 2 2 AS kxdx ( kxb kxa ) xa 2 2 1 1 2 2 kxa kxb 2 2
xb
初态量
末态量
弹簧振子
可见，弹性力是保守力。
[例2.8]:在离水平面高为H岸上，有人用大小不变的 力F拉绳使船靠岸，求船从离岸x1处移到x2处的过 程中，力F对船所作的功。
经典力学中不区分引力质量和惯性质量
三、第三定律（Newton third law）
两个物体之间对各自对方的相互作用总是相等
的，而且指向相反的方向。
F1 F2
作用力与反作用力：
1、它们总是成对出现，它们之间一一对应。
2、它们分别作用在两个物体上，绝不是平衡力。 3、它们一定是属于同一性质的力。
2、功率 指力在单位时间内所作的功
W 平均功率： P t
质点动力学的相关概念
质点的动量定理：质点在运动过程中，所受合外力在给定时间内的冲量等于质点在此时间内动量的增量。
质点系的动量定理：在一段时间内，作用于质点系的外力的矢量和的冲量等于质点系总动量的增量。
动量守恒定律：当系统不受合外力或受合外力的矢量和为零时，系统的总动量不变，即恒矢量==0p p 以及力与位移、力作用点位移的大小等于力的大小功：力对物体所做的功s F , 的乘积。
之间夹角余弦θcos当n 个力同时作用于质点上时，这些力在某一过程中分别对质点做功的代数和，等于这n 个力的合力在同一过程中对质点所做的功。
即n F F F F +++= 21 ， ⎰∙=BL A dr F W )(功率：力在单位时间内所做的功瞬时功率：瞬时功率等于力在速度方向上的投影和速度大小的乘积，或者说瞬时功率等于力矢量与速度矢量的标量。
重力弹性力 非保守力：摩擦力万有引力质点的动能定理：合外力对质点所做的功，等于质点动能的增量。
动能反应了运动物体的做功本领。
质点系动能定理：作用于质点系的合力所做的功，等于质点系的动能增量。
（合力是指内力+外力）（质点系的动量定理中的合外力是指物体所受的外力，不包括内力）质点系的动能增量，等于作用于质点系各质点的外力和内力做功之和。
即∑∑∑+=外内W W W i i质点系内所有内力做功之和并不一定为零，因此可以改变系统的总动能。
质点系的功能原理：外力和非保守力所做功之和等于质点系机械能的增量。
E E E E E E E W p k p k p k ∆=+∆=+-+=+∑∑)()(W 1122）（非保内外质点系的机械能守恒定律：仅当外力和非保守内力都不做功或其元功的代数和为零时，质点系内各质点间动能和势能可以相互转化，但它们的总和（即总机械能）保持不变。
机械能守恒定律只适用于惯性参考系，并且物体的位移、速度必须相对同一惯性参考系。
能量守恒定律：对于一个封闭性系统来说，系统内的各种形式的能量可以相互转换，也可以从系统的一部分转移到另一部分，但无论发生任何变换，能量既不能产生也不能消失，能量的总和是一个常量。
1第一章-质点力学基础
第6页，共54页。
质点：任何物体都有一定的大小和形状,但 当物体的大小和形状在所描写的运动中所起 的作用可以忽略不计时,我们就把它看作是
一个只有质量而没有大小和形状的点,称为 质点.
第7页，共54页。
二、参考系与坐标系
根据叉积运算定义,可以得到如下结果：
第12页，共54页。
四、质点的运动
运动描述
位置矢量
空间一质点 P 的位置可以用三个坐标 x,y,z 来确定,也可以用从原点O到P点的 有向线段 表示, 称 为位置矢量.
在直角坐标系中, 可以表示为
其中x,y,z,分别表示 在三个坐标轴上的分量, 分别表示沿三个坐标轴正向的单位矢量.
第13页，共54页。
质点运动过程中,其位置随时间的改变可以 表示为
或
第14页，共54页。
位移
质点在一段时间内
位置的改变称为它 在这段时间内的位
y
移,记作 ,大小标
志着在这段时间内质 点位置移动的多少,
方向表示质点的位 O 置移动方向.图中s 表示路程.
z
第15页，共54页。
P1 s P2
x
速度
坐标系：描述一个物体的运动需要另一个物体作为参考,这
个被选定的参考物体称为参考系.
为了定量地描写物体运 动的位置以及位置随时 y 间的变化,在三维空间 中,需要标出三个独立 的量来唯一地确定一点 的位置.如图所示为三 O 条坐标轴(x轴、y轴、z
轴)相互垂直的直角坐标 z
系.
第8页，共54页。
P(x,y,z) x
被称为引力质量
经典力学中不区分引力质量和惯性质量
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结基本概念：质点：具有质量但没有体积和形状的物体模型。
力：质点动力学研究的核心内容，包括恒力、变力和约束力。
运动方程：描述质点在外力作用下的运动规律的基本方程。
动量：描述质点运动状态的重要物理量，等于质点的质量乘以速度。
动能：描述质点运动状态的另一个重要物理量，等于质点的质量乘以速度的平方再乘以1/2。
势能：描述质点在外力场中的势能状态的物理量，势能的大小与质点所处位置有关。
角动量和角动量定理：与质点的旋转运动相关的物理量和定理。
基本理论：牛顿运动定律：描述了质点在作用力作用下运动的规律，即F=ma，其中F表示合外力，m表示质点的质量，a表示质点的加速度。
动量定理：通过动量的概念揭示了力与运动之间的内在联系，即合外力的冲量等于物体动量的变化量，表达式为Ft=mV-mv。
动能定理：引入动能的概念，建立了力学与能量之间的关系，即合外力做的功等于物体的动能的改变量，表达式为W=1/2mV^2-1/2mv^2。
分析方法：矢量方法：利用矢量运算符对问题进行矢量分析。
微分方程方法：将运动方程化为微分方程，然后求解微分方程获得运动规律。
能量方法：利用能量守恒定律等能量原理分析运动问题。
实际应用：军事方面：应用在导弹、卫星、航天器和飞机等领域，研究其受力情况和运动规律，从而提高军事制式的效率和效果。
经济方面：应用在金融市场和交通运输领域，分析市场变化和流动性，以及货运运输的效益和优化策略。
社会方面：研究城市交通拥堵问题、人口迁移以及城市规律，以提高城市的运作效率和质量。
总的来说，质点动力学涉及到质点的运动规律、动量、动能、势能等基本物理量的研究，以及相关的理论和实际应用。
通过学习和掌握质点动力学的知识，可以更好地理解物体在外力作用下的运动规律，以及如何利用这些规律解决实际问题。
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结质点动力学是物理学中非常重要的一个分支，它研究的是质点在力的作用下的运动规律。
在质点动力学中，我们通常假设质点的大小可以忽略不计，只考虑它的位置和速度，这样我们就可以用简单的数学模型描述质点的运动。
在本文中，我们将系统地总结质点动力学的一些基本知识点，包括质点的运动方程、牛顿运动定律、动量和能量等。
希望本文可以帮助读者更好地理解质点动力学的基本概念和原理。
一、质点的运动方程质点的运动可以用位置矢量 r(t) 来描述，它随时间 t 的变化可以用速度矢量 v(t) 来表示。
根据牛顿第二定律 F=ma，质点的运动方程可以写成：m*a = F，其中 m 是质点的质量，a 是质点的加速度，F 是作用在质点上的力。
根据牛顿运动定律，我们可以利用力学原理得到质点在外力作用下的运动规律。
二、牛顿运动定律牛顿运动定律是质点动力学的基础，它包括三条定律：1. 第一定律：物体静止或匀速直线运动时，外力平衡。
这是牛顿运动定律中最基本的一条定律，也是质点动力学的基础。
2. 第二定律：力的大小与加速度成正比，方向与加速度的方向相同。
这条定律描述了质点在外力作用下的加速度与力的关系，是质点动力学的重要定律之一。
3. 第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反，且作用在不同物体上。
这条定律描述了两个物体之间的相互作用，也是质点动力学中不可或缺的定律之一。
三、动量动量是质点运动的另一个重要物理量，它定义为质点的质量 m 乘以它的速度 v，即 p=m*v。
根据牛顿第二定律 F=dp/dt，我们可以推导出动量的变化率与外力的关系，从而得到动量守恒定律。
动量守恒定律是质点动力学中非常重要的一个定律，它描述了在没有外力作用下，质点的动量将保持不变。
根据动量守恒定律，我们可以在实际问题中很方便地利用动量守恒来解决问题。
四、能量能量是质点动力学中另一个重要的物理量，它定义为质点的动能和势能的总和。
动能是质点由于速度而具有的能量，它和质点的质量和速度有关；势能是质点由于位置而具有的能量，它和质点的位置和作用力有关。
1-1 质点运动的描述
-2
1 – 1 质点运动的描述 2 已知运动状态求运动方程
物理学简明教程
质点沿x 轴作匀加速直线运动，加速度为a， 初始条件为：t = 0时，x = x0，v = v0。求质点的运 动方程。 由 a dv / dt 得 解：
dv adt
v0 0
v
t
积分，得 v v 0 at 又由 v dx / dt 得
r s 单方向直线运动 t 0 极限情况下 d r d s
第一章 质点的运动及其运动规律
1 – 1 质点运动的描述 三 速度
物理学简明教程
r 1 平均速度 v t
大小：v
r t
r x y i j vx i v y j v t t t
dx v dt (v
x0 0
x
t
0
at )dt
1 2 积分，得 x x0 v 0t at 2
第一章 质点的运动及其运动规律
1 – 1 质点运动的描述 二 位置矢量 运动方程 位移 1 位置矢量（位矢、矢径）
物理学简明教程
y
y j
k
r xi yj zk
r r
2 运动方程
r OP
2
o i z x
2
r
*
P
x
r 随时间变化的关系式 r r (t )
第一章 质点的运动及其运动规律
1 – 1 质点运动的描述 【章首问题】 楼层高度为h的百货 商场，电动扶梯的倾角为 =45，如图所示。某顾 客从一楼随扶梯的运动上 到六楼，此人由一楼扶梯 端口A到六楼扶梯端口B的 位移大小和方向是
大学物理基础学第一章
t 0
r t
ˆ ˆ r xi yˆ zk j
x ˆ y ˆ z ˆ dx ˆ dy ˆ dz ˆ lim( i j k) i j k t 0 t t t dt dt dt
ˆ ˆ vxi v y ˆ vzk j
即：rB
x
rA
7. 速度 1 平均速度和平均速率 平均速度： 质点在 t时间内完成的 位移和所经历的时间之比 y （t） （t+t） A ΔS B
v
r t
r
x
z 反映质点位臵变化的平均快慢。 平均速率： 质点在 t时间内所完成 的路程和所经历的时间之比
v
S t
注意： 加速度的方向就是时间t 趋近于零时速度增量 的极限方向，一般与速度的方向不同。 （1）质点做直线运动时，加速度与速度可同向 也可反向。 （2）质点做曲线运动时，加速度方向总是指向 轨迹曲线凹的一边。 如果速率增加，加速度与速度的夹角成锐角；
如果速率减少，加速度与速度的夹角成钝角；
如果速率不变，加速度与速度的夹角成直角。
6.位移
ˆ ˆ ( xB i yB ˆ zB k) j ˆ ˆ ( x Ai y A ˆ z Ak) j ˆ ˆ xi yˆ zk j
注意：
C
rA
rB
y
o
1.位移 rAB
x rB rA 是矢量。
方向:指向被减矢量的末端B。 大小:为AB线段的长度。
速率： v v
2 2 vx v 2 vz y
8.加速度
(1)平均加速度
在t 时间内质点运动速度的增量 v 与间 t 之 比，称为质点在一段时间内运动的平均加速度。 v a t
质点运动学和动力学
大学物理
当 t 0 时, dr ds ds v et dt
速度方向 切线向前
d s 速度大小 v dt ds 速度 的值 称速率 v v dt
dx 2 dy 2 dz 2 v v ( ) ( ) ( ) dt dt dt
大学物理
r dr v lim t 0 t dt
v - v0 adt a dt at
0 0
t
t
v v0 at
dx vdt 1 2 x x0 vdt （v0 at）dt v0t at 0 0 2
t t
大学物理
a不定值
（1）一般变速直线运动，a是关于t的函数， 即 a= a（t） t v v0 a（t）dt
质点的速度时刻在变化
大学物理
2.一般变速直线运动的位移计算
变速直线运动：对一定的参照系而言，如果 质点运动的轨迹是一条直线，我们就说该质 点在作直线运动——一维坐标来描述 Δr=Δx=f(t) 即Δ x=vΔt
r o
x
大学物理
精确表示时 两边同时积分得
t 0
dx vdt
t
0
x
x
0
dx t vdt
vx
o
α
vx
v0 x
d0
vy
v
x
大学物理
求最大射程
2 2v dd 0 2 v 0 d0 sin cos， cos 2 0 g d g π 当 ， y 实际路径 真空中路径 4
r (t )
x
o
x
dx 2 dy 2 （ D） ( ) ( ) dt dt
dr dr dt dt
大学物理-质点动力学学
质量为10千克的物体静止于地面上，受x轴方向水平拉力F的作用 ，沿x轴方向作直线运动，力F与时间的关系如图所示，设物体与 地面的摩擦系数为0.2。在t = 4秒时的速度大小___________，在t = 7秒时的速度大小_______________。
F(N)
30
t (s) 0 4 图 2-29 7
A F dr
0
2R
F0 x d x
0
F0 y d y 2 F0 R
0
2
注意：
① 功是标量(代数量) A> 0 力对物体做正功
A<0
A=0
力对物体做负功
力作用点无位移或者力与位移相互垂直
② 当质点受几个力作用时，其合力的功为
A
b
a
F合 d r
b
例2-1. 质量为m的物体被竖直上抛，初 速度为v0 ，物体受到的空气阻力数值与 解题步骤： 其速率成正比，即f = kv，k为常数，求 (1) 确定研究对象。隔离 物体升到最高点所需的时间及上升的最 体法。 大高度。 (2) 受力分析，画示力图。 解：建立如图所示的坐标系 x (3) 建立坐标系。 物体上升过程中受力分析如下： (4) 对各隔离体建立牛顿 重力： m g 阻力： f 运动方程(矢量式——分 m g 物体所受的合外力为 量式) 。 o f F mg f mg kv (5) 解方程。进行文字运 算，然后代入数据求解。 (1) 根据牛顿第二定律可得
2、非惯性系
t t
S系 x, y , z , t
2. 伽利略速度变换 正变换：
u u x v x u u y y u u z z
a a x x a a y y a a z z
理论力学质点动力学
˙ 、和时 质点的加速度¨ r 和作用力F 成正比。一般情况下，力可以是坐标r、速度r 间t 的函数。这里m 为惯性质量。
1.2 动量、角动量和能量
(1) 动量与冲量 动量的定义：p = mv；冲量：Fdt； 动量定理： ˙ = F(r, r ˙ , t), p dp = Fdt；动量对时间的变化率等于力。 冲量定理：p2 − p1 = p1 ，意味着动量守恒。 (2) 角动量与力矩 角动量的定义：J = r × p. 力矩：M = r × F.
Contents
1 质点动力学 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 牛顿动力学方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 动量、角动量和能量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 各种坐标系下的牛顿方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 4
r
F · dr = V (r) − V (0)
0 r
=
0 r
dV ∂V ∂V ∂V dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ∇V · dr.
0
=
0 r
=
r
(F − ∇V ) · dr = 0.
0 r
(1.6)
因为路径是任意的，故F = ∇V ，可以看出V (r) = V (0) + 0 F · dr，只要知 道保守力的表达式，即可由此得到势能的表达式。注意，这里如果假定无穷远 处为能量零点，即可得F = −∇V 。 (iii) 机械能 机械能：势能和动能之和 T + V 。 对于保守力，我们有 dT = F • dr = −∇V (r) • dr = −dV 。 于是，d(T + V ) = 0，即机械能守恒。
第1章 质点运动学
dr υ= dt
方向： 方向：切线方向
速度是位置矢量对时间的一阶导数
第一章 质点运动学 9
3) 平均速率和瞬时速率 平均速率
S υ= t
S dS υ = lim = dt 0 t → t
运动路径
P (t1 )
瞬时速率 讨论
υ
r
s
Q(t2 )
速度的矢量性、瞬时性和相对性。 1) 速度的矢量性、瞬时性和相对性。 2) 速度和速率的区别
∫
∫
第一章 质点运动学
18
§1-4 用自然坐标表示平面曲线运 动中的速度和加速度
自然坐标系 （用自然坐标 表示质点位置） 用自然坐标S表示质点位置 表示质点位置）
设质点作曲线运动，且轨迹已知， 设质点作曲线运动，且轨迹已知，则 选参考点和正方向即可建立自然坐标。 选参考点和正方向即可建立自然坐标。运 动方程为： 动方程为： s = s(t) 单位切向量τ ： 长度为 ，沿切向指向运动方向 长度为1， 单位法向量 n： 长度为 ，沿法向指向凹的一侧 长度为1，
S = Rωt
第一章 质点运动学 7
§1-2 质点的位移、速度和加速度 质点的位移、
一、位移
描述质点位置变化的物理量 几何描述： 几何描述： PQ 数学描述： 数学描述： r
= r ( t + t ) r ( t )
r( t )
P S Q r
r ( t + t )
r
讨论 (1) 位移是矢量（有大小，有方向） 位移是矢量（有大小，有方向） 位移不同于路程 r ≠ S (2) 位移与坐标选取无关 (3) 由质点的始末位置确定， 由质点的始末位置确定， 与中间运动过程无关 (4) 分清 r 与r 的区别
欧拉动力学方程一、欧拉动力学方程...
第一章 质点运动学§1-1 质点运动的矢量描述与直角坐标描述一、参考系和坐标系有一定大小且不变形的物体, 或几个相对位置保持不变的物体, 都可以作为参考系. 一个点不能作参考系！坐标系可以看成是由坐标曲线组成的带有标度的空间网格.各种坐标系的坐标曲线都在它们的交点处互相正交, 都属于正交曲线坐标系.沿质点所在位置的坐标曲线切线方向建立的一组单位矢量称为坐标系的基矢. 直角坐标系Oxyz (坐标曲线321,,c z c y c x ===),基矢为单位矢量k j i ,,, 按惯例我们使用的坐标系 全是右手正交系, 其基矢满足如下关系: k j i =× 0=⋅=⋅=⋅i k k j j i 若坐标系的空间网格相对参考系固定不动, 则该坐标系相对参考系固定不动, 这时我们称该 坐标系与参考系固连.二、自由度我们称确定力学系统位置所需要的独立坐标 数为系统的自由度, 自由度记为s .三、运动学方程和轨道图中我们用直角坐标系Oxyz 代表参考系, 位置矢量(简称位矢)r e r r = )(t r r =称为质点的运动学方程, 它包括了质点运动的全 部信息. 质点运动的轨道即为位置矢量r 的矢端曲线.在直角坐标系Oxyz 中 k z j y i x r ++=运动学方程的分量形式为)(),(),(t z z t y y t x x ===由式中消去时间t , 则得到轨道方程.四、位移和路程位移是质点位置矢量的增量, )()Δ(Δt r t t r r −+=路程是质点沿轨道走过的长度, 为一恒正标 量, 记为s ∆,AB s =∆弧长.注意s r ΔΔ≠s r ΔΔ≠r r ΔΔ≠但当0Δ→t 时,B A ,间弦长与弧长相等, s r ∆→∆ , 或记为s r d d =五、速度瞬时速度矢量简称为速度, 被定义为位置矢量对时间的导数,r t r t r v t ==∆∆=→∆d d lim 0 速度的方向沿轨道 (即r 的矢端曲线) 的切线指向运动的前方, 它的大小为速率v ,s ts t rt r v v t ===∆∆==→∆d d d d lim0 在直角坐标系Oxyz 中, k z j y i x v ++=.六、加速度瞬时加速度矢量简称加速度, 定义为速度对时间的导数,r t r v t v t v a t ====∆∆=→∆220d d d d lim 加速度a 一定指向轨道的凹侧. 若将不同时刻的速度矢量的矢尾集中于一点, 则可得出速度矢量v 的矢端曲线即速端曲线. 加速度a 沿速端曲线切线方向并指向v 的矢端沿速端曲线运动的前方, 加速度的大小a 等于v 的矢端沿速端曲线运动的速率.任意矢量A 对时间的导数A 的方向沿A 的矢端曲线的切线, 其指向与A 的矢端沿矢端曲线的运动方向一致; A 的大小即A 的矢端沿矢端曲线运动的速率.在直角坐标系Oxyz 中, k zj y i x k v j v i v a z y x ++=++=§1-2 质点运动的平面极坐标描述当质点被限制在一个平面上运动时, 其自由度2=s , 我们建立与参考系固连的极坐标系. 质点P 的位置由坐标量r 和θ确定, 要明确极角θ的正方向 (即θ的增加方向)!平面极坐标系是正交曲线坐标系, 其平面坐标网格由一组同心圆(1c r =)及一组放射状半直线(2c =θ)组成.平面极坐标系的基矢为r e 和θe .0=⋅θe e r .r e 的方向为径向, θe 的方向为横向.)(θr r e e = ,)(θθθe e =. 我们把矢量沿质点所在位置的基矢 “就地” 进行正交分解.在极坐标系中, 质点的运动学方程为[])()(t e t r r r θ =标量形式)(),(t t r r θθ==消去时间t , 则得到轨道方程0),(=θr f .根据速度的定义, 把[])()(t e t r r r θ = 对时间求导数, 得到 t e r e t r t r v r r d d d d d d +==下面求单位矢量r e 的时间 导数t e r d d ,t e t t e t t e t e r t r r t r ∆∆=∆−∆+=→∆→∆ 00lim )()(lim d d 当0→∆t 时,0→∆θ. 注意到由r e 及r e ∆组成的矢量三角形为腰长为1的等腰三角形, 所以当0→∆t 时r e ∆与r e 垂直, 且θ∆⋅=∆1r e . 由于0→∆θ且0Δ>θ时r e ∆与θe 方向相同, 所以0→∆t 时θθe e r ⋅∆=∆, 故 θθθθe e tt e t r ⋅=∆∆=→∆0lim d d于是得到极坐标系中的速度表达式,θθe r e rv r += rv r =称为径向速度, θθ r v =称为横向速度. 根据加速度的定义,得)(d d d d θθe r e r tt v a r +==t e r e r e r e r e r r d d θθθθθθθθ ++++=下面改换一个方法求t e d d θ . 由于θe 为单位矢量, 故θe 的矢端曲线为半径为1的单位圆. 0Δ>θ 时, θe 的矢端沿其矢端曲线运动的速率为θ ⋅1, t e d d θ 的方向沿矢端曲线切线, 其指向如图所示,故可知 r e te θθ−=d d 同样,θθe t e r =d d于是得到极坐标系中加速度的表达式θθθθe r r e r r a r )2()(2++−=2θ r r a r −=和θθθ r r a 2+=分别称为径向加速度和横向加速度.矢量的变化为矢量大小的变化及矢量方向的变化二者产生效果的叠加, 请读者试用这种观点分析式中各项是如何产生的. 还可用运动分解和合成的观点理解式中各项的意义.例题1半径为R 的铁圈上套一小环P , 直杆OA 穿过小环P 并绕铁圈上O 点以匀角速度ω转动. 求小环P 的运动方程、 轨道方程、 速度和加速度.解 如图所示建立极坐标系，设0=t 时0θθ=， 则运动学方程为+=+=00)cos(2θωθθωt t R r 轨道方程为θcos 2R r =速度和加速度为 θθe r e r v r += θθωωθωωe t R e t R r )cos(2)sin(200+++−= θθθθe r r e r r a r )2()(2++−= θθωωθωωe t R e t R r )sin(4)cos(40202+−+−=本例题也可用图中直角坐标系xyz O 2求解, 由读者自行完成. 请读者另行验证:(1) 不同方法中a v ,表达式不同, 但它们对描述P点运动是等价的;(2) 不同方法中a v ,的大小和方向是惟一确定的.例题1是运动学正问题, 即先写出运动学方程,通过求导数运算求出v 和a . 运动学逆问题是已知速度或加速度及初条件求运动学方程, 使用的数学方法是积分或解微分方程, 和正问题比较要复杂一些, 但只要把握解题的方向也是不难解决的.例题2 已知一质点做平面运动， 其速率为常量c ，其位置矢量转动的角速度亦为常量0ω，试求质点的运动学方程及轨道方程. 设0=t 时，0=r , 0=θ.解 由已知条件ωθ= (1) 2222c r r =+θ (2) 把（1）是式化为t d d 0ωθ=，积分并由0=t 时0=θ定积分常数，可得t 0ωθ= (3)把（1）式代入（2）式，分离变量得t r c r d d 2202±=−ω 积分并以0=t 时0=r 定积分常数，得t c r 00sin ωω±= (4) （3）（4）二式即为运动学方程=±=t t c r 000sin ωθωω 消去t 得轨道方程θωsin 0c r ±= 轨道为两个圆，如图所示.柱坐标系可以看成是由Oxy 平面内的极坐标系 (坐标量为ρ和θ) 及z 轴构成的三维空间坐标系. 其空间坐标网格由1c =ρ的圆柱面、 2c =θ的放射状半平面和3c z =的平面3组曲面相交形成的曲线所组成. 质点位置由坐标量z ,,θρ确定. 柱坐标系的基矢为单位矢量θρe e ,和k . 柱坐标系为右手正交系, 其基矢满足如下关系:k e e =×θρ质点的运动学方程为 []k t z t e t t r r )()()()(+==θρρ速度和加速度的表达式为 k z e e v ++=θρθρρk z e e a +++−=θρθρθρθρρ)2()(2 推导请仿照§1-2自己完成.球坐标系如图所示, 质点P 的位置由坐标量ϕθ,,r 确定. 球坐标系的空间坐标网格由1c r =的球面、 2c =θ的圆锥面和3c =ϕ的放射状半平面3组曲面相交形成的曲线所组成.球坐标系的基矢为r e ，θe ，ϕe .r e 沿位矢r 的方向, θe 和ϕe 的指向与θ和ϕ的正方向一致. 球坐标系为右手正交系, 其基矢满足如下关系:ϕθe e e r =×0=⋅=⋅=⋅r r e e e e e e ϕϕθθ球坐标系中的θ亦称为极角、 ϕ称为方位角. 球坐标系中的基矢不是常矢量, 其中r e 为θ和ϕ的函数. 我们把矢量沿质点所处位置的基矢r e ，θe 和ϕe “就地”进行正交分解.质点的运动学方程为 [])(),()()(t t e t r t r r r ϕθ ==下面我们从速度的定义导出球坐标系中的速度表达 式. 将r ∆沿t 时刻质点所在位置的基矢正交分解, 得到ϕθe s e s e s r r 321∆+∆+∆=∆当0→∆t 时, r s ∆→∆1，2s ∆和3s ∆可用坐标曲线上的弧长来表示, 即θ∆→∆r s 2和ϕθ∆⋅→∆sin 3r s 于是可知 t e r e r e r t r t r v r t t ∆∆⋅+∆+∆=∆∆==→∆→∆ϕθϕθθ sin lim lim d d 00 ϕθθϕθe r e r e rr sin ++= 球坐标系中的加速度公式可按矢量导数定义求导得出, 但比较复杂, 我们将在后面用分析力学的方法导出.§1-5 质点运动的自然坐标描述利用质点运动轨道本身的几何特性 (如切线、法线方向等)来描述质点的运动. 这种方法称为自然坐标法.一、弧长方程在轨道上取一点作原点O , 规定沿轨道的某一方向为弧长的正方向, 质点位置可由原点O 到质点间的一段弧长s 来确定, s 称为弧坐标.)(t s s =上式称为弧长方程. 弧长方程和轨道方程一起与质点的运动学方程等价.弧坐标s 为可正可负的标量, 与恒正的路程是不同的.二、相关的微分几何知识轨道上无限接近的两个点所决定的直线称为切线. 定义切向单位矢量t e 沿切线, 其指向与弧长正方向一致. 沿t e 的方向称为切向.轨道上无限接近的3个点确定的平面, 即无限接近的两条切线所确定的平面, 称为密切面.密切面取向的改变反映了曲线的挠曲情况.轨道曲线上无限接近的3个点所决定的圆称为曲率圆, 曲率圆在密切面内. 曲率圆的圆心称为曲率中心, 曲率圆的半径ρ称为曲率半径, 曲率半径的倒数ρκ1=称为曲率.设弧长s P P d =′, 显然s d d 1ϕρκ==, 曲率κ越大则曲线弯曲程度越大. 当轨道为平面曲线)(x y y =时, 可利用数学分析中的公式 []23222)d d (1d d 1x y x y +==ρκ求曲率κ及曲率半径ρ.过轨道上一点, 与切线垂直的线称为法线. 法线有无限多条,它们组成的平面称为法平面.密切面内的法线称为主法线, 定义主法向单位矢量n e 沿主法线指向曲率中心. 沿n e 的方向称主法向, n e 指向轨道凹侧.垂直于密切面的法线称为副法线. 定义副法向单位矢量b e 沿副法线, 指向n t e e ×的方向.n t b e e e ×=沿b e 的方向为副法向.单位矢量b n t ,,e e e 两两互相垂直, 并成右手螺旋关系.三、速度和加速度表达式把质点的速度和加速度沿质点所在处的单位矢量b n t ,,e e e “就地”正交分解, 进而导出质点的速度和加速度表达式.速度沿切线指向运动的前方, 所以0b n ==v v . 考虑到0>s 时v 与t e 同向, 故 t t t e se v v == 速度的大小sv v v ===t . 由加速度的定义 t e s e s e s t t v a d d )(d d d d t t t +===当ϕ的正向与弧长s 正向一致时, ϕρd d =s ,故ρρϕt v s == . 所以 n n n t d d 1d d e s e e t t e ρϕϕ==⋅=因此 n t e s e s a ρ2+=s v a ==t t 称为切向加速度, 是由于速度t t e v v =的大小改变而产生的. ρρ22n s v a ==称为法向加速度, 是由于速度的方向改变而产生的. 由于n a 恒正, 故a 一定指向轨道凹侧, 与§1-1中结论一致. 0b ≡a 说明对任何空间曲线运动,加速度a 必在密切面内, 这是加速度和密切面定义导致的必然结果.注意原点O 的选定和弧长正方向的规定! 在自然坐标描述中, 需要已知质点运动的轨道, 而对轨道的数学描述又需要一个坐标系, 所以必须掌握自然坐标描述中的物理量与其他坐标系中的物理量之间的联系. 建立这个联系的基本依据是: 速度v 和加速度a 在不同的描述方法中有不同的表达形式, 但它们的大小和方向是惟一确定的.例题1半径为R 的铁圈上套一小环P , 直杆OA 穿过小环P 并绕铁圈上O 点以匀角速度ω转动. 求小环P 的运动方程、 轨道方程、 速度和加速度.解 曾用如图所示建立极坐标系求解.此例题也可用自然坐标法求解: 以1O 为原点，规定弧长正方向如图所示.轨道已知，弧长方程为)(20θω+=t R s速度和加速度为 t e R e s v ω2t == n 2n 2t 4)(e R e s e sa ωρ=+= 比其它方法简单!自然坐标描述并不是自然坐标系中的描述.请读者验证: (1) 不同方法中a v ,表达式不同, 但它们对描述P点运动是等价的; (2) 不同方法中a v ,的大小和方向是惟一确定的.例题3 已知质点的运动学方程为t R x ωcos = t R y ωsin = t h z ωπ2= （h R ,,ω为常量）试分析质点的运动，求切向加速度、法向加速度及轨道的曲率半径。
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& m& = ∑Fx x & m& = ∑Fy y & m& = ∑Fz z
& & ms = ∑ F t m & s2
ρ
= ∑F n
0 = ∑F b
15
的摆在铅垂面内摆动。 例：质量为 m 长为 l 的摆在铅垂面内摆动。初始时小球的速度 并分析小球的运动。 。求绳作用在小球上的力F( 为u , θ = 0。求绳作用在小球上的力 θ ), 并分析小球的运动。
v2 20 v = m ρ= = 0 a cos 30 an 3
2
12
§1-2 质点运动微分方程
当研究飞行器轨道动 力学问题时， 力学问题时，可将飞行器 视为质点。 视为质点。
当研究飞行器姿态动力 学时， 学时，可将其视为刚体系或 质点系。 质点系。
13
理论基础： 理论基础：牛顿定律与微积分 第一定律 第二定律 第三定律
第一章 质点动力学
质点动力学是研究质点运动与其受力间的关系
道路转弯中的力学问题
点的运动学: 点的运动学:点在空间的位置随时间的变化规律 1
§1 点的运动学
•参考体 参考体(reference body): 参考体 为研究运动作为参考的物体 •参考系 参考系(reference frame): 参考系 与参考体固连的坐标系
d(mv) = ma = ∑Fi dt i =1
n
第一、二定律： 第一、二定律： 惯性参考系 适用条件？ 第 三 定律： 任意参考系 定律：
14
一、矢量形式： 矢量形式：
n dr m 2 = ∑F i dt i=1 ma = FR 2
z
FR
o x
r
a
y
二、 直角坐标形式： 直角坐标形式：
三、 自然坐标形式： 自然坐标形式：
3、点的加速度 、
a = axi + ay j + azk
3
问题：如何求点运动方程、运动轨迹、 问题：如何求点运动方程、运动轨迹、 点的速度和加速度的大小与方向。 点的速度和加速度的大小与方向。
几何性质
运动方程 点的速度
运动轨迹
点的加速度
4
点的运动方程， 例：求 P 点的运动方程，P 点的速度和加速度
z
r o
x
M
y
一、矢量法
1、运动方程 、 2、速度 、 3、加速度 、
r = r(t)
dr & v= =r dt 2 dv d r & r a= = 2 = v = && dt dt
2
二、直角坐标法
x = x(t) 1、运动方程 、 y = y(t) r = xi + yj + zk z = z(t)
Q F = f FN
& & mrθ& = mg cosθ − f (mrθ 2 + mg sin θ ) & & mrθ& = mg cosθ + f (mrθ 2 + mg sin θ )
22
& 同理， 同理，当：θ < 0
数值方法给出质点位 置、速度和切向加速 度随时间的变化规律
f = 0.1
17
& & θ +ω θ = 0
（2）大幅摆动 ）
&&+ω2 sin θ = 0 θ
大 幅 摆 动 不 具 有 等 时 性
θ / rad
t /s
18
建立抛体的运动微分方程。 例: 建立抛体的运动微分方程。 设空气阻力的大小与速度的平方成正比
解：1、取炮弹为研究对象 建立矢量方程 、取炮弹为研究对象,建立矢量方程 y
•曲率半径(radius curvature) 曲率半径 1 ρ= k
M ' = ∆s M
1、运动方程 、
s = s(t)
MTT” 极限位置的平面称为 密切面(osculating plane) 密切面
8
主法线
3、速度与加速度 、
en
密切面
速度
+s
加速度 切线
& v = se t
& d(set ) & a=v= dt
解：建立M点的运动方程 建立 点的运动方程
x = R(ϕ − sinϕ)
y = R(1− cosϕ)
& u = ϕR
& vx = x = u(1− cosϕ) & vy = y = u sin ϕ
& ax = && = uϕ sin ϕ x & ay = && = uϕ cosϕ y
2Hale Waihona Puke u 当 ϕ = 2kπ (k = 0, 1, L v =0, ax = 0, ay = ) R
F
FN
o θ n
解：取质点为研究对象
当：
r
& θ >0
(1) (2)
ma = mg + F + FN
& τ : mrθ& = mg cosθ − F & η : mrθ 2 = −mg sin θ + FN
mg
τ
由（2）式解得： ）式解得： 代入（ ）式得： 代入（1）式得：
FN = mrθ& 2 + mg sin θ
2、点的速度 、
z
o x
r
v a
y
dr & & & v= = xi + yj + zk dt & v = r = vxi + vy j + vz k
d2r & & & a = 2 = & i + & j + &k x y z dt
& vx = x & vy = y & vz = z
& ax = & x & ay = & y & az = & z
θ
o
r
θ (t ) θ&(t )
& θ&(t )
mg
t(s)
& θ0 = 0rad,θ0 = 0rad/s,
23
f = 0.60314 思考题: 给出垂直上抛物体上升时的运动微分方程。 上升时的运动微分方程 思考题 给出垂直上抛物体上升时的运动微分方程。
θ 设空气阻力的大小与速度的平方成正比
&
θ / rad
11
的速度和加速度， 例：已知图示瞬时动点A的速度和加速度，其中 已知图示瞬时动点 的速度和加速度 设动点的坐标为x ：v = 10m/s, a = 10m/s 2 ，设动点的坐标为 , y 求该瞬时动点A的 & & x y 求该瞬时动点 的 x, y, &&, &&, ρ
y
v
300
A
x = v x = −10 cos 300 (m/s) 解： &
R mg
ma = mg + R
v
x
ma = mg + (−cvv)
2、建立直角坐标形式的运动微分方程 、
o
运动微分方程
& & v = x2 + y2
m& = −cx x2 + y2 & & & & x & & & & m& = −mg − cy x2 + y2 y
19
m =10kg, c = 0.02Ns2/m2 , v0 =1000m /s,
问题:质点M 问题:质点M沿椭圆轨道 匀速率运动, 匀速率运动,如何确定其 加速度的大小和方向。 加速度的大小和方向。
7
三、自然坐标法
已知点的运动轨迹
2、曲线的几何性质 、 T” M
z o x r
∆θ
T M’
T’
0
s
M +
y
∆θ •曲率 曲率(curvature) k = lim 曲率 ∆s→ ∆ 0 s
2 2
y
v
mg
& A: m&& = −mg − cy y & B: m&& = −mg + cy y & C: m&& = +mg − cy y
x x
o o v
y
2
&& = +mg + cy2 & D: my
E: 未给出正确答案
t /s
24
mg
2、P点的速度和加速度 、 点的速度和加速度
5
y
A P θ B x ϕ
P点的运动轨迹 点的运动轨迹
O
6
问题: 问题:如果已知点的运动轨迹和点速度的大小随 时间的变化规律,如何确定点的加速度? 时间的变化规律,如何确定点的加速度?
v
M
列车沿铁路行驶 若将列车视为质点 其运动轨迹已知。 其运动轨迹已知。
OA = R, AB = L, AP = l,θ = ωt
y O θ A P ϕ B x
R L = sin ϕ sin θ
解：1、P点运动方程 点运动方程
xp = Rcosθ + l cosϕ yp = (L − l) sin ϕ
l 2 2 2 xp = Rcosθ + L − R sin θ L R yp = (L − l) sin θ L