2019年中考数学复习 第四单元 图形的初步认识与三角形 第16讲 直角三角形练习
中考数学复习 第4章 图形的初步认识与三角形 第16讲 三角形课件
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六年真题全练 命题(mìng tí)点1 三角形边和角的关系
技法点拨►已知一个中点考虑三角形中线的性质，已知两个或多 个中点考虑三角形中位线的性质．
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变式运用►2.如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于 点F，D为AB的中点，连接DF并延长(yáncháng)交AC于点E.若 AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为( ) A．2 B．3 C．4 D．5
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内容 总结 (nèiróng)
第四章 图形的初步认识与三角形。C ∵CE是∠ACD的平分线，∠ACE＝60°，∴∠DCE＝ ∠ACE＝60°.∴∠ACD＝120°.又∵∠ACD＝∠B＋∠A，∠B＝35°，∴∠A＝120°－35°＝85°.。PA、PB的 长度随点P的移动(yídòng)而变化，∴△PAB的周长会随点P的移动(yídòng)而变化。∠APB的大小随 点P的移动(yídòng)而变化．综上所述，会随点P的移动(yídòng)而变化的是②⑤.
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命题(mìng tí)点2 三角形角的关系
2．[2014·河北，4,2分]如图，平面上直线a，b分别过线段(xiànduàn)OK两
端点(数据如图)，则a，b相交所成的锐角是ห้องสมุดไป่ตู้ )
A．20°
B．30°
C．70°
D．80°
B 设直线(zhíxiàn)a，b相交于点M，如图所示，100°角是△KOM的一个外
中考数学总复习第四单元图形的初步认识与三角形第16课时全等三角形
解:(1)证明:由于四边形 ABCD 是平行四
边形,
所以 AB∥CD,
(1)求证:△ AFN≌△CEM.
所以∠CEM=∠AFN,
(2)若∠CMF=107°,∠CEM=72°,求∠NAF 的度数.
而 AF=CE,EM=FN,
所以△ AFN≌△CEM.
图 16-12
12/9/2021
12/9/2021
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当堂效果检测
3.如图 16-20,在△ ABC 和△ DEF 中,∠B=∠DEF,AB=DE,添加下列一个条件后,仍然不能证明△ ABC≌△DEF,这
个条件是(
D
)
图 16-20
A.∠A=∠D
B.BC=EF
C.∠ACB=∠F
D.AC=DF
12/9/2021
而∠CMF=∠CEM+∠ECM,
所以∠ECM=∠CMF-∠CEM
(2)若∠CMF=107°,∠CEM=72°,求∠NAF 的度数.
=107°-72°=35°.
由(1)知△ AFN≌△CEM,
所以∠NAF=∠ECM=35°.
图 16-12
12/9/2021
因此∠NAF 的度数是 35°.
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相等,来证明两个三角形全等,故添加 A,
图 16-13
A.∠A=∠D
12/9/2021
B.∠ACB=∠DBC
B,D 均可以使△ ABC≌△DCB.
C.AC=DB
D.AB=DC
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故选择 C.
高频考向探究
[方法模型] 求解此类问题时注意挖掘题目中的隐含条件,如公共边、公共角、对顶角等.已知一角一边,可考
2019年中考数学总复习 第四章 三角形 第16讲(课堂本)课件PPT
AE＝DE (1)证明：在△ABE 和△DCE 中，∠AEB＝∠DEC ，
BE＝EC ∴△ABE≌△DCE(SAS)． (2)解：∵△ABE≌△DCE，∴AB＝CD， ∵AB＝5，∴CD＝5.
22
广东中考
8．(2014 深圳)如图，△ABC 和△DEF 中，AB＝DE，∠B＝∠ DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF( C ) A．AC∥DF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F
15
证明：∵AC 平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC， AB＝AD
在△ABC 和△ADC 中，∠BAC＝∠DAC ， AC＝AC
∴△ABC≌△ADC(SAS)．
16
4．(2018 泸州)如图，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB.求证：∠F ＝∠C.
17
证明：∵DA＝BE，∴DE＝AB， AB＝DE
19
证明：在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中，ACCB＝＝DBCB ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)， ∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC.
20
7．(2018 衡阳)如图，已知线段 AC，BD 相交于点 E，AE＝DE， BE＝CE.
(1)求证：△ABE≌△DCE； (2)当 AB＝5 时，求 CD 的长．
3．全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应边、对应角相等． (2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． (3)全等三角形的周长相等、面积相等．
12
课堂精讲
全等三角形的判定 (6 年 5 考) 1．(2018 安顺)如图，点 D，E 分别在线段 AB，AC 上，CD 与
BE 相交于 O 点，已知 AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不
中考数学总复习第四章第16课时图形的基本认识课件
2.若α，β互为余角，则α＋β＝__9_0___°.若α，β互为补角，则 α＋β＝__1_8_0___°.若α，β互为对顶角，则_α__＝__β__.1°＝___6_0____′
＝__3__6_0_0__″. 3.两直线平行，_同__位__角___相等.两直线平行，_内__错__角___相等.两
直线平行，___同__旁__内__角____互补.同位角相等，两直线平行.内错角
答案：20
11.(2023·台州)用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若 ∠1＝20°，则∠2 的度数为__________.
答案：140°
12.(2021·云南)如图是某几何体的三视图(其中主视图也称正 视图，左视图也称侧视图).已知主视图和左视图是两个全等的矩形. 若主视图的相邻两边长分别为 2 和 3，俯视图是直径等于 2 的圆， 则这个几何体的体积为__________.
图1
图2
(2)将点 P 移到 AB，CD 内部，如图 2 所示，(1)中②的结论是 否成立？若成立，不需说明理由；若不成立，则∠BPD，∠B， ∠D 之间有何数量关系？并说明你的理由.
解：(1)①如图，过点 P 作 PE∥AB，
∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD， ∴∠D＝∠DPE＝15°，∠B＝∠BPE. ∵∠BPD＝30°， ∴∠B＝∠BPE＝∠BPD＋∠DPE＝30°＋15°＝45°. ②当∠P＝x°，∠D＝y°时，∠B＝(x＋y)°.
∴∠EAD＝45°，∴l DE ＝45×18π0×4＝π， ∴圆锥底面周长为 C＝2πr＝π，解得 r＝12， ∴该圆锥的底面圆的半径是21.
14.(2022·武汉)如图所示，在四边形 ABCD 中，AD∥BC， ∠B＝80°.
(1)求∠BAD 的度数. (2)AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°.求证：AE∥DC.
中考数学复习 第4章 图形的认识与三角形 第16讲 解直角三角形课件
2021/12/8
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解：(1)在Rt△ALR中，AR＝6km，∠ARL＝42.4°，
由cos∠ARL＝LR ，得LR＝AR·cos∠ARL＝
AR
6×cos42.4°≈4.44(km)．
故发射台与雷达站之间的距离LR为4.44km. (2)在Rt△BLR中，LR＝4.44km，∠BRL＝45.5°，∵tan∠BRL＝
提示►①如果实际问题
的图示中，没有直角三角形
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，的，要根据已知和所求的问
转化为解直角三角形的问题)；(2)根据条件的 题构造相应的直角三角形；
特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角 ②选择恰当的三角函数关系
形，得到数学问题的答案；(3)结合题意，写出 计算，尽可能地使用原始数
实际问题的答案
据，减小误差；③若解直角
三角形条件不充分，往往需
要设未知数列方程
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典型(diǎnxíng)例题运用
类型1 由角的一个(yī ɡè)三角函数值求其他三角函数值
【例1】 [2017·曹县质检(zhìjiǎn)]在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝
值为( A )
2.特殊(tèshū)角的三角函数值
提示(tíshì)►(1)同角三角函数之间的关系：sin2A＋cos2A＝1，tanA
＝ sin A .(2)互余两角三角函数之间的关系：若∠A＋∠B＝90°， cos A
2021则/12有/8sinA＝cosB，sinB＝cosA.
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考点(kǎo diǎn)2 解直角三角形 在Rt△ABC中，∠C＝90°，c为斜边，a，b为两直角(zhíjiǎo)边
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第16讲 直角三角形
重难点1 直角三角形性质的应用
(2018·南充)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点．若BC ＝2，则EF 的长度为(B )
A .12
B ．1
C .2
3
D . 3
方法指导直角三角形中“斜边上的中线等于斜边的一半”，“30°角所对的直角边等于斜边的一半”都能揭示直角三角形中的直角边、斜边上的中线与斜边的关系，运用这两个性质时，要注意它们之间的区别．
【变式训练1】 (2018·常德)如图，已知BD 是△ABC 的角平分线，ED 是BC 的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD ＝3，则CE 的长为(D )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3 3
重难点2 勾股定理及其逆定理
(1)(2017·益阳)如图1，在△ABC 中，AC ＝5，BC ＝12，AB ＝13，CD 是AB 边上的中线，则CD ＝6.5；
图1
【变式提问】 (2)如图2，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝13，BC 上的中线AD ＝6，求BC 的长．
图2
【思路点拨】 (1)对于原题来说，由勾股定理的逆定理可得△ABC 为直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得CD 的长度；(2)对于变式，可延长AD 到点E ，使DE ＝DA ，连接BE ，证得△ABE 是直角三角形，再利用勾股定理求BD ，从而得BC.
【自主解答】 解：延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，连接BE. 在△ADC 和△EDB 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧AD ＝ED ，∠ADC＝∠EDB，CD ＝BD ，
∴△ADC≌△EDB(SAS )．∴AC＝BE ＝13.
∵在△ABE 中，AB ＝5，AE ＝12，BE ＝13，∴AB 2＋AE 2＝BE 2
.∴∠BAE＝90°. ∵在△ABD 中，∠BAD＝90°，AB ＝5，AD ＝6， ∴BD＝AB 2
＋AD 2
＝61.∴BC＝261. 方法指导
1．已知三角形两边及第三条边上中线长，通常把中线延长并加倍，这样可利用三角形全等，把分散的条件集中在同一个三角形中．
2．要求一条线段的长可以转化成求这条线段的一半或2倍．
易错提示在利用勾股定理的逆定理时，注意当两条较小边的平方和等于最大边的平方时，此三角形是直角三角形．
【变式训练2】 (2018·泸州)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b.若ab ＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为(D )
A ．9
B ．6
C ．4
D ．3
【变式训练3】 (2018·襄阳)已知CD 是△ABC 的边AB 上的高．若CD ＝3，AD ＝1，AB ＝2AC ，则BC
考点1 直角三角形的定义
1．(2018·柳州)如图，图中直角三角形有(C )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是(D )
A ．∠A＋∠B＝∠C
B ．∠A－∠B＝∠C
C ．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
D ．∠A＝∠B＝3∠C
考点2直角三角形的两个锐角互余
3．(2017·株洲)如图所示，在△ABC中，∠B＝25°．
考点3含30°角的直角三角形的性质
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝(A)
A．6 B．6 2 C．6 3 D．12
5．(2018·泰州)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD＝∠ABC＝90°，E，F分别为AC，CD的中点，∠D＝α，则∠BEF的度数为270°－3α．(用含α的式子表示)
6．(2018·广安)如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C.若EC＝1，则OF＝2．
考点4直角三角形斜边上的中线的性质
7．(2018·福建)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，D是AB的中点，则CD＝3．
8．(2018·徐州)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点．若∠C＝55°，则∠ABD＝35°．
考点5勾股定理
9．(2018·滨州)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为(A)
A．5 B．6 C．7 D．8
10．(2017·绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(C)
A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米
11．(2018·德州)如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4.则点C到射线OA的距离为3．
12．(2018·吉林)如图，在平面直角坐标系中A(4，0)，B(0，3)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C的坐标为(－1，0)．
考点6勾股定理的逆定理
13．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(B)
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，2，3 14．(2018·曲靖)如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别为AB，BC的中点，连接DE，CD.如果DE＝2.5，那么△ACD的周长是18．
15．(2018·毕节)如图，在矩形ABCD中，AD＝3，M是CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折得到△ANM.若AN平分∠MAB，则折痕AM的长为(B)
A．3 B．2 3 C．3 2 D．6
16．(2018·娄底)如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6 cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度约为(C) A．4 cm B．6 3 cm C．8 cm D．12 cm
17．(2018·枣庄)如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上．如果点P 是某个小矩形的顶点，连接PA，PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是(B) A．2个B．3个C．4个D．5个
18．(2018·荆州)为了比较5＋1与10的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C＝90°，BC＝3，D
在BC上，且BD＝AC＝1.通过计算可得5＋填“＜”“＞”或“＝”)
19．(2018·福建)把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另
一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD
20．(2018·黄冈)如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂
蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm.(杯壁厚度不计)
21．(2018·无锡)已知在△ABC中，AB＝10，AC＝27，∠B＝30°，则△ABC的面积等于
22．(2018·北京)如图所示的网格是正方形网格，则∠BAC＞∠DAE.(填“＞”“＝”或“＜”)
23．(2018·资阳)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA＝1，以点A1为直角顶点，OA1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，…，依此规律，则点A2 018的坐标是(0，21__009)．
24．(2018·湖州)在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为65，此时正方形EFGH的面积为5.问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为65时，正方形FEGH的面积的所有可能值是9，13和49．(不包括5)
图1 备用图
25．(2018·长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为 5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为(A)
A．7.5 平方千米B．15 平方千米C．75 平方千米D．750 平方千米
26．(2018·湘潭)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在△ABC中，∠ACB ＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为x2＋32＝(10－x)2．。