2018届辽宁省大连市普兰店区第二中学高三上学期竞赛(期中)考试数学(理)试题

2018届辽宁省大连市普兰店区第二中学高三上学期竞赛（期中）考试数学（理）试题高三数学（理）总分：150分 时间：120分钟第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合） 1.设i 为虚数单位，复数i z i +=-1)2(，则z 的共轭复数z 在复平面中对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.设集合A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>e e x x 1，B={}0log 2<x x ，则A ∩B 等于 （ ） A ．{x|x ＜﹣1或x ＞1} B ．{x|﹣1＜x ＜1}C ．{x|0＜x ＜1}D ．{x|x ＞1}3.下列命题错误的是 （ ） A ．命题“若lgx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则lgx≠0”B ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题C ．命题p ：∃x 0∈R ，使得sinx 0＞1，则p ⌝“∀x ∈R ，均有sinx≤1D ．“x ＞2”是“x 1＜21”的充分不必要条件 4.若[]x 表示不超过x 的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输 出的S 值为（ ） A ．4 B ．5 C ．7D ．95.若534cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则=α2sin （ ） A ．B ．C ．﹣D ．﹣6.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图和侧视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ） A ．320 B ．68π- C ． 38π- D.316 7.已知M 是ABC ∆内的一点，且32=⋅AC AB ， 30=∠BAC ，若MAB MBC ∆∆,，MCA ∆的面积分别为y x ,,21，则yx 41+的最小值是（ ）A ．9B ．16C ．18D ．208.若函数()()R x x x x f ∈+=ωωcos 3sin ，又()()0,2=-=βαf f ，且βα-的最小值为π43，则正数ω的值是 （ ）A ．B ．C ．D ．9.现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，问不同的分法有 （ ）A ．36种 B. 9种 C. 18种 D. 15种10.已知21,F F 是双曲线的左、右焦点，点1F 关于渐近线的对称点恰好落在以2F 为圆心，2OF 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为 ( )A ．B ．C ．2D ．311.已知()x f 是定义在R 上的增函数，函数()1-=x f y 的图象关于点()0,1对称，若对任意的R y x ∈,，等式()()03432=--+-x x f y f 恒成立，则xy的取值范围是（ ）A ． [2﹣，3] B ．[1，2+] C ．[2﹣，2+] D ．[1，3]12.已知定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数()f x '满足()()ln x xf x f x x '+=，且()1f e e=，其中e 为自然对数的底数，则不等式()1f x e x e+>+的解集是 （ ） A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. ()0,e C. 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题 共90分）二.填空题（每小题5分，共20分）13.设⎰=20cos πxdx a ，则62⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x 展开式的常数项为 ． 14.设ABC ∆的内角C B A ,,所对边的长分别为c b a ,,，若,2a c b =+B A sin 5sin 3=，则角C = ．15.过抛物线()220y px p =>的焦点F 作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M ，N ，过弦MN 的中点P 作抛物线准线的垂线PQ ，垂足为Q ，则的最大值为16.给出定义：若11(22m x m m -<≤+为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x m =，在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个结论：①函数()y f x =的定义域为R ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②函数()y f x =的图像关于直线()2kx k Z =∈对称；③ 函数()y f x =是偶函数；④函数()y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数。

其中正确结论的序号是 。

（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）已知等差数列{a n }的首项11=a ，公差0>d ，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()*∈+=N n a n b nn 31，n nb b b S+++= 21是否存在最大的整数t ，使得对任意的n 均有36tS n >总成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．18. （本小题满分12分）某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据()()6,2,1, =i y x i i 如表所示：已知变量y x ,具有线性负相关关系，且480,396161==∑∑==i i i iy x，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其归直线方程分别为：甲544+=x y ；乙1064+-=x y ；丙1052.4+-=x y ，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．（1）试判断谁的计算结果正确？并求出b a ,的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数ξ的分布列和数学期望．19. （本小题满分12分）如图，边长为3的正方形ABCD 所在平面与等腰直角三角形ABE 所在平面互相垂直，AB AE ⊥，且AN AB MD EM 3,2==.（Ⅰ）求证： BEC MN 平面//； （Ⅱ）求二面角C ME N --的大小．20. （本小题满分12分）已知椭圆()*∈>>=+N n b a n by a x C n ,1:2222,21,F F 是椭圆4C 的焦点,()2,2A 是椭圆4C 上一点，且0212=⋅F F AF ；（1）求n C 的离心率并求出1C 的方程；（2）P 为椭圆2C 上任意一点，直线1PF 交椭圆4C 于点F E ,，直线2PF 交椭圆4C 于点N M ,，设直线1PF的斜率为1k ，直线2PF 的斜率为2k ； （i ）求证:2121-=k k ; （ii ）求EF MN ⋅的取值范围．21. （本小题满分12分） 已知函数()x xppx x f ln 2--=． （Ⅰ）若2=p ，求曲线()x f 在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()x f 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围；（Ⅲ）设函数()xex g 2=，若在[]e ,1上至少存在一点0x ，使得()()00x g x f >成立，求实数p 的取值范围．请考生在22、23、题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为ρcos θ﹣ρsin θ+2=0，曲线C 2的参数方程为（α为参数），将曲线C 2上的所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的倍，得到曲线C 3． （1）写出曲线C 1的直角坐标方程和曲线C 3的普通方程；（2）已知点P （0，2），曲线C 1与曲线C 3相交于A ，B ，求|PA|+|PB|．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f （x ）=|2x+1|+|2x ﹣3|，（1）若关于x 的不等式f （x ）＞|1﹣3a|恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若关于t 的一元二次方程有实根，求实数m 的取值范围．1-5DCBCD 6-10ACBBC 11-12AB13.-160 14.120 15.16.①②③17.解：（1）由题意得（a1+d）（a1+13d）=（a1+4d）2，…（2分）整理得2a1d=d2．∵a1=1，解得（d=0舍），d=2．…（4分）∴a n=2n﹣1（n∈N*）．…（6分）（2），∴=．…假设存在整数总成立．又，∴数列{S n}是单调递增的．…（12分）∴．又∵t∈N*，∴适合条件的t的最大值为8．…18.解：（1）已知变量x，y具有线性负相关关系，故甲不对，且x i=39，4+5+6+7+a+9=39，a=8，y i=480，b+84+83+80+75+68=480，b=90，∵=6.5，=80，将，，代入两个回归方程，验证乙同学正确，故回归方程为：y=﹣4x+106；（2）“理想数据“的个数ξ取值为：0，1，2，3；P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．“理想数据“的个数ξ的分布列：数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×=1.5．19.证明：（Ⅰ）过M作MF∥DC交CE于F，连接MF，BF．因为MF∥DC，，所以．…（2分）又，所以．故，…（4分）所以四边形NBFM为平行四边形，故MN∥BF，而BF⊆平面BEC，MN⊄平面BEC，所以MN∥平面BEC；…（6分）解：（Ⅱ）以A为坐标原点，所在方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，直角坐标系，则E（3，0，0），N（0，1，0），M（1，0，2），C（0，3，3），=（2，0，﹣2），=（﹣1，3，1），=（﹣2，0，2），=（﹣3，1，0），设平面MEC的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得，设平面MNE的法向量为，则，即，取x1=1，得，，所求二面角的大小为…（12分）20.解：（1）解：椭圆C4的方程为： =4，即： =1．不妨设c2=a2﹣b2则F2（2c，0）．∵⋅=0，∴⊥．于是2c=2， ==，2b4=a2=b2+1，∴2b4﹣b2﹣1=0，（2b2+1）（b2﹣1）=0，∴b2=1，a2=2．∴椭圆C n的方程为： +y2=n．∴e2==，∴e=．椭圆C1的方程为： +y2=1．（2）（i）证明：椭圆C2的方程为： +y2=2 即： +=1．椭圆C4的方程为： +y2=4 即： =1．∴F1（﹣2，0），F2（2，0），设P（x0，y0），∵P在椭圆C2上，∴ =1，即y02=（4﹣x02）．∴k1k2=•===﹣．（ii）设直线PF1的方程为：y=k1（x+2）直线PF2的方程为：y=k2（x﹣2），联立方程组：消元整理得：（2k12+1）x2+8k1x+8k12﹣8=0…①设E（x1，y1），F（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个解，由韦达定理得：x1+x2=﹣，x1x2=．∴|EF|==．同理：|MN|=．∴|EF|⋅|MN|=•=32×=32×==16+≤18，又|EF|⋅|MN|＞0．∴|EF|⋅|MN|∈（16，18]．21.解：（I）当p=2时，函数，f（1）=2﹣2﹣2ln1=0.，曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2﹣2=2．从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1）即y=2x﹣2．（II）．令h（x）=px2﹣2x+p，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．由题意p＞0，h（x）=px2﹣2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，∴，只需，即p≥1时，h（x）≥0，f'（x）≥0∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）．（III）∵在[1，e]上是减函数，∴x=e时，g（x）min=2；x=1时，g（x）max=2e，即g（x）∈[2，2e]，当p＜0时，h（x）=px2﹣2x+p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在y轴的左侧，且h（0）＜0，所以f（x）在x∈[1，e]内是减函数．当p=0时，h（x）=﹣2x，因为x∈[1，e]，所以h（x）＜0，，此时，f（x）在x∈[1，e]内是减函数．∴当p≤0时，f（x）在[1，e]上单调递减⇒f（x）max=f（1）=0＜2，不合题意；当0＜p＜1时，由，所以．又由（2）知当p=1时，f（x）在[1，e]上是增函数，∴，不合题意；当p≥1时，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是减函数，故只需f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]，而，g（x）min=2，即，解得综上所述，实数p的取值范围是．22．解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+2=0，可得普通方程为x﹣y+2=0，由曲线C2的参数方程为（α为参数），可得，即有C3的普通方程为x2+y2=9．…（2）C1的标准参数方程为（t为参数），与C3联立可得t2+2t﹣5=0，令|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，由韦达定理，则有t1+t2=﹣2，t1t2=﹣5，则|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|===2…（10分）．选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，（1）若关于x的不等式f（x）＞|1﹣3a|恒成立，求实数a的取值范围；（2）若关于t的一元二次方程有实根，求实数m的取值范围．解：（1）因为f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，所以|1﹣3a|＜4，即，所以实数a的取值范围为．…（2）△=32﹣4（|2m+1|+|2m﹣3|）≥0，即|2m+1|+|2m﹣3|≤8，所以不等式等价于或或所以，或，或，所以实数m的取值范围是．…（10分）。