模糊数学课件
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1 2
，则有rij'
பைடு நூலகம்[0,1]
。也可以
用平移—极差变换将其压缩到[0,1]上，从而得到模糊相似矩阵
R (rij )nm
（2）绝对值指数法. 令
m
rij exp{ xik x jk }(i, j 1, 2, , n) k 1
则 R (rij )nm
（3）海明距离法. 令
rij
1
d (xi , x j )
（6）主观评分法：设有N个专家组成专家组,让每一位专家对
所研究的对象 x i 与 x j 相似程度给出评价，并对自己的自信度
作出评估。如果第k位专家 Pk 关于对象 x i与 x j 的相似度评价
为 rij (k )，对自己的自信度评估为aij (k ) (i, j 1,2,, n)，则相关 系数定义为
)2
(i, j 1,2,, n)
其中E为使得所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
（5）切比雪夫距离法. 令
rij
d (xi ,
1 xj)
Q
d
m
k 1
( xi xik
,
x
j ), x jk
(i, j 1,2,, n)
其中Q为使所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
第三步. 聚类 所谓模糊聚类方法是根据模糊等价矩阵将所研究的对象进
行分类的方法。对于不同的置信水平 [0,1] ，可以得到不同 的分类结果，从而形成动态聚类图。 （一）传递闭包法
通常所建立的模糊矩阵R 只是一个模糊相似矩阵，即R 不 一定是模糊等价矩阵。为此，首先需要由R 来构造一个模糊等
模糊数学-模糊数学基本知识
隶属函数参数化
1. 三角形隶属函数
0
trig ( x;
a,
b,
c)
x a ba
cx
cb
0
xa a xb b xc
cx
trig(x; a,b, c) max(min( x a , c x), 0) ba cb
参数a,b,c确定了三角形MF三个顶点的x坐标。
2. 梯形隶属函数
0
xa
trap(x, a, b, c, d )
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
❖ (2)模糊子集运算的基本性质
模糊集合间的并、交、补（余）运算 具有如下的性质.
1)幂等律 A~ A~ A~, A~ A~ A~
2)交换律 A~ B~ B~ A~; A~ B~ B~ A~
3)结合律 ( A~ B~) C~ A~ (B~ C~),
论域U上的模糊集A由隶属函数uA来表征， uA的大小反映了x对于模糊子集的从属程度。 模糊子集完全由隶属函数来描述。
❖ 模糊子集的表示方法 （1）向量法
（2）查德表示法 有限集 无限集
模糊集举例 例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则 AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
经典集合论的例子： 设U={ 红桃，方块，黑桃，梅花 }
V={ A，1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10，J, Q, K } 求U×V
解： U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（
梅花, K） }
35
模糊关系论例子： 设有一组学生U:
U={ 张三，李四，王五 } 他们对球类运动V:
( A~ B~) C~ A~ (B~ C~).
模糊数学方法_数学建模ppt课件
相同 • 传递性：如果a和b的关系隶属度大于等于ⅰ，b和
c的关系隶属度大于等于ⅰ，那么a 和c的关系隶属度也大于等于ⅰ
传递性的判断
模糊数学应用
• 模糊聚类 • 模糊综合评判 • 模糊预测 • 模糊层次分析法 • 模糊推理 • 模糊控制 • 模糊约束
模糊聚类
模糊聚类
模糊综合评判
模糊预测
• 元素指标评价向量的距离或相似度
模糊关系
• 定义5 从集合A到集合B的一个模糊关系是指AXB 的一个模糊子集. 特别地
• 定义6 AXA的一个模糊子集称为A上的一个二元模 糊关系.
模糊关系的运算
模糊关系的运算
模糊关系的截集
• 模糊关系的a截集为一个经典关系. • 将模糊关系当成模糊子集来理解，其截集定义可
由模糊子集的定义来刻画. • 通过矩阵理解，a截集表示将矩阵中元素大于等于
n
模糊集合的相似度
• 用1减去相对距离，则可以得到相似度的概念. • 相似度，也可以理解为贴近度.有多种理论模型.
【0，1】区间上的算子
• [0,1]区间上的一个二元运算称为算子. • 这里的二元运算是广义的二元运算.例如常规乘法
运算，取大，取小，加法运算与1的取小复合： Min（a+b，1）. • 重要的有两类：三角模，像乘法运算，取小运算； • 三角余模：像取大， Min（a+b，1）等. • 同学们可以查其它的算子
a的数变为1，其余的变为0.
模糊关系的合成
• 一个从X到Y的模糊关系R和一个从Y到Z的关系Q 合成为一个从X到Z的模糊关系Q.R，合成规则为 将常规矩阵乘法运算中的加法用取大，乘法用取 小代替.
论域X上的模糊关系的三大性质
• 自反性：自身和自身的关系隶属度为1 • 对称性： a和b的关系隶属度与b 和a的关系隶属度
c的关系隶属度大于等于ⅰ，那么a 和c的关系隶属度也大于等于ⅰ
传递性的判断
模糊数学应用
• 模糊聚类 • 模糊综合评判 • 模糊预测 • 模糊层次分析法 • 模糊推理 • 模糊控制 • 模糊约束
模糊聚类
模糊聚类
模糊综合评判
模糊预测
• 元素指标评价向量的距离或相似度
模糊关系
• 定义5 从集合A到集合B的一个模糊关系是指AXB 的一个模糊子集. 特别地
• 定义6 AXA的一个模糊子集称为A上的一个二元模 糊关系.
模糊关系的运算
模糊关系的运算
模糊关系的截集
• 模糊关系的a截集为一个经典关系. • 将模糊关系当成模糊子集来理解，其截集定义可
由模糊子集的定义来刻画. • 通过矩阵理解，a截集表示将矩阵中元素大于等于
n
模糊集合的相似度
• 用1减去相对距离，则可以得到相似度的概念. • 相似度，也可以理解为贴近度.有多种理论模型.
【0，1】区间上的算子
• [0,1]区间上的一个二元运算称为算子. • 这里的二元运算是广义的二元运算.例如常规乘法
运算，取大，取小，加法运算与1的取小复合： Min（a+b，1）. • 重要的有两类：三角模，像乘法运算，取小运算； • 三角余模：像取大， Min（a+b，1）等. • 同学们可以查其它的算子
a的数变为1，其余的变为0.
模糊关系的合成
• 一个从X到Y的模糊关系R和一个从Y到Z的关系Q 合成为一个从X到Z的模糊关系Q.R，合成规则为 将常规矩阵乘法运算中的加法用取大，乘法用取 小代替.
论域X上的模糊关系的三大性质
• 自反性：自身和自身的关系隶属度为1 • 对称性： a和b的关系隶属度与b 和a的关系隶属度
模糊数学3课件
V ( u1 ,u2 )∈U1 ×U 2
∨
( µ A' ×B' (u1 , u2 ) ∧ µ R ((u1 , u2 ), v))
例2.7.5 多输入模糊推理 课堂练习2.7.3
基于削顶法的模糊推理结果求取
两输入模糊推理规则的改写 规则1’：如果x是 A ，则z是 C 与 规则2’：如果y是 B ，则z是 C
玛丹尼方法
µ A (u ) ∧ µ B (v)
(u , v)
U ×V
注意 可以采用任何模糊集合表示方法表示 对于有限论域，可以采用模糊矩阵表示 一般采用矩阵的形式表示，只在特殊的场合写成向量 形式
模糊推理结果
B ' = A' ( A → B) = ∫ ∨ ( µ A' (u ) ∧ µ A→ B (u, v))
A' 前提：如果x是
结论：y是？ 求出模糊集合“？”，推知表示的语言值，得到推理结论
模糊蕴含关系
扎德方法
A → B = ( A × B) ∪ ( Ac × V ) ( µ A (u ) ∧ µ B (v)) ∨ ((1 − µ A (u )) ∧ 1) =∫ U ×V (u , v)
A → B = A× B =∫
A' ，且y是 B ' 前提：如果x是
结论：z是？
模糊蕴含关系
R = A× B → C
注意 可以采用任何模糊集合表示方法表示
A × B 用含有 m1 ⋅ m2 个元素的向量表示
采用玛丹尼方法得到的模糊矩阵
R = A × B × C = ( A × B)T C
模糊推理结果
C ' = ( A' × B ' ) R =∫
∨
( µ A' ×B' (u1 , u2 ) ∧ µ R ((u1 , u2 ), v))
例2.7.5 多输入模糊推理 课堂练习2.7.3
基于削顶法的模糊推理结果求取
两输入模糊推理规则的改写 规则1’：如果x是 A ，则z是 C 与 规则2’：如果y是 B ，则z是 C
玛丹尼方法
µ A (u ) ∧ µ B (v)
(u , v)
U ×V
注意 可以采用任何模糊集合表示方法表示 对于有限论域，可以采用模糊矩阵表示 一般采用矩阵的形式表示，只在特殊的场合写成向量 形式
模糊推理结果
B ' = A' ( A → B) = ∫ ∨ ( µ A' (u ) ∧ µ A→ B (u, v))
A' 前提：如果x是
结论：y是？ 求出模糊集合“？”，推知表示的语言值，得到推理结论
模糊蕴含关系
扎德方法
A → B = ( A × B) ∪ ( Ac × V ) ( µ A (u ) ∧ µ B (v)) ∨ ((1 − µ A (u )) ∧ 1) =∫ U ×V (u , v)
A → B = A× B =∫
A' ，且y是 B ' 前提：如果x是
结论：z是？
模糊蕴含关系
R = A× B → C
注意 可以采用任何模糊集合表示方法表示
A × B 用含有 m1 ⋅ m2 个元素的向量表示
采用玛丹尼方法得到的模糊矩阵
R = A × B × C = ( A × B)T C
模糊推理结果
C ' = ( A' × B ' ) R =∫
模糊数学-模糊集的基本运算PPT文档共50页
模糊数学-模糊集的基本运算
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财Biblioteka ❖ 丰富你的人生71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财Biblioteka ❖ 丰富你的人生71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
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（3）模糊矩阵的转置
T T ( a ) , A ( a 定义：设 A 称 为A的 ij m n ij ) m n
转置矩阵，其中 a
T ij
aji 。
（4）模糊矩阵的 截矩阵 定义：设 A 称 [ 0 , 1 ], ( a ) ,对任意的 ij m n
A ( a )
交： ( 表示取小。 A B )( x ) A ( x ) B ( x ), x U
c 余： A ( x ) 1 A ( x ), x U
几个常用的算子：
（1）Zadeh算子 (,)
a b max{ a , b }, a b min{ a , b }
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1
A0 .5
0 0 0 0 0 1 1 0 1 1模糊统计法 模糊统计试验的四个要素： （1）论域U； （2）U中的一个固定元素 u 0 ;
* （3）U中的一个随机运动集合 A ;
T R R( rij rji ); （2） 对称性：
（3） 传递性： R2 R( max{(rik rkj ) 1 k n} rij ); 则称 R 为模糊等价矩阵。
自反性可推出：
2 RR
2 结合，可得到： 与传递性：RR
2 R R 模糊等价矩阵实际满足:
可省略
（2）序偶表示法
A {( x , A ( x )), ( x , A ( x )), , ( x , A ( x ))} 1 1 2 2 n n
（3）向量表示法
A ( A ( x ), A ( x ), , A ( x )) 1 2 n
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而
Ac Bc ((1 A(x)) (1 B(x))) 1
xR
由格贴近度公式，得
(2 1 )2
N( A, B) e 12
模糊数学
xR
xR
可见，内积 A B 是 A(x)与 B(x)相等时的值，这时，x=x*.故令
A(x)=B(x)，求 x*，
即从
( xa1 )2
( xa2 )2
e 1 e 2
求得
x1
1 2 1
21 2
,
x2
பைடு நூலகம்
21 2
1 2 1
其中 x2 不是其最大值点，故选 x*=x1.于是
(
2
1
)2
A B A(x1) e 21
当 U 为无限论域时， A B (A(u) B(u)) uU
这里“V”表示取上确界。 注，2.1 节中的海明贴近度、欧几里得贴近度、黎曼贴近度 和本节的格贴近度这些贴近度很难比较，只有在应用时加以 选择。
模糊数学
例 1 设论域 R 为实数域，F 集的隶属函数为
( xa1 )2
A(x) e 1 ,
模糊数学
根据引理 1 和格贴近度的定义，立即得到：
定理 1 设 A, B F(U ) ，则 (A, B) (A B) (A B)c, 是 F 集 A,B 的贴近度，叫做 A、B 的格贴近度。记为
N1(A, B) (A B) (A B)c
n
式中，当 U 为有限论域时， A B (A(ui ) B(ui )) i 1
模糊数学
由性质发现，给定F集A，让F集B靠近A， 会使内积增大而外积减少。即，当内积较 大且外积较小时，A与B比较贴近。
所以，以内外积相结合的“格贴近度” 来刻划两个F集的贴近程度。
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(2) A B A (u) B (u), u U ; (3) (4) (5) (6)
A B A (u) B (u), u U ;
AB (u) A (u) B (u), u U ; AB (u) A (u) B (u), u U ;
补： Ac ( x ) 1 A( x ), x U
32
32
例6 设论域 U={a, b, c, d, e} 是一个5人组成的 集合 ，A 表示“高个子”的集合， B 子”的集合
表示“胖
A 0.6 a 0.3 b 0.9 c 0.5 d 1 e
B 0.4 a 0.7 b 0.8 d 0.2 e
A {( x1 , A( x1 )), ( x2 , A( x2 )),, ( xn , A( xn ))}
（3）向量表示法
A ( A( x1 ), A( x2 ),, A( xn ))
若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：
A
24
xU
A( x ) x
例1
A 表示“圆糊糊的物体”
6
• 涉及学科 模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支
分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；
人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象、信息、经济、文学、音乐 • 模糊产品 洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯
7
模糊彩色电视机——可根据室内的光线、距离屏 幕 的远近来自动调节屏幕的亮度和音量的大小。 模糊空调器——由于用微机进行模糊控制，到了 设定时刻，空调器能够根据室温需要，采用经济的工 作状态，调节合适的房间温度，既省电又省事。
F (U ) {A | A : U [0,1]}
22
模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：
（1）Zadeh表示法
A( x1 ) A( x2 ) A( xn ) A x1 x2 xn
A( x i ) 这里 表示 xi 对模糊集 A 的隶属度是 A( xi ) 。 xi
23
（2）序偶表示法
模糊数学
模糊数学绪论
一、什么是模糊数学 二、模糊数学的产生与基本思想 三、模糊数学的研究对象
1
一、什么是模糊数学
•模糊概念
秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
设头发根数n n=1 显然 n=k+1 亦为秃子
若n=k 为秃子
模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间无明显
分界线
年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、 低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多 云、暴雨、清晨。
A B A( x ) B( x ), x U
包含： A B A( x ) B( x ), x U
并：
( A B)( x) A( x) B( x), x U
表示取大； 表示取小。
交： ( A B )( x ) A( x ) B( x ), x U
20
定义：设U是论域，称映射
A : U [0,1],
~
x A ( x ) [0,1]
数， A ( x ) 称为 x 对 A 的隶属程度，简称隶属度。
~
A 称为 A 隶属函 确定了一个U上的模糊子集 A 。映射 ~ ~ ~
~
~
A ( x ) 越接近于0, A ( x ) 越接近于1,
x 140 A( x) 190 140 用Zadeh表示法：
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 A x1 x2 x3 x4 x5 x6
27
还可用向量表示法： A = (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1).
另外，还可以在U上建立一个“矮个子”、“中等个子”、 “年轻人”、“中年人”等模糊子集. 从上例可看出： (1) 一个有限论域可以有无限个模糊子集,而经典子集是有 限的； (2) 一个模糊子集的隶属函数的确定方法是主观的. 隶属函数是模糊数学中最重要的概念之一，模糊数学方法 是在客观的基础上，特别强调主观的方法.
A {1, 2,3}, B {x, y} A B {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (3, x), (3, y)}
16
特征函数
论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。 通常用大写字母U、V、X、Y 等表示。
论域U中的每个对象u称为U的元素。
17
那么 A (a ) 0.3
A (b) 0
A (e) 1
A (c) 0.8
A ( d ) 0.5
Zadeh表示：
a e
b c d
0.3 0.8 0.5 1 A a c d e
25
向量表示：
A (0.3 0.8 0.5 1)
展，模糊理论和模糊技术将对于人类社会的进步发挥更
大的作用。
4
处理现实对象的数学模型
确定性数学模型: 确定性或固定性,对象间有必然联系.
随机性数学模型: 对象具有或然性或随机性 模糊性数学模型: 对象及其关系均具有模糊性. 随机性与模糊性的区别 随机性: 指事件出现某种结果的机会. 模糊性: 指存在于现实中的不分明现象. 模糊数学: 研究模糊现象的定量处理方法.
模糊煮饭器——一次最多可煮1.8升米饭，内装锅 体温度、室温、蒸气三种传感器，用它煮饭时，每分 钟检测一次加热状况，根据检测结果采用模糊理论对 火力强弱进行微妙控制，使煮出来的米饭松软可口。
8
三、与模糊数学相关的问题
模糊数学—研究和处理模糊性现象的数学 （概念 与其对立面之间没有一条明确的分界线）
2
共同特点：模糊概念的外延不清楚。
模糊概念导致模糊现象 模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。 • 术语来源 Fuzzy: 毛绒绒的，边界不清楚的
模糊，不分明，弗齐，弗晰，勿晰
3
•人工智能的要求
• 取得精确数据不可能或很困难 •没有必要获取精确数据 模糊数学的产生不仅形成了一门崭新的数学学科，而且 也形成了一种崭新的思维方法，它告诉我们存在亦真亦 假的命题，从而打破了以二值逻辑为基础的传统思维， 使得模糊推理成为严格的数学方法。随着模糊数学的发
15
0-1律：A∪U = U ， A∩U = A ； A∪ = A ， A∩ = ； 还原律： (Ac)c = A ； 对偶律： (A∪B)c = Ac∩Bc，(A∩B)c = Ac∪Bc； 排中律： A∪Ac = U， A∩Ac = ； U 为全集， 为空集.
集合的直积： A B= { (x , y )| xA , y B }.
29
29
例4 考虑年龄集U=[0,100]，O=“年老”，O也是一个年龄 集，u = 20 ∉ A，40 呢？…札德给出了 “年老” 集函数刻画:
0 0 u 50 u 50 2 1 O(u ) (1 ( ) ) 50 u 100 5
1
0 50
30
在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个 经典集合A，则必有 u A 或者 u A，用函数表示为：
A : U {0,1} u A ( u),
其中
1, u A A ( u) 0, u A
函数 A 称为集合A的特征函数。
18
特征函数与集合的关系
(1) A U A (u) 1, A A (u) 0, u U ;
28
例3 有100名消费者，对5种商品 x1 , x2 , x3 , x4 , x5
评价，
结果为： 81人认为x1 质量好，53人认为x2 质量好，
所有人认为x3 质量好，没有人认为x4 质量好，24人认为x5 质量好
则模糊集A（质量好）
0.81 0.53 1 0 0.24 A x1 x2 x3 x4 x5
序偶表示：
A {(0.3, a), (0.8, b), (0.5, c), (1, d )}
26
例2 设论域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集 “高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为
~ ~ ~
表示 x 隶属于A 的程度越小；
表示 x 隶属于A 的程度越大；
A ( x )＝0.5, 最具有模糊性，过渡点.
21
当映射 A ( x ) 只取0或1时，模糊子集A就是经典子
集，而 A ( x ) 就是它的特征函数. 可见经典子集就是
~ ~
模糊子集的特殊情形.
模糊幂集
论域U上全体模糊子集组成的集合，记为F(U)
5
二、模糊数学的产生
1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章《模糊集 》
(Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )
•基本思想 用属于程度（隶属度）代替属于或不属于。
如某员工属于优秀的程度为0.6，属于良好的程度为0.2， 属于一般的程度为0.1，属于较差的程度为0.1。
A (u) 1 A (u), u U ;
c
19
二. 模糊集合
亦此亦彼
模糊集合 A , ~
A
~
元素 x
U 若 x 位于 A 的内部， 则用1来记录， 若 x 位于 A 的外部， 则用0来记录， 若 x 一部分位于 A 的内部，一部分位于 A 的外部，
则用 x 位于 A 内部的长度来表示 x 对于 A 的隶属程度。
A B A (u) B (u), u U ;
AB (u) A (u) B (u), u U ; AB (u) A (u) B (u), u U ;
补： Ac ( x ) 1 A( x ), x U
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例6 设论域 U={a, b, c, d, e} 是一个5人组成的 集合 ，A 表示“高个子”的集合， B 子”的集合
表示“胖
A 0.6 a 0.3 b 0.9 c 0.5 d 1 e
B 0.4 a 0.7 b 0.8 d 0.2 e
A {( x1 , A( x1 )), ( x2 , A( x2 )),, ( xn , A( xn ))}
（3）向量表示法
A ( A( x1 ), A( x2 ),, A( xn ))
若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：
A
24
xU
A( x ) x
例1
A 表示“圆糊糊的物体”
6
• 涉及学科 模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支
分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；
人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象、信息、经济、文学、音乐 • 模糊产品 洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯
7
模糊彩色电视机——可根据室内的光线、距离屏 幕 的远近来自动调节屏幕的亮度和音量的大小。 模糊空调器——由于用微机进行模糊控制，到了 设定时刻，空调器能够根据室温需要，采用经济的工 作状态，调节合适的房间温度，既省电又省事。
F (U ) {A | A : U [0,1]}
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模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：
（1）Zadeh表示法
A( x1 ) A( x2 ) A( xn ) A x1 x2 xn
A( x i ) 这里 表示 xi 对模糊集 A 的隶属度是 A( xi ) 。 xi
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（2）序偶表示法
模糊数学
模糊数学绪论
一、什么是模糊数学 二、模糊数学的产生与基本思想 三、模糊数学的研究对象
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一、什么是模糊数学
•模糊概念
秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
设头发根数n n=1 显然 n=k+1 亦为秃子
若n=k 为秃子
模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间无明显
分界线
年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、 低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多 云、暴雨、清晨。
A B A( x ) B( x ), x U
包含： A B A( x ) B( x ), x U
并：
( A B)( x) A( x) B( x), x U
表示取大； 表示取小。
交： ( A B )( x ) A( x ) B( x ), x U
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定义：设U是论域，称映射
A : U [0,1],
~
x A ( x ) [0,1]
数， A ( x ) 称为 x 对 A 的隶属程度，简称隶属度。
~
A 称为 A 隶属函 确定了一个U上的模糊子集 A 。映射 ~ ~ ~
~
~
A ( x ) 越接近于0, A ( x ) 越接近于1,
x 140 A( x) 190 140 用Zadeh表示法：
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 A x1 x2 x3 x4 x5 x6
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还可用向量表示法： A = (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1).
另外，还可以在U上建立一个“矮个子”、“中等个子”、 “年轻人”、“中年人”等模糊子集. 从上例可看出： (1) 一个有限论域可以有无限个模糊子集,而经典子集是有 限的； (2) 一个模糊子集的隶属函数的确定方法是主观的. 隶属函数是模糊数学中最重要的概念之一，模糊数学方法 是在客观的基础上，特别强调主观的方法.
A {1, 2,3}, B {x, y} A B {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (3, x), (3, y)}
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特征函数
论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。 通常用大写字母U、V、X、Y 等表示。
论域U中的每个对象u称为U的元素。
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那么 A (a ) 0.3
A (b) 0
A (e) 1
A (c) 0.8
A ( d ) 0.5
Zadeh表示：
a e
b c d
0.3 0.8 0.5 1 A a c d e
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向量表示：
A (0.3 0.8 0.5 1)
展，模糊理论和模糊技术将对于人类社会的进步发挥更
大的作用。
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处理现实对象的数学模型
确定性数学模型: 确定性或固定性,对象间有必然联系.
随机性数学模型: 对象具有或然性或随机性 模糊性数学模型: 对象及其关系均具有模糊性. 随机性与模糊性的区别 随机性: 指事件出现某种结果的机会. 模糊性: 指存在于现实中的不分明现象. 模糊数学: 研究模糊现象的定量处理方法.
模糊煮饭器——一次最多可煮1.8升米饭，内装锅 体温度、室温、蒸气三种传感器，用它煮饭时，每分 钟检测一次加热状况，根据检测结果采用模糊理论对 火力强弱进行微妙控制，使煮出来的米饭松软可口。
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三、与模糊数学相关的问题
模糊数学—研究和处理模糊性现象的数学 （概念 与其对立面之间没有一条明确的分界线）
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共同特点：模糊概念的外延不清楚。
模糊概念导致模糊现象 模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。 • 术语来源 Fuzzy: 毛绒绒的，边界不清楚的
模糊，不分明，弗齐，弗晰，勿晰
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•人工智能的要求
• 取得精确数据不可能或很困难 •没有必要获取精确数据 模糊数学的产生不仅形成了一门崭新的数学学科，而且 也形成了一种崭新的思维方法，它告诉我们存在亦真亦 假的命题，从而打破了以二值逻辑为基础的传统思维， 使得模糊推理成为严格的数学方法。随着模糊数学的发
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0-1律：A∪U = U ， A∩U = A ； A∪ = A ， A∩ = ； 还原律： (Ac)c = A ； 对偶律： (A∪B)c = Ac∩Bc，(A∩B)c = Ac∪Bc； 排中律： A∪Ac = U， A∩Ac = ； U 为全集， 为空集.
集合的直积： A B= { (x , y )| xA , y B }.
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例4 考虑年龄集U=[0,100]，O=“年老”，O也是一个年龄 集，u = 20 ∉ A，40 呢？…札德给出了 “年老” 集函数刻画:
0 0 u 50 u 50 2 1 O(u ) (1 ( ) ) 50 u 100 5
1
0 50
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在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个 经典集合A，则必有 u A 或者 u A，用函数表示为：
A : U {0,1} u A ( u),
其中
1, u A A ( u) 0, u A
函数 A 称为集合A的特征函数。
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特征函数与集合的关系
(1) A U A (u) 1, A A (u) 0, u U ;
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例3 有100名消费者，对5种商品 x1 , x2 , x3 , x4 , x5
评价，
结果为： 81人认为x1 质量好，53人认为x2 质量好，
所有人认为x3 质量好，没有人认为x4 质量好，24人认为x5 质量好
则模糊集A（质量好）
0.81 0.53 1 0 0.24 A x1 x2 x3 x4 x5
序偶表示：
A {(0.3, a), (0.8, b), (0.5, c), (1, d )}
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例2 设论域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集 “高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为
~ ~ ~
表示 x 隶属于A 的程度越小；
表示 x 隶属于A 的程度越大；
A ( x )＝0.5, 最具有模糊性，过渡点.
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当映射 A ( x ) 只取0或1时，模糊子集A就是经典子
集，而 A ( x ) 就是它的特征函数. 可见经典子集就是
~ ~
模糊子集的特殊情形.
模糊幂集
论域U上全体模糊子集组成的集合，记为F(U)
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二、模糊数学的产生
1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章《模糊集 》
(Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )
•基本思想 用属于程度（隶属度）代替属于或不属于。
如某员工属于优秀的程度为0.6，属于良好的程度为0.2， 属于一般的程度为0.1，属于较差的程度为0.1。
A (u) 1 A (u), u U ;
c
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二. 模糊集合
亦此亦彼
模糊集合 A , ~
A
~
元素 x
U 若 x 位于 A 的内部， 则用1来记录， 若 x 位于 A 的外部， 则用0来记录， 若 x 一部分位于 A 的内部，一部分位于 A 的外部，
则用 x 位于 A 内部的长度来表示 x 对于 A 的隶属程度。