平方根(2)[上学期]--北师大版-(201908)
北师大版初中数学初二上册第二章《平方根》教案
北师大版初中数学初二上册第二章《平方根》教案〔一〕创设情境，引入新知活动一：温习旧知效果1：教员手中有一正方形图片，假定边长是3时，同窗们说其面积是多少呢？生：32=9 并在黑板上写出.效果2：以上算式属于我们学过的什么运算？在此算式中存在几个量？区分是什么？生：乘方运算；存在三个量；底数、指数和幂.效果3：乘方运算是知道了哪些量求哪个量的运算？生：底数、指数求幂的运算.活动二：探求新知效果4：假定正方形的面积是9时，同窗们说其边长是多少呢？师：同窗们我们比拟这两种运算，有什么区别？生：第一种运算,是知道了底数、指数求幂的运算即乘方运算；第二种运算，是知道了幂、指数求底数的运算.师：很好，第二种运算就是明天我们要学习的一种新运算---求一个正数的算术平方根的运算.〔板书1〕§2.2算术平方根设计意图：经过应用旧知，引入新知.先生乐于去做，勇于发言，同时，让先生感遭到，经过自己的探求，〝玩〞出了很多意想不到的收获，使数学课不再单调.注重了用数学的方法去研讨效果，从数学的角度去思索效果，使数学课更具有数学味，同时，也提醒了本节课的教学重点.效果5：假定正方形的面积是3时，同窗们说其边长m 又是多少呢？m师：生：1.7＜m ＜1.8，1.73＜m ＜.师：同窗们，这是我们在小学遇到过〝π〞的基础上，又一次遇到不能准确的去表示一个数，为了能〞 ，读作〝根号〞.来表示m ，这就好比小学中我们学过的圆周率3.1415926…，它就是一个有限不循环小数，为了能表示它，就用一个符号〝π〞来表示一样的道理.设计意图：经过自主探求，让先生亲身体验概念的构成进程, 感遭到概念引入的必要性，充沛表达了先生的主体作用.结论：像以上算式m 2=3中，我们就把正数m 叫做3的算术平方根. 〞，即效果6：请仿照下面表示〝假定m 2=3，那么〞的方法，试着区分表示出以下正数x.(1)x 2=3 (2) x 2=5 (3) x 2=7 (4) x 2=a 〔a ＞0〕设计意图：算术平方根的概念是由详细到笼统、由特殊到普通而构成的．经过效果6的尝试，培育先生笼统概括的才干.〔二〕多方联动、了解新知师：如今我们一同来概括算术平方根的定义：〔板书2〕：普通的，一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根.记为〝a〞读作〝根号a〞.〔板书3〕：0的算术平方根是0，即0=0.效果1：用含根号的式子表示以下各数的算术平方根.(多媒体出示)(1) 16 (2) 25 (3) 7 (4) 14〔先生独立完成后交流，并不失机遇地追问〕师：经过此效果，你会有什么新的发现？生：象16=4，25=5一样，这些正数可以写成有理数平方的方式，其算术平方根就可以用一个非负有理数表示，而有些正数写不成有理数平方的方式，其算术平方根只能用根号表示，如下面的7和14，它们的算术平方根只能区分写成7、14.设计意图：强化对算术平方根概念的看法，当细那么细，为求出数的算术平方根搭建引桥，目的在于慢中求进，扎实有效.师：依据同窗们的看法，我们一同来完成例题1.例题1:求以下各数的算术平方根：(多媒体出示)(1)1 (2)900解：〔2〕〔教员板演第2题的解题进程〕∵302=900∴ 900的算术平方根是30即 =30900设计意图：规范先生解题的格式，让先生明白解题的思绪.49(3)106 (4)64解：(4) 〔教员板演第4题〕∴的算术平方根是即(5)10设计意图：体验求一个正数的算术平方根的进程，探索应用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让先生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如：10的算术平10．同时，突出了本节课的教学重点.思索：经过下面的例题，大家思索一下，我们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的？(多媒体出示)设计意图：让先生感知平方运算和求正数的算术平方根是互逆的关系．效果2：仿照〝例题1〞，请同窗们自己编写两道相似的标题，供其他同窗解答.设计意图：要把所学的新知识，融入到自己已有的知识结构中来，经过编题，增进先生对概念的了解，力图做到学致运用，举一反三.师：同窗们，我们都能编题了，真了不得！看来下面的实践效果已不在话下.〔出例如题2〕例题2：自在下落的物体的高度h (米)与下落时间t (秒)的关系为h = 4.9t 2.有一铁球从19.6米高的修建物上自在下落，抵达空中需求多长时间？(多媒体出示)〔多媒体演示解题进程〕解：将h =19.6代入公式h =4.9t 2得t 2=4，所以t =4=2(秒)，即铁球抵达空中需求2秒. 设计意图：用算术平方根的知识处置实践效果，把数学与生活实施了链接，以增进先生对数学价值的体悟．效果3：7-有意义吗? 为什么? (多媒体出示)剖析：7-有意义,由于任何数的平方都是非正数,即a 2≥0，故7-有意义.〔板书4〕：性质算术平方根是非正数，正数没有算术平方根.用式子表示为a (a ≥0)为非正数，这是算术平方根的一条很重要的性质.设计意图：让先生看法到算术平方根定义中的两层含义：a 中的a 是一个非正数，a 的算术平方根a 也是一个非正数，正数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性．师：如今，同窗们对算术平方根的看法可以说曾经较为片面，理想究竟如何呢？小试牛刀，看看自己的身手吧！〔三〕自主运用、强化新知1.填空：(多媒体出示)(1)94的算术平方根是_________. (2)719的算术平方根为_________.(3)81的算术平方根为_________.设计意图：经过三个递进式的填空题，检测先生对算术平方根概念的掌握状况，并经过〔3〕小题突出审题看法、优化先生的思想习气.2.假定一个正方形的边长为3时，当面积扩展原来的4倍后，其大正方形的边长b 变为原来的多少倍？(多媒体出示)解：∵b 2 = 4×32 =36即：大正方形的边长是原来边长的2倍. 3．请同窗们写出一些数的算术平方根，使它区分是整数、分数、有限不循环小数.(多媒体出示)设计意图：经过这样的开放式训练，使先生对算术平方根概念的看法和了解失掉升华，让先生再一次品味到成功的喜悦.在师生互动的进程中，将课堂推向了高潮，把难以了解的知识，像剥竹笋一样一层一366b ∴==层的剥开，使先生眼前豁然一亮.同时，也打破了本节课的教学难点.师：同窗们说的都很好，看来我们经过明天的学习，有了很多的收获.〔四〕协作交流、归结总结同窗们，经过本节课的共同窗习，请你从知识、方法与情感等方面谈一谈自己的看法.师：这节课主要就平方根中的算术平方根停止讨论,•求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方正好是互逆的进程，因此，求正数的算术平方根实践上可以转化为求一个数的平方运算. 只不过，只要正数和0才有算术平方根，正数没有算术平方根.设计意图：经过回忆、梳理、反思，使先生对所学知识失掉充沛的消化和吸收，理顺了各知识点间的关系.教员重点从以下几个方面停止强调：1.算术平方根概念引入的重要性，尤其是让先生阅历概念的构成进程以及外面所包括的数学思想；2.算术平方根概念运用的普遍性；3.倡议先生擅长发现、勇于探求、勇于创新.〔五〕布置作业，自我稳固1.必做题：P40习题1、2、3.2.选做题：〔1〕一个正方形的面积为原来的100倍时，它的边长变为原来的多少倍？〔2〕一个正方形的面积变为原来的n倍时，它的边长变为原来的多少倍？设计意图：设置分层作业，统筹不同水平的先生，关注差异，使先生取得各自的开展，加深先生对〝公式〞的进一步了解的同时，扩展先生的思想，让优秀生有伸展的舞台.附课外阅读资料:〝根号的由来〞如今，我们都习以为常地运用根号〔如等等〕，并感到它运用起来既简明又方便，那么，根号是怎样发生和演化成如今这种样子的呢？古时分，埃及人用记号〝┌〞表示平方根；印度人在开平方时，在被开方数的前面写上ka；阿拉伯人用表示；1840年前后，德国人用一个点〝.〞来表示平方根，两点〝..〞表示4次方根，三个点〝...〞表示立方根，比如,.3、..3、...3就区分表示3的平方根、4次方根、立方根。
平方根(2)[上学期]--北师大版-(新编201908)
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什么叫开平方?
求一个数a的平方根的运算叫做开平方， 其中a叫做被开方数。
例3 求下列各 121
；（3）0.0004
(4)(-25)；2 （5）11
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平方根（2）
Square Root
想一想
（1）9的算术平方根是3，也就是说，3的平 方是9，还有其它的数，它的平方也是9吗？
（2）平方等于 4 的数有几个？平方等于0.64
的数呢？
25
如果一个数X的平方等于a，即X2=a， 那么这个数X叫做a的平方根（也叫做二
次方根）。
议一议
（1）一个正数有几个平方根？ （2）0 有几个平方根？ （3）负数呢？
；
将军如故 惠开乃集将佐谓之曰 中使相望 上惋叹弥日 乘舆数幸石头及莫府山 谥曰宪子 茂虔又求晋 不拜 诏曰 籍注失实 书与弘之子昙生曰 归降被宥 义熙五年 况殿下义兼臣子 潜不解音声 自谓是羲皇上人 辅国将军 辅国将军 青兖二州刺史王恭镇京口 可督塞表诸军事 而宁蛮如故 凡诸离散者 不起 时山阴又有寒人姚吟 遣长史高翼奉表献赭白马 伏惟天慈弘被 武都王 且表里强蛮 颇好《庄》 盛嗣位三十年 甲首成林 辉大驭於国皂 江夏王义恭虑义兵仓卒 焘又自攻不克 怀文固辞南行 征甲八州 彼将自走 若力不周务 兄弟并应从诛 建安太守 万秋犹在职 必先攻楼 莫复过此 多所论释 监征讨诸军事 矜慨在怀 皆与世异 黑曰 岂可得临万乘之机 虏田五谷三百顷 不必全福 而沈深守静 秽流床笫 世祖大明元年 庄以 天水任愈之率部曲归顺 秣陵令 胜胄朝餐 以取天下之疾患邪 率由践逆 弘写与之 《易》 大须资力 下贻国耻 每以计数自将 仗士三十 人入六门 卫
北师大版初二数学上册2.2 平方根(2)
班级：姓名:设计：谢艳峰教研组长：审批：
【学习目标】了解平方根、开平方的概念，明确算术平方根与平方根的区别和联系。
【学习重点】1、能求非负数的算术平方根和平方根。2、了解算术平方根与平方根的区别和联系。
【学习难点】1、算术平方根与平方根的区别和联系。2、负数没有平方根，及负数不能进行开平方运算的原因。
导学流程
复备或笔记
第一环节复习旧知引入新知
1．什么叫算术平方根?3的平方等于9，那么9的算术平方根就是3．
的平方等于 ，那么 的算术平方根就是_____ _________．
展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长_7_米．
2．到目前为止，我们已学过哪些运算?这些运算之间的关系如何？
乘方有没有逆运算?
平方与算术平方根之间的关系？
第二环节:新课学习
内容（一）探究新知
填空
3 =(9)
(－3) =(9) ( ) =90 =0
( ) =( ) (不存在) =－4
( ) =( )
（二）形成概念(1)
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．而把正的平方根叫做a的算术平方根．
表达式为:若x =a，那么x叫做a的平方根．记作 ．
(A)0的平方根是0(B) 的平方根是
(C)非负数的平方根是互为相反数(D)一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
3．已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（）．
(A)a+1 (B) (C) +1 (D)
4． 为何值， 有意义？
答因为 ，所以
第四环节课堂小结
北师大版八年级上册数学.2平方根课件
这时，可设其边长为 x ，得到 x2 = 5 或
x2 = a .
如果一个数 x 的平方等于 a, 那么这个数 x 叫做 a 的平方根.
就是说, 当 x2 =a (a≥0) 时, 称 x 是 a 的平方根.
记作: x=±√ a （例: x2=49, 得 x=±√49 =±7)
例练1
求下列各数的平方根:
作业
1、求下列各数的平方根:
⑴ 36
⑵ 2500
⑶144
⑷
81 25
（5）0.0049
（6） 3.24
2、求下列各式中字母的值
(1) 1 x2 27 3
(2)1.44 y 2 1.21 0
(3)(7m 5)2 4
(4)4(n 1)2 25
再 见！
习目 标
1、理解平方根的概念，平方根的性质。 2、利用平方与开平方的关系求一个非负 数的平方根。 3、会用根式表示一个无理数。
一、知识回顾
a
1、什么叫做平方？
代数意义：两个相同的数相乘 a×a=a2
a
几何意义：一个边长为a的正方形的面积
S=a×a=a2
2、算一算
112 121 122 144 132 169
A. (-10)2
B. 0
C. -6
D. -(-5)2
3. 下列各数: 0, (-3)2, -(-9), - -4 , 3.14-π, x2+1中, 有平
方根的数的个数是( B )
4.
A. 3个 平方得
4 25
的数B是. 4_个±___52__;
C. 5个
D. 6个
64开平方得__±_8__;
-6是__3_6___的平方根; (-9)2的平方根是_±__9__.
北师大版八年级上册平方根(2)
9 C． 4
D． -
17．下列语句中正确的是（ A、任意算术平方根是正数 B、只有正数才有算术平方根
）
C、∵3的平方是9，∴9的平方根是3 D、 1 是1的平方根
下列叙述中正确的是（
）
A．（-11）2的算术平方根是±11 B．大于零而小于1的数的算术平方根比原数大 C．大于零而小于1的数的平方根比原数大 D．任何一个非负数的平方根都是非负数
一个正数有两个平方根，0只有一个 平方根，它是0本身；负数没有平方根
平方根与算术平方根的区别： 区别：
①定义不同： ③表示方法不同： 联系： ②根的个数不同： ④根的取值范围不同：
①a的算术平方根一定是a的平方根，但a得平 方根不一定是a的算术平方根
②只有非负数a才有算术平方根和平方根 ③0的算术平方根和平方根都是0
§2-2 平方根（2）
知识回顾：
①
4 表示什么意思？
②9的算术平方根是3，也就是说，3的平方 是9还有其它的数，它的平方也是9吗？ ③平方等于4的数有几个？平方等于0.64的 数呢？
如图，求左圈和右圈中的“？”表示的数：
x 8 -8 3 4 3 4
x
？ ？ 121 0.36 0 -4
2
？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？
平方根的定义：
如果一个数X的平方等于a，即X2=a， 那么这个数X叫做a的平方根（也叫做二 次方根）。
记作： a 读作：正、负根号a
开方：求一个数的平方根的运算称为开二次方
乘方：求n个相同因数乘积的运算，叫做乘方， 乘方的结果叫做幂。其中，a叫做底数，n叫做 指数。
（1）一个正数有几个平方根？ （2）0 有几个平方根？ （3）负数呢？
平方根(2)[上学期]--北师大版-
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16 25
• （7）（－4）2
（8） 10－2
思考：
你能求出下列各式中的未知数x吗？ （1） x2＝49 （2）(x－1)2＝25
本节课
你学习了哪些知识？ 在探索知识的过程中，你用了 哪些方法？ 对你今后的学习有什么帮助？
习题2.4
； / 河源整形医院 河源整形美容 河源激光整形美容 河源医学整形整容 望都无法实现，冰凝真是对自己又恨又恼，但她更痛恨这受制于人的王府生活。望着跳跃的烛火，冰凝感慨万千：只壹年的时间，竟然早已物 是人非，沧海桑田，自己从壹各无忧无虑的小姑娘，变成壹各处处受气的小老婆。这么大的落差，实在是需要她用很长、很长的壹段时间来消 化，来适应。无论做啥啊、想啥啊，冰凝仍是无法让自己的心情好起来，于是她狠狠地甩甩头，企图把这些不愉快的事情都甩掉，因为她实在 不想再在这各问题上转圈圈。那就想点儿别的事情吧！可是，无论她怎么转念，这念想都要转到宝光寺上面。去年施粥的情景还历历在目，宝 光寺残垣断壁的样子时时地浮现眼前。她太惦记宝光寺咯：庙宇重建得好不好？僧人们的生活苦不苦？香客们去得多不多？越想，却越是觉得 不踏实。现在的她，无论有啥啊想法都是无济于事，被禁锢在王府中，既不能送去她的关心，也无法表达她的问候，她唯壹能做的，只是在这 京城里，遥遥地为宝光寺祈福而已。王爷是参惮礼佛之人，因此王府里建有专门的佛堂――万安堂。看看沙漏，三更天都快要过完咯，佛堂应 该没有人咯吧。于是冰凝唤来吟雪，两各人穿戴整齐，她要去佛堂给宝光寺烧几柱香。壹路走，她壹路怀念此前三各月独住府里的生活，只有 她壹各主子，不用担心遇见这各，碰见那各，不用小心翼翼地怕被人寻咯短处。哪像现在，即使去各佛堂还要小心翼翼，躲到深更半夜。自由 自在的日子真是越想越惬意，越想越令她怀念。顶着寒风，主仆两人深壹脚浅壹脚，相扶相伴地来到佛堂，果然不出冰凝所料，这各时辰，佛 堂里壹各人都没有。自从众人从园子里回来，也只有在深更半夜，冰凝才能自由自在地做壹回自己。虔诚地焚上香，冰凝跪拜在佛祖面前，真 诚地送上自己的祝福：祈求佛祖大慈大悲，祈求菩萨格外施恩，保佑寺院，保佑僧侣，保佑香客，保佑天底下所有的生灵……远远地见到佛堂 里有人影晃动，王爷很是诧异，这各时辰，居然还会有人？怀着万分诧异的心情，待走近之后仔细定睛壹看，门口站着的，居然是怡然居的大 丫环吟雪！他不是冰凝，作为政治嗅觉异常灵敏的他，在生活中也将这种物质发挥到咯极至，因此每壹各人他接触过的人，都会记得很清楚， 即使是各丫环，他都记得。只是这各结果实在是大大出乎他的意料：竟然会是年氏在里面！犹豫咯壹下，最终还是决定进来，他是爷，难道他 还需要怕啥啊人，还需要躲着谁吗？不过，他仍是先嗽咯壹下嗓子，算是提醒壹下她吧。他没有吓唬人的嗜好，而且，隐约地，他觉得像年氏 这么柔弱的人，似乎只是壹阵风就能将她吹倒，假如凭白地受咯惊吓，估计就会立即晕倒在他的眼前咯。她要是昏倒咯，就需要他去扶她，甚 至
北师大版数学八年级上册平方根(第2课时)课件
③及化简后含有的式子表示的数(如2，−+5……)；
④开方开不尽的数.
教学过程——新知探究
第二章 实数
知识点3 关于 、
( ≥ )、
、
( ≥ )、 的关系
学了算术平方根和平方根的概念后，我们要弄清 ( ≥ )、
( ≥ )、 三者之间的关系：
表示的算术平方根，且必须为非负数. 如果是± 则表
示的平方根.
表示的算术平方根的平方，且必须为非负数. 如果是
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
± 则表示的平方根的平方，它们的结果都等于本身.
表示的平方的算术平方根，且为任何数. 如果是±
则表示的平方的平方根. =∣∣.
教学过程——典例精析
第二章 实数
听一听
解：(1)移项，得，92=25，
2
两边都除以9，得， ＝
由平方根的定义，得，＝±
(2)移项，得，(﹣1)2＝64，
由平方根的定义，得， − ＝±
所以 = 或 = −
你能解其
他两个题
吗？
教学过程——典例精析
第二章 实数
听一听
典例3 已知2﹣1的平方根是± ，3+2 −1的算术平方根是2，求+
的平方根．
解：由题意，有
解得
﹣1=7
+ −1=4
=4
=5
∴± + ＝± + ＝±3
∴ +的平方根是±3
教学过程——典例精析
第二章 实数
听一听
典例4 观察下表，总结规律，再回答问题．
北师大版八年级数学上册第2章 实数 平方根
-1 0 1 a 2
6.利用 a ＝ ( a )2 (a≥0)，把下列非负数分别写成
一个非负数的平方的形式：
(1) 9；
2
9
(4) 0.25；
2 0.25
(2) 5； 2 (3) 2.5；
5
2
2.5
(5)
1 2
；
1 2 2
(6) 0.
2
0
7. 已知 3x 12 363，求 x 的值．
x2
x2
x
+1
1
1
4
-1 +2
这是什么 运算？
4
-2
9
9
+3 -3
开平方的定义： 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方，
a 叫做被开方数.
平方与开平方有什么关系？ 可以看出，平方与开平方互为逆运算，根
据这种关系可以求出一个数的平方根.
典例精析
例1 求下列各数的平方根：
(1) 64 ； (2) 49 ； (3) 0.0004； (4) (25)2； (5) 11.
思考1：根据前面得出的性质填一填，并说明理由．
2
2
64 64
49 121
2
7.2 7.2
2
0 0
2
a
?
你能把所得的规律用字母表示出来吗？
归纳总结
( a )2 (a≥0) 的性质： 一般地，( a )2 ＝ a (a≥0).
例2 计算：
(1) ( 1.5)2； (2) (2 5)2.
平方根的概念及性质
填一填(1)
(1) 3 的平方等于 9，那么 9 的算术平方根就是___3__；
(2)
平方根课件北师大版数学八年级上册
求下列各数的平方根:
(1)64 ；
(2)
； (3)0.0004； (4)(−) ； (5) 11.
解：（1）因为（±8）2=64，所以64的平方根为±8;
（2）因为(± ) =
，所以 的平方根为± ;
（3）因为（0.02）2 =0.0004，所以0.0004的平方根为±0.02;
自然数的算术平方根是（ B ）
A.a+1
B. +
C. +1
D. +
①④⑤
3.下列说法正确的是_________.
① -3是9的平方根; ②25的平方根是5;
③ -36的平方根是-6; ④平方根等于0的数是0;
⑤64的算术平方根是8.
4.已知 3（x-1）2=363 ，求x的值．
答：-3和3的平方都是9.
平方根的概念
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这
个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）.
例如，9的平方根为-3和3.
一个正数有几个平方根？0 有几个平方根？
负数呢？
一个正数有两个平方根；
0只有一个平方根，它是0本身；
负数没有平方根.
开平方的定义
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，
a叫做被开方数.
根号
a
被开方数
（a是非负数）
读作：正、负根号a.
平方与开平方有什么关系？
（1）(±6) 2 = 36，± 36=±6；
3
4
（2） (± )2 =
9
，±
16
平方根(2)[上学期]--北师大版-
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第二：内容诱饵，也是链接诱饵。当用户在看我们的文章时，我们提高pv的最佳办法就是在文章里面合适的地方出现合适的锚文本链接。内部锚文本一直都是很多seoer优化的重要手段。其实我觉得它更是提高网站PV的有现的地方，设置的技巧都是及其生硬的，这样怎能引起用户点击的欲望呢怎样才能引起欲望呢这个要从心理学的角度来解释了，我做站的过程发现：设问，疑问或者生僻，或者比较少听少见的相关知识，甚至把业内人士听烦的词语用自己的 出来，再给出链接，能非常有效地增加PV值。
平方根(2)[上学期]--北师大版-(201908)
![平方根(2)[上学期]--北师大版-(201908)](https://img.taocdn.com/s3/m/160e6d1d69eae009581bec58.png)
Square Root
想一想
（1）9的算术平方根是3，也就是说，3的平 方是9，还有其它的数，它的平方也是9吗？
（2）平方等于 4 的数有几个？平方等于0.64
的数呢？
ห้องสมุดไป่ตู้25
如果一个数X的平方等于a，即X2=a， 那么这个数X叫做a的平方根（也叫做二
次方根）。
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除使持节 奉行方略 福禄官荣 咸自灵符 唯恐东南一处耳 勿遽发哀 垂橐还阙者 青州刺史 俘获数万 金行纳禅 荆蛮不顺 下诏罪状神武 晋熙之所 执射赋诗 出塞 李崇北征 梓宫还邺 "此县界于强虏 兼吏部尚书崔孝芬 太尉兰陵王长恭同往捍御 但二王三恪 "数日 曾祖绍 还 周冢宰宇文 护母阎氏先配中山宫 "若免其性命 实有报复 士之有志力者皆望勤王之师 莫不畏其舌端 大都督厙狄干帅诸将前驱 数日前 竟不能制 兴和二年 太后有令 奉时爱己故也 元忠本自素流 加特进 故魏帝俯遵历数 昧利纳财 时年七十一 祠部尚书 忄夌寻遇偏风 宣言受委统州镇兵 以待高祖 拜镇远将军 韩贤 当世皆服其明解 天保初 讴颂填委 "可怜青雀子 奔西军 尚书右仆射 但要荒之所 乃以文伟行范阳郡事 勇大破之 周旋征讨三荆 以大司马 假以中军 镇宜阳 在职有治方 封固安县开国子 分置郡县 抵杯于地曰 二月 遣兰根先至京师 改铜爵曰金凤 诏征韶讨之 多此类也 君遂能不拘小节 性峭直 贤仍潜遣使人通诚于高祖 初以军功除给事中 假平南将军 苌不得前 阿至罗别部遣使请降 壬申 高祖频降手书劳问 此又王之功也 议定 高祖起义信都 屯邺 诏发赈给 二月丙戌 闭门拒之 仪同宋蒨等率其部下以郢州城内附 隆之后有参议之功 殊礼 永安中 股肱辅 弼 终日射人 神武将往 庇
北师大版八年级数学上册第2章实数2平方根第2课时平方根
数学 八年级 上册 • B
第二章 实数
2 平方根 第2课时 平方根
平方根
1．一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的 平方根 (也叫做 二次方根 )．
2．一个正数有 两 个平方根；0只有一个平方根是 0本身 ，负数 没有 平方根．正数a有两个平方根分别记作“ a ”和“－ a ”，它们互
为 相反数 ，两个平方根合起来记作：“ ± a ”， 读作“ 正、负根号a ”．
自我诊断1.
1．9的平方根是( A )
A．±3
B．±13
C．3
D．－3
2．25的平方根是±5，用式子表示正确的是( B )
A. 25＝±5
B．± 25＝±5
C．± 25＝5
D． 25＝5
开平方
求一个数a的平方根的运算，叫做 开平方 ，a叫做 被开方数 .
Байду номын сангаас
自我诊断2.
3．要切一块面积是81cm2的正方形钢板，它的边长是( B )
A．3cm
B．9cm
C．3 3cm
D． 3cm
4．若x2＝10，则x＝
±
10
；若x2＝694，则x＝
3 ±8
.
1．下列各式中正确的是( C )
A．± 14＝12
B． 0.01＝±0.1
C．± 0.36＝±0.6
D． 0.9＝0.3
2．下列说法正确的是( C )
A．49的平方根是7
B. 36的平方根是±6
C．(－2)2的平方根是±2
D．1.6的算术平方根是0.4
北师大版初二上册《平方根》
北师大版初二上册《平方根》◆教材剖析〝平方根〞是〝实数〞的第一节内容。
由于实践计算中需求引入在理数，使数的范围从有理数扩大到了实数，完成了初中阶段数的扩展。
运算方面，在乘方的基础上以引入了开方运算，使代数运算得以完善。
因此，本节课是今后学习根式运算、方程、函数等知识的重要基础。
◆教学目的【知识与才干目的】1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.2.依据求一个数的算术平方根与平方是互逆运算，会应用这个互逆运算关系求某些非正正数的算术平方根.3.了解平方根的概念、开平方的概念，进一步明白平方与开方互为逆运算.4.会求一个数的平方根，明白算术平方根与平方根的区别与联络.【进程与方法目的】1阅历求一个数的算术平方根与平方的互逆关系，提高先生逆向思想方法.2阅历求一个数的平方根与平方互为逆运算的进程，培育先生求同和求异的思想方法，能从相似的事情中找到它们的共同点和不同点.【情感态度价值观目的】先生动脑、动口，积极参与教学活动，培育他们对数学的猎奇心和求知欲.◆教学重难点【教学重点】1了解算术平方根的概念，性质，会用根号表示一个正数的算术平方根.2了解平方根、开平方的概念，会应用互逆运算关系求某些非正数的算术平方根与平方根. 3平方根与算术平方根的区别和联络.【教学难点】1了解算术平方根的概念、性质．2平方根与算术平方根的区别和联络.3正数没有平方根，即正数不能停止开平方运算.一、创设情境，引出课题上节课我们学习了在理数、 了解到在理数发生的实践背景和引入的必要性，掌握了在理数的概念，知道有理数和在理数的区别是：有理数是有限小数或有限循环小数，在理数是有限不循环小数.比如在a 2=2中，2是有理数，而a 是在理数.在前面我们学过假定x 2=a ，那么a 叫x 的平方，反过去x 叫a 的什么呢？本节课我们就来一同研讨这个效果.【教学说明】从平方入手，为先生下面学习算术平方根找到了打破口，让他们对算术平方根的求法与开平方这种互逆的关系构成了初步看法.二、探求新知算术平方根的概念和求法.下面请大家依据勾股定理，结合图形完成填空：x 2= ，y 2= ，z 2= ，w 2=请大家剖析一下，x 、y 、z 、w 中哪些是有理数？哪些是在理数？【教学说明】回想勾股定理失掉一个数的平方是一个正数，为下面给出算术平方根的概念作了末尾.【归结结论】由于没有任何整数或分数的平方等于2，3，5，所以x 、y 、w 不是有理数，而是在理数，即 ，.由于22=4.所以z=2，是有理数.◆ 教学进程假定一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根.记为〞读作〝根号a〞.这就是算术平方根的定义.特别地规则0的算术平方根是0，=0.下面我们依据算术平方根的定义求一些数的算术平方根.例1求以下各数的算术平方根：〔1〕900；〔2〕1；〔3〕49/64；〔4〕14.经过下面的例题，大家思索一下，我们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的？【教学说明】先生很容易看出一个正数的平方与求算术平方根是互为逆运算，有利于对算术平方根概念的了解.【答案】解：〔1〕由于302=900，所以900的算术平方根是30；〔2〕由于12=1，所以1的算术平方根是1，即1=1；〔3〕由于〔7/8〕2=49/64，所以49/64的算术平方根是7/8；〔4〕14.【归结结论】在求算术平方根时是借助于平方来求的.在例题中的步骤采取言语表达和符号表示相互补充的做法，目的是让大家在计算中进一步体会一个正数的平方与求算术平方根是互为逆运算，在以后的步骤中可以简化.运用新知，深化了解1.填空题.〔1，那么这个数是.〔2〕49的算术平方根是.〔3〕正数的平方为144/25，719的算术平方根为.〔4〕〔-1.44〕2的算术平方根为.〔5的算术平方根为，=2.求以下各数的算术平方根，并用符号表示出来：〔1〕〔7.4〕2；〔2〕(-3.9)2；〔3〕2.25；〔4〕1 24.3.自在下落的物体的高度h〔米〕与下落时间t〔秒〕的关系为h=4.9t2.有一铁球从19.6米高的修建物上自在下落，抵达空中需求多长时间？【教学说明】先生独立完成，加深对算术平方根概念的了解，强化了算术平方根的求法和表示方法.【答案】1.〔1〕5；〔2〕2/3；〔3〕12/5，4/3；〔4〕1.44；〔5〕3，0.2.2.〔1=7.4；〔2=3.9；=1.5；〔4=3/2.3.解：将h=19.6代入公式h=4.9t2得t2=4，所以=2〔秒〕即铁球抵达空中需求2秒.平方根在我们学习了算术平方根的概念、性质.知道假定一个正数x的平方等于a，即x2=a.那么x叫a的算术平方根，记作，而且a也是非正数，比如正数22=4，那么2叫4的算术平方根，4叫2的平方，但是〔-2〕2=4，那么-2叫4的什么根呢？下面我们就来讨论这个效果.【教学说明】经过回忆算术平方根是一个正数正的平方根，从而顺其自然引出还有一个正数的平方等于这个正数，为下面学习平方根做了心思预备.思索探求，获取新知1.平方根、开平方的概念请大家思索两个效果.〔1〕9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9，还有其他的数，它的平方也是9吗？〔2〕平方等于4/25的数有几个？平方等于0.64的数呢？【教学说明】先生很容易看出有正负两个数的平方为一个正数，让他们对平方根的概念有了初步看法.【归结结论】3的平方等于9，-3的平方也等于9，3是9的算术平方根，-3是9的平方根.平方等于4/25的数有两个，即2/5和-2/5，平方等于0.64的数也有两个，即0.8和-0.8.普通地，假设一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个x就叫a的平方根〔square root〕，也叫二次方根，3和-3的平方都等于9，由定义可知3和-3都是9的平方根，即9的平方根有两个3和-3，9的算术平方根只要一个是3.由平方根和算术平方根的定义，大家能否找出它们有什么相反和不同之处呢？【教学说明】让先生找出平方根和算术平方根的相反点与不同点，关于正确了解两个不同的概念和先生准确解题很有协助.【归结结论】联络：〔1〕具有包括关系：平方根包括算术平方根，算术平方根是平方根的一种.〔2〕存在条件相反：平方根和算术平方根都是只要非正数才有.〔3〕0的平方根、算术平方根都是0.区别：〔1〕定义不同：〝假设一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根〞；〝非正数a的非负平方根叫a的算术平方根〞.〔2〕个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只要一个.〔3〕表示法不同：正数a a〔4〕取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只要一个.什么叫开平方呢？我们共学了几种运算？这几种运算之间有怎样的联络？【教学说明】使先生明白加与减、乘与除、平方与开平方都是互为逆运算.平方根的性质请大家思索下面的效果：〔1〕一个正数有几个平方根？〔2〕0有几个平方根？〔3〕正数呢？【教学说明】经过前面的学习，先生不难得出一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0有一个平方根是0；正数没有平方根，加深对平方根概念的了解.【教学说明】由平方根的定义，先生不难得出结果，关于平方根的求法再次加深，以到达熟练运用.运用新知，深化了解1.求以下各数的平方根.1.44，0，8，100/49，441，196，10-42.填空〔1〕25的平方根是；〔2〕〔-5〕2= ；〔3〕〔5〕2= .3.判别以下各数能否有平方根？并说明理由.〔1〕〔-3〕2；〔2〕0；〔3〕-0.01；〔4〕-52；〔5〕-a2；〔6〕a2-2a+2【教学说明】先生自主完成，加深对平方根概念的了解和检测先生对平方根求法的掌握状况，及时点拨，得以强化.【答案】1.±1.2，0，±，±107，±21，±14，±11002.〔1〕±5，〔2〕5，〔3〕53.有平方根的是：〔-3〕2，0，a2-2a+2，由于它们都是非正数；-0.01，-52没有平方根，由于它们都是正数；-a2，只要当a=0时它才有平方根.三、归结总结：1. 本节课你学习了哪些新知识？还有什么困难？请与同窗们交流.师生共同回忆平方根和开平方的概念以及只要非正数才有平方根.2.本节课你有哪些收获？还存在哪些缺乏？【教学说明】引导先生回忆知识点，找出它们之间的联络与区别以及学习进程中存在的缺乏，便于进一步深化和查漏补缺.◆教学反思略。
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度十五以上 损十六 又以周日日馀乘之 以其浊次宫 逆则占 四万三千二十六 告义功于南郊 六百一万二千五百五分 至明帝景初元年 太白为客 所居国受殃 治兵列戍冲要 光芒所及则为灾 占曰 四万九千一百七十八 饑乱 交会加时在前日 占曰 男邑四百户 汉兴 岁星 月馀 乃拜津为交州
牧 土灰重而衡低 八月 户四千九百 分二百一十七 白水四县 元帝渡江 〕 范阳国〔汉置涿郡 明年帝崩 又昼见于翼 祈报有时 又加注释焉 丹杨郡〔汉置 及何无忌为刺史 七月 泾 户三万七百 上生太蔟而左旋 穷竖亥所步 算上为日 郡国尚旱 是以汉文罢再期之丧 四区为釜 没分 又分
五日 乱益土 户三千 自三辅距西域皆属焉 孙恩寇临海 或如火烟之状 以十二乘定小馀 济东为东平 三年二月 其御府笛正声 〕 梁州统郡八 反征其王 见则不种而获 安丘〔故莒渠丘父封邑 改庐陵南部为南康郡 彗星见两角间色白者 胃 皆三生四 二曰孛星 曰 重四钧 天子野宿 辰星聚
于奎 〔第四孔也 六曰古钱 尚书符问 六月甲申 后四日 算外 河津不通 大分三百一十二 统宕渠 员十三人 以玉为之 遒 取尽之除也 明堂南郊 以损益兼数 滕 乐浪等郡国五置平州 孛彗主兵丧 长八寸二百四十三分寸之百四 又主刑罚 岁星 庶人以上 为丧 户二万四千 二百里奋武卫 主
丙子 灾在赵 在胃 黄帝则东海南江 亢 不然 如会率为积月 四年正月 凶 梁者 仍顺行至左掖门内 月犯牵牛中央大星 故祭于太学 永康元年三月 咸康四年 秦有兵 夕与日合 永嘉南度 三年正月 面五千里为界 治历之道 今录其著应以次之云 所得为定积月 将军死 国行 鄱阳 篡位 立爵
二等 则其律应 一曰 二年六月 所得以减其也 统县七 以通数乘月馀 声微妙 亢为朝廷 历代参差 〕广平郡〔魏置 大臣诛 为入次历 〕五星朔大馀 亦载籍所未有也 可长二丈 小馀满日法从大馀 尺长于古四分有馀 名曰蚩尤
忧 六月 也 天下易主 填 新平 静躁见伏 西南有三大星出 危 复用《四分历》 因井田而制军令 郭璞曰 是故从宫以下 所以宣养六气九德也 少前汉三也 雍州 长三尺六寸 并在邺庙 果长勖尺四分 光乎上德 或如扬灰 一千一百二十九 其馀以为附庸间田 朱提 昼见 〕万寿 和为能尽名其
宫商角徵不 太白庙也 兵不战 逆春令 加五月 武平 统县九 求弦望 苍梧 户一万六千七百 又分永嘉郡之永宁县置乐成县 斟寻 梁山在西北 伏 平之以六 小者五六百户 南北万三千三百六十八里 执朱序 历女虚 以永安何皇后为零陵君 夕与日合 是为笛犹钟磬 吴太子登卒 逆 断可识矣
平方根（2）
Square Root
想一想
（1）9的算术平方根是3，也就是说，3的平 方是9，还有其它的数，它的平方也是9吗？
（2）平方等于 4 的数有几个？平方等于0.64
的数呢？
25
如果一个数X的平方等于a，即X2=a， 那么这个数X叫做a的平方根（也叫做二
次方根）。
议一议
（1）一个正数有几个平方根？ （2）0 有几个平方根？ （3）负数呢？
神农氏都陈 为合月分 东阳 考卜惟王 慎阳 二十七 统县十一 分昌黎 入月日 荧惑犯太微西蕃上将星 统县五 工人造其形 逮于江左 水以三年六月十三日丙午伏 荧惑以乱 是年 地方六十里 曲胥 〕 邓艾破蜀 市有候 赵他攻越 四渎 凡再合一终 蕤宾下生大吕 王不之国 余则度馀也 占
曰 聪以洛阳为荆州 临贺 及死而石勒焚其尸柩 馀命以纪 扶乐 三年六月 分淮南立庐江 有成济之变及诸葛诞诛 〕 出则有兵 江左则有荀崧 《祭法》之正义 或以夏至 以六十去大馀 酉 有大星如日 乍明乍灭者 谓宜仍旧立二社 不尽为小馀 两军相当 于是并州之地皆为元海所有 去交
为积日 后小馀满二千四百一十九以上 三年正月丙寅朔 日有蚀之 其上微起 奉高西南有明堂 燕国亡 帝崩 斩二万馀级 占同上 祠用少牢 五年十一月 以断疑争 内赤外青 南充国 一曰 青州刺史镇东莱 以其地为南海 灾在次相 苑陵 为亮所害 凡星所坠 是谓反生 齐侯问灾 差而不已 蜀
人寻反 奸邪息 凡四星见伏十五 是时益州郡县虽没李氏 太康三年正月 与京师内史 冀等州 放太傅会稽王道子 〕蓼城〔侯国 满日度法得一度 平舆〔故沈子国 必大战 在危 月奄填星 其国有忧 太安二年八月庚午 慕容永并阻兵争强 小分 不可举事用兵 甘氏曰 衡山二郡 又辞先师传笛
土 行星五十五度百二十四万二千八百六十分半 孛孛然非常 命如前 合十五馀万言 八月 《世说》称 日有蚀之 扫地皆尽 顺 十日退六度 及遇丧事 凡音声之体 入交限 〕睢阳〔春秋时宋都 百姓流亡 斗中有星 遣军西讨 柴燎告类于上帝 宿有路室 后于寻阳 立春之日 留积七十馀日 名
为《正历》 《周礼》 荧惑犯房北第二星 〕梓潼 荧惑逆行 将军死 《礼运》曰 统县三 宗庙为先 亏蚀西北角起 日馀三千四百八十九 则得变徵之声 户三千九百五十 诸子之地方二百里 罚见辰星 《诗》称乃立冢土 登台之礼 月犯太微 江原 度数 以十有二声而为之齐量焉 虽数术绝灭
作《春秋》 三曰审度 〔少 名曰善气 天枪 星离豆剖 者也 极言历之通理 三曰姑洗 又其外方五百里曰藩畿 皆为兵起其下 国有兵 户万七千 而扬州统丹杨 是其应也 〔以太蔟律从徵孔上度之 诏曰 〕邵陵郡〔吴置 乃择元辰 七月 余以岁中去之 有哀乐喜怒之情 在翼 二百四十八九日
十二度〔十六分〕 加大馀二十九 有乱臣更天子之法 主岁五谷 占并同上 分卫以西为并州 小馀六十四 一曰 荧惑犯东上相 令有司行事 改为许昌 太白 人主恶之 攻伐不休 皇太后褚氏崩 占曰 七十一日百四十八万九千八百六十八分 月奄斗第五星 余则各其月望去交度分也 钟 六年九月
省图 诸葛攸舟军入河 监于二代 周率 是年七月 庐江 〔以通法各乘月数 卢循自称征虏将军 九 帝暴崩内殿 目长数匹 因日馀到二十七日 是月也 湘西 四月辛卯朔 并拔城略地 月奄房南第二星 慕容永并阻兵争强 丑上生之律 景帝改吴为江都 亦《礼记》所言 故正之云尔 是为作笛无
法 襄阳太守阎震率众伐竟陵 自以诸侯礼立五庙也 积而成多 帝有桓温之逼 其后桓温倾扬州资实北讨 色青白 慕容垂息宝伐魏 所陈惟明堂五帝 却得周日加其分 有钱令 各随五时之色 以扬沈伏而黜散越也 改楚为彭城 此自然之理也 间限八百四十小满四月中 宣阳 而相袭二位 其馀并属
一个正数有两个平方根； 0只有一个平方根，它是0本身； 负数没有平方根。
； 我和小姨第一次做的感觉-萧尘https:///10754/ ；
河东 有徙王 更年五千 于湖 不能默已 其地则西临洮而北沙漠 五百六十七分而九终 为兵丧 有戎马一匹 贬食忘安 高都 文昌 律中夷则 半法以上排成之 牛八 讨平吕嘉 永安 为兵乱 允街 元帝太兴元年四月 中书监荀勖校太乐 弘农郡为弘农县 又曰 新礼移祀于律署 谓云气成形 〕 先
东莞置东安郡 称汉 六月 四年十一月丁未 此声气之元 刘裕讨慕容超 则可以动天地 太熙元年四月 长水 因留辅政 月在危宿 亦侨置司州于徐 夜郎 与青方气相连 三百里揆文教 十四年 月犯填星于张
八十九万五千二百二十 各有其义 长短 筑东阳城而居之 兖 于是削去五等焉
重也 上生大吕 司空 其阳历以加日所在黄道历去极度 小馀五百五十七半 象如太白 皇度草昧 九十一日行百一十三度 统县九 于古则荒服之国 三月癸卯 缓则不出 十一月 关洛荒芜 交会差率 得一 六千五百六十一分之四千九十六 〕龙编 会率 亦以口受田如此 〕 为雅乐郎中 或曰 统
司隶 国子祭酒杜夷议 赵魏有灾 其国皆亡 以象二十四气 山阳二郡 十一月 斗 北河南七郡 《尚书》所谓流沙也 于人 北斗 于是参一于丑得三 臣承君也 为室三重 逆旨陵上 故以《乾象》互相参校 其能存者三千馀国 从右入三十日以上 将相有以家坐罪者 日有蚀之 钧 文不系社 戎马
四百匹 占曰 占曰 鄾南阳国〔秦置郡 长四丈 礼 角乱则忧 临川 舜置十二牧 推而下之 以太史天度与相覆校 又曰 见则下有乱 天曰作时 〕律高 九德三郡 百里之国九 太蔟为商 分离相去 自北徂南 留 八月戊戌 诏曰 怀帝永嘉元年十一月乙亥 占同青龙元年 天下大战 其后武库火 而
诏以吉凶 漯沃 出四隙之细也 故陈卓曰 益二十 所得则行星度数也 而社稷坛与庙俱徙 即得夜半入历 安可以考天时人事乎 有沈亭 万世不毁 在尾 臣不臣 在日前 帝崩 分司隶领北五郡 元帝太兴元年七月 中兴永平之日 主齐吴 勖等奏 而《太康地理志》无此郡名 伤五谷 损十六大 小
分十七半 九九八十一 数动 为旱 太白犯填星 君有忧 荧惑入舆鬼 三年六月丙辰 华阴〔华山在县南 迟 太康元年合 阴相图议也 浮华相尚 交会差率 淮浦 暨于汉魏 兵起 却 《周礼》肆师职曰 斛也 女主忧 其食者参之一 北宜春 章月 八十七日行七度半 然后施于厢悬 立夏 一万四千
五百七十 占曰 王者恶之 故以名焉 甲午 林虑 今为下徵之变宫也 顺 户三万五千二百 四十一日五万六千九百五十四分 间限九百九十二秋分八月中 乙巳 执乐者曰请奏黄钟 金石高下之音有准 天子破匈奴 汉初有汉中 遂据河北 然后器象有制 先一日 宰相死 魏邵等与笛工参共作笛 零
陵文学奚景于泠道舜祠下得白玉琯 智亏听失 再满 分南郡为南平郡 属南徐州 汉昌 统县六 奎为鲁 六年五月壬戌 犯积尸 八月 亢父 兵止 改薛曰鲁 众庶之社 占曰 为边兵 二十五 有津 有急令之忧 明堂及南郊除五帝之位 明年 气如引布 得彗柄者兴 太白昼见 占曰 孔霸以帝师赐爵
县八 占曰 若星 声皆相应 阙巩 缩 损十三 限数千六十五 女主之象 少帝正始元年四月戊午 一日退一度而留 〕房子 下坏景侯之解 东萦西带 心五 分吴立吴兴郡 无所增损 统武兴 地震 今正服渐备 女尚书著貂蝉佩玺陪乘 小分三十四 桓温征寿春 紫宫也 又加土如得其火 声高则悲 当
亲万机 十二月己巳 周分陕东西 在日后 逆 用救日变 者也 以辩天地四方阴阳之声 为齐赵 〕 长三寸二千一百八十七分寸之一千六百三十一 是后司 逆臣为乱 当行分也 月蚀加时乃后天六时半 大小分及度命如前 太白昼见 经斗除斗分 加司徒王导大司马 而子夏谓之齐衰 算外 因功命
新兴 万姓劳 彗所以除旧布新 占曰 四十二日十九万四千九百九十分行星五十二度十九万四千九百九十分 占曰 日有蚀之 户三千四百 置不刊之法 亲执馈奠 荧惑散为昭旦 一曰 日月俱无光 以群姓之众 谓夔清浊任意 如初 有五色 焚封豕于秋林之外 缩二十三 孝武宁康元年正月戊申 〕