2011学年第一学期高三数学期中考试题(答案)2011.10.30

2011学年第一学期高三数学期中考试题（答案）一、填空题（共11题，每题4分，满分44分）1.设A =}21|{<<x x ，B =}|{a x x >，若A B ，则a 的取值范围是______ a ≤1___________.2.方程04254=+⋅-x x 的解是_________0=x 或2=x ______．3.已知a b c 、、是锐角A B C ∆中A B C ∠∠∠、、的对边，若3,4a b ==，A B C ∆的面积为=C ____3/π___ ．4．已知角α是第一象限角，且(P a是其终边上一点，若cos 4α=，则a 的值为5.设31)4sin(=+πθ，则θ2sin = 97-.6.设)(x f 是定义域为R ，最小正周期为23π的函数，若⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤-=)0(sin )02(cos )(ππx x x x x f ，则)415(π-f 的值为_______22________.7.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是c b a 、、.若ac B b c a 3tan )(222≥-+，则B ∠的取值范围是 ⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,22,3ππππ . 8.设函数12)(-=x x f 的定义域和值域都是],[b a ，则=+b a 1 .9.函数l o g (3)ay x =+-(01)a a >≠且，的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0m n >，则12m n+的最小值为 810.已知函数b x a x f x -+=)(的零点))(1,(0Z n n n x ∈+∈，其中常数b a 、满足32=a，23=b，则n 的值为 -1 .11.定义运算⎩⎨⎧>≤=*))(时（时b a a b a b b a .对于函数)()(x g x f 和，函数|)()(|x g x f -在闭区间],[b a 上的最大值称为)()(x g x f 和在闭区间],[b a 上的“绝对差”，记为))(),((x g x f bx a ≤≤∆，则)sin ,cos (sin 20x x x x *∆≤≤π= 1 .二、选择题 (本大题满分20分) 本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个，一律得零分.12．方程 的解集为 （ C ）A. {2arctan 2,}x x k k Z π=+∈B. {2arctan 2,}x x k k Z π=±∈C. {arctan 2,}x x k k Z π=+∈D. {(1)arctan 2,}kx x k k Z π=+-∈ 13.“18a =”是“对任意的正数x ,21a x x+≥”的 ( A )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别是c b a 、、，若∠C=1200，a c 2=，则 （ A ） A. b a > B. b a < C. b a = D. b a 与的大小关系不能确定15.如果若干个函数的图像经过平移后能够重合，则称这些函数为“互动函数”. 给出下列函数，其中与()sin cos f x x x =+构成“互动函数”的为 （ B ）A. ()1sin f x x=B. ()2f x x =+C. ())3sin cos f x x x =+ D. ()4sin cos 222x x x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭三、解答题（共6题，满分86分）16．（本题满分12分）已知全集U=R ，集合A={x |49280x x -⋅+<}，B={x |125≥+x }，{|24}C x x =-<，求A B ，A C .解：A=(0，3)————————————————————————2分B=(]3,2-————————————————————————4分， C=（-2,6）————————————————————————6分， A B=(]3,2-————————————————————————9分， A C (][)6,30,2 -—————————————————————12分.17.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别是c b a 、、，且满足C a A c cos sin =. （1）求角C 的大小.（2）求)4cos(sin 3π+-B A 的最大值，并求取得最大值时角A 、B 的大小.解：（1）利用正弦定理，可得C A A C cos sin sin sin =，又0sin ≠A ，所以1tan =C ，又因为π<<C 0得4π=C .————————————————————5分（2）因为4π=C ，所以)4(ππ+-=B A ，tan 2x =)4cos(sin 3π+-B A =)12sin(2)4cos()4sin(3πππ+=+-+B B B .—————8分由4π=C 可得651212πππ<+<B ，因此，当125π=B 时，)4cos(sin 3π+-B A 取得最大值2，—————————10分此时3π=A ，125π=B .————————————————————————12分18.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）已知函数1()sin 2cos 2122f x x x =-+.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）将函数()f x 的图像向左平移6π个单位，与函数()g x 的图像重合，请判定函数()g x 的奇偶性，并说明理由；（3）若2()log f x t ≥恒成立，求t 的取值范围. 解：（1）()sin(2)13f x x π=-+.——————————————————————2分∴函数()f x 最小正周期是T π=.————————————————3分 由222232k x k πππππ-≤-≤+，得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈,∴函数()f x 单调递增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈.———————6分（2）()g x =()sin 216f x x π+=+. —————————————————7分∵()sin()10,()sin124242g g ππππ-=-+==+=，∴()()44g g ππ-≠且()()44g g ππ-≠-，故()g x 既不是奇函数，又不是偶函数. ———————————10分 （3）由2()log f x t ≥恒成立，得2log sin(2)13t x π≤-+恒成立—————11分∵sin(2)103x π-+≥.————————————————————12分∴2log 001t t ≤⇒<<≤. 所以t 的取值范围为(0,1]——————14分19.（本题满分14分，第（1）小题8分，第（2）小题6分）一服装厂花费2万元购买某品牌运动装的生产权与销售权.根据以往的经验，每生产1百套这种品牌运动装的成本为1万元，且生产出 运动服能全部售出.已知销售x （百套）的销售额()R x （单位:万元）满足：()20.4 4.20.805914.753x x x R x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨->⎪-⎩（1）写出利润y 关于x 的函数关系式，并计算该服装厂生产750套这种品牌运动装可获得利润多少万元；（2）该服装厂生产多少套这种品牌运动装可获得利润最大？此时利润是多少万元？解：（1）由题意，每生产x （百件）该品牌运动装的成本函数2)(+=x x G ，所以，利润函数⎪⎩⎪⎨⎧>---≤≤-+-=-=)5(,397.12)50(,8.22.34.0)()()(2x x x x x x x G x R x f —————4分 2.325.71)5.7(=-⨯-R ，所以，生产750套此种品牌运动装可获得利润2.3万元. ——————————8分 （2）当50≤≤x 时，6.3)4(4.0)(2+--=x x f ，故当4=x 时，)(x f 的最大值为6.3． —————————————————10分 当5>x 时，7.3]39)3[(7.9)(≥-+--=x x x f ，故当6=x 时，)(x f 的最大值为7.3．——————————————————13分 所以，生产600件该品牌运动装利润最大是3.7万元. ——————————14分 20．（本题满分16分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题6分） 已知函数 ()(0)x a f x a ax-=>．（1）判断并证明)(x f y =在),0(+∞∈x 上的单调性；（2）若存在0x ，使()00f x x =，则称0x 为函数()f x 的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，求a 的值，并求出不动点0x ；（3）若x x f 2)(<在),0(+∞∈x 上恒成立 , 求a 的取值范围．解：（1）xax f 11)(-=对任意的1212,(0,)x x x x ∈+∞>且------------------------------------------- 1分 21212121)11()11()()(x x x x x a x a x f x f -=---=--------------------------------- 3分∵021>>x x ，∴0,02121>>-x x x x ，∴0)()(21>-x f x f ，故函数)(x f y =在),0(+∞∈x 上是增函数.---------------5分 （2）令20x a x ax x a ax-=⇒-+=， -------------------------------------7分令211402a a ∆=-=⇒=（负值舍去）---------------------------------------9分将12a =代入20ax x a -+=得220110210122x x x x x -+=⇒-+=∴=---------10分（3）∵x x f 2)(<，∴xx a121+< ----------------------------------------12分∵0>x ， ∴2212≥+xx （等号成立当22=x ）--------------------14分∴m in11(2)4x a ax<+=⇒>∴a的取值范围是4⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭------------------------------------------16分 21.（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）记函数)()(1x f x f =，)())((2x f x f f =,它们定义域的交集为D ,若对任意的D x ∈，x x f =)(2，则称)(x f 是集合M 的元素.（1）判断函数12)(,1)(-=+-=x x g x x f 是否是M 的元素；（2）设函数)21(log )(2x x f -=，求)(x f 的反函数)(1x f -，并判断)(x f 是否是M 的元素；（3）若M bx axx f ∈+=)(（0<a ），求使1)(<x f 成立的x 的取值范围． 解：（1）∵对任意R x ∈，x x x f f =++--=1)1())((，∴M x x f ∈+-=1)(.------------------------ 2分∵341)12(2))((-=--=x x x g g 不恒等于x ， ∴M x g ∉)(.---------------------------- 4分（2）设)21(log 2x y -=，则由1210<-<x ，解得 0,0<<y x .---------- 6分由)21(log 2x y -= x y 212-=，反函数为 )1(log xa a y -=，)0(<x .------8分∵x x f f x x=+-=-=-)211(log )21(log ))((2)21(log 22，∴M x f x ∈-=)21(log )(2.------------------------------------------ 10分 （3）∵M bx ax x f ∈+=)(，∴x x f f x f ==))(()(2对一切定义域中x 恒成立. -11分由x bbx ax b x ax a =+++⋅，解得 0)()(222=--+x b a x b a 恒成立，故0=+b a .---- 13分由1)(<x f ，得到01<--ax ax ，0)1(<-+-ax ax a ，------------ 15分因为0<a ，所以01>---ax a ax ，且a a a >->10，----------------------- 17分 故x 的取值范围是 aax ->1或a x <.-------------------------------- 18分。