湖口一中2014届高三年级第一次模拟考试(数学理科)试题及其答案

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2014年全国统一高考数学试卷及解析(理科)(新课标ⅱ)

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1 B．2 C．3 D．54．（5分）钝角三角形ABC 的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B ．C．2 D．15．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.456．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）1A ．B ．C ．D ．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4 B．5 C．6 D．78．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）2A．0 B．1 C．2 D．39．（5分）设x，y 满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10 B．8 C．3 D．210．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A ．B ．C ．D ．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为．315．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：4年份2007200820092010201120122013年份代号t12345672.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9人均纯收入y（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．（12分）设F1，F2分别是C ：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN 的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．5请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．六、解答题（共1小题，满分0分）624．设函数f（x）=|x +|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．72014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i【分析】根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．【解答】解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），8∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A．【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1 B．2 C．3 D．5【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．94．（5分）钝角三角形ABC 的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B ．C．2 D．1【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．【解答】解：∵钝角三角形ABC 的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．105．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）11A ．B ．C ．D ．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．127．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．138．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．【解答】解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故选：D．【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．9．（5分）设x，y 满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10 B．8 C．3 D．2【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．14由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）1516A ．B ．C ．D ．【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A ，B 两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y 的一元二次方程，由根与系数关系得到A ，B 两点纵坐标的和与积，把△OAB 的面积表示为两个小三角形AOF 与BOF 的面积和得答案．【解答】解：由y 2=2px ，得2p=3，p=，则F （，0）．∴过A ，B 的直线方程为y=（x ﹣），即x=y +．联立，得4y 2﹣12y ﹣9=0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=3，y 1y 2=﹣．∴S △OAB =S △OAF +S △OFB =×|y 1﹣y 2|==×=．故选：D ．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．【分析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．故选：C．【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题17的关键，同时考查余弦定理的应用．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【分析】由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈Z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，即=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．18二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．【解答】解：（x +a）10的展开式的通项公式为T r=•x10﹣r•a r，+1令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．【解答】解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos （x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ19=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键．2016．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1] ．【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．21三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n +}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．【解答】证明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴数列{a n +}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n +==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，22当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴＜=，∴当n=1时，成立，当n≥2时，++…+＜1+…+==＜．时，++…+＜．∴对n∈N+【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．23【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB ∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∴CD⊥MD．∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，24∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD 的体积为：==．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：25年份2007200820092010201120122013年份代号t12345672.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9人均纯收入y（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，∴==26=0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y关于t 的线性回归方程为=0.5t+2.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．20．（12分）设F1，F2分别是C ：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN 的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN 的斜率为，建立关于a，27c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c ，），若直线MN 的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，28设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a 代入得，解得a=7，b=．29【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．【分析】对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法利用的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=e x+e﹣x﹣2，即f′（x）≥0，当且仅当e x=e﹣x即x=0时，f′（x）=0，∴函数f（x）在R上为增函数．30（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，则g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x+2﹣2b）．①∵e x+e﹣x＞2，e x+e﹣x+2＞4，∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．②当b＞2时，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2即，得，此时，g′（x）＜0，又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．（Ⅲ）∵1.4142＜＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln 即代入g（x）的解析式中，得．当b=2时，由g（x）＞0，得，31从而；令，得＞2，当时，由g（x）＜0，得，得．所以ln2的近似值为0.693．【点评】1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．32【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E 是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E 是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，33∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．34【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．可得C 的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．故D 的直角坐标为，即（，）．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x +|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．35【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x +|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x +|+|x﹣a|≥|（x +）﹣（x﹣a）|=|a +|=a +≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a +＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a ＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a +＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a 的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．36。

数学_2014年某校高考数学一模试卷(理科)(含答案)

2014年某校高考数学一模试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A ={1, 2a }，B ={a, b}，若A ∩B ={12}，则A ∪B 为（） A {12，1，b} B {−1,12} C {1,12} D {−1,12，1}2. 设i 是虚数单位，若复数a −103−i (a ∈R)是纯虚数，则a 的值为( )A −3B −1C 1D 33. 设α、β、γ为平面，m 、n 、l 为直线，则m ⊥β的一个充分条件是（）A α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥lB α∩γ＝m ，α⊥γ，β⊥γC α⊥γ，β⊥γ，m ⊥αD n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α4. 运行如图所示的算法框图，则输出的结果S 为（）A −1B 1C −2D 25. 若三角形ABC 中，sin(A +B)sin(A −B)＝sin 2C ，则此三角形的形状是（） A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形6. 在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（） A 151B 168C1306D14087. 已知函数f(x)={0,x ≤0e x ，x >0，则使函数g(x)=f(x)+x −m 有零点的实数m 的取值范围是（）A [0, 1)B (−∞, 1)C (−∞, 1]∪(2, +∞)D (−∞, 0]∪(1, +∞)8. 若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于( )A 10cm 3B 20cm 3C 30cm 3D 40cm 39. 若抛物线y 2=4x 的焦点是F ，准线是l ，点M(4, 4)是抛物线上一点，则经过点F 、M 且与l 相切的圆共有（）A 0个B 1个C 2个D 4个10. a n =∫(n 02x +1)dx ，数列{1a n}的前项和为S n ，数列{b n }的通项公式为b n =n −8，则b n S n 的最小值为（）A −4B −3C 3D 411. 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线C 的离心率为2，直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，线段AB 中点M 在第一象限，并且在抛物线y 2=2px(p >0)上，且M 到抛物线焦点的距离为p ，则直线l 的斜率为（） A 1 B 2 C 32D 5212. 把曲线C:y =sin(7π8−x)⋅cos(x +π8)的图象向右平移a(a >0)个单位，得到曲线C′的图象，且曲线C′的图象关于直线x =π4对称，当x ∈[2b+18π，3b+28π]（b 为正整数）时，过曲线C′上任意两点的斜率恒大于零，则b 的值为（） A 1 B 2 C 3 D 4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. (√x −1x )6的展开式中，常数项为________．（用数字作答）14. 设x ，y 满足约束条件{x −1≥02y −x ≥02x +y ≤10，向量a →=(y −2x, m)，b →=(1, −1)，且a → // b →，则m 的最小值为________．15. 如图，已知球O 是棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为________．16. 设函数f(x)的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x ∈D ，都有x +k ∈D ，且f(x +k)>f(x)恒成立，则称函数f(x)为D 上的“k 型增函数”．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f(x)=|x −a|−2a ，若f(x)为R 上的“2014型增函数”，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6道题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知{a n }是单调递增的等差数列，首项a 1=3，前n 项和为S n ；数列{b n }是等比数列，首项b 1=1，且a 2b 2=12，S 3+b 2=20．（1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）令c n =S n cos(an 3π)(n ∈N +)，求{c n }的前20项和T 20．18. 前不久，省社科院发布了2013年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”．随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．19. 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB // CD，AB=AD=12CD=2，点M在线段EC上．（1）当点M为EC中点时，求证：BM // 平面ADEF；（2）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为√66时，求三棱锥M−BDE的体积．20. 如图，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P(1, 32)，离心率e=12，直线l的方程为x＝4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21. 已知定义在R上的函数f(x)总有导函数f′(x)，定义F(x)=e x f(x)，G(x)=f(x)e x，x∈R，e=2.71828一是自然对数的底数．（1）若f(x)>0，且f(x)+f′(x)<0，试分别判断函数F(x)和G(x)的单调性：（2）若f(x)=x2−3x+3，x∈R．①当x∈[−2, t](t>1)时，求函数F(x)的最小值：②设g(x)=F(x)+(x−2)e x，是否存在[a, b]⊆(1, +∞)，使得{g(x)|x∈[a, b]}=[a, b]？若存在，请求出一组a，b的值：若不存在，请说明理由．请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．选修4-1几何证明选讲22. 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于D ，DE ⊥AC 交AC 延长线于点E ，OE 交AD 于点F ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若ACAB =35，求AFDF 的值．选修4-4：坐标系与参数方程23. 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程{x =1+cosφy =sinφ （φ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求圆C 的极坐标方程；(Ⅱ)直线l 的极坐标方程是ρ(sinθ+√3cosθ)＝3√3，射线OM:θ=π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．选修4-5：不等式选讲24. 已知函数f(x)=|x −a|．(1)若f(x)≤m 的解集为{x|−1≤x ≤5}，求实数a ，m 的值．(2)当a =2且0≤t <2时，解关于x 的不等式f(x)+t ≥f(x +2)．2014年某校高考数学一模试卷（理科）答案1. D2. D3. D4. A5. B6. B7. D8. B9. C 10. A 11. C 12. A 13. 1514. −6 15. π616. a <1007317. 解：（1）设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a 2b 2=(3+d)q =12，①∵ S 3+b 2=3a 2+b 2=3(3+d)+q =9+3d +q =20， ∴ 3d +q =11，变形可得q =11−3d ，②代入①可得：(3+d)(11−d)=33+2d −3d 2=12，即3d 2−2d −21=0，则(3d +7)(d −3)=0，又由{a n }是单调递增的等差数列，有d >0，则d =3， ∴ q =11−3d =2，∴ a n =3+(n −1)×3=3n ，b n =2n−1，（2）c n =S n cosnπ={S nn 是偶−S n ，n 是奇，T 20=c 1+c 2+c 3+⋯+c 20=−S 1+S 2−S 3+S 4−⋯−S 19+S 20=a 2+a 4+a 6+⋯+a 20=6+12+18+⋯+60=33018. 解：（1）众数：8.6；中位数：8.75；（2）设A i 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则P(A)=P(A 0)+P(A 1)=C 123C 163+C 41C 122C 163=121140；（3）ξ的可能取值为0，1，2，3． P(ξ=0)=(34)3=2764；P(ξ=1)=C 3114(34)2=2764；P(ξ=2)=C 32(14)234=964；P(ξ=3)=(14)3=164．则ξ的分布列为：所以Eξ=0×2764+1×2764+2×964+3×164=0.75．另解：ξ的可能取值为0，1，2，3．则ξ∼B(3, 14)，P(ξ=k)=C 3k(14)k (34)3−k ．所以Eξ=3×14=0.75．19. （1）证明：以直线DA 、DC 、DE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A(2, 0, 0)，B(2, 2, 0)C(0, 4, 0)，E(0, 0, 2)，所以M(0, 2, 1)．∴ BM →=(−2,0,1)−−−−−−−− 又OC →=(0,4,0)是平面ADEF 的一个法向量． ∵ BM →⋅OC →=0，∴ BM →⊥OC →∴ BM // 平面ADEF −−−−−−（2）解：设M(x, y, z)，则EM →=(x,y,z −2)，又EC →=(0,4,−2)，设EM →=λEC →(0<λ<1，则x =0，y =4λ，z =2−2λ，即M(0, 4λ, 2−2λ)．设n →=(x 1,y 1,z 1)是平面BDM 的一个法向量，则OB →⋅n →=2x 1+2y 1=0OM →⋅n →=4λy 1+(2−2λ)z 1=0取x 1=1得 y 1=−1，z 1=2λ1−λ即 n →=(1,−1,2λ1−λ) 又由题设，OA →=(2,0,0)是平面ABF 的一个法向量，------ ∴ |cos <OA ¯，n →|=2√2+4λ2(1−λ)2=√66， ∴ λ=12−−即点M 为EC 中点，此时，S △DEM =2，AD 为三棱锥B −DEM 的高， ∴ V M−BDE =V B−DEM =13⋅2⋅2=43−−−−−−−−−−20. 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点P (1, 32)，可得1a 2+94b 2=1(a >b >0)① 由离心率e =12得ca=12，即a ＝2c ，则b 2＝3c 2②，代入①解得c ＝1，a ＝2，b =√3故椭圆的方程为x 24+y 23=1方法一：由题意可设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k(x −1)③ 代入椭圆方程x 24+y 23=1并整理得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12＝0设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3④在方程③中，令x ＝4得，M 的坐标为(4, 3k)，从而k 1=y 1−32x1−1，k 2=y 2−32x 2−1，k 3=3k−324−1=k −12注意到A ，F ，B 共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有y 1x 1−1=y 2x 2−1=k所以k 1+k 2=y 1−32x 1−1+y 2−32x 2−1=y 1x 1−1+y 2x 2−1−32(1x 1−1+1x 2−1)＝2k −32×x 1+x 2−2x1x 2−(x 1+x 2)+1⑤④代入⑤得k 1+k 2＝2k −32×8k 24k 2+3−24k 2−124k 2+3−8k 24k 2+3+1=2k −1又k 3＝k −12，所以k 1+k 2＝2k 3 故存在常数λ＝2符合题意方法二：设B(x 0, y 0)(x 0≠1)，则直线FB 的方程为y =y 0x 0−1(x −1)令x ＝4，求得M(4, 3y 0x 0−1)从而直线PM 的斜率为k 3=2y 0−x 0+12(x 0−1)，联立{x 24+y 23=1y =y 0x 0−1(x −1)，得A(5x 0−82x 0−5, 3y 02x0−5)，则直线PA 的斜率k 1=2y 0−2x 0+52(x 0−1)，直线PB 的斜率为k 2=2y 0−32(x 0−1)所以k 1+k 2=2y 0−2x 0+52(x 0−1)+2y 0−32(x 0−1)=2×2y 0−x 0+12(x 0−1)=2k 3，故存在常数λ＝2符合题意21. 解：（1）∵ F(x)=e x f(x)，∴ F′(x)=e x [f(x)+f′(x)]；又∵ f(x)+f′(x)<0，∴ F′(x)<0，∴ F(x)是R 上的减函数； ∵ G(x)=f(x)e x，∴ G′(x)=f ′(x)e x −f(x)e xe 2x=f ′(x)−f(x)e x；又∵ f(x)>0，f(x)+f′(x)<0，∴ f′(x)<−f(x)<0， ∴ f′(x)−f(x)<0，∴ G′(x)<0，∴ G(x)是R 上的减函数；（2）①∵ f(x)=x 2−3x +3，x ∈R ； ∴ F(x)=e x f(x)=(x 2−3x +3)e x ；∴ F′(x)=e x [(2x −3)+(x 2−3x +3)]=(x 2−x)e x =x(x −1)e x ，当x ∈[−2, t](t >1)时，随着x 的变化，F′(x)，F(x)的变化情况如下表：；∴ F(x)在[−2, t](t >1)上的最小值是F(−2)与F(1)中的较小者； ∵F(−2)F(1)=13e 3<1，F(1)>0，∴ F(−2)<F(1)；∴ F(x)在[−2, t](t >1)上的最小值是13e −2；②不存在[a, b]⊆(1, +∞)，使得{g(x)|x ∈[a, b]}=[a, b]；证明如下：∵ g(x)=(x 2−3x +3)e x +(x −2)e x =(x −1)2e x ， ∴ g′(x)=(2x −2)e x +(x 2−2x +1)e x =(x 2−1)e x ；假设存在区间[a, b]满足题意，则当x >1时，g′(x)>0，g(x)在[a, b]上是增函数， ∴ {g(a)=ag(b)=b ，即{(a −1)2e a =a (b −1)2e b =b；这说明方程(x −1)2e x =x 有两个大于1的不等实根，设φ(x)=(x −1)2e x −x(x ≥1)，∴ φ′(x)=(x 2−1)e x −1；设ℎ(x)=φ′(x)=(x 2−1)e x −1(x ≥1)，∴ ℎ′(x)=(x 2+2x −1)e x ；当x >1时，ℎ′(x)>0，∴ ℎ(x)在(1, +∞)上是增函数；又ℎ(1)=−1<0，ℎ(2)=3e 2−1>0，∴ 在(1, +∞)上存在唯一的实数x 0∈(1, 2)，使得ℎ(x 0)=0，即φ′(x 0)=0；当x ∈(1, x 0)时，φ′(x 0)<0，φ(x)在(1, x 0)上是减函数；当x ∈(x 0, +∞)时，φ′(x)>0，φ(x)在(x 0, +∞)上是增函数； ∴ φ(x)在x 0处取得最小值；∴ φ(x 0)<φ(1)=−1<0，φ(2)=e 2−2>0， ∴ φ(x)在(1, +∞)时有且只有一个零点；这与方程(x −1)2e x =x 有两个大于1的不等实根矛盾，∴ 不存在[a, b]⊆(1, +∞)，使得{g(x)|x ∈[a, b]}=[a, b]．22. 证明：（1）连接OD ，∵ OA =OD ，∴ ∠ODA =∠OAD ∵ ∠BAC 的平分线是AD ∴ ∠OAD =∠DAC∴ ∠DAC =∠ODA ，可得OD // AE… 又∵ DE ⊥AE ，∴ DE ⊥OD ∵ OD 是⊙O 的半径 ∴ DE 是⊙O 的切线．…（2）连接BC 、DB ，过D 作DH ⊥AB 于H ， ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ACB =90∘，Rt △ABC 中，cos∠CAB =ACAB =35 ∵ OD // AE ，∴ ∠DOH =∠CAB ， ∴ cos∠DOH =cos∠CAB =35．∵ Rt △HOD 中，cos∠DOH =OH OD，∴OH OD=35，设OD =5x ，则AB =10x ，OH =3x ，∴ Rt △HOD 中，DH =√OD 2−OH 2=4x ，AH =AO +OH =8x ， Rt △HAD 中，AD 2=AH 2+DH 2=80x 2… ∵ ∠BAD =∠DAE ，∠AED =∠ADB =90∘ ∴ △ADE ∽△ADB ，可得ADAE =ABAD ，∴ AD 2=AE ⋅AB =AE ⋅10x ，而AD 2=80x 2 ∴ AE =8x又∵ OD // AE ，∴ △AEF ∽△ODF ，可得AFDF =AEDO =85…23. （I ）圆C 的参数方程{x =1+cosφy =sinφ （φ为参数）．消去参数可得：(x −1)2+y 2＝1．把x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ代入化简得：ρ＝2cosθ，即为此圆的极坐标方程． (II)如图所示，由直线l 的极坐标方程是ρ(sinθ+√3cosθ)＝3√3，射线OM:θ=π3．可得普通方程：直线ly +√3x =3√3，射线OMy =√3x ．联立{y +√3x =3√3y =√3x ，解得{x =32y =3√32，即Q(32,3√32)．联立{y =√3x (x −1)2+y 2=1 ，解得{x =0y =0 或{x =12y =√32． ∴ P(12,√32)． ∴ |PQ|=√(12−32)2+(√32−3√32)2=2．24. 解：(1)∵ f(x)≤m ，∴ |x −a|≤m ，即a −m ≤x ≤a +m ， ∵ f(x)≤m 的解集为{x|−1≤x ≤5}， ∴ {a −m =−1,a +m =5,解得a =2，m =3．(2)当a=2时，函数f(x)=|x−2|，则不等式f(x)+t≥f(x+2)等价为|x−2|+t≥|x|．当x≥2时，x−2+t≥x，即t≥2与条件0≤t<2矛盾．，成立．当0≤x<2时，2−x+t≥x，即0≤x≤t+22当x<0时，2−x+t≥−x，即t≥−2恒成立．]．综上不等式的解集为(−∞, t+22。

高三数学(理科)试卷及答案

俯视图侧视图正视图2014年1月甘肃省河西五地市普通高中高三第一次联考数学试卷(理科)命题学校：嘉峪关市酒钢三中命题人：一、选择题：（每小题5分,共60分） 1．下列推断错误的是( )A. 命题“若2320,x x -+=则1x = ”的逆否命题为“若1x ≠则2320x x -+≠”B. 命题p ：存在0x R ∈，使得20010x x ++<，则非p ：任意x R ∈，都有210x x ++≥ C. 若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题 D. “1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 2. 设i 为虚数单位，则复数ii43-等于（） A ．i 34+B ．4－3iC ．－4＋3iD ．－4－3i3.已知(3,2),(1,0)a b =-=-，向量2a b a b λ+-与垂直，则实数λ的值为（）A ．17-B.17C.16- D.164．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）A.5. 已知F 是双曲线)0,0(12222>>=+b a by a x 的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（）A.),1(+∞B.（1,2）C. )21,1(+D. )21,2(+6. 如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中错误的是（） A.AC BE ⊥ B.//EF ABCD 平面C.三棱锥A BEF -的体积为定值D.AEF BEF ∆∆的面积与的面积相等7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又知(ln )'ln 1x x x =+，且101ln e S xdx =⎰，2017S =，则30S 为（）A.33B.46C.48D.508. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=9．若不等式2229t t a t t+≤≤+在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤213，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，413 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，22 10、一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形内爬行，则此蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（）A ．16π-B.112π-C.6πD.12π11．关于x 的方程2(1)10(0,)x a x a b a a b +++++=≠∈R 、的两实根为12,x x ，若12012x x <<<<，则ba的取值范围是（） A ．4(2,)5--B ．34(,)25--C ．52(,)43--D ．51(,)42--12. 已知函数⎩⎨⎧≥+-<-=,0,46,0|,)lg(|)(3x x x x x x f 若关于x 的函数1)()(2+-=x bf x f y 有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是（）A ．),2(+∞B ．),2[+∞C ．)417,2( D ．]417,2( 二、填空题（每小题5分，共20分）13.若n展开式中二项式系数之和为16，则展开式常数项为 .14．一束光线从点A(－1, 1)出发经x 轴反射，到达圆C ：222)(3)1x y -+-=（上一点的最短路程是 . 15．如图:程序框图中，若输入6,4n m ==，那么输出的p = .16．已知()f x 是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x y R ∈、，都有()()()f xy xf y yf x =+成立．数列{}n a 满足*(2)(n )n n a f N =∈，且12a =.则数列的通项公式为n a = . 二、解答题（6道大题，共70分）17．已知等差数列{}n a 满足{}3577,26,n a a a a =+=的前n 项和为n S . （1）求n a 及n S ；（2）令*21()1n n b n N a =∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单（1）该同学为了求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆybx a =+，根据表中数据已经正确计算出ˆ0.6b=，试求出ˆa 的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；（2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 19．已知函数2()2cos cos()23xf x x ωπω=++（其中)0>ω的最小正周期为π．（1）求ω的值，并求函数)(x f 的单调递减区间；（2）在锐角ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，若,3,21)(=-=c A fABC ∆的面积为36，求a ．20.如图，在长方体1111ABCD A B C D -，中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.（1）证明：11D E A D ⊥；（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离；（3）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为4π.21已知椭圆1C 的方程为1422=+y x ，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点. （1）求双曲线2C 的方程；（2）若直线2:+=kx y l 与椭圆1C 及双曲线2C 都恒有两个不同的交点，且l 与2C 的两个交点为A 和B 满足6<⋅（其中O 为原点），求k 的取值范围. 22．已知函数2()2ln ,f x x x =-+ 函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点. (1)求函数()f x 的最大值； (2) 求实数a 的值；(3)若∀x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，3，不等式12()()1f x g x k --≤1恒成立，求实数k 的取值范围．高三第一次联考数学试卷(理科) 参考答案一、选择题：（每小题5分,共60分）1．C 2. D 3.A 4．B. 5. B 6. D 7.C 8. D 9．B 10.B 11．D. 12. D二、填空题（每小题5分，共20分）13.24 14．4 15．60 16．n ·2n二、解答题（6道大题，共70分）17．解：（1）设等差数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ，由26,7753=+=a a a ，解得2,31==d a ．由于2)(,)1(11n n n a a n S d n a a +=-+=，所以n n S n a n n 2,122+=+=．（2）因为12+=n a n ，所以)1(412+=-n n a n ，因此)111(41)1(41+-=+=n n n n b n ．故)1(4)111(41)1113121211(4121+=+-=--++-+-=+++=n nn n n b b b T n n ，所以数列}{n b 的前n 项和=n T )1(4+n n．18．解：（1）11(12345)3,(44566)555x y =++++==++++=，因线性回归方程ˆ=+ybx a 过点(,)x y ，∴50.66 3.2a y bx =-=-⨯=， ∴6月份的生产甲胶囊的产量数：ˆ0.66 3.2 6.8y=⨯+= （2）0,1,2,3,ξ=31254533991054010(0),(1),84428421C C C P P C C ξξ======== 213454339930541(2),(3).84148421C C C P P C C ξξ========5105140123 422114213E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=19．解析：（1）由已知得213()2cos cos()1cos cos 1cos 123223xf x x x x x x x x ωππωωωωωωω⎛⎫=++=++=+=- ⎪⎝⎭，于是22,ωππω==．()f x ∴的单调递减区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．20.常规方法（略）向量法：以D 为坐标原点，直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设AE x =，则11(1,0,1),(0,0,1),(1,,0),(1,0,0),(0,2,0)A D E x A C（1）1111,(1,0,1),(1,,1)0,.DA D E x DA D E =-=⊥因为所以（2）因为E 为AB 的中点，则(1,1,0)E ，从而1(1,1,1),(1,2,0)D E A C =-=-， 1(1,0,1)AD =-，设平面1ACD 的法向量为(,,)n a b c =，则10,0,n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩也即200a b a c -+=⎧⎨-+=⎩，得2a ba c=⎧⎨=⎩，从而(2,1,2)n =，所以点E 到平面1ACD 的距离为1||2121.33||D E n h n ⋅+-=== （3）设平面1D EC 的法向量(,,)n a b c =，∴11(1,2,0),(0,2,1),(0,0,1),CE x D C DD =-=-=由10,20(2)0.0,n D C b c a b x n CE ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨+-=⋅=⎩⎪⎩ 令1,2,2b c a x =∴==-，∴(2,1,2).n x=- 依题意11||2cos 4||||nDD n DD π⋅===⋅∴12x =（不合，舍去），22x =∴2AE =1D EC D --的大小为4π. 21解：（1）设双曲线C 2的方程为12222=-by a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由故C 2的方程为.1322=-y x （2）将.0428)41(1422222=+++=++=kx x k y x kx y 得代入由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆k k k 即 .412>k ①0926)31(1322222=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222<≠⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-k k k k k k 且即②)2)(2(,66319,3126),,(),,(22+++=+<+<⋅--=⋅-=+B A B A B A B A B A B A BA B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x k x x k k x x y x B y x A 而得由则设222229(1)()2(1)21337.31A B A B k x x x x k k k k -=+++=+⋅-+=-.0131315,613732222>--<-+k k k k 即于是解此不等式得.31151322<>k k 或 ③ 由①、②、③得.11513314122<<<<k k 或故k 的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1( ----22．解 (1)f ′(x )＝－2x ＋2x＝－2(1)(1)x x x-+ (x >0)，由'()00f x x ⎧>⎨>⎩得0<x <1；由'()00f x x ⎧<⎨>⎩得x >1. ∴f (x )在(0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数．∴函数f (x )的最大值为f (1)＝－1.(2)∵g (x )＝x ＋a x ，∴g ′(x )＝1－a x2.由(1)知，x ＝1是函数f (x )的极值点．又∵函数f (x )与g (x )＝x ＋a x有相同极值点， ∴x ＝1是函数g (x )的极值点．∴g ′(1)＝1－a ＝0，解得a ＝1. 经检验，当a ＝1时，函数g (x )取到极小值，符合题意 (3)∵f (1e )＝－1e 2－2，f (1)＝－1，f (3)＝－9＋2ln3，∵－9＋2ln3<－1e 2－2<－1，即f (3)<f (1e)<f (1)，∴∀x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，3， f (x 1)min ＝f (3)＝－9＋2ln3，f (x 1)max ＝f (1)＝－1. 由①知g (x )＝x ＋1x ，∴g ′(x )＝1－1x2.故g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时，g ′(x )<0；当x ∈(1,3]时，g ′(x )>0. 故g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1上为减函数，在(1,3]上为增函数． ∵g (1e )＝e ＋1e ，g (1)＝2，g (3)＝3＋13＝103，而2<e ＋1e <103，∴g (1)<g (1e )<g (3)．∴∀x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，g (x 2)min ＝g (1)＝2，g (x 2)max ＝g (3)＝103.当k －1>0，即k >1时，对于∀x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，不等式12()()1f xg x k --≤1恒成立⇔k －1≥[f (x 1)－g (x 2)]max ⇔k ≥[f (x 1)－g (x 2)]max ＋1.∵f (x 1)－g (x 2)≤f (1)－g (1)＝－1－2＝－3，∴k ≥－3＋1＝－2，又∵k >1，∴k >1.当k －1<0，即k <1时，对于∀x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，不等式12()()1f xg x k --≤1恒成立 ⇔k －1≤[f (x 1)－g (x 2)]min ⇔k ≤[f (x 1)－g (x 2)]min ＋1. ∵f (x 1)－g (x 2)≥f (3)－g (3)＝－9＋2ln3－103＝－373＋2ln3，∴k ≤－343＋2ln3.又∵k <1，∴k ≤－343＋2ln3.综上，所求的实数k 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－343＋2ln3∪(1，＋∞)．。

2014年第一次十校联考理科数学试题

江西省重点中学盟校2014届高三第一次联考高三数学（理）试卷命题人：景德镇一中江宁赣州三中明小青余江一中官增文审题人：景德镇一中曹永泉一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足()1z =（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．函数()lg(3)f x x=-的定义域是A．(3,)+∞B．(2,3)C．[2,3)D．(2,)+∞3．已知,m n是两条不同直线,,,αβγ是三个不同平面,则下列命题正确的是A．若αα//,//nm,则nm//B．若,αγβγ⊥⊥,则α∥βC．若βα//,//mm,则βα//D．若,m nαα⊥⊥,则m∥n4．为了调查你们学校高中学生身高分布情况，假设你的同桌抽取的样本容量与你抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是A．你与你的同桌的样本频率分布直方图一定相同B．你与你的同桌的样本平均数一定相同C．你与你的同桌的样本的标准差一定相同D．你与你的同桌被抽到的可能性一定相同5．下列函数中，与函数111()22xxf x-+=-的奇偶性、单调性均相同的是A．xy e=B．ln(y x=C．2y x=D．tany x=6．已知直线1x y+=与圆22x y a+=交于A、B两点，O是原点，C是圆上一点，若OCOBOA=+，则a的值为A．1B C．2D．47．设lg lg lg111()121418x x xf x=+++++，则1()()=f x fx+A．1B．2 C．3 D．48．如图，函数()sin()f x A xωϕ=+（其中0A>，与坐标轴的三个交点P、Q、R满足(2,0)P ，为QR的中点，PM=，则A的值为A BC．8 D．169．给出下列命题，其中真命题的个数是①存在x R∈，使得007sin cos2sin24x xπ+=成立;②对于任意的三个平面向量a、b、c，总有()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅成立;③相关系数r(||1r≤)，||r值越大，变量之间的线性相关程度越高.A．0 B．1 C．2 D．310．如图，已知正方体1111ABCD A BC D-的棱长是1，点E是对角线1AC上一动点，记AE x=（0x<<,过点E平行于平面1A BD的截面将正方体分成两部分，其中点A所在的部分的体积为()V x，则函数()y V x=的图像大致为A BC D1A第10题图第 1 页共2 页第 2 页共 2 页二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．已知3sin a xdx π=⎰，则61()x ax+的展开式中的常数项是__________． 12．下图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y13．春节期间，某单位安排甲、乙、丙三人于正月初一至初五值班，每人至少值班一天，且每人均不能连续值班两天，其中初二不安排甲值班，则共有__________种不同的值班安排方案．14．过双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点(,0)F c -(0)c >，作倾斜角为6π的直线FE 交该双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+，且0OE EF ⋅=，则双曲线的离心率为__________．三．选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分． 15（1）．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1)sin cos 2(:1=+θθρC 与曲线)0(,:2>=a a C ρ的一个交点在极轴上，则a 的值为__________．15（2）．（不等式选做题）若关于x 的不等式|1|||3x x m -+-<的解集不为空集，则实数m 的取值范围是__________．四．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且有tan tan sin 3cos A C BC+=．（1）求cos A 的值；（2）若2b =，3c =，D 为BC 上一点．且2CD DB =,求AD 的长．17．（本小题满分12分）江西某品牌豆腐食品是经过A 、B 、C 三道工序加工而成的，A 、B 、C 工序的产品合格率分别为34、23、45．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；恰有两次合格为二等品；其它的为废品，不进入市场．（1）生产一袋豆腐食品，求产品为废品的概率；（2）生产一袋豆腐食品，设X 为三道加工工序中产品合格的工序数，求X 的分布列和数学期望．18．（本题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，AB AC ==4BC =，PC =P 在平面ABC 内的射影恰为ABC ∆的重心G ，M 为侧棱AP 上一动点．（1）求证：平面PAG ⊥平面BCM ；（2）当M 为AP 的中点时，求直线BM 与平面PBC所成角的正弦值． 19．（本题满分12分）已知数列{}n a 前n 项和为n S ，向量(,)a n = 2 与(,)n b n S = +1 ，且a b λ=，R λ∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求21{}n n a a +的前n 项和n T ，不等式3log (1)4n a T a <-对任意的正整数n 恒成立，求a 的取值范围．20．（本题满分13分）设定圆22:(16M x y +=，动圆N 过点(0)F 且与圆M 相切，记动圆N 圆心N 的轨迹为C .（1）求轨迹C 的方程；（2）已知(,)A -2 0 ，过定点(,)B 1 0 的动直线l 交轨迹C 于P 、Q 两点，APQ ∆的外心为N ．若直线l 的斜率为1k ，直线ON 的斜率为2k ，求证：12k k ⋅为定值．21．（本题满分14分）已知函数()ln af x ax bx x=++ （a 、b 为常数），在1x =-时取得极值．（1）求实数b 的取值范围；（2）当1a =-时，关于x 的方程()2f x x m =+有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；（3）数列{}n a 满足1111n n a a -=-+ （*n N ∈且2n ≥），112a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：12n n S a nn a e+-⋅≥（*n N ∈,e 是自然对数的底）．。

2014届高三第一次模拟考试理科数学试卷

2014 届高三第一次模拟考试理科数学试卷2014 届高三第一次模拟考试理科数学试卷满分：150 分时量：120 分钟命题：高三数学备课组一、选择题（5 分 8=40 分）1、若 i 为虚数单位，则 1  i 等于 1iA、 iB、  iC、1D、－1。

（）    2、已知集合 M  x x  7  9 ， N  x y  9  x2 ，且 M , N 都U 的子集，则右图中阴影部分表示的集合是（）A、x  3  x  2 B、x x  16 C、x  3  x  2D、x x  16３、按照如图的程序框图执行，若输出结果为 15，则 M 处条件为A． k 16B． k  8C． k 16D． k  84、给出下列命题：○1 向量 a ， b 满足 a  b  a  b ，则 a ， b 的夹角为 300 ；（）开始k=1 S=0○2 a  b  0 是〈 a ， b 〉为锐角的充要条件； ○3 将函数 y  x 1 的图象按向量 a  (1,0) 平移，M?否S=S+k是输出 S得到函数 y  x 的图象；k  2 k 结束是全集○4 若 (AB  AC)  (AB  AC)  0 ，则 ABC为等腰三角形。

以上命题正确的个数是A、1 个B、2 个C、3 个（） D、4 个５、已知某几何体的正视图和侧视图均是边长为１的正方形，则这个几何体的体积不可能是A、 1 26、有下列四种说法：B、  4C、1D、 （）3①命题：“ x0  R ,使得 x2  x  0 ”的否定是“ x  R ,都有 x2  x  0 ”； ○2 已知随机变量 x 服从正态分布 N (1, 2 ) ， P(x  4)  0.79 ，则 P(x  2)  0.21；○3 函数f(x)2 sinx cosx 1, (x  R) 图像关于直线x3 4对称，且在区间  4, 4 上是增函数；○4 设实数 x, y  0,1，则满足： x2  y 2  1 的概率为  。

【GETS命制】2014届高三一模(全国I卷)数学(理)试题(WORD版)

【GETS 命制】2014届高三一模（全国I 卷）数学（理）试题一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合A={|ln 0}x x ≥ ， B=2{|16}x x <，则A ∩B=A.(1,4)B. [1,4)C. [1,+∞)D. [e, 4) 2．已知复数z =，则z 等于A.22B. 1C. 2D. 23. 某学生对“是否延迟退休的问题”进行社区调查，已知某社区有老年人30名，中年人75名，青年人45名，若需要10人进行座谈，则抽取的中年人数为A. 2B. 3C. 5D. 8 4．下列命题中假命题．．．是 A. 1,20x x R -∀∈> B. 00,tan 2014x R x ∃∈=C. 2,210x R x x ∀∈--> D. 000,sin cos x R x x ∃∈+=5．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则1012333log log log aa a +++= A. 12 B. 10 C. 1+53log D. 2+53log6．已知()24f x x x =++-的最小值为n ，则2()n x x-的展开式中常数项为A. -160B. -20 C . 20 D. 1607. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 3B.33C. 43D. 2338. 若1122(,),(,y )A x y B x 为可行域⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤3+1x ≥1y ≥1内的任意两点，O 为坐标原点，则∠AOB 的最大值A. π3B. π4C. π6D. π129 . 已知函数221,0()1,0x x x f x x x ⎧-++≥=⎨-+<⎩，则函数()()xg x f x e -=-的零点个数是A. 4B. 3C. 2D. 110.四面体ABCD 的顶点分别为A(0, 0, 0)，B(0, 4, 0)，C(4, 4, 0), D(0, 0, 2)，则该四面体的外接球的表面积S 的值为 A. 12π B. 18π C. 24π D. 36π11.设双曲线22221x y a b-=的离心率为e=2，右焦点F(c,0)，方程20cx bx a +-=的两个实数根分别为12,,x x 则点12(,)P x xA. 必在圆222x y +=上B. 必在圆222x y +=外 C. 必在圆222x y +=内 D. 以上三种情形均有可能 12. 定义域为[,]a b 的函数y =()f x 的图象的两个端点为A ，B ,(,)M x y 是()f x 图象上任意一点，其中(1)(),x a b R λλλ=+-∈ 向量→ON =λ→OA +(1-λ)→OB .若不等式|→MN |≤k 恒成立，则称函数()f x 在[,]a b 上“k 阶线性近似”.若函数1y x x=+在[1,2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围是A. [ 32+ 2 ,+∞)B. [ 32- 2 ,+∞)C. [1 ,+∞)D. [0 ,+∞)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若tan(π-α)=3，则sin2α= ．14．数列{}n a 中，112,1n n a a n a +==++，则通项n a = ． 15．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出S 的值为．16.已知平面直角坐标系中有点列(,2)(1,2,3,,ii P i i n = ，其中n 为正偶数，若和向量12341(,)n n n n PP P P P P x y -+++=，则实数n y = ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题满分12分）已知函数211()sin 2cos cos sin cos()(0)222f x x x πϕϕϕϕπ=+++<<，其图象过点1(,)122π.（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）将函数y =()f x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 12,纵坐标不变，得到函数y =()g x 的图象，求函数()g x 在[0,π4]上的最大值和最小值．19．（本题满分12分）（Ⅰ）你认为该大学的专业与就业有关吗？（Ⅱ）从未就业的10名学生中随机抽取3名学生参加就业培训，设甲专业被选中的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.注：()22()()()()K n ad bc a b c d a c b d -++++=C20．(本题满分12分）点M 为直线l :20x y +-=上的一个动点，若椭圆满足：①过点M ；②与双曲线221x y -=有公共的焦点. 可称此类椭圆为“M ～2系列椭圆”.（Ⅰ）当“M ～2系列椭圆”的长轴最短时，求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试探究是否存在一条斜率为k （k ≠0）的直线l ' 与椭圆交于不同的两点E 、F ，且使E 、F 到点A(0,1)的距离相等？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.21．（本题满分12分）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a > .请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分. 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在钝角∆ABC 中，AC=BC ，点O 为近A 点的三等分点，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰过点C,点E 为圆O 与AB 的交点，∠ACE 的平分线与BC 交于点D ．（Ⅰ）求∠OCD 的大小；（Ⅱ）求证：BC 为圆的切线．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中曲线C 1:2cos ,1sin ,x t y t αα=+⎧⎨=+⎩t 是参数，自然数0≤α＜π，以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中曲线C 2 ρ2+ρ2cos 224.已知关于x 的不等式函数12221log (0).x x a a --->>(Ⅰ)当a =2时，求不等式的解集； (Ⅱ)若不等式有解，求实数a 的取值范围.。

2014届高三上册数学第一次月考理科试题(附答案)

2014届高三上册数学第一次月考理科试题（附答案）望江四中2014届高三上学期第一次月考数学（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题时120分钟，满分150分。

第Ⅰ卷（选择题共10小题，每小题5分，共50分）一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．）1.若集合,,则（）A.B.C.D.答案：A解析：集合A＝{}，A＝{}，所以，2．在复平面内,复数对应的点的坐标为（）A．B．C．D．答案：A解析：原式＝＝，所以，对应的坐标为（0，－1），选A＞3．已知为等差数列，若，则的值为（）A．B．C．D．答案：D解析：因为为等差数列，若，所以，，4.已知函数有且仅有两个不同的零点，，则（）A．当时，，B．当时，，C．当时，，D．当时，，答案：B解析：函数求导，得：，得两个极值点：因为函数f（x）过定点（0，－2），有且仅有两个不同的零点，所以，可画出函数图象如下图：因此，可知，，只有B符合。

5.设集合是的子集，如果点满足：，称为集合的聚点.则下列集合中以为聚点的有：①；②；③；④（）A．①④B．②③C．①②D．①②④答案：A【解析】①中，集合中的元素是极限为1的数列，∴在的时候，存在满足0＜|x－1|＜a的x，∴1是集合的聚点②集合中的元素是极限为0的数列，最大值为2，即｜x－1｜≥1对于某个a＞1，不存在0＜|x－1|，∴1不是集合的聚点③对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x﹣1|=0或者|x﹣1|≥1，也就是说不可能0＜|x﹣1|＜0.5，从而1不是整数集Z的聚点④＞0，存在0＜|x－1|＜0.5的数x，从而1是整数集Z的聚点故选A6.在下列命题中,①“”是“”的充要条件;②的展开式中的常数项为;③设随机变量~,若,则.其中所有正确命题的序号是（）A．②B．②③C．③D．①③答案：B解析：①是充分不必要条件，故错误；②，令12－4k＝0，得，k＝3，所以，常数项为2，正确；③正态分布曲线的对称轴是x＝0，，所以，正确；7．已知偶函数,当时,,当时,().关于偶函数的图象G和直线:()的3个命题如下:①当a=4时,存在直线与图象G恰有5个公共点;②若对于,直线与图象G的公共点不超过4个,则a≤2;③,使得直线与图象G交于4个点,且相邻点之间的距离相等.其中正确命题的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③答案：D解析：因为函数和的图象的对称轴完全相同，所以两函数的周期相同，所以，所以，当时，，所以，因此选A。

2014届高三模拟数学(理工类)试题卷(含答案)

2014届高三模拟数学（理工类）试题卷本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．第一部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．注意事项：1．选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上． 2．本部分共10小题，每小题5分，共50分．第一部分（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.i 是虚数单位，复数ii+12等于（） A. i +-1 B. i +1 C. i --1 D.i -12.已知集合},9{},0103{22x y x N x x x M -==<--=且N M ,都是全集R 的子集，则如图所示韦恩图中阴影不封所表示的集合为（）A. }53{≤<x xB. }53{>-<x x x 或C. }23{-≤≤-x xD.}53{≤≤-x x3.已知幂函数)(x f y =的图像过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,21，则)4(f 的值为（） A. 41 B. 2 C. 4 D. 1614.已知31)4sin(=-πα，则)4cos(απ+的值等于（）A. 31-B. 322±C. 322 D. 31 5.已知y x ,为正实数，则（）A. y x y x 2lg 2lg )22lg(+=+B. y x y x 2lg 2lg 2lg ∙=+C. y x xy 2lg 2lg 2lg +=D. y x y x 2lg 2lg 2lg +=+6.已知1,6,()2,a b a a b ==-=则向量a 与向量b的夹角是（） A. 6π B. 4π C. 3π D. 2π7.函数错误！未找到引用源。

的部分图象如图示，则将错误！未找到引用源。

2014高三数学一模试卷含有答案

2014高三数学质量调研卷一.填空题1. 若集合}02|{2>-=x x x A ，}2|1||{<+=x x B ，则=B A .2. 设1e 、2e 是平面内两个不平行的向量，若21e e +=与21e e m -=平行，则实数=m .3. 在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2=a ，32=c ，3π=C ，则=b .4. 在nx )3(-的展开式中，若第3项的系数为27，则=n .5. 若圆1)1(22=-+y x 的圆心到直线:n l 0=+ny x （*N n ∈）的距离为n d ，则=∞→n n d l im . 6. 函数)1(log )(2-=x x f )21(≤<x 的反函数=-)(1x f.7. 已知椭圆13422=+y x 的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，若经过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，则△2ABF 的周长等于 .8. 数列}{n a 中，若11=a ，n n n a a 211=++（*N n ∈），则=+++∞→)(lim 221n n a a a . 9. 若函数x x x f 1)(+=，则不等式25)(2<≤x f 的解集为 .10．如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长2=AB ，若异面直线A A 1与C B 1 所成的角的大小为21arctan，则正四棱柱1111D C B A ABCD -的侧面积为 . 11. 在数列}{n a 中，21=a ，341+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前n 项和=n S . 12. 已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，若43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有种. 13. 若函数2cos 1)(xx x f ⋅+=π，则=+++)100()2()1(f f f .第10题14.已知函数⎩⎨⎧<+≥-=0),1(0,2)(x x f x a x f x ，若方程0)(=+x x f 有且仅有两个解，则实数a 的取值范围是 . 二．选择题15.若)(x f 和)(x g 都是定义在R 上的函数，则“)(x f 与)(x g 同是奇函数或偶函数”是“)()(x g x f ⋅是偶函数”的…………………………（）)(A 充分非必要条件. )(B 必要非充分条件. )(C 充要条件. )(D 既非充分又非必要条件16. 若a 和b 均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是……………………………（）)(A ||2||ab b a ≥+. )(B 2≥+baa b . )(C 4)11)((≥++b a b a . )(D 222)2(2b a b a +≥+. 17.将函数)(x f y =的图像向右平移4π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为x y 2sin 2=，则函数)(x f 的表达式可以是………………………………………（）)(A x sin 2. )(B x cos 2. )(C x 2sin . )(D x 2cos .18. 若i A (n i ,,3,2,1 =)是AOB ∆所在的平面内的点，且OB OA OB OA i ⋅=⋅. 给出下列说法：①||||||||21OA OA n ==== ； ②||i 的最小值一定是||OB ； ③点A 、i A 在一条直线上；④向量及i OA 在向量的方向上的投影必相等.其中正确的个数是…………………………………………………………………………（）)(A 1个. )(B 2个. )(C 3个. )(D 4个.第18题第13题三．解答题19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 已知点)0,2(P ，点Q 在曲线C :x y 22=上.（1）若点Q 在第一象限内，且2||=PQ ，求点Q 的坐标；（2）求||PQ 的最小值.20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数x x x x f cos sin 322cos )(+=（1）求函数)(x f 的值域，并写出函数)(x f 的单调递增区间；求函数)(x f 的最大值，并指出取到最大值时对应的x 的值；（2）若60πθ<<，且34)(=θf ，计算θ2cos 的值.21.（本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径310=r 毫米,滴管内液体忽略不计.（1）如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？（2）在条件(1)下,设输液开始后x （单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为h （单位：厘米），已知当0=x 时，13=h .试将h 表示为x 的函数.（注:3310001mm cm =）22. （本题满分16分）已知数列{}n a 中，13a =，132n n n a a ++=⋅，*n N ∈.（1）证明数列{}2nn a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；高三数学质量调研卷评分标准一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. )0,3(-； 2.1-； 3. 4；4.3； 5.1； 6. =-)(1x f )0(21≤+x x （不标明定义域不给分）； 7. 8； 8.32； 9.)2,21( 10．32； 11. 14--n n （*N n ∈）； 13.150；14.2<a ；二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.【解】设),(y x Q （0,0>>y x ）,x y 22=（1）由已知条件得2)2(||22=+-=y x PQ …………………………2分将x y 22=代入上式，并变形得，022=-x x ，解得0=x （舍去）或2=x ……………4分当2=x 时，2±=y只有2,2==y x 满足条件，所以点Q 的坐标为)2,2(………………6分（2）||PQ 22)2(y x +-=其中x y 22=…………………………7分422)2(||222+-=+-=x x x x PQ 3)1(2+-=x （0≥x ）…………10分当1=x 时，3||min =PQ ……………………………………12分（不指出0≥x ，扣1分）20. 【解】（1）)62sin(22sin 32cos )(π+=+=x x x x f ………………2分由于2)62sin(22≤+≤-πx ，所以函数)(x f 的值域为]2,2[-………4分由πππππk x k 22)6222+≤+≤+-得ππππk x k +≤≤+-63所以函数)(x f 的单调的增区间为]6,3[ππππ+-k k ，Z k ∈………6分（文科不写Z k ∈，不扣分；不写区间，扣1分）由20π≤≤x 得，67626πππ≤+≤x ………4分所以当262ππ=+x 时，2)(max =x f ，此时6π=x ………6分（2）由（1）得，34)62sin(2)(=+=πθθf ，即32)62sin(=+πθ……………8分其中2626ππθπ<+<得0)62cos(>+πθ………………10分所以35)62cos(=+πθ……………11分 ]6)62cos[(2cos ππθθ-+=………………13分621521322335+=⨯+⨯=………………14分 21. 解】（1）设每分钟滴下k （*N k ∈）滴，………………1分则瓶内液体的体积πππ1563294221=⋅⋅+⋅⋅=V 3cm ………………3分k 滴球状液体的体积75340103432ππk mm k k V ==⋅⋅⋅=3cm ………………5分所以15675156⨯=ππk ，解得75=k ，故每分钟应滴下75滴。

2014年高中毕业年级第一次质量预测数学(理科) 参考答案.doc

2014年高中毕业年级第一次质量预测数学（理科）参考答案一、选择题ADACB DBCBB AB二、填空题13.[1,3)-； 14.5； 15. 8π； 16.12a <-. 三、解答题17．解：(1) 因为AD AC ⊥，所以sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=+∠=∠,即cos 3BAD ∠=,…………………………….2分在ABD ∆中，由余弦定理可知2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠，即28150AD AD -+=，解之得5AD =或 3.AD = ……………………………………………….6分由于AB AD >，所以 3.AD =…………………………………………………..7分(2) 在ABD ∆中，由正弦定理可知sin sin BD AB BAD ADB=∠∠，又由cos 3BAD ∠=可知1sin 3BAD ∠=，所以sin sin AB BAD ADB BD ∠∠==, 因为2ADB DAC C C π∠=∠+∠=+∠,所以cos C =.……………………………………………………..12分 18．解：随机猜对问题A 的概率113P =，随机猜对问题B 的概率214P =．………… 2分 ⑴设参与者先回答问题A ，且恰好获得奖金a 元为事件M ,则12131()(1)344P M P P =-=⨯=, 即参与者先回答问题A ，其恰好获得奖金a 元的概率为14. ………………4分 ⑵参与者回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：①先回答问题A ，再回答问题B ．参与者获奖金额ξ可取0,,a a b +，则()12013P P ξ==-=，()()12114P a P P ξ==-=，()121.12P a b PP ξ=+== ②先回答问题B ，再回答问题A ，参与者获奖金额η，可取0,,b a b +，则()23014P P η==-=，()()21116P b P P η==-=，()211.12P a b P P η=+==()3110.4612124a b E b a b η=⨯+⨯++⨯=+………… 10分 32.12a b E E ξη--= 于是，当23a b >，时E E ξη>，即先回答问题A ，再回答问题B ，获奖的期望值较大；当23a b =，时E E ξη=，两种顺序获奖的期望值相等；当23a b <，时E E ξη<，先回答问题B ，再回答问题A ，获奖的期望值较大.…………………………12分19.解：(1)证明：由题意11tan tan AD AB ABD AB B AB BB ∠==∠== 注意到10,2ABD AB B π<∠∠<,所以1ABD AB B ∠=∠,所以1112ABD BAB AB B BAB π∠+∠=∠+∠=,所以BD AB ⊥1, ……………………3分又⊥CO 侧面11A ABB ，1.AB CO ∴⊥又BD 与CO 交于点O ，所以CBD AB 面⊥1,又因为CBD BC 面⊂,所以1AB BC ⊥.……………………………6分(2)如图，分别以1,,OD OB OC 所在的直线为,,x y z 轴，以O 为原点，建立空间直角坐标系xyz O -则(0,,0)3A -，(3B -，(0,0,3C，1(0,3B，6D ，又因为12CC AD =，所以1C …………8分A所以(AB =-，(0,AC =，16(DC = 设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =，则根据0,0AB n AC n ⋅=⋅=可得(1,2,n =是平面ABC 的一个法向量,设直线1C D 与平面ABC 所成角为α，则11||sin ||||DC n DC n α⋅==………………12分 20.⑴解：由题知||||||||||||2||||4||,CA CB CP CQ AP BQ CP AB AB +=+++=+=> 所以曲线M 是以,A B 为焦点，长轴长为4的椭圆（挖去与x 轴的交点），设曲线M ：22221(0,0)x y a b y a b+=>>≠，则2222||4,()32AB a b a ==-=，所以曲线M ：221(0)43x y y +=≠为所求.---------------4分 ⑵解：注意到直线BC 的斜率不为0，且过定点(1,0)B ，设1122:1,(,),(,)BC l x my C x y D x y =+，由221,3412,x my x y =+⎧⎨+=⎩消x 得22(34)690m y my ++-=，所以1,22334m y m -±=+，所以1221226,349,34m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩-------------------------------------8分因为1122(2,),(2,)AC my y AD my y =+=+,所以212121212222222(2)(2)(1)2()49(1)12794.343434AC AD my my y y m y y m y y m m m m m m ⋅=+++=+++++-=--+=+++注意到点A 在以CD 为直径的圆上,所以0AC AD ⋅=,即m =,-----11分所以直线BC 的方程330x -=或330x -=为所求.------12分21.⑴解:注意到函数()f x 的定义域为(0,)+∞,所以()()f x g x ≥恒成立()()f x g x x x ⇔≥恒成立, 设(1)()ln (0)k x h x x x x-=->, 则221()k x k h x x x x-'=-=, ------------2分当0k ≤时,()0h x '>对0x >恒成立,所以()h x 是(0,)+∞上的增函数,注意到(1)0h =,所以01x <<时,()0h x <不合题意.-------4分当0k >时,若0x k <<,()0h x '<;若x k >,()0h x '>.所以()h x 是(0,)k 上的减函数,是(,)k +∞上的增函数,故只需min ()()ln 10h x h k k k ==-+≥. --------6分令()ln 1(0)u x x x x =-+>, 11()1x u x x x-'=-=, 当01x <<时,()0u x '>; 当1x >时,()0u x '<.所以()u x 是(0,1)上的增函数,是(1,)+∞上的减函数.故()(1)0u x u ≤=当且仅当1x =时等号成立.所以当且仅当1k =时,()0h x ≥成立,即1k =为所求. --------8分 ⑵解:由⑴知当0k ≤或1k =时,()()f x g x =,即()0h x =仅有唯一解1x =,不合题意; 当01k <<时, ()h x 是(,)k +∞上的增函数,对1x >,有()(1)0h x h >=，所以()()f x g x =没有大于1的根,不合题意. ---------8分当1k >时,由()()f x g x ''=解得10k x e -=,若存在110k x kx ke -==,则111ln()(1)k k k keke k ke ---=-,即1ln 10k k e --+=,令1()ln 1(1)xv x x e x -=-+>,11()x x x e ex v x e x xe --'=-=, 令(),()x x s x e ex s x e e '=-=-,当1x >时,总有()0s x '>, 所以()s x 是(1,)+∞上的增函数,即()(1)0x s x e ex s =->=,故()0v x '>,()v x 在(1,)+∞上是增函数,所以()(1)0v x v >=,即1ln 10k k e --+=在(1,)+∞无解.综上可知,不存在满足条件的实数k . ----------------------12分22.解：⑴ D C B A ,,,四点共圆，∴EBF EDC ∠=∠，又AEB ∠为公共角，∴ECD ∆∽,EAB ∆ ∴.DC EC ED AB EA EB== ∴2111...428DC EC ED EC ED AB EA EB EB EA ⎛⎫==== ⎪⎝⎭.∴DC AB . ……………………………………………………………… 6分 ⑵ FB FA EF ⋅=2， ∴FEFB FA EF =，又 BFE EFA ∠=∠， ∴FAE ∆∽FEB ∆，∴EBF FEA ∠=∠，又 D C B A ,,,四点共圆，∴EBF EDC ∠=∠，∴EDC FEA ∠=∠， ∴//.EF CD .…………………………………………………… 10分 23.解：⑴222212:(2)(1)1,: 1.169x y C x y C ++-=+= 曲线1C 为圆心是(2,1)-，半径是1的圆．曲线2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．……4分⑵曲线2C 的左顶点为(4,0)-，则直线l的参数方程为4,2,2x s y s ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（s 为参数）将其代入曲线1C整理可得：240s -+=，设,A B 对应参数分别为12,s s ，则1212 4.s s s s +==所以12||||AB s s =-==……………………………10分24.解：⑴因为,4)()4(4-=---≥-+-a a x x a x x因为4a <,所以当且仅当4a x ≤≤时等号成立,故43,1a a -=∴=为所求.……………………4分⑵不等式x x f -≥3)(即不等式x a x x -≥-+-34 )4(<a ， ①当a x <时，原不等式可化为43,x a x x -+-≥- 即 1.x a ≤+ 所以，当a x <时，原不等式成立. ②当4≤≤x a 时，原不等式可化为43.x x a x -+-≥- 即 1.x a ≥-所以，当4≤≤x a 时，原不等式成立. ③当4>x 时，原不等式可化为43.x x a x -+-≥- 即7,3a x +≥ 由于4<a 时74.3a +> 所以，当4>x 时，原不等式成立. 综合①②③可知：不等式x x f -≥3)(的解集为R.……………………10分。

湖北省部分重点中学2014届高三第一次联考数学(理)试题含解析

湖北省部分重点中学2014届高三第一次联考数学理科试题(含答案)一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑.1.已知两个集合{})2ln(|2++-==x x y x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=012|x e x x B ，则=B A （）. A. )2,21[-B. ]21,1(-- C. ),1(e - D. ),2(e2.若i z ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=54cos 53sin θθ是纯虚数，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πθ=（）A. 71-B. 7-C. 37- D. 1-3.已知命题p :所有素数都是偶数，则p ⌝是（）A.所有的素数都不是偶数B.有些素数是偶数C.存在一个素数不是偶数D. 存在一个素数是偶数4.设R a ∈，函数xx ae e x f --=)(的导函数为)(x f '，且)(x f '是奇函数，则=a （）A. 0B. 1C. 2D. 1-5.三个实数成等差数列，首项是9，若将第二项加2、第三项加20可使得这三个数依次构成等比数列{}n a ，则3a 的所有取值中的最小值是（）A. 1B. 4C. 36D. 496.已知函数)(x f y =的定义域为{}5,83|≠≤≤-x x x 且，值域为{}0,21|≠≤≤-y y y 且.下列关于函数)(x f y =的说法：①当3-=x 时，1-=y ；②将)(x f y =的图像补上点()0,5，得到的图像必定是一条连续的曲线；③ )(x f y =是[)5,3-上的单调函数；④)(x f y =的图象与坐标轴只有一个交点.其中正确命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 47.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1+n S ，n S ，2+n S 成等差数列，则其公比q 为（） A. 2-=q B. 1=q C. 12=-=q q 或 D.12-=-=q q 或8. 已知函数)(x f 是定义在()()+∞∞-,00, 上的偶函数，当0>x 时，()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-2,22120,12)(|1|x x f x x f x ，则函数1)(4)(-=x f x g 的零点个数为（）A. 4B. 6C. 8D. 109.设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，若三边的长为连续的三个正整数，且C B A >>，C A 2=，则C B A sin :sin :sin 为（）A ．4:3:2B ．5:4:3C ．6:5:4D ．7:6:5 【答案】C 【解析】试题分析： C B A >>，∴c b a >>，又a 、b 、c 为连续的三个正整数，设1+=n a ，n b =，1-=n c ，（*∈≥N ,2n n ),由于C A 2=，则C A 2sin sin =，即C c a cos 2=，∴)1(2)1()1()1(21222+--++⋅-=+n n n n n n n ，解得5=n ，∴61=+n ，41=-n ，∴4:5:6::=c b a ，由正弦定理得4:5:6sin :sin :sin =C B A ，选C.考点：正弦定理、余弦定理、二倍角的正弦公式.10.在ABC △所在的平面内，点P P 、0满足P 410=，λ=，且对于任意实数λ，恒有≥∙P P 00∙，则（）A.︒=∠90ABCB. ︒=∠90A C BC.BC AC =D. AC AB =∴|||||)|||(0000B P DP x B P DP x ⋅-≥⋅++， ∴0|||||)||(|00002≥⋅+⋅++B P DP x B P DP x ，故需要0|)||(|||||4|)||(|20000200≤-=⋅-+=∆B P DP B P DP B P DP ，∴4||||||00AB B P DP ==，即||||AB DB =， ∴D 为AB 的中点，又是AB 边上的高， ∴ABC ∆是等腰三角形，故有BC AC =,选C.考点：共线向量，向量的数量积.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分.11.设球的半径为时间t 的函数)(t r ，若球的体积以均匀速度21增长，则球的表面积的增长速度与球半径的乘积为 .12. 在△ABC 中，边，，2AB 1AC == 角32A π=，过A 作P BC AP 于⊥，且AC AB AP μλ+=，则=λμ .【答案】4910 【解析】试题分析：依题意1=AC ，2=AB ，由余弦定理得，7)21(2122122=-⨯⨯⨯-+=BC ，由三角形的面积公式得13.已知两个实数b a ,满足033=+-a a 且()033=+-b b ，则1,,b a 三个数从小到大的关系是（用“<”表示）.考点：函数x y -=3、与、3x y =及3x y =的图象性质.14.已知xx f +=11)(，各项均为正数的数列{}n a 满足)(,121n n a f a a ==+，若1412a a =，则=+201413a a .15.已知函数)0,()(23≠∈-+=a R a ax x ax x f 且.如果存在实数(]1--，∞∈a ，使函数)()()(x f x f x g '+=，[]b x ,1-∈()1->b 在1-=x 处取得最小值，则实数b 的最大值为 . 【答案】21-17 【解析】试题分析：依题意，a x ax x f -+='23)(2，令a x a x a ax x f x f x h --+++='+=)2()13()()()(23， )1()(h x h ≥在区间],1[b -上恒成立，即0)]31()12()[1(2≥-++++a x a ax x ①三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知函数)4(2cos )12(212sin 3)(ππf x f x x f '+'+=. （1）求)(x f 的最小正周期和最小值；（2）若不等式3|)(|<-m x f 对任意⎥⎦⎤⎝⎛∈3,12ππx 恒成立，求实数m 的取值范围.17.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点.（1）若PA PD =，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）点M 在线段PC 上，PC 31PM =，若平面PAD ⊥平面ABCD ，且2P A P D A D ===，求二面角M BQ C --的大小.⎪⎩⎪⎨⎧===103z y x ，18.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．且12,4224+==n n a a S S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12-=n a n ，数列{}nb 满足：,31=b 11+-=-n n n a b b )2(≥n ，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧nb 1的前n项和n T ．19.（本小题满分12分）已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D 左声道和E右声道，其中每个部件工作的概率如图所示，能听到声音，当且仅当A与B中有一个工作，C工作，D与E中有一个工作；且若D和E同时工作则有立体声效果.（1）求能听到立体声效果的概率；（2）求听不到声音的概率.（结果精确到0.01）20.（本小题满分13分）已知椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点F ，右顶点A ,右准线4=x 且1||=AF ．(1)求椭圆C 的标准方程；（2）动直线l ：m kx y +=与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与右准线相交于点Q ，试探究在平面直角坐标系内是否存在点M，使得以PQ为直径的圆恒过定点M？若存在，求出点M 坐标；若不存在，说明理由．21.（本小题满分14分）设x x f ln )(=．（1）若)1,0(∈α，求)1ln()1(ln )(x x x g --+=αα最大值；（2）已知正数α，β满足1=+βα.求证：)()()(2121x x f x f x f βαβα+≤+；（3）已知>i x ，正数iα满足11=∑=ni iα.证明:∑∑==≤ni iiini ixx 11ln ln αα),2,1(n i =其中．（2）构造函数)()()(11x x f x f x f x F βαβα+-+=）（，利用导数法证明)(x F 在在),0(1x 上递增，在),(1+∞x 上递减.由于函数)(x F 的极大值为0)(1=x F ，1x x =当时，（3）利用数学归纳法证明如下： ① 当2,1=n 时，命题显然成立；② 假设当),2(N k k k n ∈≥=时，命题成立，即当1121=++++-k k αααα 时，)ln(ln ln ln ln 112211112211k k k k k k k k x x x x x x x x αααααααα++++≤++++---- .则当1+=k n ，即当时，111111111211=-+-++-+-++-++k k k k k k αααααααα 11121=++++++-k k k ααααα ，又假设≤-+-++-+-+-+-++k k k k k k k k x x x x ln 1ln 1ln 1ln 11111212111αααααααα。

2014年高考数学全国卷1(理科)

绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I 卷)数学(理科)一．选择题：共12小题,每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1。

已知集合A={x ｜2230x x --≥｝,B=｛x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂=A 。

［-2,—1] B 。

［-1，2) C 。

[—1,1］ D .［1，2） 2。

32(1)(1)i i +-=A 。

1i +B .1i -C .1i -+D 。

1i --3。

设函数()f x ，()g x 的定义域都为R,且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B 。

｜()f x ｜()g x 是奇函数C .()f x |()g x ｜是奇函数D .｜()f x ()g x ｜是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A 。

3B .3C 。

3mD .3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D 。

786.如图,圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ,则y =()f x 在[0，π]上的图像大致为7。

执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2，3，则输出的M =A 。

203 B 。

165 C 。

72D .158 8.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-=B .22παβ-=C 。

32παβ+=D 。

22παβ+=9。

不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D 。

湖口一中2014届高三年级第一次模拟考试(数学理科)试题及答案

湖口一中2014届高三年级第一次模拟考试（数学理科）含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设U=R,P={x|x﹥1},Q={x|x(x-2)＜0}，则C U(P∪Q)=A．{x|x≤1或x≥2} B．{x|x≤1} C．{x| x≥2} D．{x| x≤0}2．函数f(x)=sin x sin(x+π/2)的最小正周期为A．4πB．2πC．πD．π/2的3．函数y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f’(x)的图象的大致形状是4.已知复数z=(1+2i)/(3-i), i是虚数单位，则复数Z的虚部是A．i/10 B．1/10C．7/10 D．7i/105.下列大小关系正确的是A. 0.43<30.4<log43B. log43<0.43<30.4C. 0.43< log43<30.4D. log43<0.43<30.46.下列说法正确的是A.“a>1”是“f(x)=log a x(a>0,a≠1)在(0,+∞)上为增函数”的充要条件B.命题“使得x2+2x+3<0”的否定是：“”C.“x=-1”是“x2+2x+3=0”的必要不充分条件D.命题p：“”，则￢p是真命题7.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的部分图像如图所示，如果x1,x2∈(-π/6, π/3)，且f(x1)= f(x2)，则f(x1+ x2)=A．1/2 B．C．D．18.已知，且sin α+cos α=1/2则cos 2α的值为A．B．C．D．-3/49.函数f(x)=ln x+ax存在与直线2x-y=0平行的切线，则实数a的取值范围是A. (-∞,2]B. (-∞,2)C. (2,+∞)D. (0,+∞)10.已知函数f(x)+cos(2x+φ)满足f(x)≤f(1)对x∈R恒成立，则A.函数f(x+1)一定是偶函数B.函数f(x-1)一定是偶函数C.函数f(x+1)一定是奇函数D.函数f(x-1)一定是奇函数11.已知函数f(x)=lnx,x1,x2∈(0,1/e),且x1＜x2则下列结论正确的是A．B．C．D．12.已知函数f(x)满足，且f(x)是偶函数，当时，f(x)=x2，若在区间[-1,3]内，函数有4个零点，则实数k的取值范围是A．B．C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知函数f(x)=a-log2x的图象经过点A(1,1)，则不等式f(x)＞1的解集为______.14.已知α为钝角，且cos(π/2+α)=-3/5，则sin2α=。

2014届一诊模拟数学试卷(理科)

2014届一诊模拟数学试卷（理科）考试时间：120分钟总分：150分一．选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．） 1. 设i 是虚数单位，则复数2(1)i i-⋅在复平面内对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列命题中真命题的是（）A. “关于x 的不等式()0f x >有解”的否定是“0x R ∃∈，使得0()0f x <成立”B. 0x R ∃∈，使得00xe ≤成立 C. x R ∀∈， 33xx > D. “22x a b >+”是“2x ab >”的充分条件3. 已知α、β是两个不同的平面，下列四个命题是“面α∥面β”的充分条件的为（）A. 存在一条直线a ，a α⊂面且a ∥面βB. 存在一个平面γ，γα⊥，γβ⊥C. 存在两条平行直线a b 、，,a b αβ⊂⊂，a ∥β且b ∥αD. 存在两条异面直线a b 、，,a b αβ⊂⊂，a ∥β且b ∥α4. 某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，则该次英语测试该班的平均成绩是 ( )．A. 63B. 65C. 68D. 705. 已知向量(1,2)a = ，(2,4)b =-- ，c = ，若5()2a b c +⋅= ，则a 与c 的夹角为（）A. 30°B. 60°C. 120°D.150°6. 如图，是一正方体被过点A ，M ，N 的平面和点N ，D ，C 的平面截去两个角后所得的几何体，其中M ，N 分别为棱A 1B 1，A 1D 1的中点，则该几何体的正视图为（）7. 若1()n x x+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项是（）A.第3项B. 第4项C.第5项D.第6项 8. 在平面直角坐标系xoy 中不等式组2525x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩确定的平面区域为D ，在区域D 中任取一点(,)P a b ，则P 满足210a b +>的概率为（）A.23 B.712 C.12 D.5129. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列命题正确的是（）A . 若数列{}n a 是等比数列，则数列n S ，2n n S S -，32n n S S -是等比数列B . 若数列{}n a 是等差数列，当n S m =，m S n =时，m n S m n +=+；C . 若1，a ，b ，c ，9成等比数列，则3b =±D . 若数列{}n a 满足11n n n n a a a a ++⋅=+，则数列2{}n n a a +-是等差数列 10. 对于实数x ，定义[]x 表示不超过x 的最大整数，执行如右图的程序框图，如果输入的N=2014，则输出的[]S 是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3二、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上。

XX一中2014年期末考试高三数学

18、（本小题满分 12 分）已知单调递增的等比数列 an 满足： a2 a3 a4 28 , 且 a3 2 是 a2 , a4 的等差中项。
（ 1）求数列 an 的通项公式 ; （ 2）若 bn a n log 1 an , Sn b1 b2 ......bn ，求 Sn n 2 n 1 50 成立的正整数BC ；
(2) 设 CE CC1(0
试求的值 .
1) ，且平面 AB1E 与 BB1E 所成的锐二面角的大小
为 30°，
21、（本小题满分 12 分）过抛物线 C : y2 2 px 上的点 M (4, 4) 作倾斜角互补的两条直线 MA、MB ，分别交抛物线于 A、 B 两点． (1)若 AB 4 10 ，求直线 AB 的方程；
7”，则 P( B | A) 的
值等于（
）
A． 1 3
B． 1 18
C． 1 6
D． 1 9
x y 4, 7、设不等式组 y x 0 表示的平面区域为 D．若圆 C： ( x 1)2 ( y 1)2 r 2 (r 0) 不经过区域 D 上的点，则 r
x1 0
的取值范围是 ( )
A ． [2 2, 2 5]
图形 ,若这个平面图形外接圆的半径为 2 6 ,现三棱锥 P ABC 内切球的体积为 ______
x2 16、椭圆 a 2
y2 b2
1 (a
b
0) 的一个焦点为 F1，若椭圆上存在一个点
P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段
切于该线段的中点，则椭圆的离心率为 ______
PF1 相
2
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答过程书写答题卡的对应位
x4 项的系数为 (

高三(上)理科数学第一次阶段考试卷 2014.7.30.docx

高三（上）理科数学第一次阶段考试卷 2014.7.30（时间：120分钟满分：150分）一、选择题（50分）1、设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x <0}，B ＝{y |y ＝e x ＋1}，则A ∩B ＝( )A ．{x |1≤x <2}B ．{x |x >2}C ．{x |x >1}D ．{x |1<x <2}2、设集合U ＝{0，1，2，3，4，5}，A ＝{1，2}，B ＝{x ∈Z |x 2－5x ＋4＜0}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{0，1，2，3}B ．{5}C ．{1，2，4}D ．{0，4，5}3、已知向量a (1,m),b (m,2)==r r , 若b a //, 则实数m 等于 ( )A ． 2- B. 2 C. 2-或2 D. 0 4、已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1，0，1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}的关系的V enn 图是( )图K1-15、设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( ) A ．－7B ．－6C ．－5D ．－3 6、已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是( )A 、c a ＜b aB 、b －a c ＞0C 、b 2c ＜a 2cD 、a －c ac ＜07、“a ＝2”是“直线y ＝－ax ＋2与y ＝a 4x －1垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8、如图K1-2所示的韦恩图中，A ，B 是非空集合，定义A *B 表示阴影部分的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A *B ＝( )A ．(2，＋∞)B ．[0，1)∪(2，＋∞)C ．[0，1]∪(2，＋∞)D ．[0，1]∪[2，＋∞)9、已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( )A ．8B ．4C ．2D ．010、已知,r r a b 是单位向量，b a r r •=0.若向量r c 满足1,--=r r r r c a b c 则的取值范围是（）A ．2-1,2+1⎡⎤⎣⎦，B ．2-1,2+2⎡⎤⎣⎦，C ．1,2+1⎡⎤⎣⎦，D ．1,2+2⎡⎤⎣⎦，二、填空题（20分）11、已知命题p ：若x >0，y >0，则xy >0，则p 的否命题是________________________．12、已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，B ≠∅，且B ⊆A ，则m 的取值范围是________．13、不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为—_____________14、若“|x －2|＋|x －4|>m 恒成立”是假命题，则实数m 的取值范围是________．15、已知点A （1，-1），B （3，0），C （2，1）.若平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r （1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P 组成，则D 的面积为__________.三、解答题（第16-19每小题13分，20、21各14分）16、已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．17、)已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x为减函数．命题q ：∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，x ＋1x ＞c .如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数c 的取值范围．18、解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＜0 (a ∈R)．19、已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.20、如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体的沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)．21、已知点A (1,0)，B (0,1)，C (2sin θ，cos θ)．(1)若|AC →|＝|BC →|，求sin θ＋2cos θsin θ－cos θ的值； (2)若(OA →＋2OB →)·OC →＝1，其中O 为坐标原点，求sin θ·cos θ的值．。

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湖口一中2014届高三年级第一次模拟考试（数学理科）含答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．设U=R,P={x|x﹥1},Q={x|x(x-2)＜0}，则C U(P∪Q)=
A．{x|x≤1或x≥2} B．{x|x≤1} C．{x| x≥2} D．{x| x≤0}
2．函数f(x)=sin x sin(x+π/2)的最小正周期为
A．4πB．2πC．πD．π/2的
3．函数y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f’(x)的图象的大致形状是
4.已知复数z=(1+2i)/(3-i), i是虚数单位，则复数Z的虚部是
A．i/10 B．1/10C．7/10 D．7i/10
5.下列大小关系正确的是
A. 0.43<30.4<log43
B. log43<0.43<30.4
C. 0.43< log43<30.4
D. log43<0.43<30.4
6.下列说法正确的是
A.“a>1”是“f(x)=log a x(a>0,a≠1)在(0,+∞)上为增函数”的充要条件
B.命题“使得x2+2x+3<0”的否定是：“”
C.“x=-1”是“x2+2x+3=0”的必要不充分条件
D.命题p：“”，则￢p是真命题
7.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的部分图像如图所示，如果x1,x2∈(-π/6, π
/3)，且f(x1)= f(x2)，
则f(x1+ x2)=
A．1/2 B．C．D．1
8.已知，且sin α+cos α=1/2则cos 2α的值为
A．B．C．D．-3/4
9.函数f(x)=ln x+ax存在与直线2x-y=0平行的切线，则实数a的取值范围是
A. (-∞,2]
B. (-∞,2)
C. (2,+∞)
D. (0,+∞)
10.已知函数f(x)+cos(2x+φ)满足f(x)≤f(1)对x∈R恒成立，则
A.函数f(x+1)一定是偶函数
B.函数f(x-1)一定是偶函数
C.函数f(x+1)一定是奇函数
D.函数f(x-1)一定是奇函数
11.已知函数f(x)=lnx,x1,x2∈(0,1/e),且x1＜x2则下列结论正确的是
A．B．
C．D．
12.已知函数f(x)满足，且f(x)是偶函数，当时，
f(x)=x2，若在区间[-1,3]内，函数有4个零点，则实数k的取值范围是
A．B．C．D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.已知函数f(x)=a-log2x的图象经过点A(1,1)，则不等式f(x)＞1的解集为______.
14.已知α为钝角，且cos(π/2+α)=-3/5，则sin2α=。

15.设a＞1，则当y=a x与y=log a x两个函数图象有且只有一个公共点时，ln ln a =
__________.
16.函数的图象与函数g(x)=ln(x-1)的图象的公共点个数
是个。

三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17.（本题满分12分）
已知函数。

（Ⅰ）若f(x)在(-∞，+∞)是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）若f(x)在x=1时取得极值，且x∈[-1,2]时，f(x)＜c2恒成立，求c的取值范围。

18.（本题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）若x∈[0,π],求f(x)的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f(x)=0,求的值。

19．（本小题满分12分）
有两个投资项目A、B，根据市场调查与预测，A项目的利润与投资成正比，其关系如图甲，B项目的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙.（注：利润与投资单位：万元）
（1）分别将A、B两个投资项目的利润表示为投资x（万元）的函数关系式；
（2）现将x(0≤x≤10)万元投资A项目, 10-x万元投资B项目.h(x)表示投资A项目所得利润与投资B项目所得利润之和.求h(x)的最大值,并指出x为何值时,h(x)取得最大值.
20.（本题满分12分）
若函数的图象与直线y=m(m为常数)相切，并且切点的横坐标依次成等差数列，且公差为π/2
（I）求m的值；
（Ⅱ）若点是图象的对称中心，且，求点A的坐标. 21.（本题满分12分）
已知函数f(x)=x(a+lnx)有极小值-e-2．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若k∈Z，且对任意x＞1恒成立，求k的最大值；
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲．
如图,已知PE切⊙O于点E,割线PBA交⊙O于A、B两点,∠APE的平分线和AE、BE分别交于点C、D.求证:
(Ⅰ)CE=DE;
(Ⅱ)CA/CE=PE/PB.
23.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程．
在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
过点P(-2,-4)的直线为参数)与曲线C相交于点M,N两点.
(Ⅰ)求曲线C和直线L的普通方程;
(Ⅱ)若|PM|,|MN|,|PN |成等比数列,求实数a的值
24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．
已知函数f(x)=|2x-a|+|x-1|.
(Ⅰ)当a= 3时,求不等式f(x)≥2的解集;
(Ⅱ)若f(x)≥5-x对恒成立,求实数a的取值范围.
湖口一中2014届高三第一次模拟考试数学(理科)试卷参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
题
123456789101112号
答
D C D C C A C C B A C C 案
13.（0，1）14.-24/2515.-116.2
三、解答题：
17．解；（1）f’(x)=3x2-x+b，∵f(x)在(-∞,+∞)是增函数，
∴f’(x)≥0恒成立，∴Δ=1-12b≤0，解得b≥1/12．
∵x∈(-∞,+∞)时，只有b=1/12时，f’（1/6）=0，∴b的取值范围为[1/12,+∞]．……3分（2）由题意，x=1是方程的一个根，设另一根为x0，
则∴∴，…………………………………5分
18．解：（I）
………………3分
又
，
……………………6分
（II）由于
解得………………8分
………………12分
19．解：（1）投资为x万元，A项目的利润为万元，B项目的利润为万元。

由题设
由图知……………………2分
又…………………………4分
从而………………6分
（2）
令
……………………10分
当……………………11分
答：当A项目投入3.75万元，B项目投入6.25万元时，最大利润为65/16
万元.
………………12分
20．（I）
……………………………………………………（4分）
的图象与y=m相切.
的最大值或最小值.即………………（6分）（II）又因为切点的横坐标依次成公差为π/2的等差数列.所以f(x)最小正周期为π/2
又………………………………………（8分）
即………………………………………………（9分）
令
则……………………（10分）
由得k=1,2，
因此对称中心为、…………………………………………（12分）
21．（Ⅰ），
令，令
故 f(x)的极小值为，得 a=1． 6分
（Ⅱ）当时，令，
令，所以，故在上是增函数
由于，存在，使得．
则，知为减函数；，知为增函数．
又，，所以=3．12分
22.(Ⅰ)证明:切⊙切⊙O于点E
平分
,
(Ⅱ)证明:
∽,
同理∽,
23.
24．解:(Ⅰ)时,即求解
①当x≥3/2时,
②当1＜x＜3/2时,3-2x+x-1≥2所以2-x≥2所以x＜0
③当x≤1时,3-2x+1-x≥2所以x小于等于2、3
综上,解集为
(Ⅱ)即恒成立
令则函数图象为
,
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