流体力学6

2
T
故波速
波长
c
Tg 3 9.807 4.68 m s 2 π 2 3.14
cT 4.68 3 14.04m
6.3.2
驻波
驻波就是两个进行波叠加而成的，一个是右行波， 另一个是左行波，它们的振幅、波长和频率都是相同的。 下面来对此驻波进行详细分析。
gA0 kz = e sin kx sin ωt ω
在重力场中处于平衡流体的自由面，在外界的 扰动下(太阳和月亮的引力、风力、船舶的航行、 地震波、其他海洋工程物的运动)，流体自由表面 的各个水质点将离开其平衡位置，而各个水质点在 重力和惯性力的作用下，有恢复到初始平衡位置的 趋势，便形成了流体质点的振荡运动，并以波的形 式沿整个表面传播，从而在流体的表面出现了波浪 运动。 重力：使凸起的液面回到原来的平衡位置。 惯性力：惯性的作用驱动液面再次离开平衡位 置。
6.1.2z 波浪要素
波速 c 波 长λ 波 顶(波 峰) 波 幅 A0 O d A0 波 底(波 谷) 底, z=-d ζ 波 高H 静水位 x
图6 .1 简 谐 前 进 波
(1)波高 H：波顶（波峰）与波底（波谷）垂直距离， H 2 A0 ； 它是振幅 A （波幅）的两倍，即 0
(2)波长 ：在波前进的方向上两个相邻的波顶或波 底之间的水平距离；
H (3)波陡：波高与波长之比，即 ；
(4)超高 0 ：在波高的一半处，作一水平线称为波浪中 线，它超出静水面的高度称为超高；对于谐波，一般超 高为零。 (5)周期 T：波形传播一个波长 所需要的时间； (6)频率：周期的倒数，f 次数；
1 T
，即单位时间内出现波的
(7)波数 k：2 π 长度内所包含波的个数，显然
2 流体是无旋的，存在着速度势 x, y, z, t 0
且 或
u ,v ,w x y z
v
v 2 gz 0 2 t p
拉格朗日积分式为
6.2.2
边界条件
vn n 0
z d
(1) 设水域底部的深度为d，则水域底部边界条件 ：
【解】 该微幅波振幅 波数为 波速为
H A0 0.5m 2 2π 2π k 0.785m 1 8 g 9.807 c 3.53 m s k 0.785
（1）波面方程为 A0 cos k ( x ct )
0.5 cos0.785x 2.77t （2）波面倾角为 tan 0.5 0.785sin(0.785 x 2.77t )
6.1
6.1.1
二维波动的数学表达
波动方程
将坐标原点取于静止水面上，沿波传播方向水平轴 z 轴为铅垂向上，静水表面 z 0 ，在数学中， 为 x 轴， 二维的波动方程一般形式是 z f ( x ct)
若 z f ( x) 是一 正弦曲线（或者余 弦曲线），则称之 为简谐前进波（简 称谐波）
（2）周期ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（3）圆频率 （4）波速c
c
2π kc T dx c dt
g g λ c 深水波 c = 2 2π

2π T t1 t2 kc
波速与波长的关系如图6.3所示。
浅水波 c = gd
gd gd
11 gd 22
0
2d
4d
6d
8d
10d
12d
物面条件
Un n
（在物面上）
2 g 0 ( z 0) 2 z t
自由表面条件
初始条件： 自由表面条件 F x, y
f x, y t 当求得波动的速度势 后，自由表面形状为 1 z g t 压强分布根据线性化后的拉格朗日积分式 p gz 0 （p为相对压强） t
教训：海啸为人类的判断提供了一个有力的 事实。它让人们以异常复杂的感情重新审视自然 和世界，也让人们痛定思痛扪心自问：自然灾难 的危机会如何猝不及防地逼近我们？科学家的描 述让我们知道，排山倒海的海啸登陆本应遭遇三 道自然屏障：珊瑚礁、红树林、海滩沙丘或礁石。 这些沉默的海岸卫士能消耗掉一些海啸巨浪的能 量，使海啸在登陆后破坏力大幅降低。但汹涌的 海啸并没有遇到有效的抵抗。 研究方法：理论分析、现场观察、实验。 理论方法：决定波浪各要素间数学关系，并 在物理学和力学的一般定律的基础上决定各质点 运动规律的数学关系。
(2) 物面条件（如船体、水上建筑物等):
vn Un n
式中U n为物体运动速度在物面外法线方向的投影。
(3) 在自由表面上，水波的高度（离静止水面） ) 为 ( x, y, t ) ，则自由表面的方程为 z ( x, y, t （波面方程， 或自由液面方程) 。
边界面方程为
6.2.4
初始条件
波浪运动的速度势 ，还必须满足运动的初始条件， 归结为以下三种情况： (1)已知初始时刻自由液面的扰动为
t g x, y, 0 f x, y t z
z x, y, t
(2)波浪运动完全是由于原来处于静止的自由液面受 到已知的压力冲量 I 所引起的，那么 I x, y, 0, 0 f x, y
1.自由面形状
1 g t A0 sin kx sin t
z 0
表明：
（1）在某一固定时刻，自由面为一正弦曲线。 的位置不随时间变化，这些点称为节点。 （3）相邻两节点之间离平衡位置 z 0 最远的点为波峰 z 0 和波谷 z 0 统称为波腹。
nπ （2）波面与x轴交点为 x k (n 0, 1, 2,) ，交点

当 t 0, z 0 时 F x, y g 0 t (3)当上述两种初始扰动都存在时，初始条件如下：
当 t 0, z 0 时 F x, y
f x, y t 在水波理论利用了微幅波理论假定后，它还要寻求 满足下列方程和边界、初始条件的速度势 ( x, y, z, t )。 2＝0 基本方程 d z 0 0 ( z d ) 边界条件：水底条件 z
6.2.3
微幅进行波的基本方程和边界条件
A0 引进微幅波假定。所谓微幅波，是指波动的振幅 A0 相对于波长 为小量，或 1 ，它使得自由表面上边 界条件线性化，从而在求解上较为简单。
对于微幅波可作如下三个假设：
1 2 (1)质点运动速度很小，2
项可以略去；
(2)自由表面对水平面z 0的偏离很小，可用水平面 z 0的物理量来代替自由面 z ( x, y, t ) 上的物理量；
(3)自由面上的切平面和水平面相差无几，相当于假 设 , 也是小量。
x y
对于微幅波，在自由表面上边界条件可简化如下： 运动学条件 z z 0 t 动力学条件
g t 0
z 0
用速度势 表示的自由表面上边界条件，即 2 g 2 0 z 0 z t 求解压强场的拉格朗日积分式 p gz 0 t
6.3
6.3.1
速度势的形式：
深水微幅简谐波
深水微幅进行波
Aekz sin k x ct
g c k
2
1.自由面形状
1 － g t
z 0
kc A cosk ( x ct) A0 cosk ( x ct) g
2.主要参数之间的关系
（1）波长
2π x2 x1 k
z c

z f x ct
O
H
ct
x
d'
z A0 sin(kx t )
或
z A0 sin k ( x

k

k
t
k

k
)
A0称为波幅， c 式中，
称为波速， 称为初始相位。
波浪运动的特征是： (1)水波的自由表面呈周期性的起伏，它在自由表 面处展开，再从表面传入流体内部。 (2)水质点作有规律的振荡运动 。 (3)波形以一定的速度向前传播。 (4)波浪运动是非恒定运动。
第6章 水波理论
要点：波浪概念、要素，波浪迭加、波浪的能 量和阻力 。
难点：波浪边界条件，不同水深的波浪方程和 性质，波浪势函数的计算。
波浪运动是自然界中最常见的现象之一 。 一般波浪的产生需要以下两个条件：对于处 于平衡状态的水需要有破坏其平衡的扰动力以及 使其恢复平衡的回复力。 在回复力中最重要的是重力，特别是水自 由表面的波浪，当水表面受到扰动力液面离开 水平位置（即平衡位置），重力就会使此面恢 复到原来的位置；因此这种波浪往往称为表面 重力波，简称表面波，重力波或水波。
x
0.393sin(0.785x 2.77t )
0.5 cos0.785( x 3.53t )
【例6.2】在某深海海面上观察到浮标在1分钟内升降20 次，试求海浪的波动周期，波长及传播速度。 60 T 3s 【解】 波动周期 2 π 20 kc 由 及
g c k
F x, y, z, t z x, y, t 0
则利用水中运动物体表面不可穿透条件为 dF d (z ) 0 d t dt 运动学条件为(利用水中运动物体表面不可穿透条件) ： 当 z x, y, t 时， z t x x y y 自由表面动力学条件（设自由表面上的压强为 p a ， 相对压强 p 0 。 当 z x, y, t 时， 1 2 g 0 t 2
k
2π

(8)波速（相位速度)c：波面向右（或向左）推进的速度
c T k
z x