高考复习数学(浙江)第3章 第3节 课时分层训练17
高考复习数学(浙江)第3章 第4节 课时分层训练18
课时分层训练(十八) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A ．向右平移π12个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位A [由于y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，y ＝2cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π2，因此只需将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位，即可得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x －π12＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象．] 2．(2017·浙江测试卷)为得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，只需将函数y ＝2cos 2x 的图象( ) 【导学号：51062111】A ．向左平移π4个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π8个单位 D ．向右平移π8个单位D [将函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π8个单位，可得函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象．]3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图3-4-5所示，则ω，φ的值分别是( )图3-4-5A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π6 D ．4，π3A [∵T 2＝1112π－512π，∴T ＝π.由T ＝2πω＝π，得ω＝2.∵5π12×2＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝－π3＋2k π.又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3.]4．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z C [由题设知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，f (x )的周期为T ＝π，所以ω＝2，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 得，k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .]5．若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )B [将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．]二、填空题6．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________.0 [由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，得ω＝4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π3－π3＝0.] 7．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．π6 [由题意cos π3＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝12，2π3＋φ＝k π＋(－1)k ·π6(k ∈Z )．因为0≤φ＜π，所以φ＝π6.] 8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________ ℃.【导学号：51062112】20．5 [依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＝20.5.]三、解答题9．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象．[解] (1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4.6分 (2)图象如图所示．15分10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5.(1)求函数的解析式；(2)求函数f (x )的递增区间. 【导学号：51062113】 [解] (1)依题意得A ＝5，周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，2分∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，4分∴5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6，∴y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.7分 (2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，10分故函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).15分 B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6 B ．t ＝32，s 的最小值为π6C ．t ＝12，s 的最小值为π3 D ．t ＝32，s 的最小值为π3A [因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，12.将点P 向左平移s (s >0)个单位长度得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12.因为P ′在函数y ＝sin 2x 的图象上，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝12，即cos 2s ＝12，所以2s ＝2k π＋π3或2s ＝2k π＋53π，即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π6(k ∈Z )，所以s 的最小值为π6.]2．若函数y ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________．(－2，－1] [由题意可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ，该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，即y ＝－a ，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的交点．结合函数的图象可知1≤－a ＜2，所以－2＜a ≤－1.]3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图3-4-6所示．图3-4-6(1)求f (x )的解析式； (2)设g (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π122， 求函数g (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的最大值，并确定此时x 的值．[解] (1)由题图知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3，2分 ∴ω＝32.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4＝0.4分∵0＜φ＜π2， ∴－π4＜φ－π4＜π4， ∴φ－π4＝0，即φ＝π4，∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4.7分(2)由(1)可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝⎛⎭⎪⎫x －π12＋π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π8，10分∴g (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π122＝4×1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π42＝2－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.12分∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，∴－π4≤3x ＋π4≤5π4，∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π4时，g (x )max ＝4.15分。
(浙江专版)高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式教
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos _αsin_β； (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．有关公式的变形和逆用 (1)公式T (α±β)的变形：①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)． (2)公式C 2α的变形： ①sin 2α＝12(1－cos 2α)；②cos 2α＝12(1＋cos 2α)．(3)公式的逆用：①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2； ②sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a .1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32B.32C ．－12D.12D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.]3．若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－15C.15D.45D [∵cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ. 又∵tan θ＝－13，∴cos 2θ＝1－191＋19＝45.]4．(2017·某某二次统一检测)函数 f (x )＝3sin x ＋cos x 的最小值为________．－2 [函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的最小值是－2.]5．若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. π3[由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.]三角函数式的化简(1)化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 【导学号：51062114】(2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .(1)22cos α [原式＝2sin αcos α－2cos 2α22sin α－cos α＝22cos α.](2)原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝121－sin 22x2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝12cos 2x .[规律方法] 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．[变式训练1] (2017·某某镇海中学测试卷一)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )A ．－255B ．－3510C ．－31010D.255A [2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αsin α＋cos α22sin α＋cos α＝22sin α，由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，得tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－tanπ41＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4tanπ4＝－13，即3sin α＝－cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝±1010， 而－π2<α<0，所以sin α＝－1010，故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－255.]三角函数式的求值☞角度1 给角求值(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°＝( )A.12B.32C. 3D. 2(2)sin 50°(1＋3tan 10°)＝________. (1)C (2)1[(1)原式＝2cos 30°－20°－sin 20°sin 70°＝2cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°c os 20°＝ 3.(2)sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10°＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.]☞角度2 给值求值(1)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15 C ．－15D ．－725(2)(2017·某某某某十校联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝( )A.1＋358 B.1＋538 C.1－358D.1－538(1)D (2)A [(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725. (2)由7sin α＝2cos 2α得7sin α＝2(1－2sin 2α)，即4sin 2α＋7sin α－2＝0，∴sin α＝－2(舍去)或sin α＝14.∵α为锐角，∴cos α＝154，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14×12＋154×32＝1＋358，故选A.] ☞角度3 给值求角已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12 B.π3 C.π4D.π6C [∵α，β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. ∴β＝π4.][规律方法] 1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解．2．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．3．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的X 围，最后确定角.三角变换的简单应用已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．[解] (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.6分 (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.14分[规律方法] 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．2．把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．[变式训练2] (1)(2016·某某高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π(2)(2014·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________.【导学号：51062115】(1)B (2)1 [(1)法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.故选B.(2)f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)． ∴f (x )max ＝1.][思想与方法]三角恒等变换的三种变换角度(1)变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系．常用的拆角、拼角方法是：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β.(2)变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”，“升幂与降幂”“1”的代换等．(3)变式：对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等． [易错与防X]1．三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的X 围是防止增解的有效措施．求角的某一三角函数值时，应选择在该X 围内是单调函数，若已知正切函数值，则选正切函数；否则，若角的X 围是(0，π)，选余弦较好；若角的X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．2．计算形如y ＝sin(ωx ＋φ)，x ∈[a ，b ]形式的函数最值时，不要将ωx ＋φ的X 围和x 的X 围混淆．课时分层训练(十九)两角和与差的正弦、余弦和正切公式A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.16B.13 C.12D.23A [因为cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16，故选A.]2.cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°等于( )A ．－32B.22C.12D ．1C [原式＝sin 5°＋32sin 25°cos 25°＝sin 30°－25°＋32sin 25°cos 25°＝12cos 25°cos 25°＝12.]3．(2017·某某二次质检)函数f (x )＝3sin x 2cos x2＋4cos 2x2(x ∈R )的最大值等于( )A ．5 B.92 C.52D ．2B [由题意知f (x )＝32sin x ＋4×1＋cos x 2＝32sin x ＋2cos x ＋2≤94＋4＋2＝92，故选B.]4．(2017·某某模拟训练卷(三))若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) 【导学号：51062116】A.35B.45C.74D.34D [由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得sin θ≥cos θ>0，则sin θ＋cos θ＝1＋sin 2θ＝9＋67＋716＝3＋74，sin θ－cos θ＝1－sin 2θ＝9－67＋716＝3－74，两式相加得sin θ＝34.]5．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β等于( )A.π12 B.π6 C.π4D.π3D [依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2，故cos(α－β)＝1－sin2α－β＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32.故β＝π3.] 二、填空题6.sin 250°1＋sin 10°________. 12 [sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°21＋sin 10° ＝1－cos 90°＋10°21＋sin 10°＝1＋sin 10°21＋sin 10°＝12.]7．(2017·某某模拟训练卷(四))已知函数f (x )＝4cos 2x ＋(sin x ＋3cos x )2，则函数f (x )的最小正周期为________，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，函数f (x )的值域为________. 【导学号：51062117】π [4＋3，4＋23] [f (x )＝7cos 2x ＋sin 2x ＋23sin x cos x ＝1＋3(1＋cos 2x )＋3sin 2x ＝4＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故函数f (x )的最小正周期为π. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6， ∴12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴4＋3≤f (x )≤4＋23，故函数f (x )的值域为[4＋3，4＋23]．] 8．化简2＋2cos 8＋21－sin 8＝________.－2sin 4 [2＋2cos 8＋21－sin 8＝21＋cos 8＋21－2sin 4cos 4 ＝2×2cos 24＋2sin 4－cos 42＝－2cos 4＋2(cos 4－sin 4)＝－2sin 4.]三、解答题9．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值． [解] (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－32.6分 (2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π， 所以－π＜－β＜－π2，故－π2＜α－β＜π2.10分 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310.14分10．已知函数f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4cos x. (1)求函数f (x )的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－43，求f (α)的值. 【导学号：51062118】 [解] (1)要使f (x )有意义，则需cos x ≠0，∴f (x )的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π2，k ∈Z .6分 (2)f (x )＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x －22cos 2x cos x＝1＋cos 2x －sin 2x cos x ＝2cos 2x －2sin x cos x cos x＝2(cos x －sin x ).10分由tan α＝－43，得sin α＝－43cos α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，且α是第四象限角，∴cos 2α＝925，则cos α＝35，sin α＝－45. 故f (α)＝2(cos α－sin α)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋45＝145.14分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( ) A ．－72 B ．－12 C.12D.72 C [∵cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22sin α－cos α ＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴sin α＋cos α＝12.]2．(2017·某某名校(柯桥中学)交流卷三)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值是________；cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值是________． 1379 [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13； cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－2π3＝1－2· cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝79.] 3．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域. 【导学号：51062119】 [解] (1)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32. 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π.3分由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .8分 (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，12分 f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32. 故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32.15分。
高考数学课时分层练17
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作课时分层练(十七) 统计、统计案例(建议用时：45分钟) 【A 组 强化练·保一本】一、选择题1．通过随机询问110名性别不同的人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如下的列联表：男 女 总计 走天桥 40 20 60 走斑马线 20 30 50 总计6050110由K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ） ，算得K 2＝110×（40×30－20×20）260×50×60×50≈ 7.8.附表：P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是( )A ．有99%以上的把握认为“ 选择过马路的方式与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“ 选择过马路的方式与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“ 选择过马路的方式与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别无关”2．(2015·湖南高考)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图6-3-6所示.131415010011 312 422 523 623 63383848495556678图6-3-6若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是()A．3 B．4 C．5 D．63．某产品在某零售摊位上的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)的统计资料如下表所示：x 16171819y 50344131^＝b^x＋a^中的b^＝－4，据此模型预计零售价定为由上表可得线性回归方程y15元时，每天的销售量为()A．48个B．49个C．50个D．51个4．(2015·菏泽模拟)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(10分制)的频率分布直方图如图6-2-5所示，假设得分值的中位数为m e，众数m0，平均数为x，则()图6-2-5A．m e＝m0＝x B．m e＝m0<xC．m e<m0<x D．m0<m e<x5．(2015·信阳模拟)在“信阳市中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图6-2-6，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为()图6-2-6A．5和1.6 B．85和1.6C．85和0.4 D．5和0.46．为了了解某城市今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图6-2-7)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶ 2∶ 3，第2小组的频数为120，则抽取的学生人数是()图6-2-7A．240 B．280 C．320 D．480二、填空题7．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人).篮球组书画组乐器组高一4530a高二151020学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽取12人，则a的值为________．8．(2015·丰台模拟)某中学共有女生2 000人，为了了解学生体质健康状况，随机抽取100名女生进行体质监测，将她们的体重(单位：kg)数据加以统计，得到如图6-2-8所示的频率分布直方图，则直方图中x的值为________；试估计该校体重在[55，70)的女生有________人．图6-2-8图6-2-99．某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图6-2-9所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是________．三、解答题10．(2015·江淮十校联考)某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x(℃)与该奶茶店的这种饮料销量y(杯)，得到如下数据：日期1月11日1月12日1月13日1月14日1月15日平均气温x(℃)91012118销量y(杯)2325302621(1)若从这五组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；(2)请根据所给五组数据，求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^.(参考公式：，)11．(2015·广东高考)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图6-2-10.图6-2-10(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？【B组押题练·冲名校】1．将参加夏令营的100名学生编号为001，002，…，100.现采用系统抽样方法抽取一个容量为20的样本，若随机抽得的号码为003，那么从048号到081号被抽中________人．2．4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”．图6-2-11(1)求x的值并估计全校3000名学生中读书谜大概有多少？(将频率视为概率)(2)根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？非读书迷读书迷合计男15女45合计附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），n＝a＋b＋c＋dP(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001 kΩ 2.706 3.841 5.024 6.63510.828【详解答案】【A组强化练·保一本】1．A 2.B 3.B 4.D 5.B 6.D7．308.0.024 1 0009.110．解：(1)设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A所有基本事件(m，n)(其中m，n为1月份的日期数)有：(11，12)，(11，13)，(11，14)，(11，15)，(12，13)，(12，14)，(12，15)，(13，14)，(13，15)，(14，15)共10种．事件A包括的基本事件有(11，12)，(12，13)，(13，14)，(14，15)共4种．∴P(A)＝410＝25.(2)由数据，求得x－＝9＋10＋12＋11＋85＝10，y－＝23＋25＋30＋26＋215＝25.b^＝（9－10）（23－25）＋（10－10）（25－25）＋（12－10）（30－25）＋（11－10）（26－25）＋（8－10）（21－25）（9－10）2＋（10－10）2＋（12－10）2＋（11－10）2＋（8－10）2＝2.1a^＝y－－b^x－＝4，∴y关于x的线性回归方程为y^＝2.1x＋4.11．解：(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1得x＝0.007 5，∴直方图中x的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240)内，设中位数为a，则(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5，解得a＝224，即中位数为224.(3)月平均用电量在[220，240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，同理可求月平均用电量为[240，260)，[260，280)，[280，300)的用户分别有15户、10户、5户，故抽取比例为1125＋15＋10＋5＝15，∴从月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取25×15＝5(户)．【B 组 押题练·冲名校】1．72．解：(1)由已知可得：(0.01＋0.02＋0.03＋x ＋0.015)×10＝1, 可得x ＝0.025. 因为(0.025＋0.015)×10＝0.4，将频率视为概率，由此可以估算出全校3 000名学生中读书迷大概有1 200人．(2)完成下面的2×2列联表如下：非读书迷 读书迷 合计 男 40 15 55 女 20 25 45 合计6040100所以K 2＝100（40×25－15×20）260×40×55×45≈8.249.因为8.249>6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关．。
浙江专版2018高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第3节三角函数的图象与性质课时分层训练
课时分层训练(十七) 三角函数的图象与性质A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题 1．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．RC [由cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .] 2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝( )A ．1 B.12 C ．－1D ．－12A [由题设知2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1.]3．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos xB [A 项，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意；B 项，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意；C 项，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意；D 项，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意．]4．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( ) 【导学号：51062105】A ．1B ．2C ．4D ．8B [由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2，故选B.]5．(2017·台州二次适应性测试)若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－cos ωx (ω＞0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，则f (x )的一个单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6 C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，2π3D.⎝⎛⎭⎪⎫π3，5π6A [依题意得f (x )＝32sin ωx －12cos ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，于是有T ＝2πω＝2×π2＝π，ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.当2k π－π2≤2x－π6≤2k π＋π2，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6单调递增．因此结合各选项知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的一个单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，故选A.]二、填空题6．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) [由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x,2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )．] 7．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________. 【导学号：51062106】2或－2 [∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ， ∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.] 8．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z [由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得，x ＝k π2－π8(k ∈Z )，∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z .]三、解答题9．已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间. 【导学号：51062107】 [解] (1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.4分 依题意，得πω＝π，解得ω＝1.7分(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ).10分由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z ).14分10．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．[解] (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x ·cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，3分所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.7分(2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.10分 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；12分当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·台州二次质量预测)将函数f (x )＝－cos 2x 的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，为奇函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0对称B [由题意得函数g (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2×π4＝－sin 2x ，易知其为奇函数，由－π2＋2k π＜2x ＜π2＋2k π，k ∈Z 得－π4＋k π＜x ＜π4＋k π，k ∈Z ，所以函数g (x )＝－sin 2x的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π，π4＋k π，k ∈Z ，所以函数g (x )＝－sin 2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，故选B.]2．设f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ，若对任意实数x 都有|f (x )|≤a ，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：51062108】[2，＋∞) [∵f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6∈[－2,2]．又∵|f (x )|≤a恒成立，∴a ≥|f (x )|max ，∴a ≥2.]3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．[解] ∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ).2分(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )， ∴sin(－2x ＋φ)＝sin(2x ＋φ)， 将上式展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立，∴cos φ＝0.∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π2.7分(2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32.10分又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π3＋φ＜π，∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.13分令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .15分。
浙江专版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第3节三角函数的图象与性质课时分层训练
——教学资料参考参考范本——浙江专版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第3节三角函数的图象与性质课时分层训练______年______月______日____________________部门A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．函数y ＝的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.(k∈Z) C.(k∈Z) D ．RC [由cos x －≥0，得cos x≥，∴2k π－≤x≤2k π＋，k∈Z.] 2．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则f ＝( ) A ．1 B. C ．－1D ．－12A [由题设知＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin ，所以f ＝sin ＝sin ＝1.]3．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x＋π2B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos xB [A 项，y ＝sin ＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意；B 项，y ＝cos ＝－sin 2x ，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意；C 项，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝sin ，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意；D 项，y ＝sin x ＋cos x ＝sin ，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意．]4．若函数y ＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为( ) 【导学号：51062105】A ．1B ．2C ．4D ．8B [由题意知＋＝k π＋(k∈Z)⇒ω＝6k ＋2(k∈Z)，又ω∈N*，∴ωmin ＝2，故选B.]5．(20xx·台州二次适应性测试)若函数f(x)＝sin －cos ωx(ω＞0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为，则f(x)的一个单调递增区间为( )A. B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6 A [依题意得f(x)＝sin ωx －cos ωx ＝sin 的图象相邻两个对称中心之间的距离为，于是有T ＝＝2×＝π，ω＝2，f(x)＝sin.当2k π－≤2x－≤2k π＋，即k π－≤x≤k π＋，k∈Z 时，f(x)＝sin单调递增．因此结合各选项知f(x)＝sin 的一个单调递增区间为，故选A.]二、填空题6．函数f(x)＝sin(－2x)的单调增区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k∈Z) [由f(x)＝sin(－2x)＝－sin 2x,2k π＋≤2x≤2k π＋得k π＋≤x≤k π＋(k∈Z)．]7．已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ＝f ，则f 的值为________. 【导学号：51062106】2或－2 [∵f＝f ，∴x ＝是函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴， ∴f ＝±2.]8．函数y ＝tan 的图象与x 轴交点的坐标是________．⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k∈Z [由2x ＋＝k π(k∈Z)得，x ＝－(k∈Z)， ∴函数y ＝tan 的图象与x 轴交点的坐标是，k ∈Z.] 三、解答题9．已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx ＋cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f(x)的单调递增区间. 【导学号：51062107】 [解] (1)因为f(x)＝2sin ωxcos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝sin ， 所以f(x)的最小正周期T ＝＝.4分 依题意，得＝π，解得ω＝1.7分(2)由(1)知f(x)＝sin.函数y＝sin x的单调递增区间为(k∈Z).10分由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).14分10．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．[解] (1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sin x·cos x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝sin＋1，3分所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.7分(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝sin＋1.10分当x∈时，2x＋∈，由正弦函数y＝sin x在上的图象知，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值＋1；12分当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.15分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(20xx·台州二次质量预测)将函数f(x)＝－cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)，则g(x)具有性质( )A．最大值为1，图象关于直线x＝对称B．在上单调递减，为奇函数C．在上单调递增，为偶函数D．周期为π，图象关于点对称B [由题意得函数g(x)＝－cos＝－sin 2x，易知其为奇函数，由－＋2kπ＜2x＜＋2kπ，k∈Z得－＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z，所以函数g(x)＝－sin 2x的单调递减区间为，k∈Z，所以函数g(x)＝－sin 2x在上单调递减，故选B.]2．设f(x)＝sin 3x＋cos 3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________. 【导学号：51062108】[2，＋∞)[∵f(x)＝sin 3x＋cos 3x＝2sin∈[－2,2]．又∵|f(x)|≤a恒成立，∴a≥|f(x)|max，∴a≥2.]3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．[解] ∵f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ).2分(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)，∴sin(－2x＋φ)＝sin(2x＋φ)，将上式展开整理得sin 2xcos φ＝0，由已知上式对∀x∈R都成立，∴cos φ＝0.∵0＜φ＜，∴φ＝.7分(2)f(x)的图象过点时，sin＝，即sin＝.10分又∵0＜φ＜，∴＜＋φ＜π，∴＋φ＝，φ＝，∴f(x)＝sin.13分令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.15分。
近年高考数学复习 第3章 三角函数、解三角形 第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数课时分层训练
（浙江专版）2018高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数课时分层训练编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2018高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数课时分层训练）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课时分层训练(十五) 任意角、弧度制及任意角的三角函数A组基础达标（建议用时：30分钟）一、选择题1．给出下列四个命题：①－错误!是第二象限角；②错误!是第三象限角;③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数有（)A．1个B．2个C．3个D．4个C［－错误!是第三象限角,故①错误。
错误!＝π＋错误!，从而错误!是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．] 2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )A．2 B．sin 2C.错误!D．2sin 1C［由题设知，圆弧的半径r＝错误!，∴圆心角所对的弧长l＝2r＝错误!。
］3．已知点P(cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B[由题意可得错误!则错误!所以角α的终边在第二象限,故选B。
］4．(2017·宁波镇海中学）已知点P错误!在角θ的终边上,且θ∈［0，2π）,则θ的值为( )A。
高考复习数学(浙江)第3章 第5节 课时分层训练19
课时分层训练(十九)两角和与差的正弦、余弦和正切公式A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )A.16 B.13 C.12D.23A [因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16，故选A.] 2.cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°等于( )A ．－32 B.22 C.12D ．1C [原式＝sin 5°＋32sin 25°cos 25°＝sin (30°－25°)＋32sin 25°cos 25°＝12cos 25°cos 25°＝12.]3．(2017·杭州二次质检)函数f (x )＝3sin x 2cos x 2＋4cos 2x2(x ∈R )的最大值等于( )A ．5B.92C.52D ．2B [由题意知f (x )＝32sin x ＋4×1＋cos x 2＝32sin x ＋2cos x ＋2≤94＋4＋2＝92，故选B.]4．(2017·浙江模拟训练卷(三))若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) 【导学号：51062116】A.35 B.45 C.74D.34D [由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得sin θ≥cos θ>0，则sin θ＋cos θ＝1＋sin 2θ＝9＋67＋716＝3＋74，sin θ－cos θ＝1－sin 2θ＝9－67＋716＝3－74，两式相加得sin θ＝34.]5．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3D [依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin [α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32.故β＝π3.] 二、填空题6.sin 250°1＋sin 10°________. 12 [sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12.]7．(2017·浙江模拟训练卷(四))已知函数f (x )＝4cos 2x ＋(sin x ＋3cos x )2，则函数f (x )的最小正周期为________，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，函数f (x )的值域为________.【导学号：51062117】π [4＋3，4＋23] [f (x )＝7cos 2x ＋sin 2x ＋23sin x cos x ＝1＋3(1＋cos 2x )＋3sin 2x ＝4＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故函数f (x )的最小正周期为π.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，∴12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴4＋3≤f (x )≤4＋23，故函数f (x )的值域为[4＋3，4＋23]．] 8．化简2＋2cos 8＋21－sin 8＝________. －2sin 4 [2＋2cos 8＋21－sin 8＝2(1＋cos 8)＋21－2sin 4cos 4 ＝2×2cos 24＋2(sin 4－cos 4)2＝－2cos 4＋2(cos 4－sin 4)＝－2sin 4.]三、解答题9．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．[解] (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－32.6分(2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π＜－β＜－π2，故－π2＜α－β＜π2.10分 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310.14分10．已知函数f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4cos x .(1)求函数f (x )的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－43，求f (α)的值. 【导学号：51062118】 [解] (1)要使f (x )有意义，则需cos x ≠0，∴f (x )的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z.6分(2)f (x )＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x －22cos 2x cos x＝1＋cos 2x －sin 2x cos x ＝2cos 2x －2sin x cos x cos x＝2(cos x －sin x ).10分由tan α＝－43，得sin α＝－43cos α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，且α是第四象限角， ∴cos 2α＝925，则cos α＝35，sin α＝－45. 故f (α)＝2(cos α－sin α)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋45＝145.14分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．若cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( ) A ．－72 B ．－12 C.12D.72C [∵cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴sin α＋cos α＝12.]2．(2017·浙江名校(柯桥中学)交流卷三)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值是________；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值是________．13 79 [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－2π3＝1－2·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝79.]3．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域. 【导学号：51062119】[解] (1)f (x )＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32.所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π.3分 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .8分(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，12分 f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32.故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32.15分。
高中数学第3章第3节课时分层训练_2
分层训练(十九) 三角函数的图象与性质A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题 1．函数y ＝cos x －32的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z) D ．RC [由cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z.] 2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝( )导学号：312115A ．1 B.12 C ．－1D ．－12A [由题设知2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1.] 3．(2015·四川高考)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos xB [A 项，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意；B 项，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意；C 项，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意；D 项，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意．]4．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( ) 导学号：312116A ．1B ．2C ．4D ．8B [由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z)，又ω∈N *，∴ωmin ＝2，故选B.]5．(2017·重庆二次适应性测试)若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－cos ωx (ω＞0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，则f (x )的一个单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6 A [依题意得f (x )＝32sin ωx －12cos ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，于是有T ＝2πω＝2×π2＝π，ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.当2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6单调递增．因此结合各选项知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的一个单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，故选A.]二、填空题6．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z) [由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x,2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z)．]7．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________．2或－2 [∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.] 8．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________.导学号：312117⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z [由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)，∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z.]三、解答题9．(2016·北京高考)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．[解] (1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.4分 依题意，得πω＝π，解得ω＝1.6分 (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z).8分由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z)．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z).12分 10．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值． [解] (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x ·cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，3分所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.6分 (2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.7分当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；9分当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·郑州二次质量预测)将函数f (x )＝－cos 2x 的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )，则g (x )具有性质( ) 导学号：312118A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称 B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，为奇函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0对称B [由题意得函数g (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2×π4＝－sin 2x ，易知其为奇函数，由－π2＋2k π＜2x ＜π2＋2k π，k ∈Z 得－π4＋k π＜x ＜π4＋k π，k ∈Z ，所以函数g (x )＝－sin 2x 的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π，π4＋k π，k ∈Z ，所以函数g (x )＝－sin 2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，故选B.] 2．设f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ，若对任意实数x 都有|f (x )|≤a ，则实数a 的取值范围是________．[2，＋∞) [∵f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6∈[－2,2]．又∵|f (x )|≤a恒成立，∴a ≥|f (x )|max ，∴a ≥2.]3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．[解] ∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2， ∴f (x )＝sin(2x ＋φ).2分(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )， ∴sin(－2x ＋φ)＝sin(2x ＋φ)， 将上式展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0.∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π2.5分(2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32.6分又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π3＋φ＜π， ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.9分令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z.12分。
高考复习数学(浙江)第2章 第3节 课时分层训练5
课时分层训练(五) 函数的奇偶性与周期性A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·嘉兴三模)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0 B [y ＝x cos x 是奇函数，y ＝lgx 2－2和y ＝x sin x 是偶函数，y ＝e x ＋x 2是非奇非偶函数，故选B.]2．函数y ＝log 21＋x 1－x的图象( ) A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称 A [由1＋x 1－x＞0得－1＜x ＜1， 即函数定义域为(－1,1)，又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x 1－x＝－f (x )， ∴函数y ＝log 21＋x 1－x为奇函数，故选A.] 3．已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2B ．－1C ．0D ．2 D [由题意知当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f(x＋1)＝f(x)．又当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．又当x<0时，f(x)＝x3－1，∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.故选D.]4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)＝() 【导学号：51062027】A．－2 B．2C．－98 D．98A[∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2.]5．对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是() A．f(x)＝x B．f(x)＝x2C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)D[由f(x)为准偶函数的定义可知，若f(x)的图象关于x＝a(a≠0)对称，则f(x)为准偶函数，A，C中两函数的图象无对称轴，B中函数图象的对称轴只有x＝0，而D中f(x)＝cos(x＋1)的图象关于x＝kπ－1(k∈Z)对称．]二、填空题6．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________. 【导学号：51062028】－－x－1[∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝x＋1，∴当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，即x＜0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1.]7．(2017·浙江五校二模)函数f(x)＝(x＋2)(x＋a)x是奇函数，则实数a＝________.－2[由题意知，g(x)＝(x＋2)(x＋a)为偶函数，∴a＝－2.]8．(2017·杭州模拟)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈[0,2)时，f(x)＝x2，若对于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，则f(2)－f(3)的值为________．1[由题意得f(2)＝f(－2＋4)＝f(－2)＝－f(2)，∴f(2)＝0.∵f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(2)－f(3)＝1.]三、解答题9．若f(x)，g(x)是定义在R上的函数，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝1x2－x＋1，求f(x)的表达式. 【导学号：51062029】[解]在f(x)＋g(x)＝1x2－x＋1中用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝1(－x)2－(－x)＋1，4分又f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以－f(x)＋g(x)＝1x2＋x＋1，8分联立方程⎩⎨⎧ f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1，－f (x )＋g (x )＝1x 2＋x ＋1，12分两式相减得f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－x ＋1－1x 2＋x ＋1＝x x 4＋x 2＋1.15分 10．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1. (1)求f (1)和f (－1)的值；(2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．[解] (1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (1)＝f (2－1)＝f (－1)＝－f (1)，4分∴f (1)＝0，f (－1)＝0.7分(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x 4x ＋1，10分 综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 4x ＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x ＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.15分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 018)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±2A [∵g (－x )＝f (－x －1)， ∴－g (x )＝f (x ＋1)．又g (x )＝f (x －1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (2 018)＝f (4×504＋2)＝f (2)＝2.]2．(2017·浙江镇海中学测试卷二)设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －2，x <2，x 2，x ≥2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________，若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是________.【导学号：51062030】254 (－∞，2] [因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝52， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝254. 因为函数f (x )在实数集上单调递增，故有a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.] 3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，(1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．[解] (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .2分又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.7分(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数， 要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，12分 所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3].15分。
17第三章第3节牛顿第三定律-2024-2025学年高一物理必修第一册(人教版)配套课件
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课时分层作业
如图所示，物体C置于水平地面上，A、B由轻绳通过固定在C 上的光滑定滑轮相连，C的上表面水平，连接B的轻绳水平，整个系 统处于静止状态。
第3节 牛顿第三定律
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课时分层作业
问题1 物体A和物体B分别受几个力的作用？ 提示：物体A受重力和绳子的拉力作用，物体B受重力、物体C的支 持力、物体C对物体B的摩擦力和绳子的拉力作用。 问题2 研究物体C和地面间作用力时怎样选取研究对象比较好？
√C．滑雪板对赛道的作用力与赛道对滑雪板的作用力大小相等
D．滑雪板对赛道的作用力与赛道对滑雪板的作用力方向相同
C [滑雪板对赛道的作用力与赛道对滑雪板的作用力是一对作用力 与反作用力，二者大小相等，方向相反，故C正确，A、B、D错 误。]
第3节 牛顿第三定律
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课时分层作业
知识点二 牛顿第三定律
√B．马拉车的力总是等于车拉马的力
C．加速运动时，马拉车的力大于车拉马的力 D．减速运动时，马拉车的力小于车拉马的力
B [马向前拉车的力和车向后拉马的力是一对作用力和反作用力， 它们总是大小相等、方向相反、作用在同一条直线上，与运动状态 无关。加速运动或者减速运动时，马向前拉车的力都等于车向后拉 马的力，故A、C、D错误，B正确。]
第3节 牛顿第三定律
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知识点三 物体受力的初步分析
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课时分层作业
1．受力分析 分析__研__究__对__象__受到的力。 2．受力分析的思路 (1)根据物体运动状态的变化来分析和判断其受力情况。 (2)根据各种力的特点，从__相__互__作__用__的角度来分析物体的受力。 3．力学中常见的三种性质力：重力、__弹__力__、__摩__擦__力__。
(浙江通用)版高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形3.3三角函数的图象和性质【含答案】
【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.3 三角函数的图象和性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )(2)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( √ ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin |x |是偶函数．( √ ) (6)若sin x >22，则x >π4.( × )1．(教材改编)函数y ＝12sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( )A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上都是减函数C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减函数答案 B2．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π8，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z答案 D解析 由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z. 3．(2015·保定期末)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 (ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8等于( )A ．1 B.12 C ．－1 D ．－12答案 A解析 因为函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 (ω>0)的最小正周期为π，所以ω＝2ππ＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1，所以选A. 4．(2015·安徽)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A ．f (2)<f (－2)<f (0)B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2) 答案 A解析 由于f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝A sin(2x ＋φ)， 又当x ＝2π3时，2x ＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )，又φ>0，∴φmin＝π6， 故f (x )＝A sin(2x ＋π6)．于是f (0)＝A sin π6，f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－4，f (－2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫4－7π6.又∵－π2<5π6－4<4－7π6<π6<π2，又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增， ∴f (2)<f (－2)<f (0)，故选A.5．(2015·湖州期末)若函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f (x )的最小正周期为________；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝________. 答案π22－ 3 解析 f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期为T ＝π2， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8－π6＝tan π4－tanπ61＋tan π4tanπ6＝2－3.题型一 三角函数的定义域和值域例1 (1)函数y ＝2sin x －1的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋5π6(k ∈Z ) (2)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间[0，π2]上的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3(3)函数y ＝cos 2x ＋sin x (|x |≤π4)的最小值为_____________________．答案 (1)B (2)B (3)1－22解析 (1)由2sin x －1≥0，得sin x ≥12，所以2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )．故选B.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时， 2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.(3)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴t ＝－22时，y min ＝1－22. 思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法①利用sin x 和cos x 的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； ③通过换元，转换成二次函数求值域．(1)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为____________________．(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为_____________________．答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1解析 (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k πk ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k πk ∈Z ，∴2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 题型二 三角函数的单调性例2 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )(2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54解析 (1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B.(2)由π2＜x ＜π，ω＞0得，ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4， 又y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________．(2)已知ω＞0，函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，74C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，94D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π，k ∈Z (2)D解析 (1)由已知函数为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所给函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．(2)函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π，k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14＞0，k ∈Z ，得k ＝1，所以ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74. 题型三 三角函数的周期性、对称性 命题点1 周期性例 3 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②④D ．①③答案 A解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A.命题点2 求对称轴、对称中心例4 (1)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 (ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于直线x ＝π8对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 C ．关于直线x ＝π4对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0对称 (2)已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，则x 0＝________.答案 (1)A (2)－π6解析 (1)依题意得T ＝2πω＝π，ω＝2，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1≠0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋π4＝sin 3π4＝22≠0，因此该函数的图象关于直线x＝π8对称． (2)由题意可知2x 0＋π3＝k π，k ∈Z ，故x 0＝k π2－π6，k ∈Z ， 又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0， ∴k ＝0时，x 0＝－π6.命题点3 由对称性求参数例5 若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8答案 B解析 由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2，故选B.思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断． (2)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________．(2)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为( )A ．－ 3B ．－33C. 2D.22 答案 (1)2或－2 (2)B解析 (1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ， ∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2. (2)由x ＝5π3是f (x )图象的对称轴，可得f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3，解得a ＝－33.3．三角函数的对称性、周期性、单调性典例 (1)(2015·四川)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x(2)(2015·课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z (3)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为( ) A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3思维点拨 (1)逐个验证所给函数是否满足条件；(2)根据图象先确定函数的周期性，然后先在一个周期内确定f (x )的减区间； (3)由f (x ＋π4)＝f (－x )可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可．解析 (1)选项A 中，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，符合题意． (2)由图象知，周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.(3)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3. 答案 (1)A (2)D (3)C温馨提醒 (1)研究三角函数的性质时一定要做到心中有图，充分利用数形结合思想． (2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与对称轴的交点是最值点．[方法与技巧]1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．4．对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解． [失误与防范]1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．3．三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．对于函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2，下列说法正确的是( ) A ．f (x )的周期为π，且在[0,1]上单调递增 B ．f (x )的周期为2，且在[0,1]上单调递减 C ．f (x )的周期为π，且在[－1,0]上单调递增 D ．f (x )的周期为2，且在[－1,0]上单调递减 答案 B解析 因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝cos πx ，则周期T ＝2，在[0,1]上单调递减，故选B. 2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 3 答案 A解析 利用三角函数的性质先求出函数的最值． ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.∴y ∈[]－3，2，∴y max ＋y min ＝2－ 3.3．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( ) A.13 B ．1 C.53 D ．2 答案 D解析 根据题意平移后函数的解析式为y ＝sin ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，将⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0，故ω的最小值为2.4．关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π 答案 C解析 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错误；在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错误；最小正周期为π2，D 错误．∵当x ＝π6时，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心，故选C.5．函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( ) A ．[0,1] B ．[12，1] C ．[－1,2] D ．[0,2]答案 A解析 y ＝cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1－cos 2x 2＝1＋cos 2x2. ∵cos 2x ∈[－1,1]，∴y ∈[0,1]．6．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) 解析 由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ， 2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )． 7．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z )解析 由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得，x ＝k π2－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z )． 8．设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．答案 2解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4，f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2. 9．已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0＜α＜π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解 (1)因为0＜α＜π2，sin α＝22，所以cos α＝22. 所以f (α)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 10．(2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) f (x )的解析式； (2) 将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是( )A ．[－π8，3π8]B ．[π8，9π8]C ．[－3π8，π8]D ．[π8，5π8]答案 C解析 由f (π8)＝－2得f (π8)＝－2sin(2×π8＋φ)＝－2sin(π4＋φ)＝－2，所以sin(π4＋φ)＝1.因为|φ|<π，所以φ＝π4.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .当k ＝0时，－3π8≤x ≤π8，故选C.12．已知函数y ＝2sin(2x ＋φ) (|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该函数的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π12B ．x ＝－π6C ．x ＝π6D ．x ＝π12答案 C解析 因为函数y ＝2sin(2x ＋φ)的图象经过点(0,1)，所以2sin φ＝1，sin φ＝12.又|φ|<π2，则φ＝π6，则函数解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，将选项依次代入可知，当x ＝π6时函数取得最值，所以x ＝π6是函数的一条对称轴方程，所以选C.13．(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．答案 π 解析 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6， ∴T ≥2π3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， ∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 14. 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________.答案3解析 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图象过定点(3π8，0)，所以0＝A tan(2×3π8＋φ)，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )， 又|φ|<π2，所以φ＝π4.又图象过定点(0,1)，所以A ＝1. 综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π4)， 故有f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.15．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
高考复习数学(北师大版)第3章 第3节 课时分层训练18
课时分层训练(十八) 三角函数的图像与性质A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题 1．函数y ＝cos x －32的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．RC [由cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .] 2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝( )【导学号：66482152】A ．1B ．12 C ．－1D ．－12A [由题设知2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1.]3．(2015·四川高考)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos xB [A 项，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意；B 项，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意；C 项，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意；D 项，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意．]4．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图像的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )【导学号：66482153】A ．1B ．2C ．4D ．8B [由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2，故选B.]5．(2017·重庆二次适应性测试)若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－cos ωx (ω＞0)的图像相邻两个对称中心之间的距离为π2，则f (x )的一个递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6A [依题意得f (x )＝32sin ωx －12cos ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图像相邻两个对称中心之间的距离为π2，于是有T ＝2πω＝2×π2＝π，ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.当2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6递增．因此结合各选项知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的一个递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，故选A.]二、填空题6．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) [由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x,2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )．]7．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________． 2或－2 [∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.] 8．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z [由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得，x ＝k π2－π8(k ∈Z )，∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z .]三、解答题9．(2016·北京高考)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的递增区间．[解] (1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω. 4分 依题意，得πω＝π，解得ω＝1. 6分 (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.函数y ＝sin x 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ). 8分由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．所以f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z ). 12分10．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．[解] (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x ·cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，3分所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 6分 (2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 7分 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图像知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；9分当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0. 12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·郑州二次质量预测)将函数f (x )＝－cos 2x 的图像向右平移π4个单位后得到函数g (x )，则g (x )具有性质( )【导学号：66482154】A ．最大值为1，图像关于直线x ＝π2对称 B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上递减，为奇函数 C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8上递增，为偶函数D ．周期为π，图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0对称B [由题意得函数g (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2×π4＝－sin 2x ，易知其为奇函数，由－π2＋2k π＜2x ＜π2＋2k π，k ∈Z 得－π4＋k π＜x ＜π4＋k π，k ∈Z ，所以函数g (x )＝－sin 2x 的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π，π4＋k π，k ∈Z ，所以函数g (x )＝－sin 2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上递减，故选B.]2．设f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ，若对任意实数x 都有|f (x )|≤a ，则实数a 的取值范围是________．[2，＋∞) [∵f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6∈[－2,2]．又∵|f (x )|≤a 恒成立，∴a ≥|f (x )|max ，∴a ≥2.]3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的递增区间．[解] ∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2， ∴f (x )＝sin(2x ＋φ). 2分(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )， ∴sin(－2x ＋φ)＝sin(2x ＋φ)， 将上式展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对任意x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0.∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π2. 5分(2)f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32. 6分又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π3＋φ＜π， ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 9分令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 12分。
浙江省杭州市塘栖中学高三数学复习练习17(无答案)(2021年整理)
浙江省杭州市塘栖中学高三数学复习练习17（无答案）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（浙江省杭州市塘栖中学高三数学复习练习17（无答案））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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浙江省杭州市塘栖中学高三数学复习练习17（无答案）一、选择题1、设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则b a ,夹角是（ ） （A ）150° （B ）120° （C ）60° （D ）30°2、已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－）， 则向量+a b （ ) A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C 。
平行于y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线3、一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位:牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成060角,且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为 （ ） A 。
6 B 。
2 C. 25 D. 274、设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=,则( ）A 。
0PA PB += B.0PC PA += C.0PB PC +=D 。
0PA PB PC ++=5、已知向量a = (2，1)， a ·b = 10,︱a + b ︱= 52,则︱b ︱=( ）（A ）5 （B ）10 （C ）5 (D ）256、在ABC ∆中，M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足2PA PM =,则()PA PB PC ⋅+等于 （ ）（A)49 (B)43 （C ）43- (D ） 49-7、函数1)4(cos 22--=πx y 是 （ ) A ．最小正周期为π的奇函数 B 。
近年高考数学复习 第3章 三角函数、解三角形 第3节 三角函数的图象与性质课时分层训练(2021年
（浙江专版）2018高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第3节三角函数的图象与性质课时分层训练编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2018高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第3节三角函数的图象与性质课时分层训练）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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课时分层训练（十七) 三角函数的图象与性质A 组 基础达标（建议用时：30分钟）一、选择题1．函数y ＝错误!的定义域为（ )A.错误!B.错误!(k ∈Z ）C.错误!(k ∈Z ）D ．RC [由cos x －错误!≥0,得cos x ≥错误!,∴2k π－错误!≤x ≤2k π＋错误!,k ∈Z .］2．已知函数f （x )＝sin 错误!(ω＞0）的最小正周期为π,则f 错误!＝（ ）A ．1B.错误! C ．－1 D ．－错误!A ［由题设知2πω＝π，所以ω＝2，f （x )＝sin 错误!，所以f 错误!＝sin 错误!＝sin 错误!＝1.］3．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ）A ．y ＝sin 错误!B ．y ＝cos 错误!C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos xB ［A 项,y ＝sin 错误!＝cos 2x ，最小正周期为π,且为偶函数,不符合题意；B 项，y ＝cos 错误!＝－sin 2x ，最小正周期为π，且为奇函数,符合题意；C 项，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝错误!sin 错误!，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意;D 项，y ＝sin x ＋cos x ＝错误!sin 错误!，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意．］4．若函数y ＝cos 错误!(ω∈N ＊）图象的一个对称中心是错误!，则ω的最小值为( ) 【导学号：51062105】A ．1B ．2C ．4D ．8B ［由题意知πω6＋错误!＝k π＋错误!(k ∈Z ）⇒ω＝6k ＋2（k ∈Z ),又ω∈N ＊，∴ωmin ＝2,故选B.]5．（2017·台州二次适应性测试）若函数f （x ）＝sin 错误!－cos ωx (ω＞0）的图象相邻两个对称中心之间的距离为错误!,则f (x )的一个单调递增区间为( ）A.错误!B.错误! C 。
(浙江通用)2017版高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.3 三角函数的图象和性质课件
1 2 3 4 5 解析答案
4.(2015·安徽)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ 均为正的常数)的最小
正周期为 π，当 x＝23π时，函数 f(x)取得最小值，则下列结论正确的是(
)
A.f(2)<f(－2)<f(0)
B.f(0)<f(2)<f(－2)
C.f(－2)<f(0)<f(2)
即 cos
x≥12，
解得－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπk∈Z，
∴2kπ＜x≤π3＋2kπ(k∈Z)， ∴函数的定义域为x|2kπ＜x≤π3＋2kπ，k∈Z.
解析答案
(2)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为__－__12_－____2_，__1_ ___. 解析 设t＝sin x－cos x， 则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，
ymin＝－1
y ＝－1
答案
奇偶性
奇函数
对称中 心
对称轴 方程
周期
(kπ，0)(k∈Z) 2π
偶函数
x＝kπ(k∈Z) 2π
奇函数
π
答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数.( × ) (2)常数函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期.( √ ) (3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.( × ) (4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( × ) (5)y＝sin |x|是偶函数.( √ )
得 kπ－1π2≤x≤kπ＋51π2，k∈Z. 故所给函数的单调减区间为kπ－1π2，kπ＋51π2(k∈Z).
近年高考数学复习 第3章 三角函数、解三角形 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式课时分层训练
（浙江专版）2018高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式课时分层训练编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2018高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式课时分层训练）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课时分层训练(十六）同角三角函数的基本关系与诱导公式A组基础达标(建议用时：30分钟）一、选择题1．若cos α＝错误!,α∈错误!,则tan α等于( ）A．－错误!B。
错误!C．－2 2 D．2错误!C[∵α∈错误!,∴sin α＝－错误!＝－错误!＝－错误!错误!，∴tan α＝错误!＝－2错误!.]2．已知sin(π＋θ)＝－，3cos(2π－θ），|θ｜＜错误!，则θ等于（）A．－错误!B．－错误!C.错误!D.错误!D[∵sin(π＋θ)＝－3cos（2π－θ）,∴－sin θ＝－错误!cos θ，∴tan θ＝错误!.∵｜θ|＜错误!，∴θ＝错误!.］3。
错误!＝( ）A．－错误!B．－错误!C.错误!D.错误!D［原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.]4．（2017·宁波镇海中学二诊）已知sin θ＋cos θ＝错误!错误!，则sin θ－cos θ的值为( ）A。
错误!B．－错误!C。
错误!D．－错误!B［∵sin θ＋cos θ＝错误!，∴1＋2sin θcos θ＝错误!,∴2sin θcos θ＝错误!。
高考数学课时分层练3.docx
课时分层练(三) 函数的图象与性质(建议用时：45分钟)【A组强化练·保一本】一、选择题1．(2015·湖北高考)函数f(x)＝4－|x|＋lg x2－5x＋6x－3的定义域为( )A．(2，3) B．(2，4]C．(2，3)∪(3，4] D．(－1，3)∪(3，6]2．(2015·天津模拟)设a＝0.812，b＝0.714，c＝log50.3，则a，b，c的大小关系是( )A．a>c>b B．c>a>bC．b>a>c D．a>b>c3．(2015·贵州八校联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，则f(－8)值为( )A．3 B.13C．－13D．－34．(2015·济南模拟)函数y＝xe cos x(－π≤x≤π)的大致图象为( )A． B.C． D.5．(2015·湖南高考)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0，1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0，1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数6．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－147．(2015·郑州模拟)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))等于( )A ．－5B ．－1C ．3D ．48．(2015·济南模拟)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0.设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则( )A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a )二、填空题9．(2014·全国卷Ⅱ)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________．10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0.若f (－a )＋f (a )≤0，则a 的取值范围是________．11．(2015·潍坊模拟)定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋2)＝0，且f (4－x )＝f (x )，现有以下三种叙述：①8是函数f (x )的一个周期； ②f (x )的图象关于直线x ＝2对称； ③f (x )是偶函数．其中正确的序号是________．12．(2015·四川高考)已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2，n ＝g （x 1）－g （x 2）x 1－x 2，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m >0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n >0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)．【B 组 押题练·冲名校】1．已知奇函数y ＝⎩⎨⎧f （x ），x >0，g （x ），x <0.如果f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对应的图象如图132所示，那么g (x )＝( )图13 2A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x B ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．2－xD ．－2x 2．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋1，若f (a )＝3，则实数a 的值为________．【详解答案】【A组强化练·保一本】1．C 2.C 3.D 4.A 5.A 6.A 7.C 8.C 9．3 10.[－2，2] 11.①②③12.①④【B组押题练·冲名校】1．D 2.±1。
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课时分层训练(十七) 三角函数的图象与性质
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题 1．函数y ＝cos x －3
2的定义域为( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡
⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡
⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．R
C [由cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π
6，k ∈Z .] 2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝( ) A ．1 B.1
2 C ．－1
D ．－12
A [由题设知2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝sin π
2
＝1.]
3．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π2
B ．y ＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π2
C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x
D ．y ＝sin x ＋cos x
B [A 项，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意；
B 项，y ＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意；
C 项，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意；
D 项，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π4，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，
不符合题意．]
4．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6，0，则ω的最
小值为( ) 【导学号：51062105】
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
B [由题意知πω6＋π6＝k π＋π
2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2，故选B.]
5．(2017·台州二次适应性测试)若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx ＋π6－cos ωx (ω＞0)的图
象相邻两个对称中心之间的距离为π
2，则f (x )的一个单调递增区间为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π3，π6 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，2π3 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，5π6 A [依题意得f (x )＝32sin ωx －12cos ωx ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx －π6的图象相邻两个对称中
心之间的距离为π2，于是有T ＝2πω＝2×π2＝π，ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －π6.当2k π－π2≤2x
－π6≤2k π＋π2，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6单调递增．因此结
合各选项知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的一个单调递增区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π6，π3，故选A.] 二、填空题
6．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是________．
⎣⎢⎡
⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) [由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x,2k π＋π2≤2x ≤2k π＋
3π2得k π＋π4≤x ≤k π＋3π
4(k ∈Z )．]
7．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6的
值为________. 【导学号：51062106】
2或－2 [∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6－x ，
∴x ＝π
6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴， ∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝±2.] 8．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫
k π2－π8，0，k ∈Z [由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得，x ＝k π2－π8(k ∈Z )，
∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫
k π2－π8，0，k ∈Z .]
三、解答题
9．已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；
(2)求f (x )的单调递增区间. 【导学号：51062107】 [解] (1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2ωx ＋π4，
所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝π
ω.4分 依题意，得π
ω＝π，解得ω＝1.7分 (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π4.
函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡
⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ).10分 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2(k ∈Z )， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8(k ∈Z )．
所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z ).14分 10．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．
[解] (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x ·cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π4＋1，3分
所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π
2＝π.7分 (2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π4＋1.10分
当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π4，5π4上的图象知，
当2x ＋π4＝π2，即x ＝π
8时，f (x )取最大值2＋1；12分
当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.15分
B 组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·台州二次质量预测)将函数f (x )＝－cos 2x 的图象向右平移π
4个单位后得到函数g (x )，则g (x )具有性质( )
A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π
2对称 B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，为奇函数 C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫
－3π8，π8上单调递增，为偶函数
D ．周期为π，图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π8，0对称
B [由题意得函数g (x )＝－cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －2×π4＝－sin 2x ，易知其为奇函数，由－π2＋2k π＜2x ＜π2＋2k π，k ∈Z 得－π4＋k π＜x ＜π
4＋k π，k ∈Z ，所以函数g (x )＝－sin 2x 的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π，π4＋k π，k ∈Z ，所以函数g (x )＝－sin 2x 在⎝ ⎛
⎭⎪
⎫0，π4上单调递减，故选B.]
2．设f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ，若对任意实数x 都有|f (x )|≤a ，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：51062108】
[2，＋∞) [∵f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫3x ＋π6∈[－2,2]．又∵|f (x )|≤a 恒成
立，∴a ≥|f (x )|max ，∴a ≥2.]
3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛
⎭⎪⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；
(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6，32，求f (x )的单调递增区间．
[解] ∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2π
ω＝π，∴ω＝2， ∴f (x )＝sin(2x ＋φ).2分
(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )， ∴sin(－2x ＋φ)＝sin(2x ＋φ)， 将上式展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0.∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π
2.7分
(2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2×π6＋φ＝32，
即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3＋φ＝32.10分
又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π
3＋φ＜π， ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π3.13分
令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π
2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π
12，k ∈Z ，
∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡
⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .15分。