人教版A数学选修1-2：4.1知能演练轻松闯关
人教版A数学选修1-2：3.2.2知能演练轻松闯关
1.(2011·高考课标全国卷)复数2＋i 1－2i的共轭复数是( ) A ．－35i B.35i C ．－i D ．i解析：选C.2＋i 1－2i ＝（2＋i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝2－2＋5i 5＝i ， ∴2＋i 1－2i的共轭复数是－i. 2.已知a ∈R ，若(1－a i)(3＋2i)为纯虚数，则a 的值为( )A ．－32 B.32 C ．－23 D.23解析：选A.∵(1－a i)(3＋2i)＝(3＋2a )＋(2－3a )i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＝0，2－3a ≠0，解得a ＝－32. 3.若复数z 满足z ＝i(2－z )(i 是虚数单位)，则z ＝________．解析：∵z ＝i(2－z )，∴z ＝2i －i z ，∴(1＋i)z ＝2i ，∴z ＝2i 1＋i1＋i. 答案：1＋i4.若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝（a ＋2i ）（3＋4i ）25＝3a －8＋（4a ＋6）i 25＝3a －825＋4a ＋625因为z 1z 2为纯虚数，所以3a －8＝0且4a ＋6≠0， 所以a ＝83. 答案：83[A 级 基础达标]1.已知复数z ＝1－2i ，那么1z ＝( ) A.55＋255i B.55－255i C.15＋25i D.15－25i 解析：选D.1z ＝11＋2i ＝1－2i （1＋2i ）（1－2i ）＝1－2i 5 ＝15－25i. 2.若复数z 满足方程z 2＋2＝0，则z 3等于( )A ．±2 2B ．－2 2C ．－22iD ．±22i解析：选D.∵z 2＋2＝0，∴z ＝±2i ， ∴z 3＝±22i. 3.(2011·高考山东卷)复数z ＝2－i 2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.z ＝2－i 2＋i ＝（2－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝3－4i 5＝35－45i ， 所以z 在第四象限．4.若复数(1＋a i)(2－i)的实部与虚部相等，则实数a ＝__________．解析：∵(1＋a i)(2－i)＝(2＋a )＋(2a －1)i 的实部与虚部相等，∴2＋a ＝2a －1.∴a ＝3. 答案：35.已知z 1＝（1＋2i ）4（3－i ）3，z 2＝z 12－i，则|z 2|＝________． 解析：|z 2|＝⎪⎪⎪⎪（1＋2i ）4（3－i ）3（2－i ）＝|（1＋2i ）4||（3－i ）3|·|2－i|＝（5）4（10）3×5＝122＝24. 答案：246.已知复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b ＝(a ＋2z )2.解：因为z ＝1＋i ，所以az ＋2b ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i.因为a ，b 都是实数，所以由az ＋2bz －＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4（a ＋2）. 两式相加，整理得a 2＋6a ＋8＝0，解得a 1＝－2，a 2＝－4.对应求得b 1＝－1，b 2＝2. 所以所求实数为a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2.[B 级 能力提升] 7.已知 ＝2＋i ，则复数z ＝( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i解析：选B.由题意知 ＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i ，∴z ＝1－3i. z z z z 2z 2z 1zi +8.已知z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i （2＋i ）2，则z 1z 2＝( ) A ．－4＋3i B ．3＋4iC ．3－4iD ．4－3i解析：选D.∵z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i （2＋i ）2， ∴z 1z 2＝（－2－3i ）（2＋i ）23－2i －i （3－2i ）（2＋i ）23－2i＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i ＝4－3i.9.已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 2的共轭复数与z 1的积是实数，则实数t 的值为________． 解析：由题意知 ＝t －i(t ∈R)，z 1＝(t －i)(3＋4i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i.∵ z 1∈R ，∴4t －3＝0，∴t ＝34. 答案：34 10.已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b 、c 为实数)．(1)求b ，c 的值；(2)试说明1－i 也是方程的根吗？解：(1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根，∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝02＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝2. ∴b 、c 的值为b ＝－2、c ＝2.(2)方程为x 2－2x ＋2＝0.把1－i 代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根． 11.(创新题)设复数z 满足|z |＝5，且(3＋4i)z 在复平面上对应的点在第二、四象限的平分线上，|2z －m |＝52，求复数z 和实数m 的值．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)．∵|z |＝5，∴x 2＋y 2＝25.又(3＋4i)z ＝(3＋4i)(x ＋y i)＝(3x －4y )＋(4x ＋3y )i ，且对应的点在第二、四象限平分线上，∴3x －4y ＝－(4x ＋3y )，化简得y ＝7x .将它代入x 2＋y 2＝25得，x ＝±22，y ＝±722， ∴z ＝±(22＋722i)． 当z ＝22＋722i 时，|2z －m |＝|1＋7i －m |＝52，解得m ＝0或2； 当z ＝－(22＋722i)时，同理解得 m ＝0或－2.2z 2z 2z。
人教版A数学选修2-1：第一章1.1.1知能演练轻松闯关
1.下列语句是命题的是( )A ．2012是一个大数B ．若两直线平行，则这两条直线没有公共点C ．对数函数是增函数吗D ．a ≤15解析：选B.A 、D 不能判断真假，不是命题；B 能够判断真假而且是陈述句，是命题；C 是疑问句，不是命题．2.下列命题中的真命题是( )A ．互余的两个角不相等B ．相等的两个角是同位角C ．若a 2＝b 2，则|a |＝|b |D ．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角解析：选C.由平面几何知识可知A 、B 、D 三项都是错误的．3.命题“函数y ＝2x ＋1是增函数”的条件是__________，结论是__________．答案：函数为y ＝2x ＋1 该函数是增函数4.(2012·临沂质检)下列命题：①y ＝x 2＋3为偶函数；②0不是自然数；③{x ∈N|0<x <12}是无限集；④如果a ·b ＝0，那么a ＝0，或b ＝0.其中是真命题的是__________(写出所有真命题的序号)．解析：①为真命题；②③④为假命题．答案：①[A 级 基础达标]1.下列语句不是命题的有( )①2<1；②x <1；③若x <2，则x <1；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C.①④可以判断真假，是命题；②③不能判断真假，所以不是命题．2.下列命题是真命题的是( )A ．{∅}是空集B.{}x ∈N||x －1|<3是无限集C ．π是有理数D ．x 2－5x ＝0的根是自然数解析：选D.x 2－5x ＝0的根为x 1＝0，x 2＝5，均为自然数．3.下列命题中真命题的个数为( )①面积相等的两个三角形是全等三角形；②若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0；③若a >b ，则a ＋c >b ＋c ；④矩形的对角线互相垂直．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.①错；②错，若xy ＝0，则x ，y 至少有一个为0，而未必|x |＋|y |＝0；③对，不等式两边同时加上同一个常数，不等号开口方向不变；④错．4.(2012·莱芜调研)命题“末位数字是0或5的整数，能被5整除”，条件p ：__________；结论q ：__________；是__________命题．(填“真”或“假”)解析：“末位数字是0或5的整数，能被5整除”改写成“若p ，则q ”的形式为：若一个整数的末位数是0或5，则这个数能被5整除，为真命题．答案：末位数字是0或5的整数 能被5整除 真5.命题“偶函数的图象关于y 轴对称”写成“若p ，则q ”形式为__________．答案：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称6.判断下列命题的真假．(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有最大值；(2)正项等差数列的公差大于零；(3)函数y ＝1x的图象关于原点对称． 解：(1)假命题．当a >0时，抛物线开口向上，有最小值．(2)假命题．反例：若此数列为递减数列，如数列20，17，14，11，8，5，2，它的公差是－3. (3)真命题．y ＝1x是奇函数，所以其图象关于(0，0)对称． [B 级 能力提升]7.下列命题，是真命题的是( )A ．若ab ＝0，则a 2＋b 2＝0B ．若a >b ，则ac >bcC ．若M ∩N ＝M ，则N ⊆MD ．若M ⊆N ，则M ∩N ＝M解析：选D.A 中，a ＝0，b ≠0时，a 2＋b 2＝0不成立；B 中，c ≤0时不成立；C 中，M ∩N ＝M 说明M ⊆N .故A 、B 、C 皆错误．8.(2011·高考四川卷)l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面解析：选B.在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A 错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B 正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C 错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D 错．9.给定下列命题：①“若k >0，则方程x 2＋2x －k ＝0”有实数根；②若a >b ，则a －c >b －c ；③对角线相等的四边形是矩形．其中真命题的序号是__________．解析：①中Δ＝4－4(－k )＝4＋4k >0，故为真命题；②显然为真命题；③也可能是等腰梯形． 答案：①②10.把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．(1)当ac >bc 时，a >b ；(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根； (3)当ab ＝0时，a ＝0或b ＝0.解：(1)若ac >bc ，则a >b .∵ac >bc ，c <0时，a <b ，∴是假命题．(2)若m >14， 则mx 2－x ＋1＝0无实根．∵Δ＝1－4m <0，∴是真命题．(3)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，真命题．11.(创新题)已知A ：5x －1>a ，B ：x >1，请选择适当的实数a ，使得利用A ，B 构造的命题“若p ，则q ”为真命题．解：若视A 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x >1＋a 5，则x >1”，由命题为真命题可知1＋a 5≥1，解得a ≥4；若视B 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x >1，则x >1＋a 5”，由命题为真命题可知1＋a 5≤1，解得a ≤4.故a 取任一实数均可利用A ，B 构造出一个真命题，比如这里取a ＝1，则有真命题“若x >1，则x >25”．。
人教版A数学选修1-2：2.2.2知能演练轻松闯关
1.用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，假设正确的是()A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角解析：选B.“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故假设为“至少有两个”．2.用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除解析：选B.“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．3.已知数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n＝an＋2，b n＝bn＋1(a，b是常数)，且a>b，那么两个数列中序号与数值均相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得a n＝b n，由题意a>b，n∈N*，则恒有an>bn，从而an＋2>bn＋1恒成立，∴不存在n使a n＝b n.答案：04.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．解析：由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②.答案：③①②[A级基础达标]1.下列命题错误的是()A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a、b∈Z，若a＋b是奇数，则a、b中至少有一个为奇数解析：选D.a＋b为奇数⇔a、b中有一个为奇数，另一个为偶数．故D错误．2.(2012·东北师大附中高二检测)用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd>1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为()A．a，b，c，d全都大于等于0B．a，b，c，d全为正数C．a，b，c，d中至少有一个正数D．a，b，c，d中至多有一个负数解析：选A.至少有一个负数的否定是一个负数也没有，即a，b，c，d全都大于等于0.3.“M不是N的子集”的充要条件是()A ．若x ∈M ，则x ∈NB ．若x ∈N ，则x ∈MC ．存在x 1∈M 且x 1∈N ，又存在x 2∈N 且x 2∈MD ．存在x 0∈M 且x 0∉N解析：选D.假设M 是N 的子集，则M 中的任一个元素都是集合N 的元素，所以，要使M 不是N 的子集，只需存在x 0∈M 且x 0∉N .4.设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于________．解析：假设a 、b 、c 都小于13，则a ＋b ＋c ＜1与a ＋b ＋c ＝1矛盾．故a 、b 、c 中至少有一个不小于13. 答案：135.已知p 3＋q 3＝2，用反证法证明p ＋q ≤2时，得出的矛盾为________．解析：假设p ＋q >2，则p >2－q .∴p 3>(2－q )3＝8－12q ＋6q 2－q 3，将p 3＋q 3＝2代入得6q 2－12q ＋6<0，∴(q －1)2<0这不可能．∴p ＋q ≤2.答案：(q －1)2<06.已知a ，b ，c ∈(0，1)，求证(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能都大于14证明：假设三个式子同时大于14， 即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14， 三式相乘得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c >143， ① 又因为0<a <1，所以0<a (1－a )≤(a ＋1－a 2)2＝14. 同理0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤14， 所以(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤143， ② ①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．[B 级 能力提升]7.设a ，b ，c 均为正实数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR >0”是“P 、Q 、R 同时大于零”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.首先若P 、Q 、R 同时大于零，则必有PQR >0成立．其次，若PQR >0且P 、Q 、R 不都大于零，则必有两个为负，不妨设P <0，Q <0，即a ＋b －c <0，b ＋c －a <0，∴b <0与b >0矛盾，故P 、Q 、R 都大于零．8.设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三个数( ) A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2解析：选C.若a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c ＜6①，而a ＋b ＋c ＝x ＋1x y ＋1y ＋z ＋1z≥6②，显然①②矛盾，所以C正确．9.完成反证法证题的全过程．设a1，a2，…，a7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：反设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________________①＝________________②＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数．解析：将a1－1，a2－2，…，a7－7相加后，再分组结合计算．答案：(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)(a1＋a2＋...＋a7)－(1＋2＋ (7)10.(2012·佛山高二检测)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．证明：假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则a，b，c同时为奇数或a，b同时为偶数，c为奇数，当n为奇数时，an2＋bn为偶数；当n为偶数时，an2＋bn也为偶数，即an2＋bn＋c为奇数，与an2＋bn＋c＝0矛盾．∴f(x)＝0无整数根．11.(创新题)已知直线ax－y＝1与曲线x2－2y2＝1相交于P，Q两点，是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O，则OP⊥OQ.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1x1·y2x2＝－1，∴(ax1－1)(ax2－1)＝－x1·x2，即(1＋a2)x1·x2－a(x1＋x2)＋1＝0.由题意得(1－2a2)x2＋4ax－3＝0，∴x1＋x2＝－4a1－2a2，x1·x2＝－31－2a2.∴(1＋a2)·－31－2a2－a·－4a1－2a2＋1＝0，即a2＝－2，这是不可能的．∴假设不成立．故不存在实数a，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O.。
人教版A数学选修2-1：第三章3.1.4知能演练轻松闯关
1.已知{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( )A ．aB ．bC ．a ＋2bD ．a ＋2c解析：选D.∵a ＋2c ，a ＋b ，a －b 为不共面向量，∴a ＋2c 与p 、q 能构成一个基底．2.空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC中点，则MN →为( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －23c D.23a ＋23b －12c 解析：选B.MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13OA →＋OB →－OA →＋12(OC →－OB →) ＝－23OA →＋12OB →＋12OC → ＝－23a ＋12b ＋12c .3.在如图所示的正方体中，各棱长为1，写出下列各向量的坐标：(1)OB →＝_______________________________________________________，OB ′→＝________________________________________________________；(2)OA ′→＝_________________________________________________，OC ′→＝_________________________________________________________.答案：(1)(1，1，0) (1，1，1)(2)(1，0，1) (0，1，1)4.已知a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2＋e 3，c ＝e 1＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，若e 1，e 2，e 3不共面，且d ＝α a ＋β b ＋γc ，则α＋β＋γ＝__________．解析：由已知d ＝(α＋γ)e 1＋(α＋β)e 2＋(γ＋β)e 3.所以⎩⎪⎨⎪⎧α＋γ＝1，α＋β＝2，γ＋β＝3，故有α＋β＋γ＝3.答案：3[A 级 基础达标]1.下列说法中正确的是( )A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{a ，b ，c }中基向量与基底{e ，f ，g }中基向量对应相等解析：选C.A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底；B 项中，空间基底有无数个；D 项中因为基底不惟一，所以D 错．故选C.2.O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA →，OB →、OC →不能构成空间的一个基底，则( )A.OA →、OB →、OC →共线B.OA →、OB →共线C.OB →、OC →共线 D ．O 、A 、B 、C 四点共面解析：选D.由OA →、OB →、OC →不能构成基底知OA →、OB →、OC →三向量共面，所以O 、A 、B 、C四点共面．3.如图所示，已知A ，B ，C 三点不共线，P 为一定点，O 为平面ABC 外任一点，则下列能表示向量OP →的为( )A.OA →＋2AB →＋2AC →B.OA →－3AB →－2AC →C.OA →＋3AB →－5AC →D.OA →＋2AB →－3AC →解析：选C.连接AP (图略)．根据A 、B 、C 、P 四点共面的条件即可求得：AP →＝xAB →＋yAC →.即OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →，由图知x ＝3，y ＝－5.4.设a 、b 、c 是三个不共面向量，现从①a ＋b ，②a －b ，③a ＋c ，④b ＋c ，⑤a ＋b －c 中选出一个使其与a 、b 构成空间向量的一个基底，则可以选择的向量为__________．(填写代号) 解析：根据基底的定义，∵a ，b ，c 不共面，∴a ＋c ，b ＋c ，a ＋b －c 都能与a ，b 构成基底．答案：③④⑤5.如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，D ，E 分别为AA 1，B 1C的中点，若记AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ，则DE →＝__________(用a ，b ，c 表示)．解析：连接A 1E 、A 1C (图略)．DE →＝DA 1→＋A 1E →＝12AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1C →) ＝12AA 1→＋12(AB →＋AC →－AA 1→) ＝12c ＋12(a ＋b －c ) ＝12a ＋12b . 答案：12a ＋12b6.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E ，F 分别为BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出DB 1→，DE →，DF→的坐标．解：设x 、y 、z 轴的单位向量分别为e 1、e 2、e 3，其方向与各轴上的正方向相同，则DB 1→＝DA →＋AB →＋BB 1→＝2e 1＋2e 2＋2e 3，∴DB 1→＝(2，2，2)．∵DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝2e 1＋2e 2＋e 3，∴DE →＝(2，2，1)．∵DF →＝e 2，∴DF →＝(0，1，0)．[B 级 能力提升]7.设命题p ：a 、b 、c 是三个非零向量；命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，则a 、b 、c 不共面，所以a 、b 、c 必须均为非零向量，即q ⇒p ，但三个非零向量未必可以构成基底．8.若向量MA →，MB →，MC →的起点M 和终点A ，B ，C 互不重合且无三点共线，则能使向量MA →、MB →、MC →成为空间一组基底的关系是( )A.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → B.MA →＝MB →＋MC →C.OM →＝OA →＋OB →＋OC →D.MA →＝2MB →－MC →解析：选C.对于选项A ，由结论OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)⇔M ，A ，B ，C 四点共面知，MA →，MB →，MC →共面；对于B ，D 选项，易知MA →、MB →、MC →共面，故只有选项C 中MA →、MB →、MC →不共面．9.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，用AC →，AB 1→，AD 1→作为基向量，则AC 1→＝________．解析：AC 1→＝AA 1→＋A 1B 1→＋B 1C 1→＝AA 1→＋AB →＋AD →＝12[(AA 1→＋AB →)＋(AA 1→＋AD →)＋(AB →＋AD →)] ＝12(AB 1→＋AD 1→＋AC →) ＝12AC →＋12AB 1→＋12AD 1→. 答案：12AC →＋12AB 1→＋12AD 1→ 10.如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中的x 、y 、z 的值：(1)BD ′→＝x AD →＋y AB →＋z AA ′→；(2)AE →＝x AD →＋y AB →＋z AA ′→.解：(1)∵BD ′→＝BD →＋DD ′→＝BA →＋AD →＋DD ′→＝－AB →＋AD →＋AA ′→，又BD ′→＝x AD →＋y AB →＋z AA ′→，∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)∵AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12A ′C ′→ ＝AA ′→＋12()A ′B ′→＋A ′D ′→ ＝12AD →＋12AB →＋AA ′→， 又AE →＝x AD →＋y AB →＋z AA ′→.∴x ＝12，y ＝12，z ＝1. 11.(创新题)已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }为空间的另一个基底，若向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(1，2，3)，试求向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标． 解：设向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(x ，y ，z )，则p ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋zc ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋zc .又∵p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(1，2，3)，即p ＝a ＋2b ＋3c ，∴(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋zc ＝a ＋2b ＋3c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝2，z ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－12.z ＝3.∴p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是⎝⎛⎭⎫32，－12，3.。
人教版A数学选修2-1：第三章3.1.1知能演练轻松闯关
1.下列命题，正确的是( )A ．若a ≠b ，则|a |≠|b |B ．若|a |>|b |，则a >bC ．若a ＝b ，则|a |＝|b |D ．若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b解析：选C.A 显然错；向量不能比较大小，故B 错；C 正确；|a |＝|b |说明a 与b 长度相等，因为方向不定，所以D 错．2.在空间四边形OABC 中，OA →＋AB →－CB →等于( )A.OA →B.AB →C.OC →D.AC →解析：选C.OA →＋AB →－CB →＝OB →－CB →＝BC →－BO →＝OC →.3.如图，在三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC →与A ′C ′→是________向量；AB →与B ′A ′→是________向量．答案：相等 相反4.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝__________．解析：A 1B →＝CB →－CA 1→＝CB →－(CA →＋CC 1→)＝b －(a ＋c )＝b －c －a .答案：b －c －a[A 级 基础达标]1.给出下列命题：①若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；②在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→；③若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p .其中不正确的命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．0解析：选A.根据向量相等的定义——不仅模相等，而且方向相同，故①错；根据正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AC →与A 1C 1→的方向相同，模也相等，应有AC →＝A 1C 1→，故②正确；命题③显然正确．2.已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( )A.AB →＝AC →＋BC →B.AB →＝－AC →－BC →C.AC →与BC →同向D.AC →与CB →同向解析：选D.由条件可知，C 在线段AB 上，故D 正确．3.已知空间向量AB →，BC →，CD →，AD →，则下列结论正确的是( )A.AB →＝BC →＋CD →B.AB →－DC →＋BC →＝AD →C.AD →＝AB →＋BC →＋DC →D.BC →＝BD →－DC →解析：选B.根据向量加减法运算可得B 正确．4.式子(AB →－CB →)＋CC 1→运算的结果是__________．解析：(AB →－CB →)＋CC 1→＝(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→.答案：AC 1→5.给出下列命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若a ＝0，则－a ＝0；③|－a |＝|a |，其中正确命题的序号是__________．解析：①若|a |＝0，则a ＝0，即①错误；②正确；③正确．答案：②③6.如图所示，在长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA1＝1的长方体ABCD－A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为5的所有向量；(3)试写出与AB →相等的所有向量；(4)试写出AA 1→的相反向量．解：(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D →这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，BC 1→，C 1B →，B 1C →，CB 1→共8个．(3)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)共有A 1B 1→，DC →及D 1C 1→3个．(4)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →.[B 级 能力提升]7.在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 的形状一定是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形解析：选A.∵AC →＝AB →＋AD →，∴四边形ABCD 是以AB 与AD 为邻边，AC 为对角线的平行四边形．8.已知空间向量a 和b ，若p ：a ＝b ，则q ：|a |＝|b |，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选A.由p 知道两个向量相等，则它们的大小相等，所以能够推出q ；由q 知道两个向量的长度相等，它们的方向不知道，所以不能够推出p .9.在正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1中，设AB →＝a ，BC →＝b ，BB 1→＝c ，则用a 、b 、c 表示AE 1→＝__________．解析：AE 1→＝AD →＋DE →＋EE 1→＝2BC →－AB →＋BB 1→，所以AE 1→＝－a ＋2b ＋c .答案：－a ＋2b ＋c10.如图，已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列表达式．(1)AB →＋BB ′→－D ′A ′→＋D ′D →－BC →；(2)AC ′→－AC →＋AD →－AA ′→.解：(1)AB →＋BB ′→－D ′A ′→＋D ′D →－BC →＝AB ′→＋A ′D ′→＋(D ′D →－BC →)＝AB ′→＋B ′C ′→＋(D ′D →－AD →)＝AC ′→＋D ′A →＝AC ′→＋C ′B →＝AB →.(2)AC ′→－AC →＋AD →－AA ′→＝(AC ′→－AC →)＋(AD →－AA ′→)＝CC ′→＋A ′D →＝CC ′→－DA ′→＝CC ′→－CB ′→＝B ′C ′→.11.(创新题)如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、DB 的中点，请化简(1)AB →＋BC →＋CD →，(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．解：(1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，如图中向量AD →；(2)连接GF ，AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋BG →＋EC →＝AG →＋GF →＝AF →，如图中向量AF →.。
优化方案高中数学选修1 2人教A版41 流程图 课件
p＝
8.5
≠6＋2
9
,
∴
p＝
x
2＋
2
x
3＝
8.5,
∴ x 3＝8.5 ×2－9＝ 8.
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导引(dǎo
第四章 框 图
跟踪(gēnzōng)训练
3.(1)(2012·高考山东卷 )执行如图所示的程序框图 ,如果输 入a＝4,那么输出的 n 的值为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
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导引(dǎo
第四章 框 图
(2)(2013·郑州市月考 )某工厂加工某种零件(línɡ jiàn)的工序流
明确地表示动态过程从开始到结束的全部步骤 .
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第四章 框 图
想一想
1.流程图的作用(zuòyòng)是什么？ 提示:表示一种动态过程或者描述一个过程性的活动 ,从 而指导人们完成某项任务或者用于交流 .
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栏目(lán m 导引(dǎo y
工、返修加工和精加工 ,每道工序完成都要对产品进行 检验,粗加工的合格品进入精加工 ,不合格品进入返修加 工,返修加工的合格品进入精加工 ,不合格品作为废品处
理 ; 精加工的合格品为成品 ,不合格品为废品 .由上可知
一件成品至少要经过粗加工、检验、精加工、检验四 道程序 .
第二十五页，共35页。
栏目(lán m
第六页，共35页。
栏目(lán 导引(dǎo
第四章 框 图
想一想
2.程序框图与工序流程图有什么(shén me)主要区别？ 提示 :(1)程序框图必须运用标准的框图符号 ,而工序流程 图的图形比较随意 . (2)程序框图只有一个起点 (起始框 ),一个终点 (终止框 ), 而工序流程图通常有一个起点 (也可能两个或多个起点 ), 一个或多个终点 . (3) 在程序框图中 ,允许有闭合回路 (如循环结构 ),而在工 序流程图中 ,不允许有闭合回路 .
人教版A数学选修2-1：第一章1.2知能演练轻松闯关
1.“a>b”是“a>|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.由a>|b|⇒a>b，而a>b⇒/ a>|b|.2.(2011·高考天津卷)设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，∵A∪B＝C，∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充分必要条件．3.“lg x>lg y”是“x>y”的__________条件．解析：由lg x>lg y⇒x>y>0⇒x>y.而x>y有可能出现x>0，y＝0的情况，故x>y⇒/ lg x>lg y.答案：充分不必要4.如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的__________条件．解析：因为逆否命题为假，那么原命题为假，即A⇒/ B，又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，所以A是B的必要不充分条件．答案：必要不充分[A级基础达标]1.设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是()A．x>1 B．x<1C．x>3 D．x<3解析：选A.x>2⇒x>1，但x>1x>2.2.(2012·杭州质检)函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于y轴对称的充要条件是() A．b＝c＝0 B．b＝0且c≠0C．b＝0 D．b≥0解析：选C.f(x)关于y轴对称⇔－b2a＝0⇔b＝0.3.已知p：α≠β，q：cosα≠cosβ，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.￢p：α＝β；￢q：cosα＝cosβ，显然綈p⇒￢q成立，但￢q￢p，∴￢q是￢p的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件．4.用符号“⇒”或“”填空．(1)a >b __________ac 2>bc 2；(2)ab ≠0__________a ≠0.解析：(1)当c ≠0时，a >b ⇒ac 2>bc 2；当c ＝0时，ac 2＝bc 2.∴a >b ac 2>bc 2.(2)当ab ≠0时，a ≠0，且b ≠0，∴ab ≠0⇒a ≠0.答案：(1) (2)⇒5.已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a ＝__________． 解析：由1×3－a ×(a －2)＝0得a ＝3或－1，而a ＝3时，两条直线重合，所以a ＝－1. 答案：－16.指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)?(1)p ：△ABC 中，b 2>a 2＋c 2，q ：△ABC 为钝角三角形；(2)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形；(3)若a ，b ∈R ，p ：a 2＋b 2＝0，q ：a ＝b ＝0；(4)p ：△ABC 中，∠A ≠30°，q ：sin A ≠12. 解：(1)△ABC 中，∵b 2>a 2＋c 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac<0，∴B 为钝角，即△ABC 为钝角三角形，反之，若△ABC 为钝角三角形，B 可能为锐角，这时b 2<a 2＋c 2，∴p ⇒q ，q p ，故p 是q 的充分不必要条件．(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，∴p q ，q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．(3)若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，故p ⇒q ，若a ＝b ＝0，则a 2＋b 2＝0，即q ⇒p ，所以p 是q 的充要条件．(4)转化为△ABC 中sin A ＝12是∠A ＝30°的什么条件． ∵∠A ＝30°⇒sin A ＝12， 但是sin A ＝12∠A ＝30°， ∴△ABC 中sin A ＝12是∠A ＝30°的必要不充分条件， 即p 是q 的必要不充分条件．[B 级 能力提升]7.(2012·重庆调研)给出下列各组条件：(1)p ：ab ＝0，q ：a 2＋b 2＝0；(2)p ：xy ≥0，q ：|x |＋|y |＝|x ＋y |；(3)p ：m >0，q ：方程x 2－x －m ＝0有实根；(4)p ：|x －1|>2，q ：x <－1.其中p 是q 的充要条件的有( )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组解析：选A.(1)p q ，而q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．(2)p ⇒q ，且q ⇒p ，故p 是q 的充要条件．(3)Δ＝1＋4m ，当m >0时，Δ>1，方程x 2－x －m ＝0有实根，所以p ⇒q .反之不成立，所以p 是q 的充分不必要条件．(4)p ：|x －1|>2，即x >3或x <－1，∴p q ，而q ⇒p .∴p 是q 的必要不充分条件．8.(2011·高考天津卷)设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.x2＋y2≥4表示以原点为圆心，以2为半径的圆以及圆外的区域，即|x|≥2且|y|≥2，而x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，故A正确．9.“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的__________条件．解析：如果一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，则有b－5<0且k－4>0，得b<5，k>4；反之，当b<5时，b－5<0，即图象交y轴于负半轴，k>4时，k－4>0，即图象交x轴于正半轴．因此“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的充要条件．答案：充要10.命题p：x>0，y<0，命题q：x>y，1x>1y，则p是q的什么条件？解：p：x>0，y<0，则q：x>y，1x>1y成立；反之，由x>y，1x>1y⇒y－xxy>0，因y－x<0，得xy<0，即x、y异号，又x>y，得x>0，y<0.所以“x>0，y<0”是“x>y，1x>1y”的充要条件．11.(创新题)求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．解：当a＝0时，x＝－12符合题意．当a≠0时，令f(x)＝ax2＋2x＋1，由于f(0)＝1>0，∴当a>0时，Δ＝4－4a≥0，且－22a<0，即0<a≤1.当a<0，f(0)＝1，Δ＝4－4a>0，所以方程恒有负实数根．综上所述，a≤1为所求．。
人教版数学高二A数学选修1-22.2.1知能演练轻松闯关
1.下面叙述正确的是( )A ．综合法、分析法都是直接证明的方法B ．综合法是直接证法、分析法是间接证法C ．综合法、分析法所用语气都是肯定的D ．综合法、分析法所用语气都是假定的答案：A2.将正整数按下表的规律排列，1 4 5 16 ……2 3 6 15 ……9 8 7 14 ……10 11 12 13 ………… …… …… ……把行与列交叉处的一个数称为某行某列的数，记作a ij (i ，j ∈N *)，如第2行第4列的数是15，记作a 24＝15，则有序数对(a 82，a 28)是( )A ．(22，45)B ．(100，98)C ．(51，63)D ．(82，28)解析：选C.观察发现a 11＝1，a 22＝3，a 33＝7，a 44＝13，∴a 55＝21，a 66＝a 55＋10＝31，∴a nn ＝a (n －1)(n －1)＋2(n －1)，∴a nn ＝n 2－n ＋1，∴a 88＝82－8＋1＝57，由图形的特点可得a 82＝a 88－6＝51，a 28＝a 88＋6＝63，故有序数对(a 82，a 28)是(51，63)．3.已知数列{a n }是等比数列，a n >0，且a 4a 6＋2a 5a 7＋a 6a 8＝36，则a 5＋a 7＝________．解析：∵{a n }是等比数列，∴a 4a 6＝a 25，a 6a 8＝a 27，∴a 25＋2a 5a 7＋a 27＝36，即(a 5＋a 7)2＝36，又a n >0，∴a 5＋a 7＝6.答案：64.将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证____________，即证______________，由于______________显然成立，因此原不等式成立．答案：a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥0[A 级 基础达标]1.欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2 B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2解析：选C.根据不等式性质，a >b >0时，才有a 2>b 2，∴只需证：2＋7<6＋3，只需证：(2＋7)2<(3＋6)2.2.(2012·淄博市高二期中考试)若a <0，则下列不等式成立的是( )A ．2a >⎝⎛⎭⎫12a>0.2a B ．0.2a >⎝⎛⎭⎫12a >2a C.⎝⎛⎭⎫12a>0.2a >2aD ．2a >0.2a >⎝⎛⎭⎫12a 解析：选B.∵a <0，∴2a <0，⎝⎛⎭⎫12a>1，而当a <0时，0.2a >0.5a ，∴0.2a >⎝⎛⎭⎫12a >2a . 3.已知a >0，b >0，1a ＋3b ＝1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．7＋2 6B ．2 3C ．7＋2 3D ．14解析：选A.∵a ＋2b ＝(a ＋2b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝7＋3a b ＋2b a≥7＋23a b ·2b a ＝7＋2 6. 当且仅当⎩⎨⎧3a b ＝2ba 1a ＋3b ＝1时取得“＝”． 此时a ＝6＋1，b ＝3＋62.4.设P ＝2，Q ＝7－3，R ＝6－2，那么P 、Q 、R 的大小顺序是________．(注：从大到小排列)解析：要比较R 、Q 的大小，可对R 、Q 作差，即Q －R ＝7－3－(6－2)＝(7＋2)－(3＋6)，又(7＋2)2－(3＋6)2＝214－218<0，∴Q <R .又P －R ＝22－6＝8－6>0，∴P >R >Q .答案：P >R >Q5.已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)＝________． 解析：∵sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γcos α＋cos β＝－cos γ， 两式平方相加得：2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，∴cos(α－β)＝－12.答案：－126.已知a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：(ab ＋a ＋b ＋1)(ab ＋ac ＋bc ＋c 2)>16abc . 证明：左边＝[b (a ＋1)＋(a ＋1)]·[b (a ＋c )＋c (a ＋c )]＝(b ＋1)(a ＋1)(b ＋c )(a ＋c )．∵b ＋1≥2b ，a ＋1≥2a ，b ＋c ≥2bc ，a ＋c ≥2ac ，又∵a ，b ，c 为不全相等的正数，∴(b ＋1)(a ＋1)(b ＋c )(a ＋c )>16abc .[B 级 能力提升]7.设a 、b 、c 三数成等比数列，而x 、y 分别为a 、b 和b 、c 的等差中项，则a x ＋c y 等于() A ．1 B ．2C ．3D ．4解析：选B.∵ac ＝b 2，a ＋b ＝2x ，b ＋c ＝2y ，∴a x ＋c y ＝aa ＋b 2＋c b ＋c 2＝2a a ＋b ＋2cb ＋c＝2a （b ＋c ）＋2c （a ＋b ）（a ＋b ）（b ＋c ）＝2ab ＋4ac ＋2bcab ＋b 2＋bc ＋ac＝2ab ＋4ac ＋2bc ab ＋ac ＋bc ＋ac＝2. 8.已知△ABC 中，cos A ＋cos B >0，则必有( )A ．0<A ＋B <πB ．0<A ＋B <π2 C.π2<A ＋B <π D.π2≤A ＋B <π 解析：选A.由cos A ＋cos B >0得cos A >－cos B ，∴cos A >cos(π－B )．∵0<A <π，0<B <π，且y ＝cos x 在x ∈(0，π)上单调递减．∴A <π－B .∴A ＋B <π，即0<A ＋B <π.9.已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是__________． 解析：∵αβ >0，|α|>22，|β|>2 2.∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ >8＋8＋2×8＝32>25.∴|α＋β|>5.答案：①③⇒②10.已知a >b >0，求证：（a －b ）28a <a ＋b 2－ab <（a －b ）28b. 证明：欲证（a －b ）28a <a ＋b 2－ab <（a －b ）28b， 只需证（a －b ）24a <a ＋b －2ab <（a －b ）24b. ∵a >b >0， ∴只需证a －b 2a <a －b <a －b 2b， 即证a ＋b 2a <1<a ＋b 2b. 只需证1＋b a <2<1＋a b . 即证b a <1<a b.只需证b a <1<a b . 而a >b >0，∴b a <1<a b成立．∴原不等式成立．11.(创新题)如图所示，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、BC的中点，EF ∩BD＝G.求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1.证明：法一：要证明平面B1EF⊥面BDD1B1，只需证面B1EF内有一线垂直于面BDD1B1，即EF⊥面BDD1B1，要证EF⊥面BDD1B1，只需证EF垂直平面BDD1B1内两条相交直线即可，即证EF⊥BD，EF⊥B1G.而EF∥AC，AC⊥BD，故EF⊥BD成立．故只需证EF⊥B1G即可．又∵△B1EF为等腰三角形，EF中点为G，∴B1G⊥EF成立．∴EF⊥面BDD1B1成立，从而问题得证．法二：连结AC(图略)．∵ABCD－A1B1C1D1为正四棱柱，∴▱ABCD为正方形，∴AC⊥BD.又∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF∥AC，B1E＝B1F.∴EF⊥BD.又∵△B1EF为等腰三角形且G为EF的中点，∴B1G⊥EF.又B1G∩BD＝G，∴EF⊥平面BDD1B1.又EF⊂平面B1EF，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.。
人教版A数学选修2 1：第二章2.4.2知能演练轻松闯关
人教版A数学选修2 1：第二章2.4.2知能演练轻松闯关人教版a数学选修2-1：第二章2.4.2知能演练轻松闯关1.顶点位于原点，对称轴为Y轴，顶点到准直的距离为4的抛物线方程为（）a.x2=16yc。
X=±8y2b、 x2＝8码x＝±16y2二2二2分析：选择d。
有两个抛物线方程，顶点在原点，对称轴为Y轴：x=-2PY，x=2PY（P>0）。
从顶点到准直的距离是4，P=8，所以抛物线方程是x=16y，x=-16y2.过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为()a．8c．32二b．16d．64二解析：选b.由抛物线y＝8x的焦点为(2，0)，得直线的方程为y＝x－2，代入y＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0，∴x1＋x2＝12，弦长＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.3.抛物线y2=4x的弦ab垂直于x轴。
如果|ab |=43，焦点到弦ab的距离是|分析：设a（x，23），那么（23）=4x，‡x=3，ψab的方程是x=3，抛物线的焦点是（1，0），焦点到弦ab的距离是2答案：24.如果通过点（2，4）的直线和抛物线y2=8x之间只有一个公共点，那么这样的直线就有____________________。
分析：可以看出，点（2,4）位于抛物线y2=8x上，通过点（2,4）和抛物线y2=8x之间有两条直线，只有一个公共点，一个是抛物线的切线，另一个平行于抛物线的对称轴[a级基础达标]二1.(2021奉节调研)与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x的切线方程为()a．2x－y ＋3＝0b．2x－y－3＝0c、 2x－y＋1＝0d.2x－y－1＝0解析：选d.设切线方程为2x－y＋m＝0，与y＝x2联立得x2－2x－m＝0，δ＝4＋4m ＝0，m＝－1，也就是说，切线方程是2x-y-1=02.设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()a．(6，＋∞)c．(3，＋∞)p‡=3，即P=6.2p从抛物线上的点到准线的距离的最小值是，2b、 [6，＋∞)d、 [3，＋∞)2分析：选择D。
高中数学 电子题库 4.1知能演练轻松闯关 新人教B版选
人教版B 数学选修1-2电子题库 4.1知能演练轻松闯关1.下列说法正确的是( )A ．流程图只有1个起点和1个终点B ．程序框图只有1个起点和1个终点C ．工序图只有1个起点和1个终点D ．以上都不对解析：选B.程序框图只有一个起点“开始”和一个终点“结束”． 2.表示旅客搭乘火车的流程图正确的是( ) A.买票→候车→上车→检票 B.候车→买票→上车→检票 C.买票→候车→检票→上车 D.候车→买票→检票→上车解析：选C.按照时间的先后顺序，显然是选C.3.某一算法流程图如图，输入x ＝1得结果是________．解析：本题是一个分段函数求值问题y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋3， （x ＜0）0， （x ＝0）12x －5. （x ＞0）∴当x ＝1时，y ＝12－5＝－92.答案：－924.已知函数f (x )＝|x －3|，将下面的流程图补充完整． ①处填________，②处填________．解析：f (x )＝|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥3，3－x ，x ＜3.答案：x ＜3 y ＝x －3[A 级 基础达标]1.下列框图中，是流程图的是( )A.整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂B.随机事件→频率→概率C.挂号→候诊→就诊→交费→取药D.解析：选C.流程图是一个动态过程，有先后顺序，只有C 项符合要求． 2.读下面程序框图，说明输出结果( )A ．6B ．4C ．3D ．1 解析：选B.∵a ＝1，b ＝a ＋3，∴b ＝4.3.(2011·高考天津卷)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为( )A．3 B．4C．5 D．6解析：选B.由a＝1，i＝0→i＝0＋1＝1，a＝1×1＋1＝2→i＝1＋1＝2，a＝2×2＋1＝5→i ＝2＋1＝3，a＝3×5＋1＝16→i＝3＋1＝4，a＝4×16＋1＝65>50，∴输出4.4.(2012·山东济南一中高二期末)如图所示的程序框图输出的值是________．解析：由题意可得a＝1，b＝1，k＝1时，c＝2；a＝1，b＝2，k＝2时，c＝3；a＝2，b＝3，k＝3时，c＝5；a＝3，b＝5，k＝4时，c＝8；a＝5，b＝8，k＝5时，c＝13；a＝8，b＝13，k＝6时，c＝21；a＝13，b＝21，k＝7时，c＝34；a＝21，b＝34，k＝8时，c＝55；a＝34，b＝55，k＝9时，c＝89；a＝55，b＝89，k＝10时，c＝144.因此输出c＝144.答案：1445.某地联通公司推出10010电话服务，其中话费查询业务流程如下：如果某人用手机查询该机卡上余额，其操作为_______________________________．解析：因为是查询本机余额，应先按1号键，再按2号键．答案：拨通10010电话，按1号键，再按2号键6.儿童乘坐火车时，若身高不超过1.1 m，则无需购票；若身高超过1.1 m但不超过1.4 m，可买半票；若身高超过1.4 m，应买全票，设计一个算法用流程图表示．解：[B 级 能力提升]7.(2011·高考辽宁卷)执行下面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的p 是( )A ．8B ．5C ．3D ．2解析：选C.n ＝4，s ＝0，t ＝1，k ＝1，p ＝1，1<4，p ＝0＋1＝1，s ＝1，t ＝1；k ＝2，2<4，p ＝1＋1＝2，s ＝1，t ＝2；k ＝3，3<4，p ＝1＋2＝3，s ＝2，t ＝3；k ＝4，4<4不成立，输出p ＝3.8.(2012·山东济宁高二月考)某流程如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝ln x ＋2x －6D ．f (x )＝sin x解析：选D.由题意可知，输出的函数既是奇函数，又有零点，只能选D.9.(2012·山东青州高二月考)在一次演讲比赛中，10位评委对一名选手打分的茎叶图如下所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据x i (1≤i ≤8)，在如图所示的程序框图中，x是这8个数据中的平均数，则输出的S2的值为________．78 880 2 2 6 6 890 1解析：由题意可知这8个数据的平均数是x＝84，框图要求输出的是这8个数值的方差，由题中的数据可计算方差为15.答案：1510.公历规定：如果年份数字被4整除而不被100整除，就是闰年；如果年份数字被400整除，也是闰年，其他的年份都不是闰年．将这个规则用程序框图表示．解：这个规则用程序框图表示如图所示．11.(创新题)下图是某单位冷空调的工作流程图．某一时刻，空调没有工作．试分析其可能的原因．(空调无故障)解：空调不工作的原因可能有①电源没有开启；②室温偏低．。
人教A版选修2-32.4知能演练轻松闯关基础达标(含答案解析).docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作1．关于正态分布N (μ，σ2)，下列说法正确的是( )A ．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件B ．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件C ．随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件D ．随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件解析：选D .∵P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.997 4.∴P (X >μ＋3σ或X <μ－3σ)＝1－P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6.∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．2．已知随机变量ξ服从正态分布N (4，σ2)，则P (ξ＞4)＝( ) A.15 B .14C.13 D .12解析：选D .由正态分布图象，可知μ＝4是该图象的对称轴，∴P (ξ＜4)＝P (ξ＞4)＝12. 3．若随机变量X 的密度函数为f (x )＝12π·e －x 22，X 在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p 1，p 2，则p 1，p 2的关系为( )A ．p 1>p 2B ．p 1<p 2C ．p 1＝p 2D ．不确定解析：选C.由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x ＝0对称，所以p 1＝p 2.故选C.4．若随机变量X ～N (1,9)，则D ⎝⎛⎭⎫13X 的值是( )A ．1B ．3C ．9D .13解析：选A.∵X ～N (1,9)，∴σ2＝D (X )＝9.∴D ⎝⎛⎭⎫13X ＝19D (X )＝1.5．已知随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，且P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，若μ＝4，σ＝1，则P (5<X <6)等于( )A ．0.135 8B ．0.135 9C ．0.271 6D ．0.271 8解析：选B .由题，可知P (5<X <6)＝[P (2<X ≤6)－P (3<X ≤5)]÷2＝0.954 4－0.682 62＝0.135 9.6．图是三个正态分布X ～N (0,0.25)，Y ～N (0,1)，Z ～N (0,4)的密度曲线，则三个随机变量X ，Y ，Z 对应曲线分别是图中的________、________、________.解析：在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．答案：① ② ③7．设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，则c ＝________.解析：ξ服从正态分布N (2,9)，且P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，∴μ＝2，σ＝3，(c ＋1)＋(c －1)2＝2，则c ＝2.答案：28．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(2，＋∞)上取值的概率为________．解析：由正态分布的特征易得P (ξ>2)＝12×[1－2P (0<ξ<1)]＝12×(1－0.8)＝0.1. 答案：0.19．设X ～N (0,1)．(1)求P (－1＜X ≤1)；(2)求P (0＜X ≤2)．解：(1)X ～N (0,1)时，μ－σ＝－1，μ＋σ＝1，所以P (－1＜X ≤1)＝0.682 6.(2)μ－2σ＝－2，μ＋2σ＝2，正态曲线φ(x )关于直线x ＝0对称，所以P (0＜X ≤2)＝12P (－2＜X ≤2)＝12×0.954 4＝0.477 2. 10．设X ～N (4,1)，证明P (2<X <6)＝2P (2<X ≤4)．证明：因为μ＝4，所以正态曲线关于直线x ＝4对称，所以P (2<x ≤4)＝P (4<X <6)．又因为P (2<X <6)＝P (2<X ≤4)＋P (4<X <6)，所以P (2<X <6)＝2P (2<X ≤4)．。
2021年高考数学 第2课时 知能演练轻松闯关 新人教A版选修4-1(1)
2021年高考数学 第2课时 知能演练轻松闯关 新人教A 版选修4-1一、选择题1．(2021·高考北京卷)如图，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，那么( )A ．CE ·CB ＝AD ·DBB ．CE ·CB ＝AD ·ABC ．AD ·AB ＝CD 2D ．CE ·EB ＝CD 2解析：选A.在直角三角形ABC 中，依照直角三角形射影定理可得CD 2＝AD ·DB ，再依照切割线定理可得CD 2＝CE ·CB ，因此CE ·CB ＝AD ·DB .二、填空题2．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上异于A ，B 的点，CD ⊥AB ，垂足为D ，已知AD ＝2，CB ＝43，那么CD ＝________. 解析：依照射影定理得CB 2＝BD ×BA ，即(43)2＝BD (BD ＋2)，得BD ＝6.又CD 2＝AD ×BD ＝12，因此CD ＝12＝2 3.答案：233．(2021·高考天津卷)如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，那么线段CD 的长为________． 解析：由相交弦定理可得CF ·FE ＝AF ·FB ，得CF ＝2.又因为CF ∥DB ，因此CF DB ＝AF AB ，得DB ＝83，且AD ＝4CD ，由切割线定理得DB 2＝DC ·DA ＝4CD 2，得CD ＝43. 答案：43 4．(2021·佛山模拟)如图，以AB ＝4为直径的圆与△ABC 的两边别离交于E ，F 两点，∠ACB ＝60°，那么EF ＝________.解析：连接BF，OE，OF，那么BF⊥AC，∴∠CBF＝30°，弦EF所对的圆心角∠EOF ＝60°，故EF等于圆的半径2.答案：25.(2021·高考广东卷)如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，知足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，那么PA＝________.解析：如图，连接OA.由∠ABC＝30°，得∠AOC＝60°，在直角三角形AOP中，OA＝1，于是PA＝OA tan 60°＝ 3.答案：36.(2021·高考陕西卷)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，假设AB＝6，AE＝1，那么DF·DB＝________.解析：由相交弦定理可知ED2＝AE·EB＝1×5＝5.又易知△EBD与△FED相似，得DF·DB ＝ED2＝5.答案：5三、解答题7．已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E.(1)求证：AD的延长线平分∠CDE；(2)假设∠BAC＝30°，△ABC中BC上的高为2＋3，求△ABC外接圆的面积．解：(1)证明：如图，设F为AD延长线上一点．∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF＝∠ABC.又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠CDF，对顶角∠EDF ＝∠ADB ，故∠EDF ＝∠CDF ，即AD 的延长线平分∠CDE .(2)设O 为外接圆圆心，连接AO 并延长交BC 于H ，则AH ⊥BC .连接OC ，由题意∠OAC ＝∠OCA ＝15°，∠ACB ＝75°，∴∠OCH ＝60°.设圆半径为r ，那么r ＋32r ＝2＋3，得r ＝2，那么外接圆的面积为4π.8.(2021·泉州调研)如图，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于点D ，假设AD ＝1，∠ABC ＝30°，求圆O 的面积．解：∵CE 是⊙O 的切线，那么∠ACD ＝∠ABC ＝30°.在Rt △ACD 中，ADAC ＝sin 30°，那么AC ＝2.又在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，那么AB ＝2AC ＝4.∴圆O 的面积S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫422π＝4π. 9．(2021·高考江苏卷)如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，连接BD 并延长至点C ，使BD ＝DC ，连接AC ，AE ，DE .求证：∠E ＝∠C .证明：连接OD ，因为BD ＝DC ，O 为AB 的中点，因此OD ∥AC ，于是∠ODB ＝∠C .因为OB ＝OD ，因此∠ODB ＝∠B .于是∠B ＝∠C .因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，因此∠E和∠B为同弧所对的圆周角，故∠E＝∠B.因此∠E ＝∠C .10.如下图，以直角三角形ABC 的直角边AC 为直径作⊙O ，交斜边AB 于点D ，E 为BC 边的中点，连接DE .请判定DE 是不是为⊙O 的切线，并证明你的结论．解：DE 是⊙O 的切线．证明如下：如图，连接OD 、CD ，那么OD ＝OC ，∴∠OCD ＝∠ODC .又AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°.∴三角形CDB 为直角三角形．又E 为BC 的中点，∴DE ＝12BC ＝CE ， ∴∠ECD ＝∠EDC .又∠OCD ＋∠ECD ＝90°，∴∠ODC ＋∠EDC ＝90°，即∠ODE ＝90°，∴DE 为⊙O 的切线．11.在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 的延长线于点D ，连结CP .(1)求证：PC AC ＝PD BD ；(2)假设AC ＝3，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：∵A 、B 、C 、P 四点共圆，∴∠CPD ＝∠ABC .又∵∠D ＝∠D ，∴△DPC ∽△DBA ，∴PC BA ＝PD BD， 又∵AB ＝AC ，∴PC AC ＝PD BD. (2)∵AB ＝AC ，∠ACB ＋∠ACD ＝180°.∴∠APC ＝∠ACD .∴△APC ∽△ACD ，∴AP AC ＝AC AD .∴AP ·AD ＝AC 2＝9.12.如图，已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，∠ACB 的平分线别离交AE 、AB 于点F 、D .(1)求∠ADF 的度数；(2)假设AB ＝AC ，求AC BC 的值．解：(1)∵AC 为圆O 的切线，∴∠B ＝∠EAC .又CD 是∠ACB 的平分线，∴∠ACD ＝∠DCB ，∴∠B ＋∠DCB ＝∠EAC ＋∠ACD ，即∠ADF ＝∠AFD .又∵BE 为圆O 的直径，∴∠BAE ＝90°，∴∠ADF ＝12(180°－∠BAE )＝45°. (2)∵∠B ＝∠EAC ，∠ACE ＝∠BCA ，∴△ACE ∽△BCA ，∴AC BC ＝AE BA .又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠ACB ＝∠EAC ，由∠BAE ＝90°及三角形内角和定理知，∠B ＝30°.∴在Rt △ABE 中，AC BC＝AEBA＝tanB＝tan 30°＝33.13.如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，＝，DE 交AB 于点F ，且AB ＝2BP ＝4.(1)求PF 的长度；(2)假设圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度．解：(1)连接OC ，OD ，OE ，由同弧所对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中条件弧长AE 等于弧长AC 可得∠CDE ＝∠AOC .又∠CDE ＝∠P ＋∠PFD ，∠AOC ＝∠P ＋∠OCP ，从而∠PFD ＝∠OCP ，故△PFD ∽△PCO ，∴PF PC ＝PD PO .由割线定理知，PC ·PD ＝PA ·PB ＝12，故PF ＝PC ·PD PO ＝124＝3.(2)假设圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ，因为OF ＝2－r ＝1，即r ＝1.因此OB 是圆F 的直径，且过P 点圆F 的切线为PT ，那么PT 2＝PB ·PO ＝2×4＝8，即PT ＝2 2.14．(2021·高考课标全国卷)如图，D ，E 别离为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点．假设CF ∥AB ，证明：(1)CD ＝BC ；(2)△BCD ∽△GBD .证明：(1)因为D ，E 别离为AB ，AC 的中点， 因此DE ∥BC .又已知CF ∥AB ，故四边形BCFD 是平行四边形，因此CF ＝BD ＝AD .而CF ∥AD ，连接AF ，因此四边形ADCF 是平行四边形，故CD ＝AF .因为CF ∥AB ，因此BC ＝AF ，故CD ＝BC .(2)因为FG ∥BC ，故GB ＝CF .由(1)可知BD＝CF，因此GB＝BD，因此∠BGD＝∠BDG.由BC＝CD知，∠CBD＝∠CDB.而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.。
2021年高考数学 第1课时 知能演练轻松闯关 新人教A版选修4-1(1)
2021年高考数学 第1课时 知能演练轻松闯关 新人教A 版选修4-1一、填空题1．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，BC ＝5，点E 、F 别离在AB 、CD 上，且EF ∥AD ，假设AE EB ＝34，那么EF 的长为________．解析：如下图，延长BA 、CD 交于点P ，∵AD ∥BC ，∴PA PB ＝AD BC＝25， ∴PA AB ＝23.又∵AE EB ＝34，∴AE AB ＝37，∴PA AE ＝149，∴PA PE ＝1423.∵AD ∥EF ，∴AD EF ＝PA PE ＝1423.又AD ＝2，∴EF ＝237. 答案：2372．一直角三角形的两条直角边之比是1∶3，那么它们在斜边上的射影的比是________． 解析：如图，在直角三角形ABC 中，BC ∶AC ＝1∶3，作CD ⊥AB 于D .由射影定理得BC 2＝BD ·AB ，AC 2＝AD ·AB ，则BC 2AC 2＝BD AD ＝19.故它们在斜边上的射影的比是1∶9. 答案：1∶93．如图，在直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，那么DE ＝________.解析：由勾股定理得：BC ＝AB 2＋AC 2＝5.由射影定理得：CD ＝AC 2BC＝95. 由三角形面积相等得：AD ＝AB ·AC BC＝125.又由三角形面积相等得：DE ＝AD ·DC AC＝3625. 答案：36254.(2020·高考陕西卷)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，那么BE ＝________.解析：∵AC ＝4，AD ＝12，∠ACD ＝90°， ∴CD 2＝AD 2－AC 2＝128， ∴CD ＝82.又∵AE ⊥BC ，∠B ＝∠D ， ∴△ABE ∽△ADC ， ∴ABAD ＝BECD，∴BE ＝AB ·CD AD＝6×8212＝4 2.答案：42 5.如图，在直角梯形ABCD 中，上底AD ＝3，下底BC ＝3 3，与两底垂直的腰AB＝6，在AB 上选取一点P ，使△PAD 和△PBC 相似，如此的点P 有________个．解析：设AP ＝x .(1)假设△ADP ∽△BPC ，那么AD BP＝AP BC，即36－x ＝x33，因此x 2－6x ＋9＝0，解得x ＝3.(2)假设△ADP ∽△BCP ，那么AD BC＝AP BP，即33 3＝x6－x，解得x＝32，因此符合条件的点P有两个．答案：两6．如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连接BD ，EC .假设BD ∥EC ，那么四边形ABCD 的面积为________．解析：过点E 作EN ⊥DB 交DB 的延长线于点N ， 在Rt △DFB 中，DF ＝3，FB ＝1，那么BD ＝10.由Rt △DFB ∽Rt △ENB ， 知ENDF ＝BEBD， 因此EN ＝31010.又BD ∥EC ，因此EN 为△BCD 底边BD 上的高，故S 四边形ABCD ＝S △ABD＋S △BCD ＝12AB ·DF ＋12BD ·EN ＝12×3×3＋12×10×31010＝6. 答案：6 二、解答题7．(2021·南通调研)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 别离为线段AB ，AD 的中点，求EF 的长．解：连结DE ，由于E 是AB 的中点， 故BE ＝a2.又CD ＝a2，AB ∥DC ，CB ⊥AB ，∴四边形EBCD 是矩形．在Rt △ADE 中，AD ＝a ，F 是AD 的中点，故EF ＝a2.8.如图，在正三角形ABC 中，D ，E 别离在AC ，AB 上，且AD AC ＝13，AE ＝BE ，求证：△AED ∽△CBD .证明：∵三角形ABC是正三角形，∴AB＝BC＝AC，∴AEAB＝AEBC＝12，∵AD AC ＝13，∴AD CD ＝12. ∴AD CD ＝AEBC.又∵∠A ＝∠C ＝60°， ∴△AED ∽△CBD .9．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E 、F 别离是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M .假设DB ＝9，求BM 的长．解：∵E 是AB 的中点，∴AB ＝2EB . ∵AB ＝2CD ，∴CD ＝EB .又AB ∥CD ，∴四边形CBED 是平行四边形．∴CB ∥DE ，∴⎩⎪⎨⎪⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠EDM ＝∠FBM ，∴△EDM ∽△FBM ，∴DM BM＝DE BF.∵F 是BC 的中点，∴DE ＝2BF . ∴DM ＝2BM ，∴BM ＝13DB ＝3.10.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 为AD 上一点，CF ∥AB ，BP 的延长线交AC 、CF 于E 、F 两点，求证：PB 2＝PE ·PF .证明：如图，连接PC . 易证PC ＝PB ，∠ABP ＝∠ACP . ∵CF ∥AB ， ∴∠F ＝∠ABP . 从而∠F ＝∠ACP .又∠EPC 为△CPE 与△FPC 的公共角， 从而△CPE ∽△FPC ，∴CP FP＝PE PC.∴PC 2＝PE ·PF .又PC ＝PB ，∴PB2＝PE·PF，命题得证．11．如图，AB∥CD，AB＝AC＝AD＝5，BC＝6.(1)求证：∠CAB＝2∠DBA；(2)求BD的长．解：(1)证明：∵AB＝AC＝AD，∴点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上，∴∠CAB＝2∠BDC.∵AB∥CD，∴∠DBA＝∠BDC，∴∠CAB＝2∠DBA.(2)延长BA交⊙A于点E，连结ED，∵AB＝AC＝AD＝5，BC＝6，易知ED＝6，EB＝10是⊙A的直径，∴ED⊥DB，∴BD2＝EB2－ED2＝102－62＝82，∴BD＝8.12.如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C.(1)求证：△ABF∽△EAD；(2)假设AB＝4，∠1＝30°，AD＝3，求BF的长．解：(1)证明：∵AB∥CD，∴∠1＝∠2.又∵∠BFE＝∠C，∠BFE＋∠BFA＝∠C＋∠D，∴∠BFA＝∠D，∴△ABF∽△EAD.(2)∵AE＝4sin 60°＝8 33.又BFAD ＝ABAE，∴BF ＝AB AE·AD ＝3 32.13．如图，▱ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)假设△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD ，∴∠ABF ＝∠CEB ， ∴△ABF ∽△CEB .(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ， ∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF . ∴S △DEF S △CEB＝⎝⎛⎭⎪⎫DE CE 2，S △DEF S △ABF＝⎝⎛⎭⎪⎫DE AB 2.又∵DE ＝12CD ＝12AB ，∴CE ＝DE ＋CD ＝DE ＋2DE ＝3DE . ∴S △DEF S △CEB ＝⎝⎛⎭⎪⎫DE 3DE 2＝19，S △DEF S △ABF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE 2DE 2＝14. ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8. ∴S ▱ABCD ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24.14.如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，底边BC 上的高AD ＝10 cm ，腰AC 上的高BE ＝12 cm.(1)求证：AB BD ＝53；(2)求△ABC 的周长．解：(1)证明：在△ADC和△BEC中，∵∠ADC＝∠BEC＝90°，∠C＝∠C，∴△ADC∽△BEC，∴AC BC ＝AD BE ＝1012＝56. ∵AD 是等腰三角形ABC 底边BC 的高线， ∴BC ＝2BD .又AB ＝AC ，∴AC BC ＝AB 2BD ＝56，∴AB BD ＝53. (2)设BD ＝x ，那么AB ＝53x . 在Rt △ABD 中，∠ADB ＝90°，依照勾股定理，得AB 2＝BD 2＋AD 2， ∴(53x )2＝x 2＋102，解得x ＝. ∴BC ＝2x ＝15，AB ＝AC ＝53x ＝， ∴△ABC 的周长为40 cm.。
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1.进入互联网时代，经常发送电子邮件．一般而言，发送电子邮件要分成以下几个步骤：(a)打开电子信箱；(b)输入发送地址；(c)输入主题；(d)输入信件内容；(e)点击“写邮件”；(f)点击“发送邮件”．正确的步骤是()
A．a→b→c→d→e→f B．a→c→d→f→e→b
C．a→e→b→c→d→f D．b→a→c→d→f→e
解析：选C.可逐步排除，第一步应打开电子信箱，故排除D.第二步应点击“写邮件”，故选C.
2.把x＝－1输入如图所示的流程图可得()
A．－1 B．0
C．1 D．不存在
解析：选C.由x＝－1＜0，可知y＝1.
3.下图是某算法程序框图，则程序运行后输出的结果是________．
解析：s＝0，n＝1；代入到解析式中，s＝0＋(－1)＋1＝0，n＝2；s＝0＋1＋2＝3，n＝3；s ＝3＋(－1)＋3＝5，n＝4；s＝5＋1＋4＝10，此时s>9，输出．
答案：10
4.小明每天早晨起床后要做如下事情：洗漱用5分钟，收拾床褥用4分钟，听广播用15分钟，吃早饭用8分钟，要完成这些事情，小明要花费的最少时间为________分钟．
解析：把过程简化，把能放在同一个时间内完成的并列，如听广播的同时可以洗涮、收拾被褥、吃早饭等．
答案：17
[A级基础达标]
1.表示旅客搭乘火车的流程正确的是()
A．买票→候车→上车→检票
B．候车→买票→上车→检票
C．买票→候车→检票→上车
D．候车→买票→检票→上车
答案：C
2.个人求职流程图如图所示，其中空白处为()
A．仔细调查用人单位情况
B．认真学习求职登记表
C．仔细填写登记表
D．到用人单位上班
解析：选C.应将求职表填写好后交给工作人员审验编号，故选C.
3.在如图所示的框图中，若该图中输入的值与输出的值相等，则输入的a值应为()
A．1 B．3
C．1或3 D．0或3
解析：选D.输入的值为a，输出的值为－a2＋4a，由a＝－a2＋4a得a＝0或3.
4.如图，判断正整数x是奇数还是偶数，则①处应填“________”．
解析：由奇数、偶数性质知余数为1时为奇数，再由判断框意义知应填“r＝1？”．
答案：r＝1?
5.如图所示的算法程序框图中，令a＝tan 315°，b＝sin 315°，c＝cos 315°，则输出结果为________．
解析：程序框图的算法是求出a ，b ，c 三个数中的最大值．对于tan 315°＝－1，sin 315°＝－22，cos 315°＝22，故输出的结果为22
. 答案：22
6.在工业上用黄铁矿制取硫酸大致经过三道程序：造气、接触氧化和SO 3的吸收．造气，即黄铁矿与空气在沸腾炉中反应产生SO 2，矿渣作废物处理，SO 2再经过净化处理；接触氧化，是使SO 2在接触室中反应产生SO 3和SO 2，其中SO 2再循环进行接触氧化；吸收阶段，是SO 3在吸收塔内反应产生硫酸和废气．请根据上述简介，画出制备硫酸的工序流程图． 解：按照工序要求，可以画出如图所示的工序流程图．
[B 级 能力提升]
7.张老师给学生们出了一道题，“试写出一个程序框图，计算S ＝1＋13＋15＋17＋19
”．发现同学们有如下几种做法，其中有一个是错误的，这个错误的做法是( )
解析：选C.从选项中观察，C 与D 中的循环体相同，仅判断框内的条件不同，对C 进行检
验，发现C 选项是计算S ＝1＋13＋15＋17
的程序框图．
8.如图，小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连续标注的数字表
示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量是( )
A ．26
B ．24
C ．20
D ．19
解析：选D.由A →B 有4条路线，4条路线单位时间内传递的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.
9.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x 1，…，x 4(单位：吨)．根据如图所示的程序框图，若x 1，x 2，x 3，x 4分别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果s 为________．
解析：第一次执行后，s 1＝0＋1＝1，s ＝1，i ＝2；
第二次执行后，s 1＝1＋1.5＝2.5，s ＝12×2.5＝1.25，i ＝3； 第三次执行后，s 1＝2.5＋1.5＝4，s ＝43
，i ＝4； 第四次执行后，s 1＝4＋2＝6，s ＝14
×6＝1.5， i ＝5＞4，结束循环，故输出的结果s 为1.5.
答案：1.5
10.某市环境保护局信访工作流程如下：
(1)信访办受理来访，一般信访填单转办；重大信访报局长批示后转办．
(2)及时转送有关部门办理、督办，如特殊情况未能按期办理完毕，批准后可延办，办理完毕后反馈．
(3)信访办理情况反馈后，归档备查，定期通报．
据上画出该局信访工作流程图．
解：如图所示：
原因(空调无故障)．
解：空调不工作的原因可能有：
①电源没有开启；
②室温偏低．。