2015届高三物理暑期微训练《“等时圆”模型》
(完整版)等时圆模型
1等时圆模型一、何谓“等时圆”例：如图1所示，ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a 、b 、c 、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。
每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a 、b 、c 处释放（初速为0），用t 1、t 2、t 3依次表示各滑环到达d 所用的时间，则（ ） A.t 1<t 2<t 3 B.t 1>t 2>t 3 C .t 3>t 1>t 2 D.t 1=t 2=t 3解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为R ，由牛顿第二定律得，ma mg =θcos ①再由几何关系，细杆长度θcos 2R L = ②设下滑时间为t ，则221at L = ③由以上三式得，gRt 2= 可见下滑时间与细杆倾角无关，所以D 正确。
由此题我们可以得出一个结论。
结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。
推论：若将图1倒置成图2的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。
像这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。
关于它在解题中的应用，我们看下面的例子：二、“等时圆”的应用1、 可直接观察出的“等时圆”例1：如图3，通过空间任一点A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ ） A.球面 B.抛物面 C.水平面 D.无法确定 答案：A例2：如图4，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于M 点，与竖直墙相切于点A ，竖直墙上另一点B 与M 的连线和水平面的夹角为600，C 是圆环轨道的圆心，D 是圆环上与M 靠得很近的一点（DM 远小于CM ）。
已知在同一时刻：a 、b 两球分别由A 、B 两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M 点；c 球由C 点自由下落到M 点；d 球从D 点静止出发沿圆环运动到M 点。
等时圆模型(学生版)--动力学中的九类常见问题
动力学中的九类常见问题等时圆模型【模型解读】“等时圆”描述了一个物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆 (或光滑斜面)由静止下滑，到达圆周的最低点(或从最高点到达同一圆周上各点)的时间相等，这个时间等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间。
这个模型在物理计算中有着重要的应用，特别是在研究物体的运动轨迹和时间关系时。
由2R ·sin θ=12·g sin θ·t 2，可推得t 1=t 2=t 3。
“等时圆”模型的基本特性在于，它揭示了物体在不同路径上运动时，如果路径都在同一个竖直圆上，那么物体到达圆周最低点的时间是相等的。
这一特性不仅适用于光滑细杆，也适用于光滑斜面。
此外，如果物体的运动路径的端点在圆外，那么质点运动的时间会长一些；反之，如果端点在圆内，质点运动的时间则会短一些。
这个模型的应用不仅限于物理学科，它也体现了数学和物理之间的紧密联系。
通过“等时圆”模型，我们可以更好地理解物体在不同条件下的运动规律，以及这些规律如何影响物体的运动时间和路径。
物体在“两类”光滑斜面上的下滑时间的比较第一类：等高斜面(如图1所示)由L =12at 2，a =g sin θ，L =h sin θ可得t =1sin θ2h g ，可知倾角越小，时间越长，图1中t 1>t 2>t 3。
第二类：同底斜面(如图2所示)由L =12at 2，a =g sin θ，L =d cos θ可得t =4d g sin2θ，可见θ=45°时时间最短，图2中t 1=t 3>t 2。
【典例精析】1(2023年7月浙江宁波期末). 滑滑梯是小朋友们爱玩的游戏现有直滑梯AB 、AC 、AD 和BD ，A 、B 、C 、D 在竖直平面内的同一圆周上，且A 为圆周的最高点，D 为圆周的最低点，如图所示，已知圆周半径为R 。
在圆周所在的竖直平面内有一位置P ，距离A 点为3R ，且与A 等高。
物理等时圆模型讲解
物理等时圆模型讲解
物理学中的等时圆模型是一种用于描述和分析某些物理现象的理论模型。
它常用于处理具有周期性运动的系统，如简谐振动、电磁波传播等。
首先，我们来看简谐振动。
等时圆模型可以将简谐振动表示为一个在坐标平面上做圆周运动的矢量。
设想一个物体在沿着一条直线上做来回振动，当它靠近平衡位置时速度最大，远离平衡位置时速度最小。
根据简谐振动的特点，我们可以将振动物体的坐标和速度分别表示为水平和垂直方向上的矢量。
当振子在运动过程中，坐标和速度的矢量始终保持与圆的切线垂直的关系，因此可以用一个等时圆来表示。
对于电磁波传播，等时圆模型可以用来描述电场和磁场的变化规律。
在电磁波传播中，电场和磁场的振荡是相互垂直的，且它们的振幅和相位差随着时间的推移而变化。
通过等时圆模型，我们可以将电场和磁场的振荡表示为在一个垂直于传播方向的平面内的圆周运动。
等时圆模型的优点在于它直观地表示了振动的周期性和相位差的变化。
通过观察等时圆的形状和位置，我们可以推断出振动的特性和性质。
比如，对于简谐振动，圆的半径表示振幅的大小，圆的位置表示相位差的大小，而圆的旋转速度表示振动的频率。
需要注意的是，等时圆模型只是一种近似描述，它在一些特殊情况下可能不适用，或者需要结合其他模型和理论来进行更精确的分析。
但在许多情况下，等时圆模型提供了一个简单而直观的工具，帮助我们理解和解释物理现象。
等时圆模型(最新最全)
“等时圆”模型的规律及应用一、 等时圆模型（如图所示）二、 等时圆规律：1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。
（如图a ）2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。
（如图b ）3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d ）自由落体的时间，即gRg R g d t 2420===（式中R 为圆的半径。
） 三、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d （如右图）。
根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为αsin g a =，位移为αsin d s =，所以运动时间为gd g d a s t 2sin sin 220===αα即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。
四、应用等时圆模型解典型例题例1：如图1，通过空间任一点A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ ）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定图a 图b【解析】：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A 正确。
例2：如图2，在斜坡上有一根旗杆长为L ，现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB 滑至斜坡底部，又知OB=L 。
求小环从A 滑到B 的时间。
【解析】：可以以O 为圆心，以 L 为半径画一个圆。
根据“等时圆”的规律可知，从A 滑到B 的时间等于从A 点沿直径到底端D 的时间，所以有gLg L g dt t AD AB 242==== 例3：如图5所示，在同一竖直线上有A 、B 两点，相距为h ，B 点离地高度为H ，现在要在地面上寻找一点P ，使得从A 、B 两点分别向点P 安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A 和B 沿木板下滑到P 点的时间相等，求O 、P 两点之间的距离OP 。
解析：由“等时圆”特征可知，当A 、B 处于等时圆周上，且P 点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。
步步高专题四
A．煤块从 A 运动到 B 的时间是 2.25 s B．煤块从 A 运动到 B 的时间是 1.5 s C．划痕长度是 0.5 m D．划痕长度是 2 m
μmg 答案：BD [根据牛顿第二定律，煤块的加速度 a＝ m ＝4 m/s2， v0 煤块运动到速度与传送带速度相等时的时间 t1＝ a ＝1 s，位移大小 1 x1＝2at2 1＝2 m＜x， 此后煤块与传送带以相同的速度匀速运动直至 B 端，所以划痕长度即为煤块 相对于传送带的位移大小，即 Δx＝v0t1－x1＝2 m，选项 D 正确，C 错误； x2 x2＝x－x1＝2 m，匀速运动的时间 t2＝v0＝0.5 s， 运动的总时间 t＝t1＋t2＝1.5 s，选项 B 正确，A 错误．]
2 2
①v2>v1
tan
②v2≤v1
一直减速，vt___v > 1 a3 g sin g cos 先以a1减到v1后以a3减到0，再反向以a3加速 < 2 滑下 vt___v 先以a3减速到0，再反向以a3加速滑下
θ
传送带长度为L，木块 与传送带摩擦因数为μ
g sin g cos，vt=_________ tan 一直加速，a=___________
解析(1)设货物刚滑上传送带时加速度为a1，货物受力如图所示：
根据牛顿第二定律得
沿传送带方向：mgsin θ＋Ff＝ma1
垂直传送带方向：mgcos θ＝FN
又Ff＝μFN
由以上三式得：a1＝g(sin θ＋μcos θ)＝10×(0.6＋0.5×0.8) m/s2＝10 m/s2，
方向沿传送带向下.
解析 设物块的加速度大小为a，由受力分析可知 FN＝mg，Ff＝ma，Ff＝μFN 得a＝6 m/s2
等时圆模型
等时圆模型 稷王中学 李王东一、等时圆模型1、物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点时间均相等，且为g2t R= 2、物体沿着位于同一竖直圆上的所有过顶点的光滑弦由静止下滑，到达圆周低端时间相等为g2t R=说明：沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d ）自由落体的时间，即g2g 4g d 2t 0RR ===（式中R 为圆的半径。
）二、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d （如右图）。
根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为αgs in a =，位移为αg s i n a =，所以运动时间为gd2gsin dsin 2a s 2t 0===αα 即：沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。
说明：如果细杆是粗糙的，环与细杆间的动摩擦因数都为μ，由运动学公式有2t g c os -gs i n 21s i n 2）（θμθθ=R ，解得θμθμθgco t-g 2g c o s -gs i n s i n 2t RR ==，θ增大，时间t 减小，规律不成立.2004年高考试题：1、如图1所示，ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a 、b 、c 、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。
每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a 、b 、c 处释放（初速为0），用t 1、t2、t 3依次表示各滑环到达d 所用的时间，则（ ）A.t 1<t 2<t 3B.t 1>t 2>t 3C.t 3>t 1>t 2D.t 1=t 2=t 3 解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为R ，由牛顿第二定律得，ma mgcos =θ① 再由几何关系，细杆长度 θcos 2R L = ② 设下滑时间为t ，则 2at 21=L ③ 由以上三式得，g2t R=可见下滑时间与细杆倾角无关，所以D 正确。
等时圆模型最全
“等时圆”模型的规律及应用一、 等时圆模型（如图所示）二、 等时圆规律：1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。
（如图a ）2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。
（如图b ）3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d ）自由落体的时间，即gRg R g dt 2420===（式中R 为圆的半径。
） 三、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d （如右图）。
根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为αsin g a =，位移为αsin d s =，所以运动时间为即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。
四、应用等时圆模型解典型例题例1：如图1，通过空间任一点A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ ）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定【解析】：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A图a 图b正确。
例2：如图2，在斜坡上有一根旗杆长为L ，现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB 滑至斜坡底部，又知OB=L 。
求小环从A 滑到B 的时间。
【解析】：可以以O 为圆心，以 L 为半径画一个圆。
根据“等时圆”的规律可知，从A 滑到B 的时间等于从A 点沿直径到底端D 的时间，所以有gLg L g dt t AD AB 242==== 例3：如图5所示，在同一竖直线上有A 、B 两点，相距为h ，B 点离地高度为H ，现在要在地面上寻找一点P ，使得从A 、B 两点分别向点P 安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A 和B 沿木板下滑到P 点的时间相等，求O 、P 两点之间的距离OP 。
解析：由“等时圆”特征可知，当A 、B 处于等时圆周上，且P 点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。
高三物理暑期微训练：《“等时圆”模型》
“等时圆”模型1．(多选)如图1所示，一物体从竖直平面内的圆环的最高点A 处由静止开始沿光滑弦轨道AB 下滑至B 点，那么( )．图1A ．只要知道弦长，就能求出运动时间B ．只要知道圆半径，就能求出运动时间C ．只要知道倾角θ，就能求出运动时间D ．只要知道弦长和倾角，就能求出运动时间 解析 物体沿AB 弦轨道下滑，加速度为a ＝mg cos θm＝g cos θ，弦长l ＝2R ·cos θ，则t ＝2l a＝2·2R cos θg cos θ＝2Rg.可见，物体沿任何一条弦轨道下滑所用时间均相等，且等于沿直径自由下落的时间． 答案 BD2．(多选)如图2所示，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平轨道面相切于M 点，与竖直墙相切于A 点，竖直墙上另一点B 与M 的连线和水平面的夹角为60°，C 是圆轨道的圆心．已知在同一时刻，a 、b 两球分别由A 、B 两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M 点；c 球由C 点自由下落到M 点．则( )．图2 A．a球最先到达M点B．b球最先到达M点C．c球最先到达M点D．c、a、b三球依次先后到达M点解析设圆轨道半径为R，据“等时圆”模型结论有，t a＝4Rg＝ 2Rg；B点在圆外，t b>t a，c球做自由落体运动t c＝2Rg；所以，有t c<t a<t b.C、D正确．答案CD3．(单选)如图3所示，AB和CD为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分别位于半径为R 和r的两个相切的圆上，且斜槽都通过切点P.设有一重物先后沿两个斜槽，从静止出发，由A滑到B和由C滑到D，所用的时间分别为t1和t2，则t1与t2之比为( )．图3 A．2∶1 B．1∶1 C.3∶1 D．1∶ 3解析由“等时圆”模型结论有：t AP＝t CP＝ 2Rg，t PB＝t PD＝2rg，所以t1＝t AP＋t PB，t2＝t CP＋t PD，知t1＝t2，B项正确．答案 B4．(单选)如图4所示，在倾角为θ的斜面上方的A点处放置一光滑的木板AB，B端刚好在斜面上．木板与竖直方向AC所成角度为α，一小物块自A端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α与θ角的大小关系应为( )．图4A ．α＝θB ．α＝θ2C ．α＝θ3D ．α＝2θ解析 如图所示，在竖直线AC 上选取一点O ，以适当的长度为半径画圆，使该圆过A 点，且与斜面相切于D 点．由等时圆知识可知，由A 沿斜面滑到D 所用时间比由A 到达斜面上其他各点所用时间都短．将木板下端与D 点重合即可，而∠COD ＝θ，则α＝θ2.答案 B5．(单选)如图5甲是某景点的山坡滑道图片，为了探究滑行者在滑道直线部分AE 滑行的时间，技术人员通过测量绘制出如图乙所示的示意图．AC 是滑道的竖直高度，D 点是AC 竖直线上的一点，且有AD ＝DE ＝10 m ，滑道AE 可视为光滑，滑行者从坡顶A 点由静止开始沿滑道AE 向下做直线滑动，g 取10 m/s 2，则滑行者在滑道AE 上滑行的时间为( )．甲 乙图5A. 2 s B ．2 s C. 3 sD ．2 2 s解析 A 、E 两点在以D 为圆心半径为R ＝10 m 的圆上，在AE 上的滑行时间与沿AD 所在的直径自由下落的时间相同，t ＝ 4R g ＝4ADg＝2 s ，选B.答案 B6．如图6所示，圆弧AB 是半径为R 的14圆弧，在AB 上放置一光滑木板BD ，一质量为m 的小物体在BD 板的D 端由静止下滑，然后冲向水平面BC ，在BC 上滑行L 后停下．不计小物体在B 点的能量损失，已知小物体与水平面BC 间的动摩擦因数为μ.求：小物体在BD 上下滑过程中，重力做功的平均功率．图6解析由动能定理可知小物体从D到C有W G－μmgL＝0，所以W G＝μmgL由等时圆知识可知小物体从D到B的时间等于物体从圆周的最高点下落到B点的时间，即为t＝4Rg，所以小物体在木板BD上下滑过程中，重力做功的平均功率为P＝W Gt＝μmgL2g R .答案μmgL2gR。
高三物理复习：等时圆模型 (共11张PPT)
“等时圆模型”
➢ 1.模型特点 ➢ 2.典例剖析
➢ 3.规律方法 ➢ 4.跟踪训练
【高考地位】
第三章 牛顿运动定律
考点
内容
要求
题型
牛顿运动 牛顿运动定律
II
定律 牛顿运动定律综合应用 II
选择、计算 选择、计算
超重和失重
I选Leabharlann 、计算必考实验1、实验内容 验证牛顿运动定律 2、命题形式 填空
一质点小球a、b、d，a、b、d三小球的质
量比为1∶2∶3，现让三小球同时从各杆的顶
点由静止释放,不计空气阻力,则a、b、d三小
球在各杆上滑行的时间之比为（ ）
A.1∶1∶1 C.5∶8∶9
B.5∶4∶3 D.1∶2∶3
A、B、C、D四点是
否满足等时圆规律？
如图所示，ad、bd、cd是竖直面内三根
动力学 图像 问题
连接体 问题
动力学 临界 极值 问题
等时圆 模型
传送带 模型
板块 模型
【学习目标】
1、了解等时圆模型的建立过程，知道等时圆模型的基本规 律和使用条件。
2、学会自建等时圆，掌握等时圆模型在动力学中的妙用。 3、体会物理模型、物理思维方法在物理解题中的重要性。
基本规律
物体从同一竖直圆上各点沿不同的光滑弦由 静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。 物体从同一竖直圆上最高点沿不同的光滑弦 由静止下滑，到达圆周上各点的时间相等。
A.2：1 B.1：1
C. 3 ：1 D.1： 3
A 30° R
C 60°P
D r
B
固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一
圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最
等时圆问题模型总结
等时圆问题模型总结是运筹学中的一个重要问题，主要研究的是如何合理地确定一组任务的执行顺序，以最大程度地减少总体执行时间。
在实际应用中，广泛应用于生产调度、交通流优化等领域。
本文将对进行总结和分析。
首先，的基本概念是指在一个给定的平面区域内，存在一组任务需要在规定的时间内完成，并且每个任务都有一个固定的执行时间。
任务之间的时间关系可以用一个无向图表示，任务节点为图的顶点，边表示任务之间的时间关系。
的目标是找到一种任务执行顺序，使得任务执行的总时间最短。
在的研究中，通常会引入一些限制条件，例如必须完成的任务数量、任务之间的优先级关系等。
这些限制条件会进一步增加问题的难度，需要采用一些特定的算法来求解。
常用的算法包括最早开始时间法、关键路径法等。
最早开始时间法是求解的一种常用方法。
该方法首先将任务图转化为一个有向无环图，然后通过计算每个任务的最早开始时间来确定任务的执行顺序。
具体而言，从起始点出发，依次计算每个任务的最早开始时间，直到最后一个任务。
最早开始时间即为对应任务的完成时间。
最早开始时间法的时间复杂度为O(n^2)，适用于规模较小的。
关键路径法是另一种常用的求解的方法。
该方法通过计算任务的最早开始时间和最晚开始时间，并根据任务之间的时间关系确定关键路径。
关键路径上的任务对总体执行时间具有决定性的影响，必须按照顺序执行。
关键路径法的时间复杂度为O(n)，适用于规模较大的。
除了最早开始时间法和关键路径法，还有许多其他算法可以用于求解。
例如，遗传算法、模拟退火算法等优化算法可以通过不断迭代寻找最优解。
此外，还有一些启发式算法，例如蚁群算法、粒子群算法等，可以通过模拟群体行为来寻找最优解。
这些算法都在一定程度上提高了求解的效率和精确度。
总而言之，是运筹学中一个重要的问题，用于优化任务的执行顺序，以减少总体执行时间。
在实际应用中，广泛应用于生产调度、交通流优化等领域。
求解的方法包括最早开始时间法、关键路径法等，还可以借助优化算法和启发式算法来提高求解效率。
高中物理轻杆类问题+等时圆模型
高中物理轻杆类问题+等时圆模型由于前几天有点事情，所以间隔一个星期没有写文章。
刚好事情告一段落了，所以今天又开始来总结我们高中物理的基本模型了。
刚好有小伙伴儿在问能不能总结一下轻杆类问题和等时圆模型，所以今天的内容就定为了这两类问题。
我们首先来说一下轻杆类问题。
轻杆类问题在高中的时候因为考试的时候涉及的内容不多，所以和它有关的题型也不多，只有在受力分析和机械能守恒这两个地方涉及到，而它的重点在受力分析这里。
杆的受力特点是：力的方向有可能沿杆的方向，也有可能不沿杆的方向。
这就是轻杆类问题的难点。
今天我们只讨论二力杆（意思就是杆只有两个受力点）。
首先就是杆的一端有一个小球，如下图甲所示。
如果小球静止，则根据平衡条件，杆对小球的弹力竖直向上，大小等于重力。
如果小球围绕O点做匀速圆周运动（如下图乙所示），则杆对小球的弹力不沿杆，也不是竖直向上，而是与小球的重力的合力沿杆的方向，这个合力提供小球做匀速圆周运动的向心力。
图甲图乙接下来我们就来讨论一下固定杆和活动杆的问题：其时在高中的时候，简单点理解就是一句话（高中物理不用理解得特别复杂）：固定杆的力不一定沿杆，活动杆的力一定沿杆。
我们经常在题目里面发现“铰链”两个字，只要用了这两个字，就说明它是活动杆。
固定杆的话，因为它已经固定死了，所以它的力不管沿哪个方向，它都不会动。
而活动杆不一样，它本身是要转动的，所以一旦它的力不沿杆的话，它就会发生转动，所以它的力一定要沿杆的方向才行。
我编写的《高中物理知识模型探究与实践》一书里面专门针对受力分析、牛顿第二定律、传送带和滑块木板、平抛运动、圆周运动、天体运动、动能定理功能关系和动量的基本知识点和基本模型进行了全面细致地讲解，采用的是讲解式的叙述手法。
在阅读这本书的时候，仿佛有一个虚拟的物理老师在带着大家进行学习一样，不用担心阅读困难，知识点看不懂。
在下方这个百度网盘的链接中有这本物理资料的电子档，需要的同学可以下载下来进来学习！链接：请看下面两个图：图1就为固定杆，图2为活动杆。
等时圆问题模型总结
等时圆问题模型总结等时圆问题模型是指在给定的一组点上，寻找一个圆，使得这个圆上的所有点到圆心的距离都相等。
这个问题在实际生活中有着广泛的应用，比如在无线传感器网络中，节点需要以某个节点为中心，以一定的范围进行通信，这就需要找到一个等时圆来满足通信需求。
在地理信息系统中，也经常需要寻找等时圆来确定某个地点的辐射范围。
因此，等时圆问题模型的研究具有重要的理论和实际意义。
在解决等时圆问题时，我们通常会采用数学建模的方法。
首先，我们需要确定给定点集上的一个圆心，然后确定这个圆心到各个点的距离，最后通过调整半径，使得这些距离相等。
这个过程可以用数学的方法来描述和求解。
在实际应用中，等时圆问题模型的解决往往需要考虑到一些实际情况的限制条件。
比如在无线传感器网络中，节点之间的通信范围可能受到地形、建筑物等因素的限制，这就需要在寻找等时圆的过程中考虑这些限制条件。
在地理信息系统中，地图的尺度、地形的复杂程度等因素也会对等时圆的确定产生影响。
因此，解决等时圆问题不仅需要数学方法，还需要考虑到实际应用中的各种因素。
近年来，随着计算机技术的发展，人们对等时圆问题的研究也取得了一些进展。
通过计算机模拟和优化算法，可以更快速、更精确地求解等时圆问题。
同时，人工智能、机器学习等技术的应用也为等时圆问题的求解提供了新的思路和方法。
总的来说，等时圆问题模型是一个具有理论和实际意义的重要问题。
在实际应用中，我们需要综合考虑数学建模、实际限制条件以及计算机技术等因素，来寻找等时圆的最优解。
希望在未来的研究中，我们可以进一步深化对等时圆问题的理解，为实际应用提供更加可靠、高效的解决方案。
模型04 等时圆模型
模型04 等时圆模型1.模型特征(1)质点在竖直圆环上沿不同的光滑弦从其上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等,如图甲所示。
(2)质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等,如图乙所示。
(3)两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点,质点沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等,如图丙所示。
我们先看弦轨道模型问题并证明物体下滑的等时性。
如图所示，让物体从竖直圆环上的最高点A 处由静止开始沿光滑的弦轨道AB 、AC 、AD 下滑（AD 竖直），下滑的时间分别为1t 、2t 、3t 。
试证明321t t t ==证明：物体由静止开始沿AB 弦轨道下滑，AB 弦轨道长为1x ，AB 弦轨道与竖直方向夹角为θ，直径AD 长为d 。
θcos 1g a =①θcos 1d x =②211121t a x =③ ①②③解得：gd t 21=可知物体由静止开始沿光滑弦轨道下滑的时间与弦与竖直方向的夹角无关，即321t t t ==如果把圆环及轨道倒置，如图所示，使A 在最低点，让物体从B 、C 、D 点由静止开始沿光滑弦轨道滑到A 点，通过同样方法证明，物体下滑时间仍相等。
结论：物体由静止开始沿着一个端点在圆环最高点的不同光滑弦轨道下滑到圆环的时间相等；或物体在圆环上由静止开始沿着另一个端点在圆环最低点的不同光滑弦轨道下滑，滑到圆环最低点的时间相等。
【典例1】如图甲所示,在倾角为θ的斜面上方的A 点放置一光滑的木板AB ,B 端刚好在斜面上,木板与竖直方向AC 所成角度为α,一小物块由A 端沿木板由静止下滑,要使物块滑到斜面的时间最短,则α与θ角的大小关系为()。
A.α=θB.α=C.α=2θD.α=【答案】B【解析】如图乙所示,在竖直线AC上选取一点O,以适当的长度为半径画圆,使该圆过A点,且与斜面相切于D点。
由等时圆模型的特点知,由A点沿木板滑到D点所用时间比由A点到达斜面上其他各点所用时间都短。
等时圆模型三个结论推导过程
等时圆模型三个结论推导过程
时间圆模型是一种狭义的动态视角，其基本概念是，大部分组织活动都有一个起点，
一个正常的水平持续时间和一个结束点。
它使研究者能够描绘出组织内的动态活动，展示
其时间维持范围。
它的三个主要结论如下：
首先，时间圆模型提出了组织绩效和持续时间之间的关系。
它认为，绩效和过程持续
时间之间存在一种负相关关系。
当组织采取措施改善过程时，其绩效会提高，而过程持续
时间会降低。
这意味着组织应该改善过程以降低其过程持续时间，以提高绩效。
第二，时间圆模型认为，组织正确使用资源可以改善过程的时间效率，从而提高绩效。
它同时认为，资源的正确使用不仅提高了过程的时间效率，还改善了过程的质量。
总而言之，时间圆模型提出了三个主要结论，即绩效和持续时间之间的负相关关系，
正确使用资源可以改善过程的时间效率，有效地管理和优化过程时间可以节约资源，改善
过程流程。
因此，要想提高组织绩效，就必须从过程时间管理和资源分配上下功夫，以及
绩效和持续时间间的负相关关系上摸索。
高中物理等时圆模型推导
高中物理等时圆模型推导高中物理中，我们学习了很多关于运动的知识，其中一项重要的内容就是圆的运动。
在物理学中，我们可以使用等时圆模型来推导解释圆的运动。
本文将以高中物理等时圆模型为标题，详细阐述圆的运动原理和推导过程。
我们需要明确什么是等时圆。
等时圆是指在同一时间内，圆上各点的速度大小相等。
这意味着，不同位置的点在同一时间内都经历了相同的位移。
在推导等时圆模型之前，我们先来回顾一下圆的运动特点。
圆的运动可以分为两个方向：径向和切向。
径向是指圆心到圆上任一点的连线方向，而切向则是与径向垂直的方向。
根据牛顿第一定律，物体在没有外力作用下会保持匀速直线运动，所以圆上的点在没有外力作用下会保持匀速直线运动。
接下来，我们开始推导等时圆模型。
假设有一个圆盘，圆盘上有一点A。
为了使点A在圆盘上做等时圆运动，我们需要给点A一个恒定的速度。
我们可以通过施加一个恒定的力来实现这一点。
假设点A在圆盘上的坐标为(x, y)，圆盘的半径为r。
点A的速度可以分解为径向速度v_r和切向速度v_t。
根据等时圆的定义，点A在同一时间内经历了相同的位移，即在相同时间内，点A在径向上的位移为Δx，切向上的位移为Δy。
根据几何关系，我们可以得到以下两个等式：Δx = v_r * Δt (1)Δy = v_t * Δt (2)根据勾股定理，我们可以得到：Δx^2 + Δy^2 = r^2 (3)将式(1)和式(2)代入式(3)中，得到：(v_r * Δt)^2 + (v_t * Δt)^2 = r^2化简上述等式，我们得到：v_r^2 * Δt^2 + v_t^2 * Δt^2 = r^2由于Δt是一个任意的时间间隔，所以上述等式对任意的Δt都成立。
因此，我们可以将上述等式写成微分形式：v_r^2 + v_t^2 = r^2上述等式表明，点A在圆盘上的速度大小等于半径的平方。
这就是等时圆模型的推导过程。
通过等时圆模型，我们可以得到圆上各点的速度大小相等的结论。
物理等时圆
物理等时圆
什么是等时圆模型？
如下图，设一个圆O，A是圆O的最高点，B是圆O的最低点，X是圆上任意一点，一物体从A开始，沿AX无阻力的下滑到X，所用的时间是相等的，都等于从A自由落体到圆最低点B所用的时间。
等时圆的结论证明
如下图所示，设一个圆O的半径为R，A是圆O的最高点，B是圆O的最低点，X是圆上任意一点，一小球无阻力的从A点自由释放。
如果让小球做自由落体运动，小球运动到B点的时间t=。
现在让小球沿着A→X无阻力运动，经过证明，不管X在圆上哪里，小球从A→X的时间也为。
证明如下：
如上图所示，取圆上任意一点X，设角<ABX=θ，过点X做AB的垂线交AB于点C。
由几何关系可知角<AXC=θ
AX=2Rsinθ
小球在A到X自由运动的加速度a=gsinθ
所以，小球在从A运动到X的时间t==
得出等时圆的结论：物体从圆上最高点自由运动到圆上任意一点的时间都相等。
1．质点从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如上图甲所示。
2．质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如上图乙所示。
3．两个竖直圆环相切且两圆环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等，如上图丙所示。
等时圆模型的两种情况
微专题11 等时圆模型的两种情况【核心要点梳理】1．质点从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图甲所示。
2．质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示。
3．两个竖直圆环相切且两圆环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等，如图丙所示。
【微专题训练】【经典例题选讲】【例题】如图所示，Oa、Ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，O′为圆心。
每根杆上都套着一个小滑环(未画出)，两个滑环从O点无初速释放，一个滑环从d点无初速释放，用t1、t2、t3分别表示滑环沿Oa、Ob、da到达a、b所用的时间，则下列关系正确的是()A．t1＝t2B．t2>t3C．t1<t2D．t1＝t3[解析]设想还有一根光滑固定细杆ca，则ca、Oa、da三细杆交于圆的最低点a，三杆顶点均在圆周上，根据等时圆模型可知，由c、O、d无初速释放的小滑环到达a点的时间相等，即t ca＝t1＝t3；而由c→a和由O→b滑动的小滑环相比较，滑行位移大小相同，初速度均为零，但a ca>a Ob，由x＝12at2可知，t2>t ca，故选项A错误，B、C、D均正确。
[答案]BCD【变式1】(2018·江西省临川二中高三上学期第五次理综物理) 如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的圆心，现在有三条光滑轨道AB、CD、EF，它们的上下端分别位于上下两圆的圆周上，三轨道都经过切点O，轨道与竖直线的夹角关系为α>β>θ，现在让一物块先后从三轨道顶端由静止下滑至底端，则物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为 ( )A ．t AB ＝t CD ＝t EF B ．t AB >t CD >t EFC ．t AB <t CD <t EFD ．t AB ＝t CD <t EF[解析] 设上面圆的半径为r ，下面圆的半径为R ，则轨道的长度s ＝2r cos α＋R ，下滑的加速度a ＝mg cos αm ＝g cos α，根据位移时间公式得，s ＝12at 2，则t ＝4r cos α＋2Rg cos α＝4r g ＋2R g cos α，因为α>β>θ，则t AB >t CD >t EF ，故B 正确，A 、C 、D 错误。
用等时圆模型解题的实例分析
用等时圆模型解题的实例分析
1．模型特征
(1)质点从竖直圆环上沿不同的光滑弦由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图甲所示。
(2)质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示。
(3)两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦由上端静止开始滑到下端所用时间相等，如图丙所示。
2．结论证明
设某一条光滑弦与水平方向的夹角为θ，圆的直径为d，如图乙所示。
根据物体沿光滑弦做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝g sin θ，位移为
x＝d sin θ，所以运动时间为t
0＝
2x
a
＝
2d sin θ
g sin θ
＝
2d
g。
即沿同一起点或终点的各条光滑弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。
例题：如图所示，OA、OB是竖直面内两根固定的光滑细杆，O、A、B位于同一圆周上，OB为圆的直径。
每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，两个滑环都从O点无初速度释放，t1、t2分别表示滑环到达A、B所用的时间，则( ) A．t1＝t2B．t1<t2
C．t1>t2D．无法比较t1、t2的大小
解析：选C。
如图所示，以O点为最高点，取合适的直径作等时圆，由图可知，从O到C、B时间相等，比较图示位移OA>OC，可得t1>t2。
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“等时圆”模型
1．(多选)如图1所示，一物体从竖直平面内的圆环的最高点A处由静止开始沿光滑弦轨道AB 下滑至B点，那么( )．
图1
A．只要知道弦长，就能求出运动时间
B．只要知道圆半径，就能求出运动时间
C．只要知道倾角θ，就能求出运动时间
D．只要知道弦长和倾角，就能求出运动时间
2．(多选)如图2所示，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平轨道面相切于M点，与竖直墙相切于A点，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆轨道的圆心．已知在同一时刻，a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；c
球由C点自由下落到M点．则( )．
A．a球最先到达M点
B．b球最先到达M点
C．c球最先到达M点
D．c、a、b三球依次先后到达M点
3．(单选)如图3所示，AB和CD为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分
别位于半径为R和r的两个相切的圆上，且斜槽都通过切点P.设有一重物
先后沿两个斜槽，从静止出发，由A滑到B和由C滑到D，所用的时间分
别为t1和t2，则t1与t2之比为 ( )．
A．2∶1 B．1∶1
C.3∶1 D．1∶ 3
4．(单选)如图4所示，在倾角为θ的斜面上方的A点处放置一光滑的
木板AB，B端刚好在斜面上．木板与竖直方向AC所成角度为α，一
小物块自A端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则
α与θ角的大小关系应为
( )．
A ．α＝θ
B ．α＝θ2
C ．α＝θ3
D ．α＝2θ
5．(单选)如图5甲是某景点的山坡滑道图片，为了探究滑行者在滑道直线部分AE 滑行的时
间，技术人员通过测量绘制出如图乙所示的示意图．AC 是滑道的竖直高度，D 点是AC 竖直线上的一点，且有AD ＝DE ＝10 m ，滑道AE 可视为光滑，滑行者从坡顶A 点由静止开始沿滑道AE 向下做直线滑动，g 取10 m/s 2
，则滑行者在滑道AE 上滑行的时间为( )．
甲 乙
图5 A. 2 s
B ．2 s C. 3 s D ．2 2 s 6．如图6所示，圆弧AB 是半径为R 的14
圆弧，在AB 上放置一光滑木板BD ，一质量为m 的小物体在BD 板的D 端由静止下滑，然后冲向水平面BC ，在BC 上滑行L 后停下．不计小物体在B 点的能量损失，已知小物体与水平面BC 间的动摩擦因数为μ.求：小物体在BD 上下滑过程中，重力做功的平均功率．
图6。