七年级数学竞赛辅导5 方程组的解法
二元一次方程组的解法-代入消元法(课件)七年级数学下册(人教版)
把y=20代入③，得 x=28
所以这个方程组的解是
x 28
y 20
答：篮球队有28支、排球队有20支参赛.
=1−
1.用代入法解方程组
时，代入正确的是(
)
− 2 = 4
C
A.x-2-x=4
B.x-2-2x=4
2.用代入法解方程组
2
A.3x=2×
3
所以原方程组的解是
y 105
转化
x+(x+10)=200
x=95
y=105
求方程组解的过程叫做解方程组.
将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想方法，叫做消元思想.
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一未知数的式子表示出
来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.
这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未
知数用含有另一个未知数的式子表示出来；
第二步：把此式子代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程；
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值；
第四步：回代求出另一个未知数的值；
y 3x 1 0
解：由② ，得 y=3x+1
①
②
③
把③代入①，得 2x+3x+1=0
解这个方程，得 x=1
把x=1代入③，得 y=4
x 1
所以这个方程组的解是
y 4
本题还有其它
做法吗？
例2.用代入法解方程组
冀教版七年级下册数学《二元一次方程组的解法》说课教学课件复习巩固
学习目标
1、进一步体会解二元一次方程组的基本思想—“消元”； 2、熟练以及灵活应用代入消元法解二元一次方程组.
新知探究
下面的几个二元一次方程组，你认为哪个最易求 解？怎么解？其他的又如何求解？
{ x+y=17
(1)
5x+3y=75
分别相减 就可以消去未知数__x___
归纳：
解二元一次方程组时，在方程组的两个方程中： 某个未知数的系数互为相反数，则可以直接把这两 个方程中的两边分别相加消去这个未知数； 如果某个未知数系数相等，则可以直接把这两个方 程中的两边分别相减, 消去这个未知数.
5x+6y= 7 ① 例5
2x+3y=4 ②
2x-5y=7②
（1） ①-②得x=1 (2)把x=1代入①得y=-1.
（3）∴
x=1
y=-1
其中出现错误的一步是（
A
）
A（1）
B（2）
C（3）
4. 用加减法解方程组
（1） （2）
3x-2y=5 ① 5x+4y=12 ② 3x-2y= 10 ① 4x-5y=-3 ②
x=2 y=0.5 x=8 y=7
把y =1代入①,得
x=3×1+2
x=5.
｛ ｛ x2 x1
2.已知 y5 和 y10 是方程ax+by=15 的两个解，求a，b的值.
想一想： 用代入法解方程组
2x－3y=1 4x－3y=1
你还有其他的解法吗？谈一谈
课堂小结
总结你对“代入消元法”的认识及理解
1. 代入法解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即要 通过一定的方法把二元的方程转化为一元的方程.
2022年京改版七年级数学下册第五章二元一次方程组难点解析试题(含详细解析)
京改版七年级数学下册第五章二元一次方程组难点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、用代入消元法解二元一次方程组220x y x y =+⎧⎨-=⎩①②，将①代入②消去x ，可得方程（ ） A ．（y ＋2）＋2y ＝0 B ．（y ＋2）﹣2y ＝0 C ．x ＝12x ＋2 D ．x ﹣2（x ﹣2）＝02、用加减法解方程组336x y x y +=-⎧⎨+=⎩①②由②-①消去未知数y ，所得到的一元一次方程是（ ） A ．29x = B ．23x = C ．49=x D ．43x =3、下列各组数值是二元次方程2x ﹣y ＝5的解是（ ）A ．21x y =-⎧⎨=⎩B ．05x y =⎧⎨=⎩C ．13x y =⎧⎨=⎩D ．31x y =⎧⎨=⎩4、已知方程组54358x y m x y -=⎧⎨+=⎩中，x 、y 的值相等，则m 等于（ ）． A ．1或-1 B ．1 C ．5 D ．-55、已知11x y =⎧⎨=-⎩是方程x ﹣my ＝3的解，那么m 的值为（ ） A ．2 B ．﹣2 C ．4 D ．﹣46、下列方程组为二元一次方程组的是（ ）A ．510x y xy +=-⎧⎨=-⎩B ．22x y =⎧⎨=-⎩C ．516x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩D ．122x y x z +=⎧⎨-=⎩7、如图，在大长方形中不重叠的放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为（ ）A ．48B ．52C ．58D ．648、已知二元一次方程组23,1,a b a b -=⎧⎨+=⎩则36a b +=（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．29、若12x y =⎧⎨=⎩是关于x 、y 的二元一次方程ax -5y =1的解，则a 的值为（ ） A ．-5 B ．-1 C ．9 D ．1110、用加减法将方程组4311455x y x y -=⎧⎨+=-⎩中的未知数x 消去后，得到的方程是（ ）． A ．2y ＝6 B ．8y ＝16 C ．﹣2y ＝6 D ．﹣8y ＝16第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知关于x 、y 的二元一次方程组253x y a x y a +=⎧⎨-=+⎩的解满足x ＞y ，且关于x 的不等式组213147212x x a-⎧≥⎪⎨⎪+⎩＜无解，那么所有符合条件的整数a 的和为 _____．2、将一张面值50元的人民币，兑换成5元或10元的零钱，两种人民币都要有，那么共有_____种兑换方案．3、若2(2)50x y ++-=，则x y -=________．4、小明心里想好一个两位数，将十位数字乘2，然后加3，再将所得的新数乘5，最后加原两位数的个位数字，结果是94．算算看小明心里想的两位数是 _____．5、节日将至，某水果店打算将红心猕猴桃、奉节脐橙、阿克苏糖心苹果以鲜果礼盒的方式进行销售．其中一个红心猕猴桃与一个阿克苏糖心苹果成本价之和为一个奉节脐橙的成本价的两倍，一个阿克苏糖心苹果与一个红心猕猴桃成本价之差的两倍等于一个奉节脐橙的成本价．商家打算将甲种鲜果礼盒装红心猕猴桃6个、奉节脐橙4个、阿克苏糖心苹果6个；乙种鲜果礼盒装红心猕猴桃8个、奉节脐橙4个、阿克苏糖心苹果6个；丙种鲜果礼盒装红心猕猴桃4个、奉节脐橙8个、阿克苏糖心苹果8个．已知每个鲜果礼盘的成本价定为各水果成本价之和，每个甲种鲜果礼盒在成本价的基础上提高25%之后进行销售，每个乙种鲜果礼盒的利润等于两个阿克苏糖心苹果的成本价，每个丙种鲜果礼盒的利润率和每个乙种鲜果礼盒时利润率相等．某单位元旦节发福利，准备给每个员工发一个鲜果礼盒．采购员向该水果店预订了80个甲种鲜果礼盒，预订乙种鲜果礼盒的数量与丙种鲜果礼盒的数量之差位于12和28之间．该水果店通过核算，此次订单的利润率为20%，则该单位一共有________名员工．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、解方程组：（1）2102x y y x +=⎧⎨=⎩； （2）3()2()107422x y x y x y x y ++-=⎧⎪⎨+-+=⎪⎩．2、用加减消元法解下列方程组：（1）4314,5331;x yx y-=⎧⎨+=⎩（2）2521,4323;x yx y-=-⎧⎨+=⎩（3）4719,4517;x yx y+=-⎧⎨-=⎩（4）()()()315,5135.x yy x⎧-=+⎪⎨-=+⎪⎩3、某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，已知每部甲种型号的手机进价比每部乙种型号的手机进价多200元，且购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金9600元；（1）求甲、乙型号手机每部进价为多少元？（2）该店计划购进甲、乙两种型号的手机共20台进行销售，现已有顾客预定了8台甲种型号手机，且该店投入购进手机的资金不多于3.8万元，请求出有几种进货方案？并请写出进货方案．4、已知方程组26,34x yx y+=⎧⎨-=⎩的解也是关于x、y的二元一次方程230ax y-=的一组解，求a的值．5、千佛山、趵突泉、大明湖并称济南三大风景名胜区．为了激发学生个人潜能和团队精神，历下区某学校组织学生去千佛山开展为期一天的素质拓展活动．已知千佛山景区成人票每张30元，学生票按成人票五折优惠．某班教师加学生一共去了50人，门票共需810元．（1）这个班参与活动的教师和学生各多少人？（应用二元一次方程组解决）（2）某旅行网上成人票价格为28元，学生票价格为14元，若该班级全部网上购票，能省多少钱？---------参考答案-----------一、单选题1、B【分析】把x﹣2y＝0中的x换成（y+2）即可．【详解】解：用代入消元法解二元一次方程组220x yx y=+⎧⎨-=⎩①②，将①代入②消去x，可得方程（y+2）﹣2y＝0，故选：B．【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组，解方程组的基本思想是消元，基本方法是代入消元和加减消元．2、A【分析】观察两方程发现y的系数相等，故将两方程相减消去y即可得到关于x的一元一次方程．【详解】解：解方程组336x yx y+=-⎧⎨+=⎩①②，由②-①消去未知数y，所得到的一元一次方程是2x=9，故选：A．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：加减消元法与代入消元法．3、D【分析】将选项中的解分别代入方程2x﹣y＝5，使方程成立的即为所求．【详解】解：A. 把21xy=-⎧⎨=⎩代入方程2x﹣y＝5，-4-1=-5≠5，不满足题意；B. 把5xy=⎧⎨=⎩代入方程2x﹣y＝5，0-5=-5≠5，不满足题意；C. 把13xy=⎧⎨=⎩代入方程2x﹣y＝5，2-3=-1≠5，不满足题意；D. 把1y ⎨=⎩代入方程2x ﹣y ＝5，6-1=5，满足题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．能正确掌握方程的解得概念是解答此题的关键．4、B【分析】根据x 、y 的值相等，利用第二个方程求出x 的值，然后代入第一个方程求解即可．【详解】解：解方程组54358x y m x y -=⎧⎨+=⎩， 得：3253740337m x m y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ∵x 、y 的值相等， ∴3254033737m m +-=， 解得1m =．故选：B ．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，根据x 、y 的值相等利用第二个方程求出x 的值是解题的关键．5、A【分析】直接将1y ⎨=-⎩代入x ﹣my ＝3中即可得出答案． 【详解】解：∵11x y =⎧⎨=-⎩是方程x ﹣my ＝3的解， ∴1(1)3m --⨯=，解得：2m =，故选：A ．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解即为能使二元一次方程成立的未知数的值．6、B【分析】根据二元一次方程组的定义，即含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程组在一起叫做二元一次方程组判断即可；【详解】解A ．510x y xy +=-⎧⎨=-⎩中，xy 的次数是2，故A 不符合题意； B ．22x y =⎧⎨=-⎩是二元一次方程组，故B 符合题意； C ．516x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩中y 在分母上，故C 不符合题意； D ．122x y x z +=⎧⎨-=⎩中有3个未知数，故D 不符合题意；故选B ．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的识别，掌握二元一次方程组的定义，准确分析是解题的关键．7、B【分析】设小长方形的宽为a ，长为b ，根据图形列出二元一次方程组求出a 、b 的值，再由大长方形的面积减去7个小长方形的面积即可．【详解】设小长方形的宽为a ，长为b ，由图可得：31626a b b a +=⎧⎨-=⎩①②， ①-②得：2a =，把2a =代入①得：10b =，∴大长方形的宽为：3632612a +=⨯+=，∴大长方形的面积为：1612192⨯=，7个小长方形的面积为：77210140ab =⨯⨯=，∴阴影部分的面积为：19214052-=．故选：B ．【点睛】本题考查二元一次方程组，以及代数式求值，根据题意找出a 、b 的等量关系式是解题的关键．8、D【分析】先把方程231a ba b-=⎧⎨+=⎩①②的②×5得到555a b+=③，然后用③-①即可得到答案．【详解】解：231a ba b-=⎧⎨+=⎩①②，把②×5得：555a b+=③，用③ -①得：362a b+=，故选D．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和代数式求值，解题的关键在于能够观察出所求式子与二元一次方程组之间的关系．9、D【分析】把12xy=⎧⎨=⎩代入ax-5y=1解方程即可求解．【详解】解：∵12xy=⎧⎨=⎩是关于x、y的二元一次方程ax-5y=1的解，∴将12xy=⎧⎨=⎩代入ax-5y=1，得：101a-=，解得：11a=．故选：D．【点睛】此题考查了二元一次方程解的含义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程解的含义．10、D【分析】根据二元一次方程组的加减消元法可直接进行求解．【详解】解：用加减法将方程组4311455x y x y -=⎧⎨+=-⎩①②中的未知数x 消去，则有①-②得：﹣8y ＝16； 故选D ．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的求解，熟练掌握二元一次方程组的求解是解题关键．二、填空题1、7【解析】【分析】解二元一次方程组，根据x ＞y 列出不等式，即可求得3a >-，解不等式组，根据不等式组无解求得4a ≤，进而根据题意求得符合条件的整数a ，求和即可【详解】解：253x y a x y a +=⎧⎨-=+⎩①② ①+②得363x a =+解得21x a =+，将21x a =+代入②得：213a y a +-=+解得2y a =-x y >212a a ∴+>-解得3a >- 由213147212x x a -⎧≥⎪⎨⎪+⎩③＜④解不等式③得：72x ≥ 解不等式④得：212a x -< 不等式组无解21722a -∴≤ 解得4a ≤34a ∴-<≤则所有符合条件的整数a 为：2,1,0,1,2,3,4--,其和为210123+47--++++=故答案为：7【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，根据题意求得符合题意的整数a 是解题的关键．2、4【解析】【分析】设兑换成面值5元的人民币x 张，面值10元的人民币y 张，根据兑换成零钱的总价值为50元，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，结合x ，y 均为正整数，即可得出共有4种兑换方案．【详解】设兑换成面值5元的人民币x 张，面值10元的人民币y 张，依题意得：5x +10y ＝50，∴x ＝10﹣2y ．又∵x ，y 均为正整数，∴81x y =⎧⎨=⎩或62x y =⎧⎨=⎩或43x y =⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩， ∴共有4种兑换方案．故答案为：4．【点睛】本题考查了列二元一次方程组，利用二元一次方程组的解进行方案设计的方法，优化方案问题先要列举出所有可能的方案，再按题目要求分别求出每种方案的具体结果．3、-7【解析】【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x 与y 的值即可．【详解】 解：∵2(2)50x y ++-=，∴2050x y +=⎧⎨-=⎩， 解得：25x y =-⎧⎨=⎩， ∴x y -=-2-5=-7，故答案为：-7．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．4、79【解析】【分析】设小明想的两位数的个位数字为a，十位数字为b，根据题意列出方程，然后根据1≤b≤9，0≤a≤9且a，b为整数，从而确定二元一次方程的解．【详解】解：设小明想的两位数的个位数字为a，十位数字为b，由题意可得：5（2b+3）+a＝94，整理，可得：10b+a＝79，∵1≤b≤9，0≤a≤9且a，b为整数，∴a＝9，b＝7，∴小明心里想的两位数是79．故答案为：79【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．5、140【解析】【分析】设一个红心猕猴桃的成本价为x元，一个奉节脐橙的成本价为z元，一个阿克苏糖心苹果的成本价为y元，然后由题意易得45,33z x y x==，则有甲种鲜果礼盒的成本价为643x元，乙种鲜果礼盒的成本价为70 3x元，丙种鲜果礼盒的成本价为28x元，进而可得甲的利润为163x元，乙的利润为103x元，利润率为17，丙的利润为4x 元，设预定乙种鲜果礼盒的数量为m ，丙种鲜果礼盒的数量为n ，则根据“订单的利润率为20%”列出方程，最后根据“预订乙种鲜果礼盒的数量与丙种鲜果礼盒的数量之差位于12和28之间”来求解即可．【详解】解：设一个红心猕猴桃的成本价为x 元，一个奉节脐橙的成本价为z 元，一个阿克苏糖心苹果的成本价为y 元，由题意得：()22x y z y x z +=⎧⎨-=⎩，解得：5343y x z x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴甲种鲜果礼盒的成本价为4564646333x x x x +⨯+⨯=元，乙种鲜果礼盒的成本价为4570846333x x x x +⨯+⨯=元，丙种鲜果礼盒的成本价为454882833x x x x +⨯+⨯=元， ∴甲的利润为64162533x x ⋅=％元，乙的利润为510233x x ⨯=元，则有它的利润率为10701337x x ÷=，进而可得丙的利润为12847x x ⨯=元，设预定乙种鲜果礼盒的数量为m ，丙种鲜果礼盒的数量为n ，由题意得：161064708042080283333x x m xn x xm xn ⎛⎫⨯+⋅+=⨯++ ⎪⎝⎭％， 化简得：56320m n +=， ∴32056m n -=， ∵预订乙种鲜果礼盒的数量与丙种鲜果礼盒的数量之差位于12和28之间，∴1228m n ≤-≤，即320512286m m -≤-≤， 解得：3924881111m ≤≤， ∵m 为正整数，∴m 的值可能为36、37、38、39、40、41、42、43、44，∵n 为正整数，∴3205m -是6的倍数，∴40,20m n ==，∴该单位一共有80+40+20=140（名）；故答案为140．【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，熟练掌握利用消元思想及不定方程的求解方法是解题的关键．三、解答题1、（1）24x y =⎧⎨=⎩；（2）35x y =⎧⎨=-⎩ 【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可；（2）先整理原方程得()()3()2()10214x y x y x y x y ++-=⎧⎨++-=⎩然后把()x y +和()x y -当做一个整体利用加减消元法求出2x y +=-③，8x y -=④，然后利用加减消元法求解即可．【详解】解：（1）2102x y y x +=⎧⎨=⎩①②， 把②代入①中得：410x x +=，解得2x =，把2x =代入②中得，4y =，∴方程组的解集为24x y =⎧⎨=⎩；（2）3()2()107422x y x y x y x y ++-=⎧⎪⎨+-+=⎪⎩ 整理得：()()3()2()10214x y x y x y x y ++-=⎧⎪⎨++-=⎪⎩①②， 用①-②得：()24x y +=-，解得2x y +=-③，把③代入①得：()6210x y -+-=，解得8x y -=④，用③+④得：26x =，解得3x =，把3x =代入③得5y =-，∴方程组的解为35x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握解二元一次方程组的方法．2、（1）5,2;x y =⎧⎨=⎩ （2）2,5;x y =⎧⎨=⎩ （3）1,23;x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ （4）5,7.x y =⎧⎨=⎩ 【分析】(1)利用加减消元法，将方程①+②，即可求解；(2)利用加减消元法，将方程②-①×2，即可求解；(3)利用加减消元法，将方程①-②，即可求解；(4)方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．【详解】解：(1)43145331x y x y -=⎧⎨+=⎩①②①+②得：9x=45，即x=5，把x=5代入①得：y=2，则方程组的解为52xy=⎧⎨=⎩；(2)2521 4323x yx y-=-⎧⎨+=⎩①②②-①×2得：13y=65，即y=5，把y=5代入②得：x=2则方程组的解为25xy=⎧⎨=⎩；(3)4719 4517x yx y+=-⎧⎨-=⎩①②①-②得：12y=-36，即y=-3，把y=-3代入①得：x=12则方程组的解为123xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩；(4)()()()315 5135x yy x⎧-=+⎪⎨-=+⎪⎩方程组整理得：38 3520x yx y-=⎧⎨-=-⎩①②①-②得：4y=28，即y=7，把y=7代入①得：x=5，则方程组的解为57xy=⎧⎨=⎩．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，做题的关键是当未知数系数相等时将方程相减，未知数系数相反时将方程相加．3、（1）甲型号手机每部进价为2000元，乙为1800元；（2）共有3种进货方案，分别是甲8台，乙12台；甲9台，乙11台；甲10台，乙10台；【分析】（1）设甲型号手机每部进价为x 元，乙为y 元，根据题意列出方程组，求解即可；（2）根据题意列出不等式组，求解即可得出方案．【详解】解：（1）解：设甲型号手机每部进价为x 元，乙为y 元，由题意得．200329600x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得20001800x y =⎧⎨=⎩ 答：甲型号手机每部进价为2000元，乙为1800元．（2）设甲型号进货a 台，则乙进货()20a -台，由题意可知()8200018002038000a a a ≥⎧⎨+-≤⎩解得810a ≤≤ 故8a =或9或10，则共有3种进货方案：分别是甲8台，乙12台；甲9台，乙11台；甲10台，乙10台．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找准等量关系，列出相应的方程或不等式组是解本题的关键．4、32a =．【分析】利用加减消元法求出方程组的解得到x 与y 的值，代入方程计算即可求出a 的值．【详解】解：方程组2634x y x y +=⎧⎨-=⎩①②， ②+①得：510x =，解得：2x =，代入①中，解得：2y =，把2x =，2y =代入方程230ax y -=得，460a -=， 解得：32a =．【点睛】此题考查了加减消元法解二元一次方程组，以及二元一次方程的解，解一元一次方程，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．5、（1）教师4人，学生46人；（2）54元【分析】（1）根据班教师加学生一共去了50人，门票共需810元，列出两个等式，求解即可；（2）门店的门票费减去网购的门票费就等于节省的钱．【详解】解：设这个班参与活动的教师有x 人，学生有y 人，∵千佛山景区成人票每张30元，学生票按成人票五折优惠，由题意得：503015810x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：446x y =⎧⎨=⎩ 答：这个班参与活动的教师有4人，学生有46人．（2）由（1）求得这个班参与活动的教师有4人，学生有46人．∴网购的总费用为：28×4+14×46＝756（元）∴节省了：810－756＝54（元）．答：该班级全部网上购票，能省54元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意找出等量关系，列出等式并解出二元一次方程组是解题的一般思路．。
七年级数学二元一次方程组解法
（2）若要使车间每天所获利润不低于24000元，你认
为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适？
课本P34 习题11.8 1，2
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是好奇这是什么地方，心想会不会是还在做梦，于是捏了自己一把，发现是有痛觉的，但我又担心自己像盗梦空间那样，做梦 做得有真实的感受，于是开始抱着头摇来摇去的。小男孩见我不太正常，于是大喊着“玉儿姐姐”什么的。刚过没多久，门外 又进来一个人，是个女子，但在我眼中看来，年纪撑死就是个高中生。那女生穿着确实简朴，或者我从这木屋就该猜到，他们 并不是有钱人。我稍微从不可思议的穿越中（尽管我不确定是不是穿越）缓过一些神来，才开始有心思打量了一下这一男一女。 这小正太确实长得好可爱，又不缺乏秀气，长大之后肯定是高富帅；这女生长相略显平凡，但是也透漏出一种秀气，我想，大 概是她现在是素颜，没有任何打扮的模样吧。小男孩的衣服稍微比较鲜艳一点，也显得他比较活泼。他见他的姐姐来了，就跑 过去冲着她的耳朵说了些什么。这女生听后，把目光转向我，开口说道：“公子，身体可好了？”我这么一听，倒是听到了一 口流利的普通话，这让我有点小吃惊。这是，我略显慌张，抚了抚自己的喉咙，张口说道：“应该七七八八了吧？”“应该七 七八八？那是何解？”女子一脸疑惑的看着我。我又吃了一小惊，忙改口道：“就是说，我的身体好很多了。”“是这样啊。” 女子像完成了什么事情一样，说完舒了一口气。我一边纳闷这突如其来的改变，一边组织好想问的问题去问这女生。由于知道 我们语言并没什么阻碍，能正常交流，再加上我知道我的谈吐应该更文绉绉一点才会让她听懂，于是我便问道：“姑娘，能问 你几个问题吗？”“嗯。”我索性翻下床来，站到她身旁问起来，“你知道这是哪吗？这是什么年代？这是由皇帝来统治的 吗？”蓦地，又觉得自己问出一连串好夸张的问题，于是又感觉自己有点小失礼了。这时，这女生脸显现一片通红，我这才有 意识到，我刚才问问题的时候靠得她太近了。那也不能怪我，向来问别人问题，就应该靠近点好让对方挺清楚不是吗？“这是 南国，年代是吕王八年。”女子羞涩地回答道。我见状，先有礼貌的向这女生道个歉，说道：“姑娘，刚才失礼了，我只是还 没习惯说话却不靠近别人说啊。”话一讲完，又发现自己说了一些莫名其妙的话，这使我觉得，用这种方式谈吐，真突出一个 烦字啊。女子蓦地转过脸去，脸部抽搐了几下，想必是在偷笑吧。那也难怪，这样的言行是挺让这时代的人感到奇怪搞笑的 第001章 天不收地不留“我的妻，你在哪里？“恍惚间，一个磁性的男声不断在耳畔重复着如此
二元一次方程组的解法---加减消元法(课件)七年级数学下册(人教版)
x 1
1 0.3 y 2 5
(2)
y 1 4x 9 1
4
20
3 2 x 1 5 y 11
(1)
3 x 2 y 3 10
解: (1)方程组整理，得
6 + 5 = 14 ①
3 − 2 = 16 ②
x=10
= 10
所以这个方程组的解是
= −2
2x 3 y 1 ①
(3)
4x 7 y 5 ②
11.选择适合的解法解下列方程组.
x 4y 2
①
(1)
3 x 5 y 20 ②
2x 3 y 3 ①
(2)
5 x 3 y 2 ②
解：(2)①+②，得
运输360t化肥，装载了6节火车车厢与15辆汽车；运输440t化肥，装载了8节
火车车厢与10辆汽车.每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？
解：设每节火车车厢与每辆汽车平均各装 x t和 y t.列方程组得
6 x 15 y 360
①
②
8 x 10 y 440
①×2，得 12x+30y=720 ③
②左边-①左边=②右边-①右边
2x+y-(x+y)=16-10
解这个方程得 x=6
把x=6代入①，得 y=4
x 6
所以这个方程组的解是
y 4
联系前面的解法，想一想怎样解方程组
3 x 10 y 2.8
15 x 10 y 8
①
②
解：①+②，得 18x=10.8
x=0.6
七年级数学二元一次方程组的解法人教实验版知识精讲
初一数学二元一次方程组的解法人教实验版【本讲教育信息】一、教学内容：二元一次方程组的解法二､教学重点：（1）掌握二元一次方程和二元一次方程组的概念 （2）掌握二元一次方程组的解法三､知识点扫描：（1）二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数项的次数是1的方程。
（2）二元一次方程组：两个二元一次方程合在一起，就组成了二元一次方程组。
（3）二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
（4）代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法.简称代入法。
（5）加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边相加或相减，就能消去一个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
四､中考考点分析：本节中考命题的重点是二元一次方程（组）的有关概念及二元一次方程（组）的解法，考查方法有直接用代入法或加减法解二元一次方程组，分值不高，且以填空､选择､简单解答题的形式出现。
【典型例题】例一､已知二元一次方程组⎩⎨⎧=-=-)2(3n m 2)1(4n 2m ，则m+n 的值是（ ）。
A ､1B ､0C ､－2D ､－1解法一：由（1）得m=4+2n 代入（2）中得2（4+2n ）－n=3解得n=－35m=32∴m+n=－1 解法二：用（2）－（1）得m+n=－1例二､［2008中考试题］若方程组⎩⎨⎧=+=-9.30b 5a 313b 3a 2的解是⎩⎨⎧==2.1b 5.8a 则方程组⎩⎨⎧=-++=--+9.30)1y (5)2x (313)1y (3)2x (2的解是（ ） A 、⎩⎨⎧==2.1y 5.8x B 、⎩⎨⎧==2.2y 5.10x C 、⎩⎨⎧==2.2y 5.6x D 、⎩⎨⎧==2.0y 5.10x解：例三、若方程组⎩⎨⎧=-=-16by ax 332y x 5与⎩⎨⎧=-=-22by 2ax 519y 2x 有相同的解，求a ､b 的值。
人教版七年级数学培优教程
比例数.
有限小数
可化为分数形式，是有理数
小数 无限循环小数
无限不循环小数 不可化为分数形式，不是有理数
有理数的分类：
正整数
整数
零
自然数
有理数（按定义分类）
负整数
分数
正分数 负分数
正整数
正有理数
正分数
有理数（按符号分类） 零（零既不是正数，也不是负数）
负有理数
负整数 负分数
该定义更接近分类而非本质定义，例如小数是有理数吗？下面给出有理数更加接近本质的定
义.
定义：能写成 m （m、n 为整数，n≠0，（m，n）=1）的数. n
例： 12 3 ， 3 3 ， 0.1
1
，
0.3
1
82
1
10
3
有理数：rational number，rational（有道理的）的词根为 ratio（比例），有理数可以理解为
6、数轴上：B 到 A 的距离为 1，C 到 B 的距离为 2，求 AC=________
动点（规律类） 1、数轴上：点 A 从原点向右移一个单位，再向左移动两个单位，求现在位置 2、数轴上：点 A 向左移动 3 个单位，向右移动 5 个单位到 2014，求开始的位置 3、数轴上：点 A 从原点开始按照右移 1 个单位，左移 2 个单位，右移 3 个单位，左移 4 个 单位……右移 99 个单位，左移 100 个单位的规律移动 （1）最后的位置________． （2）共移动了多少个单位长度？ （3）若 A 为一个起始为 300kg 的质点，每移动一个单位减少 1kg，A 点消失的位置？ 基础夯实 【例 3】（1）如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为
七年级数学下册 8.2消元——二元一次方程组的解法 高斯消元法素材 新人教版
高斯消元法-简述
高斯消元法，又称高斯消去法，实际上就是我们俗称的加减消元法.
数学上，高斯消去法或称高斯－约当消去法，由高斯和约当得名（很多人将高斯消去作为完整的高斯－约当消去的前半部分），它是线性代数中的一个算法，用于决定线性方程组的解，决定矩阵的秩，以及决定可逆方矩阵的逆.当用于一个矩阵时，高斯消去产生“行消去梯形形式”.
例如：一个二元一次方程组，设法对每个等式进行变形，使两个等式中的同一个未知数的系数相等，这两个等式相减，得到一个新的等式，在这个新的等式中，细数相等的未知数就被除去了（系数为0）.同样的也适合多元多次方程组.。
解题技巧：与二元一次方程组解法有关的问题压轴题五种模型全攻略(原卷版) 七年级数学下册
专题04解题技巧专题：与二元一次方程组解法有关的问题压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一求二元一次方程的正整数解】 (1)【考点二解二元一次方程组】 (1)【考点三二元一次方程组的错解复原问题】 (2)【考点四二元一次方程组的特殊解法】 (4)【考点五新定义型二元一次方程组问题】 (5)【过关检测】 (7)【典型例题】【考点一求二元一次方程的正整数解】x y+=的正整数解的对数是（）例题：（2023下·四川资阳·七年级校考期中）方程7A．5B．7C．6D．无数对【变式训练】【考点二解二元一次方程组】例题：（2024下·全国·七年级假期作业）解方程组：【变式训练】【考点三二元一次方程组的错解复原问题】例题：（2023下·七年级课时练习）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的问题：解方程组：34 6310 x yx y-=⎧⎨-=⎩①②解：①×2，得6x－2y＝8．③…第一步②－③，得－y＝2，…第二步解得y＝－2．…第三步把y＝－2代入①，得3x－（－2）＝4．…第四步解得x＝2．…第五步∴22 xy=⎧⎨=⎩(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________法，以上求解步骤中，马小虎同学从第________步开始出现错误；(2)请写出此题正确的解答过程．【变式训练】【考点四二元一次方程组的特殊解法】【变式训练】1．（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考期中）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组()()()()3523135237m n m n ⎧+-+=-⎪⎨+++=⎪⎩时，采用了一种“整体换元”的解法，把5m +，3n +分别看成一个整体，设5m x +=，【考点五新定义型二元一次方程组问题】例题：（2023下·福建厦门·七年级厦门市湖滨中学校考期中）我们定义：若整式M 与N 满足：(M N k k +=为整数)，我们称M 与N 为关于k 的平衡整式．例如，若234x y +=，我们称2x 与3y 为关于4的平衡整式．(1)若25a -与49a +为关于1的平衡整式，求a 的值；(2)若310x -与y 为关于2的平衡整式，2x 与510y +为关于5的平衡整式，求x y +的值．【变式训练】1．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）对于有理数x 、y 定义一种新运算“※”：规定x ※2y ax by =-+，等式右边是通常的四则运算．例如：2※122a b =-+．(1)若1※(1)4-=-，3※24=，求a 、b 的值；(2)若运算“※”满足交换律，即对于任意有理数x 、y 且x y ≠，都满足x ※y y =※x ，求a 、b 之间的数量关系．2．（2023下·湖北十堰·七年级校考阶段练习）对于有理数x ，y ，定义新运算：2x y x y *=-，2x y x y ⊗=+，其中a ，b 是常数.例如111*=，328⊗=．(1)若关于x ，y 的方程组*45x y m x y m =-⎧⎨⊗=⎩的解也满足方程5x y +=，求m 的值；(2)若关于x ，y 的方程组111222*a x b y c a x b y c =⎧⎨⊗=⎩的解为45x y =⎧⎨=⎩，求关于x ，y 的方程组()()()()111222*a x y b x y c a x y b x y c ⎧+-=⎪⎨+⊗-=⎪⎩的解．【过关检测】一、单选题1．（2023上·山西太原·八年级太原市实验中学校联考阶段练习）用代入法解方程组22340y x x y =-+⎧⎨-=⎩①②时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（）A ．2364x x --=B ．2324x x +-=C ．2364x x -+=D ．2364x x +-=2．（2023下·山东威海·七年级统考期末）二元一次方程2321x y +=的正整数解有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（2023上·广东茂名·八年级统考期末）已知代数式与242m x y --与52n m nx y +是同类项，那么m 、n 的值分别是（）A ．31m n =-⎧⎨=-⎩B ．31m n =⎧⎨=-⎩C ．31m n =-⎧⎨=⎩D ．31m n =⎧⎨=⎩4．（2023下·浙江·七年级校联考阶段练习）对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：2a b a b ⊗=-．例如342342=⨯-=⊗．若2x y ⊗=，且4y x ⊗=，则x y +的值为（）A ．6B ．7C ．8D ．95．（2023上·四川达州·八年级校考期末）两位同学在解方程组273ax by cx y +=⎧⎨+=⎩时，甲同学正确地解出11x y =-⎧⎨=-⎩，乙同学因把c 抄错了解得32x y =-⎧⎨=-⎩，则a 、b 、c 正确的值应为（）A ．315a b c =-=-=-，，B ．115a b c ==-=-，，C ．2410a b c ==-=-，，D ．315a b c ===-，，二、填空题6．（2023上·山东济南·八年级统考期中）把方程24x y -=变形，用含x 的代数式表示y ，则y =．7．（2023下·浙江湖州·七年级统考阶段练习）二元一次方程25x y +=的一个正整数解是．（只要写出一个）8．（2023上·河北张家口·八年级统考期中）已知方程组2324x y x y -=-⎧⎨-+=⎩，则x y +的值为．9．（2023上·山东·八年级期末）已知关于x ，y 的方程组210220x y m x y m +-+=⎧⎨+++=⎩．则x y +=．10．（2023下·山东济南·七年级统考期末）定义新运算：对于任意实数a 、b 约定关于⊗的一种运算如下：2a b a b ⊗=＋．例如：()()3223-⊗=⨯-24+=-．若()5x y ⊗-=，且27y x ⊗=，则x y +的值是．三、解答题。
七年级数学下册 课后补习班辅导 二元一次方程组的解法讲学案 苏科版(2021年整理)
辽宁省凌海市七年级数学下册课后补习班辅导二元一次方程组的解法讲学案苏科版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（辽宁省凌海市七年级数学下册课后补习班辅导二元一次方程组的解法讲学案苏科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为辽宁省凌海市七年级数学下册课后补习班辅导二元一次方程组的解法讲学案苏科版的全部内容。
二元一次方程组的解法—代入消元法、加减消元法【本讲教育信息】一。
教学内容:二元一次方程组的解法—-代入消元法、加减消元法［目标]1. 熟练掌握用代入(消元)法、加减（消元)法解二元一次方程组．2。
理解三元一次方程组并掌握其解法．3. 会求二元一次方程的整数解二。
重、难点:1。
了解解二元一次方程组的基本思想，能选用合理、简捷的方法解二元一次方程组．2。
了解三元一次方程组及其解的概念,解三元一次方程组的基本思想和方法．3。
通过一次方程组解法的学习，领会多元方程组向一元方程组转化(化归)的思想．在较复杂的方程组解法的训练中，渗透换元的思想．4. 掌握简单的二元一次方程的整数解的求法．三。
知识要点1。
解二元一次方程组的方法：解二元一次方程组的基本思路是“消元"．“消元”－－－－－－把“二元"变为“一元”．（1)代入消元法将其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来,并代入另一个方程中,从而消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法,简称代入法．适用范围：最好是某个未知数的前面的系数的绝对值为1或一个方程的常数项为0，否则尽量避免使用这种方法．(2）加减消元法把方程组的两个方程(或先作适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程．这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．注意：注意变形的等价性，代入要细心，计算后要检验．把求出的解代入原方程组，可以检验解题过程是否正确．一般步骤：第一步：在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数,可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等,可以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数．第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数（如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数)，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等（都等于原系数的最小公倍数）,再加减消元．第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简．2. 三元一次方程组及其解：(1）解三元一次方程组的基本思路：化三“元"为二“元”,再化二“元”为一“元”,即利用代入法和加减法消“元”逐步求解．说明:解三元一次方程组，除了要考虑好选择哪种方法和决定消去哪一个未知数之外，关键的一步是由三“元”化为二“元”,特别注意两次消元过程中,方程组中每个方程至少要用到1次，并且（1)，（2），(3)3个方程中先由哪两个方程消某一个未知数,再由哪两个方程（一个是用过的）仍然消这个未知数，防止第一次消去y,第二次消去z 或x,仍然得到三元一次方程组，没有达到消“元"的目的．3。
人教版数学七年级下册《8-4三元一次方程组的解法》教案
人教版数学七年级下册《8-4三元一次方程组的解法》教案一. 教材分析《8-4三元一次方程组的解法》是人教版数学七年级下册的一章内容。
本章主要介绍了三元一次方程组的解法，包括代入法、加减法和矩阵法。
通过本章的学习，学生能够掌握三元一次方程组的基本解法，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经学习了二元一次方程组的解法，具备了一定的方程组解法基础。
但是，对于三元一次方程组，学生可能存在一定的困惑和难度。
因此，在教学过程中，需要引导学生理解和掌握三元一次方程组的解法，并通过实例让学生感受到方程组在实际问题中的应用。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解三元一次方程组的概念，掌握三元一次方程组的解法，并能够运用到实际问题中。
2.过程与方法目标：通过解决实际问题，学生能够自主探究三元一次方程组的解法，培养学生的解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够感受到数学与实际生活的联系，增强对数学的兴趣和信心。
四. 教学重难点1.重点：三元一次方程组的解法。
2.难点：三元一次方程组的解法的运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题的引入，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究三元一次方程组的解法。
2.实例教学法：通过具体的实例，让学生理解和掌握三元一次方程组的解法。
3.小组合作学习：学生分组讨论和解决问题，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教具准备：黑板、粉笔、多媒体教学设备。
2.教学素材：实际问题实例、解法步骤图解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示实际问题实例，引导学生思考如何解决该问题。
通过问题的引入，激发学生的学习兴趣，引出本节课的主题——三元一次方程组的解法。
2.呈现（10分钟）通过PPT或者黑板，呈现三元一次方程组的解法：代入法、加减法和矩阵法。
引导学生理解和掌握每一种解法的步骤和应用。
3.操练（10分钟）学生分组讨论和解决问题，教师巡回指导。
【精品】全国初中数学竞赛辅导(初1第17讲 二元一次不定方程的解法
全国初中数学竞赛辅导（初1）第17讲二元一次不定方程的解法第十七讲二元一次不定方程的解法我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程x-2y=3，方程组等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理．近年来，不定方程的研究又有新的进展．学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能．我们先看一个例子．例小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？解设小张买了x块橡皮，y支铅笔，于是根据题意得方程3x+11y=50．这是一个二元一次不定方程．从方程来看，任给一个x值，就可以得到一个y值，所以它的解有无数多组．但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解．因为铅笔每支1角1分，所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4支，即y的取值只能是0，1，2，3，4这五个．若y=3，则x=17/3，不是整数，不合题意；若y=4，则x=2，符合题意．所以，这个方程有两组正整数解，即也就是说，5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔．像这个例子，我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时，那么它的解就确定了．但是否只要把解限制在非负整数时，二元一次不定方程的解就一定能确定了呢？不能！现举例说明．例求不定方程x-y=2的正整数解．解我们知道：3-1=2，4-2=2，5-3=2，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是其中n可以取一切自然数．因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的．上面关于橡皮与铅笔的例子，我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的，但是这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到麻烦．那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢？我们现在就来研究这个问题，先给出一个定理．定理如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ①有一组整数解x0，y0则此方程的一切整数解可以表示为其中t=0，±1，±2，±3，…．证因为x0，y0是方程①的整数解，当然满足ax0+by0=c，②因此a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c．这表明x=x0-bt，y=y0+at也是方程①的解．设x＇，y＇是方程①的任一整数解，则有ax＇+bx＇=c. ③③-②得a(x＇-x0)=b＇(y＇-y0)．④由于(a，b)=1，所以a｜y＇-y0，即y＇=y0+at，其中t是整数．将y＇=y0+at代入④，即得x＇=x0-bt．因此x＇， y＇可以表示成x=x0-bt，y=y0+at的形式，所以x=x0-bt，y=y0+at表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解．例1求11x+15y=7的整数解．解法1将方程变形得因为x是整数，所以7-15y应是11的倍数．由观察得x0=2，y0=-1是这个方程的一组整数解，所以方程的解为解法2先考察11x+15y=1，通过观察易得11×(-4)+15×(3)=1，所以11×(-4×7)+15×(3×7)=7，可取x0=-28，y0=21．从而可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式．例2求方程6x+22y=90的非负整数解．解因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得3x+11y=45．①由观察知，x1=4，y1=-1是方程3x+11y=1 ②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为由定理，可得方程①的一切整数解为因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有由于t是整数，由③，④得15≤t≤16，所以只有t=15，t=16两种可能．当t=15时，x=15，y=0；当t=16时，x=4，y=3．所以原方程的非负整数解是例3求方程7x+19y=213的所有正整数解．分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．解用方程7x+19y=213 ①的最小系数7除方程①的各项，并移项得因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．Ｔ儆*5除此式的两边得2u+5v=3．④由观察知u=-1，v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2代入②得x=25．于是方程①有一组解x0=25，y0=2，所以它的一切解为由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得t只能取0，1．因此得原方程的正整数解为当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．例4求方程37x+107y=25的整数解．解 107=2×37+33，37=1×33+4，33=8×4+1．为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4=37-9×(37-33)=9×33-8×37＝9×(107-2×37)8×37＝9×107-26×37=37×(-26)+107×9．由此可知x1=-26，y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解．于是x0=25×(-26)=-650，y0=25×9=225是方程37x+107y=25的一组整数解．所以原方程的一切整数解为例5某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？解设需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，于是7x+5y=142. ①所以由于7x≤142，所以x≤20，并且由上式知5｜2(x-1)．因为(5，2)=1，所以5｜x-1，从而x=1，6，11，16，①的非负整数解为所以，共有4种不同的支付方式．说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．例6求方程9x+24y-5z=1000的整数解．解设9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t-5z=1000．于是原方程可化为用前面的方法可以求得①的解为②的解为消去t，得大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．例7今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，由题意列方程组①化简得 15x+9y+z=300．③③-②得 14x+8y=200，即 7x+4y=100．解7x+4y=1得于是7x+4y=100的一个特解为由定理知7x+4y=100的所有整数解为由题意知，0＜x，y，z＜100，所以由于t是整数，故t只能取26，27，28，而且x，y，z还应满足x+y+z=100．t x y z26 4 18 7827 8 11 8128 12 4 84即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．练习十七1．求下列不定方程的整数解：(1) 72x+157y=1；(2)9x+21y=144；(3)103x-91y＝5．2．求下列不定方程的正整数解：(1)3x-5y=19； (2)12x+5y=125．3．求下列不定方程的整数解：(1)5x+8y+19z=50； (2)39x-24y+9z=78．4．求不定方程2x+5y+7z+3t=10的整数解．5．求不定方程组的正整数解.初中英语新课程标准测试题一、单选（ 30分）1、学生学习外语需要大量的（）A. 测试B.翻译C.天赋D.实践2、在我国，英语被列为义务教育阶段的（）A. 必考课程B.网络课程C.必修课程D.选修课程3 、英语教学要始终使学生发挥（） A主体作用 B.主导作用 C.主观作用 D.客观作用4、在基础英语课程体系中，除了教科书外，还有更加广泛的（）A. 联系资料B.教辅资料C.课程资源D.网络资源5、国家英语课程要求开设英语课程的起点是（）A. 小学１年级B.小学３年级C.初中１年级D.高中１年级6、国家课程三级管理机制是（）A. 教育部、省和地区B.国家、地方和学校C.省／自治区、市和县D.地区、学校和教师7、说是运用口语表达思想和（）A. 输入信息的能力B.输出信息的能力C.辨认语言的技巧D.理解话语的技能8、检验学生语言理解、分析和加工能力的客观标准是（）。
浙教版七年级数学培优竞赛微专题训练(无答案)：求不定方程整数解几种方法
不定方程整数解（七，八年级） 一次不定方程“ax+by=c ”的非负整数解————倍数分析1、**思考：5x+7y=50有多少组解？整数解呢？正整数解呢？2、*方程5x+7y=49的正整数解有_____个。
3、**方程6x+22y=90非负整数解有_____个。
4、**方程3x+21y=231的正整数解有_____个。
5、***方程17x+27y=530的正整数解有_____个。
6、***若a,b 均为正整数，且2a>b ，2a+b=80,则满足条件的b 的值有____个。
7、***已知x,y 是非负整数，且使13921--=-y x 的解是整数，那么这样的数对（x,y）有_____个。
小结：用倍数方式分析，事半功倍。
找到合适的倍数主要看a，b，c特点。
8、***陈老师给42名学生每人买了一件纪念品，其中有：每支12元的钢笔，每把4元的圆规，每册16元的词典，一共用了216元，则陈老师买了钢笔____支，词典_____册。
9、****某人用2018元钱买了甲，乙，丙三种物品，甲每个7元，乙每个5元，丙每个6元。
三种物品一共有320个，而且每种物品至少一个，不同的买法一共有_____种。
小结：处理方程组，一般都是运用转化思想消元成方程，变陌生为熟悉。
但是选择消哪个元，对后续的操作有很大的影响。
对原始模型结构特点的认知非常重要。
高次不定方程的整数解①-------因式分解法1、**若x,y是正整数且xy+x+y=54,则x+y=_______。
2、**设正整数x,y满足xy-4x-4y+21=0,则x2+y2=_______.3、***已知整数x,y 满足15xy=21x+20y-13,则xy=_______。
4、***方程42=+-y x xy 的整数解有_______个。
5、***若正整数a,b,c 满足a+2bc=a48,则a+b+c 的最大值=_______.6、****整数x,y 满足方程2xy+x+y=83,则x+y=______。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第三讲 因式分解的应用(含答案)
第三讲 因式分解的应用趣题引路】考考你：333311111222231*********++等于多少？ 想一想立方和公式，设a ＝22223，b ＝11112，a －b ＝11111，故原式＝3333)(b a a b a -++＝))(2())((2222b ab a b a b ab a b a +--+-+＝b a b a -+2＝11112444461111222223-+＝3333433335．这是因式分解的魔力！想知道因式分解在哪些方面有用吗？怎样用好这个工具？本讲将告诉你答案．知识拓展】因式分解是代数变形的重要工具．它在数值计算、代数式的化简、恒等式的证明、不定方程、几何证明等方面都有广泛应用．下面举例说明． 一、利用因式分解化简求值例1 若a 是方程x 2－3x ＋1＝0的一个根，试求2a 5－5a 4＋2a 3－8a 2＋3a 的值．解析 依题意有a 2－3a ＋1＝0，设法弄清所求代数式与a 2－3a ＋1的联系，通过分解可使原式变成包含a 2－3a ＋1的代数式．解：∵a 是x ²－3x ＋1＝0的根， ∴a 2－3a ＋1＝0．原式＝2a 3(a 2－3a ＋1)＋a 4－8a 2＋3a＝2a 3(a 2－3a ＋1)＋a 2(a 2－3a ＋1)＋3a (a 2－3a ＋1) ＝0．点评：本题也可将a ²－3a ＝－1反复代入原式化简求之．例2 化简： 200019981998200022-+·420011998199719972-⨯-．解析 式子中出现1997，1998，2000，2001，如设其中一个为x ，则其余三个均用含x 的式子表示，从而将问题转化为含x 的代数式化简问题． 解：设1998＝x ，则原式＝)43)(2()23)(45(2222-+--+-++x x x x x x x x ＝)4)(1)(2)(1()2)(1)(4)(1(+--+--++x x x x x x x x ＝1．点评：这是一种换元的思想．换元时通常取几个数(或式)的算术平均数较为简单．二、利用因式分解证明等式(不等式)例3 设a ，b ，c ，d 满足a ≤b ，c ≤d ，a ＋b ＝c ＋d ≠0，a 3＋b 3＝c 3＋d 3，求证；a ＝c ，b ＝d ． 解析 由a 3＋b 3＝c 3＋d 3使人想起立方和公式，展开后两边约去a ＋b 和c ＋d ，问题简化． 证明：由a 3＋b 3＝c 3＋d 3得(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝(c ＋d )(c 2－cd ＋d 2)． 由于a ＋b ＝c ＋d ≠0， 故a 2－ab ＋b 2＝c 2－cd ＋d 2． 配方(a ＋b )2－3ab ＝(c ＋d )2－3cd ． 从而ab ＝cd ．于是(a 2－ab ＋b 2)－ab ＝(c 2－cd ＋d 2)－cd ． 即(a －b )2＝(c －d )2． 而a ≤b ，c ≤d ，故b －a ＝d －c ，与已知式a ＋b ＝c ＋d 比较得b ＝d ，a ＝c ．例4 设a 、b 、c 是三角形三条边，求证：a 2－b 2－c 2－2bc ＜0．解析 利用因式分解将所证不等式左边进行变形从而得到三边的易判断的关系． 证明：∵a 2－b 2－c 2－2bc ＝a 2－(b ＋c )2＝(a ＋b ＋c )(a －b －c )． ∴需证(a ＋b ＋c )(a －b －c )＜0． 又∵a ，b ，c 是三角形三条边，∴a ＋b ＋c ＞0，a ＜b ＋c ．∴(a ＋b ＋c )(a －b －c )＜0，原式得证．三、利用因式分解解方程(组)例5 (2001年北京初二竞赛试题)已知实数x ，y 满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++623222y x y xy x ，则：|x ＋y ＋1|＝ ．解析 方程中出现x ＋y ，xy ，x 2＋y 2，使人想到完全平方公式，将x ＋y 看作整体处理，消去xy ，分解因式得x ＋y ．通常：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0．解：由x 2＋y 2＝6得(x ＋y )2＝6＋2xy ． ① 由x ＋xy ＋y ＝2＋32得xy ＝2＋32－(x ＋y )． ② 将②代人①得(x ＋y )2＋2(x ＋y )－(10＋62)＝0． 即(x ＋y )2＋2(x ＋y )－(4＋2)(2＋2)＝0． 故(x ＋y ＋4＋2)(x ＋y －2－2)＝0． ∴x ＋y ＝－4－2或x ＋y ＝2＋2∴|x ＋y ＋1|＝3＋2．点评：10＋62＝8＋62＋2＝(4＋2)(2＋2)很关键．例6 (上海竞赛题)求方程6xy ＋4x －9y －7＝0的整数解．解析 利用整数性质，将方程左边化成两个因式的乘积再分情况讨论． 解：方程可化为 2x (3y ＋2)－3(3y ＋2)－1＝0， (2x －3)(3y ＋2)＝1．∴⎩⎨⎧=+=-123132y x 或⎩⎨⎧-=+-=-123132y x ．解得x ＝1，y ＝－1．四、利用因式分解研究整除问题例7 (1999年全国联赛试题)某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n 个女生的捐款总数相等，都是(mn ＋9m ＋11n ＋145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数.解析 涉及整数问题常常要对已知式进行因式分解. 解 依题意mn ＋9m ＋11n ＋145＝(m ＋11)(n ＋9)＋46 可知：(m ＋11)整除(mn ＋9m ＋11n ＋145)， (n ＋9)整除(mn ＋9m ＋11n ＋145)且m ＋11＝n ＋9， 故 m ＋11和n ＋9均整除46， 而46＝46×1＝23×2.所以，m ＋11＝n ＋9＝46或m ＋11＝n ＋9＝23 由此可得每人捐款数为47元或25元. 好题妙解】佳题新题品味例1 (江苏第17届初二竞赛试题)已知a ，b ，c 是正整数，a >b ，且a 2－ab －ac ＋bc ＝7，则a －c 等于( )A.－1B.－1或－7C.1D.1或7解析 将已知等式分解为(a －b )(a －c )＝7，因a >b ，故a －b 和a －c 均为正整数，因而a －c 等于1或7，选D.例2 (2003年太原市竞赛试题)已知m 2＋2mn ＝384，3mn ＋2n 2＝560.则2m 2＋13mn ＋6n 2－444的值是( )A.2001B.2002C.2003D.2004解析 采用局部分解：2m 2＋13mn ＋6n 2－444＝2(m 2＋2mn )＋3(3mn ＋2n 2)－444＝2×384＋3×560－444＝2004，选D.例3 计算20052－20042＋20032－20022＋…＋32－22＝ .解析 反复运用平方差公式展开得(2005＋2004)×1＋(2003＋2002)×1＋…＋(3＋2)×1＝(20052)20042011014.2+⨯=例4 (2002年黄冈题)观察：1×2×3×4＋1＝52 2×3×4×5＋1＝112 3×4×5×6＋1＝192 …(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；(2)根据(1)，计算2000×2001×2002×2003＋1的结果(用一个最简式子表示).解析 注意到给定式子均为四个连续整数之积，右边为完全平方数，且5＝1×4＋1，11＝2×5＋1，19＝3×6＋1…恰好是第一和第四个整数之积加1，第n 个式子应为n (n ＋3)＋1.解 (1)对于自然数n ，有n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＋1＝(n 2＋3n )(n 2＋3n ＋2)＋1＝(n 2＋3n )2＋2(n 2＋3n )＋1＝(n 2＋3n ＋1)2.(2)由(1)得2000×2001×2002×2003＋1＝(20002＋3×2000＋1)2＝40060012中考真题欣赏例1 (北京)观察下列顺序排列的等式： 9×0＋1＝1 9×1＋2＝11 9×2＋3＝21 9×3＋4＝31 9×4＋5＝41 …猜想第n 个等式(n 为正整数)应为 .解析 注意第n 个式子与式子中数字间的关联.9不变，第二个数比n 小1，第三个数等于n ，第四个数为10(n －1)＋1，故第n 个式子为：9(n －1)＋n ＝10n －9.例2 (2003年北京崇文区)观察下列每组算式，并根据你发现的规律填空：4520,3618,⨯=⎧⎨⨯=⎩ 5630,4728,⨯=⎧⎨⨯=⎩6742,5840.⨯=⎧⎨⨯=⎩已知122×123＝15006，则121×124＝ .解析 15004，注意到121×124与122×123仅有末位数字不同，因而结果仅末位不同竞赛样题展示例1 (奥林匹克训练题)适合(y －2)x 2＋yx ＋2＝0的非负整数对(x 、y )的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4解析 由题设得y (x 2＋x )－2(x ²－1)＝0，即(x ＋1)[yx －2(x －1)]＝0 因为x ≥0，故有yx ＝2(x －1)，显然x ≠0，所以x >0，2(1)22x y x x-==-，于是x ＝1或2，即只有两组解，选B.例2 (2003年全国初中联赛试题)满足等式2003的正整数对(x ，y )的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析 由-2003＝0可得0=.00.故xy ＝2003.又因为2003为质数，因此必有12003x y =⎧⎨=⎩ 20031x y =⎧⎨=⎩或 故选B.例3 (希望杯竞赛题)已知n 是正整数，且n 4－16n 2＋100是质数，求n 的值. 解析 利用质数的因数只有1和本身，将已知式分解因式讨论求解.解 n 4－16n 2＋100＝n 4＋20n 2＋100－36n 2＝(n 2＋10)2－36n 2＝(n 2＋6n ＋10)(n 2－6n ＋10). 因n 2＋6n ＋10≠1，而n 4－16n 2＋100为质数且n 为正整数. 故n 2－6n ＋10＝1，即(n －3)2＝0，得n ＝3.例4 按下面规则扩充新数：已有两数a 、b ，可按规则c ＝ab ＋a ＋b 扩充一个新数，在a 、b 、c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，……，每扩充一个新数叫做一次操作.现有数1和4(1)求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数； (2)能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由.解析 (1)第一次只能得到1×4＋4＋1＝9，因为要求最大新数，所以，第二次取4和9，得到4×9＋4＋9＝49，同理，第三次取9和49，就得到扩充三次的最大数为499.(2) 因c ＝ab ＋a ＋b ＝(a ＋1)(b ＋1)－1，故c ＋1＝(a ＋1)(b ＋1)，取数a 、c ，可得新数d ＝(a ＋1)(c ＋1)－1＝(a ＋1)(b ＋1)(a ＋1)－1＝(a ＋1)2(b ＋1)－1，即d ＋1＝(a ＋1)2(b ＋1)；取数b 、c 同理可得e ＝(b ＋1)(c ＋1)－1＝(b ＋1)(a ＋1)(b ＋1)－1，e ＋1＝(b ＋1)2(a ＋1).设扩充后的新数为x ，则总可以表示为x ＋1＝(a ＋1)m ·(b ＋1)n ，又因1999＋1＝2000＝24×53，故1999可以通过上述规则扩充得到.过关检测】A 级1.已知724－1可被40至45之间的两个整数整除，这两个整数是( ) A.41，48 B.45，47 C.43，48 D.41，472.已知a 、b 、c 、d 为非负整数，且ac ＋bd ＋ad ＋bc ＝1997，则a ＋b ＋c ＋d ＝ .3.已知两个不同的质数p 、q 满足下列关系：p 2－2001p ＋m ＝0，q 2－2001q ＋m ＝0，m 是适当的整数，那么p 2＋q 2的数值是( )A.4004006B.3996005C.3996003D.40040044.计算3322782278782222+=-⋅+ . 5.求证：对于任何自然数n ，323122n n n ++都是3的倍数.6.已知：x ²－x －1＝0，则－x 3＋2x 2＋2002的值为 .7.设方程x 2－y 2＝1993的整数解为,αβ，则αβ＝ .8.整数a 、b 满足6ab ＝9a －10b ＋303，则a ＋b ＝ .B 级1.设a <b <c <d ，如果x ＝(a ＋b )(c ＋d )，y ＝(a ＋c )(b ＋d )，z ＝(a ＋d )(b ＋c )，那么x 、y 、x 的大小关系为( )A.x <y <zB.y <z<xC.z<x <yD.不能确定2.在方程组33336x y z x y z ++=⎧⎨++=-⎩中x 、y 、z 是互不相等的整数，那么此方程组的解的个数为( ) A.6 B.3 C.多于6 D.少于33.设y ＝x 4－4x 3＋8x 2－8x ＋5，其中x 为任意数，则y 的取值范围是( ) A.一切数 B.一切正数C.一切大于或等于5的数D.一切大于或等于2的数4.一个自然数a 恰好等于另一个自然数b 的平方，则称自然数a 为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数，若a ＝19982＋19982×19992＋19992，求证：a 是一个完全平方数.5.设a 、b 、c 、d 是4个整数，且使得m ＝(ab ＋cd )2－14(a 2＋b 2－c 2－d 2)2是个非零整数，求证：m 一定是个合数.6.求证：存在无穷多个自然数k ，使得n 4＋k 不是质数.7.解方程组：33323,2().x y z xyz x y z ⎧--=⎪⎨=+⎪⎩()。
初中数学人教新版七年级下册期末复习四二元一次方程组习题新版新5(1)
初中数学人教新版七年级下册实用资料期末复习(四) 二元一次方程组各个击破命题点1 二元一次方程组的解法【例1】(厦门中考)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y＝4，①2y＋1＝5x.②【思路点拨】方法一：将①变形为y＝4－2x，然后代入②，消去y，转化为一元一次方程求解；方法二：①×2－②，消去y，转化为一元一次方程求解．【解答】方法一：由①，得y＝4－2x，③代入②，得2(4－2x)＋1＝5x，解得x＝1，把x＝1代入③，得y＝2，∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，y＝2.方法二：①×2，得4x＋2y＝8.③③－②，得4x－1＝8－5x.解得x＝1.把x＝1代入②，得y＝2，∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，y＝2.【方法归纳】二元一次方程组有两种解法，我们可以根据具体的情况来选择简便的解法．如果方程中有未知数的系数是1时，一般采用代入消元法；如果两个方程的相同未知数的系数相同或互为相反数时，一般采用加减消元法；如果方程组中的系数没有特殊规律，通常用加减消元法．1．(毕节中考)已知关于x，y的方程x2m－n－2＋4y m＋n＋1＝6是二元一次方程，则m，n的值为(A) A．m＝1，n＝－1 B．m＝－1，n＝1C．m＝13，n＝－43D．m＝－13，n＝432．(枣庄中考)已知a，b满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧2a－b＝2，a＋2b＝6，则3a＋b的值为8．3．(滨州中考)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x＋4y＝19，①x－y＝4.②解：由②，得x＝4＋y.③把③代入①，得3(4＋y)＋4y＝19.解得y＝1.把y＝1代入③，得x＝4＋1＝5.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x＝5，y＝1.命题点2 由解的关系求方程组中字母的取值【例2】若关于x，y的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x＋y＝1＋a，x＋3y＝3①②的解满足x＋y<2，则a的取值范围为(A) A．a<4 B．a>4C ．a<－4D ．a>－4【思路点拨】 本题运用整体思想，把二元一次方程组中两个方程相加，得到x 、y 的关系，再根据x ＋y<2，求得本题答案；也可以按常规方法求出二元一次方程组的解，再由x ＋y<2求出a 的取值范围，但计算量大．【方法归纳】 通过观察两个方程，运用整体思想解题，这是中考中常用的解题方法．4．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝8，nx －my ＝1的解，则2m －n 的算术平方根为(B ) A ．4 B ．2 C . 2 D ．±25．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝1，2x －y ＝1和方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝5，x ＋2y ＝3的解相同，求a 和b 的值．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1，x ＋2y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝1，ax －by ＝5，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a －b ＝5，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2.命题点3 二元一次方程组的应用【例3】 (临泉二中模拟)某中学拟组织九年级师生去黄山举行毕业联欢活动．下面是年级组长李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：李老师：“平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元．”小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到韶山参观，一天的租金共计5 000元．”小明：“我们九年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题：(1)平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？(2)按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？ 【思路点拨】 (1)根据题目给出的条件得出的等量关系是60座客车每辆每天的租金－45座客车每辆每天的租金＝200元，4辆60座一天的租金＋2辆45座的一天的租金＝5 000元，由此可列出方程组求解；(2)可根据“我们九年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满”以及(1)的结果来求出答案．【解答】 (1)设平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别为x 元，y 元．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝200，4x ＋2y ＝5 000.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝900，y ＝700. 答：平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别为900元和700元． (2)5×900＋1×700＝5 200(元)．答：九年级师生租车一天共需租金5 200元．【方法归纳】 列方程解决实际问题的解题步骤是： 1．审题：弄清已知量和未知量；2．设未知数，并根据相等关系列出符合题意的方程； 3．解这个方程；4．验根并作答：检验方程的根是否符合题意，并写出完整的答．6．如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，从图中信息可知，买5束鲜花和5个礼盒的总价为440元．7．在某次亚运会中，志愿者们手上、脖子上的丝巾非常美丽．车间70名工人承接了制作丝巾的任务，已知每人每天平均生产手上的丝巾1 800条或者脖子上的丝巾1 200条，一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾．为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产脖子上的丝巾，多少名工人生产手上的丝巾？解：设应分配x 名工人生产脖子上的丝巾，y 名工人生产手上的丝巾，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝70，1 200x ×2＝1 800y.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝30，y ＝40.答：应分配30名工人生产脖子上的丝巾，40名工人生产手上的丝巾．整合集训一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列方程组中，是二元一次方程组的是(B )A .⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝－1y ＋z ＝2B .⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝3y ＝2＋3xC .⎩⎪⎨⎪⎧x －5y ＝1xy ＝2D .⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝7x 2＋y ＝1 2．用加减法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝1，3x －2y ＝8时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相反，有以下四种变形结果：①⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋9y ＝1，6x －4y ＝8；②⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ＝1，9x －6y ＝8；③⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋9y ＝3，－6x ＋4y ＝－16； ④⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ＝2，9x －6y ＝24. 其中变形正确的是(B )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④3．方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝2，①3x ＋2y ＝11 ②的最优解法是(C )A ．由①得y ＝3x －2，再代入②B ．由②得3x ＝11－2y ，再代入①C ．由②－①，消去xD ．由①×2＋②，消去y4．方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x ＋3z ＝1，x ＋y ＋z ＝7的解是(C )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝2z ＝1B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1z ＝1C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝8z ＝1D .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝2z ＝25．(广州中考)已知a ，b 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋5b ＝12，3a －b ＝4，则a ＋b 的值为(B )A ．－4B ．4C ．－2D ．26．若(x ＋y －5)2＋|2x －3y －10|＝0，则x ，y 等于(C )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝0D .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝5 7．A ，B 两地相距6 km ，甲、乙两人从A ，B 两地同时出发，若同向而行，甲3 h 可追上乙；若相向而行，1 h 相遇，求甲、乙两人的速度各是多少？若设甲的速度为x km /h ，乙的速度为y km /h ，则得方程组为(D )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝63x ＋3y ＝6 B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝63x －y ＝6C .⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝63x ＋3y ＝6D .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝63x －3y ＝6 8．某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺栓和生产螺帽的人数分别为(C )A ．50人，40人B ．30人，60人C ．40人，50人D ．60人，30人9．(齐齐哈尔中考)足球比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某足球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数可能是(C )A ．1或2B ．2或3C ．3或4D ．4或510．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件、丙1件共需要315元，购买甲1件、乙2件、丙3件共需要285元，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需要(C )A ．50元B ．100元C ．150元D ．200元二、填空题(每小题4分，共20分)11．(安顺中考)如果4x a ＋2b －5－2y 3a －b －3＝8是二元一次方程，那么a －b ＝0． 12．已知a 、b 是有理数，观察下表中的运算，并在空格内填上相应的数．13.孔明同学在解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝－2x 的过程中，错把b 看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，又已知3k ＋b ＝1，则b 的正确值应该是－11. 14．一个两位数的十位数字与个位数字的和为8，若把这个两位数加上18，正好等于将这个两位数的十位数字与个位数字对调后所组成的新两位数，则原来的两位数为35.15．(武汉中考)定义运算“*”，规定x*y ＝ax 2＋by ，其中a ，b 为常数，且1*2＝5，2*1＝6，则2*3＝10．三、解答题(共50分) 16．(12分)解方程组：(1)(荆州中考)⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝－1，①x ＋3y ＝7；②解：由②，得x ＝7－3y.③③代入①，得3(7－3y)－2y ＝－1. 解得y ＝2.把y ＝2代入③，得x ＝7－3y ＝1.∴原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧4（x －y －1）＝3（1－y ）－2，x 2＋y 3＝2.解：原方程组可化为：⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＝5，①3x ＋2y ＝12.②①×2＋②，得11x ＝22，∴x ＝2.将x ＝2代入①，得y ＝3.∴原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.17．(12分)已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋y ＝3，ax ＋5y ＝4与方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝5，5x ＋by ＝1有相同的解，求a ，b 的值．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋y ＝3，x －2y ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2.将x ＝1，y ＝－2代入ax ＋5y ＝4，得a ＝14.将x ＝1，y ＝－2代入5x ＋by ＝1，得b ＝2.18．(12分)如图，周长为34的长方形ABCD 被分成7个大小完全一样的小长方形，求小长方形的长和宽．解：设小长方形的长为x ，宽为y.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2x ＝17，x ＋y ＋5y ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2. 答：小长方形的长为5，宽为2.19．(14分)某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电冰箱，已知该厂家生产三种不同型号的电冰箱，出厂价分别为：甲种每台1 500元，乙种每台2 100元，丙种每台2 500元．(1)某商场同时购进其中两种不同型号电冰箱共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；(2)该商场销售一台甲种电冰箱可获利150元，销售一台乙种电冰箱可获利200元，销售一台丙种电冰箱可获利250元，在同时购进两种不同型号的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案？解：(1)①设购进甲种电冰箱x 台，购进乙种电冰箱y 台，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，1 500x ＋2 100y ＝90 000.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝25. 故第一种进货方案是购甲、乙两种型号的电冰箱各25台．②设购进甲种电冰箱x 台，购进丙种电冰箱z 台，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝50，1 500x ＋2 500z ＝90 000.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，z ＝15. 故第二种进货方案是购进甲种电冰箱35台，丙种电冰箱15台． ③设购进乙种电冰箱y 台，购进丙种电冰箱z 台，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝50，2 100y ＋2 500z ＝90 000.解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝87.5，z ＝－37.5.不合题意，舍去．故此种方案不可行． (2)上述的第一种方案可获利：150×25＋200×25＝8 750(元)， 第二种方案可获利：150×35＋250×15＝9 000(元)，因为8 750<9 000，故应选择第二种进货方案，即购进甲种电冰箱35台，丙种电冰箱15台．。
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第五讲方程组的解法
二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍．
例1解方程组
解将原方程组改写为
由方程②得x=6+4y，代入①化简得
11y-4z=-19．④
由③得
2y+3z=4．⑤
④×3+⑤×4得
33y+8y=-57+16，
所以 y=-1．
将y=-1代入⑤，得z=2．将y=-1代入②，得x=2．所以
为原方程组的解．
说明本题解法中，由①，②消x时，采用了代入消元法；解④，⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无论消y，还是消z，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中z的系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单．
解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定，灵活地采用各种方法与技巧，使解法简捷明快．
例2解方程组
解法1由①，④消x得
由⑥，⑦消元，得
解之得
将y=2代入①得x=1．将z=3代入③得u=4．所以
解法2由原方程组得
所以
x=5-2y=5-2(8-2z)
=-11+4z=-11+4(11-2u)
=33-8u=33-8(6-2x)
=-15+16x，
即x=-15+16x，解之得x=1．将x=1代入⑧得u=4．将u=4代入⑦得z=3．将z=3代入⑥得y=2．所以
为原方程组的解．
解法3①+②+③+④得
x+y+z+u=10，⑤
由⑤-(①+③)得
y+u=6，⑥
由①×2-④得
4y-u=4，⑦
⑥+⑦得y=2．以下略．
说明解法2很好地利用了本题方程组的特点，解法简捷、流畅．
例3解方程组
分析与解注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：
①+②得
x+u=3，⑥
②+③得
y+v=5，⑦
③+④得
z+x=7，⑧
④+⑤得
u+y=9．⑨
又①+②+③+④+⑤得
x+y+z+u+v=15．⑩
⑩-⑥-⑦得z=7，把z=7代入⑧得x=0，把x=0代入⑥得u=3，把u=3代入⑨得y=6，把y=6代入⑦得v=-1．所以
为原方程组的解．
例4解方程组
解法1①×2+②得
由③得
代入④得
为原方程组的解．
为原方程组的解．
说明解法1称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消
为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程．
例5已知
分析与解一般想法是利用方程组求出x，y，z的值之后，代入所求的代数式计算．但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的，因此无法求出x，y，z的确定有限解，但我们可以利用加减消元法将原方程组变形．
①-②消去x得
①×3+②消去y得
①×5+②×3消去z得
例6已知关于x，y的方程组
分别求出当a为何值时，方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解．
分析与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程ax=b的形式进行讨论．但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零．
解由①得
2y=(1+a)-ax，③
将③代入②得
(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2)．④
(1)当(a-2)(a+1)≠0，即a≠2且a≠-1时，方程④有
因而原方程组有唯一一组解．
(2)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)≠0时，即a=-1时，方程④无解，因此原方程组无解．
(3)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0时，即a=2时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解．
例7已知关于x，y的二元一次方程
(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，
当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．
解法1根据题意，可分别令a=1，a=-2代入原方程得到一个方程组
将x=3，y=-1代入原方程得
(a-1)·3+(a+2)·(-1)+5-2a=0．
所以对任何a值
都是原方程的解．
说明取a=1为的是使方程中(a-1)x=0，方程无x项，可直接求出y 值；取a=-2的道理类似．
解法2可将原方程变形为
a(x+y-2)-(x-2y-5)=0．
由于公共解与a无关，故有
例8甲、乙两人解方程组
原方程的解．
分析与解因为甲只看错了方程①中的a，所以甲所得到的解
4×(-3)-b×(-1)=-2．③
a×5+5×4=13．④
解由③，④联立的方程组得
所以原方程组应为
练习五
1．解方程组
2．若x1，x2，x3，x4，x5满足方程组
试确定3x4+2x5的值．
3．将式子3x2+2x-5写成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式，试求
4．k为何值时，方程组
有唯一一组解；无解；无穷多解？
5．若方程组
的解满足x+y=0，试求m的值．。