高中数学常用逻辑用语总复习

常用逻辑用语

常用逻辑用语

命题及其关系

命题

四种命题

四种命题间的相互关系

充分条件与必要条

件

充分条件与必要条件

充分条件、必要条件的四种类型简单的逻辑连接词

“且”“或”“非”

命题p∨q，p∧q ，⌝p 的真假判定

全称量词与存在量

词

全称量词与全程命题

存在量词与特称命题

含有一个量词的命题的否定

一、命题及其关系

1．命题

命题定义：能够判断真假的语句，即能够判断对错的陈述句． 真假命题：判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 一般形式：“若p ，则q ”，p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论． 例如： 命题：“太阳比地球大”（真命题），“若1x =，则13x +=”．（假命题） 非命题：“打篮球的个子都很高吗？”，“我到河北省来”．（不能判断真假）

2．四种命题

原命题：题目直接给的命题． 逆命题：把原命题反过来说．

否命题：把原命题条件和结论否了（用⌝ p 和⌝ q 表示，读作“非p ”和“非q ”）． 逆否命题：把原命题反过来说，再把条件和结论否了．

例如：

3．四种命题的关系

关系图：

结论：

原命题和逆否命题真假性相同，逆命题和否命题真假性相同，即：如果两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．

例如：

原命题：如果1

x=，那么2230

x x

+-=（真命题）

逆命题：如果2230

x x

+-=，那么1

x=（假命题）

否命题：如果1

x≠，那么2230

x x

+-≠（假命题）

逆否命题：如果2230

x x

+-≠，那么1

x≠（真命题）

如果两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系． 例如：

原命题：如果1x =，那么12x +=（真命题） 逆命题：如果12x +=，那么1x =（真命题） 否命题：如果1x ≠，那么12x +≠（真命题）

练习题：

ABC中，角

B．那么命题

B．1

a

解析：由正弦定理

sin

⇔>

sin B A

二、充分条件与必要条件

1．充分条件与必要条件

“若p ，则q ”为真命题，即p 通过推理可得出q ，记作p q ⇒，则p 为q 的充分条件，q 为p 的必要条件，（能过去叫充分，能回来叫必要，过不去不充分，回不来不必要）．

例如：命题“p ：1x =，那么q ：12x +=”，p q ⇒，则p 为q 的充分条件，q 为p 的必要条件．

2．充分条件、必要条件的四种类型 四种类型的表示与读法：

重要结论：小范围可以推导出大范围．

q ，所以

练习题：

三、简单的逻辑连接词

1．“且”“或”“非”

且：既满足命题p又满足命题q，即“p且q”，记作p ∧q．

（我很高且我很帅，我很高∧我很帅）

或：满足命题p或满足命题q，即“p或q”，记作p ∨q．

（我很高或我很帅，我很高∨我很帅）

非：命题p的否定，即条件不变，否定结论，读作“非p”，记作⌝p．（我很帅，⌝我很帅（我不帅））

2．p ∨q，p ∧q，⌝p的真假判定：

真值表：

结论：

p ∧q：全真为真，一假为假．

p ∨ q ：一真为真，全假为假． ⌝ p ：p 真⌝ p 假，p 假⌝ p 真．

例如:p ：2,0x x ∀>，q ：,10x x ∃+=，p 假，q 真．

则p ∧ q 假 p ∨ q 真 ⌝ p 真 ⌝ q 假．

注意：否命题和命题的否定的区别

否命题是对条件和结论同时否定，命题的否定（即⌝ p ）是条件不变，否定结论． 例如：

原命题：如果0x >，那么220x x +> 否命题：如果0x ≤，那么220x x +≤

命题的否定：如果0x >，那么220x x +≤

练习题：

四、全称量词与存在量词

1．全称量词及全称命题 例如：命题“对于一切实数x ，都有210x x ++≥”

可写为“x ∀，210x x ++≥”． 2．例如：命题“存在实数x ，都有11x x +=”可写为“x ∃，1

1x x

+=”．

3．含有一个量词的命题的否定

全称命题：p ：,()x M p x ∀∈；它的否定⌝ p ：00,()x M p x ∃∈⌝．

全称命题的否定是特称命题．

特称命题：p ：00,()x M p x ∃∈；它的否定⌝ p ：,()x M p x ∀∈⌝． 特称命题的否定是全称命题．

例如：命题“2,0x x ∀≥”的否定为：“2,0x x ∃<”．

命题“2,10a ax x ∃++>”的否定为：“2,10a ax x ∀++≤”．

命题“21,01x x x -∀=+”的否定为：“21,01

x x x -∃≠+”

．

练习题：

是C．答案：C

6命题“3

[0,),0

x x x

∀∈+∞+≥”的否定是（）

A．3

(,0),0

x x x

∀∈-∞+

(,0),0

x x x

∀∈-∞+≥C．3

[0,),0

x x x

∃∈+∞+

[0,),0

x x x

∃∈+∞+≥解析：存在变任意，结论再否定．

答案：C

7已知命题p：2

R,0

x x x a

∀∈-+>，若⌝p为真命题，则实数a的取值范围是（）

A．

1

4

a≥B．

1

4

a>C．

1

4

a≤D．

1

4

a<

解析：⌝p为2

R,0

x x x a

∃∈-+≤，是真命题，可知140

a

∆=-≥，解得

1

4

a≤

答案：C

8已知命题“2

5

R,50

4

x x x a

∀∈-+>”的否定为假命题，则实数a的取值范围是（）

A．(5,)

+∞B．(1,)

-+∞C．[2,)

+∞D．[1,)

-+∞

解析：命题的否定为假命题，则原命题为真命题，所以

5

2540

4

a

∆=-⨯<，解得5

a>

答案：A

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