图的基本概念 无向图及有向图ppt课件

也简称边.
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有向图示例
给定有向图D=<V,E>， 其中
V＝{a,b,c,d}， E＝{<a,a>, <a,b>,<a,b>, <a,d>,<c,d>, <d,c>,<c,b>}。
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图的一些概念和规定
G表示无向图，但有时用G泛指图(无向的或有向的)。 D只能表示有向图。 V(G)，E(G)分别表示G的顶点集和边集。 若|V(G)|＝n，则称G为n阶图。 若|V(G)|与|E(G)|均为有限数，则称G为有限图。 若边集E(G)＝，则称G为零图，此时，又若G为n阶图
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无向图示例
给定无向图G＝ <V,E>，其中 V＝ {v1,v2,v3,v4,v5}， E={(v1,v1), (v1,v2),(v2,v3), (v2,v3),(v2,v5), (v1,v5),(v4,v5)}.
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3、有向图 一个有向图D是一个二元组<V,E>, 即D = <V,E>,其中： ①. V同无向图中的顶点集; ②. E是笛卡儿积的多重子集,其元素称为有向边,
展，有力地推动了图论的发展，使得图论成为数
学领域里发展最快的分精选支ppt 之一。
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第7章 图的概念
本章学习： 1. 无向图及有向图 2. 通路、回路、图的连通性 3. 图的矩阵表示 4. 最短路径及关键路径
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今日内容
无向图及有向图 图的一些相关概念 度 握手定理 子图相关概念 图同构
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图论的起源
欧拉最后给出任意一种河──桥图能否全 部走一次的判定法则。如果通奇数座桥的 地方不止两个，那么满足要求的路线便不 存在了。如果只有两个地方通奇数座桥， 则可从其中任何一地出发找到所要求的路 线。若没有一个地方通奇数座桥，则从任 何一地出发，所求的路线都能实现，他还 说明了怎样快速找到所要求的路线。
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2、无向图 一个无向图G是一个二元组<V,E>,即G=<V,E>, 其中: ①. V是一个非空集合,称为G的顶点集,V中元素 称为顶点或结点; ②. E是无序积V&V的一个多重子集,称E为G的边 集,E中元素称为无向边或简称边。
•用小圆圈表示V中顶点,若(a,b)∈E,就在a,b之间连 线段表示边(a,b),其中顶点的位置、连线的曲直及 是否相交都无关紧要。
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学好图论十分重要
图论是组合数学的一个分支，与其它数学分支
如群论、矩阵论、集合论、概率论、拓扑学、数
值分析等有着密切的联系 。
图论给含有二元关系的系统提供了数学模型，因 而在许多领域里都具有越来越重要的地位，并且 在物理、化学、信息学、运筹学等各方面都取得 了丰硕的成果。
从二十世际50 年代以来，由于计算机的迅速发
解决了这一问题，证明这种方法并不存在，也顺带解 决了一笔画问题。他在圣彼得堡科学院发表了图论史 上第一篇重要文献。欧拉把实际的抽象问题简化为平 面上的点与线组合，每一座桥视为一条线，桥所连接 的地区视为点。这样若从某点出发后最后再回到这点 ，则这一点的线数必须是偶数。
→zh.wikipedia.org/wiki/File:K
离散数学
CH7 图的基本概念 1无向图及有向图
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图论的起源
图论是组合数学的
一个分支,它起源
于1736年欧拉的第
一篇关于图论的论
文，这篇论文解决
了著名的 “哥尼
斯堡七桥问题”
，从而使欧拉成为
图论的创始人。
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哥尼斯堡七桥问题解决方式
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在1735年圆满地
各个事物间的二元关系。
所以，图是研究集合上的二元 关系的工具，是建立数学模型的一 个重要手段。
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2、一百多年以后
“七桥”问题以后，图论的研究停滞了一 百多年，直到1847年，基尔霍夫用“树 ”图解决了电路理论中的求解联立方程 的问题，十年后凯莱用 “树” 图计算有 机化学中的问题。在这一时期流行着两 个著名的图论问题：哈密尔顿回路问题 和 “四色猜想” 问题。
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预备知识
有序积: A×B={ <x,y> |x∈A∧y∈B} 有序对: <x,y>≠<y,x> 无序积: A&B={ (x,y) |x∈A∧y∈B} 无序对: (x,y)=(y,x) 多重集: {a,a,a,b,b,c}≠{a,b,c} 重复度: a的重复度为3, b的为2, c的为1
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3.哈密尔顿回路问题
1856年,英国数学家哈密尔顿设计
了一个周游世界的游戏，他在一个
正十二面体的二十个顶点上标上二
十个著名城市的名字，要求游戏者
从一个城市出发，经过每一个城市
一次且仅一次，然后回到出发点。
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哈密尔顿回路图
此路线称为：哈密尔顿回路，
而此图称为：哈密尔顿图。
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不少数学家都尝试去解析这个事例。而这 些解析，最后发展成为了数学中的图论。
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欧拉图
定义 一个图,如果能够从一点出 发,经过每条边一次且仅一次再 回到起点,则称为欧拉图
欧拉在论文中给出并证明了判断 欧拉图的充分必要条件定理,并证明 了七桥图不是欧拉图。
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从这个问题可以看出：
图：图用点代表各个事物,用边代表
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4、“四 色 猜 想” 问 题
人们在长期为地图(平面图)上色时发 现，最少只要四种颜色，就能使得 有相邻国界的国家涂上不同的颜色
四色猜想的证明一直没有解决， 直到一百多年后，在计算机出现以 后，于1976年用计算机算了1200多 小时，才证明了四色猜想问题。
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5、又过了半个世纪
四色猜想问题出现后，图论的研 究又停滞了半个世纪，直到1920年 科尼格写了许多关于图论方面的论 文，并于1936年发表了第一本关于 图论的书。此后图论从理论上到应 用上都有了很大发展。特别是计算 机的出现使图论得到飞跃的发展。
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1、无序积：A&B 设A、B为两集合，称 {{a,b}|a∈A∧b∈B} 为 A 与 B 的 无 序 积 ， 记 作 A&B。 为方便起见，将无序对{a,b}记作 ( a, b)。 ( a, b)＝(b, a) 例： 设A={a,b}, B={c,d}, 则A&B＝？ A&A＝？ A&B={( a, c), (a,d),( b,c),( b,d)} A&A={( a, a ),( a, b),( b, b)}