图的基本概念 无向图及有向图ppt课件
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武汉大学《离散数学》课件-第5章
(1) 若i(1il), vi1, vi是ei的端点(对于有向图, 要求vi1是始点,
vi是终点), 则称为通路, v0是通路的起点, vl是通路的终点, l为通路的长度. 又若v0=vl，则称为回路.
(2) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异，则称为 初级通路(初级回路).初级通路又称作路径, 初级回路又称 作圈.
32
通路与回路(续)
定理 在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通 路，则从u到v存在长度小于等于n1的通路. 推论 在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通 路，则从u到v存在长度小于等于n1的初级通路.
定理 在一个n阶图G中，若存在v到自身的回路，则 一定存在v到自身长度小于等于n的回路. 推论 在一个n阶图G中，若存在v到自身的简单回 路，则存在v到自身长度小于等于n的初级回路.
D
D[{e1,e3}]
D[{v1,v2}]
26
补图
定义 设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集, 所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集 的图，称为G的补图，记作 G . 若G G , 则称G是自补图.
例 对K4的所有非同构子图, 指出互为补图的每一对 子图, 并指出哪些是自补图.
图论
1
图论部分
第5章 图的基本概念 第6章 特殊的图 第7章 树
2
第5章 图的基本概念
5.1 无向图及有向图 5.2 通路, 回路和图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径, 关键路径和着色
3
5.1 无向图及有向图
▪ 无向图与有向图 ▪ 顶点的度数 ▪ 握手定理 ▪ 简单图 ▪ 完全图 ▪ 子图 ▪ 补图
27
5.2 通路、回路、图的连通性
vi是终点), 则称为通路, v0是通路的起点, vl是通路的终点, l为通路的长度. 又若v0=vl，则称为回路.
(2) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异，则称为 初级通路(初级回路).初级通路又称作路径, 初级回路又称 作圈.
32
通路与回路(续)
定理 在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通 路，则从u到v存在长度小于等于n1的通路. 推论 在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通 路，则从u到v存在长度小于等于n1的初级通路.
定理 在一个n阶图G中，若存在v到自身的回路，则 一定存在v到自身长度小于等于n的回路. 推论 在一个n阶图G中，若存在v到自身的简单回 路，则存在v到自身长度小于等于n的初级回路.
D
D[{e1,e3}]
D[{v1,v2}]
26
补图
定义 设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集, 所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集 的图，称为G的补图，记作 G . 若G G , 则称G是自补图.
例 对K4的所有非同构子图, 指出互为补图的每一对 子图, 并指出哪些是自补图.
图论
1
图论部分
第5章 图的基本概念 第6章 特殊的图 第7章 树
2
第5章 图的基本概念
5.1 无向图及有向图 5.2 通路, 回路和图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径, 关键路径和着色
3
5.1 无向图及有向图
▪ 无向图与有向图 ▪ 顶点的度数 ▪ 握手定理 ▪ 简单图 ▪ 完全图 ▪ 子图 ▪ 补图
27
5.2 通路、回路、图的连通性
图论（1）--图的基本概念
图论（1）--图的基本概念有向图和⽆向图的建⽴以及赋权图引⼊Q：什么是图论？A：图论是数学的⼀个分⽀。
它以图为研究对象。
图论中的图是由若⼲给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常⽤来描述某些事物之间的某种特定关系，⽤点代表事物，⽤连接两点的线表⽰相应两个事物间具有这种关系。
现在我们来探讨⽆向图和有向图的概念以及如何去建⽴最基本的图的模型什么是图对于初⼊图论的⼈来说，复杂的定义可能会直接劝退他们，现在我来举⼀个⾮常简单的例⼦。
这就是最常见的图，由于它没有指向，即没有明确的⽅向，它被称为⽆向图。
图是由顶点和边组成的，你应该很容易就知道那些元素是顶点，那些是边。
下⾯的具有⽅向的便是有向图：若有的边有向，有的边⽆向，则称为混合图。
接下来我们将引⼊更多的概念：若两个顶点有边相连，则称两个顶点相相邻，两个点称为起点/终点或端点如1指向2，则这两个顶点相邻，这两个顶点被称为断点，⽽1被称为起点，2被称为终点。
仅含⼀个顶点的边称为⾃环在⽆向图中，包含顶点v的边的个数，称为顶点的度。
在有向图中，以v为起点的边的个数，称为点的出度，以v为终点的边的个数，称为顶点的⼊度。
⽆向图的建⽴建⽴简单⽆向图，我们使⽤Matlab，版本为R2017a。
% 函数graph(s,t)：可在 s 和 t 中的对应节点之间创建边，并⽣成⼀个图% s 和 t 都必须具有相同的元素数；这些节点必须都是从1开始的正整数，或都是字符串元胞数组。
s1 = [1,2,3,4]; %s为顶点，必须保证连续且从1开始的正整数t1 = [2,3,1,1]; %边 s与t之间是⼀⼀对应的G1 = graph(s1, t1);plot(G1) %画出效果图效果图：带汉字的⽆向图：% 注意字符串元胞数组是⽤⼤括号包起来的哦s2 = {'学校','电影院','⽹吧','酒店'};t2 = {'电影院','酒店','酒店','KTV'};G2 = graph(s2, t2);plot(G2, 'linewidth', 2) % 设置线的宽度% 下⾯的命令是在画图后不显⽰坐标set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] );效果图：有向图的建⽴：% ⽆权图 digraph(s,t)s = [1,2,3,4,1];t = [2,3,1,1,4];G = digraph(s, t);plot(G)set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] );注意边的顺序和⽅向，依次为1指向2,2指向3,3指向1,4指向1和1指向4效果图：赋权图的建⽴：赋权图，每条边都有⼀个⾮负实数对应的图。
图论讲义-图的基本概念
到目前为止，判断两图同构 还只能从定义出发。判断过 程中不要将两图同构的必要 条件当成充分条件。
注意：在研究图的过程中，顶点的位置以及边的曲直长短 都是无关紧要的。而且也没有假定这些顶点和边都要在一 个平面上（正方体的顶点和棱也可构成图）。我们研究的 只是顶点的多少及这些边是连接那些顶点的。
五、顶点的度
若e=(u,v)，则表示u到v的一条边（Edge），此时的
图称为无向图(Undigraph)。
有向图（Digraph）、无向图(Undigraph)
V1 V4
V1
V5 V2 V3 V2 V3
V4
有向图（Digraph）、无向图(Undigraph)
例1、设V={v1,v2,v3,v4,}，E={e1,e2,e3,e4,e5}，满足e1=(v1,v2)，
六、路与图的连通性
v1 v2 v5
图G中，取Γ1=v1v2v3，
v3
v4
G
Γ2=v1v2v3v4v2， Γ3=v1v2v3v2v3v4 则 Γ1,Γ2,Γ3依次为长为2,4,5的 通路，其中Γ1与Γ2为简单通路， Γ1为基本通路。 由定义可看出,G中v1v2v5v1为 长为3的圈，v1v2v3v4v2v5v1为 长为6的简单回路。
e2=(v2,v3)，e3=(v2,v3)，e4=(v3,v4)，e5=(v4,v4),则G=(V,E)是一个图。图 中边集E的边也可直接由点对表示，而将E作为多重集（即允许E中有相同元素的 集合）。 例2、设V={v1,v2,v3,v4}，E={(v1,v2)，(v1,v2)，(v2,v3)}，则H=(V,E)是 一个图。 e
d (V ) 2m
i 1 i
n
五、顶点的度
推论：任何图（无向图或有向图）中，度为奇数的顶点个
《离散数学》第6章 图的基本概念
E ' E )。
生成子图—— G ' G 且 V ' V 。
导出子图 ——非空 V ' V ，以 V ' 为顶点集， 以两端均在 V ' 中的边的全体为边集的 G 的 子图，称 V ' 的导出子图。 ——非空 E ' E ，以 E ' 为边集，以
E ' 中边关联的顶点的全体为顶点集的 G 的子
0 vi与ek 不关联 无向图关联的次数 1 vi与ek 关联1次 2 v 与e 关联2次(e 为环) i k k
1 vi为ek的始点 有向图关联的次数 0 vi与ek 不关联 1 v 为e 的终点 (无环) i k
点的相邻——两点间有边，称此两点相邻 相邻 边的相邻——两边有公共端点，称此两边相邻
孤立点——无边关联的点。 环——一条边关联的两个顶点重合，称此边 为环 (即两顶点重合的边)。 悬挂点——只有一条边与其关联的点，所
对应的边叫悬挂边。
(3) 平行边——关联于同一对顶点的若干条边 称为平行边。平行边的条数称为重数。 多重图——含有平行边的图。
简单图——不含平行边和环的图。
如例1的(1)中，
第六章 图的基本概念 第一节 无向图及有向图
内容：有向图，无向图的基本概念。
重点：1、有向图，无向图的定义， 2、图中顶点，边，关联与相邻，顶点 度数等基本概念，
3、各顶点度数与边数的关系
d (v ) 2m 及推论，
i 1 i
n
4、简单图，完全图，子图， 补图的概念， 5、图的同构的定义。
一、图的概念。 1、定义。 无序积 A & B (a, b) a A b B 无向图 G V , E E V & V ， E 中元素为无向边，简称边。 有向图 D V , E E V V ， E 中元素为有向边，简称边。
《离散数学》图论 (上)
12
无向图与有向图
v2
e1
e2
e3
v3
e4
v1
e5 (e1)={( v42, v24 )}
v4
(e2)={( v32, v23 )} (e3)={( v3, v4 )}
(e4)=({ v43, v34 )}
(e5)=({ v4,}v4 )
13
无向图与有向图
A B C
D E F
14
无向图与有向图
第八章 图论
第八章 图论
§8.1 基本概念
§8.1.1 无向图、有向图和握手定理 §8.1.2 图的同构与子图 §8.1.3 道路、回路与连通性 §8.1.4 图的矩阵表示
§8.2 欧拉图 §8.3 哈密尔顿图 §8.4 平面图 §8.5 顶点支配、独立与覆盖
2
无向图与有向图
3
无向图与有向图
一个无向图（undirected graph, 或graph） G 指一个三元组 (V, E, )，其中
vV
vV
24
特殊的图
假设 G=(V, E, ) 为无向图，若 G 中所有 顶点都是孤立顶点，则称 G 为零图（null graph）或离散图（discrete graph）；若 |V|=n，|E|=0，则称 G 为 n 阶零图 所有顶点的度数均相等的无向图称为正 则图（regular graph），所有顶点的度数 均为 k 的正则图称为k度正则图，也记作 k-正则图 注：零图是零度正则图
19
握手定理
定理（图论基本定理/握手定理）
假设 G=(V, E, ) 为无向图，则deg(v) 2 E ， vV
即所有顶点度数之和等于边数的两倍。
推论
在任何无向图中，奇数度的顶点数必是偶 数。
无向图与有向图
v2
e1
e2
e3
v3
e4
v1
e5 (e1)={( v42, v24 )}
v4
(e2)={( v32, v23 )} (e3)={( v3, v4 )}
(e4)=({ v43, v34 )}
(e5)=({ v4,}v4 )
13
无向图与有向图
A B C
D E F
14
无向图与有向图
第八章 图论
第八章 图论
§8.1 基本概念
§8.1.1 无向图、有向图和握手定理 §8.1.2 图的同构与子图 §8.1.3 道路、回路与连通性 §8.1.4 图的矩阵表示
§8.2 欧拉图 §8.3 哈密尔顿图 §8.4 平面图 §8.5 顶点支配、独立与覆盖
2
无向图与有向图
3
无向图与有向图
一个无向图（undirected graph, 或graph） G 指一个三元组 (V, E, )，其中
vV
vV
24
特殊的图
假设 G=(V, E, ) 为无向图，若 G 中所有 顶点都是孤立顶点，则称 G 为零图（null graph）或离散图（discrete graph）；若 |V|=n，|E|=0，则称 G 为 n 阶零图 所有顶点的度数均相等的无向图称为正 则图（regular graph），所有顶点的度数 均为 k 的正则图称为k度正则图，也记作 k-正则图 注：零图是零度正则图
19
握手定理
定理（图论基本定理/握手定理）
假设 G=(V, E, ) 为无向图，则deg(v) 2 E ， vV
即所有顶点度数之和等于边数的两倍。
推论
在任何无向图中，奇数度的顶点数必是偶 数。
《图的定义和术语》课件
连通图(connected graph)
连通图是指图中任意两个顶点之间都存在路径相连的图。
强连通图(strongly connected graph)
强连通图是指有向图中任意两个顶点之间都存在路径相连的图。
无向图(undirected graph)
无向图是指边没有方向的图，任意两个顶点之间都存在边连接。
邻接矩阵是一种表示图的方式，使用二维数组来记录顶点之间的连接关系。
邻接表(adjacency list)
邻接表是一种表示图的方式，使用链表或数组来记录每个顶点的相邻顶点。
图的遍历(traversing the graph)
图的遍历是指按照某种规则遍历图中的所有顶点和边，例如深度优先搜索和广度优先搜索。
图的着色是指给图的顶点分配颜色，使得相邻顶点颜色不同。
欧拉图(Eulerian graph)
欧拉图是指可以沿着每条边只经过一次的闭合路径遍历图中所有边的图。
哈密顿图(Hamiltonian graph)
哈密顿图是指可以沿着一条路径遍历图中所有顶点一次且只一次的图。
邻接矩阵(adjacency matrix)
《图的定义和术语》PPT 课件
本课件将介绍图的定义和一些重要术语，包括顶点、边、路径、圈、简单图、 完全图等，以及图的遍历和邻接矩阵等。
简介
什么是图
图是由一些点和这些点之间连接关系组成的 数据结构，常用于解决各种实际问题。
图的用途
图可以用于模拟网络、路径规划、社交网络 分析等领域，具有广泛的应用价值。
图的定义
图由顶点集合和边集合组成，一般用V表示顶点集合，用E表示边集合。
顶点(vertex)
顶点是图的基本元素，通常用不同的符号或编号表示。在图中表示为圆点。
图的基本概念 无向图及有向图
d (v4)=4
d (v5)=2
31
最大(出/入)度,最小(出/入)度
在无向图G中， 最大度: Δ(G) = max{ dG(v) | v∈V(G) } 最小度: δ(G) = min{ dG(v) | v∈V(G) } 在有向图D中， 最大出度: Δ+(D) = max{ dD+(v) | v∈V(D) } 最小出度: δ+(D) = min{ dD+(v) | v∈V(D) } 最大入度: Δ-(D) = max{ dD-(v) | v∈V(D) } 最小入度: δ-(D) = min{ dD-(v) | v∈V(D) } + + - 简记为Δ, δ, Δ , δ , Δ , δ
i 1
i
证明 必要性。由握手定理显然得证。 充分性。由已知条件可知，d中有偶数个奇数 度点。 奇数度点两两之间连一边，剩余度用环来实现。
5 3
3
1
例7.1： 1. (3, 3, 2, 3), (5, 2, 3, 1, 4)能成为图的度 数序列吗？为什么？ 2. 已知图G中有10条边，4个3度顶点，其余顶点的 度数均小于等于2，问G中至少有多少个顶点？为 什么？ 解： 1.由于这两个序列中，奇数度顶点个数均为奇数， 由握手定理的推论可知，它们都不能成为图的度 数序列。 2.显然，图G中的其余顶点度数均为2时G图的顶点 数最少. 设G图至少有x个顶点. 由握手定理可知， 3×4+2×(x-4)=2 ×10 解得: x=8 所以G至少有8个顶点。
度数列举例
按顶点的标定顺序，度数列为 4,4,2,1,3。
度数列举例
按字母顺序， 度数列：5,3,3,3 出度列：4,0,2,1
图论--图的基本概念
图论--图的基本概念1.图：1.1⽆向图的定义：⼀个⽆向图G是⼀个有序的⼆元组<V,E>，其中V是⼀个⾮空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。
E是⽆序积V&V的有穷多重⼦集，称作边集，其元素称作⽆向边，简称边。
注意：元素可以重复出现的集合称作多重集合。
某元素重复出现的次数称作该元素的重复度。
例如，在多重集合{a,a,b,b,b,c,d}中，a,b,c,d的重复度分别为2，3，1，1。
从多重集合的⾓度考虑，⽆元素重复出现的集合是各元素重复度均为1的多重集。
1.2有向图的定义：⼀个有向图G是⼀个有序的⼆元组<V,E>，其中V是⼀个⾮空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。
E是笛卡尔积V✖V的有穷多重⼦集，称作边集，其元素为有向边，简称为边。
通常⽤图形来表⽰⽆向图和有向图：⽤⼩圆圈（或实⼼点）表⽰顶点，⽤顶点之间的连线表⽰⽆向边，⽤带箭头的连线表⽰有向边。
与1.1，1.2有关的⼀些概念和定义：（1）⽆向图和有向图统称为图，但有时也把⽆向图简称作图。
通常⽤G表⽰⽆向图，D表⽰有向图，有时也⽤G泛指图（⽆向的或有向的）。
⽤V(G),E(G)分别表⽰G的顶点集和边集，|V(G)|,|E(G)|分别是G的顶点数和边数，有向图也有类似的符号。
（2）顶点数称作图的阶，n个顶点的图称作n阶图。
（3）⼀条边也没有的图称作零图，n阶零图记作N n。
1阶零图N1称作平凡图。
平凡图只有⼀个顶点，没有边。
（4）在图的定义中规定顶点集V为⾮空集，但在图的运算中可能产⽣顶点集为空集的运算结果，为此规定顶点集为空集的图为空图，并将空图记作Ø。
（5）当⽤图形表⽰图时，如果给每⼀个顶点和每⼀条边指定⼀个符号（字母或数字，当然字母还可以带下标），则称这样的图为标定图，否则称作⾮标定图。
（6）将有向图的各条有向边改成⽆向边后所得到的⽆向图称作这个有向图的基图。
（7）若两个顶点v i与v j之间有⼀条边连接，则称这两个顶点相邻。
离散数学第七章图的基本概念
4.无向图的连通性
若无向图G中任何两顶点都连通,则称G是连通图.
对于任意的无向图G.设V1,V2,…,Vk是顶点之间连通关系的 等价类,则称他们的导出子图为G的连通分支.用p(G)表示G 的连通分支数.
V1 e1
e2 e3
V3
e4 V2
V4
a
de
h
i
b
c
f
g
5.有向图的连通性
若略去有向图D中各边的键头,所得无向图是无向连通图,则 称D是弱连通图(或称D是连通图).
(2) mij d (vi )(i 1,2,..., n)
j 1
mn
nm
n
(3) mij mij d(vi ) 2m
j1 i1
i1 j1
i 1
m
(4) mij 0 vi是孤立点 j 1
(5)若第j列与第k列相同, 则说明e j与ek为平行边.
2.有向图的关联矩阵
设有向图D=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em} 1, vi为ej的始点
e1,e2,e3},{e1,e2,
e2
e4},{e9}等边割集 ,e9是桥.
e3 V4
e5 e6
V5 e4
V6
e9
V7
7.3 图的矩阵表示
1.无向图的关联矩阵
设无向图G=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em}
令mij为顶点vi与ej的关联次数, 则称(mij)n×m为G的关联矩阵.记为M(G)
若Γ 满足:vi-1,vi为ei的端点(若G为有向图,vi-1是ei的始 点,vi是ei的终点)i=1,2,…,k,则称Γ 为G中通路,v0,vk分 别称为通路的始点和终点,Γ 中边的数目k称为通路长度.
图与网络分析-(共34张PPT)
4、环：某一条孤起点=终点，称为环。 5、基础图：给定一个有向图D=(V,A) ，从D中去掉所有
弧上的箭头，所得到的无向图。记之为G(D)。
第九页，共34页。
6、链：设(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D中的
一个点弧交错序列，如果这个序列在基础图G(D)中
所对应的点边序列是一条链，则称这个点弧交错序列
v(f) fij–fji= 0
–v(f)
i=s is，t
i=t
且使v(f)达到最大。
第二十三页，共34页。
3、增广链 给定可行流f={fij}，使fij=cij的弧称为饱和弧，使
fij<cij的弧称为非饱和弧，把fij=0的弧称为零流弧， fij>0
的弧称为非零流弧。
若是网络中连接发点vs和收点vt的一条链，定义链
22
21
44
(0，Vvs)1
89
62
31
32 63
45
24
47
(44,V1) v4
37 27
(78,V3)
v6
32
v3 (31, V1) 34
第十九页，共34页。
v5 (62,V1)
第三节 最大流问题
如下是一运输网络，弧上的数字表示每条弧上 的容量，问：该网络的最大流量是多少？
4 vs
3
v1
3
1 2
2
v2
v3 3
2
vt
4 v4
第二十页，共34页。
一、基本概念和基本定理
1、网络与流
定义1：给定一个有向图D=(V,A),在V中有一个发点 vs和一收点vt，其余的点为中间点。对于每一条弧 (vi,vj),对应有一个c(vi,vj)0,(cij)称为弧的容量。这 样的有向图称为网络。记为D=(V,A,C)。
弧上的箭头，所得到的无向图。记之为G(D)。
第九页，共34页。
6、链：设(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D中的
一个点弧交错序列，如果这个序列在基础图G(D)中
所对应的点边序列是一条链，则称这个点弧交错序列
v(f) fij–fji= 0
–v(f)
i=s is，t
i=t
且使v(f)达到最大。
第二十三页，共34页。
3、增广链 给定可行流f={fij}，使fij=cij的弧称为饱和弧，使
fij<cij的弧称为非饱和弧，把fij=0的弧称为零流弧， fij>0
的弧称为非零流弧。
若是网络中连接发点vs和收点vt的一条链，定义链
22
21
44
(0，Vvs)1
89
62
31
32 63
45
24
47
(44,V1) v4
37 27
(78,V3)
v6
32
v3 (31, V1) 34
第十九页，共34页。
v5 (62,V1)
第三节 最大流问题
如下是一运输网络，弧上的数字表示每条弧上 的容量，问：该网络的最大流量是多少？
4 vs
3
v1
3
1 2
2
v2
v3 3
2
vt
4 v4
第二十页，共34页。
一、基本概念和基本定理
1、网络与流
定义1：给定一个有向图D=(V,A),在V中有一个发点 vs和一收点vt，其余的点为中间点。对于每一条弧 (vi,vj),对应有一个c(vi,vj)0,(cij)称为弧的容量。这 样的有向图称为网络。记为D=(V,A,C)。
总结-图论
生成树
设 T 为无向连通图 G 中一棵生成树，e 为 T 的任意一条弦，则 T ∪e 中含 G 中只含一条弦其余边均为树枝的圈，而且不同的弦对应的圈 也不同。
设 T 是连通图 G 的一棵生成树，e 为 T 的树枝，则G 中存在只含树 枝 e，其余边都是弦的割集，且不同的树枝对应的割集也不同。
r 叉完全正则树——树叶的层数均为树高的 r 叉正则树
r 叉完全正则有序树——r 叉完全正则树是有序的的
平面图
G 是可平面图或平面图——如果能将无向图 G 画在平面 上，使得除顶 点处外无边相交。
G 的平面嵌入——画出的无边相交的平面图。 非平面图——无平面嵌入的图。
K5 和 K3,3 都不是平面图。
平面图
(1)设 T 为根树，若将 T 中层数相同的顶点都标定次序，
则称 T 为有序树。 (2)分类：根据根树 T 中每个分支点儿子数以及是否有序 r 叉树——每个分支点至多有 r 个儿子
r 叉有序树——r 叉树是有序的
r 叉正则树——每个分支点恰有 r 个儿子 r 叉正则有序树——r 叉正则树是有序的
T 是 n (n≥2) 阶有向树， (1) T 为根树— T 中有一个顶点入度为 0， 其余顶点的入度均为 1
(2) 树根——入度为 0 的顶点
(3) 树叶——入度为 1，出度为 0 的顶点 (4) 内点——入度为 1，出度不为 0 的顶点 (5) 分支点——树根与内点的总称 (6) 顶点v的层数——从树根到v的通路长度 (7) 树高——T 中层数最大顶点的层数 (8) 根树——平凡树(规定)
d
i 1
n
i
0( mod 2)
图的基本概念
图同构、子图、生成子图、导出子图等。
第八章 图(Graph)PPT课件
Graph->Arcs[v][w] = 0; }
15
2、邻接表 (Adjacency List)表示法
实际上是一种顺序存储与链式存储相结合的方法。顺序存储 部分用来存储图中顶点的信息，链式部分用来保存图中边 （弧）的信息。
一个一维数组，每个数据元素包含以下信息：
Vertex FirstArc
邻接单链表的每个结点（边结点）的结构如下 AdjVertex Weight NextArc
16
＃ define MAXNODE <图中结点的最大个数>
typedef struct arc {
int AdjVertex; int Weight; struct arc * NextArc; }arctype; // 邻接链表结点结构
typedef struct {
elemtype Vertext; arctype * FirstArc; }vertextype; // 顺序表结构
在无向图中, 统计第 i 行 (列) 1 的个数可得顶点i 的度。
12
网络的邻接矩阵 W (i,j), 如i果 !j且 <i,jE或 (i,j)E
A.Ed[i]gj[]e= , 否但 则i是 !,=j 0, 对角 i=线 j=
13
用邻接矩阵表示的图的类型的定义
#define MAXNODE 100
✓权 某些图的边具有与它相关的数, 称之为权。这 种带权图叫做网络。
8
7
10 2
5 9
1
12
63
8
15
76
6
3
4
16
7
施工进度图
60
A
B 40 80 C
30
15
2、邻接表 (Adjacency List)表示法
实际上是一种顺序存储与链式存储相结合的方法。顺序存储 部分用来存储图中顶点的信息，链式部分用来保存图中边 （弧）的信息。
一个一维数组，每个数据元素包含以下信息：
Vertex FirstArc
邻接单链表的每个结点（边结点）的结构如下 AdjVertex Weight NextArc
16
＃ define MAXNODE <图中结点的最大个数>
typedef struct arc {
int AdjVertex; int Weight; struct arc * NextArc; }arctype; // 邻接链表结点结构
typedef struct {
elemtype Vertext; arctype * FirstArc; }vertextype; // 顺序表结构
在无向图中, 统计第 i 行 (列) 1 的个数可得顶点i 的度。
12
网络的邻接矩阵 W (i,j), 如i果 !j且 <i,jE或 (i,j)E
A.Ed[i]gj[]e= , 否但 则i是 !,=j 0, 对角 i=线 j=
13
用邻接矩阵表示的图的类型的定义
#define MAXNODE 100
✓权 某些图的边具有与它相关的数, 称之为权。这 种带权图叫做网络。
8
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5 9
1
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施工进度图
60
A
B 40 80 C
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《图论及其应用》课件
图像处理
探索图论在图像处理领域的应用，如图像分割 和模式识别。
七、总结
图论的重要性
强调图论在计算机科学和现实 世界中的重要性和广泛应用。
现实中的应用价值
讨论图论在实际问题中解决方 案的应用价值和优势。
对于未来的展望
探索图论在未来可能的发展方 向和应用领域，如人工智能和 物联网。
2
Floyd算法
介绍Floyd算法的原理和使用方法，用于计算图中所有节点之间的最短路径。
四、最小生成树算法
Prim算法
解释Prim算法的工作原理和应用，用于寻找图中的 最小生成树。
Kruskal算法
讨论Kruskal算法的概念和实现，用于生成图的最小 生成树。
五、网络流算法
1
最大流
介绍网络流问题和最大流算法，用于解
《图论及其应用》PPT课 件
本PPT课件将带您深入了解图论及其应用。图论是一门关于图的性质及其应用 的学科，将为您揭开图论的奥秘。
一、图论基础
图的定义及术语
介绍图的基本定义以及相关的术语，为后续内 容打下基础。
无向图与有向图
解释无向图和有向图的区别，并介绍它们之间 的关系和应用。
图的表示方法
讲解图的常用表示方法，如邻接矩阵和邻接表， 并比较它们的优缺点。
连通性和路径
讨论图的连通性概念以及如何找到两个节点之 间的最短路径。
二、图的遍历算法
1
广度优先搜索（BFS）
2
介绍广度优先搜索算法的工作原理和常 见应用。
深度优先搜索（DFS）
深入探讨深度优先搜索算法的原理和应 用场景。
三、最短路径算法
1
Dijkstra算法
详细讲解Dijkstra算法的步骤和应用，用于寻找图中两个节点间的最短路径。
条件概率图模型：无向图与有向图表示
无向图条件概率图模型在社交网络分析中的应用
• 社交网络中的节点表示用户，边表示用户之间的关系 • 可以使用无向图条件概率图模型来预测用户的行为和兴趣
03
有向图的条件概率图模型
有向图的条件概率图模型表示方法
有向图的条件概率图模型使用邻接矩阵表示图结构
• 邻接矩阵：一个二维矩阵，用于表示 图中节点之间的连接关系 • 对角线元素表示节点的自循环，即节 点自身对自身的依赖
应用性能的对比
无向图条件概率图模型适用于描述对称依赖关系，但在描述非对称依赖关系时性能较差
有向图条件概率图模型适用于描述非对称依赖关系，但在描述对称依赖关系时性能较差
05
条件概率图模型的未来发展趋势与挑战
模型的可扩展性与适应性研究
研究如何提高条件概率图模型的可扩展 性，使其能够处理大规模数据
研究如何提高条件概率图模型的适应 性，使其能够适应不同领域和任务
参数估计方法的优化与创新
研究如何优化条件概率图模型的参数估计方法，提高估计精度和计算效率
探索新的参数估计方法，如深度学习和神经网络等方法在条件概率图模型中的应用
应用领域的拓展觉、 自然语言处理
等
01
深入研究条件 概率图模型在 不同领域和任 务中的表现， 提高模型的性 能和实用性
02
谢谢观看
THANK YOU FOR WATCHING
条件概率图模型：无向图与有向图表示
01
条件概率图模型的基本概念
条件概率图模型的定义与应用场景
条件概率图模型（Conditional Probability Graphical Model，CPGM）是一种用于描述变量
间条件依赖关系的图模型
• 条件依赖关系：指一个变量的发生概 率受到另一个变量的影响 • 图模型：用图的结构表示变量之间的 关系，图中的节点表示变量，边表示变 量之间的依赖关系
• 社交网络中的节点表示用户，边表示用户之间的关系 • 可以使用无向图条件概率图模型来预测用户的行为和兴趣
03
有向图的条件概率图模型
有向图的条件概率图模型表示方法
有向图的条件概率图模型使用邻接矩阵表示图结构
• 邻接矩阵：一个二维矩阵，用于表示 图中节点之间的连接关系 • 对角线元素表示节点的自循环，即节 点自身对自身的依赖
应用性能的对比
无向图条件概率图模型适用于描述对称依赖关系，但在描述非对称依赖关系时性能较差
有向图条件概率图模型适用于描述非对称依赖关系，但在描述对称依赖关系时性能较差
05
条件概率图模型的未来发展趋势与挑战
模型的可扩展性与适应性研究
研究如何提高条件概率图模型的可扩展 性，使其能够处理大规模数据
研究如何提高条件概率图模型的适应 性，使其能够适应不同领域和任务
参数估计方法的优化与创新
研究如何优化条件概率图模型的参数估计方法，提高估计精度和计算效率
探索新的参数估计方法，如深度学习和神经网络等方法在条件概率图模型中的应用
应用领域的拓展觉、 自然语言处理
等
01
深入研究条件 概率图模型在 不同领域和任 务中的表现， 提高模型的性 能和实用性
02
谢谢观看
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条件概率图模型：无向图与有向图表示
01
条件概率图模型的基本概念
条件概率图模型的定义与应用场景
条件概率图模型（Conditional Probability Graphical Model，CPGM）是一种用于描述变量
间条件依赖关系的图模型
• 条件依赖关系：指一个变量的发生概 率受到另一个变量的影响 • 图模型：用图的结构表示变量之间的 关系，图中的节点表示变量，边表示变 量之间的依赖关系
图的基本概念无向图及有向图
16
第16页，幻灯片共61页
1、无序积：A&B 设A、B为两集合，称 {{a,b}|a∈A∧b∈B}为A与B 的无序积，记作A&B。 为方便起见，将无序对{a,b}记作 ( a, b)。 ( a, b)＝(b, a) 例： 设A={a,b}, B={c,d}, 则A&B＝？ A&A＝？
A&B={( a, c), (a,d),( b,c),( b,d)} A&A={( a, a ),( a, b),( b, b)}
，共提供2m度。
推论：任何图中，度为奇数的顶点个数为偶数。
33 第33页，幻灯片共61页
问题研究
问题：在一个部门的25个人中间，由于意见不同，是否可能 每个人恰好与其他5个人意见一致？
解答：不可能。考虑一个图，其中顶点代表人，如果两个 人意见相同，可用边连接，所以每个顶点都是奇数度。 存在奇数个度数为奇数的图，这是不可能的。
关于图的基本概念无 向图及有向图
第1页，幻灯片共61页
图论的起源
图论是组合数学的一 个分支,它起源于 1736年欧拉的第一篇 关于图论的论文，这 篇论文解决了著名的
“哥尼斯堡七桥问 题” ，从而使欧拉 成为图论的创始人 。
第2页，幻灯片共61页
Байду номын сангаас
哥尼斯堡七桥问题解决方式
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在1735年圆满地解决了
本章学习： 1. 无向图及有向图 2. 通路、回路、图的连通性 3. 图的矩阵表示
4. 最短路径及关键路径
14
第14页，幻灯片共61页
今日内容
无向图及有向图 图的一些相关概念 度 握手定理 子图相关概念 图同构
第16页，幻灯片共61页
1、无序积：A&B 设A、B为两集合，称 {{a,b}|a∈A∧b∈B}为A与B 的无序积，记作A&B。 为方便起见，将无序对{a,b}记作 ( a, b)。 ( a, b)＝(b, a) 例： 设A={a,b}, B={c,d}, 则A&B＝？ A&A＝？
A&B={( a, c), (a,d),( b,c),( b,d)} A&A={( a, a ),( a, b),( b, b)}
，共提供2m度。
推论：任何图中，度为奇数的顶点个数为偶数。
33 第33页，幻灯片共61页
问题研究
问题：在一个部门的25个人中间，由于意见不同，是否可能 每个人恰好与其他5个人意见一致？
解答：不可能。考虑一个图，其中顶点代表人，如果两个 人意见相同，可用边连接，所以每个顶点都是奇数度。 存在奇数个度数为奇数的图，这是不可能的。
关于图的基本概念无 向图及有向图
第1页，幻灯片共61页
图论的起源
图论是组合数学的一 个分支,它起源于 1736年欧拉的第一篇 关于图论的论文，这 篇论文解决了著名的
“哥尼斯堡七桥问 题” ，从而使欧拉 成为图论的创始人 。
第2页，幻灯片共61页
Байду номын сангаас
哥尼斯堡七桥问题解决方式
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在1735年圆满地解决了
本章学习： 1. 无向图及有向图 2. 通路、回路、图的连通性 3. 图的矩阵表示
4. 最短路径及关键路径
14
第14页，幻灯片共61页
今日内容
无向图及有向图 图的一些相关概念 度 握手定理 子图相关概念 图同构
相关主题
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各个事物间的二元关系。
所以，图是研究集合上的二元 关系的工具，是建立数学模型的一 个重要手段。
精选ppt
7
2、一百多年以后
“七桥”问题以后，图论的研究停滞了一 百多年，直到1847年，基尔霍夫用“树 ”图解决了电路理论中的求解联立方程 的问题，十年后凯莱用 “树” 图计算有 机化学中的问题。在这一时期流行着两 个著名的图论问题：哈密尔顿回路问题 和 “四色猜想” 问题。
精选ppt
4
图论的起源
欧拉最后给出任意一种河──桥图能否全 部走一次的判定法则。如果通奇数座桥的 地方不止两个，那么满足要求的路线便不 存在了。如果只有两个地方通奇数座桥， 则可从其中任何一地出发找到所要求的路 线。若没有一个地方通奇数座桥，则从任 何一地出发，所求的路线都能实现，他还 说明了怎样快速找到所要求的路线。
精选ppt
8
3.哈密尔顿回路问题
1856年,英国数学家哈密尔顿设计
了一个周游世界的游戏，他在一个
正十二面体的二十个顶点上标上二
十个著名城市的名字，要求游戏者
从一个城市出发，经过每一个城市
一次且仅一次，然后回到出发点。
精选ppt
9
哈密尔顿回路图
此路线称为：哈密尔顿回路，
而此图称为：哈密尔顿图。
精选ppt
10
4、“四 色 猜 想” 问 题
人们在长期为地图(平面图)上色时发 现，最少只要四种颜色，就能使得 有相邻国界的国家涂上不同的颜色
四色猜想的证明一直没有解决， 直到一百多年后，在计算机出现以 后，于1976年用计算机算了1200多 小时，才证明了四色猜想问题。
精选ppt
11
5、又过了半个世纪
四色猜想问题出现后，图论的研 究又停滞了半个世纪，直到1920年 科尼格写了许多关于图论方面的论 文，并于1936年发表了第一本关于 图论的书。此后图论从理论上到应 用上都有了很大发展。特别是计算 机的出现使图论得到飞跃的发展。
精选ppt
17
2、无向图 一个无向图G是一个二元组<V,E>,即G=<V,E>, 其中: ①. V是一个非空集合,称为G的顶点集,V中元素 称为顶点或结点; ②. E是无序积V&V的一个多重子集,称E为G的边 集,E中元素称为无向边或简称边。
•用小圆圈表示V中顶点,若(a,b)∈E,就在a,b之间连 线段表示边(a,b),其中顶点的位置、连线的曲直及 是否相交都无关紧要。
展，有力地推动了图论的发展，使得图论成为数
学领域里发展最快的分精选支ppt 之一。
13
第7章 图的概念
本章学习： 1. 无向图及有向图 2. 通路、回路、图的连通性 3. 图的矩阵表示 4. 最短路径及关键路径
精选ppt
14
今日内容
无向图及有向图 图的一些相关概念 度 握手定理 子图相关概念 、B为两集合，称 {{a,b}|a∈A∧b∈B} 为 A 与 B 的 无 序 积 ， 记 作 A&B。 为方便起见，将无序对{a,b}记作 ( a, b)。 ( a, b)＝(b, a) 例： 设A={a,b}, B={c,d}, 则A&B＝？ A&A＝？ A&B={( a, c), (a,d),( b,c),( b,d)} A&A={( a, a ),( a, b),( b, b)}
也简称边.
精选ppt
20
有向图示例
给定有向图D=<V,E>， 其中
V＝{a,b,c,d}， E＝{<a,a>, <a,b>,<a,b>, <a,d>,<c,d>, <d,c>,<c,b>}。
精选ppt
21
图的一些概念和规定
G表示无向图，但有时用G泛指图(无向的或有向的)。 D只能表示有向图。 V(G)，E(G)分别表示G的顶点集和边集。 若|V(G)|＝n，则称G为n阶图。 若|V(G)|与|E(G)|均为有限数，则称G为有限图。 若边集E(G)＝，则称G为零图，此时，又若G为n阶图
离散数学
CH7 图的基本概念 1无向图及有向图
精选ppt
1
图论的起源
图论是组合数学的
一个分支,它起源
于1736年欧拉的第
一篇关于图论的论
文，这篇论文解决
了著名的 “哥尼
斯堡七桥问题”
，从而使欧拉成为
图论的创始人。
精选ppt
2
哥尼斯堡七桥问题解决方式
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在1735年圆满地
解决了这一问题，证明这种方法并不存在，也顺带解 决了一笔画问题。他在圣彼得堡科学院发表了图论史 上第一篇重要文献。欧拉把实际的抽象问题简化为平 面上的点与线组合，每一座桥视为一条线，桥所连接 的地区视为点。这样若从某点出发后最后再回到这点 ，则这一点的线数必须是偶数。
→/wiki/File:K
精选ppt
18
无向图示例
给定无向图G＝ <V,E>，其中 V＝ {v1,v2,v3,v4,v5}， E={(v1,v1), (v1,v2),(v2,v3), (v2,v3),(v2,v5), (v1,v5),(v4,v5)}.
精选ppt
19
3、有向图 一个有向图D是一个二元组<V,E>, 即D = <V,E>,其中： ①. V同无向图中的顶点集; ②. E是笛卡儿积的多重子集,其元素称为有向边,
精选ppt
12
学好图论十分重要
图论是组合数学的一个分支，与其它数学分支
如群论、矩阵论、集合论、概率论、拓扑学、数
值分析等有着密切的联系 。
图论给含有二元关系的系统提供了数学模型，因 而在许多领域里都具有越来越重要的地位，并且 在物理、化学、信息学、运筹学等各方面都取得 了丰硕的成果。
从二十世际50 年代以来，由于计算机的迅速发
不少数学家都尝试去解析这个事例。而这 些解析，最后发展成为了数学中的图论。
精选ppt
5
欧拉图
定义 一个图,如果能够从一点出 发,经过每条边一次且仅一次再 回到起点,则称为欧拉图
欧拉在论文中给出并证明了判断 欧拉图的充分必要条件定理,并证明 了七桥图不是欧拉图。
精选ppt
6
从这个问题可以看出：
图：图用点代表各个事物,用边代表
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15
预备知识
有序积: A×B={ <x,y> |x∈A∧y∈B} 有序对: <x,y>≠<y,x> 无序积: A&B={ (x,y) |x∈A∧y∈B} 无序对: (x,y)=(y,x) 多重集: {a,a,a,b,b,c}≠{a,b,c} 重复度: a的重复度为3, b的为2, c的为1
所以，图是研究集合上的二元 关系的工具，是建立数学模型的一 个重要手段。
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7
2、一百多年以后
“七桥”问题以后，图论的研究停滞了一 百多年，直到1847年，基尔霍夫用“树 ”图解决了电路理论中的求解联立方程 的问题，十年后凯莱用 “树” 图计算有 机化学中的问题。在这一时期流行着两 个著名的图论问题：哈密尔顿回路问题 和 “四色猜想” 问题。
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4
图论的起源
欧拉最后给出任意一种河──桥图能否全 部走一次的判定法则。如果通奇数座桥的 地方不止两个，那么满足要求的路线便不 存在了。如果只有两个地方通奇数座桥， 则可从其中任何一地出发找到所要求的路 线。若没有一个地方通奇数座桥，则从任 何一地出发，所求的路线都能实现，他还 说明了怎样快速找到所要求的路线。
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8
3.哈密尔顿回路问题
1856年,英国数学家哈密尔顿设计
了一个周游世界的游戏，他在一个
正十二面体的二十个顶点上标上二
十个著名城市的名字，要求游戏者
从一个城市出发，经过每一个城市
一次且仅一次，然后回到出发点。
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9
哈密尔顿回路图
此路线称为：哈密尔顿回路，
而此图称为：哈密尔顿图。
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10
4、“四 色 猜 想” 问 题
人们在长期为地图(平面图)上色时发 现，最少只要四种颜色，就能使得 有相邻国界的国家涂上不同的颜色
四色猜想的证明一直没有解决， 直到一百多年后，在计算机出现以 后，于1976年用计算机算了1200多 小时，才证明了四色猜想问题。
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11
5、又过了半个世纪
四色猜想问题出现后，图论的研 究又停滞了半个世纪，直到1920年 科尼格写了许多关于图论方面的论 文，并于1936年发表了第一本关于 图论的书。此后图论从理论上到应 用上都有了很大发展。特别是计算 机的出现使图论得到飞跃的发展。
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2、无向图 一个无向图G是一个二元组<V,E>,即G=<V,E>, 其中: ①. V是一个非空集合,称为G的顶点集,V中元素 称为顶点或结点; ②. E是无序积V&V的一个多重子集,称E为G的边 集,E中元素称为无向边或简称边。
•用小圆圈表示V中顶点,若(a,b)∈E,就在a,b之间连 线段表示边(a,b),其中顶点的位置、连线的曲直及 是否相交都无关紧要。
展，有力地推动了图论的发展，使得图论成为数
学领域里发展最快的分精选支ppt 之一。
13
第7章 图的概念
本章学习： 1. 无向图及有向图 2. 通路、回路、图的连通性 3. 图的矩阵表示 4. 最短路径及关键路径
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14
今日内容
无向图及有向图 图的一些相关概念 度 握手定理 子图相关概念 、B为两集合，称 {{a,b}|a∈A∧b∈B} 为 A 与 B 的 无 序 积 ， 记 作 A&B。 为方便起见，将无序对{a,b}记作 ( a, b)。 ( a, b)＝(b, a) 例： 设A={a,b}, B={c,d}, 则A&B＝？ A&A＝？ A&B={( a, c), (a,d),( b,c),( b,d)} A&A={( a, a ),( a, b),( b, b)}
也简称边.
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20
有向图示例
给定有向图D=<V,E>， 其中
V＝{a,b,c,d}， E＝{<a,a>, <a,b>,<a,b>, <a,d>,<c,d>, <d,c>,<c,b>}。
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21
图的一些概念和规定
G表示无向图，但有时用G泛指图(无向的或有向的)。 D只能表示有向图。 V(G)，E(G)分别表示G的顶点集和边集。 若|V(G)|＝n，则称G为n阶图。 若|V(G)|与|E(G)|均为有限数，则称G为有限图。 若边集E(G)＝，则称G为零图，此时，又若G为n阶图
离散数学
CH7 图的基本概念 1无向图及有向图
精选ppt
1
图论的起源
图论是组合数学的
一个分支,它起源
于1736年欧拉的第
一篇关于图论的论
文，这篇论文解决
了著名的 “哥尼
斯堡七桥问题”
，从而使欧拉成为
图论的创始人。
精选ppt
2
哥尼斯堡七桥问题解决方式
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在1735年圆满地
解决了这一问题，证明这种方法并不存在，也顺带解 决了一笔画问题。他在圣彼得堡科学院发表了图论史 上第一篇重要文献。欧拉把实际的抽象问题简化为平 面上的点与线组合，每一座桥视为一条线，桥所连接 的地区视为点。这样若从某点出发后最后再回到这点 ，则这一点的线数必须是偶数。
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无向图示例
给定无向图G＝ <V,E>，其中 V＝ {v1,v2,v3,v4,v5}， E={(v1,v1), (v1,v2),(v2,v3), (v2,v3),(v2,v5), (v1,v5),(v4,v5)}.
精选ppt
19
3、有向图 一个有向图D是一个二元组<V,E>, 即D = <V,E>,其中： ①. V同无向图中的顶点集; ②. E是笛卡儿积的多重子集,其元素称为有向边,
精选ppt
12
学好图论十分重要
图论是组合数学的一个分支，与其它数学分支
如群论、矩阵论、集合论、概率论、拓扑学、数
值分析等有着密切的联系 。
图论给含有二元关系的系统提供了数学模型，因 而在许多领域里都具有越来越重要的地位，并且 在物理、化学、信息学、运筹学等各方面都取得 了丰硕的成果。
从二十世际50 年代以来，由于计算机的迅速发
不少数学家都尝试去解析这个事例。而这 些解析，最后发展成为了数学中的图论。
精选ppt
5
欧拉图
定义 一个图,如果能够从一点出 发,经过每条边一次且仅一次再 回到起点,则称为欧拉图
欧拉在论文中给出并证明了判断 欧拉图的充分必要条件定理,并证明 了七桥图不是欧拉图。
精选ppt
6
从这个问题可以看出：
图：图用点代表各个事物,用边代表
精选ppt
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预备知识
有序积: A×B={ <x,y> |x∈A∧y∈B} 有序对: <x,y>≠<y,x> 无序积: A&B={ (x,y) |x∈A∧y∈B} 无序对: (x,y)=(y,x) 多重集: {a,a,a,b,b,c}≠{a,b,c} 重复度: a的重复度为3, b的为2, c的为1