圆的证明与计算(精编版)
圆的计算和证明(自编)
圆的计算和证明1. 如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝________度．第1题图2. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD＝28°，则∠ABD＝________°.第2题图3. 如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC等于( )A. 64°B. 58°C. 72°D. 55°第3题图4．(2018长沙24题9分)如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE ∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．（1）求CE的长；（2）求证：△ABC为等腰三角形．（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．5. 如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)若∠PAC＝90°，AB＝23，求PD的长．6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD.(1)求证：BD＝BF；(2)若AB＝10，CD＝4，求BC的长．7．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在BC 上，BD ＝DC ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，⊙O 经过A ，B ，D 三点．(1)求证：AB 是⊙O 的直径；(2)判断DE 与⊙O 的位置关系，并加以证明；(3)若⊙O 的半径为3，∠BAC ＝60°，求DE 的长．8. (2017长沙中考模拟卷八)如图，在△ACE 中，CA ＝CE ，∠CAE ＝30°，⊙O 经过点C ，且⊙O 的直径AB 在线段AE 上．(1)求证：CE 是⊙O 的切线；(2)若△ACE 中AE 边上的高为h ，试用含h 的代数式表示⊙O 直径AB 的长；(3)设点D 是线段AC 上任意一点(不含端点)，连接OD ，当12CD ＋OD 的最小值为6时，求⊙O 直径AB 的长．9. (2014长沙24题9分)如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC的交点恰好为BC边的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E.(1)求证：DE⊥AC；(2)若AB＝3DE，求tan∠ACB的值．10. (2016长沙24题9分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB、DC、DF.(1)求∠CDE的度数；(2)求证：DF是⊙O的切线；(3)若AC＝25DE，求tan∠ABD的值．11. 已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED.若ED＝EC.(1)求证：AB＝AC；(2)若AB＝4，BC＝23，求CD的长．12. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.(1)求证：PO平分∠APC；(2)连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC.。
圆的证明与计算范文
圆的证明与计算范文圆是几何中的基本图形之一，它是平面上所有点与固定点之间距离保持不变的集合。
下面将从不同的角度对圆的性质进行证明，并介绍一些常见的圆的计算方法。
一、圆的性质及证明1.圆的定义证明对于平面上的一个点O以及一个长度r，定义集合E为与O的距离为r的点的集合。
我们要证明E是一个圆。
证明：（1）任意取平面上的一点A，若A∈E，证明OA=r。
假设A∈E，则OA的长度等于A与O的距离，即OA=r。
因此，E是以O为圆心，长度为r的圆。
（2）任意取平面上的一点B，若OB=r，证明B∈E。
假设OB=r，则OB的长度等于B与O的距离，即OB=BO=r。
因此，B∈E。
由（1）和（2）可得，对于平面上的一个点O以及一个长度r，定义集合E为与O的距离为r的点的集合是一个圆。
2.圆心角的证明圆心角是指圆上两条射线所夹的角，它的度数等于弧所对的圆周角的度数。
我们要证明圆心角的度数等于所对弧的度数。
证明：任意取圆上两点A和B，以圆心O为顶点，连接OA和OB两条射线。
延长AO和OB分别与圆交于点C和D，则∠AOB是圆心角，∠ACB是所对弧所对的圆周角。
（1）∠AOB的度数等于所对弧AD的度数。
由于AD是圆上的弧，所以∠ACO是所对弧AD的圆周角。
根据圆周角的性质，∠ACO的度数等于所对弧AD的度数。
（2）∠ACB的度数等于所对弧AD的度数。
同样根据圆周角的性质，∠ACB的度数等于所对弧AD的度数。
由（1）和（2）可得，圆心角∠AOB的度数等于所对弧AD的度数。
通过证明，我们可以得出圆心角的度数等于所对弧的度数这一结论。
二、圆的计算在实际应用中，我们有时需要计算圆的周长、面积以及部分圆的面积。
以下是圆的计算公式：1.周长的计算2.面积的计算3.部分圆的面积的计算对于已知圆的半径r和所对的圆心角θ，部分圆的面积计算公式为：A=(πr²×θ)/360，其中A表示部分圆的面积，r表示半径，θ表示圆心角。
圆的证明与计算
《圆的证明与计算》一、重要考点：考点（一）垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的2、推论：平分弦（不是直径）的直径，并且平分弦所对的垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦一直线平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧【名师提醒：1、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线２、垂径定理常用作计算，在半径r、弦长a、弦心距d和弓形高h中已知两个可求另外两个】考点（二）、圆心角、弧、弦之间的关系：定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】考点（三）圆周角定理及其推论：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直径）所对的圆周角是900的圆周角所对的弦是【名师提醒：作直经所对的圆周角是圆中常作的辅助线】考点（四）切线的性质和判定：⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的【名师提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常用连接圆心和切点，即可的垂直关系】⑵判定定理：经过半径的且这条半径的直线式圆的切线【名师提醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。
当公共点未标出时，可证圆心到直线的距离d=r来判定相切,即“有公共点连半径，无公共点作垂直”】O D C B A O ED CB A FOE D C B A考点（五）、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 考点（六）、弧长和扇形面积 1、圆周长C ＝2πR ；2、弧长180Rn L π=２、圆面积：2R S π=； 2、扇形面积：3602R n S π=扇形二、考题形式：主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或阴影面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。
圆中的相关证明与计算
圆中的相关证明与计算圆是平面上到一个给定点的距离恒定的所有点的集合。
通过研究圆的性质和相关的定理，我们可以了解圆的性质和概念，并可以进行相关的证明和计算。
以下是一些关于圆的相关证明和计算的例子：1.圆的半径与直径的关系证明：首先，我们知道直径是通过圆心并且两端点在圆上的线段。
现在我们要证明直径是半径的两倍。
证明：假设圆的半径为r，直径为d。
根据直径的定义，我们知道直径是通过圆心的，并且它的两个端点在圆上。
所以直径d可以看作是两个半径r的长度相加，即d=r+r=2r。
所以我们可以得出结论：直径等于半径的两倍。
即d=2r。
2.圆周率的计算：周长的计算公式为：C=2πr，其中r为圆的半径。
面积的计算公式为：A=πr^2，其中r为圆的半径。
例如，如果一个圆的半径为5厘米，则它的周长为：C=2π*5=10π≈31.42厘米；面积为：A=π*5^2=25π≈78.54平方厘米。
3.弦和半径的垂直关系证明：在圆中，连接圆周上的两点的线段称为弦。
现在我们要证明如果一个弦与半径相交，那么这个弦就是半径的垂直平分线。
证明：假设在圆中有一个弦AB，如果它与半径OC相交于点M，我们要证明AM=MB。
根据圆的性质，半径OC与弦AB相交于点M，则角OMC是直角，因为OC是半径，所以OM=MC。
又由于弦AB与半径OC相交于点M，所以AM=MC，MB=MC。
综上所述，AM=MB，即弦AB是半径OC的垂直平分线。
通过以上证明和计算，我们可以更深入地了解圆的性质和相关的定理。
圆是几何学中重要的概念之一，它在各种数学和科学领域中都有广泛的应用。
希望以上内容对您有所帮助。
圆中的计算和证明
1、如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD。
（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝24，ON＝1，求⊙O的半径。
2、在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD。
（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，求出∠DCA的度数。
知识点（圆相关概念和性质）知识点一：垂径定理1．垂径定理：于弦的直径这条弦且这条弦所对的。
2．推论（1）：①平分（）的垂直于弦且弦所对的；②弦的经过且弦所对的两条弧；③弦所对的一条的直径弦且平分弦所对的另一条弧。
推论（2）：圆的两条弦所夹的弧。
知识点二：圆心角、弧、弦、弦心距间的关系1．定理：在或中，相等的圆心角所对的相等，所对的相等，相等。
2．推论：同圆或等圆中，如果①两个相等，②两条相等，③两条相等，④两条弦的中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
知识点三：圆周角定理及其推论1．定理：在同圆或等圆中，或所对的相等，都等于这条弧所对的的。
2．推论①：同弧或等弧所对的相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是。
推论②：或所对的是直角；是直角（90°的）所对的弧是，所对的弦是。
推论③：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是。
知识点四：圆内接四边形性质定理1．概念：所有顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形。
2．定理：圆内接四边形的对角，并且任何一个外角都等于它的。
知识点五：直线与圆的位置关系直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数圆心到直线的距离d与半径r的关系公共点名称直线名称知识点六：圆的切线1．切线的性质（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径。
拓展：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；③切线与圆只有一个公共点；④圆心到切线的距离等于半径。
初中三：圆的证明与计算
圆的证明与计算【高频核心考点】1，圆周角定理以及垂径定理，如下图所示∵ AB 为直径且AB ⊥CD∴ CE=DE ，弧BC=弧BD ，弧AC=弧AD 注：运算中主要运用勾股定理。
2，圆的切线长定理，如下图所示∵ PA，PB 为⊙O 的两条切线∴ PA=PB ，且PO 垂直平分AB 同理可证：EC=EA ，FC=FB3，相交弦定理 切割线定理 割线定理结论： PA ·PB=PC ·PD PA 2=PB ·PC PB ·PA=PD ·PC4，切割线延伸： 切割线互垂（角平分线）：结论：tan A DB BC CDAD CD AC∠===结论：∠ABD=∠CBD ，DB 2=BC ·BE ，AD 2=AE ·ABOFE DC BA【精题精讲精练】◆例1：《角平分线模型》1，如图，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AD平分BAC∠交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的O⊙分别交AB，AC于点E，F，连接OF交于点G.（1）求证：BC是O⊙的切线；（2）设AB x=，AF y=，试用含,x y的代数式表示线段AD的长；（3）若8BE=，5sin13B=，求DG的长.2，如图1，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD=∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF=AC，连接AF.（1）求证：ED=EC；（2）求证：AF是⊙O的切线；（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC·BE=25，求BC的长.AD【变式练习】已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连结AD. （1）求证：2AC DE =；（2）若tan∠CBD =12，AP·AC=5，求AC 的长； （3）若65AD =，⊙O 的半径为152，延长DE 交⊙O 于点M ，且DP ：DM=1：3，求CM 的长.◆例2：《母子型相似》1，如图,AB 为⊙O 的直径,C,D 为圆上的两点,OC∥BD，弦AD ，BC 相交于点E.(1)求证：弧AC=弧CD ；(2)若CE=1，EB=3，求⊙O 的半径；(3)在(2)的条件下,过点C 作⊙O 的切线,交BA 的延长线于点P,过点P 作PQ∥CB 交⊙O 于F,Q 两点(点F 在线段PQ 上)，求PQ 的长。
圆的计算与证明范文
圆的计算与证明范文圆是数学中一种重要的几何形状，由于其特殊的性质和广泛的应用，圆的计算和证明一直是几何学习的重点内容之一、本文将对圆的计算和证明进行详细介绍。
一、圆的定义与性质圆的定义：平面上的一个点集合，到该点距离相等的所有点构成的图形，称为圆。
圆的性质：1.圆上的任意一点到圆心的距离都相等。
2.圆心到圆上任意一点的线段称为半径，圆上任意两点之间的线段称为弦。
3.圆的直径是通过圆心的一条弦，且等于弦长的两倍。
4.圆的周长是圆上任意一段弧长与半径的乘积，即C=2πr，其中C 为周长，r为半径。
5.圆的面积是半径平方乘以π，即A=πr²，其中A为面积，r为半径。
二、圆的计算根据圆的性质，可以进行以下计算：1.已知圆的半径，计算周长和面积。
以半径为4cm的圆为例，周长和面积的计算公式为：C=2πr=2π×4=8π≈25.13cm（取π≈3.14），A=πr²=π×4²=16π≈50.27cm²。
2.已知圆的周长，计算半径和面积。
以周长为10cm的圆为例，半径的计算公式为：r=C/2π=10/(2π)≈1.59cm，面积的计算公式为：A=πr²=π×(1.59)²≈7.97cm²。
3.已知圆的面积，计算半径和周长。
以面积为20cm²的圆为例，半径的计算公式为：r=√(A/π)=√(20/π)≈2.52cm，周长的计算公式为：C=2πr=2π×2.52≈15.86cm。
三、圆的证明1.圆心角的证明圆心角是指圆心所对的弧所对应的角，圆心角的证明如下：（步骤一）连接弧所对应的两条半径。
（步骤二）在弧所对应的两条半径上分别取任意一点，分别连接这两点与圆心的直线。
（步骤三）观察三角形圆心角，可以发现它们是共边共顶点的相似三角形，根据相似三角形的性质可知，它们的对应角相等。
（步骤四）由于圆上任意两点之间的弦所对应的圆心角相等，因此可以得出结论：圆上任意两点之间的弦所对应的圆心角相等。
圆的概念 公式及推导完整版
〖圆的定义〗几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
〖圆的相关量〗圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.14159265358979323846…，通常用π表示，计算中常取3.1416为它的近似值。
圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。
顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。
和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
圆锥侧面展开图是一个扇形。
这个扇形的半径成为圆锥的母线。
〖圆和圆的相关量字母表示方法〗圆—⊙半径—r 弧—⌒直径—d扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S〖圆和其他图形的位置关系〗圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。
两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。
中考《圆》有关的证明和计算
中考《圆》有关的证明和计算圆是数学中的重要概念，它在几何学和代数学中都有广泛的应用。
本文将围绕圆的性质、定理和计算等方面展开，旨在帮助读者更好地理解和掌握圆的相关知识。
一、圆的定义和性质1.定义：平面上的圆是由一组与给定点的距离相等的点组成的几何体。
这个给定点称为圆心，与圆心距离相等的线段称为半径。
2.性质：（1）所有点到圆心的距离相等；（2）圆上的任意两点与圆心的距离相等；（3）半径相等的圆互为同心圆；（4）圆的直径是通过圆心的线段，且长度等于半径的两倍；（5）圆的周长是圆周上所有点之间的距离之和，用2πr表示（r为半径）；（6）圆的面积是圆所包围的平面区域的大小，用πr²表示。
二、圆的计算1.计算周长：圆的周长公式为：C=2πr，其中C表示周长，r表示半径。
例如，如果一个圆的半径为5，则周长C=2π×5=10π。
2.计算面积：圆的面积公式为：S=πr²，其中S表示面积，r表示半径。
例如，如果一个圆的半径为5，则面积S=π×5²=25π。
三、圆的相关定理1.弧长与圆心角的关系：在圆上，如果两个弧所对的圆心角相等，那么这两个弧的弧长也相等。
2.弦和弧对应角的关系：在圆上，如果两个弦所对的弧相等，那么这两个弦所对应的圆心角也相等；反之亦成立。
3.正交弦的性质：在圆上，如果一条弦和一条半径相交且相互垂直，那么这条弦被分成的两个弧是相等的。
4.切线与半径的垂直性：在圆上，从圆外一点引一条切线，这条切线与半径的连线相互垂直。
5.弦切角定理：在圆上，切线和半径之间的夹角等于所对的弦所对应的圆心角的一半。
6.切线定理：从圆外一点引两条切线，这两条切线的切点与该点连结的线段平分该点外接圆所对应的弦。
7.弦的垂直平分线：圆上一条弦与它的垂直平分线所在的直径垂直。
四、圆的证明1.圆心角相等的证明：设AB和CD是圆上的两条弧，且它们所对的圆心角相等。
要证明的是，这两条弧的弧长也相等。
圆的证明与计算
圆的证明与计算（一）一、典型例题例1、如图，在Rt ABC ∆中，90C ︒∠=，点D 是AC 的中点，且90A CDB ︒∠+∠=,过点,A D 作圆O ，使圆心O 在AB 上，圆O 与AB 交于点E ． （1）求证：直线BD 与圆O 相切；（2）若:4:5,6AD AE BC ==,求圆O 的直径．例2、如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠ADC .（1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AD =4，BC =9，求⊙O 的半径R .。
二、考点训练1、如图，AB 是 O 的直径，点C 在BA 的延长线上，直线CD 与 O 相切于点D ，弦DF ⊥AB 于点E ，线段CD=10，连接BD ；（1） 求证：∠CDE ＝2∠B ； （2） 若BD ：AB=3：2，求 O 的半径及DF 的长。
2、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AD 垂直于过点C 的切线，垂足为D ． (1)求证：AC 平分BAD ；(2)若AC＝，CD ＝2，求⊙O 的直径．圆的证明与计算（二）一、典型例题例1、已知：如图，在菱形ABCD中，AB=23，∠A=600，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．(1)求证：⊙D与边BC也相切；(2)设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连结HF，求图中阴影部分的面积（结果保留π）；2、如图，△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，边AD分别与BC，OC交于E，F两点，点C为弧AD的中点．（1）求证：OF∥BD；（2）若FE1ED2=，且⊙O的半径R=6cm．①求证：点F为线段OC的中点；②求图中阴影部分（弓形）的面积．二、考点训练1、已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D为圆上两点，且弧CB＝弧CD，CF⊥AB于点F，CE ⊥AD的延长线于点E．（1）试说明：DE＝BF；（2）若∠DAB＝60°，AB＝6，求△ACD的面积．2、在Rt ABC△中，90ACB∠=°，D是AB边上一点，以BD为直径的O⊙与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．（1）求证：BD BF=；（2）若64BC AD==，，求O⊙的面积．AC DEHFB圆的证明与计算（三）一、典型例题例1、（12襄阳）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF.（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC＝6，tan∠F＝21，求cos∠ACB的值和线段PE的长.例2、（12江苏镇江）如图，AB是⊙O的直径，DF⊥AB于点D，交弦AC于点E，FC=FE。
与圆有关的计算与证明
点析：
有交点，连圆心，证垂直
例3、如图,△ABC中,AB=AC,D为BC中点，⊙D与AB相切 于点E. 求证：AC是⊙O的切线.
A
点析：
无交点，作垂直，证等于半径 E
F
B
D
C
│ 归类示例
在涉及切线问题时，常连接过切点的半径，要想证明一条直线 是圆的切线，常常需要作辅助线．如果已知直线过圆上某一点，则 作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共 点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等 于半径．
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三、圆的综合计算及证明
C
C
F
A
O
BD A
OE B
t
图（1）
图（2）
O
C F
A
OEB
图（3）
与圆有关的几何计算及证明
二、圆的有关性质计算证明
例1、如图所示，⊙O的直径AB和弦CD交于E，已 知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD 的长。
方法点析 垂径定理是圆中求弦长的重要依据之 一，常常需要作垂直于弦的线段，构 造直角三角形求解
三、圆中相切的有关证明
例2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径， AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．
圆的证明和计算
圆的证明和计算部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑圆的证明和计算题型一：图形主要以圆和三角形<多为等腰三角形或直角三角形）组成；依据所给条件判定圆的切线或已知圆的切线，求图中线段长度或角的度数；主要考查知识有切线的判定、切线的性质、勾股定理、等腰三角形性质、直角三角形性质<斜边中线等于斜边一半、30°所对直角边等于斜边一半等）及解决圆的问题中常加辅助线<已知切线连半径、见直径想直角等）等等。
b5E2RGbCAP 教材原型题：<基本图形为圆和等腰三角形）1、<P45页例1）已知：如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB 。
求证：直线AB 是⊙O 的切线。
2、<P73页第4题）如图，AB 与⊙O 相切于点C ，OA=OB ，⊙O 的直径为8cm ，AB=10cm ，求OA 长．p1EanqFDPw3、<P45页练习1）如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABT=45°，求证：AT 是⊙O 的切线。
配套练习：<1、2、3、4题针对原型题1、2； 5、6、7、8针对原型题3） 1、<2009新疆乌鲁木齐市）如图5，在中，，以为直径的交于点，于点．<1）求证是的切线；<2）若，求图中阴影部分的面积．2、<2009年漳州）如图，点在的直径的延长线上，点在上，，， <1）求证：是的切线；<2）若的半径为3，求的长．<结果保留）3、(08福建厦门23题>已知：如图，中，，以径的交于点，于点．<1）求证：是的切线；<2）若，求的值． 4、<2009武汉市） 如图，中，，以为直径作交边于点，是边的中点，连接．<1）求证：直线是的切线；<2）连接交于点，若，求的值． 5、如图，中，，为直角边上一点，以为圆心，为半径的圆恰好与斜边相切于点，与另一点． <1）求证：； <2）若，，求的半径及图中阴影部分的面积．6、<2009年枣庄市）如图，线段AB 与⊙O 相切于点C ，连结OA ，OB ，OB 交⊙O 于点 D ，已知，．<1）求⊙O 的半径；<2）求图中阴影部分的面积．C E BAOFD BA O BCE D7、<2008泰安）如图所示，是直角三角形，以为直径的⊙O 交于点，点是边的中点，连结．<1）求证：与⊙O 相切；<2）若⊙O 的半径为，，求．8、<2009年中考咸宁）如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，以AB 为直径的 ⊙O 交AC 于点D ，过点D 作切线交BC 于点E ．(1>求证：DE ＝错误!BC ； (2>若tanC ＝错误!，DE ＝2，求AD 的长．DXDiTa9E3d 2018天津第22题：已知AB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，A 是切点，BP 与⊙O 交于C ． <1）如图①，若AB=2，∠P=30°，求AP 的长<结果保留根号）； <2）如图②，若D 为AP 的中点，求证直线CD 是⊙O 的切线．RTCrpUDGiT题型二： 图形是以切线长定理的基本图形所构成；依据所给条件求图中线短长或角的度数；主要考查知识有切线长定理、切线的性质、圆的性质、勾股定理、直角三角形性质及解决圆的问题中常加辅助线等等。
圆的证明与计算
圆的证明与计算圆是数学中的重要图形，具有许多独特的性质和规律。
本文将详细介绍圆的证明与计算。
一、圆的定义及性质在几何学中，圆被定义为平面上所有距离一个点（圆心）相等的点的集合。
圆的性质如下：1.圆心到圆上任意一点的距离相等。
2.圆上任意两点之间的距离是最短的。
3.圆的直径是任意一条通过圆心的线段，它等于圆的半径的两倍。
4.圆的周长是圆周上的所有点与圆心的距离之和，即2πr（其中r为圆的半径）。
二、圆的证明1.圆心角相等的证明：圆的周长是圆的半径的长度的π倍，因此圆的周长上的任意一段弧的长度是圆周长的其中一比例。
当这段弧所对应的圆心角的度数是相等的，那么这段弧的长度也是相等的。
因此，得出圆心角相等的结论。
2.弦长相等的证明：如果两个弦的两个端点分别在圆上，并相互连接，则这两个弦的长度相等。
证明方法：假设AB和CD是两个端点在圆上的弦，连接AC和BD两条线段。
根据三角形的性质，直角三角形ACB和BDC的两条直角边AC和BC相等，直角三角形ADB和CDB的两条直角边AD和CD相等，因此根据三角形的共同性质可以得出∠BAC=∠BD C，∠ACB=∠AEB，∠B>D≥AD=CB，所以ABB"C是等边三角形.”3.同弧上的角相等的证明：如果两个角对应的弧相等，那么这两个角也是相等的。
证明方法：设∠BAC=∠BDC，连接AC和BD两条线段，再连接线段AB和CD。
根据三角形的性质得出：直角三角形ACB和BDC的两条直角边AC和BC相等，直角三角形ADB和CDB的两条直角边AD和CD相等。
因此，根据三角形的共同性质可以得出∠ACB=∠BDC，∠BAC=∠ADB，所以AC=BD，即证明同弧上的角相等。
三、圆的计算1.圆的周长计算：圆的周长是圆周上的所有点与圆心的距离之和，即2πr，其中r为圆的半径。
2.圆的面积计算：3.弧长计算：弧长可以通过弧度来计算，公式为：弧长=弧度×半径。
4.弦长计算：可以根据弦的两个端点和圆心的位置，使用一些几何定理来计算弦长。
圆的证明与计算精讲精练
圆的证明与计算精讲精练一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O 为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径；②圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2.与圆有关的概念①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦．②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是⊙O的直径，直径是圆中最长的弦．③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是⊙O中的弧，分别记作BC，BAC．④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC是半圆．⑤劣弧：像BC这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧．⑥优弧：像BAC这样大于半圆周的圆弧叫做优弧．⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆．⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB，∠BOC是圆心角．⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC、∠ACB都是圆周角．例1．已知：如图所示，在⊙O中，弦AB 的中点为C，过点C的半径为OD．(1)若AB＝23，OC＝1，求CD的长；(2)若半径OD＝R，∠AOB＝120°，求CD的长.二、圆的有关性质1.圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合．2.垂径定理①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示：在图中(1)直径CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)C C=，A B(5)AD BD=．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径．3.弧、弦、圆心角之间的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4.圆周角定理及推论①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．例2．如图所示，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．三、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系如图所示．d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内d＜r点在圆上d＝r点在圆外d＞r(1)圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．(2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．2.直线与圆的位置关系①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．②圆的切线．切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．友情提示：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．3.三角形外心、内心有关知识比较4.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距．①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“r1－r2”时，要特别注意，r1＞r2．。
圆的计算与证明专题(原创)
圆的计算与证明专题（一）1.如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，CD⊥OA交半圆于点D，点E是 BD的中点，连接OD、AE，过点D作D P∥AE交BA的延长线于点P，（1）求∠AOD的度数；（2）求证：P D是半圆O的切线；2. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠P AE，过C作CD PA，垂足为D.(1) 求证：CD为⊙O的切线；(2) 若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度.3．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF，（1）求证：OD∥BE；（2）猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由．4.如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交与点D．(1)判断CD与⊙O的位置关系并说明理由；(2)若∠ACB=120°，OA=2，求CD的长．5.（2010年浙江杭州）已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D为圆上两点，且弧CB＝弧CD，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E．（1）试说明：DE＝BF；（2）若∠DAB＝60°，AB＝6，求△ACD的面积．6.（2011四川绵阳22，12）如图，在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆O与BC相切.(1)求证：OB丄OC;(2)若AD= 12，∠BCD=60°，⊙O1与半⊙O 外切，并与BC、CD相切，求⊙O1的面积.A BO FED CMNFEODCBA7.如图，⊙O 的直径AB=4，C 为圆周上一点，AC=2，过点C 作⊙O 的切线l ，过点B 作l 的垂线BD ，垂足为D ，BD 与⊙O 交于点 E ．(1) 求∠AEC 的度数； （2）求证：四边形OBEC是菱形．8.已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，点O 1在⊙O 2上，C 为O 2上一点（不与A ，B ，O 1重合），直线CB 与⊙O 1交于另一点D。
圆的各个公式证明
圆的各个公式证明一、圆的周长公式证明。
1. 定义法。
- 我们知道圆的周长C是指绕圆一周的长度。
- 我们可以采用极限的思想来推导圆的周长公式。
将圆分割成n个相等的小扇形（当n趋向于无穷大时）。
- 当n很大时，每个小扇形近似看成一个等腰三角形，其腰长为圆的半径r，底边长近似为弧长Δ l。
- 对于整个圆，所有小扇形的弧长之和就是圆的周长C。
- 对于一个圆心角为θ（弧度制）的扇形，弧长Δ l = rθ。
- 一个圆的圆心角为2π（弧度制），所以圆的周长 C = r×2π = 2π r。
2. 滚动法（实验法）- 拿一个圆形物体（如圆盘），在直尺上滚动一周。
- 测量出滚动的距离，这个距离就是圆的周长。
- 多次测量不同半径的圆，会发现圆的周长C与半径r存在着 C = 2π r的关系。
二、圆的面积公式证明。
1. 极限分割法。
- 把圆平均分成n个相等的小扇形（n趋向于无穷大）。
- 将这些小扇形近似看作等腰三角形，每个小扇形的半径为圆的半径r，弧长近似为底边长Δ l=(2π r)/(n)。
- 每个小扇形的面积Δ S=(1)/(2)r×Δ l=(1)/(2)r×(2π r)/(n)=frac{π r^2}{n}。
- 那么圆的面积S = n×Δ S=n×frac{π r^2}{n}=π r^2。
2. 定积分法（高中拓展内容）- 在平面直角坐标系中，以原点为圆心，r为半径的圆的方程为x^2+y^2=r^2，即y = ±√(r^2)-x^{2}。
- 圆的面积S = 4∫_0^r√(r^2)-x^{2}dx。
- 令x = rsin t，则dx = rcos tdt。
- 当x = 0时，t = 0；当x = r时，t=(π)/(2)。
- 则S = 4∫_0^(π)/(2)√(r^2)-r^{2sin^2t}· rcos tdt- 化简得S = 4r^2∫_0^(π)/(2)cos^2tdt。
专题八 与圆有关的证明及计算
别 AC为，• A∴第BD•，二E第B⊥级C三O的D级，中∵点O，D∴为O圆D 的为半△径AB，C∴的D中E 位与线圆，O∴相O切D∥AC，∵DE⊥
• 第四级 • 第五级
(3)∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AB＝AC＝ BC＝6，连接 BF，∵AB 为圆 O 的直径，∴∠AFB＝∠DEC＝90°，∴ AF＝CF＝3，DE∥BF，∵D 为 BC 中点，∴E 为 CF 中点，即 DE 为△BCF 中位线，在 Rt△ABF 中，AB＝6，AF＝3，根据勾股定理得：BF＝ 62－32 ＝3 3，则 DE＝12BF＝3 2 3 精品课件
解得 AE＝449.∴AF＝AE－EF＝精449品－课7＝件241
单击此处编辑母版标题样式 圆与相似 【例 2】 (2016·泸州)如图，△ABC 内接于⊙O，BD 为⊙O 的直径，BD
与• 单AC击相此交于处点编H，辑A母C 的版延文长线本与样过式点 B 的直线相交于点 E，且∠A＝
∠(1)E求B•证C第.：•二B第E级三是级⊙O 的切线；
•＝单DC，击过此点处D作编DE⊥辑AC母，版垂足文为本E，样⊙O式经过A，B，D三点．
(1)求• 第证：二A级B是⊙O的直径；
(2)判断•DE第与三⊙级O的位置关系，并加以证明； (3)若⊙O的半• 径第四•为级第3，五∠级BAC＝60°，求DE的长．
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解：(1)连接 AD，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，
(2)∵BF 平• 第分三∠级ABC，∴∠ABF＝∠CBF.又∵∠CBE＝∠CAE＝∠BAE，
圆的证明及相关计算
圆的证明及相关计算1、如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC=12，tan∠F=，求cos∠ACB的值．（1）证明：连接OA，∵PA与圆O相切，∴PA⊥OA，即∠OAP=90°，∵OP⊥AB，∴D为AB中点，即OP垂直平分AB，∴PA=PB，∵在△OAP和△OBP中，，∴△OAP≌△OBP（SSS），∴∠OAP=∠OBP=90°，∴BP⊥OB，则直线PB为圆O的切线；（2）证明：∵∠OAP=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，∴△OAD∽△OPA，∴=，即OA2=OD•OP，∵EF为圆的直径，即EF=2OA，∴EF2=OD•OP，即EF2=4OD•OP；（3）解：连接BE，则∠FBE=90°．∵tan∠F=，∴=，∴可设BE=x，BF=2x，则由勾股定理，得EF==x，∵BE•BF=EF•BD，∴BD=x．又∵AB⊥EF，∴AB=2BD=x，∴Rt△ABC中，BC=x，AC2+AB2=BC2，∴122+（x）2=（x）2，解得：x=4，∴BC=4×=20，∴cos∠ACB===．2、如图，在平面直角坐标系中，半径为1的⊙A的圆心与坐标原点O重合，线段BC的端点分别在x轴与y轴上，点B的坐标为（6，0），且sin∠OCB=．（1）若点Q是线段BC上一点，且点Q的横坐标为m．①求点Q的纵坐标；（用含m的代数式表示）②若点P是⊙A上一动点，求PQ的最小值；（2）若点A从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿折线OBC运动，到点C运动停止，⊙A随着点A的运动而移动．①点A从O→B的运动的过程中，若⊙A与直线BC相切，求t的值；②在⊙A整个运动过程中，当⊙A与线段BC有两个公共点时，直接写出t满足的条件．解：（1）①∵点B的坐标为（6，0），tan∠OCB=，∴BC=10，OC=8，设直线BC的解析式为y=kx+b，，解得，∵点Q的横坐标为m，∴点Q的纵坐标为﹣m+8；②如图1，作OQ⊥AB交⊙A于P，则此时PQ最小，×AB×OQ=×BO×CO，解得，OQ=4.8，∴PQ最小=OQ最小﹣1=3.8；（2）①如图2，⊙A与直线BC相切于H，则AH⊥BC，又∠BOC=90°，∴△BHA∽△BOC，∴=，即=，解得，BA=，则OA=6﹣=，∴t=时，⊙A与直线BC相切；②由（2）①得，t=时，⊙A与直线BC相切，当t=5时，⊙A经过点B，当t=7时，⊙A经过点B，当t=15时，⊙A经过点C，故＜t≤5或7≤t≤15时，⊙A与线段BC有两个公共点．3、如图，已知直线l的函数表达式为y=x+3，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点．（1）求点A、点B的坐标；（2）设F是x轴上一动点，⊙P经过点B且与x轴相切于点F设⊙P的圆心坐标为P（x，y），求y与x的函数关系式；（3）是否存在这样的⊙P，既与x轴相切又与直线l相切于点B？若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）当x=0时，y=x+3=3；当y=0时，x+3=0，解得x=﹣4，所以A点坐标为（﹣4，0），B点坐标为（0，3）；（2）过点P作PD⊥y轴于D，如图1，则PD=|x|，BD=|3﹣y|，∵⊙P经过点B且与x轴相切于点F ∴PB=PF=y，在Rt△BDP中，∴PB2=PD2+BD2，∴y2=x2+（3﹣y）2，∴y=x2+；（3）存在．∵⊙P与x轴相切于点F，且与直线l相切于点B，∴AB=AF ∵AB2=OA2+OB2=52，∴AF=5，∵AF=|x+4|，∴|x+4|=5，∴x=1或x=﹣9，当x=1时，y=x2+=+=；当x=﹣9时，y=x2+=×（﹣9）2+=15，∴点P的坐标为（1，）或（﹣9，15）．4、如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，AH⊥BC，垂足为点H．点D在边AB上，且AD=2，联结C D交AH于点E．（1）如图1，如果AE=AD，求AH的长；（2）如图2，⊙A是以点A为圆心，AD为半径的圆，交AH于点F．设点P为边BC上一点，如果以点P为圆心，BP 为半径的圆与⊙A外切，以点P为圆心，CP为半径的圆与⊙A内切，求边BC的长；（3）如图3，联结DF．设DF=x，△ABC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．解：（1）如图1中，过点D作DG⊥AH于G，∵AH⊥BC，AB=AC ∴∠DGE=∠CHG=90°，BH=CH，∴DG∥BC，∴=====，设EG=a，则EH=3a，∴==，∴AG=2a，AE=3a=2，∴AH=6a=4．（2）如图2中，∵点P为圆心，BP为半径的圆与⊙A外切，CP为半径的圆与⊙A内切，∴AP=AD+BP，AP=PC﹣AD，∴AD+BP=PC﹣AD，∴PC﹣BP=2AD=4，∴PH+HC﹣（BH﹣PH）=4，∴PH=2，∵AH2=AB2﹣BH2=AP2﹣PH2，设BP=x，∴62﹣（x+2）2=（x+2）2﹣22，∴x=2﹣2，∴BC=2BH=2（PB+PH）=4．（3）如图3中，过点D作DG⊥AF于G，设AG=t，∵AD2﹣AG2=DF2﹣FG2，∴22﹣t2=x2﹣（2﹣t）2，（4）∴t=，∴y=S△ABC=18•S△ADG=18וAG•DG=9••，∴y=（0＜x＜2）．5、如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．（1）求证：AC·CD=PC·BC；（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求出这个最大面积S。
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《圆的证明与计算》专题讲解圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。
圆的有关证明一、圆中的重要定理:(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。
知识点一：判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。
常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。
常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。
在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD.求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA ⊥PA.∴PA 与⊙O 相切.证明二：延长AD 交⊙O 于E ，连结OA ，OE. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴BE=CE ，∴OE ⊥BC.∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE ， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD ， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900 即OA ⊥PA.∴PA 与⊙O 相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.⌒ ⌒例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.证明：取FG中点O，连结OC.∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，△CFG是Rt△∵O是FG的中点，∴O是Rt△CFG的外心.∵OC=OG，∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4.∵AD=CD，DE=DE，∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE≌△CDE（SAS）∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900. 即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切方法二：若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”(一般用于函数与几何综合题）例1：如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.分析：说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.例2： 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900. 求证：CD 是⊙O 的切线.证明一：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD ，E 为垂足. ∵AC ，BD 与⊙O 相切， ∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB.∵AC ∥BD ，∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800. ∵∠COD=900， ∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900. ∵∠4+∠5=900. ∴∠1=∠5.∴Rt △AOC ∽Rt △BDO. ∴OD OCOB AC =. ∵OA=OB ，∴ODOCOA AC =. 又∵∠CAO=∠COD=900， ∴△AOC ∽△ODC ， ∴∠1=∠2.又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD, ∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线.证明二：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD 于E ，延长DO 交CA 延长线于F. ∵AC ，BD 与⊙O 相切， ∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB. ∵AC ∥BD ， ∴∠F=∠BDO. 又∵OA=OB ，∴△AOF ≌△BOD （AAS ）O∴OF=OD. ∵∠COD=900， ∴CF=CD ，∠1=∠2. 又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ， ∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线.证明三：连结AO 并延长，作OE ⊥CD 于E ，取CD 中点F ，连结OF. ∵AC 与⊙O 相切， ∴AC ⊥AO.∵AC ∥BD ， ∴AO ⊥BD.∵BD 与⊙O 相切于B ， ∴AO 的延长线必经过点B. ∴AB 是⊙O 的直径.∵AC ∥BD ，OA=OB ，CF=DF ， ∴OF ∥AC ， ∴∠1=∠COF.∵∠COD=900，CF=DF ， ∴CF CD OF ==21. ∴∠2=∠COF. ∴∠1=∠2.∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ， ∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A 、O 、B 三点共线.A课后练习：（1）如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB ，AD ∥OC 交⊙O 于D 点，求证：CD 为⊙O的切线；（2）如图，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O ，交斜边AC 于D ，点E 为BC 的中点，连结DE ，求证：DE 是⊙O 的切线.（3）如图，以等腰△ABC 的一腰为直径作⊙O ，交底边BC 于D ，交另一腰于F ，若DE ⊥AC 于E （或E 为CF 中点），求证：DE 是⊙O 的切线.（4）如图，AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠BAF ，交⊙O 于点E ，过点E 作直线ED ⊥AF ，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C ，求证：CD 是⊙O 的切线.知识点二：与圆有关的计算计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。
分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。
特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。
其中重要而常见的数学思想方法有： （1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；射影定理： 所谓射影，就是正投影。
其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。
一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影。
由三角形相似的性质：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AD 是斜边BC 上的高,则有射影定理如下:：(1)(AD)2;=BD·DC, (2)(AB)2;=BD·BC , (3)(AC)2;=CD·BC 。
等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径； ④构造勾股定理模型（已知线段长度）； ⑤构造三角函数(已知有角度的情况）; ○6找不到，找相似 （2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。
（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
典型基本图型：图形1：如图1：AB 是⊙O 的直径，点E 、C 是⊙O 上的两点，基本结论有：（1）在“AC 平分∠BAE ”；“AD ⊥CD ”；“DC 是⊙O 的切线”三个论断中，知二推一。
（2）如图2、3，DE 等于弓形BCE 的高；DC =AE 的弦心距OF （或弓形BCE 的半弦EF ）。
图1A图2A图3A图4A（3）如图（4）：若CK ⊥AB 于K ，则：①CK=CD ；BK=DE ；CK=21BE=DC ；AE+AB=2BK=2AD ; ②⊿ADC ∽⊿ACB ⇒AC 2=AD•AB（4）在(1)中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG ⊥CD于E 时（如图5），则：①DE=GB ；②DC=CG ；③AD+BG=AB ；④AD•BG=241DG =DC 2 图形2：如图：Rt ⊿ABC 中，∠ACB =90°。
点O 是AC 上一点，以OC 为半径作⊙O 交AC于点E ，基本结论有：（1）在“BO 平分∠CBA ”;“BO ∥DE ”;“AB 是⊙O 的切线”;“BD=BC ”。
四个论断中，知一推三。
（2）①G 是⊿BCD 的内心；②；③⊿BCO ∽⊿CDE ⇒BO•DE=CO•CE=21CE 2； （3）在图（1）中的线段BC 、CE 、AE 、AD 中，知二求四。
（4）如图（3），若①BC=CE ，则：②AD AE =21=tan ∠ADE ；③BC ：AC ：AB =3：4：5 ；（在①、②、③中知一推二）④设BE 、CD 交于点H ，,则BH=2EH图形3：如图：Rt ⊿ABC 中，∠ABC =90°,以AB 为直径作⊙O 交AC 于D ，基本结论有：如右图：（1）DE 切⊙O ⇔E 是BC 的中点； （2）若DE 切⊙O ，则：①DE=BE=CE ；②D 、O 、B 、E 四点共圆⇒∠CED =2∠A③CD·CA=4BE 2, BABC BDCD RDE ==图形特殊化：在（1）的条件下如图1：DE ∥AB ⇔⊿ABC 、⊿CDE 是等腰直角三角形；如图2：若DE 的延长线交AB 的延长线于点F ，若AB=BF ，则：① 31=EF DE ;②21=R BE 图2C 图1图2图5ACG=GD图形4：如图，⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点F，基本结论有：（1）DE⊥AC DE切⊙O；（2）在DE⊥AC或DE切⊙O下，有：①⊿DFC是等腰三角形；②EF=EC；③D是的中点。