表A.1正态分布表(中间概率值)
正态分布与应用
正态分布
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正态分布的性质是什么
正态分布的突出性质：
➢ 分布围绕平均值对称：一半的值低于平均值，一半高于平均值。
➢ 分布可以用两个值来描述：平均值和标准差。
➢ 平均值是位置参数，而标准差是刻度参数。
➢ 平均值确定曲线峰值的中心位置，增加均值使曲线向右移动，而减小均值使曲
要首先得到 z 值，z 值告诉我们 1380 与平均值相差多少个标准差。
公式
=
−μ
计算
=
1380−1150
150
当 z 为 1.53 时， 为 0.937，这是 SAT 分数为 1380
或更低的概率，要获得阴影区域的概率(面积)，需要从整体中
减去 0.937：
S（x > 1380） = 1 – 0.937 = 0.063
即在=μ这条直线左右两边的面积各为0.5，即S(＜μ)=S(＞μ)=0.5；
⑤当＜μ时，曲线上升(增函数)；当＞μ时，曲线下降(减函数)，并且
当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近;
⑥当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑦当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越尖削，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越平阔，
线向左移动。
➢ 标准差拉伸或挤压曲线。小的标准差导致窄曲线，而大的标准差导致宽曲线。
正态分布
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正态分布的特点
➢
➢
➢
➢
➢
➢
➢
➢
➢
①曲线位于轴上方，与轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称；
③曲线在=u处达到峰值；
标准正态分布的概率计算
标准正态分布的概率计算
标准正态分布是指均值为0，标准差为1的正态分布。
概率计
算可以通过标准正态分布表或计算公式来进行。
1. 使用标准正态分布表：
标准正态分布表显示了标准正态分布的累积概率，即小于或等于某个给定值的概率。
首先需要将给定的数值转化为标准分数，即将原始数值减去均值并除以标准差。
然后查找标准正态分布表中对应的概率值。
2. 使用计算公式：
标准正态分布的概率密度函数（probability density function, PDF）可以用公式表示为：
f(x) = (1 / √(2π)) * e^(-x^2/2)
其中，x是随机变量的取值，e是自然对数的底，π是圆周率。
要计算某个值的概率，可以对概率密度函数进行积分。
例如，要计算在某个区间内的概率，可以计算该区间的积分值。
需要注意的是，对于非标准正态分布（均值和标准差不为0和1），可以通过标准化将其转化为标准正态分布，然后使用上
述方法进行计算。
z分布统计表常用
z分布统计表(可以直接使用，可编辑优质资料，欢迎下载）表B.1 正态分布表**A 列是正态分布的z 分数。
B 列是z 分数对应分布中本体的概率值。
C 列是z 分数对应分布中尾端的概率值。
主要：因为正态分布是对称分布，所以负的z 分数具有与正的z 分数相同的概率。
CC 0+zGeneratedbytheMinitabstatisticalprogramusingtheCDLcommand.入学率统计表表Ⅰ 0—17周岁儿童、少年统计表（2021至2021学年度）填表单位：（盖章）填表责任人: 填表时间：年月日注：“三残”指视力、听力语言和智力残疾。
表Ⅱ 0—17周岁儿童、少年花名册填表单位：乡（镇）村（盖章）填表责任人: 填表时间：年月日注：填入本表儿童、少年以户籍为准；乡（镇）每周岁一个分册。
第张（共张）表Ⅲ小学正常适龄儿童入学情况统计表（至学年度）填表单位：（盖章）填表责任人填表时间：年月日注：1、填报本学年初人数；2、适龄儿童以户籍和规定入学年龄为准；3、入学适龄人儿童数包括在本校和外校及初中就读的学生。
表Ⅳ初中正常适龄少年入学情况统计表（至学年度）填表单位：（盖章）填表责任人填表时间：年月日注：1、填报本学年初人数，2、入学适龄人口数包括在本校和外校及高中就读的学生。
表Ⅴ残疾儿童、少年入学情况统计表（至学年度）填表单位：（盖章）填表责任人: 填表时间：年月日注：1、填报本学年初数据；2、“三残”指：视力、听力语言和智力残疾；3、附“三残”儿童少年花名册员工加班登记表2021年月日填表加班登记表报销日期：部门总经理会计审核申请人出纳加班加点汇总表质量管部门主管：加班记录表部门：部门签字: 年月日1、使用流程:部门加班人填写加班加班后记录本核准确性每月统计表部门主管签字人事部门留存。
2、使用范围:公司普通员工加班登记。
3、使用要点：（1）公司中高级职员超时工作不算作加班；（2）核准人为有权签署加班意见的人；（3）严格控制加班。
正态分布 课件
总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。
正态分布在概率和统计中占有重要地位。
4、正态曲线的性质
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（μ－σ，μ＋σ]
0.6826
（μ－2σ，μ＋2σ]
0.9544
（μ－3σ，μ＋3σ]
0.9974
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（4）曲线与x轴之间的面积为1.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
（5）若 固定, 随 值的变化而沿x轴平移, 故 称为位置参数
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
5、特殊区间的概率:
m-a
m+a
x=μ
若X~N ,则对于任何实数a>0,概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。
4
0.04
[0.5,1)
8
0.08
[1,1.5)
15
0.15
[1.5,2)
22
0.22
[2,2.5)
25
0.25
[2.5,3)
14
0.14
[3,3.5)
6
0.06
[3.5,4)
4
0.04
[4,4.5)
2
0.02
11
高尔顿钉板实验的 频率分布直方图
这条曲线具有 “中间高，两头低” 的特征，像这种类型的曲线, 就是（或近似地是）以下函数的图像:
标准正态分布分位数表
正态分布的概念在统计学中非常普遍，标准正态分布表在与正态分布有关的计算中经常使用。
如果你知道一个值的标准得分，即z 得分，你可以很方便地在标准正态分布表中找到与标准得分对应的概率值。
任何数值，只要符合正态分布规律，都可以用标准正态分布表来查询其出现概率。
使用时，第一步是计算标准值的标准值，然后将标准值四舍五入到小数点后的第二位，第二步是在标准正态分布表的左侧找到小数点后的第一位直到标准值，然后在相应标准值的小数点后的第二位找到正态分布。
正态分布，也称为“正态分布”，是一个非常重要的概率分布。
它在数学、物理学、工程学以及统计学的许多方面都有很大的影响，它最初是由a. de moivre 在二项分布的渐近公式中得到的。
在研究测量误差时，从另一个角度导出了c。
f。
高斯。
拉普拉斯和高斯研究了它的性质，正常曲线呈钟形，两端低，中间高，对称。
因为它的曲线是钟形的，所以人们通常称之为钟形曲线，如果随机变量x 服从一个带有数学期望和方差2的正态分布，则称为n (，2)。
概率密度函数为正态分布的期望值决定了它的位置，其标准差决定了分布的振幅。
当= 0和= 1时，正态分布是标准正态分布。
正态分布的概念最早是由德国数学家和天文学家莫伊弗尔在1733年提出的，但由于德国数学家高斯率先将其应用于天文学家的研究，它也被称为正态分布分布。
高斯的作品对后世有很大的影响。
他同时给正态分布命名为“正态分布”，后人因此将最小二乘法的发明权归于他。
而今天的德国10马克钞票上印有高斯头像，密度曲线呈正态分布。
这传达了一个观点: 在高斯的所有科学贡献中，对人类文明影响最大的就是这个。
在这个发现的开始，也许人们只能从简单化的理论来评价它的优越性，它的全部影响是不能完全看到的。
这是在20世纪小样本理论得到充分发展之后。
拉普拉斯很快了解到高斯的工作，并立即将其与他发现的中心极限定理联系起来。
基于这个原因，他在一篇即将发表的文章(1810年出版)中增加了一篇补充文章，指出如果按照他的中心极限定理，这个误差可以被看作是多个量的叠加，那么这个误差应该有正态分布。
正态分布课件ppt
（2）f (x) 的值域为
(0,
1]
2 s
（3）f (x) 的图象关于 x =μ 对称.
x （－∞，μ] x （μ，+∞）
正态分布密度函数
当μ= 0，σ=1时 标准正态分布密度函数
y
μ=0 σ=1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
标准正态曲线
例1、下列函数是正态分布密度函数的是（ B）
A.
f (x)
X~(100, 52 )，据此估计，大约应有57人的分数在
下列哪个区间内？（A ）
A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]
P(m s X m s ) 0.6826, P(m 2s X m 2s ) 0.9544, P(m 3s X m 3s ) 0.9974.
当 a 3s 时正态总体的取值几乎总取值于区间 (m 3s , m 3s ) 之内,其他区间取值几乎不可能.在实 际运用中就只考虑这个区间,称为 3s 原则.
例3、在某次数学考试中，考生的成绩 x 服从一个 正态分布，即 x ~N(90,100).
（1）试求考试成绩 x 位于区间(70,110)上的概率是
1
(xm )2
e 2s 2 , m,s (s 0)都是实数
2s
2 x2
B. f (x)
e2
2
1
( x1)2
C. f (x)
e4
2 2
D.
f (x)
1
x2
e2
2
练习：
2、如图，是一个正态曲线， 试根据图象写出其正态分布 的概率密度函数的解析式， 求出随机变量的期望和方差。
y
心理统计学课件第六章 概率分布
（三）正态分布的特征
正态分布的形式是对称的，它的对称轴是 经过平均数点的垂线。
正态分布的中央点（即平均数点）最高， 然后逐渐向两侧下降。
正态曲线下的面积为1，平均数点的垂线 将面积划分为相等的两部分0.50。
正态分布曲线，标准差与概率有一定的数 量关系。
二、正态分布表的结构与使用
2、已知P值，求Z分数
已知从平均数开始的概率值，求Z值 已知位于两端的概率值，求该概率分界点
上的Z值 已知正态曲线中间部分的概率，特定区间的人数 求考试成绩中某一特定人数比率的分数界
限 按能力分组或等级评定时确定人数 将等级评定结果转化为测量数据
按能力分组或等级评定时确定人数
要把100人在某一能力上分成5个等级， 各等级应该有多少人？
将等级评定结果转化为测量数据
某教师评价全班50人的作文，有8人优， 17人良，20人中，5人及格，求各等级的 标准分数
求考试成绩中特定区间的人数
已知某年级200名学生考试呈正态分布， 平均分为85分，标准差为10分，学生甲 的成绩为70分，问全年级成绩比学生甲低 的学生人数是多少？
求考试成绩中某一特定人数比率的分数界限
某次招生考试，学生成绩符合正态分布， 学生成绩的平均分为80分，标准差为10 分，要择优录取25%的学生进入高一级学 校学习，问最低分数线应是多少？
第六章 概率分布 第三节 正态分布
一、正态分布特征
（一）正态分布的概念 与二项概率分布对比 变量类型 图形
正态分布：
在一个概率分布中，中间频数多，两 端频数对称地减少，成为一种“钟”形对 称的理论概率分布。
（二）正态分布曲线
标准正态分布的密度函数：
正态分布 课件
；
• 特别地有：P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ 0.6862 ；
• P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ 0.9544 ；
• P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝ 0.9974 .
[答案] B
[解析] 仔细对照正态分布密度函数：f(x)＝ 21πσe－
(x－μ)2
2σ2 (x∈R)，注意指数 σ 和系数的分母上的 σ 要一致，以及
正态分布
• 1．当样本容量无限增大时，它的频率分 布直方图 无限接近于 一条总体密度曲 线，在总体所在系统相对稳定的情况下， 总体密度曲线就是或近似地是以下函数的 图象：
• 其中μ和σ(σ>0)为参数．我们称φμ，σ(x)的图 象为 正态分布密度曲线，简称 正态曲线 ．
• (4)曲线与x轴之间的面积为 1 ；
• (5) 当 σ 一 定 时 ， 曲 线 随 μ 的 变 化而沿 x 轴 平移；
• (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定：σ越小，
曲线越“
瘦高”，表示总体的分布越
集中 ；σ越大，曲线越“
矮胖 ”，表示
总体的分布越 分散 ．
• 4．若X～N(μ，σ2)，则对任何实数a>0，概
率P(μ－a<X≤μ＋a)＝
称 性 得 P(3<X≤4) ＝ P(6<X≤7) ， 所 以
P(6<X≤7)＝
＝0.1359.
• [点评] 解此类题首先由题意求出μ及σ的
值，然后根据三个特殊区间上的概率值及
正态曲线的特点(如对称性，与x轴围成的 面积是1等)进行求解．
• [例5] 某年级的一次信息技术测验成绩近 似服从正态分布N(70,102)，如果规定低于 60分为不及格，求：
标准正态分布概率计算
标准正态分布概率计算标准正态分布是统计学中非常重要的一种连续概率分布，它的概率密度函数呈钟形曲线，均值为0，标准差为1。
在实际应用中，我们经常需要计算标准正态分布的概率，以便进行统计推断和决策分析。
本文将介绍如何利用标准正态分布表或统计软件来计算标准正态分布的概率。
首先，我们来看看标准正态分布表的使用方法。
标准正态分布表是一张标准化的表格，可以用来查找标准正态分布随机变量落在某个区间内的概率。
表格的左侧是标准正态分布随机变量的整数部分，顶部是小数部分。
通过查表，我们可以找到标准正态分布随机变量落在某个区间内的概率值。
举个例子，如果我们要计算标准正态分布随机变量落在区间[-1, 1]内的概率，我们可以先找到-1对应的整数部分和小数部分，然后找到1对应的整数部分和小数部分，最后查表得到该区间内的概率值。
当然，实际计算中可能会涉及到更复杂的区间，但基本的思路是一样的。
除了使用标准正态分布表，我们还可以利用统计软件来计算标准正态分布的概率。
在R、Python、Excel等软件中，都有相应的函数可以帮助我们计算标准正态分布的概率。
以R语言为例，我们可以使用pnorm函数来计算标准正态分布随机变量落在某个区间内的概率。
这样的方法不仅更加灵活，而且可以应对更加复杂的情况。
在实际应用中，我们经常需要计算标准正态分布的概率，以便进行统计推断和决策分析。
比如，在质量控制中，我们可以利用标准正态分布来进行产品合格率的判定；在市场营销中，我们可以利用标准正态分布来进行市场份额的预测。
因此，掌握标准正态分布概率计算的方法对于我们的工作和研究都是非常重要的。
综上所述，标准正态分布是统计学中非常重要的一种连续概率分布，我们可以利用标准正态分布表或统计软件来计算标准正态分布的概率。
在实际应用中，我们需要灵活运用这些方法，以便进行统计推断和决策分析。
希望本文对大家有所帮助，谢谢阅读！。
正态分布z值表
正态分布z值表
检查正态分布表时，请注意中间的数字是所有区域，最左边的列和第一行都是Z 值。
当给出检验的显着性水平a = 0.05时，如果要检验该检验是否相等，则它是一种双面检验，允许左侧和右侧出现误差，即a / 2 = 0.025。
此时，当尾部区域为0.025时，请检查Z值。
但是我们的参考书指出，表格中间的数字表示从最左侧开始具有特定点的区域，Z值表示从中间平均值到右侧的位置计算出的长度。
因此，当Z = 0时，中间区域= 0.50是原因。
现在，我们要检查的是右侧尾部的Z值。
当右侧的尾巴面积为0.025时，左侧的面积应为1-0.025 = 0.975。
因此，当我们查询表格时，我们必须在表格中间找到0.975。
从这排级别中，向左转到1.9，向上转到0.06，然后将两个数字加起来得到1.96。
正态分布区间概率
正态分布区间概率正态分布概率是指在满足正态分布假设条件下，实际值落在某个区间内的可能性大小。
正态分布是一种常见的概率分布，因为其形状近似于钟形曲线，且在大多数情况下其适用范围非常广泛。
为了计算正态分布区间概率，需要使用标准正态分布表或计算机软件进行计算。
在正态分布中，平均数和标准差起到了非常重要的作用，因为它们决定了分布的位置和形态。
正态分布有两个参数：平均数和标准差。
平均数是分布的中心点，标准差是分布的分散程度。
在正态分布中，68%的实际值落在平均数左右一个标准差的范围内，95%的实际值落在平均数左右两个标准差的范围内，99.7%的实际值落在平均数左右三个标准差的范围内。
如果要计算某个区间的概率，可以使用正态分布表或计算机软件查找或计算这个区间的标准化分数，然后查找或计算对应的概率值。
标准化分数表示实际值与平均数之差除以标准差的比值。
例如，如果要计算某个实际值落在平均数左边两个标准差外的概率，可以将这个实际值减去平均数，然后除以标准差得到标准化分数，查找正态分布表或使用计算机软件得到对应的概率值。
正态分布区间概率的计算对于数据分析和统计推断非常重要。
例如，在经济学、金融学和医学等领域，正态分布常用于分析收入、股票收益和医疗指标等数据。
在科学研究中，正态分布也常用于描述自然界中的物理和化学现象。
通过计算正态分布区间概率，可以获得有关数据的重要信息，进而进行决策和预测。
总之，正态分布区间概率是指在满足正态分布假设条件下，实际值落在某个区间内的可能性大小。
计算正态分布区间概率需要使用标准正态分布表或计算机软件，重点考虑平均数和标准差的大小和位置。
正态分布的应用领域非常广泛，包括经济学、金融学、医学、自然科学等等。
在数据分析和统计推断中，正态分布区间概率的计算对于决策和预测非常重要。
标准正态分布表的x
标准正态分布表的x标准正态分布表是统计学中常用的一种工具，它可以帮助我们快速准确地查找标准正态分布的概率值。
在实际应用中，我们经常需要计算标准正态分布的概率值，而标准正态分布表可以帮助我们简化这一复杂的计算过程。
本文将介绍标准正态分布表的基本原理和使用方法，希望能对大家有所帮助。
标准正态分布表是以标准正态分布曲线为基础的，标准正态分布曲线是一种特殊的正态分布曲线，其均值为0，标准差为1。
在标准正态分布曲线上，横坐标表示随机变量取值，纵坐标表示概率密度。
标准正态分布表中的数值则表示标准正态分布曲线下方的面积，即概率值。
使用标准正态分布表时，我们需要知道随机变量的取值，然后在表中查找相应的概率值。
以标准正态分布表为例，表中的行标表示随机变量取值的整数部分，列标表示随机变量取值的小数部分。
通过行标和列标的组合，我们可以找到对应的概率值。
需要注意的是，标准正态分布表中的概率值是对应于标准正态分布曲线下方的面积，因此可以直接作为概率来使用。
在实际应用中，标准正态分布表经常用于计算正态分布的概率值。
例如，在质量控制中，我们需要计算产品合格的概率；在市场营销中，我们需要计算销售额达到一定水平的概率。
这些问题都可以通过标准正态分布表来解决，从而帮助我们进行决策和分析。
除了查找概率值，标准正态分布表还可以用于反推随机变量的取值。
即已知概率值，需要求解对应的随机变量取值。
这时，我们可以通过标准正态分布表来查找对应的随机变量取值，从而实现概率推断。
总之，标准正态分布表是统计学中一种非常实用的工具，它可以帮助我们快速准确地计算标准正态分布的概率值，从而支持我们进行数据分析和决策。
希望本文的介绍能够帮助大家更好地理解和应用标准正态分布表。
正态分布与标准正态分布公式的详解整理
正态分布与标准正态分布公式的详解整理正态分布（Normal Distribution），又称高斯分布（Gaussian Distribution），是统计学中最重要的概率分布之一。
正态分布的形状呈钟型曲线，分布的中心对称，因此也被称为钟形曲线。
正态分布在各个领域的应用非常广泛，特别是在自然科学、社会科学及工程技术方面。
一、正态分布的定义与特点正态分布的定义如下：若一个随机变量X服从正态分布（记作X~N(μ,σ^2)），则其概率密度函数为：f(x) = (1/(sqrt(2π)*σ)) * exp(-((x-μ)^2)/(2σ^2))其中，μ是分布的均值，σ^2 是方差。
正态分布的特点如下：1. 正态分布的曲线是关于均值μ对称的，具有唯一的峰值，且下方与上方的面积相等。
2. 标准差越小，曲线越陡峭；标准差越大，曲线越平坦。
3. 正态分布的总体均值、中位数和众数都相等。
4. 正态分布的分布范围是(-∞, +∞)，但在实际应用中，一般只考虑3倍标准差内的数据，这部分数据占据了整个分布曲线的99.7%。
二、标准正态分布标准正态分布，又称标准高斯分布，是正态分布的一种特殊情况，均值μ为0，方差σ^2为1。
标准正态分布的概率密度函数为：φ(x) = (1/√(2π)) * exp(-x^2/2)标准正态分布在统计学中有着重要的应用。
为了方便计算和比较，通常将实际数据转化为标准正态分布进行处理。
三、正态分布与标准正态分布的转化将正态分布的随机变量X转化为标准正态分布的随机变量Z，可以通过计算Z的值来实现。
这一过程称为标准化。
标准化的公式如下：Z = (X - μ) / σ其中，Z为标准化后的随机变量，X为原始随机变量，μ为正态分布的均值，σ为正态分布的标准差。
通过标准化，我们可以将不同均值和标准差的正态分布转化为标准正态分布，方便进行比较和计算。
四、标准正态分布的应用标准正态分布广泛应用于统计学和假设检验中，常用于计算正态分布中某个特定范围内的概率。
标准正态分布概率
标准正态分布概率1. 标准来源标准正态分布概率是指在统计学中，根据正态分布的特性，通过标准化处理后所得到的概率。
该概率是根据统计学中的标准正态分布表或者利用统计学软件计算得出的。
2. 标准内容标准正态分布概率是指在标准正态分布曲线下的某一区域所对应的概率值。
标准正态分布曲线是一个钟形曲线，其均值为0，标准差为1。
通过标准化处理，我们可以将任意正态分布转化为标准正态分布。
3. 标准中规定的数值标准正态分布概率的数值是根据标准正态分布表或者统计学软件计算得出的。
在标准正态分布表中，给出了一系列Z值与对应的概率值。
Z值表示标准正态分布的偏离程度，而概率值表示了曲线下对应区域的概率。
标准正态分布表中的数值是经过精确计算和统计验证得到的。
4. 技术要点计算标准正态分布概率的关键是将原始的正态分布转化为标准正态分布。
这可以通过计算Z值来实现，Z值表示原始随机变量与均值之间的偏离程度，通过标准化处理可以将其转化为标准正态分布的偏离程度。
然后，根据标准正态分布表中的数值，可以找到对应的概率值。
5. 应用方向标准正态分布概率在统计学和概率论中有广泛的应用。
它可以用于计算和解释实际数据的概率分布，例如在质量控制中用于判断产品的合格率，或者在心理学实验中用于确定测试结果的可信度。
此外，标准正态分布概率还可以用于推断统计和回归分析中的假设检验，帮助研究者做出科学的决策。
6. 总结标准正态分布概率是根据标准正态分布曲线下的某一区域所对应的概率值。
通过标准化处理，我们可以将任意正态分布转化为标准正态分布，然后根据标准正态分布表中的数值，可以找到对应的概率值。
标准正态分布概率在统计学和概率论中有广泛的应用，可以用于计算和解释实际数据的概率分布，以及在假设检验和回归分析中做出决策。