2.1 勾股定理
2.1探索勾股定理(教学课件)
图2-1中，正方 形Ⅲ中含有18 个小方格。
Ⅰ
Ⅱ 图2-2
所以，正方形Ⅲ的 面积为18个单位面 积。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
方法一：直接数正方形Ⅲ所包含的小方格数
图2-1中，
Ⅲ Ⅰ Ⅱ Ⅲ 图2-1 Ⅰ Ⅱ 图2-2 （图中每个小方格代表一个单位面积）
1× S △= 2 3
×
3
S正方形
= 4 1 2
b
Ⅲ
图2-1 Ⅰ Ⅱ 图2-2
a2+b2=c2
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么 c 2 2 2 a
a b = c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。 在西方又称毕达 哥拉斯定理！
勾 弦
股
已知两边求第三边
例题：求出下面直角三角形中未知边的长度。 解：在Rt△Ⅰ中，由勾股定理得： 62+82=x2 x2=100 x=10
Ⅲ
3 3 = 18
（单位面积）
方法二：分割成若干个直角边为整数的三角形
Ⅲ Ⅰ Ⅱ
（2）在图2-2中，正 方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？ 4, 4, 8
Ⅲ
Ⅰ
（3）你能发现图2-2 中三个正方形Ⅰ，Ⅱ， Ⅱ 图2-2 Ⅲ的面积之间有什么 （图中每个小方格代表一个单位面积）关系吗？
图2-1
SⅠ+SⅡ=SⅢ
做一做
（1）观察图 2-3，并填写 下表：
Ⅰ Ⅲ
S正方形
Ⅱ 图2-3
Ⅲ
1 =4× ×4×3+1 2 =25
正方形Ⅰ
正方形Ⅱ
正方形Ⅲ
2.1 勾股定理(第1课时)
古今中外,无数的数学家对勾 股定理进行了充分的研究,其 中也有很多的有趣的故事,下 面有一些勾股趣事，当然同 学们也可以通过上网去了解.
勾股故事1
最早对勾股定理进行证明的，是 三国时期吴国的数学家赵爽。赵 爽创制了一幅“勾股圆方图”， 用数形结合得到方法，给出了勾 股定理的详细证明。
如图,在边长为c的正方形中,有四 个斜边是c的全等直角三角形,已 知它们的直角边分别是a, b . 勾股圆方图
A c b C a B
41 1)已知:a=9,b=40, 则c=_____; 8 2)已知:a=6,c=10,则b=_____;
20 3)已知:b=15,c=25,则a=_____; n2-1 4)已知c=n2+1，b=2n，则a=____
C
B
4000
4000
A
想 一 想
小明的妈妈买了一部29英寸（74厘 米）的电视机。小明量了电视机的屏 幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘 米宽，他觉得一定是售货员搞错了。 你能解释这是为什么吗？ 我们通常所说的29 英寸或74厘米的电视 机，是指其荧屏对角 线的长度
2 2 2 2
a b c
a
b
勾股定理
在西方又称毕达 哥拉斯定理耶！
直角三角形中，两直角边的
平方和等于斜边平方。
用数学式子表示：c2=a2+b2 A
c=
股
b C a 勾 B c 弦
a b
2
2
a= b=
c b
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 2
c a
2
运用勾股定理
可解决直角三角形中边的计算或证明
A
B
D
C
2.1勾股定理教学案(1)
2.1 勾股定理（一）一、教学目标【知识与技能】能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算和实际运用. 【过程与方法】经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.【情感态度与价值观】通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心. 二、教学重点与难点 重点：探索勾股定理.难点：利用数形结合的方法验证勾股定理．三、教学过程： 【邮票赏析】 【说一说】1955年希腊发行的一枚纪念邮票，邮票上的图案是根据一个 著名的数学定理设计的。
观察这枚邮票上的图案和图案中小 方格的个数，你有哪些发现？【做一做】1、分别以图中的直角三角形三边 为边向外作正方形，求这三个正 方形的面积？2、这三个面积之间是否存在什么样的 是是什么？【议一议】是否所有的直角三角形都有这个性质呢？请动手验证。
【小组成员在方格纸上任意作出一个直角三角形，90C ∠= ，将所得的数据填入表格】【勾股史海】1、在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分 称为“勾”，下半部分称为 “股”.我国古代学者把直角三 角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”， 斜边称为“弦”.2、商高定理我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.3、毕达哥拉斯定理两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理和百牛定理．为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票．【练一练】 1、判断题（1)若a 、b 、c 是三角形的三边，则222a b c +=. （ ） (2)直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方. （ ）股勾2、求下列直角三角形中未知边的长．8x1253、求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.【拓展提升】在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲,它高出水面1米,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米,问这里水深多少?【总结】1.说说对勾股定理的认识?谈谈学习感受?2.思考验证勾股定理的方法．(可以查阅资料，也可自主探究)2.1勾股定理（一）作业CB A班级： 姓名： 等第：1、 下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。
参赛教案苏科版八年级数学上册2.1勾股定理(1)
苏科版八年级数学上册第二章江苏省连云港市东海县城头中学魏东成一．教案背景：苏科版八上第二章第一节内容勾股定理是学生已经了解直角三角形的有关性质的基础上，进一步探究直角三角形三边之间的关系，为以后学习奠定基础。
通过经历探究勾股定理的过程，培养学生良好的思维品质，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考与表达的能力。
二.教学课题：2.1勾股定理（1）。
三.教材分析：（一）内容分析本节课是勾股定理的第1课时，根据课程标准的要求，注意让学生经历探索勾股定理的过程，鼓励学生用不同的方法解决问题，在解决问题的过程中，注意渗透数形结合的思想。
（二）教学目标：（1）能说出勾股定理，并能运用勾股定理解决简单问题。
（2）通过勾股定理的探究过程，发展合情推理的能力，体会数形结合思想。
（3）经历用多种拼图方法验证勾股定理的过程体验数学思维的严谨性。
发展形象思维，感受定理的文化价值。
同时培养学生合作交流意识。
（三）教学重点：探究并验证勾股定理。
（四）教学难点：探究勾股定理的验证方法。
（五）教学媒体准备教学媒体：多媒体课件，上网用百度搜索相关资源。
学具准备：方格纸（老师课前准备好，发给学生）、4个全等的直角三角形（学生四人一组，分组准备）。
四．教学方法：启发式与探究式相结合.五．教学过程（二）．猜想探究：相传在2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系，我们一起来观察图中的地面，看看能发现什么。
活动1：“地砖里的秘密？”地砖中隐含着直角三角形三边关系的什么“秘密”呢？（图1）出示以下问题：（1）地砖是由全等的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形都相邻三个正方形，这三个正方形面积间有怎样的关系？你是怎样看出来的？（2）如果用直角三角形三边长来分别表示这三个正方形的面积，又将反映三边怎样的数量关系？（3）等腰直角三角形满足上述关系，那么一般直角三角形呢？ 观察发现：．S S S 平方长的平方和等于斜边的等腰直角三角形直角边黄绿蓝⇒=+和等于斜边的平方。
八年级上册数学期末知识点：勾股定理
八年级上册数学期末知识点：勾股定理第二章
勾股定理
2.1探索勾股定理
勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，那么a2+b2=c2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
注意:电视机有多少英寸,指的是电视屏幕对角线的长度。
2.2勾股数
.勾股定理的逆定理:若三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形。
在∆ABc中,a，b，c为三边长,其中c为最大边, 若a2+b2=c2,则∆ABc为直角三角形；
若a2+b2>c2,则∆ABc为锐角三角形；
若a2+b2<c2,则∆ABc为钝角三角形。
2.勾股数:满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。
规律:一组能构成直角三角形的三边的数,同时扩大或缩小同一倍数,仍能够成直角三角形。
一组勾股数的倍数不一定是勾股数,因为其倍数可能是小数,只有整数倍数才仍是勾股数。
常用勾股数:3,4,5
9,12,15
5,12,13
8,15,17
6,8,10
7,24,25
勾股数须知:连续的勾股数只有3,4,5 连续的偶数勾股数只有6,8,10。
2.1 勾股定理(第1课时)
苏科8上数学2.1 勾股定理(第1课时)班级姓名学号学习目标1、体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法。
2、会运用勾股定理解决简单问题。
3、通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值，体会数学的价值。
4、培养动口、动手、动脑的综合能力，并感受从具体到抽象的认知规律。
学习难点勾股定理在生活实际中的应用教学过程一、情景导入：小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。
小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。
你能解释这是为什么吗？二、数学活动勾股故事1最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。
赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。
如图,在边长为c的正方形中,有四个斜边是c的全等直角三角形,已知它们的直角边分别是a, b . 说明:我国古代数学家赵爽在他所著的<勾股圆方图注>中,利用这个图证明勾股定理.勾股圆方图勾股故事2中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话－－“勾股术”，并且还记载了勾股定理的一般形式。
勾股故事3美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．勾股故事41955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。
这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 ── 毕达哥拉斯学派，它的成立以及在文化上的贡献。
邮票上的图案是对勾股定理的说明。
希腊邮票上所示的证明方法，最初记载在欧几里得的《几何原本》里。
勾股定理直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边平方。
用数学式子表示：c 2=a 2+b 2 三、例题 例题 1已知：如图，等腰△ＡＢC 的周长是32cm ，底边长是12cm 。
（1）求高AD 的长；bbaa22222122122121221221212122212212221211)2())((cb a cab ab b a s s cab c ab ab s abb a b ab a b a b a s =++=++=+=++=++=++=++=（2）求S △ＡＢC 。
勾股定理在日常生活中的应用
勾股定理在日常生活中的应用1. 引言：从数学公式到生活点滴哎呀，说到勾股定理，很多人脑子里可能会立马浮现出一堆枯燥的公式和数学课本。
其实，这个定理不仅仅是在黑板上发光发热的公式，它在我们日常生活中可是大有用处的。
今天就让我们一起来看看，勾股定理如何从数学课堂走进我们的生活，成为我们解决实际问题的好帮手。
2. 勾股定理简单讲解2.1 勾股定理是什么勾股定理说的是，直角三角形的三个边之间有个非常简单的关系。
简单来说，就是直角三角形中，最长的那条边（我们叫它斜边）平方等于另外两条边的平方和。
这公式就是：a² + b² = c²。
听上去可能有点晦涩，但其实很简单，想象一下一个直角三角形，你就能明白它的意思。
2.2 为什么它有用勾股定理的厉害之处在于，它可以帮助我们快速算出很多问题的答案，比如你要测量的距离、或者物体的大小等。
如果我们能把它用到实际问题中，就能变得聪明很多哦。
3. 勾股定理在生活中的应用实例3.1 家庭装修中的妙用好比说你在家里重新装修，想在墙上挂个大电视机。
可是，墙上挂架的位置有点难找，电视机的尺寸也需要考虑。
假如你不确定电视机的底边在墙上挂的位置的距离，那就可以用勾股定理来解决。
假设你已经知道电视机的高度和宽度，那就可以用勾股定理来计算电视机从地面到顶部的总高度。
这样，你就能准确地找到最合适的位置，把电视挂得又稳又好看。
3.2 旅行中的导航帮助再比如，你出去旅游，遇到个迷路的情况，找不到从一个景点到另一个景点的最佳路线。
如果你能把这些地点画成一个直角三角形，知道了两点之间的距离，就可以用勾股定理来计算直接走直线的最短距离。
这样，你就能省去不少时间，快快乐乐地享受旅行了。
3.3 体育运动中的应用勾股定理在体育运动中也能派上大用场。
比如你在打篮球时，瞄准篮筐，你可以用它来计算投篮的角度和距离。
比如你站在离篮筐一定距离的位置上，可以用勾股定理计算出你需要向上投篮的角度和力度，这样你就能更准确地投中篮筐。
2.1勾股定理课件
同学们可以到以下网址查阅有关勾股定理的问题： 同学们可以到以下网址查阅有关勾股定理的问题：
/wiki/%E5%8 B%BE%E8%82%A1%E5%AE%9A% E7%90%86
问题1：我们也来观察下面图中的地面， 问题 ：我们也来观察下面图中的地面， 看看你能发现什么？ 看看你能发现什么？是否也和 大哲学家有同样的发现呢？ 大哲学家有同样的发现呢？
探究1： 探究 ：
D E A C B N M
等腰直角三角形的三边存在怎 样的数量关系？ 样的数量关系？
探究2 探究2：
每个学生任画一个直角三角形， 每个学生任画一个直角三角形， 度量边长， 度量边长，验证三条边长是否具 有上述的关系. 有上述的关系
演示
问题2 问题
一辆高3米 一辆高 米，宽2.4米的卡车能否通过半径 米的卡车能否通过半径 为3.6米的半圆形隧道 ？ 米的半圆形隧道
C
B
A
五、感悟收获，经验交流 感悟收获，
小结
1.这一节课我的收获是 这一节课我的收获是 2.我最感兴趣的地方是 我最感兴趣的地方是 3.我想进一步研究的问题是 我想进一步研究的问题是 ； ； 。
B
C
A
四、应用新知，解决问题 应用新知，
A
在Rt△ABC中, △ 中 ∠C=90°. °
c b C a B
41 1)已知 已知:a=9,b=40, 则c=_____; 已知
2)已知 已知:a=6,c=10,则b=_____; 已知 则 8 3)已知 已知:b=15,c=25,则a=_____; 已知 则 20
二、自主探究，发现新知 自主探究，
• 毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家， 毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家， 相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客． 相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席 其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论， 上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉 斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来， 斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地 是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间， 是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常 美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪， 美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过 去问他．谁知毕达哥拉斯突破恍然大悟的样子，站起来， 去问他．谁知毕达哥拉斯突破恍然大悟的样子，站起来， 大笑着跑回家去了． 大笑着跑回家去了．
2.1勾股定理(2)教案
ba b ED B A怀文中学2011---2012学年度第一学期教学设计初 二 数 学（2.1 勾股定理（2））主备：胡娜 审校：陈秀珍 日期：2011-9-27学习目标：1、经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合思想2、经历用多种拼图方法验证勾股定理的过程，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考与表达的能力，感受勾股定理的文化价值。
教学重点：通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对数形结合的思想的认识教学难点：通过拼图验证勾股定理的过程，使学习获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。
教学过程：一．自主学习（导学部分）1、如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A 所代表的 正方形面积是 _________ 。
2、直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为 。
3、已知甲往东走了4km ，乙往南走了3km ，这时甲、乙两人相距 。
4、一个长方形的长为12cm ，对角线长为13cm ，则该长方形的周长为 。
活动一：你能把本章章头的图①、②、③、④、⑤拼成正方形吗？你能验证勾股定理吗？与同学交流。
活动二： 剪4个全等的直角三角形，把它们拼成弦图，与同学合作探索数学家赵爽是如何利用弦图验证勾股定理的。
二．合作、探究、展示探索：如图，把火柴盒放倒，在这个过程中，也能验证勾股定理，你能利用这个图验证勾股定理吗？把你的 想法与大家交流一下。
三．巩固练习1.在ΔABC 中,∠C=90°（1）如果AC=9, BC=12, 那么AB= ；（2）如果BC=8,AB=10,那么AC= ；（3）如果AC=20,BC=15,那么AB= 。
2.已知一直角三角形的斜边是17,周长是40,则这个三角形的面积是 .3．如图，一根旗杆在离地9米处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断之前有多高?4.如图,在ΔABC 中,∠C=90°,AC=9,BC=12，求ΔABC 斜边上的高CD.5.为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示，AB 所在的直线上建一图书馆.本社区有 两所学校的位置分别在点C 和点D 处，CA ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B ，已知AB=25km ，CA =15km ，DB =10km ， 试问:图书馆E 应建在距点A 多少千米处，才能使它到C 、D 两所学校距离相等?6.如图是一柱子,它是圆柱形的,它的高是8米,底面半径是2米,一只壁虎在A 点,想要吃到B 点的 昆虫,它爬行的最短距离是多少?（圆周率取3）7.如图，盒内长，宽，高分别是30米，24米和18米，盒内可放的棍子最长有多长？四．课堂小结 五．布置作业 六．预习指导 教学反思：第1题400 64 AB。
《2.1勾股定理》教学设计
苏科版八数下册《勾股定理》教学设计
图（2）
探究1：
等腰直角三角形的三边存在怎样的数量关系？
二、 合作实践，
验证新知 分发每组学生四个完全一样的直角三角形，由学生拼成正方形验证
“两直角边的平方和等于斜边的平方．”即在直角三角形ABC 中，有a 2+b 2=c 2
数学史话2——勾股定理我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦.图6称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.图6也是在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM －2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就.
c b a
C
B
A。
勾股定理500种证明方法
勾股定理500种证明方法勾股定理是数学中的一个基本定理，它描述了直角三角形的特殊关系。
在本文中，我将为您探讨勾股定理的500种证明方法。
通过这些证明方法，我们可以从多个角度深入理解勾股定理的本质和意义。
1. 证明方法一：几何法1.1 利用直角三角形的定义，假设三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边的长度为c。
1.2 利用勾股定理的定义，即a² + b² = c²。
1.3 通过绘制图形和证明几何命题，可得出结论。
2. 证明方法二：代数法2.1 假设a和b分别代表直角三角形的两条直角边长。
2.2 在等式a² + b² = c²两边同时开方，得到c = √(a² + b²)。
2.3 将a、b和c的值代入等式，验证等式的成立性。
3. 证明方法三：相似三角形法3.1 假设两个直角三角形ABC和DEF，其中∠A = ∠D = 90°，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
3.2 通过相似三角形的性质，得出AB/DE = BC/EF = AC/DF = k，其中k为正常数。
3.3 利用勾股定理，可得AB² + BC² = AC²，DE² + EF² = DF²。
3.4 将相似三角形的性质代入等式，验证等式的成立性。
4. 证明方法四：三角恒等式法4.1 通过引入三角函数，将直角三角形的边长表示为三角函数的形式。
4.2 利用三角函数的基本性质和三角恒等式，将勾股定理的等式转化为三角恒等式的等式。
4.3 通过验证三角恒等式，证明等式的成立性。
5. 证明方法五：向量法5.1 假设向量a和b分别代表直角三角形两条直角边的向量表示。
5.2 通过向量的内积和模长的性质，得出a·b = |a||b|cosθ，其中θ为向量a和b之间夹角。
5.3 通过向量的定义和勾股定理，将a·b和|a||b|cosθ的值代入等式，验证等式的成立性。
2.1勾股定理
1.求下列图中表示边的未知数x 1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值. 求下列图中表示边的未知数 的值. 144 81 144 ① 169 ② 625
z
576
③
2.求下列直角三角形中未知边的长: 2.求下列直角三角形中未知边的长: 求下列直角三角形中未知边的长
比 一 比 看 看 谁 算 得 快 ！
P Q R C Q
P
C R
用了“ 用了“补”的方法 用了“ 用了“割”的方法 如图，小方格的边长为1. 如图，小方格的边长为1. (1)你能求出正方形 的面积吗 (1)你能求出正方形R的面积吗？ 你能求出正方形 的面积吗？
观察所得到的各组数据，你有什么发现？ 观察所得到的各组数据，你有什么发现？ P a Q b
25或 25或7
B 4 C 3 A
. B 4 A 3 C
例题分析
例２．已知 如图 等边△ABC的边长是 6 . 已知:如图 等边△ 如图,等边 的边长是
(1)求高 的长 求高AD的长 求高 的长; (2)求S△ABC . 求
6
A
? 3
B
D
C
练一练
已知:如图 等边 的高AD是 已知 如图,等边△ABC的高 是 如图 等边△ 的高 (1)求边长 求边长; 求边长 (2)求S△ABC . 求
5 8 17
x
20
16
x
x
12
可用勾股定理建立方程. 方法小结: 可用勾股定理建立方程
例题分析
Rt△ABC中 =90° 例1 .在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°. 已知：a=6，ｂ=8， ，ｂ=8 (1) 已知：a=6，ｂ=8，求c； 已知：a=40，c=41， (2) 已知：a=40，c=41，求b； (3) 已知：c=13，b=5，求a； 已知：c=13，b=5，
等边直角三角形勾股定理
等边直角三角形勾股定理1. 走进三角形的世界说到三角形，大家一定不会陌生吧！在我们的生活中，三角形无处不在。
无论是建筑物的设计，还是日常的东西，三角形都扮演着重要的角色。
不过，今天我们要聊的是等边直角三角形，这种形状听起来是不是有点儿复杂？别担心，等边直角三角形其实就是一种特殊的三角形，它的两个角是直角，另一边就像个快乐的小家伙，靠着两条边安静地待着。
而且这两个直角边的长度是一样的，所以又叫“等边”直角三角形。
2. 勾股定理的神奇2.1 勾股定理的背景提到等边直角三角形，咱们就不得不提到一个大名鼎鼎的理论——勾股定理。
这个定理可是个老前辈，历史悠久，跟咱们的祖辈一样有故事。
简单来说，勾股定理告诉我们，直角三角形的两条直角边的平方和，等于斜边的平方。
听起来有点拗口，但其实就是个简单的公式：a² + b² = c²，其中c就是斜边。
这么一说，是不是瞬间觉得这玩意儿变得亲切多了？2.2 生活中的应用那么，勾股定理在生活中有哪些妙用呢？想象一下，你在家里要挂一幅画，想把它挂得正正好好，不歪不斜。
这时候，你可以测量一下，画的高度和宽度，如果这两条边的平方和等于挂画线到地面的距离的平方，那你就能确保画挂得好得很！这就是勾股定理为你的生活添砖加瓦的例子之一，真是神奇吧！3. 细说等边直角三角形的魅力3.1 画个图更好理解要想深入了解等边直角三角形，就得动手画一画。
拿一张纸，画一个直角三角形，把两个直角边的长度设为1厘米。
你会发现，斜边的长度通过勾股定理算下来，竟然是√2厘米。
这个小数根本没有想象中那么可怕，反而让人觉得它有一种神秘的吸引力。
而这√2，简直就像是数学界的明星，出现在许多地方，让你在不经意间就会遇到它。
3.2 勾股定理的应用场景再说说勾股定理在科技方面的应用。
想象一下，科学家们在研究宇宙，运用勾股定理计算星际之间的距离。
这可不是开玩笑哦，很多高科技设备的设计，比如飞行器的航向计算、卫星的定位等等，都需要用到这个定理。
勾股定理中,两副特殊三角形的边的关系
勾股定理中，两副特殊三角形的边的关系1. 引言1.1 概述本文旨在探讨勾股定理中两副特殊三角形的边的关系。
勾股定理是几何学中最为基础且重要的定理之一，它描述了直角三角形斜边的长度与其他两条边之间的关系。
而在这个基础上，我们将研究并阐述两个特殊三角形的边之间的关系，以便更好地理解和应用勾股定理。
1.2 文章结构本文主要分为五大部分。
引言部分主要介绍了文章的目的和结构，为读者提供了全面而清晰的概览。
接下来，我们将从基本概念开始，对勾股定理和特殊三角形进行简要介绍。
然后，我们将详细阐述第一副特殊三角形和第二副特殊三角形各自边之间的关系。
最后，在结论与应用部分，我们将总结两副特殊三角形边关系，并提供一些实际应用示例和对未来研究方向的展望。
1.3 目的本文旨在通过对勾股定理中两副特殊三角形的边关系进行深入研究，帮助读者更好地理解和应用这一定理。
通过详细讨论和分析，我们将阐明两副特殊三角形之间边的长度关系，并探索这些关系在实践中的应用。
希望本文能为读者提供清晰明了的知识框架，使其对勾股定理及相关概念有一个更全面的认识，并能够灵活运用于解决实际问题。
2. 基本概念：2.1 勾股定理介绍：勾股定理是数学中的一条基本定理，描述了直角三角形中三边之间的关系。
根据勾股定理，对于一个直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方。
该定理以古希腊数学家毕达哥拉斯命名，因此也被称为毕达哥拉斯定理。
2.2 特殊三角形定义：特殊三角形是指具有特殊性质或特点的三角形。
在勾股定理中涉及到两种特殊三角形：等腰直角三角形和30-60-90度特殊三角形。
等腰直角三角形是指两个锐角相等并且其中一个锐角为90度的三角形。
由于等腰直角三角形中两个锐角相等，所以其余边也相等。
30-60-90度特殊三角形是指一个锐角为30度、另一个锐角为60度、最后一个锐谷为90度的三边。
2.3 两副特殊三角形的边关系介绍：在勾股定里面，通过分析两副特殊三即身材恶意素亭林-- 分别是等腰直角三角形和30-60-90度特殊三角形，可以揭示出两副特殊三角形中的边之间的关系。
欧几里得证明勾股定理的详细步骤
欧几里得证明勾股定理的详细步骤1. 引言1.1 欧几里得简介欧几里得（Euclid）是古代希腊数学家，被誉为几何学之父。
他生活在公元前四世纪，是亚历山大大帝时期的一位杰出数学家和几何学家。
欧几里得的作品《几何原本》是古代数学史上最著名且最具影响力的著作之一，被称为几何学的权威经典。
欧几里得的几何学理论体系被认为是严密而完整的，并且具有很高的逻辑性和条理性。
他所提出的公理化方法为后世的数学发展奠定了基础。
在《几何原本》中，欧几里得系统地讨论了几何学的基本理论，包括点、直线、平面、角等概念，以及各种几何定理和命题的证明方法。
欧几里得的贡献不仅在于他建立了几何学的公理化体系，还在于他证明了许多重要的几何定理，其中包括著名的勾股定理。
他的严密推理和清晰的逻辑思维使他成为古代数学史上的一个巨匠，对数学的发展产生了深远的影响。
欧几里得的成就不仅在于他本人的杰出才华，更在于他为世人展示了数学思维的力量和美妙。
1.2 勾股定理简介欧几里得在古希腊时期被认为是几何学的奠基人，他的《几何原本》是古代几何学重要的著作之一。
在这部著作中，欧几里得证明了许多几何定理，其中最著名的是勾股定理。
勾股定理是指直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
这个定理在几何学和数学中有着广泛的应用，被认为是最基本的几何定理之一。
欧几里得证明勾股定理的方法被称为几何证明，通过构造图形、运用几何性质和推理来证明。
这个证明方法展示了欧几里得在数学推理方面的才华和严密性。
勾股定理可以帮助我们计算直角三角形的各边长，解决实际问题中的三角形计算等。
勾股定理也为其他几何定理的证明提供了参考和启发。
欧几里得在证明勾股定理的过程中展现了他在几何学和数学领域的才华和贡献。
这个定理也成为了他在数学史上的重要里程碑，被后人广泛传颂和应用。
1.3 欧几里得证明勾股定理的重要性欧几里得证明勾股定理的重要性在数学史上具有非常重要的意义。
勾股定理是古希腊数学中最著名的定理之一，被广泛运用于解决各种数学和几何问题。
勾股定理角度与边长的关系
勾股定理角度与边长的关系大家好！今天我们来聊聊一个非常有趣而且实用的数学概念——勾股定理。
虽然听起来有点拗口，但其实这东西在我们生活中到处都有。
你有没有想过，这个定理是怎么跟角度和边长扯上关系的呢？好了，咱们就从头开始聊聊。
1. 勾股定理的基本概念1.1 勾股定理是什么？勾股定理说的其实很简单，就是在一个直角三角形里，直角边的平方和等于斜边的平方。
比如说，直角边是3和4，斜边就是5。
这是最基础的知识，很多时候我们都用这个来算三角形的边长。
1.2 为什么叫“勾股定理”？这个名字听起来有点古怪，但其实“勾”就是现在叫做“直角边”的意思，而“股”就是另外一条直角边。
这个定理在古代中国就有人用，只不过名字叫得不同而已。
2. 角度与边长的关系2.1 如何用角度来理解边长？在直角三角形里，角度和边长有很紧密的关系。
其实，通过一个角度，你可以计算另外两个边的长度。
例如，给你一个角度和一条边，你可以用三角函数（像是正弦、余弦）来求其他的边。
简单说，就是角度决定了边的比例。
2.2 常用的三角函数正弦（sin）：在直角三角形中，正弦值是对边长度与斜边长度的比值。
比如说，角度是30度，正弦值大约是0.5，说明对边是斜边的0.5倍。
余弦（cos）：余弦值是邻边长度与斜边长度的比值。
比如角度是30度，余弦值大约是0.866，说明邻边是斜边的0.866倍。
正切（tan）：正切值是对边长度与邻边长度的比值。
角度是30度时，正切值大约是0.577。
3. 生活中的应用3.1 在建筑中的应用勾股定理在建筑设计里是绝对不能少的。
比如说，要建一个垂直的墙，设计师就需要知道墙的高度和地面的距离来计算好斜边。
这样一来，墙就能立得又直又稳。
3.2 在导航中的作用你有没有用过GPS？它其实就是通过角度和距离来帮你确定位置的。
勾股定理和三角函数在这里面起了大作用，帮助你精确地找到目的地。
4. 总结哎呀，说了这么多，大家有没有对勾股定理有了更深的理解？这真的是一个很奇妙的数学工具，它不仅仅是书本上的公式，而是实际生活中的得力助手。
七年级数学上册 2.1 探讨勾股定理随堂演练
2.1探讨勾股定理1.请你做一个直角三角形ABC，使它的两条直角边为AB=6 cm,AC=8 cm.(1)请你先测量斜边BC的长.（2）你能用其他方式探讨那个直角三角形斜边的长吗？那个直角三角形的三边长有什么关系吗？（3）假设使AB=AC=3 cm，请你探讨那个直角三角形的三边长有什么关系？2.请你取两个一样的直角三角板，并如图1如此摆放.(1)连结AE，请你判定△ACE和四边形ABDE的形状.(2)设AB=CD=a,BC=DE=b,AC=CE=c,你能用两种不同的方式求四边形ABDE的面积吗？（3）由（2）你能取得什么结论？图13.在两千连年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你明白它的意思吗？它的意思是说：若是一个直角三角形的两条直角边长别离为3和4个长度单位，那么它的斜边的长必然是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有如此的关系：32+42=52.（1）请你动动脑筋，可否验证那个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观看以下图形，直角三角形ABC的两条直角边的长别离为AC=7，BC=4，请你研究那个直角三角形的斜边AB的长的平方是不是等于42+72？4.阅读材料勾股定理是初等几何中一个大体定理，那个定理有着十分悠长的历史，几乎所有文明古国对此定理都有所研究.勾股定理在中国又称“商高定理”，在外国又称“毕达哥拉斯”定理.我国最先的一部数学高作《周髀算经》中记载着商高答周公问的一段话：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五”.意思是说：“当直角三角形的两条直角边的长别离为3和4时，那么斜边的长等于5.”以后人们就简单地把那个事实说成：“勾三股四弦五”，由于勾股定理的内容最先见于商高的话中，因这人们又把那个定理称为商高定理.毕达哥拉斯是古希腊数学家，公元前五世纪人，比商高晚诞生五百连年，听说当他在公元前550年左右发觉那个定理时，宰杀了百头牛羊以谢神的默示.后来另一名希腊数学家欧几里德在编写《几何本来》时，把那个定理叫做毕达哥拉斯定理.古今中外的数学家们独具匠心用了许多方式证明了勾股定理，不论是哪一种证法，它所包括的思想方式活着界数学史上都有独特的地位和奉献.参考答案：1.(1)10 cm (2)AB 2+AC 2=BC 2,另参考讲义方式 (3)AB 2+AC 2=BC 2，探讨方式同(2)2.(1)∵△ABC ≌△CDE ,∴∠ACB =∠DEC而∠DCE +∠DEC =90°,∴∠ACB +∠DCE =90°∴∠ACE =90°,∴△ACE 为直角三角形又∵∠ABC －90°=∠EDC∴四边形ABDE 为直角梯形(2)方式一：S 梯形=21(AB +DE )·(BC +CD ) =21(a +b )(a +b )= 21(a +b )2 方式二：S 梯形=S △ABC +S △ECD +S △ACE=21ab +21ab +21c ·c =ab +21c 2 (3)∵S 梯形相等，∴21(a +b )2=ab +21c 2 ∴a 2+b 2=c 23. （1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.别离以那个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC =4，BC =3,S 正方形ABED =S 正方形FCGH －4S Rt △ABC=(3+4)2－4×21×3×4=72－24=25即AB 2=25，又AC =4，BC =3， AC 2+BC 2=42+32=25 ∴AB 2=AC 2+BC 2（2）如图（图见题干中图） S 正方形ABED =S 正方形KLCJ －4S Rt △ABC =(4+7)2－4×21×4×7=121－56=65=42+72。
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2.1 勾股定理[趣题导学]动手做一做：剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a 、b 、c ，如图2.1-1①.然后进行拼图：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图2.1-1②③的形状，观察图2.1-1②③，图 2.1-1②中两个小正方形的面积之和与图 2.1-2③中小正方形的面积相等吗？你可以用怎样的关系式图 2.1-1表示？解答：容易发现图2.1-1②中两个小正方形的面积之和与图2.1-2③中小正方形的面积相等.可以用关系式222a b c +=表示，从中也说明了直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，这也就是勾股定理. [双基锤炼] 一、选择题1、一直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，ac b图① ②则斜边长为（ ）A. 4B. 8C. 10D. 122、CD 为直角三角形ABC 斜边AB 上的高，若AB = 10，AC ：BC =3：4，则这个直角三角形的面积为（ ） A. 6 B. 8 C.12 D.243、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m ，当它把绳子的下端拉开5 m 发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ） A. 8m B. 10m C. 12m D. 14m4、一等腰三角形底边长为10cm ，腰长为13cm ，则腰上的高为 ( )A. 12cmB. cm 1360C.cm 13120D.cm 5135、如图2.1-2，一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程( 取3)是 ( )A.20cm;B.10cm;C.14cm;D.无法确定. 二、填空题AB图6、已知在Rt △ABC 中，∠C=90°.①若a=3，b=4，则c=________； ②若a=40，b=9，则c=________；③若a=6，c=10，则b=_______； ④若c=25，b=15，则a=________.7、在Rt ⊿ABC 中，斜边AB = 2，则______222=++CA BC AB .8、直角三角形的周长为12cm ，斜边的长为 5 cm ，则其面积为 .9、如果一个直角三角形的一条直角边是另一条直角边的2倍，斜边长是 5 cm ，那么这个直角三角形的面积是 .10、图2.1-3中所示的线段的长度或正方形的面积为多少.(注：下列各图中的三角形均为直角三角形)答：A=________，y=________，B=________.178By361564289A图2.1-3三、解答题11、如图2.1-4，一根旗杆在离地面5m 处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m 处，旗杆折断之前有多高？12m5mCB A图2.1-412、如图2.1-5求下列阴影部分的面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆.（1） （2）（3）图2.1-5[能力提升] 一、综合渗透1、如图 2.1-6，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm ，BC=10cm ，将△ABC 折叠，点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为（ ）A B C D (252)152254154EDBCA图 2.1-6 图2.1-72、如图2.1-7，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=6cm ，AC=8cm ，DC BAD 是斜边AB 的中点，则CD=_______.3、△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c 、若90C ∠=︒，如图l ，根据勾股定理，则222a b c +=.若△ABC 不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22a b +与2c 的关系，并证明你的结论、图 1CB A图 2BA图 3CBA图2.1-8二、应用创新1、如图2.1-9，折叠矩形纸片ABCD ，得折痕BD ，再折叠AD 使点A 与点F 重合，折痕为DG ，若AB=4，BC=3，求AG 的长.G FD CBA图2.1-92、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？3、如图2.1-10，从电线杆离地面6 m处向地面拉一条长10 m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远?4、假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图2.1-11，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A 到宝藏埋藏点B 的距离是多少千米？三、探究发散图82361AB图1、小明的妈妈买了一部29寸（74厘米）的电视机，小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，她觉得一定是售货员搞错了，你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？2、为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图2.1-12所示AB 所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C 和点D 处，CA ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B ，已知AB = 25km ，CA = 15 km ，DB = 10km ，试问：图书室E 应该建在距点A 多少km 处，才能使它到两所学校的距离相等？3、小明的叔叔家承包了一个矩形养鱼池，已知其面积是482m ，其对角线长为10m ，为建起栅栏，要计算这个矩形养鱼池的周长，你能帮小明算一算吗？C BDEAx图1S 2S3S4、如图2.1-13，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，边长分别a 、b 、c （c 表示斜边）然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆，三个圆的面积分别记为S 1、S 2、S 3，试探索三个圆的面积之间的关系.图2.1-13 [链接中考]1、如图2.1-14，以Rt△ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且S 1=4，S 2=8，则AB 的长为__ __. 2、如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm 和5cm ，那么这个直角三角形的面积是 cm 2、3、如图2.1-15，由Rt △ABC 的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm，则正方形M与正方形N的面积之和为2cm.参考答案[双基锤炼]一、选择题1、C2、 D3、 C4、B5、 B二、填空题6、①5；②41；③8；④207、 88、26cm 9、25cm 10、15，39，15三、解答题11、解：∵222512AB+=，∴AB=13m，图∴旗杆折断之前高度为5+13=18m. 12、()()()222125,251,38cm cm cm π [能力提升] 一、综合渗透 1、C 2、5cm3、解：若△ABC 是锐角三角形，则有222a b c +>若△ABC 是钝角三角形，C ∠为钝角，则有222a b c +<. 当△ABC 是锐角三角形时，bacB证明：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，设CD 为x ，则有BD ＝a x - 根据勾股定理，得22222()b x AD c a x -==-- 即222222b x c a ax x -=-+-.∴2222a b c ax +=+∵0,0a x >>， ∴20ax >. ∴222a b c +>. 当△ABC 是钝角三角形时，证明：过B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于D.设CD 为x，则有222BD a x =- 根据勾股定理，得2222()b x a x c ++-=、即2222a b bx c ++=.∵0,0b x >>， ∴20bx >， ∴222a b c +<. 二、应用创新1、解：设AG=x ，在矩形ABCD 中，BC=AD=3；在Rt△A DB 中，222BD AD AB =+，即2223425.BD =+=∴BD=5.又∵Rt△DGA ≌Rt△DGF ，∴DF=AD=3，∠GFD=∠A=90°. GF=AG=x ，则4GB x =-，BF=BD-DF=5-3=2.在Rt△GFB 中，222GB BF FG =+，即()22242, 1.5.x x x -=+∴= 因此AG 的长为1.5.2、解：根据题意，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5000米，AC =4800米.由勾股定理，得AB 2=AC 2+BC 2.即50002=BC 2+48002， 所以BC =1400米.飞机飞行1400米用了10秒， 那么它1小时飞行的距离为 1400×6×60=504000米=504千米，48005000CBA第2题cabBC即飞机飞行的速度为504千米/时.3、这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部8m.4、10千米三、探究发散1、解：小明的想法是错误的.若设电视机屏幕对角线的长为x，由勾股定理容易知道，2222x x x+=∴=∴≈也就是5846,5480,74.说，这个电视机的尺寸符合要求.2、解：设,=则25AE x=-.BE x由勾股定理可知222222=+=+，,CE AC AE DE BE DB∵CE=DE，∴2222.+=+AC AE BE DB∴()2222+=-+，解之得10.x x152510x=∴图书室E应该建在距点A10km处.3、这个矩形养鱼池的周长为28m4、S1+S2=S3[链接中考]1、3、30 3、64。