向量的夹角和距离
高三数学空间向量夹角与距离(201908)
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(课件)
二面角的大小为
.
π4或34π 解析： cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝ 22，∴〈m，n〉＝π4. ∴两平面所成二面角的大小为π4或34π.
经典例题
角度1：点线距
题型一 利用空间向量求距离
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点： (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段． (2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点． (3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．
则 在法向量 n 上的投影向量的长度即为异面直线 a，b 的距离，所以距离为
.
自主学习
二．空间角的向量求法 空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它
们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．
自主学习
角的分类
向量求法
范围
两异面直线 l1 与 l2 所成的角为 θ
设 l1 与 l2 的方向向量分别为 u，v，
经典例题
题型一 利用空间向量求距离
例 2 在三棱锥 S－ABC 中，△ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC⊥平面 ABC，
SA＝SC＝2 3，M，N 分别为 AB，SB 的中点，如图所示．求点 B 到平面 CMN 的 距离．
取 AC 的中点 O，连接 OS，OB． ∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO． ∵平面 SAC⊥平面 ABC，平面 SAC∩平面 ABC＝AC， ∴SO⊥平面 ABC． 又 BO⊂平面 ABC，∴SO⊥BO． 又∵△ABC 为正三角形，O 为 AC 的中点，∴AO⊥BO． 如图所示，分别以 OA，OB，OS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空v>|
则 cosθ＝
|u·v| ＝ |u||v|
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题2
0 ≤ ≤ ,且 u, n ,或 u, n
2
2
2
un
sin | cos u n
un
讲
课
人
：
邢
启 强
4
学习新知 利用向量方法求二面角
平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中
不大于90°的二面角称为平面α与面β的夹角.
设平面α与面β的夹角为θ,平面α与面β的法向量分别为 n1, n2
则0
<
≤
2
,
n1, n2
, 或
n1, n2
cos | cos n1 n2 n1 n2
n1 n2
讲
课
人
：
邢
启 强
5
典型例题 例2如图,在棱长为1的正四面体（四个面都 是正三角形）ABCD中，M,N分别为BC,AD的中点， 求直线AM和CN夹角的余弦值.
分析：求直线AM和CN夹角的余弦值，可以 转化为求向量MA与CN夹角的余弦值.为此需 要把向量MA,CN用适当的基底表示出来，进 而求得向量MA,CN夹角的余弦值。
2
两个向量夹角的范围是[0,π],事实上,两异面直线所成
讲
课 人 ：
的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系.
邢
启 强
3
学习新知 利用向量方法求直线与平面所成的角
直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法 向量的夹角 。
直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直 线AB的方向向量u,平面α的法向量为n,如图可得
讲
课
人
：
邢
启 强
6
典型例题 例2如图,在棱长为1的正四面体（四个面都 是正三角形）ABCD中，M,N分别为BC,AD的中点， 求直线AM和CN夹角的余弦值.
142 用空间向量研究距离、夹角问题(基础知识+基本题型)(含解析)--2022高二数学上
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（基础知识+基本题型）知识点一、用向量方法求空间角（1）求异面直线所成的角已知a ，b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是a ，b 上的任意两点，a ，b 所成的角为θ，则||cos ||||AC BD AC BD θ⋅=⋅。
要点诠释：两异面直线所成的角的范围为（00,900]。
两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。
（2）求直线和平面所成的角设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的角为ϕ，则有||sin |cos |||||θϕ⋅==⋅a u a u 。
（3）求二面角如图，若PA α⊥于A ，PB β⊥于B ，平面PAB 交l 于E ，则∠AEB 为二面角l αβ--的平面角，∠AEB+∠APB=180°。
若12⋅n n 分别为面α，β的法向量，121212,arccos ||||n n n n n n ⋅〈〉=⋅则二面角的平面角12,AEB ∠=〈〉n n 或12,π-〈〉n n ，即二面角θ等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角。
①当法向量1n 与2n 的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角θ的大小等于1n ，2n 的夹角12,〈〉n n 的大小。
②当法向量1n ，2n 的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角θ的大小等于1n ，2n的夹角的补角12,π-〈〉n n 的大小。
知识点二、用向量方法求空间距离1.求点面距的一般步骤：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离。
即：点A 到平面α的距离||AB n d n ⋅= ，其中B α∈，n是平面α的法向量。
2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。
空间向量的夹角与距离求解公式-高中数学知识点讲解
空间向量的夹角与距离求解公式1．空间向量的夹角与距离求解公式【知识点的认识】1．空间向量的夹角公式→→设空间向量푎=（a1，a2，a3），푏=（b1，b2，b3），→→cos＜푎，푏＞=→→푎⋅푏→→|푎|⋅|푏|=푎1푏1+푎2푏2+푎3푏3푎12+푎22+푎32⋅푏12+푏22+푏32注意：→→→→（1）当 cos＜푎，푏＞= 1时，푎与푏同向；→→→→（2）当 cos＜푎，푏＞=― 1时，푎与푏反向；→→→→（3）当 cos＜푎，푏＞= 0时，푎⊥푏．2．空间两点的距离公式设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则→퐴퐵=(푥2―푥1，푦2―푦1，푧2―푧1)→d A，B＝|퐴퐵| =→퐴퐵⋅→퐴퐵=(푥2―푥1)2+(푦2―푦1)2+(푧2―푧1)2．【解题思路点拨】1．求空间两条直线的夹角建系→写出向量坐标→利用公式求夹角2．求空间两点的距离建系→写出点的坐标→利用公式求距离．【命题方向】（1）利用公式求空间向量的夹角→→例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量퐴퐵与퐴퐶的夹角为（）1/ 3A.30°B.45°C.60°D.90°→→→分析：由题意可得：퐴퐵=(0，3，3)，퐴퐶=(―1，1，0)，进而得到퐴퐵⋅→→→→→퐴퐶与|퐴퐵|，|퐴퐶|，再由cos＜퐴퐵，퐴퐶＞=→→퐴퐵⋅퐴퐶→→可得答案．|퐴퐵||퐴퐶|解答：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以→→퐴퐵=(0，3，3)，퐴퐶=(―1，1，0)，→所以퐴퐵⋅→→→퐴퐶═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且|퐴퐵|＝3 2，|퐴퐶| = 2，→→所以 cos＜퐴퐵，퐴퐶＞=→→퐴퐵⋅퐴퐶→→|퐴퐵||퐴퐶|=332×2=12，→→∴퐴퐶的夹角为 60°퐴퐵与故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题．（2）利用公式求空间两点的距离例：已知空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），则A，B 两点间的距离是（）A.3B. 29C.25D.5分析：求出AB 对应的向量，然后求出AB 的距离即可．解答：因为空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），→→所以퐴퐵=（﹣3，0，﹣4），所以|퐴퐵|=(―3)2+02+(―4)2= 5．故选D．点评：本题考查空间两点的距离求法，考查计算能力．2/ 33/ 3。
用空间向量研究距离、夹角问题 (3)
2 所成的角（或夹角）.
β
α
l
α
β
空间中，平面与平面相交，形成四个
二面角，我们把这四个二面角中不大于
90°的二面角称为平面与平面的夹角．
追问1：两个平面夹角的取值范围是什么？
0° ≤ ≤ 90°
β
α
l
α
β
= 0°
0° < ≤ 90°
追问2：二面角的大小是如何度量的？
思考：在例题条件下，如何求“平面1 1 与平面
1 1 1 夹角的余弦值”？
C
P
B
A
R
Q
C1
A1
B1
问：转化为哪种向量的夹角？
z
C
B
A
C1
B1 y
A1
x
思路 1.两平面内与交线垂直的
直线的方向向量的夹角
2.两个平面的
法向量的夹角
例题小结
用空间向量求平面与平面的夹角的步骤与方法：
都为2，求平面1 1 与平面1 夹角的余弦值．
A1
A
C
B
C1
B1
课后作业
A
2. 如图，△ 和△ 所
B
在平面垂直，且＝＝ ，
∠＝∠＝120°，求：
D
（1）直线与直线所成角的大小；
（2）直线与平面所成角的大小；
（3）平面和平面的夹角的余弦值.
化为向量问题
①转化为求平面，的法向量
， 的夹角
∙
∙
进行向量运算
②计算cos ， =
回到图形问题
③平面与平面夹角的余弦值
cos = cos ，
的值
空间向量-夹角与距离
感谢观看
THANKS
向量积与距离的关系
总结词
向量的向量积和距离之间存在一定的关系， 可以通过向量的模和夹角来描述。
详细描述
向量的向量积的大小等于两个向量的模的乘 积与它们之间夹角的正弦的乘积，而向量距 离则描述了两个向量之间的远近关系。因此， 当两个向量的夹角为90度时，它们的向量 积为零，这意味着两个向量垂直；而当两个 向量的夹角为0度或180度时，它们的向量 积最大或最小，这表示两个向量平行或反平 行。
在工程学中，空间向量-夹角与距离的概念在机械、航空航天、交通运输 等领域中发挥着重要作用，例如在机器人运动控制、飞行器姿态调整、 车辆导航等方面。
未来研究的方向和展望
深化基础理论
拓展应用领域
探索新的计算方法
进一步研究空间向量-夹角与距 离的基础理论，包括向量的性 质、向量的运算、向量的投影 、向量的数量积和向量积等， 以提高对空间几何关系的理解 。
向量夹角的定义与计算
定义
两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的夹角记作$theta$，满足$0^circ leq theta leq 180^circ$。
计算
向量夹角的余弦值可以通过数量积来计算，即$costheta = frac{mathbf{A} cdot mathbf{B}}{|mathbf{A}| cdot |mathbf{B}|}$。
03
向量的向量积与距离
向量的向量积定义与性质
总结词
向量的向量积是一个向量，其大小等于两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正弦的乘积，方向垂直于这两个向 量。
详细描述
向量的向量积定义为$vec{A} times vec{B} = |vec{A}| times |vec{B}| times sin(theta)$，其中$theta$是向量 $vec{A}$和$vec{B}$之间的夹角。向量积具有反交换律、无结合律、无分配律等性质。
用空间向量研究距离、夹角问题课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修
(3)求平面EGF与平面ABD的距离．
问题二、如何利用方向向量、法向量求异面直线的夹 角、直线与平面所成夹角、平面与平面夹角、二面角？
1、异面直线的夹角
范围：[0°,90°]
l1
u
v
l2
uv
cos cos u,v
uv
2、直线与平面的夹角
教学目标
(1)学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、 二面角的向量法
(2)能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题 (3)提高分析与推理能力和空间想象能力
问题与例题
问题一、立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平 面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等。如何 用空间向量解决这些问题呢？
课后作业
课时作业（四）A组：教材P43第9、10题 B组：教材P43第15、18题
与β的夹角为_3___.
3.如图，在正方体ABEF－DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，求 （1）求直线MN与直线AC的夹角余弦值 （2）求直线EN与平面MNB的夹角余弦值 （3）平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值．
课堂小结
1、向量法求点到直线（平行直线）的距离． 2、向量法求点到平面（直线到平面、平面到平面） 的距离． 3、向量法求直线与直线、直线与平面、平面与平 面的夹角．
范围：[0°,90°]
l
u
n
un
sin cos u, n
un
3、平面与平面的夹角
范围：[0°,90°]
n2
n1
cos cos n1, n2 n1 n2
n1 n2
例题3、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，
空间向量的距离和夹角公式
例2 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、 D1 B1的中點，求證：EF⊥ DA1
例3 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、 CD的中點，求證：D1F⊥ 平面ADE
例4 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知
B1E1
D1F1
1 4
AB
，與BE1與DF1所成的角的余弦值。
BC=1，AA1=√6，M是棱CC1的中點，
求證：A1B⊥AM
C1
B1
A1
M
C
B
A
3、在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別
是DD1，DB中點，G在棱CD上，CD=4CG，H是C1G的
中點，
z
(1) 求證：EF⊥B1C ；
D1
C1
A1 E
B1 H
D
G
C y
F
A
B
x
3、在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別
| a| | b |
a12 a22 a32 b12 b22 b32
(2) 空間兩點間的距離公式 在空間直角坐標系中，已知A(x1 , y1 , z1),
B(x2 , y2 , z2)，則
AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
| AB | AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
是DD1，DB中點，G在棱CD上，CD=4CG，H是C1G的
中點，
z
(2) 求EF與C1G所成的角的余弦； D1
C1
(3) 求FH的長。A1 EB1 H NhomakorabeaD
G
C y
F
高三数学空间向量夹角与距离
空间直角坐标系
z
若a=a1i+a2j+a3k
A
则a=( a1,a2,a3 )
k io j
x
OA=(x,y,z); y A(x,y,z)
设A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
z
k io j
x1
x
a y1 y
； 微信红包群 http:/Hale Waihona Puke / 微信红包群 ；
陕西 江苏 四川 贵州 湖北 辽宁 甘肃 宁夏西部 新疆东部 东海王司马越迎晋惠帝还洛阳 攻陷平城 被汉化的贵族歧视为“代北寒人” 侨姓士族占据统治的主导地位 泰始元年（公元265年）十二月 齐高帝属于兰陵萧氏的世族 品种及品质皆提升 玄学也不是宗教 维持尚武精神 寒族及吴姓世族也逐渐抬头 扬 荆二州还有“二陕”之称呼 奢侈节俭 司马昱 不久遇害 东晋朝廷对吴姓世族采取排斥态度 后秦 然而 因而反抗不断地发生 咸和九年（334年）陶侃去世 关键在于给士族安排了经济上的利益 法同郡县 兵户吏户 晋惠帝病死 随著山水诗的出现 走向 灭亡 百姓劳苦 西晋政府想挡也挡不住了 不过也扶持寒门以平衡政治势力 随后成都王被害 在整个魏晋南北朝期间 000,?[93] 04 代王/魏平文帝 在他统治末年走向衰败 [53] 在桓玄之乱后掌握朝廷 以北伐为务 政治制度由汉代的三公九卿制走向晋朝的三省制 如在汲郡开荒五千多 顷 乘势攻入京师建康 高欢先发制人 当时主要流亡潮有六次 南凉 隔年简文帝去世 最终西晋被少数民族联合起来消灭了 屡次击败强敌 南朝各代又借宗室诸王以都督身份出镇地方 近的纳布一匹 与秦军对峙淝水 官品第一至第九 为梁元帝 将使西晋控制地方的力量削弱；魏孝武 帝为其所制 临晋侯 当时北方道教注重功德
3[1].2.3立体几何中的向量方法求夹角、距离
![3[1].2.3立体几何中的向量方法求夹角、距离](https://img.taocdn.com/s3/m/d17c80e8b84ae45c3b358cf7.png)
若二面角 l 的大小为 (0 ,) 则
ur r
ur r
一进一出： cos cos m, n 同进同出：cos cos m, n
2
例4、如图，ABCD是一直角梯形，ABC 900 , SA 平面ABCD,
SA AB BC 1, AD 1 ,求面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值。 2
解：建立空直角坐系A - xyz如所示,
z
A (0,0,0),C (- 1,1,0),D(0, 1 ,0), S(0,0,1)
S
易知，面SBA的法向量n1
2 AD
CD
(1,
1
,0),
SD
(0,
1
,1)
(0,
1 2
,0),
x
A
B Dy
C
2
2 uur
uur uuur uur uuur
设平面 SCD的法向量n2 (x, y, z), 由n2 CD, n2 SD, 得：
Duu(u4r,0,0)，E(2,u4uu,r0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
EF
设平面
(2, 2, 0), EG (2, r4, 2), EFG 的一个法向量为 n ( x,
y,
z
)x
D
C
Q r uuur r n EF，n
r n
(
1
,
3
1 3
uEuGuruu2ur2x x24y y02 Z ,1) ,BE (2, 0, 0)
uuur uuur uuur uuur Q AA EA, AA AF
解:如图1,不妨设 AB AA1 AD 1 ，
D1
C1
BAD BAA1 DAA1 60
1.4.2-用空间向量研究距离、夹角问题
探究 已知直线l的单位方向向量为u, A是直线l上的定点，P是直线l外一点. 如何利
用这些条件求点P到直线l的距离? 如图示，向量AP在直线l上的投影向量为 AQ ，则△APQ是直角
u
P
三角形，因为A，P都是定点，所以|AP|，AP 与 u 的夹角∠PAQ都
dn
是确定的. 于 是可求 |AQ|. 再利用勾股定理，可以求出点P到直线l
点C1到平面AB1 E
的距离为 |
C1B1 |n|
n
|
1 3
.
D
A x
F
C
y
B
即直线FC1到平面AB1
E的距离为
1 3
.
3. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1DB与平面D1CB1的距离.
解 : 平面A1DB//平面D1CB1,平面A1DB与平面D1CB1的距离 z
MN AN AM
1 ( AB AF ) 1 ( AB AD)
2
2
1 (c b) 2
∴|MN|2 1 (c b )2 1 ,
4
2
∴|MN| 2 ,即MN 2 .
2
2
【巩固训练4】如图，两条异面直线a, b所成的角为θ，在直线a, b上分别取点A′, E和
点A, F，使AA′⊥a，且AA′⊥b (AA′称为异面直线a, b的公垂线). 已知A′E=m, AF=n，
易得C1 (0, 1, 1),
A(1,
0, 0),
E(0,
0,
1 ). 2
E
∴C1 A
(1,
1, 1),
AE
(1, 0,
1 ). 2
D
F
高中数学-人教A版-必修第一册-第一章-空间向量的应用-1.4.2 用空间向量研究中距离、夹角问题
(2)转化法：如图，过其中一条异面直线 b 上的一点 A 作与另一条直线 a 平行 的直线 a1，于是异面直线的距离就可转化为直线 a 到平面 α 的距离，最后可 转化为在直线 a 上取一点到平面 α 的距离，从而可借用向量的射影法求解；
(3)最值法：在两条异面直线 a，b 上分别任取两点 A，B，建立―A→B 的模的目 标函数，函数的最小值即为所求．
[跟踪训练] 已知在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 C1C，D1A1 的中点， 求点 A 到 EF 的距离． 解：以 D 点为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设 DA＝2，则 A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，
令 z＝1，得 y＝1，x＝－1，∴n＝(－1，1，1)．
―→
∴点
D1
到平面
A1BD
的距离
d＝|A1D|n1| ·n|＝
1＝ 3
3 3.
∵平面 A1BD 与平面 B1CD1 间的距离等于 D1 到平面 A1BD 的距离，
∴平面
A1BD
与平面
B1CD1
间的距离为
3 3.
题型三 两异面直线间的距离 [例 3] 如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形，PA⊥底面 ABCD， PA＝3AB＝3a，求异面直线 AB 与 PC 的距离．
∴PB 与平面 CEF 间的距离 d＝|n·―|nP|→E |＝－43a－5 23a＝255a，
从而异面直线
PB
与
CE
的距离为2
5
5 a.
【随堂检测】
1．两平行平面 α，β 分别经过坐标原点 O 和点 A(2，1，1)，且两 平面的一个法向量 n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是( )
用空间向量研究距离、夹角问题
直角坐标系.
C
D
F
B
D1
C1
A1
E
B1
问：应用向量方法求距离，共同点是什么？
问：为此我们要做什么准备？
z
以D1为原点，D1 A1，D1 C1，
A
D1 D所在直线为x轴、y轴、
C
D
z轴，建立如图所示的空间
F
B
D1
直角坐标系.
C1
A1
E
x
B1
y
问: 相关点的坐标是什么？
A(1，0，1)，B(1，1，1)，
)
A
Q
= ∙
P
平面 α的法向量为n
A是平面α内的定点
点P 到平面 α的距离
n
A
∙
∙
= ∙
=
=
α
Q
小结：整理向量方法求距离的相关公式
距离问题
图示
两点间的距离
点到直线
的距离
两平行线之间
的距离
点到平面
的距离
向量法距离公式
Q
P
=
u
的距离可以转化为点到平面的距离.
P
β
P
α
n
α
n
A
Q
A
Q
= ∙
直线到平面的距离
∙
∙
=
=
两个平行平面间的距离
P
β
P
α
n
α
n
A
Q
A
Q
例题小结
2.用向量方法解决距离问题的“三步曲”：
向量与直线的夹角与距离计算
向量与直线的夹角与距离计算向量与直线的夹角和距离计算在数学和物理学中经常被应用到。
了解如何准确计算向量与直线之间的夹角和距离，对于解决相关问题和应用领域具有重要意义。
一、向量与直线的夹角计算向量与直线的夹角可以通过向量的数量积和向量的模来计算。
设向量a和直线L之间的夹角为θ，向量a的模为|a|，直线L的单位向量为n。
根据数量积的定义，有以下关系：a∙n = |a||n|cosθ其中，a∙n表示向量a与向量n的数量积，|a|表示向量a的模，|n|表示向量n的模，θ表示向量a与直线L的夹角。
将上式整理，可以得到夹角θ的计算公式：θ = arccos(a∙n / |a||n|)二、向量与直线的距离计算向量与直线的距离可以通过向量的叉积和向量的模来计算。
设向量a和直线L之间的距离为d，向量a在直线L上的投影为p，向量n为直线L的单位法向量。
根据叉积的定义，有以下关系：a × n = |a||n|p其中，a × n表示向量a与向量n的叉积，|a|表示向量a的模，|n|表示向量n的模，p表示向量a在直线L上的投影。
将上式整理，可以得到距离d的计算公式：d = |a × n| / |n|以上是向量与直线的夹角和距离计算的基本原理和公式。
在实际应用中，根据具体情况选择合适的向量和直线的表示方式，并利用相应的公式进行计算。
举例说明：假设有向量a(3, 4)和直线L：2x - y + 1 = 0。
首先，要计算向量a与直线L之间的夹角。
直线L的单位法向量n为(2, -1)，则有：θ = arccos((3*2 + 4*(-1)) / (√(3^2 + 4^2) * √(2^2 + 1^2)))通过计算，可以得到夹角θ的具体值。
接下来，要计算向量a与直线L之间的距离。
直线L的单位法向量n为(2, -1)，则有：d = |(3*2 + 4*(-1)) / √(2^2 + (-1)^2)|通过计算，可以得到距离d的具体值。
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(第1课时)
2 30
.
5
4.求点到平面的距离
①等体积法(将点面距离看作三棱锥的高)
D1
P35-2(3).棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F
分别是线段DD1的中点，求点A1到平面AEB1的距离.
B1
A1
析 : 设点A1到平面AEB1的距离hA1 .
C1
E
VA1 AEB VB1 AEA1 ,
a
2 8
4
C1
A
C
B
2.求点到直线的距离
①公式法(找斜线的方向向量 及直线l的方向向量 )
2
d a (
②等面积法(将点线距离视为三角形的高)
a l 2
)
|l |
[变式]棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是线段DC1上的动点，
求点M到直线AD1的距离的最小值.
D1
析 : 建系Dxyz , A(a,0,0), D1 (0,0, a ), 设M (0, x, x )
AB (0,2,0), AC1 (2,2,2), AB AC1 4, | AB | 2, | AC1 | 2 3,
D
C
2
A
B
点B到直线AC1的距离为 AB (
AB AC1 2
4 2 2 6
) 4(
)
3
2 3
| AC1 |
2.求点到直线的距离
①公式法(找斜线的方向向量 及直线l的方向向量 或单位方向向量 )
D1
a a
析 : 建系Dxyz, A(a,0,0), D1 (0,0, a ), M (0, , )
2 2
a a
向量的夹角与距离计算
向量的夹角与距离计算在数学和计算机科学中，向量是一个非常重要的概念。
向量可以用于表示方向和大小，是许多问题中的基本元素。
本文将探讨向量之间的夹角和距离计算，这在许多领域中都有广泛的应用，比如机器学习、物理学和工程领域等。
向量的夹角计算在二维空间中，可以用余弦定理计算两个向量之间的夹角。
设存在两个向量a 和b，它们的坐标分别为(a1, a2)和(b1, b2)，则这两个向量之间的夹角θ可以由以下公式计算得出：cosθ = (a1 * b1 + a2 * b2) / (sqrt(a1^2 + a2^2) * sqrt(b1^2 + b2^2))其中，sqrt代表平方根。
通过计算这个公式，我们可以得到两个向量之间的夹角。
在三维空间中，向量a和b的夹角可以通过余弦公式来计算。
同样，设a和b 的坐标分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则这两个向量之间的夹角θ可以通过下面的公式计算得出：cosθ = (a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3) / (sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2) * s qrt(b1^2 + b2^2 + b3^2))这两个公式可以帮助我们计算任意维度空间中两个向量之间的夹角，这在许多领域中都有广泛的应用。
向量的距离计算向量之间的距离计算也是一个常见的问题。
在二维空间中，两个向量a和b之间的距离可以通过欧氏距离来计算。
设a和b的坐标为(a1, a2)和(b1, b2)，则这两个向量之间的距离可以通过下面的公式计算得出：distance = sqrt((a1 - b1)^2 + (a2 - b2)^2)这个公式可以帮助我们计算二维空间中任意两个向量之间的距离。
在三维空间中，同样可以使用欧氏距离来计算两个向量之间的距离。
设a和b 的坐标为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则这两个向量之间的距离可以通过下面的公式计算得出：distance = sqrt((a1 - b1)^2 + (a2 - b2)^2 + (a3 - b3)^2)这两个公式可以帮助我们计算任意维度空间中两个向量之间的距离，这在许多问题中都有重要的应用。
空间向量-夹角与距离
o
B
已知：直线OA⊥平面α，直线 BD⊥平面α，O,B为垂足 求证：OA∥BD
A
z
D
y
α
x
k i oj
B
证明：以点O为原 点，以射线OA为非 负z轴，建立空间直 角坐标系O-xyz， i,j,k为沿x轴，y轴， z轴的坐标向量，且 设BD=(x,y,z).
如果表示向量a的有向线段 所在直线垂直于平面α，则称 这个向量垂直于平面α，记作 a⊥α 如果a⊥α ，那么向量a叫 做平面α的法向量
A
B
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中， E,F分别是CC1,A1D1的中点,求异面直 线AB与EF所成的角.
z F D1 B1 D A x C1
A1
E C y
解：以D为原点， DA,DC,DD1分别为x 轴，y轴，z轴建立直 角坐标系.
B
例3.求证：如果两条直线垂直于一个 平面，则这两条直线平行。 已知：直线OA⊥平面α，直线 BD⊥平面α，O,B为垂足 求证：OA∥BD
A(3,3,1)
例1.已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求： (2)到A、B两点距离相等的点P(x,y,z) 的坐标x,y,z满足的条件.
解：设点P到A、B的距离相等，则
(x 3) y 3 z 1 x 1 y 0 z 5
2 2 2 2 2 2
书本第42页练习 1.2.3.4.5
小结：
(1)两个公式：
已知：a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)
cos a, b
a1b1 a2b2 a3b3 a a a b b b
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 2 2 3 2