高三数学中档题训练(二)
高三数学二轮复习中档题规范练二文
中档题规范练二1.(2016·甘肃兰州诊断)在公差不为零的等差数列{a n}中,a1=1,a2,a4,a8成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)若数列{a n}的前n项和为S n,设b n=,T n=b1+b2+…+b n,求T n.2.(2016·广西桂林、北海、崇左调研)在如图所示的多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AB=CD=1,AC=,AD=DE=2.(1)在线段CE上取一点F,作BF∥平面ACD(只需指出F的位置,不需证明);(2)对(1)中的点F,求三棱锥B FCD的体积.3.(2016山东潍坊二模)为使政府部门与群众的沟通日常化,某城市社区组织“网络在线问政”活动.2015年,该社区每月通过问卷形式进行一次网上问政.2016年初,社区随机抽取了60名居民,对居民上网参政议政意愿进行调查.已知上网参与问政次数与参与人数的频数分参与调查[0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10) [10,12] 问卷次数参与调查8 14 8 14 10 6问卷人数(1)若将参与调查问卷不低于4次的居民称为“积极上网参政居民”,请你根据频数分布表,完成2×2列联表,据此调查是否有99%的把握认为在此社区内“上网参政议政与性别有关”;男女合计积极上网参政居民8不积极上网参政居民合计40求选出的3人为2男1女的概率.4.(2016·安徽安庆二模)在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的单位长度.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ,直线l的参数方程为(t为参数,α为直线的倾斜角).(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点,求角α的大小.5.(2016·甘肃河西五市部分普通高中联考)已知不等式|x+2|+|x-2|<18的解集为A.(1)求集合A;(2)若∀a,b∈A,x∈(0,+∞),不等式a+b<x++m恒成立,求实数m的取值范围.中档题规范练二1.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,则依题意有解得d=1或d=0(舍去),所以a n=a1+(n-1)d=n.(2)由(1)得S n=,所以b n==2(-),所以T n=2[(1-)+(-)+(-)+…+(-)]=2(1-)=.2.解:(1)取CE的中点F,连接BF,BF∥平面ACD(如图).(2)因为AD2=AC2+CD2,所以∠ACD=90°.所以AC⊥CD.因为DE⊥平面ACD,所以AC⊥DE.因为DE∩CD=D,所以AC⊥平面CDE.因为DE⊥平面ACD,AB⊥平面ACD,所以AB∥DE.因为AB⊄平面CED,DE⊂平面CED,所以AB∥平面CED.所以B到平面FCD的距离为AC.又S△FCD=S△ECD=××1×2=,所以=AC·S△FCD=.3.解:(1)由题意知,积极上网参政的有8+14+10+6=38人,不积极上网参政的有8+14=22人,男女合计积极上网参政居民30 8 38不积极上网参政居民10 12 22合计40 20 60所以K2=≈,因为>,所以有99%的把握认为在此社区内“上网参政议政与性别有关”.(2)选取男居民人数为6×=4人,选取女居民人数为6×=2人,记4个男居民分别为A,B,C,D,2个女居民分别为甲、乙,则基本事件有(ABC),(ABD),(AB甲),(AB乙),(ACD),(AC甲),(AC乙),(AD甲),(AD乙),(A甲乙),(BCD),(BC甲),(BC乙),(BD甲),(BD乙),(B甲乙),(CD甲),(CD乙),(C甲乙),(D甲乙),共20种,满足条件的基本事件有12种,所以所求概率为P==.4.解:(1)当α=时,直线l的普通方程为x=-1;当α≠时,直线l的普通方程为y=tan α·(x+1).由ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x.(2)把x=-1+tcos α,y=tsin α代入x2+y2=2x,整理得t2-4tcos α+3=0.由Δ=16cos2α-12=0,得cos2α=,所以cos α=或cos α=-,故直线l的倾斜角α为或.5.解:(1)若|x+2|+|x-2|<18,则或或解得-9<x<9,所以A=(-9,9).(2)因为∀a,b∈A即∀a,b∈(-9,9), 所以a+b∈(-18,18),因为x++m≥2+m,所以(x++m)min=m+4,由题可知,m+4≥18,所以m≥14,所以m的取值范围为[14,+∞).。
2019高考数学中档题训练含详细讲解答案
目录第一套：高考数学中档题精选（1）第二套：高考数学中档题精选（2）第三套：高考数学中档题精选（3）第四套：高考数学中档题训练第五套：不等式专练第六套：高考最新模拟试题一套高考数学中档题精选（1）1. 已知函数f(x)=cos x 2+cos 3x 2+cos 5x 2csc x 2 +cos 23x2 .(1) 求函数f(x)的最小正周期和值域； (2)求函数f(x)的单调递增区间.解：(1) y=sin x 2(cos x 2+cos 3x 2+cos 5x 2)+1+cos3x2=12sinx+12(sin2x-sinx)+12(sin3x-sin2x)+12cos3x+12=12sin3x+12cos3x+12 =22sin(3x+π4)+12∴T=2π3 ,值域y ∈[1-22,1+22]. (2)由2k π-π2 ≤3x+π4 ≤2k π+π2 ,k ∈Z.得:2k π3-π4 ≤x ≤2k π3+π12(k ∈Z). 2. 设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,S n =na n -2n(n-1)(n ∈N)(1)求证数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；(2)是否存在非零常数p 、q 使数列{S npn+q}是等差数列？若存在，试求出p 、q 应满足的关系式，若不存在，请说明理由. 解：（1）当n ≥2时，a n =S n -S n-1=na n -(n-1)a n-1-4(n-1)，即a n -a n-1=4(n ≥2) ∴{a n }为等差数列.∵a 1=1,公差d=4,∴a n =4n-3. （2）若{S n pn+q }是等差数列，则对一切n ∈N ，都有S npn+q＝An+B, 即S n =(An+B)(pn+q),又S n =12(a 1+a n )n =2n 2-n,∴2n 2-n=Apn 2+(Aq+Bp)n+Bq要使上式恒成立，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=012Bq Bp Aq Ap ，∵q ≠0,∴B ＝0，∴p q=-2,即：p+2q=0.3. 已知正三棱锥A-BCD 的边长为a ，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，且AC ⊥DE.（Ⅰ）求此正三棱锥的体积；（Ⅱ）求二面角E-FD-B的正弦值.解：（Ⅰ）作AO⊥平面BCD于O,由正三棱锥的性质可知O为底面中心，连CO,则CO⊥BD,由三垂线定理知AC⊥BD，又AC⊥ED,∴AC⊥平面ABD,∴AC⊥AD, AB⊥AC,AB⊥AD.在Rt△ACD中，由AC2+AD2=2AC2=a2可得：AC=AD=AB=22a .∴V=VB-ACD =13·12·AC·AD·AB=224a3 .（Ⅱ）过E作EG⊥平面BCD于G，过G作GH⊥FD于H，连EH，由三垂线定理知EH⊥FD,即∠EHG为二面角E-FD-B的平面角.∵EG＝12AO 而AO＝VB-ACD13·S△BCD=66a ,∴EG=612a .又∵ED＝AE2+AD2=(24a)2+(22a)2=104a ∵EF∥AC，∴EF⊥DE.∴在Rt△FED中，EH＝EF·EDDF=1512a ∴在Rt△EGH中，sin∠EHG＝EGEH=105*选做题：定义在区间（－1,1）上的函数f(x)满足：①对任意x、y∈（－1,1）都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy);②当x∈（－1,0）时，f(x)>0.（Ⅰ）求证：f(x)为奇函数；（Ⅱ）试解不等式f(x)+f(x-1)>f(12 ).解：（Ⅰ）令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),∴f(0)=0.又令x∈（－1,1），则-x∈（－1,1），而f(x)+f(-x)=f(x-x1-x2)=f(0)=0∴f(-x)=-f(x),即f(x)在（－1,1）上是奇函数.（Ⅱ）令－1<x1<x2<1,则x1-x2<0,1-x1x2>0,于是f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x21-x1x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在定义域ABCDEF OGH上为减函数.从而f(x)+f(x-1)>f(12)等价与不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-<-<-<<-)21()112(111112f x x x f x x.213503*********111210222-<<⇔⎩⎨⎧+-<<⇔⎩⎨⎧+-<-<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-+-<<⇔x x x x x x x x x x x x 高考数学中档题精选（2）1. 已知z 是复数，且arg(z-i)=π4,|z|= 5 .求复数z. 解法1.设复数z-i 的模为r(r>0),则z-i=r(cosπ4 +isin π4), ∴i r z )122(22++=，042,5)122()22(,5||222=-+=++∴=r r r r z 即解得r= 2 ,z=1+2i. 解法2.设z=x+yi,则5)1()0(15)01(145222222=++⇒⎩⎨⎧>+==+⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--==+x x x x y y x y x y tg y x π 解得x=1或－2(舍去)，所以z=1+2i. 解法3.设)sin (cos 5θθi z +=则1sin 5cos 51cos 51sin 54-=⇒=-=θθθθπtg解得：,10103)4cos(,0cos ,1010)4sin(=-∴>=-πθθπθ .21)55255(5554sin )4sin(4cos )4cos(]4)4cos[(cos ,5524sin )4cos(4cos )4sin(]4)4sin[(sin i i z +=+=∴=---=+-==-+-=+-=∴ππθππθππθθππθππθππθθ2. 已知f(x)=sin 2x-2(a-1)sinxcosx+5cos 2x+2-a,若对于任意的实数x 恒有|f(x)|≤6成立，求a 的取值范围.解：f(x)=(1-a)sin2x+2cos2x+5-a=5-2a+a 2 sin(2x+ψ)＋5-a.(ψ为一定角，大小与a 有关).∵x ∈R,∴[f(x)]max =5-a+5-2a+a 2 ,[f(x)]min =5-a-5-2a+a 2 .由|f(x)|≤6,得⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-+≤+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥+---≤+-+-aa a aa a a a a a a a 1125125625562552222 .52915291111)11(25)1(251112222≤≤∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥≤≤-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-+≤+-≤≤-a a a a a a a a a a a 3.斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，顶点A 1在底面的射影O 是△ABC 的中心，异面直线AB 与CC 1所成的角为45°. (1)求证：AA 1⊥平面A 1BC ；(2)求二面角A 1－BC-A 的平面角的正弦值； (3)求这个斜三棱柱的体积.(1)由已知可得A 1-ABC 为正三棱锥，∠A 1AB=45° ∴∠AA 1B=∠AA 1C=90°即AA 1⊥A 1B,AA 1⊥A 1C∴AA 1⊥平面A 1BC(2)连AO 并延长交BC 于D,则AD ⊥BC ，连A 1D,则∠ADA 1为所求的角。
2013—2014学年高三数学(苏教版)考前小练习：中档题训练
高三数学中档题训练一1．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线， 则“α⊥β”是“m ⊥β” 的 ___ ____ 条件．（填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）2．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则满足不等式 f (1)＜f (lg(2x ))的x 的取值范围是 ______ ．3．在△ABC 中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝6，若D 点在斜边BC 上，CD ＝2DB ，则AB →·AD →的值为 ______ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，点M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q 两点．若△PQM 是钝角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是 ________ ．5．对于定义域内的任意实数x ，函数f (x )＝x 2+(a －1)x －2a +22x 2+ax －2a的值恒为正数，则实数a 的取值范围是 _______ ．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －3c 3a＝cos C cos A ． （1）求角A 的值；（2）若角6B π=，BC 边上的中线AM ABC ∆的面积．7．某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm 的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为x cm ，体积为Vcm 3．在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V 的最大值是多少？并求此时x 的值．高三中档题训练二1. 若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(),1m ，则实数m =．2. 已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6AB BC ==，则棱锥O ABCD -的体积为 ．3. 已知锐角A ，B 满足)tan(tan 2B A A +=,则B tan 的最大值为 ．4. 已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相交，则双曲 线C 离心率的取值范围是 ．5. 设函数)102)(36sin(2)(<<-+=x x x f ππ的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数()f x 的图像交于另外两点B 、C .O 是坐标原点，则()OB OC OA +u u u r u u u r u u r g = ．6.已知,(0,)2αβπ∈，且7sin(2)sin 5αβα+=． （1）求证：tan()6tan αββ+=； （2）若tan 3tan αβ=，求α的值．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为32，两个顶点分别为A 1(－2，0)，A 2(2，0)．过点D (1，0)的直线交椭圆于M ，N 两点，直线A 1M 与NA 2的交点为G ．（1）求实数a ，b 的值；（2）当直线MN 的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点P 1，P 2使得△P 1MN 和△P 2MN 的面积为S ，求S 的取值范围；。
高三数学中档题训练
高三数学天天练（20）班级 姓名 日期1、 已知双曲线22221y x a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是双曲线上一点，且PF 1⊥PF 2，P F 1⋅P F 2 =4ab ，则双曲线的离心率是 .2、在周长为16的PMN ∆中，6MN =，则PM PN ⋅的取值范围是 .3、已知函数1()31f x x a =-+．若对x ∀∈Z 都有()(3)f x f ≥，则实数a 的取值范围是 ．4、已知(0,)2πα∈,(,)2πβπ∈,7cos 29β=-,7sin()9αβ+=. (Ⅰ) 求cos β的值； (Ⅱ) 求sin α的值.5、如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA PD AD ==，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点. (Ⅰ) 求证：EF ∥平面PAD ； (Ⅱ) 求证：EF ⊥平面PDC .6、已知等差数列{}n a 满足：158,0a a ==。
数列{}n b 的前n 项和为1*12()2n n S n N -=-∈ （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令2n a n c =，试问：是否存在正整数n ，使不等式1n n n n b c b c +>+成立？若存在，求 出相应n 的值；若不存在，请说明理由。
7、如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的长轴AB 长为4，离心率e =O 为坐标原点，过B 的直线l 与x 轴垂直．P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH x ⊥轴，H 为垂足， 延长HP 到点Q 使得HP PQ =，连结AQ 延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点． （1）求椭圆C 的方程；（2）证明Q 点在以AB 为直径的圆O 上；（3）试判断直线QN 与圆O 的位置关系．1、[7,16) 3、(]1013， 4、解：（Ⅰ）因为(,)2πβπ∈,cos 0β<…………………………2分又27cos 22cos 19ββ=-=-,所以1cos 3β=-……………6分（Ⅱ）根据（Ⅰ），得sin β== 8分而3(,)22ππαβ+∈,且7sin()9αβ+=,所以42cos()αβ+==分故sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ=+-=+-+………………………12分=711()(93933⨯---⨯=…………………………………… 5、证明：（Ⅰ）连结AC ，则F 是AC 的中点，在△CPA 中，EF ∥PA且P A ⊂平面P A D ，E F ⊄平面P A D ，∴E F ∥平面P A D（Ⅱ）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，又CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PA又，所以△PAD 是等腰直角三角形，且2APD π∠=，即PA ⊥PD而C D ∩P D =D ，∴ P A ⊥平面P D C ，又E F ∥P A ，所以E F ⊥平面P D C6、解：（1）设数列{}n a 的公差为d ， 由5114a a d =+，得12d =-，得210n a n =-+．…2分由数列{}n b 的前n 和为()1122n n S n N -*=-∈可知，当1n =时，1112b S ==， 当2n ≥时，212n n n n b S S --=-=， 22n n b -=当1n =时，得112b =， 故数列{}n a 的通项公式为210n a n =-+,{}n b 的通项公式为22n n b -=．………………………6分（2）假设存在正整数n 使不等式1n n n n b c b c +>+成立，即要满足(1)(1)0n n c b -->, 由1025224na n n n c --===，22n nb -=，所以数列{}n c 单调减，数列{}n b 单调增，…………………………8分①当正整数1,2n =时，2210n --≤，所以1n n n n b c b c +>+不成立；……………10分 ②当正整数34n =,时，10,10n n c b ->->，所以1n n n n b c b c +>+成立；………………12分 ③当正整数5n ≥时，10,10n n c b ->-≤， 所以1n n n n b c b c +>+不成立. 综上所述，存在正整数34n =,时，使不等式1n n n n b c b c +>+成立.………………14分7、解：（1）由题设可得24,c a a ==，解得2,a c ==，所以 1b =所以 椭圆C 的方程为2214x y +=． （2）设()00,P x y ，则220014x y +=． 因为 HP PQ =，所以 ()00,2Q x y ．所以2OQ =．所以 Q 点在以O 为圆心，2为半径的的圆上．即Q 点在以AB 为直径的圆O 上． （3）设()00,P x y ()02x ≠±，则()00,2Q x y ，且220014x y +=． 又()2,0A -，所以 直线AQ 的方程为()00222y y x x =++．令2x =，得0082,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭．又()2,0B ，N 为MB 的中点，所以 0042,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭．所以 ()00,2OQ x y = ，000022,2x y NQ x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ ．所以 ()()()()2200000000000000004242222222x x x y x y OQ NQ x x y x x x x x x x -⋅=-+⋅=-+=-++++ ()()0000220x x x x =-+-=．所以 OQ NQ ⊥．所以 直线QN 与圆O 相切．。
高中数学中档题1,4
高三数学中档题训练(一)1、已知向量OA=3i-4j，OB=6i-3j，OC=(5-m)I-(3+m)j，其中i、j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量.①若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；②若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值.2、已知数列{a n}的前n项之和为S n，且S n=a(a n-1)(a≠0，a≠1，n∈N n)(1)求数列{a n}的通项公式；(2)数列{b n}=2n+b(b是常数)，且a1=b1，a2>b2，求a的取值范围.3、如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，△ABC 为正三角形，D 、E 分别是BC 、CA 的中点.(1)证明：平面PBE ⊥平面PAC ； (2)如何在BC 上找一点F ，使AD//平面PEF ？并说明理由； (3)若PA=AB=2，对于(2)中的点F ，求三棱锥B-PEF 的体积.4、某种细菌两小时分裂一次，(每一个细菌分裂成两个，分裂所需的时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y 是研究时间t 的函数，记作y=f(t)(1)写出函数y=f(t)的定义域和值域；(2)在所给坐标系中画出y=f(t)；(0≤t<6)的图象；(3)写出研究进行到n 小时(n ≤0，n ∈Z)时细菌的总数有多少个(用关于n 的式子表示).答案在第9页A B D CFP高三数学中档题训练(二)1、求函数x x x f 4131)(3-=的单调区间，并求f(sinx)的最大值.2、数列{a n }共有k 项(k 为定值)，它的前n 项和S n =2n 2+n(1≤n ≤k ，n ∈N)，现从k 项中抽取一项(不抽首项、末项)，余下的k-1项的平均值是79.(1)求数列{a n }的通项.(2)求出k 的值并指出抽取的第几项.3、若一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，试求所有的满足上述条件的三棱锥的体积.4、某服装公司生产的衬衫，若每件定价80元，则在某市年销售量为8万件. 若该服装公司在该市设立代理商来销售该衬衫，代理商要收取代销费，代销费是销售额的p%(即每销售100元时收取p 元). 为此，该衬衫每件的价格要提高到%180p 元，而每年销售量将减少0.62p 万件.(1)设该衬衫每年销售额为y 元，试写y 与p 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)若代理商对衬衫每年收取的代理费不小于16万元，求p 的取值范围.高三数学中档题训练(三)1、已知：A 、B 是△ABC 的两个内角，j BA i b A m 2sin 252cos ++-=，其中i 、j 为互相垂地的单位向量. 若|m |=423，试求tanA ·tanB 的值.2、如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=AC=4,∠BAC=90°，侧面ABB 1A 1为正方形，D 为正方形ABB 1A 1的中心，E 为BC 的中点.(1)求证：平面DB 1E ⊥平面BCC 1B 1； (2)求异面直线A 1B 与B 1E 所成的角.1A 1C BA C D1B E3、某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为K(K>0)，货款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放货出去.(1)若存款的利率为x ，x ∈(0，0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息(x)；(2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？4、已知函数f(x)=nxx a x a a n 2210a …++++(n ∈N n)，且y=f(x)的图象经过点(1，n 2)，数列{a n }(n ∈N +)为等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为奇函数时，设g(x)=)]()([21x f x f --,是否存在自然数m 和M ，使不等式m<g(21)<M 恒成立，若存在，求出M-m 的最小值；若不存在，说明理由.高三数学中档题训练(四)1、已知函数)R (2sin 3cos 2)(2∈++=a a x x x f ．（1）若x ∈R ，求f （x ）的单调递增区间；（2）若x ∈[0，2π]时，f （x ）的最大值为4，求a 的值，并指出这时x 的值．2、设两个向量1e 、2e ，满足|1e |＝2，|2e |＝1，1e 、2e 的夹角为60°，若向量2172e te +与向量21te e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．3、如图，平面VAD ⊥平面ABCD ，△VAD 是等边三角形，ABCD 是矩形，AB ∶AD ＝2∶1，F 是AB 的中点．（1）求VC 与平面ABCD 所成的角；（2）求二面角V -FC -B 的度数；（3）当V 到平面ABCD 的距离是3时，求B 到平面VFC 的距离．4、已知数列{n a }中531=a ，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），数列}{n b ，满足11-=n n a b（1）求证数列{n b }是等差数列；（2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由； （3）记++=21b b S n …n b +，求1)1(+-n nS b n高三数学中档题训练(一)答案1、①当m ≠21时，A 、B 、C 三点能构成三角形； ②当m=47时，三角形ABC 为直角三角形，且∠A=90°.2、(1)n n a a a )1(-= (2))2,1()1,21(⋃3、(1) ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BE又∵△ABC 是正三角形，且E 为AC 的中点，∴BE ⊥CA又PA A CA =⋂，∴BE ⊥平面PAC ∵BE ⊂平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面PAC. (2)取CD 的中点F ，则点F 即为所求. ∵E 、F 分别为CA 、CD 的中点，∴EF//AD 又EF ⊂平面PEF ，AD ⊄平面PEF ，∴AD//平面PEF. (3)43 4、 (1)函数y=f(t)的定义域为[0，+∞)；值域为{y|y=2n，n ∈N *} (2)(3)y=⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅-为奇数时当为偶数当n n n,22n ,22212 高三数学中档题训练(二)答案1、f(sinx)有最大值121. 2、(1)a n =4n-1(1≤n ≤k) (2)抽取的是第20项. 3、1 2 3 4 5 6x12 3 4 5 6 78y4、解：(1))31400p (0 )62.08(%180<<--=p p y(2)16100)6.08(%180≥⨯--pp p 10311000100411.32≤≤∴≤+-∴p p p高三数学中档题训练(二)答案1、91 2、(1)证明：延长B 1D 至A ，连结AE∵三棱柱为直三棱柱，∴平面BCC 1B 1⊥平面ABC 又△ABC 中AB=AC ，E 为AB 中点 ∴AE ⊥BC ∴AE ⊥平面BCC 1B 1又∵AC ⊂平面B 1DE ∴平面B 1DE ⊥平面BCC 1B 1 (2)63 3、(1)由题意，存款量g(x)=Kx 2，银行应支付的利息h(x)=x ·g(x)=Kx 36(2)存款利率为3.2%时，银行可获得最大利益4、(1)据题意：f(1)=n 2 即a 0+a 1+a 2+……+a n =n 2令n=1 则a 0+a 1=1，a 1=1-a 0 令n=2 则a 0+a 1+a 2=22，a 2=4-(a 0+a 1)=4-1=3令n=3 则a 0+a 1+a 2+a 3=32，a 3=9-(a 0+a 1+a 2)=9-4=5 ∵{a n }为等差数列 ∴d=a 3-a 2=5-3=2 a 1=3-2=1 a 0=0 a n =1+(n-1)·2=2n-1(2)由(1)f(x)=a 1x 1+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x nn 为奇数时，f(-x)=-a 1x 1+a 2x 2-a 3x 3+…+a n-1x n-1-a n x ng(x)=n n n n x a x a x a x a x a x f x f +++++=----22553311)]()([21n n n n g )21)(12()21)(52()21(9)21(5211)21(253-+-++⋅+⋅+⋅=-2753)21)(12()21)(52()21(9)21(5)21(1)21(41+-+-++⋅+⋅+⋅=n n n n g相减得 253)21)(12(])21()21()21[(4211)21(43+--++++⋅=n n n g∴n n n g )21(32)21(913914)21(+-= 令n n n C )21(32= ∵*1N n ,021)21(32∈≤-⋅⋅=-+n C C n n n ∴C n+1≤C n ，C n 随n 增大而减小 又n )21(913⋅随n 增大而减小 ∴g(21)为n 的增函数，当n=1时，g(21)=21 而914)21(32)21(913914<-⋅-n n n 914)21(21<≤∴g ∴使m<g(21)<M 恒成立的自然m 的最大值为0，M 最小值为2. M-m 的最小值为2.高三数学中档题训练(三)答案解析：1、（1）a x a x x x f +++=+++=1)6π2sin(212cos 2sin 3)(． 解不等式2ππ26π22ππ2+≤+≤-k x k ． 得)Z (6ππ3ππ∈+≤≤-k k x k∴ f （x ）的单调增区间为3ππ[-k ，)Z ](6ππ∈+k k ．（2）∵ 0[∈x ，2π]， ∴ 6π76π26π≤+≤x ．∴ 当2π6π2=+x 即6π=x 时，a x f +=3)(max ． ∵ 3＋a ＝4，∴ a ＝1，此时6π=x ． 2、解析：由已知得421=e ，122=e ，160cos 1221=⨯⨯=⋅ e e ．∴ 71527)72(2)()72(222212212121++=+++=++⋅t t te e e t te te e e te ． 欲使夹角为钝角，需071522<++t t ． 得 217-<<-t ． 设)0)((722121<+=+λte e i e te ． ∴ ⎩⎨⎧==λλt t 72，∴ 722=t ．∴ 214-=t ，此时14-=λ． 即214-=t 时，向量2172e te +与21te e +的夹角为π ． ∴ 夹角为钝角时，t 的取值范围是（-7，214-） （214-，21-）． 3、解析：（甲）取AD 的中点G ，连结VG ，CG ．（1）∵ △ADV 为正三角形，∴ VG ⊥AD ．又平面VAD ⊥平面ABCD ．AD 为交线，∴ VG ⊥平面ABCD ，则∠VCG 为CV 与平面ABCD所成的角．设AD ＝a ，则a VG 23=，a DC 2=． 在Rt △GDC 中， a a a GD DC GC 23422222=+=+=． 在Rt △VGC 中，33tan ==∠GC VG VCG ． ∴ 30=∠VCG ． 即VC 与平面ABCD 成30°．（2）连结GF ，则a AF AG GF 2322=+=． 而 a BC FB FC 2622=+=． 在△GFC 中，222FC GF GC +=． ∴ GF ⊥FC ．连结VF ，由VG ⊥平面ABCD 知VF ⊥FC ，则∠VFG 即为二面角V -FC -D 的平面角． 在Rt △VFG 中，a GF VG 23==． ∴ ∠VFG ＝45°． 二面角V -FC -B 的度数为135°．（3）设B 到平面VFC 的距离为h ，当V 到平面ABCD 的距离是3时，即VG ＝3． 此时32==BC AD ，6=FB ，23=FC ，23=VF ． ∴ 921==⋅∆FC VF S VFC ， 2321==⋅∆BC FB S BFC ． ∵ VCF B FCB V V V --=， ∴ VFC FBC S h S VG ∆∆⋅⋅⋅⋅=3131． ∴ 93123331⋅⋅=⨯⨯h ． ∴ 2=h 即B 到面VCF 的距离为2解析：（1）4、4、 4、1112111111-=--=-=---n n n n n a a a a b ， 而 1111-=--n n a b ， ∴ 11111111=-=-=-----n n n n n a a a b b ．)(+∈N n ∴ {n b }是首项为251111-=-=a b ，公差为1的等差数列． （2）依题意有n n b a 11=-，而5.31)1(25-=-+-=⋅n n b n ， ∴ 5.311-=-n a n ． 对于函数5.31-=x y ，在x ＞3.5时，y ＞0，0<y'，在（3.5，∞+）上为减函数． 故当n ＝4时，5.311-+=n a n 取最大值3 而函数5.31-=x y 在x ＜3.5时，y ＜0，0)5.3(12<--=x y'，在（∞-，3.5）上也为减函数．故当n ＝3时，取最小值，3a ＝-1． （3）2)5)(1(2)25225)(1(1-+=-+-+=+n n n n S n ，5.3-=n b n ，∴ ∞→+∞→=-+--=-n n n n n n n n S b n 2)5)(1()5.3)(1(2lim )1(lim 1．。
甘肃省武威市铁路中学2014届高三数学(理)专题训练：中档大题保分练(二)Word版含答案
(推荐时间：50分钟)1． 已知函数f (x )＝32sin 2x －12(cos 2x －sin 2x )－1，x ∈R ，将函数f (x )向左平移π6个单位后得到函数g (x )，设△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若c ＝7，f (C )＝0，sin B ＝3sin A ，求a 和b 的值；(2)若g (B )＝0且m ＝(cos A ，cos B )，n ＝(1，sin A －cos A tan B )，求m ·n 的取值范围． 解 (1)f (x )＝32sin 2x －12cos 2x －1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1 g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6－1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1 由f (C )＝0，∴sin ⎝⎛⎭⎫2C －π6＝1. ∵0<C <π，∴－π6<2C －π6<116π， ∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3. 由sin B ＝3sin A ，∴b ＝3a . 由余弦定理得(7)2＝a 2＋b 2－2ab cos π3. ∴7＝a 2＋9a 2－3a 2，∴a ＝1，b ＝3.(2)由g (B )＝0得sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝1， ∵0<B <π，∴π6<2B ＋π6<136π， ∴2B ＋π6＝π2，∴B ＝π6. ∴m ·n ＝cos A ＋cos B (sin A －cos A tan B )＝cos A ＋sin A cos B －cos A sin B ＝32sin A ＋12cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. ∵A ＋C ＝5π6，∴0<A <5π6， ∴π6<A ＋π6<π，∴0<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤1. ∴m ·n 的取值范围是(0,1]．2． 某市文化馆在春节期间举行高中生“蓝天海洋杯”象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为23，且各局比赛胜负互不影响． (1)求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；(2)设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．解 (1)由题意知，乙每局获胜的概率皆为1－23＝13. 比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分即前两局乙胜一局，3,4局连胜，则P 2＝C 1213·23·13·13＝481. (2)由题意知，ξ的取值为2,4,6.则P (ξ＝2)＝⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫132＝59，P (ξ＝4)＝C 1213·23⎝⎛⎭⎫232＋C 1213·23⎝⎛⎭⎫132＝2081， P (ξ＝6)＝⎝⎛⎭⎫C 1213·232＝1681.所以随机变量ξ的分布列为则E (ξ)＝2×59＋4×2081＋6×1681＝26681.3． 如图，几何体ABCD －B 1C 1D 1中，四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝a ，面B 1C 1D 1∥面ABCD ，BB 1、CC 1、DD 1都垂直于面ABCD ，且BB 1＝2a ，E 为CC 1的中点，F 为AB 的中点．(1)求证：△DEB 1为等腰直角三角形；(2)求二面角B 1－DE －F 的余弦值．(1)证明 连接BD ，交AC 于O ，因为四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，所以BD ＝a ， 因为BB 1、CC 1都垂直于面ABCD ，所以BB 1∥CC 1，又面B 1C 1D 1∥面ABCD ，所以BC ∥B 1C 1.所以四边形BCC 1B 1为平行四边形，则B 1C 1＝BC ＝a ，因为BB 1、CC 1、DD 1都垂直于面ABCD ，所以DB 1＝DB 2＋BB 21＝a 2＋2a 2＝3a ，DE ＝DC 2＋CE 2＝a 2＋a 22＝6a 2， B 1E ＝B 1C 21＋C 1E 2＝a 2＋a 22＝6a 2， 所以DE 2＋B 1E 2＝6a 2＋6a 24＝3a 2＝DB 21， 所以△DEB 1为等腰直角三角形．(2)解 取DB 1的中点H ，因为O ，H 分别为DB ，DB 1的中点，所 以OH ∥BB 1.以OA ，OB ，OH 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D ⎝⎛⎭⎫0，－a 2，0，E ⎝⎛⎭⎫－32a ，0，22a ，B 1⎝⎛⎭⎫0，a 2，2a ， F ⎝⎛⎭⎫34a ，a 4，0， 所以DB 1→＝(0，a ，2a )，DE →＝⎝⎛⎭⎫－32a ，a 2，22a ，DF →＝⎝⎛⎭⎫34a ，34a ，0. 设面DB 1E 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则n 1·DB →1＝0，n ·DE →＝0，即ay 1＋2az 1＝0且－32ax 1＋a 2y 1＋22az 1＝0， 令z 1＝1，则n 1＝(0，－2，1)设面DFE 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则n 2·DF →＝0，n 2·DE →＝0即34ax 2＋34ay 2＝0 且－32ax 2＋a 2y 2＋22az 2＝0， 令x 2＝1，则n 2＝⎝⎛⎭⎫1，－33，263， 则cos 〈n 1，n 2〉＝63＋2633×1＋13＋83＝22， 则二面角B 1－DE －F 的余弦值为22. 4． 已知n ∈N *，数列{d n }满足d n ＝3＋(－1)n2，数列{a n }满足a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ；又知数列{b n }中，b 1＝2，且对任意正整数m ，n ，b m n ＝b n m .(1)求数列{a n}和数列{b n }的通项公式；(2)将数列{b n }中的第a 1项，第a 2项，第a 3项，……，第a n 项，……删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前2 013项和．解 方法一 (1)∵d n ＝3＋(－1)n 2， ∴a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n .＝3×2n 2＝3n . 又由题知：令m ＝1，则b 2＝b 21＝22，b 3＝b 31＝23，…，b n ＝b n 1＝2n .若b n ＝2n ，则b m n ＝2nm ，b n m ＝2mn ，∴b m n ＝b n m 恒成立．若b n ≠2n ，当m ＝1，b m n ＝b n m 不成立，∴b n ＝2n .(2)由题知将数列{b n }中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{c n }中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是b 1＝1，b 2＝4，公比均是8， T 2 013＝(c 1＋c 3＋c 5＋…＋c 2 013)＋(c 2＋c 4＋c 6＋…＋c 2 012) ＝2×(1－81 007)1－8＋4×(1－81 006)1－8＝20×81 006－67. 方法二 (1)a n ＝d 1＋d 2＋…＋d 2n ＝32×2n ＝3n . 由b m n ＝b n m 及b 1＝2>0知b n >0，对b m n ＝b n m 两边取对数得，m lg b n ＝n lg b m ，令m ＝1，得lg b n ＝n lg b 1＝n lg 2＝lg 2n ，∴b n ＝2n .(2)T 2 013＝c 1＋c 2＋…＋c 2 013＝b 1＋b 2＋b 4＋b 5＋b 7＋b 8＋…＋b 3 018＋b 3 019＝(b 1＋b 2＋…＋b 3 019)－(b 3＋b 6＋…＋b 3 018)＝2(1－23 019)1－2－8(1－81 006)1－23＝20×81 006－67.。
2014年高考数学有答案高三数学中档题2
高三数学中档题21．有3张奖券，其中2张可中奖，现有3个人按顺序依次从中抽一张，小明最后抽，则他抽到中奖券的概率是2．若函数a x x x f +-=3)(3有3个不同 的零点，则实数a 的取值范围是 ，3．已知函数⎩⎨⎧≥-<=)4(),1()4(,2)(x x f x x f x ，那么)5(f = ；4．如图所示的算法流程图中第3个输出的数 是 ；5．若a,b ≤恒成立，则m 的最小值是 ．6．已知函数x x f x2log )31()(-=，正实数a 、b 、c 成公差为正数的等差数列，且满足 0)()()(<c f b f a f ，若实数d 是方程0)(=x f的一个解，那么下列四个判断：①a d <；②b d >；③c d <；④c d >中，有可能成立的个数为7．已知椭圆C 以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,且椭圆C 以抛物线216x y =的焦点为焦点,以双曲线221169y x -=的焦点为顶点,则椭圆C 的标准方程为8．若直线022=+-by ax ),(R b a ∈始终平分圆014222=+-++y x y x 的周长，则ab 的最大值是9．函数)13(log )(222++-=a ax x x f 的定义域为A ，值域为B ； （1）若1∈A ，求a 的范围；（2）若B=R ，求a 的范围；D 1C 1A CBA10．长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 、A 1C 的中点。
（1）证明：E F ∥平面AA 1D 1D ；（2）当A 1A=AD 时，证明：E F ⊥平面A 1CD 。
11．如图所示，一条直角走廊宽为2米。
现有一转动灵活的 平板车，其平板面为矩形ABEF ，它的宽为1米。
直线EF 分别交直线AC 、BC 于M 、N ，过墙角D 作DP ⊥AC 于P ， DQ ⊥BC 于Q ；⑴若平板车卡在直角走廊内，且∠θ=CAB ，试求平板 面的长l (用θ表示)；⑵若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多 少米?AB中档题2答案1．32，2、（-2，2），3、8，4、2，5，6、3，7、2，8、0； 9、（1）a >2或a <1；（2）52≥a 或52-≤a11、（1）DM=θsin 2，DN=θcos 2，MF=θcot ，EN=θtan ，l =EF=DM+DN -MF -EN=θsin 2+θcos 2-θcot -θtan =θθθθcos sin 1)cos (sin 2-+ （20πθ≤≤）（2）“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角θ（20πθ≤≤），平板车的长度不能超过l ，即平板车的长度min l <；记,cos sin t =+θθ 21≤≤t ，有θθcos sin =212-t ，l =θθθθcos sin 1)cos (sin 2-+=1242--t t =)(t f ，此后研究函数)(t f 的最小值，方法很多；如换元（记m t =-24，则42+=m t ）或直接求导，以确定函数)(t f 在]2,1[上的单调性；当2=t 时l 取得最小值224-。
2014高三数学文科中档小题练能力——不丢分(二)
中档小题(二)1．(2013·湖南省五市十校第一次联合检测)下列命题中是假命题的是( ) A ．∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin βB ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减D ．∀a >0，函数f (x )＝(ln x )2＋ln x －a 有零点 2．(2013·河北省普通高中教学质量检测)已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6，则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( )A.23 B ．－23 C.56 D ．－56 3．(2013·高考广东卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝04．(2013·成都市第二次诊断性检测)函数f (x )＝log 2x ＋1x－1的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．(2013·洛阳市统一考试)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝( )A.23 B ．－23 C.43 D ．－436．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．180B ．200C ．220D ．240 7．(2013·高考湖北卷)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6 8．(2013·武汉市调研测试)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克，B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元9．(2013·河北省普通高中质量监测)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝2－13n －1C ．a n ＝12n －1D ．a n ＝13n －210．(2013·安徽省“江南十校”联考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 恰好是双曲线x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，且双曲线过点(3a 2p ，2b2p)，则该双曲线的离心率是( ) A ．2 B.104C.132D.264 11．(2013·安徽省“江南十校”联考)定义在R 上的函数f (x )、g (x )满足：对任意的实数x 都有f (x )＝f (|x |)，g (－x )＋g (x )＝0.当x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )<0，则当x <0时，有( )A ．f ′(x )<0，g ′(x )<0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )>0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )>0 12．(2013·湖南省五市十校第一次联合检测)对于函数f (x )和g (x )，其定义域均为[a ，b ]．若对于任意的x ∈[a ，b ]，总有|1－g (x )f (x )|≤110，则称f (x )可被g (x )置换，那么下列给出的函数中能置换f (x )＝x ，x ∈[4,16]的是( )A ．g (x )＝2x ＋6，x ∈[4,16]B ．g (x )＝15(x ＋6)，x ∈[4,16]C ．g (x )＝13(x ＋8)，x ∈[4,16]D ．g (x )＝x 2＋9，x ∈[4,16]13．(2013·广东省惠州市第三次调研考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12a －2，x ≤1a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．14．(2013·辽宁省五校第一联合体高三年级考试)已知函数f (x )＝kx ＋1，其中实数k 随机选自区间[－2,1]，则对∀x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0恒成立的概率是________．15．(2013·武昌区联合考试)执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为________．16．(2013·郑州市第一次质量检测)若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＋6≥02x ＋3y －15≤0y ≥0，当且仅当x ＝y＝3时，z ＝ax －y 取得最小值，则实数a 的取值范围是________．备选题1．(2013·高考江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．2．(2013·东北三校第一次联合模拟考试)已知函数f (x )＝ln x1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________．中档小题(二)1．【解析】选B.对于A ，当α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；对于B ，当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 为偶函数；对于C ，当m ＝2时，f (x )＝(m －1)·x m 2－4m ＋3＝x －1＝1x，满足条件；对于D ，令ln x ＝t ，∀a >0，对于方程t 2＋t －a ＝0，Δ＝1－4(－a )>0，恒有解，故满足条件．2．【解析】选B.由已知得，向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)反向，3a ＋2b ＝0，即3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0,0)，得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23.3．【解析】选A.与直线y ＝x ＋1垂直的直线方程可设为x ＋y ＋b ＝0，由x ＋y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，可得|b |12＋12＝1，故b ＝±2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知b ＝－2，故直线方程为x ＋y －2＝0，故选A.4．【解析】选C.可将函数f (x )＝log 2x ＋1x －1的零点的个数看作函数y ＝log 2x 与y ＝－1x＋1的图象的交点个数，作出函数图象可得到交点有2个．5．【解析】选C.根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－(1＋h (a ))＝2－f (a )＝2－23＝43.6．【解析】选D.由三视图知识知该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱．等腰梯形的上底长为2，下底长为8，高为4，腰长为5，直四棱柱的高为10，所以S 底＝12×(8＋2)×4×2＝40，S 侧＝10×8＋10×2＋2×10×5＝200，S 表＝40＋200＝240.7．【解析】选B.由于y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，向左平移m (m >0)个单位长度后得到函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋m －π6的图象．由于该图象关于y 轴对称，所以m －π6＝k π(k ∈Z ，m >0)，于是m ＝k π＋π6(k ∈Z ，m >0)，故当k ＝0时， m 取得最小值π6.8．【解析】选C.设甲产品，乙产品分别生产x ，y 桶，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋2y ≤120≤2x ＋y ≤12x ，y ∈N，目标函数为z ＝300x ＋400y ，作图可得当x ＝4，y ＝4时 ，z max ＝2 800.9．【解析】选C.由题意得1a n ＋1＝2a n ＋1，则1a n ＋1＋1＝2(1a n ＋1)，易知1a 1＋1＝2≠0，所以数列{1a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，则1a n ＋1＝2n ，则a n ＝12n －1.10．【解析】选D.由题意知p 2＝c ，所以p ＝2c ，双曲线过点(3a 22c ，2b22c)，将点的坐标代入双曲线方程，得9a 24c 2－b2c 2＝1，即9a 2－4b 2＝4c 2.又b 2＝c 2－a 2，所以9a 2－4c 2＋4a 2＝4c 2，即13a 2＝8c 2，e ＝c a ＝264.11．【解析】选A.由题意可知，f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，由于奇函数在对称区间上具有相同的单调性，偶函数在对称区间上具有相反的单调性．12．【解析】选B.由已知|1－g (x )f (x )|≤110解得，910≤g (x )f (x )≤1110，当g (x )＝15(x ＋6)，x ∈[4,16]时，g (x )f (x )＝x ＋65x ＝15(x ＋6x)，令t ＝x ，t ∈[2,4]，则g (x )f (x )∈[265，1110]，满足条件．13．【解析】由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又a x －a 是增函数，故a >1，所以a的取值范围为1<a ≤2.【答案】(1,2] 14．【解析】f (x )＝kx ＋1过定点(0,1)，当且仅当k ∈[－1,1]时满足f (x )≥0在x ∈[－1,1]上恒成立，而区间[－1,1]、[－2,1]的区间长度分别是2、3，故所求的概率为23.【答案】2315．【解析】S ＝sin 1×π3＋sin 2×π3＋sin 3×π3＋sin 4×π3＋sin 5×π3＋sin 6×π3＋…＋sin 2 013×π3＝(sin 1×π3＋sin 2×π3＋sin 3×π3＋sin 4×π3＋sin 5×π3＋sin 6×π3)×335＋sin 1×π3＋sin 2×π3＋sin 3×π3＝ 3.【答案】 3 16．【解析】画出可行域，如图，直线3x －5y ＋6＝0与2x ＋3y －15＝0交于点M (3,3)，由目标函数z ＝ax －y ，得y ＝ax －z ，纵截距为－z ，当z 最小时，－z 最大．欲使纵截距－z最大，则－23<a <35.【答案】(－23，35)备选题1．【解析】由题意DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →，于是λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.【答案】122．【解析】由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b ＝0，即ln(a 1－a ×b 1－b )＝0，从而a 1－a ×b1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－(a －12)2＋14，又0<a <b <1，故0<a <12，故0<－(a －12)2＋14<14.【答案】(0，14)。
福建省龙岩市龙岩二中2024学年高三练习题二(全国卷)数学试题
福建省龙岩市龙岩二中2024学年高三练习题二（全国卷）数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．122．设i 为数单位，z 为z 的共轭复数，若13z i=+，则z z ⋅=（ ） A ．110B ．110i C ．1100D ．1100i 3．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知函数()()3sin 3cos 0f x x x ωωω=+>，对任意的1x ，2x ，当()()1212f x f x =-时，12min2x x π-=，则下列判断正确的是（ ）A ．16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增C ．函数()f x 的一条对称轴是76x π=D ．函数()f x 的一个对称中心是,03π⎛⎫⎪⎝⎭5．已知正四面体ABCD 的棱长为1，O 是该正四面体外接球球心，且AO x AB y AC z AD =++，,,x y z ∈R ，则x y z ++=（ ）A ．34B ．13 C ．12D ．146．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．在等腰直角三角形ABC 中，,222C CA π∠==，D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B 间的距离为23，此时四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ）.A ．5πB ．2053π C ．12π D ．20π9．二项式522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．16010．由实数组成的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1>0”是“S 9>S 8”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（ ）A ．32B ．25C ．6D ．2712．已知函数()12x f x e -=，()ln12xg x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ）A ．0B ．4C ．132e -D ．5+ln 62二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学中档练习题
高三数学中档练习题一、选择题1. 已知集合A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B的结果是：A) {1, 2, 3, 4, 5}B) {1, 2, 3}C) {3, 4, 5}D) {1, 2}选择：_____2. 若函数f(x) = x^2 + 2x + 1，则f(-1)的值为：A) 1B) -1C) 0D) 2选择：_____3. 若log2(8x) = 4，则x的值为：A) 2B) 4C) 8D) 16选择：_____4. 已知三角形ABC，∠ACB = 90°，AB = 5 cm，BC = 12 cm，则AC的长度为：A) 7 cmB) 13 cmC) 17 cmD) 25 cm选择：_____5. 若p(x) = x^3 - 2x^2 + kx + 6，其中k为常数，若p(2) = 4，则k的值为：A) -8B) -6C) -4D) -2选择：_____二、填空题1. 解方程组：2x + 3y = 7x + 2y = 4x = _____, y = _____2. 已知函数f(x) = x^2 + bx + c，若f(1) = 0，f(-1) = 0，则b = _____，c = _____3. 从1、2、3、4、5、6、7、8、9中任选3个数字，不放回地抽取，若抽取的三个数字的和为12，则这三个数字可能是_____、_____、_____三、解答题1. 三角形ABC中，∠ACB = 90°，AB = 8 cm，BC = 15 cm。
求三角形ABC的面积。
解答：2. 已知函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1，求f'(x)。
解答：3. 解方程组：3x - 2y = 72x + 3y = 1解答：四、证明题证明：在任意三角形ABC中，角平分线和边所构成的角的两边比例相等。
证明：五、应用题一块长方形的地皮，长为20米，宽为15米，现需要在长方形的四周围上一圈环形花坛，假设花坛的宽度为1米，求花坛的面积。
高三数学中档题汇总(新课程)
高三数学中档题汇总一、导数考查重点：掌握运用导数的有关知识，研究一元三次函数的性质（单调性、极值与图象），进而研究与三个二次有关的问题。
利用导数的几何意义解决函数或解析几何中与切线有关的问题。
二、三角考查重点是：正弦型函数的图象与性质及三角形中的三角函数问题，基础是合理选择公式进行三角函数式的变换，对图象与性质关键是利用倍角公式、和异变形公式转化为一个正弦型函数，第二类解题的关键是恰当地利用各种关系，角角关系和边角关系，同时渗透方程思想。
三、数列考查重点是:等差、等比数列的通项公式及前n项和的灵活运用，等差等比数列的综合运用，递推数列问题，解题的关键是综合运用各种思想方法解题，如利用求等差、比数列的通项公式、前n项公式的思想方法（累加法、累积法和倒序求和法、错位相减法）解决有关杂数列问题，利用方程思想及转化思想解题，构造辅助数列解决递推数列问题，综合运用数列、函数方程，不等式等知识。
四、解析几何考查重点是:求曲线的轨迹方程，直线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线中的最值问题，解题关键是注意转化思想的运用，利用韦达定理、点差法、待定系数法、圆锥曲线的定义及弦长公式解题，对于以向量为背景的解析问题，常用思考方法是向量代数法和向量几何法。
五、立体几何考查重点是：空间位置关系（平行垂直）的确定和空间度量问题。
对于空间位置关系要严格利用相关的判定定理和性质定理证明，并掌握一般的证明思路和方法；空间度量问题主要是空间的角度和体积，异面直线所成的角主要是通过平移使得相交，线面角主要是找斜线的射影（或找垂线），二面角的平面角主要是利用定义法和垂线法确定，最后通过解三角形求得，同时注意解题步骤是一作（找）、二证、三求；体积问题主要是确定图形的形状利用相关公式求解，或利用等体积法和分解法求解。
高三数学中档题汇总（一）1． 已知函数)(x f 的定义域是()+∞,0，当x>1时，)(x f >0，且)()()(y f x f xy f +=1) 求)1(f2) 求证：)(x f 在定义域上是增函数 3) 如果1)31(-=f ，求满足不等式1)21()(≥--x f x f 的x 的取值范围2、已知向量1),1,3(),cos ,(sin =⋅-==n m n A A m，且A 为锐角。
实验中学高三数学二轮复习中档题训练(二)
实验中学高三数学二轮复习中档题训练（二）1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足（2a －c ）cos B =b cos C ． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设()()()2411sin A,cos A ,k,k ,==>⋅且m n m n 的最大值是5，求k 的值．2．如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，⊥=11,AC BB AB 平面D BD A ,1为AC 的中点．（Ⅰ）求证：//1C B 平面BD A 1；（Ⅱ）求证：⊥11C B 平面11A ABB ；（Ⅲ）设E 是1CC 上一点，试确定E 的位置使平面⊥BD A 1平面BDE ，并说明理由．C 1B 1A 1DC B A3．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 过点)23,1(，且离心率21=e ． （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点)0,81(G ，求k 的取值范围．4． 数列{}n a 满足.27),2,(12231=≥∈++=-a n N n a a n n n（1）求21,a a 的值；（2）是否存在一个实数t ，使得),)((21+∈+=N n t a b n nn 且数列{}n b 为等差数列？若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由。
（3）求数列{}n a 的前n 项和n s .实验中学高三数学二轮复习中档题训练（二）1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足（2a －c ）cos B =b cos C ． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设()()()2411sin A,cos A ,k,k ,==>⋅且m n m n 的最大值是5，求k 的值． 解：（I ）∵(2a －c )cos B =b cos C ，∴（2sin A －sin C ）cos B =sin B cos C ，即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C )∵A +B +C =π，∴2sin A cos B =sin A ．∵0<A <π,∴sin A ≠0.∴cos B =21，∵0<B <π，∴B =3π． （II ）m n ⋅=4k sin A +cos2A =－2sin 2A +4k sin A +1，A ∈（0，322） 设sin A =t ，则t ∈]1,0(.则m n ⋅=－2t 2+4kt +1=－2(t －k )2+1+2k 2,t ∈]1,0(，∵k >1，∴t =1时，m n ⋅取最大值.依题意得，－2+4k +1=5，∴k =23． 2．如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，⊥=11,AC BB AB 平面D BD A ,1为AC 的中点．（Ⅰ）求证：//1C B 平面BD A 1；（Ⅱ）求证：⊥11C B 平面11A ABB ；（Ⅲ）设E 是1CC 上一点，试确定E 的位置使平面⊥BD A 1平面BDE ，并说明理由． （Ⅰ）证明：如图，连接1AB 与B A 1相交于M ，则M为B A 1的中点，连结MD ，又D 为AC 的中点，MD C B //1∴．又⊄C B 1平面BD A 1，//1C B ∴平面BD A 1．（Ⅱ）B B AB 1= ，∴四边形11A ABB 为正方形，11AB B A ⊥∴，又⊥1AC 面BD A 1，B A AC 11⊥∴，⊥∴B A 1面11C AB ，111C B B A ⊥∴，又在直棱柱111C B A ABC -中111C B BB ⊥，⊥∴11C B 平面A ABB 1．（Ⅲ）当点E 为C C 1的中点时，平面⊥BD A 1平面BDE ，D 、E 分别为AC 、C C 1的中点，1//AC DE ∴，1AC 平面BD A 1，⊥∴DE 平面BD A 1，又⊂DE 平面BDE ，∴平面⊥BD A 1平面BDE ．3．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 过点)23,1(，且离心率21=e ． （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点)0,81(G ，求k 的取值范围．解：（Ⅰ）由题意椭圆的离心率21=e ，21=∴a c ，c a 2=∴，22223c c a b =-=∴． ∴椭圆方程为1342222=+c y c x ．又点)23,1(在椭圆上，13)23(41222=+∴cc ，12=∴c ． ∴椭圆的方程为13422=+y x ． （Ⅱ）设),(),,(2211y x N y x M ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 13422， 消去y 并整理得01248)43(222=-+++m kmx x k ，∵直线m kx y +=与椭圆有两个交点， 0)124)(43(4)8(222>-+-=∆m k km ，即3422+<k m ， 又221438k km x x +-=+，MN ∴中点P 的坐标为)433,434(22k m k km ++-． 设MN 的垂直平分线'l 方程：)81(1--=x k y ， p 在'l 上，)81434(143322-+--=+∴k km k k m ，即03842=++km k ，)34(812+-=∴k k m ． 将上式代入得3464)34(2222+<+k k k ，2012>∴k ，即105>k 或105-<k ． k ∴的取值范围为),105()105,(+∞--∞ ． 4． 数列{}n a 满足.27),2,(12231=≥∈++=-a n N n a a n n n（1）求21,a a 的值；（2）是否存在一个实数t ，使得),)((21+∈+=N n t a b n n n 且数列{}n b 为等差数列？若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由。
高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做 中档大题规范练2含答案
中档大题规范练2 立体几何与空间向量1.如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA ＝PD ＝，PA ⊥PD ，底2面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1，O 为AD 的中点.(1)求证：PO ⊥平面ABCD ；(2)求B 点到平面PCD 的距离；(3)线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q —AC —D 的余弦值为？若存在，求出的63PQ QD 值；若不存在，请说明理由.(1)证明 因为PA ＝PD ＝，O 为AD 的中点，2所以PO ⊥AD ，因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD .(2)解 以O 为原点，OC ，OD ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，则B (1，－1，0)，C (1，0，0)，D (0，1，0)，P (0，0，1).＝(1，－1，－1)，设平面PDC 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，＝(－1，0，1)，＝(0，PB → CP → PD → 1，－1).则Error!取z ＝1，得u ＝(1，1，1)，B 点到平面PDC 的距离d ＝＝.|BP ，→ ·u ||u |33(3)解 假设存在，则设＝λ (0<λ<1)，PQ → PD → 因为＝(0，1，－1)，所以Q (0，λ，1－λ)，PD → 设平面CAQ 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，则Error!即Error!所以取m ＝(1－λ，λ－1，λ＋1)，平面CAD 的法向量n ＝(0，0，1)，因为二面角Q —AC —D 的余弦值为，63所以＝，|m·n||m||n |63所以3λ2－10λ＋3＝0，所以λ＝或λ＝3(舍去)，所以＝.13PQQD 122.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，F 为D 1E 上的一点，D 1F ＝2FE .(1)证明：平面DFC ⊥平面D 1EC ；(2)求二面角A —DF —C 的大小.(1)证明 以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A (1，0，0)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，D 1(0，0，2).∵E 为AB 的中点，∴E 点坐标为(1，1，0)，∵D 1F ＝2FE ，∴＝＝(1，1，－2)＝(，，－)，D 1F → 23D 1E → 23232343＝＋＝(0，0，2)＋(，，－)＝(，，).DF → DD 1→ D 1F → 232343232323设n ＝(x ，y ，z )是平面DFC 的法向量，则Error!∴Error!取x ＝1得平面FDC 的一个法向量n ＝(1，0，－1).设p ＝(x ，y ，z )是平面ED 1C 的法向量，则Error!∴Error!取y ＝1得平面D 1EC 的一个法向量p ＝(1，1，1).∵n·p ＝(1，0，－1)·(1，1，1)＝0，∴平面DFC ⊥平面D 1EC .(2)解 设q ＝(x ，y ，z )是平面ADF 的法向量，则q ·＝0，q ·＝0.DF → DA → ∴Error!取y ＝1得平面ADF 的一个法向量q ＝(0，1，－1)，设二面角A —DF —C 的平面角为θ，由题中条件可知θ∈(，π)，π2则cos θ＝－||＝－＝－，n·q|n|·|q |0＋0＋12×212∴二面角A —DF —C 的大小为120°.3.如图所示，在直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点.(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值.解 (1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，D (1，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4)，所以＝(2，0，－4)，＝(1，－1，－4).A 1B →C 1D →因为cos 〈，〉＝＝＝，A 1B → C 1D → A 1B ，→ ·C 1D→ |A 1B → ||C 1D → |1820×1831010所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为.31010(2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为＝(1，1，0)，＝(0，2，4)，AD → AC 1→ 所以n 1·＝0，n 1·＝0，AD → AC 1→ 即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以n 1＝(2，－2，1)是平面ADC 1的一个法向量.取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0，1，0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝＝＝，|n1·n2|n1||n2||29×123得sin θ＝.53因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为.534.如图，在四棱锥P —ABCD 中，平面PAD ⊥底面ABCD ，其中底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，PA ＝AB ＝BC＝CD ＝2，PD ＝2，PA ⊥PD ，Q 为PD 的中点.3(1)证明：CQ ∥平面PAB ；(2)求二面角D —AQ —C 的余弦值.(1)证明 如图所示，取PA 的中点N ，连接QN ，BN .在△PAD 中，PN ＝NA ，PQ ＝QD ，所以QN ∥AD ，且QN ＝AD .12在△APD 中，PA ＝2，PD ＝2，PA ⊥PD ，3所以AD ＝＝＝4，PA 2＋PD 222＋(23)2而BC ＝2，所以BC ＝AD .12又BC ∥AD ，所以QN ∥BC ，且QN ＝BC ，故四边形BCQN 为平行四边形，所以BN ∥CQ .又CQ ⊄平面PAB ，BN ⊂平面PAB ，所以CQ ∥平面PAB .(2)解 如图，在平面PAD 内，过点P 作PO ⊥AD 于点O ，连接OB .因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PO ⊥平面ABCD .又PO ⊥AD ，AP ⊥PD ，所以PO ＝＝＝，AP ×PDAD 2×2343故AO ＝＝＝1.AP 2－PO 222－(3)2在等腰梯形ABCD 中，取AD 的中点M ，连接BM ，又BC ＝2，AD ＝4，AD ∥BC ，所以DM ＝BC ＝2，DM ∥BC ，故四边形BCDM 为平行四边形.所以BM ＝CD ＝AB ＝2.在△ABM 中，AB ＝AM ＝BM ＝2，AO ＝OM ＝1，所以BO ⊥AD .又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以BO ⊥平面PAD .如图，以O 为坐标原点，分别以OB ，OD ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，D (0，3，0)，A (0，－1，0)，B (，0，0)，P (0，0，)，C (，2，3330)，则＝(，3，0).AC → 3因为Q 为DP 的中点，故Q ，(0，32，32)所以＝.AQ → (0，52，32)设平面AQC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则Error!可得Error!令y ＝－，则x ＝3，z ＝5.3故平面AQC 的一个法向量为m ＝(3，－，5).3因为BO ⊥平面PAD ，所以＝(，0，0)是平面ADQ 的一个法向量.OB → 3故cos 〈，m 〉＝＝＝＝.OB → OB → ·m |OB → |·|m |333·32＋(－3)2＋5233733737从而可知二面角D—AQ —C 的余弦值为.337375.在四棱锥P —ABCD 中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝PD ＝1，CD ＝2.(1)求证：BC ⊥平面PBD ；(2)在线段PC 上是否存在一点Q ，使得二面角Q —BD —P 为45°？若存在，求的值；若不PQ PC 存在，请说明理由.(1)证明 平面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD .如图，以D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz ，则A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，2，0)，P (0，0，1)，＝(1，1，0)，＝(－1，1，0)，DB → BC → 所以·＝0，BC ⊥DB ，BC → DB → 又由PD ⊥平面ABCD ，可得PD ⊥BC ，因为PD ∩BD ＝D ，所以BC ⊥平面PBD .(2)解 平面PBD 的法向量为＝(－1，1，0)，BC → ＝(0，2，－1)，设＝λ，λ∈(0，1)，PC → PQ → PC → 所以Q (0，2λ，1－λ)，设平面QBD 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，＝(1，1，0)，＝(0，2λ，1－λ)，DB → DQ → 由n ·＝0，n ·＝0，DB → DQ → 得Error!令b ＝1，所以n ＝(－1，1，)，2λλ－1所以cos 45°＝＝＝，|n ·BC → ||n ||BC → |22 2＋(2λλ－1)222注意到λ∈(0，1)，得λ＝－1，2所以在线段PC 上存在一点Q ，使得二面角Q —BD —P 为45°，此时＝－1.PQPC 2。
高三数学中档题训练2
高三数学中档题训练2 姓名1．将一颗质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6） 先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的的概率是 536 ．2．根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为﹣1时，则输入的x 的值为 1 ． 3．已知一组数据123,,,,n x x x x L 的方差为3，若数据12b,b,b n ax ax ax +++L (a ，b ∈R)的方差为12，则a 的值为 2± ．4．命题“存在x ∈R ，使x 2+ax ﹣4a ＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是 160a -≤≤ ．5．若函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωπϕπ=+>>-<<的 部分图象如图所示则函数解析式为 2sin(2)6y x π=+.6．若函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f ln )(=，则不等式e x f -<)(的解集为(,-∞-e).．7．四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，2AB =，3AD =，PA =点E 为棱CD 上一点，则三棱锥E －PAB 8．若函数0,2,()0ln ,≤x x x f x x ax x ⎧+=⎨>-⎩在其定义域上恰有两个零点，则正实数a 的值为 1e ．解析：易知函数()f x 在(],0-∞上有一个零点，所以由题意得方程ln 0ax x -=在()0+∞，上恰有一解，即ln x a x =在()0+∞，上恰有一解. 令ln ()x g x x =，21ln ()0x g x x-'==，得e x =，当()0,e x ∈时，()g x 单调递增，当()e,+x ∈∞时，()g x 单调递减，所以()1e ea g ==.9．已知等差数列{}n a 的各项均为正数，1a =1，若10p q -=，则p q a a -=．15.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为 .解析：设CA=x,则PQ=2CPcos<CAP=([3,))x ∈+∞,据此可得2PQ ≤< 11. 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+。
2020高三数学专题复习 中档题满分练(2)理
∴f(x)＝2sin，
令2x＋＝kπ＋，得x＝＋(k∈Z)．
故f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)由f(α)＝知2sin＝，即sin＝，
∴sin＝sin＝－cos 2
＝－1＋2sin2＝－1＋2×＝－.
2．解 (1) ∵bn＝3n，则bn＋1＝3n＋3＝bn＋3，
因此cn＝1－2n(n∈N*)，
则cn＋1＝1－2n＋1＝2(1－2n)－1＝2cn－1，
{cn}是“M类数列”．
3．(1)证明 由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，如图所示
，取AC中点O，连接BO，DO，则BO⊥AC，DO⊥AC，BO平分∠ABC.
又∵平面ACD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(3)解 设x1，x2∈(－∞，＋∞)，x1＜x2，
∵x2＞x1，∴x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＜0，
f(x2)＜f(x1)，∴f(x)是R上的减函数．
∵f(1)＝－，∴f(－1)＝，∴f(－2)＝1.
∴不等式f(x2－2ax－1)≤1即是f(x2－2ax－1)≤f(－2)，
2020高三数学专题复习 中档题满分练（2）理
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高三数学专题复习 中档题满分练（2）理
1．已知函数f(x)＝2asin ωxcos ωx＋2cos2ωx－(a＞0，ω＞0)的最大值为2，且最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的解析式及其对称轴方程；
所以cos〈n1，n2〉＝＝，
高三数学中档题训练(二)
2009届高三数学中档题训练（二）11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n S ＝2,1,2,3,n a n -=…。
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足b 1＝1，且b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式； （III ）设c n ＝n(3－b n )，求数列{c n }的前n 项和T n12．设函数2()(1)2ln f x x k x =+-． （1）当k =2时，求函数f (x )的增区间；（2）当k ＜0时，求函数g (x )=()f x '在区间（0，2]上的最小值．13．已知向量.)(),cos 2,1(),cos ,22sin 3(x f x x x ⋅==+=设函数 （1）求)(x f 的最小正周期与单调递减区间。
（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若,1,4)(==b A f △ABC 的面积为23，求a 的值.14．已知数列{}n a 为等差数列，且12a =，12312a a a ++=．(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 令n an b 3=，求证：数列{}n b 是等比数列．15．已知a 是实数，函数2()()f x x x a =-．（Ⅰ）若'(1)3f =，求a 值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[]2,0上的最大值．16．已知二次函数)()(2R x a ax x x f ∈+-=同时满足：①不等式0)(≤x f 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在210x x <<，使得不等式)()(21x f x f >成立。
设数列}{n a 的前n 项和)(n f S n =。
（1）求)(x f 表达式；（2）求数列}{n a 的通项公式； （3）设5)3(+=n a n b ，1126++-+=n n nn n n b b b b b c ，}{n c 前n 项和为n T ，对m n T n +>（)2*,≥∈n N n 恒成立，求m 范围17．设12,F F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点（1）若椭圆C 上的点3(1,)2A 到12,F F 两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）设点P 是（1）中所得椭圆上的动点，1(0,)2Q ，求PQ 的最大值；18．设函数432()2()f x x ax x b x =+++∈R ，其中a b ∈R ，． （Ⅰ）当103a =-时，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）若函数()f x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围；（Ⅲ）若对于任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，求b 的取值范围 19．在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45且与点A相距B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45+θ(其中sin θ=26，090θ<<)且与点A 相距C .（I ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II ）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.20．已知分别以1d 和2d 为公差的等差数列}{n a 和}{n b 满足181=a ，3614=b ．（1）若1d =18，且存在正整数m ，使得45142-=+m m b a ，求证：1082>d ； （2）若0==k k b a ，且数列1a ，2a ，…，k a ，1+k b ，2+k b ，…，14b 的前n 项和nS 满足k S S 214=，求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；参考答案11. （Ⅰ）∵1n =时，11112a S a a +=+= ∴11a = ∵2n n S a =-即2n n a S +=，∴112n n a S +++= 两式相减：110n n n n a a S S ++-+-=即110n n n a a a ++-+=故有12n n a a += ∵0n a ≠，∴*11()2n n a n N a +=∈ 所以，数列{}n a 为首项11a =，公比为12的等比数列，1*1()()2n n a n N -=∈ （Ⅱ）∵1(1,2,3,)n n n b b a n +=+=…，∴1112n n n b b -+-=（） 得 211b b -= 3212b b -= 2431()2b b -= (2)112n n n b b ---=（）（2,3n =…）将这1n -个等式相加12321111()1111121()()()22()2222212n n n n b b -----=+++++==--…又∵11b =，∴1132()2n n b -=-（1,2,3n =…）（Ⅲ）∵11(3)2()2n n n c n b n -=-=∴0221111112[()2()3()(1)()()]22222n n n T n n --=++++-+… ①而2311111112[()2()3()(1)()()]222222n nn T n n -=++++-+… ② ①－②得：01211111112[()()()()]2()222222n nn T n -=++++-…11()1811244()84()8(84)(1,2,3,)1222212nn n n n n T n n n n -=-=--=-+=-… 12．解：（1）k =2，2()(1)4ln f x x x =+-．则()f x '=422x x+-．………3分2(1)(2)x x x=-+＞0，（此处用“≥”同样给分） ……………………5分 注意到x ＞0，故x ＞1，于是函数的增区间为(1,)+∞．（写为[1,)+∞同样给分）7分 （2）当k ＜0时，g (x )=()f x '=222k x x +-．g (x )=2()2kx x-++≥29分 当且仅当x=”．(0,2]，即当k ∈[4,0)-时，函数g (x )在区间(0,2]上的最小值为2；…11分 ②若k ＜-4，则2()2(1)kg x x '=+在(0,2]上为负恒成立，故g (x )在区间(0,2]上为减函数，于是g (x )在区间(0,2]上的最小值为g (2)=6-k ． ………………………13分综上所述，当k ∈[4,0)-时，函数g (x )在区间(0,2]上的最小值为2；当k ＜-4时，函数g (x )在区间(0,2]上的最小值为6-k ． ………………………15分13. 解：3)62sin(2cos 222sin 3)(2++=++=⋅=πx x x n m x f ----4分(1)最小正周期ππ==22T --------------6分 当)](232,22[)62(Z k k k x ∈++∈+πππππ时，函数f(x)单调递减 ∴函数f(x)单调递减区间)](32,6[Z k k k ∈++ππππ--------------10分 （2）43)62sin(2)(=++=πA A f ∴21)62sin(=+πA∵),0(π∈A ∴3π=A ----12分 又23sin 21==∆A bc S∴c=2----14分 ∴3cos 222=-+=A bc c b a …..16分 14．解：(Ⅰ)∵数列{}n a 为等差数列,设公差为d ,由12,23211=++=a a a a ,得1232=a ,42=a ,∴2=d ，n n d n a a n 22)1(2)1(1=⋅-+=-+=. ……6分(Ⅱ)∵n n a n nb 9332=== ,∴99911==++n n n n b b ，∴数列{}n b 是等比数列 . ……12分15．解：（Ⅰ）2()32f x x ax '=-，因为(1)323f a '=-=，所以0a =．………3分又当0a =时，(1)1f =，(1)3f '=，所以曲线()y f x =在(1(1))f ，处的切线方程为320x y --=．…6分 （Ⅱ）令()0f x '=，解得10x =，223ax =．…………………………7分 ①当203a≤，即0a ≤时，()f x 在[02]，上单调递增，从而max (2)84f f a ==-9分②当223a≥，即3a ≥时，()f x 在[02]，上单调递减，从而max (0)0f f == ③当2023a <<，即03a <<时，()f x 在203a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在223a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增…13分从而max 8402023a a f a -<⎧=⎨<<⎩，≤，，．……………………………………………15分综上所述， max 84202a a f a -⎧=⎨>⎩，≤，，．……………………………………16分 16．解（1）0)(≤x f 的解集有且只有一个元素，,40042==⇒=-=∆∴a a a a 或 当a=4时，函数)2,0(44)(2在+-=x x x f 上递减，故存在210x x <<，使得不等式)()(21x f x f >成立，当a=0时，函数),0()(2+∞=在x x f 上递增故不存在210x x <<，使得不等式)()(21x f x f >成立，综上，得a=4，44)(2+-=x x x f （2）由（1）可知442+-=n n S n ，当n=1时，111==s a当2≥n 时，1--=n n n s s a ]4)1(4)1[()44(22+----+-=n n n n 52-=n⎩⎨⎧≥-==-=∴-2521,11n n n s s a n n n （3）⎩⎨⎧≥===+2,31,27)3(5n n b na n n ，,2711=∴b 272181-=c 11123131********+++-+=⨯-+⨯=≥n n n n n n n n c n 时， n n c c c T +++= 21)3131()1(2121+-+-+=n n c ] =m n n n n n +>-++=-+-+-++113122711631912227218对2*,≥∈n N n 恒成立，可转化为：13127116+-++<n n m 对2*,≥∈n N n 恒成立，因为13127116+-++n n 是关于n 的增函数，所以当n=2时，其取得最小值１８，所以m<1817．解：（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到12,F F 两点的距离之和是4，得24a =即2a =，又3(1,)2A 在椭圆上，223()1212b∴+=，解得23b =，于是21c =所以椭圆C 的方程是22143x y +=，焦点12(1,0),(1,0)F F - 设(,)P x y ，则22143x y +=，22443x y ∴=- 222222214111713()4()52343432PQ x y y y y y y y =+-=-+-+=--+=-++又3y -≤≤∴当32y=-时，max PQ 18．解：（Ⅰ）322()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++．当103a =-时，2()(4104)2(21)(2)f x x x x x x x '=-+=--． 令()0f x '=，解得10x =，212x =，32x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，(2)+，∞内是增函数，在(0)-∞，，122⎛⎫ ⎪⎝⎭，内是减函数．（Ⅱ）解：2()(434)f x x x ax '=++，显然0x =不是方程24340x ax ++=的根．为使()f x 仅在0x =处有极值，必须24340x ax ++≥恒成立，即有29640a ∆=-≤．解此不等式，得8833a -≤≤．这时，(0)fb =是唯一极值． 因此满足条件的a 的取值范围是8833⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．（Ⅲ）解：由条件[]22a ∈-，可知29640a ∆=-<，从而24340x ax ++>恒成立． 当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．因此函数()f x 在[]11-，上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者． 为使对任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，当且仅当(1)1(1)1f f ⎧⎨-⎩≤，≤， 即22b a b a --⎧⎨-+⎩≤，≤ 在[]22a ∈-，上恒成立．所以4b -≤，因此满足条件的b 的取值范围是 19. 解: （I ）如图，AB,sin BAC θθ∠==由于090θ<<,所以cos θ= 由余弦定理得=所以船的行驶速度为23=/小时）. （II ）解法一 如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，设点B 、C 的坐标分别是B （x 1，y 2）, C （x 1，y 2）, BC 与x 轴的交点为D.由题设有，x 1=y 1=x 2=ACcos )30CAD θ∠=-=, y 2=ACsin )20.CAD θ∠=-= 所以过点B 、C 的直线l 的斜率k =20210=,直线l 的方程为y =2x -40. 又点E （0，-55）到直线l 的距离d7.=<所以船会进入警戒水域.解法二: 如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q .在△ABC 中，由余弦定理得，222cos 2AB BC AC ABC AB BC+-∠=⋅=222.从而sin ABC ∠=== 在ABQ ∆中，由正弦定理得，AQ=sin 40.sin(45)AB ABC ABC ∠==-∠ 由于AE =55>40=AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE=AE-AQ =15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离.在Rt QPE ∆中，PE =QE ·sin sin sin(45)PQE QE AQC QE ABC ∠=⋅∠=⋅-∠=157.=< 所以船会进入警戒水域.（3）在（2）的条件下，令2n a n c =，2n b n d =,问不等式1+n n d c ≤n n d c + 是否对n∈N +恒成立？请说明理由．20．解：（1）依题意，45)1414(36]18)1(18[22--++=⨯-+d m m ，即9)18(22-=md m ，即1089182918222=⨯≥+=mm d ；等号成立的条件为m m 9182=，即61=m ，*N m ∈ ，∴等号不成立，∴原命题成立．……………………5分（2）由k S S 214=得：k k S S S -=14，即：)114(2362018+-⨯+=⨯+k k ， 则)15(189k k -⨯=，得10=k 291801-=-=d ，910140362=--=d ，则202+-=n a n ，909-=n b n ；…………10分（3）在（2）的条件下，2n a n c =，2n b n d =，要使1+n n d c ≤n n d c +，即要满足)1)(1(--n n d c ≤0， 又2021024n n n c --==，990102512n n n d --==，∴数列}{n c 单调减；{}n d 单调增，①当正整数9≤n 时，01>-n c ，01<-n d ，0)1)(1(<--n n d c ； ②当正整数11≥n 时，01<-n c ，01>-n d ，0)1)(1(<--n n d c ；③当正整数10=n 时，01=-n c ，01=-n d ，0)1)(1(=--n n d c ， 综上所述，对n ∈N +，不等式1+n n d c ≤n n d c +恒成立．……16分。
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2009届高三数学中档题训练（二）11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n S ＝2,1,2,3,n a n -=…。
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足b 1＝1，且b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式； （III ）设c n ＝n(3－b n )，求数列{c n }的前n 项和T n12．设函数2()(1)2ln f x x k x =+-． （1）当k =2时，求函数f (x )的增区间；（2）当k ＜0时，求函数g (x )=()f x '在区间（0，2]上的最小值．13．已知向量.)(),cos 2,1(),cos ,22sin 3(x f x x x ⋅==+=设函数 （1）求)(x f 的最小正周期与单调递减区间。
（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若,1,4)(==b A f △ABC 的面积为23，求a 的值.14．已知数列{}n a 为等差数列，且12a =，12312a a a ++=．(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 令n an b 3=，求证：数列{}n b 是等比数列．15．已知a 是实数，函数2()()f x x x a =-．（Ⅰ）若'(1)3f =，求a 值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[]2,0上的最大值．16．已知二次函数)()(2R x a ax x x f ∈+-=同时满足：①不等式0)(≤x f 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在210x x <<，使得不等式)()(21x f x f >成立。
设数列}{n a 的前n 项和)(n f S n =。
（1）求)(x f 表达式；（2）求数列}{n a 的通项公式； （3）设5)3(+=n a n b ，1126++-+=n n nn n n b b b b b c ，}{n c 前n 项和为n T ，对m n T n +>（)2*,≥∈n N n 恒成立，求m 范围17．设12,F F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点（1）若椭圆C 上的点3(1,)2A 到12,F F 两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）设点P 是（1）中所得椭圆上的动点，1(0,)2Q ，求PQ 的最大值；18．设函数432()2()f x x ax x b x =+++∈R ，其中a b ∈R ，． （Ⅰ）当103a =-时，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）若函数()f x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围；（Ⅲ）若对于任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，求b 的取值范围 19．在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45且与点A相距B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45+θ(其中sin θ=26，090θ<<)且与点A 相距C .（I ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II ）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.20．已知分别以1d 和2d 为公差的等差数列}{n a 和}{n b 满足181=a ，3614=b ．（1）若1d =18，且存在正整数m ，使得45142-=+m m b a ，求证：1082>d ； （2）若0==k k b a ，且数列1a ，2a ，…，k a ，1+k b ，2+k b ，…，14b 的前n 项和nS 满足k S S 214=，求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；参考答案11. （Ⅰ）∵1n =时，11112a S a a +=+= ∴11a = ∵2n n S a =-即2n n a S +=，∴112n n a S +++= 两式相减：110n n n n a a S S ++-+-=即110n n n a a a ++-+=故有12n n a a += ∵0n a ≠，∴*11()2n n a n N a +=∈ 所以，数列{}n a 为首项11a =，公比为12的等比数列，1*1()()2n n a n N -=∈ （Ⅱ）∵1(1,2,3,)n n n b b a n +=+=…，∴1112n n n b b -+-=（） 得 211b b -= 3212b b -= 2431()2b b -= (2)112n n n b b ---=（）（2,3n =…）将这1n -个等式相加12321111()1111121()()()22()2222212n n n n b b -----=+++++==--…又∵11b =，∴1132()2n n b -=-（1,2,3n =…）（Ⅲ）∵11(3)2()2n n n c n b n -=-=∴0221111112[()2()3()(1)()()]22222n n n T n n --=++++-+… ①而2311111112[()2()3()(1)()()]222222n nn T n n -=++++-+… ② ①－②得：01211111112[()()()()]2()222222n nn T n -=++++-…11()1811244()84()8(84)(1,2,3,)1222212nn n n n n T n n n n -=-=--=-+=-… 12．解：（1）k =2，2()(1)4ln f x x x =+-．则()f x '=422x x+-．………3分2(1)(2)x x x=-+＞0，（此处用“≥”同样给分） ……………………5分 注意到x ＞0，故x ＞1，于是函数的增区间为(1,)+∞．（写为[1,)+∞同样给分）7分 （2）当k ＜0时，g (x )=()f x '=222k x x +-．g (x )=2()2kx x-++≥29分 当且仅当x=”．(0,2]，即当k ∈[4,0)-时，函数g (x )在区间(0,2]上的最小值为2；…11分 ②若k ＜-4，则2()2(1)kg x x '=+在(0,2]上为负恒成立，故g (x )在区间(0,2]上为减函数，于是g (x )在区间(0,2]上的最小值为g (2)=6-k ． ………………………13分综上所述，当k ∈[4,0)-时，函数g (x )在区间(0,2]上的最小值为2；当k ＜-4时，函数g (x )在区间(0,2]上的最小值为6-k ． ………………………15分13. 解：3)62sin(2cos 222sin 3)(2++=++=⋅=πx x x n m x f ----4分(1)最小正周期ππ==22T --------------6分 当)](232,22[)62(Z k k k x ∈++∈+πππππ时，函数f(x)单调递减 ∴函数f(x)单调递减区间)](32,6[Z k k k ∈++ππππ--------------10分 （2）43)62sin(2)(=++=πA A f ∴21)62sin(=+πA∵),0(π∈A ∴3π=A ----12分 又23sin 21==∆A bc S∴c=2----14分 ∴3cos 222=-+=A bc c b a …..16分 14．解：(Ⅰ)∵数列{}n a 为等差数列,设公差为d ,由12,23211=++=a a a a ,得1232=a ,42=a ,∴2=d ，n n d n a a n 22)1(2)1(1=⋅-+=-+=. ……6分(Ⅱ)∵n n a n nb 9332=== ,∴99911==++n n n n b b ，∴数列{}n b 是等比数列 . ……12分15．解：（Ⅰ）2()32f x x ax '=-，因为(1)323f a '=-=，所以0a =．………3分又当0a =时，(1)1f =，(1)3f '=，所以曲线()y f x =在(1(1))f ，处的切线方程为320x y --=．…6分 （Ⅱ）令()0f x '=，解得10x =，223ax =．…………………………7分 ①当203a≤，即0a ≤时，()f x 在[02]，上单调递增，从而max (2)84f f a ==-9分②当223a≥，即3a ≥时，()f x 在[02]，上单调递减，从而max (0)0f f == ③当2023a <<，即03a <<时，()f x 在203a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在223a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增…13分从而max 8402023a a f a -<⎧=⎨<<⎩，≤，，．……………………………………………15分综上所述， max 84202a a f a -⎧=⎨>⎩，≤，，．……………………………………16分 16．解（1）0)(≤x f 的解集有且只有一个元素，,40042==⇒=-=∆∴a a a a 或 当a=4时，函数)2,0(44)(2在+-=x x x f 上递减，故存在210x x <<，使得不等式)()(21x f x f >成立，当a=0时，函数),0()(2+∞=在x x f 上递增故不存在210x x <<，使得不等式)()(21x f x f >成立，综上，得a=4，44)(2+-=x x x f （2）由（1）可知442+-=n n S n ，当n=1时，111==s a当2≥n 时，1--=n n n s s a ]4)1(4)1[()44(22+----+-=n n n n 52-=n⎩⎨⎧≥-==-=∴-2521,11n n n s s a n n n （3）⎩⎨⎧≥===+2,31,27)3(5n n b na n n ，,2711=∴b 272181-=c 11123131********+++-+=⨯-+⨯=≥n n n n n n n n c n 时， n n c c c T +++= 21)3131()1(2121+-+-+=n n c ] =m n n n n n +>-++=-+-+-++113122711631912227218对2*,≥∈n N n 恒成立，可转化为：13127116+-++<n n m 对2*,≥∈n N n 恒成立，因为13127116+-++n n 是关于n 的增函数，所以当n=2时，其取得最小值１８，所以m<1817．解：（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到12,F F 两点的距离之和是4，得24a =即2a =，又3(1,)2A 在椭圆上，223()1212b∴+=，解得23b =，于是21c =所以椭圆C 的方程是22143x y +=，焦点12(1,0),(1,0)F F - 设(,)P x y ，则22143x y +=，22443x y ∴=- 222222214111713()4()52343432PQ x y y y y y y y =+-=-+-+=--+=-++又3y -≤≤∴当32y=-时，max PQ 18．解：（Ⅰ）322()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++．当103a =-时，2()(4104)2(21)(2)f x x x x x x x '=-+=--． 令()0f x '=，解得10x =，212x =，32x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，(2)+，∞内是增函数，在(0)-∞，，122⎛⎫ ⎪⎝⎭，内是减函数．（Ⅱ）解：2()(434)f x x x ax '=++，显然0x =不是方程24340x ax ++=的根．为使()f x 仅在0x =处有极值，必须24340x ax ++≥恒成立，即有29640a ∆=-≤．解此不等式，得8833a -≤≤．这时，(0)fb =是唯一极值． 因此满足条件的a 的取值范围是8833⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．（Ⅲ）解：由条件[]22a ∈-，可知29640a ∆=-<，从而24340x ax ++>恒成立． 当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．因此函数()f x 在[]11-，上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者． 为使对任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，当且仅当(1)1(1)1f f ⎧⎨-⎩≤，≤， 即22b a b a --⎧⎨-+⎩≤，≤ 在[]22a ∈-，上恒成立．所以4b -≤，因此满足条件的b 的取值范围是 19. 解: （I ）如图，AB,sin BAC θθ∠==由于090θ<<,所以cos θ= 由余弦定理得=所以船的行驶速度为23=/小时）. （II ）解法一 如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，设点B 、C 的坐标分别是B （x 1，y 2）, C （x 1，y 2）, BC 与x 轴的交点为D.由题设有，x 1=y 1=x 2=ACcos )30CAD θ∠=-=, y 2=ACsin )20.CAD θ∠=-= 所以过点B 、C 的直线l 的斜率k =20210=,直线l 的方程为y =2x -40. 又点E （0，-55）到直线l 的距离d7.=<所以船会进入警戒水域.解法二: 如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q .在△ABC 中，由余弦定理得，222cos 2AB BC AC ABC AB BC+-∠=⋅=222.从而sin ABC ∠=== 在ABQ ∆中，由正弦定理得，AQ=sin 40.sin(45)AB ABC ABC ∠==-∠ 由于AE =55>40=AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE=AE-AQ =15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离.在Rt QPE ∆中，PE =QE ·sin sin sin(45)PQE QE AQC QE ABC ∠=⋅∠=⋅-∠=157.=< 所以船会进入警戒水域.（3）在（2）的条件下，令2n a n c =，2n b n d =,问不等式1+n n d c ≤n n d c + 是否对n∈N +恒成立？请说明理由．20．解：（1）依题意，45)1414(36]18)1(18[22--++=⨯-+d m m ，即9)18(22-=md m ，即1089182918222=⨯≥+=mm d ；等号成立的条件为m m 9182=，即61=m ，*N m ∈ ，∴等号不成立，∴原命题成立．……………………5分（2）由k S S 214=得：k k S S S -=14，即：)114(2362018+-⨯+=⨯+k k ， 则)15(189k k -⨯=，得10=k 291801-=-=d ，910140362=--=d ，则202+-=n a n ，909-=n b n ；…………10分（3）在（2）的条件下，2n a n c =，2n b n d =，要使1+n n d c ≤n n d c +，即要满足)1)(1(--n n d c ≤0， 又2021024n n n c --==，990102512n n n d --==，∴数列}{n c 单调减；{}n d 单调增，①当正整数9≤n 时，01>-n c ，01<-n d ，0)1)(1(<--n n d c ； ②当正整数11≥n 时，01<-n c ，01>-n d ，0)1)(1(<--n n d c ；③当正整数10=n 时，01=-n c ，01=-n d ，0)1)(1(=--n n d c ， 综上所述，对n ∈N +，不等式1+n n d c ≤n n d c +恒成立．……16分。