【苏教版】2013届高考数学选修1电子题库 第二章2.2.3第二课时随堂即时巩固
高考数学 电子题库 2.3.1随堂即时巩固 苏教版选修1
【苏教版】2013届高考数学选修1电子题库 第二章2.3.1随堂即时巩固一、填空题1．若数列{a n }为等比数列，则下列命题正确的是________．①{a 2n }，{a 3n }均为等比数列；②{ba n }为等比数列； ③{1a n }，{|a n |}均为等比数列； ④{a n ±k }(k ≠0)为等比数列． 解析：设数列{a n }的公比为q ，则①a 2n ＋1a 2n ＝(a n ＋1a n )2＝q 2，a 3n ＋1a 3n ＝a 3n ＋3a 3n ＝a 3n ·q 3a 3n＝q 3， ∴{a 2n }，{a 3n }均为等比数列．②当b ＝0时，数列{ba n }不是等比数列；当b ≠0时，ba n ＋1ba n ＝a n ＋1a n＝q .∴{ba n }不一定是等比数列． ③1a n ＋11a n＝a n a n ＋1＝1q ，|a n ＋1||a n |＝|a n ＋1a n|＝|q |， ∴{1a n}与{|a n |}均为等比数列． ④当k ≠0时，a n ＋1±k a n ±k不是常数， ∴{a n ±k }(k ≠0)不是等比数列．答案：①③2．下列数列中，一定是等比数列的个数是________．(1)－1，－2，－4，－8；(2)1，－3，3，－33；(3)3,3,3,3；(4)b ，b ，b ，b . 解析：所有的常数列都是等差数列．若常数列的各项不为零，那么它也是等比数列． 答案：33．2＋3与2－3的等比中项是________．解析：设它们的等比中项为A ，则A 2＝(2＋3)·(2－3)＝1，∴A ＝±1.答案：±14．若－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，则b ＝__________，ac ＝__________.解析：由等比中项得b 2＝9，且b 与奇数项的符号相同，故b ＝－3.又－1，a ，b 成等比数列，∴a 2＝－1×b ＝3，同理c 2＝27，∴a 2c 2＝3×27＝81，又a ，c符号相同，∴ac ＝9.答案：－3 95．已知数列a ，a (1－a )，a (1－a )2，…是等比数列，则实数a 的取值范围是________．解析：若数列{a n }是等比数列，则数列中a n ≠0，即a ≠1且a ≠0.答案：a ≠0且a ≠16．等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值是__________． 解析：2a 3＝a 2＋a 1⇒2a 2q ＝a 2＋a 2q ⇒2q 2－q －1＝0⇒q ＝－12或q ＝1(舍去)． 所以a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q＝－2.答案：－2二、解答题7．已知数列{lg a n }是等差数列，求证：{a n }是等比数列．证明：设数列{lg a n }的公差为d ，根据等差数列定义，得lg a n ＋1－lg a n ＝d ，所以lg a n ＋1a n ＝d ，所以a n ＋1a n＝10d (常数)，所以{a n }是一个以10d 为公比的等比数列． 8．设a ，b ，c 成等比数列，x 为a ，b 的等差中项，y 为b ，c 的等差中项，求a x ＋cy的值． 解：∵a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ac .∵x 为a ，b 的等差中项，∴2x ＝a ＋b .∵y 为b ，c 的等差中项， ∴2y ＝b ＋c .∴a x ＋c y ＝a a ＋b 2＋c b ＋c 2＝2(a a ＋b ＋cb ＋c )＝2ab ＋ac ＋ac ＋bcab ＋ac ＋b 2＋bc ＝2.。
高考数学 电子题库 3.2课时活页训练 苏教版选修1
【苏教版】2013届高考数学选修1电子题库 第三章3.3.1随堂即时巩固一、填空题1．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则M ∩N ＝________.解析：∵N ＝{x |x 2－2x －3＜0}＝{x |－1＜x ＜3}．∴M ∩N ＝{x |0≤x ≤2}．答案：{x |0≤x ≤2} 2．函数y ＝log 12x 2－1的定义域是________． 答案：[－2，－1)∪(1， 2 ]3．已知0＜a ＜1，则关于x 的不等式(x －a )(x －1a )>0的解集为________． 解析：∵0＜a ＜1，∴1a ＞1，∴a ＜1a， ∴不等式的解集为{x |x ＞1a或x ＜a }． 答案：{x |x ＞1a或x ＜a } 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －2，x ≥2，－2，x <2，则不等式xf (x －1)<0的解集是________．答案：(0,3)5．不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－12<x <1}，则不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集是________；ax 2－bx ＋c <0的解集是________；cx 2－bx ＋a <0的解集是________．答案：{x |－2<x <1} {x |x <－1或x >12} {x |－1<x <2} 6．关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋(m －7)＝0的两根一个在区间(1,2)内，另一个在区间(2,3)内，则m 的取值范围为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m －12－32m －7＞0f 1＝2>0f 2＝27－m <0f 3＝68－2m >0，解得27<m <34.答案：(27,34)7．有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满．然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，问桶的容积最大为________．解析：设桶的容积为x 升，显然x ＞0，依题意，得(x －8)－4x －8x≤28%·x . 由于x ＞0，因而原不等式化简为9x 2－150x ＋400≤0.即(3x －10)(3x －40)≤0.因此103≤x ≤403.所以，桶的最大容积为403升． 答案：403升 8．已知不等式ax 2－bx ＋2＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________.解析：法一：由题设条件知a ＞0，且1、2是方程ax 2－bx ＋2＝0的两实根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2＝b a 1×2＝2a，解得a ＝1，b ＝3. 法二：把1、2代入方程ax 2－bx ＋2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋2＝04a －2b ＋2＝0，解得a ＝1，b ＝3.答案：1 39．设集合P ＝{m |－1＜m ＜0}，Q ＝{m ∈R |mx 2＋4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则P ________Q .解析：当m ＝0时，不等式mx 2＋4mx －4＜0，化为－4＜0，对任意实数x 恒成立，适合题意．当m ≠0时，不等式mx 2＋4mx －4＜0为一元二次不等式，若使不等式mx 2＋4mx －4＜0对任意实数x 恒成立，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，Δ＝4m 2＋16m ＜0，解得－1＜m ＜0. 综上，Q ＝{m ∈R |－1＜m ≤0}，所以P Q .答案：二、解答题10．解关于x 的不等式ax 2－2ax ＋a ＋3＞0.解：当a ＝0时，解集为R ；当a ＞0时，Δ＝－12a ＜0，∴解集为R ；当a ＜0时，Δ＝－12a ＞0，方程ax 2－2ax ＋a ＋3＝0的两根分别为a ＋－3a a ，a －－3a a， ∴此时不等式的解集为{x |a ＋－3a a ＜x ＜a －－3a a}． 综上所述，原不等式的解集为：a ＝0时，R ；a ＞0时，R ；a ＜0时，{x |a ＋－3a a ＜x ＜a －－3a a}． 11．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，求m 的取值范围；(2)对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解：(1)要使mx 2－mx －1＜0恒成立，若m ＝0，显然－1＜0，符合题意．若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0，解得－4＜m ＜0. ∴－4＜m ≤0.(2)要使f (x )＜－m ＋5对于x ∈[1,3]恒成立，就要使m (x －12)2＋34m －6＜0，x ∈[1,3]恒成立． 令g (x )＝m (x －12)2＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m ＞0时，g (x )是增函数，∴g (x )m ax ＝g (3)＝7m －6＜0，∴m ＜67，∴0＜m ＜67. 当m ＝0时，－6＜0恒成立．当m ＜0时，g (x )是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0，得m ＜6，∴m ＜0.综上所述：m 的取值范围是m ＜67. 12．某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．问第几年开始获利？解：由题设知每年的各种费用是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯获利与年数的关系为f (n )，则f (n )＝50n －[12＋16＋…＋(8＋4n )]－98＝40n －2n 2－98.由f (n )＞0得n 2－20n ＋49＜0，解得10－51＜n ＜10＋51.又∵n ∈N *，∴n ＝3,4，…，17.即从第3年开始获利．。
高考数学 电子题库 2.3.2随堂即时巩固 苏教版选修1
【苏教版】2013届高考数学选修1电子题库 第二章2.3.2随堂即时巩固一、填空题1．在等比数列{a n }中，存在正整数m ，有a m ＝3，a m ＋5＝24，则a m ＋15＝________. 解析：∵a m ＋5a m ＝q 5＝8，又a m ＋15a m ＋5＝q 10＝(q 5)2＝82. ∴a m ＋15＝24×82＝1536.答案：15362．在等比数列{a n }中，a 3·a 4·a 5＝3，a 6·a 7·a 8＝24，则a 9· a 10·a 11的值等于________． 答案：1923．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________． 解析：设插入的三个数为aq，a ，aq ，据题意，五个数成等比数列． 所以a q ·aq ＝83·272＝36.所以a ＝6(舍去a ＝－6)． 插入的三个数的乘积为a 3＝216.答案：2164．{a n }为公比q ＝2的等比数列，a 1＞0，{b n }为公差d ＝13的等差数列，若log x a n －b n ＝log x a 1－b 1，则x ＝________.答案：85．若{a n }是等比数列，a 4·a 6＝36，a 5＋a 7＝18，且公比q 为正数，则a 9＝________.解析：∵a 4·a 6＝36，∴(a 1q 4)2＝36.∴a 1q 4＝6.∵a 5＋a 7＝18，∴a 1q 4(1＋q 2)＝18，∴q 2＝2，a 1＝32， ∴a 9＝a 1·q 8＝32·16＝24. 答案：246．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．解析：∵S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，∴2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2.∴2a n ＋1＋a n ＋2＝0.∴q ＝a n ＋2a n ＋1＝－2. 答案：－2二、解答题7．在各项为负数的数列{a n }中，已知2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827. (1)求证：{a n }是等比数列，并求出通项；(2)试问－1681是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由． 解：(1)证明：因为2a n ＝3a n ＋1，所以a n ＋1a n ＝23. 故数列{a n }是公比q ＝23的等比数列．又a 2·a 5＝827，∴a 1q ·a 1q 4＝827，即a 21·(23)5＝(23)3.由于数列各项均为负数，∴a 1＝－32，所以a n ＝－32×(23)n －1＝－(23)n －2.(2)设a n ＝－1681，由等比数列的通项公式得 －1681＝－(23)n －2，即(23)4＝(23)n －2.根据指数函数的性质，有4＝n －2，即n ＝6. 因此，－1681是这个等比数列的第6项．8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1， 求证：{a n }是等比数列，并求其通项公式． 证明：∵S n ＝2a n ＋1，∴S n ＋1＝2a n ＋1＋1. ∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝(2a n ＋1＋1)－(2a n ＋1)， 即a n ＋1＝2a n ，∴a n ＋1a n＝2.又∵a 1＝S 1＝2a 1＋1，∴a 1＝－1≠0，则对任意n ∈N *，均有a n ≠0， ∴{a n }是首项为－1，公比为2的等比数列且a n ＝－2n －1.。
高考数学 电子题库 3.3.3随堂即时巩固 苏教版选修1
【苏教版】2013届高考数学选修1电子题库 第三章3.3.3随堂即时巩固一、填空题1．已知点P (x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －20≤0，x －y ＋20≥0，0≤x ≤60，0≤y ≤60.则点P (x ，y )所在区域的面积为________． 解析：在直角坐标系中作出点P (x ，y )的可行域，如图所示，所以点P (x ，y )所在区域的面积为 60×60－2×12×40×40＝2000. 即点P (x ，y )所在区域的面积为2000. 答案：2000 2．已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________． 解析：画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A (－3,0)与可行域内点(x ，y )间距离的平方．显然AC 长度最小，∴AC 2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10.答案：103．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，则z ＝10x ＋10y 的最大值是________． 解析：先画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －11y ＝－22，2x ＝11， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5.5，y ＝4.5，但x ∈N *，y ∈N *，结合图知当x ＝5，y ＝4时，z max ＝90.答案：904．在△ABC 中，三顶点A (2,4)、B (－1,2)，C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 内部及边界运动，则z ＝x －y 的最大值为________．解析：先作出△ABC ，如图所示．对z ＝x －y ，可看成y ＝x －z ，求z的最值，相当于找斜率为1的直线经过△ABC 区域时纵截距的有关最值．易知，直线经过C 、B 点，纵截距－z 分别取最小值－1及最大值3，从而z 分别得到最大值1及最小值－3.答案：15．设D 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ≤102x ＋y ≥30≤x ≤4y ≥1表示的平面区域，则D 中点P (x ，y )到直线x ＋y ＝10距离的最大值为________．解析：画出不等式组表示的平面区域，当P 点为(1,1)时，P 到直线x ＋y ＝10的距离最大，即d ＝|1＋1－10|1＋1＝4 2.答案：4 26．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力限制等货物 体积每箱(m 3) 质量每箱(kg ) 利润每箱(百元)甲 5 2 20乙 4 5 10托运 限制24 13 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≤13，x ，y ∈N *，利润z ＝20x ＋10y .由线性规划知识可得x ＝4，y ＝1时，利润最大．答案：4,1二、解答题7．设z ＝2y －2x ＋4，已知x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，求z 的最大值和最小值． 解：作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1的可行域，如图所示的阴影部分．作直线l ：2y －2x ＝t .当l 经过点A (0,2)时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8；当l 经过点B (1,1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.8．某运输公司有7辆载重量为6吨的A 型卡车与4辆载重量为10吨的B 型卡车，有9名驾驶员．在建筑某高速公路中，该公司承包了每天至少搬运360吨土的任务．已知每辆卡车每天往返的次数：A 型卡车为8次，B 型卡车为6次；每辆卡车每天往返的成本费用情况：A 型卡车160元，B 型卡车252元．试问，A 型卡车与B 型卡车每天各出动多少辆时公司的成本费用最低？解：设每天出动的A 型卡车数为x ，则0≤x ≤7；每天出动的B 型卡车数为y ，则0≤y ≤4.因为每天出车的驾驶员最多9名，则x ＋y ≤9，每天要完成的搬运任务为48x ＋60y ≥360，每天公司所花成本费用为z ＝160x ＋252y .本题即求满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤7，0≤y ≤4，x ＋y ≤9，48x ＋60y ≥360，且使z ＝160x ＋252y 取得最小值的非负整数x 与y 的值．不等式组表示的平面区域即可行域如图所示，其可行域为四边形ABCD 区域(含边界线段)，它的顶点是A (52，4)，B (7，25)，C (7,2)，D (5,4)． 结合图形可知，在四边形区域上，横坐标与纵坐标都是非负整数的点只有P 1(3,4)，P 2(4,4)，P 3(4,3)，P 4(5,2)，P 5(5,3)，D (5,4)，P 6(6,2)，P 7(6,3)，P 8(7,1)，C (7,2)10个点．作直线l ：160x ＋252y ＝0.把l 向上方作平行移动，可发现它与上述的10个点中最先接触到的点是P 4(5,2)，所以在点P 4(5,2)上，得到的z 的值最小，z min ＝160×5＋252×2＝1304.即当公司每天出动A 型卡车5辆，B 型卡车2辆时，公司的成本费用最低．。
2013届高考数学 电子题库 1.3第一课时随堂即时巩固 苏教版选修1
【苏教版】2013届高考数学选修1电子题库 第一章1.3第一课时随堂即时巩固一、填空题1．在一次测量中，测得A 在B 的南偏东34°27′，则B 在A 的________．解析：A 在B 的南偏东34°27′，则B 在A 的北偏西34°27′.答案：北偏西34°27′2．一艘船以4 km/h 的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过3h ，该船实际航程为________．解析：如图，∵|OA →|＝2，|OB →|＝4，∠AOB ＝120°，∴A ＝60°，|OC →|＝22＋42－2×2×4cos60°＝2 3.经过3h ，该船的航程为23×3＝6(km)．答案：6 km3．两灯塔A 、B 与海洋观察站C 间的距离都为10 km ，灯塔A 在C 北偏东15°，B 在C 南偏东45°，则A 、B 之间的距离为________．解析：由已知∠ACB ＝120°，由余弦定理得AB ＝10 3.答案：10 3 km4．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600 m 后测得仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进200 3 m 后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为________．解析：如图，由题意可得，在△BED 中，BD ＝ED ＝600，在△BCD 中，BC ＝DC ＝2003，由余弦定理，得cos ∠DCB ＝BC 2＋CD 2－BD 22·BC ·CD＝20032＋20032－60022×2003×2003＝－12. 又因为0°＜∠DCB ＜180°，所以∠DCB ＝120°， ∠BCA ＝4θ＝60°.所以AB ＝BC sin4θ＝BC sin60°＝300 (m)．答案：300 m5．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为________．答案：4003m 6．在一次夏令营活动中，同学们在相距10海里的A 、B 两个小岛上活动结束后，有人提出到隔海相望的未知的C 岛上体验生活，为合理安排时间，他们需了解C 岛与B 岛或A 岛的距离．为此他们测得从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，那么B 岛和C 岛之间的距离是________海里．解析：在△ABC 中，由题意知∠CAB ＝60°，∠ABC ＝75°，∴∠ACB ＝45°.由正弦定理AB sin45°＝BCsin60°，∴BC ＝56(海里)． 答案：5 6二、解答题7.如图，A 、B 是海平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 在水平面上的射影，求山高CD .解：在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°，由AB sin15°＝AD sin45°，得 AD ＝AB ·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)． ∵CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，∴CD ＝AD ＝800(3＋1)m.即山高CD 为800(3＋1)m.8.如图，我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和点D 处，已知DC ＝6000米，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面点B 处时，测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°.求炮兵阵地到目标的距离(结果保留根号)．解：在△ACD 中，∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°，CD ＝6000，∠ACD ＝45°，由正弦定理，得AD ＝CD sin45°sin60°＝63CD ＝2000 6. 同理，在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°，CD ＝6000，∠BCD ＝30°，根据正弦定理，得BD ＝CD sin30°sin135°＝22CD ＝3000 2. 在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°，根据勾股定理，得AB＝AD2＋BD2＝200062＋300022＝100042.所以炮兵阵地到目标的距离为100042米．。
高考数学 电子题库 2.2.1随堂即时巩固 苏教版选修1
- 1 - 【苏教版】2013届高考数学选修1电子题库 第二章2.2.1随堂即时巩固一、填空题1．下列数列(1)0,0,0,0；(2)0,1,2,3,4；(3)1,3,5,7,9；(4)0，1,2,3，….其中一定是等差数列的有________个．解析：(1)，(2)，(3)是等差数列，(4)只能说明前四项成等差数列． 答案：32．已知等差数列{a n }中a 2＝2，a 4＝－2，则它的公差为__________． 解析：∵a 4－a 2＝2d ，∴d ＝a 4－a 22＝－2. 答案：－2 3．等差数列的相邻4项是a ＋1，a ＋3，b ，a ＋b ，那么a ，b 的值分别是__________． 解析：由a ＋3－(a ＋1)＝2，∴d ＝2，∴a ＋b －b ＝a ＝2，b ＝7.答案：2,7 4．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为________． 解析：a 、b 的等差中项为a ＋b 2＝13＋2＋13－22＝3－2＋3＋22＝ 3. 答案： 3二、解答题5．已知1a 、1b 、1c 成等差数列，并且a ＋c 、a －c 、a ＋c －2b 均为正数，试证：lg(a ＋c )，lg (a －c )，l g(a ＋c －2b )也成等差数列． 证明：∵1a ，1b ，1c成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c ，∴2b ＝a ＋c ac，∴2ac ＝ab ＋bc ， ∴－2ac ＝2ac －2b (a ＋c )．∴－2ac ＋a 2＋c 2＝2ac －2b (a ＋c )＋a 2＋c 2，∴(a －c )2＝(a ＋c )(a ＋c －2b )，又∵a －c ，a ＋c ，a ＋c －2b 都是正数，∴2lg(a －c )＝lg(a ＋c )＋lg(a ＋c －2b )，∴lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )成等差数列．6．已知函数f (x )＝3x x ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，且n ∈N *)确定．求证：{1x n}是等差数列． 证明：∵x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)， ∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， ∴1x n －1x n －1＝13(n ≥2，n ∈N *)， ∴{1x n}是等差数列．。
2013届高考数学 电子题库 1.1第一课时课时活页训练 苏教版选修1
【苏教版】2013届高考数学选修1电子题库 第一章1.1第一课时课时活页训练一、填空题1．在△ABC 中，已知A ＝45°，B ＝60°，a ＝6，则b ＝________.答案：3 62．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶5∶6，且a ＋b ＋c ＝15，则a ＝________，b ＝________，c ＝________ .解析：由sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶5∶6，知a ∶b ∶c ＝4∶5∶6，令a ＝4k ，b ＝5k ，c ＝6k 代入，求得k ＝1.答案：4 5 63．在△ABC 中，一定成立的等式是__________．①a sin A ＝b sin B ②a cos A ＝b cos B③a sin B ＝b sin A ④a cos B ＝b cos A解析：将a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 分别代入验证．答案：③4．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________.解析：∵c ＝2R sin C ，∴R ＝AB 2sin C＝2 2. 答案：2 25．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且cos B ＝cos C ，角A 为锐角，则△ABC 的形状是________．解析：由3b ＝23a sin B ，得b sin B ＝23a 3. 根据正弦定理，得b sin B ＝asin A ， 所以a sin A ＝23a 3，即sin A ＝32. 又角A 是锐角，所以A ＝60°.又cos B ＝cos C ，且B 、C 都为三角形的内角，所以B ＝C .故△ABC 为等边三角形．答案：等边三角形6．在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则角A 的取值范围是________．解析：由a sin A ＝b sin B 可得sin A ＝12sin B ， 又因为0＜sin B ≤1，所以0＜sin A ≤12. 所以0°＜A ≤30°或150°≤A ＜180°.又因为A ＜B ，所以只有0°＜A ≤30°.答案：0°＜A ≤30°7．在△ABC 中，a ＝23，b ＝6，A ＝30°，AB →·BC →＞0，则角C ＝________.答案：30°8．在△ABC 中，a ＋b ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则a ＝________，b ＝__________.解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a sin45°＝b sin60°，即a ＝6b 2.又a ＋b ＝12，将a ＝6b 2代入，得b ＝126－24，a ＝36－12 6.答案：36－12 6 126－249．(2010年高考山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析：∵sin B ＋cos B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝1. 又0＜B ＜π，∴B ＝π4. 由正弦定理，得sin A ＝a sin B b ＝2×222＝12. 又a ＜b ，∴A ＜B ，∴A ＝π6. 答案：π6二、解答题10．在△ABC 中，c ＝10，cos A cos B ＝b a ＝43，求a 、b 及△ABC 的内切圆半径． 解：由正弦定理，得b a ＝2R sin B 2R sin A ＝sin B sin A， ∵cos A cos B ＝b a ＝43， ∴cos A cos B ＝sin B sin A，且A ≠B . ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，∴2A ＋2B ＝π.∴A ＋B ＝π2. ∴△ABC 是直角三角形，C 为直角．由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝102，b a ＝43，解得a ＝6，b ＝8，∴三角形的内切圆半径r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2. 11．在△ABC 中，已知AB ＝l ，∠C ＝50°，当BC 的长取得最大值时，求∠B 的值． 解：由正弦定理知 l sin C＝BC －C －B， 所以BC ＝l s －B sin50°. 当sin(130°－B )取得最大值1时，BC 的长最大，所以130°－B ＝90°，即B ＝40°. 12．△ABC 的三边各不相等，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，并且a cos A ＝b cos B ，求a ＋b c的取值范围．解：∵a cos A ＝b cos B ，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B .∵2A,2B ∈(0,2π)，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.如果A ＝B ，则a ＝b ，不符合题意，∴A ＋B ＝π2，∴sin A ＝a c ，cos A ＝b c ，∴a ＋b c ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4. ∵a ≠b ，C ＝π2，∴A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2且A ≠π4， ∴a ＋bc ∈(1，2)．。
2013届高考数学 电子题库 3.4.2随堂即时巩固 苏教版选修1
【苏教版】2013届高考数学选修1电子题库 第三章随堂即时巩固一、填空题1．已知0＜x ＜1，则函数y ＝2＋log 2x ＋3log 2x 的最大值为________．解析：∵0＜x ＜1，∴log 2x ＜0，∴－log 2x ＞0，则y ＝2＋log 2x ＋3log 2x＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－log 2x ＋3－log 2x ≤2－2 －log 2x ·3－log 2x＝2－2 3.当且仅当－log 2x ＝3－log 2x ，即x ＝123时等号成立，所以函数y ＝2＋log 2x ＋3log 2x 的最大值是2－2 3.答案：2－2 32．已知x >1，y >1，且lg x ＋lg y ＝4，那么lg x ·lg y 的最大值是________． 答案：43．(2009年高考某某卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为________．解析：点(x ，y )所满足的可行域如图中阴影部分所示，根据目标函数所表示的直线的斜率是负值，可知目标函数只有在点A 处取得最大值，故实数a ，b 满足4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，故2a ＋3b ＝16(2a ＋3b )(2a ＋3b ) ＝16(13＋6b a ＋6a b )≥16(13＋12)＝256， 当且仅当a ＝b ＝65时取等号．答案：2564．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 和3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为________．解析：因为3a ·3b＝3，所以a ＋b ＝1， 1a ＋1b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当b a ＝a b 即a ＝b ＝12时“＝”成立．答案：45．已知2x ＋3y＝2(x ＞0，y ＞0)，则x ·y 的最小值是________．解析：∵2＝2x ＋3y ≥26xy，∴6xy≤1，∴6xy≤1，∴xy ≥6，当且仅当2x ＝3y即x ＝2，y ＝3时取等号．答案：66．一批救灾物资随17列火车以vkm /h 的速度匀速直达400 km 的灾区，为了安全起见，两列火车的间距不得小于(v20)2km ，则这批物资运到灾区最少需________h .解析：火车全部到达所用的时间相当于一列火车走了⎝⎛⎭⎪⎫400＋16×v202km ， 故所用的时间即可表示为t ＝400＋16×v202v＝400v ＋16×v 400≥216＝8.当且仅当400v＝16·v400即v ＝100时取等号．答案：8 二、解答题7．(1)求函数y ＝x ＋12x (x <0)的最大值；(2)求函数y ＝1x －3＋x (x >3)的最小值；(3)求函数y ＝x (a －2x )(x >0，a 为大于2x 的常数)的最大值． 解：(1)∵x <0，∴－x ＞0，∴y ＝x ＋12x ＝－[(－x )＋1－2x]≤－2－x ·1－2x＝－ 2. 当且仅当x ＝－22时，取等号， ∴y max ＝－ 2.(2)∵x >3，∴x －3＞0，∴y ＝1x －3＋x ＝1x －3＋(x －3)＋3≥5，当且仅当x －3＝1x －3，即x ＝4时，取等号，∴y min ＝5.(3)∵x >0，a >2x ，∴a －2x ＞0， ∴y ＝x (a －2x ) ＝12×2x ·(a －2x )≤12×[2x ＋a －2x 2]2＝a 28，当且仅当2x ＝a －2x 即x ＝a4时，取等号． ∴y max ＝a 28.8．对正数x ，y ，若x ＋2y ＋xy ＝30，求xy 的取值X 围．解：因为x ，y ∈是正实数，故30＝x ＋2y ＋xy ≥22xy ＋xy ，当且仅当x ＝2y 即x ＝6，y ＝3时，取等号．所以xy ＋22xy －30≤0. 令xy ＝t ，则t >0，得t2＋22t－30≤0，解得－52≤t≤3 2.又t>0，知0<xy≤32，即xy的取值X围是(0,18]．。
高考数学 电子题库 3.1随堂即时巩固 苏教版选修1
一、填空题1．某高速公路对行驶的各种车辆的速度v 的最大限速为120 km /h ，行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ．用不等式(组)表示上述关系为________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧ v ≤120 km /h d ≥10 m2．若x >y ，m >n ，则不等式：(1)x －y >m －n ；(2)mx >ny ；(3)x n >y m ；(4)m －y >n －x ，其中正确的是________．答案：(4)3．已知某学生共有10元钱，打算购买单价分别为0.6元和0.7元的铅笔和练习本，根据需要，铅笔至少买7支，练习本至少买6本，则满足条件的不等式(组)为________．解析：设铅笔买x 支，练习本买y 本， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥7，y ≥6，0.6x ＋0.7y ≤10，x ，y ∈N *. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥7y ≥60.6x ＋0.7y ≤10x ，y ∈N *4．已知x ＝1n ＋1－n ，y ＝2n ，则x 与y 的大小关系是________．答案：x >y5．一辆汽车原来每天行驶xkm ，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程就超过2200 km ，写成不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________．解析：原来每天行驶 xkm ，现在每天行驶(x ＋19)km .则不等关系“在8天内的行程超过2200 km ”，写成不等式为8(x ＋19)＞2200.若每天行驶(x －12)km ，则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9天多的时间”，用不等式表示为8x x －12＞9. 答案：8(x ＋19)＞2200 8x x －12＞9 6．如果a >b >0，则下列不等式：(1)1a <1b；(2)a 3>b 3；(3)lg(a 2＋1)>lg(b 2＋1)；(4)2a >2b .其中成立的是________．解析：∵a >b >0，∴1a <1b，即(1)正确．(2)也正确． ∵a 2＋1>b 2＋1，∴lg(a 2＋1)>lg(b 2＋1)正确．由指数函数y ＝2x 的性质可知2a >2b 正确． 答案：(1)(2)(3)(4)二、解答题7．已知a 1≤a 2，b 1≤b 2，比较a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小．解：∵(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(b 1－b 2)(a 1－a 2)，又∵a 1≤a 2，b 1≤b 2，∴a 1－a 2≤0，b 1－b 2≤0.∴(b 1－b 2)(a 1－a 2)≥0.∴(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)≥0.∴a 1b 1＋a 2b 2≥a 1b 2＋a 2b 1.8．(1)用若干辆载重为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空，请问有多少辆汽车？(2)甲以5 km /h 的速度进行有氧体育锻炼，2 h 后，乙骑自行车从同一个地方出发沿同一条路追赶甲．根据他们两人的约定，乙最快不早于1 h 追上甲，最慢不晚于1 h 15 min 追上甲．则乙骑车的速度应当控制在什么范围？解：(1)设有x 辆车，则货物总重为4x ＋20吨，由题意可得如下不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧ 8x －1<4x ＋20，8x >4x ＋20，x >0，且x ∈N *.解得5<x <7，故有6辆汽车．(2)设乙骑车的速度为xkm /h ，则本题中的关系可用如下不等式组表示：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤5×2＋1，54x ≥5×2＋54，解得13≤x ≤15.x >0.故乙骑车的速度应当控制在13 km /h 和15 km /h 之间．。
高考数学 电子题库 1.1第二课时课时活页训练 苏教版选修1
【苏教版】2013届高考数学选修1电子题库 第一章1.1第二课时课时活页训练一、填空题1．(2010年高考湖北卷)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________.解析：由正弦定理得15sin60°＝10sin B， ∴sin B ＝10·sin 60°15＝10×3215＝33. ∵a ＞b ，A ＝60°，∴B 为锐角．∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63. 答案：63 2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C等于__________． 解析：由a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，得 a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ＝a sin A ＝13sin60°＝2393. 答案：23933．已知在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，A ＝60°，则三角形解的情况是__________．解析：由a <b ，b sin A ＝6×32＝322，得a <b sin A ，所以无解． 答案：无解 4．三角形的两边长为3 cm 、5 cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________．解析：5x 2－7x －6＝0的两根为－35，2.设已知两边的夹角为C ，则cos C ＝－35(cos C ＝2＞1不可能，舍去)．∴sin C ＝1－cos 2C ＝45， ∴此三角形的面积为12×3×5×45＝6(cm 2)． 答案：6 cm 25．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是__________．解析：由a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，得b sin A ＋a (－sin B )＝2R sin B sin A －2R sin A sin B ＝0，所以直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0垂直．答案：垂直6．在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1，则a ∶b ∶c 等于__________． 解析：由条件知A ＝2π3，B ＝C ＝π6，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶1∶1. 答案：3∶1∶17．在△ABC 中，a ＝2，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积S ＝__________.解析：由正弦定理求出c ，由三角形内角和定理求出角B ，然后代入三角形的面积公式S △＝12ac sin B 计算即可． 答案：3＋18．在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是________． 解析：法一：要使三角形有两解，则a ＞b ，且sin A ＜1.由正弦定理，得a sin A ＝b sin B， ∴sin A ＝a sin B b ＝2x 4. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞2，24x ＜1，∴2＜x ＜2 2.法二：要使三角形有两解，则⎩⎪⎨⎪⎧ b ＜a ，b ＞a sin B ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＜x ，2＞x sin45°， ∴2＜x ＜2 2.答案：2＜x ＜2 29．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围为________． 解析：由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ，∴a ∶b ∶c ＝k ∶(k ＋1)∶2k . 又由三角形两边之和大于第三边可得：⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋k ＋＞2k ，k ＋＋2k ＞k ，k ＋2k ＞k ＋1，解得k ＞12. 答案：k ＞12二、解答题 10．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD ＝33，sin B ＝513，cos ∠ADC ＝35，求AD . 解：由cos ∠ADC ＝35＞0知B ＜π2， 由已知得cos B ＝1213，sin ∠ADC ＝45， 从而sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝45×1213－35×513＝3365. 由正弦定理得AD sin B ＝BDsin ∠BAD， 所以AD ＝BD ·sin B sin ∠BAD ＝33×5133365＝25.11．已知在△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求b 的值．解：由S △＝12ab sin C 知，153＝12×603×sin C .∴sin C ＝12. ∴C ＝30°或150°.又sin B ＝sin C ，∴B ＝C . 当C ＝30°时，B ＝30°，A ＝120°，又ab ＝603，a sin120°＝b sin30°.∴b ＝215. 当C ＝150°时，B ＝150°这种情况不可能．综上所述：b 的值为215. 12.如图，有长为100米的斜坡AB ，它的倾斜角是40°，现在要把斜坡的倾斜角改为25°，求伸长的坡底的长．(sin15°＝0.2588，sin25°＝0.4226)解：在△ABD 中，∠BAD ＝40°－25°＝15°.∵BD sin ∠BAD ＝ABsin D， ∴BD ＝AB ·sin∠BAD sin D ＝100×sin15°sin25°＝0.2588×1000.4226≈61.2(米)． ∴伸长的坡底的长约为61.2米．。
高考数学 电子题库 2.3.3第一课时随堂即时巩固 苏教版选修1
【苏教版】2013届高考数学选修1电子题库 第二章2.3.3第一课时随堂即时巩固一、填空题1．等比数列4，－2,1，…的第3项与第7项的和为________．解析：依题意知，该数列的首项为4，公比为－12，故a n ＝4·(－12)n －1， a 3＋a 7＝4·(－12)2＋4·(－12)6＝1＋116＝1716. 答案：17162．(2010年高考浙江卷)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________. 解析：由8a 2＋a 5＝0，得8a 1q ＋a 1q 4＝0，所以q ＝－2，则S 5S 2＝a 11＋25a 11－22＝－11. 答案：－113．在等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，则a 4＝__________，S 5＝__________. 解析：由题意得a 1＋a 1q 2＝10，①a 1q 3＋a 1q 5＝54，② 联立①②，得a 1＝8，q ＝12. ∴a 4＝8×(12)3＝1，S 5＝8[1－125]1－12＝312. 答案：1 3124．若b≠0且b≠1，a n ＝1＋b ＋b 2＋…＋b n －1，则a n ＝__________.答案：1－b n 1－b5．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，已知⎩⎪⎨⎪⎧ a 6＝3＋2S 5，a 5＝3＋2S 4，则此数列的公比q 为__________．解析：由题意得a 6－a 5＝2(S 5－S 4)．∴a 5×q－a 5＝2a 5.∴q－1＝2，∴q＝3.答案：36．在等比数列{a n }中，已知a 1＝52，前三项的和S ＝152，则公比q ＝________. 解析：当q ＝1时，S 3＝3a 1满足题意：当q≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝521－q 31－q ＝152. ∴q 2＋q ＋1＝3.∴q＝－2或q ＝1(舍去)．故q 为－2或1.答案：－2或1二、解答题7．等比数列{a n }的首项为1，公比为q ，前n 项和为S ，求数列{1a n }的前n 项和T n . 解：当q ＝1时，a n ＝1，S ＝n ，T n ＝n ；当q≠1时，S n ＝1－q n 1－q＝S ， 又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 首项为1，公比为1q ， ∴T n ＝1－1q n 1－1q＝1q n －1×1－q n 1－q ＝S q n －1. 综上，当q ＝1时，T n ＝n ，当q≠1时，T n ＝S qn －1. 8．已知数列1,1＋a ,1＋a ＋a 2，…，1＋a ＋a 2＋…＋a n －1(a≠0)，求此数列的前n 项和S n .解：∵a≠0，∴数列1，a ，a 2，…，a n －1成等比数列，且公比q ＝a.若a ＝1，则a n ＝1＋a ＋a 2＋…＋a n －1＝n ，S n ＝n n ＋12； 若a≠1，则a n ＝1－a n 1－a， S n ＝11－a[n －(a ＋a 2＋…＋a n )] ＝11－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －a 1－a n 1－a . ∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n n ＋12a ＝1，11－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －a 1－a n 1－a a≠1.。
高考数学 电子题库 2.2.1课时活页训练 苏教版选修1
【苏教版】2013届高考数学选修1电子题库 第二章2.2.1课时活页训练一、填空题1．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于________．解析：∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝180°，∴3B ＝180°，B ＝60° 答案：60°2．已知等差数列a 1，a 2，a 3，…，a n 的公差为d ，则ca 1，ca 2，ca 3，…，ca n (c 为常数，且c ≠0)是公差为__________的等差数列．解析：ca n －ca n －1＝c (a n －a n －1)＝cd .答案：cd3．已知等差数列{a n }的前三项依次为：2a －1，a ＋1,2a ＋3，则实数a 的值为________． 答案：04．若5，x ，y ，z ,21成等差数列，则x ＝__________，y ＝__________，z ＝__________. 答案：9 13 175．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，则这四个数为________．解析：设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ a －3d ＋a －d ＋a ＋d ＋a ＋3d ＝26，a －d a ＋d ＝40.解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝132，d ＝32，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝132，d ＝－32.∴所求的四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.答案：2,5,8,11或11,8,5,26．在等差数列{a n }中，若a 2，a 10是方程x 2＋12x －8＝0的两个根，那么a 6的值为__________． 解析：a 2＋a 10＝－12，因为2a 6＝a 2＋a 10，∴a 6＝－6.答案：－67．在等差数列{a n }中，已知a 1＝3，a 5＝11，则a 3＝__________.解析：由等差中项可知a 3＝a 1＋a 52＝142＝7. 答案：78．已知a ，b 2，c 是公差不为0的等差数列的前三项，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为________．解析：∵a ，b 2，c 构成等差数列，∴b ＝a ＋c ，∴二次函数对应的二次方程判别式Δ＝b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2.∵a ，b2，c 的公差不为0，∴a ≠c ，∴Δ＞0.∴f (x )的图象与x 轴有两个交点．答案：29．设公差为－2的等差数列中，若a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于________．解析：因为a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99，a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98，a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97成等差数列，公差为33d ＝－66，∴设a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝x ，则a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98＝x －33d ，∴x ，x －33d ,50成等差数列，即2x ＋132＝x ＋50得x ＝－82.答案：－82二、解答题10．已知a，b，c成等差数列，那么a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)是否也成等差数列？为什么？解：∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a)＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b)＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)＝0.∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)．即a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)也成等差数列．11．若log32，log3(2x－1)，log3(2x＋11)成等差数列，则x的值为多少？解：由log32，log3(2x－1)，log3(2x＋11)成等差数列，得2log3(2x－1)＝log32＋l og3(2x ＋11)．∴(2x－1)2＝2·(2x＋11)，化简，得(2x)2－4·2x－21＝0.解得2x＝7或2x＝－3(舍去)，故x＝log27.12．已知b是a和c的等差中项，lg(b－5)是lg(a－1)与lg(c－6)的等差中项，又a，b，c三个数之和为33，求此三个数．解：由题意可设a，b，c三个数依次为b－d，b，b＋d.∵a＋b＋c＝33，∴(b－d)＋b＋(b＋d)＝33，∴b＝11.又lg(b－5)是lg(a－1)与lg(c－6)的等差中项，∴2lg(b－5)＝lg(a－1)＋lg(c－6)，∴(b－5)2＝(a－1)(c－6)，∴62＝(10－d)(5＋d)，解之得，d＝7或d＝－2.∴所求三个数分别为4,11,18或13,11,9.。
高考数学 电子题库 2.3.3第一课时课时活页训练 苏教版
【苏教版】2013届高考数学选修1电子题库 第二章2.3.3第一课时课时活页训练一、填空题1．一个等比数列，它的前n 项和S n ＝ab n＋c ，其中a 、b 、c 为常数，且a≠0，b≠0，且b≠1，则a 、b 、c 必须满足__________．解析：∵{a n }为公比不为1的等比数列⇔S n ＝Aq n－A(A≠0，q≠0，q≠1)， ∴a＋c ＝0. 答案：a ＋c ＝02．一个等比数列，它的前4项和为前2项之和的2倍，则此数列的公比为__________． 解析：当q ＝1时，S 4＝2S 2满足题意；当q≠1时，a 11－q 41－q ＝2a 11－q21－q，∴1＋q 2＝2.∴q＝1(舍去)，q ＝－1. 答案：－1或13．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项和是__________．解析：由a 5＝a 1q 4，得16＝81q 4，∴q＝23.∴S 5＝a 1－a 5q 1－q ＝(81－16×23)×3＝211.答案：2114．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于________．解析：∵S n －S n －1＝a n ，{S n }是等差数列， ∴a n 为定值，即数列{a n }为常数列，∴q＝a na n －1＝1.答案：15．在等比数列{a n }中，已知a 1＝3，q ＝4，则使S n ＞3000的最小自然数n ＝________. 解析：∵a 1＝3，q ＝4，∴S n ＝a 11－q n 1－q ＝31－4n1－4＝4n－1＞3000，∴4n＞3001，∵45＜3001＜46，∴n 的最小自然数取值为6. 答案：6 6．在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于________． 解析：∵a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1， ∴a 4－a 3＝2(S 3－S 2)＝2a 3，∴a 4＝3a 3，∴a 4a 3＝3＝q.答案：37．设等比数列{a n }的公比为q ＝2，如果它的前4项和为1，那么它的前8项和是__________．解析：∵S 4＝a 11－241－2＝1，∴a 1＝115.∴S 8＝1151－281－2＝17.答案：178．数列{a n }为各项均为正数的等比数列，它的前n 项和为80，且前n 项中数值最大的项为54，它的前2n 项和为6560，则首项a 1＝________，公比q ＝________.解析：若q ＝1，则应有S 2n ＝2S n ，与题意不符合，故q≠1.依题意有：⎩⎪⎨⎪⎧a 11－qn1－q ＝80， ①a 11－q 2n1－q＝6560， ②②①得：1－q 2n1－qn ＝82，即q 2n －82q n＋81＝0， 得：q n ＝81或q n ＝1(舍去)，∴q n＝81.由q n＝81知q ＞1，∴数列{a n }的前n 项中a n 最大，∴a n ＝54.将q n＝81代入①得a 1＝q －1，③由a n ＝a 1q n －1＝54得a 1q n＝54q ，即81a 1＝54q ，④联立③④解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝3.答案：2 39．(2010年高考天津卷)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为________．解析：若q ＝1，则由9S 3＝S 6得9×3a 1＝6a 1，则a 1＝0，不满足题意，故q≠1.由9S 3＝S 6得9×a 11－q 31－q ＝a 11－q61－q ，解得q ＝2.故a n ＝a 1q n －1＝2n －1，1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为S 5＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.答案：3116二、解答题10．(1)求等比数列1,2,4，…从第5项到第10项的和；(2)在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，且S n ＝126，求项数n 和公比q. 解：(1)由a 1＝1，a 2＝2，得q ＝2.∴S 4＝1×1－241－2＝15，S 10＝1×1－2101－2＝1023.∴从第5项到第10项的和为S 10－S 4＝1008. (2)∵数列{a n }是等比数列， ∴a 1a n ＝a 2a n －1， ∴a 1a n ＝128. 又a 1＋a n ＝66，∴a 1，a n 是方程x 2－66x ＋128＝0的两根． ∴a 1＝2，a n ＝64或a 1＝64，a n ＝2，显然q≠1. 若a 1＝2，a n ＝64，由S n ＝a 1－a n q 1－q ＝2－64q1－q＝126，得2－64q ＝126－126q.∴q＝2，由a n ＝a 1q n －1，得2n －1＝32，∴n＝6. 若a 1＝64，a n ＝2，由S n ＝a 1－a n q 1－q ＝64－2q1－q＝126，得64－2q ＝126－126q.可得q ＝12.由a n ＝a 1q n －1，得(12)n －1＝132.∴n＝6.综上所述，n ＝6，公比q ＝2或12.11．已知数列{a n }：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，构造一个新数列：a 1，(a 2－a 1)，(a 3－a 2)，…，(a n －a n －1)，…，此数列是首项为1，公比为13的等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋13＋(13)2＋…＋(13)n －1＝1－13n1－13＝32[1－(13)n]．(2)S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝32(1－13)＋32[1－(13)2]＋32[1－(13)3]＋…＋32[1－(13)n ] ＝32{n －13[1＋13＋(13)2＋…＋(13)n －1]} ＝32n －12·1－13n1－13＝32n －34[1－(13)n ] ＝34(2n －1)＋14(13)n －1. 12．已知数列{a n }是首项为a 且公比q 不等于1的等比数列，S n 是其前n 项和，a 1,2a 7,3a 4成等差数列．(1)证明：12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列； (2)求和：T n ＝a 1＋2a 4＋3a 7＋…＋na 3n －2. 解：(1)证明：∵a 1,2a 7,3a 4成等差数列，∴4a 7＝a 1＋3a 4，即4a 1q 6＝a 1＋3a 1q 3，即(4q 3＋1)(q 3－1)＝0，∴q 3＝－14，或q 3＝1(舍去)．∵S 612S 3＝a 11－q61－q 12a 11－q 31－q＝1＋q 312＝116， S 12－S 6S 6＝S 12S 6－1＝a 11－q121－q a 11－q61－q －1 ＝1＋q 6－1＝116，∴S 612S 3＝S 12－S 6S 6. ∴12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列． (2)T n ＝a 1＋2a 4＋3a 7＋…＋na 3n －2＝a ＋2aq 3＋3aq 6＋…＋naq 3(n －1)，即T n ＝a ＋2×(－14)a ＋3×(－14)2a ＋…＋n ×(－14)n －1a.①①×(－14)得：－14T n ＝－14a ＋2×(－14)2a ＋3×(－14)3a ＋…＋n×(－14)na.② ①－②，得54T n ＝a ＋(－14)a ＋(－14)2a ＋(－14)3a ＋…＋(－14)n －1a －n×(－14)na＝a[1－－14n]1－－14－n×(－14)na.＝45a －(45＋n)×(－14)na. ∴T n ＝1625a －(1625＋45n)×(－14)na.。
高考数学 电子题库 1.2第二课时课时活页训练 苏教版选修1
【苏教版】2013届高考数学选修1电子题库 第一章1.2第二课时课时活页训练一、填空题 1.(2009年高考天津卷)如图，AA 1与BB 1相交于点O ，AB ∥A 1B 1且AB ＝12A 1B 1.若△AOB 的外接圆的直径为1，则△A 1OB 1的外接圆的直径为________．解析：在△AOB 中，由正弦定理得AB sin ∠AOB ＝1，sin ∠AOB ＝AB ，在△A 1OB 1中，由正弦定理得2R ＝A 1B 1sin ∠A 1OB 1＝A 1B 1AB＝2. 答案：2 2．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos 2A 2＝b ＋c 2c，则△ABC 的形状为________． 解析：由cos 2A 2＝1＋cos A 2＝b ＋c 2c， 整理得cos A ＝b c.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc， 联立以上两式整理得c 2＝a 2＋b 2，∴C ＝90°.故△ABC 为直角三角形． 答案：直角三角形3．已知在△A BC 中，a ＋b ＝3，A ＝π3，B ＝π4，则a 的值为________． 解析：由正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝63a . 由a ＋b ＝a ＋63a ＝3， 解得a ＝33－3 2. 答案：33－3 24．已知在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是________三角形． 解析：由sin A a ＝sin B b ，得sin B b ＝cos B b，∴tan B ＝1，B ＝45°. 同理由sin A a ＝sin C c，得C ＝45°，∴A ＝90°.即△ABC 是等腰直角三角形． 答案：等腰直角5．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积是________． 答案：40 36．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2＜b 2＋c 2，则角A 的取值范围是________．解析：因为a 是最大边，所以A ＞π3.又a 2＜b 2＋c 2，由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＞0， 所以A ＜π2，故π3＜A ＜π2. 答案：π3＜A ＜π27．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为________． 解析：设原直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，其中c 为斜边长，增加的长度为x ，新三角形的最大角为C ，则cos C ＝x ＋a 2＋x ＋b 2－x ＋c 2x ＋a x ＋b ＝x 2＋2x a ＋b －c x ＋a x ＋b. ∵a ＋b －c ＞0，x ＞0，∴cos C ＞0，∴C 为锐角．即新三角形为锐角三角形．答案：锐角三角形8．在△ABC 中，a ＋b ＋c ＝6，且b 2＝ac ，则b 的取值范围为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝6－b ，ac ＝b 2，且⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋c 2－b 22ac <1，a 2＋c 2≥2ac ， 得⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＋3b －9>0，b 2＋4b －12≤0.∴35－32<b ≤2. 答案：35－32<b ≤2 9．在△ABC 中，AB →·CA →>0，S △ABC ＝154，|AB →|＝3，|CA →|＝5，则(BC →)2等于________． 解析：由AB →·CA →＝－AB →·AC →>0，得AB →·AC →<0，所以∠BAC 为钝角．由S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin ∠BAC ＝154，得 sin ∠BAC ＝12， ∴∠BAC ＝150°.由余弦定理，得(BC →)2＝|AB →|2＋|AC →|2－2|AB →|·|AC →|cos ∠BAC＝34＋15 3.答案：34＋15 3二、解答题10．(2010年高考浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C ＝－14. (1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．解：(1)∵cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14，0＜C ＜π， ∴sin C ＝104. (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝4.由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－14及0＜C ＜π得cos C ＝±64. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0(b ＞0)，解得b ＝6或26，∴⎩⎨⎧ b ＝6，c ＝4或⎩⎨⎧ b ＝26，c ＝4.11．在△ABC 中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，(1)求最大角的余弦值；(2)求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积．解：(1)设三边a ＝k －1，b ＝k ，c ＝k ＋1，k ∈N *且k ＞1.∵C 为钝角，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k －4k －＜0， 解得1＜k ＜4.∵k ∈N *，∴k ＝2或3.但k ＝2时不能构成三角形，应舍去．当k ＝3时，a ＝2，b ＝3，c ＝4，cos C ＝－14. (2)设夹C 角的两边为x 、y ，则x ＋y ＝4.S ＝xy sin C ＝x (4－x )·154＝154·(－x 2＋4x ) ＝－154(x －2)2＋15. 当x ＝2时，S max ＝15.12．已知锐角△ABC 中，边a 、b 为方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A 、B 满足2sin(A ＋B )－3＝0，求角C 、边c 及S △ABC .解：由x 2－23x ＋2＝0，得x 1＝3－1，x 2＝3＋1.∵sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，∴sin C ＝32. 由于△ABC 为锐角三角形，∴C ＝60°.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝x 21＋x 22－2x 1x 2cos C ＝(3－1)2＋(3＋1)2－2(3－1)(3＋1)·cos60°＝6，∴c ＝6， S △ABC ＝12ab sin C ＝12(3－1)(3＋1)sin60°＝32.。
高考数学 电子题库 2.1随堂即时巩固 苏教版选修1
一、填空题1．已知数列的通项公式a n ＝2n n ＋1，那么这个数列的第5项是________． 解析：a 5＝2×55＋1＝106＝53. 答案：53 2．已知数列3,10,21，…，n (2n ＋1)，…，那么210是该数列的第________项．解析：由n (2n ＋1)＝210，得n ＝10，或n ＝－212(舍去)． 答案：103．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2－1a n(n ∈N *)，那么a 2＝________，a 3＝________，a 4＝________.答案：3243544．数列1,2,4,7,11,16，…的一个通项公式为a n ＝________.解析：设a n ＝xn 2＋yn ＋z ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝x ＋y ＋z 2＝4x ＋2y ＋z4＝9x ＋3y ＋z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12y ＝－12z ＝1，所以a n ＝12n 2－12n ＋1. 经检验，7,11,16也适合上式．所以数列1,2,4,7,11,16，…的一个通项公式为a n ＝12n 2－12n ＋1. 答案：12n 2－12n ＋1 5．已知数列12，23，34，45，…，n n ＋1，…，则0.96是该数列的第________项． 解析：由nn ＋1＝0.96得，n ＝0.96n ＋0.96，即0.04n ＝0.96，解得n ＝24.答案：246．已知数列满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 20＝________. 解析：不妨先求出几项，观察数列是否有规律．注意数列的周期性．a 1＝0，a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，a 5＝－3＝a 2，a 6＝a 3，…，a n ＋3＝a n ，∴a 20＝a 2＝－ 3.答案：－ 3二、解答题7．根据给出的数列的前几项，写出数列的一个通项公式．(1)23，415，635，863，…；(2)－13，18，－115，124，…； (3)1－12，12－13，13－14，14－15，…； (4)2，5，10，17，…；(5)0.9,0.99,0.999,0.9999，….解：(1)a n ＝2n 2n －12n ＋1. (2)a n ＝(－1)n 1n n ＋2. (3)a n ＝1n －1n ＋1. (4)a n ＝n 2＋1.(5)a n ＝1－(110)n . 8．已知数列{a n }的第一项是1，以后各项由公式a n －1＝2a n －2给出，写出这个数列的前5项，并写出它的一个通项公式．解：∵a n －1＝2a n －2，∴a n ＝1＋12a n －1，又a 1＝1， ∴a 2＝32，a 3＝74，a 4＝158，a 5＝3116. 故所求数列的前5项为1，32，74，158，3116. 可以看出，各项的分母构成2的乘方数列2n －1，分子由2n 各项减1得出，故a n ＝2n－12n －1为数列的一个通项公式．。
高考数学电子题库2.3.2课时活页训练苏教版选修1
【苏教版】 高考数学选修1电子题库 第二章2.3.2随堂即时巩固一、填空题1．在等比数列{a n }中，已知a 4＝7，a 8＝63，则a 6＝________.答案：212．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝________.解析：∵a 3＝3，a 10＝384，设公比为q (q ≠0)，∴a 10＝a 3·q 7，即384＝3·q 7，∴q ＝2，a 1＝34. 即等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1·q n －1＝3·2n －3.答案：3·2n －33．在等比数列{a n }中，已知a 1a 3a 11＝8，那么a 2a 8＝__________.解析：∵a 1a 3a 11＝(a 1q 4)3＝8，∴a 1q 4＝2，∴a 2a 8＝a 1q ·a 1q 7＝(a 1q 4)2＝4.答案：44．已知{a n }是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值为________．解析：a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25，∴a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2，即(a 3＋a 5)2＝25，又∵a n ＞0，∴a 3＋a 5＝5.答案：55．在等比数列{a n }中，a n >0，且a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q ＝________.解析：由a n ＋2＝a n ＋a n ＋1 得：a n ·q 2＝a n ＋a n ·q .又a n ＞0，∴q ＞0.∴q 2－q －1＝0.∴q ＝1＋52(q ＝1－52舍去)． 答案：1＋526．设{a n }是由正数组成的等比数列，且a 5·a 6＝81，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 10的值是________．解析：log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝log 3815＝log 3320＝20.答案：207．不相等的三个正数a ，b ，c 成等差数列，并且x 是a ，b 的等比中项，y 是b ，c 的等比中项，则x 2，b 2，y 2三数为__________数列．答案：既是等差数列又是等比8．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…a 30等于________．解析：因为{a n }是等比数列，a 1· a 2·a 3·…·a 30＝230，所以(a 1a 30)15＝230，所以a 1a 30＝22，所以a 3·a 6·a 9·…·a 30＝(a 3a 30)5＝(a 1q 2a 30)5＝(a 1a 30q 2)5＝(22×22)5＝220.答案：2209．已知正项等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36，则数列的通项公式a n ＝________.解析：法一：⎩⎪⎨⎪⎧ a 21q 4＋2a 21q 6＋a 21q 8＝100， ①a 21q 4－2a 21q 6＋a 21q 8＝36. ② ①－②，得4a 21q 6＝64，∴a 21q 6＝16. ③ 代入①，得16q 2＋2×16＋16q 2＝100. 解得q 2＝4或q 2＝14，又数列{a n }为正项数列， ∴q ＝2或12，代入③，得a 1＝12或32. ∴a n ＝12×2n －1＝2n －2或a n ＝32×(12)n －1＝26－n . 法二：∵a 1a 5＝a 2a 4＝a 23，a 2a 6＝a 3a 5＝a 24，a 3a 7＝a 4a 6＝a 25.由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36， 可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 23＋2a 3a 5＋a 25＝100，a 23－2a 3a 5＋a 25＝36.即⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋a 52＝100，a 3－a 52＝36.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋a 5＝10，a 3－a 5＝±6.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝8，a 5＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝2，a 5＝8.∴a n ＝a 3(a 5a 3)n －3＝26－n ， 或a n ＝a 3(a 5a 3)n －3＝2n －2. 答案：26－n 或2n －2二、解答题10．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求这四个数．解：由题意设此四数为b q ，b ，bq ，a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b 3＝－8，2bq ＝a ＋b ，ab 2q ＝－80，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝10，b ＝－2，q ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－8，b ＝－2，q ＝52.所以这四个数为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8. 11．一个由正数构成的等比数列，其前10项之积为10，前100项之积为100，求其前110项之积．解：法一：设这个等比数列的各项依次为a 1，a 1q ，a 1q 2，…，a 1q n －1，则它们各项的常用对数为lg a 1，lg a 1＋lg q ，lg a 1＋2lg q ，…，lg a 1＋(n －1)lg q ，组成首项为lg a 1、公差为lg q 的等差数列．根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 10lg a 1＋45lg q ＝1， ①100lg a 1＋4950lg q ＝2. ②②－①×10，得4500lg q ＝－8，故1000lg q ＝－8045. ③ ①＋②，得110lg a 1＋4995lg q ＝3， ④③＋④，得110lg a 1＋5995lg q ＝119. 故等比数列前110项之积为10119.法二：∵a 1a 2…a 10＝10，a 1a 2…a 10a 11…a 100＝100，∴a 11a 12…a 100＝10①注意到①式中共90项，且由于a 11a 100＝a 12a 99＝…＝a 55a 56，∴(a 11a 100)45＝10.∴a 11a 100＝10145.从而a 1a 2…a 110＝(a 1a 110)(a 2a 109)…(a 55a 56)＝(a 1a 110)55＝(a 11a 100)55＝(10145)55＝10119.12．某林场去年年底森林中的木材存量为a ，从今年起每年以25%的增长率生长，同时每年冬季要砍伐的木材量为b ，为了实现经过20年达到木材存量至少翻两番的目标，求b 的最大值(取lg 2＝0.3)．解：设a 1，a 2，…，a 20表示从今年开始的各年木材存量，且a 0＝a ，则a n ＝a n －1(1＋25%)－b .所以a n ＝54a n －1－b ，所以a n －4b ＝54(a n －1－4b )， 即数列{a n －4b }是等比数列，且公比q ＝54. 所以a 20－4b ＝(a 0－4b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫5420 ＝(a －4b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫5420，设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5420，则lg t ＝20lg 54＝20(1－3×0.3)＝2， 所以t ＝100.于是a 20－4b ＝100(a －4b )，所以a 20＝100a －396b ，由a 20≥4a ，得4a ≤100a －396b ，解得b ≤833a . 故每年冬季最大砍伐量为833a .。
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一、填空题
1．在等差数列{an}中，公差d ＝12
，S100＝145，则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为__________． 答案：60
2．已知某等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差＝________.
解析：法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧
5a1＋20d ＝15，5a1＋25d ＝30，∴d ＝3. 法二：运用性质S 偶－S 奇＝n 2d(n 为偶数)，
∴30－15＝102
×d ，解得d ＝3. 答案：3
3．在等差数列{an}中，a1＋a2＋…＋a50＝200，a51＋a52＋…＋a100＝2700，则a1为__________．
解析：设该等差数列的公差为d ，则 a 51＋a52＋…＋a100－(a1＋a2＋…＋a50)＝2500d ，
∴d ＝1；
又∵S50＝50a1＋50×492
d ＝200，∴a1＝－20.5. 答案：－20.5
4．等差数列前m 项和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为________． 解析：∵Sm ，S2m －Sm ，S3m －S2m 成等差数列，
∴S3m －S2m ＋Sm ＝2(S2m －Sm)．
∴S3m ＝3(S2m －Sm)＝210.
答案：210
5．在等差数列{an}中，若a1＝10，且S7＝S13，则此数列前________项和最大． 解析：由a1＝10且S7＝S13，可知公差d ＜0.
S13－S7＝a8＋a9＋a10＋a11＋a12＋a13＝0.
由等差数列的性质，可知a8＋a13＝a9＋a12＝a10＋a11.
所以3(a10＋a11)＝0.
由于d ＜0，所以a10＞a11，可得a10＞0，a11＜0，
故前10项的和最大．
答案：10
6．设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若a5a3＝59，则S9S5
＝________. 解析：法一：由a5a3＝59，即a1＋4d a1＋2d
＝59，解得d ＝－213a1. 又S9S5＝9a1＋9×82d 5a1＋5×42d ＝9a1＋36d 5a1＋10d .把d ＝－213a1代入上式，得S9S5＝9a1＋36d 5a1＋10d ＝9a1＋36×－213a15a1＋10×－213a1＝1.
法二：由a5a3＝59，得a1＋4d a1＋2d ＝59
. ∴S9S5＝9a1＋36d 5a1＋10d ＝95×a1＋4d a1＋2d ＝95×59＝1.
答案：1
二、解答题
7．等差数列{an}中：
(1)已知a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝20，求a3；
(2)已知a1＋a8＋a13＋a18＝100，求a10；
(3)a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式；
(4)am ＝n ，an ＝m(m ≠n)，求am ＋n.
解：(1)法一：在等差数列{an}中，∵a1＋a5＝a2＋a4＝2a3，
且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝20，∴5a3＝20，∴a3＝4.
法二：∵a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝20，∴5a1＋10d ＝20，
∴a1＋2d ＝4，∴a3＝4.
(2)∵a1＋a8＋a13＋a18＝4a10＝100，∴a 10＝25.
(3)∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，∴a4＝5.
又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9.
即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9.
解得d ＝±2.
若d ＝2，则an ＝a4＋(n －4)d ＝2n －3；
若d ＝－2，则an ＝a4＋(n －4)d ＝13－2n.
(4)∵an ＝a1＋(n －1)d ＝nd ＋(a1－d)，设am ＋n ＝x ，
∴A(m ，n)，B(n ，m)，C(m ＋n ，x)在同一条直线上，
由共线条件知：kAB ＝kBC ，
∴m －n n －m ＝x －m m ＋n －n
，∴x ＝0，∴am ＋n ＝0. 8．已知{an}是等差数列，其中a1＝31，公差d ＝－8，
(1)求数列{an}的通项公式，并作出它的图象；
(2)数列{an}从哪一项开始小于0?
(3)求数列{an}前n 项和的最大值，并求出对应的n 值．
解：(1)an ＝－8n ＋39，图象如图所示；
(2)由an ＝－8n ＋39＜0，得n ＞398，即从第5项开始小于零；
(3)由an ＝a1＋(n －1)d ≥0，代入数据可得n ＝4时和最大，再由Sn ＝na1＋n n －1d 2可得S4＝
76.。