234-5函数的间断点及其分类
函数间断点分类及类型精品PPT课件
1
x
解 f (1) 1, f (1 ) 2, = f (1 ) 2, 会不会连续呢？
lim f ( x) 2 f (1), 还是间断点 x1
x 0为函数的第一类可去间断点.
15
例3
讨论函数
f (x)
1
x
,
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
解 f (0) 0,
xx+
0
9
间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
y 不见了
y 掉队了
y
另立山头
o x0 y
2 1
x o1
井水不犯河水
xo
x0
x
y
各自为政
o
x0
x
ox
10
3. 间断点的分类
第一类间断点
如果 f (x)在点 x0处间断，且f (x0 ), f (x0 )都存在.
如果 f ( x0 ) f ( x0 ), 则称点 x0为函数 f ( x)的跳跃间断点 . 如果 f (x0 ) f (x0 ),则称点 x0为函数 f (x)的可去间断点 .
x 0,
y
f (0 ) 0, f (0 ) 1, 第一类
o
x
f (0 ) f (0 ),
跳跃间断点
x 0为函数的第一类跳跃间断点.
14
例2 讨论函数
y
2 x, 0 x 1,
f
(x)
1,
x 1
2
1 x, x 1,
1
在x 1处的连续性 ，如果不连续说出它到类型 o
y 1 x
y2 x
You Know, The More Powerful You Will Be
函数的连续点与间断点
函数的连续点与间断点在数学中，连续性是描述函数的一种性质。
一个函数在某个点连续意味着在该点附近可以通过函数图像的一条连续曲线来表示。
换句话说，函数在该点的值与该点的极限值相等。
在函数的定义域上，我们可以将连续点分为两类：间断点和连续点。
一个函数的间断点是指在函数定义域上的某个点，该点的函数值与该点的极限值不相等。
可以将间断点进一步细分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
1. 可去间断点：在这种情况下，函数在该点的极限存在，但函数的值与极限值不相等。
这种情况发生在该点存在一个孤立点，也就是说，通过改变函数在该点的定义，可以使其在该点处连续。
例如，函数$f(某) = \frac{某^2 - 1}{某-1}$在$某 = 1$处有一个可去间断点。
2. 跳跃间断点：在这种情况下，函数在该点的左右极限都存在，但极限值不相等。
这种情况下，函数图像会出现一个间断或跳跃。
例如，函数$g(某) = \begin{cases} 1, & 某 < 0 \\ 0, & 某 \geq 0\end{cases}$在$某 = 0$处有一个跳跃间断点。
3. 无穷间断点：在这种情况下，函数在该点的左右极限至少有一个为无穷大。
例如，函数$h(某) = \frac{1}{某}$在$某 = 0$处有一个无穷间断点，在该点的左右极限分别是负无穷和正无穷。
连续点是指在函数定义域上的点，其函数值与该点的极限值相等。
换句话说，函数图像在该点处没有间断或跳跃。
对于一个函数$f(某)$，如果$f(某)$在其定义域上的每一个点都连续，那么该函数被称为在其定义域上连续的函数。
连续性在数学中具有很多重要的性质和应用。
例如，连续函数具有介值定理，即如果$f(a)<y<f(b)$，那么在闭区间$[a,b]$上存在一个$某$使得$f(某)=y$。
这个定理可以应用于实际生活中的许多问题，例如求根问题、优化问题等。
在微积分中，连续性是很重要的。
高数间断点的分类及判断方法
高数间断点的分类及判断方法1.引言1.1 概述概述在数学领域中，高等数学是一门重要的学科，涉及到许多与函数相关的概念和方法。
在函数的研究中，间断点是一个关键概念。
间断点是指函数在某一点上不连续的现象，可以分为不同的类型进行分类。
本文将对高等数学中的间断点进行分类，并介绍判断这些间断点的方法。
通过对间断点的分类和判断方法的了解，我们可以更好地理解函数的性质和行为，为解决实际问题提供更准确的数学模型。
接下来的章节将更详细地介绍高数间断点的定义和分类，以及判断这些间断点的方法。
希望通过本文的阐述，读者可以对高数中的间断点有一个全面的了解，从而提升自己在数学领域的知识水平。
同时，本文也将对已有研究进行总结，并对未来可能的研究方向进行展望。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将分为三个主要部分。
首先，在引言部分，将对高数间断点的概念进行概述，并介绍本文的目的。
接下来，在正文部分，将详细讨论高数间断点的定义和分类，并探讨相关的判断方法。
最后，在结论部分，将对全文进行总结，并展望未来对高数间断点的研究方向。
在正文部分，2.1 将详细介绍高数间断点的定义和分类。
首先，会给出对间断点的定义和解释，包括数学中间断点的概念及其在实际问题中的应用。
随后，将对间断点进行分类，按照不同的特征和判定标准，将间断点划分为不同的类型，并详细讲解其特点和应用场景。
接着，2.2 将介绍高数间断点的判断方法。
通过引入相关的数学工具和技巧，将阐述如何判断一个给定的函数在某个点是否存在间断点。
将重点讨论几种常用的判断方法，包括极限和连续性的概念，并结合实例进行详细说明和推导。
在结论部分，3.1 将对全文进行总结，概括高数间断点的定义、分类和判断方法以及相关内容的重要性和应用价值。
同时，将对本文的研究工作进行简要回顾，并指出存在的不足之处。
最后，3.2 将展望未来对高数间断点研究的方向和重点，提出可能的改进和拓展方向。
通过以上的文章结构，本文旨在为读者提供一个全面而系统的了解高数间断点的分类和判断方法。
函数的连续性与间断点(重点内容全)
函数的连续性与间断点一、函数的连续性1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作x ∆，即x ∆＝1x －2x 。
（增量可正可负）。
例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=∆+x x 时，函数值的改变量。
2．函数在点连续的定义定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量x ∆=0x x -趋向于零时，对应的函数增y ∆＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。
定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当0x x →时的极限存在，即)()(lim 00x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。
定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值)(x f 都满足不等式：ε<-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。
注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝)(x f 在点0x 有定义），（2） )(lim 0x f x x →存在；（3）)()(lim 00x f x f x x =→。
3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义：（1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续⇔)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。
（2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续⇔)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。
函数的间断点
(1) 函数 在 无定义 ;
(2) 函数
在 虽有定义 , 但
不存在;
(3) 函数 在 虽有定义 , 且
lim f (x) f (x0)
x x0
这样的点 称为间断点 .
存在 , 但
间断点分类:
第一类间断点: 及
均存在 ,
若 若 第二类间断点:
称 x0为可去间断点 . 称 x0 为跳跃间断点 .
及
中至少一个不存在 ,
若其中有一个为 ,称 x0 为无穷间断点 .
若其中有一个为振荡, 称 x0 为振荡间断点 .
例如:
x π 为其无穷间断点 . 2
x 0 为其振荡间断点 . y
y y tan x
O
x
2
y y sin 1 x
1x
y
1
O
x去间断点 . O 1 x
x, x 1
(4)
y
f
(x)
1 2
,
x 1
y
1
1
显然 lim f (x) 1 f (1)
2
x1
O
x 1为其可去间断点 .
(5)
y
f
(x)
x 1 0
, ,
x0 x0
x 1 , x 0
f (0 ) 1,
f (0 ) 1
x 0 为其跳跃间断点 .
函数间断点的分类及判断方法
函数间断点的分类及判断方法在一般的函数中，当函数的值突然变化时，就会出现间断点。
间断点也被称为函数的变曲点、拐点、变点、控制点，指的是一类特殊的点。
在具体的运算中，都把它们作为矩阵的某种特征考虑进来，使矩阵更加规范。
这里给大家介绍函数间断点的分类及判断方法，希望能帮助大家对其有更多的了解。
一、函数间断点的分类1、极值点极值点是一种比较常见的函数间断点，它指的是函数增加或减少最快的点，即函数单调性切换的地方，且这个点的曲率为0。
函数在极值点处有最大值或最小值，也可以有驻点，这种函数的驻点的做法为：在该函数的图像上，正负不变，其值也不变，叫做驻点。
2、拐点拐点也称为变曲点，它指的是把一曲线的本来的曲率发生变化的点。
它的主要特征就是曲率由负值变为正值或者曲率由正值变为负值，即由弯曲变为直线或者由直线变为弯曲，这时函数在拐点处不可能有极值。
3、切点切点是一种常见的函数间断点，它指的是曲线在两个相邻的点间的切线平行的点。
在曲线的的切点处，函数的斜率必须要等于切线的斜率。
而且切点也不可能有极值，但是可能有驻点。
4、驻点驻点指的是函数在该点处的曲率和函数值都不变，而且函数在该点处也不会出现极值。
二、函数间断点的判断方法1、把函数表示为链式法则首先把函数表示为一组链式法则，这样便可以快速的确定其在任意点的导数及其极值情况，而在计算导数为零的点的时候，就可以得到关于函数拐点的信息了。
2、判断极值点可以把函数的斜率表示出来，然后判断极值点，使用链式法则来计算函数的斜率，当函数的斜率为0时，说明此处为极值点，从而可以判断出函数的极值点。
3、判断拐点可以把函数的二阶导数表示出来，然后判断拐点。
二阶导数可以用来表示曲线的曲率，函数的二阶导数为0时，表明此处为拐点，从而可以得到函数的拐点。
4、判断切点切点可以把函数的一阶导数表示出来，然后判断切点。
一阶导数可以用来表示曲线的斜率，而函数的一阶导数为0时，表明此处为切点，从而可以得到函数的切点。
高等数学：第三讲-函数的间断点
x1
x1
所以x =1是f (x)的第一类间断点, 且是可去间断点．
例题1 补充说明：
所谓可去间断点是指：可以通过 改变或补充 f(x0) 的定义，
使得
f
( x0 )
lim
x x0
f ( x),
从而使f (x) 在 x0
处连续.
例如：上例中改变定义, 令 f (1) =2, 则
x2 1
f (x)
x0 x
x0 x
所以 x =0 是 f (x) 的第二类间断点, 且是无穷间断点．
例题4：
函数 y sin 1 , 考察 x = 0 处. x
lim sin 1 , lim sin 1 都不存在 ,
x0
x x0
x
所以x = 0是 f (x) 的第二类间断点．
x 0 时, f (x)的值在-1
到1之间反复振荡,这时亦
x1
,
2,
x 1, x 1,
则 f (x)在x=1处就连续了.
y 2
O 1x -1
例题2：
函数
x1,
f
(
x)
x
1
,
x0, x0.
考察 x = 0 处.
y
1
o
x
1
所以 x =0 是 f (x) 的第一类间 断点,且是跳跃间断点．
函有数定在义x，=0且处f(是0)否=1有. 定义？
lixlmim0f (fx()x是) 否xl存im0在 (？x 1) 1
称x = 0是f(x)的振荡间断点．
y sin 1 x
小结
第一类间断点：
lim f ( x), lim f ( x)
x x0
函数的间断点的分类及应用
函数的间断点的分类及应用
1、一阶间断点：它是在函数定义域上存在一个取值范围，取到该值时函数值出现间断，但仍有连续性，这个范围中函数不可导，这种类型的间断点称为一阶间断点。
应用：
1).一阶间断点在求解动力学的问题来用来求解关节的转动方向及型变。
2).在实用工程上一阶间断点用来模拟聚脂环的行为。
2、二阶间断点：函数定义域上存在一个取值范围，取到该范围的值时，函数值函数曲线出现、折屈，此时函数连续，但且其一阶导数有间断，这种类型的间断点称为二阶间断点。
应用：
1).从另一角度上看，二阶间断点主要应用在圆弧凸性加工中。
当圆弧处于二阶间断点时，比如出现折线，可以用来处理材料重叠现象；
2).二阶间断点也广泛应用于软件系统上，比如用在数显表中可以提高数据的读取速度；
3)除此之外，二阶间断点还被广泛应用在测温仪系统中，特别是现代汽车上，二阶间断点技术可以更精确的测量内部汽车温度。
间断点的分类
一、函数与极限
间断点的分类
我们通常把间断点分成两类：如果x 0是函数
的间断点，且其左、右极限都存在，我们把x 0称为函数的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.
可去间断点
若x 0是函数的间断点，但极限
存在，那末x 0是函数的第一类间断点。
此时函
数不连续原因是：不存在或者是存在但≠。
我们令，则可使函数在点x 0处连续，故这种间断点x 0称为可去间断点。
连续函数的性质及初等函数的连续性
连续函数的性质
函数的和、积、商的连续性
我们通过函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，可得出以下结论：
a)：有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数；
b)：有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数；
c)：两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数(分母在该点不为零)；
反函数的连续性若函数在某区间上单调增(或单调减)且连续，那末它的反函数也在对应的区间上单调增(单调减)且连续
例：函数在闭区间上单调增且连续，故它的反函数在闭区间
[-1,1]上也是单调增且连续的。
复合函数的连续性
设函数
当x→x 0时的极限存在且等于a，即：.而函数在点u=a
连续，那末复合函数当x→x 0时的极限也存在且等于.即：例题：求
解答：
注：函数可看作与复合而成，且函数在点u=e 连续，因此可得出上述结论。
设函数在点x=x 0连续，且，而函数在点u=u 0连续，那末复合函数
在点x=x
也是连续的。
函数的间断点
函数间断点求法两个基本步骤1、间断点（不连续点）的判断在做间断点的题目时，首要任务是将间断点的定义熟记于心。
下面我们一起看一下教材上间断点的定义：2、间断点类型的判断找出函数的间断点后，然后判断间断点的类型，主要通过间断点的左右极限情况来划分：（1）第一类间断点：在间断点处的左右极限都存在．可以分为以下两种：①可去间断点：左右极限存在且相等；②跳跃间断点：左右极限存在但不相等．（2）第二类间断点：在间断点处的极限至少有一个不存在．经常使用到的，有以下两种形式的第二类间断点：①无穷间断点：在间断点的极限为无穷大．②振荡间断点：在间断点的极限不稳定存在． ?间断点：是f(x)的间断点，f(x)在点处的左右极限都存在为第一类间断点. f(x)至少有一个不存在，则是f(x)的第二类间断点.第一类间断点中第二类间断点：无穷间断点，振荡间断点等.下面通过一道具体的真题，说明函数间断点的求法：函数的间断点一、函数的间断点设函数()x f 在点0x 的某去心邻域内有定义．在此前提下，如果函数()x f 有下列三种情形之一：1．在0x x =没有定义；2．虽在0x x =有定义，但()x f x x 0lim →不存在；y在 间断 x 1⑤ 11-=x y 。
，∞=-=→11lim11x x x 3．虽在0x x =有定义，且()x f x x 0lim →存在，但()()00lim x f x f x x ≠→；则函数()x f 在点0x 为不连续，而点0x 称为函数()x f 的不连续点或间断点．下面我们来观察下述几个函数的曲线在1=x 点的情况，给出间断点的分类：在1=x 连续． 在1=x 间断，1→x 极限为2．在1=x 间断，1→x 极限为2． 在1=x 间断，1→x 左极限为2，右极限为1．在0=x 间断，0→x 极限不存在． 像②③④这样在0x 点左右极限都存在的间断，称为第一类间断，其中极限存在的②③称作第一类间断的可补间断，此时只要令()21=y ，则在1=x 函数就变成连续的了；④被称作第一类间断中的跳跃间断．⑤⑥被称作第二类间断，其中⑤也称作无穷间断，而⑥称作震荡间断．就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果0x 是函数()x f 的间断点，但左极限y x 1121-① 1+=x y y x 1121-②112-+=x x y ③ ⎩⎨⎧≥<+=1111x x x y ，，y x 1121-④ ⎩⎨⎧≥<+=111x x x x y ，，yx 1121-⑥ x y 1sin =()00-x f 及右极限()00+x f 都存在，那么0x 称为函数()x f 的第一类间断点．不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点．无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点．例1 确定a 、b 使⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=0,1sin 0,0,sin )(x b x x x a x xxx f 在0=x 处连续．解：)(x f 在0=x 处连续)(lim 0x f x +→⇔)(lim 0x f x -→=)0(f =因为b b x x x f x x =⎪⎭⎫⎝⎛+=++→→1sin lim )(lim 00；1sin lim )(lim 00==--→→x x x f x x ；a f =)0(所以1==b a 时，)(x f 在0=x 处连续． 例2 求下列函数的间断点并进行分类1、11)(2+-=x x x f 分析：函数在1-=x 处没有定义，所以考察该点的极限．解：因为 2)1(lim 11lim 121-=-=+--→-→x x x x x ，但)(x f 在1-=x 处没有定义所以 1-=x 是第一类可去间断点．2、⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,1,0,1sin)(x x xx x f 分析：0=x 是分段函数的分段点，考察该点的极限．解：因为 01sin lim 0=→x x x ，而1)0(=f所以 0=x 是第一类可去间断点．总结：只要改变或重新定义)(x f 在0x 处的值，使它等于)(lim 0x f x x →，就可使函数在可去间断点0x 处连续．3、⎩⎨⎧<-≥+=.0,1,0,1)(x x x x x f 分析：0=x 是分段函数的分段点，且分段点左右两侧表达式不同，考察该点的左、右极限．解：因为 1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x ；1)1(lim )(lim 00-=-=--→→x x f x x所以 0=x 是第一类跳跃间断点．4、x x f 1arctan)(=分析：函数在0=x 处没有定义，且左、右极限不同，所以考察该点的单侧极限．解：因为 21arctan lim )(lim 00π==++→→x x f x x ；21arctan lim )(lim 00π-==--→→x x f x x 所以 0=x 是第一类跳跃间断点．5、xe xf 1)(=解：因为 +∞==++→→xx x e x f 100lim )(lim所以 0=x 是第二类无穷间断点6、x x f 1sin)(=解：x x f x x 1sinlim )(lim 0→→= 极限不存在所以 0=x 是第二类振荡间断点7、求x xx f sin )(=的间断点，并将其分类． 解：间断点：),2,1,0(ΛΛ±±==k k x π当0=x 时，因1sin lim0=→x xx ，故0=x 是可去间断点．当),2,1(ΛΛ±±==k k x π时，因∞=→x x k x sin lim π，故),2,1(ΛΛ±±==k k x π是无穷间断点．小结与思考：本节介绍了函数的连续性，间断点的分类． 1、求nn x xx f 211lim)(++=∞→分析：通过极限运算，得到一个关于x 的函数，找出分段点，判断．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==><<-+=.1,01,11,011,1)(x x x x x x f解：因为00lim )(lim 11==++→→x x x f ；2)1(lim )(lim 11=+=--→→x x f x x所以1=x 是第一类跳跃间断点 因为0)1(lim )(lim 11=+=++-→-→x x f x x ；00lim )(lim 11==---→-→x x x f ；0)1(=-f所以1-=x 是连续点．。
函数的间断点及其类型ppt课件
lim x2 x 3 x2 lim
x3
x x2 x 3 x x x2 x 3 x
lim
x3
lim
1 3 x
1
x x2 x 3 x
x
1
1 x
3 x2
1
2
又 lim ( x2 x 3 x) x ()
论
函
数
f
(
x)
x, 1 x,
解 f (0 ) 0, f (0 ) 1,
x 0,在x 0处的连续性.
x 0,
y
f (0 ) f (0 ),
o
x
x 0为函数的第一类跳跃间断点.
6
例 讨论函数
f
(
x)
2 1,
x,
0 x 1, x1
23
x 0, ln(1 x) ~ x, m 1 x 1 ~ 1 x
m
求 lim ( 1 2x 1)e2x x0 ln(1 3x)
lime2x lim
x0
x0
12x 1 ln(1 3x)
1 lim x0
12x 1 ln(1 3x)
1 (2x) lim 2
x0
x0
1
lim f ( x) lim e x ,
x0
x0
x
0是
f (x)
e
1
x的
第
二
类
间
断
点.
15
1.求函数f ( x)
1
10x
的 间 断 点,
并指出其类型.
求间断点的常用知识点
求间断点的常用知识点在数学和物理学中，我们经常遇到求间断点的情况。
间断点是函数在某个点上不连续的点，也是函数图像上的特殊点之一。
在本文中，我们将介绍一些常见的求间断点的知识点，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
1.函数的定义在开始讨论间断点之前，我们先来回顾一下函数的定义。
函数是一种数学关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是对应的函数值。
2.连续函数在数学中，我们称一个函数在某个点上连续，如果函数在该点的极限存在且与函数在该点的值相等。
连续函数是一种没有间断点的函数，它的图像可以用一条连续的曲线表示。
3.第一类间断点第一类间断点是函数在某一点上不连续的点。
具体来说，如果函数在该点的左极限和右极限存在，但是两者不相等，那么该点就是一个第一类间断点。
这种间断点也被称为可去间断点，因为我们可以通过修改函数在该点的定义来消除间断点。
4.第二类间断点第二类间断点是函数在某一点上不连续的点。
与第一类间断点不同的是，第二类间断点的函数在该点的左极限和右极限至少有一个不存在。
这种间断点也被称为跳跃间断点，因为函数图像在该点处出现了跳跃。
5.瑕疵点瑕疵点是函数在某一点上不连续的点。
与第一类和第二类间断点不同的是，瑕疵点的函数在该点的极限不存在。
在瑕疵点处，函数图像可能出现奇异的行为，例如无穷大或无穷小值。
6.求间断点的方法要求一个函数的间断点，我们可以遵循以下步骤：•首先，找到函数的定义域。
定义域是函数可以取值的集合。
•然后，将函数在定义域内的每个点进行分类讨论。
判断函数在该点是否连续。
•如果函数在某个点上不连续，我们可以进一步确定该点的间断点类型（第一类、第二类或瑕疵点）。
•最后，我们可以将间断点的位置标记在函数图像上，以便更直观地理解函数的特性。
通过理解和应用上述知识点，我们可以更好地分析和解决与求间断点相关的问题。
对于数学和物理学领域的学习和研究，这些知识点是非常重要的基础概念。
间断点及其分类
第十九讲、间断点及其分类定义19.1. 设f (x) 在点x 的某个去心邻域U x 内有定义, 则下列情形之一，o( )0 0函数f (x) 在点x处不连续：（1）函数f (x) 在点x处没有定义；（2）函数f (x) 在点x处有定义，但极限lim ( )x→x f x 不存在；（3）函数f (x) 在点x处有定义，极限lim ( )x→x f x 也存在，但lim ( ) ( )x→x f x ≠ f x0 0这样的点x称为函数f (x) 的不连续点，通常称为间断点。
间断点的分类：设x为函数f (x) 的间断点，（I）若步地，f(x +)及f x −均存在，我们称( )x 为函数f (x) 的第一类间断点。
进一可去间断点，即+−f (x )=f (x )0 0第一类间断点跳跃间断点，即f (x +) ≠ f (x −)0 0（II）若断点f x +及( )f x −至少有一个不存在，我们称( )x 为函数f (x) 的第二类间注记19.1：若要么x为函数f (x) 的可去间断点，则要么函数f (x) 在x 没有定义，lim x→x f (x) ≠ f (x ) 。
于是，当0 0 x 为函数f (x) 的可去间断点时，可以通过补充函0数f (x) 在x的定义，或者改变f (x) 在0 x 处的取值使之在x 连续。
πx=。
0 2 例子19.1：（1）f (x) = tan x ，因为l im tanπx→+2 x与lim tanπx→−2x存不存在，故点πx=为函数f (x) = tan x 的第二0 2类间断点。
又因为与均发散到无穷，故我们又进一步lim tan x lim tan xππx→+x→−2 2π地称点=为函数f (x) = tan x 的无穷间断点。
x0 21（2）=，0 0f (x) sin x =x1 1 1因为x→+x 与x→−x 不存在，故点x =为函数=的第二lim sin 0 0 f (x) sinlim sin0 0x1类间断点。
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x
x
解 ：f (x) 1 在x 0无 定 义 ， x
0
x
x 0为 函 数 的 间 断 点
l i mf (x) (极 限 不 存 在 ） x0
x 0为 第 二 类 间 断 点
并 称x0为f(x)无 穷 间 断 点 。
例 4.讨论f(函 x)s数 i1 n 的间 x 断 0的点 类型 x
1, x0 解 ： f(x)sgn(x)0, x0
1, x0
y
1
0
x
1
由 f(0 于 0 ) 1 f(0 0 ) 1
x0为f(x)sgnx)(的跳跃间断点
2. 左右极限存在 即l且 imf相 (x)存 等在 ，但 ， xa
limf(x)f(a)， 或f(x)在xa无定,称 义a
若 为 可 去 间 断改 点定 ，义 则使 修函 x2数 连在 续 。
解 li： m f(x ) lix m 2 4 4f(2 ) 1
x 2
x 2x 2
x2是f (x)的可去间断点。
修 改 定f义 1(x)， xx2 令 24，x2 4， x2
xa
为可去间断点。
例 2. 讨论 f(x)xs in 1在x0处的连续
解
： limxsin10,
x 但f(x)在x0无定义，
x0
x
x0是f(x)的可去间断点。
补充 令 f 1 ( 0 ) 定 l x 0 if( m x ) 义 0 ,f 1 (x ) ： f(x )x ( 0 )
即
f1(x) xs
i1n， x0 x
0，x0
则f1(x)在x0处连续。
3. 左右极限至存 少在 有f， 一 (a即 个 0)与 不 f(a0) 至 少 有 一 个 不 a为存 f(x)在 的， 第称 二 类 间
y
例3. 讨论f(x) 1的间断点类型f (。 x) 1
2.3.4 函数的间断点
f (x)在点a处连续，包含着三件 个： 条
(1) f(x)在点a有定义； (2) limf(x) 存在；
xa
(3) lim f(x)f(a)； x a
若上述三条之 ，一 则f不 称 (x)在 成点 立 a不连续 或间断 a称，为间断点。 间断点的分类：
第一类：左右极限都存在的间断点。
f(x)在x2无定义，x 2是可去间断点．
2.3.5 闭区间上连续函数的性质 A. 最值定理与有界性定理
定 义f： (x)在 设区 I上 间有 定 义x0， I， 如使 果 对 于 xI都f有 (x)f(x0)(或f(者 x)f(x0))
则称 f(x0)是函 f(x数 )在区 I上 间的最
y
M
ca
m0
bx
推论（零值定理）
若 f(x)在 [a,b]上连续 f(a)f， (b)0 且 ，则 存在 c 一 (a,b)， 点使 f(c)得 0。
y
a
0
cb x
几何意义：曲线与 x 轴至少有一个交点。
零值定理常被用来证明方程f(x)=0在某一区间[a,b] 内根的存在性。
y
y
01 x
01x
(b)f(x) 0x .5 ， ，x x[ 01 ,1)在 x1不连 , 续 即f(x)在[0,1)连续 ,
f(x)x在闭区 [0,1]间 没有最值。
（2）最大值与最小值是唯一的，但最值点不唯一。
例如 f(x)sin x 在区 [0,间 4]上最值点不
x,5为最大x值 3点 ,7为 ，最小值
y
x
解当 ：x0时 ， f(x)sin1的 值 在 1与1之 间 x
来 回 振,l荡 imf(x)不 存 在x， 0为f(x)的 x0
第 二 类 间 断 点x，0为称f(x)的 振 荡 间 断 点
例5.讨论 f(x)xx224，x2 在x2处的连续性 1， x2
则f1(x)在x2连续。
例6 讨论 f(x)|x|(xx222xx6) 的间断点。
解：显然 f(x)在 ， x点 0， x 3， x2无定义
f(00)xl im 0| x|(xx(x2x2)6)
1， 3
f(00)xl im 0| x|(xx(x2x2)6)
1 3
，
f(00)f(00)， x 0是跳跃间断点；
f(30)lim x(x2) ，
x3|x|(x3)(x2)
x3是第二类（或无穷 断） 点间 ；
lim x(x2) lim 1 1 ， x2| x|(x3)(x2) x2 x 3 5
（或最小值）。 x0是函f数 (x)在区I间 上的 最大值点或最小值点。
最大值、最小值统称为最值。
例如
f(x)1sinx在[0,2]上，
最大值2， 为最小值 0；为 f(x)sgnx()在(,)上，
最大值1， 为最小值 1； 为
而在(0,)上， 最大值为1，最小值也为1；
f(x)x在(a,b)上无最值。
第二类：左右极限至少一个不存在的间断点。
f (x) 在点a 处间断有三种情况：
1. f(x)在点a处左右极限都存不 在相 ，等 但。
即 f(a 0 )与 f(a 0 )都存 f(a 在 0 )f ， (a 0 )但 称a是f(x)的跳跃间(属 断于 点第一类间断
例1 讨论符号函数在x=0处的连续性。
定理 21 （最值定理）
若f(x)在[a,b]上连续， f(x)则 一定有最大值。 与
即 1 ,2 [ a , b ] ， x [ a , b ] 有 f ( 1 ) f ( x ) f ( 2 ) 。
注意：（1）两个条件（闭区间、连续）缺一不可。
例如 (a)f(： x)x在开(0,区 1)没 间 有最值
22
22
推论（有界性定理）
闭区间上连续函数必有界。
定理 22（ 介值定理）
若f(x)在 [a,b]上 连f(续 x)在 ， [a,b]上的最M 大 ，
最小m 值 ， 则 为 c [ m ,M ] ， [ aБайду номын сангаас,b ] 使 f() c 。
几何意义： 曲线与直线 y =c 至少有一个交点。