234-5函数的间断点及其分类

（或最小值）。 x0是函f数 (x)在区I间 上的 最大值点或最小值点。
最大值、最小值统称为最值。
例如
f(x)1sinx在[0,2]上，
最大值2， 为最小值 0；为 f(x)sgnx()在(,)上，
最大值1， 为最小值 1； 为
而在(0,)上， 最大值为1，最小值也为1；
f(x)x在(a,b)上无最值。
若 为 可 去 间 断改 点定 ，义 则使 修函 x2数 连在 续 。
解 li： m f(x ) lix m 2 4 4f(2 ) 1
x 2
x 2x 2
x2是f (x)的可去间断点。
修 改 定f义 1(x)， xx2 令 24，x2 4， x2
第二类：左右极限至少一个不存在的间断点。
f (x) 在点a 处间断有三种情况：
1. f(x)在点a处左右极限都存不 在相 ，等 但。
即 f(a 0 )与 f(a 0 )都存 f(a 在 0 )f ， (a 0 )但 称a是f(x)的跳跃间(属 断于 点第一类间断
例1 讨论符号函数在x=0处的连续性。
f(x)在x2无定义，x 2是可去间断点．
2.3.5 闭区间上连续函数的性质 A. 最值定理与有界性定理
定 义f： (x)在 设区 I上 间有 定 义x0， I， 如使 果 对 于 xI都f有 (x)f(x0)(或f(者 x)f(x0))
则称 f(x0)是函 f(x数 )在区 I上 间的最
则f1(x)在x2连续。
例6 讨论 f(x)|x|(xx222xx6) 的间断点。
解：显然 f(x)在 ， x点 0， x 3， x2无定义
f(00)xl im 0| x|(xx(x2x2)6)
1， 3
f(00)xl im 0| x|(xx(x2x2)6)
22
22
推论（有界性定理）
闭区间上连续函数必有界。
定理 22（ 介值定理）
若f(x)在 [a,b]上 连f(续 x)在 ， [a,b]上的最M 大 ，
最小m 值 ， 则 为 c [ m ,M ] ， [ a ,b ] 使 f() c 。
几何意义： 曲线与直线 y =c 至少有一个交点。
1, x0 解 ： f(x)sgn(x)0, x0
1, x0
y
1
0
x
1
由 f(0 于 0 ) 1 f(0 0 ) 1
x0为f(x)sgnx)(的跳跃间断点
2. 左右极限存在 即l且 imf相 (x)存 等在 ，但 ， xa
limf(x)f(a)， 或f(x)在xa无定,称 义a
y
x
解当 ：x0时 ， f(x)sin1的 值 在 1与1之 间 x
来 回 振,l荡 imf(x)不 存 在x， 0为f(x)的 x0
第 二 类 间 断 点x，0为称f(x)的 振 荡 间 断 点
例5.讨论 f(x)xx224，x2 在x2处的连续性 1， x2
y
y
01 x
01x
(b)f(x) 0x .5 ， ，x x[ 01 ,1)在 x1不连 , 续 即f(x)在[0,1)连续 ,
f(x)x在闭区 [0,1]间 没有最值。
（2）最大值与最小值是唯一的，但最值点不唯一。
例如 f(x)sin x 在区 [0,间 4]上最值点不
x,5为最大x值 3点 ,7为 ，最小值
x
x
解 ：f (x) 1 在x 0无 定 义 ， x
0
x
x 0为 函 数 的 间 断 点
l i mf (x) (极 限 不 存 在 ） x0
x 0为 第 二 类 间 断 点
并 称x0为f(x)无 穷 间 断 点 。
例 4.讨论f(函 x)s数 i1 n 的间 x 断 0的点 类型 x
y
M
ca
m0
bx
推论（零值定理）
若 f(x)在 [a,b]上连续 f(a)f， (b)0 且 ，则 存在 c 一 (a,b)， 点使 f(c)得 0。
y
a
0
cb x
几何意义：曲线与 x 轴至少有一个交点。
零值定理常被用来证明方程f(x)=0在某一区间[a,b] 内根的存在性。
2.3.4 函数的间断点
f (x)在点a处连续，包含着三件 个： 条
(1) f(x)在点a有定义； (2) limf(x) 存在；
xa
(3) lim f(x)f(a)； x a
若上述三条之 ，一 则f不 称 (x)在 成点 立 a不连续 或间断 a称，为间断点。 间断点的分类：
第一类：左右极限都存在的间断点。

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，
f(00)f(00)， x 0是跳跃间断点；
f(30)lim x(x2) ，
x3|x|(x3)(x2)
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x3是第二类（或无穷 断） 点间 ；
lim x(x2) lim 1 1 ， x2| x|(x3)(x2) x2 x 3 5
即
f1(x) xs
i1n， x0 x
0，x0
则f1(x)在x0处连续。
3. 左右极限至存 少在 有f， 一 (a即 个 0)与 不 f(a0) 至 少 有 一 个 不 a为存 f(x)在 的， 第称 二 类 间
y
例3. 讨论f(x) 1的间断点类型f (。 x) 1
定理 21 （最值定理）
若f(x)在[a,b]上连续， f(x)则 一定有最大值。 与
即 1 ,2 [ a , b ] ， x [ a , b ] 有 f ( 1 ) f ( x ) f ( 2 ) 。
注意：（1）两个条件（闭区间、连续）缺一不可。
例如 (a)f(： x)x在开(0,区 1)没 间 有最值
xa
为可去间断点。
例 2. 讨论 f(x)xs in 1在x0处的连续
解
： limxsin10,
x 但f(x)在x0无定义，
x0
x
x0是f(x)的可去间断点。
补充 令 f 1 ( 0 ) 定 l x 0 if( m x ) 义 0 ,f 1 (x ) ： f(x )x ( 0 )