江苏省连云港市2021届高三年级第一学期期中调研考试数学试题(含答案解析)
2020-2021学年江苏省连云港市高一(上)期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年江苏省连云港市高一（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．下列表述正确的是（）A．{a，b}⊆{b，a}B．{a}∈{a，b}C．a⊆{a}D．0∈∅2．下列函数与函数y＝x是同一个函数的是（）A．B．C．D．3．命题“∀x∈R，x2+1≥0”的否定为（）A．∀x∈R，x2+1＜0B．不存在x∈R，x2+1＜0C．∃x∈R，x2+1≥0D．∃x∈R，x2+1＜04．若x＞0，y＞0，n∈N*，则下列各式中，恒等的是（）A．lgx•lgy＝lgx+lgy B．lgx2＝（lgx）2C．D．5．设x＞1，则x+的最小值是（）A．2B．3C．2D．46．设函数f（x）＝x+2，g（x）＝x2﹣x﹣1．用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，则M（x）的最小值是（）A．1B．3C．0D．7．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm．由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（ppm）与排气时间t（分钟）之间存在函数关系（m 为常数）．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，则这个地下车库中的一氧化碳含量达到正常状态至少排气（）A．16分钟B．24分钟C．32分钟D．40分钟8．对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫做集合A与B的差集，记做A﹣B．例如，A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，则有A﹣B＝{1，2}，B﹣A＝{4}．若集合P＝（3，5），集合Q＝{x|（x+a）（x+2a﹣1）＜0}，且P﹣Q＝∅，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣2）B．[﹣3，﹣2]C．（3，+∞）D．[3，+∞）二、多项选择题（共4小题）.9．若a＞b＞0，则（）A．ac2≥bc2B．a2＜ab＜b2C．D．10．下列关于充分条件和必要条件的判断，其中正确的是（）A．“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件B．“a2＜1”是“a＜1”的必要不充分条件C．设a，b，c∈R，则“a2+b2+c2＝ab+bc+ac”是“a＝b＝c”的充要条件D．设a，b∈R，则“a≥2且b≥2”是“a2+b2≥4”的必要不充分条件11．对于定义在R上的函数f（x），下列判断正确的是（）A．若f（2）＞f（﹣2），则函数f（x）是R上的增函数B．若f（2）＜f（﹣2），则函数f（x）在R上不是增函数C．若f（2）＝f（﹣2），则函数f（x）是偶函数D．若f（2）≠f（﹣2），则函数f（x）不是偶函数12．已知正数x，y，z满足3x＝4y＝6z，则下列结论正确的有（）A．B．3x＜4y＜6z C．xy＜2z2D．三、填空题（共4小题）.13．已知函数f（x）＝，则f（f（﹣2））＝．14．函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x≤0时，f（x）＝x（2﹣x），则f（2）＝．15．物理学中，声强是表示声波强度的物理量，可用公式表示，其中v表示声速，ω和A分别是声波的频率和振幅，ρ是媒质的密度．由于声强的变化范围非常大，数量级可以相差很多，因此常采用对数标度，这就引入声强级的概念，规定声强级L＝10lg．通常规定（相当于1000 Hz时能够引起听觉的最弱的声强），这时计算出来的L就是声强I的量度，式中声强级的单位称为贝尔．实际上，由于贝尔这个单位太大，通常采用贝尔的作单位；这就是分贝（dB）．当被测量的声强I为声强I0的1000倍时，声强级L是分贝．16．若干个正整数之和等于10，这些正整数乘积的最大值为．四、解答题：共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①A∪B＝B；②A∩B＝∅；③A∩B＝B这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的实数a存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．问题：已知集合A＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，是否存在实数a，使得___？18．（12分）记函数的定义域为集合A，函数g（x）＝x2+2x+3的值域为集合B，U＝R，求：（1）A，B；（2）A∪B，A∩∁U B．19．（12分）（1）已知a+a﹣1＝7，求a2+a﹣2及的值；（2）已知lg3＝a，lg5＝b，用a，b分别表示log53和lg3.6．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，3）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若满足不等式组的整数解有且只有一个，求正实数t的取值范围．21．（12分）假设某人从事某项投资，他第一次投入a元，得到的利润是b元，收益率是．（1）若第二次他又投入x元，得到的利润是cx元，求此人两次投资的总收益率；（2）在第一次投资的基础上，从第二次起，此人每次都固定投资x元，每次得到的利润也都是x元，那么他每次投资后的总收益率是增加了还是减少了？请从数学角度解释你的判断．22．（12分）已知f（x）＝x•|x|，x∈R．（1）求证：f（x）为奇函数；（2）设g（x）＝f（x）+kx﹣k，k∈R，求g（x）在区间[﹣2，2]上的最大值．参考答案一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.1．下列表述正确的是（）A．{a，b}⊆{b，a}B．{a}∈{a，b}C．a⊆{a}D．0∈∅【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系判断即可．解：对于A，集合是自身的子集，故A正确；对于B，“∈”用在元素与集合的关系中，应为{a}⫋{a，b}，故B错误；对于C，“⊆”用在集合与集合的关系中，应为“a∈{a}”，故C错误；对于D，空集表示不含任何元素，故D错误．故选：A．2．下列函数与函数y＝x是同一个函数的是（）A．B．C．D．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一个函数．解：对于A，函数y＝＝x，x∈[0，+∞），与函数y＝x，x∈R的定义域不同，不是同一个函数；对于B，函数u＝＝v，v∈R，与函数y＝x，x∈R的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；对于C，函数s＝＝|t|，t∈R，与函数y＝x，x∈R的对应关系不同，不是同一个函数；对于D，函数m＝＝n，n∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），与函数y＝x，x∈R的定义域不同，不是同一个函数．故选：B．3．命题“∀x∈R，x2+1≥0”的否定为（）A．∀x∈R，x2+1＜0B．不存在x∈R，x2+1＜0C．∃x∈R，x2+1≥0D．∃x∈R，x2+1＜0【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．解：命题为全称命题，则命题的否定是：￢p：∃x∈R，x2+1＜0，故选：B．4．若x＞0，y＞0，n∈N*，则下列各式中，恒等的是（）A．lgx•lgy＝lgx+lgy B．lgx2＝（lgx）2C．D．【分析】根据对数的运算性质判断每个选项的等式是否恒等即可．解：A．lgx+lgy＝lg（xy）≠lgx•lgy，∴该式不恒等；B．lgx2＝2lgx≠（lgx）2，∴该式不恒等；C.，∴该式恒等，该选项正确；D.，∴该式不恒等．故选：C．5．设x＞1，则x+的最小值是（）A．2B．3C．2D．4【分析】变形利用基本不等式即可得出．解：∵x＞1，∴x+＝x﹣1+＝3，当且仅当x＝2时取等号．∴x+的最小值是3．故选：B．6．设函数f（x）＝x+2，g（x）＝x2﹣x﹣1．用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，则M（x）的最小值是（）A．1B．3C．0D．【分析】先通过比较求出函数的解析式，再各段求出最小值即可．解：令x2﹣x﹣1≥x+2，解得x≥3或x≤﹣1，则M（x）＝，当x≥3或x≤﹣1时，M（x）min＝M（﹣1）＝1，当﹣1＜x＜3时，函数没有最小值，综上：函数的最小值为1，故选：A．7．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm．由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（ppm）与排气时间t（分钟）之间存在函数关系（m 为常数）．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，则这个地下车库中的一氧化碳含量达到正常状态至少排气（）A．16分钟B．24分钟C．32分钟D．40分钟【分析】由已知求解指数方程得到m值，代入原函数解析式，再由题意列关于t的不等式求解．解：由，把t＝4，y＝64代入，可得64＝，解得m＝，∴y＝．令，得，即t≥32．∴这个地下车库中的一氧化碳含量达到正常状态至少排气32分钟．故选：C．8．对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫做集合A与B的差集，记做A﹣B．例如，A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，则有A﹣B＝{1，2}，B﹣A＝{4}．若集合P＝（3，5），集合Q＝{x|（x+a）（x+2a﹣1）＜0}，且P﹣Q＝∅，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣2）B．[﹣3，﹣2]C．（3，+∞）D．[3，+∞）【分析】根据差集的定义，由P﹣Q＝∅，可以看出（3，5）⊆Q，列不等式组，即可求出a的取值范围．解：根据差集的定义，由P﹣Q＝∅，所以（3，5）⊆Q，所以，，解得，﹣3≤a≤﹣2．故选：B．二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.9．若a＞b＞0，则（）A．ac2≥bc2B．a2＜ab＜b2C．D．【分析】利用不等式的性质及基本不等式逐项验证选项正误即可．解：∵a＞b＞0，∴ac2﹣bc2＝（a﹣b）c2≥0，即ac2≥bc2，故选项A正确；又a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，∴a2＞ab，故选项B错误；∵a＞b＞0，∴a+b＞2，∴＜＝，故选项C正确；又﹣＝＜0，∴＜，故选项D正确，故选：AC．10．下列关于充分条件和必要条件的判断，其中正确的是（）A．“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件B．“a2＜1”是“a＜1”的必要不充分条件C．设a，b，c∈R，则“a2+b2+c2＝ab+bc+ac”是“a＝b＝c”的充要条件D．设a，b∈R，则“a≥2且b≥2”是“a2+b2≥4”的必要不充分条件【分析】根据充分必要条件的定义对各个选项进行判断即可．解：对于A：a，b都是偶数”能提出“a+b是偶数”，是充分条件，反之不成立，比如a ＝1，b＝3，故A正确；对于B：由a2＜1，解得：﹣1＜a＜1是“a＜1“的充分不必要条件，故B错误；对于C：a2+b2+c2＝ab+bc+ac得：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，解得：a＝b＝c，故“a2+b2+c2＝ab+bc+ac”是“a＝b＝c”的充要条件，故C正确；对于D：a，b∈R，则a≥2且b≥2时，a2+b2≥4，充分性成立，a2+b2≥4时，不能得出a≥2且b≥2，必要性不成立，是充分不必要条件，故D错误；故选：AC．11．对于定义在R上的函数f（x），下列判断正确的是（）A．若f（2）＞f（﹣2），则函数f（x）是R上的增函数B．若f（2）＜f（﹣2），则函数f（x）在R上不是增函数C．若f（2）＝f（﹣2），则函数f（x）是偶函数D．若f（2）≠f（﹣2），则函数f（x）不是偶函数【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析AB，可得A错误，B正确，由奇偶性的定义分析CD，可得C错误，D正确，综合可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，若函数f（x）是R上的增函数，对于任意的x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），若f（2）＞f（﹣2），不能保证函数f（x）是R上的增函数，A错误，对于B，若f（2）＜f（﹣2），不满足对于任意的x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），函数f （x）在R上不是增函数，B正确，对于C，若函数f（x）是偶函数，则对于定义域中的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），若只有f（2）＝f（﹣2），不能说明函数f（x）是偶函数，C错误，对于D，若f（2）≠f（﹣2），不满足对于定义域中的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），函数f（x）不是偶函数，D正确，故选：BD．12．已知正数x，y，z满足3x＝4y＝6z，则下列结论正确的有（）A．B．3x＜4y＜6z C．xy＜2z2D．【分析】对于A，设3x＝4y＝6z＝k，k＞0，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，由此能证明A正确；对于B，利用对数运算法则能推导出＜1，＜1，由此能比较3x、4y、6z的大小；对于C，由（）（x+y），然后利用基本不等式可得C不正确；对于D，由C结论，利用基本不等式即可得解D正确．解：设3x＝4y＝6z＝k，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，∴＝log k3log k4＝log k（3×2）＝log k6＝，A成立，对于B，∵x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，k＞1，∴3x＝3log3k，4y＝4log4k，6z＝6log6k，∵＝＝log8164＜1，∴3x＜4y，同理4y＜6z，∴3x＜4y＜6z．故B正确；对于C，（）（x+y）＝＞＝，∴x+y＞，即x+y，故C正确，对于D，由于xy＞2z2，可得x+y≥2＞2＝2 z，而2不成立，故D正确．故选：ABD．三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13．已知函数f（x）＝，则f（f（﹣2））＝3．【分析】由条件得f（﹣2）＝4，然后求出f（f（﹣2））＝f（4）的值即可．解：∵函数f（x）＝，∴f（﹣2）＝（﹣2）2＝4，f（f（﹣2））＝f（4）＝4﹣1＝3．故答案为：3．14．函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x≤0时，f（x）＝x（2﹣x），则f（2）＝8．【分析】根据f（x）是R上的奇函数可得出f（2）＝﹣f（﹣2），再根据x≤0时的f（x）的解析式即可求出f（2）的值．解：∵f（x）是R上的奇函数，且x≤0时，f（x）＝x（2﹣x），∴f（2）＝﹣f（﹣2）＝﹣（﹣2×4）＝8．故答案为：8．15．物理学中，声强是表示声波强度的物理量，可用公式表示，其中v表示声速，ω和A分别是声波的频率和振幅，ρ是媒质的密度．由于声强的变化范围非常大，数量级可以相差很多，因此常采用对数标度，这就引入声强级的概念，规定声强级L＝10lg．通常规定（相当于1000 Hz时能够引起听觉的最弱的声强），这时计算出来的L就是声强I的量度，式中声强级的单位称为贝尔．实际上，由于贝尔这个单位太大，通常采用贝尔的作单位；这就是分贝（dB）．当被测量的声强I为声强I0的1000倍时，声强级L是30分贝．【分析】由题意可得I＝1000I0，代入L＝10lg，利用对数的运算性质计算得答案．解：由题意，声强级L＝10lg，当声强I为声强I0的1000倍时，即I＝1000I0，此时L＝10lg＝10lg＝10lg1000＝30．∴当被测量的声强I为声强I0的1000倍时，声强级L是30分贝．故答案为：30．16．若干个正整数之和等于10，这些正整数乘积的最大值为36．【分析】n个正整数x1，x2，…，x n中，不可能有大于或等于5的数，也不可能有三个或三个以上的2，因此n个数的最大积只可能是由2个3和2个2的积组成，然后求出这些正整数乘积的最大值．解：n个正整数x1，x2，…，x n满足x1+x2+…+x n＝10，x1，x2，…，x n中，不可能有大于或等于5的数，这是因为5＜2×3，6＜3×3，…，也不可能有三个或三个以上的2，这是因为三个2的积小于两个3的积，因此n个数的最大积只可能是由2个3和2个2的积组成，则这些正整数乘积的最大值为32×22＝36；故答案为：36．四、解答题：共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①A∪B＝B；②A∩B＝∅；③A∩B＝B这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的实数a存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．问题：已知集合A＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，是否存在实数a，使得___？【分析】由集合知识可以解出集合A，对集合B进行分类求解，再利用集合的子集，交集，补集解出．解：若选择①因为A＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}，故A＝（a，a+1），A∪B＝B，则A⊆B，所以，解得﹣1≤a≤0，所以选择①，实数a的取值范围是[﹣1，0]；若选择②因为A＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}，故A＝（a，a+1），因为A∩B＝∅，所以a+1≤﹣1或a≥1，解得a≤﹣2或a≥1，所以选择②，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）；若选择③因为A＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}，故A＝（a，a+1），因为A∩B＝B，则B⊆A，所以，所以a∈∅，所以选择③，实数a不存在．18．（12分）记函数的定义域为集合A，函数g（x）＝x2+2x+3的值域为集合B，U＝R，求：（1）A，B；（2）A∪B，A∩∁U B．【分析】（1）由可得A，根据二次函数的性质求出集合B；（2）根据集合的并集、交集、补集的运算即可求出．解：（1）由得﹣1≤x≤3，所以A＝[﹣1，3]；又g（x）＝x2+2x+3＝（x+1）2+2≥2，所以B＝[2，+∞）．（2）由（1）知A∪B＝[﹣1，3]∪[2，+∞）＝[﹣1，+∞）；因为∁U B＝（﹣∞，2），所以A∩∁U B＝[﹣1，3]∩（﹣∞，2）＝[﹣1，2）．19．（12分）（1）已知a+a﹣1＝7，求a2+a﹣2及的值；（2）已知lg3＝a，lg5＝b，用a，b分别表示log53和lg3.6．【分析】（1）由a+a﹣1＝7知a＞0，然后结合完全平方即可求解；（2）由已知结合对数的换底公式及对数的运算性质即可求解．解：（1）由a+a﹣1＝7知a＞0，因为（a+a﹣1）2＝72，即a2+2+a﹣2＝49，所以a2+a﹣2＝47；又，且，所以，（2）因为lg3＝a，lg5＝b，所以；所以＝2lg2+2lg3﹣1＝2（1﹣lg5）+2lg3﹣1＝2a﹣2b+1．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，3）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若满足不等式组的整数解有且只有一个，求正实数t的取值范围．【分析】（1）根据不等式f（x）＜0的解集是（0，3），得到0，3是一元二次方程f（x）＝0的两个实数根，利用韦达定理得到参数所满足的条件，最后求得结果；（2）首先求得不等式组的解，根据只有一个正整数解，得到参数所满足的条件，求得结果．解：（1）因为不等式f（x）＜0的解集是（0，3），所以0和3是方程f（x）＝0的两个根，∴0+3＝﹣b，0×3＝c，∴b＝﹣3．c＝0，∴函数f（x）的解析式为：f（x）＝x2﹣3x．（2）不等式f（x）＝x2﹣3x＞0的解集为：（﹣∞，0）∪（3，+∞），不等式f（x+t）＝（x+t）2﹣3（x+t）＜0的解集为：（﹣t，3﹣t），当t≥3时，不等式组的解集为（﹣t，3﹣t），（﹣t，3﹣t）中至少有2个整数，不满足题意，舍去；当0＜t＜3时，不等式组的解集为（﹣t，0），因为满足不等式组的整数解有且只有一个，所以﹣1∈（﹣t，0），﹣2∉（﹣t，0），即，解得1＜t≤2；综上，正实数t的取值范围是（1，2]．21．（12分）假设某人从事某项投资，他第一次投入a元，得到的利润是b元，收益率是．（1）若第二次他又投入x元，得到的利润是cx元，求此人两次投资的总收益率；（2）在第一次投资的基础上，从第二次起，此人每次都固定投资x元，每次得到的利润也都是x元，那么他每次投资后的总收益率是增加了还是减少了？请从数学角度解释你的判断．【分析】（1）求出两次的总投资与总利润，由利润除以投资得答案；（2）设此人第n（n∈N*）次投资后的总收益率为f（n），则，第n+1次投资后的总收益率为，求出f（n+1）﹣f（n），通过比较a与b的大小可得f（n+1）﹣f（n）的符号，从而得到收益率的增减情况．解：（1）此人两次总投资a+x元，两次得到的总利润为b+cx，则此人两次投资的总收益率为；（2）设此人第n（n∈N*）次投资后的总收益率为f（n），则，∴第n+1次投资后的总收益率为，，∵a＞0，b＞0，x＞0，n≥1，∴（a+nx）[a+（n﹣1）x]＞0，因此，当a＝b时，f（n+1）﹣f（n）＝0，即f（n+1）＝f（n）；当a＜b时，f（n+1）﹣f（n）＜0，即f（n+1）＜f（n）；当a＞b时，f（n+1）﹣f（n）＞0，即f（n+1）＞f（n）．∴当a＝b时，每次投资后的总收益率不变；当a＜b时，每次投资后的总收益率减少；当a＞b时，每次投资后的总收益率增加．22．（12分）已知f（x）＝x•|x|，x∈R．（1）求证：f（x）为奇函数；（2）设g（x）＝f（x）+kx﹣k，k∈R，求g（x）在区间[﹣2，2]上的最大值．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断即可．（2）结合二次函数的图象和性质，对k进行分类讨论，可得f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值．解：（1）证明：f（x）的定义域为R，对∀x∈R，f（﹣x）＝﹣x•|﹣x|＝﹣x•|x|＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数．（2）解：①当k≥0时，因为g（x）为[﹣2，0]和[0，2]上增函数，所以g（x）为[﹣2，2]上增函数，所以g（x）在[﹣2，2]上的最大值为g（2）＝4+k；②当k≤﹣4时，因为g（x）为[﹣2，0]和[0，2]上减函数，所以g（x）为[﹣2，2]上减函数，所以g（x）在[﹣2，2]上的最大值为g（﹣2）＝﹣4﹣3k；③当﹣4＜k＜0时，因为y＝﹣x2+kx﹣k在上是增函数，在上是减函数，因为y＝﹣x2+kx﹣k在上是减函数，上是增函数，所以g（x）为上增函数，为上减函数，增函数，因此g（x）最大值为和g（2）中较大者，由，得或，所以当时，，g（x）最大值为，所以当时，，g（x）的最大值为g（2）＝4+k，综上，当k≤﹣4时，g（x）的最大值为g（﹣2）＝﹣4﹣3k；当时，g（x）的最大值为；当时，g（x）的最大值为g（2）＝4+k．。
江苏省徐州市2021-2022学年高三上学期期中调研考试数学试题(解析版)
2021~2022学年度第一学期高三年级期中抽测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡－并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|y＝x－1}，则A∪B＝A．[2，＋∞)B．[1，＋∞)C．(－∞，－1]∪[0，＋∞)D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)2．若复数z满足z1－i＝2i(其中i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某校开设A类选修课4门，B类选修课3门．若某同学从中选3门，要求两类课程中都至少选一门，则不同的选法种数共有A．18种B．24种C．30种D．36种4．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊥α，α⊥β，则“a⊥b”是“b⊥β”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．若(x －a x)8的二项展开式中x 6的系数是－16，则实数a 的值是A ．－2B ．－1C ．1D ．2【答案】D6．某单位招聘员工，先对应聘者的简历进行评分，评分达标者进入面试环节．现有1000人应聘，他们的简历评分X 服从正态分布N (60，102)，若80分及以上为达标，则估计进入面试环节的人数约为(附：若随机变量X ~N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)≈0.6827，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)≈0.9545，P (u －3σ＜X ＜μ＋3σ)≈0.9973)A ．12B ．23C ．46D ．1597．已知第二象限角θ的终边上有异于原点的两点A (a ，b )，B (c ，d )，且sin θ＋3cos θ＝0，若a ＋c ＝－1，1b ＋4d的最小值为A ．83B ．3C ．103D ．4【答案】B8．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝(13)n ＋1－b ，数列{(ab )n }的前n 项和为T n ，若数列{T n }是等差数列，则非零实数a 的值是A ．－3B ．13C ．3D ．4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
连云港市2021年高三年级第一学期期中调研考试化学试题答案
2021届高三年级第一学期期中调研考试化学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
每小题只有一个选项符合题意。
1．A 2. D 3．D 4．A 5. B 6．B 7. D 8．C二、不定项选择题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
每小题有一个或两个选项符合题意，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9．C 10. AC 11.B 12.AC 13．BD非选择题（共5题，64分）14.（12分）（1）提高铁元素的浸出率；抑制金属离子水解。
（2分）（2）4Fe 2+ + O 2+ 8OH -+2H 2O ＝4Fe(OH)3↓ （2分）（3）使Fe 3+完全沉淀，而Al 3+不沉淀 （2分） （4）防止纳米铁粉被氧化 （2分）（5）①纳米铁粉与氢离子反应 （2分）② c （2分） 15. （12分）（1）第四周期ⅥB 族 （2分)1s 22s 22p 63s 23p 63d 104s 1或[Ar]3d 104s 1 （1分)（2）铬或Cr （1分)（3） 6 （1分)22mol （1分)（4）铜的价电子排布为3d 104s 1，失去一个电子后，价层电子为3d 10，全充满，较稳定(2分)（5）正四面体，CCl 4 或者SiCl 4 (各1分，共2分)（6）CuCl (2分)16.（12分） （1）－270 （2分）（2）①20 （1分）反应助剂添加量达到20%时去除量增加较快（或去除量较高），超过20%时虽然去除量略有上升，但经济成本增加 （2分）②通入CO 2气体，将CaCO 3转化为易溶于水的Ca(HCO 3)2溶液，从而增大了与SO 2的接触面积，增强吸收效果 （2分）（3）HSO -3－2e − +H 2O ＝SO 2- 4+ 3H + 或SO 2- 3－2e −＋H 2O ＝SO 2- 4＋2H＋（2分） （4）6.0×10-3 mol •L -1， （2分） 0.62 （1分）17. （14分）（1）羧基、羟基（各1分，共2分）（2）取代反应（2分）（3）（2分）（4）（3分）（5）（5分）18.（14分）（1）检验装置气密性（1分）蒸馏(或分馏) （1分）（2）防止空气中的水蒸气进入D装置（2分）（3）将E改为盛碱石灰的干燥管（或在E后增加盛有NaOH溶液的洗气瓶）（2分）（4）TiCl4＋(x＋2)H2O TiO2·x H2O↓＋4HCl （2分）（5）①冷却至室温后转移至1000 mL容量瓶中，用蒸馏水洗涤烧杯与玻璃棒2～3次并将洗涤液全部注入容量瓶中，向容量瓶中加蒸馏水至离刻度线还有1～2cm时，改用胶头滴管滴加，至溶液凹液面正好与刻度线相切，再将容量瓶塞盖好，反复上下颠倒，摇匀。
C06 江苏省连云港市2021届高三年级第一学期期中调研考试数学试题(PDF版含解析)
2 为半衰期．现有一杯用90°c热水冲的速溶咖啡，放在26°C 的房间，如果咖啡降到
42°c需要20分钟，那么此杯咖啡降温到34°c时还需要
A. 6分钟
B. 8分钟
C. 10分钟
D. 20分钟
8. 已知球0是正三棱锥S -ABC的外接球，侧棱SA =2, 底边BC=.fi, 过BC作球0
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 设a= 0.5°·4, b = log0_4 0.3, c =log8 0.4, 则a, b, C的大小关系是
A. a>b>c
B. b>a>c
C. c>a>b
D. c>b>a
log IX, . X > 1,
5, 函数fx( )-{ 2
����
2021届高三年级第 一 学期期中调研考试
数学试题
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡 上，写在本试卷上无效
则该木材镶嵌在墙中的体积约为
立方寸．
（结果保留整数）（注：1丈 =10尺 =100寸，兀�3, sin22.6°�— 153 ) 16. 在 LABC中， A=60° ,AB=4 ,AC=3,D是 AC边的中点，点 E 在 AB边上，且
AE =.!_ EB , BD与CE交于点M, N是BC的中点，则Aif.Aif的值为 A . 2 四、解答题（本大题共6个小题， 共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
江苏省连云港市2021届高三年级第一学期期中调研考试英语试题 含答案
江苏省连云港市2021届高三年级第一学期期中调研考试英语试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirt?A.£19.15.B. £9.15.C. £9.18.答案是B.1.What will the woman do tomorrow?A. Give money to the charity.B.Go on a charity walk.C.Visit the flood victims.2.When will the woman be back?A. 7:30.B. 7:00.C.8:00.3.What is the woman doing?A. Returning a piece of clothing.B.Looking for a T-shirt.C.Buying a picture.4.Where did the man go last Saturday?A.To the seaside.B.To the cinema.C.To the country park..5.What is the possible relationship between the speakers?A. Husband and wife.B.Doctor and patient.C.Colleagues.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
江苏省连云港市2021届高三年级第一学期期中调研考试英语试卷答案
2021届高三年级第一学期期中调研考试英语答案第一部分听力（共20小题，每小题1.5分，满分30分）1-5BABCB6-10ACBAA11-15CBBCA16-20CCCAB第二部分阅读理解（共20小题，每小题2.5分，满分50分）21-25DBCDC26-30ABDBC31-35CBCAC36-40FGCDA第三部分语言运用（共三节，满分30分）第一节（共15小题；每小题1分，满分15分）41-45DBCAC46-50DCABD51-55BADCA第二节（共10小题；每小题1.5分，满分15分）56.is approaching57.where58.it59.higher60.what61.setting62.failure63.but64.a65.turning第四部分写作（共两节，满分40分）第一节（满分15分）Dear Owen,So glad to know you are fond of Chinese classics.Journey to the West written by Wu Cheng’en is a must-read for you.Set in the Tang Dynasty,it describes the tough journey of a monk Xuanzang to fetch sutras from India with some animal spirits,including the Monkey King.The story is not only entertaining with magical tricks,but inspiring in terms of courage and persistence.Additionally,you will enjoy being exposed to abundant Chinese folk stories. Honestly,its mixture of fantasy and reality is my favourite.（80words）Hope that you will love it.Yours sincerely,Li Hua 第二节（满分25分）As we were chewing on sandwiches,she asked,“Would you two like to go to the movies this afternoon?”“Wow!Fantastic!”We soon got bathed and dressed up.It was like getting ready for a birthday party.We hurried outside the apartment,not wanting to miss the bus that would take us downtown.On the landing,Mother astonished us by saying,“Girls,we are not going to the movies today.”“What?”We couldn’t believe our ears.“What do you mean? Mommy,you SAID it!”Mother bent and gathered us in her arms with tears in her eyes.She gently explained that this was what a fib felt like.“It is important that what we SAY is TRUE,”Mother said,“I fibbed to you just now and it felt awful.I don’t want to fib again and I’m sure you don’t either.”That is how my sister and I learned to be truthful.We have never forgotten how much a fib can hurt.(150 words)录音稿(Text1)W:Marco and I want to do something to help the flood victims.M:What are you going to do?W:We’re going to do a charity walk tomorrow.(Text2)M:If you need the book,I can bring it round to your house tonight.Will you be in?W:Well,I’ve got an English class until seven o’clock,but I’ll be back about half an hour after that.M:OK,that’s fine.I’m meeting Richard in a cafe at eight,but I can come round to your placefirst.(Text3)W:Hello.I bought a nice T-shirt from here—with a picture of horses on it.Do you know if you have any more?I’d like one for my friend.M:Well,they should be over there on the shelf.(Text4)W:I went to the movies with my friends last Saturday.How about you?M:Well,my parents and I planned to go to the seaside and have a picnic,but before we left,my dad checked a travel website which said there would be traffic jams.So we went to the country park instead.(Text5)M:You seem a little warm.Let me take your temperature.Yes,you have a fever.W:Really?I hope I won’t be too sick to go to work.M:You’d better take a few days off.I’ll give you some medicine and be sure to get more rest and drink lots of water.(Text6)W:Well,I think all the applicants were really good today!M:I’m not sure if I agree,Jenny.I wasn’t so impressed with them.W:Really?I thought John seemed really enthusiastic and Peter has some excellent qualifications.M:John doesn’t have enough experience and Peter has only just finished college.We need people with lots of experience who can take on lots of responsibility.W:But what about Paula?She has two years’experience working in a bank.M:I suppose so.And she has good qualifications.She would need extra training if we decide to employ her.W:Absolutely.(Text7)W:Thank you for meeting me,Dr.Freeman.M:It’s my pleasure.I’m glad to be here.W:Sorry for the short notice,but we’re hoping to air this story on tonight’s evening news.The producer already briefed you about our interview,right?M:Yes,she told me we’re going to discuss the research results of our study.W:Yes,hopefully the results will encourage more people to recycle and care for the environment. The interview should take about thirty minutes.Are you ready to begin?M:Sure,let’s start.W:Good evening.Today with me is Dr.Freeman.And you know he is…(Text8)W:So,Eric,how is life in Greenland these days?M:Oh,you know.Winters are long.I live on the coast,though,so I get to see the ocean every day. That’s always nice.W:I heard that winters in Greenland are somewhat shorter than they used to be—global warming, I guess?M:Yes,that’s true.They’re calling it“the greening of Greenland”.W:The“greening”?What does that mean?M:Well,the average temperature in Greenland is rising twice as fast as in other places.So,now I have a few trees near my house.Trees didn’t use to exist in Greenland,you know!And we,um, people are growing some vegetables now—cabbage,potatoes,and things like that.And farmers can grow more grass for their animals.(Text9)W:Jack.It’s very unusual for you to be so late.What happened?M:I managed to get the train,but it was really crowded and it was a terrible journey.W:How come?M:The train was full of immature students who thought it was funny to set off the emergency alarm.W:Oh,no!M:So we stopped in the middle of nowhere,and it took the guard forever to deal with the kids andcall the police.I got a bit impatient after a while and argued with the guard,who then made me get off the train.Then I had to wait an hour for the next train because it was delayed!W:Oh,dear!So you haven’t had supper yet?M:No.I’m really hungry.W:OK.Supper is ready.(Text10)W:I’ve just discovered a fantastic new show called How Do They Do That?.The idea is simple. Take a topic—like travel,for example and then think of lots of little mysteries that could be explained.How do planes take off and land?That sort of thing.Then get two young,enthusiastic hosts in a lab to do lots of exciting experiments.Add some pictures to explain the process to the audience and that’s the show.Get the idea?Each edition looks at a different subject.As well as travel,topics that have already been covered include education,the body,things around the house and magic—my favorite so far.Still to come are personal finances,the natural world,sports,and life and how to live it.The one I’m personally looking forward to the most is how to meet the perfect partner.But some of my friends would like to know how to eat chocolate without putting on weight.What I like most about the show is that it’s fun and you learn something at the same time,so you don’t feel so guilty about spending60minutes in front of the TV each week.So if you aren’t already watching How Do They Do That?,I strongly recommend that you make the time.You’ll never think it boring.It’s on every Tuesday at9p.m.but this week’s edition won’t be shown until half an hour later because of the live international soccer game.Get watching and start learning!。
江苏省连云港市2021届高三年级第一学期期中调研考试地理+化学+历史试题(含答案)
2021届高三年级第一学期期中调研考试地理试题参考答案和评分标准一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C B C B D A B D C A题号11 12 13 14 15答案 D C C D B二、非选择题：本题共4小题，共55分。
16.（13分）（1）海拔高，气温低，但太阳辐射量大，（草本）植物生长仍较茂盛；地处山间盆地，内部谷地开阔，地势低洼，排水不畅；四周高山冰雪融水充足，有冻土存在，造成地表低温过湿与积水，使植物残体分解能力很弱。
（6分）（2）1977-2013年间，整体呈现减少趋势；1994-2007年减少的数量大、减少的速度快；2007-2013年有所增加。
（3分）（3）全球气候变暖是区内泥炭沼泽退化的主要气象原因；过度放牧是毁坏若尔盖草原、环境加速沙化的主要原因；将沼泽地改造成草场是危害若尔盖湿地的重要原因；滥采滥挖草药、泥炭，加剧若尔盖湿地退化。
（4分）17.（14分）（1）阶地平台（阶地面）较为平坦，利于耕作；位于谷坡（沿顺河谷和向河谷的方向略有倾斜），利于排水且不易被洪水淹没；靠近河流（黄河），灌溉水源充足；上覆河流沉积物，形成肥沃深厚的沙质土壤。
（6分）（2）垄台和垄沟相间分布，利于减少水土流失，保持肥力；垄台土层深厚，利于根系发育与吸收养分；垄作增加地表面积，受光面积增大，吸热散热快，利于有机质积累；垄台高于垄沟，雨时利于排水防涝，旱时利于顺沟灌溉。
（4分）（3）发展生态农业（有机农业），提高百合品质；加强技术投入，培育优良品种；加大宣传力度，形成品牌优势；发展农产品加工业，延长产业链，增加附加值；改善交通条件，发展电商平台，拓展销售市场；加强合作，提高规模效益；加强政策、资金、技术等方面的扶持力度。
（4分）18.（14分）（1）（昆明）准静止锋位置如下图所示。
（2分）昆明贵阳30°23°26′省界风向标省会冷空气南下，受云贵高原阻挡，移动缓慢，呈现准静止状态。
江苏省连云港市海头高级中学2021-2022高一数学上学期期中试题(含解析)
江苏省连云港市海头高级中学2021-2022高一数学上学期期中试题（含解析）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分.请把答案填写在答题卡相应位置. 1.已知集合{1,2,3,6}A =-，{|23}B x x =-<<，则A B =（ ）A. {|23}x x -<<B. {3,6}C. {1,2}-D. {1,2,3}-【答案】C 【解析】 【分析】根据已知中集合{1,2,3,6}A =-，{|23}B x x =-<<，结合集合交集的定义可得答案． 【详解】解：集合{1,2,3,6}A =-，{|23}B x x =-<<，{}1,2A B ∴=-，故选：C .【点睛】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题． 2.函数()2log (1)a f x x =++（0a >，且1a ≠）恒过定点（ ） A. (0,1) B. (1,2)C. (1,3)D. (0,2)【答案】D 【解析】 【分析】令()2log (1)a f x x =++的真数值为1，求得自变量x 的值即可求得答案． 【详解】解：()2log (1)a f x x =++令11x +=，得0x =，()()02log 012a f =++=，∴函数()2log (1)a f x x =++的图象经过定点()0,2．故选：D ．【点睛】本题考查对数函数的单调性与特殊点，属于基础题． 3.已知幂函数图像经过点(2,8)，则该幂函数的解析式是（ ）A. 3xy = B. x y = C. 3y x =D. y x =【答案】C 【解析】 【分析】设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出函数的解析式即可． 【详解】解：设幂函数为()f x x α=， 因为图象经过点(2,8)， ()228f α∴==，解得3α=，函数的解析式3()f x x =， 故选：C ．【点睛】本题考查了求幂函数的解析式问题，待定系数法是常用方法之一，属于基础题． 4.设()338xf x x =+-,用二分法求方程3380x x +-=在()1,2x ∈内近似解的过程中得()()()10, 1.50, 1.250,f f f <><则方程的根落在区间（ ）A. ()1,1.25B. ()1.25,1.5C. ()1.5,2D. 不能确定【答案】B 【解析】 【分析】根据二分法求根的方法判断即可.【详解】由()()1.50, 1.250,f f ><可知方程的根落在()1.25,1.5内. 故选：B【点睛】本题主要考查了二分法求根方法等,属于基础题型.5.已知()f x 是奇函数，当0x >时()(1)f x x x =-+，当0x <时，()f x 等于（ ） A. (1)x x --B. (1)x x -C. (1)x x -+D. (1)x x +【解析】 【分析】由0x <时，0x ->，则()(1)f x x x -=-，根据函数的奇偶性，即可得到函数的解析式； 【详解】当x 0<时，x 0->，则()()f x x 1x -=-．又()f x 是R 上的奇函数，所以当x 0<时()()()f x f x x 1x =--=--． 故选项A 正确．【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，其中解答中合理利用函数的奇偶性转化求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 6.函数()f x 的增区间是(2,3)-，则(5)y f x =+的单调增区间是（ ） A. (3,8) B. (7,2)-- C. (2,8)- D. (2,3)-【答案】B 【解析】 【分析】函数(5)y f x =+是函数()f x 向左平移5个单位，利用函数()f x 在区间(2,3)-是增函，即可得到结论．【详解】解：函数(5)y f x =+是函数()f x 向左平移5个单位 函数()f x 在区间(2,3)-是增函数(5)y f x ∴=+增区间为(2,3)-向左平移5个单位，即增区间为(7,2)--，故选：B ．【点睛】本题考查图象的变换，及函数的单调性，属于基础题．7.设13log 5a =，153b =，0.315c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有（ ） A. a b c << B. c b a << C. c a b <<D.a cb <<【答案】D 【解析】根据对数函数的单调性，可以判断出a ＜0，b ＞1，根据指数函数的值域及单调性可判断出0＜c ＜1，进而得到a 、b 、c 的大小顺序． 【详解】∵y=13log x 在定义域上单调递减函数，∴a 13log =5＜13log 1=0，y=3x 在定义域上单调递增函数，b 10533==＞1，y=（15）x 在定义域上单调递减函数，0＜c ＝（15）0.3＜（15）0=1， ∴a ＜c ＜b 故选D ．【点睛】本题考查的知识点是利用函数的单调性比较数的大小，熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解答的关键．8.若2log 13<a ，则实数a 的取值范围是（ ） A. 023a << B. 23a > C. 023a <<或1a >D.213a << 【答案】C 【解析】 【分析】讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于a 的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果． 【详解】∵log a 23＜1＝log a a ，当a ＞1时，函数是一个增函数，不等式成立，当0＜a ＜1时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有a 23＜， 综上可知a 的取值范围是203a <<或1a >， 故选C.【点睛】本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，本题解题的关键是讨论底数与1的关系，属于基础题．9.函数()221f x ax x =-+在区间()1,1-和区间()1,2上分别有一个零点，则实数a 的取值范围是 （ ） A. ()3,1--B. 3,14⎛⎫⎪⎝⎭C. 33,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ()3,3,4⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【详解】利用排除法：当1a =时，()()22211f x x x x =-+=-，此时函数只有一个零点1，不合题意，排除D 选项，当2a =-时，()2221f x x x =--+，此时函数有两个零点12-±，不合题意，排除AC 选项，本题选择B 选项.10.已知函数3())8f x x x =+-，且(2)10f -=，那么(2)f =（ ） A. 10 B. 10-C. 18-D. 26-【答案】D 【解析】 【分析】令g （x ）＝)lnx ，由函数奇偶性的定义得其为奇函数，根据题意和奇函数的性质求出f （2）的值．【详解】令g （x ）＝)lnx ，则g （-x ）＝)lnx ，g （x ）+ g （-x ）=))ln ?ln10x x ln +==，可得其为奇函数，又y=3x 为奇函数，则f （x ）+8为奇函数，所以f （﹣2）+8+f(2)+8＝0，即10+8+ ()280f +=， 则f （2）＝﹣26， 故选D ．【点睛】本题考查函数奇偶性的判定及应用，以及整体代换求函数值的方法，属于中档题．11.已知()243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，那么a 的取值范围是（ ）A. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的单调性．利用分段函数解析式，结合单调性列出不等式组求解即可．【详解】解：243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩（）满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＜成立， 所以分段函数是减函数，所以：0121442a a a a<<⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，解得12,23a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选C ．【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用，函数的单调性的定义的理解，考查转化思想以及计算能力．12.设函数3log ,03()4,3x x f x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩，若实数,,a b c 满足a b c <<，且()()()f a f b f c ==，则(2)cab +的取值范围是（ ） A. (3,4) B. (3,27) C. (9,27) D. (27,81)【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式作出函数图象，由a b c <<，且()()()f a f b f c ==，可得1ab =，34c <<，根据指数函数的单调性即可求出(2)cab +的取值范围.【详解】解：3log ,03()4,3x x f x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩可作函数图象如下所示：因为实数,,a b c 满足a b c <<，且()()()f a f b f c ==，由图可知11343a b c ∴<<<<<< 33log log a b ∴=33log log a b ∴-=即1a b -=1ab ∴=(2)3c c ab ∴+=3x y =在定义域上单调递增，且()3,4c ∈()327,81c ∴∈即()(2)27,81c ab ∴+∈故选：D【点睛】本题考查数形结合思想，函数单调性的应用，以及对数的运算，属于难题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置.13.已知函数()f x 满足()xf e x =，则(5)f =________.【答案】ln 5 【解析】 【分析】由已知，()xf e x =，将5写成e α形式，则实数α为所求．【详解】解：由于()xf e x =，令5x e =，转化为对数式得出，log 55e x ln ==，即有()55()5ln f f e ln ==故答案为：5ln ．【点睛】本题考查函数的解析式表示法，函数值求解．根据函数的解析式构造出()()55ln f f e=是关键，属于基础题． 14.已知集合1|22xA x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，(,)B a =-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c =________. 【答案】-1 【解析】 【分析】由题意解出集合A ，根据集合的包含关系求出参数a 的取值范围，即可得到c 的值. 【详解】解：1|22x A x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭{}(]|1,1A x x ∴=≤-=-∞-(,)B a =-∞且A B ⊆1a ∴>-即()1,a ∈-+∞又a 的取值范围是(,)c +∞1c ∴=-故答案为：1-【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围问题，属于基础题. 15.定义域{|0}x x >为的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+且(8)3f =，则(2)f =_______.【答案】1 【解析】【分析】根据题意可得()()832f f =，从而求得()2f 的值． 【详解】解：函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，()(),0,x y ∈+∞且(8)3f =，()()()()842323f f f f ∴=+==∴()21f =，故答案为：1．【点睛】本题考查根据函数的性质求函数的值，属于基础题.16.函数()y f x =是定义域为R 的增函数，且()y f x =的图像经过点(2,3)A --和()1,3B ，则不等式()3f x <的解集为________. 【答案】(2,1)- 【解析】 【分析】由题意()3f x <等价于3()3f x -<<根据函数的单调性与特殊点的函数值,将函数不等式转化为自变量的不等式,即可求解. 【详解】解:()3f x <3()3f x ∴-<<()y f x =的图像经过点(2,3)A --和()1,3B()23f ∴-=-,()13f =又因为()y f x =是定义域为R 的增函数,()()()21f f x f ∴-<<21x ∴-<<故答案为: ()2,1-【点睛】本题考查函数单调性,属于基础题. 三、解答题：请把答案填写在答题卡相应位置.17.计算：（1）22333(0.9)()(3)28--+⋅+（2）7log 23log lg25lg47+-. 【答案】（11 ； （2）32. 【解析】 【分析】根据实数指数幂的运算公式和对数的运算公式，即可求解的结果.【详解】由题意，（1）原式4911)194=+⨯+=； （2）原式3133log 27(lg 25lg 4)222222=++-=+-=.【点睛】本题主要考查了指数幂的化简，运算求值和对数的运算求值问题，其中熟记实数指数幂的运算公式和对数的运算公式是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 18.已知函数1()lg 33x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为M .（1）求M ；（2）当x M ∈时，求111()242x x g x -⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域.【答案】（1）(1,2]M =-（2）[1,2) 【解析】 【分析】（1）根据偶次方根的被开方数大于等于零，对数函数的真数大于零，得到不等式组，解得；（2）令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭将函数转化为关于t 的二次函数，结合t 的取值范围求出函数的值域.【详解】解：（1）1()lg 33x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭201303x x -≥⎧⎪∴⎨->⎪⎩，解得12x -<≤，即(1,2]x ∈-，即函数的定义域(1,2]M =-.（2）因(1,2]M =-， 令12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,24t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 则22()22(1)1g t t t t =-+=-+，而()g t 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，[1,2)上单调递增， 所以()[(1),(2))g t g g ∈，即()[1,2)g t ∈，所以值域为[1,2).【点睛】本题考查函数的定义域值域的求解，利用换元法求函数的值域，属于基础题.19.某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入x 万元，甲、乙两种商品分别可获得12,y y 万元的利润，利润曲线11:n P y ax =，22:Py bx c =+，如图所示.（1）求函数12,y y 的解析式；（2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？【答案】（1）154y x =214y x =；（2）当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为6516万元. 【解析】【详解】试题分析：（1）由图可知，点()()1,1.25,4,2.5在曲线1P 上，将两点的坐标代入曲线的方程，列方程组可求得154y x =.同理()4,1在曲线2P 上，将其代入曲线的方程可求得214y x =.（2）设投资甲商品x 万元，乙商品10x -万元，则利润表达式为1542y x =+，利用换元法和配方法，可求得当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为6512万元. 试题解析：（1）由题知()1,1.25，()4,2.5在曲线1P 上，则 1.2512.54nn a a ⎧=⋅⎨=⋅⎩， 解得54{12a n ==，即1y =又()4,1在曲线2P 上，且0c，则14b =， 则14b =，所以214y x =. （2）设甲投资x 万元，则乙投资为()10x -万元，投资获得的利润为y 万元，则()1104y x =-1542x =+，t ⎡=∈⎣， 则2215515654424216y t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭. 当52t =，即25 6.254x ==（万元）时，利润最大为6516万元，此时10 3.75x -=（万元）， 答：当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为6516万元. 20.已知函数13()log 1a x f x x-=+是定义在(1,1)-上的奇函数. （1）求a 的值；（2）判断函数()f x 在(1,1)-区间上的单调性，并证明；（3）求不等式(2)(1)0f x f x +->的解集.【答案】（1）1a =（2）函数()f x 在区间(1,1)-上的单调递增，证明见解析（3）10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）根据函数为在(1,1)-上的奇函数，则()00f =，得到关于a 的方程，求解可得，需注意检验；（2）利用定义法证明函数的单调性，按照“设元，作差，变形，判断符号，下结论”五步来完成即可；（3）根据函数的单调性奇偶性，将函数不等式转化为自变量的不等式，需注意函数的定义域，得到不等式组，解得；【详解】解：（1）因为函数13()log 1a x f x x-=+是定义在(1,1)-上的奇函数， 所以13(0)log 0f a ==，解得1a =， 此时131()log 1x f x x -=+，由101x x ->+，得定义域为(1,1)-， 而131()log 1x f x x +-=-131log 1x x -=-+()f x =-， 则函数13()log 1a x f x x -=+是奇函数， 所以1a =满足题意.（2）函数()f x 在区间(1,1)-上的单调递增，下面证明：任取12,(1,1)x x ∈-，且12x x <，则()()121211123311log log 11x x f x f x x x ---=-++()()()()12112311log 11x x x x -+=+-，而()()()()()()()1221121211211111x x x x x x x x -+--=+-+-， 因为12,(1,1)x x ∈-，且12x x <，所以210x x ->，1210,0x x +>->,所以()()()()()()()12211212112101111x x x x x x x x -+--=>+-+-， 所以()()()()121211111x x x x -+>+-， 所以()()()()()()1212112311log 011x x f x f x x x -+-=<+-， 所以()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <，所以函数()f x 在区间(1,1)-上的单调递增.（3）因为函数()f x 是定义在(1,1)-上的奇函数，所以不等式(2)(1)0f x f x +->可化为(2)(1)f x f x >-，又因为函数()f x 在区间(1,1)-上的单调递增，所以12111121x x x x -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩， 解得10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式，函数单调性的证明，利用函数的单调性解不等式，属于综合题.21.已知f （x ）=ax 2+bx+c （a≠0），满足条件f （x+1）-f （x ）=2x （x∈R），且f （0）=1． （Ⅰ）求f （x ）的解析式；（Ⅱ）当x≥0时，f （x ）≥mx -3恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）f （x ）=x 2-x+1；（Ⅱ）（-∞，3].【解析】【分析】（Ⅰ）根据f （0）=1及f （x+1）-f （x ）=2x ，代入解析式，根据对应位置系数相等，即可求得a 、b 、c 的值，得到f （x ）的解析式．（Ⅱ）将解析式代入不等式，构造函数g （x ）=x 2-（m+1）x+4，即求当x∈[0，+∞）时g （x ） 4≥0恒成立．讨论g （x ）的对称轴x=m 12+与0的大小关系，根据对称及单调性即可求得m 的取值范围．【详解】（Ⅰ）由f （0）=1得，c=1，由f （x+1）-f （x ）=2x ，得a （x+1）2+b （x+1）+1-（ax 2+bx+c ）=2x化简得，2ax+a+b=2x ，所以：2a=2，a+b=1，可得：a=1，b=-1，c=1，所以f （x ）=x 2-x+1；（Ⅱ）由题意得，x 2-x+1≥mx -3，x∈[0，+∞）恒成立．即：g （x ）=x 2-（m+1）x+4≥0，x∈[0，+∞）恒成立．其对称轴x=m 12+， 当m 12+≤0，即m≤-1时，g （x ）在（0，+∞）上单调递增， g （0）=4＞0∴m≤-1成立 ②当m 12+＞0时， 满足m 1020+⎧⎪⎨⎪≤⎩＞计算得：-1＜m≤3综上所述，实数m 的取值范围是（-∞，3]．【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数对称轴、单调性与恒成立问题的综合应用，属于中档题．22.已知二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）已知2t <,()()2[13]g x f x x x =--⋅，求函数()g x 在[t ，2]上的最大值和最小值； （3）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】(1)2()11f x x x =++;(2)见解析;(3)见解析.【解析】 分析：（1）由1()2f x -是偶函数，知函数()f x 的对称轴是12x =-，再由二次函数性质可得； （2）由（1）()(2)g x x x =-⋅，按x 的正负分类去绝对值符号，得两个二次函数，配方得对称轴，再按对称轴与区间[],2t 的关系分类可求得最值；（3）假设存在，并设点坐标P ()2,m n，其中m 为正整数，n 为自然数，则2211m m n ++=，从而()2242143n m -+=，即()()22122143n m n m ⎡⎤⎡⎤++-+=⎣⎦⎣⎦ ，注意到43是质数，且2210n m ++>，可得22143n m ++=，2211n m +-=，从而得解.详解：（1）因为函数12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是偶函数，所以二次函数()2f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，故1b =. 又因为二次函数()2f x x bx c =++的图象过点（1，13），所以113b c ++=，故11c =.因此，()f x 的解析式为()211f x x x =++. （2）()()2g x x x =-⋅ 当0x ≤时，()()211g x x =--+， 当0x >时，()()211g x x =--，由此可知()max g x =0．当12t ≤<，()2min 2g x t t =-；当11t ≤<，()min 1g x =-；当1t <，()2min 2g x t t =-+； （3）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为P ()2,m n，其中m 为正整数，n为自然数，则2211m m n ++=，从而()2242143n m -+=，即()()22122143n m n m ⎡⎤⎡⎤++-+=⎣⎦⎣⎦.注意到43是质数，且()()221221n m n m ++>-+，()2210n m ++>，所以有()()22143,2211,n m n m ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩解得10,11.m n =⎧⎨=⎩ 因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.点睛：本题考查二次函数的性质，特别是二次函数在某个区间上的最值问题，求最值主要是根据对称轴与给定区间的关系进行分类讨论.另外本题还考查了整数的问题，在解不定方程()()22122143n m n m ⎡⎤⎡⎤++-+=⎣⎦⎣⎦时，由整数质因数分解定理得到22143n m ++=，2211n m +-=，否则其解不确定.。
江苏省连云港市2022-2023学年高三上学期期中数学试题(解析版)
2022~2023学年第一学期期中调研考试高三数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}0A x x =>，{}1B x x =≤，则A B ⋃=（ ）A. {}0x x > B. {}1x x ≤ C. {}01x x <≤ D. R【答案】D 【解析】【分析】根据集合的并集运算，即可求得答案.【详解】由集合{}0A x x =>，{}1B x x =≤，则{}{}01R A B x x x x ⋃=>⋃≤=，故选：D.2. 已知复数z 满足()2i 1i z -=+，则复数z 的模为（ ）A.B.C.D. 【答案】C 【解析】z ，从而可求复数z 的模.【详解】解：()2i 1i z -=+，则1i21i 23i iz +=+=-+=-所以z ==故选：C.3. 设x ，R y ∈，则“1xy x y +≠+”的充要条件是（ ）A. ,x y 不都为1 B. ,x y 都不为1C. ,x y 都不为0D. ,x y 中至多有一个是1【答案】B 【解析】【分析】将1xy x y +≠+化简，可得到其等价命题，即可得答案.【详解】因为1xy x y +≠+即10xy x y +--≠，即(1)(1)0x y --≠，即等价于1x ≠且1y ≠，故“1xy x y +≠+”的充要条件是,x y 都不为1，故选：B.4. 已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】【分析】由等比数列性质求得1a 和公差d 的关系后可得公比q ．【详解】设公差为()d d ≠0，则1(1)n a a n d =+-，由题意2326a a a =，即2111(2)()(5)a d a d a d +=++，又0d ≠，所以12d a =-，21a a =-，313a a =-，619a a =-，所以323a q a ==.故选：C.5. 已知1a =，b =，)a b +=，则a b + 与a b -的夹角为（ ）A. 60︒B. 120︒C. 45︒D. 135︒【答案】B 【解析】【分析】根据已知求得||2a b += ，平方可得0a b ⋅=，继而求出||2a b -= ，根据向量的夹角公式即可求得答案.【详解】由)a b +=可得||2a b +==，则222||4,24a b a a b b +=∴+⋅+=，即得1234a b +⋅+= ，故0a b ⋅=，则222||24,||2a b a a b b a b -=-⋅+=∴-= ，故22()()21cos ,222||||||||a b a b a ba b a b a b a b a b a b +⋅---〈+-〉====-⨯+-+- ，由于,[0,π]a b a b 〈+-〉∈，故2π,3a b a b 〈+-〉= ，故选：B.6. 已知()sin 23sin αββ-=-，且ππ2k αβ-≠+，π2k α≠，其中Z k ∈，则()tan tan αβα-=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】将角度拆则分()2αβαβα-=-+，()βααβ=--，利用两角和差的正弦公式展开整理后，结合商数关系即可得.【详解】解：∵()sin 23sin αββ-=-∴()()sin 3sin αβαααβ⎡⎤⎡⎤-+=---⎣⎦⎣⎦()()()()sin cos cos sin 3sin cos 3cos sin αβααβαααβααβ-+-=--+-整理得：()()2cos sin cos sin αβαααβ-=-，由于ππ2k αβ-≠+，π2k α≠，所以sin 0α≠，()cos 0αβ-≠则()()cos sin 2cos sin ααβαβα-=-，即()tan 2tan αβα-=.故选：B .7. 当把一个任意正实数N 表示成()10110,Z nN a a n =⨯≤<∈的时候，就可以得出正实数N 的位数是n＋1，如：2235 2.3510=⨯，则235是一个3位数．利用上述方法，判断5018的位数是（ ）（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈）A. 61 B. 62 C. 63 D. 64【答案】C 【解析】【分析】设()501810110,n a a n =⨯≤<∈Z ，则50lg18lg n a =+，计算即可求出62n =，从而得出结果．【详解】设()501810110,n a a n =⨯≤<∈Z ，则()50lg18lg 10lg n a n a=⨯=+又因为()()()502lg1850lg 32502lg 3lg 25020.47710.3010620.76=⨯=+=⨯+=+故62n =，所以5018位数是62163+=故选：C 8. 已知1sin11a =，111b =，ln1.1c =，则（ ）的A. a b c <<B. a c b <<C. c<a<bD. b<c<a【答案】A 【解析】【分析】根据1sin11a =，111b =的特征，要比较二者大小，可作差11sin 1111a b -=-，由此构造函数()sin f x x x =-，利用其单调性比较大小，同理11 1.1b =-，和ln1.1c =比较，构造函数1()ln 1g x x x=-+，利用单调性比较 111b =，ln1.1c =的大小.【详解】设π()sin ,(0,)2f x x x x =-∈，则()cos 10f x x '=-<，故π()sin ,(0,)2f x x x x =-∈单调递减，故()(0)0,sin f x f x x <=∴<，由111(0,sin1121111a b ∈∴=<=π， 设函数1()ln 1,(0,+)g x x x x =-+∈∞，则22111(),(0,+)x g x x x x x-'=-=∈∞，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 递减，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 递增，故()(1)0g x g ≥=，即1ln 1x x≥-，当1x =时取等号，由于1.11> ，故11ln1.11 1.111≥-=，即b c <，故a b c <<，故选：A.【点睛】本题考查了数的大小比较问题，考查了构造函数，利用导数判断函数的单调性，解答的关键是明确解答思路，能根据数的特点构造恰当的函数，从而利用导数判断函数单调性，比较大小.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知复数12z =+，则（ ）A. 20z z += B. 1zz = C. 210z z ++= D. 310z +=【答案】ABD 【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得.【详解】解：因为12z =，所以12z =-，所以2222111122222z ⎛⎫⎫⎛⎫=+=+⨯+=-+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭，所以22321111222z z z ⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫=⋅=-⋅+=-=- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭，故310z +=，故D 正确；所以211022z z ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭+=，故A 正确；221111222zz ⎭⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎝+-=⎪ ⎪⎪⎭⎭，故B 正确；21111122z z ⎛⎫++=-++=+ ⎪ ⎪⎝⎭，故C 错误；故选：ABD10. 已知α和β都是锐角，向量()cos ,sin a αα= ，()sin ,cos b ββ= ，()1,0c =，则（ ）A. 存在α和β，使得a b⊥B. 存在α和β，使得a b∥C. 对于任意的α和β，都有a b -<D. 对于任意的α和β，都有a b a c b c⋅<⋅+⋅【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，由a b ⊥ ，得0a b ⋅=化简计算，对于B ，由共线向量定理判断，对于C ，求解a b - 判断，对于D ，求解a b ⋅ 和a c b c ⋅+⋅进行判断.【详解】对于A ，若a b ⊥，则()cos sin sin cos sin 0a b αβαβαβ⋅=+=+= ，因为α和β都是锐角，所以()sin 0αβ+=不成立，所以A 错误，对于B ，若a b ∥ ，则存在唯一实数λ，使得a b λ=，则(cos ,sin )(sin ,cos )ααλββ=，所以cos sin sin cos αλβαλβ=⎧⎨=⎩，所以sin cos cos sin αβαβ=，当4παβ==上式成立，所以B 正确，对于C ，因为()cos ,sin a αα= ，()sin ,cos b ββ= ，所以(cos sin ,sin cos )a b αβαβ-=--，所以a b -===因为α和β都是锐角，所以0αβ<+<π，所以()0sin 1αβ<+≤，所以()022sin 2αβ≤-+<<，所以C 正确，对于D ，()cos sin sin cos sin a b αβαβαβ⋅=+=+ ，cos sin a c b c αβ⋅+⋅=+，若,36ππαβ==，则a b a c b c ⋅=⋅+⋅，所以D 错误，故选：BC11. 已知曲线321()3f x x x ax =+-在点()()11,P x f x 处的切线为1l ，则（ ）A. 当0a = 时，()f x 的极大值为43B. 若11x =，1l 的斜率为2，则1a =C. 若()f x 在R 上单调递增，则1a ≥-D. 若存在过点P 的直线2l 与曲线()f x 相切于点()()22,Q x f x ，则1223x x +=【答案】AB 【解析】【分析】当0a = 时，求出函数的导数，判断函数单调性，求得极值，判断A;根据导数的几何意义可求得参数的值，判断B;a 的范围，判断C;根据导数的几何意义，利用斜率关系，列出相应等式，化简可得1223x x +=-，判断D.【详解】当0a = 时, 321()3f x x x ax =+-,则2()2(2)f x x x x x '=+=+，当<2x -或0x >时，()0f x '>，()f x 递增，当20x -<<时，()0f x '<，()f x 递减，故2x =-时，取得极大值4(2)3f -=，A 正确；由2()2f x x x a '=+-可知，若11x =，1l 的斜率为2，则122,1a a +-=∴=，故B 正确；若()f x 在R 上单调递增，则2()20f x x x a '=+-≥恒成立，即440,1a a +≥∴≤- ，当1a =-时2()(1)0f x x '=+≥，()f x 在R 上单调递增，故1a ≤-，C 错误；若存在过点P 的直线2l 与曲线()f x 相切于点()()22,Q x f x ，则21x x ≠，则2l 的斜率为2222()2f x x x a '=+-，则2122122()()2f x f x x x x x a -=-+- ，即32322221121222111332x x x x x x x x a a x a x --+-++=--，即22212121)()01(23x x x x x x --+-=，即212121)(12)()0(3x x x x x x -++-=，故1223x x +=-，D 错误，故选：AB.12. 已知函数()f x 的定义域是R ，函数()f x 是偶函数，()211f x -+是奇函数，则（ ）A. ()01f =- B. ()11f =-C. 4是函数()f x 的一个周期 D. 函数()f x 的图象关于直线x ＝9对称【答案】BC 【解析】【分析】根据()211f x -+为奇函数，得到()()21212f x f x --+-=-，令0x =得()11f =-，B 正确；结合()f x 是偶函数，得到(()4f x f x +=，得到4是函数()f x 的一个周期，C 正确；首先得到()()22f x f x ++-=-，故()f x 关于()1,1-中心对称，结合4是函数()f x 的一个周期，故()91f =-，得到()f x 的图象关于()9,1-中心对称，D 正确；根据题目条件无法得到()0f 的值，A 错误.【详解】因为()211f x -+为奇函数，所以()()211211f x f x --+=--+⎡⎤⎣⎦，整理得：()()21212f x f x --+-=-，令0x =得：()212f -=-，解得：()11f =-，B 正确，将2x 替换为1x +，得()()11112f x f x ---++-=-，即()()22f x f x --+=-①，又因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=，将x 替换为2x +，得()()22f x f x --=+②，由①②得：()()22f x f x ++=-③，则()()422f x f x +++=-④，③-④得：()()4f x f x +=，故4是函数()f x 的一个周期，C 正确；因为()()22f x f x ++=-，所以()()22f x f x ++-=-，故()f x 关于()1,1-中心对称，又因为4是函数()f x 的一个周期，所以()()()924111f f f =⨯+==-，故()f x 关于()9,1-中心对称，D 错误，因为()f x 关于()1,1-中心对称，故()()0,0f 与()()22f ,关于()1,1-中心对称，无法得到()01f =-，（注意()0f 的值无法确定），A 错误.故选：BC【点睛】函数的对称性：若()()f x a f x b c ++-+=，则函数()f x 关于,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；若()()f x a f x b +=-+，则函数()f x 关于2a bx +=对称.三、填空题：本题共45分，共20分．13. 已知a ＞0，b ＞0，且11a b+=，则ba 的最小值是______．【答案】4【解析】【分析】根据均值不等式及不等式的性质求解.【详解】因为a ＞0，b ＞0，且11a b+=，所以11a b =+≥，即14a b ≤，当且仅当1a b =，即1,22a b ==时等号成立，所以4ba≥.故答案为：414. 已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，且关于x 的方程()()R f x a a =∈在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，则a 的取值范围是______．【答案】112a ≤<【解析】【分析】先判断函数在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，然后作图，借助函数图象即可求解.【详解】因为06x π≤≤时，πππ2662x ≤+≤，所以()f x 在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又62x ππ≤≤时，ππ7π2266x ≤+≤，所以()f x 在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先增后减，因为关于x 的方程()()R f x a a =∈在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，所以直线y a =与函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象交点有两个，又1(0)sin62f π==，()sin 162f ππ==，71(sin262f ππ==-，根据图象，当112a ≤<时，满足条件故答案为：112a ≤<.15. 已知数列{}n a 的通项公式102nn a n =-，前n 项和是n S ，对于*N n ∀∈，都有n k S S ≤，则k ＝______．【答案】5【解析】【分析】结合10y x =， 2x y =的函数图象和特殊值的思路，得到数列{}n a 正负情况，即可得到当5n =时，n S 取得最大值，即5k =.【详解】如图，为10y x =和2x y =的图象，设两个交点为A ，B ，因为110280a =-=>，所以01A x <<，因为55032180a =-=>，6606440a =-=-<，所以56B x <<，结合图象可得，当[]1,5n ∈时，102n n >，即0n a >，当[)6,n ∈+∞时，102n n <，即0n a <，所以当5n =时，n S 取得最大值，即5k =.故答案为：5.16. 10世纪阿拉伯天文学家阿尔库希设计出一种方案，通过两个观察者异地同时观测同一颗小天体来测定小天体的高度．如图，有两个观察者在地球上A ，B 两地同时观测到一颗卫星S ，仰角分别为∠SAM 和∠SBM （MA ，MB 表示当地的水平线，即为地球表面的切线），设地球半径为R ， AB 的长度为3R π，∠SAM ＝30°，∠SBM ＝45°，则卫星S 到地面的高度为______．【答案】1R⎫-⎪⎪⎭【解析】【分析】根据已知条件，构造三角形，在三角形中根据正、余弦定理求解.【详解】如图，圆心为O 点，设AOB α∠=，由已知 AB 长度为3R R πα=，即3AOB πα∠==，∵OA OB R == ∴AOB 是等边三角形，AB R =又MA OA ⊥，MB OB ⊥，o 30SAM ∠=，o 45SBM ∠=，则oo o 3090120SAO ∠=+=，o o o4590135SBO ∠=+=在SAB △中，有AB R =，oo o 1206060SAB ∠=-=，o o o 1204575SBA ∠=-=，o o o o 180607545ASB ∠=--=，()o o o sin sin 75sin 4530SBA ∠==+=由正弦定理可得，sin sin AB SAASB SBA=∠∠=，∴SA R=在SAO中，有SA =，OA R =，o 120SAO ∠=，由余弦定理可得，2222cos OS AS AO AS AO SAO=+-⋅⋅∠2221522R R R ⎫⎛⎫⎛=+-⋅⋅-=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，OS 的所以，则卫星S 到地面的高度为1R ⎫⎪⎪⎭故答案为：1R ⎫⎪⎪⎭.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在200人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们1年中的感冒记录与另外200名未用血清的人的感冒记录进行比较，结果如下表所示．问：是否有90%的把握认为该种血清对预防感冒有作用？未感冒感冒使用血清13070未使用血清11090附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥0.100.0100.001k2.7066.63510.828【答案】有90%的把握认为该种血清对感冒有作用．【解析】【分析】由卡方的计算结果即可判断.【详解】由表中数据可知：222()400(1309011070)()()()()200200240160n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==++++⨯⨯⨯254.167 2.7066=≈>，所以有90%的把握认为该种血清对感冒有作用．18. 在ABC 中，AB ＝4，AC ＝3．（1）若1cos 4C =-，求ABC 的面积；（2）若A ＝2B ，求BC 的长．【答案】（1（2【解析】【分析】（1）利用余弦定理列方程，解得2a =，然后利用三角形面积公式求面积即可；（2）利用正弦定理和二倍角公式得到6cos a B =，然后再利用余弦定理列方程，解方程即可得到a ，即BC .【小问1详解】在ABC 中，设角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ．由余弦定理得2222cos AB AC BC AB BC C =+-⋅⋅，即21169234a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭，得2a =或72a =-（舍），由1cos 4C =-，()0,C π∈，得sin C ===所以ABC 的面积11sin 3222S ab C ==⨯⨯=．【小问2详解】在ABC 中，由正弦定理得33sin sin sin 2sin 2sin cos sin a b a a A B B B B B B=⇒=⇒=⋅，所以6cos a B =．在ABC 中，再由余弦定理得2222169cos 224AB BC AC a B AB BC a +-+-==⋅⨯⨯，所以2169624a a a+-=⨯⨯，解得a =．19. 已知数列{}n a 和{}n b 满足12n bn a a a = ，{}n a 为等比数列，且24a =，438b b -=．（1）求n a 与n b ；（2）设n nn a b c n=，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【答案】（1）2n n a =，()1n b n n =+ （2）12n n S n +=⋅【解析】【分析】（1）依题意可得1122n n n n b b b b n a ----==，由438b b -=得到416a =，设{}n a 的公比为q ，由24a =求出q ，即可得到{}n a 的通项公式，再根据指数幂的运算法则及等差数列求和公式求出{}n b 的通项；（2）由（1）可得(1)2nn c n =+，利用错位相减法求和.【小问1详解】解：由12n bn a a a =…，得1121n b n a a a --⋯=，2n ≥，两式相除得1122n n n n b b b b n a ----==，()2n ≥，因为438b b -=，所以416a =．设{}n a 的公比为q ，由24a =，416a =，得24q =，由题意知{}n a 是正项数列，所以2q =．故222422n n n n a a q--=⋅=⋅=，由12nb n a a a =…，知(1)1212222222nn n b nn++++=⋅== ，所以()1n b n n =+．【小问2详解】解：由（1）可得(1)2n n nn a b c n n ==+，所以1232341223242(1)22223242(1)2nn n nS n S n +⎧=⋅+⋅+⋅+++⎨=⋅+⋅+⋅+++⎩ ，由错位相减得：()1231121222222(1)22(1)212n n n n n S n n ++--=⋅+++⋅⋅⋅+-+=+-+- ，所以12n n S n +=⋅．20. 如图，在四棱锥P ABCD - 中，PA ⊥平面ABCD PB ，与底面ABCD 所成角为45︒ ，四边形ABCD 是梯形，AD AB ⊥，BC AD ∥，21AD PA BC ===， ．（1）证明：平面PAC ⊥平面PCD ；（2）若点T 是CD 的中点，点M 是PT 的中点，求点P 到平面ABM 的距离．【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）先证明PA CD ⊥，继而证明DC AC ⊥，即可证明DC ⊥平面PAC ，从而根据面面垂直的判定定理证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面ABM 的法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案.【小问1详解】证明：由PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，得PA AB ⊥，PA CD ⊥，PB 与底面ABCD 所成角为45PBA ∠=︒ ．所以三角形PAB 为等腰直角三角形，1AB AP == ．又由四边形ABCD 是直角梯形，BC AD ∥，可知AB BC ⊥，所以ABC 为等腰直角三角形，而1BC =，故AC =．在直角梯形ABCD 中，过C 作CE AD ⊥，垂足为E ，则四边形ABCE 为正方形，可知1AE BC CE === ．所以1DE = ，在等腰直角三角形CDE 中，CD =．则有222224AC CD AD +=+==，所以DC AC ⊥．又因为PA DC ⊥，PA AC A = ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ．所以DC ⊥平面PAC ．因为DC ⊂平面PCD ，所以平面PAC ⊥平面PCD ．【小问2详解】以A 为坐标原点，分别以AB AD AP ，，所在的直线为x y z ，， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则()0,0,0A ，()0,0,1P ，()1,0,0B ，()0,2,0D ，()1,1,0C ．因为T 是CD 的中点，点M 是PT 的中点，所以13,,022T ⎛⎫⎪⎝⎭，131,,442M ⎛⎫⎪⎝⎭．设平面ABM 的法向量为(),,n x y z = ，()1,0,0AB =，131,,442AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则00n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得01310442x x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩ ，取4y = ，则6z =- ，得平面ABM 一个法向量为()0,4,6n =-，而()0,0,1AP = ,所以点P 到平面ABM的距离为AP n n ⋅=== 21. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点P ⎛ ⎝，31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 右焦点的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交直线x ＝4于点D ．设直线QA ，QD ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若20k ≠，证明：132k k k +为定值．【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将椭圆上两点代入方程，得到方程组，求解，可得到a 、b ；（2）设出直线AB 方程y ＝k （x －1），得到D 点坐标()4,3k ，联立直线AB 与椭圆方程，得到A ，B 两点坐标之间的关系，根据坐标，分别表示出1k ，2k ，3k ，化简代入即可得到定值.【小问1详解】将点P ⎛ ⎝，点31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程()222210x y a b a b +=>>，得222233141914a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为22143x y +=．【小问2详解】由题意直线AB 的斜率一定存在，的由（1）知，c =1，则椭圆的右焦点坐标为()1,0，设直线AB 方程为：y ＝k （x －1），D 坐标为()4,3k ．所以23312412k k k -==--，设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线AB 方程与椭圆方程联立得()22223484120kxk x k +-+-=．()()()()22222844341214410kk k k ∆=--+-=+>恒成立，由韦达定理知2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，且()111y k x =-，()221y k x =-，则()()121213121233331122221111y y k x k x k k x x x x ------+=+=+----()12121223221x x k x x x x +-=-⋅-++2222228233424128213434k k k k k k k -+=-⋅--+++21k =-．故13221212k k k k k +-==-（定值）．【点睛】本题第二问求三斜率之间的关系，要注意1k 与3k 的整体性，因为A ，B 两点是直线AB 与椭圆的两个交点，常用韦达定理表示坐标之间的关系，密不可分，切忌将1k 与3k 分开单独求解，会是题目解答过程复杂化.22. 已知函数1()ln =+f x a x x，其中R a ∈．（1）若函数()f x 的最小值为2a ，求a 的值；（2）若存在120x x <<，且122x x +=，使得()()12f x f x =，求a 的取值范围．【答案】（1）1 （2）()1,+∞【解析】【分析】（1）根据题意，分0a ≤和0a >两种情况讨论求解即可；（2）由题知212121ln022x x x a x x x +-=，进而令21x t x =，1t >，1()ln 22tt a t t ϕ=+-，将问题转化为函数()t ϕ在区间()1,+∞上有零点，再讨论1a ≤时，函数()t ϕ在区间()1,+∞无零点，进而进一步转化为，当1a >时则()0t ϕ'=有两不等正实根1t 和2t ，且函数()t ϕ在减区间()2,t +∞上存在零点问题，再根据导数研究函数的零点即可.【小问1详解】解：函数定义域为{}0x x >，2211()a ax f x x x x-'=-=．若0a ≤，则()0f x '<，函数()f x 为减函数，无最小值．若0a >，由()0f x '=得1x a=．所以，x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 的最小值即极小值为11ln f a a a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以，21lna a a a+=，即ln 1a a +=．设()ln g a a a =+，则()110g a a '=+>，所以，()g a 为()0,∞+上的增函数，又因为()11g =．所以，1a =．【小问2详解】解：由()()12f x f x =，得121211ln ln a x a x x x +=+，即212111ln0x a x x x +-=，将122x x +=代入，有：21212121ln022x x x x x a x x x +++-=，得212121ln 022x x x a x x x +-=．令21x t x =，1t >，1()ln 22tt a t t ϕ=+-，所以，将问题转化为函数()t ϕ在区间()1,+∞上有零点．所以，2221121()222a t at t t t tϕ-+-'=--=．其中()11a ϕ'=-．因为函数221y t at =-+-的对称轴方程为t a =．所以，当1a ≤，则()0t ϕ'<恒成立，得()t ϕ在区间()1,+∞为减函数，又()10ϕ=，所以()0t ϕ<，函数()t ϕ在区间()1,+∞无零点．当1a >，则()0t ϕ'=有两不等正实根1t 和2t ，设12t t <，有121t t =，且1201t t <<<．所以，t ，()t ϕ'，()t ϕ的变化如表：又()10ϕ=，得()2(1)0t ϕϕ>=．下面证明函数()t ϕ在减区间()2,t +∞上存在零点．考虑到1()ln 22tt a t t ϕ=+-中含参数a ，取2(1)at a =>e ．则()222222211ln 22222a a aaa a a a ϕ=+-=+-e e e e e e ，当1a >时，22111222a <<e e ，则()2221222a a a ϕ<+-e e ．令221()222a m a a =+-e ，则()24am a a '=-e ，令()24ah a a =-e ，当1a >时，有22()42420a h a '=-<-<e e ，所以，函数()h a 在1a >时为减函数，由()2140m '=-<e ，知()0m a '<恒成立．所以，2221()222am a a =+-e e 为()1,+∞上的减函数．所以()2222155()(1)2022222am a m ϕ-<<=+-=-=<e e e e ．又()20t ϕ>，于是()()220at ϕϕ<e，所以，函数()t ϕ在减区间()2,t +∞上存在零点．综上，实数a 取值范围是()1,+∞．【点睛】关键点点睛：本题第二问解题关键在于根据题意，利用换元方法，将问题转化为证明函数1()ln 22tt a t t ϕ=+-在区间()1,+∞上有零点，进而先排除当1a ≤函数()t ϕ在区间()1,+∞无零点，进一步将问题转化为函数()t ϕ在减区间()2,t +∞上存在零点.的的。
江苏省连云港市海头高级中学2021-2022高一数学上学期期中试题(含解析)
江苏省连云港市海头高级中学2021-2022高一数学上学期期中试题（含解析）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分.请把答案填写在答题卡相应位置. 1.已知集合{1,2,3,6}A =-，{|23}B x x =-<<，则A B =（ ）A. {|23}x x -<<B. {3,6}C. {1,2}-D. {1,2,3}-【答案】C 【解析】 【分析】根据已知中集合{1,2,3,6}A =-，{|23}B x x =-<<，结合集合交集的定义可得答案． 【详解】解：集合{1,2,3,6}A =-，{|23}B x x =-<<，{}1,2A B ∴=-，故选：C .【点睛】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题． 2.函数()2log (1)a f x x =++（0a >，且1a ≠）恒过定点（ ） A. (0,1) B. (1,2)C. (1,3)D. (0,2)【答案】D 【解析】 【分析】令()2log (1)a f x x =++的真数值为1，求得自变量x 的值即可求得答案． 【详解】解：()2log (1)a f x x =++令11x +=，得0x =，()()02log 012a f =++=，∴函数()2log (1)a f x x =++的图象经过定点()0,2．故选：D ．【点睛】本题考查对数函数的单调性与特殊点，属于基础题． 3.已知幂函数图像经过点(2,8)，则该幂函数的解析式是（ ）A. 3xy = B. x y = C. 3y x =D. y x =【答案】C 【解析】 【分析】设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出函数的解析式即可． 【详解】解：设幂函数为()f x x α=， 因为图象经过点(2,8)， ()228f α∴==，解得3α=，函数的解析式3()f x x =， 故选：C ．【点睛】本题考查了求幂函数的解析式问题，待定系数法是常用方法之一，属于基础题． 4.设()338xf x x =+-,用二分法求方程3380x x +-=在()1,2x ∈内近似解的过程中得()()()10, 1.50, 1.250,f f f <><则方程的根落在区间（ ）A. ()1,1.25B. ()1.25,1.5C. ()1.5,2D. 不能确定【答案】B 【解析】 【分析】根据二分法求根的方法判断即可.【详解】由()()1.50, 1.250,f f ><可知方程的根落在()1.25,1.5内. 故选：B【点睛】本题主要考查了二分法求根方法等,属于基础题型.5.已知()f x 是奇函数，当0x >时()(1)f x x x =-+，当0x <时，()f x 等于（ ） A. (1)x x --B. (1)x x -C. (1)x x -+D. (1)x x +【解析】 【分析】由0x <时，0x ->，则()(1)f x x x -=-，根据函数的奇偶性，即可得到函数的解析式； 【详解】当x 0<时，x 0->，则()()f x x 1x -=-．又()f x 是R 上的奇函数，所以当x 0<时()()()f x f x x 1x =--=--． 故选项A 正确．【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，其中解答中合理利用函数的奇偶性转化求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 6.函数()f x 的增区间是(2,3)-，则(5)y f x =+的单调增区间是（ ） A. (3,8) B. (7,2)-- C. (2,8)- D. (2,3)-【答案】B 【解析】 【分析】函数(5)y f x =+是函数()f x 向左平移5个单位，利用函数()f x 在区间(2,3)-是增函，即可得到结论．【详解】解：函数(5)y f x =+是函数()f x 向左平移5个单位 函数()f x 在区间(2,3)-是增函数(5)y f x ∴=+增区间为(2,3)-向左平移5个单位，即增区间为(7,2)--，故选：B ．【点睛】本题考查图象的变换，及函数的单调性，属于基础题．7.设13log 5a =，153b =，0.315c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有（ ） A. a b c << B. c b a << C. c a b <<D.a cb <<【答案】D 【解析】根据对数函数的单调性，可以判断出a ＜0，b ＞1，根据指数函数的值域及单调性可判断出0＜c ＜1，进而得到a 、b 、c 的大小顺序． 【详解】∵y=13log x 在定义域上单调递减函数，∴a 13log =5＜13log 1=0，y=3x 在定义域上单调递增函数，b 10533==＞1，y=（15）x 在定义域上单调递减函数，0＜c ＝（15）0.3＜（15）0=1， ∴a ＜c ＜b 故选D ．【点睛】本题考查的知识点是利用函数的单调性比较数的大小，熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解答的关键．8.若2log 13<a ，则实数a 的取值范围是（ ） A. 023a << B. 23a > C. 023a <<或1a >D.213a << 【答案】C 【解析】 【分析】讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于a 的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果． 【详解】∵log a 23＜1＝log a a ，当a ＞1时，函数是一个增函数，不等式成立，当0＜a ＜1时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有a 23＜， 综上可知a 的取值范围是203a <<或1a >， 故选C.【点睛】本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，本题解题的关键是讨论底数与1的关系，属于基础题．9.函数()221f x ax x =-+在区间()1,1-和区间()1,2上分别有一个零点，则实数a 的取值范围是 （ ） A. ()3,1--B. 3,14⎛⎫⎪⎝⎭C. 33,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ()3,3,4⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【详解】利用排除法：当1a =时，()()22211f x x x x =-+=-，此时函数只有一个零点1，不合题意，排除D 选项，当2a =-时，()2221f x x x =--+，此时函数有两个零点12-±，不合题意，排除AC 选项，本题选择B 选项.10.已知函数3())8f x x x =+-，且(2)10f -=，那么(2)f =（ ） A. 10 B. 10-C. 18-D. 26-【答案】D 【解析】 【分析】令g （x ）＝)lnx ，由函数奇偶性的定义得其为奇函数，根据题意和奇函数的性质求出f （2）的值．【详解】令g （x ）＝)lnx ，则g （-x ）＝)lnx ，g （x ）+ g （-x ）=))ln ?ln10x x ln +==，可得其为奇函数，又y=3x 为奇函数，则f （x ）+8为奇函数，所以f （﹣2）+8+f(2)+8＝0，即10+8+ ()280f +=， 则f （2）＝﹣26， 故选D ．【点睛】本题考查函数奇偶性的判定及应用，以及整体代换求函数值的方法，属于中档题．11.已知()243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，那么a 的取值范围是（ ）A. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的单调性．利用分段函数解析式，结合单调性列出不等式组求解即可．【详解】解：243,1log 2,1a x ax x f x x a x ⎧-+<=⎨+≥⎩（）满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＜成立， 所以分段函数是减函数，所以：0121442a a a a<<⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，解得12,23a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选C ．【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用，函数的单调性的定义的理解，考查转化思想以及计算能力．12.设函数3log ,03()4,3x x f x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩，若实数,,a b c 满足a b c <<，且()()()f a f b f c ==，则(2)cab +的取值范围是（ ） A. (3,4) B. (3,27) C. (9,27) D. (27,81)【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式作出函数图象，由a b c <<，且()()()f a f b f c ==，可得1ab =，34c <<，根据指数函数的单调性即可求出(2)cab +的取值范围.【详解】解：3log ,03()4,3x x f x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩可作函数图象如下所示：因为实数,,a b c 满足a b c <<，且()()()f a f b f c ==，由图可知11343a b c ∴<<<<<< 33log log a b ∴=33log log a b ∴-=即1a b -=1ab ∴=(2)3c c ab ∴+=3x y =在定义域上单调递增，且()3,4c ∈()327,81c ∴∈即()(2)27,81c ab ∴+∈故选：D【点睛】本题考查数形结合思想，函数单调性的应用，以及对数的运算，属于难题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置.13.已知函数()f x 满足()xf e x =，则(5)f =________.【答案】ln 5 【解析】 【分析】由已知，()xf e x =，将5写成e α形式，则实数α为所求．【详解】解：由于()xf e x =，令5x e =，转化为对数式得出，log 55e x ln ==，即有()55()5ln f f e ln ==故答案为：5ln ．【点睛】本题考查函数的解析式表示法，函数值求解．根据函数的解析式构造出()()55ln f f e=是关键，属于基础题． 14.已知集合1|22xA x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，(,)B a =-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c =________. 【答案】-1 【解析】 【分析】由题意解出集合A ，根据集合的包含关系求出参数a 的取值范围，即可得到c 的值. 【详解】解：1|22x A x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭{}(]|1,1A x x ∴=≤-=-∞-(,)B a =-∞且A B ⊆1a ∴>-即()1,a ∈-+∞又a 的取值范围是(,)c +∞1c ∴=-故答案为：1-【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围问题，属于基础题. 15.定义域{|0}x x >为的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+且(8)3f =，则(2)f =_______.【答案】1 【解析】【分析】根据题意可得()()832f f =，从而求得()2f 的值． 【详解】解：函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，()(),0,x y ∈+∞且(8)3f =，()()()()842323f f f f ∴=+==∴()21f =，故答案为：1．【点睛】本题考查根据函数的性质求函数的值，属于基础题.16.函数()y f x =是定义域为R 的增函数，且()y f x =的图像经过点(2,3)A --和()1,3B ，则不等式()3f x <的解集为________. 【答案】(2,1)- 【解析】 【分析】由题意()3f x <等价于3()3f x -<<根据函数的单调性与特殊点的函数值,将函数不等式转化为自变量的不等式,即可求解. 【详解】解:()3f x <3()3f x ∴-<<()y f x =的图像经过点(2,3)A --和()1,3B()23f ∴-=-,()13f =又因为()y f x =是定义域为R 的增函数,()()()21f f x f ∴-<<21x ∴-<<故答案为: ()2,1-【点睛】本题考查函数单调性,属于基础题. 三、解答题：请把答案填写在答题卡相应位置.17.计算：（1）22333(0.9)()(3)28--+⋅+（2）7log 23log lg25lg47+-. 【答案】（11 ； （2）32. 【解析】 【分析】根据实数指数幂的运算公式和对数的运算公式，即可求解的结果.【详解】由题意，（1）原式4911)194=+⨯+=； （2）原式3133log 27(lg 25lg 4)222222=++-=+-=.【点睛】本题主要考查了指数幂的化简，运算求值和对数的运算求值问题，其中熟记实数指数幂的运算公式和对数的运算公式是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 18.已知函数1()lg 33x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为M .（1）求M ；（2）当x M ∈时，求111()242x x g x -⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域.【答案】（1）(1,2]M =-（2）[1,2) 【解析】 【分析】（1）根据偶次方根的被开方数大于等于零，对数函数的真数大于零，得到不等式组，解得；（2）令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭将函数转化为关于t 的二次函数，结合t 的取值范围求出函数的值域.【详解】解：（1）1()lg 33x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭201303x x -≥⎧⎪∴⎨->⎪⎩，解得12x -<≤，即(1,2]x ∈-，即函数的定义域(1,2]M =-. （2）因(1,2]M =-，令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,24t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 则22()22(1)1g t t t t =-+=-+， 而()g t 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，[1,2)上单调递增， 所以()[(1),(2))g t g g ∈，即()[1,2)g t ∈， 所以值域为[1,2).【点睛】本题考查函数的定义域值域的求解，利用换元法求函数的值域，属于基础题. 19.某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入x 万元，甲、乙两种商品分别可获得12,y y 万元的利润，利润曲线11:nP y ax =，22:Py bx c =+，如图所示.（1）求函数12,y y 的解析式；（2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？ 【答案】（1）154y x =214y x =；（2）当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为6516万元. 【解析】【详解】试题分析：（1）由图可知，点()()1,1.25,4,2.5在曲线1P 上，将两点的坐标代入曲线的方程，列方程组可求得154y x =.同理()4,1在曲线2P 上，将其代入曲线的方程可求得214y x =.（2）设投资甲商品x 万元，乙商品10x -万元，则利润表达式为1542y x =+，利用换元法和配方法，可求得当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为6512万元. 试题解析：（1）由题知()1,1.25，()4,2.5在曲线1P 上，则 1.2512.54n na a ⎧=⋅⎨=⋅⎩， 解得54{12a n ==，即1y =又()4,1在曲线2P 上，且0c ，则14b =，则14b =，所以214y x =. （2）设甲投资x 万元，则乙投资为()10x -万元， 投资获得的利润为y 万元，则()1104y x =-1542x =+，t ⎡=∈⎣，则2215515654424216y t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭.当52t =，即25 6.254x ==（万元）时，利润最大为6516万元，此时10 3.75x -=（万元）， 答：当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为6516万元. 20.已知函数13()log 1a xf x x-=+是定义在(1,1)-上的奇函数. （1）求a 的值；（2）判断函数()f x 在(1,1)-区间上的单调性，并证明； （3）求不等式(2)(1)0f x f x +->的解集.【答案】（1）1a =（2）函数()f x 在区间(1,1)-上的单调递增，证明见解析（3）10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据函数为在(1,1)-上的奇函数，则()00f =，得到关于a 的方程，求解可得，需注意检验；（2）利用定义法证明函数的单调性，按照“设元，作差，变形，判断符号，下结论”五步来完成即可；（3）根据函数的单调性奇偶性，将函数不等式转化为自变量的不等式，需注意函数的定义域，得到不等式组，解得；【详解】解：（1）因为函数13()log 1a xf x x-=+是定义在(1,1)-上的奇函数， 所以13(0)log 0f a ==，解得1a =，此时131()log 1x f x x -=+，由101xx ->+，得定义域为(1,1)-， 而131()log 1x f x x +-=-131log 1xx -=-+()f x =-， 则函数13()log 1a xf x x-=+是奇函数， 所以1a =满足题意.（2）函数()f x 在区间(1,1)-上的单调递增， 下面证明：任取12,(1,1)x x ∈-，且12x x <， 则()()121211123311log log 11x x f x f x x x ---=-++()()()()12112311log 11x x x x -+=+-，而()()()()()()()1221121211211111x x x x x x x x -+--=+-+-， 因为12,(1,1)x x ∈-，且12x x <， 所以210x x ->，1210,0x x +>->,所以()()()()()()()12211212112101111x x x x x x x x -+--=>+-+-，所以()()()()121211111x x x x -+>+-，所以()()()()()()1212112311log 011x x f x f x x x -+-=<+-，所以()()120f x f x -<， 所以()()12f x f x <，所以函数()f x 在区间(1,1)-上的单调递增. （3）因为函数()f x 是定义在(1,1)-上的奇函数， 所以不等式(2)(1)0f x f x +->可化为(2)(1)f x f x >-， 又因为函数()f x 在区间(1,1)-上的单调递增，所以12111121x x x x -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式，函数单调性的证明，利用函数的单调性解不等式，属于综合题.21.已知f （x ）=ax 2+bx+c （a≠0），满足条件f （x+1）-f （x ）=2x （x∈R），且f （0）=1． （Ⅰ）求f （x ）的解析式；（Ⅱ）当x≥0时，f （x ）≥mx -3恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）f （x ）=x 2-x+1；（Ⅱ）（-∞，3].【解析】 【分析】（Ⅰ）根据f （0）=1及f （x+1）-f （x ）=2x ，代入解析式，根据对应位置系数相等，即可求得a 、b 、c 的值，得到f （x ）的解析式．（Ⅱ）将解析式代入不等式，构造函数g （x ）=x 2-（m+1）x+4，即求当x∈[0，+∞）时g （x ） 4≥0恒成立．讨论g （x ）的对称轴x=m 12+与0的大小关系，根据对称及单调性即可求得m 的取值范围．【详解】（Ⅰ）由f （0）=1得，c=1，由f （x+1）-f （x ）=2x ，得a （x+1）2+b （x+1）+1-（ax 2+bx+c ）=2x 化简得，2ax+a+b=2x ， 所以：2a=2，a+b=1， 可得：a=1，b=-1，c=1， 所以f （x ）=x 2-x+1；（Ⅱ）由题意得，x 2-x+1≥mx -3，x∈[0，+∞）恒成立． 即：g （x ）=x 2-（m+1）x+4≥0，x∈[0，+∞）恒成立． 其对称轴x=m 12+， 当m 12+≤0，即m≤-1时，g （x ）在（0，+∞）上单调递增， g （0）=4＞0 ∴m≤-1成立 ②当m 12+＞0时， 满足m 1020+⎧⎪⎨⎪≤⎩＞计算得：-1＜m≤3综上所述，实数m 的取值范围是（-∞，3]．【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数对称轴、单调性与恒成立问题的综合应用，属于中档题．22.已知二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）已知2t <,()()2[13]g x f x x x =--⋅，求函数()g x 在[t ，2]上的最大值和最小值；（3）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)2()11f x x x =++;(2)见解析;(3)见解析. 【解析】分析：（1）由1()2f x -是偶函数，知函数()f x 的对称轴是12x =-，再由二次函数性质可得；（2）由（1）()(2)g x x x =-⋅，按x 的正负分类去绝对值符号，得两个二次函数，配方得对称轴，再按对称轴与区间[],2t 的关系分类可求得最值； （3）假设存在，并设点坐标P ()2,m n，其中m 为正整数，n 为自然数，则2211mm n ++=，从而()2242143n m -+=，即()()22122143n m n m ⎡⎤⎡⎤++-+=⎣⎦⎣⎦ ，注意到43是质数，且2210n m ++>，可得22143n m ++=，2211n m +-=，从而得解. 详解：（1）因为函数12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是偶函数，所以二次函数()2f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，故1b =. 又因为二次函数()2f x x bx c =++的图象过点（1，13），所以113b c ++=，故11c =. 因此，()f x 的解析式为()211f x x x =++.（2）()()2g x x x =-⋅ 当0x ≤时，()()211g x x =--+，当0x >时，()()211g x x =--，由此可知()max g x =0． 当12t ≤<，()2min 2g x t t =-；当11t ≤<，()min 1g x =-；当1t <，()2min 2g x t t =-+；（3）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为P ()2,m n，其中m 为正整数，n为自然数，则2211m m n ++=，从而()2242143n m -+=， 即()()22122143n m n m ⎡⎤⎡⎤++-+=⎣⎦⎣⎦.注意到43是质数，且()()221221n m n m ++>-+，()2210n m ++>，所以有()()22143,2211,n m n m ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩解得10,11.m n =⎧⎨=⎩ 因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.点睛：本题考查二次函数的性质，特别是二次函数在某个区间上的最值问题，求最值主要是根据对称轴与给定区间的关系进行分类讨论.另外本题还考查了整数的问题，在解不定方程()()22122143n m n m ⎡⎤⎡⎤++-+=⎣⎦⎣⎦时，由整数质因数分解定理得到22143n m ++=，2211n m +-=，否则其解不确定.。
江苏省连云港市2024届高三上学期期中考试数学含答案解析
2022~2023学年第一学期期中调研考试高三数学试题注意事项：1.考试时间120分钟，试卷满分150分。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.请用2B 铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设m 为实数，{}1,3A m =--，{}21,3B m m =--.若{}3A B =- ，则m =（）A.1B.-1C.0D.0或-12.“21a <”是“2a <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.设123i z =+，2i z m =-（m ∈R ），若120z z <，则m =（）A.23-B.23 C.32-D.324.连云港海滨浴场是我省最优质的天然海滨浴场，浪缓滩平，水清沙细，当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用0e D I I KD =-表示其总衰减规律，其中K 是平均消光系数，D （单位：米）是海水深度，D I （单位：坎德拉）和0I （单位：坎德拉）分别表示在深度D 处和海面的光强.已知某海区5米深处的光强是海面光强的40%，则该海区消光系数K 的值约为（参考数据：ln20.7≈，ln5 1.6≈）（）A.0.2B.0.18C.0.16D.0.145.已知()2cos 23cos 0αββ+-=，则()tan tan ααβ+=（）A.5B.15C.-5D.15-6.若12a ⎛= ⎪⎝⎭，3log 2b =，33c =，则（）A.b c a<< B.a b c<< C.a c b<< D.c a b<<7.设a ，b ，c 都是单位向量，且a 与b的夹角为60°，则()()c a c b -⋅- 的最大值为（）A.3322- B.3322+ C.32D.32+8.若函数()sin f x x x ωω=在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的极值点，则正数ω的取值范围是（）A.511,33⎛⎫⎪⎝⎭ B.51117,5,333⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ C.51117,5,333⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.51117,5,333⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省连云港市2021届新高考数学三模考试卷含解析
江苏省连云港市2021届新高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示，为了测量A 、B 两座岛屿间的距离，小船从初始位置C 出发，已知A 在C 的北偏西45︒的方向上，B 在C 的北偏东15︒的方向上，现在船往东开2百海里到达E 处，此时测得B 在E 的北偏西30°的方向上，再开回C 处，由C 向西开26百海里到达D 处，测得A 在D 的北偏东22.5︒的方向上，则A 、B 两座岛屿间的距离为（ ）A ．3B ．32C ．4D ．2【答案】B 【解析】 【分析】先根据角度分析出,,CBE ACB DAC ∠∠∠的大小，然后根据角度关系得到AC 的长度，再根据正弦定理计算出BC 的长度，最后利用余弦定理求解出AB 的长度即可. 【详解】由题意可知：60,67.5,45,75,60ACB ADC ACD BCE BEC ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒， 所以180756045CBE ∠=︒-︒-︒=︒，18067.54567.5DAC ∠=︒-︒-︒=︒， 所以DAC ADC ∠=∠，所以26CA CD ==又因为sin sin BC CE BEC CBE =∠∠，所以326BC ==所以2212cos 2462266322AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=故选：B. 【点睛】本题考查解三角形中的角度问题，难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键. 2．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为ˆy=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ）C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg 【答案】D 【解析】根据y 与x 的线性回归方程为 y=0.85x ﹣85.71，则 =0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A 正确； 回归直线过样本点的中心（,x y ），B 正确；该大学某女生身高增加 1cm ，预测其体重约增加 0.85kg ，C 正确；该大学某女生身高为 170cm ，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg ，D 错误． 故选D ．3．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅I ð”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】作出韦恩图，数形结合，即可得出结论. 【详解】如图所示，⊆⇒⋂=∅U A B A B ð， 同时⋂=∅⇒⊆U A B A B ð. 故选:C.【点睛】本题考查集合关系及充要条件，注意数形结合方法的应用，属于基础题.4．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．13B ．23C 3D ．23【答案】C 【解析】试题分析：设AC BD 、的交点为O ，连接EO ，则AEO ∠为,AE SD 所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为a ，则312,,222AE a EO a OA a ===，所以222cos 2AE OA EO AEO AE OA +-∠=⋅ 222312()()()3222312()()a a a a a +-==⨯⋅，故C 为正确答案． 考点：异面直线所成的角． 5．集合{}2|4,M y y x x ==-∈Z 的真子集的个数为( )A ．7B ．8C ．31D ．32【答案】A 【解析】 【分析】计算{}2,3,0M =，再计算真子集个数得到答案. 【详解】{}{}2|4,2,3,0M y y x x ==-∈=Z ，故真子集个数为：3217-=.故选：A . 【点睛】本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力. 6．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】由排除选项;排除选项；由函数有无数个零点，排除选项,从而可得结果. 【详解】 由，可排除选项，可排除选项；由可得，即函数有无数个零点，可排除选项,故选A.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若//m n ，m β⊥，则n β⊥；②若//m α，//m β，则//αβ；③若m α⊥，//n α，则m n ⊥；④若//m α，m β⊥，则αβ⊥；其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】利用线线、线面、面面相应的判定与性质来解决. 【详解】如果两条平行线中一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于这个平面知①正确；当直线m 平行于平面α与平面β的交线时也有//m α，//m β，故②错误；若m α⊥，则m 垂直平面α内以及与平面α平行的所有直线，故③正确；若//m α，则存在直线l α⊂且//m l ，因为m β⊥，所以l β⊥，从而αβ⊥，故④正确. 故选：C. 【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系，里面涉及到了相应的判定定理以及性质定理，是一道基础题.8．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）A ．49B ．94C ．23D ．32【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得m 的值. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为()0y x m=>，320x y +=可化为32y x =-32=，解得49m =. 故选：A 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.9．若将函数()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增 B ．函数()g x 的周期是2π C ．函数()g x 的图象关于点 012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 D ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上最大值是1 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数伸缩变换特点可得到()g x 解析式；利用整体对应的方式可判断出()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，A 正确；关于点,112π⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，C 错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知B 错误；根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得，D 错误. 【详解】将()f x 横坐标缩短到原来的12得：()2sin 216g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭sin x Q 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 ()g x ∴在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，A 正确；()g x 的最小正周期为：22T ππ== 2π∴不是()g x 的周期，B 错误； 当12x π=-时，206x π+=，112g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()g x ∴关于点,112π⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，C 错误；当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()()0,1g x ∴∈ 此时()g x 没有最大值，D 错误. 本题正确选项：A 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质. 10．设复数z ＝213ii-+，则|z|＝（ ）A ．13B ．C ．12D 【答案】D 【解析】 【分析】先用复数的除法运算将复数z 化简，然后用模长公式求z 模长. 【详解】 解：z ＝213i i -+＝(2)(13)(13)(13)i i i i --+-＝1710i --＝﹣110﹣710i ,则|z|故选：D. 【点睛】本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.11．等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD △沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ）A ．33B ．22C ．32D ．33【答案】A 【解析】 【分析】设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，得到ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，进而求得其正弦值，得到结果. 【详解】设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，由题可知AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以BD ⊥平面AEC ， 过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，则AO ⊥平面BDC ， 所以ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角， 所以2sin 2AOADO AD∠==，可得32AO = 在AOE △中可得3OE =， 又132OC BD ==，即点O 与点C 重合，此时有AC ⊥平面BCD ， 过C 作CF AE ⊥与点F ，又BD AEC ⊥平面，所以BD CF ⊥，所以CF ⊥平面ABD ，从而角CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，3sin 33CE CAE AE ∠===， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平面角的定义，属于中档题目.12．已知函数2()ln(1)33x x f x x x -=++-，不等式()22(4)50f a x f x +++…对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．[2,)-+∞B ．(,2]-∞-C ．5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】确定函数为奇函数，且单调递减，不等式转化为2a ⎫=-，利用双勾函数单调性求最值得到答案. 【详解】())33(),()x x f x x f x f x --=+-=-是奇函数，())3333x x x x f x x --=+=+--，易知,33x x y y y -==-=均为减函数，故()f x 且在R 上单调递减，不等式()2(50f f x ++…，即()2(5f f x --…，结合函数的单调性可得25x --，即2a ⎫=-，设t =，2t ≥，故1y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭单调递减，故max 52⎫-=-， 当2t =，即0x =时取最大值，所以52a -…. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式，参数分离求最值是解题的关键. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
连云港市2022-2023学年高三上学期期中调研考试数学答案
高三数学参考答案202211一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.D2. C3. B4. C5. B6. B7. C8.A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. ABD 10.BC 11.AB 12.BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 4 14. 112⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 15. 5 16. 1R ⎫⎪⎪⎭四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.解：222()400(1309011070)=()()()()200200240160n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯=++++⨯⨯⨯ …………………………4分 254.167 2.706,6=≈>……………………………………………………………………………8分 所以有90%的把握认为该种血清对感冒有作用.…………………………………………………10分注：把n 错看成200的，得0分18.解：（1）在△ABC 中，设角A 、B 、C 所对的边分别为,,.a b c 由余弦定理得2222cos ,AB AC BC AB BC C =+-⋅⋅即2116923()4a a =+-⨯⨯⨯-，得722a a ==-或（舍）…………………………………3分由1cos 4C =-，得sin C ==4分所以△ABC 的面积11sin 3222S ab C ==⨯⨯=…………………………………5分 （2）在△ABC 中，由正弦定理得33,sin sin sin 2sin 2sin cos sin a b a a A B B B B B B=⇒=⇒=⋅ 所以6cos .a B =……………………………………………………………………………7分在△ABC 中，再由余弦定理得2222169cos 224AB BC AC a B AB BC a+-+-==⋅⋅⋅…………………………9分 所以2169624a a a +-=⋅⋅.………………………………………………………………………………11分解得a =………………………………………………………………………………………12分19.解：（1）由12(2)n bn a a a =，得1121(2)2n bn a a a n --=≥，，两式相除，得1122,(2)b b n n n n b b n a n ----==≥ ………………………………………………………2分因为438,b b -=所以416.a =设{}n a 的公比为,q 由244,16,a a ==得24,q =由题意知{}n a 是正项数列，所以 2.q =故222422.n n n n a a q --=⋅=⋅=…………………………4分 由12(2)nb n a a a =，知(1)12122(2)22222,nb n n n n++++=⋅==所以(1)n b n n =+.…………………6分（2）(1)2n n nn a b c n n ==+……………………………………………………………………………8分 所以1232341223242(1)2,2223242(1)2n n n nS n S n +⎧=⋅+⋅+⋅+++⎪⎨=⋅+⋅+⋅+++⎪⎩ 由错位相减得：123112(12)22222(1)22(1)2,12n nn n n S n n ++--=⋅++++-+=+-+- 所以12.n n S n += ……………………………………………………………………………………12分20. （1）证明：由PA ⊥平面ABCD ，AB ABCD ⊂平面,CD ABCD ⊂平面, 得,PA AB PA CD ⊥⊥，PB 与底面ABCD 所成角为45PBA ∠=°.所以三角形P AB 为等腰直角三角形， AB= AP =1. ……………………………………………1分 又由四边形ABCD 是直角梯形, BC ∥AD ，可知B C A B ⊥，三角形ABC为等腰直角三角形，AC =在直角梯形ABCD 中，过C 作CE AD ⊥,垂足为E ，可知AE=BC =CE=1.所以DE =1，在等腰直角三角形CDE 中，CD =.有222224AC CD AD +=+==，所以DC AC ⊥.…………………………………………………3分 又因为PA DC ⊥，PAAC A =，PA PAC ⊂面，AC PAC ⊂面.所以DC PAC ⊥平面. ………………………………………………………………………………5分 因为DC PCD ⊂平面, 所以平面PAC ⊥平面PCD. ………………………………………………6分 （2）以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则(0,0,0),),(1,0,0),(0,2,0),(1,1,0).A PB DC （0,0,1 因为T 是CD 的中点，点M 是PT 的中点，所以 13131(,,0),(,,).22442T M ………………………8分 设平面ABM 的法向量为(,,),n x y z =131(1,0,0),(,,),442AB AM ==则00,13100442x n AB x y z n AM =⎧⎧⋅=⎪⎪⎨⎨++=⋅=⎪⎪⎩⎩得 取4,y =则 6z =-.得平面ABM 的一个法向量为(0,4,6).n =- ………………………………10分 所以点P 到平面ABM的距离为66313.131636213AP n n⋅===+……………………………12分21.解：（1）将点P （，点31)2Q（，代入椭圆方程22221(0)x y a b a b +=>>得22223314,1914a b ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,3a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆方程为22 1.43x y +=……………………………………4分 （2）由题意直线AB 的斜率一定存在，设直线AB 方程为：(1)y k x =-，D 坐标为(4,3)k .所以23312,412k k k -==--……………………………………………………………………………6分 与椭圆方程联立得2222(34)84120k x k x k +-+-=.0∆>恒成立，由韦达定理知2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………………………………………8分 1212131212123333(1)(1)31122222()1111211y y k x k x k k k x x x x x x ------+=+=+=-+------22122212122282233342241282()1213434k x x k k k k k x x x x k k -+-+=-⋅=-⋅--++-+++ 222362212412834k k k k k -=-⋅=---++. ………………………………………………………11分故13221212k k k k k +-==-(定值). …………………………………………………………………12分 22.解：（1）函数定义域为{}|0x x >，2211()a ax f x x x x-'=-= 若0a ≤，则()0f x '<，函数()f x 为减函数，无最小值.………………………………………2分若0a >，由()0f x '=得1x=. 所以，()f x 的最小值即极小值为11()ln f a a a a=+.………………………………………………4分由21lna a a a +=,得ln 1a a +=.设()ln g a a a =+，则1()10g a a'=+>， ()g a 为()0,+∞上的增函数，且(1)g =1.得1a =.综上，1a =.…………………………………………………………………………………………5分（2）由12()()f x f x =,得121211ln ln a x a x x x +=+,即212111ln 0x a x x x +-=，将122x x +=代入,有：21212121ln022x x x x x a x x x +++-=，得212121ln 022x x x a x x x +-=. 211x t t x =>令，,1()ln 22tt a t t ϕ=+-,……………………………………………………………7分 转化为函数()t ϕ在区间()1∞+，上有零点.2221121()222a t at t t t t ϕ-+-'=--=.其中(1) 1.a ϕ'-=函数221y t at =-+-的对称轴方程为t a =. 若1a ≤,则()0t ϕ'<恒成立，得()t ϕ在区间()1∞+，为减函数，又(1)0ϕ=,有()0t ϕ<，函数()t ϕ在区间()1∞+，无零点. …………………………………………8分 若1a >，则()0t ϕ'=有两不等正实根12t t 和，12t t <设，有121t t =，且1201t t <<<.又(1)0ϕ=，得2()(1)0t ϕϕ>= ………………………………………………………………………9分 下面证明函数()t ϕ在减区间()2,t +∞上存在零点.考虑到1()ln 22tt a t t ϕ=+-中含参数a ， 取2at e =()1a >.则222222211()ln 22222a a aaa a e e e a e a e e ϕ=+-=+-,1a >时，22111222a e e <<,则2221()222a a e e a ϕ<+-.令221()222ae m a a =+-,则2()4a ma a e '=-，令2()4a h a a e =- 1a >时,有22()42420a h a e e '=-<-<,可知函数()h a 在1a >时为减函数，由2(1)40m e '=-<,知()0m a '<恒成立.2221()222ae m a a e =+-为()1∞+，上的减函数. 所以2222155()()(1)2022222ae e e e m a m ϕ-<<=+-=-=<又2()0t ϕ>,于是22()()0a t e ϕϕ<，得函数()t ϕ在减区间()2,t +∞上存在零点.综上，1a >. ………………………………………………………………………………………12分 （注：本题标识点的选择，除2a t e =外，也可取更远端34,...a a t e t e ==进行论证.）。
2020-2021年江苏连云港高一数学上学期期中试卷及答案
2020-2021年江苏连云港高一数学上学期期中试卷及答案一、选择题（共8小题）.1．下列表述正确的是（ ）A．{a，b}⊆{b，a} B．{a}∈{a，b} C．a⊆{a} D．0∈∅2．下列函数与函数y＝x是同一个函数的是（ ）A．B．C．D．3．命题“∀x∈R，x2+1≥0”的否定为（ ）A．∀x∈R，x2+1＜0 B．不存在x∈R，x2+1＜0C．∃x∈R，x2+1≥0 D．∃x∈R，x2+1＜04．若x＞0，y＞0，n∈N*，则下列各式中，恒等的是（ ）A．lgx•lgy＝lgx+lgy B．lgx2＝（lgx）2C．D．5．设x＞1，则x+的最小值是（ ）A．2 B．3 C．2D．46．设函数f（x）＝x+2，g（x）＝x2﹣x﹣1．用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，则M（x）的最小值是（ ）A．1 B．3 C．0 D．7．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm．由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（ppm）与排气时间t（分钟）之间存在函数关系（m为常数）．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，则这个地下车库中的一氧化碳含量达到正常状态至少排气（ ）A．16分钟B．24分钟C．32分钟D．40分钟8．对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫做集合A与B的差集，记做A﹣B．例如，A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，则有A﹣B＝{1，2}，B﹣A＝{4}．若集合P＝（3，5），集合Q＝{x|（x+a）（x+2a﹣1）＜0}，且P﹣Q＝∅，则实数a的取值范围是（ ）A．（﹣3，﹣2）B．[﹣3，﹣2] C．（3，+∞）D．[3，+∞）二、多项选择题（共4小题）.9．若a＞b＞0，则（ ）A．ac2≥bc2B．a2＜ab＜b2C．D．10．下列关于充分条件和必要条件的判断，其中正确的是（ ）A．“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件B．“a2＜1”是“a＜1”的必要不充分条件C．设a，b，c∈R，则“a2+b2+c2＝ab+bc+ac”是“a＝b＝c”的充要条件D．设a，b∈R，则“a≥2且b≥2”是“a2+b2≥4”的必要不充分条件11．对于定义在R上的函数f（x），下列判断正确的是（ ）A．若f（2）＞f（﹣2），则函数f（x）是R上的增函数B．若f（2）＜f（﹣2），则函数f（x）在R上不是增函数C．若f（2）＝f（﹣2），则函数f（x）是偶函数D．若f（2）≠f（﹣2），则函数f（x）不是偶函数12．已知正数x，y，z满足3x＝4y＝6z，则下列结论正确的有（ ）A．B．3x＜4y＜6z C．xy＜2z2D．三、填空题（共4小题）.13．已知函数f（x）＝，则f（f（﹣2））＝ ．14．函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x≤0时，f（x）＝x（2﹣x），则f（2）＝ ．15．物理学中，声强是表示声波强度的物理量，可用公式表示，其中v表示声速，ω和A分别是声波的频率和振幅，ρ是媒质的密度．由于声强的变化范围非常大，数量级可以相差很多，因此常采用对数标度，这就引入声强级的概念，规定声强级L＝10lg．通常规定（相当于1000 Hz时能够引起听觉的最弱的声强），这时计算出来的L就是声强I的量度，式中声强级的单位称为贝尔．实际上，由于贝尔这个单位太大，通常采用贝尔的作单位；这就是分贝（dB）．当被测量的声强I为声强I0的1000倍时，声强级L是 分贝．16．若干个正整数之和等于10，这些正整数乘积的最大值为 ．四、解答题：共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①A∪B＝B；②A∩B＝∅；③A∩B＝B这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的实数a存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．问题：已知集合A＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，是否存在实数a ，使得___？18．（12分）记函数的定义域为集合A，函数g（x）＝x2+2x+3的值域为集合B，U＝R，求：（1）A，B；（2）A∪B，A∩∁U B．19．（12分）（1）已知a+a﹣1＝7，求a2+a﹣2及的值；（2）已知lg3＝a，lg5＝b，用a，b分别表示log53和lg3.6．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，3）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若满足不等式组的整数解有且只有一个，求正实数t的取值范围．21．（12分）假设某人从事某项投资，他第一次投入a元，得到的利润是b元，收益率是．（1）若第二次他又投入x元，得到的利润是cx元，求此人两次投资的总收益率；（2）在第一次投资的基础上，从第二次起，此人每次都固定投资x元，每次得到的利润也都是x元，那么他每次投资后的总收益率是增加了还是减少了？请从数学角度解释你的判断．22．（12分）已知f（x）＝x•|x|，x∈R．（1）求证：f（x）为奇函数；（2）设g（x）＝f（x）+kx﹣k，k∈R，求g（x）在区间[﹣2，2]上的最大值．参考答案一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.1．下列表述正确的是（ ）A．{a，b}⊆{b，a} B．{a}∈{a，b} C．a⊆{a} D．0∈∅选：A．2．下列函数与函数y＝x是同一个函数的是（ ）A．B．C．D．选：B．3．命题“∀x∈R，x2+1≥0”的否定为（ ）A．∀x∈R，x2+1＜0 B．不存在x∈R，x2+1＜0C．∃x∈R，x2+1≥0 D．∃x∈R，x2+1＜0选：B．4．若x＞0，y＞0，n∈N*，则下列各式中，恒等的是（ ）A．lgx•lgy＝lgx+lgy B．lgx2＝（lgx）2C．D．选：C．5．设x＞1，则x+的最小值是（ ）A．2 B．3 C．2D．4选：B．6．设函数f（x）＝x+2，g（x）＝x2﹣x﹣1．用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，则M（x）的最小值是（ ）A．1 B．3 C．0 D．选：A．7．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm．由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（ppm）与排气时间t（分钟）之间存在函数关系（m为常数）．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，则这个地下车库中的一氧化碳含量达到正常状态至少排气（ ）A．16分钟B．24分钟C．32分钟D．40分钟选：C．8．对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫做集合A与B的差集，记做A﹣B．例如，A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，则有A﹣B＝{1，2}，B﹣A＝{4}．若集合P＝（3，5），集合Q＝{x|（x+a）（x+2a﹣1）＜0}，且P﹣Q＝∅，则实数a的取值范围是（ ）A．（﹣3，﹣2）B．[﹣3，﹣2] C．（3，+∞）D．[3，+∞）选：B．二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.9．若a＞b＞0，则（ ）A．ac2≥bc2B．a2＜ab＜b2C．D．选：AC．10．下列关于充分条件和必要条件的判断，其中正确的是（ ）A．“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件B．“a2＜1”是“a＜1”的必要不充分条件C．设a，b，c∈R，则“a2+b2+c2＝ab+bc+ac”是“a＝b＝c”的充要条件D．设a，b∈R，则“a≥2且b≥2”是“a2+b2≥4”的必要不充分条件选：AC．11．对于定义在R上的函数f（x），下列判断正确的是（ ）A．若f（2）＞f（﹣2），则函数f（x）是R上的增函数B．若f（2）＜f（﹣2），则函数f（x）在R上不是增函数C．若f（2）＝f（﹣2），则函数f（x）是偶函数D．若f（2）≠f（﹣2），则函数f（x）不是偶函数选：BD．12．已知正数x，y，z满足3x＝4y＝6z，则下列结论正确的有（ ）A．B．3x＜4y＜6z C．xy＜2z2D．选：ABD．三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13．已知函数f（x）＝，则f（f（﹣2））＝ 3 ．答案为：3．14．函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x≤0时，f（x）＝x（2﹣x），则f（2）＝ 8 ．答案为：8．15．物理学中，声强是表示声波强度的物理量，可用公式表示，其中v表示声速，ω和A分别是声波的频率和振幅，ρ是媒质的密度．由于声强的变化范围非常大，数量级可以相差很多，因此常采用对数标度，这就引入声强级的概念，规定声强级L＝10lg．通常规定（相当于1000 Hz时能够引起听觉的最弱的声强），这时计算出来的L就是声强I的量度，式中声强级的单位称为贝尔．实际上，由于贝尔这个单位太大，通常采用贝尔的作单位；这就是分贝（dB）．当被测量的声强I为声强I0的1000倍时，声强级L是 30 分贝．答案为：30．16．若干个正整数之和等于10，这些正整数乘积的最大值为 36 ．答案为：36．四、解答题：共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①A∪B＝B；②A∩B＝∅；③A∩B＝B这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的实数a存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．问题：已知集合A＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，是否存在实数a ，使得___？解得a≤﹣2或a≥1，所以选择②，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）；若选择③因为A＝{x|（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0}，故A＝（a，a+1），因为A∩B＝B，则B⊆A，所以，所以a∈∅，所以选择③，实数a不存在．18．（12分）记函数的定义域为集合A，函数g（x）＝x2+2x+3的值域为集合B，U＝R，求：（1）A，B；（2）A∪B，A∩∁U B．解：（1）由得﹣1≤x≤3，所以A＝[﹣1，3]；又g（x）＝x2+2x+3＝（x+1）2+2≥2，所以B＝[2，+∞）．（2）由（1）知A∪B＝[﹣1，3]∪[2，+∞）＝[﹣1，+∞）；因为∁U B＝（﹣∞，2），所以A∩∁U B＝[﹣1，3]∩（﹣∞，2）＝[﹣1，2）．19．（12分）（1）已知a+a﹣1＝7，求a2+a﹣2及的值；（2）已知lg3＝a，lg5＝b，用a，b分别表示log53和lg3.6．解：（1）由a+a﹣1＝7知a＞0，因为（a+a﹣1）2＝72，即a2+2+a﹣2＝49，所以a2+a﹣2＝47；又，且，所以，（2）因为lg3＝a，lg5＝b，所以；所以＝2lg2+2lg3﹣1＝2（1﹣lg5）+2lg3﹣1＝2a﹣2b+1．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，3）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若满足不等式组的整数解有且只有一个，求正实数t的取值范围．解：（1）因为不等式f（x）＜0的解集是（0，3），所以0和3是方程f（x）＝0的两个根，∴0+3＝﹣b，0×3＝c，∴b＝﹣3．c＝0，∴函数f（x）的解析式为：f（x）＝x2﹣3x．（2）不等式f（x）＝x2﹣3x＞0的解集为：（﹣∞，0）∪（3，+∞），不等式f（x+t）＝（x+t）2﹣3（x+t）＜0的解集为：（﹣t，3﹣t），当t≥3时，不等式组的解集为（﹣t，3﹣t），（﹣t，3﹣t）中至少有2个整数，不满足题意，舍去；当0＜t＜3时，不等式组的解集为（﹣t，0），因为满足不等式组的整数解有且只有一个，所以﹣1∈（﹣t，0），﹣2∉（﹣t，0），即，解得1＜t≤2；综上，正实数t的取值范围是（1，2]．21．（12分）假设某人从事某项投资，他第一次投入a元，得到的利润是b元，收益率是．（1）若第二次他又投入x元，得到的利润是cx元，求此人两次投资的总收益率；（2）在第一次投资的基础上，从第二次起，此人每次都固定投资x元，每次得到的利润也都是x元，那么他每次投资后的总收益率是增加了还是减少了？请从数学角度解释你的判断．解：（1）此人两次总投资a+x元，两次得到的总利润为b+cx，则此人两次投资的总收益率为；（2）设此人第n（n∈N*）次投资后的总收益率为f（n），则，∴第n+1次投资后的总收益率为，，∵a＞0，b＞0，x＞0，n≥1，∴（a+nx）[a+（n﹣1）x]＞0，因此，当a＝b时，f（n+1）﹣f（n）＝0，即f（n+1）＝f（n）；当a＜b时，f（n+1）﹣f（n）＜0，即f（n+1）＜f（n）；当a＞b时，f（n+1）﹣f（n）＞0，即f（n+1）＞f（n）．∴当a＝b时，每次投资后的总收益率不变；当a＜b时，每次投资后的总收益率减少；当a＞b时，每次投资后的总收益率增加．22．（12分）已知f（x）＝x•|x|，x∈R．（1）求证：f（x）为奇函数；（2）设g（x）＝f（x）+kx﹣k，k∈R，求g（x）在区间[﹣2，2]上的最大值．解：（1）证明：f（x）的定义域为R，对∀x∈R，f（﹣x）＝﹣x•|﹣x|＝﹣x•|x|＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数．（2）解：①当k≥0时，因为g（x）为[﹣2，0]和[0，2]上增函数，所以g（x）为[﹣2，2]上增函数，所以g（x）在[﹣2，2]上的最大值为g（2）＝4+k；②当k≤﹣4时，因为g（x）为[﹣2，0]和[0，2]上减函数，所以g（x）为[﹣2，2]上减函数，所以g（x）在[﹣2，2]上的最大值为g（﹣2）＝﹣4﹣3k；③当﹣4＜k＜0时，因为y＝﹣x2+kx﹣k在上是增函数，在上是减函数，因为y＝﹣x2+kx﹣k在上是减函数，上是增函数，所以g（x）为上增函数，为上减函数，增函数，因此g（x）最大值为和g（2）中较大者，由，得或，所以当时，，g（x）最大值为，所以当时，，g（x）的最大值为g（2）＝4+k，综上，当k≤﹣4时，g（x）的最大值为g（﹣2）＝﹣4﹣3k；当时，g（x）的最大值为；当时，g（x）的最大值为g（2）＝4+k．。
江苏省连云港市第一学期期中考试高二数学答案2
t =
12 + ( 2 )2 2
2t2 ， 3
所以△
APB
的面积
S
=
1 2
AB
d
=
1 2
12 − 3t2
2 t2 3
……8 分
= 1 8t2 − 2t4 = 2 t2 (4 − t2 ) ≤ 2 t2 +(4 − t2 ) = 2 ，
2
2
2
2
当且仅当 t = 2 时等号成立，
所以△ APB 的面积最大值为 2 ．
所以圆 C 的标准方程为： (x − 4)2 + ( y −1)2 = 25 ．
（2）解法一：以 PC 为直径的圆的方程为： (x − 4)(x +1) + (y −1)y = 0 ，
由
(x (x
− −
4)(x +1) + ( y 4)2 + ( y −1)2
−1) y = 25
=
0， 得
5x
+
y
2 x + t， 2
2tx + t2 − 2 = 0 ．
因为 = ( 2t)2 − 4(t2 − 2) 0 ，所以 −2 t 2 且 t 0 ．
……12 分 ……4 分 ……6 分
因为 AB = 12 + ( 2 )2 8 − 2t2 = 12 − 3t2 ， 2
点 P 到直线 l 的距离 d =
=
1
2 0
− (−2) − (−1)
=
5 2
，
所以直线
l
的方程为
y
=
5 2
x
+
1 2
．