一次函数性质
一次函数图像与性质
示 意 图
（1）k决定直线y=kx+b从左向右是什么趋势
（倾斜程度ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，b决定它与y轴交点在哪个半轴，
k、b合起来决定直线y=kx+b经过哪几个象限；
注意看图识性，见数想形．
三、待定系数法求一次函数解析式
一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）中有两个待
定系数k，b，需要两个独立条件确定两个关于k，b的
5.直线l1：y=kx+b与直线l2：y=bx+k在同一坐标系中的 大致位置是（ ）．
7.已知一次函数y=kx+b的图象过点P(1,1)，
与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OA=3OB，
求一次函数的解析式．
8.如果一次函数当自变量的取值范围是-1<x<3时，
函数值的取值范围是-2<y<6，
求此函数的解析式．
一次函数的图像和性质
一、一次函数的定义
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，
叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 说明：当b＝0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是
形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数 一种特殊的一次函数.
一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，
四、分段函数
对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况
（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，
因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要
注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.
说明：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变
量变化范围.
在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.
一次函数的图象及性质
在某个点处，函数的导数为0，并且在该点左侧导数小 于0，右侧导数大于0，那么这个点就是极小值点。
一次函数的凹凸性
凹函数
如果在某个区间内，函数的二阶导数大于 0，那么这个函数在这个区间内是凹函数 。
VS
凸函数
如果在某个区间内，函数的二阶导数小于 0，那么这个函数在这个区间内是凸函数 。
04
一次函数与数列的关系
数列是一次函数图象上多个点的集合，表示在多个自变 量下函数的值的变化规律。通过对数列的研究，我们可 以找到一次函数图象上对应的多个点。
一次函数与数列的关系还表现在解决实际问题中，如等 差数列和等比数列的问题，通过建立一次函数模型可以 解决实际问题的最优解。
06
一次函数的扩展知识
一次函数与方程的关系还表现在求解未知数 的运算过程中，通过对方程的求解可以得到
一次函数的解析式。
一次函数与不等式的关系
不等式可以看作一次函数图象上某一段的横坐标，表 示在这一段上函数的值大于或小于零。通过对不等式 的求解，我们可以找到一次函数图象上对应的区间。
一次函数与不等式的关系还表现在解决实际问题中， 如时间、速度、价格等问题，通过建立一次函数不等 式模型可以解决实际问题的最优解。
为截距。
当自变量取值为`x`时，函数值 计算公式为`y = kx + b`。
绘制点
根据计算出的函数值和自变量的取值，绘制散点图。
对于每个自变量值，计算其对应的函数值，并在坐标系中绘制一个点。
连接点
使用线段或曲线连接散点图中的点。
对于一次函数，通常使用直线连接点，因为一次函数的图像是一条直线。
03
一次函数的应用
一次函数在代数中的应用
求解方程
一次函数图像的性质
一次函数图像的性质
一次函数图像的性质是什么？
答：一次函数图像性质总结如下：
1、y=kx时（即b等于0，y与x成正比，此时的图象是一条经过原点的直线）：当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大。
当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
2、y=kx+b（k，b为常数，k≠0）时：
当k>0，b>0，这时此函数的图象经过一、二、三象限。
当k>0，b<0，这时此函数的图象经过一、三、四象限。
当k<0，b>0，这时此函数的图象经过一、二、四象限。
当k<0，b<0，这时此函数的图象经过二、三、四象限。
当b>0时，直线必通过一、二象限。
当b<0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。
这时，当k>0时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。
当k<0时，直线只通过二、四象限，不会通过一、三象限。
3、直线y=kx+b中k、b的关系：
k>0，b>0：经过第一、二、三象限。
k>0，b<0：经过第一、三、四象限。
k>0，b=0：经过第一、三象限（经过原点）。
结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。
k<0，b>0：经过第一、二、四象限。
k<0，b<0：经过第二、三、四象限。
k<0，b=0：经过第二、四象限（经过原点）。
结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。
一次函数图象与性质
一次函数可以用于找到最佳拟 合线，以更好地描述数据的趋 势。
线性回归
一次函数可以用于进行线性回 归分析，以预测未来的数据趋 势。
结论和要点
• 一次函数是数学中最基本的函数之一，具有稳定的线性关系。 • 斜率和截距是一次函数图象的重要特征。 • 平移和缩放操作可以改变一次函数图象的位置和形状。 • 一次函数在实际问题中有广泛的应用，可以帮助解决各种实际情况。
一次函数图象的平移和缩放
通过平移和缩放操作，可以改变一次函数的图象及其性质。
1
平移
平移操作可以改变一次函数图象的位置，例如向左或向右平移。
2
缩放
缩放操作可以改变一Байду номын сангаас函数图象的形状和大小，例如拉伸或收缩。
3
组合操作
平移和缩放操作可以组合使用，以实现更灵活的一次函数图象变换。
一次函数图象的应用
一次函数的图象和性质在实际问题中有许多应用，例如经济学、物理学和工程学等领域。
一次函数图象与性质
一次函数是数学中最基本的函数之一，它具有许多重要的性质和应用。本次 演示将介绍一次函数的定义、图象特点以及与实际问题的关系。
一次函数的定义和表达式
一次函数是指一个自变量的整数次数都是1的函数。通常以y = ax + b的形式表示，其中a和b是常 数。
1 自变量
一次函数的自变量通常表示为x，它可以是任意实数。
经济学
一次函数可以描述供需关 系、市场价格等经济现象。
物理学
一次函数可以描述速度、 位移等物理量与时间的关 系。
工程学
一次函数可以描述电路、 力学系统等工程问题。
一次函数与实际问题的关系
一次函数是解决实际问题的重要工具，它可以帮助我们理解和解决各种实际情况。
一次函数图像性质
一次函数图像性质
一次函数图像性质
1.y=kx时(即b等于0，y与x成正比，此时的图象是一条经过原点的直线)
当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;
当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
2.y=kx+b(k,b为常数，k≠0)时：
当k>0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，三象限;
当k>0,b<0,这时此函数的图象经过一，三，四象限;
当k<0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，四象限;
当k<0,b<0,这时此函数的图象经过二，三，四象限。
当b>0时，直线必通过一、二象限;
当b<0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=0时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图象。
这时，当k>0时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。
当k<0时，直线只通过二、四象限，不会通过一、三象限。
3.直线y=kx+b中k、b的关系
k>0,b>0：经过第一、二、三象限
k>0,b<0：经过第一、三、四象限
k>0,b=0：经过第一、三象限(经过原点)
结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。
k<0b>0：经过第一、二、四象限
k<0,b<0：经过第二、三、四象限
k<0,b=0：经过第二、四象限(经过原点)
结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。
一次函数图像性质总结
一次函数图像性质总结一次函数是数学中常见的一种函数形式，其图像具有一些特定的性质。
通过对一次函数图像性质的总结，我们可以更好地理解和应用一次函数，下面就让我们来详细了解一次函数图像的性质。
首先，一次函数的图像是一条直线。
这是因为一次函数的一般形式为y=ax+b，其中a和b为常数，且a不等于0。
当a不等于0时，函数的图像是一条不垂直于x轴的直线，斜率为a，截距为b。
因此，一次函数的图像总是直线，这是一次函数的一个重要性质。
其次，一次函数图像的斜率决定了直线的倾斜程度。
斜率a表示了直线上每单位水平位移对应的垂直位移的比值。
当a大于0时，直线向右上方倾斜；当a小于0时，直线向右下方倾斜。
斜率的绝对值越大，直线的倾斜程度就越大。
通过斜率，我们可以直观地了解一次函数图像的倾斜方向和程度。
另外，一次函数图像的截距决定了直线与y轴的交点位置。
截距b表示了直线与y轴的交点的纵坐标值。
当b大于0时，直线与y轴的交点在y轴上方；当b小于0时，直线与y轴的交点在y轴下方。
截距可以帮助我们确定直线与y轴的位置关系，从而更好地理解一次函数的图像性质。
此外，一次函数图像的性质还包括了直线的斜率和截距之间的关系。
斜率a决定了直线的倾斜程度，而截距b决定了直线与y轴的位置，这两者共同决定了一次函数图像的形状。
通过斜率和截距的关系，我们可以进一步分析一次函数图像的性质，例如确定直线的上下平移和纵向拉伸压缩等变换。
最后，一次函数图像的性质还包括了直线的斜率和截距的变化对图像的影响。
当斜率a发生变化时，直线的倾斜程度会发生相应的变化；当截距b发生变化时，直线与y轴的位置会发生相应的变化。
通过分析斜率和截距的变化对图像的影响，我们可以更好地掌握一次函数图像的变化规律。
综上所述，一次函数图像的性质包括了直线的形状、倾斜程度、位置关系以及变化规律等方面。
通过对一次函数图像性质的总结，我们可以更好地理解和应用一次函数，为进一步学习和应用数学知识奠定坚实的基础。
一次函数课件ppt
奇偶性
一次函数既不是奇函数也不是偶函数 ，因为它们的图像不关于原点或 y 轴 对称。
02 一次函数的表达式与系数
一次函数的表达式
01
一次函数的一般表达式为 $y = ax + b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常 数，且 $a neq 0$。
02
当 $a > 0$ 时，函数为增函数； 当 $a < 0$ 时，函数为减函数。
已知函数与$x$轴和$y$轴的截距，使用截 距式$y = frac{x}{a} + frac{b}{a}$求函数解 析式。
一次函数的解题技巧
数形结合
利用函数图像直观理解 函数性质，如增减性、
最值等。
整体代入
在求解过程中，将表达 式整体代入，简化计算
。
分类讨论
根据不同情况分类讨论 ，得出不同情况下的函
斜率与图像
斜率决定了图像的倾斜程 度，当 a > 0 时，图像向 右倾斜；当 a < 0 时，图 像向左倾斜。
一次函数的性质
单调性
无界性
一次函数的单调性由斜率决定，当 a > 0 时，函数单调递增；当 a < 0 时 ，函数单调递减。
一次函数的值域是全体实数，即对于 任意实数 x，y = ax + b 总有一个对 应的值。
一次函数的系数
一次函数的斜率为 $a$，表示函数图 像的倾斜程度。
当 $a > 0$ 时，函数图像从左下到右 上倾斜；当 $a < 0$ 时，函数图像从 左上到右下倾斜。
一次函数的应用
一次函数在数学、物理、工程等领域都有广泛应用。
在实际生活中，一次函数可以用来描述一些简单的问题，如速度与时间的关系、 价格与数量的关系等。
一次函数的性质
书山有路勤为径；学海无涯苦作舟
今天的努力是为了明天的幸福一次函数的性质
【编者按】快乐学习尽在初中频道（点点试试）函数性质：
1.y 的变化值与对应的x 的变化值成正比例，比值为k.K 为常数.
即：y=kx+b(k，b 为常数，k≠0)，
∵当x 增加m，k(x+m)+b=y+km,km/m=k。
2.当x=0 时，b 为函数在y 轴上的点,坐标为(0，b)。
3 当b=0 时(即y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
4.在两个一次函数表达式中：
当两一次函数表达式中的k 相同，b 也相同时，两一次函数图像重合;
当两一次函数表达式中的k 相同，b 不相同时，两一次函数图像平行;
当两一次函数表达式中的k 不相同，b 不相同时，两一次函数图像相交;
当两一次函数表达式中的k 不相同，b 相同时，两一次函数图像交于y 轴上的同一点(0，b)。
若两个变量x,y 间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b 为常数，k 不等于0)则称y 是x 的一次函数
图像性质
1.作法与图形：通过如下3 个步骤：
(1)列表.
(2)描点;[一般取两个点,根据两点确定一条直线”的道理，也可叫两点法”。
一般的y=kx+b(k≠0)的图象过(0，b)和(-b/k，0)两点画直线即可。
正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过坐标原点的一条直线，一般取(0,0)和。
一次函数的性质
一次函数的性质一次函数是数学中一种基本的函数类型，也称为线性函数。
它的特点是函数图像为一条直线，表现出一种简单而直接的变化规律。
一次函数通常以 y = ax + b 的形式表示，其中 a 和 b 都是常数。
一次函数的性质有很多，接下来我们将逐一介绍。
1. 变化趋势：一次函数的图像为一条斜率恒定的直线，斜率的值决定了函数图像的变化趋势。
当斜率 a > 0 时，函数图像为上升的直线；当斜率 a < 0 时，函数图像为下降的直线；当斜率 a = 0 时，函数图像为水平直线。
2. 截距：一次函数的图像在 x 轴上与 y 轴相交的点分别称为 x 轴截距和 y 轴截距。
x 轴截距为负数的情况下，函数的图像位于 y 轴的左侧；x 轴截距为正数的情况下，函数的图像位于 y 轴的右侧。
3. 定义域和值域：一次函数的定义域是所有实数，即该函数对于任意实数值的 x 都有定义。
一次函数的值域是所有实数，即该函数可以取到任意实数值的 y。
4. 求解交点：一次函数与 x 轴的交点称为根，也就是函数图像与 x轴的交点；与 y 轴的交点称为解，也就是函数图像与 y 轴的交点。
求解根的方法是令 y = 0，并解出 x 的值；求解解的方法是令 x = 0，并解出 y 的值。
5. 判断与关系：对于两个不同的一次函数 f(x) = ax + b 和 g(x) = cx + d，若 a = c 且 b = d，则两个函数是相等的；若 a = c 且b ≠ d，则两个函数是平行的，它们的图像永远不会相交；若a ≠ c，则两个函数是相交的，它们会有一个交点。
6. 性质推广：一次函数的性质可以推广到更高维度的情况。
对于二维空间中的直线，它可以表示为三个一次函数形式的方程组，其中每个方程都有两个变量。
对于三维空间中的平面，它可以表示为三个一次函数形式的方程组，其中每个方程都有三个变量。
在实际应用中，一次函数常常被用于描述变化的趋势和规律。
一次函数知识点总结
一次函数知识点总结一次函数（也称线性函数）在数学中是一种基本的函数类型，具有简单直观的图像和重要的应用。
下面将对一次函数的相关知识点进行总结。
1. 定义和表达式一次函数是指具有形如 y = kx + b 的函数，其中 k 和 b 是常数，且k ≠ 0。
其中 k 表示斜率，b 表示截距。
一次函数的图像是一条直线。
2. 斜率的意义斜率是一次函数最重要的特征之一，它表示了函数图像在平面上的倾斜程度。
具体而言，斜率 k 表示单位自变量变化时，因变量相应的变化量。
斜率可以正负，正斜率表示函数图像从左下到右上逐渐升高，负斜率表示函数图像从左上到右下逐渐降低。
3. 截距的意义截距是一次函数图像与 y 轴交点的纵坐标，也就是当 x = 0 时，对应的 y 值。
截距 b 表示了函数图像与 y 轴的相对位置关系，它是一次函数图像上的常数项。
4. 图像特征和性质一次函数的图像是一条直线，根据斜率和截距的不同取值，可以分为四种情况：正斜率正截距、正斜率负截距、负斜率正截距和负斜率负截距。
根据斜率的大小可以判断函数图像的陡峭程度，斜率越大，函数图像越陡峭。
5. 函数的性质一次函数的性质非常重要，有助于解决实际问题和理解其他函数类型。
一次函数是一个线性函数，它的图像是直线，因此具有以下性质：- 一次函数上的任意两个点可以唯一确定一条直线。
- 一次函数的函数值随自变量的变化是线性变化的。
- 一次函数图像关于 y 轴对称。
- 一次函数图像不存在极值和拐点。
6. 直线方程与一次函数的关系一次函数可以通过直线方程 y = ax + b 来表示，其中 a 是斜率，b 是截距。
直线方程是一种常见的形式，可以更直观地表示函数图像的性质和特点。
7. 一次函数的应用举例一次函数在实际问题中有广泛的应用。
例如，在经济学中，一次函数可以用来描述成本和收入的关系；在物理学中，一次函数可以用来表示速度和位移的关系；在统计学中，一次函数可以用来进行线性回归等。
一次函数的性质课件(共10张PPT)
1 2
x
当P点沿直线向右下方运动时，直线是下 降的.这说明当自变量x的值增大时，函数 值y随着减小.
（4）比较（2）（3）中你的发现，你能总结出一次函数y=k x ＋b当自变量x增加时，函数值y的变化吗？
一般地，对于一次函数；当k<0时，y随着x的增大而减小.
作业布置
课本146页 习题10.3 第1、3、4题.
当P沿直线向右上方运动时， 直线是上升的.这说明当自 变量x的值增大时，函数y 的值也随着增大.
（2）在同一直角坐标系中，分别画出直线y=x-1，y=5x，y （图10-11），你发现它们是否也具有上述性质？
4 3
x
2
它们具有上述性质
（3）在同一直角坐标系中，分别画出直线y=-3x-1，y=-x+2，y （图10-12），你又有什么发现？与同学交流.
10.3 一次函数的性质
学习目标
1.结合函数图象，理解正比例函数与一次函数 的性质.
2.加强图象与函数表达式，即“数”与“形” 的联系.
相关知识链接
1.一次函数：形如 y=k x＋b（k≠0）的函数叫做x的一
次函数，其中k与b是常数.特别地，当b=0时，一次函 数y=kx也叫做正比例函数，k叫做比例系数.
解： 因为一次函数y=kx-k的y随x的增大而 增大，所以k>0.又因为x=0时，y=-k<0， 所以直线y=kx-k与y轴的交点（0，-k） 在y轴的负半轴，且当y=0时，x=1，故 直线y=kx-k与x轴的交点为（1,0）.它 的图象大致如图10-13所示，这条直线 经过第一、三、四象限.
练习
2.一次函数y=k x＋b（k≠0），当b≠0时，它的图象与x
轴的交点坐标是（
一次函数的平移与性质
对称轴与平移的关系
平移后，一次函数的对称轴也发生平移，但对称轴仍然是函数图像的中轴线。
平移对函数的零点和解析式的影响
平移不会改变一次函数的零点，但会改变函数的解析式。
平移对函数的极值和最值的影 响
平移不会改变一次函数的极值和最值，只会改变函数图像的位置。
平移对函数的平均值和中位数 的影响
平移不会改变一次函数的平均值和中位数，只会改变函数图像的位置。
求解一次函数的零点
一次函数的零点可以通过令函数解析式等于零来求解。
求解一次函数的交点
两条一次函数的交点可以通过将两个函数解析式相等来求解。
求解一次函数的斜率
一次函数的斜率可以通过函数解析式的系数得到。
求解一次函数的解析式
已知一次函数的斜率和一个点的坐标，可以通过斜率和点的坐标来确定函数 的解析式。
斜率
一次函数的斜率表示函数图像的 倾斜程度，可以使用斜率公式计 算。
正斜率
正斜率表示函数图像向上倾斜， 即随着x增加，y也增加。
平移的概念及作用
平移是指将函数图像沿着x轴或y轴方向移动，而保持函数的形状和斜率不变。
水平方向平移的公式
ห้องสมุดไป่ตู้右移
水平方向右移h个单位，函数的解析式变为y = f(x - h)。
一次函数的应用案例
一次函数广泛应用于数学、物理学和经济学等领域，可以用来描述线性关系。
一次函数的应用于实际生活中
一次函数在实际生活中有很多应用，如物体的运动、产品的销售分析等。
一次函数与物理学的关系
一次函数在物理学中常用于描述运动物体的位置与时间的关系。
一次函数与经济学的关系
一次函数在经济学中常用于描述成本与产量之间的关系。
一次函数的性质(一)
一次函数在教育中的应用
一次函数是数学教育中的重要内容，可以帮助学生理解数学的应用和思维方 法，培养解决实际问题的能力。
机械轨迹
一次函数可以用于描述机械 的运动轨迹和位移。
速度控制
一次函数可以用于控制机械 的加速度和速度。
力学分析
一次函数可以用于描述机械 零件的应力和变形。
一次函数在医学中的应用
一次函数在医学中的应用非常广泛，例如血压和年龄的关系、生长曲线的拟合、药物浓度的计算等。
一次函数在数学建模中的应用
一次函数是数学建模中常用的工具，可以用于描述各种实际问题的数学模型， 从而求解问题。
一次函数可以用于描述电路中的电流、电阻和电压 之间的关系。
地理学
一次函数可以用于描述地形高度和距离之间的关系。
一次函数在计算机科学中的应用
• 一次函数可以用于描述算法的时间复杂度和空间复杂度。 • 一次函数可以用于编写图形界面程序的布局和计算坐标。 • 一次函数可以用于描述数据的线性关系和趋势。
一次函数在机械制造中的应用
一次函数的性质(一)
一次函数是高中数学中的重要内容之一，具有很多特点和应用。本节将介绍 一次函数的定义、斜率、截距以及图像特点，以及一次函数在不同学科中的 实际应用。
一次函数的定义及表达式
一次函数是形如y=ax+b的函数，其中a和b为常数，a称为斜率，b称为截距。 它可以表示一条直线，斜率代表直线的倾斜程度，截距代表直线与y轴的交点。
直线的特点与参数
斜率
斜率决定了直线的倾斜程度， 可以通过两点间的坐标差值 来计算。
截距
截距是直线与y轴的交点的纵 坐标值，可以通过直线的表 达式或计算得出。
斜率与截距的关系
两个直线具有相同斜率且截 距不同，它们是平行的；反 之，截距相同，斜率不同， 它们是垂直的。
一次函数知识点整理
一次函数知识点整理一次函数知识点总结一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx (k为常数，k≠0)二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b (k为任意不为零的实数 b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限：当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点当b0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。
这时，当k0时，直线只通过一、三象限;当k0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b ……①和 y2=kx2+b ……②(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。
s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。
第11节 一次函数的图象和性质
，与 y 轴的截距为﹣ ，
由于该直线不通过第一象限，所以得到：
即
，
由①得到 a 与 b 同号；由②得到 b 与 c 同号．所以 a，b，c 同号． 故选 D
4.设 b＞a，将一次函数 y=bx+a 与 y=ax+b 的图象画在同一平面直角坐标系内，则 有一组 a，b 的取值，使得下列 4 个图中的一个为正确的是（ ）
典例分析：
例 3：（1）直线 y=kx+b 通过第一、三、四象限，则有（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
解：若直线 y=kx+b 通过第一、三、四象限， 则必有 k＞0，b＜0， 故选：B．
（2）若 ac＜0，bc＜0，则直线 ax+by+c=0 的图形只能是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：由题意知，函数的解析式即 y=﹣ x﹣ ，∵ac＜0，bc＜0，∴a•b＞0，
∴﹣ ＜0，﹣ ＞0，故直线的斜率小于 0，在 y 轴上的截距大于 0，
故选 C．
练习：
1．若 a+b=0，则直线 y=ax+b 的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
解：根据题意，得；
当 x=1 时，y=a+b=0，
(4)直线 y＝kx＋b(k≠0)与 x 轴的交点为(－kb，0)，与 y 轴的交点为(0，b)．
典例分析：
例 1：已知函数 y=（2m﹣1）x+1﹣3m，当 m 为何值时．
（1）这个函数为正比例函数； （2）这个函数为一次函数； 解：∵函数 y=（2m﹣1）x+1﹣3m， （3）函数值 y 随 x 的增大而减小（；1）当 1﹣3m=0，即 m= 时，这个函数为正比例函数； （4）这个函数图象与直线 y=x+（1 的2）交当点2m在﹣1x≠轴0，上即．m 时，这个函数为一次函数；
八年级数学一次函数的图象和性质
描点作图
将计算出的点在坐标轴上 标出，并使用平滑的曲线 连接这些点。
一次函数图象的特点
线性关系
一次函数图象是一条直线，函数 值随自变量的变化而均匀变化。
斜率
一次函数的斜率表示函数值随自 变量变化的速率，斜率k>0时， 函数值随自变量增大而增大；斜 率k<0时，函数值随自变量增大
而减小。
y轴上的截距
05 练习与巩固
基础练习题
2、已知一次函数$y = kx + b(k neq 0)$的图象经过第一、三、四 象限，则$k$的取值范围是( )
3、已知一次函数$y = kx + b(k neq 0)$的图象经过第一、三、四 象限，则$k$的取值范围是____．
1、已知函数$y = (2m + 1)x + m - 3$，若这个函数的图象不经过第 二象限，则$m$的取值范围是 ____．
一次函数的表示方法
一次函数可以用解析式表示为 $y=kx+b$，其中$k$是斜率，$b$是 截距。
也可以通过表格或图象来表示一次函 数的关系。
一次函数的基本性质
斜率
斜率$k$决定了函数的增减性，当$k>0$时，函数随$x$ 的增大而增大；当$k<0$时，函数随$x$的增大而减小。
单调性
一次函数的单调性由斜率决定，斜率$k>0$时，函数为增 函数；斜率$k<0$时，函数为减函数。
一次函数与坐标轴的关系
一次函数与x轴的交点
当y=0时，x的值即为与x轴的交点。
一次函数与坐标轴围成的三角形面积
可以通过截距和与x轴交点来计算三角形面积。
04 一次函数的应用
一次函数在实际问题中的应用
一次函数性质及其图像性质总结
一次函数函数性质1.一次函数：y=kx+b（k≠0) （k 0，且k，b为常数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的,坐标为(0,b).3.当b=0时，即y=kx，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数.4.在两个一次函数表达式中当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合；当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行；当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）图像性质1．作法与图形：通过如下３个步骤（1）列表（2）描点（取两个点）；（3）连线，作出函数的图像（通常找函数图像与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）2．在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。
3．一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。
4．y=kx时：当k＞0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。
5．y=kx+b时：当k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限。
当k>0,b<0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限。
当k<0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限。
当k<0,b<0, 这时此函数的图象经过第二、三、四象限。
当b＞0时，直线必通过第一、二象限；当b＜0时，直线必通过第三、四象限。
特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
6.两个一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2其中k1k2>0,即是看k1k2同号时：如果k1>k2>0时，随着x的增大，函数y=k1x+b1增大的程度y=k2x+b2的增大程度大如果0<k1<k2时，随着x的增大，函数y=k1x+b1减少的程度y=k2x+b2的减少程度大与二元一次方程的关系1.以二元一次方程组y=kx+b的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=kx+b的图象相同.2.二元一次方程组y=k1x+b1,y=k2x+b2的解可以看作是两个一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2b的图象的交点.3.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在平面直角坐标系中的图象就没有交点，即两个一次函数图象平行。
初中一次函数知识点
初中一次函数知识点一次函数是初中数学中的重要内容，掌握好一次函数的知识点对于后续数学学习的顺利进行至关重要。
下面我将从函数的定义、图像特征、性质等方面进行论述，帮助大家更好地理解和掌握一次函数的知识。
1. 函数的定义一次函数是指形如y=ax+b的函数，其中a和b是常数，且a不等于0。
这里的x和y分别表示函数的自变量和因变量。
简单来说，一次函数可以通过一条直线来表示。
2. 图像特征一次函数的图像是一条直线，它具有以下几个特征：首先，直线的斜率a决定了函数图像的倾斜程度，斜率越大，直线越陡峭；其次，直线和y轴交点的纵坐标b决定了函数图像在y轴上的截距，也可以说是函数的常值项。
3. 函数的性质（1）函数图像的斜率：一次函数的斜率决定了函数图像的变化率。
斜率越大，函数图像的上升越陡；斜率为正表示函数图像上升，斜率为负表示函数图像下降；斜率为零则表示函数图像水平。
（2）函数图像的截距：函数图像与y轴的交点的纵坐标称为函数的截距。
截距表示了函数图像在y轴上的位置，也可以说是函数的常值项。
（3）函数图像的单调性：一次函数的斜率符号决定了函数图像的单调性。
当斜率为正时，函数图像单调递增；斜率为负时，函数图像单调递减。
（4）函数的零点：一次函数的零点是指函数图像与x轴的交点，也就是使得函数值等于零的x值。
一次函数的零点可以通过解一元一次方程得到。
4. 一次函数的应用举例（1）速度与时间的关系：假设某辆车的速度为v，以时速km/h为单位，开了t小时。
则车辆所行驶的距离可以表示为d=vt。
这里的v就是速度，t就是时间，d就是距离。
这个问题是一个典型的一次函数问题。
（2）商店折扣：假设某个商品原价为p元，商店打折后降价d元，那么折扣价可以表示为y=(1-k)p，其中k=d/p是折扣率。
这个问题也可以用一次函数表示。
综上所述，一次函数是初中数学中的重要知识点，掌握好它的定义、图像特征、性质和应用，对于后期学习其他数学知识将起到关键性的作用。
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一次函数(3) ——确定一次函数解析式 教学目标 1．知识与技能 会用待定系数法求解一次函数的解析式．体会二元一次方程组的实际应用． 了解两个条件确定一个一次函数；一个条件确定一个正比例函数.
2．过程与方法 经历探索求一次函数解析式的过程，感悟数学中的数与形的结合．
3．情感、态度与价值观 培养抽象的数学思维和与人合作的学习习惯，形成良好的学习态度．
重、难点与关键 1．重点：待定系数法求一次函数解析式．
2．难点：灵活运用有关知识解决相关问题. 3．关键：熟练应用二元一次方程组的代入法、•加减
法解一次函数中的待定系数．
教学方法 采用“问题解决”的方法，让学生在问题解决中感受一次函数的内涵．
教学过程
一、创设情景，提出问题 1.复习：
问题 前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出两个具体的一次函数解析式吗？如何画出它们的图象？
两点法——两点确定一条直线
思考：反过来已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？
2引入新课： 探究新知
(1) 已知一次函数的图象过点（3，5）与（－4，－9），
求这个一次函数的解析式。
利用待定系数法求一次函数的一般步骤为： 1. 设出函数的解析式y=kx ＋b(k ≠0);
2. 根据条件列出关于k 、b 的二元一次方程组;
3. 解方程组，求出k 、b 的值，
4. 写出一次函数的解析式。
二、学以致用：
已知一次函数在x=1 时，y=5，且它的图象与x 轴交点的横坐标是６，求这个一次函数的解析式。
解：设一次函数解析式为y=kx+b （k≠0），
把x=1时， y=5；x=6时，y=0代入解析式，得
23
=-+y x 31
=-y x
解得
∴一次函数的解析式为 y= - x+6。
探究新知（2）： 已知一次函数的图象经过点（-1，3），且平行于直线y=2x ，求其解析式．
解：设该一次函数的解析式为y=k x +b
∵直线 y=k x +b 与y=2x 平行 ∴ k=2
又∵一次函数的图象过点（-1，3） ∴3 = -1×2+b ∴b=5
∴该一次函数的解析式为y= 2x +5
三、实际应用：
已知弹簧的长度y (cm)在一定的限度内是所挂重物质量x (千克)的一次函数,现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米,挂4千克质量的重物时,弹簧的长度是7.2厘米.求这个一次函数的关系式.
解：设一次函数的表达式为_______________,根据题意，得
解得, b ＝6
4k+b ＝7.2
∴ 函数的解析式为 y= 0.3x ＋6
①能力训练： 小明将父母给的零用钱按每月相等的数额存在储蓄盒内，准备捐给希望工程，盒内钱数y （元）与存钱月数 x （月）之间的关系如图所示，根据下图回答下列问题：
（1）求出y 关于x 的函数解析式。
（2）根据关系式计算，小明经过几个月才能存够200元？
⎩⎨⎧=+=+065b k b k ⎩⎨
⎧=-=61b k
解: (1)设函数解析式为y=kx ＋b(k≠0)， 由图可知图象过（0，40）、（4，120）
解得 ∴解析式为y=20x+40 (x≥0) (2)当y=200时，20x+40=200, x=8 ∴小明经过8个月才能存够200元
②变式训练
1. 正比例函数y=k 1x 与一次函数y=k 2x+b 的图象如图所示，它们的交点A 的坐标为（3,4），并且OB ＝5
（1）求△OAB 的面积
（2）求这两个函数的解析式
.
6,03)0(2试求一次函数的解析式的面积为若轴交于点与的图象经过点已知一次函数，
AOB B y ），
，A （k b kx y 、∆≠+
={
0404120k b k b ⨯+=+={
2040
k b =
=).
4,0()4,0(6
32
1
21,,
3).0()03(-∴=⨯⨯=∙===∴+=∆或点的坐标为的坐标为点交于点轴与经过点直线解B b OB OA S b OB OA ，b B B y ，，A b kx y ：AOB
四、拓展：正处在花季的同学们，随着身体的发育，身高的不断升高，所穿的鞋码也在不断地变大。
研究表明鞋码y （码）是脚长x （cm ）（指脚底的长度）的一
（2）某人穿38码的鞋，则他的脚长是多少？若脚长为25厘米应穿多少码呢？ 既然是一次函数关系，我们可以设
已知：当x=-2时,y=3;
当x=0时，y=1;当x=1时y=0。
用其中两个条件就可以利用 确定y 与x 的一次函数关系式
五、课堂小结：
1、通过这节课的学习，你知道利用什么方法确 定一次函数的解析式吗？
2、你还记得利用待定系数法确定函数解析式的一般步骤吗？
3、体验了数形结合思想在解决函数问题作用！
其中有一格不慎被墨汁遮住了,想想看，该空格里原来填的数是多少？解释你的理由。
既然是一次函数关系，我们可以设 已知：当x=-2时,y=3;
当x=0时，y=1;当x=1时y=0。
用其中两个条件就可以利用
.
434
3
4
4
30)4,0(--=-
=∴+=x y k k ，B 此时一次函数的析式为时点的坐标为当
确定y与x的一次函数关系式把x=-1代入即可求出
六、分析与思考:
（1）题是一条直线，因此是一次函数，可设它的表达式为y=kx+b ,将点（1,2）代人表达式得线经过点（0,3），（2,0），因此将这两个点的坐标代人，可得关于k、b的二元一次方程组，从而确定了k、b的值，确定了表达式.(写出解答过程)
（2）反思小结：确定正比例函数的表达式需要一个条件，确定一次函数的表达式需要两个条件。
【教师活动】分析例题，讲解方法．
【学生活动】联系已学习的二元一次方程组，以此为工具，解决问题，参与教师讲例，主动思考．像这样先设出一次函数的解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法。
师生整理归纳
【方法流程】
【教师活动】引导学生归纳总结出：
一、数学的基本思想方法：数型结合.
二、随堂练习，巩固深化
三、巩固练习 1. 根据图象求解析式
2.已知一次函数的图象, 如何求函数的解析式
四、课堂小结
五、布置作业
板书设计14.2.2 一次函数(3)
1、用待定系数法求解一次函数的解析式
例：
2、方法流程
练习：。