2017年高考数学(理)一轮复习专题03 充分条件、必要条件与命题的四种形式(押题专练)
高考数学理一轮总复习教师课件1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式
【答案】
(1)B
(2)B (1)要分清充分性和必要性；
【名师点评】
(2)注意两种说法“p是q的必要不充分条件”与“q的必
要不充分条件是p”是等价的； (3) 从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范 围不能推出小范围．
若綈p，则綈q ；逆否命题是 _______________. 否命题是 _____________ 若綈q，则綈p
(2)四种命题间的关系
思考探究 “否命题”与“命题的否定”有何不同？
提示： “否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，如果 原命题是“若 p，则 q”，那么这个原命题的否定是“若 p， 则非 q”，即只否定结论，而原命题的否命题是“若綈 p，则 綈 q”，即既否定命题的条件，又否定命题的结论．
解析：选C.逆否命题以原命题的否定结论作条件， 否定条件作结论，故选C.
考点 2
充分条件、必要条件的判定
例2 (2012· 高考陕西卷)设 a， b∈ R， i 是虚数单位， 则“ ab
b ＝ 0”是“复数 a＋ 为纯虚数”的 ( i A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 )
在它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题只有一个．
2．“x≠0”是“x＞0”的(
)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件 C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.∵“x≠0”等价于“x＜0或x＞0”， ∴“x＞0”⇒“x＜0或x＞0”，“ x＞0” “x＜0或x＞0”．
1 3．(2012· 高考天津卷 )设 x∈ R，则“ x＞ ”是“ 2x2 2 ＋x－1＞ 0”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
第3节 充分条件、必要条件与命题的四种形式
例 2：给定空间中的直线 l 及平面 α，条件“直线 l 与平面 α 内无数条直线都垂直”是“直
线 l 与平面 α 垂直”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：直线 l 与平面内无数直线都垂直，不能得到直线 l⊥α，因为有可能是直线 l 在平面 α
内与一组平行直线垂直．若 l⊥α，则直线 l 垂直于 α 内的所有直线．答案：B
练习：有下列四个命题：
(1)“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的否命题；
(2)“若 x>y，则 x2<y2”的逆否命题解；析： (3)“若 x≤3，则 x2－x－6>0”的否命题； (4)“等边三角形有两边相等”的逆命题(1)． 真
解：(1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面；假命题． 否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行；假命题． 逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面；真命题． (2)逆命题：若方程 mx2－x＋n＝0 有实数根，则 m·n<0；假命题． 否命题：若 m·n≥0，则方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根；假命题． 逆否命题：若方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根，则 m·n≥0；真命题． (3)逆命题：若 a＝0 或 b＝0，则 ab＝0；真命题． 否命题：若 ab≠0，则 a≠0 且 b≠0；真命题． 逆否命题：若 a≠0 且 b≠0，则 ab≠0；真命题．
练习：设 ， 均为单位向量，则“| ﹣3 |=|3 + |”是“ ⊥ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
高考数学一轮复习考点知识专题讲解2---命题及其关系、充分条件与必要条件
高考数学一轮复习考点知识专题讲解命题及其关系、充分条件与必要条件考点要求1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．知识梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p常用结论充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．①若p是q的充分条件，则A⊆B；②若p是q的充分不必要条件，则A B；③若p是q的必要不充分条件，则B A；④若p是q的充要条件，则A＝B.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2－2x－3>0”是命题．(×)(2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(√)(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(√)(4)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(√)教材改编题1．“a>b”是“ac2>bc2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，所以a>b⇏ac2>bc2，当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．2．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________________________．答案两直线不平行，同位角不相等3．方程x2－ax＋a－1＝0有一正一负根的充要条件是________．答案a∈(－∞，1)解析依题意得a－1<0，∴a<1.题型一命题及其关系例1(1)(2022·玉林质检)下列四个命题为真命题的个数是()①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；②命题“梯形不是平行四边形”的逆否命题；③命题“全等三角形面积相等”的否命题；④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题．A．1B．2C．3D．4答案B解析 ①命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，不正确，例如取x ＝－2.②命题“梯形不是平行四边形”是真命题，因此其逆否命题也是真命题．③命题“全等三角形面积相等”的否命题“不是全等三角形的面积不相等”是假命题． ④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题“若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”是真命题．综上可得真命题的个数为2.(2)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________________．答案f (x )＝sin x ，x ∈[0,2](答案不唯一)解析设f (x )＝sin x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x ∈(0,2]时，f (x )>f (0)＝sin0＝0，故f (x )＝sin x 满足条件f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不一直都是增函数．教师备选(2022·合肥模拟)设x ，y ∈R ，命题“若x 2＋y 2>2，则x 2>1或y 2>1”的否命题是()A ．若x 2＋y 2≤2，则x 2≤1或y 2≤1B ．若x 2＋y 2>2，则x 2≤1或y 2≤1C ．若x 2＋y 2≤2，则x 2≤1且y 2≤1D ．若x 2＋y 2>2，则x 2≤1且y 2≤1答案C解析根据否命题的定义可得命题“若x 2＋y 2>2，则x 2>1或y 2>1”的否命题是“若x 2＋y 2≤2，则x 2≤1且y 2≤1”．思维升华 判断命题真假的策略(1)判断一个命题为真命题，需要推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．跟踪训练1(1)(2022·安顺模拟)命题“若x ，y 都是奇数，则x ＋y 是偶数”的逆否命题是()A ．若x ，y 都是偶数，则x ＋y 是奇数B ．若x ，y 都不是奇数，则x ＋y 不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x ，y 都不是奇数D ．若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是奇数答案D解析命题“若x ，y 都是奇数，则x ＋y 是偶数”的逆否命题是“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是奇数”．(2)命题p ：若m ≤a －2，则m <－1.若p 的逆否命题为真命题，则a 的取值范围是________． 答案(－∞，1)解析依题意，命题p 的逆否命题为真命题，则命题p 为真命题，即“若m ≤a －2，则m <－1”为真命题，则a －2<－1，解得a <1.题型二 充分、必要条件的判定例2(1)已知p ：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1，q ：log 2x <0，则p 是q 的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案B 解析由⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1知x >0，所以p 对应的x 的范围为(0，＋∞)， 由log 2x <0知0<x <1，所以q 对应的x 的范围为(0,1)，显然(0,1)(0，＋∞)，所以p 是q 的必要不充分条件．(2)(2021·全国甲卷)等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .设甲：q >0，乙：{S n }是递增数列，则()A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当a 1<0，q >1时，a n ＝a 1q n －1<0，此时数列{S n }单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{S n }单调递增时，有S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝a 1q n >0，若a 1>0，则q n >0(n ∈N *)，即q >0；若a 1<0，则q n <0(n ∈N *)，不存在．所以甲是乙的必要条件．教师备选在△ABC 中，“AB 2＋BC 2＝AC 2”是“△ABC 为直角三角形”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案A解析在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，则∠B＝90°，即△ABC为直角三角形，若△ABC为直角三角形，推不出∠B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立，综上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．跟踪训练2(1)“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若a>2，b>2，则a＋b>4，ab>4.当a＝1，b＝5时，满足a＋b>4，ab>4，但不满足a>2，b>2，所以a＋b>4，ab>4⇏a>2，b>2，故“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的充分不必要条件．(2)(2022·成都模拟)若a，b为非零向量，则“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析因为a⊥b，所以a·b＝0，则(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，所以“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充分条件；反之，由(a＋b)2＝a2＋b2得a·b＝0，所以非零向量a，b垂直，“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的必要条件．故“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充要条件．题型三充分、必要条件的应用例3已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B 的必要条件，求m的取值范围．解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴A＝{x|－2≤x≤10}．由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A.则⎩⎨⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈A 是x ∈B 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．延伸探究本例中，若把“x ∈A 是x ∈B 的必要条件”改为“x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件”，求m 的取值范围．解∵x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，∴A B ，则⎩⎨⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎨⎧ 1－m <－2，1＋m ≥10，解得m ≥9， 故m 的取值范围是[9，＋∞)． 教师备选(2022·泰安检测)已知p ：x ≥a ，q ：|x ＋2a |<3，且p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)C ．[1，＋∞) D．(1，＋∞)答案A解析因为q ：|x ＋2a |<3，所以q ：－2a －3<x <－2a ＋3，记A ＝{x |－2a －3<x <－2a ＋3}，p ：x ≥a ，记为B ＝{x |x ≥a }．因为p 是q 的必要不充分条件，所以AB ，所以a ≤－2a －3，解得a ≤－1.思维升华 求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练3(1)使2x≥1成立的一个充分不必要条件是() A ．1<x <3B ．0<x <2C ．x <2D ．0<x ≤2答案B解析由2x≥1得0<x ≤2， 依题意由选项组成的集合是(0,2]的真子集，故选B.(2)若不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件是1<x <2，则实数a 的取值范围是________． 答案[1,2]解析由(x －a )2<1得a －1<x <a ＋1，因为1<x <2是不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件，所以满足⎩⎨⎧ a －1≤1，a ＋1≥2且等号不能同时取到，解得1≤a ≤2.课时精练1．(2022·韩城模拟)设p：2<x<3，q：|x－2|<1，那么p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析解不等式|x－2|<1得－1<x－2<1，解得1<x<3，因为{x|2<x<3}{x|1<x<3}，因此p是q的充分不必要条件．2．(2022·马鞍山模拟)“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是() A．若x，y∈R，x，y全不为0，则x2＋y2≠0B．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2＝0C．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2≠0D．若x，y∈R，x，y全为0，则x2＋y2≠0答案C解析根据命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，可以写出“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是“若x，y∈R，x，y 不全为0，则x2＋y2≠0”．3．(2021·浙江)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由a·c＝b·c，得到(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．4．已知a，b，c，d是实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a＝b＝c＝d＝0时，ad＝bc，但a，b，c，d不成等比数列，当a，b，c，d成等比数列时，ad＝bc，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．5．(2022·太原模拟)下列四个命题：①“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的逆命题；②“若ab＝0，则a＝0”的逆否命题；③“若ac＝cb，则a＝b”的逆命题；④“若a＝b，则a2＝b2”的否命题．其中是真命题的为()A．①④B．②③C．①③D．②④答案C解析①“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的逆命题是“在△ABC中，若∠C>∠B，则AB>AC”，是真命题；②“若ab＝0，则a＝0”是假命题，所以其逆否命题也是假命题；③“若ac＝cb，则a＝b”的逆命题是“若a＝b，则ac＝cb”，是真命题；④“若a＝b，则a2＝b2”的否命题是“若a≠b，则a2≠b2”，是假命题．6．(2022·青岛模拟)“∀x>0，a≤x＋4x＋2”的充要条件是()A．a>2B．a≥2 C．a<2D．a≤2答案D解析因为x>0，所以x＋4x＋2＝x＋2＋4x＋2－2≥2(x＋2)×4x＋2－2＝2，当且仅当x＋2＝4x＋2，即x＝0时等号成立，因为x>0，所以x＋4x＋2>2，所以“∀x>0，a≤x＋4x＋2”的充要条件是a≤2.7．已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题是真命题，则m的取值范围是() A．(1,2) B．[1,2)C．(1,2] D．[1,2]答案D解析命题的逆命题“若1<x<2，则m－1<x<m＋1”成立，则⎩⎨⎧ m ＋1≥2，m －1≤1，得⎩⎨⎧ m ≥1，m ≤2，得1≤m ≤2，即实数m 的取值范围是[1,2]．8．(2022·厦门模拟)已知命题p ：x <2m ＋1，q ：x 2－5x ＋6<0，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为()A ．m >12B ．m ≥12C ．m >1D ．m ≥1答案D解析∵命题p ：x <2m ＋1，q ：x 2－5x ＋6<0，即2<x <3，p 是q 的必要不充分条件，∴(2,3)(－∞，2m ＋1)，∴2m ＋1≥3，解得m ≥1.实数m 的取值范围为m ≥1. 9．(2022·延边模拟)若“方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不相等的实数根”是真命题，则a 的取值范围是________．答案a <98且a ≠0 解析由题意知⎩⎨⎧ Δ＝(－3)2－8a >0，a ≠0，解得a <98且a ≠0. 10．(2022·衡阳模拟)使得“2x >4x ”成立的一个充分条件是________．答案x<－1(答案不唯一)解析由于4x＝22x，故2x>22x等价于x>2x，解得x<0，使得“2x>4x”成立的一个充分条件只需为集合{x|x<0}的子集即可．11．直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝a2(a>0)有公共点的充要条件是________．答案a∈[1，＋∞)解析直线y＝kx＋1过定点(0,1)，依题意知点(0,1)在圆x2＋y2＝a2内部(包含边界)，∴a2≥1.又a>0，∴a≥1.12．给出下列四个命题：①命题“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要条件”；②“若数列{a n}是等比数列，则a22＝a1a3”的否命题；③已知a，b是非零向量，“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题；④命题“直线l与平面α垂直的充要条件是l与平面α内的两条直线垂直．”其中真命题是________．(填序号)答案①③解析对于①，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C，①是真命题；②“若数列{a n}是等比数列，则a22＝a1a3”的否命题是“若数列{a n}不是等比数列，则a22≠a1a3”，取a n＝0，可知②是假命题；③已知a，b是非零向量，“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题“若a与b的夹角为锐角，则a ·b >0”为真命题；④直线l 与平面α内的两条直线垂直是直线l 与平面α垂直的必要不充分条件，④是假命题．13．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p 和q 中有且只有一个为真命题，则实数a 的取值范围是()A ．0<a <1或a ≥2B．0<a <1或a >2C ．1<a ≤2D．1≤a ≤2答案C解析若p 和q 中有且只有一个为真命题，则有p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，则⎩⎨⎧ －2－a <1<a ≤2，a >0，解得1<a ≤2；当p 假q 真时，则⎩⎨⎧ 1≤－2－a <2<a ，a >0，无解，综上，1<a ≤2.14．若“x 2－4x ＋3<0”是“x 2－mx ＋4<0”的充分条件，则实数m 的取值范围为________． 答案m ≥5解析依题意有 x 2－4x ＋3<0⇒1<x <3，x 2－mx ＋4<0⇒mx >x 2＋4，∵1<x <3，∴m >x ＋4x，设f (x )＝x ＋4x(1<x <3)，则函数f (x )在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增， ∴f (1)＝5，f (2)＝4，f (3)＝133， 因此函数f (x )＝x ＋4x(1<x <3)的值域为[4,5)， ∵“x 2－4x ＋3<0”是“x 2－mx ＋4<0”的充分条件，∴m ≥5.15．若“x >1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是()A ．a >3B ．a <3C ．a >4D ．a <4答案A解析若2x >a －x ，即2x ＋x >a .设f (x )＝2x ＋x ，则函数f (x )为增函数．由题意知“2x ＋x >a 成立，即f (x )>a 成立”能得到“x >1”，反之不成立．∵当x >1时，f (x )>3，∴a >3.16．已知r >0，x ，y ∈R ，p ：|x |＋|y |2≤1，q ：x 2＋y 2≤r 2，若p 是q 的必要不充分条件，则实数r 的取值范围是________．答案⎝⎛⎦⎥⎤0，255 解析画出|x |＋|y |2≤1表示的平面区域(图略)，由图可得p 对应的平面区域是一个菱形及其内部，当x >0，y >0时，可得菱形的一边所在的直线的方程为x ＋y 2＝1，即2x ＋y －2＝0.由p 是q 的必要不充分条件，可得圆x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝222＋1＝255≥r ，又r >0，所以实数r 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，255.。
1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式
1．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p ，则q ”形式的命题为真时，记作p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． (2)如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件．p 是q 的充要条件又常说成q 当且仅当p ，或p 与q 等价．2．命题的四种形式及真假关系互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( √ )(2)当p 是q 的充要条件时，也可说成q 成立当且仅当p 成立．( √ )(3)命题“α＝π4，则tan α＝1”的否命题是“若α＝π4，则tan α≠1”．( × ) (4)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．( √ )(5)若p 是q 的充分不必要条件，则綈p 是綈q 的必要不充分条件．( √ )1．(2015·重庆)“x ＞1”是“12log (x ＋2)＜0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 x ＞1⇒x ＋2＞3⇒12log (x ＋2)＜0，12log (x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，故“x ＞1”是“12log (x ＋2)＜0”成立的充分不必要条件．因此选B.2．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a ＝3时A ＝{1,3}，显然A ⊆B .但A ⊆B 时，a ＝2或3.所以A 正确．3．(教材改编)命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是( )A ．“若x <y ，则x 2<y 2”B ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2”C ．“若x >y ，则x 2>y 2”D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2”答案 B解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．4．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )，与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．4答案 B解析 向量a ，b 共线⇔x －x (x ＋2)＝0⇔x ＝0或x ＝－1，∴命题p 为真，其逆命题为假，故在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.5．(教材改编)下列命题：①x ＝2是x 2－4x ＋4＝0的必要不充分条件；②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件；③sin α＝sin β是α＝β的充要条件；④ab ≠0是a ≠0的充分不必要条件．其中为真命题的是________(填序号)．答案 ②④题型一 充分条件、必要条件的判定例1 (1)(2015·四川)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件(2)一次函数y ＝－m n x ＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( ) A ．m >1，且n <1B ．mn <0C ．m >0，且n <0D ．m <0，且n <0答案 (1)B (2)B解析 (1)根据指数函数的单调性得出a ，b 的大小关系，然后进行判断．∵3a >3b >3，∴a >b >1，此时log a 3<log b 3正确；反之，若log a 3<log b 3，则不一定得到3a >3b >3，例如当a ＝12，b ＝13时，log a 3<log b 3成立，但推不出a >b >1.故“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件． (2)∵y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限，故－m n >0，1n<0，即m >0，n <0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn <0.思维升华 充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的某种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的某种条件．(1)(2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 (2)若命题p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，命题q ：f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 (1)A (2)A解析 (1)∵sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝0；cos 2α＝0⇔cos α＝±sin α⇒/ sin α＝cos α，故选A.(2)当φ＝π2＋k π，k ∈Z 时，f (x )＝±cos ωx 是偶函数，所以p 是q 的充分条件；若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以p 是q 的必要条件，故p 是q 的充要条件，故选A. 题型二 充分必要条件的应用例2 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m的取值范围．解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．引申探究1．本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．2．本例条件不变，若x ∈(綈P )是x ∈(綈S )的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S ⇒/ P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．(1)ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是( )A ．0<a ≤1B ．a <1C ．a ≤1D ．0<a ≤1或a <0(2)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)C (2)⎣⎡⎦⎤0，12 解析 (1)方法一 当a ＝0时，原方程为一元一次方程2x ＋1＝0，有一个负实根．当a ≠0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是Δ＝4－4a ≥0，即a ≤1.设此时方程的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝1a， 当只有一个负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a <0⇒a <0； 当有两个负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，－2a<0，⇒0<a ≤1.1a >0综上所述，a ≤1. 方法二 (排除法)当a ＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A ，D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B.(2)命题p 为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤1， 命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．綈p 对应的集合A ＝{x |x >1或x <12}， 綈q 对应的集合B ＝{x |x >a ＋1或x <a }．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a <12， ∴0≤a ≤12. 题型三 命题的四种形式例3 (1)命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数“的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数(2)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假 答案 (1)C (2)B解析 (1)由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”．(2)先证原命题为真：当z 1，z 2互为共轭复数时，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a －b i ，则|z 1|＝|z 2|＝a 2＋b 2， ∴原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假：取z 1＝1，z 2＝i ，满足|z 1|＝|z 2|，但是z 1，z 2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假，故选B.思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p ，则q “形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．(1)命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是( ) A ．若α＝π3，则cos α≠12B ．若α≠π3，则cos α≠12C ．若cos α＝12，则α＝π3D ．若cos α≠12，则α≠π3(2)(2016·承德月考)已知命题α：如果x <3，那么x <5；命题β：如果x ≥3，那么x ≥5；命题γ：如果x ≥5，那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A ．①③B ．②C ．②③D ．①②③答案 (1)C (2)A解析 (1)命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是“若cos α＝12，则α＝π3”． (2)命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定，然后交换条件与结论所得，因此①正确，②错误，③正确，故选A.1．等价转化思想在充要条件中的应用典例 (1)已知p ：(a －1)2≤1，q ：∀x ∈R ，ax 2－ax ＋1≥0，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知条件p ：x 2＋2x －3>0；条件q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]解析 (1)由(a －1)2≤1解得0≤a ≤2，∴p ：0≤a ≤2.当a ＝0时，ax 2－ax ＋1≥0对∀x ∈R 恒成立；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝a 2－4a ≤0得0<a ≤4， ∴q ：0≤a ≤4.∴p 是q 成立的充分不必要条件．(2)由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．∴{x |x >a }{x |x <－3或x >1}，∴a ≥1.答案 (1)A (2)A温馨提醒 (1)本题用到的等价转化①将綈p ，綈q 之间的关系转化成p ，q 之间的关系．②将条件之间的关系转化成集合之间的关系．(2)对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题，在解题中经常用到．[方法与技巧]1．充要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：即利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ；B ⇒A 与綈A ⇒綈B ；A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}：若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．2．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．[失误与防范]1．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q ”等语言．2．当一个命题有大前提而要写出命题的其他两种形式时，必须保留大前提．3．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p ，则q ”的形式．A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案 B解析 依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．2．(2015·天津)设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由|x －2|＜1得1＜x ＜3，所以1＜x ＜2⇒1＜x ＜3；但1＜x ＜3⇒/ 1＜x ＜2，故选A.3．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0答案 C解析 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．4．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”答案 C解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C.5．设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 因为菱形的对角线互相垂直，所以“四边形ABCD 为菱形”⇒“AC ⊥BD ”，所以“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分条件；又因为对角线垂直的四边形不一定是菱形，所以“AC ⊥BD ”⇒“四边形ABCD 为菱形”，所以“四边形ABCD 为菱形”不是“AC ⊥BD ”的必要条件．综上，“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件．6．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分不必要的条件B ．必要不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件答案 C解析 由维恩图易知充分性成立．反之，A ∩B ＝∅时，由维恩图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．7．(2015·北京)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.则“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 m ⊂α，m ∥β⇒/ α∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件．8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a <0B ．0<a <12 C.12<a <1 D ．a ≤0或a >1答案 A解析 因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合，可得a ≤0或a >1.观察选项，根据集合间关系得{a |a <0}{a |a ≤0或a >1}，故答案选A.9．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________． 答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．10．若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,2]解析 由已知易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}，又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m －1，m ＋1<3，或⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2. 11．给定两个命题p 、q ，若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的________条件．答案 充分不必要解析 若綈p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒綈p 但綈p ⇒/ q ，其逆否命题为p ⇒綈q 但綈q ⇒p ，所以p 是綈q 的充分不必要条件． 12．下列命题：①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件；④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．其中正确命题的序号是________．答案 ①③④解析 对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，所以a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°⇒/ 30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1，所以③正确；④显然正确．B 组 专项能力提升(时间：15分钟)13．设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 C解析先证“a>b”⇒“a|a|>b|b|”．若a>b≥0，则a2>b2，即a|a|>b|b|；若a≥0>b，则a|a|≥0>b|b|；若0>a>b，则a2<b2，即－a|a|<－b|b|，从而a|a|>b|b|.再证“a|a|>b|b|”⇒“a>b”．若a，b≥0，则由a|a|>b|b|，得a2>b2，故a>b；若a，b≤0，则由a|a|>b|b|，得－a2>－b2，即a2<b2，故a>b；若a≥0，b<0，则a>b.综上，“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件．14．(2015·湖北)设a1，a2，…，a n∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：(a21＋a22＋…＋a2n－1)(a22＋a23＋…＋a2n)＝(a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n)2，则()A．p是q的必要条件，但不是q的充分条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件答案 B解析若p成立，设a1，a2，…，a n的公比为q，则(a21＋a22＋…＋a2n－1)(a22＋a23＋…＋a2n)＝a21(1＋q2＋…＋q2n －4)·a22(1＋q2＋…＋q2n－4)＝a21a22(1＋q2＋…＋q2n－4)2，(a1a2＋a2a3＋…＋a na n)2＝(a1a2)2(1＋q2＋…＋q2n－4)2，－1故q成立，故p是q的充分条件．取a1＝a2＝…＝a n＝0，则q成立，而p不成立，故p不是q的必要条件，故选B.15．(2015·浙江)设A，B是有限集，定义：d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A 中元素的个数，命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)，()A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立答案 A解析命题①成立，若A≠B，则card(A∪B)>card(A∩B)，所以d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)>0.反之可以把上述过程逆推，故“A≠B”是“d(A，B)>0”的充分必要条件；命题②成立，由维恩图，知card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，d(A，C)＝card(A)＋card(C)－2card(A∩C)，d(B，C)＝card(B)＋card(C)－2card(B∩C)，∴d(A，B)＋d(B，C)－d(A，C)＝card(A)＋card(B)－2card(A∩B)＋card(B)＋card(C)－2card(B∩C)－[card(A)＋card(C)－2card(A∩C)]＝2card(B)－2card(A∩B)－2card(B∩C)＋2card(A∩C)＝2card(B)＋2card(A∩C)－2[card(A∩B)＋card(B∩C)]≥2card(B )＋2card(A ∩C )－2[card((A ∪C )∩B )＋card(A ∩B ∩C )]＝[2card(B )－2(card(A ∪C )∩B )]＋[2card(A ∩C )－2card(A ∩B ∩C )]≥0，∴d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )得证．16．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.17．设a ，b 为正数，则“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的________条件．答案 充分不必要解析 ∵a －b >1，即a >b ＋1.又∵a ，b 为正数，∴a 2>(b ＋1)2＝b 2＋1＋2b >b 2＋1，即a 2－b 2>1成立，反之，当a ＝3，b ＝1时，满足a 2－b 2>1，但a －b >1不成立．所以“a －b >1”是“a 2－b 2>1”充分不必要条件．18．下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa ＝0”的充分不必要条件；②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件；③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 全不为零”的充要条件；④若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件．正确的是________．答案 ①④解析 由λ＝0可以推出λa ＝0，但是由λa ＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确．由AB 2＋AC 2＝BC 2可以推出△ABC 是直角三角形，但是由△ABC 是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．由a 2＋b 2≠0可以推出a ，b 不全为零，反之，由a ，b 不全为零可以推出a 2＋b 2≠0，所以“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件，而不是“a ，b 全不为零”的充要条件，③不正确，④正确．。
1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式
1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式推出与充分条件、必要条件（一）教学目标1.知识与技能：正确理解充分条件、必要条件的定义，理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义，并会正确判断；通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假。
2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．３．情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（二）教学重点与难点重点：充分条件、必要条件的概念，正确区分充要条件(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．) 难点：判断命题的充分条件、必要条件，正确区分充要条件。
关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件。
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（三）教学过程学生探究过程：1．练习与思考写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？（1）若x ＞ a2 + b2，则x ＞ 2ab, （2）若ab ＝ 0，则a ＝ 0.学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．２．给出定义（1）充分条件和必要条件“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论。
如果命题“若p，则q”是真命题，则称由p可以推出q，记作：p⇒q．如果p⇒q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立．换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p是q的充分条件；q是p必要条件．上面的命题(1)为真命题，即x ＞ a2 + b2 ⇒x ＞ 2ab，所以“x ＞ a2 + b2 ”是“x ＞ 2ab”的充分条件，“x ＞ 2ab”是“x ＞ a2 + b2”＂的必要条件．（2）充要条件a.思考、分析已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数.请判断： p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q 能否推出p．易知：p⇒q，故p是q的充分条件；又q ⇒ p，故p是q的必要条件．此时,我们说, p是q的充分必要条件b.归纳一般地,如果既有p⇒q ，又有q⇒p 就记作 p ⇔ q.此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p ⇔ q,那么p 与 q互为充要条件.c．类比定义一般地，若p⇒q ,但q ≠>p，则称p是q的充分但不必要条件；若p≠>q，但q ⇒p，则称p是q的必要但不充分条件；若p≠>q，且q ≠>p，则称p是q的既不充分也不必要条件．在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：①若p⇒q ,但q ≠>p，则p是q的充分但不必要条件；②若q⇒p，但p ≠>q，则p是q的必要但不充分条件；③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；④若p ≠>q，且q ≠>p，则p是q的既不充分也不必要条件．3．例题分析：例１：下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？（1）若x ＝1，则x2－ 4x ＋ 3 ＝ 0；（2）若f(x)＝ x，则f(x)为增函数；（3）若x为无理数，则x2为无理数．分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q．例２：下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件?(1)若x ＝ y，则x2＝ y2；(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；（3）若a ＞b,则ac＞bc．分析：要判断q是否是p的必要条件，就要看p能否推出q．例3：下列各题中，哪些p是q的充要条件？（１）p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；（２）p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy＞ 0；（３）p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c；（４）p:x ＞ 5, ,q: x ＞ 10（５）p: a ＞ b ,q: a2＞ b2分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．解：命题（１）和（３）中，p⇒q ，且q⇒p，即p ⇔ q，故p 是q的充要条件；命题（２）中，p⇒q ,但q ≠>p，故p 不是q的充要条件；命题（４）中，p≠>q ，但q⇒p，故p 不是q的充要条件；命题（５）中，p≠>q ，且q≠>p，故p 不是q的充要条件；例4：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（p⇒q）和必要性（q⇒p）即可．证明过程略．例5、设p是r的充分而不必要条件，q是r的充分条件，r成立，则s成立．s是q的充分条件，问（1）s是r的什么条件？（2）p是q的什么条件？4．教学反思：（1）充分、必要的定义．在“若p，则q”中，若p q，则p为q的充分条件，q为p的必要条件．（2）条件是相互的；（3）p是q的什么条件，有四种回答方式：① p是q的充分而不必要条件；② p是q的必要而不充分条件；③ p是q的充要条件；④ p是q的既不充分也不必要条件．（4）充要条件的判定方法如果“若p，则q”与“若p则q”都是真命题，那么p就是q的充要条件，否则不是．命题的四种形式（一）教学目标◆知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．◆过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．◆情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．（二）教学重点与难点重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系．难点：（1）命题的否定与否命题的区别；（2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；（3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．教具准备：与教材内容相关的资料。
课件1：1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式
• 解: (1) x=y是x2=y2的充分不必要条件. x2=y2 是x=y的必要不充分条件.
• (2) p是q的充分条件且是必要条件. • q是p充分条件且是必要条件.
例4．填表
p
q
p是q的什么条件 q是p的什么条件
y是有理数 y是实数
x5
x3
m，n全是奇数 m+n是偶数
充分不必要 充分不必要
充分不必要
必要不充分 必要不充分 必要不充分
ab
ab
x A且x B x A B
必要不充分 充分不必要
充分 必要
必要 充分
ab 0
a0
充分不必要 必要不充分
( x 1)( y 2) 0 x 1且y 2
必要不充分 充分不必要
• 例5、请用“充分不必要”、“必要不充分”、
• “充要”、“既不充分也不必要”填空： • (1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的＿必＿要＿不＿充＿分＿条件. • (2)“同位角相等”是“两直线平行”的＿充＿要＿条件. • (3)“x=3”是“x2=9”的＿充＿分＿不＿必＿要＿条件.
• (4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边 形”的＿既＿不＿充＿分＿也＿不＿必＿要＿＿条件.
例1：把下列命题改写成“若则”的形式， 并写出它的逆命题、否命题与逆否命题，同 时指出它们的真假： （1）全等三角形的对应边相等； （2）四条边相等的四边形是正方形。
例2：写出命题“若a=0，则ab=0”的逆命 题、否命题与逆否命题，并判断其真假。
例3 ．指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是 p的什么条件：
高中数学第1章常用逻辑用语1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、(1)
1．3。
1 推出与充分条件、必要条件1.了解“推出"的含义．2。
理解充分条件、必要条件、充要条件的意义． 3.掌握充分条件、必要条件、充要条件的判断．1．充分条件和必要条件当命题“如果p，则q”经过推理证明判定是真命题时,我们就说由p成立可以推出q 成立，记作p⇒q，读作“p推出q”，又称p是q的充分条件，q是p的必要条件．2．充要条件如果p⇒q，且q⇒p，则称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件,记作p⇔q．p是q的充要条件，又常说成“q当且仅当p，或p与q等价”。
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×")(1）q是p的必要条件时,p是q的充分条件．（）(2）若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．（)(3)q不是p的必要条件时，“p错误!q”成立．( )答案：（1)√(2）√(3)√2．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A3．已知sin α＜0,则“tan α＞0"是“α为第三象限角"的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C4．“log3M＞log3N"是“M＞N”成立的________条件．答案：充分不必要充分条件、必要条件、充要条件的判断判断下列各题中p是q的什么条件?(1)p:α＝错误!,q：cos α＝错误!；（2）p：（a－2)（a－3）＝0，q:a＝3；（3）在△ABC中,p：a〉b，q:sin A〉sin B；(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．【解】（1)因为α＝错误!⇒cos α＝错误!，cos α＝错误!错误!α＝错误!,所以p是q的充分不必要条件．(2）由（a－2）(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3,不一定有a＝3；由a＝3可以推出(a－2)（a－3）＝0，因此p是q的必要不充分条件．（3）因为由正弦定理错误!＝错误!，知a〉b⇒sin A〉sin B,sin A>sin B⇒a〉b，所以p是q的充要条件．（4)因为错误!所以p是q的既不充分也不必要条件．错误!充分、必要、充要条件的判断方法（1)定义法若p⇒q,q错误!p，则p是q的充分不必要条件；若p错误!q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件;若p错误!q，q错误!p,则p是q的既不充分也不必要条件．（2）集合法对于集合A＝{x｜x满足条件p}，B＝{x｜x满足条件q｝，具体情况如下：若A⊆B,则p是q的充分条件;若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B,则p是q的充要条件;若A B，则p是q的充分不必要条件;若A B，则p是q的必要不充分条件．（3）等价法等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．指出下列各题中，p是q的什么条件（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件）．（1)p：数a能被6整除，q:数a能被3整除;（2)p：x2＞1,q：x＞1；(3）p：△ABC有三个内角相等，q：△ABC是正三角形；（4）p：｜a·b｜＝a·b，q：a·b＞0。
高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式练习题(含解
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充分条件、必要条件与命题的四种形式一、选择题1．“a＝2”是“直线（a2－a)x＋y＝0和直线2x＋y＋1＝0互相平行”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析因为两直线平行，则(a2－a）×1－2×1＝0，解得a＝2或－1，所以选A.答案A2．已知命题p：∃n∈N，2n＞1 000，则綈p为( )．A．∀n∈N，2n≤1 000 B．∀n∈N,2n＞1 000C．∃n∈N,2n≤1 000 D．∃n∈N,2n＜1 000解析特称命题的否定是全称命题．即p:∃x∈M，p(x)，则綈p:∀x∈M，綈p（x)．故选A。
答案A3.与命题”若a M∉"等价的命题是（ )∈,则b MA。
若a M∉∉,则b MB。
若b M∈∉,则a MC.若a M∈∉,则b MD。
若b M∉∈,则a M解析因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可.故选D. 答案 D4．“a＝1”是“函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π"的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析函数y＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax的最小正周期为π⇔a＝1或a＝－1,所以“a＝1”是“函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件．故选A。
2017年高考全国卷文科数学第一轮复习-----命题关系、充分条件与必要条件
专题一命题关系、充分条件与必要条件一、考点梳理▲考点一: 命题的四种形式及真假关系知识点:互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价. 【特别提醒】等价命题和等价转化(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假；(3)当判断原命题的真假比较困难时, 可以转化为判断它的逆否命题的真假.（1）例1: 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题、并判断真假（2）实数的平方是非负数（3）等底等高的两个三角形是全等三角形弦的垂直平分线经过圆心, 并平分弦所对的两条弧例2: 命题“若x, y都是偶数, 则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )A. 若x＋y是偶数, 则x与y不都是偶数B. 若x＋y是偶数, 则x与y都不是偶数C. 若x＋y不是偶数, 则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数, 则x与y都不是偶数例3: （2014·陕西卷）原命题为“若＜an, n∈N＋, 则{an}为递减数列”, 关于其逆命题, 否命题, 逆否命题真假性的判断依次如下, 正确的是()A. 真, 真, 真B. 假, 假, 真C．真, 真, 假D．假, 假, 假[来源:m]▲▲▲考点二: 充分条件、必要条件与充要条件知识点:(1)如果p⇒q, 称p是q的充分条件, q是p的必要条件.(2)如果既有p⇒q, 又有q⇒p , 记作p⇔q, 则p是q的充要条件, q也是p 的充要条件．例1: 【2015高考浙江, 文3】设, 是实数, 则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件例2: 【2015高考重庆, 文2】“”是“”的（）(A) 充要条件(B) 充分不必要条件(C) 必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件例3: 【2015高考天津, 文4】设,则“”是“”的（）(A) 充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C) 充要条件(D)既不充分也不必要条件例4: 【2015高考湖南, 文3】设R, 则“>1”是“>1”的（）A.充分不必要条件B、必要不充分条件C.充要条件D、既不充分也不必要条件例5: 【2015高考安徽, 文3】设p: x<3, q: -1<x<3, 则p是q成立的（）[来（A）充分必要条件（B）充分不必要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件例6: （2014·北京卷）设a, b是实数, 则“a＞b”是“a2＞b2”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件例7:（2014·江西卷）下列叙述中正确的是()A. 若a, b, c∈R, 则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”B. 若a, b, c∈R, 则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”C. 命题“对任意x∈R, 有x2≥0”的否定是“存在x∈R, 有x2≥0”D．l是一条直线, α, β是两个不同的平面, 若l⊥α, l⊥β, 则α∥β例8: （2013·陕西卷）设z是复数, 则下列命题中的假命题是()A. 若z2≥0, 则z是实数B. 若z2<0, 则z是虚数C. 若z是虚数, 则z2≥0D．若z是纯虚数, 则z2<0例9: （2013·浙江卷）若α∈R, 则“α＝0”是“sin α<cos α”的()[来] A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件[来源:学§科§网Z§X§X§K]C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件例10: （2014·浙江卷）设四边形ABCD的两条对角线为AC, BD, 则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件例11: （2013·安徽卷）“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件例12: （2013·湖南卷）“1<x<2”是“x<2”成立的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件例13: （2013·福建卷）设点P(x, y), 则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l: x＋y－1＝0上”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件例14: （2013·天津卷）设a, b∈R, 则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的()[来源:学]A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件例15：已知p：x2－4x－5≤0, q：|x－3|<a (a>0)．若p是q的充分不必要条件, 求a的取值范围．例16: 已知命题p: |x－2|<a(a>0), 命题q: |x2－4|<1, 若p是q的充分不必要条件, 求实数a的取值范围.例17: 已知集合M＝{x|x<－3或x>5}, P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}.(1)求实数a的取值范围, 使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件；(2)求实数a的一个值, 使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件；(3)求实数a的取值范围, 使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个必要但不充分条件．。
高考数学(理)一轮复习精品资料 专题03 充分条件、必要条件与命题的四种形式(教学案) Word版含解析
专题03充分条件、必要条件与命题的四种形式（教学案）高考数学（理）一轮复习精品资料1.充分理解逻辑联结词的含义，注意和日常用语的区别；2.对量词的练习要在“含一个量词”框架内进行，不要随意加深；3.注意逻辑与其他知识的交汇．1．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p，则q”形式的命题为真时，记作p⇒q，称p是q的充分条件，q是p的充要条件．(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．p是q的充要条件又常说成q当且仅当p，或p与q等价．2．命题的四种形式及真假关系互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．【特别提醒】等价命题和等价转化(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假；(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．高频考点一含有逻辑联结词的命题的真假判断例1、(1)已知命题p ：m ，n 为直线，α为平面，若m∥n，n ⊂α，则m∥α，命题q ：若a>b ，则ac>bc ，则下列命题为真命题的是()A ．p∨qB ．綈p∨qC ．綈p∧qD ．p∧q(2)已知命题p ：若x>y ，则－x<－y ；命题q ：若x>y ，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q 中，真命题是()A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 答案(1)B(2)C【感悟提升】“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤： (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．【变式探究】(1)已知命题p ：对任意x∈R，总有2x>0；q ：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()A ．p∧qB ．(綈p)∧(綈q)C ．(綈p)∧qD ．p∧(綈q)(2)若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b>0的解集是{x|x>－ba }，命题q ：关于x 的不等式(x－a)(x －b)<0的解集是{x|a<x<b}，则在命题“p∧q”、“p∨q”、“綈p”、“綈q”中，是真命题的有________．答案(1)D(2)綈p 、綈q解析(1)p 为真命题，q 为假命题，故綈p 为假命题，綈q 为真命题．从而p∧q 为假，(綈p)∧(綈q)为假，(綈p)∧q 为假，p∧(綈q)为真，故选D.(2)依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p∧q”为假、“p∨q”为假，“綈p”为真、“綈q”为真．高频考点二、全称命题、特称命题的真假 例2、(1)下列命题中，为真命题的是() A ．∀x∈R，x2>0 B ．∀x∈R，－1<sinx<1 C ．∃x0∈R,02x <0 D ．∃x0∈R，tanx0＝2(2)下列四个命题p1：∃x0∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫120x <⎝ ⎛⎭⎪⎫130x ；p2：∃x0∈(0,1)，log12x0>log 13x0；p3：∀x∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>log 12x ； p4：∀x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<log 13x. 其中真命题是() A ．p1，p3 B ．p1，p4 C ．p2，p3 D ．p2，p4 答案(1)D(2)D解析(1)∀x∈R，x2≥0，故A 错；∀x∈R，－1≤sinx≤1，故B 错；∀x∈R,2x>0，故C 错，故选D.(2)根据幂函数的性质，对∀x∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，故命题p1是假命题；由于log 12x －log13x ＝lgx －lg2－lgx －lg3＝lg2－lg2lg3，故对∀x∈(0,1)，log12x>log13x ，所以∃x0∈(0,1)，log12x0>log 13x0，命题p2是真命题；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<1，log 12x>1，故⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>log 12x 不成立，命题p3是假命题；∀x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<1，log 13x>1，故⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<log 13x ，命题p4是真命题．故p2，p4为真命题．【变式探究】(1)命题“存在实数x ，使x>1”的否定是() A ．对任意实数x ，都有x>1 B ．不存在实数x ，使x≤1 C ．对任意实数x ，都有x≤1 D ．存在实数x ，使x≤1(2)设x∈Z，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x∈A,2x∈B，则綈p 为：______________.答案(1)C(2)∃x0∈A,2x0∉B解析(1)利用特称命题的否定是全称命题求解，“存在实数x ，使x>1”的否定是“对任意实数x ，都有x≤1”．故选C.(2)命题p ：∀x∈A,2x∈B 是一个全称命题，其命题的否定应为特称命题． ∴綈p ：∃x0∈A,2x0∉B.【感悟提升】(1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x ＝x0，使p(x0)成立．(2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词． ②对原命题的结论进行否定．【举一反三】(1)下列命题中的真命题是() A ．∃x∈R，使得sinx ＋cosx ＝32B ．∀x∈(0，＋∞)，ex>x ＋1C ．∃x∈(－∞，0)，2x<3xD ．∀x∈(0，π)，sinx>cosx(2)设命题p ：∃n∈N，n2>2n ，则綈p 为() A ．∀n ∈N，n2>2nB ．∃n∈N，n2≤2nC ．∀n∈N，n2≤2nD ．∃n∈N，n2＝2n 答案(1)B(2)C高频考点三由命题的真假求参数的取值范围例3、已知p ：∃x∈R，mx2＋1≤0，q ：∀x∈R，x2＋mx ＋1>0，若p∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为()A ．m≥2B ．m≤－2C ．m≤－2或m≥2D ．－2≤m≤2答案A解析依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0； 当q 是真命题时，则有Δ＝m2－4<0，－2<m<2. 因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m≥0m≤－2或m≥2，即m≥2.【感悟提升】根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．【举一反三】(1)已知命题p ：“∀x∈，x2－a≥0”，命题q ：“∃x∈R，使x2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q”是真命题，则实数a 的取值范围是()A ．{a|a≤－2或a ＝1}B ．{a|a≥1}C ．{a|a≤－2或1≤a≤2}D ．{a|－2≤a≤1}(2)命题“∃x∈R,2x2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围为________． 答案(1)A(2)【2019高考山东理数】已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线a 与直线b 相交,则,αβ一定相交,若,αβ相交,则a,b 可能相交，也可能平行,故选A.【2019高考天津理数】设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的（）（A ）充要条件（B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由题意得，22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q q q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C.【2019高考上海理数】设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（） （A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件 【答案】A【解析】2211,111a a a a a >⇒>>⇒><-或，所以是充分非必要条件，选A. 【2019高考湖北，理5】设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥.若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则（）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A【解析】对命题p ：12,,,n a a a 成等比数列，则公比)3(1≥=-n a a q n n且0≠na ；对命题q ，①当=n a 时，22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立；②当≠n a 时，根据柯西不等式，等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立，则n n a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==，所以12,,,n a a a 成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件．【2019高考天津，理4】设x R ∈，则“21x -<”是“220x x +->”的() （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<,2202x x x +->⇔<-或1x >，所以“21x -<”是“220x x +->”的充分不必要条件，故选A. 【2019高考重庆，理4】“1x >”是“12log (2)0x +<”的（）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】12log (2)0211x x x +<⇔+>⇔>-，因此选B .【2019高考安徽，理3】设:12,:21xp x q <<>，则p 是q 成立的（） （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由0:22x q >，解得0x >，易知，p 能推出q ，但q 不能推出p ，故p 是q 成立的充分不必要条件，选A.【2019高考湖南，理2】.设A ，B 是两个集合，则“A B A =”是“A B ⊆”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C.【解析】由题意得，A B A A B =⇒⊆，反之，A B A B A =⇒⊆ ，故为充要条件，选C.【2019·安徽卷】“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】ln(x ＋1)<0⇔0<1＋x <1⇔－1<x <0，而(－1，0)是(－∞，0)的真子集，所“x <0”是“ln(x ＋1)<0”的必要不充分条件．【2019·北京卷】设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的() A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】当a 1<0，q >1时，数列{a n }递减；当a 1<0，数列{a n }递增时，0<q <1.故选D. 【2019·福建卷】直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【2019·湖北卷】U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B ＝∅”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C，则可以推出A∩B＝∅；若A∩B＝∅，由维思图可知，一定存在C＝A，满足A⊆C，B⊆∁U C，故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的充要条件．故选C.【2019·陕西卷】原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假【答案】B【2019·天津卷】设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】当ab≥0时，可得a>b与a|a|>b|b|等价．当ab<0时，可得a>b时a|a|>0>b|b|；反之，由a|a|>b|b|知a>0>b，即a>b.【2019·浙江卷】已知i是虚数单位，a，b∈R，得“a＝b＝1”是“(a＋b i)2＝2i”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝2i,得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，2ab ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.故选A.【2019·重庆卷】已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x>0，q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()A ．p ∧qB ．綈p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．p ∧綈q 【答案】D【解析】根据指数函数的图像可知p 为真命题．由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以q 为假命题，所以綈q 为真命题，所以p ∧綈q 为真命题．1．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()A ．(綈p)∨qB ．p∧qC ．(綈p)∧(綈q)D ．(綈p)∨(綈q)答案D解析不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有(綈p)∨(綈q)为真命题．2．已知命题p ，q ，“綈p 为真”是“p∧q 为假”的() A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案A解析由“綈p 为真”可得p 为假，故p∧q 为假；反之不成立．3．已知命题p ：“x>2是x2>4的充要条件”，命题q ：“若a c2>bc2，则a>b”，那么()A ．“p 或q”为真B ．“p 且q”为真C ．p 真q 假D ．p ，q 均为假答案A解析由已知得命题p 是假命题，命题q 是真命题，因此选A.4．下列命题中的假命题是()A ．∀x∈R,2x－1>0B ．∀x∈N*，(x －1)2>0C ．∃x0∈R，lgx0<1D ．∃x0∈R，tan ⎝⎛⎭⎪⎫x0＋π4＝5 答案B解析A 项，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x －1>0；B 项，∵x∈N*，∴当x ＝1时，(x －1)2＝0与(x －1)2>0矛盾；C 项，当x0＝110时，lg 110＝－1<1；D 项，当x∈R 时，tanx∈R，∴∃x0∈R，tan ⎝⎛⎭⎪⎫x0＋π4＝5. 5．已知命题p ：若a>1，则ax>logax 恒成立；命题q ：在等差数列{an}中，m ＋n ＝p ＋q 是an ＋am ＝ap ＋aq 的充分不必要条件(m ，n ，p ，q∈N*)．则下面选项中真命题是()A ．(綈p)∧(綈q)B ．(綈p)∨(綈q)C ．p∨(綈q)D ．p∧q答案B6．命题p ：∀x∈R，sinx<1；命题q ：∃x∈R，cosx≤－1，则下列结论是真命题的是()A ．p∧qB ．(綈p)∧qC ．p∨(綈q)D ．(綈p)∧(綈q)答案B解析p是假命题，q是真命题，所以B正确．7．已知命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为()A．所有的指数函数都不是单调函数B．所有的单调函数都不是指数函数C．存在一个指数函数，它不是单调函数D．存在一个单调函数，它不是指数函数答案C解析命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p：存在一个指数函数，它不是单调函数.8．已知命题p：∃x0∈R，ex0－mx0＝0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是()A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．C．R D．∅答案B解析若p∨(綈q)为假命题，则p假q真．命题p为假命题时，有0≤m<e；命题q为真命题时，有Δ＝m2－4≤0，即－2≤m≤2.所以当p∨(綈q)为假命题时，m的取值范围是0≤m≤2.9．命题“∃x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．答案∀x∈R，x2＋2x＋5≠0解析否定为全称命题：“∀x∈R，x2＋2x＋5≠0”．10．若命题“∃x0∈R，x20＋(a－1)x0＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析因为命题“∃x0∈R，x20＋(a－1)x0＋1<0”等价于x20＋(a－1)x0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝(a－1)2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3.11．已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：13－x>1，若“綈q∧p”为真，则x的取值范围是________．答案(－∞，－3)∪(1,2]∪解析若綈p是假命题，则p是真命题，即关于x的方程4x－2·2x＋m＝0有实数解，由于m＝－(4x－2·2x)＝－(2x－1)2＋1≤1，∴m≤1.17．设p ：方程x2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．则使p∨q 为真，p∧q 为假的实数m 的取值范围是________．答案(－∞，－2]∪[－1,3)18．已知f(x)＝m(x －2m)(x ＋m ＋3)，g(x)＝2x －2.若同时满足条件：①∀x∈R，f(x)<0或g(x)<0；②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0，则m 的取值范围是________．答案(－4，－2)解析当x≥1时，g(x)≥0，∴要满足条件①，则f(x)<0在x≥1时恒成立，f(x)＝m(x －2m)(x ＋m ＋3)为二次函数，抛物线必须开口向下，即m<0.f(x)＝0的两根x1＝2m ，x2＝－m －3，且x1－x2＝3m ＋3.(ⅰ)当x1>x2，即－1<m<0时，必须大根x1＝2m<1，即m<12.∴此时－1<m<0； (ⅱ)当x1<x2，即m<－1时，大根x2＝－m －3<1，即m>－4.∴此时－4<m<－1；(ⅲ)当x1＝x2，即m ＝－1时，x1＝x2＝－2<1也满足条件．∴满足条件①的m 的取值范围为－4<m<0.满足条件②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0，必须满足二次函数的小根小于－4.(ⅰ)当m>－1时，小根x2＝－m－3<－4且m<0，无解．(ⅱ)当m<－1时，小根x1＝2m<－4且m<0，解得m<－2. (ⅲ)当m＝－1时，f(x)＝－(x＋2)2≤0恒成立，∴不满足②.∴满足①②的m的取值范围是－4<m<－2.。
高考试题解析第一章第3节充分条件、必要条件与命题的四种形式
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考点三 充分条件、必要条件的应用
典例迁移
【例3】 (经典母题)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若 x∈P是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围. 解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}. ∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P. ∴11－ ＋mm≥ ≤－ 102，，解得 m≤3. 又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0. 综上，m的取值范围是[0，3].
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2.(选修 1－1P23 练习引申改编)命题“若 α＝π4，则 tan α＝1”的逆否命题是( )
A.若 α≠π4，则 tan α≠1
B.若 α＝π4，则 tan α≠1
C.若 tan α≠1，则 α≠π4
D.若 tan α≠1，则 α＝π4
解析 命题“若 p，则 q”的逆否命题是“若綈 q，则綈 p”，所以该命题的逆否命
p是q的__充__分__不__必__要____条件
p⇒q且q p
p是q的__必__要__不__充__分____条件
p q且q⇒p
p是q的__充__要___条件 p是q的___既__不__充__分__也__不__必__要____条件
p⇔q p q且q p
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2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系
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【迁移探究2】 设p：P＝{x|x2－8x－20≤0}，q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，且 綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 解 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}. ∵綈p是綈q的必要不充分条件，p是q的充分不必要条件. ∴p⇒q且q p，即P S. ∴11－ ＋mm≤ >1－0 2，或11－ ＋mm<≥－102，， ∴m≥9，又因为S为非空集合， 所以1－m≤1＋m，解得m≥0， 综上，实数m的取值范围是[9，＋∞).
高考数学一轮 四种命题和充分、必要条件
第2课四种命题和充分、必要条件[最新考纲]1．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系图2-1(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇔q，那么p与q互为充分必要条件．(3)如果pD q，且qD p，则p是q的既不充分又不必要条件．3．集合与充分必要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充分必要条件．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()(2)命题“若p则q”的否命题是“若p，则非q”．()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．() [解析](1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的．(2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．(3)正确．q是p的必要条件说明p⇒q，所以p是q的充分条件．(4)正确．原命题与逆否命题是等价命题．[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是________．若tan α≠1，则α≠π4[“若p则q”的逆否命题是“若非q，则非p”，显然非q：tan α≠1，非p：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．]3．(2016·镇江期中)实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，则“ac＜0”是“该方程有实数根”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分又不必要”)充分不必要[一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根，则判别式Δ＝b2－4ac ≥0，即b2≥4ac.当ac＜0时，显然有b2≥4ac；但b2≥4ac未必推出ac＜0，故“ac＜0”是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根的充分不必要条件．] 4．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为________．2[原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个假命题．]5．(2017·南京三模)记不等式“x2＋x－6<0”的解集为集合A，函数y＝lg(x －a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．(－∞，－3][由x2＋x－6<0得－3<x<2，即A＝{x|－3<x<2}．由x－a>0得x>a，即B＝{x|x>a}．∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，∴A⊆B，∴a≤－3.]________．(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是________．(填序号)①真，假，真；②假，假，真；③真，真，假；④假，假，假．(1)若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数(2)②[(1)“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”．(2)由共轭复数的性质，原命题为真命题，因此其逆否命题也为真命题．当z1＝1＋2i，z2＝2＋i时，显然|z1|＝|z2|，但z1与z2不共轭，所以逆命题为假命题，从而它的否命题也为假命题．][规律方法] 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2．给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．3．由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假．[变式训练1](1)已知命题p：正数a的平方不等于0，命题q：若a不是正数，则它的平方等于0，则p是q的________．(填“逆命题”“否命题”“逆否命题”或“否定”)(2)给出以下四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；④若ab是正整数，则a，b都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)(1)否命题(2)①③[(1)把命题p可改成“若a是正数，则它的平方不等于0”，显然q是p的否命题．(2)①的逆命题为：若x，y互为相反数，则x＋y＝0，显然是真命题；②的否命题为：不全等的三角形的面积不相等，显然是假命题；③若x2＋x＋q＝0有实根，则Δ＝1－4q≥0，即q≤14.故当q≤－1时，方程x2＋x＋q＝0有实根是真命题，其逆否命题也是真命题；④是假命题，如a＝2，b＝12，则ab＝1.]000是f(x)的极值点，则p是q的________条件. 【导学号：62172006】(2)(2017·南通、扬州、泰州、淮安三调)给出下列三个命题：①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a＝0”是函数“f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件．其中真命题的序号为________．(1)必要不充分(2)③[(1)当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．(2)①∵y＝3x是单调递增函数，∴“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①错误；②由于α，β的范围不明确，故当α>β时无法判断“cos α，cos β”的大小关系．故②错误；③当a＝0时，f(x)＝x3是奇函数；反之由f(x)为奇函数可知a＝0，故③正确．][规律方法]充分条件、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．[变式训练2](2017·南昌调研)m＝－1是直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋9＝0垂直的________条件．充分不必要[由直线mx＋(2m－1)y＋1＝0与3x＋my＋9＝0垂直可知3m＋m(2m－1)＝0，∴m＝0或m＝－1，∴m＝－1是两直线垂直的充分不必要条件．]m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围. 【导学号：62172007】[解] 由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}．∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m ≤10，1－m ≤1＋m ，∴0≤m ≤3.综上可知，当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．[迁移探究1] 本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．[解] 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}．若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，即这样的m 不存在．[迁移探究2] 本例条件不变，若非P 是非S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．[解] 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}．∵非P 是非S 的必要不充分条件，∴P 是S 的充分不必要条件，∴P ⇒S 且SDP ， ∴[－2,10][1－m,1＋m ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＜－2，1＋m ≥10，∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．[规律方法] 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．[变式训练3] (1)(2017·徐州模拟)已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．(2)方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ∈R ，a 为常数)的解集只有一个负实根的充要条件是________．(1)(0,3) (2)a ≤0或a ＝1 [(1)令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0<x <4}．∵p 是q 的充分不必要条件，∴M N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋1<4，解得0<a <3. (2)当a ＝0时，原方程为2x ＋1＝0，∴原方程有一个负实根x ＝－12.当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1＝0只有一个负实根，∴方程有一个正根和一个负根或方程有两个相等的负根，当方程有一正一负根时，则x 1x 2＜0，∴1a ＜0，且Δ＝4－4a ＞0，解得a ＜0.当方程有两个相等的负根时，Δ＝4－4a ＝0，a ＝1，此时方程的根为－1，符合题意，综上，方程的解集只有一个负实根的充要条件是a ≤0或a ＝1.][思想与方法]1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．充分条件、必要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．(2)等价法：利用A⇒B与非B⇒非A；B⇒A与非A⇒非B；A⇔B与非B⇔非A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A B，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件．[易错与防范]1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式．3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分不必要条件是q”等语言的含义．课时分层训练(二)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0[根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．]2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的________条件．必要不充分[m⊂α，m∥βDα∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．]3．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的________条件．充分必要[因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充分必要条件．]4．已知a，b，c都是实数，则在命题“若a＞b，则ac2＞bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________.【导学号：62172008】2[由a＞bD ac2＞bc2，但ac2＞bc2⇒a＞b.所以原命题是假命题，它的逆命题是真命题．从而否命题是真命题，逆否命题是假命题．]5．“m＜14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件.【导学号：62172009】充分不必要[x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤14，因为m＜14⇒m≤14，反之不成立．故“m＜14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件．]6．给出下列命题：①“若a2<b2，则a<b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中为真命题的是________．(填序号)③④ [对于①，否命题为“若a 2≥b 2，则a ≥b ”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a >1时，Δ＝－12a <0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故命题③④为真命题．]7．(2017·金陵中学期中)设a ，b ∈R ，则“a ＋b >4”是“a >2且b >2”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)必要不充分 [当a >2且b >2时，a ＋b >4.但当a ＝1，b ＝6时，有a ＋b ＝7>4，故“a ＋b >4”是“a >2且b >2”的必要不充分条件．]8．“sin α＝cos α”是cos 2α＝0的________条件．充分不必要 [∵cos 2α＝cos 2α－sin 2α，∴若sin α＝cos α，则cos 2α＝0，反之不一定，如当cos α＝－sin α时也成立．]9．命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是________.【导学号：62172010】若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0 [“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是“若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0”．]10．若x ＜m －1或x ＞m ＋1是x 2－2x －3＞0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．[0,2] [由已知易得{x |x 2－2x －3＞0}{x |x ＜m －1或x ＞m ＋1}，又{x |x 2－2x －3＞0}＝{x |x ＜－1或x ＞3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m －1，m ＋1＜3或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2.] 二、解答题11．已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论．(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．[解] (1)否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．该命题是真命题，证明如下：因为a ＋b <0，所以a <－b ，b <－a .又因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．所以f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )，因此f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，所以否命题为真命题．(2)逆否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，则a ＋b <0.该命题是真命题，证明如下：因为a ＋b ≥0，所以a ≥－b ，b ≥－a ，因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，所以f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．12．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围. 【导学号：62172011】[解] y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ 716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·南通第一次学情检测)对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|F (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的________条件．(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”，“既不充分又不必要”)必要不充分 [“y ＝f (x )是奇函数”，则y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称；反之若f (x )＝x 2，则y ＝|x 2|的图象关于y 轴对称，但y ＝f (x )是偶函数．]2．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＜0}，集合B ＝{x ||x ＋a |＜1}，设命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．[0,2] [因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集． 又集合A ＝(－3,1)，B ＝(－a －1，－a ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1≥－3，－a ＋1＜1或⎩⎪⎨⎪⎧－a －1＞－3，－a ＋1≤1，解得0≤a ≤2，即实数a 的取值范围是0≤a ≤2.]3．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充分必要条件是a ＋b＋c＝0.[证明]必要性：若方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，则x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，∴a＋b＋c＝0.充分性：若a＋b＋c＝0，则b＝－a－c，∴ax2＋bx＋c＝0可化为ax2－(a＋c)x＋c＝0，∴(ax－c)(x－1)＝0，∴当x＝1时，ax2＋bx＋c＝0，∴x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．综上，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充分必要条件是a＋b ＋c＝0.4．(2017·南通第一次学情检测)已知c>0，设p：函数y＝c x在R上递减；q：函数f(x)＝x2－c2的最小值不大于－116.如果p，q均为真命题，求实数c的取值范围．[解]因为c>0，p：函数y＝c x在R上递减，所以p为真时，0<c<1；q为真时，－c2≤－1 16，所以c≤－14或c≥14，因为c>0，所以c≥1 4.因为p ，q 均为真命题，所以⎩⎨⎧ 0<c <1，c ≥14，解得14≤c <1，所以，实数c 的取值范围为14≤c <1.。
2.3 热点题型二 四种命题、充分条件与必要条件-2017年高考数学(理)热点+题型全突破含解析
热点题型二四种命题、充分条件与必要条件考点一四种命题的关系及其真假判断【基础知识梳理】1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
1.四种命题命题表述形式原命题若p,则q逆命题若q，则p否命题若p⌝,则q⌝逆否命题若q⌝，则p⌝3.四种命题之间的逆否关系4。
四种命题之间的真假关系（1）两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.【特别提醒】等价命题和等价转化(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假；(3）当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．【典例精析】【典例1】【2017届四川成都市高三理一诊】命题“若+>+”的否命题是（）．>，则a c b ca bA．若a b≤，则a c b c+≤+，则a b≤+≤+B．若a c b cC．若a c b c+≤+ +>+,则a b>D．若a b>，则a c b c 【答案】A【解析】试题分析:“若p则q”的否命题是“若p⌝则q⌝"，所以原命题的否命题是“若b≤+",故选A.a+cba≤,则c考点：四种命题【典例2】【2014·陕西卷】原命题为“若12,z z互为共轭复数，则12=”，关于逆命题,否命题，逆否命题真假z z性的判断依次如下,正确的是（）A.真，假，真B.假，假，真C。
真，真,假D.假,假，假【答案】B【解题技巧与方法总结】1.四种命题反映出命题之间的内在联系,要注意结合实际问题，理解其关系(尤其是两种等价关系)的产生过程,关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题；（2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题;（3)交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式 1.3.1 推出与充分条
1.3.1 推出与充分条件、必要条件
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1．推出
“如果p，则(那么)q”形式的命题，其中p，q分别表示研究对象所具有的性质．p称做命题的条件，q称做命题的结论．
当命题“如果p，则q”经过推理证明断定是真命题时，我们就说，由p成立可推出q 成立，记作p q，读作“p推出q”．
思考1推出是否具有传递性？
提示：推出具有传递性．若p q，且q r，则p r.
2．充分条件、必要条件
如果由p可推出q，我们称p是q的充分条件；q是p的必要条件．
思考2若p是q的充分条件，那么p是唯一的吗？
提示：不唯一，如x＞3是x＞0的充分条件，而x＞5，x＞10等也是x＞0的充分条件．思考3p是q的充分条件与q是p的必要条件有怎样的关系？
提示：p是q的充分条件反映了p q，而q是p的必要条件也反映了p q，所以p 是q的充分条件与q是p的必要条件表达的是同一个逻辑关系，只是说法不同．3．充要条件
思考4如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？
提示：(1)充分条件：说条件是充分的，也就是说条件是足以保证结论成立的．例如，说“x＞8”是“x＞6”的一个充分条件，就是说“x＞8”这个条件，足以保证“x＞6”成立．
(2)必要条件：说条件是必要的，就是说该条件必须要有，必不可少．例如，如果x＞6，那么x可能大于8，也可能不大于8；但如果x不大于6，那么x不可能大于8.因此要使x
＞8必须要有x＞6这个条件．必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行．。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式 1.3.1 推出与充分条
1.3.1 推出与充分条件、必要条件课堂探究探究一充分条件、必要条件的判断要判断p是q的充分条件、必要条件首先应分清条件p和结论q，然后按下面的一般步骤进行判断．(1)判定“若p，则q”的真假．(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．【典型例题1】在下列各题中，判断p是q的什么条件．(1)p：x－2＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：m＜－2，q：方程x2－x－m＝0无实根；(3)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等．思路分析：解决此类问题就是要判定命题“如果p，则q”和命题“如果q，则p”的真假．解：(1)因为x－2＝0 (x－2)(x－3)＝0，而(x－2)(x－3)＝0x－2＝0，所以p是q的充分不必要条件．(2)因为m＜－2方程x2－x－m＝0无实根，而方程x2－x－m＝0无实根m＜－2，所以p是q的充分不必要条件．(3)因为p q，而q p，所以p是q的充分不必要条件．探究二利用充分条件、必要条件求参数的范围解答有关利用充分条件、必要条件求参数范围问题的关键是将充分条件、必要条件等价转化为集合之间的关系，利用集合之间的包含关系来解决．【典型例题2】已知p：x2－8x－20＜0，q：x2－2x＋1－m2＜0(m＞0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．思路分析：根据q是p的充分不必要条件，找出p和q对应的集合间的关系，列出不等式组，求出m的范围．解：令命题p对应的集合为A，命题q对应的集合为B，由x 2－8x －20＜0，得(x －10)(x ＋2)＜0，解得－2＜x ＜10，所以A ＝{x |－2＜x ＜10}．又由x 2－2x ＋1－m 2＜0，得[x －(1＋m )][x －(1－m )]＜0，因为m ＞0，所以1－m ＜x ＜1＋m ，所以B ＝{x |1－m ＜x ＜1＋m ，m ＞0}．因为q 是p 的充分不必要条件，所以B A .所以⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，且两等号不能同时成立．解得0＜m ≤3. 经检验知m ＝3时符合题意．所以m 的取值范围是(0,3]．规律小结 用集合的观点理解充分条件、必要条件和充要条件：首先建立与p ，q 相对应的集合，即p ：A ＝{x |p (x )}，q ：B ＝{x |q (x )}. 若AB ，则p 是q 的充分条件，若A B ，则p 是q 的充分不必要条件若BA ，则p 是q 的必要条件，若B A ，则p 是q 的必要不充分条件若A ＝B ，则p ，q 互为充要条件若A B ，B A ，则p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件要证明一个条件p 是否是q 的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p ，则q ”为真且“若q ，则p ”为真．在证明的过程中也可以利用集合的思想来证明，证明p 与q 的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．而要探求一个命题成立的充要条件一般有两种处理方法：(1)先由结论成立推出命题成立的必要条件，然后再证明其充分性；(2)等价性：将一个命题等价转化为另一个命题，列出使该命题成立的充要条件．【典型例题3】 已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0. 思路分析：(1)证明题的步骤一定要规范严谨；(2)分清题目的条件与结论． 证明：先证必要性：因为a ＋b ＝1，即b ＝1－a ，所以a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝a 3＋1－3a ＋3a 2－a 3＋a －a 2－a 2－1＋2a －a 2＝0.再证充分性：因为a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，即(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝0，所以(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.由ab ≠0，即a ≠0，且b ≠0，所以a 2－ab ＋b 2≠0，只有a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.【典型例题4】 求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． 思路分析：结合一元二次方程的判别式，利用韦达定理列出不等式组求解． 解：①a ＝0时，方程有一个负实根．②a ≠0时，显然方程没有零根．若方程有两个异号的实根，则a ＜0；若方程有两个负实根，则 ⎩⎪⎨⎪⎧1a>0，－2a <0，Δ＝4－4a ≥0，解得0＜a ≤1. 综上知：若方程至少有一个负实根，则a ≤1；反之， 若a ≤1，则方程至少有一个负实根． 因此，关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1. 点评 若令f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由f (0)＝1≠0，可排除方程一个根为负根，另一根为0的情形，并要注意，不能忽视对a ＝0的特殊情况进行讨论．探究四 易错辨析易错点 充分条件、必要条件与集合关系的转化不等价【典型例题5】 已知p ：A ＝{x |x 2－5x －6＜0}，q ：B ＝{x |－1＜x ＜2a }，且p 是q 的充分条件，求a 的取值范围．错解：由x 2－5x －6＜0，得－1＜x ＜6.因为p是q的充分条件，故2a＞6，即a＞3.所以a的取值范围为a＞3.错因分析：“p是q的充分条件A B”，而错解用了“p是q的充分条件A B”，导致丢掉等号的错误．正解：由x2－5x－6＜0，得－1＜x＜6，因为p是q的充分条件，即A B，故2a≥6，即a≥3，所以a的取值范围为a≥3.。
高考数学充分条件与必要条件的辅导资料
≠ 充分条件与必要条件的辅导资料一．命题“若p 则q ”为真，记作p ⇒q ；“若p 则q ”为假，记作“p ⇒q ”.二．充分与必要条件： ①如果已知p ⇒q ，则称p 是q 的充分条件，而q 是p 的必要条件.②如果既有p ⇒q ，又有q ⇒q ，即p ⇔q,则称p 是q 的充要条件.三．充分、必要条件与四种命题的关系：①如果p 是q 的充分条件，则原命题“若p 则q ”以及逆否命题“若 p 则 q ”都是真命题. ②如果p 是q 的必要条件，则逆命题“若q 则p ”以及否命题“若 p 则 q ”为真命题. ③如果p 是q 的充要条件，则四种命题均为真命题。
四. 充要条件的判断方法：四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：⑴确定条件是什么，结论是什么；⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法）；⑶确定条件是结论的什么条件.注意：充要条件是数学学习中十分重要的内容，应用很广泛，解决充要条件问题可以从下面两个方面入手，1．直接推埋：由条件p 出发进行推理，然后由结论q 出发进行推理.①若p ⇒q ，而q ⇒p ，则p 是q 的充分但不必要条件，而q 是p 的必要但不充分条件.②若p ⇒q ，而q ⇒p ，则p 是q 的充要条件（q 也是p 的充要条件）.③若p ⇒q ，而q ⇒p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.例如，“x>2”是“x>1”的充分而不必要的条件；“x>1”是“x>2”的必要而不充分的条件；“x>0 ,y>0”是“x+y<0”的既不充分也不必要的条件.2．从集合思想考虑：如果条件p 与结论q 很容易用集合来描述，则从集合思想考虑比较简单.设P={p}, Q={q},①若P q ，则p 是q 的充分但不必要条件，而q 是p 的必要但不充分条件.②若P=Q ，则p 是q 的充要条件（q 也是p 的充要条件）.③若P Q 且Q P ， 则p 是q 的既不充分也不必要条件知识点一：判断p 是q 的什么条件例：判断下述p 是q 的什么条件：（1）p ：x>5 q ：x ≥5 ；（2）p ：;2cos 2sin :,sin 1a q a =+=+θθθ（3）p ：D 2=4F q ：圆x 2+y 2+Dx +Ey +F=0与x 轴相切；（4）p ：多面体是正四棱柱，q ：多面体是长方体；（5）p ：△ABC 中，acosB=bcosA , q ：△ABC 为等腰三角形.例：判断p ：2x ≠或3y ≠是q ：5x y +≠的什么条件？启示：对于涉及充分必要条件判断时，必须准确地理解充分条件、必要条件的概念为基础，命题不易直接判断时可转化命题的形式，利用命题的等价性加以判断。
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专题03 充分条件、必要条件与命题的四种形式（押题专练）
2017年高考数学（理）一轮复习精品资料
1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A ．任意一个有理数，它的平方是有理数
B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C ．存在一个有理数，它的平方是有理数
D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数
答案 B
解析 根据特称命题的否定是全称命题即可解答．“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．
2．若p ：∀x∈R，s inx≤1，则( )
A ．綈p ：∃x∈R，sinx>1
B ．綈p ：∀x∈R，sinx>1
C ．綈p ：∃x∈R，sinx≥1
D ．綈p ：∀x∈R，sinx≥1
答案 A
解析 由于命题p 是全称命题，对于含有一个量词的全称命题p ：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p ：∃x∈M，綈p (x)，故应选A.
3．下列命题中是假命题的是( )
A ．∀x∈(0，π2
)，x>sinx B ．∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝2 C ．∀x∈R，3x>0 D ．∃x0∈R，lgx0＝0
答案 B
4．命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是( )
A ．所有奇数的立方都不是奇数
B ．不存在一个奇数，它的立方是偶数
C ．存在一个奇数，它的立方是偶数
D ．不存在一个奇数，它的立方是奇数
答案 C
解析 全称命题的否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方是偶数”．
5．已知命题p ：∀x∈R，2x<3x ；命题q ：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
A ．p∧q
B ．p∧(綈q)
C ．(綈p)∧q
D ．(綈p)∧(綈q)
答案 C
解析 对命题p ，令x ＝0，则2x ＝20＝1，3x ＝30＝1，故命题p 是假命题；对于命题q ，令f(x)＝x3＋x2－1，则函数f(x)的图像在R 上连续，由于f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，由零点存在定理知，存在c∈(0，1)，使得f(c)＝0，所以命题q 是真命题，因此复合命题(綈p)∧q 是真命题．
6．命题p ：∃α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β；命题綈q ：∀x∈R，x2＋x ＋1≥0.则下列命题中真命题为( )
A ．p∧q
B ．p∧(綈q)
C ．(綈p)∧(綈q)
D ．(綈p)∧q
答案 B
7．命题“∀x∈R，(13
)x>0”的否定是( ) A ．∃x0∈R，(13)x0<0 B ．∀x0∈R，(13
)x≤0 C ．∀x0∈R，(13
)x<0 D ．∃x0∈R，(13
)x0≤0 答案 D
解析 全称命题“∀x∈R，(13
)x>0”的否定是把量词 “∀”改为“∃”，并把结论进行否定，即把“>”改为“≤”．故选D.
8．已知命题p ：抛物线y ＝2x2的准线方程是y ＝－12
，命题q ：若函数f(x ＋1)为偶函数，则f(x)的图像关于x ＝1对称，则下列命题是真命题的是( )
A ．p∧q B． p∧(綈q)
C ．(綈p)∧(綈q)
D ．p∨q
答案 D
9．下列命题中的假命题是( )
A ．∀x∈R，2x －1>0
B ．∀x∈N*，(x －1)2>0
C ．∃x∈R，lnx<1
D ．∃x∈R，tanx ＝2
答案 B
解析 因为当x ＝1时，(x －1)2＝0，所以B 为假命题，故选B.
11．若命题p 的否定是“对所有正数x ，x>x ＋1”，则命题p 是________．
答案 ∃x0∈(0，＋∞)，x0≤x0＋1
解析 因为p 是綈p 的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可．
12．已知命题“∀x∈R，sinx －a≥0”是真命题，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1]
解析 由题意，对∀x∈R，a≤sinx 成立．由于对∀x∈R，－1≤sinx≤1，所以a≤－1.
13．若命题“∃x0∈R，x02＋(a －1)x0＋1≤0”为假命题，则实数a 的取值范围为________．
答案 (－1，3)
解析 由“∃x0∈R，x02＋(a －1)x0＋1≤0”为假命题，得“∀x∈R，x2＋(a －1)x ＋1>0”为真命题，所以Δ＝(a －1)2－4<0，解得－1<a<3，所以a 的取值范围为(－1，3)．
14．已知命题p ：∃x∈，cos2x ＋cosx －m ＝0为真命题，则实数m 的取值范围是________．
答案
解析 令f(x)＝cos2x ＋cosx ＝2cos2x ＋cosx －1＝2(cosx ＋14)2－98，由于x∈，所以
cosx∈．于是f(x)∈，因此实数m 的取值范围是．
15．已知命题p ：“∀x∈，12x2－lnx －a≥0”与命题q ：“∃x∈R，x2＋2ax －8－6a ＝0”
都是真命题，求实数a 的取值范围．
答案 (－∞，－4]∪
16．设命题p ：c2<c 和命题q ：∀x∈R，x2＋4cx ＋1>0.若p 和q 有且仅有一个成立，求实数c 的取值范围．
答案 (－12，0]∪[12
，1) 解析 p ：由c2<c ，得0<c<1；
q ：由Δ＝16c2－4<0，得－12<c<12
. 要使p 和q 有且仅有一个成立，则
实数c 的取值范围为(－12，0]∪[12
，1)． 17．已知p ：“对任意的x∈，log2x －a≥0”，q ：“存在x∈R，x2＋2ax ＋2－a ＝0”．若p ，q 均为命题，而且“p 且q”是真命题，求实数a 的取值范围．
答案 a≤－2或a ＝1
解析 p ：a≤1，q ： 4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1.因为p 且q 是真命题，所以a≤－2或a ＝1.。