考研数学三概率论讲义第十八讲
考研数学概率统计讲义
设售出一台设备的净赢利为
a( X
)
100, 200,
X 1, 0 X 1.
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概率论与数理统计
故售出一台设备的净赢利的数学期望为
E[a(X )] a(x) f (x)dx
1
(200)
1 4
e
x 4
dx
100
1 4
e
x 4
dx
0
1
200e
x 4
|10
100e
x 4
|1
Z X 2 Y 2 的数学期望.
解 E(Z ) x2 y2 f (x, y)dxdy
x2 y2
1
x2 y2
e 2 dxdy
2
2
0
0
r
1
2
r2
e2
rdr d
2
例6 五个独立元件,寿命分别为X1, X 2, , X5,
都服从参数为 的指数分布，若将它们
(1) 串联； (2) 并联 成整机，求整机寿命的均值.
求E(X)。 0,
其它.
分段函
〖解〗这是连续型随机数变的量积。由数学期望定义得：
分
1500
3000
E(X ) xf (x)dx
x2 15002
dx
dx x (3000 x ) 15002
0
1500
1500 (分□)
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概率论与数理统计
例4 X ~ N ( , 2 ), 求 E ( X ) .
2
k pk .
k 0
这表明:随着试验次数增大,随机变量X的观察值的算
术平均 2 k ak 接近于
k0 N
概率论与数理统计强化讲义_数三_
概率论与数理统计 强化讲义 （数三）
考研帮课堂配套电子讲义—概率论与数理统计
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I 0.94 II Cn2 0.94 0.06 III 1 0.94
B 发生 A 不发生的概率相等，求 A 发生的概率.
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考研帮课堂配套电子讲义—概率论与数理统计
【答案】
2 3
1 1 1 , P B A , P A B ,则 P A B ___ 4 3 2
例 8. P ( A ) 【答案】
1 3
题型二 三大概型
方法点拨： 三大概型是指古典概型、几何概型、伯努利概型。古典概型就是常说的排列组合 问题，考的少，几何概型注意体积、面积的计算，伯努利概型，需要注意一下“至 多”和“至少”的问题。 例 1.在区间 -1,1 之间任取两个数 X，Y 则二次方程 t 2 Xt Y 0 有两个正根的 概率为 ___ 【答案】
P max X , Y 0 =___
3 4 , P X 0 P Y 0 , 则 7 7
【答案】
5 7
设 A,B,C 是 随 机 事 件 ， 且
《数三考研大纲》课件
02
03
练习真题
通过练习历年真题，了解 考试形式和难度，同时提 高解题能力。
总结错题
对于做错的题目，要认真 总结原因，并加强相关内 容的复习。
举一反三
对于经典题目，尝试从不 同角度思考解题方法，培 养灵活运用知识的能力。
关注考试动态，调整备考策略
关注考试大纲变化
及时关注考试大纲的变化，调整复习重点和方 向。
THANKS
感谢观看
特点
考研数学三注重对基本概念、基本理论和基本方法的掌握，同时要求考生能够 灵活运用所学知识解决实际问题。此外，考研数学三还注重考查考生的逻辑思 维能力和数学表达能力。
02
CATALOGUE
考研数学三的考点分析
高等数学部分
函数、极限、连续
掌握函数的性质、极限的定义及性质、无穷 小量与阶的比较等。
一元函数微分学
特征值与特征向量
理解矩阵的特征值与特征向量的概念及求法。
线性变换与矩阵
理解线性变换的概念，掌握相似矩阵的求法。
概率论与数理统计部分
随机事件与概率
理解随机事件、概率的定义及性质，掌握概 率的计算方法。
随机变量及其分布
理解随机变量的概念，掌握常见随机变量的 分布及计算方法。
多维随机变量及其分布
理解多维随机变量的概念及联合概率分布。
理解导数的定义及几何意义，掌握求导法则 及一元函数微分学的应用。
一元函数积分学
理解积分的定义及几何意义，掌握积分的基 本性质及计算方法。
常微分方程
理解微分方程的基本概念，掌握一阶常微分 方程的解法。
线性代数部分
行列式与矩阵
理解行列式的性质及计算方法，掌握矩阵的运算及逆矩阵的求法。
考研概率强化讲义(全题目)资料
考研概率与数理统计第一章 随机事件和概率第一节 基本概念例题例1．1：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，没有平局，试问总共输的场次是多少？例1．2：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？例1．3：到美利坚去，先乘飞机，后坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？例1．4：10人中有6人是男性，问组成4人组，三男一女的组合数。
例1．5：两线段MN 和PQ 不相交，线段MN 上有6个点A 1，A 2…，A 6，线段PQ 上有7 个点B 1，B 2，…，B 7。
若将每一个A i 和每一个B j 连成不作延长的线段A i B j (i=1,2,…6;j=1,2,…,7),则由这些线段 A i B j 相交而得到的交点最多有A ． 315个B ． 316个C ． 317个D ． 318个例1．6：3封不同的信，有4个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？例1．7：某市共有10000辆自行车，其牌照号码从00001到10000，求有数字8的牌照号码的个数。
例1．8：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的种数？（有序）151513=∙C C 2112121515=∙-∙C C C C例1．9：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的种数？（有序）121413=∙C C 1811121415=∙-∙C C C C例1．10：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的种数？（无序）121413=∙C C 92225=-C C 例1．11：化简 (A+B)(A+B )(A +B)例1．12：)()()(C B C A C B A = 成立的充分条件为： (1)C A ⊂ (2) C B ⊂例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的概率？例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的概率？例1．15：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的概率？例1．16：袋中装有α个白球及β个黑球。
考研数学概率论浙大内部课件(盛骤)
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。 等可能概型(或古典概型) 等可能概型
22
例1：一袋中有8个球，编号为1－8，其中1－3 号为红球，4－8号为黄球，设摸到每一 球的可能性相等，从中随机摸一球， 记A={ 摸到红球 }，求P(A)． 解： S={1,2,…,8} A={1,2,3}
⇒ P ( A) = 3 8
i =1 i =1 k k
称P(A)为事件A的概率 概率。 概率
20
P( A) = 0不能 ⇒ A = ∅；
性质：
1 P ( A) = 1 − P ( A )
P( A) = 1不能 ⇒ A = S；
∵ A ∪ A = S ⇒ P( A) + P( A) = 1 ⇒ P(∅) = 0
2 若A ⊂ B，则有 P ( B − A) = P ( B ) − P ( A) ⇒ P ( B ) ≥ P ( A)
⇒B⊃ A
13
事件的运算
A与B的和事件，记为 A ∪ B
A ∪ B = { x | x ∈ A 或 x ∈ B }：A与B至少有一发生。
S A B
A与B的积事件，记为 A ∩ B , A ⋅ B , AB A ∩ B = { x | x ∈ A 且 x ∈ B }：A与B同时发生。
n
S A B
∪
i =1 n
又 ∵ B ⊃ AB，由2。 知P ( B − AB ) = P ( B ) − P ( AB )
⇒ P ( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( AB)
#3 的推广：
。
P(∪ Ai ) = ∑ P( Ai ) −
i =1 i =1
n
n
1≤i < j ≤ n
高昆轮老师《张宇考研数学18讲》专题(上篇)18讲精讲讲解
一、函数、极限、连续主要内容：极限的定义与性质，求极限（函数极限、数列极限），无穷小的比较，间断点及其类型.1.函数极限（洛必达法则、等价无穷小代换、泰勒公式）加减运算中等价原则：111111111111,,lim1,,,lim 1,αααββαβαββαααββαβαββ≠-≠-++ 则-则常用的等价代换:()(33332201111sin ,arcsin ,tan ,arctan ,sin arcsin (6633)1ln 1,ln ,1cos .22x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αα→--------+-时1,l n 1x x x →- 时 例1 求极限sin lim xx x x x I +→-= 1()6（改1000题数一1.32（17），数二1.65，数三1.43（22））例2 （类1000题数一1.58，数二1.108，数三1.75）()()()()()()2ln 1(),0(),01,0,0,0.1,02x xf x x x f x g x g f f f x +-⎧≠⎪⎪''''==⎨⎪=⎪⎩设具有二阶连续导若求数，()()()401,01,03f f f ⎛⎫'''==-=- ⎪⎝⎭例3设()22lim 1x x x bx e -→+∞⎤+=⎥⎦，试确定,a b 的值 ()2,1a b =-=例4 ()()()1tan sin 20,0lim ,0+x xx xx e x f x f t dtx x --∞→⎧≤=⎨>⎩⎰设，求极限 23e ⎛⎫⎪⎝⎭2.数列极限（夹逼准则、定积分定义、单调有界准则）例5 22212lim 111n n n n n →∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12()e例6 求极限2sin sin sin lim 1112n n n n n n n πππ→∞⎛⎫ ⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝⎭ 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ （1000题数一1.55，数二1.105，数三1.72）例7 设()()()ln 2,,2f x x x x =+-∈-∞，()1求()f x 在(),2-∞上的最大值，()2若()11ln2,,1,2,n n x x f x n +=== ，求lim n n x →∞()()()111,2lim1n n f x →∞==最大值二、一元函数微分学主要内容：导数的定义，求各类函数的导数（复合函数、隐函数、参数方程、分段函数、高阶导数），性态（单调性、极值与最值、凹凸性与拐点），方程的根，不等式的证明，微分中值定理的证明题.例 设()()()limx af x f x x a x a x a→==-在处连续且存在,则在处()()()()()()()()()()()()()0,00.A f x f xB f x f xC f x f aD f x f x f a '='不可导，但可导不可导，且也不可导可导，且可导，但对不同的可以为也可以不为 1.方程的根例1 证明方程221x x =+有且仅有三个根例2 试求方程()20xe axa =>为常数的根的个数（1000题数二2.122，数三2.110）2.不等式的证明例3()()224201tan 2tanlim nn nn k x x x x x x →∞=≤-≤=∑证明:充分小时，不等式0设求例4 《18讲例题5.11》3.微分中值定理证明例5()[]()[]()()100,1010,12 2.=f x f f f x dx ξξ'∃∈=-⎰设在上有连续的导数，且，证明：使得例6 （1000题数一2.96，数二2.117，数三2.105）()[]()()()()()()222,2100 4.2,20.f x f x f f f f ξξξ'-≤+=⎡⎤⎣⎦''∃-+=设函数在上二阶可导，且，又试证：使得例7（18讲例题4.10的推广）()[]()()()()()()0,10,100,11,,00,1.f x f f m M m Mm M f f ξηξη==>∃∈+=+''设在上连续，在上可导，对任意的，证明：不同的,使得三、一元函数积分学主要内容：不定积分、定积分与反常积分（基本方法、特色方法、判敛），变限积分函数性质（连续性、可导性、奇偶性），定积分的应用，定积分等式与不等式的证明.1.不定积分、定积分、反常积分 例120xe dx ⎡⎤=⎣⎦⎰例2 22202cos sin xt x e dt xdx ππ--⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰例3 3111arccos dx x x+∞⎰例4 ()()()20011dxx x αα+∞≥++⎰2.变限积分函数（略）3.定积分有关的等式、不等式的证明题例5()()[][]()()()()()()()()()20,,,0,1,sin 210.bba a f x g x ab a b g x a b f x g x dx f g x dx xdx xπξξ≥∈=>⎰⎰⎰设在上连续，又在区间上证明至少存在一点使利用的结论证明（18讲例8.2）例6.（1000题数一3.137，数二3.175，数三3.153）利用柯西积分不等式()()()()222b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰，证明：()()()2222bbaab a fx dx f x dx -'≤⎡⎤⎣⎦⎰⎰，其中()[](),0.f x a b f a =在上有一阶连续导数，例6’.()[]()()()()()()22,0,1,cos sin 1,.babbaaf x a b f x f x dx f x kxdx f x kxdxk ≥=+≤⎰⎰⎰若在上连续，且证明：这里是任意实数例7《18讲例题8.12》。
考研数学概率论辅导讲义
考研数学概率论辅导讲义主讲：马超第二章 随机变量及其分布第一节 基本概念1、概念网络图⎭⎬⎫⎩⎨⎧-→⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<→⎭⎬⎫⎩⎨⎧)()()()(a F b F A P b X a A X 随机事件随机变量基本事件ωω→≤=)()(x X P x F 分布函数： 函数分布正态分布指数分布均匀分布连续型几何分布超几何分布泊松分布二项分布分布离散型八大分布→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-102、重要公式和结论例2．1：4黑球，2白球，每次取一个，不放回，直到取到黑为止，令X(ω)为“取白球的数”，求X 的分布律。
例2．2：给出随机变量X 的取值及其对应的概率如下：,31,,31,31,,,2,1|2k k PX ， 判断它是否为随机变量X 的分布律。
例2．3：设离散随机变量X 的分布列为214181812,1,0,1，，，-P X ，求X 的分布函数，并求)21(≤X P ，)231(≤<X P ，)231(≤≤X P 。
例2．4： )()(21x f x f +是概率密度函数的充分条件是： （1）)(),(21x f x f 均为概率密度函数 （2）1)()(021≤+≤x f x f例2．5：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中先后取a+b 个球（放回），试求其中含a 个白球，b 个黑球的概率（a ≤α，b ≤β）。
例2．6：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，若独立地射击5000次，试求射中的次数不少于两次的概率，用泊松分布来近似计算。
例2．7：设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布，已知该时段内没有汽车通过的概率为0.05，则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率约为多少？例2．8：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中任取a+b 个球，试求其中含a 个白球，b 个黑球的概率（a ≤α，b ≤β）。
考研数学三(概率统计)-试卷18.doc
考研数学三（概率统计）-试卷18(总分：80.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________2.设X为随机变量，E(X)=μ，D(X)=σ2，则对任意常数C有( )．（分数：2.00）A.EE(X—C)] 2 =E(X一μ)] 2B.E[(X—C)] 2≥[E(X一μ)] 2C.EE(X—C)] 2 =E(X 2 )一C 2D.EE(X—C) 2 ]＜E[(X—μ) 2 ]3.设X，Y为两个随机变量，若E(XY)=E(X)E(Y)，则( )．（分数：2.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.X，Y独立D.X，Y不独立4.设X，Y为两个随机变量，若对任意非零常数a，b有D(aX+6Y)=D(aX—bY)，下列结论正确的是( )．（分数：2.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.X，Y不相关C.X，Y独立D.X，Y不独立5.设X，Y为随机变量，若E(XY)=E(X)E(Y)，则( )．（分数：2.00）A.X，Y独立B.X，Y不独立C.X，Y相关D.X，Y不相关6.若E(XY)=E(X)E(Y)，则( )．（分数：2.00）A.X和Y相互独立B.X 2与Y 2相互独立C.D(XY)=D(X)D(Y) tD.D(X+Y)=D(X)+D(Y)7.设随机变量X～U[0，2]，Y=X 2，则X，Y( )．（分数：2.00）A.相关且相互独立B.不相互独立但不相关C.不相关且相互独立D.相关但不相互独立．二、填空题(总题数：18，分数：36.00)8.随机变量X 2.00）填空项1:__________________9.从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且遇到2.00）填空项1:__________________10.设随机变量X～B(n，p)，且E(X)=5，E(X 2 2.00）填空项1:__________________填空项1:__________________11.随机变量X的密度函数为f(x)=ke —｜x｜ (一∞＜x＜+∞)，则E(X 2 )= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________12.设X表示12次独立重复射击击中目标的次数，每次击中目标的概率为0．5，则E(X 2 )= 1。
数三概率论与数理统计教学大纲
数三《概率论与数理统计》教学大纲教材：四川大学数学学院邹述超、何腊梅：《概率论与数理统计》，高等教育出版社出，2002年8月。
参考书：袁荫棠：《概率论与数理统计》（修订本），中国人民大学出版社。
四川大学数学学院概率统计教研室：《概率论与数理统计学习指导》总学时：60学时，其中：讲课50学时，习题课10学时。
学分：3学分。
说明：1.生源结构：数三的学生是由高考文科生和一部分高考理科生构成。
有些专业全是文科生或含极少部分理科生（如：旅游管理，行政管理），有些专业约占1/4～1/3的理科生（国贸，财政学，经济学），有些专业全是理科生（如：国民经济管理，金融学）。
2.高中已讲的内容：高中文、理科都讲了随机事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率，即教材第一章除条件概率以及有关的内容以外，其余内容高中都讲了。
高中理科已讲离散型随机变量的概率分布（包括二项分布、几何分布）和离散型随机变量的期望与方差，统计基本概念、频率直方图、正态分布、线性回归。
而高中文科则只讲了一点统计基本概念、频率直方图、样本均值和样本方差的简单计算。
3.基本要求：学生的数学基础差异大，不同专业学生对数学课重视程度的差异大，这就给讲授这门课带来一定的难度，但要尽量做到“分层次”培养学生。
高中没学过的内容要重点讲解，学过的内容也要适当复习或适当增加深度。
讲课时，既要照顾数学基础差的学生，多举基本例子，使他们掌握大纲要求的基本概念和方法；也要照顾数学基础好的学生，使他们会做一些综合题以及简单证明题。
因为有些专业还要开设相关的后继课程（如：计量经济学），将用到较多的概率统计知识；还有一部分学生要考研，数三的概率考研题往往比数一的难。
该教材每一章的前几节是讲述基本概念和方法，习题(A)是针对基本方法的训练而编写的，因此，这一部分内容须重点讲解，并要求学生必须掌握；每一章的最后一节是综合例题，习题(B)具有一定的综合性和难度，可以选讲部分例题，数学基础好的学生可选做(B)题。
概率统计数学三考研大纲
概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件和样本空间（基本事件空间）事件的关系与运算完全事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式时间的独立性独立重复试验考试要求1.了解样本空间的概念，理解随即事件的概念，掌握事件间的关系及运算.2.理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典概型和几何概型。
掌握计算概率的加法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯公式等基本公式。
3.理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念二、随机变量及其概率分布考试内容随机变量及其概率分布随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的概率分布随机变量函数的概率分布考试要求1.理解随机变量及其概率分布的概念；理解分布函数的概念及性质；会计算与随机变量相关联的事件的概率2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0—1分布、二项分布、超几何分布、泊松分布及其应用.3.掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用.5.会根据自变量的概率分布求简单函数的概率分布三、随机变量的联合概率分布考试内容随机变量联合分布函数离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布和条件分布连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度随机变量的独立性和相关性常见二维随机变量的联合分布两个及两个以上随机变量的函数的概率分布考试要求1.理解随机变量的联合分布函数的概念和基本性质.2.理解随机变量的联合分布的概念、性质及其两种基本表达形式：离散型联合概率分布和连续型联合概率密度.掌握两个随机变量的联合分布的边缘分布和条件分布.3.理解随机变量的独立性和相关性的概念，掌握随机变量独立条件；理解随机变量的不相关性与独立性的关系.4.掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义.5.会根据两个随机变量的联合概率分布求其函数的函数的概率分布；会根据多个随机变量的概率分布求其函数的概率分布.四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切比雪夫不等式矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1.理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，并会利用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征，掌握常见分布的数字特征.2.会根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望；会根据两个随机变量联合概率分布求其函数的数学期望.3.掌握切比雪夫不等式五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律伯努利大数定律辛钦大数定律德莫弗—拉普拉斯定理独立同分布中心极限定理考试要求1.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律成立的条件及结论.2.掌握德莫弗—拉普拉斯中心极限定理、独立同分布中心极限定理的结论和应用条件，并会用相关定理近似计算有关事件的概率.六、数理统计的基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量经验分布函数样本均值样本方差和样本矩2χ分布t 分布F分布分位数正态总体常用抽样分布考试要求1.理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值样本方差和样本矩的概念.2.了解产生2χ变量、t变量、F变量的典型模式；理解标准正态分布、2χ分布、t分布、F分布的分位数，会查相应的分位数、会查相应的数值表.3.掌握正态总体的抽样分布.七、参数估计考试内容点估计的概念估计量和估计值矩估计法最大撕然估计法估计量的评选标准区间估计的概念单个正态总体均值的区间估计单个正态总体方差和标准差的区间估计两个正态总体的均值差和方差比的区间估计考试要求1.理解参数的点估计、估计量和估计值的概念；了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和相合性（一致性）的概念，并会验证估计量的无偏性；2、掌握矩估计法（一阶、二阶矩）和最大似然估计法.3.掌握建立未知参数的（双侧和单侧）置信区间的一般方法；掌握正态总体均值、方差、矩以及与其相关的数字特征的置信区间的求法.4.掌握两个正态总体的均值差和方差比以及相关数字特征的置信区间的求法.八、假设检验考试内容显著性检验的基本思想和步骤假设检验的两类错误单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验考试要求1.理解“假设”的概念和基本类型；理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤；会构造简单假设的显著性检验.2.理解假设检验可能产生的两类错误，对于较简单的情形，会计算两类错误的概率.3.了解单个和两个状态总体参数的假设检验.。
《概率论及数理统计》授课提纲第18次课
二维离散型随机变量的相互独立性
若 (X,Y)是离散型r.v ，则上述独立性的 定义等价于：
对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有
P(X xi ,Y y j ) P(X xi )P(Y y j )
则称X和Y相互独立.
已知独立求联合分布
例1 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
则称这可列无穷多个随机变量1,2 相互独立.
二维连续型随机变量的相互独立性
若 (X,Y)是连续型r.v ,则上述独立性的 定义等价于：
若对任意的 x, y, 有
f ( x, y) fX (x) fY ( y)
成立，则称X,Y相互独立 .
其中 f ( x, y)是X,Y的联合密度，
fX (x), fY ( y)分别是X的
解 由于X 与Y 相互独立,
所以 f (x, y) fX (x) fY (y)
又 fX (x)
1
e
(
xa)2 2σ2
,
x ;
2 σ
fY
(
y
)
1 2b
,
b y b,
0, 其它.
得
f (x, y) 1
1
e
(
xa)2 2σ2
,
2b 2 σ
其中 x , b y b.
（2.6.3）
则称1, ,n相互独立
证明：由（2.6.3）推导（2.6.1）
设F(x1, , xn ),Fi(xi )分别为随机向量1, ,n与 随机变量i ,i=1,2, ,n的分布函数，则
F(x1, , xn )
P{1 x1i ,2 x2i , ,n xni}
x1i x1 x2i x2 xni xn
考研数学(三)概率论与数理统计第一章复习重点总结
2018考研数学（三）：概率论与数理统计第一章复习重点总结一、第一章随机事件与概率1.重点：概率的定义与性质，条件概率与概率的乘法公式，事件之间的关系与运算，全概率公式与贝叶斯公式。
2.难点：随机事件的概率，乘法公式、全概率公式、Bayes公式以及对贝努利概型的事件的概率的计算。
3.常考题型事件、概率与独立性是本章给出的概率论中最基本、最重要的三个概念。
事件关系及其运算是本章的重点和难点，概率计算是本章的重点。
注意事件与概率之间的关系。
本章主要考查随机事件的关系和运算，概率的性质、条件概率和五大公式，注意事件的独立性。
近几年单独考查本章的试题相对较少，但是大多数考题中将本章的内容作为基本知识点来考查。
相当一部分考生对本章中的古典概型感到困难。
大纲只要求对古典概率和几何概率会计算一般难度的题型就可以。
考生不必可以去做这方面的难题，因为古典型概率和几何型概率毕竟不是重点。
应该将本章重点中的有关基本概念、基本理论和基本方法彻底理解和熟练掌握。
【评注】本题是典型的根据全概率公式及条件概率的解题的题型，这类题型一直都是考查的重点。
三、注意事项与线性代数一样，概率也比高数容易，花同样的时间复习概率也更为划算。
但与线代一样，概率也常常被忽视，有时甚至被忽略。
一般的数学考研参考书是按高数、线代、概率的顺序安排的，概率被放在最后，复习完高数和线代以后有可能时间所剩无多；而且因为前两部分分别占60%和20的分值，复习完以后多少会有点满足心理；这些因素都可能影响到概率的复习。
概率这门课如果有难点就应该是“记忆量大”。
在高数部分，公式、定理和性质虽然有很多，但其中相当大一部分都比较简单，还有很多可以借助理解来记忆；在线代部分，需要记忆的公式定理少，而需要通过推导相互联系来理解记忆的多，所以记忆量也不构成难点；但是在概率中，由大量的概念、公式、性质和定理需要记清楚，而且若靠推导来记这些点的话，不但难度大耗时多而且没有更多的用处（因为概率部分考试时对公式定理的内在推导过程及联系并没有什么要求，一般不会在更深的层次上出题）。
新东方在线考研数学基础班-概率与统计讲义
第一章随机事件和概率第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
例1．1：方程的解是A． 4 B． 3 C． 2 D． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种 B．140种 C．160种 D．180种(4)一些常见排列1 特殊排列相邻彼此隔开顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？2 重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？3 对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？4 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序）例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序）例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
概率讲义答案
第一章随机事件及其概率题型一事件的关系和运算1.()2.()D D ()()1()1P A B P AB P AB ==-= ,故()D 正确.题型二古典概型中的概率计算222222364,4,4412345640124664010100191246619..36212..3618B C C B B C C B B C B C B p q ≥≤==≤++++====3.解一般骰子掷两次，其基本事件总数为，方程有实根的充分必要条件是或方程有重根的充分必要条件是或，使的基本事件个数使＝的基本事件个数由此可见，使方程有实根的的基本事件个数为因此方程有重根的基本事件共有个因此题型三几何概率的计算4.分析:根据题意可得两个随机变量服从区间()0,1上的均匀分布，利用几何概型计算较简便.详解:利用几何概型计算.所求概率2113214A D S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭===.图如下：A1/2111O yx评注本题也可先写出两个随机变量的概率密度，然后利用它们的独立性求得所求概率.题型四利用事件的关系及概率的基本公式计算概率5.解由ABC AB ⊂得()()0P ABC P AB ≤=故事件A ,B ,C 都不发生的概率为()()1()P ABC P A B C P A B C ==- []1()()()()()1736()()P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =-++---+=;6.3.0)]()()([)()()()()(=⋃-+-=-=-=B A P B P A P A P AB P A P AB A P B A P 解题型五条件概率和乘法公式7.()()()()()()1()1()P ABC P AB P ABC P AB P AB C P C P C P C -===--3.4=8.()()()123121312()2b b c a P A A A P A P A A P A A A a b a b c a b c+==⋅⋅+++++题型六应用全概率公式和贝叶斯公式计算概率9.解用全概率公式}2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P +}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P =.4813)4131210(41=+++⨯10.贝叶斯公式()()3(|)()()()()7P A P C A P A C P A P C A P B P C B ==+｜｜｜11.{}{}0,1,2.i A B i i ===设顾客买下该箱，该箱中有件残次品，012441918012442020()0.8,()()0.1,(|)1,(|),(|)P B P B P B C C P A B P A B P A B C C ======则有0011224419184420200000()()(|)()(|)()(|)0.810.10.10.94()()(|)0.812(|)0.85()()0.94P A P B P A B P B P A B P B P A B C C C C P AB P B P A B P B A P A P A =++=⨯+⨯+⨯≈⨯===≈故（1）（）题型七事件的独立性及独立重复试验12.(|)(|)(|)1(|)1P A B P A B P A B P A B +=+-=解因为(|)(|)0,(|)(|)()(),()()(),().()()P A B P A B P A B P A B P AB P AB P AB P A P B D P B P B -====所以所以应选13.由题设条件得1(),()()()()()()9P AB P A P AB P AB P AB P B P AB =-===-()()P A P B ⇒=()()P A P B ⇒=，再由A 和B 独立知A 和B 也独立，故21()()()()9P AB P A P B P A ⎡⎤===⎣⎦1()3P A ⇒=2()3P A ⇒=14.分析:按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立.详解:因为21)(1=A P ，21)(2=A P ，21)(3=A P ，41)(4=A P ，且41)(21=A A P ，41)(31=A A P ，41)(32=A A P ，41)(42=A A P ,0)(321=A A A P ，可见有)()()(2121A P A P A A P =，)()()(3131A P A P A A P =，)()()(3232A P A P A A P =，)()()()(321321A P A P A P A A A P ≠，)()()(4242A P A P A A P ≠.故321,,A A A 两两独立但不相互独立；432,,A A A 不两两独立更不相互独立，选(C).15.由A 、B 、C 两两独立知()()(),()()(),()()()P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C ===故A 、B 、C 相互独立的充分必要条件是()()()()()()P ABC P A P B P C P A P BC ==等价于A 与BC 独立，故应选(A )补充题1.解由题设，知()(|)1()P AB P A B P B ==，即()()P AB P B =.又()()()()()P A B P A P B P AB P A ⋃=+-=.故应选(Ｃ).12312319198132.()()()()10109109810P A A A P A P A P A ++=+=+⋅+⋅⋅=＋23.5；4.()()()()C P AB P A P B =；5.()B AC C 与6.解φ≠AB 推不出P (AB )=P (A )P (B ),因此推不出A ,B 一定独立，排除(A );若φ=AB ，则P (AB )=0，但P (A )P (B )是否为零不确定，因此(C),(D)也不成立，故正确选项为(B).7.()0.3()()()()()()0.5()0.5()P A B P A P AB P A P A P B P A P A P A -==-=-=-=所以60.)(=A P ，=-)(A B P 205050.)(..)()(=-=-A P AB P B P ．故选择（B ）．8.由于,AB A AB B ⊂⊂，按概率的基本性质，我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤，从而()()()2P A P B P AB +≤，选(C).第二章一维随机变量及其概率分布题型一利用分布律的性质确定参数1.利用离散型随机变量概率分布的性质,知{}001!k k CP X k Ce k ∞∞======∑∑,整理得到1C e -=.题型二求分布律及利用分布律求概率17(1)1037{}(),1,2,1010k X X P X k k -===⋯2.解若有放回地抽取，则服从参数为的几何分布，即的分布律为12078792103)|()|()()(}3{30797103)|()(}2{107)(}1{,4,3,2,1,4,3,2,1,,7,3,)2(21312132112211=⨯⨯=====⨯=========A A A P A A P A P A A A P X P A A P A A P X P A P X P X k k A X k 的分布律为：则利用乘法公式可得次取到正品”，“第令的可能取值应为因此件正品件次品由于共有若不放回地抽取)}(4{}3{}3{)(}4{}3{}3{)3(1201)|()|()|()()()4(32142131214321无放回有放回=+==≥+=+==≥====X P X P X P X P X P X P A A A A P A A A P A A P A P A A A A P X P 题型三分布律与分布函数的关系321323232(3,)0,1,2,3,52272254{0}1,{1}1,512555125223628{2}1,{3}.55125512501232754368125125125125X B X P X P X C P X C P X X X P⎛⎫⎛⎫==-===⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3.解服从二项分布，的可能取值为从而即的分布律为0,027,0112581(){},1 2.125117,231251,3x x X F x P X x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩因此，的分布函数为{}{}{}()(0){1}(1)(10)0.4{1}(1)(10)0.80.40.4{3}(3)(30)10.80.2P X x P X x P X x F x F x P X F F P X F F P X F F ==≤-<=--=-=----===--=-===--=-=4.分析因为所以，故应填x-113}{x X P =0.40.40.2题型四离散型随机变量的函数的分布5.1038~17111530530Y -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭题型五考查概率密度及分布函数的性质6.解:检验概率密度的性质：()()()()12210f x F x f x F x +≥；()()()()()()()()()()1221122112[][]1f x F x f x F x dx F x F x F x F x dx F x F x +∞+∞+∞-∞-∞-∞''+=+==⎰⎰可知()()()()1221f x F x f x F x +为概率密度，故选（D ）。
考研概率论讲义
概率论与数理统计考研辅导讲义白云霄第一章 随机事件及其概率1、随机事件、样本空间、概率的定义例1. 写出下列试验的样本空间与事件A 的样本点1． 同时掷两颗骰子，记录其点数之和；A ：点数之和为偶数 2． 相继掷两次硬币。
A ：第一次出现正面3． 研究甲、乙两件产品的销售状况（畅销、滞销） 4． 经过三个十字路口遇到红灯的个数2、事件的关系及其运算例2设A,B 是任意两个随机事件，则()()()(){}______=++++B A B A B A B A P 例3设,,A B C 为三个事件，试将下列事件用,,A B C 表示出来： （1） A 发生，B 与C 不发生 （2） A ，B ，C 至少有一个发生 （3） A ，B ，C 恰好有一个发生 （4） A ，B ，C 至少有一个不发生 （5） A ，B ，C 最多有一个不发生（6）A 不发生，B ，C 中至少有一个发生3、概率的计算方法有：古典概率、加法公式、乘法公式、 条件概率、全概公式及逆概公式、二项公式 1． 古典概型 I 取次品例1一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取4个，求：（1） 只有一件次品的概率；（2）至多一个次品的概率；（3）至少一个次品的概率。
例2袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，今有两个人依次随机的从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是? II 排数字例3从1，2，3，4中任意选出三个不同的数字形成三位数，求此三位数大于300的概率。
例4一个三位数由1，2，3，4中的三个数字形成（个、十、百位可以相同），求此三位数大于300的概率。
例5 把10本书任意地放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率 III 质点入盒例6将3个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率各是多少？例7设将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随意地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为?IV 配鞋子例8从5双不同大小的鞋中取出4只，求： （1） 刚好是两双的概率；（2）不配队的概率 V 几何概型例9设,x y 在[0，1]随机取值，求 （1）(1)P x y +<；（2）1()4P xy <例10某码头上只能容一只船，现预知某日将独立来到两只船，且在24小时内随机到达， 如他们需要停靠的时间为3小时，求一船要在江中等待的概率。