(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第六章 第一节 数列的概念及简单表示法 理(全国通用)
高考数学(北师大版理)一轮复习文档：第六章+数列+第1节
第1节 数列的概念及简单表示法最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)； 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.知 识 梳 理1.数列的概念(1)数列的定义：按照一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项.(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N + (或它的有限子集)为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和通项公式法. 2.数列的分类3.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式. [常用结论与微点提醒]1.若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2.在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎨⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎨⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的.( ) (3)所有数列的第n 项都能使用公式表达.( )(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.( ) 解析 (1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列. (2)数列中的数是可以重复的. (3)不是所有的数列都有通项公式. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n （n ＋1），…，下列各数中是此数列中的项的是( ) A.135B.142C.148D.154解析 n ＝6时，16×（6＋1）＝142为数列中的第6项.答案 B3.设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A.15B.16C.49D.64解析 当n ＝8时，a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15. 答案 A4.(教材习题改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n＝________.解析由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，…，归纳a n＝5n－4.答案5n－45.(2017·福州八中质检)已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝a2n－2a n＋1(n∈N+)，则a2 018＝________.解析∵a1＝1，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知数列{a n}是以2为周期的数列，∴a2 018＝a2＝0.答案0考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)23，415，635，863，1099，…；(2)－1，7，－13，19，…；(3)12，2，92，8，252，…；(4)5，55，555，5 555，….解(1)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2，4，6，…，相邻的偶数.故所求数列的一个通项公式为a n＝2n（2n－1）（2n＋1）. (2)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n＝(－1)n(6n－5).(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察.即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22.(4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n－1).规律方法 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的各自特征； (2)相邻项的联系特征； (3)拆项后的各部分特征；(4)符号特征.应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想. 【训练1】 (1)(2018·长沙模拟)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A.a n ＝(－1)n －1＋1B.a n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C.a n ＝2sin n π2D.a n ＝cos(n －1)π＋1(2)(2018·青岛模拟)数列1，3，6，10，15，…的一个通项公式是( ) A.a n ＝n 2－(n －1) B.a n ＝n 2－1C.a n ＝n （n ＋1）2D.a n ＝n （n －1）2解析 (1)对n ＝1，2，3，4进行验证，a n ＝2sin n π2不合题意. (2)设此数列为{a n }，则由题意可得a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6， a 4＝10，a 5＝15，…仔细观察数列1，3，6，10，15，…可以发现： 1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4， …所以第n 项为1＋2＋3＋4＋5＋…＋n ＝n （n ＋1）2，所以数列1，3，6，10，15，…的通项公式为a n ＝n （n ＋1）2.答案 (1)C (2)C考点二 由S n 与a n 的关系求a n (易错警示)【例2】 (1)(教材习题改编)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝14n 2＋23n ＋3，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________. 解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝4712， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14n 2＋23n ＋3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤14（n －1）2＋23（n －1）＋3＝12n ＋512，经检验a 1＝4712不满足上式所以这个数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4712，n ＝1，12n ＋512，n ≥2.(2)由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13， 两式相减，得a n ＝23a n －23a n －1，∴当n ≥2时，a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2.又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1， ∴a n ＝(－2)n －1.答案(1)⎩⎪⎨⎪⎧4712，n ＝1，12n ＋512，n ≥2(2)(－2)n －1规律方法 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.①当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；②当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示.易错警示 在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形. 【训练2】 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________. 解析 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合上式，∴a n ＝4n －5. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－3n －1－1＝2·3n －1. 显然当n ＝1时，不满足上式. ∴a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.答案 (1)4n －5 (2)⎩⎨⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2 考点三 由数列的递推关系求通项公式 【例3】 在数列{a n }中，(1)若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. (2)若a 1＝1，na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. (3)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则通项公式a n ＝________. 解析 (1)由题意，得a n ＋1－a n ＝3n ＋2，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(3n －1)＋(3n －4)＋…＋5＋2 ＝n （3n ＋1）2.即a n ＝32n 2＋n2.(2)由na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2)，得a n a n －1＝n n ＋1(n ≥2). 所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n n ＋1·n －1n ·n －2n －1·…·34·23·1 ＝2n ＋1，又a 1也满足上式. 所以a n ＝2n ＋1.(3)设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1＋t ＝2(a n ＋t )，即a n ＋1＝2a n ＋t ，解得t ＝3.故a n ＋1＋3＝2(a n ＋3).令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列. ∴b n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3. 答案 (1)32n 2＋n 2 (2)2n ＋1(3)2n ＋1－3规律方法 1.形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推关系式利用累加法求通项公式，特别注意能消去多少项，保留多少项.2.形如a n ＋1＝a n ·f (n )的递推关系式可化为a n ＋1a n＝f (n )的形式，可用累乘法，也可用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1代入求出通项.3.形如a n ＋1＝pa n ＋q 的递推关系式可以化为(a n ＋1＋x )＝p (a n ＋x )的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x 是关键. 【训练3】 在数列{a n }中， (1)若a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），则通项公式a n ＝________.(2)若a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，则通项公式a n ＝________.(3)若a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析 (1)原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n －1＋1n －1－1n ，以上(n －1)个式子的等号两端分别相加得，a n ＝a 1＋1－1n ，故a n ＝4－1n . (2)由a n ＋1＝2n a n ，得a na n －1＝2n －1(n ≥2)，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2.又a 1＝1适合上式，故a n ＝2n （n －1）2.(3)因为a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，所以a n ≠0，所以1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n＝12.又a 1＝1，则1a 1＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列.所以1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12.所以a n ＝2n ＋1(n ∈N +).答案 (1)4－1n (2)2n （n －1）2 (3)2n ＋1基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式a n 等于( ) A.（－1）n ＋12B.cos n π2C.cosn ＋12πD.cos n ＋22π解析 令n ＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确. 答案 D2.(2018·湘潭一中、长沙一中联考)已知数列{a n }满足：任意m ，n ∈N +，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( )A.132B.116C.14D.12解析 由题意，得a 2＝a 1a 1＝14，a 3＝a 1·a 2＝18，则a 5＝a 3·a 2＝132. 答案 A3.(2017·黄山二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N +)，则S 5＝( ) A.31B.42C.37D.47解析 由题意，得S n ＋1－S n ＝S n ＋1(n ∈N +)，∴S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)(n ∈N +)，故数列{S n ＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2，则S 5＋1＝3×24，所以S 5＝47. 答案 D4.数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n 等于( ) A.2n －1 B.n 2 C.（n ＋1）2n 2D.n 2（n －1）2解析 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2， 当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2（n －1）2.答案 D5.数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝( ) A.7B.6C.5D.4解析 依题意得(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即a n ＋2－a n ＝2，所以a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4. 答案 D 二、填空题6.若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式.故数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.答案 ⎩⎨⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥27.(2018·西安调研改编)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ＋1，则a 5＝________. 解析 依题意得a n ＋1－a n ＝2n ＋1，a 5＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＝1＋3＋5＋7＋9＝25. 答案 258.已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N +，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________.解析 因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N +，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1).(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3. 答案 (－3，＋∞) 三、解答题9.已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n＋12a n (n ∈N +). (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式. 解 (1)由S n ＝12a 2n＋12a n (n ∈N +)可得 a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1， S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2， 同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝a n 2＋12a 2n ，①当n ≥2时，S n －1＝a n －12＋12a 2n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }为首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .10.已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1·a n ＝2n ，求a n .解 因为a n ＋1·a n ＝2n ，所以a n ＋2·a n ＋1＝2n ＋1，a 2＝23，故a n ＋2a n＝2，所以数列{a n }的奇数项构成以3为首项，以2为公比的等比数列；偶数项构成以23为首项，以2为公比的等比数列.当n 为偶数时，a n ＝a 2·2n 2－1＝23·2n 2－1，即a n ＝13·2n 2；当n 为奇数时，a n ＝3·2n －12.综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3·2n －12，n 为奇数，13·2n 2，n 为偶数(n ≥1，n ∈N +). 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.数列{a n }的通项a n ＝n n 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( ) A.310 B.19 C.119 D.1060解析 令f (x )＝x ＋90x (x >0)，得f (x )≥290，当且仅当x ＝310时等号成立.因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N +，不难发现当n ＝9或n ＝10时，a n ＝119最大.答案 C12.(2017·湘中名校联考)对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，记数列{a n －kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n ∈N +恒成立，则实数k 的取值范围为________. 解析 由H n ＝2n ＋1，得n ·2n ＋1＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ①，(n －1)·2n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1②，①－②，得2n －1a n ＝n ·2n ＋1－(n －1)·2n ，所以a n ＝2n ＋2，a n －kn＝(2－k )n ＋2，又S n ≤S 5对任意的n ∈N +恒成立，所以⎩⎨⎧a 5≥0，a 6≤0，即⎩⎨⎧5（2－k ）＋2≥0，6（2－k ）＋2≤0，解得73≤k ≤125. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，125 13.已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N +，a ∈R 且a ≠0). (1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N +，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围.解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N +，a ∈R ，且a ≠0)， 又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N +). 结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…＞a n >1(n ∈N +).∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a 2， 已知对任意的n ∈N +，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性， 可知5<2－a 2<6，即－10<a <－8.即a 的取值范围是(－10，－8).精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高考数学一轮复习 第六章 数列 第一节 数列的概念与简单表示讲义(含解析)-高三全册数学教案
第一节 数列的概念与简单表示突破点一 数列的通项公式[基本知识]1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)．2．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．3．数列的递推公式如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且任何一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即a n ＝f (a n －1)(或a n ＝f (a n －1，a n －2)等)，那么这个式子叫做数列{a n }的递推公式．4．S n 与a n 的关系已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，这个关系式对任意数列均成立．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( )(3)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝12a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项．( )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 二、填空题1．数列{a n }中，a 1＝2，且a n ＋1＝12a n －1，则a 5的值为________．解析：由a 1＝2，a n ＋1＝12a n －1，得a 2＝12a 1－1＝1－1＝0，a 3＝12a 2－1＝0－1＝－1，a 4＝12a 3－1＝－12－1＝－32，a 5＝12a 4－1＝－34－1＝－74.答案：－742．数列{a n}定义如下：a 1＝1，当n ≥2时，a n＝⎩⎨⎧1＋a 2n ，n 为偶数，1a n －1，n 为奇数，若a n ＝14，则n 的值为________．解析：困为a 1＝1，所以a 2＝1＋a 1＝2，a 3＝1a 2＝12，a 4＝1＋a 2＝3，a 5＝1a 4＝13，a 6＝1＋a 3＝32，a 7＝1a 6＝23，a 8＝1＋a 4＝4，a 9＝1a 8＝14，所以n ＝9.答案：93．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，则10－3是此数列的第________项．解析：a n ＝1n ＋1＋n＝n ＋1－nn ＋1＋n n ＋1－n＝n ＋1－n ，∵10－3＝10－9，∴10－3是该数列的第9项． 答案：94．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项公式是____________．答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2[全析考法]考法一 利用a n 与S n 的关系求通项数列{a n }的前n项和S n 与通项a n 的关系为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，通过纽带：a n ＝S n－S n －1(n ≥2)，根据题目已知条件，消掉a n 或S n ，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解．[例1] (1)(2019·化州模拟)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为____________．(2)(2019·广州测试)已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n ∈N *，均有a n ，S n ，a 2n 成等差数列，则a n ＝____________.[解析] (1)由log 2(S n ＋1)＝n ＋1，得S n ＋1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n，n ≥2.(2)∵a n ，S n ，a 2n 成等差数列，∴2S n ＝a n ＋a 2n . 当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝a 1＋a 21. 又a 1>0，∴a 1＝1.当n ≥2时，2a n ＝2(S n －S n －1)＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1， ∴(a 2n －a 2n －1)－(a n ＋a n －1)＝0.∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)－(a n ＋a n －1)＝0， ∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， ∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1，∴{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝n (n ∈N *)． [答案] (1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n，n ≥2(2)n[方法技巧]已知S n 求a n 的3个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．考法二 利用递推关系求通项[例2] (1)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，求数列{a n }的通项公式． (2)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式． (3)在数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式． (4)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式． [解] (1)因为a n ＋1－a n ＝3n ＋2， 所以a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n 3n ＋12(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝2＝12×(3×1＋1)，符合上式，所以a n ＝32n 2＋n2.(2)因为a n ＝n －1na n －1(n ≥2)，所以a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1. 由累乘法可得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n (n ≥2)．又a 1＝1符合上式，∴a n ＝1n .(3)因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以a n ＝2·3n －1－1.(4)∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0， ∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． [方法技巧] 典型的递推数列及处理方法递推式方法 示例a n ＋1＝a n ＋f (n ) 叠加法 a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n a n ＋1＝a n f (n ) 叠乘法a 1＝1，a n ＋1a n ＝2na n ＋1＝Aa n ＋B(A ≠0,1，B ≠0)化为等比数列a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)化为等差数列 a 1＝1，a n ＋1＝3a n2a n ＋3[集训冲关]1.[考法一]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n ＋1a n2，则a 2 019＝( )A ．2 018B ．2 019C ．4 036D ．4 038解析：选B 由题意知n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋1a n 2－na n －12，化为a n n ＝a n －1n －1，∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1，∴a n ＝n .则a 2 019＝2 019.故选B.2.[考法一]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 解析：选B S n ＝2a n ＋1＝2S n ＋1－2S n ⇒3S n ＝2S n ＋1⇒S n ＋1S n ＝32，故数列{S n }为等比数列，公比是32，又S 1＝1，所以S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.故选B. 3.[考法二]已知在数列{a n }中，a n ＋1＝nn ＋2a n (n ∈N *)，且a 1＝4，则数列{a n }的通项公式a n ＝____________.解析：由a n ＋1＝nn ＋2a n ，得a n ＋1a n ＝n n ＋2，故a 2a 1＝13，a 3a 2＝24，…，a n a n －1＝n －1n ＋1(n ≥2)，以上式子累乘得，a n a 1＝13·24·…·n －3n －1·n －2n ·n －1n ＋1＝2nn ＋1.因为a 1＝4，所以a n ＝8nn ＋1(n ≥2)．因为a 1＝4满足上式，所以a n ＝8n n ＋1.答案：8nn ＋14.[考法二]已知数列{a n }满足a 1＝2，a n －a n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝____________. 解析：由题意可知，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)， 以上式子累加得，a n －a 1＝2＋3＋…＋n . 因为a 1＝2，所以a n ＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋n －12＋n2＝n 2＋n ＋22(n ≥2)．因为a 1＝2满足上式， 所以a n ＝n 2＋n ＋22.答案：n 2＋n ＋22突破点二 数列的性质[基本知识]数列的分类 分类标准 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列 a n ＋1>a n 其中n ∈N *递减数列a n ＋1<a n常数列 a n ＋1＝a n按其他标准分类有界数列存在正数M ，使|a n |≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项[基本能力]1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n3n ＋1，那么这个数列是________(填递增或递减)．答案：递增2．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是________． 答案：03．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ，则当a n取得最大值时，n 等于________． 答案：5或6[全析考法]考法一 数列的单调性[例1] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n，则数列{a n }中的最大项为( )A.89 B ．23 C.6481D ．125243[解析] 法一：(作差比较法)a n ＋1－a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＝2－n 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n， 当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝89.故选A.法二：(作商比较法)a n ＋1a n ＝n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，令a n ＋1a n >1，解得n <2；令a n ＋1a n ＝1，解得n ＝2；令a n ＋1a n<1，解得n >2.又a n >0，故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝89.故选A.[答案] A [方法技巧]求数列最大项或最小项的方法(1)将数列视为函数f (x )当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f (x )的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f (x )的最值，进而求出数列的最大(小)项．(2)通过通项公式a n研究数列的单调性，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定最小项．(3)比较法：①若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )>0( 或a n >0时，a n ＋1a n>1 )，则a n ＋1>a n ，即数列{a n }是递增数列，所以数列{a n }的最小项为a 1＝f (1)；②若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )<0( 或a n >0时，a n ＋1a n<1 )，则a n ＋1<a n ，即数列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1＝f (1)．考法二 数列的周期性数列的周期性与函数的周期性相类似．求解数列的周期问题时，通常是求出数列的前几项观察规律．确定出数列的一个周期，然后再解决相应的问题．[例2] (2019·广西南宁二中、柳州高中联考)已知数列2 008,2 009,1，－2 008，…，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 018项之和S 2 018＝________.[解析] 由题意可知a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，a 1＝2 008，a 2＝2 009，a 3＝1，a 4＝－2 008，∴a 5＝－2 009，a 6＝－1，a 7＝2 008，a 8＝2 009，…，∴a n ＋6＝a n ，即数列{a n }是以6为周期的数列，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，∴S 2 018＝336(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6)＋(a 1＋a 2)＝ 4 017.[答案] 4 017 [方法技巧]周期数列的常见形式与解题方法(1)周期数列的常见形式①利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数； ②相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列． (2)解决此类题目的一般方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和．[集训冲关]1.[考法二]若数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，则a 2 019＝( ) A ．1 B ．－2 C ．3D ．－3解析：选A 因为a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3)，所以a n ＋1＝a n －a n －1＝(a n －1－a n －2)－a n －1＝－a n－2，所以a n ＋3＝－a n ，所以a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ，所以{a n }是以6为周期的周期数列．因为2 019＝336×6＋3，所以a 2 019＝a 3＝a 2－a 1＝3－2＝1.故选A.2.[考法一]已知数列{a n }满足a n ＝n ＋13n －16(n ∈N *)，则数列{a n }的最小项是第________项．解析：因为a n ＝n ＋13n －16，所以数列{a n }的最小项必为a n <0，即n ＋13n －16<0,3n －16<0，从而n <163.又n ∈N *，所以当n ＝5时，a n 的值最小．答案：5。
高考总复习一轮数学精品课件 第六章 数列 第一节 数列的概念与简单表示法
1
例 4.在数列{an}中,a1=2且(n+2)an+1=nan,则它的前 30 项和 S30=(
30
A.
31
29
B.
30
28
C.
29
19
D.
29
)
答案 A
解析 易知
+1
an≠0,∵(n+2)an+1=nan,∴
2 3
∴an=a1·
· ·
…·
1 2
-1
=
1 1 2
2-1-2 , ≥ 2.
增素能 精准突破
考点一
利用an与Sn的关系求通项公式(多考向探究)
考向1.已知Sn求an
典例突破
例1.(1)(2023北京朝阳二模)已知数列{an}的前n项和是2n-1,则a5=(
)
A.9
B.16
C.31
D.33
(2)若数列{an}对任意n∈N*满足a1+2a2+3a3+…+nan=n,则数列{
∴{an}是首项为1,公差为1的等差数列.
∴a4 023=1+(4 023-1)×1=4 023.故选B.
(2)因为 + -1 =an=Sn-Sn-1=( + -1 )( − -1 )(n≥2),所以
− -1 =1.又 1 = √1 =1,所以数列{ }是首项为 1,公差为 1 的等差
(+1)
1+2+3+…+n=
.
2
考向2.已知an与Sn的关系式求an
典例突破
例2.(1)(2023河南名校联考改编)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,满足
高考数学培优复习：第6章 1 第1讲 数列的概念与简单表示法新题培优练
[基础题组练]1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15,则( )A ．3不是数列{a n }的项B ．3只是数列{a n }的第2项C ．3只是数列{a n }的第6项D ．3是数列{a n }的第2项和第6项解析：选D.令a n ＝3,即n 2－8n ＋15＝3.整理,得n 2－8n ＋12＝0,解得n ＝2或n ＝6.故选D.2．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2(S n ＋1)＝n ,则a n ＝( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n ，n ≥2B ．2nC ．2n －1D ．2n －1－1解析：选C.log 2(S n ＋1)＝n ⇒S n ＋1＝2n .所以a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1(n ≥2),又a 1＝S 1＝2－1＝1,适合a n (n ≥2),因此a n ＝2n －1.故选C.3．(2019·长沙市统一模拟考试)《九章算术》是我国古代第一部数学专著,全书收集了246个问题及其解法,其中一个问题为“现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四节容积之和为3升,下面三节的容积之和为4升,求中间两节的容积各为多少？”该问题中的第2节,第3节,第8节竹子的容积之和为( )A.176升 B.72升 C.11366升 D.10933升 解析：选A.自上而下依次设各节竹子的容积分别为a 1,a 2,…,a 9,依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4,因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4,a 7＋a 9＝2a 8,故a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176.选A. 4．在数列{a n }中,“|a n ＋1|>a n ”是“数列{a n }为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 B.“|a n ＋1|>a n ”⇔a n ＋1>a n 或－a n ＋1>a n ,充分性不成立,数列{a n }为递增数列⇔|a n ＋1|≥a n ＋1>a n 成立,必要性成立,所以“|a n ＋1|>a n ”是“数列{a n }为递增数列”的必要不充分条件．故选B.5．数列1,23,35,47,59,…的一个通项公式a n ＝________． 解析：由已知得,数列可写成11,23,35,…,故通项公式可以为n 2n －1.答案：n 2n －16．若数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2＋3n ＋2,则数列{a n }的通项公式为________．解析：a 1·a 2·a 3·…·a n ＝(n ＋1)(n ＋2),当n ＝1时,a 1＝6；当n ≥2时,⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 2·a 3·…·a n －1·a n ＝（n ＋1）（n ＋2），a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝n （n ＋1），故当n ≥2时,a n ＝n ＋2n, 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n，n ≥2，n ∈N *. 答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2，n ∈N* 7．已知数列{a n }的前n 项和为S n .(1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ,求a 5＋a 6及a n ；(2)若S n ＝3n ＋2n ＋1,求a n .解：(1)因为a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2,当n ＝1时,a 1＝S 1＝1,当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1)＝(－1)n ＋1·[n ＋(n －1)]＝(－1)n ＋1·(2n －1),又a 1也适合此式,所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)．(2)因为当n ＝1时,a 1＝S 1＝6；当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2×3n －1＋2,由于a 1不适合此式,所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2×3n －1＋2，n ≥2. 8．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和,且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)． (1)求a 1,a 2,a 3,a 4的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *),可得a 1＝12a 21＋12a 1,解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2,解得a 2＝2； 同理a 3＝3,a 4＝4.(2)S n ＝12a 2n ＋12a n ,①当n ≥2时,S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1,② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0.由于a n ＋a n －1≠0,所以a n －a n －1＝1,又由(1)知a 1＝1,故数列{a n }是首项为1,公差为1的等差数列,故a n ＝n .[综合题组练]1．(2019·广东惠州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ＝2a n －1,则S 6a 6＝( ) A.6332B.3116C.12364D.127128解析：选A.因为S n ＝2a n －1,所以n ＝1时,a 1＝2a 1－1,解得a 1＝1；n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2a n －1－(2a n －1－1),化为a n ＝2a n －1.所以数列{a n }是等比数列,公比为2.所以a 6＝25＝32,S 6＝26－12－1＝63,则S 6a 6＝6332.故选A.2．(创新型)(2019·德阳诊断)若存在常数k (k ∈N *,k ≥2),q ,d ,使得无穷数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋d ，n k ∉N *，qa n ，n k ∈N *，则称数列{a n }为“段比差数列”,其中常数k ,q ,d 分别叫做段长、段比、段差．设数列{b n}为“段比差数列”,若{b n }的首项、段长、段比、段差分别为1,3,0,3,则b 2 016＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选D.因为{b n }的首项、段长、段比、段差分别为1,3,0,3,所以b 2 014＝0×b 2 013＝0,所以b 2 015＝b 2 014＋3＝3,所以b 2 016＝b 2 015＋3＝6.故选D.3．若数列{a n }满足a n ＝n ＋3n ＋2,则该数列落入区间(1312,54)内的项数为________． 解析：由1312<n ＋3n ＋2<54得,1312<1＋1n ＋2<54,即112<1n ＋2<14,4<n ＋2<12,2<n <10,显然,落入区间(1312,54)内的项数为7.答案：74．(综合型)(2019·临汾期末)已知数列{x n }的各项均为正整数,且满足x n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x n 2，x n 为偶数，x n ＋1，x n 为奇数，n ∈N *.若x 3＋x 4＝3,则x 1所有可能取值的集合为________．解析：由题意得x 3＝1,x 4＝2或x 3＝2,x 4＝1.当x 3＝1时,x 2＝2,从而x 1＝1或4；当x 3＝2时,x 2＝1或4,因此当x 2＝1时,x 1＝2,当x 2＝4时,x 1＝8或3.综上,x 1所有可能取值的集合为{1,2,3,4,8}．答案：{1,2,3,4,8}5．(2019·山东青岛调研)已知S n 是数列{a n }的前n 项和,S n ＝3×2n －3,其中n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }为等差数列,T n 为其前n 项和,b 2＝a 5,b 11＝S 3,求T n 的最值． 解：(1)由S n ＝3×2n －3,n ∈N *,得(ⅰ)当n ＝1时,a 1＝S 1＝3×21－3＝3.(ⅱ)当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝(3×2n －3)－(3×2n －1－3)＝3×(2n －2n －1)＝3×2n －1(*)．又当n ＝1时,a 1＝3也满足(*)式．所以,对任意n ∈N *,都有a n ＝3×2n －1.(2)设等差数列{b n }的首项为b 1,公差为d ,由(1)得b 2＝a 5＝3×25－1＝48,b 11＝S 3＝3×23－3＝21.由等差数列的通项公式得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝b 1＋d ＝48，b 11＝b 1＋10d ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝51，d ＝－3.所以b n ＝54－3n . 可以看出b n 随着n 的增大而减小,令b n ≥0,解得n ≤18,所以T n 有最大值,无最小值,且T 18(或T 17)为前n 项和T n 的最大值,T 18＝18（b 1＋b 18）2＝9×(51＋0)＝459. 6．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3),a n ＋1＝S n ＋3n ,n ∈N *.(1)设b n ＝S n －3n ,求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＋1≥a n ,n ∈N *,求a 的取值范围．解：(1)依题意得S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ,即S n ＋1＝2S n ＋3n ,由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n ),即b n ＋1＝2b n ,又b 1＝S 1－3＝a －3,因此,所求通项公式为b n ＝(a －3)2n －1,n ∈N *.(2)由(1)可知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1,n ∈N *,于是,当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2, a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣⎡⎦⎤12·⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3, 所以,当n ≥2时,a n ＋1≥a n ⇒12⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9,又a2＝a1＋3＞a1,a≠3.所以,所求的a的取值范围是[－9,3)∪(3,＋∞)．。
高考数学一轮复习第六章数列第一节数列的概念与简单表示课件理
类型
满足条件
按项数 有穷数列 项数 有限
分类
无穷数列 项数 无限
分类原则 按项与项 间的大小 关系分类
按其他 标准分类
类型 递增数列 递减数列 常数列 有界数列
摆动数列
满足条件
an＋1 > an an＋1 < an 其中 n∈N* an＋1＝an 存在正数 M，使|an|≤M 从第二项起，有些项大于 它的前一项，有些项小于
3．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题 难度较难把握．一般有两种常见思路：
(1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)利用累加、累乘法或构造法求数列的通项公式．
[易错防范] 1．数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时， 一定要注意自变量的取值，如数列 an＝f(n)和函数 y＝f(x)的单调 性是不同的． 2．在利用数列的前 n 项和求通项时，往往容易忽略先求出 a1，而是直接把数列的通项公式写成 an＝Sn－Sn－1 的形式，但它 只适用于 n≥2 的情形．
(4)形如 an＋1＝BaAna＋n C(A，B，C 为常数)的数列，可通过两 边同时取倒数的方法构造新数列求解．
(5)形如 an＋1＋an＝f(nf(n＋1)，两式相减即得 an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，然后按 奇偶分类讨论即可．
an 与 Sn 关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题 或填空题中，有时也出现在解答题的已知条件中，难度较小， 属容易题，且主要有以下几个命题角度：
[探究 2] 若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝2an＋3”， 如何求解？
解：设递推公式 an＋1＝2an＋3 可以转化为 an＋1－t＝2(an －t)，即 an＋1＝2an－t，解得 t＝－3.
《大高考》2016届高考复习数学理(全国通用)：第六章 数列 第一节
两式相减得an＝2an－2an－1－2，
所以an＝2an－1＋2(n≥2)，所以an＋2＝2(an－1＋2)， 因为a1＋2＝3≠0， 所以数列{an＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列. 所以an＋2＝3×2n－1，∴an＝3×2n－1－2，
考纲考向分析
核心要点突破
解
法一
10n＋1 ∵an＋1－an＝(n＋2)11 －
10n 10n 9－n n＋1 ＝ × ， 11 11 11
当 n<9 时，an＋1－an>0，即 an＋1>an； 当 n＝9 时，an＋1－an＝0，即 an＋1＝an； 当 n>9 时，an＋1－an<0，即 an＋1<an. ∴该数列中有最大项，为第 9、10 项，且
做这个数列的项.
考纲考向分析
核心要点突破
2.数列的分类
分类原则 按项数分类 按项与项间 的大小关系 分类 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 常数列 满足条件
有限 项数_____ 无限 项数_____
an＋1__ > an an＋1__ < an an＋1＝an 其中 n∈N*
考纲考向分析
解
(1)令n＝1时，T1＝2S1－1，
∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.
考纲考向分析 核心要点突破
(2)当n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2， 则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2] ＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1＝2an－2n＋1.
因为当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式，
2016届高考数学理科一轮复习同步训练6-1数列的概念及简单应用
第1讲 数列的概念及简单应用A 级训练(完成时间：10分钟)1.下面对数列的理解有四种：①数列可以看成一个定义在N *上的函数；②数列的项数是无限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是唯一的．其中说法正确的序号是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③D ．①②③④2.数列1,0,1,0,1，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝1－(－1)n ＋12B ．a n ＝1＋(－1)n ＋12C ．a n ＝(－1)n －12D ．a n ＝－(－1)n －123.在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x 等于( )A ．11B ．12C ．13D ．144.数列{a n }中，a n ＝n 2－7n ＋6，那么150是其第 16 项．5.已知数列{a n }的通项公式a n ＝cn ＋d n ，且a 2＝32，a 4＝32，求a 10.数列{a n }中，已知a n ＝(－1)n n ＋a (a 为常数)，且a 1＋a 4＝3a 2，求a 100.B 级训练(完成时间：15分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )]数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，当其前n 项和为9时，项数n 是( )A ．9B ．99C ．10D ．1002.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．63.[限时2分钟，达标是( )否( )] 数列53，108，17a ＋b，a －b 24，…中，有序数对(a ，b )可以是____________． 4.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知数列{a n }是递增数列，且a n ＝n 2＋λn ，则实数λ的范围是 (－3，＋∞) .5.[限时2分钟，达标是( )否( )]数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝ 66 .6.[限时5分钟，达标是( )否( )](2013·江西)正项数列{a n }满足a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝1(n ＋1)a n，求数列{b n }的前n 项和T n .C 级训练(完成时间：11分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知数列{a n }的通项公式a n ＝2014sin n π2，则a 1＋a 2＋…＋a 2014＝( ) A ．2012 B ．2013C ．2014D ．20152.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知数列{a n }的首项为1，a n ＋1是直线y ＝3x －2a n 在y 轴上的截距，n ∈N *，则数列{a n }的前n 项和为( )A ．2n －1－1B ．2n －1C.13[1－(－2)n －1]D.13[1－(－2)n ] 3.[限时2分钟，达标是( )否( )]在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n(n ∈N *)，猜想这个数列的通项公式为________________． 4.[限时5分钟，达标是( )否( )](2014·广东江门一模)已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2－1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)是否存在正整数p、q(p＞1且q＞1)使a1、a p、a q成等比数列？若存在，求出所有这样的等比数列；若不存在，请说明理由．第1讲 数列的概念及简单应用【A 级训练】1．C 解析：①因为a n ＝f (n )(n ∈N *)，所以数列可以看成一个定义在N *上的函数，故正确；②数列的项数可以是有限的，如1,2,3这3个数组成一个数列，故不正确；③因为a n ＝f (n )(n ∈N *)或(n ∈A ⊆N *)，所以数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点，正确；④数列的通项公式不是唯一的，如数列1,0,1,0，…，可用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (n 为奇数)0 (n 为偶数)或a n ＝1＋(－1)n ＋12，(n ∈N *)，故不正确． 综上可知：只有①③正确．2．B 解析：A 选项不正确，数列首项不是1；B 选项正确，验证知恰好能表示这个数列；C 选项不正确，其对应的首项是－1；D 选项不正确，其对应的首项为0，不合题意．3．C 解析：因为数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，设数列为{a n }，则a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)．所以x ＝a 7＝a 5＋a 6＝5＋8＝13.4．16 解析：由数列的特点可知：通项公式a n ＝n 2－7n ＋6，令n 2－7n ＋6＝150，可解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，故150是第16项．5．解析：由题意知⎩⎨⎧ 2c ＋d 2＝324c ＋d 4＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝14d ＝2， 所以a n ＝14n ＋2n， 所以a 10＝14×10＋210＝2710. 6．解析：由已知a n ＝(－1)n n ＋a (a 为常数)，可得a 1＝a －1，a 2＝a ＋2，a 3＝a －3，a 4＝a ＋4.因为a 1＋a 4＝3a 2，所以a －1＋a ＋4＝3(a ＋2)，解得a ＝－3.所以a n ＝(－1)n n －3.所以a 100＝(－1)100×100－3＝97.【B 级训练】1．B 解析：因为数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，所以a n ＝n ＋1－n ，因为前n 项和为9，所以n ＋1－1＝9，解得n ＝99. 2.B 解析：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2) ＝⎩⎪⎨⎪⎧－8 (n ＝1)－10＋2n (n ≥2)， 因为n ＝1时适合a n ＝2n －10，所以a n ＝2n －10.因为5<a k <8，所以5<2k －10<8，所以152<k <9，又因为n ∈N ＋，所以k ＝8. 3．(412，－112) 解析：因为观察数列的特点发现分母上的数字比分子上的被开方数小2，所以从上面的规律可以看出a ＋b ＝15，a －b ＝26，解上式得a ＝412，b ＝－112. 4．(－3，＋∞) 解析：a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－n 2－λn ＝2n ＋1＋λ，因为数列{a n }是单调递增的，所以a n ＋1－a n ＝2n ＋1＋λ＞0恒成立．只要2n ＋1＋λ的最小值大于0即可，所以3＋λ＞0.所以λ＞－3.5．66 解析：根据数列前n 项和的性质，得n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－4n ＋2)－[(n －1)2－4(n －1)＋2]＝2n －5，当n ＝1时，S 1＝a 1＝－1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1 (n ＝1)2n －5 (n ≥2)，据通项公式得|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝－(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4＋…＋a 10)＝S 10－2S 2＝66.6．解析：(1)由正项数列{a n }满足a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0，可得(a n －2n )(a n ＋1)＝0，所以a n ＝2n ，a n ＝－1(舍去)．(2)因为a n ＝2n ，b n ＝1(n ＋1)a n， 所以b n ＝1(n ＋1)a n ＝12n (n ＋1)＝12(1n －1n ＋1)， T n ＝12(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1) ＝12(1－1n ＋1)＝n 2n ＋2. 故数列{b n }的前n 项和为n 2n ＋2. 【C 级训练】1．C 解析：a 1＝2014sin π2＝2014，a 2＝2014sin π＝0，a 3＝2014sin 3π2＝－2014，a 4＝2014sin 2π＝0，数列{a n }是以4为周期的周期数列，2014＝503×4＋2，所以a 1＋a 2＋…＋a 2014＝503×0＋2014＋0＝2014.2．D 解析：因为a n ＋1是直线y ＝3x －2a n 在y 轴上的截距，所以a n ＋1＝－2a n ，因为数列{a n }的首项为1，所以数列{a n }为等比数列，首项为1，公比为－2.所以数列{a n }的前n 项和为1·[1－(－2)n ]1－(－2)＝13[1－(－2)n ]． 3．a n ＝2n ＋1(n ∈N *) 解析：由a n ＋1＝2a n 2＋a n 得，1a n ＋1＝1a n ＋12，可知数列{1a n }为公差为12的等差数列，又1a 1＝1，所以1a n ＝1＋(n －1)·12＝12n ＋12，故a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． 4．解析：(1)因为S n ＝2n 2－1，所以a 1＝S 1＝1，当n ＞1时，a n ＝S n －S n －1＝4n －2，而4×1－2＝2≠1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 n ＝14n －2 n ＞1. (2)假设存在正整数p 、q (p ＞1且q ＞1)使a 1、a p 、a q 成等比数列，则a 2p ＝a 1×a q ，由(1)得(4p －2)2＝1×(4q －2)，即2(2p －1)2＝2q －1，因为p 、q 是整数，所以2(2p －1)2＝2q －1，即q＝(2p －1)2＋12，此式不可能成立，所以假设错误．所以不存在正整数p 、q (p ＞1且q ＞1)使a 1、a p 、a q 成等比数列．。
高考数学大一轮复习 第六章 数列 6.1 数列的概念及简单表示法学案 文 北师大版-北师大版高三全册
§6.1 数列的概念与简单表示法最新考纲考情考向分析1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.以考查S n 与a n 的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．本节内容在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度属于低档.1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项． 2．数列的分类分类原则 类型 满足条件 按项数分类有穷数列项数有限 无穷数列 项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n ＋1>a n 其中n ∈N ＋递减数列 a n ＋1<a n 常数列a n ＋1＝a n3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式． 知识拓展1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，n ∈N ＋.2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( × ) (2)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × )(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ ) (4)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × )(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )(6)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N ＋，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ ) 题组二 教材改编2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32B.53C.85D.23答案 D解析 a 2＝1＋(－1)2a 1＝2，a 3＝1＋(－1)3a 2＝12，a 4＝1＋(－1)4a 3＝3，a 5＝1＋(－1)5a 4＝23.3．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.答案 5n －4 题组三 易错自纠4．已知数列{a n }是递减数列，且对任意的正整数n ，a n ＝－n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围为____________． 答案 (－∞，3)解析 ∵{a n }是递减数列，∴a n ＋1<a n . ∵a n ＝－n 2＋λn 恒成立，∴－(n ＋1)2＋λ(n ＋1)<－n 2＋λn ， 即λ<2n ＋1对于n ∈N ＋恒成立．而2n ＋1在n ＝1时取得最小值3，∴λ<3.5．数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n (n ∈N ＋)，则此数列最大项的值是________． 答案 30解析 a n ＝－n 2＋11n ＝－⎝⎛⎭⎪⎫n －1122＋1214，∵n ∈N ＋，∴当n ＝5或n ＝6时，a n 取最大值30. 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N ＋解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N ＋.题型一 由数列的前几项求数列的通项公式1．数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝n －1n ＋2(n ∈N ＋) B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N ＋)C ．a n ＝2(n －1)2n －1(n ∈N ＋)D ．a n ＝2n2n ＋1(n ∈N ＋)答案 C解析 注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可．2．数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n ＝________.答案 (－1)n1n (n ＋1)解析 这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n1n (n ＋1).思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N ＋处理．(3)如果是选择题，可采用代入验证的方法． 题型二 由a n 与S n 的关系求通项公式典例 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1(n ∈N ＋)，则其通项公式为______．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2，n ∈N ＋解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2，n ∈N ＋.(2)(2017·南昌模拟)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13(n ∈N ＋)，则{a n }的通项公式a n ＝________.答案 (－2)n －1解析 由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，整理得a n ＝－2a n －1，又当n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，故a n ＝(－2)n －1.思维升华 已知S n ，求a n 的步骤 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1. (2)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.(3)对n ＝1时的情况进行检验，若适合n ≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式． 跟踪训练 (1)(2017·河南八校一联)在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________. 答案 －2n －1解析 由题意得S n ＋1＝2a n ＋1＋1，S n ＝2a n ＋1， 两式相减得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ， 即a n ＋1＝2a n ，又S 1＝2a 1＋1＝a 1，因此a 1＝－1，所以数列{a n }是以a 1＝－1为首项、2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1.(2)(2017·河北衡水中学押题卷)已知数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，数列{b n }满足关系a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n ＝12n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 5的值为( )A ．－454B ．－450C ．－446D ．－442答案 B解析 由题意可得a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1(n ∈N ＋)，且a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n ＝12n ， a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n －1b n －1＝12n －1， 当n ≥2时，两式作差可得a n b n ＝12n －12n －1＝－12n ，则b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，－2n(2n －1)，n ≥2，由此可得S 5＝－450.题型三 由数列的递推关系求通项公式典例 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ；(2)a 1＝1，a n ＋1＝2na n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.解 (1)∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，∴a n －a n －1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n －1＝ln nn －1(n ≥2)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝lnnn －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 32＋ln 2＋2 ＝2＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·32·2＝2＋ln n (n ≥2)．又a 1＝2适合上式，故a n ＝2＋ln n (n ∈N ＋)． (2)∵a n ＋1＝2na n ，∴a n a n －1＝2n －1(n ≥2)， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1 ＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2(1)2n n -.又a 1＝1适合上式，故a n ＝2(1)2n n -(n ∈N ＋)．(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，故a n ＝2·3n －1－1(n ∈N ＋)．引申探究在本例(2)中，若a n ＝n －1n·a n －1(n ≥2，且n ∈N ＋)，其他条件不变，则a n ＝________. 答案 1n解析 ∵a n ＝n －1na n －1 (n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时也满足此等式，∴a n ＝1n.思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列． (2)当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列． (3)当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解． (4)当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解． 跟踪训练 (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式a n ＝______________. 答案 3×2n －1－2解析 由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0， 得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n －1，∴当n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3，将以上各式累加，得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)，∴a n ＝3×2n －1－2(当n ＝1时，也满足)．(2)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝________.答案 4－1n解析 原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n －1＋1n －1－1n ，逐项相加得a n ＝a 1＋1－1n，故a n ＝4－1n.题型四 数列的性质命题点1 数列的单调性 典例 已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是( ) A ．递减数列 B ．递增数列 C ．常数列 D ．不确定答案 B 解析 a n ＝1－2n ＋1，将a n 看作关于n 的函数，n ∈N ＋，易知{a n }是递增数列．命题点2 数列的周期性 典例 数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，a 8＝2，则a 1＝________________. 答案 12解析 ∵a n ＋1＝11－a n，∴a n ＋1＝11－a n ＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1 ＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2，n ≥3， ∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. ∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12.命题点3 数列的最值 典例 数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( )A ．310B ．19 C.119 D.1060答案 C解析 令f (x )＝x ＋90x(x >0)，运用基本不等式得f (x )≥290，当且仅当x ＝310时等号成立． 因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n≤1290，由于n ∈N ＋，不难发现当n ＝9或n ＝10时，a n ＝119最大． 思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列． ②用作商比较法，根据a n ＋1a n(a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图像直观判断． (2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．跟踪训练 (1)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12＜a n＜1， a 1＝35，则数列的第2 018项为________． 答案 15解析 由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25， a 4＝2×25＝45， a 5＝2×45－1＝35，∴{a n }为周期数列且T ＝4， ∴a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝15.(2)(2017·安徽名校联考)已知数列{a n }的首项为2，且数列{a n }满足a n ＋1＝a n －1a n ＋1，数列{a n }的前n 项的和为S n ，则S 2 016等于( ) A ．504 B ．588 C ．－588 D ．－504答案 C解析 ∵a 1＝2，a n ＋1＝a n －1a n ＋1，∴a 2＝13，a 3＝－12，a 4＝－3，a 5＝2，…，∴数列{a n }的周期为4，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝－76，∵2 016÷4＝504，∴S 2 016＝504×⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－588，故选C.解决数列问题的函数思想典例 (1)数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n，则此数列的最大项是第________项．(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是__________． 思想方法指导 (1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析．解析 (1)∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ×9－n 11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ，∴该数列中有最大项，且最大项为第9,10项． (2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列， 又∵通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4， ∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4， 即k >－1－2n ，又n ∈N ＋，∴k >－3. 答案 (1)9或10 (2)(－3，＋∞)1．(2017·湖南长沙一模)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A ．a n ＝(－1)n －1＋1B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C ．a n ＝2sinn π2D ．a n ＝cos(n －1)π＋1 答案 C解析 对n ＝1,2,3,4进行验证，知a n ＝2sinn π2不合题意，故选C.2．现有这么一列数：2，32，54，78，( )，1332，1764，…，按照规律，( )中的数应为( )A.916B.1116C.12D.1118 答案 B解析 分母为2n，n ∈N ，分子为连续的质数，所以( )中的数应为1116，故选B.3．(2017·黄冈质检)已知在正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)，则a 6等于( )A ．16B ．4C ．2 2D ．45 答案 B解析 由题意得a 2n ＋1－a 2n ＝a 2n －a 2n －1＝…＝a 22－a 21＝3，故{a 2n }是以3为公差的等差数列，即a 2n ＝3n －2.所以a 26＝3×6－2＝16.又a n >0，所以a 6＝4.故选B. 4．若数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N ＋)，则a 2 018等于( ) A ．3 B ．2 C.12 D.23答案 A解析 由已知a 3＝a 2a 1＝32，a 4＝a 3a 2＝12，a 5＝a 4a 3＝13，a 6＝a 5a 4＝23，a 7＝a 6a 5＝2，a 8＝a 7a 6＝3，∴数列{a n }具有周期性，且T ＝6， ∴a 2 018＝a 336×6＋2＝a 2＝3.5．(2017·辽宁沈阳东北育才学校模拟)已知数列{a n }满足a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a na n －1是首项为1，公比为2的等比数列，则a 101等于( ) A ．2100B ．24 950C ．25 050D ．25 151答案 C解析 ∵数列{a n }满足a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a na n －1是首项为1，公比为2的等比数列， ∴a n a n －1＝2n －1，∴a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a n a n －1＝1×21×22×…×2n －1＝(1)22n n -，∴a 101＝25 050.故选C.6．(2017·河北保定模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －6，x ≤10，a x －9，x >10，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N ＋)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2]C ．(2,3) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2411，3 答案 C解析 因为{a n }是递增数列， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，(3－a )×10－6<a 11－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <3，a >1，a >2或a <－12，即2<a <3，故选C.7．若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝3421，则a 5＝______________.答案 85解析 借助递推关系，由a 8递推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝85.8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N ＋)，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.9．(2018·大庆模拟)已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n，则数列{a n }的项取最大值时，n ＝________. 答案 4或5解析 假设第n 项为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n ≥(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n －1，(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n≥(n ＋3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤5，n ≥4，即4≤n ≤5，又n ∈N ＋，所以n ＝4或n ＝5，故数列{a n }中a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝6574.10．(2017·太原模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N ＋)，则a n ＝__________. 答案2n 2－n ＋2解析 由a n －a n ＋1＝na n a n ＋1，得1a n ＋1－1a n＝n ，则由累加法得1a n －1a 1＝1＋2＋…＋(n －1)＝n 2－n2，又因为a 1＝1，所以1a n＝n 2－n2＋1＝n 2－n ＋22，所以a n ＝2n 2－n ＋2(n ∈N ＋)．11．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N ＋)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N ＋)可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1， S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2，同理，a 3＝3，a 4＝4.(2)S n ＝a n 2＋12a 2n ，①当n ≥2时，S n －1＝a n －12＋12a 2n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0.由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }为首项为1，公差为1的等差数列， 故a n ＝n .12．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N ＋，a ∈R 且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N ＋，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围． 解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N ＋，a ∈R 且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N ＋)．结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性， 可知1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4，a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N ＋)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a2，已知对任意的n ∈N ＋，都有a n ≤a 6成立， 结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，可知5＜2－a2＜6，即－10＜a ＜－8.即a 的取值范围是(－10，－8)．13．(2018届广东珠海摸底)整数列{a n }满足a n ＋1－a n －1<3n ＋12，a n ＋2－a n >3n ＋1－12，n ∈N ＋，a 2＝3，则a 2 018等于( ) A.32 010－38B.32 009－38C.32 019－38D.32 018－38答案 C解析 由a n ＋1－a n －1<3n ＋12，可得a n ＋2－a n <3n ＋1＋12，又a n ＋2－a n >3n ＋1－12，且{a n }为整数列，所以a n ＋2－a n ＝3n ＋1，a 2 018＝(a 2 018－a 2 016)＋(a 2 016－a 2 014)＋…＋(a 4－a 2)＋a 2＝32 017＋32 015＋…＋33＋3＝3(1－32 018)1－9＝32 019－38.14．若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________.答案 4解析 设数列为{a n }，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)(n ＋5)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1－n (n ＋4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23(n 2＋6n ＋5)－n 2－4n ＝2n3n ＋1(10－n 2)． 所以当n ≤3时，a n ＋1>a n ； 当n ≥4时，a n ＋1<a n .因此，a 1<a 2<a 3<a 4，a 4>a 5>a 6>…， 故a 4最大，所以k ＝4.15．(2017·湖北武汉调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝13，若a n (a n －1＋2a n ＋1)＝3a n －1·a n ＋1(n ≥2，n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项a n 等于( ) A.12n －1B.12n －1C.13n －1D.12n －1＋1答案 B解析 a n a n －1＋2a n a n ＋1＝3a n －1a n ＋1， 1a n ＋1＋2a n －1＝3a n，1a n ＋1－1a n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1，则1a n ＋1－1a n1a n －1a n －1＝2，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1－1a n 是首项为2，公比为2的等比数列，1a n ＋1－1a n＝2×2n －1＝2n，利用累加法， 1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1 ＝1＋2＋22＋…＋2n －1，1a n ＝2n－12－1＝2n －1，则a n ＝12n －1.故选B. 16．(2017·太原五中模拟)设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________. 答案 1n(n ∈N ＋)解析 因为数列{a n }是首项为1的正项数列， 所以a n ·a n ＋1≠0，所以(n ＋1)a n ＋1a n －na na n ＋1＋1＝0.令a n ＋1a n＝t (t >0)，则(n ＋1)t 2＋t －n ＝0， 分解因式，得[(n ＋1)t －n ](t ＋1)＝0， 所以t ＝n n ＋1或t ＝－1(舍去)，即a n ＋1a n ＝nn ＋1. 方法一 (累乘法) 因为a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a na n －1＝12·23·34·45·…·n －1n ， 所以a n ＝1n(n ∈N ＋)．方法二 (迭代法) 因为a n ＋1＝nn ＋1a n ，所以a n ＝n －1n a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2 ＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·a n －3 ＝…＝n －1n .n －2n －1.n －3n －2 (1)2a 1， 所以a n ＝1n(n ∈N ＋)． 方法三 (特殊数列法) 因为a n ＋1a n ＝n n ＋1，所以(n ＋1)a n ＋1na n＝1. 所以数列{na n }是以a 1为首项，1为公比的等比数列． 所以na n ＝1×1n －1＝1.所以a n ＝1n(n ∈N ＋)．。
(五年高考真题)2016届高考数学复习 第六章 第一节 数列的概念及简单表示法 理
第一节 数列的概念及简单表示法考点 数列的概念及表示方法1．(2013·辽宁，4)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列； p 3：数列{a nn }是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4解析 如数列为{－2，－1，0，1，…}，则1×a 1＝2×a 2，故p 2是假命题；如数列为{1，2，3，…}，则a n n＝1，故p 3是假命题．故选D. 答案 D2．(2012·浙江，7)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0 D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列解析 因S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，所以S n 是关于n 的二次函数，当d <0时，S n 有最大值，即数列{S n }有最大项，故A 命题正确．若{S n }有最大项，即对于n ∈N *，S n有最大值，故二次函数图象的开口要向下，即d <0，故B 命题正确．而若a 1<0，d >0，则数列{S n }为递增数列，此时S 1<0，故C 命题错误．若对于任意的n ∈N *，均有S n >0，则a 1＝S 1>0，且d 2n ＋a 1－d2>0对于n ∈N *恒成立，∴d2>0，即命题D 正确，故选C.答案 C3．(2011·江西，5)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10＝A ．1B ．9C ．10D ．55解析 ∵a 10＝S 10－S 9，又∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，∴S 10＝S 1＋S 9， ∴a 10＝(S 1＋S 9)－S 9＝S 1＝a 1＝1.故选A. 答案 A4．(2015·江苏，11)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．解析 ∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，将以上n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝（2＋n ）（n －1）2，即a n ＝n （n ＋1）2，令b n ＝1a n，故b n ＝2n （n ＋1）＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011.答案20115．(2013·新课标全国Ⅰ，14)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n＝________．解析 ∵S n ＝23a n ＋13，①∴当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13.②①－②，得a n ＝23a n －23a n －1，即a na n －1＝－2. ∵a 1＝S 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1.答案 (－2)n －16．(2015·安徽，18)设n ∈N *，x n 是曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1，2)处的切线与x 轴交点的横坐标．(1)求数列{x n }的通项公式； (2)记T n ＝x 21x 23…x 22n －1，证明T n ≥14n. (1)解 y ′＝(x 2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x 2n ＋1，曲线y ＝x2n ＋2＋1在点(1，2)处的切线斜率为从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1)． 令y ＝0，解得切线与x 轴交点的横坐标x n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. (2)证明 由题设和(1)中的计算结果知T n ＝x 21x 23…x22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫342…⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2. 当n ＝1时，T 1＝14.当n ≥2时，因为x22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2＝（2n －1）2（2n ）2>（2n －1）2－1（2n ）2＝2n －22n ＝n －1n . 所以T n >⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12×23×…×n －1n ＝14n .综上可得对任意的n ∈N *，均有T n ≥14n.7．(2014·广东，19)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15.(1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)依题有⎩⎪⎨⎪⎧S 1＝a 1＝2a 2－3－4，S 2＝a 1＋a 2＝4a 3－12－8，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝15，解得a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7. (2)∵S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，①∴当n ≥2时，S n －1＝2(n －1)a n －3(n －1)2－4(n －1)．② ①－②并整理得a n ＋1＝（2n －1）a n ＋6n ＋12n .由(1)猜想a n ＝2n ＋1，下面用数学归纳法证明． 当n ＝1时，a 1＝2＋1＝3，命题成立； 假设当n ＝k 时，a k ＝2k ＋1命题成立． 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝（2k －1）a k ＋6k ＋12k ＝（2k －1）（2k ＋1）＋6k ＋12k＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋1， 即当n ＝k ＋1时，结论成立．综上，∀n ∈N *，a n ＝2n ＋1.8．(2013·广东，19)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.(1)解 依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2)解 由题意2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)， 即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1.又a 22－a 11＝1， 故数列{a nn }是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列，所以a n n＝1＋(n －1)×1＝n . 所以a n ＝n 2.(3)证明 当n ＝1时，1a 1＝1<74；当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14＝54<74；当n ≥3时，1a n＝1n 2<1（n －1）n ＝1n －1－1n，此时1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝1＋14＋132＋142＋ (1)2<1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n <74.综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.。
【3年高考2年模拟】2016届人教版新课标高三数学(文)一轮复习课件 §6.1数列的概念及表示(数理化网)
(其中f可用解析式表示).
递推公式也是给出数列的一种方法.
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1.已知数列{an},an+1=3an+2,a1=1,则 ( A.{an}是等差数列 C.{an+1}是等差数列
)
B.{an}是等比数列 D.{an+1}是等比数列
答案 D
an1 1 由an+1=3an+2,可得an+1+1=3(an+1),即 =3,所以{an+1}是等 an 1
(2)图象法. (3)列表法.
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4.数列的分类
分类原则 类型 满足条件
按项数分类
有穷数列
无穷数列 递增数列
项数为④ 有限个
项数为⑤ 无限个 an+1>an an+1⑥ < an an+1=an 从第二项起,有些项大于它的前一项,有 些项小于它的前一项 其中n∈N*
按项与项间的大小 关系分类
递减数列 常数列 摆动数列
2 n ,, ,则第n组中每个数分子分母的和都为n 1 n n 1
1 2 , 1 1 2 3 ,…, 1 , , , , ,
1 2 1 3 2 1 5 +1,则 为第10组中的第5个,其项数为(1+2+3+…+9)+5=50. 6
an }是以 3 为首项, 3 为公差的等差数列,故 an = 3 +(n-1)× 3 ,即an=3n2. {
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典例题组
由数列的前几项求数列的通项公式
典例1 写出下面各数列的通项公式: (1)3,5,7,9,…;
31 ,…; 15 , 1 , 3 , 7 , (2)
第6章 第1节 数列的概念与简单表示法-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
6．已知数列{an}满足：an＝1－an1＋1，且 a1＝2，则 a2 019 1
＝____2____． 解析 由 an＝1－an1＋1可得 an＋1＝1－1an，结合 a1＝2，得
a2＝1－1 a1＝－1，a3＝1－1a2＝12，a4＝1－1a3＝2＝a1，所以数
列{an}是周期为 3 的周期数列，则 a2 019＝a3＋3×672＝a3＝12.
教材拓展
求数列的最大(小)项，一般可以利用数列的单调性，即 用aann≥ ≥aann－ ＋11，(n≥2，n∈N*)或aann≤ ≤aann－ ＋11，(n≥2，n∈N*)求解， 也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合思想求解．
基础自测
◇疑误辨析
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1) 相 同 的 一 组 数 按 不 同 顺 序 排 列 时 都 表 示 同 一 个 数
① ②
显然当 n＝1 时不满足上式．
2，n＝1， ∴an＝ 2n－1，n≥2.
n
►规律方法 数 列 的 通 项 an 与 前 n 项 和 Sn 的 关 系 是 an ＝ S1，n＝1， Sn－Sn－1，n≥2. (1)当 n＝1 时，a1 若适合 Sn－Sn－1，则 n＝1 的情况可并 入 n≥2 时的通项 an； (2)当 n＝1 时，a1 若不适合 Sn－Sn－1，则用分段函数的 形式表示．
n2＋n＋2 [例 2] 设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则 an＝____2____．
[ 解析] 由条件知 an＋1－an＝n＋1． 则 an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1＝(2＋ 3＋4＋…＋n)＋2＝n2＋n＋2．
周期性
【大高考】(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习第六章第一节数列的概念及简单的表示方法
解析n1 n － 11nn n n － 1 n － 1n nn －1 n － 1 {3n n1 的等差数a ＝3a＋ 3? 3 a ＝3 · a ＋ 1? 3 a －3 a＝ 1? a }是公差为 列，∴ 3n n ＝31＋－1＝ ＋2?n＝( ＋ 2)nn 1 ，aanna3设 a－ a ＝( n ＋3)1 n ＋11n1 n ＋13－ ( n ＋2) ·3＝3( n ＋ 3－ 3n － 6) ＜ 0，∴数列 { a } 单调递n ＋ 1nn减，∴最大值的项为 a ＝1.1答案1三、解答题12. (2021·XX 一中月考 ) 根据以下条件，确定数列 { a n } 的通项公式： (1) a 1＝1， a n ＋1＝3a n ＋2；n －1(2) a 1＝1， a n ＝n a n －1( n ≥2)；(3) 数列 { a n } 满足a n ＋1＝a n ＋ 3n ＋2，且a 1＝2，求a n .解 (1) ∵a n ＋1＝ 3a n ＋ 2，∴ a n ＋1＋1＝3( a n ＋1)，∴ a n ＋1＋1＝ 3，∴数列 { n ＋ 1} 为等比数列，公比q ＝ 3，a ＋1annn － 1 n n － 1又 a 1＋1＝2，∴ a ＋1＝2·3，∴a ＝2·3 － 1. (2) ∵n ＝ n －1 n － 1( ≥2) ，anann －21∴ a n －1＝a n －2，⋯， a 2＝ a 1.n －12以上 ( － 1) 个式子相乘得n1 2n －1 a 11a n ＝ a 1· · ·⋯·＝＝ .2 3nn n(3) ∵ a n ＋1－a n ＝3n ＋2，∴ a n － a n －1＝3n －1( n ≥2)，∴ a ＝( a － a －1)＋( a －1－ a －2)＋⋯＋( a 2－a 1)＋ a 1＝〔3 ＋ 1〕nn( n ≥2).nnnnn21当 n ＝1时， a 1＝×(3×1＋1)＝2符合公式，22n∴ a n ＝2n ＋2.3一年创新演练n 2n* x ＝1处的切线斜率为 n *13. 函数y ＝a x ( a ≠0，n ∈ N ) 的图象在 2a －1＋ 1( n ≥2，n ∈N ) ，且当 n ＝1时其图象过点(2，8)，那么 a 7的值为()1A. 2B.7C.5D.6解析由题知 y ′＝2a n x ，∴ 2a n ＝2a n －1＋1( n ≥2，n ∈ N * ) ，1∴ a n －a n －1＝2，又 n ＝1时其图象过点(2，8)，∴ a 1×22＝8，得 a 1＝2，1∴ { a n } 是首项为2，公差为2的等差数列，n 3a n ＝2＋2，得 a 7＝5.应选C.答案Cx－ 1〔 x ≤0〕， 2 14. 函数f ( x ) ＝把函数 g ( x )＝f ( x )－ x 的零点按从小到大f 〔 x －1〕＋1〔 x ＞0〕，的顺序排列成一个数列，那么该数列的通项公式为()A. a n ＝n 〔n －1〕( n ∈N *)2*nn ∈N)B. a ＝n ( n －1)(n*C. a ＝n －1( n ∈N )D. a n ＝2n －2( n ∈ N * )解析作为选择题，此题有一种有效的解法是先确定函数的第1， 2， 3，⋯有限个零点，即数列的前几项，然后归纳出其通项公式，或代入选项验证即可，2x － 1〔x ≤0〕，2 x － 1据函数关系式可得f ( x )＝ 〔 0＜x ≤1〕，2 x －2＋ 1〔 1＜x ≤2〕，⋯此时易知函数( ) ＝ f ( ) －x 的前几个零点依次为 0， 1， 2，⋯，代入验证只有 C 符合 .g xx答案C。
《三年高考两年模拟》数学(理科)汇编专题：6.1数列的概念及简单表示法(含答案解析)
第一节 数列的概念及简单表示法A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·浙江，13)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________.2.(2015·江苏，11)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________.3.(2015·安徽，18)设n ∈N *，x n 是曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标.(1)求数列{x n }的通项公式；(2)记T n ＝x 21x 23…x 22n －1，证明T n ≥14n.4.(2014·广东，19)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15.(1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·广东佛山一模)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫1＋sin 2nπ2a n ＋4cos 2nπ2，则a 9，a 10的大小关系为( )A.a 9>a 10B.a 9＝a 10C.a 9<a 10D.大小关系不确定 2.(2016·陕西西安模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2λn(n ∈N *)，则“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.(2016·玉溪一中模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n （n 为正奇数），a n ＋1 （n 为正偶数），则其前6项之和是( )A.16B.20C.33D.1204.(2015·天津南开中学月考)下列可作为数列{a n }：1，2，1，2，1，2，…的通项公式的是( ) A.a n ＝1 B.a n ＝（－1）n ＋12 C.a n ＝2－|sin nπ2| D.a n ＝（－1）n －1＋325.(2016·河南洛阳模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n(n ∈N *)，则该数列的前2 015项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2 015＝________.6.(2016·宁夏银川模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.7.(2015·温州质检)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫78n，则当a n 取得最大值时，n 等于________.8.(2015·天津新华中学模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a n n ≤2的正整数n 的集合为________.9.(2015·青岛一中模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.1 121 [由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2a 1＋1，a 2＋a 1＝4，解得a 1＝1，a 2＝3，当n≥2时，由已知可得： a n ＋1＝2S n ＋1，① a n ＝2S n －1＋1，②①－②得a n ＋1－a n ＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n ，又a 2＝3a 1， ∴{a n }是以a 1＝1为首项，公比q ＝3的等比数列. ∴S 5＝1－1×351－3＝121.]2.2011 [∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，将以上n－1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(2＋n)(n －1)2，即a n ＝n （n ＋1）2，令b n ＝1a n ，故b n＝2n （n ＋1）＝2⎣⎡⎦⎤1n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10＝2⎣⎡⎦⎤1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011.] 3.(1)解 y′＝(x 2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x 2n ＋1,曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1，2)处的切线斜率为2n ＋2，从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1).令y ＝0，解得切线与x 轴交点的横坐标x n ＝1－1n ＋1＝nn ＋1.(2)证明 由题设和(1)中的计算结果知T n ＝x 21x 23…x 22n －1＝⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫342…⎝⎛⎭⎫2n －12n 2. 当n ＝1时，T 1＝14.当n≥2时，因为x 22n －1＝⎝⎛⎭⎫2n －12n 2＝（2n －1）2（2n ）2>（2n －1）2－1（2n ）2＝2n －22n ＝n －1n .所以T n >⎝⎛⎭⎫122×12×23×…×n －1n ＝14n . 综上可得对任意的n ∈N *，均有T n ≥14n. 4.解 (1)依题有⎩⎪⎨⎪⎧S 1＝a 1＝2a 2－3－4，S 2＝a 1＋a 2＝4a 3－12－8，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝15，解得a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7.(2)∵S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，①∴当n≥2时，S n －1＝2(n －1)a n －3(n －1)2－4(n －1).②①－②并整理得a n ＋1＝（2n －1）a n ＋6n ＋12n.由(1)猜想a n ＝2n ＋1，下面用数学归纳法证明. 当n ＝1时，a 1＝2＋1＝3，命题成立； 假设当n ＝k 时，a k ＝2k ＋1命题成立. 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝（2k －1）a k ＋6k ＋12k ＝（2k －1）（2k ＋1）＋6k ＋12k ＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋1，即当n ＝k ＋1时，结论成立. 综上，∀n ∈N *，a n ＝2n ＋1.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.C [n 为奇数时，a 3＝2a 1＝2，a 5＝2a 3＝22，a 7＝2a 5＝23，a 9＝2a 7＝24； n 为偶数时，a 4＝a 2＋4＝5，a 6＝a 4＋4＝9，a 8＝a 6＋4＝13，a 10＝a 8＋4＝17. 所以a 9<a 10.故选C.]2.A [若数列{a n }为递增数列,则a n ＋1－a n >0,即2n ＋1>2λ对任意n ∈N *都成立,于是有3>2λ,λ<32,由λ<1可得λ<32;反之由λ<32不能得到λ<1,因此“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的充分不必要条件，故选A.]3.C [a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，∴S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33.]4.C [A 项显然不成立;n ＝1时,a 1＝－1＋12＝0,故B 项不正确；n ＝2时，a 2＝（－1）2－1＋32＝1,故D 项不正确.由a n ＝2－|sin nπ2|可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，…，故选C.]5. 3 [由题意可得，a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝2＝a 1，所以{a n }是以4为周期的数列，而2015＝4×503＋3，a 1a 2a 3a 4＝1，则前2 015项的乘积为1503·a 1·a 2·a 3＝3.] 6.2n－1[(1)∵S n ＝2a n －1，∴n≥2时，S n －1＝2a n －1－1，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1(n≥2). ∵n ＝1时，S 1＝2a 1－1＝a 1，∴a 1＝1.∴数列{a n }是1为首项，2为公比的等比数列.∴a n ＝2n －1.]7. 5或6 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧（n ＋2）⎝⎛⎭⎫78n ≥（n ＋1）⎝⎛⎭⎫78n －1，（n ＋2）⎝⎛⎭⎫78n ≥（n ＋3）⎝⎛⎭⎫78n ＋1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧n≤6，n≥5.∴n ＝5或6.]8.{1，2，3，4}[因为S n ＝2a n －1，所以当n≥2时，S n －1＝2a n －1－1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1，所以{a n }是公比为2的等比数列.又因为a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1， 故a n ＝2n －1，而a n n≤2，即2n －1≤2n ，所以有n ∈{1，2，3，4}.]9.解 (1)当n≥2时，由题可得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n2a n .①a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，②②－①得na n ＝n ＋12a n ＋1－n2a n ， 即(n ＋1)a n ＋1＝3na n ，（n ＋1）a n ＋1na n＝3，∴{na n }是以2a 2＝2为首项，3为公比的等比数列(n≥2)， ∴na n ＝2·3n －2，∴a n ＝2n ·3n －2(n≥2)，∵a 1＝1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n·3n －2，n≥2.(2)a n ≤(n ＋1)λ⇔λ≥a n n ＋1，由(1)可知当n≥2时，a nn ＋1＝2·3n －2n （n ＋1），设f(n)＝n （n ＋1）2·3n (n≥2，n ∈N *)，则f(n ＋1)－f(n)＝2（n ＋1）（1－n ）2·3n ＋1<0， ∴1f （n ＋1）>1f （n ）(n≥2)，又1f （2）＝13及a 12＝12，可得λ≥1f （2），∴所求实数λ的最小值为13.。
【大高考】2016三年模拟一年创新第六章 第一节 数列的概念及简单的表示方法 文
第一节 数列的概念及简单的表示方法A 组 专项基础测试 三年模拟精选一、选择题1.(2015·杭州七校联考)已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，若a 1＝1，a 5＝8，则a 3＝( ) A.1 B.2 C.3 D.72解析 a 3＝a 2＋a 1＝a 2＋1，a 4＝a 3＋a 2＝2a 2＋1，a 5＝a 4＋a 3＝2a 2＋1＋a 2＋1＝3a 2＋2，故a 2＝2，因此a 3＝a 2＋a 1＝3. 答案 C2.(2015·郑州市一测)已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1a 2a 3＝10，且5S 1S 5＝15，则a 2＝( ) A.2 B.3 C.4 D.5解析 依题意得55a 1a 3＝15，a 1a 3＝5，a 2＝10a 1a 3＝2.答案 A3.(2014·四川广安诊断)设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n 项之积为πn ，则π2 011的值为( ) A.－12 B.－1C.12D.2 解析 由a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2可知，数列{a n }是周期为3的周期数列，从而π2 011＝2×(－1)670＝2. 答案 D4.(2014·大连模拟)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝( )A.2＋ln nB.2＋(n －1)ln nC.2＋n ln nD.1＋n ＋ln n解析 由已知得a n ＋1－a n ＝ln(n ＋1)－ln n ，所以a 2－a 1＝ln 2－ln 1，a 3－a 2＝ln 3－ln 2，a 4－a 3＝ln 4－ln 3，…，a n －a n －1＝ln n －ln(n －1)，以上(n －1)个式子左右分别相加，得a n －a 1＝ln n ，所以a n ＝2＋ln n .故选A.答案 A 二、填空题5.(2014·吉林重点中学联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则a 2＝________，a n ＝________. 解析 由a n ＝n (a n ＋1－a n )，可得a n ＋1a n ＝n ＋1n ，则a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 2a 1·a 1＝n n －1×n －1n －2×n －2n －3×…×21×1＝n ，∴a 2＝2，a n ＝n . 答案 2 n6.(2014·广东佛山调研)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1，2，3，…)，则此数列的通项公式为a n ＝________；数列{na n }中数值最小的项是第________项.解析 当n ≥2时，S n －S n －1＝2n －11，n ＝1时也符合，则a n ＝2n －11，∴na n ＝2n 2－11n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫n －1142－1218，且n ∈N *，故n ＝3时，na n 最小.答案 2n －11 3一年创新演练7.若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋1，则向量m ＝(a 1，a 4)的模为( ) A.53 B.50 C.53 D.5 2解析 依题意得，a 1＝S 1＝2，a 4＝S 4－S 3＝(42＋1)－(32＋1)＝7，故m ＝(2，7)，|m |＝22＋72＝53，故选C. 答案 C8.已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n的两个零点，则b 10＝________.解析 ∵a n ＋a n ＋1＝b n ，a n ·a n ＋1＝2n，∴a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1，∴a n ＋2＝2a n .又∵a 1＝1，a 1·a 2＝2， ∴a 2＝2， ∴a 2n ＝2n，a 2n －1＝2n －1(n ∈N *)，∴b 10＝a 10＋a 11＝64. 答案 64B 组 专项提升测试 三年模拟精选一、选择题9．(2015·河北五市一中监测)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 2＝10，S 4＝36，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的一个方向向量是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 B ．(－1，－1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则由题设得：⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝10，4a 1＋6d ＝36，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4.所以a n ＝4n －1，PQ →＝(n ＋2－n ，a n ＋2－a n )＝(2，8)＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，所以过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的一个方向向量是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，故选A.答案 A10．(2015·泰安市检测)在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0(n ≥2)，则S 2n －1－4n 等于( )A.－2B.0C.1D.2 解析 ∵{a n }为等差数列，∴a n ＋1＋a n －1＝2a n ， 又∵a n ＋1＋a n －1＝a 2n ，∴a 2n ＝2a n ，∵a n ≠0，∴a n ＝2，故S 2n －1－4n ＝(2n －1)·2－4n ＝－2. 答案 A 二、填空题11.(2013·河南南阳三模)已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝13a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ≥2且n ∈N *)，则数列{a n }中项的最大值为________.解析 a n ＝13a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ⇒3n a n ＝3n －1·a n －1＋1⇒3n a n －3n －1a n －1＝1⇒{3na n }是公差为1的等差数列，∴3na n ＝3a 1＋n －1＝n ＋2⇒a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，设a n ＋1－a n ＝(n ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1－(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1(n ＋3－3n －6)＜0，∴数列{a n }单调递减，∴最大值的项为a 1＝1. 答案 1 三、解答题12.(2014·吉林一中月考)根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式： (1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2； (2)a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)； (3)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，且a 1＝2，求a n . 解 (1)∵a n ＋1＝3a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3， 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1.(2)∵a n ＝n －1na n －1(n ≥2)， ∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n.(3)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2，∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n （3n ＋1）2(n ≥2).当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴a n ＝32n 2＋n 2.一年创新演练13.已知函数y ＝a n x 2(a n ≠0，n ∈N *)的图象在x ＝1处的切线斜率为2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，且当n ＝1时其图象过点(2，8)，则a 7的值为( ) A.12 B.7 C.5 D.6 解析 由题知y ′＝2a n x ， ∴2a n ＝2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，∴a n －a n －1＝12，又n ＝1时其图象过点(2，8)，∴a 1×22＝8，得a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公差为12的等差数列，a n ＝n 2＋32，得a 7＝5.故选C.答案 C14.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1f （x －1）＋1（x ≤0），（x ＞0），把函数g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( ) A.a n ＝n （n －1）2(n ∈N *)B.a n ＝n (n －1)(n ∈N *) C.a n ＝n －1(n ∈N *) D.a n ＝2n－2(n ∈N *)解析 作为选择题，本题有一种有效的解法是先确定函数的第1，2，3，…有限个零点，即数列的前几项，然后归纳出其通项公式，或代入选项验证即可，据已知函数关系式可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1（x ≤0），2x －1（0＜x ≤1），2x －2＋1（1＜x ≤2），…此时易知函数g (x )＝f (x )－x 的前几个零点依次为0，1，2，…，代入验证只有C 符合.答案 C。
【5年高考3年模拟】（江苏专版）2016届高考数学一轮复习 6.1数列的有关概念 理
第六章数列§6.1数列的有关概念考点1 数列的概念及通项公式1.(2015课标Ⅱ,16,5分)设S n是数列{a n}的前n项和,且a1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n= . 答案-4.(2015重庆,22,12分)在数列{a n}中,a1=3,a n+1a n+λa n+1+μ=0(n∈N+).(1)若λ=0,μ=-2,求数列{a n}的通项公式;(2)若λ=(k0∈N+,k0≥2),μ=-1,证明:2+<<2+.解析(1)由λ=0,μ=-2,有a n+1a n=2(n∈N+).若存在某个n0∈N+,使得=0,则由上述递推公式易得=0.重复上述过程可得a1=0,此与a1=3矛盾,所以对任意n∈N+,a n≠0.从而a n+1=2a n(n∈N+),即{a n}是一个公比q=2的等比数列.故a n=a1q n-1=3·2n-1.(2)由λ=,μ=-1,数列{a n}的递推关系式变为a n+1a n+a n+1-=0,变形为a n+1=(n∈N+).由上式及a1=3>0,归纳可得3=a1>a2>...>a n>a n+1> 0因为a n+1===a n-+·,所以对n=1,2,…,k0求和得=a1+(a2-a1)+…+(-)=a1-k0·+·>2+·=2+.另一方面,由上已证的不等式知a1>a2>…>>>2,得=a1-k0·+·<2+·=2+.综上,2+<<2+.5.(2015四川,16,12分)设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记数列的前n项和为T n,求使得|T n-1|<成立的n的最小值.解析(1)由已知S n=2a n-a1,有a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1(n≥2),即a n=2a n-1(n≥2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列.故a n=2n.(2)由(1)得=,所以T n=++…+==1-.由|T n-1|<,得<,即2n>1 000.因为29=512<1 000<1 024=210,所以n≥10.于是,使|T n-1|<成立的n的最小值为10.考点2 数列的前n项和及性质1.(2015江苏,11,5分)设数列{a n}满足a1=1,且a n+1-a n=n+1(n∈N*),则数列前10项的和为.答案5.(2015课标Ⅰ,17,12分)S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>0,+2a n=4S n+3.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和.解析(1)由+2a n=4S n+3,可知+2a n+1=4S n+1+3.可得-+2(a n+1-a n)=4a n+1,即2(a n+1+a n)=-=(a n+1+a n)(a n+1-a n).由于a n>0,可得a n+1-a n=2.又+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3.所以{a n}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为a n=2n+1.(6分)(2)由a n=2n+1可知b n===.设数列{b n}的前n项和为T n,则T n=b1+b2+…+b n==.(12分)6.(2015山东,18,12分)设数列{a n}的前n项和为S n.已知2S n=3n+3.(1)求{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足a n b n=log3a n,求{b n}的前n项和T n.解析(1)因为2S n=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3,当n>1时,2S n-1=3n-1+3,此时2a n=2S n-2S n-1=3n-3n-1=2×3n-1,即a n=3n-1,所以a n=(2)因为a n b n=log3a n,所以b1=,当n>1时,b n=31-n log33n-1=(n-1)·31-n.所以T1=b1=;当n>1时,T n=b1+b2+b3+…+b n=+[1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n],所以3T n=1+[1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n],两式相减,得2T n=+(30+3-1+3-2+…+32-n)-(n-1)×31-n=+-(n-1)×31-n=-,所以T n=-.经检验,n=1时也适合.综上可得T n=-.7.(2015浙江,20,15分)已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n-(n∈N*).(1)证明:1≤≤2(n∈N*);(2)设数列{}的前n项和为S n,证明:≤≤(n∈N*).解析(1)由题意得a n+1-a n=-≤0,即a n+1≤a n,故a n≤.由a n=(1-a n-1)a n-1得a n=(1-a n-1)(1-a n-2)…(1-a1)a1>0.由0<a n≤得==∈[1,2],即1≤≤2.(2)由题意得=a n-a n+1,所以S n=a1-a n+1.①由-=和1≤≤2得1≤-≤2,所以n≤-≤2n,因此≤a n+1≤(n∈N*).②由①②得≤≤(n∈N*).。
3年高考(新课标)高考数学一轮复习 6.1数列的概念及其表示
【3年高考】（新课标）2016版高考数学一轮复习 6.1数列的概念及其表示1.(2013安徽,14,5分)如图,互不相同的点A1,A2,…,A n,…和B1,B2,…,B n,…分别在角O的两条边上,所有A n B n相互平行,且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等.设OA n=a n.若a1=1,a2=2,则数列{a n}的通项公式是.2.(2012课标全国,16,5分)数列{a n}满足a n+1+(-1)n a n=2n-1,则{a n}的前60项和为.3.(2012福建,14,4分)数列{a n}的通项公式a n=ncos+1,前n项和为S n,则S2 012= .4.(2014广东,19,14分)设数列{a n}的前n项和为S n,满足S n=2na n+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15.(1)求a1,a2,a3的值;(2)求数列{a n}的通项公式.5.(2012四川,20,12分)已知数列{a n}的前n项和为S n,且a2a n=S2+S n对一切正整数n都成立.(1)求a1,a2的值;(2)设a1>0,数列的前n项和为T n.当n为何值时,T n最大?并求出T n的最大值.1.答案a n=解析记△OA 1B1的面积为S,则△OA2B2的面积为4S.从而四边形A n B n B n+1A n+1的面积均为3S.可得△OA n B n的面积为S+3(n-1)S=(3n-2)S.∴=3n-2,即a n=.2.答案 1 830解析当n=2k(k∈N*)时,a 2k+1+a2k=4k-1,当n=2k-1(k∈N*)时,a2k-a2k-1=4k-3,∴a2k+1+a2k-1=2,∴a2k+3+a2k+1=2,∴a2k-1=a2k+3,∴a1=a5=…=a61.∴a1+a2+a3+…+a60=(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a60+a61)=3+7+11+…+(2×60-1)==30×61=1 830.3.答案 3 018解析∵a n=ncos+1,∴a1=cos+1=0+1,a2=2cos+1=-2+1,a3=3cos+1=0+1,a4=4cos+1=4+1,a5=5cos+1=0+1,a6=6cos+1=-6+1,……∴S2 012=+2 012=503×2+2 012=3 018.4.解析(1)依题有解得a1=3,a2=5,a3=7.(2)∵S n=2na n+1-3n2-4n,①∴当n≥2时,S n-1=2(n-1)a n-3(n-1)2-4(n-1).②①-②并整理得a n+1=.由(1)猜想a n=2n+1,下面用数学归纳法证明.当n=1时,a1=2+1=3,命题成立;假设当n=k时,a k=2k+1命题成立.则当n=k+1时,a k+1===2k+3=2(k+1)+1,即当n=k+1时,结论成立.综上,∀n∈N*,a n=2n+1.5.解析(1)取n=1,得a2a1=S2+S1=2a1+a2,①取n=2,得=2a1+2a2,②由②-①,得a2(a2-a1)=a2.③(i)若a2=0,由①知a1=0.(ii)若a2≠0,由③知a2-a1=1.④由①、④解得,a1=+1,a2=2+;或a1=1-,a2=2-.综上可得,a1=0,a2=0;或a1=+1,a2=+2;或a1=1-,a2=2-.(5分)(2)当a1>0时,由(1)知a1=+1,a2=+2.当n≥2时,有(2+)a n=S2+S n,(2+)a n-1=S2+S n-1,所以(1+)a n=(2+)a n-1,即a n=a n-1(n≥2),所以a n=a1()n-1=(+1)·()n-1.令b n=lg,则b n=1-lg()n-1=1-(n-1)lg 2=lg.所以数列{b n}是单调递减的等差数列,从而b1>b2>…>b7=lg>lg 1=0,当n≥8时,b n≤b8=lg<lg 1=0,故当n=7时,T n取得最大值,且T n的最大值为T7===7-lg 2.(12分)。
2016高考数学一轮复习 第六章 第1讲 数列的概念及简单表示法知识点 新人教A版
第1讲数列的概念及简单表示法最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类函数．知识梳理1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．已知数列{an}的前n 项和Sn ，则an ＝⎩⎪⎨⎪⎧S1 （n ＝1），Sn －Sn －1 （n≥2）.诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．(×)(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(√) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(×)(4)如果数列{an}的前n 项和为Sn ，则对∀n ∈N*，都有an ＝Sn －Sn －1.(×)2．(2014·保定调研)在数列{an}中，已知a1＝1，an ＋1＝2an ＋1，则其通项公式为an ＝( ) A ．2n －1 B ．2n －1＋1 C ．2n －1 D ．2(n －1)解析 法一 由an ＋1＝2an ＋1，可求a2＝3，a3＝7，a4＝15，…，验证可知an ＝2n －1.法二 由题意知an ＋1＋1＝2(an ＋1)，∴数列{an ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an ＋1＝2n ，∴an ＝2n －1. 答案 A3．设数列{an}的前n 项和Sn ＝n2，则a8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64解析 当n ＝8时，a8＝S8－S7＝82－72＝15. 答案 A4．(2014·新课标全国Ⅱ卷)数列{an}满足an ＋1＝11－an ，a8＝2，则a1＝________．解析 由an ＋1＝11－an ，得an ＝1－1an ＋1，∵a8＝2，∴a7＝1－12＝12，a6＝1－1a7＝－1，a5＝1－1a6＝2，…， ∴{an}是以3为周期的数列，∴a1＝a7＝12. 答案 125．(人教A 必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an ＝________．答案 5n －4考点一 由数列的前几项求数列的通项【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5，55，555，5 555，….解 (1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n ，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an ＝(－1)n(6n －5)． (2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．故所求数列的一个通项公式为an ＝2n（2n －1）（2n ＋1）.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，从而可得数列的一个通项公式为an ＝n22.(4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n －1，故所求的数列的一个通项公式为an ＝59(10n －1)．规律方法 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．【训练1】 (1)数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式an ＝________．(2)数列{an}的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是an ＝________． 解析 (1)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶然项为正，所以它的一个通项公式为an ＝(－1)n 1n （n ＋1）.(2)数列{an}的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故an ＝2n ＋1n2＋1.答案 (1)(－1)n 1n （n ＋1） (2)2n ＋1n2＋1考点二 利用Sn 与an 的关系求通项【例2】 设数列{an}的前n 项和为Sn ，数列{Sn}的前n 项和为Tn ，满足Tn ＝2Sn －n2，n ∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式． 解 (1)令n ＝1时，T1＝2S1－1， ∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1. (2)n≥2时，Tn －1＝2Sn －1－(n －1)2，则Sn ＝Tn －Tn －1＝2Sn －n2－[2Sn －1－(n －1)2] ＝2(Sn －Sn －1)－2n ＋1＝2an －2n ＋1. 因为当n ＝1时，a1＝S1＝1也满足上式， 所以Sn ＝2an －2n ＋1(n≥1)，当n≥2时，Sn －1＝2an －1－2(n －1)＋1， 两式相减得an ＝2an －2an －1－2，所以an ＝2an －1＋2(n≥2)，所以an ＋2＝2(an －1＋2)， 因为a1＋2＝3≠0，所以数列{an ＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列． 所以an ＋2＝3×2n －1，∴an ＝3×2n －1－2， 当n ＝1时也成立， 所以an ＝3×2n －1－2.规律方法 数列的通项an 与前n 项和Sn 的关系是an ＝⎩⎪⎨⎪⎧S1，n ＝1，Sn －Sn －1，n ≥2.当n ＝1时，a1若适合Sn －Sn －1，则n ＝1的情况可并入n≥2时的通项an ；当n ＝1时，a1若不适合Sn －Sn －1，则用分段函数的形式表示．【训练2】 (1)已知数列{an}的前n 项和为Sn ，a1＝1，Sn ＝2an ＋1，则Sn ＝( )A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎫32n －1C.⎝⎛⎭⎫23n －1 D.12n －1(2)已知数列{an}的前n 项和Sn ＝3n2－2n ＋1，则其通项公式为________． 解析 (1)∵Sn ＝2an ＋1， ∴当n≥2时，Sn －1＝2an ，∴an ＝Sn －Sn －1＝2an ＋1－2an(n≥2)， 即an ＋1an ＝32(n≥2)，又a2＝12，∴an ＝12×⎝⎛⎭⎫32n －2(n≥2)．当n ＝1时，a1＝1≠12×⎝⎛⎭⎫32－1＝13， ∴an ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12⎝⎛⎭⎫32n －2，n ≥2，∴Sn ＝2an ＋1＝2×12×⎝⎛⎭⎫32n －1＝⎝⎛⎭⎫32n －1.(2)当n ＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝3n2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5. 显然当n ＝1时，不满足上式，故数列的通项公式为an ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.答案 (1)B (2)an ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝16n －5，n ≥2考点三 由递推关系求通项 【例3】 在数列{an}中，(1)若a1＝2，an ＋1＝an ＋n ＋1，则通项an ＝________； (2)若a1＝1，Sn ＝n ＋23an ，则通项an ＝________．深度思考 本题中an ＋1－an ＝n ＋1与an ＋1an ＝n ＋1n 中的n ＋1与n ＋1n 不是同一常数，由此想到推导等差、等比数列通项的方法：累加法与累乘法．解析 (1)由题意得，当n≥2时，an ＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an －an －1)＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋（n －1）（2＋n ）2＝n （n ＋1）2＋1. 又a1＝2＝1×（1＋1）2＋1，符合上式，因此an ＝n （n ＋1）2＋1. (2)由题设知，a1＝1.当n ＞1时，an ＝Sn －Sn －1＝n ＋23an －n ＋13an －1， ∴anan －1＝n ＋1n －1， ∴an an －1＝n ＋1n －1，…，a4a3＝53，a3a2＝42，a2a1＝3. 以上n －1个式子的等号两端分别相乘，得到an a1＝n （n ＋1）2，又∵a1＝1，∴an ＝n （n ＋1）2. 答案 (1)n （n ＋1）2＋1 (2)n （n ＋1）2规律方法 已知递推关系式求通项，一般用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式． 【训练3】 (1)在数列{an}中，a1＝1，an ＋1＝3an ＋2，则它的一个通项公式为an ＝________． (2)设{an}是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a2n ＋1－na2n ＋an ＋1·an ＝0(n ＝1，2，3，…)，则它的通项公式an ＝________．解析 (1)an ＋1＝3an ＋2，即an ＋1＋1＝3(an ＋1)，即an ＋1＋1an ＋1＝3，法一a2＋1a1＋1＝3，a3＋1a2＋1＝3，a4＋1a3＋1＝3，…，an ＋1＋1an ＋1＝3.将这些等式两边分别相乘得an ＋1＋1a1＋1＝3n.因为a1＝1，所以an ＋1＋11＋1＝3n ，即an ＋1＝2×3n －1(n≥1)，所以an ＝2×3n －1－1(n≥2)，又a1＝1也满足上式，故an ＝2×3n －1－1. 法二 由an ＋1＋1an ＋1＝3，即an ＋1＋1＝3(an ＋1)， 当n≥2时，an ＋1＝3(an －1＋1)，∴an ＋1＝3(an －1＋1)＝32(an －2＋1)＝33(an －3＋1)＝… ＝3n －1(a1＋1)＝2×3n －1， ∴an ＝2×3n －1－1；当n ＝1时，a1＝1＝2×31－1－1也满足．∴an ＝2×3n －1－1.法三 由an ＋1＋1an ＋1＝3，所以数列{an ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，所以an ＋1＝2×3n －1，即an ＝2×3n －1－1. (2)∵(n ＋1)a2n ＋1＋an ＋1·an －na2n ＝0， ∴(an ＋1＋an)[(n ＋1)an ＋1－nan]＝0， 又an ＋1＋an ＞0，∴(n ＋1)an ＋1－nan ＝0， 即an ＋1an ＝n n ＋1，∴a2a1·a3a2·a4a3·a5a4·…·an an －1＝12×23×34×45×…×n －1n ，∴an ＝1n . 答案 (1)2×3n －1－1 (2)1n 微型专题 数列问题中的函数思想数列的单调性问题作为高考考查的一个难点，掌握其处理的方法非常关键，由于数列可看作关于n 的函数，所以可借助函数单调性的处理方法来解决．常见的处理方法如下：一是利用作差法比较an ＋1与an 的大小；二是借助常见函数的图象判断数列单调性；三是利用导函数．【例4】 数列{an}的通项公式是an ＝n2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，an 有最小值？并求出最小值． (2)对于n ∈N*，都有an ＋1＞an.求实数k 的取值范围．点拨 (1)求使an ＜0的n 值；从二次函数看an 的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f(n)＝n2＋kn ＋4.f(n)在N*上单调递增，可利用二次函数的对称轴研究单调性，但应注意数列通项中n 的取值． 解 (1)由n2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4.∵n ∈N*，∴n ＝2，3.∴数列中有两项是负数，即为a2，a3.∵an ＝n2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，an 有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.(2)由an ＋1＞an 知该数列是一个递增数列， 又因为通项公式an ＝n2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N*， 所以－k 2＜32，即得k ＞－3.点评 (1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N*上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k 的取值范围，使问题得到解决． (2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取． (3)易错分析：本题易错答案为k ＞－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数.[思想方法]1．由数列的前几项求数列通项，通常用观察法(对于交错数列一般有(－1)n 或(－1)n ＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．2．强调an 与Sn 的关系：an ＝⎩⎪⎨⎪⎧S1 （n ＝1），Sn －Sn －1 （n≥2）.3．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有两种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)利用累加或累乘法求数列的通项公式． [易错防范]1．数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列an ＝f(n)和函数y ＝f(x)的单调性是不同的． 2．数列的通项公式不一定唯一．3．在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an ＝Sn －Sn －1的形式，但它只适用于n≥2的情形．基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题1．数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式是an 等于 ( )A.（－1）n ＋12B ．cos n π2 C ．cosn ＋12πD ．cosn ＋22π解析 令n ＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确． 答案 D2．(2014·开封摸底考试)数列{an}满足an ＋1＋an ＝2n －3，若a1＝2，则a8－a4＝ ( ) A ．7B ．6C ．5D ．4解析 依题意得(an ＋2＋an ＋1)－(an ＋1＋an)＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即an ＋2－an ＝2，所以a8－a4＝(a8－a6)＋(a6－a4)＝2＋2＝4. 答案 D3．数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1＝1，an ＋1＝3Sn (n≥1)，则a6等于 ( ) A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1解析 当n≥1时，an ＋1＝3Sn ，则an ＋2＝3Sn ＋1，∴an ＋2－an ＋1＝3Sn ＋1－3Sn ＝3an ＋1，即an ＋2＝4an ＋1， ∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．又a2＝3S1＝3a1＝3，∴an ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2.∴当n ＝6时，a6＝3×46－2＝3×44. 答案 A4．设an ＝－3n2＋15n －18，则数列{an}中的最大项的值是( )A.163B.133C ．4D ．0解析 ∵an ＝－3⎝⎛⎭⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，an 最大，最大为0.答案 D5．(2014·东北三校联考)已知数列{an}的通项公式为an ＝n2－2λn(n ∈N*)，则“λ＜1”是“数列{an}为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 若数列{an}为递增数列，则有an ＋1－an ＞0，即2n ＋1＞2λ对任意的n ∈N*都成立，于是有3＞2λ，λ＜32.由λ＜1可推得λ＜32，但反过来，由λ＜32不能得到λ＜1，因此“λ＜1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件，故选A. 答案 A 二、填空题6．(2015·大连双基测试)已知数列{an}的前n 项和Sn ＝n2＋2n ＋1(n ∈N*)，则an ＝________． 解析 当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1，因此an ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝12n ＋1，n ≥27．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n ∈N*，都有a1·a2·a3·…·an ＝n2，则a3＋a5＝________．解析 由题意知：a1·a2·a3·…·an －1＝(n －1)2， ∴an ＝⎝⎛⎭⎫n n －12(n≥2)，∴a3＋a5＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫542＝6116.答案 61168．数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，an ＋1＝an ＋an ＋2(n ∈N*)，则a7＝________． 解析 由已知an ＋1＝an ＋an ＋2，a1＝1，a2＝2， 能够计算出a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1.答案 1 三、解答题9．已知数列{an}中，an ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N*，a ∈R ，且a≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{an}的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N*，都有an ≤a6成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)因为an ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N*，a ∈R ，且a≠0)，又a ＝－7，所以an ＝1＋12n －9.结合函数f(x)＝1＋12x －9的单调性，可知1＞a1＞a2＞a3＞a4， a5＞a6＞a7＞…＞an ＞1(n ∈N*)．所以数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0. (2)an ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a2.因为对任意的n ∈N*，都有an ≤a6成立， 结合函数f(x)＝1＋12x －2－a 2的单调性，所以5＜2－a2＜6，解得－10＜a ＜－8. 故实数a 的取值范围是(－10，－8)．10．(2015·陕西五校模拟)设数列{an}的前n 项和为Sn ，且Sn ＝4an －p ，其中p 是不为零的常数．(1)证明：数列{an}是等比数列；(2)当p ＝3时，数列{bn}满足bn ＋1＝bn ＋an(n ∈N*)，b1＝2，求数列{bn}的通项公式．(1)证明 因为Sn ＝4an －p ， 所以Sn －1＝4an －1－p (n≥2)，所以当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝4an －4an －1， 整理得an an －1＝43.由Sn ＝4an －p ，令n ＝1，得a1＝4a1－p ，解得a1＝p3. 所以{an}是首项为p 3，公比为43的等比数列．(2)解 当p ＝3时，由(1)知，an ＝⎝⎛⎭⎫43n －1， 由bn ＋1＝bn ＋an ，得bn ＋1－bn ＝⎝⎛⎭⎫43n －1，当n≥2时，可得bn ＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn －bn －1)＝2＋1－⎝⎛⎭⎫43n －11－43＝3⎝⎛⎭⎫43n －1－1，当n ＝1时，上式也成立．∴数列{bn}的通项公式为bn ＝3⎝⎛⎭⎫43n －1－1.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．数列{an}的通项an ＝nn2＋90，则数列{an}中的最大项是( )A ．310B ．19 C.119D.1060解析 因为an ＝1n ＋90n ，运用基本不等式得，1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N*，不难发现当n＝9或10时，an ＝119最大． 答案 C12．(2015·大庆质量检测)已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝1，a2＝3，记Sn ＝a1＋a2＋…＋an，则下列结论正确的是()A．a2 014＝－1，S2 014＝2 B．a2 014＝－3，S2 014＝5C．a2 014＝－3，S2 014＝2 D．a2 014＝－1，S2 014＝5解析由an＋1＝an－an－1(n≥2)，知an＋2＝an＋1－an，则an＋2＝－an－1(n≥2)，an ＋3＝－an，…，an＋6＝an，又a1＝1，a2＝3，a3＝2，a4＝－1，a5＝－3，a6＝－2，所以当k∈N时，ak＋1＋ak＋2＋ak＋3＋ak＋4＋ak＋5＋ak＋6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，所以a2 014＝a4＝－1，S2 014＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋3＋2＋(－1)＝5.答案 D13．(2014·山西四校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－n，则an＝________．解析当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－2an－1＋(n－1)，即an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2(an－1＋1)，∴数列{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an ＝2n－1.答案2n－114．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．解(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，又S1－31＝a－3(a≠3)，故数列{Sn－3n}是首项为a－3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*.(2)由(1)知Sn ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N*，于是，当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，当n ＝1时，a1＝a 不适合上式，故an ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1，2×3n －1＋（a －3）2n －2，n ≥2.an ＋1－an ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12·⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3，当n≥2时，an ＋1≥an ⇔12·⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3≥0⇔a ≥－9.又a2＝a1＋3>a1.综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞).第2讲 等差数列及其前n 项和最新考纲 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．知 识 梳 理 1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表达式：an ＋1－an ＝d(n ∈N*，d 为常数)，或an －an －1＝d(n≥2，d 为常数)． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d ，则其通项公式为an ＝a1＋(n －1)d ． 通项公式的推广：an ＝am ＋(n －m)d(m ，n ∈N*)． (2)等差数列的前n 项和公式 Sn ＝n （a1＋an ）2＝na1＋n （n －1）2d(其中n ∈N*，a1为首项，d 为公差，an 为第n 项)． 3．等差数列及前n 项和的性质(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2．(2)若{an}为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则am ＋an ＝ap ＋aq(m ，n ，p ，q ∈N*)． (3)若{an}是等差数列，公差为d ，则ak ，ak ＋m ，ak ＋2m ，…(k ，m ∈N*)是公差为md 的等差数列．(4)数列Sm ，S2m －Sm ，S3m －S2m ，…也是等差数列．(5)S2n －1＝(2n －1)an.(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2； 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 4．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 Sn ＝d 2n2＋⎝⎛⎭⎫a1－d 2n.数列{an}是等差数列⇔Sn ＝An2＋Bn(A ，B 为常数)． 5．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{an}中，a1＞0，d ＜0，则Sn 存在最大值；若a1＜0，d ＞0，则Sn 存在最小值． 诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×) (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n ∈N*，都有2an ＋1＝an ＋an ＋2.(√) (3)等差数列{an}的单调性是由公差d 决定的．(√)(4)数列{an}满足an ＋1－an ＝n ，则数列{an}是等差数列．(×)2．(2014·福建卷)等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14解析 由题知3a1＋3×22d ＝12，∵a1＝2，解得d ＝2，又a6＝a1＋5d ， ∴a6＝12.故选C. 答案 C3．(2013·新课标全国Ⅰ卷)设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若Sm －1＝－2，Sm ＝0，Sm ＋1＝3，则m ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析 ∵数列{an}为等差数列，且前n 项和为Sn ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn n 也为等差数列．∴Sm －1m －1＋Sm ＋1m ＋1＝2Sm m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0， 解得m ＝5，经检验为原方程的解，故选C. 答案 C4．(2014·北京卷)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n ＝________时，{an}的前n 项和最大．解析 因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.∴当n ＝8时，其前n 项和最大． 答案 85．(人教A 必修5P68A8改编)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________．解析 由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90， ∴a2＋a8＝2a5＝180. 答案 180考点一 等差数列的性质及基本量的求解【例1】 (1)设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．2解析 法一 (常规解法)：设公差为d ，则8a1＋28d ＝4a1＋8d ，即a1＝－5d ，a7＝a1＋6d ＝－5d ＋6d ＝d ＝－2，所以a9＝a7＋2d ＝－6.法二 (结合性质求解)：根据等差数列的定义和性质可得，S8＝4(a3＋a6)，又S8＝4a3，所以a6＝0，又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6. 答案 A(2)(2014·浙江卷)已知等差数列{an}的公差d ＞0.设{an}的前n 项和为Sn ，a1＝1，S2·S3＝36.①求d 及Sn ；②求m ，k(m ，k ∈N*)的值，使得am ＋am ＋1＋am ＋2＋…＋am ＋k ＝65. 解 ①由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36， 将a1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5.因为d ＞0，所以d ＝2.从而an ＝2n －1，Sn ＝n2(n ∈N*)．②由①得am ＋am ＋1＋am ＋2＋…＋am ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.由m ，k ∈N*知2m ＋k －1≥k ＋1＞1，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4.规律方法 (1)一般地，运用等差数列性质，可以化繁为简、优化解题过程．但要注意性质运用的条件，如m ＋n ＝p ＋q ，则am ＋an ＝ap ＋aq(m ，n ，p ，q ∈N*)，只有当序号之和相等、项数相同时才成立．(2)在求解等差数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．【训练1】 (1)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于( )A ．0B ．37C ．100D ．－37(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( )A ．13B ．12C ．11D ．10(3)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________． 解析 (1)设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an ＋1＋bn ＋1)－(an ＋bn)＝(an ＋1－an)＋(bn ＋1－bn)＝d1＋d2， ∴{an ＋bn}为等差数列， 又a1＋b1＝a2＋b2＝100，∴{an ＋bn}为常数列，∴a37＋b37＝100.(2)因为a1＋a2＋a3＝34，an －2＋an －1＋an ＝146， a1＋a2＋a3＋an －2＋an －1＋an ＝34＋146＝180， 又因为a1＋an ＝a2＋an －1＝a3＋an －2， 所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an ＝60， 所以Sn ＝n （a1＋an ）2＝n ·602＝390，即n ＝13. (3)∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列， ∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20， ∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60. 答案 (1)C (2)A (3)60 考点二 等差数列的判定与证明【例2】 (2014·梅州调研改编)若数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足an ＋2SnSn －1＝0(n≥2)，a1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1Sn 成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明 当n≥2时，由an ＋2SnSn －1＝0， 得Sn －Sn －1＝－2SnSn －1，所以1Sn －1Sn －1＝2，又1S1＝1a1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1Sn 是首项为2，公差为2的等差数列．(2)解 由(1)可得1Sn ＝2n ，∴Sn ＝12n . 当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）.当n ＝1时，a1＝12不适合上式．故an ＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.规律方法 证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明an －an －1＝d(n≥2，d 为常数)；二是等差中项法，证明2an ＋1＝an ＋an ＋2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．【训练2】 (2015·西安模拟)已知公差大于零的等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22. (1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn ＝Sn n ＋c ，是否存在非零实数c 使得{bn}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设等差数列{an}的公差为d ，且d ＞0， 由等差数列的性质，得a2＋a5＝a3＋a4＝22，所以a3，a4是关于x 的方程x2－22x ＋117＝0的解，所以a3＝9，a4＝13，易知a1＝1，故通项为an ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.(2)由(1)知Sn ＝n （1＋4n －3）2＝2n2－n ，所以bn ＝Sn n ＋c ＝2n2－nn ＋c . 法一 所以b1＝11＋c ，b2＝62＋c ，b3＝153＋c (c≠0)．令2b2＝b1＋b3，解得c ＝－12. 当c ＝－12时，bn ＝2n2－n n －12＝2n ，当n≥2时，bn －bn －1＝2.故当c ＝－12时，数列{bn}为等差数列．法二 由bn ＝Sn n ＋c ＝n （1＋4n －3）2n ＋c ＝2n ⎝⎛⎭⎫n －12n ＋c ，∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到bn ＝2n. ∵bn ＋1－bn ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N*)， ∴数列{bn}是公差为2的等差数列． 即存在一个非零常数c ＝－12， 使数列{bn}也为等差数列．考点三 等差数列前n 项和的最值问题【例3】 等差数列{an}的首项a1＞0，设其前n 项和为Sn ，且S5＝S12，则当n 为何值时，Sn 有最大值？深度思考 解决此类问题你首先想到的是哪种方法？在这里提醒大家：本题可用四种方法，请大家先思考．解 法一 由题意知d ＜0，因为Sn ＝d 2n2＋⎝⎛⎭⎫a1－d 2n ，则可设f(x)＝d 2x2＋⎝⎛⎭⎫a1－d 2x ，由S5＝S12知，抛物线的对称轴为x ＝5＋122＝172， 由图可知，当1≤n≤8时，Sn 单调递增； 当n≥9时，Sn 单调递减．又n ∈N*，所以当n ＝8或9时，Sn 最大．法二 设等差数列{an}的公差为d ，由S5＝S12得5a1＋10d ＝12a1＋66d ， d ＝－18a1＜0.所以Sn ＝na1＋n （n －1）2d ＝na1＋n （n －1）2·(－18a1) ＝－116a1(n2－17n)＝－116a1⎝⎛⎭⎫n －1722＋28964a1，因为a1＞0，n ∈N*，所以当n ＝8或n ＝9时，Sn 有最大值． 法三 设等差数列{an}的公差为d ，由法二得d ＝－18a1＜0.设此数列的前n 项和最大，则⎩⎪⎨⎪⎧an ≥0，an ＋1≤0，即⎩⎨⎧an ＝a1＋（n －1）·⎝⎛⎭⎫－18a1≥0，an ＋1＝a1＋n·⎝⎛⎭⎫－18a1≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤9，n ≥8，即8≤n≤9，又n ∈N*，所以当n ＝8或n ＝9时，Sn 有最大值． 法四 同法二得d ＝－18a1＜0，又S5＝S12，得a6＋a7＋a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝0， ∴7a9＝0，∴a9＝0，∴当n ＝8或9时，Sn 有最大值．规律方法 求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n 项和Sn ＝An2＋Bn(A ，B 为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值．【训练3】 (1)等差数列{an}的前n 项和为Sn ，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn 取最大值时，n 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8(2)(2014·望江中学模拟)设数列{an}是公差d ＜0的等差数列，Sn 为前n 项和，若S6＝5a1＋10d ，则Sn 取最大值时，n 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．5或6 D ．11(3)已知等差数列{an}的首项a1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和Sn 的最大值为________． 解析 (1)依题意得2a6＝4，2a7＝－2，a6＝2＞0，a7＝－1＜0；又数列{an}是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当Sn 取最大值时，n ＝6，选B.(2)由题意得S6＝6a1＋15d ＝5a1＋10d ，所以a6＝0，故当n ＝5或6时，Sn 最大，选C. (3)因为等差数列{an}的首项a1＝20，公差d ＝－2，代入求和公式得， Sn ＝na1＋n （n －1）2d ＝20n －n （n －1）2×2 ＝－n2＋21n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2122＋⎝⎛⎭⎫2122， 又因为n ∈N*，所以n ＝10或n ＝11时，Sn 取得最大值，最大值为110. 答案 (1)B (2)C (3)110[思想方法]1．判断数列为等差数列的方法(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．2．方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解．3．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a，a＋d，a＋2d；(2)a－d，a，a＋d；(3)a－d，a＋d，a＋3d等，可视具体情况而定．[易错防范]1．当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d＝0时，an为常数．2．公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列．3．求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件．若对称轴取不到，需考虑最接近对称轴的自变量n(n为正整数)；若对称轴对应两个正整数的中间，此时应有两个符合题意的n值．基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·温州二模)记Sn 为等差数列{an}的前n 项和，若S33－S22＝1，则其公差d ＝( )A.12 B ．2 C ．3D ．4解析 由S33－S22＝1，得a1＋a2＋a33－a1＋a22＝1， 即a1＋d －⎝⎛⎭⎫a1＋d 2＝1，∴d ＝2.答案 B2．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn 为其前n 项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝( )A ．2B ．－2C.12D ．－12解析 由题意知S1＝a1，S2＝2a1－1，S4＝4a1－6，因为S1，S2，S4成等比数列，所以S22＝S1·S4，即(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得a1＝－12，故选D. 答案 D3．(2015·石家庄模拟)已知等差数列{an}，且3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，则数列{an}的前13项之和为( )A ．24B ．39C ．104D ．52解析 因为{an}是等差数列，所以3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝6a4＋6a10＝48，所以a4＋a10＝8，其前13项的和为13（a1＋a13）2＝13（a4＋a10）2＝13×82＝52，故选D. 答案 D4．(2015·广州综合测试)设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，公差d≠0，若S11＝132，a3＋ak ＝24，则正整数k 的值为 ( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析 依题意得S11＝11（a1＋a11）2＝11a6＝132，a6＝12，于是有a3＋ak ＝24＝2a6，因此3＋k ＝2×6＝12，k ＝9，故选A. 答案 A5．(2014·武汉调研)已知数列{an}满足an ＋1＝an －57，且a1＝5，设{an}的前n 项和为Sn ，则使得Sn 取得最大值的序号n 的值为( ) A ．7B ．8C ．7或8D ．8或9解析 由题意可知数列{an}是首项为5，公差为－57的等差数列，所以an ＝5－57(n －1)＝40－5n 7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以Sn 取得最大值时，n ＝7或8，故选C. 答案 C 二、填空题6．(2014·肇庆二模)在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________． 解析 a25－a15＝10d ＝66－33＝33，∴a35＝a25＋10d ＝66＋33＝99. 答案 997．设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________． 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a1＋d ＝6a1＋6×52d ，a1＋3d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝7，d ＝－2，∴a5＝a4＋d ＝1＋(－2)＝－1.答案 －18．已知等差数列{an}中，S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝________．解析∵{an}为等差数列，∴S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，∴2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2(S6－S3)－S3＝2(36－9)－9＝45.答案45三、解答题9．(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．(1)证明由题设知，anan＋1＝λS n－1，an＋1an＋2＝λS n＋1－1.两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λa n＋1.由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)解由题设知，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1<0，S2 015＝0.(1)求Sn 的最小值及此时n 的值； (2)求n 的取值集合，使an ≥Sn. 解 (1)设公差为d ，则由S2 015＝0⇒ 2 015a1＋2 015×2 0142d ＝0⇒a1＋1 007d ＝0， d ＝－11 007a1，a1＋an ＝2 015－n 1 007a1，∴Sn ＝n 2(a1＋an)＝n 2·2 015－n 1 007a1＝a12 014(2 015n －n2)． ∵a1<0，n ∈N*，∴当n ＝1 007或1 008时，Sn 取最小值504a1. (2)an ＝1 008－n1 007a1，Sn ≤an ⇔a12 014(2 015n －n2)≤1 008－n 1 007a1. ∵a1<0，∴n2－2 017n ＋2 016≤0， 即(n －1)(n －2 016)≤0，解得1≤n≤2 016. 故所求n 的取值集合为{n|1≤n≤2 016，n ∈N*}． 能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．(2015·东北三省四市联考)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为 ( ) A.53B.103C.56D.116解析 依题意，设这100份面包所分成的五份由小到大依次为a －2m ，a －m ，a ，a ＋m ，a ＋2m ，则有⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝100，a ＋（a ＋m ）＋（a ＋2m ）＝7（a －2m ＋a －m ），解得a ＝20，m ＝11a 24，a －2m ＝a 12＝53，即其中最小一份为53，故选A. 答案 A12．(2014·杭州质量检测)设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，(n ＋1)Sn ＜nSn ＋1(n ∈N*)．若a8a7＜－1，则( )A ．Sn 的最大值是S8B ．Sn 的最小值是S8C ．Sn 的最大值是S7D ．Sn 的最小值是S7解析 由条件得Sn n ＜Sn ＋1n ＋1，即n （a1＋an ）2n ＜（n ＋1）（a1＋an ＋1）2（n ＋1）， 所以an ＜an ＋1，所以等差数列{an}为递增数列．又a8a7＜－1，所以a8＞0，a7＜0，即数列{an}前7项均小于0，第8项大于零，所以Sn 的最小值为S7，故选D. 答案 D13．(2014·陕西卷)已知f(x)＝x1＋x，x ≥0，若f1(x)＝f(x)，fn ＋1(x)＝f(fn(x))，n ∈N*，则f2 014(x)的表达式为________． 解析 由已知易知fn(x)＞0， ∵fn ＋1(x)＝f(fn(x))＝fn （x ）1＋fn （x ），∴1fn ＋1（x ）＝1＋fn （x ）fn （x ）＝1fn （x ）＋1⇒1fn ＋1（x ）－1fn （x ）＝1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1fn （x ）是以1f1（x ）＝1＋x x 为首项，1为公差的等差数列．∴1fn （x ）＝1＋x x ＋(n －1)×1＝1＋nx x ， ∴fn(x)＝x 1＋nx ，∴f2 014(x)＝x1＋2 014x .答案x1＋2 014x14．已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为Sn ，且Sk ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{bn}的通项bn ＝Snn ，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n 项和Tn.解 (1)设该等差数列为{an}，则a1＝a ，a2＝4，a3＝3a ， 由已知有a ＋3a ＝8，得a1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2， 所以Sk ＝ka1＋k （k －1）2·d ＝2k ＋k （k －1）2×2＝k2＋k. 由Sk ＝110，得k2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2)由(1)得Sn ＝n （2＋2n ）2＝n(n ＋1)，则bn ＝Sn n ＝n ＋1， 故bn ＋1－bn ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列， 所以Tn ＝n （2＋n ＋1）2＝n （n ＋3）2.第3讲 等比数列及其前n 项和最新考纲 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前n 项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系．知 识 梳 理 1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．数学语言表达式：anan －1＝q(n≥2，q 为非零常数)，或an ＋1an ＝q(n ∈N*，q 为非零常数)．2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q ，则其通项公式为an ＝a1qn －1； 通项公式的推广：an ＝amqn －m.(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，Sn ＝na1；当q ≠1时，Sn ＝a1（1－qn ） 1－q ＝a1－anq1－q .3．等比数列及前n 项和的性质(1)如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G2＝ab.(2)若{an}为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n(k ，l ，m ，n ∈N*)，则ak ·al ＝am ·an ．(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak ，ak ＋m ，ak ＋2m ，…仍是等比数列，公比为qm ．(4)当q≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，Sn ，S2n －Sn ，S3n －S2n 仍成等比数列，其公比为qn ． 诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)满足an ＋1＝qan(n ∈N*，q 为常数)的数列{an}为等比数列．(×) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b2＝ac.(×)(3)数列{an}的通项公式是an ＝an ，则其前n 项和为Sn ＝a （1－an ）1－a .(×)(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(×) 2．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7解析 法一 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a4＋a7＝a1q3＋a1q6＝2，a5a6＝a1q4×a1q5＝a21q9＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧q3＝－2，a1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q3＝－12，a1＝－8，∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7. 法二 由⎩⎪⎨⎪⎧a4＋a7＝2，a5a6＝a4a7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a4＝－2，a7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a4＝4，a7＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧q3＝－2，a1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q3＝－12，a1＝－8，∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7. 答案 D3．(2014·大纲全国卷)设等比数列{an}的前n 项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64解析 由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.故选C.答案 C4．(2014·广东卷)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．解析 由等比数列的性质可知，a10a11＋a9a12＝2e5，所以a10·a11＝e5，于是 ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝10ln(a10·a11)＝10ln e5＝50. 答案 505．(人教A 必修5P54A8改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q3，q3＝27，∴q ＝3.所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 答案 27，81考点一 等比数列中基本量的求解【例1】 (1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn 为其前n 项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( ) A.152 B.314 C.334 D.172(2)在等比数列{an}中，a4＝2，a7＝16，则an ＝________．(3)在等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an ＝1，则n ＝________． 解析 (1)显然公比q≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a1q·a1q3＝1，a1（1－q3）1－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a1＝9，q ＝－13(舍去)，∴S5＝a1（1－q5）1－q＝4⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝314. (2)由a7a4＝q3＝8，知q ＝2，所以an ＝a4qn －4＝2·2n －4＝2n －3. (3)因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q ＝12，由a1q ＋a1q4＝18，知a1＝32， 所以an ＝a1qn －1＝1，解得n ＝6. 答案 (1)B (2)2n －3 (3)6规律方法 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n ，q ，an ，Sn ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．【训练1】 在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n 项和．解 设该数列的公比为q ，由已知可得a1q －a1＝2， 4a1q ＝3a1＋a1q2，所以a1(q －1)＝2，q2－4q ＋3＝0， 解得q ＝3或q ＝1.由于a1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去． 故公比q ＝3，首项a1＝1. 所以数列的前n 项和Sn ＝3n －12. 考点二 等比数列的性质及应用【例2】 (1)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n 项和为Sn ，若S10S5＝3132，则公比q ＝________． 解析 (1)法一 由等比中项的性质得a3a11＝a27＝16，又数列{an}各项为正，所以a7＝4.所以a10＝a7×q3＝32.所以log2a10＝5.法二 设等比数列的公比为q ，由题意知，an ＞0，则a3·a11＝a27＝⎝⎛⎭⎫a10q32＝126a210＝24，所以a210＝210，解得a10＝25. 故log2a10＝5.(2)由S10S5＝3132，a1＝－1知公比q≠1，则S10－S5S5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－132，q ＝－12. 答案 (1)B (2)－12规律方法 (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则am ·an ＝ap ·aq ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．【训练2】 (1)已知x ，y ，z ∈R ，若－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，则xyz 的值为( ) A ．－3 B ．±3 C ．－3 3 D ．±3 3(2)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2解析 (1)由等比中项知y2＝3，∴y ＝±3， 又∵y 与－1，－3符号相同，∴y ＝－3，y2＝xz ， 所以xyz ＝y3＝－3 3.(2)把a1a2a3，a2a3a4，…，a7a8a9各看成一个整体，由题意知它们分别是一个等比数列。
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第六章数列6.1数列的概念与简单表示法习题理
核按钮（新课标）高考数学一轮复习第六章数列6.1数列的概念与简单表示法习题理1．数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 ．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做 )，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．所以，数列的一般形式可以写成 ，其中a n 是数列的第n 项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{a n }．(2)通项公式：如果数列{a n }的 与序号 _________之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数(离散的)，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________．(4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项_________与它的前一项_________ (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．(5)数列的表示方法有_________、_________、_________、_________. 2．数列的分类(1)数列按项数是有限还是无限来分，分为_________、_________.(2)按项的增减规律分为_________、_________、_________和________．递增数列⇔a n＋1_________a n ；递减数列⇔a n ＋1_________a n ；常数列⇔a n ＋1 _________a n .递增数列与递减数列统称为_________．3．数列前n 项和S n 与a n 的关系已知S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ （n ＝1），（n ≥2）.4．常见数列的通项(1)1，2，3，4，…的一个通项公式为a n ＝____________； (2)2，4，6，8，…的一个通项公式为a n ＝____________； (3)3，5，7，9，…的一个通项公式为a n ＝____________； (4)2，4，8，16，…的一个通项公式为a n ＝____________； (5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为a n ＝___________； (6)1，0，1，0，…的一个通项公式为a n ＝___________； (7)a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式为a n ＝___________； (8)9，99，999，…的一个通项公式为a n ＝ .注：据此，很易获得数列1，11，111，…；2，22，222，…；…；8，88，888，…的通项公式分别为19(10n －1)，29(10n －1)，…，89(10n－1)．自查自纠1．(1)项 首项 a 1，a 2，a 3，…，a n ，… (2)第n 项 n (3)函数值 (4)a n a n －1(5)通项公式法(解析式法) 列表法 图象法 递推公式法 2．(1)有穷数列 无穷数列 (2)递增数列 递减数列 摆动数列 常数列 ＞ ＜ ＝ 单调数列 3．S 1 S n －S n －14．(1)n (2)2n (3)2n ＋1 (4)2n(5)(－1)n(6)1＋（－1）n －12(7)（a ＋b ）＋（－1）n －1（a －b ）2(8)10n－1已知n ∈N *，给出4个表达式：①a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为奇数，1，n 为偶数， ②a n ＝1＋（－1）n2，③a n ＝1＋cos n π2，④a n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2.其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④解：检验知①②③都是所给数列的通项公式．故选A .(2015·海南三亚模拟)在数列1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的( ) A ．第16项 B ．第24项 C ．第26项D ．第28项解：观察a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令a n ＝3n －2＝219＝76，得n ＝26.故选C .在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n(n ≥2，n ∈N ＋)，则a 3a 5的值是( ) A.1516B.158C.34 D.38解：∵a n a n －1＝a n －1＋(－1)n，∴a n ＝1＋（－1）na n －1(a n －1≠0)．∵a 1＝1，∴a 2＝2，a 3＝12，a 4＝3，a 5＝23，∴a 3a 5＝34.故选C . 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－3，则数列{a n }的通项公式为________．解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n－3)－(2n －1－3)＝2n －1，a 1不适合此等式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1， n ＝1，2n －1，n ≥2. 故填a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1， n ＝1，2n －1，n ≥2. (2015·江苏)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．解：由a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，得a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝n （n ＋1）2，则1a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项的和S 10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋110－111＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－111＝2011.故填2011.类型一 数列的通项公式根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)－1，7，－13，19，…；(2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5，55，555，5 555，….解：(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式正负性可用(－1)n调节，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)．(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．故数列的一个通项公式为a n ＝2n（2n －1）（2n ＋1）.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，故数列的一个通项公式为a n ＝n 22. (4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故数列的一个通项公式为a n ＝59(10n－1)．【点拨】①注意通项公式的形式不一定是惟一的，如数列1，0，1，0，…的通项公式可写成a n ＝1＋（－1）n ＋12或a n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2，甚至分段形式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 是奇数，0，n 是偶数等．②对于此类归纳猜想求通项的题目，一定要掌握一些常见数列的通项公式，如{n }，{2n }，{(－1)n }，{2n }，{n 2}，{2n －1}等，在此基础之上还要掌握一定的方法，如将各项分解成若干个数的和、差、积、商，分离分子分母等．写出下列数列的一个通项公式：(1)－1，12，－13，14，－15，…；(2)3，5，9，17，33，…； (3)3，33，333，3 333，…； (4)23，－1，107，－179，2611，…. 解：(1)a n ＝(－1)n·1n；(2)a n ＝2n＋1；(3)a n ＝13(10n－1)；(4)由于－1＝－55，故分母为3，5，7，9，11，…，即{2n ＋1}，分子为2，5，10，17，26，…，即{n 2＋1}．符号看作各项依次乘1，－1，1，－1，…，即{(－1)n ＋1}，故a n＝(－1)n ＋1·n 2＋12n ＋1.类型二 由前n 项和公式求通项公式(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n ，则此数列的通项公式为a n ＝______________．(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n＋1，则此数列的通项公式为a n ＝______________． 解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－10＝－9； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11.当n ＝1时，2×1－11＝－9＝a 1.∴a n ＝2n －11. 故填2n －11.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1)－(2n －1＋1)＝2n －2n －1＝2n －1.综上有 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2n －1（n ≥2）.故填⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2n －1（n≥2）.【点拨】任何一个数列，它的前n 项和S n 与通项a n 都存在关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）.若a 1适合S n －S n －1，则应把它们统一起来，否则就用分段函数表示．另外一种快速判断技巧是利用S 0是否为0来判断：若S 0＝0，则a 1适合S n －S n －1，否则不符合，这在解小题时比较有用．已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，分别求它们的通项公式a n .(1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n＋b .解：(1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.(2)a 1＝S 1＝3＋b ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ， n ＝1，2·3n －1，n ≥2. 类型三 由递推公式求通项公式写出下面各数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1；(2)a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n ；(3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.解：(1)由题意得，当n ≥2时，a n －a n －1＝n ， ∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋（n －1）（2＋n ）2＝n （n ＋1）2＋1.又a 1＝2＝1×（1＋1）2＋1，适合上式，因此a n ＝n （n ＋1）2＋1.(2)由题设知，a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1.∴a n a n －1＝n ＋1n －1. ∴a n a n －1＝n ＋1n －1，…，a 4a 3＝53，a 3a 2＝42，a 2a 1＝3. 以上n －1个式子的等号两端分别相乘， 得到a n a 1＝n （n ＋1）2.又∵a 1＝1，∴a n ＝n （n ＋1）2.(3)解法一：(累乘法)a n ＋1＝3a n ＋2，得a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 即a n ＋1＋1a n ＋1＝3， ∴a 2＋1a 1＋1＝3，a 3＋1a 2＋1＝3，a 4＋1a 3＋1＝3，…，a n ＋1＋1a n ＋1＝3. 将这些等式两边分别相乘得a n ＋1＋1a 1＋1＝3n.∵a 1＝1，∴a n ＋1＋11＋1＝3n，即a n ＋1＝2×3n－1(n ≥1)， ∴a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也适合上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1.解法二：(迭代法)a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)＝32(a n －1＋1)＝33(a n －2＋1) ＝ (3)(a 1＋1)＝2×3n (n ≥1)， ∴a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1.【点拨】已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列；当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，一般用累加法求通项；当出现a na n －1＝f (n )时，一般用累乘法求通项．还须注意检验n ＝1时，是否适合所求．写出下面各递推公式表示的数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）；(2)a 1＝1，a n ＋1＝2na n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1. 解：(1)∵当n ≥2时，a n －a n －1＝1n （n －1）＝1n －1－1n，∴当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋2＝3－1n . 当n ＝1时，适合．故a n ＝3－1n.(2)∵a n ＋1a n ＝2n ，∴a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1＝2n －1，将这n －1个等式叠乘，得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2，∴a n ＝2n （n －1）2. 当n ＝1时，适合．故a n ＝2n （n －1）2.(3)由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n，∴a n ＝2n－1.类型四 数列通项的性质在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }先递增，后递减； (2)求数列{a n }的最大项．解：因为a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n是积幂形式的式子且a n ＞0，所以可用作商法比较a n 与a n －1的大小．(1)证明：令a na n －1≥1(n ≥2)，即（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011nn ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1≥1，整理得n ＋1n ≥1110，解得n ≤10. 令a na n ＋1≥1，即（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n （n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1≥1，整理得n ＋1n ＋2≥1011，解得n ≥9.∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减．(2)由(1)知a 9＝a 10＝1010119最大．【点拨】要证明数列{a n }是单调的，可利用“{a n }是递增数列⇔a n ＜a n ＋1，数列{a n }是递减数列⇔a n ＞a n ＋1”来证明．注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数列问题的重要途径，因此要熟练掌握上述求数列单调性的方法．设函数f (x )＝log 2x －log x 2(0＜x ＜1)，数列{a n }满足)2(n af ＝2n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)判断数列{a n }的单调性． 解：(1)∵)2(n af ＝2log 2log 22n a na -＝a n －1a n，∴a n －1a n＝2n ，即a 2n －2na n －1＝0.∴a n ＝n ±n 2＋1，∵x ∈(0，1)，∴2an ∈(0，1)，a n ＜0. ∴a n ＝n －n 2＋1.(2)a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－（n ＋1）2＋1－(n －n 2＋1) ＝1－（n ＋1）2＋1－n 2＋1＝1－2n ＋1（n ＋1）2＋1＋n 2＋1 ＞1－2n ＋1（n ＋1）＋n ＝0，∴a n ＋1＞a n ，则数列{a n }是递增数列．也可由a n ＝－1n ＋n 2＋1直接判断．1．已知数列的前几项，求数列的通项公式，应从以下几方面考虑： (1)如果符号正负相间，则符号可用(－1)n或(－1)n ＋1来调节．(2)分式形式的数列，分子和分母分别找通项，并充分借助分子和分母的关系来解决． (3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决． 此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决．2．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2），注意a n ＝S n －S n －1的条件是n ≥2，还须验证a 1是否符合a n (n ≥2)，是则合并，否则写成分段形式．3．已知递推关系求通项掌握先由a 1和递推关系求出前几项，再归纳、猜想a n 的方法，以及“累加法”“累乘法”等．(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可以用“累加法”得：a n ＝a 1＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)＋f (n )．(2)已知a 1且a na n －1＝f (n )，可以用“累乘法”得：a n ＝a 1·f (2)·f (3)·…·f (n －1)·f (n )．注：以上两式均要求{f (n )}易求和或积． 4．数列的简单性质(1)单调性：若a n ＋1＞a n ，则{a n }为递增数列；若a n ＋1＜a n ，则{a n }为递减数列． (2)周期性：若a n ＋k ＝a n (n ∈N *，k 为非零正整数)，则{a n }为周期数列，k 为{a n }的一个周期．(3)最大值与最小值：若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1， 则a n 最大；若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n≤a n －1， 则a n 最小．1．数列0.9，0.99，0.999，…的一个通项公式是( )A ．1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110nB ．－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110nC ．1－⎝ ⎛⎭⎪⎫110nD ．1－⎝ ⎛⎭⎪⎫110n ＋1解：原数列前几项可改写为1－110，1－1102，1－1103，…，故通项a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫110n .故选C .2．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝( ) A ．2n －1B ．n 2C.（n ＋1）2n2D.n 2（n －1）2解：设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2（n －1）2.故选D .3．数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( )A ．310B ．19C.119 D.1060解：易得a n ＝1n ＋90n ，运用基本不等式得，1n ＋90n≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或10时，a n ＝119最大．故选C .4．对于数列{a n } )x 1 2 3 4 5 f (x )54312A.2B ．3C ．4D ．5解：∵a 1＝4，∴a 2＝f (a 1)＝f (4)＝1，同理有：a 3＝5，a 4＝2，a 5＝4，a 6＝1，…，易得a n ＋4＝a n .∴a 2017＝a 504×4＋1＝a 1＝4.故选C .5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 的值为( )A ．2＋lg nB ．2＋(n －1)lg nC ．2＋n lg nD ．1＋n lg n解法一：∵a n ＋1－a n ＝lg n ＋1n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝lg n n －1＋lg n －1n －2＋…＋lg 21＋2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·32·21＋2＝lg n ＋2. 解法二：a n ＋1＝a n ＋lg(n ＋1)－lg n ，a n ＋1－lg(n ＋1)＝a n －lg n ，所以数列{a n －lg n }是常数列，a n －lg n ＝a 1－lg1＝2，a n ＝2＋lg n .故选A .6．(2015·云南昆明检测)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( )A ．a 100＝－1，S 100＝5B ．a 100＝－3，S 100＝5C ．a 100＝－3，S 100＝2D ．a 100＝－1，S 100＝2解：∵a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，∴a 3＝2，a 4＝－1，a 5＝－3，a 6＝－2，a 7＝1，a 8＝3，…，由此可知数列中各项满足a n ＋6＝a n ，且a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋6＝0.故a 100＝a 4＝－1，S 100＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝5.故选A .7．已知数列{a n }满足a s ·t ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________.解：令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4，令s ＝2，t ＝4，则a 8＝a 2×4＝a 2×a 4＝8.故填8. 8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)，则“λ＜1”是“数列{a n }为递增数列”的________条件．解：a n ＝n 2－2λn ＝(n －λ)2－λ2，显然a n 在[λ，＋∞)上单调递增．∴λ＜1⇒数列{a n }为递增数列．数列{a n }为递增数列λ＜1⎝⎛⎭⎪⎫举反例λ＝1，54.故填充分不必要． 9．根据数列{a n } 的前几项，分别写出下列数列的一个通项公式． (1)7，77，777，7 777，…；(2)4，－52，2，－74，85，…；(3)3，5，3，5，…； (4)1，2，2，4，3，8，4，16，….解：(1)将各项改写如下79(10－1)，79(102－1)，79(103－1)，79(104－1)，… 易知a n ＝79(10n－1)．(2)将各项绝对值改写如下 41，52，63，74，85，… 综合考查分子、分母，以及各项符号可知a n ＝(－1)n －1n ＋3n. (3)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（n 为奇数），5（n 为偶数），或a n ＝（3＋5）＋（－1）n －1（3－5）2＝4＋(－1)n.(4)观察数列{a n }可知，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋12（n 为奇数），2n 2（n 为偶数）.10．(2014·四川模拟)观察下列三角形数表，假设第n 行的第二个数为a n (n ≥2，n ∈N *)．(1)依次写出第六行的所有6个数；(2)归纳出a n ＋1与a n 的关系式，并求出{a n }的通项公式． 解：(1)第六行的所有6个数分别是6，16，25，25，16，6.(2)依题意a n ＋1＝a n ＋n (n ≥2)，a 2＝2，a n ＝a 2＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋2＋3＋…＋(n －1)＝2＋（n －2）（n ＋1）2. 所以a n ＝12n 2－12n ＋1(n ≥2，n ∈N *)． 11．已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)判断数列{c n }的增减性．解：(1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧23 （n ＝1），1n（n ≥2）. (2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1（2n ＋3）（2n ＋2）＜0， ∴{c n }是递减数列．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *.(1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．解：(1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )， 又S 1－31＝a －3(a ≠3)，故数列{S n －3n}是首项为a －3，公比为2的等比数列， 因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *， 于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n－2，当n ＝1时，a 1＝a 不适合上式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝1，2×3n －1＋（a －3）2n －2，n ≥2. a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3， 当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇔12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3≥0⇔a ≥－9. 又a 2＝a 1＋3>a 1.综上，所求a 的取值范围是[－9，＋∞)．。
【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固 第6章 第1节 数列的概念(含解析)新人教B版
【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固第6章第1节数列的概念新人教B版一、选择题1．(2015·某某某某一中段考)已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝1，a2＝3，Sn＝a1＋a2＋…＋an，则下列结论正确的是()A．a2014＝－1，S2014＝2 B．a2014＝－3，S2014＝5C．a2014＝－3，S2014＝2 D．a2014＝－1，S2014＝5[答案] D[解析]∵n≥2时，an＋1＝an－an－1，a1＝1，a2＝3，∴a3＝2，a4＝－1，a5＝－3，a6＝－2，a7＝1，…，故{an}为周期数列，其周期为6，且S6＝0，∴a2014＝a4＝－1，S2014＝a1＋a2＋a3＋a4＝5.2．已知数列{an}的通项公式为an＝log3nn＋1(n∈N*)，设其前n项和为Sn，则使Sn<－4成立的最小自然数n等于()A．83 B．82C．81 D．80[答案] C[解析]∵an＝log3nn＋1＝log3n－log3(n＋1)，∵Sn＝log31－log32＋log32－log33＋…＋log3n－log3(n＋1)＝－log3(n＋1)<－4，解得n>34－1＝80.3．(2015·某某七中期中)已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an－33an＋1(n∈N*)，则a20等于()A．0 B．－ 3C. 3 D．3 2[答案] B[解析]本题考查了数列的周期性．由a1＝0，an＋1＝an－33an＋1(n∈N*)，得a2＝－3，a3＝3，a4＝0，…，数列的周期为3，所以a20＝a2＝－ 3.[点评]递推数列的题型：(1)已知相邻两项关系，求通项．①(2014·某某华附三模)已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．不确定[答案] A[解析]由an＋1－an＝3>0，可知数列中后一项比前一项大，根据数列的分类可知该数列为递增数列．②(2014·某某十二校联考)已知数列{an}的前n 项和Sn 满足：Sn ＋Sm ＝Sn ＋m(m ，n ∈N*)且a1＝6，那么a10＝( ) A ．10 B ．60 C ．6 D ．54 [答案] C(2)已知三项关系求通项 ③(2014·某某六校第三次联考)数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，an ＋1＝an ＋an ＋2(n ∈N*)，则a7＝________. [答案] 1[解析] 由已知an ＋1＝an ＋an ＋2，a1＝1，a2＝2，能够计算出a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1.(3)已知an 与Sn 关系求通项 ④(2014·某某某某质检)已知数列{an}的前n 项和为Sn ，a1＝2，an ＋1＝Sn ＋1，n ∈N*，则a6等于( ) A ．32 B ．48 C ．64 D ．96 [答案] B[解析] 当n≥2时，an ＋1＝Sn ＋1，an ＝Sn －1＋1，两式相减，得an ＋1－an ＝Sn －Sn －1＝an ，即an ＋1＝2an.所以a2＝a1＋1＝3，a3＝2a2＝6，a4＝2a3＝12，a5＝2a4＝24，a6＝2a5＝48，故选B. ⑤(2014·某某黄冈月考)数列{an}满足13a1＋132a2＋…＋13n an ＝3n ＋1，n ∈N*，则an ＝________.[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，3n ＋1，n≥2[解析] 当n ＝1时，a1＝12.因为13a1＋132a2＋…＋13n an ＝3n ＋1，n ∈N*，① 所以当n≥2时，13a1＋132a2＋…＋13n －1an －1＝3n －2.② ①－②，得an ＝3n ＋1.所以an ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，3n ＋1，n≥2.(4)周期数列⑥已知数列{an}中，a1＝45，an ＋1＝⎩⎨⎧2an ，0≤an≤12，2an －1，12<an≤1，则a2016等于( )A.45 B ．35 C.25 D ．15 [答案] C[解析] ∵an ＋1＝⎩⎨⎧2an ，0≤an≤12，2an －1，12<an≤1，又a1＝45，∴a2＝2×45－1＝35，a3＝2×35－1＝15，a4＝2×15＝25，a5＝2×25＝45， ∴数列{an}以4为周期， ∵20164＝504，∴a2016＝a4＝25.4．(2014·某某中原名校二联)若{bn}为等差数列，b2＝4，b4＝8.数列{an}满足a1＝1，bn ＝an ＋1－an(n ∈N*)，则a8＝( ) A ．56 B ．57 C ．72 D ．73 [答案] B[解析] 因为2d ＝b4－b2＝8－4＝4，d ＝2，bn ＝2n ，所以an ＋1－an ＝2n ，因此a8＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2×7＋2×6＋…＋2×1＋1＝57.5．(文)(2013·麻城实验高中月考)设数列{an}满足：a1＝2，an ＋1＝1－1an ，记数列{an}的前n 项之积为πn ，则π2012的值为( ) A ．－12 B ．－1 C.12 D ．1 [答案] D[解析] ∵a1＝2，an ＋1＝1－1an ，∴a1＝2，a2＝12，a3＝－1，a4＝2，故数列{an}是周期为3的周期数列，且a1a2a3＝－1，又2012＝670×3＋2， ∴π2012＝(－1)670×2×12＝1.(理)已知数列{an}满足a1＝0，an ＋1＝an ＋2n ，那么a2016的值是( ) A ．2014×2015 B ．2015×2016 C ．2012×2013 D ．2013×2014 [答案] B[解析] 解法1：a1＝0，a2＝2，a3＝6，a4＝12，考虑到所给结论都是相邻两整数乘积的形式，可变形为：a1＝0×1，a2＝1×2，a3＝2×3，a4＝3×4， 猜想a2016＝2015×2016，故选B. 解法2：an －an －1＝2(n －1)， an －1－an －2＝2(n －2)， …a3－a2＝2×2，a2－a1＝2×1.∴an ＝(an －an －1)＋(an －1－an －2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1 ＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋1]． ＝2n －1n －1＋12＝n(n －1)．∴a2016＝2015×2016.6．(文)(2013·某某某某市第一中学二模)数列11、21、12、31、22、13、41、32、23、14、…依次排列到第2010项属于的X 围是( ) A ．(0，110)B ．[110，1)C ．[1,10]D ．(10，＋∞) [答案] B[解析] 分子分母和为k ＋1的有k 项，由1＋2＋3＋…＋n≤2010得，n≤62，且1＋2＋3＋…＋62＝1953,2010－1953＝57，∴第2010项为和为64的第57项，即757∈[110，1)，故选B.(理)将数列{3n －1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是( )A ．34950B ．35000C ．35010D ．35050 [答案] A[解析] 由“第n 组有n 个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，公差为1的等差数列，前99组数的个数共有1＋99992＝4950个，故第100组中的第1个数是34950，选A.二、填空题7．(2013·东城区综合练习)若数列{an}满足1an ＋1－1an ＝d(n ∈N*，d 为常数)，则称数列{an}为调和数列．已知数列{1xn }为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝________. [答案] 20[解析] 由题意，若{an}为调和数列，则{1an }为等差数列，∵{1xn }为调和数列，∴数列{xn}为等差数列，由等差数列的性质可知，x5＋x16＝x1＋x20＝x2＋x19＝…＝x10＋x11＝20010＝20. 8．(文)(2015·某某市灌云县四中队月测)已知数列{an}的首项a1＝1，且an ＝2an －1＋1(n≥2)，则a5＝________. [答案] 31[解析] 解法1：∵an ＝2an －1＋1，∴an ＋1＝2(an －1＋1)，∴{an ＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴an ＋1＝2n ，∴an ＝2n －1，∴a5＝31.解法2：a5＝2a4＋1＝2(2a3＋1)＋1＝4a3＋3＝4(2a2＋1)＋3＝8a2＋7＝8(2a1＋1)＋7＝16a1＋15＝31. (理)(2013·某某调研)对于数列{an}，定义数列{an ＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项为2n ，则数列{an}的前n 项和Sn ＝________. [答案] 2n ＋1－2[解析] 由已知an ＋1－an ＝2n ，a1＝2得a2－a1＝2，a3－a2＝22，…，an －an －1＝2n －1，由累加法得an ＝2＋2＋22＋…＋2n －1＝2n ，从而Sn ＝21－2n1－2＝2n ＋1－2.9．(文)(2014·某某某某质检)已知有序整数对按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是________． [答案] (5,7)[解析] 按规律分组：第一组(1,1)；第二组(1,2)，(2,1)；第三组(1,3)，(2,2)，(3,1)．则前10组共有1＋2＋…＋10＝10×112＝55个有序实数对，第60个数对应在第11组中，即(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，(11,1)，故第60个数对为(5,7)．(理)(2014·某某五校协作体期中)已知⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪46810＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12141618＋…＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2012201420162018＝________. [答案] －2016[解析] 由题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪2012201420162018＝2012×2018－2014×2016＝2012×2018－(2012＋2)×(2018－2)＝－12＋4＝－8，根据相同方法，计算可得每项都是－8，⎪⎪⎪⎪⎪⎪46810＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12141618＋…＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2012201420162018中共有的项数为2012－48＋1＝252，则所求算式的值为－8×252＝－2016. 三、解答题 10．(文)(2014·东北三校二模)设数列{an}的前n 项和为Sn ，对任意的正整数n ，都有an ＝5Sn ＋1成立．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn ＝log4|an|，求数列{1bn·bn ＋1}前n 项和Tn.[解析] (1)当n ＝1时，a1＝5S1＋1，∴a1＝－14. 又∵an ＝5Sn ＋1，an ＋1＝5Sn ＋1＋1，∴an ＋1－an ＝5an ＋1，又∵a1＝－14≠0，即an ＋1an ＝－14， ∴数列{an}是首项为a1＝－14，公比为q ＝－14的等比数列， ∴an ＝(－14)n.(2)bn ＝log4|(－14)n|＝－n ， 所以1bnbn ＋1＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1，Tn ＝[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝nn ＋1.(理)已知数列{an}满足前n 项和Sn ＝n2＋1，数列{bn}满足bn ＝2an ＋1，且前n 项和为Tn ，设＝T2n ＋1－Tn.(1)求数列{bn}的通项公式； (2)判断数列{}的增减性．[解析] (1)Sn ＝n2＋1，∴an ＝Sn －Sn －1＝(n2＋1)－[(n －1)2＋1]＝2n －1(n≥2)， 当n ＝1时，a1＝S1＝2，∵bn ＝2an ＋1，∴b1＝2a1＋1＝23，n≥2时，bn ＝22n －1＋1＝1n ，∴bn ＝⎩⎨⎧23n ＝1，1nn≥2.(2)由题设知，Tn ＝b1＋b2＋…＋bn ，T2n ＋1＝b1＋b2＋…＋b2n ＋1， ∴＝T2n ＋1－Tn ＝bn ＋1＋bn ＋2＋…＋b2n ＋1，∴＋1－＝(bn ＋2＋bn ＋3＋…＋b2n ＋3)－(bn ＋1＋bn ＋2＋…＋b2n ＋1)＝b2n ＋2＋b2n ＋3－bn ＋1＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1<12n ＋2＋12n ＋2－1n ＋1＝0，∴＋1<，即数列{}为递减数列.一、选择题 11．(2013·日照市阶段训练)已知数列{an}，若点(n ，an)(n ∈N*)在经过点A(8,4)的定直线l 上，则数列{an}的前15项和S15＝( ) A ．12 B ．32 C ．60 D ．120 [答案] C[解析] 解法1：∵点(n ，an)在定直线l 上，∴{an}为等差数列，由条件知(8，a8)在直线l 上，l 经过(8,4)，∴a8＝4，∴S15＝15a8＝60.解法2：可设定直线为y －4＝k(x －8)，知an －4＝k(n －8)，得an ＝k(n －8)＋4，则{an}是等差数列，S15＝15·a1＋a152＝15·a8＝15×4＝60. 12．(2014·某某某某第九中学期中)把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)．则第七个三角形数是( ) A ．27 B ．28C ．29D ．30 [答案] B[解析] 观察三角形数的增长规律，可以发现从第二项起，每一项比它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可．根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.[点评] 解答这种图形问题，关键是按照要求依次列出各图形待求元素数，找出其规律．试一试： (2014·某某某某理工大学附中摸底)如图所示，这是一个正六边形的序列，则第n 个图形的边数为( )A ．5n －1B ．6nC ．5n ＋1D ．4n ＋2 [答案] C[解析] 第一个是六边形，即a1＝6，以后每个图形是在前一个图形的基础上增加5条边，∴a2＝6＋5＝11，a3＝11＋5＝16，观察可得选项C 满足此条件．13．设a1，a2，…，a50是从－1，0,1这三个整数中取值的数列，若a1＋a2＋…＋a50＝9，且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则a1，a2，…，a50中数字1的个数为( ) A ．24 B ．15 C ．14 D ．11 [答案] A[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧a1＋a2＋…＋a50＝9，a1＋12＋a2＋12＋…＋a50＋12＝107，⇒a21＋a22＋…＋a250＝39.故a1，a2，…，a50中有11个零， 设有x 个1，y 个－1，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝39，x －y ＝9，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24，y ＝15.故选A. 14．如果数列a1，a2a1，a3a2，…，an an －1，…是首项为1，公比为－2的等比数列，则a5等于( ) A ．32 B ．64 C ．－32 D ．－64 [答案] A [解析] 由条件知an an －1＝(－2)n －1(n≥2)，∴a5＝a1·a2a1·a3a2·a4a3·a5a4＝1×(－2)·(－2)2·(－2)3·(－2)4＝(－2)10＝32.二、填空题 15．(文)(2014·某某八校联合调研)已知数列{an}的首项a1＝2，其前n 项和为Sn.若Sn ＋1＝2Sn ＋1，则an ＝________.[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，3·2n －2，n≥2[解析] 由Sn ＋1＝2Sn ＋1，有Sn ＝2Sn －1＋1(n≥2)，两式相减得an ＋1＝2an ，又S2＝a1＋a2＝2a1＋1，a2＝3，所以数列{an}从第二项开始成等比数列，∴an ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，3·2n －2，n≥2.(理)(2014·某某某某一模)已知在平面直角坐标系中有一个点列：P1(0,1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn ，yn)(n ∈N*)．若点Pn(xn ，yn)到点Pn ＋1(xn ＋1，yn ＋1)的变化关系为⎩⎪⎨⎪⎧xn ＋1＝yn －xn ，yn ＋1＝yn ＋xn (n ∈N*)，则|P2013P2014|等于________．[答案] 21006[解析] 依题意得，P1(0,1)，P2(1,1)，P3(0,2)，P4(2,2)，P5(0,4)，P6(4,4)，P7(0,8)，P8(8,8)，… 观察点列可知，横坐标构成的规律为xn ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为奇数，2n －22，n 为偶数；纵坐标构成的规律为yn ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －12，n 为奇数，2n －22，n 为偶数.因此，P2013(0,21006)，P2014(21006,21006)，所以|P2013P2014|＝21006－02＋21006－210062＝21006，故答案为21006. 16．(2014·房山期末统考)2010年，我国南方省市遭遇旱涝灾害，为防洪抗旱，某地区大面积植树造林，如图，在区域{(x ，y)|x≥0，y≥0}内植树，第一棵树在A1(0,1)点，第二棵树在B1(1,1)点，第三棵树在C1(1,0)点，第四棵树在C2(2,0)点，接着按图中箭头方向，每隔一个单位种一棵树，那么，第2014棵树所在的点的坐标是________．[答案] (10,44)[解析] 设OA1B1C1为第一个正方形，种植3棵树，依次下去，第二个正方形种植5棵树，第三个正方形种植7棵树，……它们构成一个等差数列，首项为3，公差为2，所以前n 项和为Sn ＝3n ＋n n －12×2＝n2＋2n.因为S43＝1935，S44＝2024，所以第2014棵树应在第44个正方形的边上．由题意，第44个正方形，先从点(44,0)出发，向上种44棵树，到点(44,44)，然后向左再种植35棵树，到点(10,44)．此时共种植1935＋44＋35＝2014棵树． 三、解答题17．(2014·某某和平区一模)已知数列{an}的前n 项和Sn 满足Sn ＝p(Sn －an)＋12(p 为大于0的常数)，且2a1是10a3与3a2的等差中项． (1)求数列{an}的通项公式；(2)若an·bn ＝2n ＋1，求数列{bn}的前n 项和Tn. [解析] (1)当n ＝1时，S1＝p(S1－a1)＋12，故a1＝12. 当n≥2时，Sn ＝p(Sn －an)＋12，① Sn －1＝p(Sn －1－an －1)＋12②由①－②，得an ＝pan －1，即anan －1＝p(p>0)．故{an}是首项为12，公比为p 的等比数列， 即an ＝12pn －1.由题意，得10a3＋3a2＝2(2a1)，即5p2＋32p ＝2. 解得p ＝12或p ＝－45(舍去)． ∴an ＝12·(12)n －1＝12n .(2)由(1)，得bn ＝2n ＋1an ＝(2n ＋1)·2n ，则有Tn ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)×2n －1＋(2n ＋1)×2n ， 2Tn ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －1)×2n ＋(2n ＋1)×2n ＋1， 两式相减，得－Tn ＝3×2＋2×(22＋23＋…＋2n)－(2n ＋1)×2n ＋1 ＝6＋2×22－2n ＋11－2－(2n ＋1)×2n ＋1＝－2－(2n －1)×2n ＋1. ∴Tn ＝2＋(2n －1)·2n ＋1.18．(文)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx 的图象过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n ，n ∈N*. (1)求f(x)的解析式；(2)若数列{an}满足1an ＋1＝f ′(1an )，且a1＝4，求数列{an}的通项公式；(3)记bn ＝anan ＋1，数列{bn}的前n 项和Tn ，求证：43≤Tn<2.[解析] (1)由题意及f ′(x)＝2ax ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2n ，16n2a －4nb ＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝2n ，即f(x)＝12x2＋2nx(n ∈N*)．(2)由条件得1an ＋1＝1an ＋2n ，∴1an ＋1－1an ＝2n ，累加得1an －14＝2＋4＋6＋…＋2(n －1) ＝[2＋2n －1]×n －12＝n2－n ， ∴1an ＝(n －12)2， 所以an ＝1n －122＝42n －12(n ∈N*)．(3)bn ＝anan ＋1＝42n －12n ＋1＝2(12n －1－12n ＋1)，则Tn ＝b1＋b2＋…＋bn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan ＋1＝2[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝2(1－12n ＋1)<2.∵2n ＋1≥3，故2(1－12n ＋1)≥43，∴43≤Tn<2.(理)(2013·某某市部分中学联考)在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan ＝n ＋12an ＋1(n ∈N*)．(1)求数列{an}的通项an ；(2)若存在n ∈N*，使得an≤(n ＋1)λ成立，某某数λ的最小值． [解析] (1)令bn ＝nan ，{bn}的前n 项和为Sn ，则Sn ＝12bn ＋1， ∴Sn －1＝12bn(n≥2)，两式相减得bn ＋1bn ＝3，又b1＝a1＝1，在条件式中令n ＝1,2得a2＝1，a3＝2， ∴b2＝2a2＝2，∴bn ＝b2×3n －2＝2×3n －2. ∴an ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，2n ·3n －2， n≥2.(2)an≤(n ＋1)λ⇔λ≥ann ＋1，由(1)可知当n≥2时，ann ＋1＝2·3n －2n n ＋1，设f(n)＝n n ＋12·3n －2(n≥2，n ∈N*)，word - 11 - / 11 则f(n ＋1)－f(n)＝n ＋11－n 3n －1<0， ∴1f n ＋1>1f n (n≥2)， 又1f2＝13及a12＝12， 所以所某某数λ的最小值为13.。
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第一节 数列的概念及简单表示法A 组 专项基础测试 三年模拟精选一、选择题1．(2015·玉溪一中模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n （n 为正奇数），a n ＋1（n 为正偶数），则其前6项之和是( ) A ．16B ．20C ．33D ．120解析 a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，∴S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33. 答案 C2．(2015·天津南开中学月考)下列可作为数列{a n }：1，2，1，2，1，2，…的通项公式的是( ) A ．a n ＝1B ．a n ＝（－1）n＋12C ．a n ＝2－|sinn π2|D ．a n ＝（－1）n －1＋32解析 A 项显然不成立；n ＝1时，a 1＝－1＋12＝0，故B 项不正确；n ＝2时，a 2＝（－1）2－1＋32＝1，故D 项不正确．由a n ＝2－|sin n π2|可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，…，故选C. 答案 C3．(2014·济南外国语学校模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6等于( )A ．44B ．3×44＋1 C ．3×44D ．44＋1解析 由a n ＋1＝3S n (n ≥1)得a n ＋2＝3S n ＋1，两式相减得a n ＋2－a n ＋1＝3a n ＋1，∴a n ＋2＝4a n ＋1，即a n ＋2a n ＋1＝4，a 2＝3S 1＝3，∴a 6＝a 244＝3×44. 答案 C4．(2014·北大附中模拟)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 013的值是( ) A ．8B ．6C ．4D ．2解析 a 1a 2＝2×7＝14，∴a 3＝4，4×7＝28，∴a 4＝8，4×8＝32，∴a 5＝2，2×8＝16，∴a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8，a 11＝2，∴从第三项起，a n 的值成周期排列，周期数为6，2 013＝335×6＋3，∴a 2 013＝a 3＝4. 答案 C5．(2013·潍坊模拟)已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，把数列{a n }的各项排列成如下的三角形状，记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (10，12)＝( )a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9…A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1393B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1392C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1394D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13112解析 前9行共有1＋3＋5＋…＋17＝（1＋17）×92＝81(项)，∴A (10，12)为数列中的第81＋12＝93(项)，∴a 93＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1393. 答案 A 二、填空题6．(2014·山东聊城二模)如图所示是一个类似杨辉三角的数阵，则第n (n ≥2)行的第2个数为________．1 3 3 5 6 5 7 11 11 79 18 22 18 9……解析 每行的第2个数构成一个数列{a n }，由题意知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝11，a 5＝18，所以 a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5－a 4＝7，…，a n －a n －1＝2(n －1)－1＝2n －3，由累加法得a n －a 2＝[（2n －3）＋3]×（n －2）2＝n 2－2n ，所以a n ＝n 2－2n ＋a 2＝n 2－2n ＋3(n ≥2)．答案 n 2－2n ＋3一年创新演练7．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝15，且对任意正整数m ，n ，都有a m ＋n ＝a m a n ，若S n <t恒成立，则实数t 的最小值为________． 解析 令m ＝1，则a n ＋1a n＝a 1， ∴{a n }是以a 1为首项，15为公比的等比数列．∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15n. ∴S n ＝15－⎝ ⎛⎭⎪⎫15n ＋11－15＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－15n ＝14－14·5n <14.由S n <t 恒成立，∴t >S n 的最大值，可知t ＝14.答案 148．我们可以利用数列{a n }的递推公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数时，a n 2，n 为偶数时(n ∈N *)，求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则a 24＋a 25＝________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项． 解析 a 24＋a 25＝a 12＋25＝a 6＋25＝a 3＋25＝3＋25＝ 28.5＝a 5＝a 10＝a 20＝a 40＝a 80＝a 160＝a 320＝a 640. 答案 28 640B 组 专项提升测试 三年模拟精选一、选择题9．(2015·广东佛山一模)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋sin2n π2a n ＋4cos2n π2，则a 9，a 10的大小关系为( )A ．a 9>a 10B ．a 9＝a 10C ．a 9<a 10D ．大小关系不确定解析 n 为奇数时，a 3＝2a 1＝2，a 5＝2a 3＝22，a 7＝2a 5＝23，a 9＝2a 7＝24；n 为偶数时，a 4＝a 2＋4＝5，a 6＝a 4＋4＝9，a 8＝a 6＋4＝13，a 10＝a 8＋4＝17.所以a 9<a 10.故选C. 答案 C 二、填空题10．(2015·合肥模拟)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12<a n<1，a 1＝35，则数列的第2 013项为________．解析 ∵a 1＝35，∴a 2＝2a 1－1＝15.∴a 3＝2a 2＝25.∴a 4＝2a 3＝45，a 5＝2a 4－1＝35，a 6＝2a 5－1＝15，…，∴该数列的周期T ＝4.∴a 2 013＝a 1＝35.答案 3511．(2014·温州质检)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫78n，则当a n 取得最大值时，n 等于________．解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ≥（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n －1，（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ≥（n ＋3）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5.∴n ＝5或6.答案 5或612．(2014·天津新华中学模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a nn≤2的正整数n 的集合为________．解析 因为S n ＝2a n －1， 所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1， 整理得a n ＝2a n －1，所以{a n }是公比为2的等比数列． 又因为a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1， 故a n ＝2n －1，而a n n≤2，即2n －1≤2n ，所以有n ∈{1，2，3，4}． 答案 {1，2，3，4}13．(2013·江苏期末调研)对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的差数列．若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．解析 由已知a n ＋1－a n ＝2n ，a 1＝2得a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…，a n －a n －1＝2n －1，由累加法得a n ＝2＋2＋22＋…＋2n －1＝2n，从而S n ＝2（1－2n）1－2＝2n ＋1－2.答案 2n ＋1－2三、解答题14．(2014·青岛一中模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值． 解 (1)当n ≥2时，由题可得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n2a n .①a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，②②－①得na n ＝n ＋12a n ＋1－n2a n ，即(n ＋1)a n ＋1＝3na n ，（n ＋1）a n ＋1na n＝3，∴{na n }是以2a 2＝2为首项，3为公比的等比数列(n ≥2)， ∴na n ＝2·3n －2，∴a n ＝2n·3n －2(n ≥2)，∵a 1＝1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n·3n －2，n ≥2. (2)a n ≤(n ＋1)λ⇔λ≥a n n ＋1，由(1)可知当n ≥2时，a nn ＋1＝2·3n －2n （n ＋1），设f (n )＝n （n ＋1）2·3n(n ≥2，n ∈N *)，a nn ＋1＝132·1f （n ）， 则f (n ＋1)－f (n )＝2（n ＋1）（1－n ）2·3n ＋1<0， ∴1f （n ＋1）>1f （n ）(n ≥2)，又132·1f （2）＝13及a 12＝12， ∴所求实数λ的最小值为13.一年创新演练15．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围． 解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a2.∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，∴5<2－a 2<6，∴－10<a <－8.。