第14章 波动学基础

ξ o T x点的振动曲线 t
波线上各点的简谐运动图
当时刻 t 确定(即某一瞬时) 表达式变成ξ-x关系 表达了 t 时刻空间各 点移分布——波形图 如图: ξ t 时刻的波形曲线
o λ （空间周期）
x
从波形图可看出在同一时刻，距波源 o 分别 为x1、x2两质点的相位差:
u
a ·
传播方向
t x y (3 10 m) cos[2π ( ) π ] 0.5s 10m
-2
3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程
u
C
y A (3 10 m) cos(4 π s )t 10m 8m 5m 9m
B
-2
-2
-1
oA
D
-1
x
点 C 的相位比点 A 超前
点 D 的相位落后于点 A
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
1）以 A 为坐标原点，写出波动方程
A 310 m T 0.5s 0 uT 10 m t x y A cos[ 2π ( - ) ] T t x -2 y (3 10 m ) cos 2π ( ) 0 .5s 10 m
2 1
4）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
y A (3 10 m) cos(4 π s )t
-2
-1
u
8m C B 5m 9m D
10 m
oA
x
xB - xC 8 B - C -2π -2π -1.6π 10 xC - xD - 22 C - D -2π -2π 4.4波动微分方程
一、平面简谐波的表达式 如果波传播的扰动是简谐振动的话，这样的 波称为简谐波（余弦波） 一维平面简谐波的表达式（波函数） 以机械波的横波为例，设平面波沿 x方向以 速度 u 传播， 媒质均匀、无限大，无吸收。
如何写出平面（一维）简谐波的波函数？
抓住概念：某时刻某质元的相位（振动状态） 将在较晚时刻于“下游”某处出现。 或：沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。
x A cos t 0 u

波动方程的其它形式
t x A cos[2 ( - ) 0 ] T 2 A cos[ (ut - x ) 0 ]
x A cos[2 ( t - ) 0 ]
O
y
A
t0 x0
π y y 0, v 0 t 2 t x π y (1 .0 m) cos[ 2 π ( )- ] 2 .0 s 2 .0 m 2

2）求 t 1 . 0 s 波形图.
t x π y (1 .0 m) cos[ 2 π ( )- ] 2 .0 s 2 .0 m 2 π -1 t 1 . 0 s y (1 . 0 m) cos[ - (π m ) x ] 2 波形方程
波面 波 线
波前 波前
波振面是 平面的波
平面波
球面波
波前 波面

*
球面波
波线
平面波
四 波长 波的周期和频率 波速
A O -A
y
u

x
波长 ：沿波的传播方向，两个相邻的、相 位差为 2π 的振动质点之间的距离，即一个完整
波形的长度.
周期 T ：波前进一个波长的距离所需要
的时间. 频率 ：周期的倒数，即单位时间内波 动所传播的完整波的数目.
两 类 波 的 不 同 之 处
机械波 机械振动在弹性介质中的传播.
电磁波 交变电磁场在空间的传播. 两 类 能量传播 机械波的传播需 波 反射 有传播振动的介质; 的 共 折射 电磁波的传播可 同 干涉 特 不需介质. 征 衍射
§14.1 机械波的形成与传播
一 机械波的形成
机械波：机械振动在弹性介质中的传播. 产生条件：1）波源；2）弹性介质. 波源 介质
(1 . 0 m) sin( π m ) x
-1
y/m
1.0
o
-1.0
2.0
x/m
t 1 . 0 s 时刻波形图
3） x 0 .5 m 处质点的振动规律并做图 .
t x π y (1.0m) cos[2 π( )- ] 2.0s 2.0m 2 x 0.5 m 处质点的振动方程
y (1.0m) cos[(π s )t - π]
y x 2 a 2 A cos[ ( t ) ] u t
2
讨论
2π 1) A cos (t x) 0 向x轴正向传播
2π A cos ( t x) 0 向x轴负向传播
平面谐波一般表达：

空气中的波长
在水中的波长
u1 340 m s 1 1 200 Hz
-1
1 .7 m
u1 2 0.17 m 2
u2 u 2 1450 m s -1 0.725 m 1 7.25 m 2 2 1 200 Hz
周期或频率只决定于波源的振动! 波速决定于媒质的性质！
+
弹性作用
机 械 波
注意
波是运动状态的传播，介质的 质点并不随波传播.
二 横波与纵波
横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波. （仅在固体中传播 ）

特征：具有交替出现的波峰和波谷.
纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波. （可在固体、液体和气体中传播）

特征：具有交替出现的密部和疏部.
2 A cos ( t x) 0
负（正）号代表向 x 正（负）向传播的简谐波
2）波的表达式的物理意义
2 A cos ( t x) 0 当坐标 x 确定(即考察波线上的某一点) 表达式变成ξ－t 关系 表达了 x 点的振动 如图：

1 T
波速 u ：波动过程中，某一振动状态（即
振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）.
u T
注意
u Tu
周期或频率只决定于波源的振动! 波速只决定于媒质的性质！
波速 u 与介质的性质有关， 为介质的密度.
u G
Y
G切变模量 Y弹性模量
横波
-2
2）以 B 为坐标原点，写出波动方程
y A (3 10 m ) cos( 4 π s )t
-2
-1
u
8m C 5m 9m A D
oB
x
xB - x A -5 B - A - 2π - 2π π 10 -2 -1 y ( 3 10 m ) cos[( 4 π s )t π ] B π B
b ·
x
x = x2 - x1
图中b点比a点的相位落后：
x 2π
其中x叫波程差
（记住！）
当 x、t 都变化时
表达了波线上所有质元在各个时刻的位移，波函数 表示波形沿传播方向的运动情况（行波）
如图： ξ o （ λ亦称空间周期） λ t + t 时刻的波形曲线 t 时刻的波形曲线
A
O

u
P
x
*
x

-A
PO x t u u
2 2 t t x T
点 P 振动方程:

A
O x -A
u
x

2π A cos t 0

波函数
2π Acos t 0
x
问：水波是纵波还是横波？
答：水波即不是纵波也不是横波是混 合波。
横 波
u
水表面的波既非横波又非纵波： 水的流动性和不可压缩性 纵向运动 作二维运动 横向运动
纵 波
x
水波中水质元 作(椭)圆运动
三 波线 波面 波前 波线表示波的传播方向的射线（波射线） 波面媒质振动相位相同的点组成的面（同相面） 波前某时刻波到达的最前面的波(振)面
2
AC yC (3 10 m ) cos[( 4 π s )t 2 π ] 13 (3 10 -2 m ) cos[( 4 π s -1 )t π ] 5
AD y D ( 3 10 m ) cos[(4 π s ) t 2 π ]
1
9 (3 10 m)cos[(4 π s )t π] 5
须知三个条件：
1. 某参考点的振动方程( A, , ) 2. 波长 (或 u) 3. 波的传播方向 uT
以速度u 沿 x 轴正 向传播的平面简谐 波。取平衡位置在 坐标原点o处的质 元作参考，o点的 振动表达式为：
o A cos t 0 ，设任意一点 p 坐标为 x
波函数
x
P *
x

-A
x A cos t 0 u
2π 或: A cos t x 0
解法二：
相位落后法
由相位关系：P点相位落后 波源o的振动相位，所以就 在o点振动表达式的基础上 改变相位因子就得到了P的 振动表达式 点 P 比点 O 落后的相位：
方法一：
时间推 迟方法
（或由运动的重复关系）
x t u
点O 的振动状态
o A cos t 0
点P
x t u
时刻点O 的运动
则点P 振动方程:

t 时刻点 P 的运动 u A
O
x p Acos t 0 u
( x ,t ) A cos( t kx )