概率论第5章
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概率第五章_大数定律与中心极限定理090505
加法法则
P ( − Eξ ε ) = ξ ≥
P(ξ ≥ Eξ + ε ) + P (ξ ≤ Eξ − ε )
k
=
≤
k : xk ≥ E +
∑ξ ε p
k
+
k : xk ≤ E −
∑ξ ε p
pk +
k :xk ≥ E +
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
ε
2
k :xk ≤ E −
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
， 方差 Dξ n ( n = 1, 2,L)，且 Dξi < l (i = 1, 2,L) 其中 l 与 i 无关的
1 Eξ = (1 + 2 + 3 + L + 6) 6
35 7 故 Eξ = Dξ = 12 2
4 2 = P (ξ = 5) + P(ξ = 6) + P (ξ = 1) + P (ξ = 2) = = 6 3 7 1 P( − 2 ) = P(ξ ≥ 5.5) + P(ξ ≤ 1.5) = P (ξ = 6) + P (ξ = 1) = ξ ≥
即
lim P ( − p < ε ) = 1 n →∞ n
ξ
此定理表明：当试验在不变的条件下重复进行很多次时， 随机事件的频率 频率在它的概率 概率附近摆动。 频率 概率 由贝努里大数定律可知，若事件A的概率很小很小时，则 它的频率也很小很小，即事件A很少发生或几乎不发生， 这种事件叫小概率事件。反之，若随机事件的概率很接近1， 则可认为在个别试验中这事件几乎一定发生。 同分布的两个或多个随机变量: 同分布的两个或多个随机变量 离散型: 它们的概率分布律相同. 离散型 它们的概率分布律相同 连续型: 它们的概率密度函数相同. 连续型 它们的概率密度函数相同 所以它们的期望与方差一定相同. 所以它们的期望与方差一定相同
P ( − Eξ ε ) = ξ ≥
P(ξ ≥ Eξ + ε ) + P (ξ ≤ Eξ − ε )
k
=
≤
k : xk ≥ E +
∑ξ ε p
k
+
k : xk ≤ E −
∑ξ ε p
pk +
k :xk ≥ E +
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
ε
2
k :xk ≤ E −
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
， 方差 Dξ n ( n = 1, 2,L)，且 Dξi < l (i = 1, 2,L) 其中 l 与 i 无关的
1 Eξ = (1 + 2 + 3 + L + 6) 6
35 7 故 Eξ = Dξ = 12 2
4 2 = P (ξ = 5) + P(ξ = 6) + P (ξ = 1) + P (ξ = 2) = = 6 3 7 1 P( − 2 ) = P(ξ ≥ 5.5) + P(ξ ≤ 1.5) = P (ξ = 6) + P (ξ = 1) = ξ ≥
即
lim P ( − p < ε ) = 1 n →∞ n
ξ
此定理表明：当试验在不变的条件下重复进行很多次时， 随机事件的频率 频率在它的概率 概率附近摆动。 频率 概率 由贝努里大数定律可知，若事件A的概率很小很小时，则 它的频率也很小很小，即事件A很少发生或几乎不发生， 这种事件叫小概率事件。反之，若随机事件的概率很接近1， 则可认为在个别试验中这事件几乎一定发生。 同分布的两个或多个随机变量: 同分布的两个或多个随机变量 离散型: 它们的概率分布律相同. 离散型 它们的概率分布律相同 连续型: 它们的概率密度函数相同. 连续型 它们的概率密度函数相同 所以它们的期望与方差一定相同. 所以它们的期望与方差一定相同
概率论与数理统计 第五章
Xn ⎯ ⎯→ X 2. 依概率收敛与依分布收敛的关系
依概率收敛 ⇒ 依分布收敛
L
3. 定义：中心极限定理 设随机变量 X ~ N(0,1)，{Xi }，i = 1, 2, … 相互独 立，且数学期望和方差都存在, 若标准化随机变量序列
∑
n
i =1
Xi −
∑ E(X
i =1
n
i
)
∑
n
i =1
D(X i)
所以结论成立。 由此有，若X ~ B( n, p )，对于足够大的n，有 ⎧ m1 − np X − np m2 − np ⎫ ⎪ ⎪ < ≤ P{m1 < X ≤ m2 }= P ⎨ ⎬ np(1 − p) np(1 − p) ⎪ ⎪ np(1 − p) ⎩ ⎭
⎧ Yn − np ⎫ ⎪ ⎪ ≤ x ⎬ = Φ( x ) lim P ⎨ n →∞ ⎪ np(1 − p ) ⎪ ⎩ ⎭
证明：对于任意正整数n，随机变量Yn 可表示为 证明：对于任意正整数n Yn = X1＋ X2＋…＋ Xn X1, X2,…, Xn 相互独立，Xi ~ B( 1, p )，且有 E( Xi ) = p , D( Xi ) = p(1-p) 所以随机变量序列{ Xi }, i =1,2,…满足独立同分布 中心极限定理条件。即有
切比雪夫不等式的应用 1）估计随机变量落在某个区间内的概率 (P125例5.5.2) 2）估计ε的值, 使 P(│X - E(X)│<ε) ≥ a (0<a<1) 3）证明大数定律。
二. 大数定律 定义： 依概率收敛 设{Xn}是一个随机变量序列，X 是一个随机变量 或常数，若对于任意的ε＞ 0，有 lim P{| X n − X |≥ ε } = 0
概率论与数理统计 第五章 大数定律与中心极限定理
nA 一种提法是： “当 n 足够大时，频率 n 与概率 p 有较大偏差
的概率很小” ，用数学语言表达，就是要证明： 0 ，有
nA nA lim P p 0 lim P p 1 n ，或 n n ． n
另一种提法是：研究随机变量 n A 的分布的极限行为，即讨 论分布函数
nA lim P p 0 lim P n n 或 n
nA p 1 ． n
证 引入
1 , 第i次试验中事件A发生 Xi ，i 1 , 2 , , n ， 0 , 第i次试验中事件A不发生
下面我们进一步来讨论贝努利试验．若记 n A 为 n 次贝努利试
nA 验中事件 A 发生的次数， 则事件 A 发生的频率为 n ． 所谓 “频 率的稳定性” ，无非是指当试验次数 n 无限增大(即 n )时，
nA 频率 n 无限接近于某个固定常数．这个固定的常数就是“事 件 A 在一次试验中发生的的概率 p” ． nA 由此可见，讨论频率 n 的极限行为，是理解概率论中最基本
2019年1月14日星期一
11 / 102
§5.1
大数定律
作为预备知识，我们先明确随机变量序列收敛的
相关概念，同时给出一个重要的不等式，它是以下理 论证明所用的主要工具之一．
定 义 1.1 设 a 是常数，对于随机变量序列 ，如果 0 ，有
X1 , X 2 ,
, Xn ,
lim P
n
个常数，即在这个常数的附近摆动，这就是所谓的“频
率稳定性”．但对这一点，至今为止我们尚未给予理论 上的说明．另外，在第二章我们给出了二项分布的泊松 逼近，那么更一般的近似计算方案又是怎样呢?
的概率很小” ，用数学语言表达，就是要证明： 0 ，有
nA nA lim P p 0 lim P p 1 n ，或 n n ． n
另一种提法是：研究随机变量 n A 的分布的极限行为，即讨 论分布函数
nA lim P p 0 lim P n n 或 n
nA p 1 ． n
证 引入
1 , 第i次试验中事件A发生 Xi ，i 1 , 2 , , n ， 0 , 第i次试验中事件A不发生
下面我们进一步来讨论贝努利试验．若记 n A 为 n 次贝努利试
nA 验中事件 A 发生的次数， 则事件 A 发生的频率为 n ． 所谓 “频 率的稳定性” ，无非是指当试验次数 n 无限增大(即 n )时，
nA 频率 n 无限接近于某个固定常数．这个固定的常数就是“事 件 A 在一次试验中发生的的概率 p” ． nA 由此可见，讨论频率 n 的极限行为，是理解概率论中最基本
2019年1月14日星期一
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§5.1
大数定律
作为预备知识，我们先明确随机变量序列收敛的
相关概念，同时给出一个重要的不等式，它是以下理 论证明所用的主要工具之一．
定 义 1.1 设 a 是常数，对于随机变量序列 ，如果 0 ，有
X1 , X 2 ,
, Xn ,
lim P
n
个常数，即在这个常数的附近摆动，这就是所谓的“频
率稳定性”．但对这一点，至今为止我们尚未给予理论 上的说明．另外，在第二章我们给出了二项分布的泊松 逼近，那么更一般的近似计算方案又是怎样呢?
概率论与数理统计----第五章大数定律及中心极限定理
故
= 1 − Φ(3.54)
=0.0002
一箱味精净重大于20500的概率为 的概率为0.0002. 一箱味精净重大于 的概率为
推论:
特别，若X～Ｂ（n，p）,则当n充分大时， 特别， ～Ｂ（n 则当n充分大时，
Ｘ～Ｎ（np，npq） Ｘ～Ｎ（np，npq） np
若随机变量Ｘ～Ｂ（ Ｘ～Ｂ（n， ），则对任意实数x有 ），则对任意实数 即 若随机变量Ｘ～Ｂ（ ，p），则对任意实数 有
不等式证明 P{-1<X<2n+1}≥(2n+1)/(n+1)(n+1)
3. 设P{|X-E(X)|<ε}不小于 不小于0.9,D(X)=0.009.则用 不小于 则用
切比绍夫不等式估计ε的 最小值是( 切比绍夫不等式估计 的 最小值是
0.3 ).
4.(894) 设随机变量 的数学期望为 设随机变量X的数学期望为 的数学期望为µ, 标准差为σ,则由切比绍夫不等式 标准差为 则由切比绍夫不等式 P{|X-µ|≥3σ}≤( ). 1/9 5. 设随机变量X的分布律为 设随机变量 的分布律为 P{X=0.3}=0.2, P{X=0.6}=0.8, 用切比绍夫不等式估计 |X-E(X)|<0.2的概率 的概率. 的概率
1 n lim P ∑ Xi − µ < ε = 1 n→∞ n i =1
定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A发生的概率 定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A 为p，n次重复独立实验中事件A发生的次数为nA，则对任 次重复独立实验中事件A发生的次数为n 意的ε>0 意的ε>0 ，事件的频率 nA ，有 ε>
∫
+∞
−∞
= 1 − Φ(3.54)
=0.0002
一箱味精净重大于20500的概率为 的概率为0.0002. 一箱味精净重大于 的概率为
推论:
特别，若X～Ｂ（n，p）,则当n充分大时， 特别， ～Ｂ（n 则当n充分大时，
Ｘ～Ｎ（np，npq） Ｘ～Ｎ（np，npq） np
若随机变量Ｘ～Ｂ（ Ｘ～Ｂ（n， ），则对任意实数x有 ），则对任意实数 即 若随机变量Ｘ～Ｂ（ ，p），则对任意实数 有
不等式证明 P{-1<X<2n+1}≥(2n+1)/(n+1)(n+1)
3. 设P{|X-E(X)|<ε}不小于 不小于0.9,D(X)=0.009.则用 不小于 则用
切比绍夫不等式估计ε的 最小值是( 切比绍夫不等式估计 的 最小值是
0.3 ).
4.(894) 设随机变量 的数学期望为 设随机变量X的数学期望为 的数学期望为µ, 标准差为σ,则由切比绍夫不等式 标准差为 则由切比绍夫不等式 P{|X-µ|≥3σ}≤( ). 1/9 5. 设随机变量X的分布律为 设随机变量 的分布律为 P{X=0.3}=0.2, P{X=0.6}=0.8, 用切比绍夫不等式估计 |X-E(X)|<0.2的概率 的概率. 的概率
1 n lim P ∑ Xi − µ < ε = 1 n→∞ n i =1
定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A发生的概率 定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A 为p，n次重复独立实验中事件A发生的次数为nA，则对任 次重复独立实验中事件A发生的次数为n 意的ε>0 意的ε>0 ，事件的频率 nA ，有 ε>
∫
+∞
−∞
《概率论》第5章§1大数定律
第五章 大数定律与中心极限定理
§1
大数定律
2/8
"概率"的概念是如何产生的 概率"
设 n 次独立重复试验中事件 A发生的 次数为 nA, 则当 n →∞时,有 nA n重伯努利试验 Xn = n → p 随机变量 怎样理解"越来越接近" 怎样理解"越来越接近"? 频率 概率 P( A)
lim 怎样定义极限 n→∞ Xn = p
1/2 1 ε 2
n
O
第五章 大数定律与中心极限定理
k
§1
大数定律
5/8
(伯努利大数定律)设 nA 是 n 次独立重复试 发生的次数, 验中事件 A 发生的次数,且 P(A) = p. 则 ε > 0, 有 nA lim P{| n p | ≥ ε} = 0 n→∞ 切比雪夫大数定律 如何证明 (切比雪夫大数定律)设 {Xn}为相互独立的随 nA P 概率论历史上的第一个大数定 机变量列 且具有相同的数学期望和方差, → 机变量列,且具有相同的数学期望和方差,记 p 令 n 由雅可比伯努利 i ,1713年发 伯努利于 D( Xi ) = σ 律,由雅可比E( Xi ) =于1713年发2 , (i = 1,2, ) 1, 第 次试验 A发生 该定理通常称为 表的著作《猜测术》 提出. 表的著作《猜测术》中提出. 则 ε > 0, 有Xi = 0, 第 i 次试验 A不发生 ( i =1,2,L ) n 独立同分布大数定律P{| 1 ∑ Xi | ≥ ε} = 0 lim n i =1 n→∞ 则 X1, X2 ,L, Xn ,L相互独立 (辛钦大数定律)p(1Xn)}是独立同分布r.v列, 伯努利大数定律,切比雪夫大数定律均要求随机 伯努利大数定律,切比雪夫大数定律均要求随机 E( Xi ) = p, D( Xi ) = 设 { p 是独立同分布r.v (i =1,2,Xi ) P→r.v列 1 n L n i∑εε> 0, n Xn } 服从大数定律,即= "0, 存在, 1 E( X1) 设随机变量 ξ{的方差 D(ξ ) 存在,则 > 来代替 同分布" 有 n, 列变量列的方差存在X 该条件可用 "同分布 = 存在A 则 , 服从大数定律, 1 有 存在, = n ∑ i (n = 1,2,L ) n i =1 1 n Xk D(|ξ< ε} = 1 lim P{| (ξ) | ≥ ε}≤ ) 从而 P{|ξ E n ∑ n→∞ k =1 ε 2n nA 1 或 人物介绍 lim P{| n p | ≥ ε} = 01 n lim P{| n ∑ Xi p | ≥ ε} = 0 n→∞ →∞ lim P{| n ∑nXk | i≥1ε} = 0 辛钦 =
§1
大数定律
2/8
"概率"的概念是如何产生的 概率"
设 n 次独立重复试验中事件 A发生的 次数为 nA, 则当 n →∞时,有 nA n重伯努利试验 Xn = n → p 随机变量 怎样理解"越来越接近" 怎样理解"越来越接近"? 频率 概率 P( A)
lim 怎样定义极限 n→∞ Xn = p
1/2 1 ε 2
n
O
第五章 大数定律与中心极限定理
k
§1
大数定律
5/8
(伯努利大数定律)设 nA 是 n 次独立重复试 发生的次数, 验中事件 A 发生的次数,且 P(A) = p. 则 ε > 0, 有 nA lim P{| n p | ≥ ε} = 0 n→∞ 切比雪夫大数定律 如何证明 (切比雪夫大数定律)设 {Xn}为相互独立的随 nA P 概率论历史上的第一个大数定 机变量列 且具有相同的数学期望和方差, → 机变量列,且具有相同的数学期望和方差,记 p 令 n 由雅可比伯努利 i ,1713年发 伯努利于 D( Xi ) = σ 律,由雅可比E( Xi ) =于1713年发2 , (i = 1,2, ) 1, 第 次试验 A发生 该定理通常称为 表的著作《猜测术》 提出. 表的著作《猜测术》中提出. 则 ε > 0, 有Xi = 0, 第 i 次试验 A不发生 ( i =1,2,L ) n 独立同分布大数定律P{| 1 ∑ Xi | ≥ ε} = 0 lim n i =1 n→∞ 则 X1, X2 ,L, Xn ,L相互独立 (辛钦大数定律)p(1Xn)}是独立同分布r.v列, 伯努利大数定律,切比雪夫大数定律均要求随机 伯努利大数定律,切比雪夫大数定律均要求随机 E( Xi ) = p, D( Xi ) = 设 { p 是独立同分布r.v (i =1,2,Xi ) P→r.v列 1 n L n i∑εε> 0, n Xn } 服从大数定律,即= "0, 存在, 1 E( X1) 设随机变量 ξ{的方差 D(ξ ) 存在,则 > 来代替 同分布" 有 n, 列变量列的方差存在X 该条件可用 "同分布 = 存在A 则 , 服从大数定律, 1 有 存在, = n ∑ i (n = 1,2,L ) n i =1 1 n Xk D(|ξ< ε} = 1 lim P{| (ξ) | ≥ ε}≤ ) 从而 P{|ξ E n ∑ n→∞ k =1 ε 2n nA 1 或 人物介绍 lim P{| n p | ≥ ε} = 01 n lim P{| n ∑ Xi p | ≥ ε} = 0 n→∞ →∞ lim P{| n ∑nXk | i≥1ε} = 0 辛钦 =
概率论第五章统计量及其分布
1) = (Np1)/(N1) 而若第一次抽到的是合格品，则第二次抽到不合 格品的概率为
P(x2 = 1 | x1 = 0) = (Np)(N1)
21 October 2019
华东师范大学
第五章 统计量及其分布
第18页
显然，如此得到的样本不是简单随机样本。 但是，当N 很大时，我们可以看到上述两种 情形的概率都近似等于p 。所以当N 很大， 而n不大（一个经验法则是 n N 0.1）时可
21 October 2019
21 October 2019
华东师范大学
第五章 统计量及其分布
第6页
比如：两个生产同类产品的工厂的产品的总体 分布：
X
0
1
p
0.983
0.017
X
0
1
p
0.915
0.085
21 October 2019
华东师范大学
第五章 统计量及其分布
第7页
例5.1.2 在二十世纪七十年代后期，美国消费 者购买日产SONY彩电的热情高于购买美产 SONY彩电，原因何在？
以把该样本近似地看成简单随机样本。
思考：
若总体的密度函数为p(x)，则其样本的（联 合）密度函数是什么？
21 October 2019
华东师范大学
第五章 统计量及其分布
第19页
§5.2 样本数据的整理与显示
5.2.1 经验分布函数
设 x1, x2, …, xn 是取自总体分布函数为F(x)的样 本，若将样本观测值由小到大进行排列,为 x(1), x(2), …, x(n)，则称 x(1), x(2), …, x(n) 为有序样本，
用有序样本定义如下函数
0, Fn ( x) k / n, 1,
P(x2 = 1 | x1 = 0) = (Np)(N1)
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第五章 统计量及其分布
第18页
显然，如此得到的样本不是简单随机样本。 但是，当N 很大时，我们可以看到上述两种 情形的概率都近似等于p 。所以当N 很大， 而n不大（一个经验法则是 n N 0.1）时可
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第五章 统计量及其分布
第6页
比如：两个生产同类产品的工厂的产品的总体 分布：
X
0
1
p
0.983
0.017
X
0
1
p
0.915
0.085
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第五章 统计量及其分布
第7页
例5.1.2 在二十世纪七十年代后期，美国消费 者购买日产SONY彩电的热情高于购买美产 SONY彩电，原因何在？
以把该样本近似地看成简单随机样本。
思考：
若总体的密度函数为p(x)，则其样本的（联 合）密度函数是什么？
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§5.2 样本数据的整理与显示
5.2.1 经验分布函数
设 x1, x2, …, xn 是取自总体分布函数为F(x)的样 本，若将样本观测值由小到大进行排列,为 x(1), x(2), …, x(n)，则称 x(1), x(2), …, x(n) 为有序样本，
用有序样本定义如下函数
0, Fn ( x) k / n, 1,
概率论与数理统计 第五章
贝努里定理. 它的叙述如下:设是n次重复独立 对于任意给定的ε>0,有
lim P{| nA p | } 1
n
n
lim P{| nA p | } 1
n
n
其中nA/n是频率,p是概率,即次数多
时事件发生的频率收敛于概率.表示频率的稳定性.
定理3
lim P{|
n
1 n
n i 1
Xi
| } 1
数理统计的方法属于归纳法,由大量的资料作依据,而不
是从根据某种事实进行假设,按一定的逻辑推理得到的.例
如统计学家通过大量观察资料得出吸烟和肺癌有关,吸烟
者得肺癌的人比不吸烟的多好几倍.因此得到这个结论.
数理统计的应用范围很广泛.在政府部门要求有关的资
料给政府制定政策提供参考.由局部推断整体,学生的假期
第五章 大 数 定 律 与 中 心 极 限 定 律
§ 5.1大 数 定 律
定理1(切比雪夫定理) 设X1,X2,...,Xn,...是相互独立的随机变
量序列若存在常数C,使得D(Xi)≤C. (i=1,2,...n),则对任意给
定的ε>0,有
lim P{|
n
1 n
n i 1
[Xi
E( X i )] |
7200 6800 2
200 1
D 2
1
2100 2002
0.95
可见虽有10000盏灯,只要电力供应7200盏灯即有相当大的保 证率切贝谢夫不等式对这类问题的计算有较大价值,但它的精度 不高.为此我们研究下面的内容.
2021/9/5
10
§ 5.2 中 心 极 限 定 理
在随机变量的一切可能性的分布律中，正态分布占有特殊的
《概率论与数理统计》课件第五章大数定律及中心极限定理
有极其重要的地位？
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量， 相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量， 相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为
概率论5
n
lim P Yn Y 0,
特别地，当Y c为一常数时，称{Yn , n 1} 依概率收敛于常数c.
c c c
P P 性质： X n a, Yn b,当n 时. 若
函数（x,y）在点(a,b)连续，则 g g ( X n , Yn） g (a, b)，当n 时.
例4 设随机变量X 1 , , X n , , 相互独立同分布， X 1 ~ U (1, 1). 则 1 n 1 n 1 n 2 （） X k，（2） X k ，（3） X k 1 n k 1 n k 1 n k 1 分别依概率收敛吗？ 如果依概率收敛，分别收敛于什么？
1 n P 因为，E( X1 ) 0, 故， X k 0， n k 1 1 1 1 1 n P 1 同理，E ( X 1 ) x dx , X k ， 1 2 2 n k 1 2 1 1 1 n 2 P 1 2 2 1 E ( X 1 ) x dx , X k . 1 2 3 n k 1 3
1 100 5 /100 P{| X i | 0.5} 1 0.52 0.8; 100 i 1
(2)同样利用切比雪夫不等式，要使得
1 n 5/ n P{| X i | 0.5} 1 2 0.95， n需满足n 400. n i 1 0.5
例2 在n重贝努里试验中，若已知每次试验 事件A出现的概率为0.75，试利用切比雪夫不 等式, (1)若n=7500,估计A出现的频率在0.74至0.76 之间的概率至少有多大； （2）估计n,使A出现的频率在0.74至0.76之 间的概率不小于0.90。
n
n
即，条件(5.1.8)满足,由定理5.1.3知结论成立.
lim P Yn Y 0,
特别地，当Y c为一常数时，称{Yn , n 1} 依概率收敛于常数c.
c c c
P P 性质： X n a, Yn b,当n 时. 若
函数（x,y）在点(a,b)连续，则 g g ( X n , Yn） g (a, b)，当n 时.
例4 设随机变量X 1 , , X n , , 相互独立同分布， X 1 ~ U (1, 1). 则 1 n 1 n 1 n 2 （） X k，（2） X k ，（3） X k 1 n k 1 n k 1 n k 1 分别依概率收敛吗？ 如果依概率收敛，分别收敛于什么？
1 n P 因为，E( X1 ) 0, 故， X k 0， n k 1 1 1 1 1 n P 1 同理，E ( X 1 ) x dx , X k ， 1 2 2 n k 1 2 1 1 1 n 2 P 1 2 2 1 E ( X 1 ) x dx , X k . 1 2 3 n k 1 3
1 100 5 /100 P{| X i | 0.5} 1 0.52 0.8; 100 i 1
(2)同样利用切比雪夫不等式，要使得
1 n 5/ n P{| X i | 0.5} 1 2 0.95， n需满足n 400. n i 1 0.5
例2 在n重贝努里试验中，若已知每次试验 事件A出现的概率为0.75，试利用切比雪夫不 等式, (1)若n=7500,估计A出现的频率在0.74至0.76 之间的概率至少有多大； （2）估计n,使A出现的频率在0.74至0.76之 间的概率不小于0.90。
n
n
即，条件(5.1.8)满足,由定理5.1.3知结论成立.
概率论与数理统计第5章-大数定律和中心极限定理
DX } 1
(2
DX DX
)2
3 4
．
例 1.2 设随机变量 X ~ P(9) ，试根据切比雪夫不等式 估计概率 P{X 19}． 解 由于 X ~ P(9) ，所以 EX DX 9 ，且
P{X 9 10} P{X 1} 0 ， 故有 P{X 19} P{X 9 10}
P{ X 9 10} 9 0.09 ． 102
例 1.3 设随机变量 X ,Y 独立同分布，且 D(X ) 2 ，
试根据切比雪夫不等式估计概率 P{ X Y 2} ．
解 由于 X ,Y 独立同分布，所以 E( X Y ) 0 ，且
D(X Y ) DX DY 4
lim
n
FYn
(
x)
(
x)
1
2
x
e
t2 2
dt
，
x
(,
)
．
【注 1】定理 2.1 称为列维—林德伯格中心极限定理，也 称为独立同分布随机变量序列的中心极限定理．
【注 2】由定理 2.1 表明，当 n 充分大时， FYn (x) (x) ，
近似
n
近似
即得Yn ~ N (0,1) ，从而有 Xi ~ N (n, n 2 ) ．
P{ X Y 2} 1 D(X Y ) 1 ，
22
2
二、大数定律（了解） 1.相关概念
定义 1.1 设有随机变量序列 X1, X 2 ,L , X n ,L ，如果
存在常数 a ，使得对任意的 0 ，有
lim P{
n
Xn
a
}1，
《概率论》第5章1大数定律
1 n lim P{| X | } lim P X i 1 n n n i 1
证明：
1 n 1 n E( X ) E n Xi n E( X i ) i 1 i 1
5
▲契比雪夫大数定律 设随机 X 1 , X 2 , 变量相互独立，且具有 相同的数学期望和方差：
E ( X k ) , D( X k ) 2 , k 1,2,
作前n个随机变量的算术平均
X1 X 2 X n 1 n X Xi n n i 1
对任意正数 0，有：
第五章 大数定律和中心极限定理
本节要解决的问题 为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？ 为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？
答复 大数 定律 中心极 限定理
1
大数定律
• 大数法则”又称“大数定律”或“平均法则”，是概率论主要法 则之一。此法则的意义是：在随机事件的大量重复出现 中，往往呈现几乎必然的规律，这类规律就是大数法则。 历史上，贝努里第一个提出大数法则，通俗地说，这个定 理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件 的频率近似于它的概率。 比如一个人乘飞机旅行，他出事的概率未知对他个人来 说，安全与事故具有随机性。但是对每年100万人次所有乘 飞机的旅行者来说，这里的100万人可以理解这100万次的 重复试验，其中，总有20人死于飞行事故。那么根据大数 法则，乘飞机出事故的概率大约为10万分之二。这样就为 保险公司收取保险费提供了理论上的根据。对个人来说， 出险是不确定的，对保险公司来说，众多的保单出险的概 率是确定的。 2
13
• Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现 和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率” 来决定事件的“概率”。19世纪人们用投针试验的方法来 决定圆周率π。本世纪40年代电子计算机的出现，特 别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法 在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。 考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一 个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积 呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该 正方形“随机地”投掷N个点落于“图形”内，则该“图形”的 面积近似为M/N。 14
证明：
1 n 1 n E( X ) E n Xi n E( X i ) i 1 i 1
5
▲契比雪夫大数定律 设随机 X 1 , X 2 , 变量相互独立，且具有 相同的数学期望和方差：
E ( X k ) , D( X k ) 2 , k 1,2,
作前n个随机变量的算术平均
X1 X 2 X n 1 n X Xi n n i 1
对任意正数 0，有：
第五章 大数定律和中心极限定理
本节要解决的问题 为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？ 为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？
答复 大数 定律 中心极 限定理
1
大数定律
• 大数法则”又称“大数定律”或“平均法则”，是概率论主要法 则之一。此法则的意义是：在随机事件的大量重复出现 中，往往呈现几乎必然的规律，这类规律就是大数法则。 历史上，贝努里第一个提出大数法则，通俗地说，这个定 理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件 的频率近似于它的概率。 比如一个人乘飞机旅行，他出事的概率未知对他个人来 说，安全与事故具有随机性。但是对每年100万人次所有乘 飞机的旅行者来说，这里的100万人可以理解这100万次的 重复试验，其中，总有20人死于飞行事故。那么根据大数 法则，乘飞机出事故的概率大约为10万分之二。这样就为 保险公司收取保险费提供了理论上的根据。对个人来说， 出险是不确定的，对保险公司来说，众多的保单出险的概 率是确定的。 2
13
• Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现 和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率” 来决定事件的“概率”。19世纪人们用投针试验的方法来 决定圆周率π。本世纪40年代电子计算机的出现，特 别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法 在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。 考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一 个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积 呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该 正方形“随机地”投掷N个点落于“图形”内，则该“图形”的 面积近似为M/N。 14
概率论与数理统计第5章
2、定理以数学形式证明了随机变量X
1
,
X
的算术平均
n
X
1 n
n i 1
X i接近数学期望E( X k ) （k
1,2, n）,这种接近
说明其具有的稳定性
这种稳定性的含义说明算术平均值是依概率收敛的意义下 逼近某一常数.
1.(2010-1)设 n 为n次独立重复试验中事件A发生的次数,p是事件
10
3.(2009 1)
设X i
0, 1,
事件A不发生 事件A发生 (i 1, 2,
,100),且P(A) 0.8,
100
X1, X 2 , , X100相互独立,令Y Xi则由中心极限定理知Y 近似服从于 i 1
正态分布,其方差为________ .
4.(2008 -10)设总体X的分布律为P{X 1} p, P{X 0} 1- p, 其中0 p 1.
P{|
m n
p
|
}1
或
ln im
P{|
m n
p
|
}
0
注： 贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分 大时，事件A发生的频率m/n与事件A的概率p有较 大偏差的概率很小.
事件发生的频率可以代替事件的概率.
5.2.2 独立同分布随机变量的切比雪夫大数定律
定理5-3
设随机变量X
1
,
X
，
2
，X
n
,
是独立同分布随机变量序列,
E( Xi ) , D( Xi ) 2 (i 1, 2, )均存在,则对任意 0有
lim{|
n
概率论-第5章 大数定律及中心极限定理
§1 大数定律
一、问题的引入
生产过程中的 字母使用频率 废品率 启示:从实践中人们发现大量测量值的算术平均值 有稳定性.
大量抛掷硬币 正面出现频率
§1 大数定律
一、问题的引入
大数定律的概念 概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的 稳定性的一系列定理，称为大数定律（law of large number)
§2 中心极限定理
即考虑随机变量X k (k 1, n)的和 X k的标准化变量
k 1 n
Yn
X
k 1
n
k
E ( X k )
k 1 n
n
D ( X k )
2
说明每一个随机变量都有相同的数学期望。
§1 大数定律
检验是否具有相同的有限方差？
Xn P
2
( na ) 1 2 2n
2 n
2
0 1 1 2 n
2
( na ) 1 2 2n
2
1 2 a , E ( X ) 2( na ) 2 2n 2 ) [ E ( X n )]2 a 2 . D( X n ) E ( X n
使得当 x a y b 时,
g( x , y ) g(a , b)பைடு நூலகம் ,
§1 大数定律
于是 { g( X n , Yn ) g(a, b) }
{ X n a Yn b }
X n a Yn b , 2 2
§2 中心极限定理
自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人 们发现，正态分布在自然界中极为常见.
如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因 素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合 影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服 从或近似服从正态分布. 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有 的规律性问题.
概率论与数理统计第5章
i 1
22
例1 设有30个电子元件,它们的寿命均服从参数为 0.1的指数分布(单位:小时),每个元件工作相互 独立,求他们的寿命之和超过350小时的概率.
解 设Ti为第i个元件的寿命, i 1,2,,30,T为寿命之和
显 然T1 ,T2 ,,T30相 互 独 立
30
且 Ti ~ E(0.1), i 1,2,.30 T Ti
且EX i , DXi 2 0,则x R,有
n
lim
P
i 1
Xi
n
x
x
n
n
1
t2
e 2 dt ( x)
2
莱 维n 中心 极 限 定 理表 明
记量 即Y的Yn n分当~•i布1NnX 函(ni 0数,1n,)收随敛机则于n变YX标量准ni为~序正 • Ni列 态 n1(inXn分1iX,的 布ni 的的标2标)分准准布化化函随随数. 机 机 变变 量
1
t2
e 2 dt ( x)
n np(1 p) 2
n
证明 由于 X n ~ B(n, p) 则X n X k , k 1
其中 X1, X2 ,, Xn 是相互独立的、服从同一
(0－1) 分布的随机变量, 分布律为
P{ Xk i} pi (1 p)1i , i 0, 1.
30
分nll设布ii其 (mm0X，随－P中Pn1则机)Xin分对X变k11n,nX1布任X量Xni 2n的意k,Xpn, n随x服,，X机从xn有x变是参量相数x,x互分n,1独布21p(立e律0et2的2为t2d2 dtp、t服1()从 x的) 同二一项
20
服从均匀分布。记 V Vk 求P{V>105}的近似值 k 1
概率论 第五章数学期望和方差
E(T2n+1) = E(T2n + X2n+1) = E(T2n) + E(X2n+1) = µ, n = 1, 2, . . . V ar(Tn) = n V ar(Xi) = nσ2.
i=1
5.22 解
V
ar(Y
)
=
n j=1
V
ar(aj Xj )
=
n j=1
a2j σj2,
由拉格朗日乘数法可得, 当 aj =
EZ =
∞
P (Z > z)dz =
0
∞
1
0
−
(1 − exp(−zλ))5dz
=
137 60λ
.
5.18 解 设 θ 为辐角, 则 θ ∼ U(0, 2π), 落点的横坐标为 X = R cos(θ),
从而落点的横坐标的数学期望为
EX =
2π 0
R cos 2π
θ dθ
=
0.
5.19 解
(X, Y
0
=
1 5λ
.
(b)Z = max(X1, X2, . . . , X5) 表示 5 台计算机都被感染病毒的时间, P (Z > z) = 1 − P (Z ≤ z) = 1 − P (X1 ≤ z, . . . , X5 ≤ z) = 1 − P (X1 ≤ z)5 = 1 − (1 − exp(−zλ))5, 故 5 台计算机都被病毒感染前的时间期望为
5.28 解
EX =
1 0
xfX
(x)dx
=
1 0
1 0
xf
(x,
y)dydx
=
由 X, Y
的对称性可得 EY
概率论与数理统计-第五章
【数理统计简史】
1. 近代统计学时期
18 世纪末到 19 世纪，是近代统计学时期．这一 时期的重大成就是大数定律和概率论被引入统计 学．之后最小二乘法、误差理论和正态分布理论 等相继成为统计学的重要内容．这一时期有两大 学派：数理统计学派和社会统计学派．
【数理统计简史】 数理统计学派始于19世纪中叶，代表人物是比 利时的凯特莱（ A.Quetelet ， 1796-1874 ），著有 《概率论书简》《社会物理学》等，他主张用研 究自然科学的方法研究社会现象，正式把概率论 引入统计学，并最先用大数定律证明了社会生活 中随机现象的规律性，提出了误差理论．凯特莱 的贡献，使统计学的发展进入个了一个新的阶 段．
i =1 36
1 2 2 3 2 2 2 2 D( X ) = E ( X ) − E ( X ) = ( 0 + 1 + 2 + 3 ) − 4 2 5 = 4
2
二、样本与抽样 由于X1，X2，...，X36均与总体X同分布，且相互独 立，所以，Y的均值和方差分别为
E (Y ) = E ( ∑ X i ) = 36 E ( X ) = 54,
【数理统计简史】 18世纪到 19世纪初期，高斯从描述天文观测的 误差而引进正态分布，并使用最小二乘法作为估 计方法，是近代数理统计学发展初期的重大事件， 对社会发展有很大的影响．
【数理统计简史】 用正态分布描述观测数据的应用是如此普遍，以 至 在 19 世 纪 相 当 长 的 时 期 内 ， 包 括 高 尔 顿 （ Galton ）在内的一些学者，认为这个分布可用 于描述几乎是一切常见的数据．直到现在，有关 正态分布的统计方法，仍占据着常用统计方法中 很重要的一部分．最小二乘法方面的工作，在 20 世纪初以来，经过一些学者的发展，如今成了数 理统计学中的主要方法．
概率论第五章 大数定律及中心极限定理
的标准化变量为
n
X i n
Yn i1 n
则Yn的分布函数Fn(x)对任意的x∈(-∞,+∞)都有
n X i n
lim
n
Fn
(
x)
lim
n
P(Yn
x)
lim
n
P
i 1
n
x
x
1
t2
e 2 dt
2
该定理说明，当n充分大时， Yn近似地服从标准正 态分布，Yn~N(0,1)， (n )
P|
X
|
2 2
P X
1
2 2
证明 (1)设X的概率密度为p(x),则有
P{| X | } p(x)dx
| x |2
p(x)dx
|x|
|x|
2
1
2
(x
)2
p(
x)dx
2 2
Xi 2
0
pi
1 4
1 2
2
(i 1,2, , n, )
1 4
解
因为 X1, X 2 , , X n ,
相互独立， EX i 0 ， E
X
2 i
1
又
DX i
E
X
2 i
EX i
2
1 0
1， i
1,2,
, n,
所以,满足切比雪夫大数定理的条件,可使用大数定理.
概率论5章
F ( x, y) A[ B arctanx][C arctany]
求常数A，B，C.
解: F ( , ) A[ B
F ( , y ) A[ B
2
][C
2
]1
2
][ C arctan y ] 0
F ( x, ) A[ B arctan x ][ C
x y
f ( x, y)dxdy
dx 8e
x 0 ( 2 x 4 y ) x dy 2e 2 x (e 4 y ) |0 dx 0
= 0 =
0
2e
2 x
(1 e
4 y
)dx 2e
0
2 x
dx 2e6 x dx
0
F ( , y ) lim F ( x, y ) 0
x
§5.1 二维随机变量及分布函数
二、联合分布函数 性质 ⑤ 随机点(X,Y)落在矩形区域
{( x, y) | x1 X x2 , y1 Y y2}
的概率
y y2
y1 0 x1 x2 x
P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F ( x2 , y2 ) F (x2 , y1 ) F (x1, y2 ) F (x1, y1 )
y0 0 y0 0
x
§5.4 边缘分布
一、边缘分布函数 1．边缘分布 设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，称
P(X≤x)=P(X≤x,Y<+≦)
x , y
其中 -≦<μ1<+≦, -≦<μ2<+≦,σ1>0,σ2>0 ,|ρ|<1,
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2
1
2x
e
,
x
0,
0, x 0,
因而N的概率密度为
fmin
(x)
2
2x
e
,
x
0,
0, x 0,
于是N的数学期望为: E(N)
xfmin (x)dx
2x
e
2x
dx
.
0
2
例3，例4，例5
例4 某商店对某种家用电器的销售 采用先使用后付款的方式。记使用寿 命为X（以年计），规定：
-
-
1 xy
f
(x,y)dxdy
dx
1
x
dy 1 3
1 xy 2x3y2
x
3. 5
例10 设生产x件，获利Q，
mY n(x Y) Y x
Q Q(x, Y)
mx
Yx
E(Q) QfY (y)dy
0
x
[my
n(x
y)
1
ey
/
dy
mx
1
ey
/
dy
0
x
(m n) (m n)ex / nx
§2.随机变量的方差 方差描述了r.v.对其数学期望的离散 程度, 在概率论和数理统计中十分重要.
一、定义
设X为r.v., 若E X-E(X)2 存在,
则称它为X的方差, 记作D(X) ,即
D(X) E X-E(X)2 .
称 D(X)为X的均方差或标准差.
若X为离散型r.v.其分布律为 P{X=xk}=pk, k=1,2,…, 则
X 1，一台付款1500元；1<X 2，一台付款2000元； 2<X 3，一台付款2500元；X>3，一台付款3000元；
设寿命X服从指数分布, 概率密度为
f
(x)
1
10
x
e 10
x0
0 x 0
试求该商店一台收费Y的数学期望。
3. 随机变量函数的数学期望公式:
定理: 设Y是r.v.X的函数, Y g(X) (g是连续函数)
xf (x)dx 绝对收敛, 则称积分 xf (x)dx的值为
-
-
r.v.X的数学期望, 记为E(X). 即 E(X)
xf (x)dx.
-
数学期望简称期望, 又称为均值.
例1. 甲,乙两人进行打靶, 所得分数分别记为 X1, X2, 它们的分布律分别为: X1 0 1 2 X2 0 1 2 pk 0 0.2 0.8 pk 0.6 0.3 0.1 试评定他们的成绩好坏.
立的且都服从0--1分布: P{Xi=1}=p, P{Xi=0}=q, X表
示n次独立重复试验中A发生的次数,Xi表示第i次试
验的结果:Xi=1表示A发生, Xi=0表示A不发生, 所以
n
n
X= Xi 故 E(X) E(Xi ) np.
i=1
i 1
说明: 将X分解成数个r.v.之和,然后利用r.v.和的数 学期望等于r.v.的数学期望之和来求解. 这个方法 具有一定的普遍意义.
d E(Q) 0, 得x ln( n )
dx
mn
4.均值的性质: (1) E(c)=c; (c为常数) (2) E(cX)=cE(X);( c为常数) (3) E(X+Y)=E(X)+E(Y); (4) 设X,Y相互独立, 则E(XY)=E(X)E(Y); (5) |E(XY)|2≤E(X2)E(Y2).(柯西-许瓦尔兹不等式)
解: 计算X1的均值, 由定义有 E(X1) =00+1 0.2+2 0.8=1.8
E(X2)=00.6+1 0.3+2 0.1=0.5
显然,乙的成绩比甲的差.
例2. 有2个相互独立工作的电子装置, 它们的寿命Xk (k 1, 2 )服从同一指数分布, 其概率密度为:
f(x)
1
θ
x
e
,
g(x)f(x)dx.
-
说明: 1. 在已知Y是X的连续函数前提下,当我们求 E(Y)时不必知道Y的分布, 只需知道X的分布就可 以了. 2. 上述定理可以推广到多维r.v.函数. 如Z g(X, Y)(g是连续函数)是r.v.X, Y的函数,若二
维r.v.(X, Y)的概率密度为f (x,y),则r.v.Z的期望为
(假设级数绝对收敛)
例. 设随机变量(X, Y)的概率密度为
f(x,y)
3 2x3 y 2
,
1 x
y
x.x
1
0,
其它,
试求 : E(Y),E( 1 ) XY
解: 由(4.1)式可得
E(Y)
yf (x,y)dxdy
- -
dx
1
x
1
y
3 2x3y2
dy
x
3. 4
E( 1 ) XY
第五章 随机变量的数字特征
§1. 随机变量的数学期望
1. 定义: 设离散型r.v.X的分布律为:
P X x p , k 1, 2, L
k
k
若级数 x p 绝对收敛, 则称级数 x p 的和为随机变
kk
kk
k 1
k 1
量的数学期望,记作E(X),即 E(X) x p . kk 2. 定义: 设连续型r.v.X的概率密度为kf1(x), 若积分
(i) X是离散型r.v., 它的分布律为
pk PX xk ,k 1, 2, L ,
若 g(xk )pk 绝对收敛,则 k 1
E(Y) Eg(X) g(xk )pk . k 1
(ii) X是连续型r.v., 它的概率密度为f(x), 若
g(x)f(x)dx 绝对收敛, 则 -
E(Y) Eg(X)
x
0,
0,
0, x 0,
若将这2个电子装置串联工作组成整机,
求整机寿命N的数学期望.
解: Xk(k=1,2)的分布函数为:
F(x)
1
x
e
,
x
0,
0, x 0,
由前面介绍的N min(X, Y)的分布函数可知 N min(X1 , X2 )的分布函数为
Fmin (x) 1
1 F(x)
D(X) xk E(X)2 pk ,
说明:i. 性质(3)和(4)可以推广到有限个r.v. (X1, X2, …, Xn)的情况.
ii. 对于“和”,不要求X1,X2,…,Xn相互独立; 对 于“积”要求X1,X2,…,Xn相互独立.
例. 二项分布的均值的计算:
设X~b(n,p),引入r.v.Xi(i=1, 2, …, n), 它们是相互独
E(Z) Eg(X, Y)
g(x,y)f (x, y)dxdy,
(4.1)
(假设积分绝对收敛)
又若(X, Y)为离散型r.v.
其分布律为P X xi , Y y j pij , i,j 1, 2, 3,L
则有E(Z) Eg(X, Y) g(xi ,y j )pij , (4.2) j1 i1