2012届高考数学第一轮复习——第九单元 立体几何3

9. ABC-A′B′C′是正三棱柱，底面边长为a,D、E分别为 1 BB′、CC′上的一点，BD= a,EC=a.
2
(1)求证：平面ADE⊥平面ACC′A′, (2)求△ADE的面积. 证明：(1)分别取A′C′,AC的中点M、N，连结MN， 则MN∥A′A∥B′B， ∴B′、M、N、B共面,B′M⊥A′C′. 又B′M⊥AA′,∴B′M⊥平面A′ACC′. 设MN交AE于P，∵CE=AC, ∴PN=NA= 1 a,又DB= 1 a,∴PN=BD.
学后反思 无论是线面垂直还是面面垂直,都源自于线线垂直.在处理实际问题的过程中,可 以先从题设条件入手,分析已有的垂直关系,再从结论入手分析所要证明的垂直 关系,从而架起已知与未知之间的“桥梁”.
举一反三
4. 如图,在正三棱锥A-BCD中,∠BAC=30°,AB=a,平行于AD、BC 的截面EFGH分别与AB、BD、DC、CA交于E、F、G、H四点. (1)试判断四边形的形状,并说明判断理由; (2)设P点是棱AD上的点,当AP为何值时,平面PBC⊥平面EFGH? 请说明理由. 解析：(1)四边形EFGH是矩形,下面给出证明: (1) EFGH , : ∵AD∥面EFGH,面ACD∩面EFGH=HG,AD面ACD, ⊂ ∴AD∥HG.同理EF∥AD, ∴HG∥EF,同理有EH∥FG, ∴四边形EFGH是平行四边形. 又∵三棱锥A-BCD是正三棱锥, ∴A点在底面BCD上的射影O点必是△BCD的中心,OD⊥BC,∴AD⊥BC. ∴HG⊥EH,即四边形EFGH是矩形. (2)作CP⊥AD于P,连结BP, ∵AD⊥BC,∴AD⊥面BCP.
10. (2009·潍坊模拟)如图,正三棱柱 ABC − A1 B1C1 中,AB=2, AA1=1,D是BC的中点,点P在平面BCC1B1内,PB1=PC1= 2 . (1)求证:PA1⊥BC; (2)求证:PB1∥平面AC1D; (3)求证:B1D⊥平面ADC1. 证明：(1)取B1C1 的中点Q,连结A1Q,PQ, ∵△PB1C1 和△ A1 B1C1 是等腰三角形, ∴ B C ⊥A1Q, B C ⊥PQ,
举一反三
3. 已知:平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,E为垂足. (1)求证:PA⊥平面ABC; (2)当E为△PBC的垂心时,求证:△ABC是直角三角形.
证明：如图,在平面ABC内取一点D,作DF⊥AC于F, 平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC, ⊂ ∴DF⊥平面PAC,PA平面PAC. ∴DF⊥AP. 作DG⊥AB于G, 同理可证DG⊥AP,又DG、DF都在平面ABC内, ∴PA⊥平面ABC. (2)连结BE交PC于H, ∵E是△PBC的垂心, ∴PC⊥BE. 又∵AE⊥平面PBC, ∴PC⊥AB. 又∵PA⊥平面ABC, ∴PA⊥AB, ∴AB⊥平面PAC, ∴AB⊥AC,即△ABC是直角三角形.
⊂ ∵PA⊥平面ABC,BF平面ABC,∴PA⊥BF.
又∵O是△ABC的垂心,∴BF⊥AC,∴BF⊥平面PAC. ∵PC平面PAC,∴BF⊥PC. ⊂ 连结BQ并延长交PC于M,连结MF. ∵Q为△PBC的垂心,∴PC⊥BM.∵BM∩BF=B, ⊂ ∴PC⊥平面BFM.∵OQ平面BFM, ∴OQ⊥PC.∵PC∩BC=C, ∴OQ⊥平面PBC.
}⇒
举一反三 2.如图所示,P是△ABC所在平面外一点,且PA⊥平面 ABC,若O、Q分别是△ABC和△PBC的垂心. 求证:OQ⊥平面PBC. 证明：连结AO并延长交BC于E,连结PE. ∵PA⊥平面ABC,BC平面ABC, ⊂ ∴PA⊥BC. 又∵O是△ABC的垂心,∴BC⊥AE.∵PA∩AE=A, ∴BC⊥平面PAE,∴BC⊥PE,∴PE必过Q点. ⊂ ∴OQ平面PAE,∴OQ⊥BC. 连结BO并延长交AC于F.
其中当λ=1时, 平行四边行MNPQ的面积达到最大值 故当点M位于AC中点时,平行四边行MNPQ的面积 1 最大.最大面积为 mn ⋅ sin φ .
1 mn ⋅ sin φ . 4
4
第五节
直线、 直线、平面垂直的判定及其性质
1. 直线与平面垂直
任意一条直线 (1)定义:如果直线l与平面α内的___________都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂 平面的垂线 直线的垂面 直.这条直线叫做___________,这个平面叫做___________,交点叫做垂足.垂线上 垂线段 任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平面的________,垂线段的长度叫做 点到平面的距离 ________________. 任意一条 (2)性质:如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的__________直线垂直. 两条相交直线 (3)判定定理:如果一条直线与平面内的_____________ 垂直,则这条直线与这个平 面垂直. 有一条垂直于一个平面 (4)推论:如果在两条平行直线中,__________________,那么另一条也垂直于这个 平面. 垂直于同一个平面 (5)性质定理:如果两条直线________________,那么这两条直线平行.
2
2
∵PN∥BD,∴四边形PNBD是矩形，于是PD∥BN, 又BN∥B′M,∴PD∥B′M,∵B′M⊥平面ACC′A′, ⊂ ∴PD⊥平面ACC′A′,PD平面ADE， ∴平面ADE⊥平面ACC′A′. (2)∵PD⊥平面ACC′A′, 3 ∴PD⊥AE，PD=B′M= a,AE= a, 2 2 1 ∴S△ADE= AE·PD= 1 × 2a × 3 a = 6 a 2. 2 2 2 4
⊂ 证明：∵SA⊥平面ABCD,BC平面ABCD, ∴SA⊥BC.又BC⊥AB,SA∩AB=A,∴BC⊥平面SAB. ∵AE平面SAB,∴BC⊥AE. ⊂ ⊂ ∵SC⊥平面AEFG,AE平面AEFG,∴SC⊥AE. 又∵BC∩SC=C,∴AE⊥平面SBC. ∴AE⊥SB.同理可证AG⊥SD.
Q底面NB1C1 ⊥ 侧面BB1C1C ∴C1 N ⊥ 侧面BB1C1C ∴截面C1 NB ⊥ 侧面BB1C1C,即截面MBC1 ⊥ BB1C1C
学后反思 本题中平面ABC⊥平面 BB1C1C的应用是关键,一般地有两个平面垂直时要 用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转 化为线线垂直.
题型一
线线垂直
【例1】如图,α∩β=CD,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B, 求证:CD⊥AB. 分析:要证CD⊥AB,只需证CD⊥平面ABE即可. 证明∵α∩β=CD,∴CDα,CDβ.⊂ ⊂ ⊂ 又EA⊥α,CDα,∴EA⊥CD, 同理EB⊥CD. ∵EA⊥CD,EB⊥CD,EA∩EB=E, ∴CD⊥平面EAB.∵AB平面EAB,∴AB⊥CD. CD EAB. AB ⊂ EAB, AB CD. 学后反思 证明空间中两直线互相垂直,通常先观察两直线是否共面. 若两直线共面,则一般用平面几何知识即可证出,如勾股定 理,等腰三角形的性质等.若两直线异面,则转化为线面垂 直进行证明. 举一反三 如图所示,四边形ABCD为正方形,SA垂直于四边形ABCD 所在的平面,过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G. 求证:AE⊥SB,AG⊥SD.
2. 平面与平面垂直
直二面角 (1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是__________,就称这两个 平面互相垂直. 一条垂线 (2)判定定理:如果一个平面过另一个平面的___________,则这两个平面互相垂直. 垂直于它们交线 (3)性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内_______________的直线 垂直于另一个平面. 有
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⇒
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⊂ (3)PC平面PBC,由(2)知PC⊥AE PC⊥AF PC⊥平面AEF. AE∩AF=A 学后反思 学后反思 本题的证明过程是很有代表性的,即证明线面垂直,可先证线线垂直,而已知的线线 垂直又可以产生有利于题目的线线垂直,在线线垂直和线面垂直的相互转化中,平 面在其中起着至关重要的作用,由于线线垂直是相互的,应充分考虑线和线各自所 在平面的特征,以顺利实现证明需要的转化.
【例3】如图所示,在斜三棱柱 A1 B1C1 − ABC 中,底面是 等腰三角形,AB=AC,侧面 BB1C1C ⊥底面ABC. (1)若D是BC的中点,求证:AD⊥ CC1 ; (2)过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于M, 若AM=MA1,求证:截面MBC 1 ⊥侧面 BB1C1C . 分析:（1）要证明AD⊥ CC1 ,只要证明AD垂直于CC1 所在的平面 BB1C1C 即可.显然由AD⊥BC和面面垂直 的性质定理即可得证. （2）要证明截面MBC1⊥侧面 BB1C1C ，只要证明截面MBC1 经过侧面 BB1C1C 的一条垂线即可.
题型二 线面垂直 【例2】如图,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面 ABC,∠ABC=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F. 求证: (1)BC⊥平面PAB; (2)AE⊥平面PBC; (3)PC⊥平面AEF. 分析:要证明线面垂直，只要证明这条直线与这个平面 内的两条相交直线垂直即可. ⇒ 证明:(1)PA⊥平面ABCPA⊥BC AB⊥BC BC⊥平面PAB. PA∩AB=A (2)AE平面PAB,由(1)知AE⊥BC ⊂ AE⊥PB AE⊥平面PBC. ∵AB=AC,D是BC的中点, ∴AD⊥BC. ∵底面ABC⊥侧面 BB1C1C ∴AD⊥侧面BB1C1C . ∴AD⊥CC1. (2)延长B1A1与BM的延长线交于点N,连结C1N.
1 ∴ MA1 / / BB1.∴ NA1 = A1 B1. ∵AM=MA1, 2 ∴ AC1 = A1B1.∴ AC1 = A1N = A1B1 ,∴ NC1 ⊥ C1B1. 1 1
题型四
垂直问题的探究
【例4】在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,又侧棱PA⊥底面ABCD. (1)当a为何值时,BD⊥平面PAC?试证明你的结论; (2)当a=4时,求证:BC边上存在一点M,使得PM⊥DM; (3)若在BC边上至少存在一点M,使PM⊥DM,求a的取值范围.