高等数学(二)复习手册

解：由原函数的定义可知，
例3：设函数 ,则不定积分 等于？
解：
例4：设函数 ，则不定积分 等于？
解：由 ，得
例5：函数 的一个原函数是？
解：
根据原函数与不定积分的关系可知， 的一个原函数是
例6：设 是f(x)的一个原函数，则
解：由原函数的定义可知，
例7：设 ,则f(x)=?
解：
例8： ?
解：
例9： ?
5.f(-x)=f(x)则称f(x)为偶函数，f(-x)=-f(x)则称f(x)为奇函数。
六
例1.
解： ,解得x>1.所以函数的定义域是：
例2.
解：
即
例3．
解：由
由
故原函数的定义域为
七
. 幂函数 (a为实数)
要记住最常见的几个幂函数的定义域及图形
.
.指数函数
定义域： ，
值域： ，
图形过（0，1）点，a>1时，单调增加；a时，单调减少。今后 用的较多。
例：设函数y=y(x)由方程 确定，求 。
解：方程两边同时对x求导，得
2.幂指函数取对数，化为隐函数再求导。
例：设
解：等式两边同时取自然对数，得
九、导数应用解题步骤
1.求函数单调增减区间
（1）求f(x)的定义域。
（2）求出在定义域f'(x)=0及导数不存的点。
（3）化分区间段，判定f'(x)>0(单调增加），f'(x)<0(单调减少）
高等数学（二）复习手册
第1章
一
1.
2.
3.
4. =
5.
6.
7.
二
1.
2.
3.
4.
5.
6.
三
1.
2.自然对数：
3.常用对数：
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
四
1. =
2. =
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
五
（1） （2） （3） （4） ）（5）
（2） （2） （3） （4） ）（5）
6.用函数的单调性证明不等式
证明：当
欲证：当
可令F(x)=f(x)-g(x),且F(x)必须满足：
(1)
(2)当 .
(3)当
(4)于是有F(x)=f(x)-g(x)>0
即证明了当
例1：求函数 的单调增减区间、极值及其曲线的凹向区间、拐点，水平渐近线与铅直渐近线。
解：
令
以下列表讨论:
x
-3
(-3,-2)
典型例题：
例1：设函数y=f(x)在点 处可导，且 ,则 等于？
解：
例2：设f(0)=0,且 存在，则 等于？
解：
例3：直线L与x轴平行，且与曲线 相切，则切点坐标是？
解：设切点坐标为 。由导数的几何意义可知，曲线在点 处的切线的斜率为 ,解得 ,所以切点坐标为(0,-1)
例4：曲线 在点(0,1)处的切线斜率k=?
解：
所以函数y在区间[0,2]上的最大值 ,最小值y(0)=0。
例3：证明：当x>0时，
证：设 ,
当x>0时，
,
所以当x>0时，
因为f(0)=0,g(0)=0。F(x)>f(0)=0,g(x)>g(0)=0,
即
综上可知当x>0时，
第4章
一、
不定积分为一族原函数。若F(x)是f(x)的一个原函数，则
(一).不定积分基本公式
17.
18.
四、导数的四则运算法则
1.
2.
3.
4.
5.
五、洛必达法则
或 型
六、导数的几何意义
1.若函数y=f(x)在点 处可导，则 表示过曲线上点 处的切线斜率，则过点 的切线方程为
2.过点 与切线垂直的直线为曲线y=f(x)在点 处的法线，若 ,则曲线y=f(x)上过点 的法线方程为
七、微分
若y=f(x),则
解：
例5：设函数 ,则
解：
例6：设函数
解：
例7：设函数y=xlnx,求y’
解：
例8：设函数 ,求y’.
解：
例9：设函数
解：因为
例10：设函数
解：作变量代换，令cosx=t,则
例11：设函数
解：
例12:在曲线 上求一点 ,使过点 的切线平行于直线x-2y+5=0,并过点 的切线方程和法线方程。
解： ,由平行直线斜率相等，得 ，则x=1,代入曲线方程得切点 ,
无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。
3.无穷小量的比较
如果 ,则：
(1)
(2)
(3)
(4)
典型例题：
例1:当
解：由于
所以当
例2：求
解：
例3：求：
解：
例4：求
解：
例5:求
解： =
例6：设f(x) 则f(x)在x=0的左极限
解：
例7：求求
解：
例10：求 ,求常数k
解：
可知
即 ，令 ,得 即
例9：设函数f(x)满足
解：令
上式两边同时取区间[1,e]上的定积分，得
即
即
第5章
典型例题
例1：函数 在点(1,1)处的全微分 等于？
解：
例2：设函数 ,求
解：
例3：设z=ycosx,求
解：
例4：设 。
解：令z=f(u,v),u=2x+3y,
例5：设函数z=z(x,y)是由方程 所确定的隐函数，求dz
符号
概率论
集合论
样本空间
全集
不可能事件
空集
基本事件
集合的元素
A
事件
子集
A的对立事件
A的补集
事件A发生导致事件B发生
-2
(-2,0)
0
y’
-
-
0
+
无定义
-
y’’
-
0
+
+
+
y
↘
∩
拐点
)
↘
∪
极小值
↗
∪
↘
∪
所以函数f(x)的单调增加区间为(-2,0),单调减少区间为 ,极小值为 。
曲线f(x)的凸区间为 ,凹区间为 ,拐点为 。
且y=-1为水平渐近线，x=0为铅直渐近线。
例2：求函数 在区间[0,2]上的最大值与最小值。
二、事件及其概率
1.事件的和（并）记为:
2.事件的积（交）记为：
3.
4.
5.事件的差：事件A发而事件B不发生,
6.完备事件组，需同时满足：（1） (2) ,显然任何一个事件A与其对立事件 构成完备事件组。
7.事件运算的运算规则：
(1)交换律：
(2)结合律：
(3)分配律：
(4)对偶律：
8.事件及其运算与集合及其运算之间的关系
d)无穷区间上的反常积分：
(1)
(2)
(3)
8.定积分的应用
3-2-1：S= 3-2-2：S=
3-2-3：S=
3-2-4：先求解方程组
3-2-5： 3-2-6：S=
3-2-7：
3-2-8：
3-2-9：
3-2-10：
9.典型例题
例1：求
解：
例2：定积分 作适当变换后应等于？
解：作变量代换，令 ,则
当x=0时,t=2;当x=19时,t=3,所以有
解：令
因为
所以
则
例6：求函数
解：
得
得 即驻点为
又
得
因为
例7：求函数 在条件x+y=1的极值
解：构造拉格朗日函数求解
设
解得
第6章
一、排列组合
1.排列
2.全排列
3.组合
4.组合数的性质
（1）
（2）
排列与组合的主要区别在于：排列的有序性，组合的无序性。
5.两个基本原理
1)分类计数原理
原理（加法原理）完成一件事情有n类不同的方式，第一类方式有 种方法，第二类方式有 种方法， ，第n类方式有 种方法，无论利用哪种方式的哪种方法都可以完成这件事情，那么完成这件事情的方法总数为
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
(二)不定积分求法
或
口决：幂指弦前为U,幂对反三后为U,指弦后为U
典型例题：
例1： 的一个原函数是？
解：
根据原函数与不定积分的关系可知， 的一个原函数是
例2：已知 是f(x)的一个原函数，则f(x)=?
2)分步计数原理
原理（乘法原理）完成一件事情分n个步骤，第一个步骤有 种方法，第二个步骤有 种方法， ，第n个步骤有 种方法，必须经过所有步骤才能完成这件事情，那么完成这件事情的方法总数为
两个基本原理的主要区别在于：
分类计数原理（加法原理）：方法独立分类，一次完成。
分步计数原理（乘法原理）：步骤紧密相关，分步到位。
b)
c)
d)
e)
6.原函数存在定理
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则 为f(x)在该区间上的一个原函数。