高考数学期望,二项分布大题

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高考数学总复习第十章第十节二项分布、超几何分布、

第十节二项分布、超几何分布、正态分布1．(2013·大庆模拟)设ξ是服从二项分布B (n ，p )的随机变量，又E (ξ)＝15，D (ξ)＝454，则n 与p 的值为 ( ) A ．60，34 B ．60，14数C ．50，34D ．50，14解析：由ξ～B (n ，p )，有E (ξ)＝np ＝15，D (ξ)＝np (1－p )＝454，所以p ＝14，n ＝60.答案：B2．(2013·许昌模拟)设随机变量X ～N (1,52)，且P (X ≤0)＝P (X ≥a －2)，则实数a 的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：由正态分布的性质可知P (X ≤0)＝P (X ≥2)，所以a －2＝2，所以a ＝4，选A. 答案：A3．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是( )A.3235B.1235C.335D.235解析：设随机变量X 表示取出次品的个数，则X 服从超几何分布，其中N ＝15，M ＝2，n ＝3，它的可能的取值为0,1,2，相应的概率为P (X ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235.故选B.答案：B4. 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位长度，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫125B ．C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125 C ．C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123D ．C 25C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫12 5解析：质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为P ＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123.故选B.答案：B5．一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，下列概率等于（n －m ）A 2mA 3n的是( ) A ．P (ξ＝3) B ．P (ξ≥2) C ．P (ξ≤3) D ．P (ξ＝2)解析：P (ξ＝2)＝A 2m C 1n －m A 3n ＝（n －m ）A 2mA 3n. 故选D. 答案：D6．正态总体的概率密度函数为f ()x ＝18πe －x 28()x ∈R ，则总体的平均数和标准差分别是( )A ．0和8B ．0和4C ．0和2D ．0和 2答案：C 7．将1枚硬币连续抛掷5次，如果出现k 次正面的概率与出现k ＋1次正面的概率相同，则k 的值是________．解析：由C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫125－k ＝ C k ＋15×⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫124－k ，得k ＝2.答案：28．在4次独立重复试验中事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为________．解析：A 至少发生一次的概率为6581，则A 的对立事件A ：事件A 都不发生的概率为1－6581＝1681＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234，所以，A 在一次试验中出现的概率为1－23＝13. 答案：139．(2013·揭阳二模)某个部件由两个电子元件按右图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为__________．解析：两个电子元件的使用寿命均服从正态分布N (1000,502)，得：两个电子元件的使用寿命超过1 000小时的概率均为p ＝12，则该部件使用寿命超过1 000小时的概率为：p 1＝1－(1－p )2＝34.答案：3410．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93× 0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.其中正确结论的序号是____________(写出所有正确结论的序号)．解析：“射手射击1次，击中目标的概率是0.9”是指射手每次射击击中目标的概率都是0.9，由于他各次射击是否击中目标相互之间没有影响，因此他在连续射击4次时，第1次、第2次、第3次、第4次击中目标的概率都是0.9，①正确；“他恰好击中目标3次”是在4次独立重复试验中有3次发生，其概率是C 34×0.93×0.1，②不正确；“他至少击中目标1次”的反面是“1次也没有击中”，而“1次也没有击中”的概率是0.14，故至少击中目标1次的概率是1－0.14，③正确．故选①③.答案：①③11．(2013·汕头一模改编)广东省汕头市日前提出，要提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，努力实现“幸福汕头”的共建共享．现随机抽取50位市民，对幸福级别非常幸福幸福不知道不幸福幸福指数(分) 90 60 30 0 人数(个) 19 21 7 3(2)以这50人为样本的幸福指数来估计全市市民的总体幸福指数，若从全市市民(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到幸福级别为“非常幸福或幸福”市民人数．求ξ的分布列；解析：(1)记E (x )表示这50位市民幸福指数的数学期望，所以E (x )＝150(90×19＋60×21＋30×7＋0×3)＝63.6(2)ξ的可能取值为0、1、2、3P (ξ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫450⎝ ⎛⎭⎪⎫153＝1125，P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫451⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝12125，P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫151＝48125，P (ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫453⎝ ⎛⎭⎪⎫150＝64125，ξ分布列为ξ 0 1 2 3P 1125 12125 48125 6412512．(2013·新课标全国卷Ⅰ)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n 。

【高考数学】利用二项式分布思想高考数学“秒杀”概率中的数学期望

二项分布：在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的
概率为 p，则称随机变量 X 服从二项分布.记为： X ~ B(n, p) .
很明显，二项分布需满足的条件为：独立性、重复性、试验的结果只有两个.
反观上题，我们再细细的分析一下：若记“担任领导岗位的男员工人数”为，相当于在领导岗
终的期望仍可以将三个两点分布的期望相加得到，即：EX
1
1
2
（三个两点分布的期望之和）.
223
通过上述两种解法的对比，我们可以进一步深入理解二项分布的概念，从而达到了一个新的层次.
问题启示：上述两则案例告诉我们，二项分布的期望等价于若干个两点分布的期望之和，或者等
价于若干个二项分布的期望之和，故我们可以将类似于上述案例中求期望的方法延伸到一般化，即：
球.现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球.假设每个球被取到的可能性相同，设为取出的 4 个球中红球
的个数，则 E =______
参考解析：（一）、常规解法：
0
1
2
3
1
4
13
1
P
10
10
30
15
E 22 15
（二）、按“秒杀”思路分析：
记“从甲盒中取出红球的个数”为 1 ，“从乙盒中取出红球的个数”为 2
E(X1 X2 ... Xn ) E(X1) E(X2) ... E(Xn ) ；
注：其中 X 1、X 2 ...X n 都服从于两点分布或服从于二项分布.
读者不妨再用两种解法做一下练习 2. 练习 2：已知甲盒内有大小相同的 2 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小相同的 1 个红球和 2 个黑

高考数学(人教a版,理科)题库：二项分布与正态分布(含答案).

第8讲二项分布与正态分布一、选择题1．甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的纪录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为( )A．0.6 B．0.7C．0.8 D．0.66解析甲市为雨天记为事件A，乙市为雨天记为事件B，则P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，∴P(B|A)＝P ABP A＝0.120.2＝0.6.答案 A2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.34解析本题涉及古典概型概率的计算．本知识点在考纲中为B级要求．由题意得P(A)＝12，P(B)＝16，则事件A，B至少有一件发生的概率是1－P(A)·P(B)＝1－12×56＝712.答案 C3．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是()．A．[0.4,1] B．(0,0.4]C．(0,0.6] D．[0.6,1]解析设事件A发生的概率为p，则C14p(1－p)3≤C24p2(1－p)2，解得p≥0.4，故选A.答案 A4．设随机变量X 服从正态分布N (2,9)，若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)，则c 等于( )． A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ∵μ＝2，由正态分布的定义，知其函数图象关于x ＝2对称，于是c ＋1＋c －12＝2，∴c ＝2. 答案 B5．在正态分布N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，19中，数值前在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为( )．A ．0.097B ．0.046C ．0.03D ．0.0026 解析 ∵μ＝0，σ＝13∴P (X ＜1或x ＞1)＝1－P (－1≤x ≤1)＝1－P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6. 答案 D6．已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσi·e －(x －μi )22σ2i (x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则 ( )．A ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B ．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C ．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3解析正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3. 答案 D 二、填空题7．三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局胜者对第一局的败者，第四局是第三局胜者对第二局败者，则乙队连胜四局的概率为________．解析设乙队连胜四局为事件A，有下列情况：第一局中乙胜甲(A1)，其概率为1－0.4＝0.6；第二局中乙胜丙(A2)，其概率为0.5；第三局中乙胜甲(A3)，其概率为0.6；第四局中乙胜丙(A4)，其概率为0.50，因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为：P(A)＝P(A1A2A3A4)＝0.62×0.52＝0.09.答案 0.098．设随机变量X服从正态分布N(0,1)，如果P(X≤1)＝0.8413，则P(－1<X<0)＝________.解析∵P(X≤1)＝0.841 3，∴P(X>1)＝1－P(X≤1)＝1－0.841 3＝0.158 7.∵X～N(0,1)，∴μ＝0.∴P(X<－1)＝P(X>1)＝0.158 7，∴P(－1<X<1)＝1－P(X<－1)－P(X>1)＝0.682 6.∴P(－1<X<0)＝12P(－1<X<1)＝0.341 3.答案0.341 39．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，记Ф(x)＝P(ξ＜x)，给出下列结论：①Φ(0)＝0.5；②Φ(x)＝1－Φ(－x)；③P(|ξ|＜2)＝2Φ(2)－1.则正确结论的序号是________．答案①②③10．商场经营的某种包装大米的质量(单位：kg)服从正态分布X～N(10,0.12)，任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2 kg的概率是________．解析P(9.8<X<10.2)＝P(10－0.2<X<10＋0.2)＝0.954 4.答案0.954 4三、解答题11．设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．解由题意得μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，∵P(X－μ<－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ>σ)＝2P(X－μ<－σ)＋0.682 6＝1，∴P(X－μ<－σ)＝0.158 7，∴P(X≥90)＝1－P(X－μ<－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3.∴54×0.841 3≈45(人)，即及格人数约为45人．∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ>σ)＝0.682 6＋2P(X－μ≥σ)＝1，∴P(X－μ≥σ)＝0.158 7.∴54×0.158 7≈9(人)，即130分以上的人数约为9人．12．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？解设学生的得分情况为随机变量X，X～N(60,100)．则μ＝60，σ＝10.(1)P(30＜X≤90)＝P(60－3×10＜X≤60＋3×10)＝0.997 4.∴P(X＞90)＝12[1－P(30＜X≤90)]＝0.001 3∴学生总数为：130.001 3＝10 000(人)．(2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8. 设分数线为x.则P(X≥x0)＝0.022 8.∴P(120－x0＜x＜x0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4. 又知P(60－2×10＜x＜60＋2×10)＝0.954 4.∴x0＝60＋2×10＝80(分)．13．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．(注：将频率视为概率)解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P(X＝1)＝15100＝320，P(X＝1.5)＝30100＝310，P(X＝2)＝25100＝14，P(X＝2.5)＝20100＝15，P(X＝3)＝10100＝110.X的分布列为X的数学期望为E(X)＝1×320＋1.5×310＋2×14＋2.5×15＋3×110＝1.9.(2)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，X i(i＝1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P(A)＝P(X1＝1且X2＝1)＋P(X1＝1且X2＝1.5)＋P(X1＝1.5且X2＝1)．由于各顾客的结算相互独立，且X1，X2的分布列都与X的分布列相同，所以P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)×P(X2＝1)＝320×320＋320×310＋310×320＝980.故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980.14．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望E (X )．解 (1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D .由题意，知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23，由于A ＝B C － D －＋B －C D －＋B － C －D ，根据事件的独立性和互斥性，得 P (A )＝P (B C － D －＋B －C D －＋B － C －D ) ＝P (B C － D －)＋P (B －C D －)＋P (B － C －D )＝P (B )P (C －)P (D －)＋P (B －)P (C )P (D －)＋P (B －)P (C －)P (D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝736.(2)根据题意，知X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.根据事件的独立性和互斥性，得P (X ＝0)＝P (B － C － D －) ＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝136； P (X ＝1)＝P (B C － D －)＝P (B )P (C －)P (D －)＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝112；P (X ＝2)＝P (B － C D －＋B － C － D )＝P (B － C D －)＋P (B － C －D ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝19； P (X ＝3)＝P (BC D －＋B C －D )＝P (BC D －)＋P (B C －D ) ＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝13；P (X ＝4)＝P (B －CD )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×23＝19，P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝13. 故X 的分布列为所以E (X )＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.。

学生高三拔高练习9二项分布+离散型随机变量

第8讲二项分布与正态分布1 .某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.452 .设随机变量X 服从正态分布N (1,8),则函数f (x )=X 2+2x +X 不存在零点的概率为()1112A.4 B, 3 C ，2 D ，33 .某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A 和B ,系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为1 2和P ,若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的 8, 、 , 9 一、概率为40,则P =()4 .假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800, 50。

的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数800V X W900的概率为p 。

，则p ° =5 5.设随机变量X 〜B (2, p ),随机变量Y 〜B (3, p ),若P (X N1)=d ，则P (Y N 91) =.6.先后掷骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x , y ,设事件 A 为“x +y 为偶数”，事件B 为“x /y ”，则概率P (B |A ) = ( )2 1 1 2 A ，2 B ，4 C ，3 D ，31A ，10 2B ，15C ，6D ，5 (2)7.排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，甲在每局比赛获胜的概率都为市3前2局中乙队以2 ： 0领先，则最后乙队获胜的概率是() 4 8 19 40A.§B-27 C，27 D，818.某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为.元件I |—------- ------- 1元件1-------第9讲离散型随机变量的均值与方差1.已知离散型随机变量X的概率分布列为则其方差D(X) = ()A.1B.0.6C.2.44D.2.42.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了 1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X,则X的数学期望为() A.100 B.200 C.300 D.4003.已知随机变量X服从二项分布，且E(X)=2.4, D(X) =1.44,则二项分布的参数n, p的值为()A. n=4, p=0.6B. n=6, p=0.4C.n=8, p=0.3D.n=24, p=0.11A ，6 1 B.-3 2 D.- 34 .已知随机变量X +n =8,若X 〜B （10, 0.6）,则E （n ）, D （n ）分别是（）A.6, 2.4B.2, 2.4C.2, 5.6D.6, 5.65 .口袋中有5只球，编号分别为1, 2, 3, 4, 5,从中任取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的数学期望E (X )的值是()A.4B.4.5C.4.75D.5一...、一 (八 .......................................... ... ............................................ 6 .设X 为随机变量，X 〜B n ,-，若随机变量X 的数学期望E (X ) =2,则P (XI 3J =2)等于.7 .随机变量已的取值为0,1,2.若PC =0)=!E (J )=1,则D (f )= ___________ .58 .某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以a 为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是7 000元、5 6009 .从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X ,已知E (X )=3,则D (X ) = ()随机取出3个球.设q 为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3, 4, 5,则有两组相邻的标号3, 4和4, 5 量q 的均值E (j )为()元、4 200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是元.8A ，5 6B ，5 4C ，5 2D ，510.袋中装有大小完全相同，标号分别为1, 2 3, …，9的九个球.现从袋中此时J 的值是2),则随机变11.马老师从课本上抄录一个随机变量f的分布列如下表:请小牛同学计算f的均值.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E( f )高考中概率与统计问题的热点题型1.某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;⑵若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率;⑶求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.2 .为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：(1)试判断能否有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关;⑵为了宣传消防知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出6人组成宣传小组.现从这6人中随机抽取2人到校外宣传，求到校外宣传的同学中男生人数X 的分布列和数学期望.(a +b )(c +d )(a +c )(b +d ) n (ad —bc ) 2附：K 23.某公司准备将1 000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择.若投资甲项「年后可获得的利润"(万元)的概率分布列如下表所示：且f1的期望E© )=120；若投资乙项目一年后可获得的利润f J万元)与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为□(。

高考数学题型通关21讲第7讲分布列与数学期望(解析版)

第7讲分布列与数学期望高考预测一：求概率及随机变量的分布列的基本类型类型一：利用古典概型求概率1．10月1日,某品牌的两款最新手机（记为W 型号,T 型号）同时投放市场,手机厂商为了解这两款手机的销售情况,在10月1日当天,随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部）,得到如表（Ⅰ）若在10月1日当天,从A ,B 这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取1部,求抽取的2部手机中至少有1部为W 型号手机的概率；（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动,用X 表示其中W 型号手机销量超过T 型号手机销量的手机店的个数,求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）经测算,W 型号手机的销售成本η（百元）与销量ξ（部)满足关系34ηξ=+．若表中W 型号手机销量的方差20(0)S m m =>,试给出表中5个手机店的W 型号手机销售成本的方差2S 的值．（用m 表示,结论不要求证明）【解析】解：()I 设事件1M 为从A 店售出的手机中随机抽取1部手机,抽取的手机为W 型号手机, 设事件2M 为从A 店售出的手机中随机抽取1部手机,抽取的手机为W 型号手机, 则事件1M ,2M 相互独立,且161()6123P M ==+,262()695P M ==+, ∴抽取的2部手机中至少有1部为W 型号手机的概率为13221233535355P =⨯+⨯+⨯=．()II 由表格可知W 型号手机销售量超过T 型号手机的店有2个,故X 的可能取值有0,1,2．且33351(0)10C P X C ===,1223353(1)5C C P X C ===,2123353(2)10C C P X C ===． X ∴的分布列为：数学期望为1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．20()()III D s m ξ==,34ηξ=+,2()9()9S D D m ηξ∴===．2．为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药．一段时间后,记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据,并制成如图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者．（1）从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y 的值小于60的概率；（2）从图中A ,B ,C ,D 四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（3）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．（只需写出结论）【解析】解：（1）由图知：在50名服药患者中,有15名患者指标y 的值小于60, 答：从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标小于60的概率为：1535010p ==．（2）由图知：A 、C 两人指标x 的值大于1.7,而B 、D 两人则小于1.7,可知在四人中随机选项出的2人中指标x 的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0,1,2, 2411(0)6P C ξ===, 1122242(1)3C C P C ξ===,2411(2)6P C ξ===, ξ∴的分布列如下：答：121()0121636E ξ=⨯+⨯+⨯=．（3）答：由图知100名患者中服药者指标y 数据的方差比未服药者指标y 数据的方差大．3．已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元,设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元）,求X 的分布列和数学期望．【解析】解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ,则P （A ）1123252332010A A A ⨯===；（2）X 的可能取值为200,300,400,222521(200)2010A P X A ====,311232323562323(300)6010A C C A P X A ++⨯⨯====, 133(400)1(200)(300)110105P X P X P X ==-=-==--=；所以X的分布列为：数学期望为13320030040035010105EX =⨯+⨯+⨯=．类型二：利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求概率 4．电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“1k ξ=”表示第k 类电影得到人们喜欢．“0k ξ=”表示第k 类电影没有得到人们喜欢(1k =,2,3,4,5,6)．写出方差1D ξ,2D ξ,3D ξ,4D ξ,5D ξ,6D ξ的大小关系．【解析】解：（Ⅰ）设事件A 表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影”,总的电影部数为140503002008005102000+++++=部, 第四类电影中获得好评的电影有：2000.2550⨯=部,∴从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：P （A ）500.0252000==．（Ⅱ）设事件B 表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”, 第四类获得好评的有：2000.2550⨯=部, 第五类获得好评的有：8000.2160⨯=部,则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率：P （B ）50(800160)(20050)1600.35200800⨯-+-⨯==⨯．（Ⅲ）由题意知,定义随机变量如下：0,1,k k k ξ⎧=⎨⎩第类电影没有得到人们喜欢第类电影得到人们喜欢,则k ξ服从两点分布,则六类电影的分布列及方差计算如下：第一类电影：1()10.400.60.4E ξ=⨯+⨯=,221()(10.4)0.4(00.4)0.60.24D ξ=-⨯+-⨯=．第二类电影：2()10.200.80.2E ξ=⨯+⨯=,222()(10.2)0.2(00.2)0.80.16D ξ=-⨯+-⨯=．第三类电影：3()10.1500.850.15E ξ=⨯+⨯=,223()(10.15)0.15(00.15)0.850.1275D ξ=-⨯+-⨯=．第四类电影：4()10.2500.750.25E ξ=⨯+⨯=,224()(10.25)0.25(00.25)0.750.1875D ξ=-⨯+-⨯=．第五类电影：5()10.200.80.2E ξ=⨯+⨯=,225()(10.2)0.2(00.2)0.80.16D ξ=-⨯+-⨯=．第六类电影：6()10.100.90.1E ξ=⨯+⨯=,225()(10.1)0.1(00.1)0.90.09D ξ=-⨯+-⨯=．∴方差1D ξ,2D ξ,3D ξ,4D ξ,5D ξ,6D ξ的大小关系为：632541D D D D D D ξξξξξξ<<=<<．5．设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立．（1）设甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为X ,求0X =,1X =,2X =,3X =时的概率(0)P X =,(1)P X =,(2)P X =,(3)P X =．（2）设M 为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M 发生的概率．【解析】解：（1）321(0)(1)327P X ==-=,123222(1)(1)339P X C ==-=, 223224(2)()(1)339P X C ==-=,33328(3)()327P X C ===．（2）设乙同学上学期间的三天中在7:30之前到校的天数为Y , 则1(0)(0)27P Y P X ====,2(1)(1)9P Y P X ====, 4(2)(2)9P Y P X ====,8(3)(3)27P Y P X ====, 418220()(2)(0)(3)(1)927279243P M P X P Y P X P Y ∴===+===⨯+⨯=．类型三：利用条件概率公式求概率6．如图所示,质点P 在正方形ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具,它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字．质点P 从A 点出发,规则如下：当正方体上底面出现的数字是1,质点P 前进一步（如由A 到)B ；当正方体上底面出现的数字是2,质点P 前两步（如由A 到)C ,当正方体上底面出现的数字是3,质点P 前进三步（如由A 到)D ．在质点P 转一圈之前连续投掷,若超过一圈,则投掷终止．（1）求点P 恰好返回到A 点的概率；（2）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果中,用随机变量ξ表示点P 恰能返回到A 点的投掷次数,求ξ的分布列及数学期望．【解析】解：（1）投掷一次正方体玩具,因每个数字在上底面出现是等可能的,故其概率12163P ==．易知只投掷一次不可能返回到A 点．①若投掷两次质点P 就恰好能返回到A 点,则上底面出现的两个数字,应依次为：(1,3)、(3,1)、(2,2)三种结果,其概率为2211()333P =⨯=．②若投掷三次质点P 恰能返回到A 点,则上底面出现的三个数字,应依次为：(1,1,2)、(1,2,1)、(2,1,1)三种结果,其概率为3311()339P =⨯=． ③若投掷四次质点P 恰能返回到A 点,则上底面出现的四个数字应依次为：(1,1,1,1),其概率为4411()381P ==．所以,质点P 恰好返回到A 点的概率为：23411137398181P P P P =++=++=．（2）由（1）知,质点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果共有以上问题中的7种情况, 且ξ的可能取值为2,3,4．则1273(2)373781P ξ===,199(3)373781P ξ===,1181(4)373781P ξ===,故ξ的分布列为：所以,27918523437373737E ξ=⨯+⨯+⨯=．7．根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X （单位：)mm 对工期的影响如下表：300700X <700900X <9002610历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求： ()I 工期延误天数Y 的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X 至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率．【解析】()I 由题意,(300)0.3P X <=,(300700)(700)(300)0.70.30.4P X P X P X <=<-<=-=,(700900)(900)(700)0.90.70.2P X P X P X <=<-<=-=,(900)10.90.1P X =-=Y 的分布列为()00.320.460.2100.13E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=2222()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=∴工期延误天数Y 的均值为3,方差为9.8；（Ⅱ）(300)1(300)0.7P X P X =-<=,(300900)(900)(300)0.90.30.6P X P X P X <=<-<=-= 由条件概率可得(300900)0.66(6|300)(300)0.77P X P Y X P X <===．类型四：利用统计图表中的数据求概率8．某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温（单位：C)︒有关．如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）,当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时,Y 的数学期望达到最大值？【解析】解：（1）由题意知X 的可能取值为200,300,500,216(200)0.290P X +===,36(300)0.490P X ===, 2574(500)0.490P X ++===, X ∴的分布列为：（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,∴只需考虑200500n ,当300500n 时,若最高气温不低于25,则642Y n n n =-=；若最高气温位于区间[20,25),则63002(300)412002Y n n n =⨯+--=-；若最高气温低于20,则62002(200)48002Y n n n =⨯+--=-, 20.4(12002)0.4(8002)0.26400.4EY n n n n ∴=⨯+-⨯+-⨯=-,当200300n 时,若最高气温不低于20,则642Y n n n =-=,若最高气温低于20,则62002(200)48002Y n n n =⨯+--=-, 2(0.40.4)(8002)0.2160 1.2EY n n n ∴=⨯++-⨯=+．300n ∴=时,Y 的数学期望达到最大值,最大值为520元．9．某贫困地区共有1500户居民,其中平原地区1050户,山区450户．为调查该地区2017年家庭收入情况,从而更好地实施“精准扶贫”,采用分层抽样的方法,收集了150户家庭2017年年收入的样本数据（单位：万元）．（1）应收集多少户山区家庭的样本数据？（2）根据这150个样本数据,得到2017年家庭收入的频率分布直方图（如图所示）,其中样本数据分组区间为(0,0.5],(0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]．如果将频率视为概率,估计该地区2017年家庭收入超过1.5万元的概率；（3）样本数据中,有5户山区家庭的年收入超过2万元,请完成2017年家庭收入与地区的列联表,并判断是否有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”？附：2() n ad bcK-=++++2)k【解析】解：（1）由已知可得每户居民被抽取的概率为0.1,故应收集手机4500.145⨯=户山区家庭的样本数据．（2）由直方图可知该地区2017年家庭年收入超过1.5万元的概率约为(0.5000.3000.100)0.50.45++⨯=．（3）样本数据中,年收入超过2万元的户数为(0.3000.100)0.515030+⨯⨯=户．而样本数据中,有5户山区家庭的年收入超过2万元,故列联表如下：所以2150(2540580)2003.175 2.706 301201054563K⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯,∴有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”．高考预测二：超几何分布和二项分布类型一：超几何分布10．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． ()i 用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X 的分布列与数学期望；()ii 设A 为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A 发生的概率．【解析】解：（Ⅰ）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16．人数比为：3:2:2, 从中抽取7人现,应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3,2,2人．（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． ()i 用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,随机变量X 的取值为：0,1,2,3,34337()k kC C P X k C -⋅==,0k =,1,2,3．所以随机变量的分布列为：随机变量X 的数学期望11218412()0123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； ()ii 设A 为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,设事件B 为：抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人,事件C 为抽取的3人中, 睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人, 则：A BC =,且P （B ）(2)P X ==,P （C ）(1)P X ==,故P （A ）6()(2)(1)7P B C P X P X ===+==．所以事件A 发生的概率：67． 11． 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物． 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的 2.5PM 监测数据如茎叶图所示．（1）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游,求当天 2.5PM 日均监测数据未超标的概率；（2）从所给10天的数据中任意抽取三天数据,记ξ表示抽到 2.5PM 监测数据超标的天数,求ξ的分布列及期望．【解析】解：（1）记“当天 2.5PM 日均监测数据未超标”为事件A , 因为有24+天 2.5PM 日均值在75微克/立方米以下, 故P （A ）243105+==．（2）ξ的可能值为0,1,2,3．由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天,空气质量为二级的有4天,只有这6天空气质量不超标,而其余4天都超标．363101(0)6C P C ξ===,21643101(1)2C C P C ξ===,12643103(2)10C C P C ξ===,343101(3)30C P C ξ===．ξ的分布列如下表：1131601236210305E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．类型二：二项分布12．某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出一个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获得一等奖；若只有1个红球,则获得二等奖；若没有红球,则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中或一等奖的次数为X ,求X 的分布列、数学期望和方差．【解析】解：（1）设顾客抽奖1次能中奖的概率为P ．116511101037111010C C P C C =-=-=,（2）设该顾客在一次抽奖中获一等奖的概率为1P ,1145112101015C C P C C ==, 故而1?(3,)5X B ．3464(0)()5125P X ∴===,1231448(1)()55125P X C ===, 2231412(2)()55125P X C ===,311(3)()5125P X ===．故X 的分布列为数学期望13()355E X ==,方差1412()35525D X ==． 13．近年来,空气质量成为人们越来越关注的话题,空气质量指数(,)AirQualityIndex AQI 是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI 大小分为六级,0~50为优；51~100为良；101~150为轻度污染；151~200为中度污染；201~300为重度污染；大于300为严重污染．环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的AQI 的茎叶图如下：（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良(100)AQI 的天数；（按这个月总共30天计算）（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究,求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；（3）将频率视为概率,从本月中随机抽取3天,记空气质量优良的天数为ξ,求ξ的概率分布列和数学期望．【解析】解：（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2,空气质量良的天数为4,故该样本中空气质量优良的频率为63105=,从而估计该月空气质量优良的天数为330185⨯=（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究, 基本事件总数2615n C ==,抽取的2天中至少有一天空气质量是优的对立事件是抽取的2天中至少有一天空气质量都不是优,∴抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率：2426315C p C =-=．（3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为35,ξ∴的所有可能取值为0,1,2,3,且3~(3,)5B ξ,328(0)()5125P ξ===, 1233236(1)()55125P C ξ===, 2233254(2)()55125P C ξ===, 3327(3)()5125P ξ===, 故ξ的分布列为：3~(3,)5B ξ,33 1.85E ξ=⨯=．高考预测三：概率与其他知识点交汇类型一：以其他知识为载体14．已知正四棱锥PABCD 的侧棱和底面边长相等,在这个正四棱锥的8条棱中任取两条,按下列方式定义随机变量ξ的值：若这两条棱所在的直线相交,则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）；若这两条棱所在的直线平行,则0ξ=；若这两条棱所在的直线异面,则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）．（1）求(0)P ξ=的值；（2）求随机变量ξ的分布列及数学期望()E ξ．【解析】解：（1）根据题意,该四棱锥的四个侧面均为等边三角形,底面为正方形,PAC ∆,PBD ∆为等腰直角三角形．ξ的可能取值为：0,3π,2π, 在这个正四棱锥的8条棱中任取两条基本事件总数2828n C ==种情况, 当0ξ=时有2种,当3πξ=时有342420⨯+⨯=种,当2πξ=时有246+=种．21(0)2814P ξ∴===．（2）21(0)2814P ξ===． 205()3287P πξ===, 63()22814P πξ===．随机变量ξ的分布列如下表：15329()0143721484E πππξ=⨯+⨯+⨯=． 15．从集合{1M =,2,3,4,5,6,7,8,9}中抽取三个不同的元素构成子集1{a ,2a ,3}a ．（1）求对任意的i 和(1j i =,2,3,1j =,2,3,)i j ≠满足||2i j a a -的概率；（2）若1a ,2a ,3a 成等差数列,设其公差为(0)ξξ>,求随机变量ξ的分布列与数学期望()E ξ．【解析】解：（1）由题意知基本事件数为3984C =,而满足条件||2i j a a -,即取出的元素不相邻,则用插空法有3735C =种,故所求事件的概率为3558412P ==；（2）分析1a ,2a ,3a 成等差数列的情况：1ξ=的情况有7种：{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8},{7,8,9}, 2ξ=的情况有5种：{1,3,5},{2,4,6},{3,5,7},{4,6,8},{5,7,9}． 3ξ=的情况有3种：{1,4,7},{2,5,8},{3,6,9}．4ξ=的情况有1种：{1,5,9}．故ξ的分布列如下：所以753115()1234161615168E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．类型二：构造递推关系求概率问题16．为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题,约定：对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,(0i p i =,1,⋯,8)表示“甲药的累计得分为i 时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则00p =,81p =,11(1i i i i p ap bp cp i -+=++=,2,⋯,7),其中(1)a P X ==-,(0)b P X ==,(1)c P X ==．假设0.5α=,0.8β=． ()i 证明：1{}(0i i p p i +-=,1,2,⋯,7)为等比数列； ()ii 求4p ,并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．【解析】（1）解：X 的所有可能取值为1-,0,1．(1)(1)P X αβ=-=-,(0)(1)(1)P X αβαβ==+--,(1)(1)P X αβ==-,X ∴的分布列为：（2）()i 证明：0.5α=,0.8β=,∴由（1）得,0.4a =,0.5b =,0.1c =．因此110.40.50.1(1i i i i p p p p i -+=++=,2,⋯,7),故110.1()0.4()i i i i p p p p +--=-,即11()4()i i i i p p p p +--=-,又1010p p p -=≠,1{}(0i i p p i +∴-=,1,2,⋯,7)为公比为4,首项为1p 的等比数列；()ii 解：由()i 可得,881887761001(14)41()()()143p p p p p p p p p p --=-+-+⋯+-+==-,81p =,18341p ∴=-, 444332*********()()()()3257p p p p p p p p p p p -∴=-+-+-+-+==． 4p 表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理． 17．从原点出发的某质点M ,按向量(0,1)a =移动的概率为23,按向量(0,2)b =移动的概率为13,设M 可到达点(0,)(1n n =,2,3,)⋯的概率为n P ．（1）求1P 和2P 的值；（2）求证：2111()3n n n n P P P P +++-=--；（3）求n P 的表达式．【解析】解：（1）123P =,22217()339P =+= （2）证明：M 点到达点(0,2)n +有两种情况 ①从点(0,1)n +按向量(0,1)a =移动 ②从点(0,)n 按向量(0,2)b =移动∴212133n n n P P P ++=+ ∴2111()3n n n n P P P P +++-=-- 问题得证．（3）数列1{}n n P P +-是以21P P -为首项,13-为公比的等比数列 1111211111()()()()3933n n n n n P P P P --++-=--=-=- 11()3n n n P P -∴-=-又因为111221()()()n n n n n P P P P P P P P ----=-+-+⋯+-12111()()()333n n -=-+-+⋯+-111[1()]123n -=-- 11n n P P P P ∴=-+∴113()434n n P =⨯-+．类型三：利用导数研究概率问题18．某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品．检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为(01)p p <<,且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ,求()()f p f p 的最大值点0p （即()f p 取最大值时对应的p 的值）．（2）现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以（1）中确定的0p 作为p 的值,已知每件产品的检验费用为3元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付28元的赔偿费用 ()i 若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用之和记为X 求()E X ； ()ii 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验？【解析】解：（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ,则221820()(1)f p C p p =-,2182172172020()[2(1)18(1)]2(1)(110)f p C p p p p C p p p ∴'=---=--,令()0f p '=,得0.1p =, 当(0,0.1)p ∈时,()0f p '>, 当(0.1,1)p ∈时,()0f p '<, f ∴()p 的最大值点00.1p =．（2）()i 由（1）知0.1p =,令Y 表示余下的180件产品中的不合格品数,依题意知~(180,0.1)Y B ,20328X Y =⨯+,即6028X Y =+,()(6028)6028()60281800.1564E X E Y E Y ∴=+=+=+⨯⨯=． ()ii 如果对余下的产品作检验,由这一箱产品所需要的检验费为600元, ()564600E X =<,∴应该对余下的产品不进行检验．19．某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装,每箱80个,每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测,如检测出不合格品,则更换为合格品．检测时,先从这一箱水果中任取10个作检测,再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测．设每个水果为不合格品的概率都为(01)p p <<,且各个水果是否为不合格品相互独立．（Ⅰ）记10个水果中恰有2个不合格品的概率为()f p ,求()f p 取最大值时p 的值0p ；（Ⅱ）现对一箱水果检验了10个,结果恰有2个不合格,以（Ⅰ）中确定的0p 作为p 的值．已知每个水果的检测费用为1.5元,若有不合格水果进入顾客手中,则种植基地要对每个不合格水果支付a 元的赔偿费用(*)a N ∈．（ⅰ）若不对该箱余下的水果作检验,这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为X ,求EX ；（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时,将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？【解析】解：（Ⅰ）记10个水果中恰有2个不合格的概率为()f p ,则22810()(1)f p C p p =-,282710()[2(1)8(1)]f p C p p p p ∴'=---,由()0f p '=,得0.2p =．且当(0,0.2)p ∈时()0f p '>,当(0.2,1)p ∈时,()0f p '<,()f p ∴的最大值点00.2p =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知00.2p =．（ⅰ）令Y 表示余下的70个水果中的不合格数,依题意~(70,0.2)Y B ,10 1.515X aY aY =⨯+=+． ()(15)15()15700.21514E X E aY aE Y a a ∴=+=+=+⨯⨯=+．（ⅱ）如果对余下的水果作检验,则这箱水果的检验费为120元, 由1514120a +>,得1057.514a >=,且*a N ∈, ∴当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为8元时,将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验．高考预测三：决策问题20．某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰,机器有一易损零件,在购买机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个300元．在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得到下面柱状图．以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（1）求X 的分布列；（2）若要求()0.5P X n ,试确定n 的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n =与20n =之中选其一,应选用哪个？【解析】解：（1）每台机器更换的易损零件数为8,9,10,11,记事件1A 为第一台机器3年内换掉7i +个零件(1i =,2,3,4),记事件1B 为第二台机器3年内换掉7i +个零件(1i =,2,3,4),由题知134134()()()()()()0.2P A P A P A P B P B P B ======,22()()0.4P A P B ==,则X 的可能的取值为16,17,18,19,20,21,22,11(16)()()0.20.20.04P X P A P B ===⨯=；1221(17)()()()()0.20.40.40.20.16P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=；132231(18)()()()()()()0.20.20.20.20.40.40.24P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=；14233241(19)()()()()()()()()0.20.20.20.20.40.20.20.40.24P X P A P B P A P B P A P B P A P B ==+++=⨯+⨯+⨯+⨯=；243342(20)()()()()()()0.40.20.20.40.20.20.2P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=；3443(21)()()()()0.20.20.20.20.08P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=；44(22)()()0.20.20.04P X P A P B ===⨯=．从而X 的分布列为（2）要()0.5P x n ,0.040.160.240.5++<,0.040.160.240.240.5+++,则n 的最小值为19；（3）购买零件所需费用含两部分,一部分为购买机器时购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用,当19n =时,费用的期望为193005000.210000.0815000.045940⨯+⨯+⨯+⨯=元,当20n =时,费用的期望为203005000.0810000.046080⨯+⨯+⨯=元,若要费用最少,所以应选用19n =．高考预测四：正态分布21．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸（单位：)cm ．根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数,求(1)P X ；（2）一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查．下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得16119.9716i i x x ===∑,0.212s =≈,其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸,1i =,2,⋯,16．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ,用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ,则(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=,160.99740.9592≈,0.09．【解析】解：（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026,故~(16,0.0026)X B ．因此,16(1)1(0)10.99740.0408P X P X =-==-≈；（2）由9.97,0.212x s =≈,得μ的估计值为ˆ9.97μ=,σ的估计值为ˆ0.212σ=, 由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外, 因此需对当天的生产过程进行检查,剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22, 剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=, 因此μ的估计值为10.02,162221160.212169.971591.134i i x ==⨯+⨯≈∑,剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22, 剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈．因此σ0.09．22．从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如图频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为,这种产品的质量指标Z 服从正态分布2(,)N μσ,其中μ近似为样本平均数x ,2σ近似为样本方差2s①利用该正态分布,求(187.8212.2)P Z <<②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用 ①的结果,求EX 附：6 2.44≈,若2~(,)z n μσ,则()0.6826p Z μσμσ-<<+=,(22)0.9544p Z μσμσ-<<+=．【解析】解：（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数为：1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,样本方差2s 分别为：2222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02150s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）()i 由（Ⅰ）知~(200,150)Z N ,从而(187.8212.2)(20012.220012.2)0.6826P Z P Z <<=-<<+=；()ii 由()i 知一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826,依题意知~(100,0.6826)X B ,所以1000.682668.26EX =⨯=．。

高考数学一轮复习专题01 二项分布(解析版)

概率与统计专题一：二项分布一、知识储备一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (01p <<)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为()(1)k k n kn P X k C p p -==-（0,1,2,k n =）如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从二项分布（binomial distribution ），记作(,)XB n p 。

二、例题讲解1．（2022·全国高三其他模拟）羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打用羽毛和软木刷制作而成的一种小型球类的室内运动项目．羽毛球比赛的计分规则：采用21分制，即双方分数先达21分者胜，3局2胜．每回合中，取胜的一方加1分．每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局获胜，否则继续比赛；若双方打成29平后，一方领先1分，即算该局取胜．某次羽毛球比赛中，甲选手在每回合中得分的概率为34，乙选手在每回合中得分的概率为14．（1）在一局比赛中，若甲、乙两名选手的得分均为18，求在经过4回合比赛甲获胜的概率；（2）在一局比赛中，记前4回合比赛甲选手得分为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ．【答案】（1）81256；（2）分布列见解析；期望为3．【分析】（1）可知甲在第4回合胜，前3回合胜2场，进而根据独立重复试验的概率公式即可求出结果；（2）求出X 的取值，进而求出对应的概率，列出分布列，利用二项分布的期望即可求出结果．【详解】（1）记在经过4回合比赛，甲获胜为事件A ，可知甲在第4回合胜，前3回合胜2场，所以22333181()C 444256P A ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）易知X 的取值为0，1，2，3，4，且3~4,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，40411(0)C 4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，314133(1)C 4464P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3341327(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 444381(4)C 4256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，所以X 的分布列为：数学期望3()434E X np ==⨯=． 2．（2022·青铜峡市高级中学高三开学考试（理））设甲､乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲､乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（1）用X 表示甲同学上学期间的每周五天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多3天”为事件M ，求事件M 发生的概率. 【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：103；（2）802187.【分析】（1）由题意可得2(5,)3XB ，然后利用二项分布的概率公式求对应的概率，从而可列出分布列，（2）设乙同学上学期间的五天中7：30之前到校的天数为Y ，由题意可知2(5,)3YB ，且{}{}{}3,04,15,2M X Y X Y X Y =======，再利用相互独立事件的概率公式求解即可【详解】解：（1）因为甲同学上学期间的五天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率为23，所以2(5,)3XB ，从而5521()()()33k k kP X k C -==，0,1,2,3k =，所以，随机变量X 的分布列为：所以210()533E X =⨯=；（2）设乙同学上学期间的五天中7：30之前到校的天数为Y ，则2(5,)3Y B ，且事件{}{}{}3,04,15,2M X Y X Y X Y =======，由题意知，事件{}{}{}3,0,4,1,5,2X Y X Y X Y ======之间互斥，且X 与Y 相互独立，由（1）可得8018010324080()2432432432432432432187P M =⨯+⨯+⨯=. (,)B n p 表示发生的概率为p ；3．（2021·全国高三专题练习（理））一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13. （1）设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列、期望、方差；（2）设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列；（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.【答案】（1）分布列见解析，5()3E X =，1(0)9D X =；（2）分布列见解析；（3）211243.【分析】（1）由题意这名学生在途中遇到红灯的次数服从二项分布，进而求得分布列，期望及方差；（2）Yk =（0,1,2,3,4k =），表示前k 个是绿灯，第1k +个是红灯，5Y =表示5个均为绿灯，则21()()33k P Y k ==⨯，0,1,2,3,4k =，由此可求这名学生在首次停车前经过的路口数的分布列；（3）利用对立事件概率计算公式可求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 【详解】（1）由题意可知，X 可取0、1、2、3、4、5，服从二项分布1~(5)3X B ，，则0551232(0)()()33243P X C ==⋅⋅=，11451280(1)()()33243P X C ==⋅⋅=， 22351280(2)()()33243P X C ==⋅⋅=，33251240(3)()()33243P X C ==⋅⋅=，44151210(4)()()33243P X C ==⋅⋅=，5505121(5)()()33243P X C ==⋅⋅=，∴X 的分布列为：∴()533E X =⨯=，()5339D X =⨯⨯=；（2）由题意可知，Y 可取0、1、2、3、4，5 则0211(0)()333P Y ==⨯=，1212(1)()339P Y ==⨯=，2214(2)()3327P Y ==⨯=， 3218(3)()3381P Y ==⨯=，42116(4)()33243P Y ==⨯=，5232(5)()3243P Y ===，∴Y 的分布列为：（3）设这名学生在途中至少遇到一次红灯为事件A ，所求概率32211()1(0)1243243P A P X =-==-=.(,)B n p (,)B n p 表示次实验都完成了，每次实验发生的概率为p ，至于这n 次实验成功了几次，后一次实验做完才知道；而此题首次成功，续的实验。

高考数学专题二项分布、超几何分布与正态分布问题(学生版)

高考数学专题二项分布、超几何分布与正态分布问题【高考真题】1．(2022·新高考Ⅱ) 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 【知识总结】 1．二项分布一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n . E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )． 2．超几何分布一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝m ，m＋1，m ＋2，…，r .其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ，m ＝max{0，n －N ＋M }，r ＝min{n ，M }．E (X )＝n ·MN.3．正态分布解决正态分布问题的三个关键点 (1)对称轴x ＝μ. (2)样本标准差σ.(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间．【题型突破】1．2021年3月6日，习近平总书记强调，教育是国之大计、党之大计．要从党和国家事业发展全局的高度，坚守为党育人、为国育才，把立德树人融入思想道德教育、文化知识教育、社会实践教育各环节，贯穿基础教育、职业教育、高等教育各领域，体现到学科体系、教学体系、教材体系、管理体系建设各方面，培根铸魂、启智润心．某中学将立德树人融入到教育的各个环节，开展“职业体验，导航人生”的社会实践教育活动，让学生站在课程“中央”．为了更好了解学生的喜好情况，根据学校实际将职业体验分为：救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类、百花齐放的文化类、公平正义的法律类四种职业体验类型，并在全校学生中随机抽取100名学生调查意向选择喜好类型，统计如下：在这100名学生中，随机抽取了3名学生，并以统计的频率代替职业意向类型的概率(假设每名学生在选择职业类型时仅能选择其中一类，且不受其他学生选择结果的影响)．(1)求救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类这两种职业类型在这3名学生中都有选择的概率；(2)设这3名学生中选择除暴安良的警察类的随机变量为X，求X的分布列与均值．2．“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响).(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．3．某市某中学为了了解同学们现阶段的视力情况，现对高三年级2 000名学生的视力情况。

二项分布

二项分布【典型例题】例1：（1）将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率)(B A P 等于（） A 、9160 B 、21 C 、185 D 、21691 （2）某人射击命中目标的概率为0.6,每次射击互不影响,连续射击3次,至少有2次命中目标的概率为 ( )A.12584 B. 12581 C. 12536 D. 12527 （3）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率是71，现在甲、乙两人从袋中轮流摸出1球，甲先取，乙后取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球每一次被取到的机会是等可能的，那么甲取到白球的概率是（）A 、73B 、356C 、351 D 、3522 （4）某气象站天气预报准确率是80%，5次预报中至少有4次准确的概率是______（5）在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是。

例2：甲乙两人独立解出某一道数学题的概率依次为()1212,P P P P >，已知该题被甲或乙解出的概率为0.8，甲乙两人同时解出该题的概率为0.3，求:（1）12, P P ;（2）解出该题的人数X 的分布列及EX .例3：高二（1）班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为31，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验. （Ⅰ）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次发芽成功的概率；（Ⅱ）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但实验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布列和数学期望．1．在4次独立试验中，事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率是8165，则事件A 在一次试验中出现的概率是（）A 、31 B 、52 C 、65 D 、32 2．甲、乙两人独立解同一个问题，甲解决这个问题的概率是1p ，乙解决这个问题的概率是2p ，那么恰好有一人解决这个问题的概率是（）A 、21p pB 、)1()1(1221p p p p -+-C 、211p p -D 、)1)(1(121p p ---3．一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次停止，用X 表示取球的次数，则==)12(X P 。

高三数学概率专题复习：二项分布、几何分布、超几何分布、正态分布、离散型随机变量的期望与方差等五大专题

2011年高考数学正态分布几何分布超几何分布离散型随机变量专项突破精选真题汇编与讲解分析答案第一部分第五节离散型随机变量的分布列一、选择题1．抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验结果是()A．两颗都是2点B 一颗是3点，一颗是1点C．两颗都是4点D．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点解析：对A、B中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，而D是ξ＝4代表的所有试验结果．掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键．答案：D2．下列分布列中，是离散型随机变量分布列的是()A.B.C.D.解析：只有选项C中的概率之和等于1，选C.答案：C3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次该项试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于( )A ．0 B.13 C.12 D.23解析：1－P (ξ＝0)＝2P (ξ＝0)，即P (ξ＝0)＝13.答案：B4．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C47C68C1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)解析：由分子C47C68可知是从7个不方便的村庄中选4个，从8个方便的村庄中选6个，∴X ＝4，∴是P (X ＝4)的概率．答案：C5．若离散型随机变量X 的分布列为：则常数q 的值为( )A ．1 B. 1±22 C. 1＋22 D. 1－22解析：由12＋(1－2q )＋q 2＝1，解得q ＝1－22或q ＝1＋22，又∵q 2∈[0,1]，∴q ＝1＋22舍去．∴q ＝1－22. 答案：D 二、填空题6．随机变量X 等可能取值为1,2,3，……，n ，如果P (X ＜4)＝0.3，那么n ＝________. 解析：∵P (X ＜4)＝ P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n ＝0.3，∴n ＝10. 答案：107．随机变量ξ的分布列为若a ＋c ＝2b ，则P (|ξ|＝1)＝________.解析：∵a ＋c ＝2b ，又∵a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，a ＋c ＝23，于是P (|ξ|＝1)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝－1)＝a ＋c ＝23.答案：238．若离散型随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝c2k ，k ＝1,2,3,4,5,6.其中c 为常数，则P (X ≤2)的值是________．解析：由c 2＋c 4＋c 8＋c 16＋c 32＋c 64＝1，可得c ＝6463.∴P (X ≤2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝3263＋1663＝4863＝1621.答案：1621三、解答题9．(2009年广州调研)一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品．(1)求这箱产品被用户接收的概率； (2)记抽检的产品件数为ξ，求ξ的分布列．解析：(1)设“这箱产品被用户接收”为事件A ，P (A )＝8×7×610×9×8＝715，即这箱产品被用户接收的概率为715. (2)ξ的可能取值为1,2,3.P (ξ＝1)＝210＝15，P (ξ＝2)＝810×29＝845，P (ξ＝3)＝810×79＝2845，∴ξ的分布列为10.(2009年广州模拟)50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：(1)从这50(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A 版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．解析：(1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C250＝1225. 选出2人使用版本相同的方法数为C 220＋C 215＋C 25＋C 210＝350，故2人使用版本相同的概率为：P ＝3501225＝27.(2)∵P (ξ＝0)＝C215C235＝317，P (ξ＝1)＝C120C115C235＝60119，P (ξ＝2)＝C220C235＝38119，∴ξ的分布列为第二部分第六节二项分布、超几何分布、正态分布一、选择题1．设随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (ξ＝3)的值为( ) A.516 B.316 C.58 D.716 解析：P (ξ＝3)＝C36⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫1－123＝516. 答案：A2．设随机变量ξ ～ B (2，p )，随机变量η ～ B (3，p )，若P (ξ ≥1) ＝59，则P (η≥1) ＝( )A.13B.59C.827D.1927解析：∵P (ξ≥1) ＝2p (1－p )＋p 2＝59， ∴p ＝13，∴P (η≥1) ＝C 13⎝⎛⎭⎫13⎝⎛⎭⎫232＋C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫23＋C 33⎝⎛⎭⎫133＝1927，故选D. 答案：D3．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)＝( )A ．C 1012⎝⎛⎭⎫3810·⎝⎛⎭⎫582B ．C 911⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582·38C ．C 911⎝⎛⎭⎫589·⎝⎛⎭⎫382D ．C 911⎝⎛⎭⎫389·⎝⎛⎭⎫582 解析：P (ξ＝12)表示第12次为红球，前11次中有9次为红球，从而P (ξ＝12)＝C 911·⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582×38. 答案：B4．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．[0.4,1)B ．(0,0.6]C ．(0,0.4]D ．[0.6,1)解析：C14p (1－p )3≤C24p 2(1－p )2，即2(1－p )≤3p ， ∴p ≥0.4.又∵p <1，∴0.4≤p <1. 答案：A5．(2009年湖南四市联考)已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ＜0)＝( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 解析：∵P (ξ≤4)＝0.84，μ＝2，∴P (ξ＜0) ＝P (ξ＞4)＝1－0.84＝0.16.故选A. 答案：A 二、填空题6．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率________．(用数值作答)解析：由题意知所求概率P ＝C 310⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫127＝15128. 答案：151287．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出两个球，设其中有X 个红球，则X 的分布列为________．解析：这是超几何分布，P (X ＝0)＝C 03C 22C 25＝0.1；P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6; P (X ＝2)＝C 23C 02C 25＝0.3，分布列如下表：答案：8.某厂生产的圆柱形零件的外径ε1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm.则该厂生产的这批零件是否合格________．解析：根据3σ原则，在4－3×0.5＝2.5——4＋3×0.5＝5.5之外为异常，所以这批零件不合格．答案：不合格三、解答题9．(2008年四川延考)一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A 类、B 类、C 类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C 类产品或2件都是B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A 类品，B 类品和C 类品的概率分别为0.9,0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响．(1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；(2)若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列．解析：(1)设A i 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为A 类品”， i ＝1,2.B i 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为B 类品”， i ＝1,2.C 表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”．则C ＝A 1·A 2＋A 1·B 2＋B 1·A 2.由已知P (A i )＝0.9，P (B i )＝0.05 i ＝1,2. 所以，所求的概率为P (C )＝P (A 1·A 2)＋P (A 1·B 2)＋P (B 1·A 2) ＝0.92＋2×0.9×0.05＝0.9.(2)由(1)知一次抽检后，设备需要调整的概率为p ＝P (C )＝1－0.9＝0.1，依题意知ξ～B (3,0.1)，ξ的分布列为10.(2009年南海一中月考的方式来进行，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．(1)求甲答对试题数ξ的概率分布； (2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率．解析：(1)依题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0、1、2、3，则 P (ξ＝0)＝C 34C 310＝130，P (ξ＝1)＝C 16·C 24C 310＝310，P (ξ＝2)＝C 26·C 14C 310＝12，P (ξ＝3)＝C 36C 310＝16，其分布列如下：(2)法一：设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P (A )＝C 26C 14＋C 36C 310＝60＋20120＝23， P (B )＝C 28C 12＋C 38C 310＝56＋56120＝1415.因为事件A 、B 相互独立，∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 P()A ·B ＝P ()A ·P ()B ＝⎝⎛⎭⎫1－23⎝⎛⎭⎫1－1415＝145， ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P ＝1－P()A ·B ＝1－145＝4445. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.法二：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为 P ＝P ()A ·B＋P ()A ·B ＋P ()A ·B ＝23×115＋13×1415＋23×1415＝4445. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445第三部分第七节离散型随机变量的期望与方差一、选择题1．下列是4个关于离散型随机变量ξ的期望和方差的描述①Eξ与Dξ是一个数值，它们是ξ本身所固有的特征数，它们不具有随机性 ②若离散型随机变量一切可能取值位于区间[]a ，b 内，则a ≤Eξ≤b③离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，而方差反映的是随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度④离散型随机变量的期望值可以是任何实数，而方差的值一定是非负实数以上4个描述正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：D2．设Eξ＝10，Eη＝3，则E (3ξ＋5η)＝( ) A ．45 B ．40 C ．35 D ．15 解析：E (3ξ＋5η)＝3Eξ＋5Eη＝3×10＋5×3＝45. 答案：A3．已知随机变量X 的分布列是：且EX ＝7.5，则a 的值为( A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 解析：b ＝1－0.3－0.1－0.2＝0.4EX ＝4×0.3＋a ×0.1＋9×0.4＋10×0.2＝7.5. ∴a ＝7. 答案：C4．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4 解析：ξ＝0,1,2,3，此时P (ξ＝0)＝0.43，P (ξ＝1)＝0.6×0.42，P (ξ＝2)＝0.6×0.4，P (ξ＝3)＝0.6，Eξ＝2.376. 答案：C5．口袋中有5只相同的球，编号为1、2、3、4、5，从中任取3球，用ξ表示取出的球的最大号码，则Eξ＝( )A ．4B ．4.75C ．4.5D ．5 解析：P (ξ＝3)＝1C 35＝110， P (ξ＝4)＝C 23C 35＝310，P (ξ＝5)＝C 24C 35＝35Eξ＝3×0.1＋4×0.3＋5×0.6＝4.5. 答案：C 二、填空题6．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是______．解析：EA 1＝50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7， EA 2＝70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5， EA 3＝－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7， EA 4＝98×0.25＋82×0.30＋(－10)×0.45＝44.6. 在四个均值中，EA 3最大，所以应选择的方案是A 3. 答案：A 37．(2009年上海卷)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ＝________(结果用最简分数表示)．解析：首先ξ∈{0,1,2}．∴P (ξ＝0)＝C25C27＝1021，P (ξ＝1)＝C12C15C27＝1021，P (ξ＝2)＝C22C27＝121.∴Eξ＝0·1021＋1·1021＋2·121＝1221＝47.答案：478．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的方差是________．解析：一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，向上的数之积可能为ξ＝0,1,2,4，则P (ξ＝0)＝C 13C 13＋C 13C 12＋C 12C 13＋C 13C 11＋C 11C 13C 16C 16＝34， P (ξ＝1)＝C 12C 12C 16C 16＝19，P (ξ＝2)＝C 12C 11＋C 11C 12C 16C 16＝19，P (ξ＝4)＝C 11C 11C 16C 16＝136， ∴ Eξ＝19＋29＋436＝49.∴Dξ＝⎝⎛⎭⎫0－492×34＋⎝⎛⎭⎫1－492×19＋⎝⎛⎭⎫2－492×136＝182729. 答案：182729三、解答题9．(2009年浙江卷)在1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数． (1)求这3个数中恰有1个偶数的概率；(2)记ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时ξ的值是2)．求随机变量ξ的分布列数学期望Eξ及方差Dξ. 解析：(1)记“这3个数中恰有一个是偶数”为事件A ，则P (A )＝C14C25C39＝1021.(2)随机变量ξ的取值为0,1,2.ξ的分布列是所以ξ的数学期望Eξ＝0×512＋1×12＋2×112＝23. Dξ＝⎝⎛⎭⎫0－232×512＋⎝⎛⎭⎫1－232×12＋⎝⎛⎭⎫2－232×112＝2154. 10．(2009年山东卷)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次．某同学在A 处的命中率q 1为0.25，在B 处的命率为q 2.该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为(1)求q 2的值；(2)求随机变量ξ的数学期望Eξ；(3)试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．解析：(1)由题设知，“ξ＝0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，由对立事件和相互独立事件性质可知P (ξ＝0)＝(1－q 1)(1－q 2)2＝0.03，解得q 2＝0.8.(2)根据题意P 1＝P (ξ＝2)＝(1－q 1)C12(1－q 2)q 2＝0.75×2×0.2×0.8＝0.24.P 2＝P (ξ＝3)．＝q 1(1－q 2)2＝0.25×(1－0.8)2＝0.01.P 3＝P (ξ＝4)＝(1－q 1)q 22＝0.75×0.82＝0.48.P 4＝P (ξ＝5)＝q 1q 2＋q 1(1－q 2)q 2＝0.25×0.8＋0.25×0.2×0.8＝0.24.因此Eξ＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.(3)用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”，用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”，则P(C)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝P3＋P4＝0.48＋0.24＝0.72.P(D)＝q22＋C12q2(1－q2)q2＝0.82＋2×0.8×0.2×0.8＝0.896.故P(D)>P(C)．即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投以后都在B处投得分超过3分的概率。

考点49 条件概率与二项的分布原卷

考点49 条件概率与二项的分布【考纲要求】了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念；理解n 次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单问题．【命题规律】条件概率与二项的分布问题在选择题、填空题以及解答题中都会考查，在解答题中出现时难度较大．【典型高考试题变式】（一）二项分布例1．【2017年高考全国II 理13】一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则()D X = ．【变式1：改变条件】已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________．【变式2：改编条件和结论】设事件A 在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为________．【变式3：改编条件和结论】（2022浙江·高三月考）甲与乙进行投篮游戏，在每局游戏中两人分别投篮两次，每局投进的次数之和不少于3次则胜利，已知甲乙两名队员投篮相互独立且投进篮球的概率均为23，设X 为甲乙两名队员获得胜利的局数，若游戏的局数是27，则()E X =______．（二）条件概率例2．【2014全国2高考理第5题】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0．75，连续两天为优良的概率是0．6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A ． 0．8B ． 0．75C ． 0．6D ． 0．45例3．【2010高考安徽理15】甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以12,A A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．①()25P B =； ②()15|11P B A =； ③事件B 与事件1A 相互独立； ④123,,A A A 是两两互斥的事件； ⑤()P B 的值不能确定，因为它与123,,A A A 中哪一个发生有关【变式1：改编条件】先后掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x 、y ，设事件A 为“x +y 为偶数”，事件B 为“x 、y 中有偶数，且x ≠y ”，则概率P (B |A )=（）A ．12B ．13C ．14D ．25【变式2：改编条件和结论】甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0．6和0．5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为( )A ．0．45B ．0．6C ．0．65D ．0．75【变式3：改编条件和结论】（2022宁夏·银川一中高三月考（理））在一个不透明的袋中装有5个白球，3个红球（除颜色外其他均相同），从中任意取出2个小球，记事件A 为“取出的球中有红色小球”，事件B 为“取出的2个小球均是红球”，则()P B A =__________．【数学思想】（1）函数方程思想；（2）转化与化归思想．【温馨提示】（1）条件概率的问题中：①事件A 与事件B 有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要弄清P (AB )的求法．②当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n （AB ）n （A ）．（2）注意二项分布满足的条件：①每次试验中，事件发生的概率是相同的． ②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． ④随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数． ③注意弄清楚超几何分布与二项分布的区别与联系．【典例试题演练】一、单选题1．（2022广西·南宁市东盟中学模拟预测（理））某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布()2100050N ，，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（）A ．18B ．38C ．58D ．782．（2022浙江·诸暨中学高三月考）设X 为随机变量，~(6,)X B p ，若随机变量X 的期望为4，则(1)P X ≥=（）A ．1729B ．4243C ．716729D ．7287293．（2022四川成都·高三月考（理））若随机事件A ，B 满足1()3P A =，1()2P B =，3()4P A B +=，则()P A B =（）A ．29B ．23C ．14D ．164．（2022·全国·高三专题练习）从某高中2021名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样方法从2021名学生中剔除21名，再从余下的2000名学生中随机抽取50名．则其中学生丙被选取和被剔除的概率分别是（）A ．140，212021B ．502021，212021C ．140，212000D ．212000，5020215．（2022·全国·高三专题练习）设,m n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程20x mx n ++=有实根的概率为（）A ．610B ．710C ．611D ．7116．（2022·全国·高三专题练习）某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示．公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事件A 为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件B 为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则()|P A B =（）A ．16B ．310C ．12 D ．357．（2022福建省南平市高级中学高三月考）已知在 10 支铅笔中，有 8 支正品，2 支次品，从中任取 2 支，则在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽的是正品的概率是（）A ．15B ．845 C ．89D ．458．（2022·全国·高三专题练习）某校为宣传《中华人民共和国未成年人保护法》，特举行《中华人民共和国未成年人保护法》知识竞赛，规定两人为一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3，则被称为“优秀小组”，已知甲、乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对题的概率分别为1p ，2p ．若13p 4=，223p =，则在第一轮竞赛中他们获得“优秀小组”的概率为（） A ．23B ．25C ．12D ．139．（2018·浙江·高三学业考试）一袋中有6个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则(12)P ξ=等于（）A ．101021212()()33C B ．91021112()()33C C ．9119221()()33C D ．9119212()()33C10．（2022·浙江·高三专题练习）某工厂产品合格的概率均为p ，各产品合格与否相互独立．设X 为该工厂生产的5件商品中合格的数量，其中() 1.2D X =，(2)(3)P X P X =<=，则p =（）A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.311．（2022重庆市第七中学校高三月考）一个口袋中装有3个白球，4个黑球和5个红球，先摸出一个球后放回，再摸出一个球，则两次摸出的球是1白1黑的概率是（）A ．13B ．14C ．16D ．11212．（2022浙江杭州·高三期中）设随机变量()~2,X B p ，若()519P X ≥=，则()E X =（） A ．23B ．13C ．43D ．113．（2022全国·高三专题练习（文））将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为（）A ．14B ．12C ．34D ．45二、填空题14．（2022山东·广饶一中高三月考）甲问乙：“您有几个孩子”，乙说：“我的第三胎是双胞胎，共四个孩子”．此时，一男孩过来．乙对甲说：“这个是我小孩”，接着乙对该男孩说：“去把哥哥姐姐都叫过来，你们四人一起跟甲去趟学校”．根据上述信息，结合正确的推理，最多需要猜测___________次，才可以推断乙的四个小孩从长到幼的正确性别情况；第3次才猜对的概率为___________．15．（2022·全国·高三专题练习）甲箱中有5个红球，2个白球和3．不黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出行球放入乙箱中，分别以1A ､2A ､3A 表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则()1P B A =___________，()P B =___________．16．（2022福建·福州四中高三月考）东北育才高中部高一年级开设游泳、篮球和足球三门体育选修课，高一某班甲、乙、丙三名同学每人从中只选修一门课程．设事件A 为“甲独自选修一门课程”，B 为“三人选修的课程都不同”，则概率()|P B A =______．17．（2022·全国·高三专题练习）同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数大于2”为事件A ．“两颗骰子的点数之和等于6”为事件B ，则()P B A =_________．18．（2022北京市八一中学高三开学考试）设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0．15，第二车间的次品率为0．12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为2：3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率为______．19．（2022·全国·高三专题练习）某工厂有四条流水线生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产量的0．20，0．25，0．3，0．25，这四条流水线的合格率依次为0.95，0.96，0.97，0.98，现在从出厂产品中任取一件，则恰好抽到不合格的概率是___________．20．（2022黑龙江·哈尔滨市第六中学校模拟预测（理））投掷红、蓝两颗均匀的骰子，设事件A ：蓝色骰子的点数为5或6；事件B ：两骰子的点数之和大于9，则在事件B 发生的条件下事件A 发生的概率()|P A B =______．四、解答题21．（2022江苏·海安高级中学高三月考）某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，在M 处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，在N 处连续投2次两分球，每投进一次得2分，未投进不得分，测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮（若前两次投篮后确定不能通过测试也终止投篮）．甲同学为了通过测试，刻苦训练，投中3分球的概率为15，投中2分球的概率为12，且每次投篮结果相互独立不受影响．（1）若甲同学先投3分球，则通过测试的概率；（2）为使投篮累计得分期望最大，甲同学应先投几分球？并说明理由．22．（2022广东·高三月考）新疆棉以绒长､品质好､产量高著称于世．现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A 类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8．5折的价格销售给会员顾客．B 类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8．5折的价格销售给会员顾客．这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完．（1）通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价-成本）；（2）某服装专卖店店庆当天，全场A ，B 两类服装均以会员价销售．假设每位来店购买A ，B 两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A 类服装的概率为13．已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X 为该店当天所售服装中B 类服装的件数，Y 为当天销售这两类服装带来的总收益．求当()0.5()P X n n <∈N 时，n 可取的最大值及Y 的期望E （Y ）．23．（2022湖南·长郡中学高三月考）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．（1）求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；（2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数X的分布列；（3）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由．24．（2022海南·海口市第四中学高三月考）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次分）．设每次击鼓出音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得200，且各次击鼓出现音乐相互独立．现音乐的概率为12（1）若第一次击鼓出现音乐，求该盘游戏获得100分的概率；（2）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（3）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？25．（2022海南·三亚华侨学校高三月考）某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动．（1）求男生甲被选中的概率；（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率．26．（2022吉林长春·高三月考（理））移动支付在中国大规模推广五年之后，成功在10亿移动互联网用户中获得了九成的渗透率，这大约是中国自宽带和手机之后，普及率最高的一项产品，甚至，移动支付被视为新时代中国的四大发明之一．近日，lpsosChina 针对第三方移动支付市场在一家大型超市进行了顾客使用移动支付情况的调查．调查人员从年龄在20岁到60岁的顾客中随机抽取了200人，得到如下数据：年龄段人数类型[)20,30[)30,40[)40,50[]50,60使用移动支付 45 40 25 15 不使用移动支付102045（1）现从这200人中随机依次抽取2人，已知第1次抽到的人使用移动支付的条件下，求第2次抽到的人不使用移动支付的概率；（2）在随机抽取的200人中对使用移动支付的人群采用分层抽样的方式抽取25人做进一步的问卷调查再从这25人中随机选出3人颁发参与奖，设这3人中年龄在[)40,50之间的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．27．（2020·江苏·南京市第五高级中学高三月考）甲乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干．每个袋子中标号为0的小球为1个，标号为1的2个，标号为2的n 个．从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是110．（1）求n 的值；（2）从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，求另一个标号也是1的概率；（3）从两个袋子中各取一个小球，用ξ表示这两个小球的标号之和，求ξ的分布列和()E ξ．28．（2022湖南·长郡中学高三月考）设甲、乙两位同学在高中年级上学期间，甲同学每天6：30之前到校的概率均为23，乙同学每天6：30之前到校的概率均为34，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）设A为事件“上学期间的五天中，甲同学在6：30之前到校的天数为3天”，B为事件“上学期间的五天中，甲同学有且只有一次连续两天在6：30之前到校”，求在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，（2）甲、乙同学组成了学习互助小组后，若某天至少有一位同学在6：30之后到校，则之后的一天甲，乙同学必然同时在6：30之前到校，在上学期间的五天，随机变量Y表示甲、乙同学同时在6：30之前到校的天数，求Y的分布列与数学期望．29．（2022广东·高三月考）有专家指出，与新冠病毒感染者密切接触过的人，被感染的概率是9%．王某被确诊为新冠病毒感染者后，当地准备对王某的密切接触者共78人逐一进行核酸检测．（1）设X为这78名密切接触者中被感染的人数，求X的数学期望；（2）核酸检测并不是100%准确，有可能出现假阴性（新冠病毒感染者的检测结果为阴性，即漏诊）或假阳性（非新冠病毒感染者的检测结果为阳性，即误诊）．假设当地核酸检测的灵敏度为98%（即假阴性率为2%），特异度为99%（即假阳性率为1%）．已知王某的一个密切接触者赵某的核酸检测结果为阳性，求他被感染的概率（结果保留3位有效数字）．30．（2022山东潍坊·高三期中）2021年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中m 的值，并估计这50名学生成绩的中位数；（2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在，[)70,80，[)80,90，[]90,100的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记ξ的分布列和数学期望；（3）转化为百分制后，规定成绩在[]90,100的为A 等级，成绩在[)70,90的为B 等级，其它为C 等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物竞赛的同学中随机抽取100人，其中获得B 等级的人数设为η，记B 等级的人数为k 的概率为()P k η=，写出()P k η=的表达式，并求出当k 为何值时，()P k η=最大？31．（2022湖北·高三期中）小C 和小D 两个同学进行摸球游戏，甲、乙两个盒子中各装有6个大小和质地相同的球，其中甲盒子中有1个红球，2个黄球，3个蓝球，乙盒子中红球、黄球、蓝球均为2个，小C 同学在甲盒子中取球，小D 同学在乙盒子中取球．（1）若两个同学各取一个球，求取出的两个球颜色不相同的概率；（2）若两个同学第一次各取一个球，对比颜色后分别放入原来的盒子；第二次再各取一个球，对比颜色后再分别放入原来的盒子，这样重复取球三次．记球颜色相同的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望。

高考复习数学期望试题及详解

考点自测1．(2010·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )．A. 65B.65C. 2 D ．2 解析由题意知a ＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a ＝－1.s 2＝－1－12＋0－12＋1－12＋2－12＋3－125＝2.答案 D2．已知X 的分布列为 X －1 0 1P 12 13 16 设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为( )．A.73B ．4C ．－1D ．1 解析E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73. 答案 A3．(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ 7 8 9 10P x 0.1 0.3 y已知ξ的期望E (ξ)＝8.9，则y A ．0.4 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.9解析 x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，即x ＋y ＝0.6.①又7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，化简得7x ＋10y ＝5.4.②由①②联立解得x ＝0.2，y ＝0.4.答案 A4．设随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝1.6，D (X )＝1.28，则( )．A ．n ＝8，p ＝0.2B ．n ＝4，p ＝0.4C ．n ＝5，p ＝0.32D ．n ＝7，p ＝0.45解析 ∵X ～B (n ，p )，∴E (X )＝np ＝1.6， D (X )＝np (1－p )＝1.28，∴⎩⎨⎧ n ＝8，p ＝0.2.答案 A5．(2010·上海)随机变量ξξ 7 8 9 10P 0.3 0.35 0.2 0.15该随机变量ξ的均值是________．解析由分布列可知E (ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2.答案 8.26．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的个数，则E (ξ)＝________. 解析 ξ的取值为0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝C 312C 316＝1128；P (ξ＝1)＝C 212C 14C 316＝3370； P (ξ＝2)＝C 112C 24C 316＝970；P (ξ＝3)＝C 34C 316＝1140. ∴E (ξ)＝0×1128＋1×3370＋2×970＋3×1140＝34. 答案 347．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E (ξ)＝________.解析因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(胜利)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，ξ为取得红球(胜利)的次数，则ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，35，从而有E (ξ)＝np ＝4×35＝125. 答案 125考向一离散型随机变量的期望和方差【例1】►A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1、A 2、A 3，B 队队员是B 1、B 2、B 3，按以往多对阵队员 A 队队员胜的概率 A 队队员负的概率A 1和B 1 23 13A 2和B 2 2% 35 A 3和B 3 25 35 (1)求X ，Y 的分布列；(2)求E (X )，E (Y )．[审题视点] 首先理解X ，Y 的取值对应的事务的意义，再求X ，Y 取每个值的概率，列成分布列的形式，最终依据期望的定义求期望．解 (1)X ，Y 的可能取值分别为3,2,1,0. P (X ＝3)＝23×25×25＝875， P (X ＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2875， P (X ＝1)＝23×35×35＋13×25×35＋13×35×25＝25， P (X ＝0)＝13×35×35＝325；依据题意X ＋Y ＝3，所以P (Y ＝0)＝P (X ＝3)＝875，P (Y ＝1)＝P (X ＝2)＝2875， P (Y ＝2)＝P (X ＝1)＝25，P (Y ＝3)＝P (X ＝0)＝325. X 的分布列为X 0 1 2 3P 325 25 2875 875 Y 的分布列为Y 3 2 1 0P 325 25 2878 875(2)E (X )＝3×875＋2×2875＋1×25＋0×325＝15；因为X ＋Y ＝3，所以E (Y )＝3－E (X )＝2315. 2.广东17.(本小题满分13分)某班50位学生期中考试数学成果的频率分布直方图如图4所示，其中成果分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。

浙江近五年高考数学概率二项分布等问题真题和答案

2017年浙江8. (2017年浙江)已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=p i，P（ξi=0）=1–p i，i=1，2．若0<p1<p2<12，则（）A．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) B．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)C．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) D．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)8. A 【解析】∵E(ξ1)=p1，E(ξ2)=p2，∴E(ξ1)＜E(ξ2)，∵D(ξ1)=p1(1-p1)，D(ξ2)=p2(1-p2)，∴D(ξ1)- D(ξ2)=(p1-p2)(1-p1-p2)＜0.故选A．13. (2017年浙江)已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，，则a 4=________，a5=________．13. 16 4 【解析】由二项式展开式可得通项公式为Cr 3x r Cm 2·22-m= Cr 3·Cm2·22-m·x r+m，分别取r=0，m=1和r=1，m=0可得a4=4+12=16，取r=m，可得a5=1×22=416. (2017年浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法．（用数字作答16. 660 【解析】由题意可得，“从8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队”中的选择方法为C4 8×C1 4×C1 3（种）方法，其中“服务队中没有女生”的选法有C4 6×C1 4×C1 3（种）方法，则满足题意的选法有C4 8×C1 4×C1 3- C4 6×C1 4×C1 3=660（种）.2018年浙江7．设0<p<1，随机变量ξ的分布列是则当p在（0，1）内增大时，A ．D （ξ）减小B ．D （ξ）增大C ．D （ξ）先减小后增大D ．D （ξ）先增大后减小【解答】解：设0＜p ＜1，随机变量ξ的分布列是 E （ξ）=0×+1×+2×=p+；方差是D （ξ）=×+×+×=﹣p 2+p+ =﹣+，∴p ∈（0，）时，D （ξ）单调递增； p ∈（，1）时，D （ξ）单调递减； ∴D （ξ）先增大后减小．故选：D ．【点评】本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 14．二项式的展开式的常数项是___________．解：由=．令=0，得r=2．∴二项式（+）8的展开式的常数项是．故答案为：7．【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是 16．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 解：从1，3，5，7，9中任取2个数字有种方法，从2，4，6，0中任取2个数字不含0时，有种方法，81)2x可以组成=720个没有重复数字的四位数；含有0时，0不能在千位位置，其它任意排列，共有=540，故一共可以组成1260个没有重复数字的四位数．故答案为：1260．【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题，先选后排是解决问题的关键，注意“0“是否在4位数中去易错点，是中档题．2019年浙江7.设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（） A. ()D X 增大 B. ()D X 减小C.()D X 先增大后减小 D.()D X 先减小后增大【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选D.13.在二项式9)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______【详解】9)x 的通项为919(0,1,29)rr r r T C x r -+==可得常数项为0919T C ==因系数为有理数，1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.2020年浙江16．一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则P （ξ＝0）＝；E （ξ）＝ 1 ．【分析】由题意知随机变量ξ的可能取值为0，1，2；分别计算P （ξ＝0）、P （ξ＝1）和P （ξ＝2），再求E （ξ）的值．解：由题意知，随机变量ξ的可能取值为0，1，2；计算P （ξ＝0）＝+＝；P （ξ＝1）＝+＝；P （ξ＝2）＝+＝；所以E （ξ）＝0×+1×+2×＝1．故答案为：，1．2017年浙江8. (2017年浙江)已知随机变量ξi 满足P （ξi =1）=p i ，P （ξi =0）=1–p i ，i =1，2．若0<p 1<p 2<12，则（）A ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)B ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)C ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)D ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)13. (2017年浙江)已知多项式（x+1）3（x+2）2=x 5+a 1x 4+a 2x 3+a 3x 2+a 4x+a 5，，则a 4=________，a 5=________．16. (2017年浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法．（用数字作答2018年浙江7．设0<p <1，随机变量ξ的分布列是则当p 在（0，1）内增大时， A ．D （ξ）减小B ．D （ξ）增大C ．D （ξ）先减小后增大D ．D （ξ）先增大后减小14．二项式的展开式的常数项是___________． 16．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)81)2x2019年浙江7.设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（） A. ()D X 增大B. ()D X 减小B. C. ()D X 先增大后减小 D. ()D X 先减小后增大13.在二项式9)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______2020年浙江16．一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则P （ξ＝0）＝；E （ξ）＝．。

二项分布、数学期望与方差专题复习-word-有详解-重点中学用

第十讲二项分布及应用随机变量的均值与方差知识要点1.事件的相互独立性(概率的乘法公式)设A、B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．2. 互斥事件概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．3.对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．4.条件概率的加法公式：若B、C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)5.独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即若用A i(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…A n)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(A n)．注：判断某事件发生是否是独立重复试验，关键有两点(1)在同样的条件下重复，相互独立进行；(2)试验结果要么发生，要么不发生．6.二项分布：在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝C k n p k·(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．注：判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点(1)是否为n次独立重复试验．(2)随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数．7.离散型随机变量的均值与方差及其性质定义：若离散型随机变量X的分布列为P(ξ＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n.(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望．n(2)方差：D(X)＝∑(x i－E(X))2p i为随机变量X的方差，其算术平方根D X为随机变量X的标准差．i＝1(3)均值与方差的性质：(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)8.两点分布与二项分布的均值、方差变量X服从两点分布：E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；X～B(n，p)： E(X)＝np ，D(X)＝np(1－p) 典例精析例1.【2015高考四川，理17】某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.例2．如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 ( )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576例3.(2013·山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率．(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．例4.为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为23.(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．例5.(2014·福建高考改编)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元．求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡．下面给出两种方案：方案1：4个球中所标面值分别为10元，10元，50元，50元；方案2：4个球中所标面值分别为20元，20元，40元，40元．如果你作为商场经理，更倾向选择哪种方案？例6．(13分)如图所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列、数学期望与方差．例7．(12分)某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．例8.【2015高考湖南，理18】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.例9.（2016 河北张家口市三模21）（本小题满分12分）设函数()21x f x e x ax ＝－－－． (Ⅰ)若0a ＝，求()f x 的单调区间；(Ⅱ)若当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围．参考答案例1.【2015高考四川，理17】某市A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐3名男生，2名女生，B 中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 得分布列和数学期望.【答案】（1）A 中学至少1名学生入选的概率为99100p =. （2）X 的分布列为：X 的期望为()2E X =.【解析】（1）由题意，参加集训的男女生各有6名.参赛学生全从B 中抽取（等价于A 中没有学生入选代表队）的概率为333433661100C C C C =. 因此，A 中学至少1名学生入选的概率为1991100100-=. （2）根据题意，X 的可能取值为1，2，3.1333461(1)5C C P X C ===，2233463(2)5C C P X C ===，3133461(3)5C C P X C ===，所以X 的分布列为：因此，X 的期望为131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=. 例2．如图10－8－1，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576【答案】 B 12A A 、至少有一个正常工作的概率为21(10.8)0.96P =--= ，则系统正常工作的概率为0.90.960.864K P P ⋅=⨯=例3.(2013·山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率．(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．【尝试解答】 (1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827，P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427. 所以甲队以3∶0胜利，以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427. (2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以P (A 4)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427. 由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627.又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427，P (X ＝2)＝P (A 4)＝427， P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327，故X 的分布列为所以EX ＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×327＝79.例4.为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为23.(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．【尝试解答】 (1)选手甲答3道题进入决赛的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，选手甲答4道题进入决赛的概率为C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13·23＝827， ∴选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率P ＝827＋827＝1627； (2)依题意，ξ的可取取值为3、4、5，则有P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝13，P (ξ＝4)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13·23＋C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·23·13＝1027，P (ξ＝5)＝C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·23＋C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·13＝827，因此，有∴Eξ＝3×13＋4×1027＋5×827＝10727.规律方法2 求离散型随机变量的均值与方差的方法：(1)先求随机变量的分布列，然后利用均值与方差的定义求解．(2)若随机变量X ～B (n ，p )，则可直接使用公式E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )求解．例5.(2014·福建高考改编)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元．求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望． (2)商场对奖励总额的预算是60 000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡．下面给出两种方案：方案1：4个球中所标面值分别为10元，10元，50元，50元；方案2：4个球中所标面值分别为20元，20元，40元，40元．如果你作为商场经理，更倾向选择哪种方案？【解答】 (1)设顾客所获的奖励额为X .①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，得X 的所有可能取值为20,60.P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，P (X ＝60)＝12，即X 的分布列为所以顾客所获的奖励额的数学期望为E (X )＝20×12＋60×12＝40(元)． (2)对于方案1：设每位顾客获得的奖励额为X 1元，则随机变量X 1的分布列为∴数学期望E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，方差D (X 1)＝(20－60)26＋23×(60－60)2＋(100－60)26＝1 6003.对于方案2：设顾客获得的奖励额为X 2元，则X 2的分布列为∴数学期望E (X 2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，方差D (X 2)＝(40－60)26＋23×(60－60)2＋(80－60)26＝4003.根据预算，每个顾客的平均奖励额为60元，且E (X 1)＝E (X 2)＝60，D (X 1)>D (X 2)．因此，根据商场的设想，应选择方案2.例6.如图10－9－4所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．图10－9－4(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列、数学期望与方差．【解】(1)依题意及频率分布直方图知，0．02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.(2)由题意知，X～B(3,0.1)．因此P(X＝0)＝C03×0.93＝0.729，P(X＝1)＝C13×0.1×0.92＝0.243，P(X＝2)＝C23×0.12×0.9＝0.027，P(X＝3)＝C33×0.13＝0.001.故随机变量X的分布列为X的数学期望为E(X)＝3×0.1＝0.3.X的方差为D(X)＝3×0.1×(1－0.1)＝0.27.例7．某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图10－9－3记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：图10－9－3(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．【解】 (1)众数：8,6；中位数：8.75(2)由茎叶图可知，幸福度为“极幸福”的人有4人．设A i 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则P (A )＝P (A 0)＋P (A 1)＝C 312C 316＋C 14C 212C 316＝121140(3)从16人的样本数据中任意选取1人，抽到“极幸福”的人的概率为416＝14，故依题意可知，从该社区中任选1人，抽到“极幸福”的人的概率P ＝14ξ的可能取值为0,1,2,3P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764；P (ξ＝1)＝C 1314⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764 P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫14234＝964；P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164 所以ξ的分布列为Eξ＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝0.75另解由题可知ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，所以Eξ＝3×14＝0.75. 例8. 【2015高考湖南，理18】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）107；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，则可知 1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12C B B =+，再利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知1(3,)5X B :，分别求得00331464(0)()()55125P X C ===，11231448(1)()()55125P X C ===，22131412(2)()()55125P X C ===，3303141(3)()()55125P X C ===，即可知X 的概率分布及其期望. 试题解析：（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝ 1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意，1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12C B B =+， ∵142()105P A ==，251()102P A ==，∴11212211()()()()525P B P A A P A P A ===⨯=， 2121212121212()()()()()(1())(1())()P B P A A A A P A A P A A P A P A P A P A =+=+=-+-21211(1)(1)52522=⨯-+-⨯=，故所求概率为1212117()()()()5210P C P B B P B P B =+=+=+=；（2）顾【考点定位】1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望.【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注.例9.【2015高考四川，理21】已知函数22()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a >.（1）设()g x 是()f x 的导函数，评论()g x 的单调性；（2）证明：存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥在区间∞(1,+)内恒成立，且()0f x =在∞(1,+)内有唯一解.【答案】（1）当104a <<时，()g x在区间)+∞上单调递增，在区间上单调递减；当14a ≥时，()g x 在区间(0,)+∞上单调递增.（2）详见解析. 【解析】（1）由已知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()()222ln 2(1)a g x f x x a x x '==---+，所以222112()2()2224()2x a a g x x x x -+-'=-+=. 当104a <<时，()g x在区间)+∞上单调递增，在区间上单调递减；当14a ≥时，()g x 在区间(0,)+∞上单调递增. （2）由()222ln 2(1)0af x x a x x '=---+=，解得11ln 1x x a x ---=+. 令2211111ln 1ln 1ln 1ln ()2()ln 2()2()1111x x x x x x x x x x x x x x x x x ϕ------------=-++--+++++. 则211(2)2(1)10,())2()011e e e e e e ϕϕ----=>=--<++，. 故存在0(1,)x e ∈，使得0()0x ϕ=. 令000101ln ,()1ln (1)1x x a u x x x x x ---==--≥+，. 由1()10u x x '=-≥知，函数()u x 在区间(1,)+∞上单调递增. 所以001110()(1)()20111111u x u u e e a x e e ----=<=<=<++++. 即0(0,1)a ∈.【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.【名师点睛】本题作为压轴题，难度系数应在0.3以下.导数与微积分作为大学重要内容，在中学要求学生掌握其基础知识，在高考题中也必有体现.一般地，只要掌握了课本知识，是完全可以解决第（1）题的，所以对难度最大的最后一个题，任何人都不能完全放弃，这里还有不少的分是志在必得的.解决函数题需要的一个重要数学思想是数形结合，联系图形大胆猜想. 在本题中，结合待证结论，可以想象出()f x 的大致图象，要使得()0f x ≥在区间∞(1,+)内恒成立，且()0f x =在∞(1,+)内有唯一解，则这个解0x 应为极小值点，且极小值为0，当0(1,)x x ∈时，()f x 的图象递减；当0(,)x x ∈+∞时，()f x的图象单调递增，顺着这个思想，便可找到解决方法.。

高考数学专题33二项分布与超几何分布解析版

专题33 二项分布与超几何分布一、单选题1．（2020·山西应县一中高二期中（理））盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是310的事件为()A．恰有1个是坏的B．4个全是好的C．恰有2个是好的D．至多有2个是坏的【答案】C【解析】对于选项A，概率为133741012C CC=.对于选项B，概率为4741016CC=.对于选项C，概率为2237410310C CC=.对于选项D，包括没有坏的，有1个坏的和2个坏的三种情况.根据A选项，恰好有一个坏的概率已经是13210>，故D选项不正确.综上所述，本小题选C.2．（2020·天山新疆实验高二期末）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)等于（）A．715B．815C．1415D．1【答案】C【解析】由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X＝0)＝27210715CC=，P(X＝1)＝1173210715C CC=⋅，P(X＝2)＝23210115CC=，于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝7714 151515 +=故选C3．（2020·江苏鼓楼南京师大附中高二期末）某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于67的是（） A ．至少有1个深度贫困村 B ．有1个或2个深度贫困村 C ．有2个或3个深度贫困村 D ．恰有2个深度贫困村【答案】B 【解析】用X 表示这3个村庄中深度贫困村数，X 服从超几何分布，故()33437k kC C P X k C -==，所以()3043374035C C P X C ===， ()21433718135C C P X C ===，()12433712235C C P X C ===，()0343371335C C P X C ===， ()()6127P X P X =+==. 故选：B4．（2020·辉县市第二高级中学高二月考（理））在10个排球中有6个正品，4个次品.从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为（） A ．542B ．435C ．1942D ．821【答案】A 【解析】分析：根据超几何分布，可知共有410C 种选择方法，符合正品数比次品数少的情况有两种，分别为0个正品4个次品，1个正品3个次品，分别求其概率即可。

二项分布经典例题+练习题

二项分布1．n 次独立重复试验一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次试验中()0P A p =>。

我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。

（1）独立重复试验满足的条件第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。

（2）n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()P X k ==(1)k kn k nC p p --。

2．二项分布若随机变量X 的分布列为()P X k ==kk n k nCp q -，其中0 1.1,0,1,2,,,p p q k n <<+==则称X 服从参数为,n p 的二项分布，记作(,)XB n p 。

1．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。

2.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31. (1)设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列； (2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为21，乙每次击中目标的概率为32.（1）记甲击中目标的此时为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（2）求乙至多击中目标2次的概率；（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 【巩固练习】1.（2012年高考（浙江理））已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.(Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)求X的数学期望E(X).2．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13,乙每次投篮投中的概率为12,且各次投篮互不影响.(Ⅰ) 求甲获胜的概率;(Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假定,A B在每场比赛中获胜的概率都是12，试求需要比赛场数的期望．3．（2012年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22⨯列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的,求X 的分布列,期望()E X 和方差()D X .5.（2007陕西理）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53、52，且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示） 6. 一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数ξ的概率分别布. (1)每次取出的产品不再放回去；（2）每次取出的产品仍放回去；（3）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.7. （2007山东）设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．（I ）求方程x 2+bx+c=0有实根的概率；（II ）求ξ的分布列和数学期望；8.（本题满分12分）.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在A 区域返券60元；停在B 区域返券30元；停在C 区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.（I ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（II ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元），求随机变量X 的分布列和数学期望.湖北理工学院湖北师范学院99 6507 21 1516171819891258934 60 19. (本题满分12分)中国∙黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于2012年8月20日在黄石铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有湖北师范学院的“高个子”才能担任“兼职导游”。

高考数学秒杀系列之方差标准差平均数二项分布期望

高考数学秒杀系列之方差标准差平均数期望2019全国II 文，理5演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数C ．方差D ．极差2012陕西对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是A ．46，45，56B ．46，45，53C ．47，45，56D ．45，47，53 2020上海一模设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x ，随机变量1ξ取值54321x x x x x 、、、、的概率均为2.0，随机变量2ξ取值222221554433221x x x x x x x x x x +++++、、、、的概率也均为2.0，若记21ξξD D 、分别为21ξξ、的方差，则（）A ．21ξξD D >B ．21ξξD D =C ．21ξξD D < D ．1ξD 与2ξD 的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关 2020陕西三模理5从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则（） A. x x <甲乙，m 甲>m 乙 B. x x <甲乙，m 甲<m 乙 C. x x >甲乙，m 甲>m 乙 D. x x >甲乙，m 甲<m 乙2020安徽二诊理5甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的6 17 85 0 0 1 1 4 7 94 5 5 5 7 7 8 8 93 1 2 4 4 8 92 0 23 31 2 5条形统计图如图所示，则A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B. 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C. 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 2013山东将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后有一个数据模糊，无法辨认，在图中以表示：则7个剩余分数的方差为（）A ．B ．C ．36D ． 2020全国卷文3设一组样本数据为n x x x ,...,,21的方差为0.01，则数据n x x x 10,...,10,1021的方差为（）A.0.01B.0.1C.1D.102015安徽若样本数据1021,...,,x x x 的标准差为8，则数据12,...,12,121021---x x x 的标准差为（） A.8 B.15 C.16 D.322016四川设样本数据201621,...,,x x x 的方差为8，则数据2016,...,2016,2016201621---x x x 的方差为（）A.8B.16C.32D.642011天津一组数据n a a a ,...,,21的平均数为5方差为3则数据32,...,32,3221+++n a a a 的平均数和方差分别为（）A.10；12B.13；6C.8；9D.11;18 2020上海三模随机变量X 的分布列为则E(5X ＋4)等于( )A ．15B ．11C ．2.2D ．2.3x 9 4 0 1 0 x 9 18 7 7116936772020安徽一模随机变量X 的分布列为有以下三个结论：①()31-=X E ②()9=X D ③()30==X PA ．0B ．1C ．2D ．3 2020上海三模已知离散型随机变量ξ的分布列为若随机变量12+=ξη则E(η)等于A ．1.1 B ．3.2 C ．2.2 D ．4.42020云南三模已知随机变量X 的分布列如表所示，其中α∈(0，π2)，则E(X)＝( )A.2 B ．1或2 C ．0 D ．1 2020河北三模马老师从课本上抄录的一个随机变量X 的概率分布列如下表：请小牛同学计算X 定这两个“？”处的数值相同，据此，小牛给出了正确答案E(X)＝________． A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 2020黑龙江二模设Eξ＝10，Eη＝3，则E (3ξ＋5η)＝( )A ．45B ．40C ．35D ．15 2020西安八校联考已知随机变量X 的分布列是：且EX ＝7.5，则a 的值为(A ．5B ．6C ．7D ．82020黑龙江二模一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．X 表示在未来3天内日销售量不低于100个的天数，则E(X)与D(X)分别是（）．A ．0.6，0.36B ．1.8，0.72C ．3.6，1.44D ．3，0.362020汉中二模.某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为X ，得分为Y ，则E(X)，D(Y)分别为( )A ．0.6，60B ．3，12C ．3，120D ．3，1.22020江西一模一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________．A ．2B ．4C ．9.8D ．1.962020辽宁三模一次数学测试由25道选择题构成每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确的4分，不作出选择或者选错不得分，满分100分，某学生选对任意一道题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中成绩的期望与成绩的方差分别为（） A ．15，6 B ．60，96 C ．15，96 D ．60，62020江西一模从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取1球，有放回的摸取5次，设摸得白球的个数为X 已知E(X)=3，则D(X)＝________．A ．58B ． 56C ． 54D ．522020河南天一大联考某公司的班车在7:00，8:00,8:30发车，小明一周内每天都在7;50-8；30之间到达车站乘坐班车且到达车站的时刻是随机的，则他连续5天等车时间不超过10分钟的期望与方差分别是（） A.25,45 B. 45,25 C. 43,21 D.21,43 2020福建二模已知X 是离散型随机变量，()6=X E ,(),5.0=X D 521-=X X ,那么()1X E 和()1X D 分别是（）A. ()121=X E ,()11=X DB.()71=X E ,()11=X DC.()121=X E ,()21=X DD.()71=X E ,()21=X D 2020广州三模已知随机变量ξηξ若,8=+～()6.0,10B ,则()ηE ,()ηD 分别是（） A.6；2.4 B.2；2.4 C.2；5.6 D.6;5.62020宝鸡二模若X ～B(n ，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X ＝1)的值为( ) A ．223-⋅ B ．42-C ．1023-⋅D ．82-2020云南三模随机变量ξ的分布列为()n k k P kn kkn C ...,2,1,0,3132=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛==-ξ，且()24=ξE ,则()=ξD （）A.8B. 12C.92D.16 2020咸阳三模已知书包中有两本语文资料和一本数学资料，除内容不同外其他均相同，现在有放回地抽取资料，每次抽取一本，记下科目后放回书包中．连续抽取三次，Y 表示三次中语文资料被抽中的次数，若每本资料被抽取的概率相同．每次抽取相互独立，则方差D(X)＝________． A ．21 B ．32 C ． 43D ．542020山西一模已知一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当成功次数的标准差的值最大时，p 及标准差的最大值分别为( )A.12，5B.45，25C.45，5D.12，25 2020广东一模若随机事件A 在一次试验中发生的概率为p(0<p<1)，用随机变量X 表示事件A 在一次试验中发生的次数，则2D （X ）－1E （X ）的最大值为________．A ．2B ．2C ．222+D ．222-。

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1.（09年福建高考）（13分）
从集合{}1,2,3,4,5的所有非空子集．．．．
中，等可能地取出一个。

（1）记性质r ：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r 的概率；（2）记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ
2．（05年福建高考）（本小题满分12分）
甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为5
2
21
与
，投中得1分，投不中得0分. （Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；
（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；
3.（08年福建高考）（本小题满分12分）
某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试。

已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。

现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为2
3
，科目B 每次考试成绩合格的概率均为
1
2。

假设各次考试成绩合格与否均互不影响。

（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，
求ξ的数学期望E ξ.
4.某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近100周的统计结果如下表所示:
周销售量 2 3 4 频数
20
50
30
⑴根据上面统计结果,求周销售量分别为2吨,3吨和4吨的频率;
⑵已知每吨该商品的销售利润为2千元,ξ表示该种商品两周销售利润的和(单位:千
元),若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求ξ的分布列和数学期望.
5（本小题满分14分）在“自选模块”考试中，某试场的每位同学都选了一道数学题，第一小组选《数学史与不等式选讲》的有1人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有5人，第二小组选《数学史与不等式选讲》的有2人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析得分情况.
（Ⅰ）求选出的4 人均为选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率；
（Ⅱ）设ξ为选出的4个人中选《数学史与不等式选讲》的人数，求ξ的分布列和数学期望．
6．（本小题满分12分）
三个人进行某项射击活动，在一次射击中甲、乙、丙三人射中目标的概率分别为1
2
、
1
4
、
1
3
．
（1）一次射击后，三人都射中目标的概率是多少？
（2）用随机变量ξ表示三个人在一次射击后射中目标的次数与没有射中目标的次数之差的绝对值．求证ξ的取值为1或3，并求3
ξ=时的概率
7．（本题满分13分）
今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以扰此计算出自己每天的碳排放量。

例如：家居用电的碳排放量（千克）=耗电度数×.785，汽车的碳排放量（千克）=油耗公升数×0.785等。

某班同学利用寒假在两个小
0.0230
40
50
60
70
0.03频率/组距
个数
0.04p
区逐户进行了一次生活习惯进否符合低碳观念的调查。

若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”。

这二族人数占各自小区总人数的比例P 数据如下：
（I ）如果甲、乙来自A 小区，丙、丁来自B 小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概
率；
（II ）A 小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列。

如果2
周后随机地从A 小区中任选25个人，记ξ表示25个人中低碳族人数，求.ξE
8 某研究性学习小组欲从标点符号使用频率的角度研究《A 》名著，现抽查了书中的n 页，按每页标点符号的个数把样本分成四组：[30,40), [40,50), [50,60), [60,70),相应的频率分布直方图如图所示，已知样本中[30,40)的频数为1. （Ⅰ）求p 、n 的值；
（Ⅱ）现从这n 页中随机抽取3页，用ξ表示标点符号个数
在[60,70)的页数，求ξ的分布列和期望.
A 小区低碳族
非低碳族
比例P 21
21
B 小区低碳族
非低碳族
比例P
54 5
1。