2016年江苏省南通密卷(高考模拟试卷)数学(5)

2016年高考模拟试卷(5)
南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1．设集合{}2,5A =，{}13B x x =≤≤，则A B = ▲ ． 2．设a R ∈，复数
212a i
i
++（i 是虚数单位）是纯虚数，则a 的值为 ▲ ． 3．如图是某班8位学生诗朗诵比赛得分的茎叶图，那么这8位学生得分的平均分
为 ▲ ．
4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果的集合为 ▲ ．
5．甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，
乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ▲ ． 6．设函数24 6 ,0,()6, 0,
x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩≥则不等式)1()(f x f >的解集是 ▲ ．
7．已知圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为2，表面积为12，则11
r h
+= ▲ ．
8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为双曲线22
4x y -=的左顶点，点B 和 点C 在双曲线的右支上，ABC ∆是等边三角形，则ABC ∆的面积为 ▲ ． 9．若tan()24
π
α+=，则sin 2α的值为 ▲ ．
10．已知定义在集合A 上的函数22()log (1)log (21)f x x x =-++，其值域为(],1-∞，则A = ▲ ． 11．数列{}n a 中10a =，47a =-，对n N *∀∈，当2n ≥时，211(1)(1)(1)n n n a a a +--=--，则数列{}n a 的前n 项的和为 ▲ ．
12．设实数1,1a b >>，则“a b <”是“ln ln a b a b ->-”成立的 ▲ 条件.
（请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中之一填空）
13．在ABC ∆中，45B =
，,M N 分别为边,AC AB 的中点，且2BM AC CN AB ⋅=⋅ ，则BA BC BC BA
+
的值为 ▲ ． 14．在平面直角坐标xoy 中，设圆M 的半径为1，圆心在直线240x y --=上,若圆M 上不存在点N
，使
其中A （0，3），则圆心M 横坐标的取值范围 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，面积为S ．
（1
）若AB AC ⋅=
，求A 的值；
（2）若tan A ∶tan B ∶tan C ＝1∶2∶3，且1c =，求b ．
16．（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，M是AD中点，N 是PC中点．
（1）求证：//
MN面PAB；
（2）若平面PMC⊥平面PAD，求证：CM AD
⊥．
17．（本小题满分14分）为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m．
（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽），问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？
（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．
18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
22
22
1(0) x y
a b
a
b
+=>>的右顶点与上顶点分别为,
A B．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，若直线l与该椭圆交于,P Q两点，直线,
BQ AP的斜率互为相反数．
①求证：直线l的斜率为定值；
②若点P在第一象限，设ABP
∆与ABQ
∆的面积分别为
12
,
S S，求1
S
S
的最大值．
（第17题图）
19．（本小题满分16分）已知函数2
()(2)ln f x mx m x x
=-+-
，2()1g x x mx =++，m R ∈． （1）当0m <时，
①求()f x 的单调区间；
②若存在12,[1,2]x x ∈，使得12()()1f x g x -≥成立，求m 的取值范围；
（2）设ln 1
()x
x h x e
+=的导函数()h x '，当1m =时，求证：2[()1]()1g x h x e -'-<+（其中e 是自然对数的底数）．
20．（本小题满分16分）若数列{}n a 满足条件：存在正整数k ，使得2n k n k n a a a +-+=对一切,n n k ∈>*N 都成立，则称数列{}n a 为k 级等差数列．
（1）已知数列{}n a 为2级等差数列，且前四项分别为2,0,4,3，求89a a +的值；
（2）若2sin (n a n n ωω=+为常数），且{}n a 是3级等差数列，求ω所有可能值的集合，并求ω取最小正值时数列{}n a 的前3n 项和3n S ；
（3）若{}n a 既是2级等差数列，{}n a 也是3级等差数列，证明：{}n a 是等差数列．
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，∠PAQ 是直角,圆O 与射线AP 相切于点T ，与射线AQ 相交于两点
B
C 、.求证:BT 平分OBA ∠.
B ．（选修４－２：矩阵与变换）设二阶矩阵A ，B 满足1
1234-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1001⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
BA ，求1-B ． C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
系，已知曲线:C 2
sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为（t 为
参数），l 与C 分别交于,M N ．
（Ⅰ）写出C 的平面直角坐标系方程和l 的普通方程；
成等比数列，求a 的值．
D ．（选修４－５：不等式选讲） 设x ，y 均为正数，且x ＞y ，求证：22
1
2232x y x xy y +
+-+≥．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．(本小题满分10分)如图，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 、N 分别是CC 1、BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上，且满足111B A A λ=（∈λR ）． （1）求异面直线PN ，AM 所成的角；
（2）若平面PMN 与平面ABC 所成的角为45°，试确定点P 的位置．
23．（本小题满分10分）设集合{1,0,1}M =-，集合123{(,,)|,1,2,,}n n i A x x x x x M i n =∈= ，
，，集合n A 中满足条件 “121||||||n x x x m ≤+++≤ ”的元素个数记为n m S ． （1）求22S 和4
2S 的值；
（2）当m n <时，求证：n
m
S 111322n m n +++<+-．。