江苏省涟水县红日中学七年级数学下册 9.5单项式乘多项式的再认识-因式分解(一)导学案
2024七年级数学下册第9章整式乘法与因式分解9.5多项式的因式分解课件新版苏科版
感悟新知
知4－讲
二定：确定公式中的a 和b，除a 和b 是单独一个 数或字母外，其余不管是单项式还是多项式都必须 用括号括起来，表示一个整体.
三套：套用平方差公式进行分解. 四整理：将每个因式去括号，合并同类项化成最 简的.
感悟新知
知4－讲
特别解读
1. 因式分解中的平方差公式法是乘法公式中的平
方差公式逆用的形式.
D 选项中，括号内最后一项漏掉了，应该是a2b＋
5ab－b=b(a2＋5a－1)，故错误.
答案：B
感悟新知
知识点 4 运用平方差公式分解因式
知4－讲
1. 平方差公式法 用字母表示：a2－b2=(a＋b)(a－b). 文字描述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两 个数的差的积.
感悟新知
知4－讲
感悟新知
(3) 116a2－ 12ab＋b2 ；
知5－练
解题秘方：先确定完全平方公式中的“a”“b”，再运用
完全平方公式分解因式.
解：原式=( 14a)2－2×14a·b＋b2 = (14a－b)2.
感悟新知
知5－练
(4)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.
解题秘方：先确定完全平方公式中的“a”“b”，再运用
公因式中的字母，各字母的指数取其中次数最低的．
感悟新知
3. 注意
知2－讲
若多项式各部分中含有相同的多项式因式，则应将其看
成一个整体，不要拆开，作为公因式中的因式.
如3x(x－y)＋x2(x－y)的公因式是x(x－y).
感悟新知
知2－讲
特别解读 1. 公因式可以是数，也可以是单项式或多项式. 2. 若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可
2024七年级数学下册第9章整式乘法与因式分解9.2单项式乘多项式课件新版苏科版
9.2 单项式乘多项式
学习目标
1 课时讲解 单项式乘多项式
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1运算法则单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的 每一项，再把所得的积相加．用字母表示为 m(a＋b＋ c)=ma＋mb＋mc．其中m、a、b、c都是单项式.
知1－练
解：(3xy2－6xy－1)·13xy =3xy2·13 xy＋(－6xy)·
特别警示
多项式的各项都包括它 前面的符号，(2) 中多项式 的项有3xy2，－6xy，－1，
1 3
xy＋(－1)·13
xy
=x2y3－2x2y2－
1 3
xy.
计算时要将这三项分别与
1 3
xy
相乘.
解题秘方：用单项式乘多项式的运算法则进行计算.
和的形式； (2)将单项式与单项式相乘的结果相加.
感悟新知
特别解读
知1－讲
1. 单项式与多项式相乘，实际上是利用乘法分配
律将其转化为单项式与单项式相乘.
2. 单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其
项数与因式中多项式的项数相同.
3. 单项式与多项式相乘时，要把单项式和多项式
里的每一项都相乘，不要漏乘、多乘.
感悟新知
知1－练
例 1 计算：(1)(－3x)(－2x2＋1)；
解：(－3x)(－2x2＋1) =(－3x)·(－2x2)＋(－3x)×1 = 6x3－3x.
特别警示
单项式乘多项式， 当多项式的某项为1 时，千万不能出现漏 乘的情况.
解题秘方：用单项式乘多项式的运算法则进行计算.
感悟新知
9.5单项式乘多项式的再认识-因式分解(一)
用提取公因式分解因式的一般步骤： 第一步：找出多项式各项的公因式； 第二步：把多项式各项写成公因式
与另一个因式的积的形式；
第三步：逆用单项式乘多项式法则写 成公因式与另一个多项式的积。
（2）把6a3b-9a2b2c+3a2b分解因式 解： 6a3b-9a2b2c+3a2b =3a2b.2a-3a2b.3bc+3a2b.1 =3a2b（2a-3bc+1） 注意：1、如果提取公因式与多项式中的某一项 相同，那么提取后多项式中的这一项剩下“1”结 果中的“1”不能漏写； 2、多项式有几项，提取公因式后另一项 也有几项。
下列各式由左到右的变形那些是因式分解
(1) ab+ac+d=a(b+c)+d
(2) a2-1=(a+1)(a-1)
(3) (a+1)(a-1) = a2-1 (4) x2+1=x(x+
1 )x
答案（1）不是；（2）是； （3）不是；（4）不是
课堂练习： 把下列各式分解因式：
（1）4x2-12x3
初中数学七年级下册 （苏科版）
9.5单项式乘多项式的再认识 －因式分解(一)
计算与交流
计算：375×2.8+375×4.9+375×2.3
如何计算上面的算式？请把你的想 法与你的同伴交流。 小明很快就能报出答案，你知道他 是怎么想的吗？
小明的方法：
375×2.8+375×4.9+375×2.3 =375×（2.8+4.9+2.3） =375×10 =3750 为什么375×2.8+375×4.9+375×2.3 可以写成375×（2.8+4.9+2.3）？依 据是什么？ 乘法分配率
江苏省涟水县红日中学七年级数学下册 9.5单项式乘多项式的再认识-因式分解(一)导学案 苏科版
9.5单项式乘多项式的再认识－因式分解(一)一、学习目标认识公因式，利用单项式乘多项式法则因式分解。
二、重点难点用提公因式法因式分解。
三、自学交流1、问题：计算375×2.8+375×4.9+375×2.32、(1)讨论上题的两种计算方法,分别提出各自的依据,然后比较哪种方法简便. (2)类似地,ab+ac+ad=3、了解以下知识点 （1）因式分解；（2）因式分解与整式乘法的关系；（3）提公因式法；四、展示点评例1：把下列各式分解因式：⑴ 6a 3b – 9a 2b 2c ；⑵6a 3b -9a 2b 2c +3a 2b(3) -8a 2b 2+4a 2b -2a b例2：把下式分解因式：()()y x b y x a +-+23例3：分解因式：(1) ()()a b y b a x -+- (2) ()()23126m n n m ---五、达标检测下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是？多项式公因式 4x+4y -8ax+12ay8a3bx+12a2b2y（1）a b +a c +d =a (b +c )+d ； （2）a 2-1=(a +1)(a -1)；（3）(a +1)(a -1)=a 2-1．1． （1）将多项式-5a 2+3a b 提出公因式-a 后,另一个因式是 ；（2）把多项式4(a +b )-2a (a +b )分解因式,应提出公因式 ．2． 把下列各式分解因式；（1）4x 2-12x 3；（2）y xy y x 542-+-．xkb13． 计算：2.37×52.5+0.63×52.5-4×52.5；4． 把下列各式分解因式：（1）()()x y x y x x-+-632；（2）()()223155a b a b a a ---；六、反馈反思。
苏教科版初中数学七年级下册《9.5 单项式乘多项式的再认识-因式分解(一)》学案
苏教科版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！苏科版初中数学和你一起共同进步学业有成！《9.5单项式乘多项式的再认识－因式分解(一)》学案学习目标：1．了解因式分解的意义，会用提公因式法进行因式分解．2．经历通过整式乘法逆向得出因式分解方法的过程，发展学生逆向思考问题的能力和推理能力．学习重点：会用提公因式法进行因式分解．学习难点：正确找出多项式中各项的公因式． 学习过程：1.用两种方法计算375×2.8+375×4.9+375×2.3上题的两种计算方法,哪种方法简便.2.类似地,ab+ac+ad 又能写成什么形式呢？这样变形的依据是什么呢？3.看p 70议一议．什么是“因式分解”，什么是“公因式”？ 4.找出下列多项式各项的公因式并填写下表：5．例题讲解： 例1：把下列各式分解因式：⑴ 6a 3b – 9a 2b 2c ； ⑵6a 3b -9a 2b 2c +3a 2b (3) -8a 2b 2+4a 2b -2a b思路点拨：（1）找公因式，决定系数与字母．（2）在提出 “一” 号后, 括到括号里的各项都要变号.多项式 公因式 4x+4y -8ax+12ay 8a 3bx+12a 2b 2y6.“想一想”，如何把多项式()()y x b y x a +-+23分解因式？7.举例：分解因式：(1) ()()a b y b a x -+- (2) ()()23126m n n m ---8.练习：1． A ：下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是？（1）a b +a c +d =a (b +c )+d ；（2）a 2-1=(a +1)(a -1)；（3）(a +1)(a -1)=a 2-1．2． （1）将多项式-5a 2+3a b 提出公因式-a 后,另一个因式是 ；（2）把多项式4(a +b )-2a (a +b )分解因式,应提出公因式 ．3． 把下列各式分解因式；（1）4x 2-12x 3；相信自己，就能走向成功的第一步 教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
2017苏科版数学七年级下册95《单项式乘多项式的再认识因式分解》练习题
2017苏科版数学七年级下册9.5《单项式乘多项式的再认识－因式分解》word 练习题 《9、5单项式乘多项式的再认识－因式分解（一） 》习题》学案一、填空题1、 多项式24ab 2－32a 2b 提出公因式是 、2、 )2(_______)(63322+-=+-a a b ab b a 、3、 当x=90、28时，8、37x+5、63x －4x=____ _____、4、 若m 、n 互为相反数，则5m ＋5n －5＝__________.5、 分解因式：=---22)()(n m y n m x 、二、选择题6、 下列式子由左到右的变形中，属于因式分解的是 ( ） A 。
22244)2(y xy x y x ++=+ B 、3)1(4222+-=+-x y xC 、 )1)(13(1232-+=--x x x xD 、mc mb ma c b a m ++=++)(7、多项式－5mx 3+25mx 2－10mx 各项的公因式是 ( )A 、5mx 2B 、－5mx 3C 、 m xD 、－5mx8、在下列多项式中,没有公因式可提取的是 ( ）A 、3x －4yB 、3x+4xyC 、4x 2－3xyD 、4x 2+3x 2y9、已知代数式2346x x -+的值为9,则2463x x -+的值为 （ ） A 。
18 B.12 C 。
9 D 。
710、 20082009)8()8(-+-能被下列数整除的是 ( ) A 。
3 B 。
5 C 。
7 D 。
9三、解答题11、把下列各式分解因式:⑴18a 3bc -45a 2b 2c 2； ⑵－20a －15ab ；⑶18x n ＋1－24x n ; ⑷(m ＋n ）（x －y ）－(m ＋n)（x ＋y)；⑸15(a －b)2－3y （b －a)； ⑹c b c b a 33)(22+--、 12、计算：⑴39×37-13×81； ⑵29×20、09+72×20、09+13×20、09-20、09×14、13、已知312=-y x ，2=xy ,求 43342y x y x -的值、 【能力提升】14、 已知串联电路的电压U ＝IR 1+IR 2+IR 3，当R 1＝12、9,R 2=18、5，R 3=18、6,I=2、3时，求U 的值、15、 把下列各式分解因式：－ab （a －b)2＋a(b －a)2－ac(a －b ）2、16、 已知a ＋b ＝－4,ab ＝2,求多项式4a 2b ＋4a b 2－4a －4b 的值、。
数学初一下苏科版9.5单项式乘多项式法则的再认识——因式分解(一)教案
1、a＋b=7，ab=6，求a2b＋ab2的值。
1.x(a-x)(a-y)-y(x-a)(y-a)，其中a=3，x=2，y=4；
2、m、n为自然数，且m〔m－n〕－n〔n－m〕=7，
求m、n的值。
【三】你能依照下图写出几个等式吗？你写出的等式中哪些是整式乘法的变形？哪些是因式分解的变形？
2、认识公因式
多项式ab＋ac＋ad的各项ab、ac、ad都含有相同的因式a，称为多项式各项的公因式〔commonfactor〕。
1.观看分析
①多项式a2b＋ab2的公因式是ab，……公因式是字母；
②多项式3x2－3y的公因式是3，……公因式是数字系数；
③多项式3x2－6x3的公因式是3x2，……公因式是数学系数与字母的乘积。
〔2〕你有方法检验多项式分解因式的结果的正确性吗？
〔3〕公因式可能是多项式吗？假如可能，那又当如何分解因式呢？
当
堂
达
标
1、把以下各式分解因式
⑴–3x2+18x–27；⑵18a2–50；
⑶2x2y–8xy+8y。〔4〕6(p+q)2-2(p+q)
(5)2(x-y)2-x(x-y)〔6〕2x(x+y)2-(x+y)3
确定一个多项式的公因式时，要从和两方面，分别进行考虑。
〔1〕如何确定公因式的数字系数？
〔2〕如何确定公因式的字母？字母的指数如何定？
练习：写出以下多项式各项的公因式
〔1〕8x－16〔2〕a2x2y－axy2
〔3〕4x2－2x〔4〕6a2b－4a3b3－2ab
3、把一个多项式写成几个整式积的形式的叫做多项式的因式分解
课题
9.5单项式乘多项式法那么的再认识——因式分解〔一〕
七年级数学下册9.5单项式乘多项式法则的再认识—因式分解一同步练习1(新版)苏科版【含解析】
9.5 单项式乘多项式法则的再认识—因式分解(一)一．选择题1．下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2 C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣42．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+13．已知a、b、c 为三正整数，且a、b的最大公因子为12，a、c的最大公因子为18．若a 介于50与100之间，则下列叙述何者正确？（）A．8是a的因子，8是b的因子B．8是a的因子，8不是b的因子C．8不是a的因子，8是c的因子D．8不是a的因子，8不是c的因子4．把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是（）A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（a﹣2） D．（a﹣2）2﹣45．把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（）A．2a（4a2﹣4a+1）B．8a2（a﹣1）C．2a（2a﹣1）2D．2a（2a+1）26．分解因式a2b﹣b3结果正确的是（）A．b（a+b）（a﹣b） B．b（a﹣b）2C．b（a2﹣b2）D．b（a+b）27．多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c 之值为何？（）A．0 B．10 C．12 D．228．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：州、爱、我、苏、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美 B．苏州游 C．爱我苏州 D．美我苏州9．设681×2019﹣681×2018=a，2015×2016﹣2013×2018=b，，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a10．多项式2x2﹣xy﹣15y2的一个因式为（）A．2x﹣5y B．x﹣3y C．x+3y D．x﹣5y11．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A．6a2b2=3ab•2ab B．2x2+8x﹣1=2x（x+4）﹣1C．a2﹣3a﹣4=（a+1）（a﹣4） D．12．下列因式分解错误的是（）A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y） B．x2+y2=（x+y）2C．x2+xy=x（x+y） D．x2+6x+9=（x+3）213．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（）①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x2﹣2x﹣1；④；⑤．A．1个B．2个C．3个D．4个14．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，判断△ABC的形状（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形15．10名运动员参加乒乓球比赛，其中每两名恰好比赛一场，比赛中，没有平局，第一名胜x1局，负y1局；第二名胜x2局，负y2局；...；第十名胜x10局，负y10局，若记M=x12+x22+ (x102)N=y12+y22+…+y102，则（）A．M＜N B．M＞NC．M=N D．M、N的大小关系不确定二．填空题16．分解因式：a3﹣4a2b+4ab2= ．17．若ab=2，a﹣b=﹣1，则代数式a2b﹣ab2的值等于．18．分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）= ．19．分解因式：4x2﹣4xy+y2= ．20．分解因式：（m+1）（m﹣9）+8m= ．21．分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2= ．22．将m3（x﹣2）+m（2﹣x）分解因式的结果是．三．解答题23．分解因式（1）x3﹣6x2+9x；（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）．24．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，所以x2+3x+2=x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）请仿照上面的方法，解答下列问题（1）分解因式：x2+7x﹣18=启发应用（2）利用因式分解法解方程：x2﹣6x+8=0；（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是．25．“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的关于x，y的二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a=a1•a2，把y2项系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c=c1•c2，并使a1•c2+a2•c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2=（a1x+c1y）（a2x+c2y）．例：分解因式：x2﹣2xy﹣8y2．解：如图1，其中1=1×1，﹣8=（﹣4）×2，而﹣2=1×2+1×（﹣4）．∴x2﹣2xy﹣8y2=（x﹣4y）（x+2y）而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2解：如图3，其中1=1×1，﹣3=（﹣1）×3，2=1×2；而2=1×3+1×（﹣1），1=（﹣1）×2+3×1，3=1×2+1×1；∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2=（x﹣y+1）（x+3y+2）请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①6x2﹣17xy+12y2=②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12=③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y=（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．26．通过对《因式分解》的学习，我们知道可以用拼图来解释一些多项式的因式分解．如图1中1、2、3号卡片各若干张，如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，你能通过拼图2形象说明a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）的分解结果吗？请在画出图形．27．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：32→32+22=13→12+32=10→12+02=1，70→72+02=49→42+92=97→92+72=130→12+32+02=10→12+02=1，所以32和70都是“快乐数”．（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数”．28．能被3整除的整数具有一些特殊的性质：（1）定义一种能够被3整除的三位数的“F”运算：把的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数．例如=213时，则：21336（23+13+33=36）243（33+63=243）．数字111经过三次“F”运算得，经过四次“F”运算得，经过五次“F”运算得，经过2016次“F”运算得．（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a，百位上的数字是b，十位上的数字为c，个为上的数字为d，如果a+b+c+d可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除．你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数为例即可）．29．生活中我们经常用到密码，例如支付宝支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2可以因式分解为（x ﹣1）（x+1）（x+2），当x=29时，x﹣1=28，x+1=30，x+2=31，此时可以得到数字密码283031．（1）根据上述方法，当x=15，y=5时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（2）已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）．30．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y，原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）=y2+8y+16 （第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．参考答案与试题解析一．选择题1．（2017•静安区一模）下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2 C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣4【分析】各项利用平方差公式及完全平方公式判断即可．【解答】解：A、原式不能分解；B、原式=（x+y）2﹣2=（x+y+）（x+y﹣）；C、原式=（x+y）（x﹣y）+4（x+y）=（x+y）（x﹣y+4）；D、原式=x2﹣（y﹣2）2=（x+y﹣2）（x﹣y+2），故选A【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．（2016•潍坊）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1【分析】先把各个多项式分解因式，即可得出结果．【解答】解：∵a2﹣1=（a+1）（a﹣1），a2+a=a（a+1），a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，∴结果中不含有因式a+1的是选项C；故选：C．【点评】本题考查了因式分解的意义与方法；熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键．3．（2016•台湾）已知a、b、c 为三正整数，且a、b的最大公因子为12，a、c的最大公因子为18．若a介于50与100之间，则下列叙述何者正确？（）A．8是a的因子，8是b的因子B．8是a的因子，8不是b的因子C．8不是a的因子，8是c的因子D．8不是a的因子，8不是c的因子【分析】根据a、b的最大公因子为12，a、c的最大公因子为18，得到a为12与18的公倍数，再由a的范围确定出a的值，进而表示出b，即可作出判断．【解答】解：∵（a，b）=12，（a，c）=18，∴a为12与18的公倍数，又[12，18]=36，且a介于50与100之间，∴a=36×2=72，即8是a的因子，∵（a，b）=12，∴设b=12×m，其中m为正整数，又a=72=12×6，∴m和6互质，即8不是b的因子．故选B【点评】此题考查了公因式，弄清公因式与公倍数的定义是解本题的关键．4．（2016•自贡）把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是（）A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（a﹣2） D．（a﹣2）2﹣4【分析】直接提取公因式a即可．【解答】解：a2﹣4a=a（a﹣4），故选：A．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．5．（2016•聊城）把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（）A．2a（4a2﹣4a+1）B．8a2（a﹣1）C．2a（2a﹣1）2D．2a（2a+1）2【分析】首先提取公因式2a，进而利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：8a3﹣8a2+2a=2a（4a2﹣4a+1）=2a（2a﹣1）2．故选：C．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．6．（2016•梅州）分解因式a2b﹣b3结果正确的是（）A．b（a+b）（a﹣b） B．b（a﹣b）2C．b（a2﹣b2）D．b（a+b）2【分析】直接提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：a2b﹣b3=b（a2﹣b2）=b（a+b）（a﹣b）．故选：A．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．7．（2016•台湾）多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（）A．0 B．10 C．12 D．22【分析】首先利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，继而求得a，b，c的值．【解答】解：利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，可得：77x2﹣13x﹣30=（7x﹣5）（11x+6）．∴a=﹣5，b=11，c=6，则a+b+c=（﹣5）+11+6=12．故选C．【点评】此题考查了十字相乘法分解因式的知识．注意ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）．8．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：州、爱、我、苏、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美 B．苏州游 C．爱我苏州 D．美我苏州【分析】对（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，即可得到结论．【解答】解：∵（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2=（x2﹣y2）（a2﹣b2）=（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b），∵x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四个代数式分别对应爱、我，苏，州，∴结果呈现的密码信息可能是“爱我苏州”，故选C．【点评】本题考查了公式法的因式分解运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．9．（2016•厦门）设681×2019﹣681×2018=a，2015×2016﹣2013×2018=b，，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【分析】根据乘法分配律可求a，将b变形为2015×2016﹣（2015﹣2）×（2016+2），再注意整体思想进行计算，根据提取公因式、平方差公式和算术平方根可求c，再比较大小即可求解．【解答】解：∵a=681×2019﹣681×2018=681×（2019﹣2018）=681×1=681，b=2015×2016﹣2013×2018=2015×2016﹣（2015﹣2）×（2016+2）=2015×2016﹣2015×2016﹣2×2015+2×2016+2×2=﹣4030+4032+4=6，c=====＜681，∴b＜c＜a．故选：A．【点评】本题考查了因式分解的应用，熟记乘法分配律、平方差公式的结构特点是解题的关键．注意整体思想的运用．10．多项式2x2﹣xy﹣15y2的一个因式为（）A．2x﹣5y B．x﹣3y C．x+3y D．x﹣5y【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出即可．【解答】解：2x2﹣xy﹣15y2=（2x+5y）（x﹣3y）．故选：B．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，熟练应用十字相乘法分解因式是解题关键．11．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A．6a2b2=3ab•2ab B．2x2+8x﹣1=2x（x+4）﹣1C．a2﹣3a﹣4=（a+1）（a﹣4）D．【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．【解答】解：A、是单项式乘单项式的逆运算，不符合题意；B、右边结果不是积的形式，不符合题意；C、a2﹣3a﹣4=（a+1）（a﹣4），符合题意；D、右边不是几个整式的积的形式，不符合题意．故选C．【点评】本题考查了因式分解的意义．这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断；同时还要注意变形是否正确．12．下列因式分解错误的是（）A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）B．x2+y2=（x+y）2C．x2+xy=x（x+y）D．x2+6x+9=（x+3）2【分析】分别利用平方差公式以及完全平方公式和提取公因式法分别分解因式进而判断即可．【解答】解：A、x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），正确，不合题意；B、x2+y2，无法分解因式，故此选项正确；C、x2+xy=x（x+y），正确，不合题意；D、x2+6x+9=（x+3）2，正确，不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用公式分解因式是解题关键．13．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（）①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x2﹣2x﹣1；④；⑤．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】分别利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：①x2﹣10x+25=（x﹣5）2，不符合题意；②4a2+4a﹣1不能用完全平方公式分解；③x2﹣2x﹣1不能用完全平方公式分解；④=﹣（m2﹣m+）=﹣（m﹣）2，不符合题意；⑤不能用完全平方公式分解．故选：C．【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键．14．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，判断△ABC的形状（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【分析】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断△ABC的形状．【解答】解：由a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，得a4+b2c2﹣a2c2﹣b4=（a4﹣b4）+（b2c2﹣a2c2）=（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）=（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）=（a+b）（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，∵a+b＞0，∴a﹣b=0或a2+b2﹣c2=0，即a=b或a2+b2=c2，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．15．10名运动员参加乒乓球比赛，其中每两名恰好比赛一场，比赛中，没有平局，第一名胜x1局，负y1局；第二名胜x2局，负y2局；...；第十名胜x10局，负y10局，若记M=x12+x22+ (x102)N=y12+y22+…+y102，则（）A．M＜N B．M＞NC．M=N D．M、N的大小关系不确定【分析】根据题意，对M和N作差，然后与零比较大小即可解答本题．【解答】解：由题意可得，x n+y n=9，∴y n=（9﹣x n），∴M﹣N=x12+x22+…+x102﹣（y12+y22+…+y102）=x12+x22+…+x102﹣，=﹣810+18（x1+x2+…+x10），∵10名运动员参加乒乓球比赛，其中每两名恰好比赛一场，比赛中，没有平局，x1+x2+…+x10=45，∴﹣810+18（x1+x2+…+x10）=﹣810+18×45=﹣810+810=0，∴M=N，故选C．【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．二．填空题16．分解因式：a3﹣4a2b+4ab2= a（a﹣2b）2．【分析】首先提公因式a，然后利用完全平方公式即可分解．【解答】解：原式=a（a2﹣4ab+4b2）=a（a﹣2b）2．故答案是：a（a﹣2b）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．17．（2016•黔南州）若ab=2，a﹣b=﹣1，则代数式a2b﹣ab2的值等于﹣2 ．【分析】首先提取公因式ab，进而将已知代入求出即可．【解答】解：∵ab=2，a﹣b=﹣1，∴a2b﹣ab2=ab（a﹣b）=2×（﹣1）=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．18．（2016•南京）分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）= （b+c）（2a﹣3）．【分析】直接提取公因式b+c即可．【解答】解：原式=（b+c）（2a﹣3），故答案为：（b+c）（2a﹣3）．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．19．（2016•赤峰）分解因式：4x2﹣4xy+y2= （2x﹣y）2．【分析】符合完全平方公式的特点：两项平方项，另一项为两底数积的2倍，直接利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：4x2﹣4xy+y2，=（2x）2﹣2×2x•y+y2，=（2x﹣y）2．【点评】本题考查运用完全平方公式分解因式，熟练掌握公式结构特点是解题的关键．20．（2016•荆门）分解因式：（m+1）（m﹣9）+8m= （m+3）（m﹣3）．【分析】先利用多项式的乘法运算法则展开，合并同类项后再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：（m+1）（m﹣9）+8m，=m2﹣9m+m﹣9+8m，=m2﹣9，=（m+3）（m﹣3）．故答案为：（m+3）（m﹣3）．【点评】本题考查了利用公式法分解因式，先利用多项式的乘法运算法则展开整理成一般多项式是解题的关键．21．（2016•威海）分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2= 3（a+b）（a﹣b）．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=（2a+b+a+2b）（2a+b﹣a﹣2b）=3（a+b）（a﹣b）．故答案为：3（a+b）（a﹣b）．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．22．（2016•贺州）将m3（x﹣2）+m（2﹣x）分解因式的结果是m（x﹣2）（m﹣1）（m+1）．【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．【解答】解：原式=m（x﹣2）（m2﹣1）=m（x﹣2）（m﹣1）（m+1）．故答案为：m（x﹣2）（m﹣1）（m+1）．【点评】本题考查的是多项式的因式分解，掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．三．解答题23．分解因式（1）x3﹣6x2+9x；（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）．【分析】（1）原式提取x，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式=x（x2﹣6x+9）=x（x﹣3）2；（2）原式=a2（x﹣y）﹣4（x﹣y）=（x﹣y）（a2﹣4）=（x﹣y）（a+2）（a﹣2）．【点评】此题考查了因式分解﹣分组分解法，以及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．24．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，所以x2+3x+2=x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）请仿照上面的方法，解答下列问题（1）分解因式：x2+7x﹣18= （x﹣2）（x+9）启发应用（2）利用因式分解法解方程：x2﹣6x+8=0；（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是7或﹣7或2或﹣2 ．【分析】（1）原式利用题中的方法分解即可；（2）方程利用因式分解法求出解即可；（3）找出所求满足题意p的值即可．【解答】解：（1）原式=（x﹣2）（x+9）；（2）方程分解得：（x﹣2）（x﹣4）=0，可得x﹣2=0或x﹣4=0，解得：x=2或x=4；（3）﹣8=﹣1×8；﹣8=﹣8×1；﹣8=﹣2×4；﹣8=﹣4×2，则p的可能值为﹣1+8=7；﹣8+1=﹣7；﹣2+4=2；﹣4+2=﹣2．故答案为：（1）（x﹣2）（x+9）；（3）7或﹣7或2或﹣2．【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，弄清题中的分解因式方法是解本题的关键．25．“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的关于x，y的二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a=a1•a2，把y2项系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c=c1•c2，并使a1•c2+a2•c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2=（a1x+c1y）（a2x+c2y）．例：分解因式：x2﹣2xy﹣8y2．解：如图1，其中1=1×1，﹣8=（﹣4）×2，而﹣2=1×2+1×（﹣4）．∴x2﹣2xy﹣8y2=（x﹣4y）（x+2y）而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2解：如图3，其中1=1×1，﹣3=（﹣1）×3，2=1×2；而2=1×3+1×（﹣1），1=（﹣1）×2+3×1，3=1×2+1×1；∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2=（x﹣y+1）（x+3y+2）请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①6x2﹣17xy+12y2= （3x﹣4y）（2x﹣3y）②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12= （x﹣2y+3）（2x+3y﹣4）③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y= （x﹣3y）（x+2y+2）（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．【分析】（1）①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可；③同②的方法分解；（2）用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m值．【解答】解：（1）①6x2﹣17xy+12y2=（3x﹣4y）（2x﹣3y），②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12=（x﹣2y+3）（2x+3y﹣4），③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y=（x﹣3y）（x+2y+2），故答案为：①（3x﹣4y）（2x﹣3y），②（x﹣2y+3）（2x+3y﹣4），③（x﹣3y）（x+2y+2），（2）如图，m=3×9+（﹣8）×（﹣2）=43或m=9×（﹣8）+3×（﹣2）=﹣78．【点评】此题是因式分解﹣十字相乘法，主要考查了二元二次多项式的分解因式的方法，解本题的关键是选好那个字母当做常数对待，再用十字相乘法分解．26．通过对《因式分解》的学习，我们知道可以用拼图来解释一些多项式的因式分解．如图1中1、2、3号卡片各若干张，如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，你能通过拼图2形象说明a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）的分解结果吗？请在画出图形．【分析】根据题意可知：a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b），可以看作长为a+2b，宽为a+b的长方形面积，由此画出图形．【解答】解：如图所示：∵大长方形的面积=a2+3ab+2b2，大长方形的面积=（a+b）（a+2b），∴a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）．【点评】此题主要考查因式分解的运用，注意利用已知的等式转化为图形解决问题，这是数形结合思想的运用．27．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：32→32+22=13→12+32=10→12+02=1，70→72+02=49→42+92=97→92+72=130→12+32+02=10→12+02=1，所以32和70都是“快乐数”．（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数”．【分析】（1）根据“快乐数”的定义计算即可；（2）设三位“快乐数”为100a+10b+c，根据“快乐数”的定义计算．【解答】解：（1）∵12+02=1，∴最小的两位“快乐数”10，∵19→12+92=82→82+22=68→62+82=100→12+02+02=1，∴19是快乐数；证明：∵4→37→58=68→89→125→30→9→81→65→61→37，37出现两次，所以后面将重复出现，永远不会出现1，所以任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4．（2）设三位“快乐数”为100a+10b+c，由题意，经过两次运算后结果为1，所以第一次运算后结果一定是10或者100，则a2+b2+c2=10或100，∵a、b、c为整数，且a≠0，∴当a2+b2+c2=10时，12+32+02=10，①当a=1，b=3或0，c=0或3时，三位“快乐数”为130，103，②当a=2时，无解；③当a=3，b=1或0，c=0或1时，三位“快乐数”为310，301，同理当a2+b2+c2=100时，62+82+02=100，所以三位“快乐数”有680，608，806，860．综上一共有130，103，310，301，680，608，806，860八个，又因为三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，所以只有310和860满足已知条件．【点评】本题考查的是因式分解的定义、“快乐数”的定义，正确理解“快乐数”的定义、掌握分情况讨论思想是解题的关键．28．能被3整除的整数具有一些特殊的性质：（1）定义一种能够被3整除的三位数的“F”运算：把的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数．例如=213时，则：21336（23+13+33=36）243（33+63=243）．数字111经过三次“F”运算得351 ，经过四次“F”运算得153 ，经过五次“F”运算得153 ，经过2016次“F”运算得153 ．（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a，百位上的数字是b，十位上的数字为c，个为上的数字为d，如果a+b+c+d可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除．你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数为例即可）．【分析】（1）根据“F运算”的定义得到111经过三次“F运算”的结果，经过四次“F运算”的结果，经过五次“F运算”的结果，经过2016次“F运算”的结果即可；（2）首先根据题意可设a+b+c+d=3e，则此四位数1000a+100b+10c+d可表示为999a+99b+9c+a+b+c+d，即3（333a+33b+3c）+3e，所以可得这个四位数就可以被3整除．【解答】（1）解：1113（13+13+13=3）27（33=27）351（23+73=351）153（33+53+13=153）153（13+53+33=153）153（33+53+13=153）．故数字111经过三次“F”运算得351，经过四次“F”运算得153，经过五次“F”运算得153，经过2016次“F”运算得 153．（2）证明：设a+b+c+d=3e（e为整数），这个四位数可以写为：1000a+100b+10c+d，∴1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d=3（333a+33b+3c）+3e，∴=333a+33b+3c+e，∵333a+33b+3c+e是整数，∴1000a+100b+10c+d可以被3整除．故答案为：351，153，153，153．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．同时考查了数的整除性问题．注意四位数的表示方法与整体思想的应用．29．生活中我们经常用到密码，例如支付宝支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2可以因式分解为（x ﹣1）（x+1）（x+2），当x=29时，x﹣1=28，x+1=30，x+2=31，此时可以得到数字密码283031．（1）根据上述方法，当x=15，y=5时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（2）已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）．【分析】（1）先分解因式得到x3﹣xy2=x（x﹣y）（x+y），然后利用题中设计密码的方法写出所有可能的密码；（2）利用勾股定理和周长得到x+y=13，x2+y2=121，再利用完全平方公式可计算出xy=24，然后与（1）小题的解决方法一样．【解答】解：（1）x3﹣xy2=x（x﹣y）（x+y），当x=15，y=5时，x﹣y=10，x+y=20，可得数字密码是151020；也可以是152010；101520；102015，201510，201015；（2）由题意得：解得xy=24，而x3y+xy3=xy（x2+y2），所以可得数字密码为24121．【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题；考查了用类比的方法解决问题；（2）小题中计算出xy 的值为解决问题的关键．30．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y，原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）=y2+8y+16 （第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C ．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？不彻底．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果（x﹣2）4．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；（3）将（x2﹣2x）看作整体进而分解因式即可．【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；故选：C；（2）该同学因式分解的结果不彻底，原式=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4；故答案为：不彻底，（x﹣2）421。
苏科版七年级下册 9.5多项式的因式分解课件(共18张) (1)
，分
解因式的结果是
.
2．选做题：
（1）已知2x＋y＝b，x－3y＝1， 求14y（x－3y）2－4（3y－x）3的值．
（2）已知a＋b＝5，ab＝3， 求代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值．
谢谢！
a2－b2＝（a＋b）（a－b）
完全平方公式：
a2±2ab＋b2＝（a±b）2
说明：
公式中a、b可以是具体的数，也可以是任
意的单项式和多项式.
活动三--当堂检测
例1 把下列各式分解因式．
（1）18a2－50； （2）2x2y－8xy＋8y； （3）a2（x－y）－b2（x－y）．
• 解（1）原式=2（9a2-25）
•
=2[(3a)2-52]
•
=2(3a+5)(3a-5)
• (2)原式=2y（x2-4x+4）
•
=2y(x-2)2
• (3)原式=（x-y）(a2-b2)
•
=(x-y)(a+b)(a-b)
例2 把下列各式分解因式．
（1）a4－16； （2）81x4－72x2y2＋16y4．
例3 分解因式：
（1）（a2＋b2）2－4a2b2； （2）（x2－2x）2＋2（x2－2x）＋1
• 你能用两个边长分别为a、b的正方形 ，两个长和宽分别为a、b的长方形通过拼
图，来描述运用完全平方公式分解因式的 多项式的特征吗？
如何把多项式进行ห้องสมุดไป่ตู้式分解.
一提 二套
三查
活动五--拓展延伸
1．（必做题）
（1）课本P87习题9.5第8题；
（2）请写出一个三项式，使它能先提公因式，再
运用公式法来分解因式，你编的三项式是
七年级数学下册9.5单项式乘多项式的再认识因式分解一测试题
9.5单项式乘多项式的再认识－因式分解(一)制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、填空题1. 多项式24ab 2－32a 2b 提出公因式是. 2. )2(_______)(63322+-=+-a a b ab b a .3. 当x=x －4x=____ _____.4. 假设m 、n 互为相反数，那么5m ＋5n －5＝__________．5. 分解因式：=---22)()(n m y n m x . 二、选择题6. 以下式子由左到右的变形中，属于因式分解的是〔 〕A ．22244)2(y xy x y x ++=+ B.3)1(4222+-=+-x y xC. )1)(13(1232-+=--x x x xD.mc mb ma c b a m ++=++)(7.多项式－5mx 3+25mx 2－10mx 各项的公因式是2 B.－5mx3 C. mx D.－5mx8.在以下多项式中，没有公因式可提取的是22+3x 2y 2346x x -+的值是9，那么2463x x -+的值是 A ．18 B ．12 C ．9 D ．710. 20082009)8()8(-+-能被以下数整除的是〔 〕 A ．3B ．5C ．7D ．9 三、解答题11.把以下各式分解因式：⑴18a 3bc -45a 2b 2c 2； ⑵－20a －15ab ；⑶18xn ＋1－24x n ； ⑷〔m ＋n 〕〔x －y 〕－〔m ＋n 〕〔x ＋y 〕；⑸15〔a －b 〕2－3y 〔b －a 〕； ⑹c b c b a 33)(22+--.12.计算：⑴39×37-13×81； ⑵29×+72×+13×-×14.13.312=-y x ，2=xy ，求 43342y x y x -的值.14. 串联电路的电压U ＝IR 1+IR 2+IR 3,当R 1＝，R 2=18.5,R 3时，求U 的值.15. 把以下各式分解因式：－ab〔a－b〕2＋a〔b－a〕2－ac〔a－b〕2.16. a＋b＝－4，ab＝2，求多项式4a2b＋4ab2－4a－4b的值.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。
江苏省淮安市开明中学七年级数学下册 9.5《乘法公式的再认识—因式分解》(2运用完全平方公式分解因式
=(x+4)2
(2)25a4+10a2+1
=(5a2)2+2×5a2+1
=(5a2+1)2
(3)（m+n）2-4（m+n）+4
=（m+n）2-2×2（m+n）+22
=[( m+n)-2]2
=( m+n-2)2
解:81x4-72x2y2+16y4
=9x2-2·9x2·4y2+(4y2)2
2 把81x4-72x2y2+16y4分解因式.
（本题用了两次乘法公式，难度稍大，教师要鼓励学生大胆尝试，敢于创新）
将乘法公式反过来就得到多项式因式分解的公式。运用这些公式把一个多项式分解因式的方法叫做运用公式法 。
练习：第88页练一练第1、2题
小结：
这节课你学到了什么知识，掌握什么方法？
教学素材：
重 点
运用完全平方公式分解因式
难 点
灵活运用完全平方公式分解因式
教学方法对比发现法课型新授课教具
投影仪
教 师 活 动
学 生 活 动
复习巩固：上节课我们学习了运用平方差公式分解因式，请同学们先阅读课本87—88页，看看你能有什么发现？
新课讲解：
（投影）我们把形如a2+2ab+b2与a2-2ab+b2叫做完全平方式，和平方差公式一样，我们也可以利用它把一些多项式因式分解。例如：
=(9x2-4y)2
=[(3x+2y) (3x-2y)]2
=(3x+2y)2(3x-2y)2
师生阅读88页
学生归纳总结
作业
苏科版七下 9.5单项式乘多项式法则的再认识 课件
创设情景
一块场地由三个矩形组成，这些 矩形的长分别为2.8, 4.9,2.3; 宽都 是375,求这块场地的面积.
方法一
2.8×375+4.9 ×375 +2.3 ×375
方法二
(2.8+4.9 +2.3 )×375
变式：将矩形的长分别改为b、c、 d，宽改为a．
运用提公因式法进行多项式因式分解 的前提条件是什么？
反思
所学的解题过程，我们应用了如下关系：
xy(yx); (xy)2 (yx)2;
(xy)3 (yx)3;(xy)4 (yx)4
你发现了什么？
（1）当n为正偶数时，(x-y)n=__(_y_-_x_)_n__; （2）当n为正奇数时，(x-y)n=___-(_y_-_x_)_n_;
(3)9abc6a2b212abc2
因式分解 整式乘法
3ab(3c2ab4c2)
把一个多项式写成几个整式的积的形 式叫做多项式的因式分解.
想一想 因式分解的依据是什么?
练一练
1、判断下列各式由左边到右边的变形，哪些
是因式分解，哪些不是？
（1）ab+ac+ad=a(b+c)+d
(2) a2-1=(a+1)(a-1)
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
练一练
5、利用因式分解计算
2.37×52.5+0.63×52.5-2×52.5
6、计算：
(2)2000(2)2001
7如图，长方形的长为a，宽为b，试说 明长方形中带有阴影的三角形的面积之 和，等于该长方形面积的一半。
苏科版七年级数学下册第九章《9.5多项式的因式分解》优课件(1)
9.5 多项式的因式分解（1）
观察多项式ab＋ac＋ad的每一项，你有什么 发现吗？
a 是多项式ab＋ac＋ad各项都含有的因式． 一个多项式各项都含有的因式， 称为这个多项式各项的公因式．
例如a就是多项式ab＋ac＋ad各项的公因式．
9.5 多项式的因式分解（1）
找出下列多项式各项的公因式并填写下表．
多项式的公因式一般来说是一个单项式，但有时也 会是一个多项式；这时只要把那个多项式看成一个整体 作为原多项式的公因式即可．
9.5 多项式的因式分解（1）
把下列各式分解因式： （1）x（a＋b）－y（a＋b）； （2）a（x－a）＋b（a－x）－c（x－a）.
9.5 多项式的因式分解（1）
因式分解与整式乘法有什么联系和区别？
区别： 整式乘法：有几个整式积的形式转化成一个多项式
的形式． 因式分解：有一个多项式的形式转化成几个整式的
积的形式．
联系： 多项式的因式分解与整式乘法是两种相反方向
的变形，它们互为逆过程．
9.5 多项式的因式分解（1）
【课后作业】 1．（必做题）课本P87习题第1、2题； 2． （选做题）思考：
（1）20042＋2004能被2005整除吗? （2）如果n是自然数，那么n2＋n是奇数还是偶数？
三看指数：相同字母的指数取次数最低的．
9.5 多项式的因式分解（1）
填空并说说你的方法：
（1）a2b＋ab2＝ab（
）
（2）3x2－6x3＝3x2（
）
（3）9abc－6a2b2＋12abc2＝3ab（
）
像这样，把一个多项式写成几个整式的积的 形式叫做多项式的因式分解．
想一想 ：因式分解的依据是什么?
苏科初中数学七年级下册《9.6 乘法公式的再认识-因式分解(二)》教案.doc
(2) (a+b)(a-b)=;
(3) (3a+2b)(3a-2b)=.
2．下 面请你根据上面的算式填空:
(1)a2-4= ;
(2)a2-b2=;
(3)9a2-4b2=;
二．建构活动:
（1）解答以上问题，并说说解答上述问题的依据．
（2）你还能提出类似的问题并解决这些问题吗？写一写，议一议．
（1 ）说说因式分解与整式乘法的联系与区别；
（ 2）说说如何用平方差公式分解因式；
（）如何将 分解因式？
二次备课
（方法和手段、改进建议）
作业
设计
教学反思
教
学
过
程
设
计
一、问题情境：
（1）同学们，你能很快知道992-1是100的倍数吗？你是怎么想出来的？
（学生或许还有其他不同的解决方法，教师要给予充分的肯定）
（2）你能将多项式 分解因式吗？
注：由学生自己先做(或互相讨论)，然后 回答，若有答不全的，教师(或其他学生)补充．
首先我们来做下面两题：
1.计算下列各式:
（A） （B）
（C） （D）
3.把下列各式分解因式
(1) 1-16a2(2)9a2x2-b2y2
(3).49(a-b)2-16(a+b)2
4. 把下列各式分解因式：
1.( -2)2-9
2.( + )2-( - )2
3.-25( + )2+4( - )2
点评：运用平方差公 式因式分解的一般步骤是：
（1）还原成平方差的形式
（2）运用 公式写成两数和与两数差的积 的形式
（3）分别在括号内合并同类项
七年级数学下册 9.5 单项式乘多项式法则的再认识—因式分解(一)同步练习2 苏科版(2021年整
七年级数学下册9.5 单项式乘多项式法则的再认识—因式分解(一)同步练习2 （新版）苏科版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（七年级数学下册9.5 单项式乘多项式法则的再认识—因式分解(一)同步练习2 （新版）苏科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为七年级数学下册9.5 单项式乘多项式法则的再认识—因式分解(一)同步练习2 （新版）苏科版的全部内容。
9.5 单项式乘多项式法则的再认识—因式分解(一）1．下列从左到石的变彤中，属于分解因式的是 （ ）A ．(x+1)(x －2）=x 2－x －2B ．x 2－2x+l=x(x －2)+lC ．(3x －y) 2=9x 2－6xy+y 2D ．x 2－y 2=（x+y)(x －y ）2．多项式( )分解因式的结果是22m m n n ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． A ．224m n -+ B ．224m n -- C ．224m n + D ．224m n - 3．对x 2－3x+2分解因式，结果为 ( )A ．x(x －3)+2B ．（x －1)（x －2）C ．（x －1）(x+2)D ．（x+1）(x －2)4．下列各式中，从等式左边到等式右边的变形属于因式分解的是 ( )A ．a b －a －b+1=a (b －1）－b+1B ．a b －a －b+1=a b(1－1b －1a +1ab ）C ．(a －1）（b －1）a b －a －b+1D ．a b －a +b －l=(a +1)（b －1）5．将多项式x 2－3x －4分解因式的结果是 ( )A ．（x －4）（x+1）B ．（x －4）(x －1）C ．(x+4）（x+1)D ．(x+4)(x －1）6．把一个________化成________的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．7．运算5a (4a －b 2）=20a 2－5a b 2是_______运算；运算20a 2－5a b 2=5a 4a －b 2)是____．8．分解因式：a 2+a b=______________．9．如果多项式a x+B 可分解为a (x －y ），则B 等于_____________．10．如果A ÷(2x －1)=(3x+2），那么多项式A 可以分解因式为___________．11．下列各式从左边到右边的变形哪些是因式分解，哪些不是？(1）x 2+x=x （1+1x）； （2)a 2－26=（a +5）（a －5）－1；(3）(m+n）（m－n）=m2－n2；（4)x2+4x+4=（x+2) 2;（5）3x2－2xy+x=x（3x－2y）．12．某高速公路全长为1500千米，初二学生组成的优秀学生游学团第一天行了全程的56％,第二天行了全程的44％．问两天共行了多少千米?13．20082+2008能被2008整除吗？能被2009整除吗？为什么?14．请指出下列各式中从左到右的变形哪个是分解因式（1）x2－2=(x+1)（x－1)－1(2）（x－3)(x+2）=x2－x+6（3)3m2n－6mn=3mn（m－2)（4)ma+mb+mc=m（a+b)+mc(5）a 2－4ab+4b2=(a－2b） 215．已知关于x的二次三项式3x2+mx+n因式分解的结果是（3x+2)(x－1），求m,n的值．16．通过本节的学习,你对分解因式有了一定的了解，那么你能说出整式的乘法和分解因式之间的区别和联系吗？你能根据这二者之间的关系，解决下面这个问题吗？试试看．m为何值时，y2－3y+m有一个因式为y－4？参考答案1．D 2．D 3．B 4．D 5．A6．多项式几个整式的积7．整式乘法分解因式8．a（a+b）9．－a y10．(3x+2)(2x－1）11．（1）(2）（3)(5）不是因式分解,(4）是因式分解．12．两天共行驶了1500千米．13．20082+2009能被2008整除，也能被2009整除．因为20082+2008=2008×(2008+1)=2008×200914．(3)、(5)式中从左到右的变形是分解因式．15．因为(3x+2）（x－1)=3x2+2x－3x－2=3x－2=3x2－x－2所以由恒等式的性质可知：m=－1．n=－2．16．设y2－3y+m=（y－4)(y+k)而（y －4）(y+k ）=y 2+ky －4y －4k=y 2+(k －4）y －4k434k m k -=-⎧∴⎨=-⎩，解得14k m =⎧⎨=-⎩．∴当m=－4时，y 2－3y+m 有一个因式为y －4．。
苏科版数学七年级下册单项式乘多项式法则的再认识.docx
初中数学试卷桑水出品单项式乘多项式法则的再认识——因式分解(一)1．下列式子由左到右的变形中，属于因式分解的是( ) A．(x＋2y)2＝x2＋4xy＋4y2B．x2－2x＋4＝(x－1)2＋3C．3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1) D．m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc 2．在下列多项式中，没有公因式可提取的是( )A．3x－4y B．3x＋4xy C．4x2－3xy D．4x2＋3x2y 3．多项式－5mx3＋25mx2－10mx各项的公因式是( )A．5mx2B．－5mx3C．mx D．－5mx 4．(1)分解因式：x2＋6x＝_______．(2)分解因式：3ab2＋a2b＝_______．(3)多项式24ab2－32a2b提出的公因式是_______．(4)当x＝90.28时，8.37x＋5. 63x－4x＝_______．(5)已知2x－y＝13，xy＝2，则2x4y3－x3y4＝_______．5．把下列各式分解因式：(1) 18a3bc－45a2b2c2；(2) －20a－15ab；(3) 18x n+1－24x n；(4)(m＋n)(x－y)－(m＋n)(x＋y)；(5) 15(a－b)2－3y(b－a)；(6)－ab(a－b)2＋a(b－a)2－ac(a－b)2．6．把6m2(x－y)2－3m(x－y)3分解因式时，应提出的公因式是( )A．3m B．(x－y)3C．3m(x－y)2 D．3(x－y)27．若a＋b＝6，ab＝7，则a2b＋ab2的值是( )A．13 B．1 C．42 D．548．多项式4x3y－m可以分解成4xy(x2－y2＋ab)，则m的值为( ) A．－4xy3＋4abxy B．－4xy3－4abxyC．4xy3＋4abxy D．4xy3－4abxy9．x2＋3x＋c分解因式得(x＋1)(x＋2)，则c＝_______．10．把下列各式分解因式：(1) 4xyz－4x2yz－12xy2z；(2) 20a m+1b2n+4－12a2m+1b m+2；(3) x2(x＋y)(y－x)－xy(x＋y)(x－y)；(4)－20c(a－b)2－25(b－a)3．11．计算：(1) 39×37－13×81；(2) 29×20.1＋72×20.1＋13×20.1－20.1×14．12．已知x＋2y－3z＝－13，xyz＝2，求32x2yz＋3xy2z－92xyz2的值．13．已知x3＋x2＋x＋1＝0，求x2004＋x2003＋x2002＋…＋x2＋x＋1的值．参考答案1．C 2．A 3．D 4．(1) x(x＋6) (2) ab(3b＋a) (3) 8ab(4) 902.8 (5) 8 35．(1) 9a2bc(2a－5bc) (2) －5a(4＋3b) (3) 6x n(3x－4) (4) －2y(m＋n)(5) 3(a－b)(5a－5b＋y) (6) －a(a－b)2(b－1＋c)6．C 7．C 8．D 9．2 10．(1)4xyz(1－x－3y) (2) 4a m+1b m+2(5b m+2－3a m)(3) x(x＋y)2(y－x) (4) －5(b－a)2(4c＋5b－5a) 11．(1) 390 (2)2 010 12．－1 13．1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
9.5单项式乘多项式的再认识－因式分解(一)
一、学习目标
认识公因式，利用单项式乘多项式法则因式分解。
二、重点难点
用提公因式法因式分解。
三、自学交流
1、问题：计算375×2.8+375×4.9+375×2.3
2、(1)讨论上题的两种计算方法,分别提出各自的依据,
然后比较哪种方法简便. (2)类似地,ab+ac+ad=
3、了解以下知识点 （1）因式分解；
（2）因式分解与整式乘法的关系；
（3）提公因式法；
四、展示点评
例1：把下列各式分解因式：
⑴ 6a 3b – 9a 2b 2c ；
⑵6a 3b -9a 2b 2c +3a 2b
(3) -8a 2b 2+4a 2b -2a b
例2：把下式分解因式：()()y x b y x a +-+23
例3：分解因式：(1) ()()a b y b a x -+- (2) ()()23126m n n m ---
五、达标检测
下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是？
8a3bx+12a2b2y
（1）a b +a c +d =a (b +c )+d ； （2）a 2-1=(a +1)(a -1)；
（3）(a +1)(a -1)=a 2-1．
1． （1）将多项式-5a 2+3a b 提出公因式-a 后,另一个因式是 ；
（2）把多项式4(a +b )-2a (a +b )分解因式,应提出公因式 ．
2． 把下列各式分解因式；
（1）4x 2-12x 3；
（2）y xy y x 542-+-．
3． 计算：2.37×52.5+0.63×52.5-4×52.5；
4． 把下列各式分解因式：
（1）()()x y x y x x -+-632；
（2）()()223155a b a b a a ---；
六、反馈反思。