概率二单元测试答案

概率统计阶段测试题（二）
参考答案及解答
一、填空题： 1.
115
解：由概率分布的性质有
{}3
1
1k P X
k ===∑，即(12345)151C C ++++==，
故 115
C =
2.
3
1
解：()~2X B p
，，则{}()
()2210,1,2k
k
k
P X k C p
p k -==-=
{}{}()2
11011P X P X p ∴
≥=-==--59
=
故 13
p =
3.
12π
解：()2
0,X N σ 服从正态分布
，(0)p ∴
=
=故 12σπ
=
4. 1.5
1e
--
解：()0.015,X e
服从指数分布
故 100
0.015 1.5
(100)1(100)10.0151x
P X P X e
dx e
-->=-<=-=-⎰
5. 2
7e -
解：由于随机变量X 服从泊松分布, 则(),0,1,2,!
k
P X k e
k k λ
λ
-==
=
(1)(2)P X P X === ，2
(1)(2)1!
2!
P X e
P X e
λ
λ
λλ
--=====
2λ∴=
故 4
2
2
2
(4)7!
k
k P X e
e
k --=≤=
=∑
二、单项选择题： 1. (C ) 解：
由分布函数的性质，知 ()()()121F F F +∞=+∞=+∞= 则 1=-b a ，经验证只有C 满足， 故选择()C 2. (A )
解：由概率密度的性质，有()1p x dx +∞-∞
=⎰
，则
3322
0sin cos 1xdx x
π
π
=-=⎰
故选择(A )
3. (D )
4. (C ) 解：y x =-
是单减函数，其反函数为 ()x g y y ==-，求导数得 ()1g y '=-
∴ 由公式，X Y -=的密度为()()()()Y p y p g y g y p y '==-⎡⎤⎣⎦
故选择()C 5. ()B
三、计算与应用题：
1. 解：设X 为抽取的次数，由题意只有3个旧球, 所以X 的可能取值为：1234，，，
由古典概型，得
{}931124P X ∴
===
{}4491191232=⨯==X P
{}22091091121233=⨯⨯==X P
{}220
19910
111
212
34=
⨯
⨯⨯=
=X P
故抽取次数X 的概率分布为
2. 解：设X 表示同一时刻需用小吊车的人数，则X 是一个随机变量，由题意有165X B ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
服从，
， {}()66140,1,,655k
k
k P X k C k -⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，于是
（1）X 的最可能值为概率{}P X k =达到最大的0k ，则
()011715k n p ⎡
⎤=+=⨯=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦
即在同一时刻用小吊车的人数的最可能值为1人。

（2）设A 表示“耽误工作”，则同一时刻需用小吊车的人数X 大于2， 故 {}{
}()212
P A P X P X =>=-≤ {}2
1i P X i ==-
=∑
62
60
14155i
i
i i C -=⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭∑0.0989=
即因为小吊车不够而耽误工作的概率是0.0989。

3. 解：（1）由
2
()11C p x dx dx x
+∞
+∞-∞
-∞
==⎰⎰
，则 ， 可得 100=C
（2）串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作，而这里三个元件的工作是相互 独立的，因此，若用A 表示“线路正常工作”，则
()()3
150P A P X =>⎡⎤⎣⎦
而 {}2
150
10021503
P X dx x
+∞
>=
=
⎰
故 ()3
28327P A ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
即串联线路使用150小时正常工作的的概率是827。

4. 解：因为某种电池的寿命是一个随机变量X ，且服从正态分布()300N 2，35,
2
2
30035EX D X μσ
====，
（1）{}{}2503002501250135P X P X -⎛⎫
>=-≤=-Φ
⎪⎝⎭
505013535⎛⎫⎛⎫
=-Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
＝()()()1X
X Φ-=-Φ
{}()50250 1.42835P X ⎛⎫
∴>=Φ=Φ ⎪⎝⎭
（查正态分布表）0.9236=
即电池寿命在250小时以上的概率是0.9236。

（2）由题意 {}3003003003003003003535a a P a X a +---⎛⎫⎛⎫
-<<+=Φ-Φ
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3535a a ⎛⎫⎛⎫
=Φ-Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2135a ⎛⎫=Φ- ⎪⎝⎭0.9=
故 10.9
0.95352a +⎛⎫Φ=
=
⎪⎝⎭
查表得 57.75a = 即使电池寿命在()300300a a -+，＝(242.25，357.75)内的概率不小于0.9。

5. 解: 设X 表示某校一年级学生期末数学成绩
(
) (75,100),(0,1)
()
85(1)0.8413
(85)1(85)10.84130.1587
X N N P x x P X P P X P X ⎛⎫
∴≤=Φ ⎪⎝⎭
∴≤=≤=Φ=>=-≤=-=由题意服从得
服从故
即数学成绩优秀的学生占全体学生人数的15.87 ％。

6. 解：()0,1X U
服从均匀分布，则()1
f x ⎧=⎨⎩ 01x <<其它
而2ln ,y x =y
2即x=e ，
∴ ()2
120
y
Y e
f y ⎧⎪=⎨⎪⎩
0y <其它
7. 解： 设X 的分布参数为λ，由题意知λ
1=EX ，可见1
5
λ=，由于设备在无故障的情况下工作两小时
便关机，显然 Y = min (X , 2) （即每次开机无故障工作时间取2与X 的最小者） 对于y < 0 , 有 F(y ) = P (Y ≤ y ) = 0
对于y ≥ 2 , 有 F(y ) = P (Y ≤ y ) = P {min(X , 2) ≤ y } = 1
对于0 ≤ y < 2 , 有 F(y ) = P ( Y ≤ y ) = P (min( X , 2) ≤ y )= P ( X ≤ y } = 5
1y e --
故每次开机无故障工作时间Y 的分布函数为
5
0, 0
()1,02
1, 2
y
y F y e y y -<⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩
8. 解：（1）X 的可能取值为03，1，2，且由题意,可得
{}102P X ==
{}1111224P X ==⨯=
{}812121212=⨯⨯==X P {}8
12
1212
13=⨯⨯
=
=X P
故汽车未遇红灯而连续通过的路口数X 的概率分布为
（2）由离散型随机变量函数的数学期望，有
{}{}{}{}111110123110111213E P X P X P X P X X ⎛⎫
=⨯=+⨯=+⨯=+⨯= ⎪
+++++⎝⎭
11111112243848=+⨯+⨯+⨯6796
=
四、证明题：
证明：由已知()2X e 服从指数分布 则()22,
00,
x X e x p x x -⎧>=⎨
≤⎩
又由 21X Y e -=- 得 21x y e -=- 连续，单调，存在反函数()1ln 12
x y =--
且 ()
121y x y '=
-
当0x >时, ()ln 10y -<, 则 01y <<
故 ()()()X Y p y p g y g y '=⎡⎤⋅⎣
⎦()
()
l n 112,01210,
y e y y -⎧⨯<<⎪-=⎨⎪⎩
其它
1,
01
0,
y <<⎧=⎨⎩其它
即 ()0,1)01Y U 服从(的均匀分布，。